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2.5: Die Riemannsche Hypothese


Definition 2.19

Die Riemannsche Zetafunktion (zeta(z)) ist eine komplexe Funktion, die wie folgt definiert ist auf ({zinmathbb{C}|mbox{Re}z > 1})

[zeta(z) = sum_{n=1}^{infty} n^{-z} onumber]

Auf anderen Werten von (zinmathbb{C}) wird sie durch die analytische Fortsetzung dieser Funktion definiert (außer bei (z = 1), wo sie einen einfachen Pol hat).

Die analytische Fortsetzung ist vergleichbar mit dem Ersetzen von (e^x), wobei (x) reell ist, durch (e^z), wobei (z) komplex ist. Ein weiteres Beispiel ist die Reihe (sum_{j=0}^{infty} z^j). Diese Reihe divergiert für (|z| > 1). Aber als analytische Funktion kann sie auf allen (mathbb{C}) durch ((1-z)^{-1}) ersetzt werden, außer am Pol (z = 1), wo es divergiert.

Denken Sie daran, dass eine analytische Funktion eine differenzierbare Funktion ist. Äquivalent ist es eine Funktion, die lokal durch eine konvergente Potenzreihe gegeben ist. Wenn (f) und (g) zwei analytische Fortsetzungen zu einem Gebiet (U) einer Funktion (h) sind, die auf einem Gebiet (Vsubset U) gegeben ist, dann ist die Differenz ( fg) ist auf einigen (U) null und daher sind alle seine Potenzentwicklungen null und müssen daher auf der gesamten Region null sein. Daher sind analytische Konjugationen eindeutig. Deshalb sind sie sinnvoll. Weitere Details finden Sie zum Beispiel [4, 14].

Es ist üblich, das Argument der Zeta-Funktion mit (s) zu bezeichnen. Wir werden dies von hier an tun. Beachten Sie, dass (|n-s| = n-mbox{Re} s), also für (mbox{Re} s > 1) die Reihe absolut konvergent ist. An dieser Stelle sollte sich der Schüler erinnern – oder in [23] – die Tatsache, dass absolut konvergente Reihen beliebig umgeordnet werden können, ohne die Summe zu ändern. Dies führt zu folgendem Satz.

Vorschlag 2.20

Für (mbox{Re} s > 1) gilt

[sum_{n=1}^{infty} n-s = prod_{p prime} (1-p^{-s})^{-1} onumber]

Es gibt zwei gängige Beweise für diese Formel. Es lohnt sich, beides vorzustellen.

Nachweisen

Der erste Beweis verwendet den Fundamentalsatz der Arithmetik. Zuerst erinnern wir uns, dass geometrische Reihen

[(1-p^{-s})^{-1} = sum_{k=0}^{infty} p^{-ks} onumber]

um die rechte Hand des Euler-Produkts umzuschreiben. Das gibt

[prod_{p prime} (1-p^{-s})^{-1} = (sum_{k_1 = 0}^{infty} p_{1}^{-k_{1}s} ) (sum_{k_2 = 0}^{infty} p_{2}^{-k_{2}s}) (sum_{k_3 = 0}^{infty} p_{3}^{-k_{ 3}s}) onumber]

Terme neu ordnen ergibt

[dots = (p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}p_{3}^{k_{3}} dots)^{-s} onumber ]

Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik ist der Ausdruck ((p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}p_{3}^{k_{3}} dots)) durchläuft alle positiven ganzen Zahlen genau einmal. Somit erhalten wir beim erneuten Umordnen die linke Hand der Eulerschen Formel.

Der zweite Beweis, den Euler verwendet hat, verwendet eine Siebmethode. Diesmal beginnen wir mit der linken Hand des Euler-Produkts. Wenn wir (zeta) mit (2^{-s}) multiplizieren, erhalten wir genau die Terme mit (n) gerade zurück. So

[(1-2^{-s}) zeta(s) = 1+3^{-s}+5^{-s}+cdots = sum_{2 mid n} n^{-s } keine Nummer]

Anschließend multiplizieren wir diesen Ausdruck mit ((1-3^{-s})). Dadurch werden die verbleibenden Terme entfernt, wobei (n) ein Vielfaches von (3) ist. Daraus folgt schließlich

[(1-p_{l}^{-s}) dots (1-p_{1}^{-s}) zeta(s) = sum_{p_{1} mid n, cdots p_ {l} mid n} n^{-s} onumber]

Das im Eratosthenes-Sieb (Abschnitt 1.1) verwendete Argument dient nun dazu zu zeigen, dass auf der rechten Seite der letzten Gleichung alle Terme außer (1) verschwinden, wenn l gegen Unendlich geht. Daher tendiert die linke Hand zu 1, was den Satz impliziert.

Der wichtigste Satz über Primzahlen ist wahrscheinlich der folgende (ohne Beweis).

Figur 3. Links die Funktion (int_{2}^{x} mbox{ln} t dt) in Blau, (pi(x)) in Rot und (x/ mbox{ln }x) in grün. Rechts haben wir (int_{2}^{x} mbox{ln} t dt - x/mbox{ln} x) in Blau, (pi(x)- x/mbox {ln} x) in Rot.

Satz 2.21 (Primzahlensatz)

Sei (pi(x)) die Primzahlzählfunktion, dh: die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich (x > 2).

Dann

  1. (lim_{x ightarrowinfty}frac{pi(x)}{(x/mbox{ln}x)} = 1) und
  2. (lim_{x ightarrowinfty}frac{pi(x)}{int_{2}^{x} mbox{ln} t dt} = 1)

wobei (mbox{ln}) der natürliche Logarithmus ist.

Die erste Schätzung ist die einfachere zu beweisen, die zweite die genauere. In Abbildung 3 links haben wir für (xin[2,1000]) von oben nach unten die Funktionen (int_{2}^{x} mbox{ln} t dt) in Blau, (pi(x)) in Rot und (x/mbox{ln} x). In der Abbildung rechts erweitern wir den Definitionsbereich zu (xin [2, 100000]). und zeichnen Sie die Differenz dieser Funktionen mit (x/mbox{ln} x). Es wird nun klar, dass (int_{2}^{x} mbox{ln} t dt) tatsächlich eine viel bessere Näherung von (pi(x)) ist. Aus dieser Zahl könnte man versucht sein zu schließen, dass (int_{2}^{x} mbox{ln} t dt - pi(x)) immer größer oder gleich Null ist. Dies ist jedoch falsch. Es ist bekannt, dass es unendlich viele n gibt, für die (int_{2}^{x} mbox{ln} t dt - pi(x) < 0). Die erste solche (n) heißt Skewes-Zahl. Über diese Zahl ist nicht viel bekannt, außer dass sie weniger als 10317 beträgt.

Das vielleicht wichtigste offene Problem in der gesamten Mathematik ist das folgende. Es handelt sich um die analytische Fortsetzung von (zeta (s)) oben.

Vermutung 2.22 (Riemann-Hypothese)

Alle nicht-reellen Nullstellen von (zeta(s)) liegen auf der Geraden (mbox{Re} s = frac{1}{2})

In seinem einzigen Artikel über die Zahlentheorie [20] erkannte Riemann, dass die Hypothese es ihm ermöglichte, detaillierte Eigenschaften der Verteilung von Primzahlen in Bezug auf die Lage des nicht-reellen Nullpunkts von (zeta (S)). Diese völlig unerwartete Verbindung zwischen so unterschiedlichen Feldern – analytischen Funktionen und Primzahlen in (mathbb{N}-) sprach die Vorstellungskraft an und führte zu einem enormen Interesse am Thema. In weiteren Forschungen hat sich gezeigt, dass die Hypothese auch auf andere Bereiche der Mathematik bezogen ist, wie zum Beispiel die Abstände zwischen den Eigenwerten von zufälligen hermiteschen Matrizen [2] und sogar Physik [5, 6].


Referenzen für die Riemannsche Hypothese, die die beste Schranke für den Primzahlsatz ergibt giving

Welche Bücher behandeln den Beweis, dass die Riemannsche Hypothese der besten Fehlerschranke für den Primzahlsatz entspricht?

Mein Verständnis ist, dass die Riemann-Hypothese äquivalent zur besten Schranke des Primzahlsatzes ist. Von Koch (1901) bewies, dass die Riemann-Hypothese der "bestmöglichen" Schranke für den Fehler des Primzahlensatzes entspricht, aber Kochs Aufsatz ist auf Deutsch, ich konnte ihn nicht lesen.

Kann jemand Bücher oder englische Artikel empfehlen, die diesen Beweis abdecken?

Hat Schönfeld auch eine verbesserte Version dieses Arguments gegeben?


Die Riemannsche Hypothese

Träger des Beckenbach-Buchpreises der Mathematical Association of America im Jahr 2018!

