Artikel

13.3: Neue Seite - Mathematik


13.3: Neue Seite - Mathematik

13.3: Neue Seite - Mathematik

Alle von MDPI veröffentlichten Artikel werden sofort weltweit unter einer Open-Access-Lizenz verfügbar gemacht. Für die Wiederverwendung des gesamten oder eines Teils des von MDPI veröffentlichten Artikels, einschließlich Abbildungen und Tabellen, ist keine besondere Genehmigung erforderlich. Bei Artikeln, die unter einer Open-Access-Creative Common CC BY-Lizenz veröffentlicht wurden, darf jeder Teil des Artikels ohne Genehmigung wiederverwendet werden, sofern der Originalartikel eindeutig zitiert wird.

Feature Papers stellen die fortschrittlichste Forschung mit erheblichem Potenzial für eine große Wirkung auf diesem Gebiet dar. Feature Papers werden auf individuelle Einladung oder Empfehlung der wissenschaftlichen Herausgeber eingereicht und vor der Veröffentlichung einem Peer Review unterzogen.

Das Feature Paper kann entweder ein origineller Forschungsartikel, eine umfangreiche neue Forschungsstudie sein, die oft mehrere Techniken oder Ansätze umfasst, oder ein umfassendes Übersichtspapier mit prägnanten und präzisen Updates zu den neuesten Fortschritten auf diesem Gebiet, das die aufregendsten Fortschritte in der Wissenschaft systematisch überprüft Literatur. Diese Art von Papier gibt einen Ausblick auf zukünftige Forschungsrichtungen oder mögliche Anwendungen.

Editor’s Choice-Artikel basieren auf Empfehlungen der wissenschaftlichen Herausgeber von MDPI-Zeitschriften aus der ganzen Welt. Die Herausgeber wählen eine kleine Anzahl von kürzlich in der Zeitschrift veröffentlichten Artikeln aus, die ihrer Meinung nach für Autoren besonders interessant oder in diesem Bereich wichtig sind. Ziel ist es, eine Momentaufnahme einiger der spannendsten Arbeiten zu geben, die in den verschiedenen Forschungsbereichen der Zeitschrift veröffentlicht wurden.


Mathematik-Abteilungen von CUNY

Hier sind die Standorte und Kontaktinformationen der Mathematikabteilungen von CUNY. Siehe auch CUNY’s Colleges Seite und Karte für allgemeine Campusinformationen.


Alphabetische Auflistung

Bernard M. Baruch College
24th Street & Lexington Avenue
Ein Bernard-Baruch-Weg
Rm 6-230
New York, NY 10010
(Telefon) (646) 312-4110
(Fax) (646) 312-4111

Stadtteil Manhattan Community College
199 Chambers Street
Rm N-520
New York, NY 10007
(Telefon) (212) 220-1335
(Fax) (212) 748-7459

Bronx Community College
University Avenue und W 181. St
Rm CP 315
Bronx, NY 10453
(Telefon) (718) 289-5411
(Fax) (718) 289-6056

Brooklyn College
2900 Bedford Avenue
1156 Ingersoll-Halle
Brooklyn, NY 11210
(Telefon) (718) 951-5246
(Fax) (718) 951-4674

City College of New York
Convent Avenue & 138. Straße
Rm NAC 8/133
New York, NY 10031
(Telefon) (212) 650-5346
(Fax) (212) 862-0004
(E-Mail) [email protected]

College of Staten Island
2800 Victory Boulevard
Rm 1S-215
Staten Island, NY 10314
(Telefon) (718) 982-3600

Graduiertenzentrum
365 5th Avenue
Rm 4208
New York, NY 10016
(Telefon) (212) 817-8530
(Fax) (212) 817-1527
(E-Mail)[email protected]

Hostos Community College
500 Große Halle
Rm B-408
Bronx, NY 10451
(Telefon) (718) 518-6615

Hunter College
695 Park Avenue
Rm 919/944 E
New York, NY 10065
(Telefon) (212) 772-5300

John Jay College of Criminal Justice
444 West 56. Straße
Rm 4221N
New York, NY 10019
(Telefon) (212) 237-8925

Kingsborough Community College
2001 Orientalischer Boulevard
Rm F309
Brooklyn, NY 11235
(Telefon) (718) 368-5931
(Fax) (718) 368-4868
(E-Mail) [email protected]

Lehman College
250 Bedford Park Blvd W
Rm GI-211
Bronx, NY 10468
(Telefon) (718) 960-8117
(Fax) (718) 960-8969

LaGuardia Community College
31-10 Thomson Avenue
Rm E218
Long Island City, NY 11101
(Telefon) (718) 482-5710

Medgar Evers College
1650 Bedford Avenue
Brooklyn, NY 11225
(Telefon) (718) 270-6416

New York City College of Technology
300 Jay Street
Rm N-711
Brooklyn, NY 11201
(Telefon) (718) 260-5380
(Fax) (718) 254-8537

Queens College
65-30 Kissena Boulevard
Kiely 237
Spülung, NY 11367
(Telefon) (718) 997-5800

Hinterlasse eine Antwort Antwort verwerfen

CUNYMath-Blog

Hypatia, eine griechische Gelehrte, ist eine der ersten bekannten Frauen in der Mathematik.


Willkommen!

Die Telefonleitungen der Hauptabteilung unter (212) 650-5346,7 werden auf ein privates Telefon außerhalb des Colleges umgestellt und werden montags und mittwochs zwischen 11:00 und 19:00 Uhr und am Dienstag, Donnerstag und Freitag von 9:00 bis 17:00 Uhr beantwortet. wenn das College nicht wegen Feiertagen oder Schnee geschlossen ist.

Senden Sie Ihre Anliegen und Fragen vorzugsweise per E-Mail an [email protected], die ebenfalls überwacht wird.

Mitarbeiter und Administratoren leiten entweder ihre Telefonleitungen weiter oder überwachen regelmäßig ihre Campus-Voicemail.

Der Assistant Chair, Prof. Bak, und die Department Advisors for Non-Majors, Herr Park und Herr Turner, bieten regelmäßig Online-Beratungsstunden an, in denen Sie sich in Echtzeit mit ihnen in Verbindung setzen können. Die Details finden Sie auf unserer Administrationsseite, die Sie über die linke Seitenleiste erreichen oder hier klicken.

Darüber hinaus steht Herr Turner, der auch der Artino Lab Director ist, während seiner oben genannten Sprechzeiten zur Verfügung, um Programmierfragen von Studenten in Mathematik 328, 377 und 412/A1200 zu beantworten.

Die Lehrkräfte sind per E-Mail oder über ihre Sprechzeiten erreichbar. Sie finden eine Liste der Dozenten, indem Sie hier klicken oder hier klicken, um die Sprechzeiten für das Sommersemester 2021 anzuzeigen.

Wir hoffen, dass alle gesund und munter bleiben und freuen uns auf ein Wiedersehen.

Treffen Sie die platonischen Körper: Oktaeder

Die platonischen Körper sind seit der Antike bekannt und spielen in Platons Beschreibung der physikalischen Welt eine herausragende Rolle. Die ebenen Flächen jedes Volumenkörpers sind identische Polygone. Es erscheinen nur gleichseitige Dreiecke, Quadrate und regelmäßige Fünfecke.

Obwohl die platonischen Körper rein geometrische Objekte zu sein scheinen, verkörpern sie eine Reihe tiefer algebraischer Merkmale. Ihre Symmetrien beziehen sich beispielsweise auf die Lösung von Polynomgleichungen niedrigen Grades.

Wenn Sie mehr über platonische Körper erfahren möchten, können Sie hier beginnen.


Gemeinsame Kernmathematik Klasse 3 (Arbeitsblätter, Hausaufgaben, Unterrichtspläne)

Suchen Sie nach Video-Lektionen, die Ihnen bei Ihren Common Core Grade 3 Math-Klassenaufgaben oder Hausaufgaben helfen?
Suchen Sie nach gemeinsamen Kernarbeitsblättern und Unterrichtsplänen für Mathematik, die Ihnen bei der Vorbereitung des Unterrichts für Schüler der 3. Klasse helfen?

Die folgenden Unterrichtspläne und Arbeitsblätter stammen aus den Common Core-orientierten Bildungsressourcen des New York State Education Department. Die Unterrichtspläne und Arbeitsblätter sind in sieben Module unterteilt.

Hausaufgaben für Klasse 3, Unterrichtspläne und Arbeitsblätter

Lektion 1: Verstehen gleiche Gruppen von als Multiplikation. (Video)

Lektion 4: Verstehen Sie die Bedeutung des Unbekannten als die Größe der Gruppe in Teilung. (Video) (Arbeitsblatt Sprint A) (Arbeitsblatt Sprint B)

Lektion 5: Verstehen Sie die Bedeutung des Unbekannten als Anzahl der Gruppen, die geteilt werden. (Video)

Lektion 7, Lektion 8: Demonstrieren Sie die Kommutativität der Multiplikation und üben Sie relevante Fakten, indem Sie Objekte in Array-Modellen überspringen. (Video)

Lektion 9: Finden Sie verwandte Multiplikationsfakten, indem Sie gleiche Gruppen in Array-Modellen addieren und subtrahieren. (Video)

Lektion 11: Modelldivision als unbekannter Faktor bei der Multiplikation mit Arrays und Banddiagrammen. (Video)

Lektion 12: Interpretieren Sie den Quotienten als die Anzahl der Gruppen oder die Anzahl der Objekte in jeder Gruppe mit Einheiten von 2. (Video)

Lektion 14: Überspringen Sie das Zählen von Objekten in Modellen, um die Multiplikationsfakten mithilfe von 4er-Einheiten fließend zu gestalten.

Lektion 15: Verbinden Sie Arrays mit Banddiagrammen, um die kommutative Eigenschaft der Multiplikation zu modellieren. (Video)

Lektion 16: Verwenden Sie die Verteilungseigenschaft als Strategie, um verwandte Multiplikationsfakten zu finden. (Video)

Lektion 20: Lösen Sie zweistufige Wortaufgaben mit Multiplikation und Division und beurteilen Sie die Angemessenheit der Antworten. (Video) (Arbeitsblatt Sprint A) (Arbeitsblatt Sprint B)

Lektion 1: Erkunden Sie die Zeit als kontinuierliche Messung mit einer Stoppuhr. (Video)

Lektion 2: Verbinden Sie das Überspringen-Zählen um 5 auf der Uhr und die Zeitangabe mit einem kontinuierlichen Messmodell, dem Zahlenstrahl. (Video) (Arbeitsblatt Sprint A) (Arbeitsblatt Sprint B)

Lektion 3: Zählen Sie mit Fünfen und Einsen auf dem Zahlenstrahl, um die Zeit auf die nächste Minute genau anzuzeigen. (Video)

Lektion 4: Lösen Sie Textaufgaben mit Zeitintervallen innerhalb einer Stunde, indem Sie mit dem Zahlenstrahl und der Uhr rückwärts und vorwärts zählen. (Video)

Lektion 6: Bauen und zerlegen Sie ein Kilogramm, um über die Größe und das Gewicht von 1 Kilogramm, 100 Gramm, 10 Gramm und 1 Gramm nachzudenken. (Video)

Lektion 7: Entwickeln Sie Schätzstrategien, indem Sie über das Gewicht einer Reihe bekannter Objekte in Kilogramm nachdenken, um mentale Benchmark-Messwerte festzulegen. (Video)

Lektion 8: Löse einstufige Wortaufgaben mit metrischen Gewichtungen innerhalb von 100 und schätze, um über Lösungen nachzudenken. (Video)

Lektion 9: Zerlegen Sie einen Liter, um über die Größe von 1 Liter, 100 Milliliter, 10 Milliliter und 1 Milliliter nachzudenken. (Video)

Lektion 10: Schätzen und messen Sie das Flüssigkeitsvolumen in Litern und Millilitern mithilfe des vertikalen Zahlenstrahls. (Video)

Lektion 12: Runden Sie zweistellige Maße auf der vertikalen Zahlenlinie auf die nächste Zehn. (Video)

Lektion 13: Runden Sie zwei- und dreistellige Zahlen auf dem vertikalen Zahlenstrahl auf die nächste Zehn. (Video)

Lektion 15: Fügen Sie Messungen mit dem Standardalgorithmus hinzu, um einmal größere Einheiten zu erstellen. (Video)

Lektion 16: Fügen Sie Messungen mit dem Standardalgorithmus hinzu, um größere Einheiten zweimal zusammenzusetzen. (Video)

Lektion 18: Einmal zerlegen, um Messwerte einschließlich dreistelliger Minuenden mit Nullen an Zehner- oder Einerstelle zu subtrahieren. (Video)

Lektion 19: Zweimal zerlegen, um Messungen einschließlich dreistelliger Minuenden mit Nullen an den Zehner- und Einerstellen zu subtrahieren. (Video)

Lektion 20: Schätzen Sie Differenzen durch Runden und wenden Sie sie zur Lösung von Messwortaufgaben an (Video) (Arbeitsblatt Sprint A) (Arbeitsblatt Sprint B)

Lektion 1: Studieren Sie die Kommutativität, um bekannte Fakten von 6, 7, 8 und 9 zu finden. (Video) (Arbeitsblatt Sprint A) (Arbeitsblatt Sprint B)

Lektion 2: Wenden Sie die distributiven und kommutativen Eigenschaften an, um Multiplikationsfakten in Beziehung zu setzen 5 × n + n bis 6 × n und n × 6 wobei n ist die Größe der Einheit. (Video) (Arbeitsblatt Sprint A) (Arbeitsblatt Sprint B)

Lektion 4: Zählen Sie mit Einheiten von 6, um zu multiplizieren und zu dividieren, indem Sie Zahlenbindungen verwenden, um sie zu zerlegen. (Video)

Lektion 5: Zählen Sie mit Einheiten von 7 zum Multiplizieren und Dividieren mit Zahlenbindungen zum Zerlegen. (Video)

Lektion 6: Verwenden Sie die Verteilungseigenschaft als Strategie zum Multiplizieren und Dividieren mit den Einheiten 6 und 7. (Video)

Lektion 8: Die Funktion von Klammern verstehen und auf Problemlösungen anwenden. (Video)

Lektion 9: Modellieren Sie die assoziative Eigenschaft als Multiplikationsstrategie. (Video)

Lektion 10: Verwenden Sie die Verteilungseigenschaft als Strategie zum Multiplizieren und Dividieren. (Video)

Lektion 12: Wenden Sie die Verteilungseigenschaft und die Tatsache 9 = 10 - 1 als Multiplikationsstrategie an. (Video)

Lektion 16: Begründen und erklären Sie arithmetische Muster mit den Einheiten 0 und 1 in Bezug auf Multiplikation und Division. (Video) (Arbeitsblatt Sprint A) (Arbeitsblatt Sprint B)

Lektion 17: Identifizieren Sie Muster in Multiplikations- und Divisionsfakten mithilfe der Multiplikationstabelle. (Video)

Lektion 19: Multiplizieren mit Vielfachen von 10 anhand der Stellenwerttabelle. (Video)

Lektion 20: Verwenden von Stellenwertstrategien und der assoziativen Eigenschaft n × (m × 10) = (n × m) × 10 (wobei n und m kleiner als 10 sind), um sie mit Vielfachen von 10 zu multiplizieren. (Video)

Lektion 1: Fläche als Attribut von ebenen Figuren verstehen. (Video)

Lektion 2: Formen zerlegen und neu zusammensetzen, um Bereiche zu vergleichen. (Video)

Lektion 3: Modellieren Sie die Kachelung mit Zentimeter- und Zoll-Einheitsquadraten als Strategie zur Flächenmessung. (Video)

Lektion 5: Bilden Sie Rechtecke durch Kacheln mit Einheitsquadraten, um Arrays zu erstellen. (Video)

Lektion 6: Zeichnen Sie Zeilen und Spalten, um die Fläche eines Rechtecks ​​bei einem unvollständigen Array zu bestimmen. (Video)

Lektion 7: Flächenmodelle interpretieren, um rechteckige Arrays zu bilden. (Video)

Lektion 9: Analysiere verschiedene Rechtecke und begründe ihre Fläche. (Video)

Lektion 10: Wenden Sie die Verteilungseigenschaft als Strategie an, um die Gesamtfläche eines großen Rechtecks ​​zu ermitteln, indem Sie zwei Produkte addieren. (Video)

Lektion 12: Textaufgaben mit Flächenbezug lösen. (Video)

Lektion 13, Lektion 14: Finden Sie Bereiche, indem Sie sie in Rechtecke zerlegen oder zusammengesetzte Figuren zu Rechtecken vervollständigen. (Video)

Lektion 1: Spezifizieren und unterteilen Sie ein Ganzes in gleiche Teile, indem Sie Einheitsbrüche anhand konkreter Modelle identifizieren und zählen. (Video)

Lektion 2: Spezifizieren und unterteilen Sie ein Ganzes in gleiche Teile, indem Sie Einheitsbrüche identifizieren und zählen, indem Sie Bruchstreifen falten. (Video)

Lektion 3: Spezifizieren und unterteilen Sie ein Ganzes in gleiche Teile, indem Sie Einheitsbrüche identifizieren und zählen, indem Sie bildhafte Flächenmodelle zeichnen. (Video)

Lektion 5: Teilen Sie ein Ganzes in gleiche Teile und definieren Sie die gleichen Teile, um den Einheitsbruch numerisch zu identifizieren. (Video)

Lektion 6: Bilden Sie Nicht-Einheitsbrüche von weniger als einem Ganzen aus Einheitsbrüchen. (Video)

Lektion 7: Identifizieren Sie schattierte und nicht schattierte Teile eines Ganzen und stellen Sie sie als Brüche dar. (Video)

Lektion 8: Teile eines Ganzen als Brüche mit Zahlenbindungen darstellen. (Video)

