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3.2: Lineare Ungleichungen - Mathematik


Im Kapitel Gleichungssysteme haben wir uns ein Unternehmen angesehen, das eine Basis- und eine Premium-Version seines Produkts herstellt, und wir haben festgestellt, wie viele von jedem Artikel es produzieren sollte, um alle besetzten Stunden vollständig auszulasten. Dazu brauchen wir lineare Ungleichungen

Eine lineare Gleichung in zwei Variablen ist eine Gleichung wie (f(x)=2 x+1), die manchmal ohne Funktionsnotation als (y=2 x+1 .) geschrieben wird. Denken Sie daran, dass der Graph dieser Gleichung ist eine Linie, die von allen Punkten ((x, y)) gebildet wird, die die Gleichung erfüllen. Eine lineare Ungleichung in zwei Variablen ist ähnlich, beinhaltet aber eine Ungleichung. Einige Beispiele:

[y<2 x+1 quad y>4 x-1 quad y leq frac{2}{3} x+4 quad y geq 5-2 x onumber]

Lineare Ungleichungen können auch mit beiden Variablen auf derselben Seite der Gleichung geschrieben werden, wie (2 x-3 y<4)

Die Lösungsmenge einer linearen Ungleichung sind alle Punkte ((x, y)), die die Ungleichung erfüllen. Beachten Sie, dass die Gerade (y=2 x+1) die Koordinatenebene in zwei Hälften teilt:
auf der einen Hälfte (y<2 x+1) und auf der anderen (y>2 x+1 .) Die Lösungsmenge einer linearen Ungleichung wird eine Halbebene sein, und um die Lösungsmenge zu zeigen, schattieren wir der Teil der Koordinatenebene, in dem die Punkte in der Lösungsmenge liegen.

Die Lösung einer linearen Ungleichung grafisch darstellen

1. Wenn nötig, schreiben Sie die lineare Ungleichung in eine Form um, die für die Graphik geeignet ist, wie die Steigungsabschnittsform
2. Zeichnen Sie die entsprechende lineare Gleichung.
A. Zeichne für eine strikte Ungleichung (< oder (>) ) eine gestrichelte Linie, um zu zeigen, dass die Punkte auf der Geraden nicht Teil der Lösung sind
B. Für eine Ungleichung, die das Gleichheitszeichen ((leq) oder (geq) enthält, zeichnen Sie eine durchgezogene Linie, um zu zeigen, dass die Punkte auf der Geraden Teil der Lösung sind.
3. Wählen Sie einen Testpunkt, nicht auf der Linie.
A. Setze den Testpunkt in die Ungleichung ein
B. Wenn die Ungleichung am Testpunkt wahr ist, schattieren Sie die Halbebene auf der Seite mit dem Testpunkt
C. Wenn die Ungleichung am Testpunkt nicht wahr ist, schattieren Sie die Halbebene auf der Seite, die den Testpunkt nicht enthält

Beispiel (PageIndex{1})

Zeichnen Sie die Lösung von (y<2 x+1)

Lösung

Da dies eine strikte Ungleichung ist, zeichnen wir (y = 2x + 1 onumber) als gestrichelte Linie.

Jetzt wählen wir einen Testpunkt, der nicht auf der Linie liegt. Normalerweise wird die Sache einfacher, wenn Sie einen Punkt auswählen, bei dem eine Koordinate Null ist. Nehmen wir ((3,0)).

Setzen wir (3,0) in die Ungleichung ein, erhalten wir

[egin{align*} 0 &< ​​2(3) + 1 0 &< ​​7 end{align*} onumber ]

Dies ist eine wahre Aussage, daher werden wir die Seite der Ebene schattieren, die ((3,0)) enthält.

Beispiel (PageIndex{2})

Zeichnen Sie die Lösung von (x geq 2 y+4)

Lösung

Dies ist nicht in einer Form geschrieben, die wir für Graphen verwenden, also können wir es zuerst nach (y) auflösen.

(xgeq 2 y+4 quad)

Subtrahiere (2 v) von beiden Seiten
(x-2 y geq 4 quad)

Subtrahiere (x) von beiden Seiten

(-2 y geq 4-x)

Dividiere durch (-2), um die Reihenfolge der Ungleichung umzukehren
(y leq-2+frac{1}{2} x)
Da diese Ungleichung das Gleichheitszeichen enthält, zeichnen wir (y=-2+frac{1}{2} x) als durchgezogene Linie

Jetzt wählen wir einen Testpunkt, der nicht auf der Linie liegt. (0,0) ist eine bequeme Wahl. Einsetzen von (0,0) in die Ungleichung erhalten wir

[egin{align*} 0 &leq - 2 + frac{1}{2}(0) 0 &leq - 2 end{align*} onumber ]

Dies ist eine falsche Aussage, daher schattieren wir die Hälfte der Ebene, die ((0,0)) nicht enthält.

Übung (PageIndex{1})

Zeichnen Sie die Lösung von [y geq - frac{1}{2}x + 1 onumber]

Antworten

Maximiere (P = 14x + 9y ) unter den Bedingungen:

[egin{align*} x + y &leq 9 3x + y &leq 15 x geq 0, &; y geq 0 end{align*} onumber ]

Beispiel (PageIndex{3})

Ein Geschäft verkauft Erdnüsse für ($ 4 /) Pfund und Cashews für ($ 8 /) Pfund und plant, eine Ney-Nuss-Mischung in einem Glas zu verkaufen. Welche Kombinationen von Erdnüssen und Cashewnüssen sind möglich, wenn die Mischung ($6) oder weniger kosten soll?

