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15.2: Euklidischer Raum


Wiederholen wir die Konstruktion der Metrik (d_2) im Raum.

Angenommen, (mathbb{R}^3) bezeichne die Menge aller Tripel ((x,y,z)) der reellen Zahlen. Angenommen (A=(x_A,y_A,z_A)) und (B=(x_B,y_B,z_B)) seien beliebige Punkte in (mathbb{R}^3). Definieren Sie die Metrik auf (mathbb{R}^3) wie folgt:

(AB := sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2}.)

Der erhaltene metrische Raum heißt Euklidischer Raum.

Die Teilmenge der Punkte in (mathbb{R}^3) heißt Flugzeug wenn es durch eine Gleichung beschrieben werden kann

(acdot x+bcdot y+ccdot z+d=0)

für einige Konstanten (a), (b), (c) und (d), so dass mindestens einer der Werte (a), (b) oder (c ) unterscheidet sich von Null.

Es ist einfach, Folgendes zu zeigen:

  • Jede Ebene im euklidischen Raum ist isometrisch zur euklidischen Ebene.
  • Drei beliebige Punkte im Raum liegen auf einer Ebene.
  • Ein Schnittpunkt zweier unterschiedlicher Ebenen (wenn er nicht leer ist) ist eine Linie in jeder dieser Ebenen.

Diese Aussagen machen es möglich, viele Begriffe und Ergebnisse der euklidischen ebenen Geometrie auf den euklidischen Raum zu verallgemeinern, indem ebene Geometrie in den Ebenen des Raums angewendet wird.


Euklidischer Raum

EIN Euklidischer Raum ist ein unendlich großer, reeller metrischer Raum mit Nullkurve, der der euklidischen Geometrie und damit allen Postulaten von Euklid folgt.

Euklidische Räume werden aus wiederholten kartesischen Produkten einer reellen Geraden konstruiert constructed , und kann mit a . modelliert werden echter Koordinatenraum (oft werden euklidische Räume mit , obwohl kann verwendet werden). Dies bedeutet, dass Koordinaten in einem euklidischen Raum ein geordnetes Tupel reeller Zahlen sein müssen, die Anzahl der Zahlen ist die Dimensionalität des Raums.

Euklidische Räume werden typischerweise als "flache" Räume bezeichnet, da sie keine Krümmung haben.

Entfernungen in einem euklidischen Raum können mit dem Satz des Pythagoras bestimmt werden.

Euklidische Räume können mit Hilbert-Räumen verallgemeinert werden, die es Räumen ermöglichen können, eine unendliche Dimensionalität zu besitzen.

Räume, die nicht der euklidischen Geometrie folgen, folgen keinem der Postulate und können Krümmung, imaginäre Dimensionen oder eine andere Geometrie haben.


Space-BossTools Mod 1.16.4/1.15.2 – Minecraft Mod Download

Befolgt 5 Schritte unten, um zu installieren Space-BossTools Mod 1.16.4/1.15.2 unter Windows und Mac:
1. Sie benötigen ein fertig installiertes Minecraft Forge.
2. Lade einen Forge-kompatiblen Mod vom URL-Download oder anderswo herunter!
3. Öffne Minecraft, klicke auf ->> Schaltfläche „Mods“ Klicken Sie im Hauptmenü auf – >> 'Mods-Ordner öffnen'.Wichtig: Einige ältere Versionen von Forge verfügen möglicherweise nicht über die 'Mods-Ordner öffnen' Taste. In diesem Fall müssen Sie den Ordner manuell suchen. Fenster:

  • Drücke gleichzeitig die Windows-Taste und R
  • Typ %Anwendungsdaten% und drücke die Eingabetaste
  • Finde den Minecraft-Ordner und suche darin nach dem Mods-Ordner folder

4. Lege die heruntergeladene Mod-Datei (.jar oder .zip) in den Mods-Ordner.
5. Starten Sie Minecraft neu und Sie sollten jetzt die neue Mod in der Liste installiert sehen!


Topologische Raumeigenschaften

Eigentum Zufrieden? Ist die Eigenschaft eine homotopieinvariante Eigenschaft topologischer Räume? Erläuterung Folgeeigenschaften erfüllt/unzufrieden
mannigfaltig Jawohl Nein Durch stereographische Projektion sehen wir, dass die 2-Sphäre minus einem beliebigen Punkt homöomorph zur euklidischen Ebene ist. Daher können wir ihm einen Atlas mit zwei Karten geben, wobei jede Karte durch Entfernen eines anderen Punktes und homöomorphe Abbildung auf die euklidische Ebene erhalten wird. erfüllt: Metrisierbarer Raum, zweitzählbarer Raum und alle Trennungsaxiome nach unten vom vollkommen normalen Raum und monoton normalen Raum, einschließlich normal, vollständig regulär, regulär, Hausdorff usw.
Wegverbundener Raum Jawohl Jawohl Es ist eine Vereinigung von zwei offenen Teilmengen, die zur euklidischen Ebene homöomorph sind (daher pfadverbunden) und mit nichtleerem Schnittpunkt. Somit ist es weggebunden. erfüllt: verbundener Raum, verbundene Mannigfaltigkeit, homogener Raum (über verbundene Mannigfaltigkeit, siehe verbundene Mannigfaltigkeit impliziert homogen)
einfach verbundener Raum Jawohl Jawohl Spezialfall der n-Kugel ist einfach zusammenhängend für n größer 1. Folgt aus der Vereinigung zweier einfach zusammenhängender offener Teilmengen mit pfadgebundenem Schnittpunkt ist einfach zusammenhängend, was eine Folgerung des Satzes von Seifert-van Kampen ist erfüllt: einfach verbundener Verteiler
rational azyklischer Raum Nein Jawohl Die zweite Homologiegruppe ist isomorph zur Gruppe der ganzen Zahlen, also nichttrivial und hat einen nichttrivialen torsionsfreien Teil. Siehe Homologie der Kugeln unbefriedigend: azyklischer Raum, schwach kontrahierbarer Raum, kontrahierbarer Raum
Raum mit Euler-Charakteristik Null Nein Jawohl Die Euler-Charakteristik ist 2, siehe Homologie der Kugeln
Raum mit Euler-Charakteristik Nein Jawohl Die Euler-Charakteristik ist 2, siehe Homologie der Kugeln
kompakter Raum Jawohl Nein Kann als abgeschlossene beschränkte Teilmenge von realisiert werden erfüllt: kompakte Mannigfaltigkeit, kompaktes Polyeder, Polyeder (über kompakte Mannigfaltigkeit), kompakter Hausdorff-Raum und alle Eigenschaften schwächer als Kompaktheit

Beispiele

Beispiel 1: Zeichnen Sie die folgenden Punkte im zweidimensionalen euklidischen Raum: (2, 1), (-1, -3), (-0.5, -1.5) und (-4, 6).