Lektion 10: Vergleichen Sie Einheitsfraktionen, indem Sie ihre Größe mit Fraktionsstreifen begründen. (Video)

Lektion 11: Vergleichen Sie Einheitsbrüche mit unterschiedlich großen Modellen, die das Ganze darstellen. (Video)

Lektion 12: Geben Sie das entsprechende Ganze an, wenn es mit einem gleichen Teil präsentiert wird. (Video)

Lektion 13: Identifizieren Sie einen schattierten Bruchteil je nach Bezeichnung des Ganzen auf unterschiedliche Weise. (Video)

Lektion 14: Platziere Einheitsbrüche auf einem Zahlenstrahl mit den Endpunkten 0 und 1. (Video)

Lektion 15: Platziere einen beliebigen Bruch auf einem Zahlenstrahl mit den Endpunkten 0 und 1. (Video)

Lektion 16: Platziere ganzzahlige Brüche und Einheitsbrüche zwischen ganzen Zahlen auf dem Zahlenstrahl. (Video)

Lektion 17: Üben Sie, verschiedene Brüche auf dem Zahlenstrahl zu platzieren. (Video)

Lektion 18: Vergleiche Brüche und ganze Zahlen auf dem Zahlenstrahl, indem du über ihren Abstand von 0 nachdenkst. (Video)

Lektion 19: Verstehen Sie Abstand und Position auf dem Zahlenstrahl als Strategien zum Vergleichen von Brüchen. (Optional) (Video)

Lektion 20: Erkenne und zeige, dass äquivalente Brüche die gleiche Größe haben, aber nicht unbedingt die gleiche Form haben. (Video)

Lektion 21: Erkenne und zeige, dass sich äquivalente Brüche auf denselben Punkt auf dem Zahlenstrahl beziehen. (Video)

Lektion 22, Lektion 23: Erzeuge einfache äquivalente Brüche mit Hilfe von visuellen Bruchmodellen und dem Zahlenstrahl. (Videos)

Lektion 24: Drücken Sie ganze Zahlen als Brüche aus und erkennen Sie die Äquivalenz mit verschiedenen Einheiten. (Video)

Lektion 25: Drücken Sie ganzzahlige Brüche auf dem Zahlenstrahl aus, wenn das Einheitsintervall 1 ist. (Video)

Lektion 26: Zerlegen ganzzahliger Brüche größer als 1 unter Verwendung ganzzahliger Äquivalenz mit verschiedenen Modellen. (Video)

Lektion 28: Vergleiche Brüche mit demselben Zähler bildhaft. (Video)

Lektion 29: Vergleichen Sie Brüche mit demselben Zähler mit <, > oder = und verwenden Sie ein Modell, um über ihre Größe nachzudenken. (Video)

Lektion 1: Daten generieren und organisieren. (Video)

Lektion 2: Banddiagramme vertikal drehen. (Video)

Lektion 5: Erstellen Sie ein Lineal mit 1-Zoll-, 1/2-Zoll- und 1/4-Zoll-Intervallen und generieren Sie Messdaten. (Video)

Lektion 6: Interpretieren Sie Messdaten aus verschiedenen Liniendiagrammen. (Video)

Lektion 7, Lektion 8: Messdaten mit Liniendiagrammen darstellen. (Video)

Lektion 1, Lektion 2: Lösen Sie Wortaufgaben in verschiedenen Kontexten, indem Sie einen Buchstaben verwenden, um das Unbekannte darzustellen. (Video)

Lektion 4: Vierecke vergleichen und klassifizieren. (Video)

Lektion 5: Vergleichen und klassifizieren Sie andere Polygone. (Video)

Lektion 6: Zeichnen Sie Polygone mit bestimmten Attributen, um Probleme zu lösen. (Video)

Lektion 7: Gründe für das Zusammensetzen und Zerlegen von Polygonen mit Tetrominos. (Video)

Lektion 8: Erstellen Sie ein Tangram-Puzzle und beobachten Sie die Beziehungen zwischen den Formen. (Video)

Lektion 10: Zerlegen Sie Vierecke, um den Umfang als Begrenzung einer Form zu verstehen. (Video)

Lektion 11: Tessellate, um den Umfang als Begrenzung einer Form zu verstehen. (Optional) (Video)

Lektion 12: Messen Sie Seitenlängen in ganzzahligen Einheiten, um den Umfang von Polygonen zu bestimmen. (Video)

Lektion 13: Erkunden Sie den Umfang als Attribut von ebenen Figuren und lösen Sie Probleme. (Video)

Lektion 14: Bestimmen Sie den Umfang von regelmäßigen Polygonen und Rechtecken, wenn ganzzahlige Messungen fehlen. (Video)

Lektion 15: Textaufgaben lösen, um den Umfang mit gegebenen Seitenlängen zu bestimmen. (Video)

Lektion 16: Verwenden Sie eine Schnur, um den Umfang verschiedener Kreise auf den nächsten Viertelzoll zu messen. (Video)

Lektion 18: Konstruiere Rechtecke aus einer gegebenen Anzahl von Einheitsquadraten und bestimme den Umfang. (Video)

Lektion 19: Verwenden Sie ein Liniendiagramm, um die Anzahl der Rechtecke aufzuzeichnen, die aus einer bestimmten Anzahl von Einheitsquadraten konstruiert wurden. (Video)

Lektion 20, Lektion 21: Konstruiere Rechtecke mit gegebenem Umfang aus Einheitsquadraten und bestimme deren Flächen. (Video)

Lektion 23: Lösen Sie eine Vielzahl von Textaufgaben mit Perimeter. (Video)

Lektion 24, Lektion 25, Lektion 26, Lektion 27: Verwenden Sie Rechtecke, um einen Roboter mit bestimmten Umfangsmaßen zu zeichnen, und begründen Sie die verschiedenen Bereiche, die produziert werden können. (Video)

Lektion 28, Lektion 29: Lösen Sie eine Vielzahl von Textaufgaben, die Fläche und Umfang betreffen, indem Sie alle vier Operationen verwenden. (Video)

Lektion 31, Lektion 32: Erforsche und erstelle unkonventionelle Darstellungen von einer Hälfte. (Video)

Lektion 33: Festigen Sie Ihre Sprachgewandtheit mit Fähigkeiten der 3.

Probieren Sie den kostenlosen Mathway-Rechner und den folgenden Problemlöser aus, um verschiedene mathematische Themen zu üben. Probieren Sie die angegebenen Beispiele aus oder geben Sie Ihr eigenes Problem ein und überprüfen Sie Ihre Antwort mit den Schritt-für-Schritt-Erklärungen.

Wir freuen uns über Ihr Feedback, Kommentare und Fragen zu dieser Site oder Seite. Bitte senden Sie Ihr Feedback oder Ihre Anfragen über unsere Feedback-Seite.


Haupt-/Nebenfach Mathematik

Ist ein Mathe-Studium das Richtige für mich?

Denkst du gerne über mathematische Probleme nach? Diskutieren Sie gerne mit Ihren Freunden über Mathematik? Sind Sie neugierig, wie Mathematik in unserer immer komplexer werdenden Welt eingesetzt wird? Möchten Sie ein Fach studieren, das Ihre analytischen und Denkfähigkeiten verbessert? Wenn Sie eine dieser Fragen mit Ja beantwortet haben, können Sie ein Studium der Mathematik in Erwägung ziehen.

Was kann ich mit einem Mathematikstudium nach dem Studium machen?

Es gibt viele Dinge, die Sie tun können: Starten Sie eine Karriere als Aktuar, arbeiten Sie in der Finanzbranche mit statistischen Analysen und Finanzmodellen, machen Sie einen MBA oder einen Master in Mathematik oder Statistik, unterrichten Sie Mathematik in den Sekundarschulen oder einen Doktortitel in Mathematik und erstellen Sie die Mathematik, die andere Leute verwenden werden. Kurz gesagt bietet das Hauptfach Mathematik eine Ausbildung in rigorosem Denken und Problemanalyse, die in vielen Karrierewegen breite Anwendung findet. Auf der Karriereseite dieser Website finden Sie weitere Informationen über das breite Spektrum an Möglichkeiten, die das heutige Mathematikstudium erwarten.

Welchen Hintergrund benötige ich, um Mathematik zu studieren?

Mathematik ist ein sequentielles Fach, sodass Sie ohne eine solide Basis nicht einfach einsteigen können. Alle Mathematik-Hauptfächer müssen die Analysis-Sequenz Mathe 20100, 20200 und 20300 absolvieren. Diese Kurse decken die Grundlagen der Einzel- und Mehrvariablenrechnung ab. Obwohl in einigen Mathematikkursen für Fortgeschrittene keine Analysis verwendet wird, decken die Mathematikkurse viele Methoden der Algebra und Geometrie ab, die in einem Großteil der höheren Mathematik unerlässlich sind.

Was braucht ein Hauptmathematik nach dem Infinitesimalrechnung?

Wir bieten drei Optionen für das Hauptfach Mathematik an. Was Sie nach dem Kalkül nehmen, hängt in gewissem Maße davon ab, welche dieser Optionen Sie verfolgen. Die Wahlmöglichkeiten sind Reine Mathematik (B.A. oder B.S.), Sekundarschulbildung (B.A. oder B.S.) und Angewandte Mathematik (B.S.). Diese werden in der Hauptbeschreibung ausführlich beschrieben.

Obwohl sich die Anforderungen für diese Möglichkeiten überschneiden, ist es am besten, wenn sich ein Studierender bei der Planung eines Studiengangs und dem Ausfüllen der Unterlagen, die für die Einschreibung in das Hauptfach erforderlich sind, mit dem Assistenzlehrstuhl abstimmt.

Studierende, die an der School of Education ein Studium der Kindheitspädagogik absolvieren, können eine spezielle interdisziplinäre Vertiefung in Mathematik belegen, um ihre Hauptanforderung zu erfüllen. Die Kurse in diesem Programm sind im Merkblatt Mathematik/Kindererziehung beschrieben.

Ich interessiere mich für Mathematik als Hauptfach. Welche Option soll ich wählen?

Wenn Sie ein besonderes Interesse am öffentlichen Sekundarunterricht haben – und der Bedarf an Gymnasiallehrern für Mathematik unersättlich ist – sollten Sie die Option in der Sekundarstufe II in Anspruch nehmen. Um eine Zertifizierung im Staat New York zu erhalten, müssen Sie einige Bildungsgänge absolvieren.

Wenn Sie über ein weiterführendes Mathematikstudium nachdenken oder einfach nur ein anspruchsvolles Studium absolvieren möchten, das Sie auf anspruchsvolle Berufschancen vorbereitet, sollten Sie die Option Pure Mathematics in Betracht ziehen.

Das Programm Angewandte Mathematik zielt darauf ab, den Studierenden die mathematischen Werkzeuge an die Hand zu geben, die für Berufseinsteiger in Wirtschaft und Forschung am dringendsten benötigt werden. Das Programm konzentriert sich auf Wahrscheinlichkeit und Statistik, mathematische Modellierung und den Einsatz von Computern in der mathematischen und statistischen Analyse.

Welche Möglichkeiten bietet das Department für Majors?

Wir bieten mehrere Stipendienprogramme an, die für herausragende Studiengänge ein bis zwei Jahre Vollunterricht bieten. Die Fakultät hat zusätzliche Auszeichnungen, sowohl monetär als auch akademisch, die sie in Anerkennung der studentischen Leistungen vergibt. Wir bieten auch eine Reihe von bezahlten Sommerpraktika für Studenten in Wirtschaft und Verwaltung.

Majors werden auch ermutigt, sich direkt bei anderen Institutionen zu bewerben, die von der National Science Foundation finanzierte Sommerforschungsprogramme unterstützen. Der Assistant Chair unterstützt die Studierenden bei der Auswahl eines geeigneten Programms.

Mathe-Majors, die auf dem Campus in einem Job arbeiten möchten, der auch ihre akademischen Fähigkeiten verbessert, werden ermutigt, sich als Tutoren für den Math Help Desk zu bewerben. Bewerber sollten die Analysis-Sequenz mit einem Durchschnitt von 3,0 und mindestens einen der folgenden Kurse (Mathe 34600, Math 39200 oder Math 39100) mit der Note B oder höher abgeschlossen haben und einen Mathe-GPA (Calculus und höher) von at . haben mindestens 2,75.

Kann ich als Bachelor ein Masterstudium in Mathematik belegen?

Studierende, die die entsprechenden Voraussetzungen mitbringen, können sich für die A-Level-Studiengänge anmelden. Diese werden auf den Bachelor-Abschluss angerechnet. Die angebotenen Angebote entnehmen Sie bitte dem Studienplan der Graduiertenkollegs. Studierende, die einen Masterstudiengang belegen möchten, benötigen die Zustimmung des Assistant Chairs.

Wenn Sie den Studiengang Pure Mathematics absolvieren und weiterführende Studiengänge belegen, sollten Sie sich für den beschleunigten Masterstudiengang bewerben, der Ihnen nach dem Bachelorabschluss einen schnelleren Masterabschluss ermöglicht.

Gibt es Forschungsmöglichkeiten für Studierende?

Das Institut vergibt einen Abschluss mit Auszeichnung für Studierende, die den entsprechenden Studiengang abgeschlossen haben. Professor Thea Pignataro ist die Koordinatorin der Abteilung Honours und Studierende, die sich für das Honours-Programm interessieren, sollten sich zu Beginn ihres Junior-Jahres mit ihr beraten.

Kann ich in Mathe Nebenfach sein?

Ja, Studierende können ein Nebenfach in Mathematik erwerben, wenn sie die folgenden Voraussetzungen erfüllen. Die Rechensequenz (Math 20100, 20200 und 20300) plus insgesamt zwölf Credits in Mathematik am City College in Kursen mit 30000 oder höher, die einen der folgenden Punkte umfasst: Math 34600: Elements of Linear Algebra oder Math 39200: Linear Algebra und Vektoranalyse für Ingenieure. Studierende der Ingenieurwissenschaften können das Minor in der Regel mit zwei zusätzlich zu den für das Studium erforderlichen Mathematikkursen abschließen. Nach Abschluss der Anforderungen müssen die Studierenden über den Major Advisor des Departments ein Formular für die Minderjährigkeitserklärung einreichen.


Mathematik: Anwendungen und Interpretation SL WORKED SOLUTIONS

Dieses Buch bietet Ihnen in jedem Kapitel unseres Lehrbuchs Mathematik: Anwendungen und Interpretation SL vollständig ausgearbeitete Lösungen für jede Frage in Übungen, Wiederholungssätzen, Aktivitäten und Untersuchungen (die keine Experimente der Schüler beinhalten).

Jede ausgearbeitete Lösung wird gegebenenfalls dem entsprechenden ausgearbeiteten Beispiel im Lehrbuch nachempfunden. Richtige Antworten können manchmal durch verschiedene Methoden erhalten werden.

Dieses Produkt wurde unabhängig von der International Baccalaureate Organization entwickelt und wird nicht von ihr unterstützt. International Baccalaureate, Baccalaureát International, Bachillerato Internacional und IB sind eingetragene Marken der International Baccalaureate Organization.

Erscheinungsjahr: 2020
Seitenzahl: 701
Online-ISBN: 978-1-925489-84-2 (9781925489842)

Mathematik: Anwendungen und Interpretation SL WORKED SOLUTIONS

1 ANHÄNGE UND FEHLER 5
2 DARLEHEN UND ANNUITÄTEN 25
3 FUNKTIONEN 51
4 MODELLIEREN 105
5 BIVARIAT STATISTIKEN 133
6 QUADRATISCHE FUNKTIONEN 180
7 DIREKTE UND INVERSE VARIATION 252
8 EXPONENTIALE UND LOGARITHMEN 278
9 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 334
10 DIFFERENZIERUNG 374
11 EIGENSCHAFTEN VON KURVEN 420
12 ANWENDUNGEN DER DIFFERENZIERUNG 468
13 INTEGRATION 505
14 DISKRETE ZUFÄLLIGE VARIABLEN 551
15 DIE NORMALVERTEILUNG 582
16 HYPOTHESENTEST 623
17 VORONOI-DIAGRAMME 660

Autoren

Bradley Steventon

Joseph Klein

Ngoc Vo

Ngoc Vo hat einen Bachelor of Mathematical Sciences an der University of Adelaide mit den Schwerpunkten Statistik und Angewandte Mathematik abgeschlossen. Ihre mathematischen Interessen umfassen Regressionsanalyse, Bayessche Statistik und statistische Berechnungen. Ngoc arbeitet seit 2016 bei Haese Mathematics als Korrekturleser und Autor.

Was hat Sie an der Mathematik gereizt?

Ursprünglich hatte ich geplant, Ingenieurwissenschaften an der Universität zu studieren, aber nach ein paar Wochen habe ich schnell gemerkt, dass das nicht das Richtige für mich ist. Also wechselte ich bei der ersten sich bietenden Gelegenheit zu einem Mathematikstudium. Ich hatte eigentlich nicht vor, Statistik als Hauptfach zu studieren, aber als ich mein Studium fortsetzte, fand ich, dass mir das Fach immer mehr ans Herz gewachsen ist. Die mathematische Strenge beim Nachweis von Verteilungsergebnissen und ihrer Verknüpfung mit realen Daten – alles schien einfach Klick zu machen.

Was sind einige interessante Dinge, die Sie bei der Arbeit tun können?

Als ansässiger Statistiker hier bei Haese Mathematics habe ich das Vergnügen, neue Statistikkapitel und verwandtes Material zu schreiben. Statistik war schon immer ein herausforderndes Lehr- und Lernfach, aber das muss nicht immer so sein. Um diese Lücke zu schließen, versuche ich gerne, so viele historische Notizen, Aktivitäten und Untersuchungen wie möglich einzubeziehen, um es so spannend wie möglich zu gestalten. Die Gründe warum wir tun Dinge, und die Menschen dahinter sind oft wichtige Dinge, über die wir vergessen zu reden. Statistik und natürlich Mathematik gibt es nicht nur auf den Seiten Ihres Lehrbuchs oder sogar im Lehrplan. Diese Disziplinen haben so viel Breite und Tiefe, dass wir die meiste Zeit nur knapp an der Oberfläche kratzen.