Lösung

Wir beginnen mit der Definition unserer Variablen:
(p): Die Anzahl der Pfund Erdnüsse in 1 Pfund Mischung

(c): Die Anzahl der Pfund Cashewnüsse in 1 Pfund Mischung
Die Kosten für ein Pfund Mischung betragen (4 p+8 c), also erfüllen alle Mischungen, die ($ 6) oder weniger kosten, die Ungleichung (4 p+8 c leq 6)

Wir können die Gleichung (4 p+8 c=6) ziemlich einfach grafisch darstellen, indem wir die Achsenabschnitte finden:

Wenn (p=0)

[egin{align*} 4(0)+8 c &= 6 8 c &= 6 c &= frac{6}{8}=frac{3}{4}. end{ausrichten*}]

Also der Punkt (left(0, frac{3}{4} ight)) auf der Geraden.


Wenn (c=0,4 p=6), also (p=frac{6}{4}=frac{3}{2}), ergibt sich der Punkt (left(frac{ 3}{2}, 0 echts)).

Beachten Sie, dass der Testpunkt ((0,0)) die Ungleichung erfüllt, daher werden wir die Seite der Linie einschließlich des Ursprungs schattieren. Aufgrund des Kontexts sind nur Werte im ersten Quadranten sinnvoll. Die Grafik zeigt alle möglichen Kombinationen, die der Laden verwenden könnte, einschließlich 1 Pfund Erdnüsse mit (1 / 4) Pfund Cashewnüssen oder (1 / 2) ein Pfund von jedem.

Systeme linearer Ungleichungen

Im Kapitel Gleichungssysteme haben wir nach Lösungen für ein lineares Gleichungssystem gesucht - einen Punkt, der alle Gleichungen des Systems erfüllt. Ebenso können wir ein System linearer Ungleichungen betrachten. Die Lösung eines Systems linearer Ungleichungen ist
die Menge der Punkte, die alle Ungleichungen des Systems erfüllen.

Mit einer einzelnen linearen Ungleichung können wir die Lösungsmenge grafisch darstellen. Ebenso zeigen wir mit einem System linearer Ungleichungen die Lösungsmenge grafisch. Wir finden es, indem wir suchen, wo sich die durch die einzelnen linearen Ungleichungen angegebenen Bereiche überschneiden.

Beispiel (PageIndex{4})

Zeichnen Sie die Lösung des Systems der linearen Ungleichungen

[egin{align*} y &leq x + 2 y &geq 1 - x end{align*} onumber ]

Lösung

Wenn wir die Lösungsmenge für jede Ungleichung einzeln grafisch darstellen, erhalten wir die beiden hier gezeigten Lösungsmengen.

Die grafische Darstellung dieser Lösungsmengen auf denselben Achsen zeigt die Lösung des Ungleichungssystems als den Bereich, in dem sich die beiden überlappen.

Der Lösungssatz, bei dem sich die Regionen überschneiden.

Der Lösungssatz, allein gezeichnet.

Übung (PageIndex{2})

Zeichnen Sie die Lösung des Systems der linearen Ungleichungen

[egin{align*} y &leq 3 - 2x y &geq frac{1}{2}x + 1 end{align*} onumber ]

Antworten

Die folgende Frage ähnelt einem Problem, das wir im Systemkapitel mit Systemen gelöst haben.

Beispiel (PageIndex{5})

Ein Unternehmen produziert eine Basis- und eine Premium-Version seines Produkts. Die Basisversion erfordert 20 Minuten Montage und 15 Minuten Lackierung. Die Premium-Version erfordert 30 Minuten Montage und 30 Minuten Lackierung. Wenn das Unternehmen Personal für 3.900 Minuten Montage und 3.300 Minuten Lackierung pro Woche hat. Wie viele Artikel können dann im Rahmen ihres Personaleinsatzes produziert werden?

Lösung

Beachten Sie, dass sich dieses Problem von der im ersten Abschnitt gestellten Frage unterscheidet, da es uns nicht mehr darum geht, das Personal voll auszulasten, sondern nur das, was möglich ist. Wie zuvor definieren wir

(b): Die Anzahl der hergestellten Basisprodukte, (p): Die Anzahl der hergestellten Premiumprodukte.

So wie wir im ersten Abschnitt Gleichungen erstellt haben, können wir jetzt Ungleichungen erstellen, da wir wissen, dass die in der Produktion verwendeten Stunden kleiner oder gleich den verfügbaren Stunden sein müssen. Dies führt zu zwei Ungleichungen:

[egin{array}{*{20}{c}} 20b + 30p leq 3900 15b + 30p leq 3300 end{array} onumber]

Die graphische Darstellung dieser Ungleichungen gibt uns die Lösungsmenge.

Da es nicht sinnvoll ist, negative Zahlen von Items zu berücksichtigen, können wir die Lösungen weiter auf den ersten Quadranten beschränken. Dies könnte auch durch Addition der Ungleichungen dargestellt werden

[b geq 0,quad p geq 0. onumber]

In der Lösungsmenge sehen wir die Lösung des Gleichungssystems, das wir im vorherigen Abschnitt gelöst haben: 120 Basisprodukte und 50 Premiumprodukte. Das Lösungsset zeigt, dass es viele andere mögliche Kombinationen von Produkten gibt, die es produzieren könnte, wenn das Unternehmen bereit ist, das Personal nicht vollständig auszulasten.

