Artikel

9.6: Tangentiale Halblinien


Angenommen (ABC) ist ein Kreisbogen (Gamma). Eine Halblinie ([AX)) heißt Tangente an den Bogen (ABC) bei (A), wenn die Gerade ((AX)) (Gamma) tangiert und die die Punkte (X) und (B) liegen auf derselben Seite der Geraden ((AC)).

Wenn der Bogen durch das Geradensegment ([AC]) gebildet wird, wird die Halblinie ([AC)) als Tangente an (A) angesehen. Wird der Bogen durch eine Vereinigung von zwei Halbgeraden ([AX)) und ([BY)) in ((AC)) gebildet, dann wird die Halbgerade ([AX)) betrachtet tangential zum Bogen bei (A) sein.

Vorschlag (PageIndex{1})

Die Halblinie ([AX)) tangiert den Bogen (ABC) genau dann, wenn

(gemessener Winkel ABC + gemessener Winkel CAX equiv pi).

Nachweisen

Für einen entarteten Bogen (ABC) ist die Aussage offensichtlich. Weiterhin nehmen wir an, dass der Bogen (ABC) nicht entartet ist.

Wenden wir Theorem 9.1.1 und Theorem 9.2.1 an, so erhalten wir:

(2 cdot measuredangle ABC + 2 cdot measuredangle CAX equiv 0).

Daher entweder

(gemessener Winkel ABC + gemessener Winkel CAX equivpi), oder (gemessener Winkel ABC + gemessener Winkel CAX equiv 0).

Da ([AX)) die tangentiale Halblinie an den Bogen ist, liegen (ABC, X) und (B) auf derselben Seite von ((AC)). Nach Korollar 3.4.1 und Satz 3.3.1 haben die Winkel (CAX), (CAB) und (ABC) das gleiche Vorzeichen. Insbesondere (measuredangle ABC + measuredangle CAX otequiv 0); das heißt, uns bleibt der Fall

(gemessener Winkel ABC + gemessener Winkel CAX equiv pi).

Übung (PageIndex{1})

Zeigen Sie, dass es einen eindeutigen Bogen mit Endpunkten an den gegebenen Punkten (A) und (C) gibt, der die gegebene Halblinie ([AX)) an (A) tangiert.

Hinweis

Wenn (Cin(AX)), dann ist der Bogen das Geradensegment ([AC]) oder die Vereinigung zweier Halblinien in ((AX)) mit Scheitelpunkten bei (A) und C).

Angenommen (C otin (AX)). Sei (ell) die senkrechte Linie, die von (A) auf ((AX)) fällt, und (m) sei die senkrechte Winkelhalbierende von ([AC]).

Beachten Sie, dass (ell parallel m); setze (O = ell cap m). Beachten Sie, dass der Kreis, dessen Mittelpunkt (O) durch (A) geht, auch durch (C) und Tangente an ((AX)) verläuft.

Beachten Sie, dass einer der beiden Bögen mit den Endpunkten (A) und (C) tangential zu ([AX)) ist.

Die Eindeutigkeit folgt aus Proposition (PageIndex{1}).

Übung (PageIndex{2})

Sei ([AX)) die tangentiale Halblinie an einen Bogen (ABC). Angenommen (Y) ist ein Punkt auf dem Bogen (ABC), der von (A) verschieden ist. Zeigen Sie, dass (gemessener Winkel XAY o 0) als (AY o 0) gilt.

Hinweis

Verwenden Sie Proposition (PageIndex{1}) und Satz 7.4.1, um zu zeigen, dass (measuredangle XAY = measuredangle ACY). Nach Axiom IIIc gilt (measuredangle ACY o 0) als (AY o 0); daher das Ergebnis.