Was interessiert Sie außerhalb der Mathematik?

In meiner Freizeit lerne ich gerne gute Typografie und verbessere meine TeX-Kenntnisse, um der nächste TeXpert zu werden. Auf der weniger technischen Seite der Dinge genieße ich auch Scrapbooking, Malerei und gelegentliche Karten.


§ 22.1-253.13:3. Standard 3. Akkreditierung, andere Standards, Bewertungen und Freigaben von staatlichen Vorschriften.

A. Der Vorstand erlässt Regelungen zur Festlegung von Standards für die Akkreditierung gemäß dem Verwaltungsverfahrensgesetz (§ 2.2-4000 ff.), die (i) Studienleistungen und Wachstumsmaßnahmen, (ii) Anforderungen und Richtlinien für Lehrprogramme und für die Integration von Bildungstechnologie in solche Lehrprogramme, (iii) Personalbestand und -positionen im Verwaltungs- und Lehrbereich, einschließlich Personalstellen zur Unterstützung der Bildungstechnologie, (iv) Studentendienste, (v) Hilfsausbildungsprogramme wie Bibliotheks- und Mediendienste, (vi ) Anforderungen für den Abschluss der High School, (vii) die Beziehungen zur Gemeinde und (viii) die Philosophie, Ziele und Ziele der öffentlichen Bildung im Commonwealth.

Der Vorstand erlässt Vorschriften zur Festlegung von Standards für die Akkreditierung öffentlicher virtueller Schulen unter der Aufsicht der örtlichen Schulbehörde, die Schüler in Vollzeit einschreiben.

Die Richtlinien des Vorstands zur Festlegung von Standards für die Akkreditierung stellen sicher, dass der Akkreditierungsprozess transparent ist und auf objektiven Messungen beruht und dass jeder Einspruch gegen den Akkreditierungsstatus einer Schule vom Vorstand gehört und entschieden wird.

Der Vorstand überprüft jährlich den Akkreditierungsstatus aller Schulen im Commonwealth. Der Vorstand überprüft den Akkreditierungsstatus einer Schule alle drei Jahre, wenn die Schule in drei aufeinander folgenden Jahren vollständig akkreditiert wurde. Nach einer solchen dreijährigen Überprüfung überprüft der Vorstand den Akkreditierungsstatus der Schule für jedes einzelne Jahr innerhalb dieses dreijährigen Überprüfungszeitraums. Stellt der Vorstand fest, dass die Schule in diesem dreijährigen Überprüfungszeitraum jedes Jahr akkreditiert worden wäre, muss der Vorstand die Schule für weitere drei Jahre akkreditieren. Der Vorstand kann den Akkreditierungsstatus einer anderen Schule alle zwei Jahre oder alle drei Jahre überprüfen, vorausgesetzt, dass jede Schule, die einen mehrjährigen Akkreditierungsstatus als die vollständige Akkreditierung erhält, für die Dauer durch einen vom Vorstand genehmigten mehrjährigen Korrekturmaßnahmenplan abgedeckt ist des Akkreditierungszeitraums. Dieser mehrjährige Korrekturmaßnahmenplan umfasst jährliche schriftliche Fortschrittsaktualisierungen für den Vorstand. Ein mehrjähriger Akkreditierungsstatus entbindet keine Schule oder Abteilung von den jährlichen Berichtspflichten.

Jede örtliche Schulbehörde unterhält Schulen, die gemäß den vom Vorstand vorgeschriebenen Akkreditierungsstandards vollständig akkreditiert sind. Jede örtliche Schulbehörde berichtet jährlich in einer öffentlichen Sitzung über den Akkreditierungsstatus aller Schulen in der örtlichen Schulabteilung.

Der Vorstand richtet ein Überprüfungsverfahren ein, um Schulen zu unterstützen, die die vom Vorstand festgelegten Standards nicht erfüllen. Die zuständige Schulbehörde berichtet über die Ergebnisse einer solchen Überprüfung und alle jährlichen Fortschrittsberichte in öffentlicher Sitzung und führt alle durch eine solche Überprüfung identifizierten Maßnahmen durch und nutzt sie für die Verbesserungsplanung.

Der Vorstand erstellt einen Korrekturmaßnahmenplanprozess für jede Schule, die die vom Vorstand festgelegten Standards nicht erfüllt. Ein solches Verfahren erfordert, dass (a) jede Schulbehörde einen Korrekturmaßnahmenplan für jede Schule in der örtlichen Schulabteilung vorlegt, die nicht den vom Vorstand festgelegten Standards entspricht, und (b) jede Schulbehörde, die keine Fortschritte bei der Entwicklung oder Umsetzung nachweist einen solchen Korrekturmaßnahmenplan, um mit dem Vorstand eine Absichtserklärung zu schließen.

Wenn der Vorstand durch seinen Überprüfungsprozess feststellt, dass das Versäumnis von Schulen innerhalb einer Abteilung, die vom Vorstand festgelegten Standards zu erfüllen, damit zusammenhängt, dass die Qualitätsstandards auf Abteilungsebene nicht umgesetzt wurden oder andere Maßnahmen oder Untätigkeiten auf Abteilungsebene durchgeführt wurden, kann der Vorstand verlangen eine wissenschaftliche Überprüfung auf Abteilungsebene. Nach Durchführung einer solchen Überprüfung und innerhalb der vom Vorstand festgelegten Frist schließt jede Schulbehörde eine Absichtserklärung mit dem Vorstand ab und legt anschließend dem Vorstand einen Korrekturmaßnahmenplan zur Genehmigung vor, der mit den vom Vorstand festgelegten Kriterien übereinstimmt consistent konkrete Maßnahmen und einen Zeitplan, der sicherstellen soll, dass die Schulen innerhalb ihrer Schulabteilung die vom Vorstand festgelegten Standards erfüllen. Wenn der Vorstand feststellt, dass der vorgeschlagene Korrekturmaßnahmenplan nicht ausreicht, um alle Schulen innerhalb der Abteilung in die Lage zu versetzen, die vom Vorstand festgelegten Standards zu erfüllen, kann der Vorstand den Plan an den örtlichen Schulausschuss mit der Anweisung zurücksenden, einen geänderten Plan gemäß dem Vorstand vorzulegen Orientierungshilfe. Solche Korrekturmaßnahmenpläne sind gemäß § 22.1-253.13:6 Bestandteil des Gesamtplans der jeweiligen Schulabteilung.

B. Der Superintendent of Public Instruction entwickelt, vorbehaltlich der Überarbeitung durch den Vorstand, Kriterien für die Feststellung und Anerkennung von Bildungsleistungen in den örtlichen Schulabteilungen und öffentlichen Schulen des Commonwealth. Der Teil dieser Kriterien, der das individuelle Schülerwachstum misst, wird ein integraler Bestandteil des Akkreditierungsverfahrens für Schulen, in denen jede Klassenstufe der Klassen drei bis acht unterrichtet wird. Der Schulleiter hat dem Vorstand jährlich über den Akkreditierungsstatus aller Schulabteilungen und Schulen Bericht zu erstatten. Ein solcher Bericht muss eine Analyse der Stärken und Schwächen der öffentlichen Bildungsprogramme in den verschiedenen Schulabteilungen in Virginia und Empfehlungen an die Generalversammlung enthalten, um das Lernen der Schüler einheitlich im gesamten Commonwealth zu verbessern. Bei der Anerkennung der Bildungsleistung und des individuellen Schülerwachstums in den Schulabteilungen berücksichtigt der Vorstand die Leistungen der Sonderschulabteilungen, wie die Anzahl der dualen Einschreibungen und Schüler in Advanced Placement- und International Baccalaureate-Kursen sowie die Teilnahme an den Governor's Schools im akademischen Jahr.

Der Superintendent of Public Instruction unterstützt die örtlichen Schulbehörden bei der Umsetzung von Aktionsplänen zur Steigerung der Bildungsleistung und des individuellen Schülerwachstums in den Schulabteilungen und Schulen, bei denen festgestellt wird, dass sie die genehmigten Kriterien nicht erfüllen. Der Superintendent of Public Instruction überwacht die Umsetzung und berichtet dem Vorstand über die Wirksamkeit der Korrekturmaßnahmen, die zur Verbesserung der pädagogischen Leistung in diesen Schulabteilungen und Schulen ergriffen wurden.

C. Mit den dafür zur Verfügung stehenden Mitteln schreibt der Vorstand Bewertungsmethoden vor, um den Grad der Erreichung der Lernziele aller Studierenden festzustellen. Diese Bewertungen müssen Wissen, Anwendung von Wissen, kritisches Denken und Fähigkeiten in Bezug auf die bewerteten Lernstandards bewerten. Der Ausschuss führt mit Unterstützung unabhängiger Prüfexperten einen regelmäßigen Analyse- und Validierungsprozess für diese Bewertungen durch. Anstelle einer einmaligen Bewertung am Jahresende richtet der Vorstand ein System zur Bewertung des Wachstums des einzelnen Schülers im Laufe des Schuljahres ein, das an den Standards der Lernen, für die Verwaltung von Lese- und Mathematikleistungen in den Klassenstufen drei bis acht. Ein solches System zur Bewertung des Wachstums im Jahresverlauf umfasst mindestens eine Bewertung zu Jahresbeginn, eine Bewertung zur Jahresmitte und eine Bewertung zum Jahresende, um die individuellen Wachstumswerte der Schüler im Laufe des Schuljahres zu ermitteln Die Zeit, die für die Durchführung all dieser Prüfungen vorgesehen ist, darf 150 Prozent der Zeit, die für die Durchführung einer einzelnen Befähigungsbeurteilung am Jahresende vorgesehen ist, nicht überschreiten. Die Abteilung sorgt während des gesamten Schuljahres für eine angemessene Schulung von Lehrern und Schulleitern in der Interpretation und Verwendung der Daten zum Schülerwachstum aus solchen Bewertungen, um den Lese- und Mathematikunterricht in den Klassenstufen 3 bis 8 zu verbessern. Mit den Mitteln und Inhalten, die für diesen Zweck zur Verfügung stehen, soll ein solches System zur jährlichen Wachstumsbewertung eine genaue Messung der Leistung eines Schülers durch computeradaptive Technologie ermöglichen, wobei nach Bedarf Testaufgaben auf, unter und über der Klassenstufe des Schülers verwendet werden.

Der Vorstand bietet auch die Möglichkeit, Industriezertifizierungen und staatliche Zulassungsprüfungen als von den Studierenden gewählte Leistungspunkte zu erbringen.

Die Abteilung stellt den Schulabteilungen Lernstandards, die normalerweise von Gymnasien durchgeführt werden, bis zum 1. Dezember des Schuljahres zur Verfügung, in dem diese Tests durchgeführt werden sollen oder wenn neu entwickelte Tests verfügbar sind, je nachdem, welcher Zeitpunkt später eintritt.

Der Ausschuss macht solche Bewertungen zeitnah und so bald wie möglich nach Durchführung dieser Tests öffentlich zugänglich, solange die Veröffentlichung dieser Bewertungen die Testsicherheit nicht gefährdet oder den Bestand an Bewertungsfragen, die für die Erstellung nachfolgender Tests erforderlich sind, erschöpft. oder schränken Sie die Möglichkeit ein, Schüler bei Bedarf zu testen, und liefern Sie sofortige Ergebnisse im webbasierten Bewertungssystem.

Der Vorstand soll alternative Methoden zur Verwaltung der Lernstandards für Kinder mit Behinderungen vorschreiben, wie dieser Begriff in § 22.1-213 definiert ist, die die vom Vorstand festgelegten Kriterien erfüllen, um das Erreichen der Lernstandards nachzuweisen. Das individuelle Bildungsprogramm-Team eines berechtigten Schülers trifft die endgültige Entscheidung, ob eine alternative Verwaltungsmethode für den Schüler geeignet ist.

Der Vorstand muss in die von den Akkreditierungsstandards geforderten Leistungs- und Wachstumsmaßnahmen für die Schüler die erforderlichen Bewertungen für verschiedene Klassenstufen und Klassen einschließen, einschließlich der Durchführung der alternativen Bewertungen, die von jeder lokalen Schulbehörde in Übereinstimmung mit den Lernstandards durchgeführt werden . Diese Prüfungen umfassen Prüfungen am Ende des Kurses oder am Ende der Klasse für Englisch, Mathematik, Naturwissenschaften sowie Geschichte und Sozialwissenschaften und können in mehrere Fachgebiete integriert werden.

Die für Schüler der 3. bis 8. Klasse durchgeführten Prüfungen der Lernstandards dürfen nicht übersteigen (i) Lesen und Mathematik in den Klassen drei und vier (ii) Lesen, Mathematik und Naturwissenschaften in der fünften Klasse (iii) Lesen und Mathematik in den Klassen sechs und sieben (iv) Lesen, Schreiben und Mathematik in der 8. Klasse (v) Naturwissenschaften, nachdem der Schüler Unterricht in den Lernstandards Naturwissenschaften, Biowissenschaften und Physik der 6. Klasse erhalten hat und bevor der Schüler die 8. Klasse abgeschlossen hat und (vi) Virginia Studies und Staatsbürgerkunde und Wirtschaftswissenschaften jeweils einmal in den Klassenstufen, die von jeder örtlichen Schulbehörde als angemessen erachtet werden Die Lese- und Mathematikprüfungen, die den Schülern der Klassenstufen drei bis acht erteilt werden, sind jahrgangsübergreifende Prüfungen.

Jede Schulbehörde muss jährlich bescheinigen, dass sie den Schülern der Klassen drei bis acht in jedem Unterrichtsfachbereich, in dem während des Schuljahres keine Lernstandsbewertung durchgeführt wurde, Unterricht erteilt und eine alternative Bewertung gemäß den Richtlinien des Ausschusses durchgeführt hat . Diese Richtlinien müssen (a) Optionen für altersgerechte, authentische Leistungsbewertungen und Portfolios mit Rubriken und anderen Methoden enthalten, die sicherstellen sollen, dass die Studierenden in ihrem Fachgebiet angemessene akademische Fortschritte machen und dass die Lernstandards vermittelt werden (b) integrierte Bewertungen, die mehrere Fachgebiete umfassen, zuzulassen und zu fördern und (c) die Zusammenarbeit zwischen den Lehrern zu betonen, um die Bewertungen zu verwalten und zu untermauern, und die berufliche Entwicklung der Lehrer, damit sie alternative Bewertungen optimal nutzen können.

Lokale Schulabteilungen bieten Schülern in den Klassenstufen sechs bis acht, die rechnerische Defizite aufweisen, die durch ihre individuelle Leistung bei diagnostischen Tests oder Klassenstufen-Lernstandards für Mathematik, die nicht-Rechner-Rechenfähigkeiten messen, nachgewiesen werden, gezielte Nachhilfe und Intervention in Mathematik.

Das Department vergibt allen Schülern der Klassen drei bis acht, die bei einer Bewertung der Lernstandards in englischem Lesen oder Mathematik unter der Klassenstufe abschneiden, eine Korrekturleistung erhalten und anschließend eine solche Prüfung wiederholen und auf oder über der Klassenstufe ablegen, einschließlich ein solcher Student, der eine solche Prüfung anschließend beschleunigt wiederholt.

Um den Bildungsfortschritt der Schüler zu beurteilen, muss der Vorstand (1) geeignete Bewertungen entwickeln, die kriterienbezogene Tests und andere Bewertungsinstrumente umfassen können, die von Klassenlehrern verwendet werden können, (2) geeignete Branchenzertifizierungen und staatliche Zulassungsprüfungen auswählen und (3) Maßnahmen vorschreiben und bereitstellen, die national genormte Tests umfassen können, die verwendet werden, um Schüler zu identifizieren, die in ausgewählten Klassenstufen im unteren Quartil abschneiden. Für jeden Schüler, der für die Virginia-Grade-Level-Alternative in Frage kommt, muss eine jährliche Begründung vorgelegt werden, die den Nachweis enthält, dass der Schüler die vom Ministerium festgelegten Teilnahmekriterien erfüllt. Jedes Team des Individual Education Program prüft diese Begründung und trifft die endgültige Entscheidung, ob die Virginia-Klassenalternative für den Schüler geeignet ist oder nicht. Der Schulleiter und der Vorsitzende des Schulausschusses bescheinigen dem Vorstand als Teil der Bestätigung der Einhaltung der Qualitätsstandards, dass es für jeden Schüler, der die Virginia-Klassenalternative belegt, eine Rechtfertigung im individuellen Bildungsprogramm gibt. Die Einhaltung dieser Anforderung wird im Rahmen des sonderpädagogischen Monitoring-Prozesses durch das Departement überwacht. Der Vorstand berichtet dem Gouverneur und der Generalversammlung in seinen Jahresberichten gemäß § 22.1-18 jede Schulabteilung, die dieser Anforderung nicht entspricht.

Die Anforderungen an die Lernstandards, einschließlich aller damit verbundenen Bewertungen, werden für jeden Schüler, der ein Stipendium im Rahmen des Brown v. Board of Education-Stipendienprogramms gemäß § 30-231.2 erhält und der in einem Vorbereitungsprogramm für eine High School-Äquivalenz eingeschrieben ist, aufgehoben vom Vorstand anerkannte Prüfung oder in einem Erwachsenen-Grundbildungsprogramm oder einem Erwachsenen-Sekundarschulprogramm zum Erlangen des Abiturs oder eines Abiturs.

Die Abteilung entwickelt Verfahren zur Information der Schulabteilungen über Änderungen der Lernstandards.