Lösung :
Die Bilder, die die angegebenen Punkte zeigen, sind:



Beispiel 2: Zeige Punkt (1, 2, 3) in R 3 .
Lösung :
Punkt (1, 2, 3) ist im folgenden Diagramm dargestellt:


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Inhalt

Die Untersuchung von Homotopiegruppen von Kugeln baut auf einer Menge Hintergrundmaterial auf, das hier kurz zusammengefasst wird. Die algebraische Topologie bietet den größeren Kontext, der selbst auf Topologie und abstrakter Algebra aufgebaut ist, mit Homotopiegruppen als grundlegendem Beispiel.

N -Sphäre Bearbeiten

Eine gewöhnliche Kugel im dreidimensionalen Raum – die Oberfläche, nicht die feste Kugel – ist nur ein Beispiel dafür, was eine Kugel in der Topologie bedeutet. Die Geometrie definiert eine Kugel starr als Form. Hier sind ein paar alternativen.

  • Implizite Oberfläche: x 2
    0 + x 2
    1 + x 2
    2 = 1
  • Scheibe mit eingefallenem Rand: geschrieben in Topologie als D 2 /S 1
  • Aussetzung des Äquators: geschrieben in Topologie als ΣS 1

Einige Theorien erfordern die Auswahl eines festen Punkts auf der Kugel, wobei das Paar (Kugel, Punkt) a . genannt wird spitze Kugel. Für einige Räume ist die Wahl wichtig, aber für eine Kugel sind alle Punkte äquivalent, so dass die Wahl eine Frage der Bequemlichkeit ist. Der Punkt (1, 0, 0, …, 0) , der auf dem Äquator aller Kugeln liegt, funktioniert gut für geometrische Kugeln. Der (kollabierte) Rand der Scheibe ist eine weitere naheliegende Wahl.

Homotopiegruppe Bearbeiten

Das charakteristische Merkmal eines topologischen Raums ist seine Kontinuitätsstruktur, formalisiert in Form von offenen Mengen oder Nachbarschaften. Eine stetige Abbildung ist eine Funktion zwischen Räumen, die die Kontinuität bewahrt. Eine Homotopie ist ein stetiger Pfad zwischen stetigen Abbildungen zweier Abbildungen, die durch eine Homotopie verbunden sind, nennt man homotop. Allen diesen Konzepten ist die Idee gemeinsam, Variationen zu verwerfen, die die interessierenden Ergebnisse nicht beeinflussen. Ein wichtiges praktisches Beispiel ist der Residuensatz der komplexen Analysis, wo "geschlossene Kurven" stetige Abbildungen vom Kreis in die komplexe Ebene sind, und wo zwei geschlossene Kurven das gleiche Integralergebnis liefern, wenn sie im topologischen Raum bestehend aus der Ebene . homotop sind abzüglich der Singularitätspunkte.

Die erste Homotopiegruppe oder Fundamentalgruppe π1(x) eines (wegverbundenen) topologischen Raumes X beginnt also mit stetigen Abbildungen aus einem spitzen Kreis (S 1 ,S) zum spitzen Raum (x,x) , wobei Abbildungen von einem Paar auf ein anderes s in x abbilden . Diese Abbildungen (oder äquivalent geschlossene Kurven) werden auf der Grundlage der Homotopie in Äquivalenzklassen gruppiert (wobei der "Basispunkt" x fest bleibt), so dass zwei Abbildungen in derselben Klasse sind, wenn sie homotop sind. So wie ein Punkt unterschieden wird, so wird eine Klasse unterschieden: alle Abbildungen (oder Kurven), die homotop zur konstanten Abbildung sind S 1 ↦x heißen Nullhomotop. Die Klassen werden mit der Einführung der Addition zu einer abstrakten algebraischen Gruppe, die über einen "Äquatorpinch" definiert wird. Diese Prise bildet den Äquator einer spitzen Kugel (hier ein Kreis) auf den ausgezeichneten Punkt ab und erzeugt einen "Sphärenstrauß" - zwei spitze Kugeln, die an ihrem ausgezeichneten Punkt verbunden sind. Die beiden hinzuzufügenden Karten bilden die oberen und unteren Kugeln getrennt ab, wobei sie sich auf den ausgezeichneten Punkt einigen, und die Komposition mit der Prise ergibt die Summenkarte.

Allgemeiner gesagt, die i-te Homotopiegruppe, πich(x) beginnt mit der spitzen i-Kugel (S ich ,S) und folgt ansonsten dem gleichen Verfahren. Die nullhomotope Klasse fungiert als Identität der Gruppenaddition, und für X gleich S n (für positives n) — die Homotopie-Kugelgruppen — die Gruppen sind abelsch und endlich erzeugt. Wenn für einige i alle Abbildungen nullhomotop sind, dann ist die Gruppe πich besteht aus einem Element und wird als triviale Gruppe bezeichnet.

Eine kontinuierliche Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen induziert einen Gruppenhomomorphismus zwischen den assoziierten Homotopiegruppen. Insbesondere wenn die Abbildung eine stetige Bijektion (ein Homöomorphismus) ist, so dass die beiden Räume die gleiche Topologie haben, dann sind ihre i-ten Homotopiegruppen für alle i isomorph. Die reelle Ebene hat jedoch genau die gleichen Homotopiegruppen wie ein einzelner Punkt (wie auch ein euklidischer Raum beliebiger Dimension), und die reelle Ebene ohne Punkt hat die gleichen Gruppen wie ein Kreis, sodass Gruppen allein nicht ausreichen, um zu unterscheiden Räume. Obwohl der Verlust an Unterscheidungsvermögen bedauerlich ist, kann er auch bestimmte Berechnungen erleichtern.

Die niederdimensionalen Beispiele von Homotopie-Kugelgruppen vermitteln einen Sinn für das Thema, da diese Spezialfälle im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum visualisiert werden können (Hatcher 2002). Solche Visualisierungen sind jedoch keine mathematischen Beweise und erfassen nicht die mögliche Komplexität von Karten zwischen Kugeln.

Π1(S 1 ) = ℤ Bearbeiten

Der einfachste Fall betrifft die Möglichkeiten, wie ein Kreis (1-Kugel) um einen anderen Kreis gewickelt werden kann. Dies kann visualisiert werden, indem man sich ein Gummiband um den Finger wickelt: Es kann einmal, zweimal, dreimal usw. gewickelt werden. Die Umhüllung kann in eine von zwei Richtungen erfolgen, und Umhüllungen in entgegengesetzte Richtungen heben sich nach einer Verformung auf. Die Homotopiegruppe π1(S 1 ) ist daher eine unendliche zyklische Gruppe und isomorph zur Gruppe ℤ der ganzen Zahlen unter Addition: Eine Homotopieklasse wird mit einer ganzen Zahl identifiziert, indem man zählt, wie oft eine Abbildung in der Homotopieklasse den Kreis umschließt. Diese ganze Zahl kann man sich auch als Windungszahl einer Schleife um den Ursprung in der Ebene vorstellen.