Die Riemannsche Hypothese betrifft die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 &hellip Allgegenwärtig und fundamental in der Mathematik wie sie sind, ist sie wichtig und important Es ist interessant, so viel wie möglich über diese Zahlen zu wissen. Einfache Fragen wären: Wie verteilen sich die Primzahlen auf die positiven ganzen Zahlen? Wie viele Primzahlen haben 100 Stellen? Von 1.000 Stellen? Diese Fragen waren der Ausgangspunkt einer bahnbrechenden Arbeit von Bernhard Riemann aus dem Jahr 1859. Nebenbei formulierte Riemann in seinem Artikel seine heute berühmte Hypothese, die bisher noch niemand annähernd bewiesen hat: Alle nichttrivialen Nullstellen der Zetafunktion liegen auf die kritische Linie. Hinter diesem zunächst mysteriösen Satz verbirgt sich ein ganzes mathematisches Universum aus Primzahlen, unendlichen Folgen, unendlichen Produkten und komplexen Funktionen.

Das vorliegende Buch ist eine erste Erkundung dieser faszinierenden, unbekannten Welt. Es entstand aus einem Online-Kurs für mathematisch begabte Sekundarschüler, der von den Autoren dieses Buches an der Universität Amsterdam organisiert wurde. Ziel war es, die Studierenden mit anspruchsvoller Mathematik auf Hochschulniveau in Kontakt zu bringen und ihnen zu zeigen, worum es bei der Riemann-Hypothese geht und warum sie ein so wichtiges Problem in der Mathematik ist.


Die Riemannsche Hypothese

Der Ausschuss für die Liste der Grundbibliotheken schlägt vor, dass Mathematikbibliotheken dieses Buch für den Erwerb in Betracht ziehen.

Die Riemannsche Hypothese ist eines der schwierigsten und bekanntesten Probleme der Mathematik. Seine ursprüngliche Formulierung, die aus der Theorie der komplexen Funktionen stammt, behauptet, dass alle nicht-reellen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion einen Realteil gleich der Hälfte haben. Aufgrund ihrer technischen Formulierung ist es nicht einfach, über die Riemannsche Hypothese zu sprechen, ohne Kenntnisse der komplexen Funktionentheorie vorauszusetzen, aber wir können ihre Verbindungen zu anderen Zweigen der Mathematik nutzen. Einer der wichtigsten ist das Licht, das es auf die Verteilung der Primzahlen wirft. Und es gibt auch einige elementare Vermutungen, die sich als äquivalent zur Riemannschen Hypothese erweisen.

Das besprochene Buch, das auf diesem Niveau eines der ersten Bücher über die Riemann-Hypothese zu sein scheint, richtet sich an Gymnasiasten und Bachelor-Studenten. Es konzentriert sich hauptsächlich auf die sogenannte &ldquoexplizite Formel&rdquo, die die Verteilung der Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion mit der Verteilung der Primzahlen verbindet. Die Autoren bereiten die Bühne, indem sie grundlegende Fakten über komplexe Zahlen und Funktionen erklären und die Zeta-Funktion und ihre Produktformel vorstellen. Anschließend führen sie numerische Experimente mit der expliziten Formel durch und berichten sie in mehreren Abbildungen.

Das Buch besteht aus vier Kapiteln und vier Anhängen. Jedes Kapitel endet mit einigen Übungen. Die Autoren stellen Computerprogrammierungscode für Übungen mit rechnerischem Flair und vollständige Lösungen für den Rest bereit.

Das Buch wird Schülern und Lehrern helfen, sich mit der Riemannschen Hypothese vertraut zu machen. Es kann auch als Text in einem Minikurs verwendet werden. Der interessierte Leser wird hier jedoch nicht alles finden, was auf dieser Ebene über die Riemannsche Hypothese gesagt werden könnte. Ich glaube, dass in diesem Buch Platz für einige verwandte Themen gewesen wäre, einschließlich der vielen elementaren Aussagen, von denen bekannt ist, dass sie äquivalent zur Riemann-Hypothese sind, wie etwa eine Ungleichung, die die Summe von Teilerfunktionen und harmonischen Zahlen umfasst.

Mehdi Hassani ist Fakultätsmitglied der Fakultät für Mathematik der Zanjan University, Iran. Seine Interessengebiete sind die elementare, analytische und probabilistische Zahlentheorie.

1. Primzahlen
1.1 Primzahlen als elementare Bausteine
1.2 Primzahlen zählen
1.3 Verwenden des Logarithmus zum Zählen von Potenzen
1.4 Näherungswerte für
1.5 Der Primzahlensatz
1.6 Primzahlen logarithmisch zählen
1.7 Die Riemann-Hypothese &mdash einen Blick nach vorn
1.8 Zusätzliche Übungen

2. Die Zeta-Funktion
2.1 Unendliche Summen
2.2 Serie für bekannte Funktionen
2.3 Berechnung von (zeta(2))
2.4 Produktformel von Euler
2.5 Rückblick und Ausblick auf das Kommende
2.6 Zusätzliche Übungen

3. Die Riemannsche Hypothese
3.1 Eulers Entdeckung der Produktformel
3.2 Erweiterung des Definitionsbereichs der Zetafunktion
3.3 Ein Crashkurs zu komplexen Zahlen
3.4 Komplexe Funktionen und Potenzen
3.5 Die komplexe Zetafunktion
3.6 Die Nullstellen der Zetafunktion
3.7 Die Jagd nach Zeta-Nullen
3.8 Zusätzliche Übungen

4. Primzahlen und die Riemann-Hypothese
4.1 Riemannsche Funktionalgleichung
4.2 Die Nullstellen der Zetafunktion
4.3 Die explizite Formel für (psi(x))
4.4 Paarung der nicht-trivialen Nullen
4.5 Der Primzahlensatz
4.6 Ein Beweis des Primzahlensatzes
4.7 Die Musik der Primzahlen
4.8 Rückblick
4.9 Zusätzliche Übungen

Anhang A. Warum große Primzahlen nützlich sind
Anhang B. Computerunterstützung
Anhang C. Weiterführende Literatur und Surfen im Internet
Anhang D. Lösungen zu den Übungen


Deshalb interessieren wir uns für Versuche, die Riemann-Hypothese zu beweisen

Ein berühmtes mathematisches Rätsel steht wieder einmal im Rampenlicht.

Die Riemannsche Hypothese, aufgestellt 1859..

Ein berühmtes mathematisches Rätsel steht wieder einmal im Rampenlicht.

Die Riemann-Hypothese, die 1859 vom deutschen Mathematiker Bernhard Riemann aufgestellt wurde, ist eines der größten ungelösten Rätsel der Mathematik. Die Hypothese, die die Geheimnisse der Primzahlen entschlüsseln könnte, wurde nie bewiesen. Aber Mathematiker schwirren von einem neuen Versuch.

Der geschätzte Mathematiker Michael Atiyah hat die Hypothese in einem Vortrag beim Heidelberg Laureate Forum in Deutschland am 24. September gewagt. Trotz der Statur von Atiyah – der die beiden renommiertesten Auszeichnungen in Mathematik, die Fields-Medaille und den Abel-Preis – gewonnen hat – viele Forscher haben sich skeptisch gegenüber dem Beweis geäußert. Die Riemann-Hypothese bleibt also offen.

Lassen Sie uns aufschlüsseln, was die Riemannsche Hypothese ist und was ein bestätigter Beweis – falls er jemals gefunden wird – für die Mathematik bedeuten würde.

Was ist die Riemannsche Hypothese?[hhmc]

Die Riemann-Hypothese ist eine Aussage über eine mathematische Kuriosität, die als Riemann-Zeta-Funktion bekannt ist. Diese Funktion ist eng mit Primzahlen verbunden – ganzen Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst gleichmäßig teilbar sind. Primzahlen sind mysteriös: Sie sind in einem undurchschaubaren Muster über den Zahlenstrahl verstreut, was es schwierig macht vorherzusagen, wo jede Primzahl fallen wird (SN Online: 02.04.08).

Aber wenn die Riemann-Zeta-Funktion eine bestimmte Bedingung erfüllt, erkannte Riemann, würde sie Geheimnisse der Primzahlen enthüllen, beispielsweise wie viele Primzahlen unter einer gegebenen Zahl existieren. Diese erforderliche Bedingung ist die Riemannsche Hypothese. Es wird vermutet, dass bestimmte Nullstellen der Funktion – die Punkte, an denen der Funktionswert gleich Null ist – beim Auftragen alle entlang einer bestimmten Linie liegen (SN: 27.09.08, p. 14). Wenn sich die Hypothese bestätigt, könnte dies dazu beitragen, eine Methode dem Primzahlen-Wahnsinn auszusetzen.

Warum ist es so wichtig?[hhmc]

Primzahlen sind mathematische VIPs: Wie Atome des Periodensystems sind sie die Bausteine ​​für größere Zahlen. Auch aus praktischen Gründen sind Primes wichtig, da sie für die Absicherung verschlüsselter Übertragungen über das Internet wichtig sind. Und was noch wichtiger ist, eine Vielzahl mathematischer Arbeiten nimmt die Riemannsche Hypothese als gegeben an. Sollte sich diese grundlegende Annahme als richtig erweisen, „werden viele Ergebnisse, von denen man annimmt, dass sie wahr sind, als wahr erkannt“, sagt der Mathematiker Ken Ono von der Emory University in Atlanta. "Es ist eine Art mathematisches Orakel."