Übung (PageIndex{3})

Gegeben zwei Kreisbögen (AB_1C) und (AB_2C), seien ([AX_1)) und ([AX_2)) bei (A) und ([CY_1)) und ( [CY_2)) die Halblinien tangential zu den Bögen (AB_1C) und (AB_2C) bei (C). Zeige, dass

(gemessener Winkel X_1AX_2 equiv -gemessener Winkel Y_1CY_2.)

Hinweis

Wenden Sie Proposition (PageIndex{1}) zweimal an.

(Alternativ gilt Korollar 5.4.1 für die Spiegelung an der Mittelsenkrechten von ([AC]).)


Finden der Linie durch $(9.6.125)$, die die Parabel $y=-frac18x^2+8$ . tangiert, ohne Ableitungen

Was ich mir gerade ansehe, ist f). Meine Parabelgleichung für die Dachvorderkante lautet $y=-frac18x^2+8$ . Alle Laserlichter haben eine Gleichung, die tangential zur Parabel ist, mit Ausnahme des roten Laserstrahls. Der Punkt, den ich für die Position der roten Laserstrahlquelle für den Turm habe, liegt bei $(9.6.125)$ . Wie kann ich eine Gleichung der Linien bestimmen, die die Parabel tangieren und durch $(9.6.125)$ gehen, ohne Ableitungen zu verwenden?

Vielen Dank für Ihre Antwort im Voraus, ich hatte große Probleme mit dieser Frage!

Ich habe versucht, eine Gleichung zu finden, die durch den Scheitelpunkt geht, und habe die Gleichung -5/24x+8 erhalten, dann den Mittelpunkt des x an den beiden Schnittpunkten gefunden (0+5/3)/2= 5/6. Danach steckte ich es in die Gleichung ein und erhielt 2279/288. Ich dachte, die Linie, die durch (5/6, 2279/288) und (9.6.125) geht, würde die Parabel tangieren. Leider war dies falsch, und ich weiß nicht, wie ich das ohne Derivate lösen soll.


Kreise: Durchmesser, Sehne, Radius, Bogen, Tangente

In diesen Lektionen lernen wir die folgenden Teile eines Kreises: Durchmesser, Sehne, Radius, Bogen und Tangente.

Wir lernen auch kongruente Kreise, konzentrische Kreise und sich schneidende Kreise.

Die folgenden Abbildungen zeigen die verschiedenen Teile eines Kreises: Tangente, Sehne, Radius, Durchmesser, Nebenbogen, Hauptbogen, Nebensegment, Hauptsegment, Nebensektor, Hauptsektor. Scrollen Sie auf der Seite nach unten, um weitere Beispiele und Erklärungen zu erhalten.


Kreis

In der Geometrie ist ein Kreis eine geschlossene Kurve, die von einer Menge von Punkten auf einer Ebene gebildet wird, die den gleichen Abstand von ihrem Mittelpunkt haben Ö. Dieser Abstand wird als Radius des Kreises bezeichnet.

Durchmesser

Der Durchmesser eines Kreises ist ein Liniensegment, das durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft und seine Endpunkte auf dem Kreis hat. Alle Durchmesser des gleichen Kreises haben die gleiche Länge.

Akkord

EIN Akkord ist ein Liniensegment mit beiden Endpunkten auf dem Kreis. Der Durchmesser ist eine spezielle Sehne, die durch den Mittelpunkt des Kreises geht. Der Durchmesser wäre die längste Sehne im Kreis.

Radius

Der Radius des Kreises ist ein Liniensegment vom Mittelpunkt des Kreises zu einem Punkt auf dem Kreis. Der Plural von Radius ist Radien.

Im obigen Diagramm, Ö ist der Mittelpunkt des Kreises und und sind Radien des Kreises. Die Radien eines Kreises sind alle gleich lang. Der Radius ist die halbe Länge des Durchmessers.

Ein Bogen ist ein Teil eines Kreises.

Im obigen Diagramm bildet der Teil des Kreises von B bis C einen Bogen.

Ein Bogen kann in Grad gemessen werden.