Der Vorstand kann für jeden Zeitraum, in dem die Lernstandards oder Bewertungen in diesem Bereich überarbeitet und schrittweise eingeführt werden, besondere Bestimmungen in Bezug auf die Verwaltung und Anwendung von Lernstandards-Tests oder -Tests in einem Inhaltsbereich erlassen, die auf Akkreditierungsbewertungen angewendet werden Vor der landesweiten Durchführung solcher Prüfungen informiert der Vorstand die örtlichen Schulbehörden über diese besonderen Bestimmungen.

Der Vorstand darf bei seiner Berechnung der Erfolgsquote für eine Bewertung der Lernstandards oder des Niveaus der Erreichung der Lernziele für eine individuelle Bewertung des Schülerwachstums zum Zwecke der staatlichen Rechenschaftspflicht keinen Schüler einbeziehen, dessen Eltern sich entschieden haben, dies nicht zu tun sein Kind an einer solchen Bewertung der Lernstandards teilnehmen, es sei denn, solche Ausschlüsse würden dazu führen, dass die Schule nicht die erforderliche staatliche oder bundesstaatliche Teilnahmequote erreicht.

D. Der Vorstand kann alle verfügbaren zivilrechtlichen Rechtsbehelfe gemäß § 22.1-19.1 oder Verwaltungsverfahren gemäß § 22.1-292.1 wegen Verletzung der Testsicherheit und unbefugter Änderung von Testmaterialien oder Testergebnissen einleiten.

Der Vorstand kann eine Überprüfung oder Untersuchung von mutmaßlichen Sicherheitsverletzungen, unbefugten Änderungen oder unsachgemäßer Durchführung von Tests einleiten oder veranlassen, einschließlich des Ausschlusses von Schülern von Tests, die bewertet werden müssen, durch Mitarbeiter der örtlichen Schulbehörde, die für . verantwortlich sind die Verteilung oder Verwaltung der Tests.

Aufzeichnungen und andere Informationen, die dem Vorstand während der Durchführung einer Überprüfung oder Untersuchung zur Verfügung gestellt oder von ihm erstellt wurden, können gemäß Unterabschnitt 10 von § 2.2-3705.3 zurückgehalten werden. Dieser Abschnitt verbietet jedoch nicht die Weitergabe von Aufzeichnungen an (i) eine örtliche Schulbehörde oder einen Abteilungsleiter, um es diesem Vorstand oder Schulleiter zu ermöglichen, in Bezug auf einen Mitarbeiter oder (ii) einen Antragsteller, nach Abschluss einer Überprüfung oder Untersuchung, in einer Form, die (a) die Identität einer Person, die eine Beschwerde einreicht oder dem Vorstand vertraulich Informationen übermittelt, nicht preisgibt und (b) die Sicherheit eines vorgeschriebenen Tests nicht gefährdet Durch den Vorstand. Jeder örtliche Schulvorstand oder Abteilungsleiter, der solche Aufzeichnungen oder andere Informationen erhält, muss, wenn er Personalmaßnahmen gegen einen relevanten Mitarbeiter ergreift, Kopien dieser Aufzeichnungen oder Informationen in Bezug auf den jeweiligen Mitarbeiter in die Personalakte dieser Person aufnehmen.

Unbeschadet anderer Bestimmungen des Landesrechts dürfen keine durch diesen Abschnitt genehmigten Tests oder Prüfungen, einschließlich der Lernstandards, als Mindestkompetenztests freigegeben werden oder freigegeben werden, wenn eine solche Freigabe nach Ansicht des Boards gegen die Sicherheit eines solchen Tests oder einer solchen Prüfung oder erschöpfen den Fragenkatalog, der für die Konstruktion zukünftiger sicherer Tests erforderlich ist.

E. Mit den erforderlichen Mitteln kann der Vorstand durch eine Vereinbarung mit Anbietern, die über die technische Kapazität und das Fachwissen verfügen, computergestützte Tests und Bewertungen sowie Testaufbau, -analyse und -sicherheit bereitzustellen, für (i) webbasierte computergestützte computer Tests und Assessments, einschließlich computeradaptiver Standards of Learning Assessments, zur Bewertung des Schülerfortschritts während und nach der Nachhilfe und (ii) die Entwicklung einer Datenbank für Nachbesserungsgegenstände in direktem Zusammenhang mit den Lernstandards.

F. Um den Bildungsfortschritt von Schülern als Einzelpersonen und als Gruppen zu bewerten, muss jede örtliche Schulbehörde die Verwendung von Lernstandards, alternativen Bewertungen und anderen relevanten Daten, wie z. B. Branchenzertifizierungen und staatliche Zulassungsprüfungen, zur Bewertung der Schülerfortschritte verlangen und die Bildungsleistung zu bestimmen. Jede örtliche Schule muss den Schülern angemessene Bewertungen vorschreiben, die kriterienbezogene Tests und von Lehrern erstellte Tests umfassen können und die Bewertungen der Lernstandards, die alternativen Bewertungen der örtlichen Schulbehörde und die nationale Bewertung des Bildungsfortschritts umfassen. staatliche Bewertung. Jede Schulbehörde analysiert und berichtet jährlich in Übereinstimmung mit allen Kriterien, die vom Vorstand festgelegt werden können, die Ergebnisse der Stanford Achievement Test Series, Ninth Edition (Stanford Nine), falls durchgeführt, Branchenzertifizierungsprüfungen und die Standards von Standards Lernbewertungen für die Öffentlichkeit.

Der Vorstand verlangt keine Durchführung der Bewertung der Stanford Achievement Test Series, Ninth Edition (Stanford Nine), es sei denn, dies wird ausgewählt, um die Einhaltung der Anforderungen für den Heimunterricht gemäß § 22.1-254.1 zu erleichtern.

Der Vorstand muss Anforderungen an die Berichterstattung über die Bewertungsdaten der Standards of Learning, unabhängig von der Häufigkeit der Akkreditierung, als Teil der Anforderungen des Vorstands in Bezug auf den Schulleistungsbericht aufnehmen. Diese Punktzahlen werden für jede Schule von den Schüleruntergruppen des Virginia-Bewertungsprogramms nach Bedarf aufgeschlüsselt und der Öffentlichkeit innerhalb von drei Monaten nach ihrem Eingang gemeldet. Diese Berichte (i) werden auf dem Teil der Website des Ministeriums, der sich auf die Schulleistungsberichtskarte bezieht, in einem Format und in einer Weise veröffentlicht, die einen Jahresvergleich ermöglicht, und (ii) können die National Assessment of Educational . enthalten Fortschrittsbewertung von Staat zu Staat.

G. Jeder örtliche Schulabteilungsleiter überprüft regelmäßig die Übermittlung von Daten und Berichten durch die Abteilung, die nach Landes- und Bundesgesetzen und -vorschriften erforderlich sind, um sicherzustellen, dass alle Informationen korrekt sind und rechtzeitig übermittelt werden. Der Superintendent of Public Instruction stellt den Abteilungsleitern jährlich eine Liste der erforderlichen Berichte und Daten zur Verfügung. Der Stand der Einhaltung dieser Anforderung wird gemäß § 22.1-18 in den Jahresbericht des Vorstands an den Gouverneur und die Generalversammlung aufgenommen.

H. Jede Schulbehörde kann die Freistellung von staatlichen Vorschriften oder im Namen einer oder mehrerer ihrer Schulen die Genehmigung eines individuellen Schulakkreditierungsplans für die Bewertung der Leistung einer oder mehrerer ihrer Schulen beantragen, die für bestimmte andere Schulen nach den Standards for Accreditation gemäß 8VAC20-131-280 C des Virginia Administrative Code. Auf Antrag des Abteilungsleiters und des Vorsitzenden des örtlichen Schulvorstands kann der Vorstand auf Antrag von behördlichen Auflagen verzichten. Der Vorstand kann für einen Zeitraum von bis zu fünf Jahren einen Verzicht auf behördliche Anforderungen gewähren, die nicht (i) durch Landes- oder Bundesgesetze vorgeschrieben sind oder (ii) die Gesundheit oder Sicherheit fördern sollen. Der Schulrat hat in seinem Verzichtsantrag darzulegen, wie die Befreiungen von staatlichen Regelungen zur Erhöhung der Unterrichtsqualität und zur Verbesserung der Leistungen der Schülerinnen und Schüler in der betroffenen Schule bzw. den betroffenen Schulen ausgestaltet sind. Das Ministerium stellt (a) jeder örtlichen Schulabteilung, die eine Befreiung von staatlichen Vorschriften beantragt, und (b) Informationen über Möglichkeiten zur Bildung von Partnerschaften mit anderen Behörden oder Einrichtungen für jede örtliche Schulabteilung bereit, in der die Schule oder die Schulen Befreiungen von staatlichen Vorschriften gewährt haben haben eine Verbesserung der Unterrichtsqualität und der Leistung der Schüler nachgewiesen.

Der Vorstand kann auf Antrag des Abteilungsleiters und des Vorsitzenden des örtlichen Schulausschusses auch Ausnahmen von bestimmten Anforderungen in § 22.1-253.13:2 gewähren, die es dem örtlichen Schulausschuss erlauben, den Schulen Lehrpersonal zuzuweisen mit dem größten Bedarf, sofern der Schulbereich bereichsweit genügend Personal beschäftigt, um die nach § 22.1-253.13:2 geforderte Gesamtzahl und alle in § 22.1 Unterabschnitt C genannten Schüler-Lehrer-Verhältnisse und Klassengrößenmaxima zu decken. 253.13:2 erfüllt. Der Schulrat hat in seinem Antrag darzulegen, wie der Verzicht auf bestimmte Personalstandards der Qualitätsstandards gestaltet werden soll, um die Unterrichtsqualität und die Leistungen der Schüler in der betroffenen Schule bzw. den betroffenen Schulen zu verbessern. Die Befreiungen können in Schritten von bis zu fünf Jahren verlängert oder widerrufen werden, basierend auf den Leistungsergebnissen der Schüler in der betroffenen Schule oder Schulen.

1988, cc. 645, 682 1990, ccm. 820, 839 1992, c. 591 1998, cc. 456, 567, 602, 627, 843, 902 1999, cc. 670, 731, 1015 2000, ccm. 504, 735, 742, 750, 752, 867, 1061 2001, cc. 651, 731 2002, cc. 101, 167, 656, 732 2003, cc. 691, 1004 2004, cc. 472, 939, 955, 965 2005, cc. 331, 450, 753, 834 2006, cc. 25, 38, 95, 117, 131 2007, c. 234 2009, c. 825 2010, c. 76 2011, cc. 248, 666 2012, c. 183 2013, cc. 539, 571, 584, 728 2014, cc. 84, 585, 622 2015, cc. 145, 149, 322, 323, 558, 566 2016, cc. 386, 387, 502, 522, 720, 750 2017, ccm 328, 778 2019, c. 585 2021, sp. Sess. ich, cc. 443, 444.

Die Kapitel der Versammlungsakte, auf die im historischen Zitat am Ende dieses Abschnitts Bezug genommen wird, stellen möglicherweise keine vollständige Liste dieser Kapitel dar und können Kapitel ausschließen, deren Bestimmungen abgelaufen sind.


13.3 Gleichgewichtsverschiebungen: Das Prinzip von Le Châtelier

Ein System im Gleichgewicht befindet sich in einem dynamischen Gleichgewicht, in dem Hin- und Rückreaktionen mit gleichen Geschwindigkeiten stattfinden. Wenn ein Gleichgewichtssystem einer Änderung der Bedingungen ausgesetzt ist, die diese Reaktionsgeschwindigkeiten unterschiedlich beeinflusst (a betonen), dann sind die Raten nicht mehr gleich und das System befindet sich nicht im Gleichgewicht. Das System erfährt anschließend eine Nettoreaktion in Richtung höherer Geschwindigkeit (a Verschiebung), die das Gleichgewicht wieder herstellt. Dieses Phänomen wird durch das Prinzip von Le Châtelier zusammengefasst: Wenn ein Gleichgewichtssystem gestresst ist, erfährt das System als Reaktion auf den Stress eine Verschiebung, die das Gleichgewicht wiederherstellt.

Die Reaktionsgeschwindigkeiten werden hauptsächlich durch die Konzentrationen, wie durch das Geschwindigkeitsgesetz der Reaktion beschrieben, und die Temperatur, wie durch die Arrhenius-Gleichung beschrieben, beeinflusst. Folglich sind Konzentrations- und Temperaturänderungen die beiden Spannungen, die ein Gleichgewicht verschieben können.

Auswirkung einer Konzentrationsänderung

Wenn ein Gleichgewichtssystem einer Konzentrationsänderung eines Reaktanten oder einer Produktspezies ausgesetzt ist, ändert sich die Geschwindigkeit der Hin- oder Rückreaktion. Betrachten Sie als Beispiel die Gleichgewichtsreaktion

Die Geschwindigkeitsgesetze für die Hin- und Rückreaktion sind

Wenn dieses System im Gleichgewicht ist, sind die Hin- und Rückreaktionsgeschwindigkeiten gleich.

Wird das System durch Zugabe von Reaktanten gestresst, ist entweder H2 oder ich2, führt die resultierende Konzentrationserhöhung dazu, dass die Geschwindigkeit der Hinreaktion zunimmt und die der Rückreaktion übertrifft:

Das System wird eine vorübergehende Nettoreaktion in Vorwärtsrichtung erfahren, um das Gleichgewicht wiederherzustellen (das Gleichgewicht verschiebt sich nach rechts). Dieselbe Verschiebung ergibt sich, wenn etwas Produkt HI aus dem System entfernt wird, was die Geschwindigkeit der Rückreaktion verringert, was wiederum zu demselben Ungleichgewicht der Geschwindigkeiten führt.

Die gleiche Logik kann verwendet werden, um die Linksverschiebung zu erklären, die entweder aus der Entfernung von Reaktanten oder der Zugabe von Produkt zu einem Gleichgewichtssystem resultiert. Diese Spannungen führen beide zu einer erhöhten Geschwindigkeit der Rückreaktion

und eine temporäre Nettoreaktion in umgekehrter Richtung zur Wiederherstellung des Gleichgewichts.

Alternativ zu dieser kinetischen Interpretation kann der Einfluss von Konzentrationsänderungen auf die Gleichgewichte anhand von Reaktionsquotienten erklärt werden. Wenn das System im Gleichgewicht ist,

Wird Reaktant hinzugefügt (der Nenner des Reaktionsquotienten wird erhöht) oder wird Produkt entfernt (der Zähler wird verringert), dann QC < KC und das Gleichgewicht verschiebt sich nach rechts. Beachten Sie, dass die drei verschiedenen Arten der Induktion dieser Spannung zu drei verschiedenen Änderungen in der Zusammensetzung der Gleichgewichtsmischung führen. Wenn H2 hinzugefügt wird, verbraucht die rechte Verschiebung I2 und erzeugen HI, wenn das Gleichgewicht wiederhergestellt ist, was eine Mischung mit einer höheren Konzentration von H . ergibt2 und HI und eine geringere Konzentration von I2 als vorher vorhanden war. Wenn ich2 hinzugefügt wird, hat die neue Gleichgewichtsmischung höhere Konzentrationen von I2 und HI und eine geringere Konzentration von H2. Schließlich, wenn HI entfernt wird, weist das neue Gleichgewichtsgemisch höhere Konzentrationen von H . auf2 und ich2 und eine geringere Konzentration von HI. Trotz dieser Unterschiede in der Zusammensetzung der Wert der Gleichgewichtskonstante ist nach der Belastung derselbe wie zuvor (nach dem Massenwirkungsgesetz). Die gleiche Logik kann für Belastungen angewendet werden, die das Entfernen von Reaktanten oder das Hinzufügen von Produkt beinhalten, in diesem Fall QC > KC und das Gleichgewicht verschiebt sich nach links.

Für Gasphasengleichgewichte wie dieses sind einige zusätzliche Perspektiven zur Änderung der Konzentrationen von Edukten und Produkten erwähnenswert. Der Partialdruck P eines idealen Gases ist proportional zu seiner molaren Konzentration m,

und daher sind Änderungen der Partialdrücke eines beliebigen Reaktanten oder Produkts im Wesentlichen Konzentrationsänderungen und führen daher zu den gleichen Wirkungen auf die Gleichgewichte. Neben der Zugabe oder Entfernung von Edukt oder Produkt können die Drücke (Konzentrationen) von Spezies im Gasphasengleichgewicht auch durch Ändern der vom System belegten Lautstärke. Da alle Spezies eines Gasphasengleichgewichts das gleiche Volumen einnehmen, bewirkt eine gegebene Volumenänderung die gleiche Konzentrationsänderung sowohl für Reaktanten als auch für Produkte. Um zu erkennen, welche Verschiebung, wenn überhaupt, diese Art von Spannung die Stöchiometrie der Reaktion induziert, muss berücksichtigt werden.

Im Gleichgewicht wird die Reaktion H 2 ( g ) + I 2 ( g ) ⇌ 2 HI ( g ) H 2 ( g ) + I 2 ( g ) ⇌ 2 HI ( g ) beschrieben durch den Reaktionsquotienten

Wird das Volumen einer Gleichgewichtsmischung dieser Spezies um den Faktor 3 verringert, erhöhen sich die Partialdrücke aller drei Spezies um den Faktor 3:

Eine Änderung des Volumens dieser Gasphasen-Gleichgewichtsmischung führt also nicht zu einer Verschiebung des Gleichgewichts.

Eine ähnliche Behandlung eines anderen Systems, 2 NO 2 (g) ⇌ 2 NO (g) + O 2 (g), 2 NO 2 (g) ⇌ 2 NO (g) + O 2 (g) ergibt jedoch a anderes Ergebnis:

In diesem Fall führt die Volumenänderung zu einem Reaktionsquotienten, der größer als die Gleichgewichtskonstante ist, so dass sich das Gleichgewicht nach links verschiebt.

