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Grundlagen der Matrixalgebra (Hartman)


Grundlagen der Matrixalgebra (Hartman)

Fundamentals of Matrix Algebra, 3. Auflage (Englisch) Taschenbuch – 2. November 2011

Ich empfehle jedem Studenten, sich für einen ersten Kurs in Linearer Algebra einzuschreiben, diesen Titel zu erwerben. Hätte ich dieses Buch vor einem solchen Kurs gehabt, hätte ich mich sicherlich weniger mit den Kleinigkeiten beschäftigt und mir mehr Zeit erspart, über die eher konzeptionellen Aspekte des Kurses nachzudenken. Für LA MÜSSEN Sie die Grundlagen der Matrixalgebra kalt lernen, wie Sie normale algebraische Operatoren kennen, und die meisten Professoren geben Ihnen vom ersten Tag an etwa 3 Wochen dafür. Danach nimmt der Kurs Fahrt auf und lässt Sie zurück.

Ich habe es in ungefähr 10 Sitzungen durchgearbeitet, nachdem ich einen vollständigen Kurs für lineare Algebra belegt hatte, und es hat viele der operativen Aspekte des Kurses gefestigt und dazu beigetragen, einige der gewonnenen Intuitionen wirklich zu versteinern. Hartman ist ein begabter Autor von mathematischen Texten (und wahrscheinlich Lehrprofessor).


Grundlagen der Matrixalgebra

Dieser Text befasst sich mit der Matrixalgebra im Gegensatz zur linearen Algebra. Ohne die Semantik zu bestreiten, betrachte ich die Matrixalgebra als eine Teilmenge der linearen Algebra, die sich hauptsächlich auf grundlegende Konzepte und Lösungstechniken konzentriert. Es gibt wenig formale Theorieentwicklung und abstrakte Konzepte werden vermieden. Dies ist vergleichbar mit dem Schreinermeister, der seinem Lehrling den Umgang mit Hammer, Säge und Hobel beibringt, bevor er ihm beibringt, wie man einen Schrank herstellt.

Dieses Buch ist zum Lesen gedacht. Jeder Abschnitt beginnt mit „WIE SIE LESEN“-Fragen, die der Leser nach sorgfältigem Lesen des Abschnitts beantworten kann, auch wenn nicht alle Konzepte des Abschnitts vollständig verstanden werden. Ich verwende diese Fragen als tägliches Lesequiz für meine Schüler. Der Text ist gesprächig geschrieben, was hoffentlich zu einem Text führt, der leicht (und sogar angenehm) zu lesen ist.

Viele Beispiele werden gegeben, um Konzepte zu veranschaulichen. Wenn ein Konzept zum ersten Mal erlernt wird, versuche ich, alle notwendigen Schritte zu demonstrieren, um die Beherrschung zu erlangen. Später, wenn dieses Konzept nun ein Werkzeug ist, um eine andere Idee zu studieren, werden bestimmte Schritte beschönigt, um sich auf das neue Material zu konzentrieren. Ich würde vorschlagen, dass die Technologie in ähnlicher Weise eingesetzt wird.


Über

APEX: EINbezahlbar Prinnt und Eelektronischer Textbooks

Das traditionelle College-Lehrbuch von heute ist teuer. Einige mögen argumentieren, dass diese Texte ihren hohen Preis wert sind, ähnlich wie einige argumentieren, dass ein Luxusauto seinen hohen Preis wert ist. Allerdings hat man beim Autokauf ein Auswahl: Wenn Sie ein Luxusauto wollen, können Sie eines kaufen, wenn Sie es sich leisten können. Wer es sich nicht leisten kann, kauft etwas günstigeres.

Nicht so bei Lehrbüchern. Es gibt nur sehr wenige (irgendwelche?) Texte, die über traditionelle Verlage erhältlich sind, die kostengünstig und dennoch von hoher Qualität sind. Mit der Verbreitung von Desktop-Publishing-Tools und Print-on-Demand-Diensten sind jedoch Alternativen auf den Markt gekommen.

(Alternativen brauchen als das aktuelle Lehrbuchmodell erscheinen zu lassen, ist ungesund und wahrscheinlich nicht nachhaltig. Sehen Sie sich diesen NPR-Bericht an, der zeigt, dass die Schulbuchpreise zwischen 2002 und 2012 um 82 % gestiegen sind und wie die Schülerausgaben für Schulbücher leicht gesunken im selben Zeitraum, d. h Studenten kaufen weniger Lehrbücher. Dieser Planet Money-Bericht gibt auch einen Einblick in den Lehrbuchmarkt und ist Ihre 15-minütigen Hörzeit wert.)

Die größte verbleibende Hürde beim Schreiben von Lehrbüchern ist die Zeit: Es braucht natürlich viel Zeit, um einen qualitativ hochwertigen Text zu schreiben und zu produzieren. Um dieses Problem anzugehen, beschlossen einige Mathematikprofessoren am Virginia Military Institute Zusammenarbeit war der Schlüssel: Anstatt die ganze Arbeit von einem oder zwei Autoren erledigen zu lassen, was wäre, wenn viele Leute zusammenarbeiten würden, um einen Text zu schreiben? Jeder Einzelne könnte sich spezialisieren: Einer könnte Beispiele schreiben, ein anderer Problemstellungen, ein anderer Grafiken erstellen usw. Der Zeitaufwand für jede einzelne Person würde stark reduziert. Diese Mathematikprofessoren beschlossen, diese gemeinsame Idee unter dem Namen APEX zu bewerben, in der Hoffnung, ein Konsortium gleichgesinnter Personen zu bilden, die zusammenarbeiteten, um die Mathematik-Lehrbuch-Landschaft zu verändern.

Die Kernwerte dieses Konsortiums werden durch die Buchstaben von APEX repräsentiert. Ganz klar, wir schreiben Lehrbücher, wenn auch nicht auf Mathematik beschränkt. Das Produkt muss sein erschwinglich. (APEX-Rechnung ist frei im PDF-Format, wenn Sie ein gedrucktes Exemplar wünschen, können Sie es selbst ausdrucken oder ein schönes gedrucktes Exemplar für etwa 15 US-Dollar über Amazon kaufen.) Obwohl es viel zu tun gab, wie E-Books und Tablets die Bildung revolutionieren würden, sind unsere Erfahrungen so vielfältig Die Schüler wollen immer noch etwas, das sie in der Hand halten können. Und schreib rein. Und Eselsohr. Daher müssen wir machen drucken Versionen erhältlich. Es gibt viel zu tun elektronischAll dies kann jedoch nicht in gedruckter Form erfolgen. Diese aufregende Grenze muss noch vollständig erforscht werden, obwohl APEX Calculus mindestens eine aufregende Funktion eingeführt hat - 3D-Grafiken, die in der .pdf-Datei bearbeitet werden können!

Um die Zusammenarbeit zu fördern, ist APEX Calculus als offener Text verfügbar. Alle Quelldateien sind auf GitHub für andere verfügbar und unterliegen einer großzügigen Creative Commons BY-NC-Lizenz. Sie möchten keinen Abschnitt? Hol es raus. Haben wir einen Abschnitt verpasst? Fügen Sie einen hinzu.

Möchten Sie einen Open-Source-Text schreiben? Kontaktiere mich!