Haben die Leute noch nie versucht, dies zu beweisen?[hhmc]

Ja. Es ist schwierig, die Anzahl der Versuche zu zählen, aber wahrscheinlich haben sich Hunderte von Forschern an einem Beweis versucht. Bisher hat keiner der Beweise einer Überprüfung standgehalten. Das Problem ist so hartnäckig, dass es jetzt ein Kopfgeld auf den Kopf hat: Das Clay Mathematics Institute hat jedem, der die Riemann-Hypothese beweisen kann, eine Million Dollar geboten.

Warum ist es so schwer zu beweisen?[hhmc]

Die Riemann-Zeta-Funktion ist ein schwieriges Tier. Schon die Definition ist eine Herausforderung, sagt Ono. Außerdem hat die Funktion unendlich viele Nullen. Wenn eine dieser Nullstellen nicht auf ihrer erwarteten Linie liegt, ist die Riemannsche Hypothese falsch. Und da es unendlich viele Nullen gibt, funktioniert die manuelle Überprüfung jeder einzelnen nicht. Stattdessen muss ein Beweis zweifelsfrei zeigen, dass keine Null ein Ausreißer sein kann. Bei schwierigen mathematischen Dilemmas wie der Riemann-Hypothese ist die Messlatte für die Akzeptanz eines Beweises extrem hoch. Die Überprüfung eines solchen Beweises erfordert in der Regel Monate oder sogar Jahre der doppelten Überprüfung durch andere Mathematiker, bevor entweder alle überzeugt sind oder der Beweis als fehlerhaft erachtet wird.

Was braucht es, um die Riemannsche Hypothese zu beweisen?[hhmc]

Verschiedene Mathematiker sind in Richtung eines Beweises einigermaßen vorangekommen. Ono vergleicht es mit dem Versuch, den Mount Everest zu besteigen und es zum Basislager zu schaffen. Während ein kluger Mathematiker diesen Aufstieg vielleicht irgendwann beenden kann, sagt Ono: „Es gibt diesen Glauben, dass der ultimative Beweis … wenn einer jemals gemacht wird, ein anderes mathematisches Niveau erfordert.“


Redaktionelle Rezensionen

Überprüfung

'Das ganze Buch hindurch werden sorgfältige Beweise für alle diskutierten Ergebnisse geliefert und eine beeindruckende Palette mathematischer Werkzeuge vorgestellt. Tatsächlich ist die Hauptleistung der Arbeit die Art und Weise, in der gezeigt wird, wie all diese unterschiedlichen Themenbereiche auf die Riemannsche Hypothese angewendet werden können. Die Ausstellung ist für starke Studenten zugänglich, aber auch Spezialisten finden hier Material, das sie interessiert.' D. R. Heath-Brown, Mathematische Rezensionen

"Dieser zweibändige Katalog vieler der verschiedenen Äquivalente der Riemann-Hypothese von Kevin Broughan ist eine wertvolle Ergänzung der Literatur … alles in allem sind diese beiden Bände ein Muss für jeden, der sich für die Riemann-Hypothese interessiert." Steven Decke, MAA Bewertungen

„Die beiden Bände sind eine sehr wertvolle Ressource und eine faszinierende Lektüre über ein höchst faszinierendes Problem.“ R.S. MacKay, London Mathematical Society Newsletter

„Alles in allem dienen diese Bücher als gute Einführung in ein breites Spektrum der Mathematik im Zusammenhang mit der Riemannschen Hypothese und leisten einen wertvollen Beitrag zur Literatur. Sie sind wirklich enzyklopädisch und ich bin sicher, dass viele Leser dazu verleiten werden, einige zitierte Literatur zu konsultieren und wer weiß, irgendwann einen eigenen Beitrag zu diesem Gebiet zu leisten.“ Pieter Moree, Nieuw Archief voor Wiskunde

„Dieses Buch kann als Referenz für die Riemannsche Hypothese und ihre äquivalenten Formulierungen dienen oder als Inspiration für alle, die sich für die Zahlentheorie interessieren. Es ist in einem sehr gut lesbaren Stil geschrieben und setzt größtenteils nur Grundkenntnisse (komplexe Analyse) voraus. Somit kann es auch als (etwas spezifischer) Einführung in die analytische Zahlentheorie dienen.“ J. Mahnkopf, Encyclopedia of Mathematics and its Applications


Inhalt

Die Riemannsche Zetafunktion ist definiert für komplexe S mit Realteil größer 1 durch die absolut konvergente unendliche Reihe

Leonhard Euler betrachtete diese Reihe bereits in den 1730er Jahren für reale Werte von s im Zusammenhang mit seiner Lösung des Basler Problems. Er bewies auch, dass es dem Euler-Produkt entspricht

wobei sich das unendliche Produkt über alle Primzahlen erstreckt P. [2]

Die Riemann-Hypothese diskutiert Nullstellen außerhalb des Konvergenzbereichs dieser Reihe und des Euler-Produkts. Um die Hypothese zu verstehen, ist es notwendig, die Funktion analytisch fortzusetzen, um eine für alle Komplexe gültige Form zu erhalten S. Dies ist zulässig, da die Zeta-Funktion meromorph ist, so dass ihre analytische Fortsetzung garantiert eindeutig ist und funktionale Formen über ihre Domänen äquivalent sind. Man beginnt damit, dass man zeigt, dass die Zeta-Funktion und die Dirichlet-Eta-Funktion die Beziehung

Aber die Reihe rechts konvergiert nicht nur, wenn der Realteil von S ist größer als eins, aber allgemeiner immer dann, wenn S hat einen positiven Realteil. Somit erweitert diese alternative Reihe die Zetafunktion von Re(S) > 1 zum größeren Bereich Re(S) > 0 , ohne die Nullstellen s = 1 + 2 π i n / log ⁡ 2 of 1 − 2 / 2 s > wobei n eine beliebige ganze Zahl ungleich null ist (siehe Dirichlet-eta-Funktion). Die Zeta-Funktion kann auch auf diese Werte erweitert werden, indem man Grenzwerte nimmt, was einen endlichen Wert für alle Werte von . ergibt S mit positivem Realteil außer dem einfachen Pol bei S = 1.

Im Streifen 0 < Re(S) < 1 die Zetafunktion erfüllt die Funktionalgleichung

Man kann dann definieren ζ(S) für alle verbleibenden komplexen Zahlen ungleich null S ( Betreff(S) ≤ 0 und S ≠ 0) indem man diese Gleichung außerhalb des Streifens anwendet und ζ(S) gleich der rechten Seite der Gleichung, wenn S hat nicht positiven Realteil (und S ≠ 0).

Ob S eine negative gerade ganze Zahl ist, dann ist ζ(S) = 0, weil der Faktor sin(πS/2) verschwindet das sind die triviale Nullen der Zetafunktion. (Ob S eine positive gerade ganze Zahl ist, gilt dieses Argument nicht, da die Nullstellen der Sinusfunktion durch die Pole der Gammafunktion gelöscht werden, da sie negative ganzzahlige Argumente akzeptiert.)

Der Wert ζ(0) = −1/2 wird nicht durch die Funktionsgleichung bestimmt, sondern ist der Grenzwert von ζ(S) wie S geht gegen Null. Die Funktionsgleichung impliziert auch, dass die Zeta-Funktion keine anderen Nullstellen mit negativem Realteil als die trivialen Nullstellen hat, sodass alle nicht-trivialen Nullstellen im kritischen Streifen liegen, wo S hat Realteil zwischen 0 und 1.

. es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein stärkerer Beweis zu wünschen, ich habe indes sterben Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.

. es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln real sind. Natürlich würde man sich hier einen strengen Beweis wünschen. Ich habe die Suche nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig beiseite gelegt, da sie für das unmittelbare Ziel meiner Untersuchung entbehrlich erscheint.

Riemanns ursprüngliche Motivation zum Studium der Zetafunktion und ihrer Nullstellen war deren Vorkommen in seiner expliziten Formel für die Zahl der Primzahlen π (x) kleiner oder gleich einer gegebenen Zahl x, die er 1859 in seinem Aufsatz "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude" veröffentlichte. Seine Formel wurde in Bezug auf die zugehörige Funktion angegeben

die die Primzahlen und Primzahlen bis zu zählt x, Zählen einer Primzahl P n als 1 n . Die Anzahl der Primzahlen kann aus dieser Funktion mit der Möbius-Inversionsformel gewonnen werden,

wo μ ist die Möbius-Funktion. Die Riemannsche Formel lautet dann

wobei die Summe über den nichttrivialen Nullstellen der Zetafunktion liegt und wobei Π0 ist eine leicht modifizierte Version von Π, die seinen Wert an seinen Unstetigkeitspunkten durch den Durchschnitt seiner oberen und unteren Grenzen ersetzt:

Die Summation in der Riemannschen Formel ist nicht absolut konvergent, sondern kann ausgewertet werden, indem man die Nullstellen ρ nach dem absoluten Wert ihres Imaginärteils nimmt. Die im ersten Term auftretende Funktion li ist die (unversetzte) logarithmische Integralfunktion gegeben durch den Cauchy-Hauptwert des divergenten Integrals

Die Begriffe li(x ρ ), die die Nullstellen der Zeta-Funktion beinhalten, brauchen bei ihrer Definition einige Sorgfalt, da li Verzweigungspunkte bei 0 und 1 hat und definiert sind (für x > 1) durch analytische Fortsetzung in der komplexen Variablen ρ in der Region Re(ρ) > 0, d.h. sie sollten als Ei(ρ Protokoll x) . Auch die anderen Terme entsprechen Nullen: der dominante Term li(x) kommt vom Pol bei S = 1, betrachtet als Nullstelle der Multiplizität −1, und die restlichen kleinen Terme stammen von den trivialen Nullstellen. Für einige Graphen der Summen der ersten Terme dieser Reihe siehe Riesel & Göhl (1970) oder Zagier (1977).