Im Kreis oben, arc BC ist gleich dem ∠BOC das sind 45°.

Tangente

Eine Tangente ist eine Linie, die einen Kreis nur an einem Punkt berührt. Eine Tangente steht senkrecht zum Radius am Berührungspunkt. Der Tangentialpunkt ist dort, wo eine Tangente den Kreis berührt.

Im obigen Diagramm ist die Linie mit den Punkten B und C eine Tangente an den Kreis.

Er berührt den Kreis im Punkt B und steht senkrecht zum Radius. Punkt B heißt Tangentialpunkt.

Teile eines Kreises

Das folgende Video enthält die Definitionen eines Kreises, eines Radius, einer Sehne, eines Durchmessers, einer Sekante, einer Sekantenlinie, einer Tangente, eines kongruenten Kreises, eines konzentrischen Kreises und eines sich schneidenden Kreises.

EIN Sekantenlinie schneidet den Kreis in zwei Punkten.

EIN Tangente ist eine Gerade, die den Kreis in einem Punkt schneidet.

EIN Berührungspunkt ist, wo eine Tangente den Kreis berührt oder schneidet.

Kongruente Kreise sind Kreise mit gleichem Radius, aber unterschiedlichen Mittelpunkten.

Konzentrische Kreise sind zwei Kreise, die den gleichen Mittelpunkt haben, aber unterschiedliche Radien.

Sich kreuzende Kreise: Zwei Kreise können sich an zwei Punkten oder an einem Punkt schneiden. Wenn sie sich in einem Punkt schneiden, können sie entweder außen tangential oder innen tangential sein.

Zwei Kreise, die sich nicht schneiden, können entweder eine gemeinsame äußere Tangente oder eine gemeinsame innere Tangente haben.
Im gemeinsame externe Tangentekreuzt die Tangente die beiden Kreise nicht.
Im gemeinsame interne Tangente, die Tangente kreuzt die beiden Kreise.

Teile eines Kreises: Halbkreis, Quadrant, Nebensegment, Hauptsegment, Sektor, Bogen, Umfang

Teile eines Kreises, einschließlich Radius, Sehne, Durchmesser, Mittelwinkel, Bogen und Sektor

Probieren Sie den kostenlosen Mathway-Rechner und den folgenden Problemlöser aus, um verschiedene mathematische Themen zu üben. Probieren Sie die angegebenen Beispiele aus oder geben Sie Ihr eigenes Problem ein und überprüfen Sie Ihre Antwort mit den Schritt-für-Schritt-Erklärungen.

Wir freuen uns über Ihr Feedback, Kommentare und Fragen zu dieser Site oder Seite. Bitte senden Sie Ihr Feedback oder Ihre Anfragen über unsere Feedback-Seite.


Was ist eine Tangente?

EIN Tangente ist eine Linie (oder ein Liniensegment), die einen Kreis an genau einem Punkt schneidet. Dazu muss die Tangente auch im rechten Winkel zu einem Radius (oder Durchmesser) stehen, der denselben Punkt schneidet.

In unserem Kornkreis U können wir, wenn wir genau hinschauen, eine nach rechts gehende Tangente erkennen, das Liniensegment FO. Das war der kleine Pfad, den die Kreismacher entlanggingen, um zu der Stelle auf dem Feld zu gelangen, an der sie ihren Kornkreis bildeten. Kornkreise "erscheinen" fast immer sehr nahe an Straßen und zeigen einige Anzeichen von Tangenten, weshalb die meisten Forscher sagen, dass sie von menschlichen Scherzen gemacht wurden.

Das Wort "Tangente" kommt von einem lateinischen Begriff, der "berühren" bedeutet, weil eine Tangente einen Kreis gerade noch berührt. Tangenten spielen natürlich auch auf vom Thema abweichendes Schreiben oder Sprechen an, etwa wenn ein Schriftsteller auf einer Tangente loszieht und darauf hinweist, dass die meisten Bauern es nicht mögen, wenn ihre Ernte von Vandalen aus dieser oder einer anderen Welt zertreten wird.