Die APEX Calc-Story

Die Samen von APEX Calculus wurden wie ich geschrieben habe gepflanzt Grundlagen der Matrixalgebra für meinen Matrix-Algebra-Kurs und Troy schrieb Eine Einführung in MATLAB und Mathcad für seine Schüler, die mathematische Software lernen. Wir stellten fest, dass das Schreiben von Texten persönlich und beruflich lohnend war und waren erstaunt, dass mehr Leute dies nicht taten.

Troy, ein Kollege Daniel Joseph und ich haben uns das APEX-Modell ausgedacht, bei dem mehrere Personen zusammenarbeiten, um einen Text zu schreiben und die Last für alle zu erleichtern. Ich beschloss, das Schreiben des ersten APEX-Modellbuchs zu leiten, einem Text über Lineare Algebra. Später verlagerte sich unser Fokus auf das Schreiben eines Buches über multivariable Infinitesimalrechnung, wobei wir die Hilfe von zwei anderen von anderen Schulen in Virginia in Anspruch nahmen.

Im Herbst 2011 bot VMI Dozenten Stipendien an, um Projekte zu unterstützen, die die Bildung maßgeblich verändern würden. Mit Troys Ermutigung beantragte ich Zuschüsse, um Kursveröffentlichungen zu kaufen, damit ich viel Zeit dem Schreiben widmen konnte. Viele meiner Kollegen in der lokalen MAA-Sektion waren daran interessiert, an dem Projekt teilzunehmen, und ich schrieb das Potenzial ihrer Unterstützung in meinem Antrag auf Förderung. Um die größte Wirkung zu erzielen, haben wir beschlossen, dass unser Text Calculus sein sollte (und nicht nur die multivariablen Teile).

Ich erhielt das Stipendium und begann sofort mit der Textplanung. Ich habe viel Zeit damit verbracht, zu bestimmen, wie das Buch aussehen würde, einschließlich der Wahl der Schriftart, des Aussehens und der Position der Figuren und einer visuellen Methode, um anzuzeigen, wo Beispiele beginnen und endeten. Vieles davon entsprach den Merkmalen traditioneller Texte. Troy dachte absichtlich an etwas "Neues", das wir tun könnten, was andere Texte nicht tun würden, was uns dazu veranlasste, den Notizenbereich am Ende jeder Seite einzufügen.

Als ich meinen interessierten Kollegen mitteilte, dass ich Kursfreigaben zur Leitung des Projekts erhalten hatte, gratulierten mir die meisten und verabschiedeten sich höflich. Ich verstand, warum sie nicht teilnehmen konnten: Sie waren genauso beschäftigt wie ich. Der große Unterschied zwischen uns war, dass ich zwei Kursveröffentlichungen hatte und sie nicht.

Im Frühjahr 2012 machte ich große Fortschritte, indem ich Kapitel 1 bis Kapitel 6 schrieb. Troy half dabei, zwei Abschnitte zu schreiben, und Brian Heinold steuerte auch einige Abschnitte bei. Jennifer Bowen redigierte das Material, machte Vorschläge und machte sehr geschätzte Komplimente. Im Herbst 2012 nutzte VMI diese abgeschlossenen Kapitel, um unseren Calc-1-Kurs zu unterrichten, und ich schrieb weiter. Im Frühjahr 2013 hatte ich das gesamte Material zu Calc 2 fertiggestellt und wir unterrichteten jetzt sowohl Calc 1 als auch 2 mit unserem neu abgeschlossenen Text.

Ich hatte auch eine weitere Kursfreigabe erhalten. Mein Dekan und der VMI-Vorstand waren beeindruckt von dem Erreichten und gaben mir die zusätzliche Kursfreigabe, um mir beim Abschluss zu helfen. Im Frühjahr 2013 habe ich also einen Großteil des Calc-3-Materials geschrieben. Aber nicht alles. Ich schrieb einen Teil des Sommers weiter, ging aber in den Herbst 2013 ohne einen vollständigen Calc-3-Text. Wir als Fachbereich waren entschlossen, diesen Text zu verwenden, da unsere Studenten zu diesem Zeitpunkt noch kein anderes Buch über Infinitesimalrechnung kannten. Also habe ich mit 3 Kollegen Calc 3 unterrichtet und wie wild geschrieben, den Text "just in time" fertiggestellt. Meine Kollegen waren in dieser Zeit unglaublich geduldig und hilfsbereit. Dimplekumar Chalishajar steuerte auch einige Abschnitte bei.

Irgendwo während des Schreibens wurde ohne förmliche Erklärung klar, dass dies "mein" Text war. Es sollte eine gemeinsame Anstrengung sein, bei der viele Autoren Beiträge leisteten und sich gegenseitig kritisieren, während wir gemeinsam an der Vervollständigung eines Textes arbeiteten. (Viele "c"-Wörter in diesem Satz.) So ist es nicht geworden. APEX Calculus war mein Buch und die Mitwirkenden waren . zu meiner Arbeit beitragen. Ich habe die von ihnen eingereichten Abschnitte, manchmal stark, ohne ihre Sorgfalt oder Besorgnis bearbeitet. Sie schrieben, um mir zu helfen (und sie taten es!), um nicht offiziell als "Koautor" bekannt zu sein.

APEX Calculus Version 1.0 wurde für den Herbst 2013 "veröffentlicht", bestehend aus den Kapiteln 1 - 8. Während dieses akademischen Jahres habe ich die Kapitel 9 - 13 abgeschlossen und auch Material zu den zuvor abgeschlossenen Abschnitten hinzugefügt, insbesondere den Kapiteln 6 und 8. I auch viele Tippfehler behoben, die meine Kollegen gefunden haben. Im Herbst 2014 wurde Version 2.0 veröffentlicht Version 3.0 wurde im Juni 2015 veröffentlicht Version 4.0 wurde im Mai 2018 veröffentlicht.

APEX Calculus wurde von mir, Gregory Hartman, Professor für Angewandte Mathematik am Virginia Military Institute geschrieben. Beiträge wurden von Troy Siemers und Dimplekumar Chalishajar vom VMI und Brian Heinold von der Mount Saint Mary's University geleistet. Jennifer Bowen vom College of Wooster hat den Text herausgegeben. Es ist urheberrechtlich geschützt unter der Creative Commons Attribution - Noncommercial (BY-NC) License.

Danke: Danke an Troy, Brian und Dimple für ihre Beiträge und an Jennifer dafür, dass sie so viel Material gelesen hat. Danke an Troy, Lee Dewald, Dan Joseph, Meagan Herald, Bill Lowe und andere Fakultäten des VMI, die mir aufgrund ihrer Erfahrungen mit dem Lehren nach Texten zahlreiche Anregungen und Korrekturen gegeben haben. (Besonderer Dank an Troy, Lee & Dan dafür, dass sie Calc III unterrichtet haben, während ich das Calc III-Material geschrieben habe.) dafür, dass sie ihre Zeit damit verbringen. Ein ganz besonderer Dank geht an Kristi Brown und Paul Janiczek, die diese Gelegenheit weit über meine Erwartungen hinaus genutzt haben, jede Lösung akribisch überprüft und jedes Beispiel sorgfältig gelesen haben. Ihre Kommentare waren außerordentlich hilfreich. Ich bin froh, dass so viele Menschen ihre Zeit investieren, um dieses Buch besser zu machen.