Diese Ergebnisse veranschaulichen die Beziehung zwischen der Stöchiometrie eines Gasphasengleichgewichts und der Wirkung einer volumeninduzierten Druck-(Konzentrations-)Änderung. Sind die gesamten molaren Mengen von Edukten und Produkten gleich, wie im ersten Beispiel, verschiebt eine Volumenänderung das Gleichgewicht nicht.Wenn die molaren Mengen von Edukten und Produkten unterschiedlich sind, verschiebt eine Volumenänderung das Gleichgewicht in eine Richtung, die die Volumenänderung besser „aufnimmt“. Im zweiten Beispiel werden zwei Mol Reaktant (NO2) ergeben drei Mol Produkt (2NO + O2), und so führt eine Verringerung des Systemvolumens zu einer Verschiebung des Gleichgewichts nach links, da bei der Rückreaktion weniger Gas (2 mol) entsteht als bei der Hinreaktion (3 mol). Umgekehrt würde eine Erhöhung des Volumens dieses Gleichgewichtssystems zu einer Verschiebung hin zu Produkten führen.

Link zum Lernen

Sehen Sie sich diesen Link an, um eine dramatische visuelle Demonstration zu sehen, wie sich das Gleichgewicht mit Druckänderungen ändert.

Chemie im Alltag

Gleichgewicht und Erfrischungsgetränke

Die Verbindung zwischen Chemie und kohlensäurehaltigen Erfrischungsgetränken geht auf das Jahr 1767 zurück, als Joseph Priestley (1733–1804) eine Methode entwickelte, Wasser mit Kohlendioxid zu infundieren, um kohlensäurehaltiges Wasser herzustellen. Priestlys Ansatz beinhaltete die Herstellung von kohlensäurehaltigem Vitriolöl (Schwefelsäure) mit Kreide (Calciumcarbonat).

Das Kohlendioxid wurde dann in Wasser gelöst und reagierte zu Hydrogencarbonat, einer schwachen Säure, die anschließend ionisiert wurde, um Bicarbonat und Wasserstoffionen zu ergeben:

Dieselben Gleichgewichtsreaktionen sind die Grundlage des heutigen Karbonisierungsprozesses von Softdrinks. Getränke werden während des Prozesses einem hohen Druck von gasförmigem Kohlendioxid ausgesetzt, um das erste Gleichgewicht oben nach rechts zu verschieben, was zu wünschenswert hohen Konzentrationen an gelöstem Kohlendioxid und, bei ähnlichen Verschiebungen in den anderen beiden Gleichgewichten, seinen Hydrolyse- und Ionisationsprodukten führt. Eine Flasche oder Dose ist dann fast mit dem kohlensäurehaltigen Getränk gefüllt, wobei ein relativ kleines Luftvolumen im Behälter über der Getränkeoberfläche verbleibt (die Kopfraum) bevor es versiegelt wird. Der Kohlendioxiddruck im Kopfraum des Behälters ist unmittelbar nach dem Verschließen sehr niedrig, steigt jedoch an, wenn das Auflösungsgleichgewicht durch eine Verschiebung nach links wiederhergestellt wird. Da das Volumen des Getränks deutlich größer ist als das Volumen des Kopfraums, geht nur eine relativ geringe Menge an gelöstem Kohlendioxid an den Kopfraum verloren.

Beim Öffnen eines Behälters für kohlensäurehaltige Getränke ist ein Zischen als unter Druck stehendes CO . zu hören2 flüchtet aus dem Kopfraum. Dadurch verschiebt sich das Auflösungsgleichgewicht nach links, was zu einer Abnahme der Konzentration an gelöstem CO . führt2 und nachfolgende Linksverschiebungen der Hydrolyse- und Ionisationsgleichgewichte. Zum Glück für den Verbraucher stellt sich das Auflösungsgleichgewicht normalerweise langsam wieder ein, und so kann das Getränk genossen werden, während seine gelöste Kohlendioxidkonzentration schmackhaft hoch bleibt. Sobald die Gleichgewichte wiederhergestellt sind, wird das CO2(wässrig) Die Konzentration wird deutlich gesenkt und das Getränk erhält einen charakteristischen Geschmack, der als „flach“ bezeichnet wird.

Auswirkung einer Temperaturänderung

In Übereinstimmung mit dem Massenwirkungsgesetz verschiebt sich ein durch eine Konzentrationsänderung belastetes Gleichgewicht zur Wiederherstellung des Gleichgewichts, ohne dass sich der Wert der Gleichgewichtskonstante ändert. K. Wenn sich jedoch ein Gleichgewicht als Reaktion auf eine Temperaturänderung verschiebt, stellt es sich mit einer anderen relativen Zusammensetzung wieder ein, die einen anderen Wert für die Gleichgewichtskonstante aufweist.

Um dieses Phänomen zu verstehen, betrachten wir die Elementarreaktion

Da es sich um eine Elementarreaktion handelt, lassen sich die Geschwindigkeitsgesetze für Hin- und Rücklauf direkt aus der Stöchiometrie der ausgeglichenen Gleichung ableiten:

Wenn das System im Gleichgewicht ist,

Einsetzen der Satzgesetze in diese Gleichheit und Umordnen ergibt

Die Gleichgewichtskonstante wird als mathematische Funktion der Geschwindigkeitskonstanten für die Hin- und Rückreaktion angesehen. Da sich die Geschwindigkeitskonstanten mit der Temperatur ändern, wie durch die Arrhenius-Gleichung beschrieben, liegt es nahe, dass die Gleichgewichtskonstante ebenfalls mit der Temperatur variiert (vorausgesetzt, die Geschwindigkeitskonstanten werden in unterschiedlichem Maße von der Temperaturänderung beeinflusst). Bei komplexeren Reaktionen mit mehrstufigen Reaktionsmechanismen besteht eine ähnliche, aber komplexere mathematische Beziehung zwischen der Gleichgewichtskonstante und den Geschwindigkeitskonstanten der Schritte im Mechanismus. Unabhängig davon, wie komplex die Reaktion sein mag, bleibt die Temperaturabhängigkeit ihrer Gleichgewichtskonstante bestehen.

Die Vorhersage der Verschiebung, die ein Gleichgewicht als Reaktion auf eine Temperaturänderung erfährt, wird am bequemsten durch Berücksichtigung der Enthalpieänderung der Reaktion erreicht. Die Zersetzung von Distickstofftetroxid ist beispielsweise ein endothermer (wärmeverbrauchender) Prozess:

Um das Prinzip von Le Chatelier anzuwenden, wird Wärme (Q) kann als Reaktant angesehen werden:

Das Erhöhen der Temperatur des Systems ist mit der Erhöhung der Menge eines Reaktanten vergleichbar, und so verschiebt sich das Gleichgewicht nach rechts. Eine Absenkung der Systemtemperatur führt ebenfalls zu einer Verschiebung des Gleichgewichts nach links. Bei exothermen Prozessen wird Wärme als Reaktionsprodukt betrachtet und somit die entgegengesetzte Temperaturabhängigkeit beobachtet.

Als Amazon-Partner verdienen wir an qualifizierten Käufen.

Möchten Sie dieses Buch zitieren, teilen oder ändern? Dieses Buch ist Creative Commons Attribution License 4.0 und Sie müssen OpenStax zuordnen.

    Wenn Sie dieses Buch ganz oder teilweise in gedruckter Form weitergeben, müssen Sie auf jeder physischen Seite die folgende Zuordnung angeben:

  • Verwenden Sie die folgenden Informationen, um ein Zitat zu generieren. Wir empfehlen die Verwendung eines Zitationstools wie dieses.
    • Autoren: Paul Flowers, Edward J. Neth, William R. Robinson, PhD, Klaus Theopold, Richard Langley
    • Herausgeber/Website: OpenStax
    • Buchtitel: Chemie: Atoms First 2e
    • Erscheinungsdatum: 14.02.2019
    • Ort: Houston, Texas
    • Buch-URL: https://openstax.org/books/chemistry-atoms-first-2e/pages/1-introduction
    • Abschnitts-URL: https://openstax.org/books/chemistry-atoms-first-2e/pages/13-3-shifting-equilibria-le-chateliers-principle

    © 22.01.2021 OpenStax. Von OpenStax produzierte Lehrbuchinhalte sind unter einer Creative Commons Attribution License 4.0-Lizenz lizenziert. Der OpenStax-Name, das OpenStax-Logo, die OpenStax-Buchcover, der OpenStax CNX-Name und das OpenStax CNX-Logo unterliegen nicht der Creative Commons-Lizenz und dürfen ohne vorherige und ausdrückliche schriftliche Zustimmung der Rice University nicht reproduziert werden.


    13.3: Neue Seite - Mathematik

    Sie haben die Lösung des Problems gefunden – fantastisch! Aber du bist noch nicht fertig. Egal, ob Sie Lösungen für einen Wettbewerb, ein Journal, ein Message Board oder einfach nur für Ihre Freunde schreiben, Sie müssen die Kunst beherrschen, Ihre Lösung klar zu kommunizieren. Geniale Ideen und innovative Problemlösungen nützen nichts, wenn man sie nicht kommunizieren kann. In diesem Artikel untersuchen wir viele Aspekte, wie man eine klare Lösung schreibt. Unten finden Sie einen Index. Jede Seite des Artikels enthält ein Beispiel für eine ‘How Not To’- und eine ‘How To’-Lösung. Ein gemeinsames Thema, das Sie in jedem Punkt finden werden, ist, dass Sie jedes Mal, wenn Sie einen erfahrenen Leser dazu bringen, nachdenken zu müssen, um Ihrer Lösung zu folgen, Sie verlieren.

    Beim Lesen der Lösungen unter ‘How To’ werden Sie vielleicht denken, dass einige von ihnen überschrieben sind. Tatsächlich könnten einige von ihnen verdichtet werden. Einige Schritte, die wir zum Beweis gewählt haben, könnten wahrscheinlich ohne Beweis angeführt werden. Es ist jedoch viel besser, zu viel zu klar zu beweisen, als zu wenig zu beweisen. Selten wird sich ein Leser beschweren, dass eine Lösung zu leicht verständlich oder zu augenschonend ist.

    Ein Hinweis zur Warnung: Viele der Probleme, die wir als Beispiele verwenden, sind äußerst anspruchsvolle Probleme. Anfänger und sogar Fortgeschrittene sollten sich nicht aufregen, wenn sie Schwierigkeiten haben, die Probleme alleine zu lösen.

    Inhaltsverzeichnis:

    Einen Plan haben

    Ihr Ziel beim Schreiben einer klaren Lösung ist es, den Leser vom Nachdenken abzuhalten. Sie müssen Ihre Ideen klar und prägnant ausdrücken. Der erfahrene Leser sollte sich nie fragen müssen, wohin Sie wollen oder warum Ihre Behauptungen wahr sind. Der erste Schritt beim Schreiben einer klaren Lösung besteht darin, einen Plan zu haben. Machen Sie eine einfache Gliederung Ihrer Lösung. Geben Sie die Elemente an, die Sie definieren müssen, und geben Sie die Reihenfolge an, in der Sie die wichtigen Teile Ihrer Lösung aufschreiben. Die Gliederung hilft sicherzustellen, dass Sie nichts überspringen und Ihre Schritte in eine leicht nachvollziehbare Reihenfolge bringen.

    Eine Kugel mit Radius (r) ist in einen Tetraeder eingeschrieben. Ebenen tangential zu dieser Kugel und parallel zu den Flächen des Tetraeders schneiden vier kleine Tetraeder vom Tetraeder ab diesen kleinen Tetraedern sind Kugeln mit den Radien (a), (b), (c), (d .) eingeschrieben ). Zeige, dass:

    Hier ist eine Lösung, die kurz aussieht, aber ziemlich schwer zu lesen ist:

    So schreiben Sie die Lösung nicht:

    Unser Tetraeder sei (ABCD). Der kleine Tetraeder, der den Scheitelpunkt A enthält, ist dem großen Tetraeder ähnlich. Da die Fläche dieses Tetraeders parallel zur Fläche (BCD) die in (ABCD) eingeschriebene Kugel tangiert, beträgt der Abstand zwischen (BCD) und dieser parallelen Fläche des kleinen Tetraeders (2r). Nennen wir dieses kleine Tetraeder (AXYZ). Daher ist die Höhe von (A) in (AXYZ) (h_a – 2r), wobei (h_a) die Länge der Höhe von (A) zur Seite (BCD .) ist ). Daher ist das Verhältnis der Höhen von (A) in (AXYZ) und (ABCD) ((h_a-2r)/h_a). Da diese beiden Tetraeder im Verhältnis (a/r) ähnlich sind (da dies das Verhältnis der entsprechenden Längen ist, nämlich die Radien der eingeschriebenen Kugeln), gilt (a/r =) ((h_a- 2r)/h_a).

    Das Volumen des Tetraeders ist ([A]h_a/3), wobei ([A]) die Fläche des Dreiecks (BCD) ist. Das Volumen des Tetraeders kann auch (rS/3) geschrieben werden, wobei (S) die Oberfläche von (ABCD) ist. Wir können das beweisen, indem wir (I) das Zentrum der eingeschriebenen Kugel sein lassen. Dann ist das Volumen des Tetraeders die Summe der Volumina der Tetraeder (IABC), (IABD), (IBCD) und (IACD). Das Volumen von (IABC) ist (r[D]/3), wobei ([D]) wie oben ([A]) definiert ist. Ebenso finden wir die Volumina der anderen 4 Stücke. Wenn wir sie alle zusammenzählen, erhalten wir
    [ ext ABCD = ([A] + [B] + [C] + [D]) r/3 = rS/3.]

    Wir setzen das gleich unserem anderen Volumenausdruck und erhalten (h_a= rS/[A]). Wenn wir unsere Gleichung von oben neu anordnen, haben wir (a = r – 2r^2/h_a). Wir können dann den gerade gefundenen Ausdruck (h_a) einfügen, um zu erhalten:

    Wenn wir ([B]), ([C]) und ([D]) genau wie ([A]) definieren, können wir dasselbe Argument verwenden, um Folgendes zu erhalten:

    Wenn wir diese und unseren Ausdruck für (A) hinzufügen, erhalten wir:

    $a + b + c + d = 4r – 2rcdot([A]+[B]+[C]+[D])/S = 2r,$

    Das Hauptproblem bei der obigen Lösung ist eines der Organisation. Wir haben Variablen definiert, nachdem sie aufgetaucht sind. Auf halbem Weg haben wir die Lösung abgelenkt, um zu beweisen, dass das Volumen von ABCD (rS/3) ist. Manchmal haben wir wichtige Gleichungen direkt in unsere Absätze geschrieben, anstatt sie mit eigenen Zeilen hervorzuheben.

    Wenn wir vor dem Schreiben der Lösung skizzieren, werden wir diese Probleme nicht haben. Wir können auflisten, was wir definieren müssen, entscheiden, welche Elemente wir vor unserem Hauptbeweis beweisen müssen (wir nennen diese Lemmata) und die wichtigen Schritte auflisten, damit wir wissen, was wir hervorheben müssen.

    Unser Scratch-Sheet mit der Gliederung könnte folgendes haben:

    Zu definierendes Zeug: (ABCD, h_a, S, [A], AXYZ).

    1. Volumen (ABCD = rS/3) (Lemma)
    2. Höhe anzeigen (AXYZ = h_a – 2r)
    3. Verwenden Sie Ähnlichkeit, um (a = r – 2r^2/h_a) zu erhalten
    4. Gleiche die Volumina aus, um (1/h_a= A/(rS)) zu erhalten
    5. sub (4) in (3) und addiere

    Diese Liste sieht offensichtlich aus, sobald Sie sie aufgeschrieben haben, aber wenn Sie einfach ohne Planung mit der Lösung vorankommen, können Sie am Ende Elemente überspringen und sie einklemmen, wie wir es in unserem ‘How to Not Write the Solution’ getan haben .

    So schreiben Sie die Lösung:

    Unser ursprüngliches Tetraeder sei (ABCD). Wir definieren:

    ([A]) = Fläche der Fläche von (ABCD) gegenüber (A)
    (h_a) = die Länge der Höhe von (A) bis (BCD)
    (S) = die Oberfläche von (ABCD)
    (AXYZ) = eines der kleinen Tetraeder gebildet wie beschrieben

    Definieren Sie ([B]), ([C]), ([D]) und (h_b), (h_c), (h_d) ähnlich.

    Da die Fläche (XYZ) des kleinen Tetraeders (AXYZ) parallel zur Fläche (BCD) ist, ist das Tetraeder (AXYZ) ähnlich zu (ABCD). Das Verhältnis der entsprechenden Längen in diesen Tetraedern ist gleich dem Verhältnis der Radien ihrer eingeschriebenen Kugeln oder (a/r).

    Da (XYZ) die in (ABCD) eingeschriebene Kugel tangential ist, beträgt der Abstand zwischen (BCD) und (XYZ) (2r). Daher ist die Höhe von (A) bis (XYZ) (h_a – 2r). Daher ist das Verhältnis der Höhen von (A) in den beiden Tetraedern ((h_a – 2r)/h_a). Somit,

    (a/r = (h_a – 2r)/h_a) oder (a = r – 2r^2/h_a).