Dielektrizitätskonstante, Stärke und Verlusttangente

Die hier angegebenen Werte sind relative Dielektrizitätskonstanten (relative Dielektrizitätskonstanten). Wie durch e . angegebenR = 1,00000 für ein Vakuum, alle Werte beziehen sich auf ein Vakuum.

Multiplizieren mit &epsilon0 = 8,8542 x 10 -12 F/m (Permittivität des freien Raums), um die absolute Permittivität zu erhalten. Die Dielektrizitätskonstante ist ein Maß für das Ladungsrückhaltevermögen eines Mediums.

Im Allgemeinen führen niedrige Dielektrizitätskonstanten (d. h. Polypropylen) zu einem "schnellen" Substrat, während große Dielektrizitätskonstanten (d. h. Aluminiumoxid) zu einem "langsamen" Substrat führen.

Die dielektrische Verlusttangente wird durch den Winkel zwischen dem Impedanzvektor des Kondensators und der negativen Blindachse definiert, wie im Diagramm rechts dargestellt. Sie bestimmt die Verlusthaftigkeit des Mediums. Ähnlich wie die Dielektrizitätskonstante führen niedrige Verlusttangenten zu einem "schnellen" Substrat, während große Verlusttangenten zu einem "langsamen" Substrat führen.

Beachten Sie, dass die genauen Werte je nach Verfahren des jeweiligen Herstellers stark variieren können, daher sollten Sie bei kritischen Anwendungen Daten beim Hersteller einholen.

Die Dielektrizitätskonstante kann wie folgt berechnet werden: = Cs / Cv , wobei Cs die Kapazität mit der Probe als Dielektrikum und Cv die Kapazität mit Vakuum als Dielektrikum ist.

Der Verlustfaktor kann berechnet werden mit: D = tan δ = cot θ = 1 / (2 π f RpCp) , wobei δ der Verlustwinkel, θ der Phasenwinkel, f die Frequenz, Rp der äquivalente Parallelwiderstand ist, und Cp ist die äquivalente Parallelkapazität.

Hinweis: Alle Werte können je nach Material sehr stark abweichen. Weitere Informationen finden Sie auf der MatWeb.com-Website. Weitere Ressourcen: Elektrische Eigenschaften von Isolatoren, Dielektrische Eigenschaften von Materialien.

Ergänzende Informationen von Website-Besucher James S. für komplexes Dielektrikum:

Die Dielektrizitätskonstanten oben auf [dieser] Seite erinnern an die Ausbreitungskonstanten von Roald K. Wangsness, Electromagnetic Fields, 2. Aufl., John Wiley & Sons, New York, 1986, p. 383, Gl. (24-42) und (24-43). Die sechste Gleichung auf der Webseite ist richtig. Diese Gleichung wird von P. Hoekstra und A. Delaney in Dielektrizitätseigenschaften von Böden bei UHF- und Mikrowellenfrequenzen, J. Geophys. Res., v. 79, 10. April 1974, S. 79. 1699, ". wird geschrieben als

K ' (&omega) ist die Dielektrizitätskonstante und

K" (ω) ist der dielektrische Verlustfaktor.

Hinweis: Vielen Dank an Gareth für die Korrektur des Weglassens eines Quadratwurzelzeichens in den dielektrischen Gleichungen.
Danke an Craig B. für die Korrektur des Verlusttangens für Teflon (0,00028 statt 0,0028).

Bitte unterstützen Sie RF Cafe, indem Sie meine lächerlich günstigen Produkte kaufen, die alle von mir erstellt wurden.