Die oben verwendeten Techniken sind der Schlüssel zu einem Zweig der Mathematik, der als lineare Programmierung bezeichnet wird und in der Wirtschaft weit verbreitet ist. Wir werden die lineare Programmierung im nächsten Abschnitt weiter untersuchen.

Wichtige Themen dieses Abschnitts

Lineare Ungleichungen grafisch darstellen

Gestrichelte Linie für strenge Ungleichungen, durchgezogen für ≤ oder ≥

Systeme linearer Ungleichungen grafisch darstellen


LINEARE UNGLEICHUNGEN

Definition von Ungleichheit: “ Zwei reelle Zahlen oder zwei algebraische Ausdrücke, die durch eines der folgenden Symbole verbunden sind:

für Mann „UNGLEICHHEIT“

Arten von Ungleichheiten:

  1. Numerische Ungleichung
  2. Lineare Ungleichung einer Variablen
  3. Lineare Ungleichung zweier Variablen
  4. Wörtliche Ungleichheit
  5. Doppelte Ungleichheit
  6. Quadratische Ungleichung
  7. Strenge Ungleichung
  8. schlaffe Ungleichheit
  1. 20 < 100 oder 30 > 400
  2. 30x > 300 oder 4y < 8 oder 2x – 3 <_ 9 oder 5z + 2 – _> 12
  3. 3x + y > 30 oder 4y < 2x – 8 oder x + 7 <_ y oder 5z + 2y _> -9
  4. x >_ 7 oder y <_ -4 oder x < 5 oder x > 8
  5. 3 < 5 < 7, 2 < y <_ 5
  6. 4x Quadrat + 3x 6 > 0
  7. Ungleichungen mit „<“- oder „>“-Zeichen
  8. Ungleichungen mit „≤“- oder „≥“-Zeichen

Auflösen einer Ungleichung:

Es ist der Prozess, alle möglichen Lösungen einer Ungleichung zu erhalten. Alle Werte der Variablen, die die Ungleichung erfüllen, sind die Lösungen der Ungleichung.

Lösungssatz:

Die Menge aller möglichen Lösungen einer Ungleichung heißt Lösungsmenge.

Ersatzset :

Eine uns gegebene Menge, aus der die Werte der Variablen in Ungleichung in ersetzt werden, heißt Ersatzmenge.


Welches System linearer Ungleichungen hat den Punkt (3, –2) in seiner Lösungsmenge?

Die Punkte, in denen die Systeme in den weißen Bereichen wahr sind, sind die farbigen Bereiche die ausgeschlossenen.

Jetzt müssen wir unseren Standpunkt in beide Systeme einbringen und sehen, ob der Punkt eine Lösung ist oder nicht.

In der ersten können Sie sehen, dass y kleiner als -2 sein muss und in Out-Point y gleich 2 ist, dann ist der Punkt (3,2) cant eine Lösung des ersten Systems.

Sehen wir uns das zweite System an:

bewerten Sie es im Punkt (3,2)

Dann ist der Punkt (3,2) für keines der beiden Systeme eine Lösung, und Sie können es in den Graphen sehen, im ersten Graphen liegt der Punkt (3,2) im schwarzen Bereich und im zweiten im roter Bereich.

und

Welches System linearer Ungleichungen hat den Punkt (3,-2) in seiner Lösungsmenge?

Wenn ein geordnetes Paar eine Lösung des Ungleichungssystems ist, dann muss das geordnete Paar beide Ungleichungen erfüllen (macht beide Ungleichungen wahr)

----> Ungleichung A

----> Ungleichung B

Ersetze den Wert von x und y des Punktes (3,-2) in beiden Ungleichungen und vergleiche dann die Ergebnisse

----> ist nicht wahr

Das geordnete Paar ist keine Lösung des Systems A

----> Ungleichung A

----> Ungleichung B

Ersetze den Wert von x und y des Punktes (3,-2) in beiden Ungleichungen und vergleiche dann die Ergebnisse

----> ist wahr

----> ist wahr

Das geordnete Paar ist eine Lösung des Systems B

----> Ungleichung A

----> Ungleichung B

Ersetze den Wert von x und y des Punktes (3,-2) in beiden Ungleichungen und vergleiche dann die Ergebnisse

----> ist nicht wahr

Das geordnete Paar ist keine Lösung des Systems C

----> Ungleichung B

Ersetze den Wert von x und y des Punktes (3,-2) in beiden Ungleichungen und vergleiche dann die Ergebnisse

----> ist nicht wahr


Operationen zu Ungleichheiten

Wenn wir dasselbe multiplizieren oder dividieren positive Zahl von beiden Seiten einer Ungleichung bleibt das Ungleichungszeichen unverändert .

Finden Sie die neue Ungleichung, wenn:
a) 3 < 5 wird beidseitig mit 2 . multipliziert
b) 18 > 9 wird auf beiden Seiten durch 3 . geteilt

Wenn wir dasselbe multiplizieren oder dividieren negative Zahl von beiden Seiten einer Ungleichung muss das Ungleichungszeichen . sein umgedreht . (Ändern Sie < in > und > in <).