Die Identifizierung (ein Gruppenisomorphismus) der Homotopiegruppe mit den ganzen Zahlen wird oft als Gleichheit geschrieben: also π1(S 1) = .

Π2(S 2 ) = ℤ Bearbeiten

Abbildungen von einer 2-Sphäre zu einer 2-Sphäre können so visualisiert werden, dass man eine Plastiktüte um eine Kugel wickelt und sie dann versiegelt. Der versiegelte Beutel entspricht topologisch einer 2-Kugel, ebenso wie die Oberfläche der Kugel. Die Tasche kann mehrmals gewickelt werden, indem sie verdreht und wieder über den Ball gewickelt wird. (Es ist nicht erforderlich, dass die kontinuierliche Karte injektiv ist, und daher kann der Beutel durch sich selbst hindurchgehen.) Die Drehung kann in eine von zwei Richtungen erfolgen und entgegengesetzte Drehungen können sich durch Verformung aufheben. Die Gesamtzahl der Drehungen nach dem Abbruch ist eine ganze Zahl, genannt Grad der Kartierung. Wie bei den Fallabbildungen vom Kreis auf den Kreis identifiziert dieser Grad die Homotopiegruppe mit der Gruppe der ganzen Zahlen .

Diese beiden Ergebnisse verallgemeinern: für alle n > 0 ,n(S n ) = ℤ (siehe unten).

Π1(S 2 ) = 0 Bearbeiten

Jede kontinuierliche Abbildung von einem Kreis auf eine gewöhnliche Kugel kann kontinuierlich zu einer Einpunktabbildung verformt werden, daher ist ihre Homotopieklasse trivial. Eine Möglichkeit, dies zu visualisieren, ist, sich ein Gummiband vorzustellen, das um einen reibungsfreien Ball gewickelt ist: Das Band kann immer vom Ball geschoben werden. Die Homotopiegruppe ist daher eine triviale Gruppe mit nur einem Element, dem Identitätselement, und kann daher mit der Untergruppe von ℤ identifiziert werden, die nur aus der Zahl Null besteht. Diese Gruppe wird oft mit 0 bezeichnet. Dies rigoros zu zeigen, erfordert jedoch aufgrund der Existenz raumfüllender Kurven mehr Sorgfalt.

Dieses Ergebnis lässt sich auf höhere Dimensionen verallgemeinern. Alle Abbildungen von einer niederdimensionalen Kugel in eine höherdimensionale Kugel sind ähnlich trivial: wenn ich < n , dannich(S n ) = 0 . Dies kann als Folge des zellulären Approximationssatzes gezeigt werden.

Π2(S 1 ) = 0 Bearbeiten

Alle interessanten Fälle von Homotopie-Kugelgruppen beinhalten Abbildungen von einer höherdimensionalen Kugel auf eine niederdimensionale. Leider ist das einzige leicht zu visualisierende Beispiel nicht interessant: Es gibt keine nicht trivialen Abbildungen von der gewöhnlichen Kugel auf den Kreis. Daher ist π2(S 1) = 0. Das ist weil S 1 hat die reelle Linie als universelle Abdeckung, die kontrahierbar ist (sie hat den Homotopietyp eines Punktes). Außerdem, weil S 2 ist einfach durch das Liftingkriterium mit einer beliebigen Abbildung aus verbunden S 2 to S 1 kann zu einer Karte in die reale Linie gehoben werden und die Nullhomotopie sinkt in den unteren Raum.

Π3(S 2 ) = ℤ Bearbeiten

Das erste nichttriviale Beispiel mit ich > n betrifft Abbildungen von der 3-Sphäre in die gewöhnliche 2-Sphäre und wurde von Heinz Hopf entdeckt, der eine nichttriviale Karte aus . konstruierte S 3 to S 2 , heute als Hopf-Fibration bekannt (Hopf 1931). Diese Abbildung erzeugt die Homotopiegruppe π3(S 2) = .

Im späten 19. Jahrhundert führte Camille Jordan den Begriff der Homotopie ein und verwendete den Begriff einer Homotopiegruppe, ohne die Sprache der Gruppentheorie zu verwenden (O'Connor & Robertson 2001). Einen strengeren Ansatz verfolgte Henri Poincaré in seinem Schriftsatz von 1895 Analysesituation wo auch die verwandten Konzepte der Homologie und der Fundamentalgruppe eingeführt wurden (O'Connor & Robertson 1996).

Höhere Homotopiegruppen wurden erstmals 1932 von Eduard Čech definiert (Čech 1932, S. 203). (Seine erste Arbeit wurde auf Anraten von Pavel Sergejewitsch Alexandrow und Heinz Hopf zurückgezogen, mit der Begründung, dass die Gruppen kommutativ seien und daher nicht die richtigen Verallgemeinerungen der Fundamentalgruppe sein könnten.) Witold Hurewicz wird auch die Einführung von Homotopiegruppen in . zugeschrieben seine Arbeit von 1935 und auch für den Satz von Hurewicz, der verwendet werden kann, um einige der Gruppen zu berechnen (Mai 1999a). Eine wichtige Methode zur Berechnung der verschiedenen Gruppen ist das Konzept der stabilen algebraischen Topologie, das dimensionsunabhängige Eigenschaften findet. Normalerweise gelten diese nur für größere Dimensionen. Das erste derartige Ergebnis war das 1937 veröffentlichte Suspensionstheorem von Hans Freudenthal. Eine stabile algebraische Topologie florierte zwischen 1945 und 1966 mit vielen wichtigen Ergebnissen (Mai 1999a). 1953 zeigte George W. Whitehead, dass es einen metastabilen Bereich für die Homotopie-Kugelgruppen gibt. Jean-Pierre Serre verwendete Spektralsequenzen, um zu zeigen, dass die meisten dieser Gruppen endlich sind, mit Ausnahme von πn(S n ) und π4n−1(S 2n ) . Andere, die in diesem Bereich arbeiteten, waren José Adem, Hiroshi Toda, Frank Adams und J. Peter May. Die stabilen Homotopiegruppen πn+k(S n ) sind für k bis 64 bekannt und seit 2007 für größere k unbekannt (Hatcher 2002, Stable homotopy groups, S. 385–393).

Wie bereits erwähnt, wenn i kleiner als n ist, gilt πich(S n ) = 0 , die triviale Gruppe (Hatcher 2002). Der Grund dafür ist, dass eine kontinuierliche Abbildung von einer i -Sphäre auf eine n -Sphäre mit ich < n kann immer so verformt werden, dass sie nicht surjektiv ist. Folglich ist sein Bild enthalten in S n mit einem entfernten Punkt ist dies ein kontrahierbarer Raum, und jede Abbildung auf einen solchen Raum kann in eine Ein-Punkt-Abbildung verformt werden.

