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5: Spanne und Grundlagen - Mathematik


Die Intuition sagt Ihnen wahrscheinlich, dass die Ebene (mathbb{R}^2) die Dimension zwei hat und dass der Raum, in dem wir leben, (mathbb{R}^3) die Dimension drei hat. Sie haben wahrscheinlich auch in der Physik gelernt, dass die Raumzeit die Dimension vier hat und dass Stringtheorien Modelle sind, die in zehn Dimensionen leben können. In diesem Kapitel werden wir die Dimension eines Vektorraums mathematisch definieren. Dazu benötigen wir zunächst die Begriffe lineare Spanne, lineare Unabhängigkeit und die Basis eines Vektorraums.

  • 5.1: Lineare Spanne
    Die lineare Spanne (oder einfach Spanne) einer Menge von Vektoren in einem Vektorraum ist der Schnittpunkt aller Unterräume, die diese Menge enthalten. Die lineare Spanne einer Menge von Vektoren ist daher ein Vektorraum.
  • 5.2: Lineare Unabhängigkeit
    Wir werden nun den Begriff der linearen Unabhängigkeit einer Liste von Vektoren definieren. Dieses Konzept wird in den folgenden Abschnitten äußerst wichtig sein, insbesondere bei der Einführung von Basen und der Dimension eines Vektorraums.
  • 5.3: Basen
    Eine Basis eines endlichdimensionalen Vektorraums ist eine aufspannende Liste, die ebenfalls linear unabhängig ist. Wir werden sehen, dass alle Basen für endlichdimensionale Vektorräume die gleiche Länge haben. Diese Länge wird dann die Dimension unseres Vektorraums genannt.
  • 5.4: Abmessungen
    Wir kommen nun zur wichtigen Definition der Dimension eines endlichdimensionalen Vektorraums.
  • 5.E: Übungen zu Kapitel 5


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