Finden Sie die neue Ungleichung, wenn:
a) 4 < 11 wird beidseitig mit &ndash 2 . multipliziert
b) 30 > &ndash9 wird auf beiden Seiten durch &ndash3 . geteilt

a) 4 < 11
4 &mal (&ndash 2) < 11 &mal (&ndash 2)
&ndash8 > &ndash22 ( kehre das Ungleichungszeichen um )
b) 30 > &ndash9
30 &teilen (&ndash3) > (&ndash9) &teilen (&ndash3)
&ndash10 < 3 ( kehre das Ungleichungszeichen um )

Die folgenden Videos zeigen weitere Beispiele zum Lösen von Ungleichungen:

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3.2: Lineare Ungleichungen - Mathematik

Ungleichungen lösen: Ein Überblick (Seite 1 von 3)

Das Lösen linearer Ungleichungen ist dem Lösen linearer Gleichungen sehr ähnlich, bis auf ein kleines, aber wichtiges Detail: Sie drehen das Ungleichungszeichen immer um, wenn Sie die Ungleichung mit einem Negativen multiplizieren oder dividieren. Dies lässt sich am einfachsten anhand einiger Beispiele zeigen:

Grafisch ist die Lösung:

Der einzige Unterschied zwischen der linearen Gleichung " x + 3 = 2 " und diese lineare Ungleichung besteht darin, dass ich ein "weniger als"-Zeichen anstelle eines "gleichen"-Zeichens habe. Die Lösungsmethode ist genau dieselbe: Subtrahiere 3 von beiden Seiten.

Beachten Sie, dass die Lösung einer "kleiner als, aber nicht gleich"-Ungleichung mit Klammern (oder einem offenen Punkt) am Endpunkt grafisch dargestellt wird, was anzeigt, dass der Endpunkt nicht in der Lösung enthalten ist.

Grafisch ist die Lösung:

Beachten Sie, dass " x " in der Lösung muss nicht links sein. Was die Lösung bedeutet, kann man sich jedoch oft mit der Variablen links besser vorstellen. Scheuen Sie sich nicht, Dinge nach Ihrem Geschmack neu anzuordnen.

Grafisch ist die Lösung:

Der einzige Unterschied zwischen der linearen Gleichung " 4 x + 6 = 3x &ndash 5 " und diese Ungleichung ist das Zeichen "kleiner oder gleich" anstelle eines einfachen "gleichen"-Zeichens. Die Lösungsmethode ist genau die gleiche.

Beachten Sie, dass die Lösung einer "kleiner oder gleich"-Ungleichung mit einer eckigen Klammer (oder einem geschlossenen Punkt) am Endpunkt grafisch dargestellt wird, was anzeigt, dass der Endpunkt in der Lösung enthalten ist.

Grafisch ist die Lösung:

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Grafisch ist die Lösung:

Die Regel zum Beispiel 5 oben erscheint den Schülern oft unvernünftig, wenn sie sie zum ersten Mal sehen. Aber denken Sie an Ungleichungen mit Zahlen anstelle von Variablen. Sie wissen, dass die Zahl vier größer ist als die Zahl zwei: 4 > 2 . Durch Multiplizieren dieser Ungleichung mit &ndash1 erhalten wir &ndash4 < &ndash2 , was der Zahlenstrahl als wahr zeigt:

Wenn wir die Ungleichung nicht umgedreht hätten, wären wir bei " &ndash4 > &ndash2 " gelandet, was eindeutig nicht stimmt.


4.7 Graphen linearer Ungleichungen

Wir haben gelernt, wie man Ungleichungen in einer Variablen löst. Wir werden uns nun Ungleichungen in zwei Variablen ansehen. Ungleichungen in zwei Variablen haben viele Anwendungen. Wenn Sie beispielsweise ein Unternehmen führen, möchten Sie, dass Ihr Umsatz höher ist als Ihre Kosten, damit Ihr Unternehmen Gewinn macht.

Lineare Ungleichung

Eine lineare Ungleichung ist eine Ungleichung, die in einer der folgenden Formen geschrieben werden kann:

Lösung einer linearen Ungleichung

Beispiel 4.69

Bestimmen Sie, ob jedes geordnete Paar eine Lösung der Ungleichung y > x + 4 y > x + 4 ist:

Lösung

Bestimmen Sie, ob jedes geordnete Paar eine Lösung der Ungleichung y > x − 3 y > x − 3 ist:

Bestimmen Sie, ob jedes geordnete Paar eine Lösung der Ungleichung y < x + 1 y < x + 1 ist:

Erkenne die Beziehung zwischen den Lösungen einer Ungleichung und ihrem Graphen

Wir werden uns nun ansehen, wie sich die Lösungen einer Ungleichung auf ihren Graphen beziehen.

Grenzlinie

Bei einer Ungleichung in einer Variablen wird der Endpunkt in Klammern oder Klammern angezeigt, je nachdem, ob a in der Lösung enthalten ist oder nicht:

Ebenso wird bei einer Ungleichung in zwei Variablen die Grenzlinie mit einer durchgezogenen oder gestrichelten Linie dargestellt, um anzuzeigen, ob die Linie in der Lösung enthalten ist oder nicht. Dies ist in Tabelle 4.48 zusammengefasst

Schauen wir uns nun an, was wir in Beispiel 4.69 gefunden haben. Wir beginnen mit der grafischen Darstellung der Linie y = x + 4 y = x + 4 und zeichnen dann die fünf getesteten Punkte. Siehe Abbildung 4.32.

In Beispiel 4.69 haben wir festgestellt, dass einige der Punkte Lösungen der Ungleichung y > x + 4 y > x + 4 waren und andere nicht.