Charakterisierungs- und Bifurkationsdiagramm der Familie der quadratischen Differentialsysteme mit einer invarianten Ellipse in Bezug auf invariante Polynome

Betrachten Sie die Klasse QS aller nicht entarteten planar-quadratischen Systeme und ihre Unterklasse QSE aller ihrer Systeme, die eine invariante Ellipse besitzen. Dies ist eine interessante Familie, da sie einerseits durch eine algebraische geometrische Eigenschaft definiert wird und andererseits eine Familie ist, in der Grenzzyklen auftreten. Beachten Sie, dass jedes quadratische Differentialsystem mit einem Punkt von (<>>^<12>) durch seine Koeffizienten. In diesem Beitrag stellen wir notwendige und hinreichende Bedingungen für ein System in QS dar, das mindestens eine invariante Ellipse besitzt. Wir geben das globale „Bifurkations“-Diagramm der Familie QS an, das anzeigt, wo eine Ellipse vorhanden oder nicht vorhanden ist, und falls vorhanden, zeigt das Diagramm an, ob die Ellipse ein Grenzzyklus ist oder nicht. Das Diagramm wird in Form von affinen invarianten Polynomen ausgedrückt und erfolgt im 12-dimensionalen Parameterraum. Dieses Diagramm ist auch ein Algorithmus, um für jedes quadratische System zu bestimmen, ob es eine invariante Ellipse besitzt und ob diese Ellipse ein Grenzzyklus ist oder nicht.

Dies ist eine Vorschau von Abonnementinhalten, auf die Sie über Ihre Institution zugreifen können.


Seitenlänge von Tangente und Sekante eines Kreises

Wenn eine Sekante und eine Tangente eines Kreises von einem Punkt außerhalb des Kreises gezogen werden, dann ist das Produkt der Länge der Sekante und ihres äußeren Segments gleich dem Quadrat der Länge des Tangentensegments.

Interaktives Applet

Trainieren Probleme

Verwenden Sie den Satz für den Schnittpunkt einer Tangente und einer Sekante eines Kreises, um die folgenden Probleme zu lösen.

Aufgabe 1

In diesem Diagramm ist die rote Linie eine Tangente, wie lang ist sie?

$ ed x^2 = (7 + lue 5) cdot lue 5 ed x^2 = ( 12 ) cdot lue 5 ed x^2 = 60 ed x = sqrt <60>$

Aufgabe 2

In der folgenden Aufgabe ist die rote Linie eine Tangente des Kreises, wie lang ist sie?

$ ed x^2 = (9+ lue 7) cdot lue 7 ed x^2 = (16) cdot lue 7 ed x^2 = 112 ed x = sqrt < 112 >$

Zwei sich überschneidende Sekanten

Wenn zwei Sekantensegmente von einem Punkt außerhalb eines Kreises gezogen werden, ist das Produkt der Längen (C + D) eines Sekantensegments und seines äußeren Segments (D) gleich dem Produkt der Längen (A + B) des anderen Sekantensegments und sein externes Segment (B).

Aufgabe 3

Verwenden Sie den obigen Satz, um A zu bestimmen, wenn $ B = 4, C = 8, D = 5 $ .

$ (A + lue 4) cdot lue 4 = (8 + lue 5) cdot lue 5 (A + lue 4) cdot lue 4 = (14 ) cdot lue 5 (A + lue 4) cdot lue 4 = 65 frac 1 4 cdot (A + lue 4) cdot lue 4 =frac 1 4 cdot 65 frac <1> < cancel 4>cdot (A + lue 4) cdot lue > = 16.25 A + lue 4 - 4 = 16.25 - 4 A = 12.25 $

Aufgabe 4

Verwenden Sie den obigen Satz, um A zu bestimmen, wenn $ B = 8, C = 16, D = 10 $ .