Grundlagen der Matrixanalyse mit Anwendungen

Bereitstellung einer umfassenden Abdeckung der Matrixtheorie aus geometrischer und physikalischer Perspektive, Grundlagen der Matrixanalyse mit Anwendungen beschreibt die Funktionalität von Matrizen und ihre Fähigkeit, viele praktische Anwendungen zu quantifizieren und zu analysieren. Das von einem hochqualifizierten Autorenteam verfasste Buch stellt Werkzeuge zur Matrixanalyse vor und wird mit umfangreichen Beispielen und Softwareimplementierungen illustriert.

Beginnend mit einer detaillierten Darstellung und Überprüfung der Gauss-Eliminationsmethode halten die Autoren das Interesse der Leser mit erfrischenden Diskussionen über die Themen Operationszählung, Computergeschwindigkeit und -genauigkeit, komplexe arithmetische Formulierungen, Parametrisierung von Lösungen und die logischen Fallen, die eine strikte Einhaltung diktieren, aufrecht Gauss&rsquos-Anweisungen. Das Buch kündigt die Matrixformulierung sowohl als Notation als auch als Quantifizierer physikalischer Operationen wie Drehungen, Projektionen, Reflexionen und der Gauß-Reduktionen an. Inverse und Eigenvektoren werden zunächst in einem Operatorkontext visualisiert, bevor sie rechnerisch adressiert werden. Die Theorie der kleinsten Quadrate wird in all ihren Erscheinungsformen erläutert, einschließlich Optimierung, Orthogonalität, Rechengenauigkeit und sogar Funktionstheorie. Grundlagen der Matrixanalyse mit Anwendungen verfügt außerdem über:

  • Neuartige Ansätze zur Erläuterung der QR-, Singulärwert-, Schur- und Jordan-Zerlegung und ihrer Anwendungen
  • Abdeckung der Rolle der Matrixexponentialfunktion bei der Lösung linearer Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten
  • Kapitel-für-Kapitel-Zusammenfassungen, Wiederholungsprobleme, technische Schreibübungen, ausgewählte Lösungen und Gruppenprojekte, um das Verständnis der vorgestellten Konzepte zu unterstützen

Grundlagen der Matrixanalyse mit Anwendungen ist ein hervorragendes Lehrbuch für Bachelor-Studiengänge in Linearer Algebra und Matrixtheorie für Studierende der Fächer Mathematik, Ingenieurwesen und Naturwissenschaften. Das Buch ist auch ein zugängliches Nachschlagewerk für Leser, die nach Klärung der Feinheiten der Kinematik, Schaltungstheorie, Regelungstheorie, Computerstatistik und numerischen Algorithmen suchen.


Testzusammenfassung/Überprüfungsblätter und Testlösungen

  1. Definiere diese Begriffe in deinen eigenen Worten: Stichprobenraum , Verteilungsfunktion , die Wahrscheinlichkeit von ( E ) .
  2. Beschreibe was in deinen eigenen Worten was die Bedingungen 1 und 2 der Definition 1.2 aussagen.
  3. Beschreibe was in deinen eigenen Worten was die Eigenschaften 1, 2 und 5 von Theorem 1.1 sagen.
  4. Was ist eine Gleichverteilung?
  5. Mit welchen Problemen müssen wir uns befassen, wenn wir einen unendlichen Probenraum haben?
  6. Reflexion: Sagen Sie mir mindestens eine Frage, die Sie haben, oder mindestens eine Sache, die Sie in Bezug auf diesen Abschnitt unklar fanden.
  7. Versuchen Sie diese Aufgaben (beziehen Sie Ihre Arbeit in die Aufgabe ein): Übungen 1.2.4-5
  1. Wie ist der allgemeine Ansatz in den Beispielen 2.2, 2.3, 2.4 und 2.6? (D.h. was haben diese Beispiele gemeinsam?)
  2. Was ist Bertrands Paradoxon? Wie lässt sich dieses Paradox auflösen?
  3. Was ist rnd?
  4. Schreiben Sie Pseudocode (oder eine andere Art von Lösungsskizze) für Aufgabe 2.1.1 aus.
  1. Was ist der Unterschied zwischen einer Dichtefunktion und einer Verteilungsfunktion?
  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ein einzelnes Ergebnis eintritt?
  3. Wie unterscheidet das Buch zwischen einigen der verschiedenen Verwendungen der Wortverteilung?
  4. Was ist die gedächtnislose Eigenschaft der Exponentialverteilungsfunktion?
  5. Versuchen Sie diese Aufgabe (beziehen Sie Ihre Arbeit in die Aufgabe ein): Übung 2.2.4(b).
  1. Definiere was eine Permutation ist in deinen eigenen Worten.
  2. Was ist ein Fixpunkt in einer Permutation?
  3. Was nehmen wir bei der Erstellung eines Baumdiagramms über die gegenseitige Unzusammenhängen an?
  4. Was ist das Geburtstagsproblem?
  5. Was ist eine Derangement und in welchen Kontexten/Anwendungen treten sie in diesem Abschnitt auf?
  6. Reflexion: Sagen Sie mir mindestens eine Frage, die Sie haben, oder mindestens eine Sache, die Sie in Bezug auf diesen Abschnitt unklar fanden. (Alles oder nichts sind keine akzeptablen Antworten.)
  7. Versuchen Sie diese Aufgabe (beziehen Sie Ihre Arbeit in die Aufgabe ein): Übung 3.1.2.
  1. Wie hängen Binomialkoeffizienten mit dem Pascalschen Dreieck zusammen?
  2. Definieren Sie Bernoulli-Prüfungen in Ihren eigenen Worten.
  3. Gib ein Beispiel (nicht aus dem Buch) eines Bernoulli-Versuchsprozesses.
  4. Nennen Sie eine echte Anwendung eines Galton-Boards.
  5. Reflexion: Sagen Sie mir mindestens eine Frage, die Sie haben, oder mindestens eine Sache, die Sie in Bezug auf diesen Abschnitt unklar fanden. (Alles oder nichts sind keine akzeptablen Antworten.)
  6. Versuchen Sie diese Aufgaben (beziehen Sie Ihre Arbeit in die Aufgabe ein): Übung 3.2.1(a)(b).
  1. Was ist ein Riffle-Shuffle?
  2. Was ist ein ein-Mischen?
  3. Was ist ein Unshuffle (manchmal auch als inverses Shuffle bezeichnet)?
  4. Wie wird die Zufälligkeit in diesem Abschnitt gemessen?
  5. Wie oft muss ein Deck nach den Ergebnissen in diesem Abschnitt ungefähr gemischt werden, bevor es fast zufällig wird?
  6. Was ist ein Faro-Shuffle? (Sie müssen für dieses Buch wahrscheinlich außerhalb des Buches gehen. Und mit außerhalb des Buches meine ich das Internet oder jemanden, der diesen Kurs letztes Jahr besucht hat.)
  7. Reflexion: Sagen Sie mir mindestens eine Frage, die Sie haben, oder mindestens eine Sache, die Sie in Bezug auf diesen Abschnitt unklar fanden. (Alles oder nichts sind keine akzeptablen Antworten.)

Bonus: Lernen Sie am Ende des Semesters, wie man einen Faro-Shuffle macht (zeigen Sie es mir bis zum letzten Unterrichtstag) und erhalten Sie einen Bonus von 2% auf das Finale.