Nehmen wir einen weiteren Punkt auf der linken Seite der Grenzlinie und testen, ob er eine Lösung der Ungleichung y > x + 4 y > x + 4 ist. Der Punkt ( 0 , 10 ) ( 0 , 10 ) scheint eindeutig links von der Grenzlinie zu liegen, nicht wahr? Ist es eine Lösung für die Ungleichung?

Jeder beliebige Punkt auf der linken Seite der Grenzlinie ist eine Lösung der Ungleichung y > x + 4 y > x + 4 . Alle Punkte links sind Lösungen.

Ebenso sind alle Punkte auf der rechten Seite der Grenzlinie, die Seite mit ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) und ( −5 , −15 ) ( −5 , −15 ) , keine Lösungen für y > x + 4 y > x + 4 . Siehe Abbildung 4.33.

Beispiel 4.70

Lösung

Da die Grenzlinie mit einer durchgezogenen Linie dargestellt wird, enthält die Ungleichung das Gleichheitszeichen.

Der Graph zeigt die Ungleichung y ≥ 2 x − 1 y ≥ 2 x − 1 .

Schreiben Sie die im Graphen gezeigte Ungleichung mit der Grenzlinie y = −2 x + 3 y = −2 x + 3 .

Schreiben Sie die im Graphen gezeigte Ungleichung mit der Grenzlinie y = 1 2 x − 4 y = 1 2 x − 4 .

Beispiel 4.71

Lösung

(Möglicherweise möchten Sie einen Punkt auf der anderen Seite der Grenzlinie auswählen und überprüfen, ob 2 x + 3 y > 6 2 x + 3 y > 6 ist.)

Da die Grenzlinie als gestrichelte Linie dargestellt wird, enthält die Ungleichung kein Gleichheitszeichen.

Der Graph zeigt die Lösung der Ungleichung 2 x + 3 y < 6 2 x + 3 y < 6 .

Schreiben Sie die durch den schattierten Bereich dargestellte Ungleichung in den Graphen mit der Grenzlinie x − 4 y = 8 x − 4 y = 8 .

Schreiben Sie die Ungleichung, die durch den schattierten Bereich im Graphen dargestellt wird, mit der Grenzlinie 3 x − y = 6 3 x − y = 6 .

Lineare Ungleichungen grafisch darstellen

Jetzt sind wir bereit, all dies zusammenzusetzen, um lineare Ungleichungen darzustellen.

Beispiel 4.72

Wie man lineare Ungleichungen grafisch darstellt

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y ≥ 3 4 x − 2 y ≥ 3 4 x − 2 .

Lösung

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y ≥ 5 2 x − 4 y ≥ 5 2 x − 4 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y ≤ 2 3 x − 5 y ≤ 2 3 x − 5 .

Die Schritte, die wir unternehmen, um eine lineare Ungleichung darzustellen, sind hier zusammengefasst.

Wie man

Zeichnen Sie eine lineare Ungleichung.

Beispiel 4.73

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung x − 2 y < 5 x − 2 y < 5 .

Lösung

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung 2 x − 3 y ≤ 6 2 x − 3 y ≤ 6 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung 2 x − y > 3 2 x − y > 3 .

Was ist, wenn die Grenzlinie durch den Ursprung geht? Dann können wir ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) nicht als Testpunkt verwenden. Kein Problem – wir wählen einfach einen anderen Punkt, der nicht auf der Grenzlinie liegt.

Beispiel 4.74

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y ≤ −4 x y ≤ −4 x .

Lösung

Jetzt brauchen wir einen Testpunkt. Wir sehen, dass der Punkt ( 1 , 0 ) ( 1 , 0 ) nicht auf der Grenzlinie liegt.

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y > −3 x y > −3 x .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y ≥ −2 x y ≥ −2 x .

Einige lineare Ungleichungen haben nur eine Variable. Sie haben möglicherweise eine x aber nein ja, oder ein ja aber nein x. In diesen Fällen ist die Grenzlinie entweder eine vertikale oder eine horizontale Linie. Erinnerst du dich?

Beispiel 4.75

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y > 3 y > 3 .

Lösung

Also schattieren wir die Seite, die (0, 0) nicht enthält.

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y < 5 y < 5 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y ≤ −1 y ≤ −1 .

Abschnitt 4.7 Übungen

Übung macht den Meister

Lösungen für eine Ungleichung in zwei Variablen überprüfen

Bestimmen Sie in den folgenden Übungen, ob jedes geordnete Paar eine Lösung der gegebenen Ungleichung ist.

Bestimmen Sie, ob jedes geordnete Paar eine Lösung der Ungleichung y > x − 1 y > x − 1 ist:

Bestimmen Sie, ob jedes geordnete Paar eine Lösung der Ungleichung y > x − 3 y > x − 3 ist:

Bestimmen Sie, ob jedes geordnete Paar eine Lösung der Ungleichung y < x + 2 y < x + 2 ist:

Bestimmen Sie, ob jedes geordnete Paar eine Lösung der Ungleichung y < x + 5 y < x + 5 ist:

Bestimmen Sie, ob jedes geordnete Paar eine Lösung der Ungleichung x + y > 4 x + y > 4 ist:

Bestimmen Sie, ob jedes geordnete Paar eine Lösung der Ungleichung x + y > 2 x + y > 2 ist:

Erkenne die Beziehung zwischen den Lösungen einer Ungleichung und ihrem Graphen

Schreiben Sie in den folgenden Übungen die durch den schattierten Bereich dargestellte Ungleichung.

Schreiben Sie die im Graphen gezeigte Ungleichung mit der Grenzlinie y = 3 x − 4 . y = 3 x − 4 .