Diese Formel besagt, dass die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion die Schwingungen der Primzahlen um ihre "erwarteten" Positionen steuern. Riemann wusste, dass die nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion symmetrisch um die Gerade verteilt sind S = 1/2 + es, und er wusste, dass alle seine nicht-trivialen Nullstellen im Bereich 0 ≤ Re(S) ≤ 1. Er überprüfte, dass einige der Nullstellen auf der kritischen Linie mit Realteil 1/2 lagen und schlug vor, dass sie alle dies tun, was die Riemannsche Hypothese ist.

Die praktische Anwendung der Riemann-Hypothese umfasst viele Aussagen, von denen bekannt ist, dass sie unter der Riemann-Hypothese wahr sind, und einige, von denen gezeigt werden kann, dass sie mit der Riemann-Hypothese äquivalent sind.

Verteilung der Primzahlen

Von Koch (1901) bewies, dass die Riemann-Hypothese die "bestmögliche" Schranke für den Fehler des Primzahlsatzes impliziert. Eine genaue Version von Kochs Ergebnis nach Schoenfeld (1976) besagt, dass die Riemann-Hypothese impliziert

wo π(x) ist die Primzahlzählfunktion und log(x) ist der natürliche Logarithmus von x.

Schoenfeld (1976) zeigte auch, dass die Riemann-Hypothese impliziert

Dies ist eine explizite Version eines Satzes von Cramér.

Wachstum arithmetischer Funktionen

Die Riemann-Hypothese impliziert starke Grenzen für das Wachstum vieler anderer arithmetischer Funktionen zusätzlich zu der obigen Funktion zum Zählen von Primzahlen.

Ein Beispiel ist die Möbius-Funktion μ. Die Aussage, dass die Gleichung

gilt für alle S mit Realteil größer 1/2, wobei die Summe auf der rechten Seite konvergiert, entspricht der Riemannschen Hypothese. Daraus können wir auch schließen, dass, wenn die Mertens-Funktion definiert ist durch

denn jedes positive ε ist äquivalent zur Riemann-Hypothese (J.E. Littlewood, 1912, siehe zum Beispiel: Absatz 14.25 in Titchmarsh (1986)). (Zur Bedeutung dieser Symbole siehe Big-O-Notation.) Die Determinante der Ordnung n Redheffer-Matrix ist gleich m(n), so kann auch die Riemannsche Hypothese als Bedingung für das Wachstum dieser Determinanten aufgestellt werden. Die Riemann-Hypothese setzt dem Wachstum von m, da Odlyzko & te Riele (1985) die etwas stärkere Mertens-Vermutung widerlegten

Die Riemannsche Hypothese ist äquivalent zu vielen anderen Vermutungen über die Wachstumsrate anderer arithmetischer Funktionen außer μ(n). Ein typisches Beispiel ist der Satz von Robin, [5] der besagt, dass wenn σ(n) ist die Teilerfunktion, gegeben durch

für alle n > 5040 genau dann, wenn die Riemann-Hypothese wahr ist, wobei γ die Euler-Mascheroni-Konstante ist.

Ein weiteres Beispiel wurde von Jérôme Franel gefunden und von Landau erweitert (siehe Franel & Landau (1924)). Die Riemann-Hypothese ist äquivalent zu mehreren Aussagen, die zeigen, dass die Terme der Farey-Folge ziemlich regelmäßig sind. Eine solche Äquivalenz lautet wie folgt: if Fn ist die Farey-Reihenfolge n, beginnend mit 1/n und bis 1/1, dann die Behauptung, dass für alle ε > 0

entspricht der Riemann-Hypothese. Hier

ist die Anzahl der Terme in der Farey-Reihenfolge n.

Für ein Beispiel aus der Gruppentheorie, wenn g(n) ist die Landaus-Funktion gegeben durch die maximale Ordnung der Elemente der symmetrischen Gruppe Sn des Grades n, dann zeigten Massias, Nicolas & Robin (1988), dass die Riemann-Hypothese der Schranke äquivalent ist

für alle ausreichend groß n.

Lindelöf-Hypothese und Wachstum der Zetafunktion

Die Riemann-Hypothese hat auch verschiedene schwächere Konsequenzen, eine davon ist die Lindelöf-Hypothese über die Wachstumsrate der Zetafunktion auf der kritischen Linie, die besagt, dass für alle ε >0,

Die Riemannsche Hypothese impliziert auch ziemlich scharfe Grenzen für die Wachstumsrate der Zetafunktion in anderen Regionen des kritischen Streifens. Zum Beispiel impliziert es, dass

also die Wachstumsrate von ζ(1+es) und seine Inverse wäre bis zu einem Faktor von 2 bekannt. [6]

Vermutung der großen Hauptlücke

Der Primzahlsatz impliziert, dass im Durchschnitt die Lücke zwischen den Primzahlen P und sein Nachfolger ist log P. Einige Lücken zwischen Primzahlen können jedoch viel größer als der Durchschnitt sein. Cramér bewies, dass unter der Annahme der Riemann-Hypothese jede Lücke Ö( √ P Protokoll P). Dies ist ein Fall, in dem selbst die beste Schranke, die mit der Riemann-Hypothese bewiesen werden kann, viel schwächer ist als das, was wahr zu sein scheint: Cramérs Vermutung impliziert, dass jede Lücke Ö((Protokoll P) 2 ), die zwar größer als die durchschnittliche Lücke, aber viel kleiner ist als die von der Riemann-Hypothese implizierte Schranke. Numerische Beweise unterstützen Cramérs Vermutung. [7]

Analytische Kriterien äquivalent zur Riemann-Hypothese

Es wurden viele Aussagen gefunden, die der Riemann-Hypothese äquivalent sind, obwohl bisher keine davon zu großen Fortschritten bei ihrem Beweis (oder ihrer Widerlegung) geführt hat. Einige typische Beispiele sind wie folgt. (Andere beinhalten die Teilerfunktion σ(n).)

Das Riesz-Kriterium wurde von Riesz (1916) gegeben, wonach die Schranke

gilt für alle ε > 0 genau dann, wenn die Riemannsche Hypothese gilt.

Nyman (1950) bewies, dass die Riemannsche Hypothese genau dann wahr ist, wenn der Funktionsraum der Form

wo ρ(z) ist der Bruchteil von z, 0 ≤ θν 1 , und

ist dicht im Hilbertraum L 2 (0,1) quadratintegrierbarer Funktionen auf dem Einheitsintervall. Beurling (1955) erweiterte dies, indem er zeigte, dass die Zetafunktion keine Nullstellen mit Realteil größer als 1/P genau dann, wenn dieser Funktionenraum dicht ist in L p (0,1)

Salem (1953) zeigte, dass die Riemannsche Hypothese genau dann wahr ist, wenn die Integralgleichung

Weils Kriterium ist die Aussage, dass die Positivität einer bestimmten Funktion der Riemannschen Hypothese entspricht. Damit verwandt ist Lis Kriterium, eine Aussage, dass die Positivität einer bestimmten Zahlenfolge der Riemannschen Hypothese äquivalent ist.

Die Farey-Sequenz bietet zwei Äquivalenzen, die 1924 von Jerome Franel und Edmund Landau stammen.

Die De Bruijn-Newman-Konstante, bezeichnet mit Λ und benannt nach Nicolaas Govert de Bruijn und Charles M. Newman, ist über die Nullstellen der Funktion definiert

die einen reellen Parameter verwendet λ, eine komplexe Variable z und eine superexponentiell abfallende Funktion definiert als

Da die Riemannsche Hypothese äquivalent zu der Behauptung ist, dass alle Nullstellen von h(0, z) reell sind, entspricht die Riemannsche Hypothese der Vermutung, dass Λ ≤ 0 ist. Brad Rodgers und Terence Tao fanden heraus, dass die Äquivalenz tatsächlich Λ = 0 ist, indem sie beweisen, dass Null die untere Grenze der Konstanten ist. [8] Der Nachweis von Null als obere Schranke würde daher die Riemannsche Hypothese beweisen. Ab April 2020 beträgt die Obergrenze Λ ≤ 0.2 . [9]

Konsequenzen der verallgemeinerten Riemann-Hypothese

Mehrere Anwendungen verwenden die verallgemeinerte Riemann-Hypothese für Dirichlet-L-Reihen oder Zeta-Funktionen von Zahlenkörpern anstatt nur die Riemann-Hypothese. Viele grundlegende Eigenschaften der Riemann-Zeta-Funktion können leicht auf alle Dirichlet-L-Reihen verallgemeinert werden, so dass es plausibel ist, dass eine Methode, die die Riemann-Hypothese für die Riemann-Zeta-Funktion beweist, auch für die verallgemeinerte Riemann-Hypothese für Dirichlet-L-Funktionen funktionieren würde. Einige Ergebnisse, die zuerst mit der verallgemeinerten Riemann-Hypothese bewiesen wurden, wurden später ohne sie unbedingt bewiesen, obwohl diese normalerweise viel schwieriger waren. Viele der Konsequenzen der folgenden Liste sind Conrad (2010) entnommen.