$ (A + lue 8) cdot lue 8 = (16 + lue 10) cdot lue 10 (A + lue 8) cdot lue 8 = (26) cdot lue 10 (A + lue 8) cdot lue 8 = 260 frac1 8 cdot (A + lue 8) cdot lue 8 = frac1 8 cdot 260 (A + lue 8) = 32,5 A = 32,5 - 8 A = 24,5 $

Aufgabe 5

Die beiden Sekanten im Bild unten sind nicht maßstabsgetreu. Wenn $ KO = 16 $, $ KJ = 4 $ und $ LO = 32 $ ist, was ist dann $LM$ ?

Antworten

Die erste Herausforderung besteht darin, dass Sie erkennen, dass die Seitenlängen, die wir erhalten, nicht diejenigen, die wir für die Formel verwenden können. Bitte sehen Sie sich das Diagramm unten an, das die Maße anzeigt, die uns gegeben werden.:

Was wir wissen müssen, ist die Länge von $overline $ und $ MO$ !

Als erstes müssen wir also den Teil der Sekanten herausfinden, der außerhalb des Kreises liegt.

$ color<#666600> < JO >= 16 - 4 = 12 ext KO cdot JO = LO cdot MO 16 cdot 12 = 32 cdot MO 192 = 32 cdot MO frac<192> <32>= frac<32> <32> cdot MO 6 = MO ext LM = LO-MO LM = 32 - 6 = oxed < 26>$

KO &Stier JO = LO &Stier MO
--> JO = KO & minus KJ
--> JO = 16 & minus 4 = 12
--> KO &Stier JO = LO &Stier MO
--> MO
--> MO
--> MO
--> MO
--> LM = LO &minus MO
--> LM = 32 &minus 6 =26 -->


Wenn die Gleichung von $C_2$ $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ . ist

Auch hier die Steigung von $C_2$ bei $(9,6)$

$=-dfrac<9-h><6-k>$ was $=$ der Steigung der Parabel bei $(9,6)$ sein sollte $dfrac<4><2cdot6>$

Finden Sie die Gleichung beider Kreise mit $S+kL=0$ .

$L$ ist die Tangentengleichung an die Parabel an Berührungspunkten. Berührungspunkte können als Punktkreise betrachtet werden.

Da der Kontaktpunkt $(4,4)$ und $(9,6)$ ist und die Tangentengleichung ist: $2y=x+4$ und $3y=x+9$

Kreis durch $(9,6)$ ist $(x-9)^2+(y-6)^2+k(3y-x-9)=0$

Da es den Fokus $(1,0)$ durchläuft, erhalten wir also für die Werte von $X$ und $Y$ $K=10$ .

Daraus ergibt sich die Gleichung: $(x-9)^2+(y-6)^2+10(3y-x-9)=0$ oder $x^2+y^2-28x+18y+ 108=0$

Ähnlich für den zweiten Kreis durch $(4,4)$ : $(x-4)^2+(y-4)^2+k(2y-x-4)=0$

Da es $(1,0)$ durchläuft, erhalten wir $K$ als $5$ . Wir haben beide Kreise und können den Radius bestimmen.

Mit dieser Methode erhalten wir den Mittelpunkt von Kreisen als $(13/2,-1)$ und $(14,-9)$ .

Daher können wir aus den Mittelpunkten und dem Punkt $(1,0)$ den Radius mit der Abstandsformel erhalten.

$r_1$ ergibt $sqrt<125/4>$ und $r_2$ ergibt $sqrt<250>$ .


Tangenten und Neigungen

Wir verwenden drei Beziehungen, die wir bereits haben. Zuerst braun EIN = Sünde EIN / cos A. Zweitens, Sünde EIN = a/c. Drittens, cos EIN = b/c. Teilen a/c von b/c und stornieren C&rsquos, die erscheinen, schließen wir, dass tan EIN = a/b. Das bedeutet, dass die Tangente die gegenüberliegende Seite geteilt durch die benachbarte Seite ist:

Steigungen von Linien

Der Punkt B dort schneidet die Linie die ja-Achse. Wir können die Koordinaten von B sein (0,B) damit B, genannt die ja-intercept, gibt an, wie weit über dem x-Achse B Lügen. (Diese Notation steht im Widerspruch zur Beschriftung der Seiten eines Dreiecks a, b, und C, also lass &rsquos die Seiten jetzt nicht beschriften.)