Der Fall ich = n wurde ebenfalls bereits angemerkt und ist eine leichte Konsequenz des Satzes von Hurewicz: Dieser Satz verbindet Homotopiegruppen mit Homologiegruppen, die im Allgemeinen einfacher zu berechnen sind, insbesondere zeigt er, dass für einen einfach zusammenhängenden Raum x, die erste Homotopiegruppe ungleich null πk(x) , mit k > 0 , isomorph zur ersten Homologiegruppe ungleich null hk(x) . Für die n -Sphäre impliziert dies sofort, dass für n 2 ,n(S n ) = hn(S n ) = .

Die Homologiegruppen hich(S n ) , mit ich > n , sind alle trivial. Es war daher historisch überraschend, dass die entsprechenden Homotopiegruppen im Allgemeinen nicht trivial sind. Dies ist der Fall, der von wirklicher Bedeutung ist: die höheren Homotopiegruppen πich(S n ) , Pro ich > n , sind überraschend komplex und schwer zu berechnen, und der Aufwand, sie zu berechnen, hat eine beträchtliche Menge neuer Mathematik hervorgebracht.

Tabelle bearbeiten

Die folgende Tabelle gibt eine Vorstellung von der Komplexität der höheren Homotopiegruppen sogar für Kugeln der Dimension 8 oder weniger. In dieser Tabelle sind die Einträge entweder die triviale Gruppe 0, die unendliche zyklische Gruppe ℤ, endliche zyklische Gruppen der Ordnung n (geschrieben als ℤn ) oder direkte Produkte solcher Gruppen (z. B. geschrieben als ℤ24×ℤ3 oder Z 2 2 = Z 2 × Z 2 _<2>^<2>=mathbb _<2> imes mathbb _<2>> ). Erweiterte Tabellen der Homotopiegruppen von Kugeln finden Sie am Ende des Artikels.

π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 π9 π10 π11 π12 π13 π14 π15
S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S 1 z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S 2 0 z z z2 z2 z12 z2 z2 z3 z15 z2 2
2
z12×ℤ2 z84×ℤ 2
2
z2 2
S 3 0 0 z z2 z2 z12 z2 z2 z3 z15 z2 2
2
z12×ℤ2 z84×ℤ 2
2
2
2
S 4 0 0 0 z z2 z2 ×ℤ12 2
2
2
2
z24×ℤ3 z15 z2 3
2
z120×ℤ12×ℤ2 z84×ℤ 5
2
S 5 0 0 0 0 z z2 z2 z24 z2 z2 z2 z30 z2 3
2
z72×ℤ2
S 6 0 0 0 0 0 z z2 z2 z24 0 z z2 z60 z24×ℤ2 3
2
S 7 0 0 0 0 0 0 z z2 z2 z24 0 0 z2 z120 3
2
S 8 0 0 0 0 0 0 0 z z2 z2 z24 0 0 z2 ×ℤ120

Die ersten beiden Zeilen dieser Tabelle sind einfach. Die Homotopiegruppen πich(S 0 ) der 0-dimensionalen Kugel sind trivial für ich > 0 , weil jede Basispunkt-erhaltende Karte von einer i-Sphäre zu einer 0-Sphäre ist ein Ein-Punkt-Mapping. Ähnlich sind die Homotopiegruppen .ich(S 1 ) der 1-Sphäre sind trivial für ich > 1 , da der universelle Überdeckungsraum ℝ, der die gleichen höheren Homotopiegruppen aufweist, kontrahierbar ist.

Jenseits dieser beiden Reihen sind die höheren Homotopiegruppen ( ich > n ) erscheinen chaotisch, aber tatsächlich gibt es viele Muster, von denen einige offensichtlich und einige sehr subtil sind.

  • Die Gruppen unterhalb der gezackten schwarzen Linie sind entlang der Diagonalen konstant (wie durch die rote, grüne und blaue Färbung angezeigt).
  • Die meisten Gruppen sind endlich. Die einzigen unendlichen Gruppen befinden sich entweder auf der Hauptdiagonale oder direkt über der gezackten Linie (gelb hervorgehoben).
  • Die dritte und vierte Zeile der Tabelle sind ab der dritten Spalte gleich (d. h. πich(S 2 ) =ich(S 3 ) Pro ich 3 ). Dieser Isomorphismus wird durch die Hopf-Fibration induziert S 3 → S 2 .
  • Für n = 2 , 3 , 4 , 5 und i ≥ n die Homotopiegruppen π i ( S n ) (S^)> verschwinden nicht. Allerdings gilt π n + 4 ( S n ) = 0 (S^)=0> für n 6 .

Diese Muster folgen aus vielen verschiedenen theoretischen Ergebnissen.

Stabile und instabile Gruppen Bearbeiten

Die Tatsache, dass die Gruppen unterhalb der gezackten Linie in der obigen Tabelle entlang der Diagonalen konstant sind, erklärt sich aus dem Suspensionssatz von Hans Freudenthal, der impliziert, dass der Suspensionshomomorphismus von πn+k(S n ) nach πn+k+1(S n+1 ) ist ein Isomorphismus für n > k + 1 . Die Gruppenn+k(S n ) mit n > k + 1 heißen die stabile Homotopie-Kugelgruppen, und werden mit π . bezeichnet S
k : sie sind endliche abelsche Gruppen für k ≠ 0 und wurden in zahlreichen Fällen berechnet, obwohl das allgemeine Muster noch schwer fassbar ist. (Hatcher 2002, Stable homotopy groups, S. 385–393). Für nk+1 , die Gruppen heißen die instabile Homotopie-Kugelgruppen.

Hopf Fibrationen Bearbeiten

Die allgemeine Theorie der Faserbündel FEB zeigt, dass es eine lange exakte Folge von Homotopiegruppen gibt

Für dieses spezifische Bündel ist jeder Gruppenhomomorphismus πich(S 1 )→πich(S 3 ) , induziert durch die Inklusion S 1 →S 3 , Karten ganz πich(S 1 ) auf Null, da die niederdimensionale Kugel S 1 kann zu einem Punkt innerhalb des höherdimensionalen verformt werden S 3 . Dies entspricht dem Verschwinden von π1(S 3 ) . Somit zerfällt die lange exakte Folge in kurze exakte Folgen,

Seit S n+1 ist eine Sperre von S n , werden diese Sequenzen durch den Suspensionshomomorphismus πich−1(S 1 )→πich(S 2 ) , was Isomorphismen ergibt

Seitich−1(S 1 ) verschwindet für i mindestens 3, die erste Zeile zeigt, dass πich(S 2) undich(S 3 ) sind isomorph, wenn i mindestens 3 ist, wie oben beobachtet.