Schreiben Sie die im Graphen gezeigte Ungleichung mit der Grenzlinie y = 2 x − 4 . y = 2 x − 4 .

Schreiben Sie die im Graphen gezeigte Ungleichung mit der Grenzlinie y = 1 2 x + 1 . y = 1 2 x + 1 .

Schreiben Sie die im Graphen gezeigte Ungleichung mit der Grenzlinie y = − 1 3 x − 2 . y = − 1 3 x − 2 .

Schreiben Sie die Ungleichung, die durch den schattierten Bereich im Graphen dargestellt wird, mit der Grenzlinie x + y = 5 . x + y = 5 .

Schreiben Sie die Ungleichung, die durch den schattierten Bereich im Graphen dargestellt wird, mit der Grenzlinie x + y = 3 . x + y = 3 .

Schreiben Sie die Ungleichung, die durch den schattierten Bereich im Graphen dargestellt wird, mit der Grenzlinie 2 x + y = −4 . 2 x + y = -4 .

Schreiben Sie die Ungleichung, die durch den schattierten Bereich im Graphen dargestellt wird, mit der Grenzlinie x + 2 y = −2 . x + 2 y = -2 .

Schreiben Sie die Ungleichung, die durch den schattierten Bereich im Graphen dargestellt wird, mit der Grenzlinie 3 x − y = 6 . 3 x − y = 6 .

Schreiben Sie die Ungleichung, die durch den schattierten Bereich im Graphen dargestellt wird, mit der Grenzlinie 2 x − y = 4 . 2 x − y = 4 .

Schreiben Sie die Ungleichung, die durch den schattierten Bereich im Graphen dargestellt wird, mit der Grenzlinie 2 x − 5 y = 10 . 2 x − 5 y = 10 .

Schreiben Sie die Ungleichung, die durch den schattierten Bereich im Graphen dargestellt wird, mit der Grenzlinie 4 x − 3 y = 12 . 4 x − 3 y = 12 .

Lineare Ungleichungen grafisch darstellen

Stellen Sie in den folgenden Übungen jede lineare Ungleichung grafisch dar.

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y > 2 3 x − 1 y > 2 3 x − 1 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y < 3 5 x + 2 y < 3 5 x + 2 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y ≤ − 1 2 x + 4 y ≤ − 1 2 x + 4 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y ≥ − 1 3 x − 2 y ≥ − 1 3 x − 2 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung x − y ≤ 3 x − y ≤ 3 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung x − y ≥ −2 x − y ≥ −2 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung 4 x + y > –4 4 x + y > –4 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung x + 5 y < –5 x + 5 y < –5 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung 3 x + 2 y ≥ −6 3 x + 2 y ≥ −6 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung 4 x + 2 y ≥ −8 4 x + 2 y ≥ −8 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y > 4 x y > 4 x .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y > x y > x .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y ≤ − x y ≤ − x .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y ≤ −3 x y ≤ −3 x .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y ≥ −2 y ≥ −2 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y < –1 y < –1 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y < 4 y < 4 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y ≥ 2 y ≥ 2 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung x ≤ 5 x ≤ 5 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung x > –2 x > –2 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung x > –3 x > –3 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung x ≤ 4 x ≤ 4 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung x − y < 4 x − y < 4 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung x − y < −3 x − y < −3 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y ≥ 3 2 x y ≥ 3 2 x .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y ≤ 5 4 x y ≤ 5 4 x .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y > –2 x + 1 y > –2 x + 1 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y < −3 x − 4 y < −3 x − 4 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung x ≤ −1 x ≤ −1 .

Zeichnen Sie die lineare Ungleichung x ≥ 0 x ≥ 0 .

Mathe im Alltag

Geld. Gerry möchte maximal 100 Dollar Bargeld am Kassenhäuschen haben, wenn sein Kirchenkarneval eröffnet. Er wird 1 Dollar Scheine und 5 Dollar Scheine haben. Ob x ist die Anzahl der 1-Dollar-Scheine und ja die Anzahl der $5-Scheine ist, modelliert die Ungleichung x + 5 y ≤ 100 x + 5 y ≤ 100 die Situation.

Einkaufen. Tula hat 20 Dollar für den Verkauf gebrauchter Bücher zur Verfügung. Hardcover-Bücher kosten jeweils 2 US-Dollar und Taschenbücher kosten 0,50 pro Stück. Ob x ist die Anzahl der Hardcover-Bücher, die Tula kaufen kann und ja ist die Anzahl der Taschenbücher, die sie kaufen kann, die Ungleichung 2 x + 1 2 y ≤ 20 2 x + 1 2 y ≤ 20 modelliert die Situation.

Schreibübungen

Lester denkt, dass die Lösung jeder Ungleichung mit einem >-Zeichen der Bereich oberhalb der Linie ist und die Lösung jeder Ungleichung mit einem <-Zeichen der Bereich unterhalb der Linie ist. Hat Lester Recht? Erkläre warum oder warum nicht.

Erklären Sie, warum in einigen Graphen linearer Ungleichungen die Grenzlinie durchgezogen ist, in anderen Graphen jedoch gestrichelt.

Selbstüberprüfung

ⓐ Verwenden Sie nach Abschluss der Übungen diese Checkliste, um Ihre Beherrschung der Ziele dieses Abschnitts zu bewerten.

ⓑ Was sagt Ihnen diese Checkliste über Ihre Beherrschung dieses Abschnitts? Welche Schritte werden Sie unternehmen, um sich zu verbessern?