  • 1913 zeigte Grönwall, dass die verallgemeinerte Riemann-Hypothese impliziert, dass Gauß' Liste der imaginären quadratischen Körper mit der Klasse Nummer 1 vollständig ist, obwohl Baker, Stark und Heegner dies später unbedingt ohne die Verwendung der verallgemeinerten Riemann-Hypothese bewiesen.
  • 1917 zeigten Hardy und Littlewood, dass die verallgemeinerte Riemann-Hypothese eine Vermutung von Tschebyschew impliziert, dass
  • 1923 zeigten Hardy und Littlewood, dass die verallgemeinerte Riemann-Hypothese eine schwache Form der Goldbach-Vermutung für ungerade Zahlen impliziert: dass jede hinreichend große ungerade Zahl die Summe von drei Primzahlen ist, obwohl Vinogradov 1937 einen unbedingten Beweis lieferte. 1997 zeigten Deshouillers, Effinger, te Riele und Zinoviev, dass die verallgemeinerte Riemann-Hypothese impliziert, dass jede ungerade Zahl größer als 5 die Summe von drei Primzahlen ist. Im Jahr 2013 bewies Harald Helfgott die ternäre Goldbach-Vermutung ohne die GRH-Abhängigkeit, vorbehaltlich einiger umfangreicher Berechnungen, die mit Hilfe von David J. Platt durchgeführt wurden.
  • 1934 zeigte Chowla, dass die verallgemeinerte Riemann-Hypothese impliziert, dass die erste Primzahl in der arithmetischen Folge ein mod m ist höchstens km 2 log(m) 2 für eine feste Konstante K.
  • 1967 zeigte Hooley, dass die verallgemeinerte Riemann-Hypothese Artins Vermutung über primitive Wurzeln impliziert.
  • 1973 zeigte Weinberger, dass die verallgemeinerte Riemann-Hypothese impliziert, dass Eulers Liste der Idonealzahlen vollständig ist. zeigten, dass die verallgemeinerte Riemann-Hypothese für die Zetafunktionen aller algebraischen Zahlenkörper impliziert, dass jeder Zahlenkörper mit der Klasse Nummer 1 entweder euklidisch oder ein imaginärer quadratischer Zahlenkörper der Diskriminante −19, −43, −67 oder −163 ist.
  • 1976 zeigte G. Miller, dass die verallgemeinerte Riemann-Hypothese impliziert, dass man mit dem Miller-Test testen kann, ob eine Zahl in polynomieller Zeit eine Primzahl ist. 2002 bewiesen Manindra Agrawal, Neeraj Kayal und Nitin Saxena dieses Ergebnis bedingungslos mit dem AKS-Primalitätstest. discussed how the generalized Riemann hypothesis can be used to give sharper estimates for discriminants and class numbers of number fields. showed that the generalized Riemann hypothesis implies that Ramanujan's integral quadratic formx 2 + ja 2 + 10z 2 represents all integers that it represents locally, with exactly 18 exceptions.

Excluded middle

Some consequences of the RH are also consequences of its negation, and are thus theorems. In their discussion of the Hecke, Deuring, Mordell, Heilbronn theorem, Ireland & Rosen (1990, p. 359) say

The method of proof here is truly amazing. If the generalized Riemann hypothesis is true, then the theorem is true. If the generalized Riemann hypothesis is false, then the theorem is true. Thus, the theorem is true!! (punctuation in original)

Care should be taken to understand what is meant by saying the generalized Riemann hypothesis is false: one should specify exactly which class of Dirichlet series has a counterexample.

Littlewood's theorem

This concerns the sign of the error in the prime number theorem. It has been computed that π(x) < li(x) for all x ≤ 10 25 (see this table), and no value of x is known for which π(x) > li(x).

In 1914 Littlewood proved that there are arbitrarily large values of x für die

and that there are also arbitrarily large values of x für die

Thus the difference π(x) − li(x) changes sign infinitely many times. Skewes' number is an estimate of the value of x corresponding to the first sign change.

Littlewood's proof is divided into two cases: the RH is assumed false (about half a page of Ingham 1932, Chapt. V), and the RH is assumed true (about a dozen pages). (Stanisław Knapowski [[#CITEREFKnapowski|]]) followed this up with a paper on the number of times Δ ( n ) changes sign in the interval Δ ( n ) .

Gauss's class number conjecture

This is the conjecture (first stated in article 303 of Gauss's Disquisitiones Arithmeticae) that there are only finitely many imaginary quadratic fields with a given class number. One way to prove it would be to show that as the discriminant D → −∞ the class number h(D) → ∞.

The following sequence of theorems involving the Riemann hypothesis is described in Ireland & Rosen 1990, pp. 358–361:

Theorem (Hecke 1918). Lassen D < 0 be the discriminant of an imaginary quadratic number field K. Assume the generalized Riemann hypothesis for L-functions of all imaginary quadratic Dirichlet characters. Then there is an absolute constant C so dass

h ( D ) > C | D | log ⁡ | D | . >>.>

Theorem (Deuring 1933). If the RH is false then h(D) > 1 if |D| is sufficiently large.

Theorem (Mordell 1934). If the RH is false then h(D) → ∞ as D → −∞.

Theorem (Heilbronn 1934). If the generalized RH is false for the L-function of some imaginary quadratic Dirichlet character then h(D) → ∞ as D → −∞.

(In the work of Hecke and Heilbronn, the only L-functions that occur are those attached to imaginary quadratic characters, and it is only for those L-functions that GRH is true oder GRH is false is intended a failure of GRH for the L-function of a cubic Dirichlet character would, strictly speaking, mean GRH is false, but that was not the kind of failure of GRH that Heilbronn had in mind, so his assumption was more restricted than simply GRH is false.)

In 1935, Carl Siegel later strengthened the result without using RH or GRH in any way.

Growth of Euler's totient

Dirichlet L-series and other number fields

The Riemann hypothesis can be generalized by replacing the Riemann zeta function by the formally similar, but much more general, global L-functions. In this broader setting, one expects the non-trivial zeros of the global L-functions to have real part 1/2. It is these conjectures, rather than the classical Riemann hypothesis only for the single Riemann zeta function, which account for the true importance of the Riemann hypothesis in mathematics.

The generalized Riemann hypothesis extends the Riemann hypothesis to all Dirichlet L-functions. In particular it implies the conjecture that Siegel zeros (zeros of L-functions between 1/2 and 1) do not exist.

The extended Riemann hypothesis extends the Riemann hypothesis to all Dedekind zeta functions of algebraic number fields. The extended Riemann hypothesis for abelian extension of the rationals is equivalent to the generalized Riemann hypothesis. The Riemann hypothesis can also be extended to the L-functions of Hecke characters of number fields.

Function fields and zeta functions of varieties over finite fields

Artin (1924) introduced global zeta functions of (quadratic) function fields and conjectured an analogue of the Riemann hypothesis for them, which has been proved by Hasse in the genus 1 case and by Weil (1948) in general. For instance, the fact that the Gauss sum, of the quadratic character of a finite field of size Q (with Q odd), has absolute value q >> is actually an instance of the Riemann hypothesis in the function field setting. This led Weil (1949) to conjecture a similar statement for all algebraic varieties the resulting Weil conjectures were proved by Pierre Deligne (1974, 1980).

Arithmetic zeta functions of arithmetic schemes and their L-factors

Arithmetic zeta functions generalise the Riemann and Dedekind zeta functions as well as the zeta functions of varieties over finite fields to every arithmetic scheme or a scheme of finite type over integers. The arithmetic zeta function of a regular connected equidimensional arithmetic scheme of Kronecker dimension n can be factorized into the product of appropriately defined L-factors and an auxiliary factor Jean-Pierre Serre (1969–1970). Assuming a functional equation and meromorphic continuation, the generalized Riemann hypothesis for the L-factor states that its zeros inside the critical strip ℜ ( s ) ∈ ( 0 , n ) lie on the central line. Correspondingly, the generalized Riemann hypothesis for the arithmetic zeta function of a regular connected equidimensional arithmetic scheme states that its zeros inside the critical strip lie on vertical lines ℜ ( s ) = 1 / 2 , 3 / 2 , … , n − 1 / 2 and its poles inside the critical strip lie on vertical lines ℜ ( s ) = 1 , 2 , … , n − 1 . This is known for schemes in positive characteristic and follows from Pierre Deligne (1974, 1980), but remains entirely unknown in characteristic zero.