Die Hopfsche Fibration kann wie folgt konstruiert werden: Paare komplexer Zahlen (z0,z1) mit | z0 | 2 + | z1 | 2 = 1 bilden eine 3-Sphäre, und ihre Verhältnisse z0z1 bedecken die komplexe Ebene plus Unendlich, eine 2-Sphäre. Die Hopf-Karte S 3 → S 2 sendet ein solches Paar an sein Verhältnis.

konstruiert mit Paaren von Quaternionen oder Oktonionen anstelle von komplexen Zahlen (Hatcher 2002). Auch hier3(S 7) und7(S 15) sind null. Somit brechen die langen exakten Folgen wieder in Familien geteilter kurzer exakter Folgen auf, was zwei Familien von Beziehungen impliziert.

Die drei Fasern haben Grundraum base S n mit n = 2 m , Pro m = 1, 2, 3 . Eine Fibration existiert für S 1 ( m = 0 ), aber nicht für S 16 ( m = 4 ) und darüber hinaus. Obwohl Verallgemeinerungen der Beziehungen zu S 16 sind oft wahr, sie scheitern zum Beispiel manchmal,

Somit kann es keine Fibration geben

der erste nicht-triviale Fall des Problems der Hopf-Invariante eins, weil eine solche Fibration implizieren würde, dass die gescheiterte Beziehung wahr ist.

Gerahmter Kobordismus Bearbeiten

Endlichkeit und Torsion Bearbeiten

1951 zeigte Jean-Pierre Serre, dass Homotopiegruppen von Kugeln alle endlich sind, außer denen der Form πn(S n ) oder π4n−1(S 2n ) (für positives n), wenn die Gruppe das Produkt der unendlichen zyklischen Gruppe mit einer endlichen abelschen Gruppe ist (Serre 1951). Insbesondere werden die Homotopiegruppen durch ihre p-Komponenten für alle Primzahlen p bestimmt. Die 2-Komponenten sind am schwierigsten zu berechnen und verhalten sich in mehrfacher Hinsicht anders als die p-Komponenten für ungerade Primzahlen.

In derselben Arbeit fand Serre die erste Stelle, an der p-Torsion in den Homotopiegruppen von n-dimensionalen Kugeln auftritt, indem er zeigte, dass πn+k(S n ) hat keine p-Torsion, wenn k < 2P − 3 , und hat eine eindeutige Untergruppe der Ordnung p, falls n ≥ 3 und k = 2P − 3 . Etwas anders verhält es sich bei 2-dimensionalen Kugeln: Die erste p-Torsion tritt auf für k = 2P − 3 + 1 . Bei ungerader Torsion gibt es genauere Ergebnisse, in diesem Fall gibt es einen großen Unterschied zwischen ungeraden und geraden Kugeln. Wenn p eine ungerade Primzahl ist und n = 2ich + 1 , dann Elemente der p -Komponente von πn+k(S n ) höchstens bestellen order P ich (Cohen, Moore &. Neisendorfer 1979). Dies ist in gewisser Weise das bestmögliche Ergebnis, da bekannt ist, dass diese Gruppen Elemente dieser Ordnung für einige Werte von k aufweisen (Ravenel 2003, S. 4). Außerdem kann in diesem Fall der stabile Bereich erweitert werden: Wenn n ungerade ist, dann ist die doppelte Aufhängung von πk(S n ) nach πk+2(S n+2 ) ist ein Isomorphismus von p -Komponenten, wenn k < P(n + 1) − 3 und ein Epimorphismus, wenn Gleichheit gilt (Serre 1952). Die p -Torsion der Zwischengruppe πk+1(S n+1 ) kann strikt größer sein.

Die obigen Ergebnisse über ungerade Torsion gelten nur für ungeraddimensionale Kugeln: Für geradzahlige Kugeln gibt die James-Fibration die Torsion bei ungeraden Primzahlen p in Bezug auf die ungeraddimensionaler Kugeln an,

(wo (P) bedeutet die p-Komponente nehmen) (Ravenel 2003, S. 25). Diese exakte Sequenz ähnelt der von der Hopf-Fibration, mit dem Unterschied, dass sie für alle gleichdimensionalen Sphären funktioniert, wenn auch auf Kosten der 2-Torsion. Die Kombination der Ergebnisse für ungerade und gerade dimensionale Kugeln zeigt, dass ein Großteil der ungeraden Torsion instabiler Homotopiegruppen durch die ungerade Torsion der stabilen Homotopiegruppen bestimmt wird.

Für stabile Homotopiegruppen gibt es genauere Ergebnisse zur p-Torsion. Zum Beispiel, wenn k < 2P(P − 1) − 2 für eine Primzahl p dann die p -Primärkomponente der stabilen Homotopiegruppe π S
k verschwindet, es sei denn k + 1 ist durch 2 teilbar (P − 1) , dann zyklisch der Ordnung p (Fuks 2001) harv error: no target: CITEREFFuks2001 (help) .

Der J-Homomorphismus Bearbeiten

Eine wichtige Untergruppe von πn+k(S n ) , Pro k ≥ 2 , ist das Bild des J-Homomorphismus J: πk(SO(n)) → πn+k(S n ) , wobei SO(n) bezeichnet die spezielle orthogonale Gruppe (Adams 1966). Im stabilen Bereich nk+2 , die Homotopiegruppen πk(SO(n)) hängt nur von k (mod 8) ab. Dieses Muster der Periode 8 ist als Bott-Periodizität bekannt und spiegelt sich in den stabilen Homotopiegruppen von Kugeln über das Bild des J-Homomorphismus wider:

  • eine zyklische Gruppe 2. Ordnung, falls k kongruent zu 0 oder 1 modulo 8 . ist
  • trivial, wenn k kongruent zu 2, 4, 5 oder 6 modulo 8 ist und
  • eine zyklische Gruppe der Ordnung gleich dem Nenner von
  • B2m ⁄ 4m , wo B2m ist eine Bernoulli-Zahl, wenn k = 4m - 1 ≡ 3 (mod 4) .

Die stabilen Homotopie-Kugelgruppen sind die direkte Summe des Bildes des J-Homomorphismus und der Kern der Adams e-Invariante, ein Homomorphismus aus diesen Gruppen zu ℚ/ . Grob gesagt ist das Bild des J-Homomorphismus die Untergruppe der "gut verstandenen" oder "einfachen" Elemente der stabilen Homotopiegruppen. Diese gut verstandenen Elemente machen die meisten Elemente der stabilen Homotopie-Kugelgruppen in kleinen Dimensionen aus. Der Quotient von π S
n nach dem Bild des J-Homomorphismus gilt er als der "harte" Teil der stabilen Homotopie-Kugelgruppen (Adams 1966). (Adams führte auch bestimmte Elemente der Ordnung 2 ein μn von π S
n Pro n ≡ 1 oder 2 (mod 8) , und diese gelten auch als "gut verstanden".) Tabellen von Homotopiegruppen von Kugeln lassen manchmal den "einfachen" Teil im(J) um Platz zu sparen.

