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1.3: Primfaktorzerlegung - Mathematik


  • Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen
  • Das Grundprinzip der Arithmetik
  • Die Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl

Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen

Beachten Sie, dass die einzigen Faktoren von 7 1 und 7 selbst sind und dass die einzigen Faktoren von 23 1 und 23 selbst sind.

Definition: Primzahl

Eine ganze Zahl größer als 1, deren einzige ganzzahlige Faktoren sie selbst und 1 sind, heißt a Primzahl.

Die ersten sieben Primzahlen sind

2, 3, 5, 7, 11, 13 und 17

Die Zahl 1 gilt nicht als Primzahl und die Zahl 2 ist die erste und einzige gerade Primzahl.
Viele Zahlen haben andere Faktoren als sie selbst und 1. Zum Beispiel sind die Faktoren von 28 1, 2, 4, 7, 14 und 28 (da jede dieser ganzen Zahlen und nur diese ganzen Zahlen ohne Rest in 28 geteilt werden).

Definition: Zusammengesetzte Zahl

Eine ganze Zahl, die sich aus anderen Faktoren als ihr selbst und 1 zusammensetzt, heißt a zusammengesetzte Zahl. Zusammengesetzte Zahlen sind keine Primzahlen.


Einige zusammengesetzte Zahlen sind 4, 6, 8, 10, 12 und 15.

Das Grundprinzip der Arithmetik

Primzahlen sind sehr wichtig für das Studium der Mathematik. Wir werden sie bald in unserem Studium der Brüche verwenden. Wir werden nun jedoch in ein wichtiges mathematisches Prinzip eingeführt.

Definition: Das Grundprinzip der Arithmetik

Abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren kann jede ganze Zahl außer 1 auf eine und nur eine Weise als Produkt von Primzahlen faktorisiert werden.

Definition: Primfaktorzerlegung

Wenn eine Zahl so zerlegt wird, dass alle ihre Faktoren Primzahlen sind, wird die Faktorisierung als . bezeichnet Primfaktorzerlegung der Nummer.

Musterset A

Beispiel (PageIndex{1})

Finden Sie die Primfaktorzerlegung von 10.

(10=2 · 5)

Sowohl 2 als auch 5 sind Primzahlen. Somit ist 2 · 5 die Primfaktorzerlegung von 10.

Beispiel (PageIndex{2})

Finden Sie die Primfaktorzerlegung von 60.

60 = 2 · 30 30 ist nicht prim. 30 = 2 · 15

= 2 · 2 · 15 15 ist nicht prim. 15 = 3 · 5

= 2 · 2 · 3 · 5 Wir verwenden Exponenten. 2 · 2 = (2^2)

= (2^2) · 3 · 5

Die Zahlen 2, 3 und 5 sind alle Primzahlen. Also, 22 · 3 · 5 ist die Primfaktorzerlegung von 60.

Beispiel (PageIndex{3})

Finden Sie die Primfaktorzerlegung von 11.

11 ist eine Primzahl. Die Primfaktorzerlegung gilt nur für zusammengesetzte Zahlen.

Die Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl

Die folgende Methode bietet eine Möglichkeit, die Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl zu finden. Die folgenden Beispiele werden die Methode verwenden und sie deutlicher machen.

  1. Dividiere die Zahl wiederholt durch die kleinste Primzahl, die ohne Rest in die Zahl geteilt wird.
  2. Wenn sich die in Schritt 1 verwendete Primzahl nicht mehr ohne Rest in die angegebene Zahl teilt, wiederholen Sie den Vorgang mit der nächstgrößeren Primzahl.
  3. Fahren Sie mit diesem Vorgang fort, bis der Quotient 1 ist.
  4. Die Primfaktorzerlegung der gegebenen Zahl ist das Produkt all dieser Primteiler.

Musterset B

Beispiel (PageIndex{4})

Finden Sie die Primfaktorzerlegung von 60.

Da 60 eine gerade Zahl ist, ist sie durch 2 teilbar. Wir werden wiederholt durch 2 teilen, bis wir es nicht mehr können (wenn wir einen Rest erhalten). Wir teilen auf folgende Weise auf.

30 ist wieder durch 2 teilbar.

15 ist nicht durch 2 teilbar, aber durch 3, die nächstgrößere Primzahl, teilbar.

5 ist nicht durch 3 teilbar, aber durch 5, die nächstgrößere Primzahl, teilbar.

Der Quotient ist 1, also stoppen wir den Divisionsprozess

Die Primfaktorzerlegung von 60 ist das Produkt all dieser Teiler.

60 = 2 · 2 · 3 · 5 Wir werden nach Möglichkeit Exponenten verwenden

60 = (2^2) · 3 · 5

Beispiel (PageIndex{5})

Finden Sie die Primfaktorzerlegung von 441.

Da 441 eine ungerade Zahl ist, ist sie nicht durch 2 teilbar. Wir versuchen es mit 3, der nächstgrößeren Primzahl.

147 ist durch 3 teilbar.

49 ist weder durch 3 noch durch 5 teilbar, sondern durch 7.

7 ist durch 7 teilbar.

Der Quotient ist 1, also beenden wir den Divisionsprozess.

Die Primfaktorzerlegung von 441 ist das Produkt aller Teiler.

441 = 3 · 3 · 7 · 7 Wir werden nach Möglichkeit Exponenten verwenden.

441 = (3^2) · (7^2)

Bestimmen Sie für die folgenden Probleme, welche ganzen Zahlen Primzahlen und welche zusammengesetzt sind.

Übung (PageIndex{1})

23

Antworten

prim

Übung (PageIndex{2})

25

Antworten

zusammengesetzt

Übung (PageIndex{3})

27

Antworten

zusammengesetzt

Übung (PageIndex{4})

2

Antworten

prim

Übung (PageIndex{5})

3

Antworten

prim

Übung (PageIndex{6})

5

Antworten

prim

Übung (PageIndex{7})

7

Antworten

prim

Übung (PageIndex{8})

9

Antworten

zusammengesetzt

Übung (PageIndex{9})

11

Antworten

prim

Übung (PageIndex{10})

34

Antworten

zusammengesetzt

Übung (PageIndex{11})

55

Antworten

zusammengesetzt

Übung (PageIndex{12})

63

Antworten

zusammengesetzt

Übung (PageIndex{13})

1044

Antworten

zusammengesetzt

Übung (PageIndex{14})

339

Antworten

zusammengesetzt

Übung (PageIndex{15})

209

Antworten

zusammengesetzt

Bestimmen Sie für die folgenden Probleme die Primfaktorzerlegung jeder ganzen Zahl. Verwenden Sie Exponenten für wiederholte Faktoren.

Übung (PageIndex{16})

26

Übung (PageIndex{17})

38

Antworten

2 · 19

Übung (PageIndex{18})

54

Übung (PageIndex{19})

62

Antworten

2 · 31

Übung (PageIndex{20})

56

Übung (PageIndex{21})

176

Antworten

(2^4) · (11)

Übung (PageIndex{22})

480

Übung (PageIndex{23})

819

Antworten

(3^2) · (7) · (13)

Übung (PageIndex{24})

2025

Übung (PageIndex{25})

148,225

Antworten

(5^2) · (7^2) · (11^2)