  1. Definieren Sie in Ihren eigenen Worten die bedingte Wahrscheinlichkeit.
  2. Verwenden Sie diesen Rechner, um Ihre Lebensdauer zu schätzen (Sie müssen keine korrekten Werte eingeben, wenn Sie dies nicht möchten):
    https://www.ssa.gov/OACT/population/longevity.html
    Geben Sie eine bedingte Anweisung an, die auf einer der Zeilen in den Ergebnissen basiert (die Informationen werden nicht in Bezug auf die Wahrscheinlichkeit angegeben, aber Sie können immer noch etwa so bleiben: Vorausgesetzt, dass [bla passiert] kann ich [bla, das folgt] erwarten.
  3. Erkläre in eigenen Worten, warum (P(F|E)=dfrac) (d. h. erklären, wie es abgeleitet wurde).
  4. Was ist eine Bayes-Wahrscheinlichkeit?
  5. Was sind voneinander unabhängige Ereignisse?
  6. Wofür kann die Formel von Bayes verwendet werden? Geben Sie mindestens zwei Bewerbungen ab.
  7. Reflexion: Sagen Sie mir mindestens eine Frage, die Sie haben, oder mindestens eine Sache, die Sie in Bezug auf diesen Abschnitt unklar fanden. (Alles oder nichts sind keine akzeptablen Antworten.)
  8. Versuchen Sie diese Aufgabe (beziehen Sie Ihre Arbeit in die Aufgabe ein): Übung 4.1.4(a), und versuchen Sie es mit der bedingten Wahrscheinlichkeitsformel.
  1. Listen Sie die sieben Verteilungsfunktionen auf, die in diesem Abschnitt behandelt werden.
  2. Geben Sie mindestens eine Anwendung von jeder der sieben Verteilungsfunktionen.
  3. Was ist der Unterschied zwischen der Binomialverteilung und der negativen Binomialverteilung? (D.h. in welchen Szenarien würden wir das eine anstelle des anderen verwenden?)
  4. Was ist der Ursprung der Benford-Verteilung?
  5. Reflexion: Sagen Sie mir mindestens eine Frage, die Sie haben, oder mindestens eine Sache, die Sie in Bezug auf diesen Abschnitt unklar fanden. (Seien Sie genau, alles oder nichts sind nicht akzeptable (und wahrscheinlich falsche) Antworten.)
  6. Versuchen Sie diese Aufgaben (beziehen Sie Ihre Arbeit in die Aufgabe ein): Übungen 5.1.7(a)(b) und 38(b).
  1. Geben Sie die Formeln und eine kurze Beschreibung der folgenden Dichten an: Continuous Uniform, Exponential, Gamma und Normal. (Dies sind die Teile des Abschnitts, auf die wir uns konzentrieren werden.)
  2. Auf welche diskrete Verteilung bezieht sich die exponentielle Dichtefunktion?
  3. Auf welche Dichtefunktion bezieht sich die Binomialverteilung?
  4. Reflexion: Sagen Sie mir mindestens eine Frage, die Sie haben, oder mindestens eine Sache, die Sie in Bezug auf diesen Abschnitt unklar fanden. (Seien Sie genau, alles oder nichts sind nicht akzeptable (und wahrscheinlich falsche) Antworten.)
  5. Wie wird Satz 5.1 für Simulationen verwendet?
  1. Definieren Sie in Ihren eigenen Worten den Erwartungswert.
  2. Was bedeutet es, wenn eine Reihe absolut konvergiert? (Sie müssen möglicherweise in Ihr Rechenbuch zurückblicken.)
  3. Wie berechnen sie ( E(X)approx -.0526 ) in Beispiel 6.13?
  4. Geben Sie in Ihren eigenen Worten eine informelle Definition von Varianz an.
  5. Wie groß ist die Varianz einer Summe zweier unabhängiger Variablen?
  6. Was ist die Standardabweichung und wie hängt sie mit dem Erwartungswert zusammen?
  7. Reflexion: Sagen Sie mir mindestens eine Frage, die Sie haben, oder mindestens eine Sache, die Sie in Bezug auf diesen Abschnitt unklar fanden. (Seien Sie genau, alles oder nichts sind nicht akzeptable (und wahrscheinlich falsche) Antworten.)

Hier ist eine Auflistung einiger Kontexte, in denen wir Hinweise auf wahrscheinlichkeitstheoretische Ereignisse in der Bibel finden. Bitte nehmen Sie sich vor dem Unterricht Zeit, um diese Passagen durchzulesen:

  • In der Anbetung: Levitikus 16:6-10.
  • Aufteilung des Landes: Numeri 26:52-56, 33:54, 34:13 Josua 14:1-5, 18:8-10 1. Chronik 6:54ff. Jesaja 34:16-17.
  • In Rechtsfragen: Numeri 36:1-4 Sprüche 18:18.
  • Levitische Pflichten bestimmen: 1. Chronik 24:5ff., 25:8ff., 26:13ff. Nehemia 10:34 Obadja 11 Lukas 1:5-9.
  • Feststellung der Schuld und in Bezug auf das Gericht: Josua 7:10-15 1. Samuel 14:36-46 (Urim und Thummim werden auch an anderer Stelle erwähnt) Jona 1:7-10 Joel 3:1-3 Nahum 3:10.
  • Auswahl von Leitern: 1 Samuel 10:20-24.
  • Im Ursprung des Purimfestes: Esther 3:7 und Esther 9:20-32.
  • Beim Tod Jesu: Psalm 22:16-18 Matthäus 27:35 Markus 15:24 Lukas 23:34 Johannes 19:23-24.
  • Um den Ersatz von Judas zu bestimmen: Apostelgeschichte 1:23-26.
  • In Bezug auf Gottes Allwissenheit: Psalm 16:5-6 Sprüche 16:33.
  1. Geben Sie für jeden dieser Begriffe eine kurze Definition an: Vektor, Matrix, Skalar und Transponieren.
  2. Was misst das Punktprodukt?
  3. Ist das Kreuzprodukt kommutativ?
  4. Ist das Kreuzprodukt assoziativ?
  5. Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 ist, wie groß ist dann der Winkel zwischen ihnen? (Hinweis: Siehe Satz 2.4.)
  6. Wenn das Kreuzprodukt zweier Vektoren 0 ist, wie groß ist dann der Winkel zwischen ihnen? (Hinweis: Siehe Satz 2.8.)
  7. Geben Sie die beiden in diesen Abschnitten erwähnten Versionen der Dreiecksungleichung an (eine war für Größen und eine für Punktprodukte, nicht beide werden explizit als Dreiecksungleichung bezeichnet).
  8. Überprüfen Sie, dass beide Versionen der Dreiecksungleichung gelten, wenn sie auf die Vektoren (mathbf

    =langle 1,-2,3 angle) und (mathbf=langle -4,5,6 angle).

  9. Visuell, was bedeutet ( ext_Q( extbf

    )) vertreten?

  10. Die Größe des Kreuzprodukts sagt uns was über welche geometrische Form? (D.h., was ist die Form und was sagt uns das Kreuzprodukt darüber?)
  1. Wie ist (mathbf

    imesmathbf) orientiert bezüglich (mathbf

    ) und (mathbf)?

  2. Ist das Kreuzprodukt kommutativ?
  3. Ist das Kreuzprodukt assoziativ?
  4. Was bedeutet es, wenn ein Set unter einer Operation geschlossen wird?
  5. Sind die Vektoren (mathbf

    =langle 1,-2 angle) und (mathbf=langle -2,5 angle) linear unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort kurz.