Ringstruktur Bearbeiten

der stabilen Homotopiegruppen von Kugeln ist ein superkommutativer abgestufter Ring, bei dem die Multiplikation durch die Zusammensetzung der darstellenden Karten gegeben ist und jedes Element mit einem Grad ungleich Null nilpotent ist (Nishida 1973). Der Nilpotenzsatz über den komplexen Kobordismus impliziert den Satz von Nishida.

Beispiel: Wenn η der Generator von π S . ist
1 (der Ordnung 2), dann ist η 2 ungleich Null und erzeugt π S
2 , und η 3 ist von Null verschieden und 12 mal ein Generator von π S
3 , während η 4 null ist, weil die Gruppe π S
4 ist trivial.

Falls f und g und h Elemente von π S . sind
* mit F g = 0 und gh = 0 , gibt es eine Toda-Klammer 〈f,g,h〉 dieser Elemente (Toda 1962). Die Toda-Klammer ist nicht ganz ein Element einer stabilen Homotopiegruppe, da sie nur bis zur Addition von Produkten bestimmter anderer Elemente definiert ist. Hiroshi Toda verwendete das Zusammensetzungsprodukt und die Toda-Klammern, um viele der Elemente von Homotopiegruppen zu kennzeichnen. Es gibt auch höhere Toda-Klammern aus mehreren Elementen, die definiert werden, wenn geeignete niedrigere Toda-Klammern verschwinden. Dies entspricht der Theorie der Massey-Produkte in der Kohomologie. Jedes Element der stabilen Homotopie-Kugelgruppen kann unter Verwendung von Kompositionsprodukten und höheren Toda-Klammern in Bezug auf bestimmte bekannte Elemente, genannt Hopf-Elemente, ausgedrückt werden (Cohen 1968).

Wenn X ein endlicher simplizialer Komplex mit endlicher Fundamentalgruppe ist, insbesondere wenn X eine Kugel der Dimension mindestens 2 ist, dann sind seine Homotopiegruppen alle endlich erzeugte abelsche Gruppen. Um diese Gruppen zu berechnen, werden sie oft in ihre p-Komponenten für jede Primzahl p faktorisiert und jede dieser p-Gruppen separat berechnet. Die ersten wenigen Homotopiegruppen von Kugeln können mit Ad-hoc-Variationen der obigen Ideen berechnet werden, darüber hinaus basieren die meisten Methoden zur Berechnung von Homotopiegruppen von Kugeln auf Spektralsequenzen (Ravenel 2003). Dies geschieht normalerweise durch die Konstruktion geeigneter Fibrationen und die Verwendung der zugehörigen langen exakten Sequenzen von Homotopiegruppen. Spektralsequenzen sind ein systematischer Weg, um die komplizierten Informationen, die dieser Prozess erzeugt, zu organisieren.

  • "Die Methode zum Töten von Homotopiegruppen", nach Cartan und Serre (1952a, 1952b), beinhaltet die wiederholte Verwendung des Hurewicz-Theorems, um die erste nicht-triviale Homotopiegruppe zu berechnen und sie dann mit einer Fibration zu töten (eliminiert), die einen Eilenberg-MacLane-Raum einschließt . Im Prinzip ergibt dies einen effektiven Algorithmus zum Berechnen aller Homotopiegruppen eines endlichen einfach zusammenhängenden simplizialen Komplexes, aber in der Praxis ist er zu umständlich, um etwas anderes als die ersten paar nichttrivialen Homotopiegruppen zu berechnen, da der simpliziale Komplex jedes Mal viel komplizierter wird man tötet eine Homotopiegruppe.
  • Die Serre-Spektralsequenz wurde von Serre verwendet, um einige der zuvor erwähnten Ergebnisse zu beweisen. Er nutzte die Tatsache, dass das Nehmen des Schleifenraums eines Raumes mit gutem Verhalten alle Homotopiegruppen um 1 nach unten verschiebt, sodass die n-te Homotopiegruppe eines Raums X die erste Homotopiegruppe seiner ( n−1 )-fach wiederholter Schleifenraum, der gleich der ersten Homologiegruppe der ( n−1 )-facher Schleifenraum nach dem Satz von Hurewicz. Dies reduziert die Berechnung von Homotopiegruppen von X auf die Berechnung von Homologiegruppen seiner wiederholten Schleifenräume. Die Serre-Spektralsequenz bezieht die Homologie eines Raums auf die seines Schleifenraums und kann daher manchmal verwendet werden, um die Homologie von Schleifenräumen zu berechnen. Die Serre-Spektralsequenz neigt dazu, viele von Null verschiedene Differenzen aufzuweisen, die schwer zu kontrollieren sind, und zu viele Mehrdeutigkeiten treten für Gruppen mit höherer Homotopie auf. Folglich wurde es durch leistungsfähigere Spektralsequenzen mit weniger Differenzen ungleich Null ersetzt, die mehr Informationen liefern.
  • Die EHP-Spektralsequenz kann verwendet werden, um viele Homotopiegruppen von Kugeln zu berechnen, sie basiert auf einigen von Toda in seinen Berechnungen von Homotopiegruppen verwendeten Fibrationen (Mahowald 2001 harvnb error: no target: CITEREFMahowald2001 (Hilfe) , Toda 1962).
  • Die klassische Adams-Spektralfolge hat E2 Term gegeben durch die Ext-Gruppen Ext ∗,∗
    EIN(P) (ℤP,ℤP) über die mod p Steenrod AlgebraEIN(P) und konvergiert gegen etwas, das eng mit der p-Komponente der stabilen Homotopiegruppen verwandt ist. Die anfänglichen Terme der Adams-Spektralsequenz sind selbst ziemlich schwer zu berechnen: Dies wird manchmal mit einer Hilfsspektralsequenz namens May-Spektralsequenz durchgeführt (Ravenel 2003, S. 67–74).
  • Bei den ungeraden Primzahlen ist die Adams-Novikov-Spektralsequenz eine leistungsfähigere Version der Adams-Spektralsequenz, die die gewöhnliche Kohomologie mod p durch eine verallgemeinerte Kohomologietheorie ersetzt, wie den komplexen Kobordismus oder, üblicher, einen Teil davon namens Brown-Peterson-Kohomologie . Der Anfangsterm ist wiederum recht schwer zu berechnen, dazu kann man die chromatische Spektralfolge verwenden (Ravenel 2003, Kapitel 5).
  • Eine Variation dieses letzten Ansatzes verwendet eine Rückwärtsversion der Adams-Novikov-Spektralsequenz für die Brown-Peterson-Kohomologie: Der Grenzwert ist bekannt, und die anfänglichen Terme beinhalten unbekannte stabile Homotopiegruppen von Kugeln, die man zu finden versucht (Kochman (1990) ).
  • Die motivische Adams-Spektralfolge konvergiert zu den motivischen stabilen Homotopie-Kugelgruppen. Durch den Vergleich der motivischen über die komplexen Zahlen mit der klassischen liefert Isaksen einen strengen Beweis für Berechnungen bis zum 59-Stamm (Isaksen (2019)). Insbesondere berechnet Isaksen, dass Coker J des 56-Stamms 0 ist, und daher nach der Arbeit von Kervaire-Milnor die Sphäre S 56 hat eine einzigartige glatte Struktur.
  • Die Kahn-Priddy-Karte induziert eine Karte von Adams-Spektralsequenzen vom Suspensionsspektrum des unendlichen realen projektiven Raums bis zum Kugelspektrum. Es ist surjektiv auf den Adams E2 Seite über positive Stämme. Wang und Xu entwickeln eine Methode, die die Kahn-Priddy-Abbildung verwendet, um Adams-Differentiale für das Kugelspektrum induktiv abzuleiten (Wang & Xu (2017)). Sie liefern detaillierte Argumente für mehrere Adams-Differentiale und berechnen den 60- und 61-Stamm. A geometric corollary of their result is the sphere S 61 has a unique smooth structure, and it is the last odd dimensional one -- the only ones are S 1 , S 3 , S 5 , and S 61 .
  • The motivic cofiber of τ method is so far the most efficient method at the prime 2. The class τ is a map between motivic spheres. The Gheorghe--Wang--Xu theorem identifies the motivic Adams spectral sequence for the cofiber of τ as the algebraic Novikov spectral sequence for BP* , which allows one to deduce motivic Adams differentials for the cofiber of τ from purely algebraic data. One can then pullback these motivic Adams differentials to the motivic sphere, and then use the Betti realization functor to push forward them to the classical sphere. Using this method, Isaksen, Wang & Xu (2020) computes up to the 90-stem.