Sie können sehen, dass der Punkt 1 rechts vom Ursprung mit 1 bezeichnet ist und seine Koordinaten natürlich (1,0) sind. Lassen C sei der Punkt, an dem diese vertikale Linie die horizontale Linie durchschneidet B. Dann C hat Koordinaten (1,B).

Der Punkt EIN ist, wo die vertikale Linie über 1 die ursprüngliche Linie schneidet. Lassen m bezeichne die Entfernung, die EIN befindet sich über C. Dann EIN hat Koordinaten (1,B+m). Dieser Wert m heißt der Neigung der Linie. Wenn Sie sich eine Einheit entlang der Linie nach rechts bewegen, bewegen Sie sich nach oben m Einheiten.

Betrachten Sie nun den Winkel CBA. Nennen wir es das Neigungswinkel. Der Tangens ist CA/BC = m/1 = m. Daher ist die Steigung die Tangente des Steigungswinkels.

Elevations- und Depressionswinkel

Der Begriff „Elevationswinkel&rdquo bezieht sich auf den Winkel über der Horizontalen vom Betrachter aus. Wenn du an diesem Punkt bist EIN, und AH eine horizontale Linie ist, dann der Höhenwinkel zu einem Punkt B über dem Horizont ist der Winkel BAH. Ebenso das &ldquoWinkel der Depression&rdquo auf einen Punkt C unter dem Horizont ist der Winkel CAH.

Tangenten werden häufig verwendet, um Probleme mit Elevations- und Depressionswinkeln zu lösen.

Wieder gemeinsame Winkel

Beachten Sie, dass die Tangente eines rechten Winkels als unendlich aufgeführt ist. Das liegt daran, dass, wenn der Winkel in Richtung 90° wächst, sein Tangens unbegrenzt wächst. Es ist vielleicht besser zu sagen, dass die Tangente von 90° undefiniert ist, da bei Verwendung der Kreisdefinition der Strahl aus dem Ursprung bei 90° niemals die Tangente trifft.

WinkelAbschlüsseRadiantKosinusSinusTangente
90&Grad&Pi/201Unendlichkeit
60°&Pi/31/2&radikal3 / 2&radikal3
45°&Pi/4&radikal2 / 2&radikal2 / 21
30&Grad&Pi/6&radikal3 / 21/21/&radic3
0100

Übungen

29. In einem rechtwinkligen Dreieck ein = 30 Yards und tan EIN = 2. Finden B und C.

49. cos T = 2 tan T. Finden Sie den Wert von sin T.

Hinweis: In den folgenden Aufgaben bedeutet Distanz horizontale Distanz, sofern nicht anders angegeben, bedeutet die Höhe eines Objekts seine Höhe über der horizontalen Ebene durch den Beobachtungspunkt. Die Augenhöhe des Betrachters ist nicht zu berücksichtigen, es sei denn, es wird ausdrücklich erwähnt. Bei Problemen mit dem Schatten eines Objekts soll der Schatten auf die horizontale Ebene durch die Basis des Objekts fallen, sofern nicht anders angegeben.

151. Der Höhenwinkel eines 250 Fuß entfernten Baumes beträgt 16° 13'. Finden Sie die Höhe.

152. Ermitteln Sie die Höhe eines Kirchturms in einer Entfernung von 321 Fuß und einem Höhenwinkel von 35 °.

153. Von einem Schiff aus beträgt der Höhenwinkel der Spitze eines Leuchtturms 200 Fuß über dem Wasser 2 ° 20'. Finden Sie die Entfernung.