  6. Was bringt der Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsprozess?
  1. Ist (left(mathbf

    ^Tmathbf ight)^T=mathbf^Tmathbf

    )? Erklären/zeigen Sie die Arbeit für Ihre Antwort.

  2. Ist die Matrixaddition kommutativ?
  3. Ist die Matrixaddition assoziativ?
  4. Was sind die drei elementaren Zeilenoperationen?

Sehen Sie sich mindestens eines davon an:

    oder 1972er Version oder nicht-klicken-wenn-die-80er-erschrecken-Sie-Version. (erstes Musikvideo im Weltraum). .
  1. Definieren Sie in Ihren eigenen Worten eine Markov-Kette .
  2. Was bedeuten die Einträge in der Übergangsmatrix?
  3. Was ist eine reguläre Markov-Kette?
  4. Was ist der fundamentale Grenzwertsatz?
  5. Welche Bedeutung hat der fundamentale Grenzwertsatz?
  6. Betrachten Sie die Übergangsmatrix [A=egin.1 & .4 & .5 .5 & 0 & .5 .4 & .6 & 0end.] Was ist die kleinste Potenz dieser Matrix, die einen stationären/unabhängigen Zustand ergibt? Sie können Mathematica verwenden, um dabei zu helfen, und Sie müssen nur auf sechs Dezimalstellen (die angezeigte Standardzahl) achten.

Die vier fundamentalen Unterräume

Laden Sie das Video von iTunes U oder dem Internetarchiv herunter.

OK, hier ist die zehnte Vorlesung in Linearer Algebra. Zwei wichtige Dinge, die Sie in diesem Vortrag tun sollten.

Eine besteht darin, einen Fehler aus Lektion neun zu korrigieren.

Die Tafel mit diesem schrecklichen Fehler ist also immer noch bei uns.

Und zweitens, das Wichtigste, was Sie tun müssen, ist, Ihnen etwas über die vier Unterräume zu erzählen, die mit einer Matrix geliefert werden.

Wir haben zwei Unterräume gesehen, den Spaltenraum und den Nullraum.

Zuallererst, und das ist eine großartige Möglichkeit,

OK. Rekapitulieren und korrigieren Sie die vorherige Vorlesung – Sie erinnern sich also, dass ich gerade R^3 gemacht habe. Ich hätte kein einfacheres Beispiel als R^3 nehmen können. Und ich habe die Standardbasis aufgeschrieben.

Die Basis – die offensichtliche Basis für den gesamten dreidimensionalen Raum.

Und dann wollte ich klarstellen, dass es nichts Besonderes gab, nichts an dieser Basis, was eine andere Basis nicht haben könnte.

Es könnte eine lineare Unabhängigkeit haben, es könnte einen Raum überspannen.

Es gibt viele andere Basen.

Also begann ich mit diesen Vektoren, eins eins zwei und zwei zwei fünf, und die waren unabhängig.

Und dann sagte ich, drei drei sieben würde nicht reichen, weil drei drei sieben die Summe davon ist.

Also habe ich in meiner Unschuld drei drei acht eingesetzt.

Ich dachte mir, wenn drei drei sieben im Flugzeug ist, ist es - was ich weiß, es ist mit diesen beiden im Flugzeug, dann wahrscheinlich drei drei acht ein bisschen außerhalb des Flugzeugs und es ist unabhängig und es gibt eine Grundlage.

Aber nach dem Unterricht sagt mir ein Schüler zu meinem Bedauern: "Moment mal, dieser dritte Vektor, drei drei acht, ist nicht unabhängig." Und warum hat sie das gesagt?

Sie brauchte nicht wirklich die Zeit, um herauszufinden, welche Kombination aus dieser und dieser hier drei drei acht ergibt.

Mit anderen Worten, sie schaute nach vorne, weil sie sagte, warte mal, wenn ich mir diese Matrix ansehe, ist sie nicht umkehrbar.

Diese dritte Spalte kann nicht unabhängig von den ersten beiden sein, denn wenn ich mir diese Matrix ansehe, hat sie zwei identische Zeilen.

Seine Reihen sind offensichtlich abhängig.

Und das macht die Spalten abhängig.

Wenn ich mir die Matrix A mit diesen drei Spalten ansehe, können diese drei Spalten nicht unabhängig sein, da diese Matrix nicht invertierbar ist, weil sie zwei gleiche Zeilen hat.

Und der heutige Vortrag wird zum Schluss kommen, dem großen Schluss, der den Spaltenraum mit dem Zeilenraum verbindet.

Das sind also – der Zeilenraum wird jetzt ein weiterer meiner grundlegenden Unterräume.

Der Zeilenabstand dieser Matrix oder dieser -- nun, der Zeilenabstand dieser Matrix ist in Ordnung, aber der Zeilenabstand dieser Matrix, ich schaue auf die Zeilen der Matrix -- oh, sowieso, ich' ll haben zwei gleiche Zeilen und der Zeilenraum ist nur zweidimensional.

Der Rang der Matrix mit diesen Spalten beträgt nur zwei.

Also nur zwei dieser Spalten, Spalten können auch unabhängig sein.

Die Zeilen sagen mir etwas über die Spalten aus, also etwas, das ich hätte bemerken sollen und es nicht bemerkt habe.

Lassen Sie mich nun diese vier fundamentalen Unterräume auf den Punkt bringen.

Hier sind also die vier fundamentalen Unterräume.

Dies ist wirklich das Herzstück dieser Herangehensweise an die lineare Algebra, diese vier Unterräume zu sehen, wie sie miteinander verbunden sind.

Und jetzt kommt der Zeilenraum, etwas Neues.

Der Zeilenraum, was ist da drin?

Es sind alle Kombinationen der Zeilen.

Wir wollen ein Leerzeichen, also müssen wir alle Kombinationen nehmen und beginnen mit den Zeilen.

Die Zeilen überspannen also den Zeilenraum.

Sind die Zeilen eine Basis für den Zeilenraum?

Die Zeilen sind eine Basis für den Zeilenraum, wenn sie unabhängig sind, aber wenn sie abhängig sind, wie in diesem Beispiel, meinem Fehler vom letzten Mal, sind sie es nicht – diese drei Zeilen sind keine Basis.

Der Zeilenraum würde nicht -- wäre nur zweidimensional.

Ich brauche nur zwei Reihen als Basis.

Also der Zeilenraum, was ist jetzt drin?

Es sind alle Kombinationen der Reihen von A.

Alle Kombinationen der Reihen von A.

Aber ich arbeite nicht gerne mit Zeilenvektoren.

Alle meine Vektoren waren Spaltenvektoren.

Ich möchte bei Spaltenvektoren bleiben.

Wie komme ich zu Spaltenvektoren aus diesen Zeilen?

Also wenn das für dich in Ordnung ist, werde ich das transponieren

Matrix. Ich, ich werde sagen, alle Kombinationen der Spalten von A transponieren.

Und das erlaubt mir, die bequeme Notation, den Spaltenraum von A zu transponieren, zu verwenden.

Nichts, keine Mathematik ging dort weiter.

Wir haben gerade ein paar Vektoren bekommen, die sich hinlegten, um aufzustehen.

Aber es bedeutet, dass wir diesen Spaltenraum von A transponieren können, das sagt mir in einer schönen Matrix-Notation, was der Zeilenraum ist.

OK. Und schließlich ist noch ein Nullraum.