The computation of the homotopy groups of S 2 has been reduced to a combinatorial group theory question. Berrick et al. (2006) identify these homotopy groups as certain quotients of the Brunnian braid groups of S 2. Under this correspondence, every nontrivial element in πn(S 2 ) for n > 2 may be represented by a Brunnian braid over S 2 that is not Brunnian over the disk D 2. For example, the Hopf map S 3 → S 2 corresponds to the Borromean rings.

  • The winding number (corresponding to an integer of π1(S 1 ) = ℤ) can be used to prove the fundamental theorem of algebra, which states that every non-constant complexpolynomial has a zero.
  • The fact that πn−1(Sn−1 ) = ℤ implies the Brouwer fixed point theorem that every continuous map from the n -dimensional ball to itself has a fixed point.
  • The stable homotopy groups of spheres are important in singularity theory, which studies the structure of singular points of smooth maps or algebraic varieties. Such singularities arise as critical points of smooth maps from ℝ m to ℝ n . The geometry near a critical point of such a map can be described by an element of πm−1(Sn−1 ) , by considering the way in which a small m − 1 sphere around the critical point maps into a topological n − 1 sphere around the critical value.
  • The fact that the third stable homotopy group of spheres is cyclic of order 24, first proved by Vladimir Rokhlin, implies Rokhlin's theorem that the signature of a compact smooth spin4-manifold is divisible by 16 (Scorpan 2005).
  • Stable homotopy groups of spheres are used to describe the group Θn of h-cobordism classes of oriented homotopy n -spheres (for n ≠ 4 , this is the group of smooth structures on n -spheres, up to orientation-preserving diffeomorphism the non-trivial elements of this group are represented by exotic spheres). More precisely, there is an injective map

wo bPn+1 is the cyclic subgroup represented by homotopy spheres that bound a parallelizable manifold, π S
n is the n th stable homotopy group of spheres, and J is the image of the J -homomorphism. This is an isomorphism unless n is of the form 2 k −2 , in which case the image has index 1 or 2 (Kervaire & Milnor 1963).

  • The groups Θn above, and therefore the stable homotopy groups of spheres, are used in the classification of possible smooth structures on a topological or piecewise linear manifold (Scorpan 2005).
  • The Kervaire invariant problem, about the existence of manifolds of Kervaire invariant 1 in dimensions 2 k − 2 can be reduced to a question about stable homotopy groups of spheres. For example, knowledge of stable homotopy groups of degree up to 48 has been used to settle the Kervaire invariant problem in dimension 2 6 − 2 = 62 (Barratt, Jones & Mahowald 1984). (This was the smallest value of k for which the question was open at the time.)
  • The Barratt–Priddy theorem says that the stable homotopy groups of the spheres can be expressed in terms of the plus construction applied to the classifying space of the symmetric group, leading to an identification of K-theory of the field with one element with stable homotopy groups (Deitmar 2006).

Tables of homotopy groups of spheres are most conveniently organized by showing πn+k(S n ) .

The following table shows many of the groups πn+k(S n ) . (These tables are based on the table of homotopy groups of spheres in Toda (1962).) The stable homotopy groups are highlighted in blue, the unstable ones in red. Each homotopy group is the product of the cyclic groups of the orders given in the table, using the following conventions:

  • The entry "⋅" denotes the trivial group.
  • Where the entry is an integer, m , the homotopy group is the cyclic group of that order (generally written ℤm ).
  • Where the entry is ∞, the homotopy group is the infinite cyclic group, ℤ .
  • Where entry is a product, the homotopy group is the cartesian product (equivalently, direct sum) of the cyclic groups of those orders. Powers indicate repeated products. (Note that when a and b have no common factor, ℤein×ℤB is isomorphic to ℤab .)

Beispiel: π19(S 10 ) = π9+10(S 10 ) = ℤ×ℤ2×ℤ2×ℤ2 , which is denoted by ∞⋅2 3 in the table.