    Das Volumen des Tetraeders ist (h_a[A]/3). Gleichsetzen mit dem Ausdruck aus Lemma 1 ergibt:

    und setzen wir dies in Gleichung (1) ein, erhalten wir:

    Nach dem gleichen Argument haben wir:

    Wenn wir diese und unseren Ausdruck für (A) hinzufügen, erhalten wir:

    $a + b + c + d = 4r – 2rcdot ([A]+[B]+[C]+[D])/S = 2r,$

    Leser sind keine Dolmetscher

    Das Erste, was ein Leser auf Ihrem Papier sieht, ist nicht die Struktur Ihrer Lösung. Es ist nicht die Antwort, es sind nicht die Worte, die Sie wählen. So steht die Lösung auf dem Papier. Wenn der Leser Gekritzel entziffern muss, werden Sie ihn verlieren. Idealerweise setzen Sie Ihre Lösung mit einem Programm wie LaTeX. Bei den meisten Wettbewerben haben Sie jedoch nicht den Luxus, sich an einen Computer zu wenden und müssen es von Hand aufschreiben. Es gibt einige sehr wichtige Faustregeln, wenn Sie eine Lösung von Hand schreiben. Viele sind offensichtlich, manche weniger. Sie sollten sie alle befolgen.

    1. Verwenden Sie leeres Papier. Verwenden Sie kein Millimeterpapier oder liniertes Papier – die Linien erschweren das Lesen der Lösungen oft. Verwenden Sie niemals Papier, das aus einem Spiralblock herausgerissen wurde.
    2. Respektieren Sie die Margen. Wenn Sie mit einem völlig leeren Blatt Papier beginnen, zeichnen Sie die Ränder an allen vier Seiten (oben, unten, rechts, links). Machen Sie Ihre Ränder mindestens 0,5 Zoll und vorzugsweise einen vollen Zoll.
    3. Schreiben Sie horizontal, drehen Sie niemals Ihre Schrift, wenn Sie das Ende einer Zeile erreichen, um ein wenig mehr Informationen einzuklemmen. Sie können jederzeit eine neue Zeile oder eine neue Seite beginnen.
    4. Lassen Sie oben Platz für eine ‘Seite _ von _’, damit der Leser weiß, wie viele Seiten es gibt und auf welcher Seite er sich befindet. Sie wissen wahrscheinlich nicht, wie viele Seiten Sie zu Beginn schreiben werden, können diese jedoch ausfüllen, wenn Sie fertig sind. Wenn Sie am Ende einer Seite angelangt sind und Ihre Lösung auf einer anderen Seite fortgesetzt werden muss, schreiben Sie am Ende dieser Seite ‘Fortsetzung’, damit der Leser weiß, dass wir noch nicht fertig sind. (Dies hilft den Lesern auch, zu erkennen, ob ihnen Seiten fehlen.)
    5. Schreiben Sie nicht in Kursivschrift. Drucken. Und klar drucken.
    6. Verwenden Sie einen Stift. Wenn Sie einen Bleistift verwenden müssen, radieren Sie nicht – die Flecken von Radiergummis machen ein Durcheinander.
    7. Wenn Sie einen Fehler machen, den Sie auslassen möchten, ziehen Sie eine einzelne Linie durch und fahren Sie fort. Wenn es ein großer Block ist, den Sie weglassen möchten, ziehen Sie ein ‘X’ durch und fahren Sie fort. Kritzeln Sie keine großen Textblöcke heraus.
    8. Wenn Sie etwas ausgelassen haben und es am Ende hinzufügen möchten, setzen Sie ein einfaches Symbol wie ein (*) an die Stelle, an der der neue Text als hinzugefügt gelten soll, und hinterlassen Sie eine kurze Notiz, wie z. 8216Beweis unten.’ Unten können Sie ‘(*) Nachtrag:’ schreiben und mit dem Beweis fortfahren. Verwenden Sie keine Pfeile, um den Leser über die ganze Seite zu führen.

    Problem: Sei (S(n)) die Summe der Ziffern von (n). Finden

    Unten sind zwei Lösungen. Keine der beiden Lösungen ist perfekt, wenn Sie unter Zeitdruck stehen, es ist schwierig, perfekt aussehende Proofs zu schreiben. Sie sollten das zweite viel angenehmer zu lesen finden. Beachten Sie beim Schreiben von Lösungen die obigen Tipps und denken Sie daran: ‘Wenn sie es nicht lesen können, ist es nicht richtig.’

    So schreiben Sie die Lösung nicht:

    Diese Lösung oben ist ein Durcheinander. Für das folgende habe ich genauso lange gebraucht, um es zu schreiben, und es ist viel einfacher zu lesen.

    So schreiben Sie die Lösung:

    U s e S p a c e

    Wenn Sie Ihre Lösung schreiben, sollten Sie:

    1. Geben Sie jeder wichtigen Definition oder Gleichung eine eigene Zeile.
    2. Vergraben Sie nicht zu viel Algebra in einem Absatz. Sie können Zeile für Zeile der Algebra schreiben, aber jeden Schritt in eine eigene Zeile setzen. Packen Sie die Algebra nicht in einen Absatz.
    3. Beschriften Sie Gleichungen oder Formeln oder Lemmata oder Fälle, die Sie später verwenden werden.
    4. Denken Sie daran, dass es immer mehr Papier gibt.

    Problem: Sei (p(x)) ein Polynom vom Grad (98) mit (p(n) = 1/n) für (n =) (1, 2, 3,) (4, ldots, 99). Bestimmen Sie (p(100)).

    Viel Spaß beim Lesen dieser Lösung:

    So schreiben Sie die Lösung nicht:

    Sei (r(x) =) (x (p(x) – 1/x)) (= xp(x) – 1.) Da (p(x)) ist ein Polynom vom Grad (98), (r(x)) ist ein Polynom vom Grad (99). Da (r(x) =) (x (p(x) – 1/x),) und ((p(x) – 1/x) = 0 ) für (x = 1,) (2, 3, ldots , 99), (r(x)) hat Wurzeln (1, 2, ldots, 99.) Da (r (x)) hat den Grad (99), dies sind die einzigen Wurzeln von (r(x)), die also die Form (r(x) =) (c(x &# 8211 1)(x – 2)) ((x – 3) cdots (x – 99)) für eine Konstante (c). Um (c,) zu finden, setzen wir zunächst (x = 0) in Gleichung (r(x) =) (xp(x) – 1,) und ergibt (r(0) = -1.) Sei (x = 0) in (r(x) =) (c(x – 1)(x – 2)) ((x – 3 ) cdots (x – 99)) ergibt (r(0) = -c(99!)) also (c = 1/99!.) Wir haben also (r(x ) =) ((x – 1)(x – 2)) ((x – 3) cdots (x – 99)/99!.) Wir können die Gleichungen (r(x) =) (xp(x) – 1) und (r(x) =) ((x – 1)(x – 2)) ((x – 3) cdots (x – 99)/99!) und lassen (x = 100) zu (100p(100) – 1 =) ( ( 100 – 1)(100 – 2)) ((100 – 3) ldots(100 – 99)/99!,) also (100p(100) – 1 =) ( 99!/99! = 1,) also (p(100) = 1/50.)

    Hier ist die gleiche Lösung mit fast dem gleichen Wortlaut.

    So schreiben Sie die Lösung:

    Da (p(x)) ein Polynom vom Grad (98) ist, ist (r(x)) ein Polynom vom Grad (99). Da (r(x) =) (x (p(x) – 1/x)) und ((p(x) – 1/x) = 0 ) für (x = ) (1, 2,) (3, ldots, 99,)

    (r(x)) hat Wurzeln (1, 2, ldots , 99.)

    Da (r(x)) den Grad (99) hat, sind dies die einzigen Wurzeln von (r(x)), die also haben müssen:

    für eine Konstante (c). Um (c) zu finden, lassen wir zunächst (x = 0) in Gleichung ((1)) und erhalten (r(0) = -1.) Sei (x = 0) in ((2)) ergibt (r(0) = -c(99!)) also (c = 1/99!). Somit haben wir:

    Wir können die Gleichungen ((1)) und ((3)) kombinieren und (x = 100) lassen, um zu finden

    [100p(100) – 1 = (100 – 1)(100 – 2)(100 – 3) cdots (100 – 99)/99!][100p( 100) – 1 = 99!/99! = 1][p(100) = 1/50.]

    Welche würdest du lieber lesen?

    SdrawkcaB knihT, Vorwärts schreiben

    Das Folgende ist ein Auszug aus einem Kochbuch, das nie geschrieben wurde:

    “Es ist einfach herauszufinden, wie man ein Omelett zubereitet. Jeder, der schon einmal ein Omelett gegessen hat, weiß, dass ein Omelett normalerweise aus mehreren Eiern besteht, die mit verschiedenen Lebensmitteln wie Schinken, Paprika, Zwiebeln und Speck gefüllt sind und oft mit Käse gekocht werden. Die Tatsache, dass all diese Zutaten im Ei landen, bedeutet, dass wir beginnen sollten, die Eier flach auf einer Pfanne zu kochen und dann die Zutaten hinzuzufügen. Wir können dann einen Teil des Eies über die Zutaten rollen, um sie im Inneren einzuschließen. Wenn wir einige der Zutaten vorgekocht brauchten, könnten wir dies tun, bevor wir sie zu den Eiern hinzufügen…”

    Es ist eine Sache, herauszufinden, wie man ein Omelett macht. Es ist eine andere, jemand anderem zu erklären, wie man einen macht. Unsere Erklärung von Anfang an zu beginnen ist viel klarer als mit dem fertigen Omelett zu beginnen.

    “Gemüse und andere gewünschte Omelettefüllungen zubereiten. Eier schlagen. Beginnen Sie mit dem Kochen der Eier. Die Füllungen in die Mitte geben, damit ein Teil des Eies über die Zutaten gezogen werden kann. Wenn das Omelett geschlossen ist, kochen Sie weiter und wenden Sie das Omelett, bis die Eier gut gekocht aussehen.”

    Dem Leser ist es egal, wie der Prozess des Kochens eines Omeletts vom Autor aufgeklärt wurde. Der Leser möchte nur wissen, wie man ein Omelett macht.

    Stellen Sie sich Lösungen als Rezepte vor. Beginnen Sie am Anfang und gehen Sie vorwärts. Listen Sie die Zutaten auf und erklären Sie, wie und wann Sie sie in den Topf geben.

    Problem: Seien (a), (b) und (c) die Längen der Seiten eines Dreiecks. Zeige, dass

    $a^2(-a + b + c) + b^2(a – b + c) + c^2(a + b – c)leq 3abc.$

    Diese Lösung könnte eine gute Möglichkeit sein, um zu sehen, wie wir von Grund auf eine Lösung finden könnten, aber sie ist kein besonders gut geschriebener Beweis:

    So schreiben Sie die Lösung nicht:

    Wir bemerken, dass die Ungleichung die Faktoren ((-a + b + c)), ((a – b + c)) und ((a + b – c)) enthält. Diese Faktoren weisen auf die Verwendung der Dreiecksungleichung hin, so dass es natürlich erscheint, die Faktoren in Ruhe zu lassen und sich auf die Tatsache zu berufen, dass jeder nicht negativ ist.

    Da jeder dieser drei Faktoren mit dem Quadrat der Seitenlänge multipliziert wird, könnte es möglich sein, die Ungleichung in etwas umzuwandeln, das diese nichtnegativen Dreiecksungleichungsfaktoren multipliziert mit perfekten Quadraten beinhaltet. Wir könnten dann argumentieren, dass diese Summe auch nichtnegativ sein muss. Wir beginnen damit, (3abc) auf die linke Seite zu verschieben:

    $a^2(-a + b + c) = b^2(a – b + c) + c^2 (a + b – c) – 3abc le 0.$

    Wenn wir (3abc) als die Summe von (3)-Termen betrachten würden, die jeweils das Produkt von (ab), (bc) oder (ca) und einer der Dreiecksungleichungen Faktoren, beginnen wir eine Vorstellung davon zu bekommen, wie die Ungleichheit reorganisiert werden kann. Da die Ungleichheit zyklisch ist, erscheint es naheliegend, diese Produkte so zu nehmen, dass der zyklische Charakter erhalten bleibt. Zum Beispiel multiplizieren wir (ab) mit ((a + b – c)), weil (a) und (b) das gleiche Vorzeichen in ((a + b – C)):

    Start
    ab( a + b – c) &= a^2b +ab^2 -abc ge 0,
    ab (-a + b +c) &= -abc + b^2c + bc^2 ge 0,
    ca (a – b + c) &=a^2c -abc + ac^2 ge 0.
    Ende

    Wir sehen die (-3abc) in der Summe dieser Produkte. Untersuchen Sie die anderen Begriffe in

    wir bemerken, dass (a^2b + ab^2) Faktoren sind, die aus ((a – b)^2(a + b – c) ) hervorgehen würden. Erweitern der quadrierten Teile von Ausdrücken wie ((a-b)^2(a+b-c)) erhalten wir

    Start
    (a – b)^2(a + b – c) &= a^2(a + b – c) – 2ab(a + b – c) + b^2( a + b – c) ge 0,
    (b – c)^2(-a + b + c) &= b^2(-a + b + c) – 2bc(-a + b + c) + c^2(-a + b + c) ge 0,
    (c – a)^2(a – b + c) &= c^2(a – b + c) – 2ca(a – b + c) + a^2( a – b + c) ge 0.end

    Wenn wir diese Ungleichungen zusammenzählen, beginnen wir zu sehen, wie die Ungleichung Gestalt annimmt:

    Start
    &a^2(a + b – c + a – b + c) + b^2(a + b – c – a + b + c) + c^2(-a + b + c + a – b + c)
    &- 2a^2b – 2ab^2 + 2abc + 2abc – 2b^2c – 2bc^2 – 2a^2c + 2abc – 2ac^2
    &= a^2(2a – 2b – 2c) + b^2(-2a + 2b – 2c) + c^2(-2a – 2b + 2c) + 6abc ge 0.
    Ende

    Die Multiplikation dieser Ungleichung mit (-1/2) kehrt das Ungleichungszeichen um und gibt uns

    $a^2(-a + b + c) + b^2(a – b + c) + c^2(a + b – c) – 3abc ge 0.$

    Durch Hinzufügen von (3abc) zu beiden Seiten erhalten wir

    $a^2(-a + b + c) + b^2(a – b + c) + c^2(a + b – c) ge 3abc$

    Der Kochbuchstil ist leichter zu lesen und weitaus überzeugender:

    So schreiben Sie die Lösung:

    Nach der Dreiecksungleichung ist die Summe zweier Seiten eines Dreiecks mindestens so groß wie die Länge der dritten Seite. Damit haben wir die Ungleichungen

    Multipliziert man diese mit perfekten Quadraten, bleibt jede linke Seite nicht positiv, also,

    Addieren wir diese Ungleichungen, erhalten wir

    Start
    &a^2(a + b – c + a – b + c) + b^2(a + b – c – a + b + c) + c^2(-a + b + c + a – b + c)
    &- 2a^2b – 2ab^2 + 2abc + 2abc – 2b^2c – 2bc^2 – 2a^2c + 2abc – 2ac^2
    &= a^2(2a – 2b – 2c) + b^2(-2a + 2b – 2c) + c^2(-2a – 2b + 2c) + 6abc ge 0.
    Ende

    Addiert man (6abc) zu beiden Seiten und dividiert durch (2) erhält man das gewünschte

    $a^2(-a + b + c) + b^2(a – b + c) + c^2(a + b – c)leq3abc.$

    Benennen Sie Ihre Charaktere

    An einer Wand stand ein großes, dünnschaliges Gefährt für ein junges Geflügel, das von einem riesigen weiblichen Vogel geschaffen wurde. Das große, dünnschalige Gefährt für ein junges Geflügel, das von einem riesigen weiblichen Vogel geschaffen wurde, hatte einen großen Sturz. All die Pferde des großen Mannes, die in einer großen Burg lebten, die über die Menschen im Land herrschte, und alle Männer des großen Mannes, die in einer großen Burg lebten, die über die Menschen im Land herrschte, konnten die große Dünne nicht stellen -geschältes Fahrzeug für ein Junggeflügel, das von einem riesigen weiblichen Vogel wieder zusammengefügt wurde.

    Beweise sind wie Geschichten. Wenn Sie eine Lösung schreiben, besteht Ihre Aufgabe darin, eine mathematische Geschichte so zu erzählen, dass Ihr Publikum es verstehen und genießen kann. Anstatt über ‘Ein großes dünnschaliges Fahrzeug für ein junges Geflügel, das von einem riesigen weiblichen Vogel geschaffen wurde, zu schreiben, nennen wir dieses große Ei ‘Humpty-Dumpty’ und erzählen die Geschichte. Ebenso beinhaltet ein gut geschriebener Beweis oft die Benennung der wichtigen Größen oder Ideen, die in der Geschichte Ihrer Lösung eine Rolle spielen. Die Benennung deiner Charaktere kann dir auch dabei helfen, Lösungen für Probleme zu finden, daher solltest du nicht bis zum Korrekturschreiben warten.

    Wenn Sie Ihre Charaktere benennen, benennen Sie sie einfach und klar und schreiben Sie im Voraus, damit der Leser genau weiß, wohin er gehen muss, um genau herauszufinden, wer diese (n) Person ist und was (f(x) ) Funktion steht für.

    Die folgende Lösung ist schwer zu lesen, da die ganzen Zahlen und Summen, die der Schlüssel zur Lösung sind, unbenannt bleiben.