Der vierte Fundamentalraum ist der Nullraum von A transponiert.

Der vierte Typ ist der Nullraum von A transponiert.

Und natürlich ist meine Notation N von A transponiert.

Das ist der Nullraum von A transponiert.

Eh, wir haben keinen perfekten Namen für diesen Raum als a -- in Verbindung mit A, aber unser üblicher Name ist der linke Nullraum, und ich werde Ihnen gleich zeigen, warum.

So oft nenne ich dies – nur um dieses Wort zu schreiben – den linken Nullraum von A.

So wie wir den Zeilenraum von A haben und ihn auf den Spaltenraum von A umstellen, transponieren wir also diesen Raum von Jungs l- den ich den linken Nullraum von A nenne, aber die gute Notation ist, es ist die Null Raum von A transponieren.

Was, in welchem ​​großen Raum sind sie - wenn A m mal n ist?

In diesem Fall, dem Nullraum von A, was befindet sich im Nullraum von A?

Vektoren mit n Komponenten, Lösungen zu A x gleich Null.

Der Nullraum von A liegt also in R^n.

Was ist im Spaltenraum von A?

Wie viele Komponenten haben diese Säulen?

m. Dieser Spaltenraum ist also in R^m.

Was ist mit dem Spaltenraum von A transponieren, die nur eine verschleierte Art sind, die Zeilen von A auszudrücken?

Die Zeilen von A in dieser drei mal sechs Matrix haben sechs Komponenten, n Komponenten.

Der Spaltenraum ist in R^n.

Und der Nullraum von A transponiert, ich sehe, dass dieser vierte Raum bereits an zweiter Stelle steht, wissen Sie, Bürger zweiter Klasse und er verdient es nicht.

Es ist, es sollte da sein, es ist da und sollte nicht gequetscht werden.

Der Nullraum von A transponiert -- nun, wenn der Nullraum von A Vektoren mit n Komponenten hätte, liegt der Nullraum von A transponiert in R^m.

Ich möchte ein Bild von den vier Räumen zeichnen.

OK. Hier sind die vier Räume.

OK, lassen Sie mich den n-dimensionalen Raum auf diese Seite stellen.

Welches waren dann die Unterräume in R^n?

Der Nullraum war und der Zeilenraum war.

Hier haben wir also die -- kann ich das Bild des Zeilenraums machen?

Und kann ich ein solches Bild vom Nullraum machen?

Das soll nur eine Skizze sein, um Sie daran zu erinnern, dass sie darin enthalten sind – was Sie wissen, wie – welche Art von Vektoren sind darin enthalten?

Vektoren mit n Komponenten.

Hier drüben, im Inneren, bestehend aus Vektoren mit m Komponenten, befindet sich der Spaltenraum und das, was ich den Nullraum von A Transpose nenne.

Das sind die mit m Komponenten.

Diese Räume zu verstehen ist unsere, ist jetzt unsere Aufgabe.

Denn durch das Verständnis dieser Räume wissen wir alles über diese Hälfte der linearen Algebra.

Was meine ich damit, diese Räume zu verstehen?

Ich würde gerne eine Grundlage für diese Räume wissen.

Wie würde ich für jeden dieser Räume eine Basis schaffen – konstruieren?

Welcher systematische Weg würde eine Grundlage schaffen?

Und was ist ihre Dimension?

OK. Also muss ich für jeden der vier Räume diese Fragen beantworten.

Und dann - was eine etwas lange Antwort hat.

Und was ist die Dimension, die nur eine Zahl ist, hat also eine wirklich kurze Antwort.

Darf ich Ihnen zuerst die kurze Antwort geben?

Ich sollte es nicht tun, aber hier ist es.

Ich kann Ihnen die Dimension des Spaltenraums sagen.

Lassen Sie mich mit diesem Typen beginnen.

Die Dimension des Spaltenraums ist der Rang,

R. Dazu kamen wir eigentlich am Ende der letzten Vorlesung, aber nur als Beispiel.

Also ich muss wirklich sagen, OK, was ist da los.

Ich sollte eine Basis erzeugen und dann schaue ich einfach, wie viele Vektoren ich in dieser Basis benötige, und die Antwort ist r.

Eigentlich mache ich das, bevor ich zu den anderen komme.

Was ist eine Basis für den Spaltenraum?

Wir haben die ganze Arbeit der Zeilenreduzierung erledigt und die Pivot-Spalten identifiziert, diejenigen mit Pivots und diejenigen, die mit Pivots enden.

Aber jetzt bin ich - die Pivot-Spalten, die mich interessieren, Spalten von A, dem ursprünglichen A.

Und diese Pivot-Spalten gibt es r davon.

Wenn ich also diese Frage für den Spaltenraum beantworte, ist die Antwort eine Basis für die Pivot-Spalten und die Dimension ist der Rang r, und es gibt r Pivot-Spalten und alles großartig.

Diesen Raum verstehen wir ziemlich gut.

Ich muss wahrscheinlich ein wenig zurückgehen, um das zu sehen – um zu beweisen, dass dies eine richtige Antwort ist, aber Sie wissen, dass es die richtige Antwort ist.

Lassen Sie mich nun den Zeilenraum betrachten.

Soll ich Ihnen die Dimension des Zeilenraums mitteilen?

Jawohl. Bevor wir auch nur ein Beispiel machen, möchte ich Ihnen die Dimension des Zeilenraums nennen.

Der Zeilenraum und der Spaltenraum haben die gleiche Dimension.

Die Dimension des Spaltenraums von A transponiert – das ist der Zeilenraum – ist r.

Dass dieser Raum r-dimensional ist.

Das ist die Art von Erkenntnis, die in diesem Beispiel verwendet wurde.

Wenn dies die drei Spalten einer Matrix sind, lassen Sie mich sie zu den drei Spalten einer Matrix machen, indem ich nur einige Klammern lösche.

OK, das sind die drei Spalten einer Matrix.

Der Rang dieser Matrix, wenn ich mir die Spalten ansehe, war mir sowieso nicht klar.

Aber wenn ich mir die Reihen ansehe, ist es jetzt offensichtlich.

Der Zeilenraum dieser Matrix ist offensichtlich zweidimensional, denn ich sehe eine Basis für den Zeilenraum, diese Zeile und diese Zeile.

Und natürlich soll ich diese Typen genau genommen transponieren, sie zum Stehen bringen.

But the rank is two, and therefore the column space is two dimensional by this wonderful fact that the row space and column space have the same dimension.

And therefore there are only two pivot columns, not three, and, those, the three columns are dependent.

Now let me bury that error and talk about the row space.

Well, I'm going to give you the dimensions of all the spaces.

Because that's such a nice answer.

OK. So let me come back here.

So we have this great fact to establish, that the row space, its dimension is also the rank.

What about the null space?

What's a basis for the null space?

What's the dimension of the null space?

Let me, I'll put that answer up here for the null space.

Well, how have we constructed the null space?

We took the matrix A, we did those row operations to get it into a form U or, or even further.

We got it into the reduced form R.

And then we read off special solutions.

And every special solution came from a free variable.

And those special solutions are in the null space, and the great thing is they're a basis for it.

So for the null space, a basis will be the special solutions.

And there's one for every free variable, right?

For each free variable, we give that variable the value one, the other free variables zero.

We get the pivot variables, we get a vector in the -- we get a special solution.

So we get altogether n-r of them, because that's the number of free variables.