Selberg zeta functions

Selberg (1956) introduced the Selberg zeta function of a Riemann surface. These are similar to the Riemann zeta function: they have a functional equation, and an infinite product similar to the Euler product but taken over closed geodesics rather than primes. The Selberg trace formula is the analogue for these functions of the explicit formulas in prime number theory. Selberg proved that the Selberg zeta functions satisfy the analogue of the Riemann hypothesis, with the imaginary parts of their zeros related to the eigenvalues of the Laplacian operator of the Riemann surface.

Ihara zeta functions

The Ihara zeta function of a finite graph is an analogue of the Selberg zeta function, which was first introduced by Yasutaka Ihara in the context of discrete subgroups of the two-by-two p-adic special linear group. A regular finite graph is a Ramanujan graph, a mathematical model of efficient communication networks, if and only if its Ihara zeta function satisfies the analogue of the Riemann hypothesis as was pointed out by T. Sunada.

Montgomery's pair correlation conjecture

Montgomery (1973) suggested the pair correlation conjecture that the correlation functions of the (suitably normalized) zeros of the zeta function should be the same as those of the eigenvalues of a random hermitian matrix. Odlyzko (1987) showed that this is supported by large-scale numerical calculations of these correlation functions.

Montgomery showed that (assuming the Riemann hypothesis) at least 2/3 of all zeros are simple, and a related conjecture is that all zeros of the zeta function are simple (or more generally have no non-trivial integer linear relations between their imaginary parts). Dedekind zeta functions of algebraic number fields, which generalize the Riemann zeta function, often do have multiple complex zeros. [11] This is because the Dedekind zeta functions factorize as a product of powers of Artin L-functions, so zeros of Artin L-functions sometimes give rise to multiple zeros of Dedekind zeta functions. Other examples of zeta functions with multiple zeros are the L-functions of some elliptic curves: these can have multiple zeros at the real point of their critical line the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture predicts that the multiplicity of this zero is the rank of the elliptic curve.

Other zeta functions

There are many other examples of zeta functions with analogues of the Riemann hypothesis, some of which have been proved. Goss zeta functions of function fields have a Riemann hypothesis, proved by Sheats (1998). The main conjecture of Iwasawa theory, proved by Barry Mazur and Andrew Wiles for cyclotomic fields, and Wiles for totally real fields, identifies the zeros of a P-adic L-function with the eigenvalues of an operator, so can be thought of as an analogue of the Hilbert–Pólya conjecture for P-adic L-functions. [12]

Several mathematicians have addressed the Riemann hypothesis, but none of their attempts has yet been accepted as a proof. Watkins (2007) lists some incorrect solutions.

Operator theory

Hilbert and Pólya suggested that one way to derive the Riemann hypothesis would be to find a self-adjoint operator, from the existence of which the statement on the real parts of the zeros of ζ(S) would follow when one applies the criterion on real eigenvalues. Some support for this idea comes from several analogues of the Riemann zeta functions whose zeros correspond to eigenvalues of some operator: the zeros of a zeta function of a variety over a finite field correspond to eigenvalues of a Frobenius element on an étale cohomology group, the zeros of a Selberg zeta function are eigenvalues of a Laplacian operator of a Riemann surface, and the zeros of a p-adic zeta function correspond to eigenvectors of a Galois action on ideal class groups.

Odlyzko (1987) showed that the distribution of the zeros of the Riemann zeta function shares some statistical properties with the eigenvalues of random matrices drawn from the Gaussian unitary ensemble. This gives some support to the Hilbert–Pólya conjecture.

and even more strongly, that the Riemann zeros coincide with the spectrum of the operator 1 / 2 + i H ^ >> . This is in contrast to canonical quantization, which leads to the Heisenberg uncertainty principle σ x σ p ≥ ℏ 2 sigma _

geq <2>>> and the natural numbers as spectrum of the quantum harmonic oscillator. The crucial point is that the Hamiltonian should be a self-adjoint operator so that the quantization would be a realization of the Hilbert–Pólya program. In a connection with this quantum mechanical problem Berry and Connes had proposed that the inverse of the potential of the Hamiltonian is connected to the half-derivative of the function

The analogy with the Riemann hypothesis over finite fields suggests that the Hilbert space containing eigenvectors corresponding to the zeros might be some sort of first cohomology group of the spectrum Spec (Z) of the integers. Deninger (1998) described some of the attempts to find such a cohomology theory. [14]

Zagier (1981) constructed a natural space of invariant functions on the upper half plane that has eigenvalues under the Laplacian operator that correspond to zeros of the Riemann zeta function—and remarked that in the unlikely event that one could show the existence of a suitable positive definite inner product on this space, the Riemann hypothesis would follow. Cartier (1982) discussed a related example, where due to a bizarre bug a computer program listed zeros of the Riemann zeta function as eigenvalues of the same Laplacian operator.

Schumayer & Hutchinson (2011) surveyed some of the attempts to construct a suitable physical model related to the Riemann zeta function.

Lee–Yang theorem

The Lee–Yang theorem states that the zeros of certain partition functions in statistical mechanics all lie on a "critical line" with their real part equals to 0, and this has led to some speculation about a relationship with the Riemann hypothesis. [15]

Turán's result

Pál Turán (1948) showed that if the functions

Noncommutative geometry

Connes (1999, 2000) has described a relationship between the Riemann hypothesis and noncommutative geometry, and shows that a suitable analog of the Selberg trace formula for the action of the idèle class group on the adèle class space would imply the Riemann hypothesis. Some of these ideas are elaborated in Lapidus (2008).

Hilbert spaces of entire functions

Louis de Branges (1992) showed that the Riemann hypothesis would follow from a positivity condition on a certain Hilbert space of entire functions. However Conrey & Li (2000) showed that the necessary positivity conditions are not satisfied. Despite this obstacle, de Branges has continued to work on an attempted proof of the Riemann hypothesis along the same lines, but this has not been widely accepted by other mathematicians. [16]

Quasicrystals

The Riemann hypothesis implies that the zeros of the zeta function form a quasicrystal, a distribution with discrete support whose Fourier transform also has discrete support. Dyson (2009) suggested trying to prove the Riemann hypothesis by classifying, or at least studying, 1-dimensional quasicrystals.

Arithmetic zeta functions of models of elliptic curves over number fields

When one goes from geometric dimension one, e.g. an algebraic number field, to geometric dimension two, e.g. a regular model of an elliptic curve over a number field, the two-dimensional part of the generalized Riemann hypothesis for the arithmetic zeta function of the model deals with the poles of the zeta function. In dimension one the study of the zeta integral in Tate's thesis does not lead to new important information on the Riemann hypothesis. Contrary to this, in dimension two work of Ivan Fesenko on two-dimensional generalisation of Tate's thesis includes an integral representation of a zeta integral closely related to the zeta function. In this new situation, not possible in dimension one, the poles of the zeta function can be studied via the zeta integral and associated adele groups. Related conjecture of Fesenko (2010) on the positivity of the fourth derivative of a boundary function associated to the zeta integral essentially implies the pole part of the generalized Riemann hypothesis. Suzuki (2011) proved that the latter, together with some technical assumptions, implies Fesenko's conjecture.

Multiple zeta functions

Deligne's proof of the Riemann hypothesis over finite fields used the zeta functions of product varieties, whose zeros and poles correspond to sums of zeros and poles of the original zeta function, in order to bound the real parts of the zeros of the original zeta function. By analogy, Kurokawa (1992) introduced multiple zeta functions whose zeros and poles correspond to sums of zeros and poles of the Riemann zeta function. To make the series converge he restricted to sums of zeros or poles all with non-negative imaginary part. So far, the known bounds on the zeros and poles of the multiple zeta functions are not strong enough to give useful estimates for the zeros of the Riemann zeta function.

Number of zeros

The functional equation combined with the argument principle implies that the number of zeros of the zeta function with imaginary part between 0 and T wird gegeben von

Pro S=1/2+iT, where the argument is defined by varying it continuously along the line with Im(S)=T, starting with argument 0 at ∞+iT. This is the sum of a large but well understood term

and a small but rather mysterious term

So the density of zeros with imaginary part near T is about log(T)/2π, and the function S describes the small deviations from this. The function S(T) jumps by 1 at each zero of the zeta function, and for T ≥ 8 it decreases monotonically between zeros with derivative close to −log T.

points where the function S(T) changes sign.

Selberg (1946) showed that the average moments of even powers of S are given by

This suggests that S(T)/(log log T) 1/2 resembles a Gaussian random variable with mean 0 and variance 2π 2 (Ghosh (1983) proved this fact). In particular |S(T)| is usually somewhere around (log log T) 1/2 , but occasionally much larger. The exact order of growth of S(T) is not known. There has been no unconditional improvement to Riemann's original bound S(T)=O(log T), though the Riemann hypothesis implies the slightly smaller bound S(T)=O(log T/log log T). [6] The true order of magnitude may be somewhat less than this, as random functions with the same distribution as S(T) tend to have growth of order about log(T) 1/2 . In the other direction it cannot be too small: Selberg (1946) showed that S(T) ≠ o((log T) 1/3 /(log log T) 7/3 ) , and assuming the Riemann hypothesis Montgomery showed that S(T) ≠ o((log T) 1/2 /(log log T) 1/2 ) .