    So schreiben Sie die Lösung nicht:

    Angenommen, wir bringen die Zahlen in unserer Menge in eine feste Reihenfolge. Wenn wir von vorne beginnen, gibt es (100) Summen, die wir machen können, indem wir einfach von der Anfangszahl beginnend addieren. Wir könnten die ersten (2) Zahlen addieren, oder die ersten (4), die ersten (57) oder was auch immer. Wenn eine dieser Summen ein Vielfaches von (100) ist, sind wir fertig. Wenn keine der Summen ein Vielfaches von (100) ist, müssen wir die Reste berücksichtigen, wenn jeder dieser Terme durch (100) geteilt wird. Es gibt (100) Gesamtreste, da es (100) Summen gibt. Da keiner von ihnen (0) ist, gibt es unter diesen (100)-Resten höchstens (99) verschiedene Reste. Daher müssen zwei dieser Reste gleich sein, denn wenn nicht mindestens zwei gleich wären, könnte es nur (99) Gesamtreste geben (da wir wissen, dass keiner Null ist). Nehmen Sie nun die Differenz zwischen den beiden Summen, die bei der Division durch (100) den gleichen Rest haben. Diese Differenz muss einen Rest von (0) haben, wenn sie durch (100) geteilt wird. Angenommen, wir haben die Summe mit weniger Zahlen von der Summe mit mehr Zahlen subtrahiert. Wenn wir diese Differenz nehmen, heben sich alle Zahlen in der zweiten Summe mit Zahlen in der ersten Summe auf, weil jede Summe nur Zahlen in unserer Menge addiert, beginnend mit der ersten, aber die zweite Summe ist kürzer. Aufgrund dieser Aufhebung ergibt die Differenz dieser beiden Summen, die bei Division durch (100) den gleichen Rest haben, eine Summe der Zahlen in der ursprünglichen Menge. Wir haben gezeigt, dass diese Differenz einen Rest von (0) hat, wenn sie durch (100) geteilt wird, also ist dies unsere gewünschte Summe der Zahlen in der Menge, die durch (100) teilbar sind.

    Die folgende Lösung ist leicht zu lesen, da die Hauptfiguren Namen haben. Insbesondere benennen wir die ganzen Zahlen in der Menge und die Summen der Elemente in den Teilmengen, die wir untersuchen. Diese Namen ermöglichen es uns, den Charakteren während der gesamten Geschichte zu folgen. Sie ermöglichen es dem Autor auch, die Charaktere vollständiger und prägnanter zu beschreiben.

    So schreiben Sie die Lösung:

    Nennen Sie die 100 ganzen Zahlen (n_1,) (n_2,) (ldots,) (n_<100>).

    Sei (S_k = n_1 + n_2 + dots + n_k) für (k = 1,) (2, dots, 100.)

    Fall 1: Wenn (S_1, S_2,dots, S_<100>) alle verschieden sind (mod 100), dann muss genau einer von ihnen ein Vielfaches von 100 sein.

    Fall 2: Ansonsten haben die 100 Summen (S_k) höchstens 99 verschiedene Reste (mod 100) und nach dem Pigeonhole-Prinzip haben zwei der Summen (S_k) denselben Rest (mod 100).

    Das heißt, es existieren einige ganze Zahlen (j) und (k), (0 < j < k < 101), so dass

    Betrachten Sie nun die Teilmenge mit Elementen (n_,) (n_,) (ldots,) (n_k). Die Summe der Elemente dieser Teilmenge ist

    Start
    & n_ + n_ + Punkte + n_k
    & = (n_1 + n_2 + dots + n_k) – (n_1 + n_2 + dots + n_j)
    S_k& equiv 0 pmod<100>.
    Ende

    Somit ist diese Summe ein Vielfaches von 100 und wir sind fertig.

    Ein Bild sagt mehr als tausend Worte

    Wenn Sie eine Lösung für ein Geometrieproblem oder ein Problem mit einem Bild schreiben, sollten Sie das Diagramm einfügen. Wenn Sie das Diagramm nicht einfügen, müssen Sie es oft vom Sortierer für Sie zeichnen. Auch wenn das Diagramm in der Aufgabe enthalten ist, sollten Sie es in Ihre Lösung aufnehmen. Wenn Sie Ihren Leser dazu bringen, woanders nach einem Diagramm zu suchen, verlieren Sie sehr wahrscheinlich seine Aufmerksamkeit.

    Zeichnen Sie Ihr Diagramm genau. Verwenden Sie ein Geometrie-Rendering-Programm, wenn Sie Ihre Lösung setzen, oder verwenden Sie ein Lineal und einen Zirkel, wenn Sie Ihre Lösung von Hand schreiben.

    Hier eine Lösung ohne Diagramm:

    So schreiben Sie die Lösung:

    Unsere Kreise seien (O) und (O’). Seien (M) und (M’) auf (O) und (O’), so dass (MM’) die gemeinsame Tangente durch (K) ist. Seien (L) und (L’) die Punkte, an denen (AD) auf Kreise (O) bzw. (O’) trifft. Seien (N) und (N’) die Punkte, an denen (BC) auf Kreise (O) bzw. (O’) trifft.

    Wir werden zeigen, dass (AK = ) (<(AB + AC – BC)>/2) und damit die Länge von (AK) unabhängig von (D) ist.

    Da Tangenten von einem Punkt zu einem Kreis gleich sind, gilt sowohl (DN = DL) als auch (DN’ = DL’). Daher,

    Da (MM’ = NN’) symmetrisch ist, schließen wir, dass (KL = DL). Somit,

    Wir können (NN’) und damit (KD) in Bezug auf (AD) und die Seiten des Dreiecks berechnen:

    wie gewünscht. Da (A), (B) und (C) unabhängig von (D) sind, schließen wir, dass die Länge (AK) unabhängig von (D) ist.

    Hier ist eine Lösung, die das Diagramm enthält:

    So schreiben Sie die Lösung:

    Unsere Kreise seien (O) und (O’). Seien (M) und (M’) auf (O) und (O’), so dass (MM’) die gemeinsame Tangente durch (K) ist. Seien (L) und (L’) die Punkte, an denen (AD) auf Kreise (O) bzw. (O’) trifft. Seien (N) und (N’) die Punkte, an denen (BC) auf Kreise (O) bzw. (O’) trifft.

    Wir werden zeigen, dass (AK = ) (<(AB + AC – BC)>/2) und damit die Länge von (AK) unabhängig von (D) ist.

    Da Tangenten von einem Punkt zu einem Kreis gleich sind, gilt sowohl (DN = DL) als auch (DN’ = DL’). Daher,

    Da (MM’ = NN’) symmetrisch ist, schließen wir, dass (KL = DL). Somit,

    Wir können (NN’) und damit (KD) in Bezug auf (AD) und die Seiten des Dreiecks berechnen:

    wie gewünscht. Da (A), (B) und (C) unabhängig von (D) sind, schließen wir, dass die Länge (AK) unabhängig von (D) ist.

    (Lösungsmethode von Community-Mitglied gefunden 3cnfsat in der Klasse Olympiade Geometrie)

    In unserer obigen Lösung haben wir die Tatsache ausgenutzt, dass die Länge der Segmente von einem Eckpunkt eines Dreiecks (wie Eckpunkt (D) des Dreiecks (ABD) oben) bis zu den Tangentialpunkten des eingeschriebenen Kreises mit den Seiten des Dreiecks von diesem Scheitelpunkt (Segmente (DN) und (DL) oben) gleich dem halben Umfang des Dreiecks minus der gegenüberliegenden Seite des Dreiecks. Wenn wir dieses Prinzip anwenden, um die Länge (DN) im Dreieck (ABD) zu finden, erhalten wir:

    Wenn Sie mit dieser Tatsache nicht vertraut sind, versuchen Sie es selbst zu beweisen (und schreiben Sie eine schöne Lösung). Jeder gute Geometer greift nach dieser Tatsache ebenso leicht wie nach dem Satz des Pythagoras.

    Lösungsleser, keine Gedankenleser

    Eine vollständige Lösung bedeutet nicht nur eine richtige Antwort. Sie sollten jeden nennenswerten Schritt Ihrer Lösung begründen. Ein erfahrener Leser sollte sich beim Lesen Ihrer Lösung nie fragen: „Warum ist das so?“. Sie sollte auch nie im Zweifel sein, ob Sie wissen, warum es wahr ist oder nicht.

    Es ist nicht immer klar, welche Schritte Sie davon ausgehen können, dass der Leser versteht und welche Schritte Sie erklären müssen. Hier einige Richtlinien:

    1. Wenn Sie einen Satz mit Namen zitieren können, müssen Sie den Satz nicht beweisen. Sie können den Satz zitieren und weitermachen, wie in ‘Nach dem Satz des Pythagoras, (AC = 3).’
    2. Wenn Sie sich sicher sind, dass der Schritt bekannt ist, Sie aber keinen Namen kennen, können Sie sagen ‘Nach einem bekannten Satz ist die Fläche von (ABC) gleich (rs), wobei (r ) ist der Innenradius und (s) ist der Semiperimeter.’ Sie können das Bit ‘Nach einem wohlbekannten Theorem’ auch weglassen, insbesondere für sehr häufige Ergebnisse wie das gerade erwähnte. (Wenn Sie dieses Ergebnis nicht kennen, versuchen Sie es selbst zu beweisen.)
    3. Wenn Sie sich immer noch nicht sicher sind, ob Sie einen bestimmten Schritt beweisen oder als bekannt annehmen sollen, müssen Sie eine Entscheidung treffen. Wenn Sie es in ein oder zwei Zeilen beweisen können, machen Sie es einfach. Wenn der Beweis viel Arbeit erfordert, Sie aber wissen, wie es geht, skizzieren Sie zumindest den Beweis (und geben Sie einen gründlicheren an, wenn Sie Zeit haben). Wenn Sie an einem Wettbewerb teilnehmen und keine Ahnung haben, wie Sie ihn beweisen können, zitieren Sie ihn und fahren Sie fort. Vielleicht haben Sie Glück und es wird ein ‘bekanntes Theorem’ sein. Wenn Sie eine pädagogische Arbeit schreiben und nicht wissen, wie Sie es beweisen sollen, dann ist Ihre Arbeit nicht fertig, bis Sie es herausgefunden haben.
    4. Wenn Sie eine Folge von algebraischen Schritten schreiben, sollte jeder Schritt offensichtlich auf den vorherigen folgen. Schreiben Sie nicht etwas wie, ‘Wir haben also [x^2(x – 4) + <(x +1)>^2 + 5x – 4(x +2) = -2, ] daher ist (x=1) die einzige Lösung.’ Sie sollten klare einfache Schritte einbeziehen, die deutlich machen, dass das obige äquivalent zu ((x – 1)^3 = 0) ist.
    5. Sie können sich auf Symmetrie oder Analogie berufen, wenn die Fälle genau gleich sind. Angenommen, Sie möchten beweisen, dass die Fläche eines beliebigen Dreiecks (ABC) gegeben ist durch [ [ABC] = (ab sin C + bc sin A + ac sin B)/6,] wobei (a = BC), (b = AC) und (c = AB), und ([ABC]) ist die Fläche von (ABC). Wenn Sie beweisen, dass [[ABC] = (ab/2)(sin C),], dann können Sie einfach schreiben: ‘Ähnlich haben wir [[ABC] = (bc/2)(sin A ) = (ac/2)(sin B).’]
    6. Erklären Sie es im Zweifelsfall. Viele der in diesem Artikel vorgestellten Lösungen sind ein wenig übertrieben. Es ist besser, zu viel als zu wenig zu beweisen.

    Das ist völlig inakzeptabel:

    Wie man die Lösung 1 nicht schreibt:

    Das obige ist eine Antwort, keine Lösung. Dieser ‘solution’ fehlt jegliche Beweise dafür, dass diese Lösungen tatsächlich funktionieren, und zeigt nicht, dass es keine anderen Lösungen gibt. Darüber hinaus bringt es den Leser dem Verständnis der Lösung nicht näher.

    Wie man die Lösung 2 nicht schreibt:

    Die gegebene Gleichung ordnet sich zu $(m + 1)(n – 1) = pm 2,$ um, also sind die Lösungen [(1, 2), (-3, 0), (0, 3), ( -2, -1, (1, 0), (-3, 2), (0, -1), (-2, 3).]

    Die obige Lösung ist besser als die erste, ein motivierter Leser hat zumindest einen Schimmer von einem Weg zur Lösung, aber es ist überhaupt nicht klar, wie sich die ursprüngliche Gleichung in die gegebene Gleichung umordnet, noch wie die Show-Lösungen folgen.

    So schreiben Sie die Lösung:

    Wir entwickeln den ersten Term und die rechte Seite und gruppieren dann Terme neu: $(m^2+ 1)(n^2 + 1) + 2(m – n)(1 – mn) = 4(mn + 1)$ $m^2n^2+ m^2 + n^2+ 1 + 2(m – n)(1 – mn) = 4mn + 4$ $m^2n^2- 2mn + 1 + m^2 – 2mn + n^2 + 2(m – n)(1 – mn) = 4$ $(mn – 1)^2 + (m – n) ^2 – 2(m – n)(mn – 1) = 4$ Diese linke Seite ist das Quadrat von ([(mn – 1) – (m – n) ]), also haben wir: $[(mn – 1)(m – n)]^2 = 4$ $[mn – m + n – 1]^2 = 4$ $ [(m + 1)(n – 1)]^2 = 4$ $(m + 1)(n – 1) = pm2,$ Fall 1: Für ((m + 1)(n – 1) = 2), haben wir die Gleichungssysteme: egin m + 1 &= 1 n – 1 &= 2 &(0, 3) end Start m + 1 &= 2 n – 1 &= 1 &(1, 2) end Start m + 1 &= -1 n – 1 &= -2 &(-2, -1) end Start m + 1 &= -2 n – 1 &= -1 &(-3, 0) end Fall 2: Für ((m + 1)(n – 1) = -2) haben wir die Gleichungssysteme: egin m + 1 &= 1 n – 1 &= -2 &(0, -1) end Start m + 1 &= -2 n – 1 &= 1 &(-3, 2) end Start m + 1 &= -1 n – 1 &= 2 &(-2, 3) end Start m + 1 &= 2 n – 1 &= -1 &(1, 0) end Die Lösungen sind also ((1, 2),) ((-3, 0),) ((0, 3),) ((-2, -1),) ( (1, 0),) ((-3, 2),) ((0, -1),) ((-2, 3)).)

    Folgen Sie den Lemmata

    Oft müssen Sie mehrere Vorarbeiten beweisen, bevor Sie das Hauptproblem angehen. Beim Schreiben eines Beweises entscheiden wir uns oft, diese Teile vom Hauptbeweis zu trennen, indem wir jeden als ‘Lemma’ bezeichnen und das Lemma und seinen Beweis klar vom Rest der Lösung abgrenzen.

    Hier ist ein Beispielproblem mit zwei verschiedenen Lösungen, die Lemmata verwenden. Wir haben beim Schreiben der Lösungen mit Lemmata einen kleinen Overkill verwendet, um hervorzuheben, wie gut wir Lösungen mit Lemmata klären können. Beide Lösungen werden durch das klare Zerlegen der Lösung deutlich leichter lesbar.

    Problem: Vom Scheitel (A) des Dreiecks (ABC) werden die Senkrechten (AM) und (AN) auf die Winkelhalbierenden der Außenwinkel des Dreiecks bei (B) und (C ). Beweisen Sie, dass (MN) gleich dem halben Umfang von (ABC) ist.

    Wie man die Lösung 1 nicht schreibt:

    Lassen Sie die Linie durch (A) parallel zu (BC) die Linie (BM) bei (J) treffen. Lassen Sie die Linie durch (J) parallel zu (AB) die Linie (BC) bei (K) treffen. Sei (MN) auf (AB) bei (X) und (AC) auf (Y).

    Da (JK parallel AB) und (AJ parallel BK) ist, ist (JKBA) ein Parallelogramm. Seit

    Aus dem rechtwinkligen Dreieck (BAM) finden wir

    $angle BAM = 90 – angle ABM = angle B/2.$

    Da (AJ parallel BC) gilt (angle JAB = angle B), also halbiert (MA) (angle BAJ). Somit sind (angle JAM =) (angle BAM) und die Dreiecke (BAM) und (JAM) nach ASA deckungsgleich. Somit ist (AJ = AB) und das Parallelogramm (JKBA) eine Raute.

    Die Diagonalen einer Raute halbieren sich, die Dreiecke (AMJ) und (KMB) sind also deckungsgleich. Somit sind die Höhen von (M) bis (AJ) und (BK) gleich und (M) ist gleich weit von den Geraden (AJ) und (BK) entfernt. Aus Symmetriegründen gilt dies auch für (N). Somit ist (MN parallel BC) und (MN) gleich weit von (AJ) und (BC) entfernt.

    Da (MX parallel BK), ( riangle AMX sim riangle AKB). Wegen (AM =) (AK/2) gilt (MX =) (KB/2). Da (JKBA) eine Raute ist, (KB = AB), also (MX =) (AB/2), wie gewünscht.

    Aus Symmetriegründen gilt auch (NY =) (AC/2). Da (XY) die Mittellinie von (ABC) parallel zur Seite (BC) ist, gilt (XY =) (BC/2). Daher,

    $MN = MX + XY + YN = AB/2 + AC/2 + BC/2,$

    Klare Fallarbeit

    Manchmal besteht die Lösung eines Problems darin, ein paar verschiedene Fälle zu untersuchen. In Ihrer Lösung sollten Sie die Fälle eindeutig identifizieren und zeigen, dass diese Fälle alle Möglichkeiten abdecken.

    Problem: Wie viele positive 3-stellige ganze Zahlen sind so, dass eine Ziffer dem Produkt der anderen 2 Ziffern entspricht?

    So schreiben Sie die Lösung nicht:

    Die obige Lösung ist kurz und die Antwort ist richtig, aber es ist keineswegs klar, dass alle Möglichkeiten entdeckt wurden. Außerdem ist es ziemlich schwer zu erkennen, dass wir genau 52 Lösungen gefunden haben – der Leser ist gezwungen, durchzugehen und sich selbst zu zählen.

    Die folgende Lösung deckt alle möglichen Fälle klar ab und lässt keinen Zweifel daran, dass die Gesamtzahl 52 beträgt.

    So schreiben Sie die Lösung:

    Wir teilen unsere Untersuchung in Fälle auf, basierend auf der kleinsten Ziffer jeder Zahl.

    Fall 1: Die kleinste Ziffer ist (0).