If we have r -- this is the dimension is r, is the number of pivot variables.

This is the number of free variables.

So the beauty is that those special solutions do form a basis and tell us immediately that the dimension of the null space is n -- I better write this well, because it's so nice -- n-r. And do you see the nice thing?

That the two dimensions in this n dimensional space, one subspace is r dimensional -- to be proved, that's the row space.

The other subspace is n-r dimensional, that's the null space.

And the two dimensions like together give n.

It's really copying the fact that we have n variables, r of them are pivot variables and n-r are free variables, and n altogether.

OK. And now what's the dimension of this poor misbegotten fourth subspace?

It's got to be m-r. The dimension of this left null space, left out practically, is m-r. Well, that's really just saying that this -- again, the sum of that plus that is m, and m is correct, it's the number of columns in A transpose.

A transpose is just as good a matrix as A.

It just happens to be n by m.

It happens to have m columns, so it will have m variables when I go to A x equals 0 and m of them, and r of them will be pivot variables and m-r will be free variables.

A transpose is as good a matrix as A.

It follows the same rule that the this plus the dimension -- this dimension plus this dimension adds up to the number of columns.

And over here, A transpose has m columns.

OK. OK. So I gave you the easy answer, the dimensions.

Now can I go back to check on a basis?

We would like to think that -- say the row space, because we've got a basis for the column space.

The pivot columns give a basis for the column space.

Now I'm asking you to look at the row space.

And I -- you could say, OK, I can produce a basis for the row space by transposing my matrix, making those columns, then doing elimination, row reduction, and checking out the pivot columns in this transposed matrix.

But that means you had to do all that row reduction on A transpose.

It ought to be possible, if we take a matrix A -- let me take the matrix -- maybe we had this matrix in the last lecture.

OK. That, that matrix was so easy.

We spotted its pivot columns, one and two, without actually doing row reduction.

But now let's do the job properly.

So I subtract this away from this to produce a zero.

Subtracting that away leaves me minus 1 -1 0, right?

And subtracting that from the last row, oh, well that's easy.

Now I've -- the first column is all set.

The second column I now see the pivot.

And I can clean up, if I -- actually,

OK. Why don't I make the pivot into a 1. I'll multiply that row through by by -1, and then I have 1 1. That was an elementary operation I'm allowed, multiply a row by a number.

And now I'll do elimination.

Two of those away from that will knock this guy out and make this into a 1. So that's now a 0 and that's a

I'm seeing the identity matrix here.

What happened to its row space -- well, what happened -- let me first ask, just because this is, is -- sometimes something does happen.

The column space of R is not the column space of A, right?

Because 1 1 1 is certainly in the column space of A and certainly not in the column space of R.

Those row operations preserve the row space.

So the row, so the column spaces are different.

Different column spaces, different column spaces.

But I believe that they have the same row space.

I believe that the row space of that matrix and the row space of this matrix are identical.

They have exactly the same vectors in them.

Those vectors are vectors with four components, right?

They're all combinations of those rows.

Or I believe you get the same thing by taking all combinations of these rows.

And if true, what's a basis?

What's a basis for the row space of R, and it'll be a basis for the row space of the original A, but it's obviously a basis for the row space of R.

What's a basis for the row space of that matrix?

So a basis for the row -- so a basis is, for the row space of A or of R, is, is the first R rows of R.

Sometimes it's true for A, but not necessarily.

But R, we definitely have a matrix here whose row space we can, we can identify.

The row space is spanned by the three rows, but if we want a basis we want independence.

The row space is also spanned by the first two rows.

This guy didn't contribute anything.

And of course over here this 1 2 3 1 in the bottom didn't contribute anything.

So this, here is a basis. 1 0 1 1 and 0 1 1 0. I believe those are in the row space.

I know they're independent.

Why are they in the row space?

Why are those two vectors in the row space?

Because all those operations we did, which started with these rows and took combinations of them -- I took this row minus this row, that gave me something that's still in the row space.

When I took a row minus a multiple of another row, I'm staying in the row space.

The row space is not changing.

My little basis for it is changing, and I've ended up with, sort of the best basis.

If the columns of the identity matrix are the best basis for R^3 or R^n, the rows of this matrix are the best basis for the row space.

Best in the sense of being as clean as I can make it.

Starting off with the identity and then finishing up with whatever has to be in there.

Do you see then that the dimension is r?

For sure, because we've got r pivots, r non-zero rows.

We've got the right number of vectors, r.

They're in the row space, they're independent.

They are a basis for the row space.

And we can even pin that down further.

How do I know that every row of A is a combination?

How do I know they span the row space?

Well, somebody says, I've got the right number of them, so they must.

But let me just say, how do I know that this row is a combination of these?

By just reversing the steps of row reduction.

If I just reverse the steps and go from A -- from R back to A, then what do I, what I doing?

I'm starting with these rows, I'm taking combinations of them.

After a couple of steps, undoing the subtractions that I did before, I'm back to these rows.

So these rows are combinations of those rows.

Those rows are combinations of those rows.

The two row spaces are the same.

And the natural basis is this guy.

Is that all right for the row space?

The row space is sitting there in R in its cleanest possible form.

OK. Now what about the fourth guy, the null space of A transpose?

First of all, why do I call that the left null space?

So let me save that and bring that down.

So the fourth space is the null space of A transpose.

So it has in it vectors, let me call them y, so that A transpose y equals 0. If A transpose y equals 0, then y is in the null space of A transpose, of course.

So this is a matrix times a column equaling zero.

And now, because I want y to sit on the left and I want A instead of A transpose, I'll just transpose that equation.

Can I just transpose that?

On the right, it makes the zero vector lie down.

And on the left, it's a product, A, A transpose times y.

If I take the transpose, then they come in opposite order, right?

So that's y transpose times A transpose transpose.

But nobody's going to leave it like that.

That's -- A transpose transpose is just A, of course.

When I transposed A transpose I got back to A.

Now do you see what I have now?

I have a row vector, y transpose, multiplying A, and multiplying from the left.

That's why I call it the left null space.

But by making it -- putting it on the left, I had to make it into a row instead of a column vector, and so my convention is I usually don't do that.

I usually stay with A transpose y equals 0. OK.

And you might ask, how do we get a basis -- or I might ask, how do we get a basis for this fourth space, this left null space?

OK. I'll do it in the example.

The left null space is not jumping out at me here.

I know which are the free variables -- the special solutions, but those are special solutions to A x equals zero, and now I'm looking at A transpose, and I'm not seeing it here.

So -- but somehow you feel that the work that you did which simplified A to R should have revealed the left null space too.

And it's slightly less immediate, but it's there.

So from A to R, I took some steps, and I guess I'm interested in what were those steps, or what were all of them together.

I don't -- I'm not interested in what particular ones they were.

I'm interested in what was the whole matrix that took me from A to R.

Do you remember Gauss-Jordan, where you tack on the identity matrix?

So I, I'll do it above, here.

So this is now, this is now the idea of -- I take the matrix A, which is m by n.

In Gauss-Jordan, when we saw him before -- A was a square invertible matrix and we were finding its inverse.

Now the matrix isn't square.

But I'll still tack on the identity matrix, and of course since these have length m it better be m by m.

And now I'll do the reduced row echelon form of this matrix.

The reduced row echelon form starts with these columns, starts with the first columns, works like mad, and produces R.

Of course, still that same size, m by n.

And then whatever it did to get R, something else is going to show up here.