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    • Autoren: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
    • Herausgeber/Website: OpenStax
    • Buchtitel: Elementare Algebra 2e
    • Erscheinungsdatum: 22.04.2020
    • Ort: Houston, Texas
    • Buch-URL: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-introduction
    • Abschnitts-URL: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/4-7-graphs-of-linear-inequalities

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    Lösung einer dreiteiligen linearen Ungleichung - Konzept

    Carl unterrichtete an mehreren Schulen Mathematik der Oberstufe und leitet derzeit seine eigene Nachhilfefirma. Er wettet, dass seine Liebe zu intensiven Outdoor-Aktivitäten niemand übertreffen kann!

    In der Mathematik kann es sinnvoll sein, die Lösung zu begrenzen oder sogar mehrere Lösungen für eine Ungleichung zu haben. Dazu verwenden wir a zusammengesetzte Ungleichung, Ungleichungen mit mehreren Ungleichungszeichen. Beim Lösen von zusammengesetzten Ungleichungen verwenden wir einige der gleichen Methoden, die beim Lösen von mehrstufigen Ungleichungen verwendet werden. Die Lösungen für zusammengesetzte Ungleichungen können auf einer Zahlengerade grafisch dargestellt und als Intervalle ausgedrückt werden.

    Das Lösen einer dreiteiligen Ungleichung ist im Grunde dasselbe wie das Lösen einer zweiteiligen Ungleichung, aber anstatt jetzt nur eine Seite zu behandeln, haben wir es auch mit einer anderen Seite zu tun. Der erste Schritt ist also immer nur, unsere x's von selbst zu erhalten, subtrahieren eins über wir versuchen, nach diesem x zu lösen, also subtrahieren Sie einfach 1 und anstatt es von beiden Seiten zu tun, müssen wir es jetzt von allen dreien tun. Also 11 minus 1, 10 weniger als 3x und dann zum Schluss gleich 6 okay. Wenn wir nach x auflösen, müssen wir durch minus 3 dividieren. Denken Sie daran, wenn wir in einer Ungleichungsform sind, wenn wir durch ein negatives dividieren, müssen wir dieses Vorzeichen tatsächlich umdrehen. Also 10 geteilt durch eine negative 3 können wir das nicht vereinfachen, also bleiben wir nur bei negativen 10 Dritteln, unser Vorzeichen wechselt x dieses Vorzeichen muss auch wechseln 6 geteilt durch minus 3 ist minus 2 okay.
    Was wir also tatsächlich haben, ist, dass x zwischen minus 10 Drittel und -2 liegen muss, also ist diese Antwort im Moment in Ungleichungsform in Ordnung. Wir wollen es in eine andere Form bringen, wir könnten unsere Klammern machen und denken Sie daran, dass dies "Intervallnotation" genannt wird. Wir schließen keine negativen zehn Drittel ein, also haben wir hier eine weiche Klammer, wir schließen -2 ein, also haben wir diese harte Klammer hier, okay. Wir könnten dies auch auf einer Zahlenlinie darstellen, die wir von minus zehn Dritteln zu minus 2 gehen, einschließlich minus 2, sodass dies ohne zehn Drittel ausgefüllt wird, sodass die Umrisse nicht ausgefüllt werden. Stellen Sie die Notennotation erneut ein, indem Sie hier genau dasselbe mit einem x so verwenden, dass die Klammer, x so ist, dass negative zehn Drittel kleiner als x kleiner als gleich -2 ist. Also gelöst und die vier verschiedenen Möglichkeiten, die gleiche genaue Antwort darzustellen.


    3.2: Lineare Ungleichungen - Mathematik

    Übung 3.2.1. a) Betrachten Sie die Vektoren und wo und sind beliebige positive reelle Zahlen. Benutze die Schwarz-Ungleichung mit und um eine Beziehung zwischen dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel herzuleiten.

    b) Betrachten Sie einen Vektor vom Ursprung zum Punkt , einen zweiten Vektor der Länge von zum Punkt und den dritten Vektor vom Ursprung zu . Verwenden der Dreiecksungleichung

    Leiten Sie die Schwarz-Ungleichung her. (Hinweis: Quadrieren Sie beide Seiten der Ungleichung und erweitern Sie den Ausdruck .)

    Antwort: a) Aus der Schwarz-Ungleichung haben wir

    Aus den Definitionen von und haben wir auf der linken Seite der Ungleichung

    Angenommen, wir wählen immer die positive Quadratwurzel.

    Aus den Definitionen von und haben wir auch

    so dass die rechte Seite der Ungleichung

    wieder unter der Annahme, dass wir die positive Quadratwurzel wählen. (Wir wissen, ist positiv, da beide und sind.)

    oder (beide Seiten durch 2 teilen)

    Wir sehen also, dass für alle positiven reellen Zahlen das geometrische Mittel kleiner ist als das arithmetische Mittel.

    b) Aus der Dreiecksungleichung haben wir

    für die Vektoren und . Quadrieren des Termes auf der linken Seite der Ungleichung und Verwenden der kommutativen und distributiven Eigenschaften des inneren Produkts erhalten wir

    Quadrieren des Termes auf der rechten Seite der Ungleichung, die wir haben

    ist also äquivalent zur Ungleichung

    Subtrahieren und von beiden Seiten der Ungleichung gibt uns

    und dividieren beider Seiten der Ungleichung durch 2 ergibt

    Beachten Sie, dass dies fast, aber nicht ganz die Schwarz-Ungleichung ist: Da die Schwarz-Ungleichung den absoluten Wert beinhaltet, müssen wir auch beweisen, dass

    (Schließlich könnte das innere Produkt negativ sein, in welchem ​​Fall die Ungleichung trivialerweise wahr wäre, da der Term auf der rechten Seite der Ungleichung garantiert positiv ist.)