Numerical calculations confirm that S grows very slowly: |S(T)| < 1 for T < 280 , |S(T)| < 2 for T < 6 800 000 , and the largest value of |S(T)| found so far is not much larger than 3. [17]

Riemann's estimate S(T) = O(log T) implies that the gaps between zeros are bounded, and Littlewood improved this slightly, showing that the gaps between their imaginary parts tends to 0.

Theorem of Hadamard and de la Vallée-Poussin

Hadamard (1896) and de la Vallée-Poussin (1896) independently proved that no zeros could lie on the line Re(S) = 1. Together with the functional equation and the fact that there are no zeros with real part greater than 1, this showed that all non-trivial zeros must lie in the interior of the critical strip 0 < Re(S) < 1 . This was a key step in their first proofs of the prime number theorem.

Both the original proofs that the zeta function has no zeros with real part 1 are similar, and depend on showing that if ζ(1+es) vanishes, then ζ(1+2es) is singular, which is not possible. One way of doing this is by using the inequality

for σ > 1, T real, and looking at the limit as σ → 1. This inequality follows by taking the real part of the log of the Euler product to see that

where the sum is over all prime powers P n , damit

which is at least 1 because all the terms in the sum are positive, due to the inequality

Zero-free regions

Hardy (1914) and Hardy & Littlewood (1921) showed there are infinitely many zeros on the critical line, by considering moments of certain functions related to the zeta function. Selberg (1942) proved that at least a (small) positive proportion of zeros lie on the line. Levinson (1974) improved this to one-third of the zeros by relating the zeros of the zeta function to those of its derivative, and Conrey (1989) improved this further to two-fifths.

Most zeros lie close to the critical line. More precisely, Bohr & Landau (1914) showed that for any positive ε, the number of zeroes with real part at least 1/2+ε and imaginary part at between -T und T is O ( T ) . Combined with the facts that zeroes on the critical strip are symmetric about the critical line and that the total number of zeroes in the critical strip is Θ ( T log ⁡ T ) , almost all non-trivial zeroes are within a distance ε of the critical line. Ivić (1985) gives several more precise versions of this result, called zero density estimates, which bound the number of zeros in regions with imaginary part at most T and real part at least 1/2+ε.

Hardy–Littlewood conjectures

> lying on the interval ( 0 , T ]

Selberg's zeta function conjecture

Numerical calculations

has the same zeros as the zeta function in the critical strip, and is real on the critical line because of the functional equation, so one can prove the existence of zeros exactly on the real line between two points by checking numerically that the function has opposite signs at these points. Usually one writes

where Hardy's Z function and the Riemann–Siegel theta function θ are uniquely defined by this and the condition that they are smooth real functions with θ(0)=0. By finding many intervals where the function Z changes sign one can show that there are many zeros on the critical line. To verify the Riemann hypothesis up to a given imaginary part T of the zeros, one also has to check that there are no further zeros off the line in this region. This can be done by calculating the total number of zeros in the region using Turing's method and checking that it is the same as the number of zeros found on the line. This allows one to verify the Riemann hypothesis computationally up to any desired value of T (provided all the zeros of the zeta function in this region are simple and on the critical line).

Some calculations of zeros of the zeta function are listed below, where the "height" of a zero is the magnitude of its imaginary part, and the height of the nth zero is denoted by γn. So far all zeros that have been checked are on the critical line and are simple. (A multiple zero would cause problems for the zero finding algorithms, which depend on finding sign changes between zeros.) For tables of the zeros, see Haselgrove & Miller (1960) or Odlyzko.

They also verified the work of Gourdon (2004) and others.

Gram points

A Gram point is a point on the critical line 1/2 + es where the zeta function is real and non-zero. Using the expression for the zeta function on the critical line, ζ(1/2 + es) = Z(T)e − ichθ(T) , where Hardy's function, Z, is real for real T, and θ is the Riemann–Siegel theta function, we see that zeta is real when sin(θ(T)) = 0. This implies that θ(T) is an integer multiple of π, which allows for the location of Gram points to be calculated fairly easily by inverting the formula for θ. They are usually numbered as gn Pro n = 0, 1, . wo gn is the unique solution of θ(T) = nπ.

Gram observed that there was often exactly one zero of the zeta function between any two Gram points Hutchinson called this observation Gram's law. There are several other closely related statements that are also sometimes called Gram's law: for example, (−1) n Z(gn) is usually positive, or Z(T) usually has opposite sign at consecutive Gram points. The imaginary parts γn of the first few zeros (in blue) and the first few Gram points gn are given in the following table

g−1 γ1 g0 γ2 g1 γ3 g2 γ4 g3 γ5 g4 γ6 g5
0 3.436 9.667 14.135 17.846 21.022 23.170 25.011 27.670 30.425 31.718 32.935 35.467 37.586 38.999

The first failure of Gram's law occurs at the 127th zero and the Gram point g126, which are in the "wrong" order.

g124 γ126 g125 g126 γ127 γ128 g127 γ129 g128
279.148 279.229 280.802 282.455 282.465 283.211 284.104 284.836 285.752

A Gram point T is called good if the zeta function is positive at 1/2 + es. The indices of the "bad" Gram points where Z has the "wrong" sign are 126, 134, 195, 211, . (sequence A114856 in the OEIS). EIN Gram block is an interval bounded by two good Gram points such that all the Gram points between them are bad. A refinement of Gram's law called Rosser's rule due to Rosser, Yohe & Schoenfeld (1969) says that Gram blocks often have the expected number of zeros in them (the same as the number of Gram intervals), even though some of the individual Gram intervals in the block may not have exactly one zero in them. For example, the interval bounded by g125 und g127 is a Gram block containing a unique bad Gram point g126, and contains the expected number 2 of zeros although neither of its two Gram intervals contains a unique zero. Rosser et al. checked that there were no exceptions to Rosser's rule in the first 3 million zeros, although there are infinitely many exceptions to Rosser's rule over the entire zeta function.

Gram's rule and Rosser's rule both say that in some sense zeros do not stray too far from their expected positions. The distance of a zero from its expected position is controlled by the function S defined above, which grows extremely slowly: its average value is of the order of (log log T) 1/2 , which only reaches 2 for T around 10 24 . This means that both rules hold most of the time for small T but eventually break down often. Indeed, Trudgian (2011) showed that both Gram's law and Rosser's rule fail in a positive proportion of cases. To be specific, it is expected that in about 73% one zero is enclosed by two successive Gram points, but in 14% no zero and in 13% two zeros are in such a Gram-interval on the long run.

Mathematical papers about the Riemann hypothesis tend to be cautiously noncommittal about its truth. Of authors who express an opinion, most of them, such as Riemann (1859) and Bombieri (2000), imply that they expect (or at least hope) that it is true. The few authors who express serious doubt about it include Ivić (2008), who lists some reasons for skepticism, and Littlewood (1962), who flatly states that he believes it false, that there is no evidence for it and no imaginable reason it would be true. The consensus of the survey articles (Bombieri 2000, Conrey 2003, and Sarnak 2005) is that the evidence for it is strong but not overwhelming, so that while it is probably true there is reasonable doubt.

Some of the arguments for and against the Riemann hypothesis are listed by Sarnak (2005), Conrey (2003), and Ivić (2008), and include the following:

  • Several analogues of the Riemann hypothesis have already been proved. The proof of the Riemann hypothesis for varieties over finite fields by Deligne (1974) is possibly the single strongest theoretical reason in favor of the Riemann hypothesis. This provides some evidence for the more general conjecture that all zeta functions associated with automorphic forms satisfy a Riemann hypothesis, which includes the classical Riemann hypothesis as a special case. Similarly Selberg zeta functions satisfy the analogue of the Riemann hypothesis, and are in some ways similar to the Riemann zeta function, having a functional equation and an infinite product expansion analogous to the Euler product expansion. But there are also some major differences for example, they are not given by Dirichlet series. The Riemann hypothesis for the Goss zeta function was proved by Sheats (1998). In contrast to these positive examples, some Epstein zeta functions do not satisfy the Riemann hypothesis even though they have an infinite number of zeros on the critical line. [6] These functions are quite similar to the Riemann zeta function, and have a Dirichlet series expansion and a functional equation, but the ones known to fail the Riemann hypothesis do not have an Euler product and are not directly related to automorphic representations.
  • At first, the numerical verification that many zeros lie on the line seems strong evidence for it. But analytic number theory has had many conjectures supported by substantial numerical evidence that turned out to be false. See Skewes number for a notorious example, where the first exception to a plausible conjecture related to the Riemann hypothesis probably occurs around 10 316 a counterexample to the Riemann hypothesis with imaginary part this size would be far beyond anything that can currently be computed using a direct approach. The problem is that the behavior is often influenced by very slowly increasing functions such as log log T, that tend to infinity, but do so so slowly that this cannot be detected by computation. Such functions occur in the theory of the zeta function controlling the behavior of its zeros for example the function S(T) above has average size around (log log T) 1/2 . Wie S(T) jumps by at least 2 at any counterexample to the Riemann hypothesis, one might expect any counterexamples to the Riemann hypothesis to start appearing only when S(T) becomes large. It is never much more than 3 as far as it has been calculated, but is known to be unbounded, suggesting that calculations may not have yet reached the region of typical behavior of the zeta function. 's probabilistic argument for the Riemann hypothesis [19] is based on the observation that if μ(x) is a random sequence of "1"s and "−1"s then, for every ε > 0 , the partial sums


2.5: The Riemann Hypothesis

The Riemann Hypothesis is a problem in mathematics which is currently unsolved.