It's whatever -- do you see that E is just going to contain a record of what we did?

We did whatever it took to get A to become R.

And at the same time, we were doing it to the identity matrix.

So we started with the identity matrix, we buzzed along.

So we took some -- all this row reduction amounted to multiplying on the left by some matrix, some series of elementary matrices that altogether gave us one matrix, and that matrix is E.

So all this row reduction stuff amounted to multiplying by E.

It certainly amounted to multiply it by something.

And that something took I to E, so that something was E.

So now look at the first part, E A is R.

All I've said is that the row reduction steps that we all know -- well, taking A to R, are in a, in some matrix, and I can find out what that matrix is by just tacking I on and seeing what comes out.

Let's just review the invertible square case.

Because I was interested in it in chapter two also.

When A was square and invertible, I took A I, I did row, row elimination.

And what was the R that came out?

So in chapter two, in chapter two, R was I.

The row the, the reduced row echelon form of a nice invertible square matrix is the identity.

So if R was I in that case, then E was -- then E was A inverse, because E A is I.

Gut. That's, that was good and easy.

Now what I'm saying is that there still is an E.

It's not A inverse any more, because A is rectangular.

But there is still some matrix E that connected this to this -- oh, I should have figured out in advanced what it was.

I didn't -- I did those steps and sort of erased as I went -- and, I should have done them to the identity too.

I'll keep the identity matrix, like I'm supposed to do, and I'll do the same operations on it, and see what I end up

So I'm starting with the identity -- which I'll write in light, light enough, but -- OK.

I subtracted that row from that one and that row from that one.

OK, I'll do that to the identity.

So I subtract that first row from row two and row three.

Then I think I multiplied -- Do you remember?

I multiplied row two by minus one.

I subtracted two of row two away from row one.

Subtract two of this away from this.

That's minus one, two of these away leaves a plus 2 and 0. I believe that's E.

The way to check is to see, multiply that E by this A, just to see did I do it right.

So I believe E was -1 2 0, 1 -1 0, and -1 0 1. OK.

That's my E, that's my A, and that's R.

All I'm struggling to do is right, the reason I wanted this blasted E was so that I could figure out the left null space, not only its dimension, which I know -- actually, what is the dimension of the left null space?

What's the rank of the matrix?

And the dimension of the null -- of the left null space is supposed to be m-r. It's 3 -2, 1. I believe that the left null space is one dimensional.

There is one combination of those three rows that produces the zero row.

There's a basis -- a basis for the left null space has only got one vector in it.

It's here in the last row of E.

But we could have seen it earlier.

What combination of those rows gives the zero row? -1 of that plus one of that.

So a basis for the left null space of this matrix -- I'm looking for combinations of rows that give the zero row if I'm looking at the left null space.

For the null space, I'm looking at combinations of columns to get the zero column.

Now I'm looking at combinations of these three rows to get the zero row, and of course there is my zero row, and here is my vector that produced it. -1 of that row and one of that

OK. So in that example -- and actually in all examples, we have seen how to produce a basis for the left null space.

I won't ask you that all the time, because -- it didn't come out immediately from R.

We had to keep track of E for that left null space.

But at least it didn't require us to transpose the matrix and start all over again.

OK, those are the four subspaces.

The row space and the null space are in R^n.

Their dimensions add to n.

The column space and the left null space are in R^m, and their dimensions add to m.

So let me close these last minutes by pushing you a little bit more to a new type of vector space.

All our vector spaces, all the ones that we took seriously, have been subspaces of some real three or n dimensional space.

Now I'm going to write down another vector space, a new vector space.

Say all three by three matrices.

My matrices are the vectors.

You can put quotes around vectors.

Every three by three matrix is one of my vectors.

Now how I entitled to call those things vectors?

I mean, they look very much like matrices.

But they are vectors in my vector space because they obey

the rules. All I'm supposed to be able to do with vectors is add them -- I can add matrices -- I'm supposed to be able to multiply them by scalar numbers like seven -- well, I can multiply a matrix by And that -- and I can take combinations of matrices, I can take three of one matrix minus five of another

Matrix. And those combinations, there's a zero matrix, the matrix that has all zeros in it.

If I add that to another matrix, it doesn't change it.

If I multiply a matrix by one it doesn't change it.

All those eight rules for a vector space that we never wrote down, all easily satisfied.

So now we have a different -- now of course you can say you can multiply those matrices.

For the moment, I'm only thinking of these matrices as forming a vector space -- so I only doing A plus B and c times A.

I'm not interested in A B for now.

The fact that I can multiply is not relevant to th- to a vector space.

OK. So I have three by three matrices.

What's -- tell me a subspace of this matrix space.

Let me call this matrix space M.

That's my matrix space, my space of all three by three matrices.

What about the upper triangular matrices?

All, all upper triangular matrices.

The intersection of two subspaces is supposed to be a subspace.

We gave a little effort to the proof of that fact.

If I look at the matrices that are in this subspace -- they're symmetric, and they're also in this subspace, they're upper triangular, what do they look like?

Well, if they're symmetric but they have zeros below the diagonal, they better have zeros above the diagonal, so the intersection would be diagonal matrices.

That's another subspace, smaller than those.

How can I use the word smaller?

Well, I'm now entitled to use the word smaller.

I mean, well, one way to say is, OK, these are contained in those.

These are contained in those.

But more precisely, I could give the dimension of these spaces.

So I could -- we can compute -- let's compute it next time, the dimension of all upper -- of the subspace of upper triangular three by three matrices.

The dimension of symmetric three by three matrices.

The dimension of diagonal three by three matrices.

Well, to produce dimension, that means I'm supposed to produce a basis, and then I just count how many vecto- how many I needed in the basis.

Let me give you the answer for this one.

The dimension of this -- say, this subspace, let me call it D, all diagonal matrices.

The dimension of this subspace is -- as I write you're working it out -- three.

Because here's a matrix in this -- it's a diagonal matrix.

Better make it diagonal, let me put a seven there.

That was not a very great choice, but it's three diagonal matrices, and I believe that they're a basis.

I believe that those three matrices are independent and I believe that any diagonal matrix is a combination of those three.

So they span the subspace of diagonal matrices.

It's like stretching the idea from R^n to R^(n by n), three by three.

But the -- we can still add, we can still multiply by numbers, and we just ignore the fact that we can multiply two matrices together.


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XIAN-DA ZHANG is a Professor Emeritus at the Department of Automation, Tsinghua University, China. He was a Distinguished Professor at Xidian University, Xi’an, China, as part of the Ministry of Education of China and Cheung Kong Scholars Programme, from 1999 to 2002. His areas of research include intelligent signal and information processing, pattern recognition, machine learning and neural networks, evolutional computation, and correlated applied mathematics. He has published over 120 international journal and conference papers. The Japanese translation of his book “Linear Algebra in Signal Processing” (published in Chinese by Science Press, Beijing, in 1997) was published by Morikita Press, Tokyo, in 2008. He also authored the book “Matrix Analysis and Applications” (Cambridge University Press, UK, 2017).

“The book is of very high relevance for students, professors and researchers involved in artificial intelligence (AI), the work is also of very high relevance for the mathematics community in general since it addresses the importance of matrix algebra for the field of AI and how major approaches and state-of-the-art algorithms rely on matrix algebra.” (Carlos Pedro Gonçalves, zbMATH 1455.68010, 2021)


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