S n S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 10 S 11 S 12 S ≥13
π<n(S n )
π0+n(S n ) 2
π1+n(S n ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
π2+n(S n ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
π3+n(S n ) 2 12 ∞⋅12 24 24 24 24 24 24 24 24 24
π4+n(S n ) 12 2 2 2 2
π5+n(S n ) 2 2 2 2 2
π6+n(S n ) 2 3 24⋅3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
π7+n(S n ) 3 15 15 30 60 120 ∞⋅120 240 240 240 240 240
π8+n(S n ) 15 2 2 2 24⋅2 2 3 2 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2
π9+n(S n ) 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 4 2 5 2 4 ∞⋅2 3 2 3 2 3 2 3
π10+n(S n ) 2 2 12⋅2 120⋅12⋅2 72⋅2 72⋅2 24⋅2 24 2 ⋅2 24⋅2 12⋅2 6⋅2 6 6
π11+n(S n ) 12⋅2 84⋅2 2 84⋅2 5 504⋅2 2 504⋅4 504⋅2 504⋅2 504⋅2 504 504 ∞⋅504 504
π12+n(S n ) 84⋅2 2 2 2 2 6 2 3 240 12 2 2 2 Sehen
below
π13+n(S n ) 2 2 6 24⋅6⋅2 6⋅2 6 6 6⋅2 6 6 6⋅2 6⋅2
π14+n(S n ) 6 30 2520⋅6⋅2 6⋅2 12⋅2 24⋅4 240⋅24⋅4 16⋅4 16⋅2 16⋅2 48⋅4⋅2
π15+n(S n ) 30 30 30 30⋅2 60⋅6 120⋅2 3 120⋅2 5 240⋅2 3 240⋅2 2 240⋅2 240⋅2
π16+n(S n ) 30 6⋅2 6 2 ⋅2 2 2 504⋅2 2 2 4 2 7 2 4 240⋅2 2 2
π17+n(S n ) 6⋅2 12⋅2 2 24⋅12⋅4⋅2 2 4⋅2 2 2 4 2 4 6⋅2 4 2 4 2 3 2 3 2 4
π18+n(S n ) 12⋅2 2 12⋅2 2 120⋅12⋅2 5 24⋅2 2 24⋅6⋅2 24⋅2 504⋅24⋅2 24⋅2 24⋅2 2 8⋅4⋅2 480⋅4 2 ⋅2
π19+n(S n ) 12⋅2 2 132⋅2 132⋅2 5 264⋅2 1056⋅8 264⋅2 264⋅2 264⋅2 264⋅6 264⋅2 3 264⋅2 5
S n S 13 S 14 S 15 S 16 S 17 S 18 S 19 S 20 S ≥21
π12+n(S n ) 2
π13+n(S n ) 6 ∞⋅3 3 3 3 3 3 3 3
π14+n(S n ) 16⋅2 8⋅2 4⋅2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
π15+n(S n ) 480⋅2 480⋅2 480⋅2 ∞⋅480⋅2 480⋅2 480⋅2 480⋅2 480⋅2 480⋅2
π16+n(S n ) 2 24⋅2 2 3 2 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2
π17+n(S n ) 2 4 2 4 2 5 2 6 2 5 ∞⋅2 4 2 4 2 4 2 4
π18+n(S n ) 8 2 ⋅2 8 2 ⋅2 8 2 ⋅2 24⋅8 2 ⋅2 8 2 ⋅2 8⋅4⋅2 8⋅2 2 8⋅2 8⋅2
π19+n(S n ) 264⋅2 3 264⋅4⋅2 264⋅2 2 264⋅2 2 264⋅2 2 264⋅2 264⋅2 ∞⋅264⋅2 264⋅2

The stable homotopy groups πk are the product of cyclic groups of the infinite or prime power orders shown in the table. (For largely historical reasons, stable homotopy groups are usually given as products of cyclic groups of prime power order, while tables of unstable homotopy groups often give them as products of the smallest number of cyclic groups.) The main complexity is in the 2-, 3-, and 5-components: for P > 5 , the p -components in the range of the table are accounted for by the J -homomorphism and are cyclic of order p if 2(P−1) divides k+1 and 0 otherwise (Fuks 2001) harv error: no target: CITEREFFuks2001 (help) . (The 2-components can be found in Isaksen, Wang & Xu (2020), and the 3- and 5-components in Ravenel (2003).) The mod 8 behavior of the table comes from Bott periodicity via the J-homomorphism, whose image is underlined.


15.2: Euclidean Space

Given two sets of locations computes the full Euclidean distance matrix among all pairings or a sparse version for points within a fixed threshhold distance.

Verwendungszweck

Argumente

x1 Matrix of first set of locations where each row gives the coordinates of a particular point.
x2 Matrix of second set of locations where each row gives the coordinates of a particular point. If this is missing x1 is used.
delta Threshhold distance. All pairs of points that separated by more than delta in distance are ignored.
max.points Size of the expected number of pairs less than or equal to delta. The default is set to the nrow(x1)*mean.neighbor.
mean.neighbor Sets the temp space for max.points

Details

More about fields.rdist.near:

The sparse version is designed to work with the sparse covariance functions in fields and anticipates that the full matrix, D is too large to store. The argument max.points is set as a default to nrow( x1)*100 and allocates the space to hold the sparse elements. In case that there are more points that are within delta the function stops with an error but lists the offending rows. Just rerun the function with a larger choice for max.points

It possible that for certain x1 points there are no x2 points within a distance delta. This situation will cause an error if the list is converted to spam format.

Returned values

Let D be the mXn distance matrix, with m= nrow(x1) and n=nrow( x2). The elements are the Euclidean distances between the all locations x1[i,] and x2[j,]. Das ist,


Topology on a Set

If we start out with a set, say , we can define various topologies on that set:

Here is a non-precise definition of topology:

A topology on a set X is a collection &tau (tau) of subsets of the powerset (X), called open sets satisfying the following properties:

  • X and Ø are elements of &tau.
  • &tau is closed under finite intersections.
  • &tau is closed under arbitary unions.

The elements of &tau are called the open sets of the topology.

The pair (X,&tau) is called the topological space.

Examples of Topological Spaces

discrete and trivial are two extreems:

Discrete space

The open sets are the whole power set.

The points are isolated from each other.

Trivial topology

The only open sets are the empty set Ø and the entire space.

The points are so connected they are treated like a single entity.

The interesting topologies are between these extreems.


Induced Properties

For all (mathbf,mathbf,mathbfin V) :

Axiom Explanation
Cauchy–Schwarz inequality (lvertlangle mathbf,mathbf angle vert leq lvert mathbf vert lvert mathbf vert)
with equality if and only if (mathbf) and (mathbf) are linearly dependent.
Polarization identity (lVert mathbf + mathbf lVert^ <2>= lVert mathbf Vert^ <2>+ lVert mathbf Vert^ <2>+ 2 operatorname langle x,y angle)
Orthogonalität Two vectors are orthogonal if their inner product is zero.
In a inner product spaces of finite dimension over the reals, the inner product allows defining the angle of two nonzero vectors by (angle(mathbf,mathbf)=arccos,mathbf angle > VertlVertmathbf Vert>> ext <, and >0leq angle (mathbf,mathbf)leq pi)
Pythagorean theorem For all (mathbf, mathbf in V ext < s.t.>langlemathbf, anglemathbf = 0) , then (lVert mathbf Vert^<2>+lVert mathbf Vert^ <2>= lVert mathbf + mathbf Vert^<2>)
Parseval's identity If (mathbf_1, ldots, mathbf_n) such that (langlemathbf_j, mathbf_k angle = 0 quad forall j, k ext < s.t. >j e k) , then
(sum _^|mathbf_|^<2>=left|sum _^mathbf_ ight|^<2>)
Parallelogram law (|mathbf+mathbf|^<2>+|mathbf-mathbf|^<2>=2|mathbf|^<2>+2|mathbf|^<2>)
Ptolemy's inequality (|mathbf-mathbf||mathbf|+|mathbf-mathbf||mathbf|geq |mathbf-mathbf||mathbf|)


Schau das Video: Неправильная колонка формата (September 2021).