To explain it to you I will have to lay some groundwork.

First: complex numbers, explained. You may have heard the question asked, "what is the square root of minus one?" Well, maths has an answer and we call it i. i multiplied by i equals -1. If the real number line . -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. is represented as a horizontal line, then the numbers . -4i, -3i, -2i, -i, 0, i, 2i, 3i, 4i. can be thought of as the vertikal axis on this diagram. The whole plane taken together is then called the complex plane. This is a two-dimensional set of numbers.

Every complex number can be represented in the form a + b i. For real numbers, we simply take b =0.

Next: functions. In mathematics, a function is a black box which, when you put a number into it, spits a different number out. A function is represented by a letter - usually " f ". If you put a number x into the function you call f , then what f then spits out is written " f ( x )".

In most cases there is a convenient way to express f ( x ) in terms of x . For example, f ( x )= x 2 is a very simple function. Whatever x you put in, you'll get x 2 out. f (1)=1. f (2)=4. f (3)=9. Usw.

You're probably most familiar with real functions, or functions where you put a real number in and always get a real number out. HOWEVER. There's nothing stopping you from putting these weird new complex numbers into a function. For example, if f ( x )= x 2 and we let x =i, which is the square root of minus one I mentioned above, then you'll get f (i)=-1. That's just the beginning of what's more generally known as complex functions - where you can put any complex number a + b i in and get (potentially) any complex number out.

The Riemann Zeta Function is just such a complex function. "Zeta" is a Greek letter which is written "&zeta". For any complex number a + b i, &zeta ( a + b i) will be another complex number, c + d i.

The actual description of the Zeta Function is too boringly complicated to explain here.

Now, a zero of a function is (pretty obviously) a point a + b i where f ( a + b i)=0. If f ( x )= x 2 then the only zero is obviously at 0, where f (0)=0. For the Riemann Zeta Function this is more complicated. It basically has two types of zeros: the "trivial" zeroes, that occur at all negative even integers, that is, -2, -4, -6, -8. and the "nontrivial" zeroes, which are all the OTHER ones.

As far as we know, alle the nontrivial zeroes occur at 1/2 + b i for manche b . No others have been found in a lot of looking. but are they ALL like that? The Riemann Hypothesis suggests that they are. but nobody has yet been able to prove it.


Just to understand the$^dagger$ statement of the problem, you would have to be familiar with complex analysis and analytic number theory. The $zeta$ function itself is an analytic object from number theory and to understand its significance (just on the surface!) you would have to study it in these realms. Of course it is also a function on $Bbb C$ after analytic continuation - attained using a functional equation - with a simple pole at $1$, and understanding what this means and how to manipulate the function deftly will mean studying complex analysis.

$^dagger$I refer to the statement that $zeta(s)$ has all nontrivial zeros on the critical line. There are actually a lot of equivalent statements that require very little knowledge of complex analysis (you'll still need to pick up a few definitions of arithmetic functions from analytic NT for many of them, these aren't too hard). You can find a lot of equivalences listed here for example.

Beyond that, to understand the modern Ansätze to RH and related or generalized conjectures and all of the theory there is surrounding this creature, you must go much further in algebraisch number theory at the very least, and travel to many other worlds like modular forms, differential geometry, quantum theory and random matrices, etc. - basically at least a basic knowledge of most advanced subjects in analysis, algebra and geometry, and then especially deeply in pertinent areas.


Everything about the Riemann hypothesis

Today's topic is The Riemann hypothesis.

This recurring thread will be a place to ask questions and discuss famous/well-known/surprising results, clever and elegant proofs, or interesting open problems related to the topic of the week.

Experts in the topic are especially encouraged to contribute and participate in these threads.

Next week's topic will be Galois theory.

These threads will be posted every Wednesday around 12pm UTC-5.

If you have any suggestions for a topic or you want to collaborate in some way in the upcoming threads, please send me a PM.

For previous week's "Everything about X" threads, check out the wiki link here

To kick things off, here is a very brief summary provided by wikipedia and myself:

Named after Bernhard Riemann, the Riemann hypothesis is one of the most famous open problems in mathematics, attracting the interest of both experts and laymen.

On Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, Riemann studies the behaviour of the prime counting function and presents the now famous conjecture: The nontrivial zeros of the zeta function have real part 1/2.

The (Generalized) Riemann Hypothesis is famous for implying different results in related areas, inspiring the creation of entire branches of mathematics studied to this day, and having a 1M USD bouty

The Riemann Hypothesis is very easy to state, but its significance is not so straightforward.

It all boils down to two product formulas for the Riemann Zeta Function. The first is the product of (1-1/p -s ) -1 over all primes (valid for s>1). It is easy to use this expression to extract prime related functions, like the Chebyshev Functions, demonstrating that if we know stuff about the Riemann Zeta Function, then we know stuff about primes. On the other hand, we have that the Riemann Zeta Function is meromorphic on the entire complex plane (and we know its only pole), which means that we have all the niceness of entire functions at our disposal. The theory of Complex Analysis can then be used to set up another product formula for the Riemann Zeta Function, known as the Weierstrass Factorization. This, essentially, says that entire functions behave a ganz lot like infinite degree polynomials, including the fact that they are uniquely determined, up to "scale", by their zeros. The Weierstrass Factorization is then analog of factoring a polynomial by its roots it's a product of expressions over all the zeros of the zeta function.

If we go through the manipulations on the Riemann Zeta Function that gave us the Chebyshev function (which is a "smooth" prime-counting function), then we can write the Chebyshev function explicitly in terms of the zeros of the Riemann Zeta Function. This is the Riemann von-Mangoldt Explicit Formula. It is nothing more than an integral transformation of the two product representations of the Riemann Zeta Function. But this integral transformation explicitly gives us the information we seek about primes.

Now, the Functional Equation of the Riemann Zeta Function tells us that, outside a certain region, the only zeros of the Riemann Zeta Function are the negative even integers. But these, asymptotically, contribute nothing to the Chebyshev function and so are trivial. The zeros that really contribute to the growth of the Chebyshev function are the zeros in this certain region. In fact, the form of the Riemann von Mangold Formula is

Chebyshev = (Main Growth Term) + (Decay Term) + (Oscillatory Term)

The "Main Growth Term" comes directly from the pole of the Riemann Zeta Function. The "Decay Term" comes from the trivial zeros. The "Oscillatory Term" comes from the non-trivial zeros. The Oscillatory Term has the chance to contribute nontrivially to the growth of the Chebyshev function, but we would like to say that this does not happen and that the growth of the Chebyshev function is, more or less, completely governed by the "Main Growth Term".

Now, the nontrivial zeros lie in some region of the complex plane. But the amount that they contribute to the growth of the Chebyshev function through the Oscillatory Term is dependent on how close to the boundary of this region that they live. The Prime Number Theorem, which says that the Chebyshev function does, indeed, grow like the Main Growth Term, follows from proving that there are no zeros on the boundary of this region. But we would like to say that the Oscillatory Term contributes as little as possible to the growth of the Chebyshev function. This will then happen when the zeros are as far inside the critical region as possible. This is what the Riemann Hypothesis says. It is basically a conjecture on the error between the Chebyshev function and it's main asymptotic growth given by the Main Growth Term.

The Riemann Hypothesis, and its generalizations, is assumed for a lot of important results. It is mainly used to control the errors associated with out approximations for the prime counting function. If, say, you want to show that there is a number N so that there are infinitely many primes a distance at most N apart, then having a close and reliable approximation to where the primes are is probably a good thing. Luckily for the Bounded Gaps theorem, the exact General Riemann Hypothesis is not needed, instead you just need that it is true "on average". The Bombieri-Vinogradov Theorem is a sufficient enough result for this (after some tweaking) and basically says that the Generalized Riemann Hypothesis is true on average, and it's statement is a clear statement about the error between the prime counting function and its asymptotic approximation.

EDIT: I'm not sure if /u/chebushka was referring to my post of the original post description, but it should be emphasized that the important results generally all depend on the Generalized Riemann Hypothesis, or even the "Grand Riemann Hypothesis" which says that all zeros of all Riemann Zeta-like functions are on the critical line and are all their zeros are linearly independent over the rationals. Though the moral of bounding the error is relatively consistent throughout, a lot of the applications bounding the error for different types of prime-counting functions that each have their own "Riemann Hypothesis".


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