    Wenn die kleinste Ziffer (0) ist, muss die Zahl eine zweite (0) enthalten. Dieser Fall besteht also aus Zahlen der Form (n00), wobei (1 leq n leq 9) eine beliebige Ziffer von (1) bis (9) ist. Es gibt also 9 Zahlen mit der kleinsten Ziffer (0), die das Problem erfüllen.

    Fall 2: Die kleinste Ziffer ist (1).

    Wenn die kleinste Ziffer (1) ist, muss die Zahl die Form (nn1) oder Permutationen dieser Form haben (d. h. (n1n) oder (1nn)). Diese 3 Permutationen sind jedoch gleich, wenn (n = 1). Somit haben wir jeweils 3 Permutationen für (2 leq n leq 9) und nur (1) für (n = 1), für insgesamt (1 +) (3(8 ) =) (mathbf<25>) Zahlen mit kleinster Ziffer (1), die das Problem erfüllen.

    Fall 3: Die kleinste Ziffer ist (2).

    Wenn die kleinste Ziffer (2) ist, hat die Zahl die Form (2mn), wobei (n = 2m) und Permutationen dieser Form sind. Unsere einzigen Optionen hier sind ((m,n) = (2,4)), was uns 3 Zahlen ((224, 242, 422)), ((m,n) = (3,6 )), was uns 6 Zahlen ergibt (Permutationen von (236)) und ((m,n) = (4,8)), was uns ebenfalls 6 Zahlen liefert. Es gibt also (3 +) (6 +) (6 =) (mathbf<15>) Zahlen mit der kleinsten Ziffer (2).

    Fall 4: Die kleinste Ziffer ist (3).

    Es gibt 3 Lösungen in diesem Fall: (339), (393), (933).

    Fall 5: Die kleinste Ziffer ist größer als (3).

    Wenn die kleinste Ziffer größer als (3) ist, ist das kleinste Produkt, das wir mit zwei der Ziffern bilden können, (4(4) = 16), was keine einstellige Zahl ist. Daher gibt es keine Zahlen, die das Problem mit der kleinsten Ziffer größer als (3) erfüllen.

    Da jede mögliche 3-stellige Zahl in genau einen dieser Fälle fällt, schließen wir, dass es

    Zahlen, die das Problem lösen.

    Korrekturfrei

    Komplexe Ideen zu kommunizieren ist nicht einfach und kann noch schwieriger sein, wenn wir die Präsentation dieser Ideen nicht für unser Publikum bearbeiten. Es lohnt sich, die Arbeit so zu organisieren, dass sie leicht zu lesen ist, um sicher zu sein, dass das Publikum den Punkt versteht und um sicher zu sein, dass Sie sagen, was Sie meinen.

    Wenn ich immer so schreiben würde, würde niemand jemals etwas lesen, was ich geschrieben habe.

    Lesen und bearbeiten Sie Ihre Arbeit. Gott mag Kreuzworträtsel in der Feder lösen, aber du wirst Fehler machen. Stellen Sie sicher, dass Sie so geschrieben haben, dass Sie Ihre Ideen klar und richtig ausdrücken, nur um die richtige Antwort zu haben.

    Stellen Sie sicher, dass Ihre Gleichungen und Ungleichungen Ihre Variablen so verwenden, wie Sie es beabsichtigt haben. Sie sollten nicht “ abc + bcd” schreiben, wenn Sie “ abd + acd meinen.” Dies erschwert nicht nur das Entziffern des restlichen Beweises, sondern kann auch Ihre eigenen Berechnungen durcheinanderbringen.

    Üben Sie das Schreiben von Beweisen. Wir alle machen gelegentlich Rechtschreib- oder Grammatikfehler, aber die Auswirkungen von Fehlern vervielfachen sich und zu viele davon machen ansonsten gute Ideen unlesbar. Denken Sie daran, dass “Wiederholung die Mutter aller Fähigkeiten ist.”

    Problem: (x), (y) und (z) sind reelle Zahlen mit

    [x + y + z = 5 quad extquad xy + yz + zx = 3.]

    Bestimmen Sie mit Beweis den größten Wert, den eine der drei Zahlen haben kann.

    Wenn alle Beweise so schlecht geschrieben wären, würde ich weinen:

    So schreiben Sie die Lösung nicht:

    Wir manipulieren die gegebenen Gleichungen, um die Tatsache zu nutzen, dass das Quadrat jeder reellen Zahl negativ ist:

    Wir können sowohl (x + y) als auch (xy) ersetzen, was uns eine Ungleichung gibt, die nur die Variable (z) betrifft:

    $0 le (x + y)^2 – 4xy = 25 – 10z + z^2 – 12 + 20z – 4z^2 = 3z^2 + 10z + 13.$

    Da diese Ungleichung für (z) gilt, können wir alle möglichen Werte von (z) bestimmen:

    $0 ge -3z^2 + 10z + 13 = -(z + 1)(3z – 13).$

    Die Gleichheit gilt für (-1 ge z ge 13/3).

    Grader werden glücklicher sein, wenn sie diese Lösung lesen:

    So schreiben Sie die Lösung:

    Wir manipulieren die gegebenen Gleichungen, um die Tatsache zu nutzen, dass das Quadrat jeder reellen Zahl nicht negativ ist:

    Wir können sowohl (x + y) als auch (xy) ersetzen, was uns eine Ungleichung gibt, die nur die Variable (z) betrifft:

    $0 le (x + y)^2 – 4xy = 25 – 10z + z^2 – 12 + 20z – 4z^2= -3z^2 + 10z + 13.$

    Da diese Ungleichung für z gilt, können wir alle möglichen Werte von z bestimmen:

    $0 ≤ -3z^2 + 10z + 13 = -(z + 1)(3z – 13).$

    Die Ungleichung gilt für (-1 ≤ z ≤ 13/3).

    Buchstützen

    Wir haben mehrere Regale voller Mathebücher in unseren Büros. Wenn wir an beiden Enden keine Buchstützen haben, fallen irgendwann die Bücher an den Enden um. Dann fallen mehr um, dann mehr, und es ist mühsam, Bücher zu finden und wiederzubekommen, ohne andere überall zu verschütten.

    Ebenso sollten Sie bei einer komplizierten Lösung Buchstützen auf Ihrer Lösung platzieren, damit sich der Leser nicht in der Mitte verliert. Sagen Sie zuerst, was Sie tun werden, dann tun Sie es und sagen Sie dann, was Sie getan haben. Bei Standardtechniken wie Widerspruch oder Induktion ist es besonders wichtig, Ihre allgemeine Methode zu erklären, bevor Sie sie ausführen. Sie könnten zum Beispiel mit ‘ beginnen. Wir werden durch Widerspruch zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Nehmen Sie das Gegenteil an, es gibt genau (n) Primzahlen (dots).’

    Wenn Sie mit Ihrer Lösung fertig sind, machen Sie deutlich, dass Sie fertig sind. Geben Sie das Endergebnis an, das sagen sollte, dass Sie genau das getan haben, was das Problem von Ihnen verlangt hat, z. ‘Damit haben wir durch Widerspruch gezeigt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.’ Sie können das Ende von Beweisen auch mit Elementen wie (QED) oder (AYD) oder (WWWWW) oder . dekorieren ( lacksquare ) oder //.

    Problem: Sei (I) der Mittelpunkt des Dreiecks (ABC). Unter Beweis stellen

    wobei (R) der Umkreisradius von (ABC) und (r) der Innenradius von (ABC) ist.

    Da dies unser letztes Problem ist, werden wir viele unserer No-Gos in die ‘How Not’-Lösung einbeziehen. Viel Glück beim Zusammensetzen.

    So schreiben Sie die Lösung nicht:

    Aus ( riangle AIC) haben wir (angle AIC =) ( 180^ – angle ACI – angle CAI =) ( 180^ & #8211 alpha/2 – gamma/2 =) ( 180^ – (180^ – eta)/2 =) ( 90^ < circ>+ eta/2) und aus ( riangle EBC) haben wir (angle EBC =) (angle ABC + angle ABQ =) ( eta + (180^ < circ>– eta)/2 =) ( 90^ + eta/2), also (angle AIC = angle EBC). Also ( riangle AIC sim riangle EBC) nach Winkel-Winkel-Ähnlichkeit. Aus Symmetrie schließen wir ( riangle BIC sim riangle EAC).

    ([AIE] = (AI)(AE)/2 =) ((x)(by/z)/2 = bxy/2z), ([AIC] = br/2) und ([EBC] = [AIC](BC/IC)^2 =) ((br/2)(a/z)^2 =) ( a^2br/2z^2), also ( [EACB] =) (bxy/2z + br/2+) (a^2br/2z^2 =) ( axy/2z + ar/2 +) (ab^2r/2z^ 2). Somit ist ((b – a)(xy/2z + r + abr/2z^2) = 0). Wenn (b = a), dann folgt (ab – z^2 = xyz/r) aus dem Satz des Pythagoras und dem Satz der Winkelhalbierenden. Andernfalls folgt sofort (ab – z^2 = xyz/r).

    Zeichne die Höhe (IE) von (AIC). ([EIC] =) ((z^2/2) sin gamma =) ( r(s – c)/2), und ([ABC] =) ( (ab/2) sin gamma =) ( rs), also ([(ab – z^2)/2] sin gamma = rc). Dann geben das Sinusgesetz und die frühere Gleichung unser Ergebnis.

    Kurz, hässlich und völlig unverständlich.

    So schreiben Sie die Lösung:

    [a = BC, b = AC, c = AB][s = (a + b + c)/2][alpha = angle BAC, eta =angle ABC, gamma= Winkel ABC,]
    [[ABC] = extABC][x = IA, y = IB, z = IC]

    Lassen sich die äußeren Winkelhalbierenden (A) und (B) von (dreieck ABC) wie gezeigt in (E) treffen. Der Punkt (E) ist gleich weit von den Geraden (AB), (AC) und (BC) entfernt, liegt also auch auf der Winkelhalbierenden (CI). Wir werden zeigen

    [[EACB] = bxy/2z + br/2 + a^2br/2z^2 = axy/2z + ar/2 + ab^2r/2z^2², ag <1>]

    Aus (1) zeigen wir, dass (ab – z^2 =) (xyz / r), das wir mit (2) und bekannten Dreiecksbeziehungen kombinieren, um das gewünschte Ergebnis zu zeigen.

    Lemma 1: ( riangle AICsim riangle EBC) und ( riangle BICsim riangle EAC).
    Nachweisen: Aufgrund der Symmetrie sind die beiden Ergebnisse äquivalent. Wir zeigen das erste. Da (CI) (angle ACB) halbiert, gilt (angle ACI = angle BCE).

    Aus (dreieck AIC) haben wir

    und aus (dreieck EBC) haben wir

    [angle EBC = angle ABC + angle ABQ = eta + (180^ – eta)/2 = 90^ + eta/2,]

    also ( riangle AIC sim riangle EBC) nach Winkel-Winkel-Ähnlichkeit. Aus Symmetrie schließen wir ( riangle AIC sim riangle EBC.) (lacksquare)

    Lemma 2: [ [EACB] = bxy/2z + br/2 + a^2br/2z^2 = axy/2z + ar/2 + ab^2r/2z^2] Nachweisen: Wir finden die Fläche von (EACB), indem wir sie in Stücke zerlegen:

    Zuerst gehen wir ([AIE]) an, indem wir zeigen, dass es ein rechtwinkliges Dreieck mit den Schenkeln (x) und (by/z) ist. Aus Lemma 1 folgt ( riangle BICsim riangle EAC). Daher (AE/IB = AC/IC), oder

    [[AIE] = (AI)(AE)/2 = (x)(by/z)/2 = bxy/2z. ag <3>]

    Für das Dreieck (AIC) beachten wir, dass die Höhe von (I) nach (AC) der Innenradius von (ABC) ist, also

    Schließlich gilt wegen ( riangle AICsim riangle EBC)

    [[EBC] = [AIC](BC/IC)^2 = (br/2)(a/z)^2 = a^2br/2z^2. ag <5>]

    [[EACB] = bxy/2z + br/2 + a^2br/2z^2 ag <6>]

    Aus Symmetriegründen bemerken wir, dass ([EACB]) auch unserem Ausdruck in (6) entspricht, wobei (a) und (b) vertauscht und (x) und (y) vertauscht sind. Damit haben wir das gewünschte

    $[EACB] = bxy/2z + br/2 + a^2br/2z^2 = axy/2z + ar/2 + ab^2r/2z^2$

    Lemma 3 : (ab – z^2 = xyz / r).
    Nachweisen: Das Umordnen unseres Ergebnisses aus Lemma 1 ergibt

    [(bxy/2z + br/2 + a^2br/2z^2) – (axy/2z + ar/2 + ab^2r/2z^2) = 0][(bxy/2z & #8211 axy/2z) + (br/2 – ar/2) + (a^2br/2z^2 – ab^2r/2z ^2) = 0][(ba)(xy/ 2z) + (b – a)(r/2) – (b – a) (abr/2z^2) = 0][(b – a)(xy/2z + r/2 – abr/2z^2) = 0]

    Somit ist einer der Terme in diesem Produkt gleich 0.

    Fall 1: (b – a = 0).

    Wenn (b = a) ist, dann ist (ABC) gleichschenklig und (alpha = eta). Daher ist die Verlängerung der Winkelhalbierenden (CI) senkrecht zu (AB) im Punkt (D) wie gezeigt. Da (I) der Mittelpunkt von (ABC) und (ID perp AB) ist, ist (ID = r) da (ID) ein Innenradius von (ABC). Ebenfalls,

    [angle IAB = alpha/2 = eta/2 = angle IBA,]

    also (IB = IA) (d. h. (x = y)). Somit ist die Gleichung, die wir beweisen wollen, (ab – z^2 =) (xyz / r), in diesem Fall äquivalent zu

    Aus den rechtwinkligen Dreiecken (CAD) und (IAD) haben wir

    [(c/2)^2 + r^2 = x^2, ag <8>][(c/2)^2 + (z + r)^2 = a^2. ag <9>]

    Der Winkelhalbierende Satz liefert uns (a/z =) (AC/CI =) (AD/DI =) ((c/2)/r), oder

    Einsetzen von (10) in (8) ergibt

    [a^2r^2/z^2 + r^2 = x^2,][a^2r^2 + r^2z^2 = x^2z^2,][(r/z )(a^2 + z^2) = x^2z/r. ag <11>]

    Einsetzen von (10) in (9) ergibt

    [a^2r^2/z^2 + (z + r)^2 = a^2,][a^2r^2 + z^2(z + r)^2 = a^2z^2 ,][z^2(z + r)^2 = a^2z^2 – a^2r^2,][z^2(z + r)^2 = a^2(z ^2 – r^2),][z^(z + r) = a^2(z – r),][a^2r + z^2r = a^2z &# 8211 z^3,][(r/z)(a^2 + z^2) = a^2 – z^2. ag <12>]

    Die Kombination von (11) und (12) ergibt das gewünschte (a^2 – z^2 = x^2z/r).

    Fall 2: (xy / 2z + r / 2 – abr / 2z^2 = 0.)

    Die Multiplikation dieser Gleichung mit (2z^2/r) ergibt

    woraus unmittelbar das gewünschte (ab – z^2 = xyz / r) folgt.

    Damit ist das Lemma bewiesen. (schwarzes Quadrat)

    Lemma 4: ((sin gamma)(ab – z^2) / 2 = rc).

    Wir zeichnen die Höhe (IF) senkrecht zu (BC) wie gezeigt. Wir verwenden die folgenden bekannten Dreiecksbeziehungen:

    Genau wie ([ABC] = (ab/2) sin gamma) gilt

    Start
    CF & = [(CF)(IC)/2] sin (gamma/2)
    CF & = [z cos (gamma /2)][z/2 sin (gamma/2)]
    CF & = (z^2 / 2) cos(gamma / 2) sin(gamma / 2)
    CF & = (z^2/4) sin gamma
    Ende

    wobei wir im letzten Schritt (sin 2gamma =) (2 sin gamma cosgamma) verwendet haben.

    Da (CFI) richtig ist, gilt ([CFI] = r(s – c)/2). Daher haben wir zwei Ausdrücke für ([ABC] – 2[CFI]):

    Start
    (ab / 2) sin gamma – 2(z^2 / 4) sin gamma & = rs – 2[r(s – c / 2]
    [(ab – z^2 / 2] sin gamma & = rs
    Ende

    Wir vervollständigen nun unseren Beweis. Dividieren des Ergebnisses von Lemma 4 durch ((sin gamma) / 2) ergibt

    Da Lemma 3 uns (ab – z^2 = xyz / r) und das Erweiterte Sinusgesetz (sin gamma = c / 2R) liefert, wird die obige Gleichung zu

    Damit haben wir gezeigt, dass, wenn (I) der Mittelpunkt des Dreiecks (ABC) ist, wir

    wobei (R) der Umkreisradius von (ABC) und (r) der Innenradius von (ABC) ist.

    Beachten Sie, dass wir einige Zwischenergebnisse bewiesen haben, die wir wahrscheinlich nicht haben mussten (wie die Tatsache, dass (E) auf Strahl (CI) liegt), als die Ergebnisse schnell und einfach zu beweisen waren. Andere haben wir von fiat angegeben, wie ([ABC]= rs), da die Beweise komplizierter sind und wir uns ziemlich sicher fühlen, dass diese Ergebnisse ohne Beweis als bekannte Ergebnisse zitiert werden können.

    Das obige ist ein ziemlich entmutigender Beweis. Was unsere Lösung nicht liefert, ist ein Hinweis darauf, wie wir auf diese Lösung gekommen sein könnten. Wenn Sie die obige Lösung nicht selbst gefunden haben, versuchen Sie herauszufinden, wie Sie möglicherweise darauf gekommen sind, nachdem Sie sie gesehen haben.