    Wir haben . Da die Dreiecksungleichung für zwei beliebige Vektoren gilt, können wir sie folgendermaßen formulieren:

    Da das Quadrieren des Termes auf der rechten Seite der Ungleichung ergibt

    wie zuvor. Das Quadrieren des Termes auf der linken Seite der Ungleichung ergibt jedoch

    Die ursprüngliche Dreiecksungleichung

    Da wir beides haben und wir deshalb haben

    das ist die Schwarz-Ungleichung.

    Die Dreiecksungleichung impliziert also die Schwarz-Ungleichung.

    HINWEIS: Dies setzt eine Reihe von Beiträgen fort, die ausgearbeitete Übungen aus dem (vergriffenen) Buch Linear Algebra and Its Applications, Third Edition von Gilbert Strang enthalten.

    Wenn Sie diese Beiträge nützlich finden, empfehle ich Ihnen, auch die aktuellere Lineare Algebra und ihre Anwendungen, Vierte Ausgabe, Dr. Strangs einführendes Lehrbuch Einführung in die Lineare Algebra, Vierte Ausgabe und den begleitenden kostenlosen Online-Kurs, und Dr andere Bücher.


    Begrenzte Intervalle

    lautet „−1 eins ist kleiner oder gleich x und x ist weniger als drei.“ Dies ist eine zusammengesetzte Ungleichung, da sie wie folgt zerlegt werden kann:

    Das logische „und“ erfordert, dass beide Bedingungen wahr sein müssen. Beide Ungleichungen werden von allen Elementen im Schnitt erfüllt. Die Menge, die durch die gemeinsamen Werte der einzelnen Lösungsmengen gebildet wird, wird durch die logische Verwendung des Wortes „und“ angezeigt, das mit dem Symbol ∩ bezeichnet wird. , bezeichnet mit , der Lösungsmengen von jedem.

    Beispiel 5: Zeichnen Sie das Intervall-Notation-Äquivalent und geben Sie es an: x < 3 und x ≥ − 1 .

    Lösung: Bestimmen Sie den Schnittpunkt oder die Überlappung der beiden Lösungsmengen. Die Lösungen jeder Ungleichung sind oberhalb des Zahlenstrahls skizziert, um den Schnittpunkt zu bestimmen, der auf dem Zahlenstrahl darunter grafisch dargestellt wird.

    Hier ist x = 3 keine Lösung, da es nur eine der Ungleichungen löst.

    Antwort: Intervallnotation: [ − 1 , 3 )

    Alternativ können wir − 1 ≤ x < 3 als alle möglichen Werte für interpretieren x zwischen oder begrenzt durch -1 und 3 auf einer Zahlengeraden. Eine solche Lösung ist beispielsweise x = 1 . Beachten Sie, dass 1 zwischen –1 und 3 auf einer Zahlengeraden liegt oder dass –1 < 1 < 3 ist. In ähnlicher Weise können wir sehen, dass andere mögliche Lösungen –1, -0,99, 0, 0,0056, 1,8 und 2,99 sind. Da es zwischen −1 und 3 unendlich viele reelle Zahlen gibt, müssen wir die Lösung grafisch und/oder mit Intervallnotation ausdrücken, in diesem Fall [ − 1 , 3 ) .

    Beispiel 6: Zeichnen Sie das Intervall-Notation-Äquivalent und geben Sie es an: − 3 2 < x < 2 .

    Lösung: Schattieren Sie alle reellen Zahlen, die durch oder strikt zwischen − 3 2 = − 1 1 2 und 2 begrenzt sind.

    Antwort: Intervallnotation: ( − 3 2 , 2 )

    Beispiel 7: Zeichnen Sie das Intervall-Notation-Äquivalent und geben Sie es an: − 5 < x ≤ 15 .

    Lösung: Schattieren Sie alle reellen Zahlen zwischen −5 und 15, und geben Sie an, dass die obere Schranke 15 in der Lösungsmenge enthalten ist, indem Sie einen geschlossenen Punkt verwenden.

    Antwort: Intervallnotation: ( − 5 , 15 ]

    In den beiden vorherigen Beispielen haben wir die Ungleichungen nicht zerlegt, sondern alle reellen Zahlen zwischen den beiden gegebenen Schranken betrachtet.


    3.2.4 Sequenzen

    Zusätzliche Stiftungsinhalte

    Terme einer Folge entweder aus einer Term-zu-Term- oder einer Position-zu-Term-Regel generieren

    Anmerkungen: auch aus Mustern und Diagrammen.

    Zusätzliche Stiftungsinhalte

    Folgen von Dreiecks-, Quadrat- und Würfelzahlen sowie einfache arithmetische Progressionen erkennen und verwenden

    einschließlich Folgen vom Fibonacci-Typ, quadratische Folgen und einfache geometrische Progressionen, wobei eine ganze Zahl und eine rationale Zahl > 0)

    einschließlich anderer Sequenzen

    einschließlich wo ist eine surd

    Anmerkungen: andere rekursive Sequenzen werden in der Frage definiert.


    Schau das Video: 90 - lineære (September 2021).