154. Von der Spitze eines Leuchtturms 5 Meter über dem Wasser beträgt der Neigungswinkel eines Schiffes 3 ° 50 '. Finden Sie die Entfernung.

159. Ermitteln Sie die Höhe eines Turms, Entfernung 186 Fuß, Höhenwinkel 40 ° 44'.

160. Auf einer Seite eines Baches hat eine 50 Fuß hohe Stange von einem gegenüberliegenden Punkt einen Höhenwinkel von 5° 33'. Finden Sie die Breite des Stroms.

164. Von einem Hügel hat die Spitze von weiteren 128 Fuß einen Höhenwinkel von 2°. 40'. Finden Sie die Entfernung.

165. Von einem Hügel bis zur Spitze eines anderen entfernten 6290 Fuß hat ein Höhenwinkel von 4° 9'. Finden Sie heraus, wie viel die Höhe des zweiten Hügels die des ersten übersteigt.

189. Das Giebelende eines Daches misst an der Basis 40 Fuß im Durchmesser und 26 Fuß von der Basis bis zum First. In welchem ​​Winkel sind die Sparren geneigt?

Hinweise

29. Seit du weißt ein und bräunen EIN, du kannst finden B. Dann kannst du bestimmen C durch den Satz des Pythagoras oder durch Verwendung von Sinus oder durch Verwendung von Kosinus.

49. Sie benötigen zwei Identitäten. Zuerst braun T = Sünde T/cos T. Zweitens, die pythagoräische Identität, Sünde 2 T + cos 2 T = 1. Dann müssen Sie eine quadratische Gleichung lösen.

151. Denken Sie daran, dass die Tangente eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck die gegenüberliegende Seite geteilt durch die angrenzende Seite ist. Sie kennen die angrenzende Seite (die Entfernung zum Baum) und den Winkel (den Höhenwinkel), sodass Sie Tangenten verwenden können, um die Höhe des Baums zu ermitteln.

152. Sie kennen den Winkel (wieder den Höhenwinkel) und die angrenzende Seite (die Entfernung zum Kirchturm), also verwenden Sie Tangenten, um die gegenüberliegende Seite zu finden.

153. Verwenden Sie den Winkel und die gegenüberliegende Seite, verwenden Sie die Tangente, um die benachbarte Seite zu finden.

154. Gleicher Hinweis wie in 153.

159. Gleicher Hinweis wie 152.

160. Gleicher Hinweis wie in 153.

164. Gleicher Hinweis wie in 153.

165. Gleicher Hinweis wie 152.

189. Die Giebelseite eines Daches ist ein gleichschenkliges Dreieck. Wenn Sie eine senkrechte Linie vom Grat ablegen, erhalten Sie zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. Sie kennen die beiden Schenkel der Dreiecke, sodass Sie den Neigungswinkel der Sparren mit dem Arkustangens bestimmen können.

Antworten

29. B = ein/bräunen EIN = 30/2 = 15 Meter. C = 33,5 Meter.

49. Da cos T = 2 tan T, daher cos t = 2 sin T/cos T, also weil 2 T = 2 sin T, und durch die pythagoräische Identität erhalten Sie 1 &ndash sin 2 T = 2 sin T. Das gibt Ihnen eine quadratische Gleichung sin 2 T + 2 Sünde T &ndash 1 = 0. Die Lösungen sind sin T = &ndash1 ± &radic2. Von diesen beiden Lösungen ist die einzig mögliche sin feasible T = &radikal2 &ndash 1.

151. Höhe = 250 tan 16°13' = 72,7' = 72'9".

152. Höhe = 321 tan 35°16' = 227 Fuß.

153. Entfernung = 200/tan 2°.20' = 4908 Fuß, fast eine Meile.

154. Entfernung = 165/tan 3°50' = 2462 Fuß, fast eine halbe Meile.

159. Höhe = 186 tan 40°44' = 160 Fuß.

160. Entfernung = 50/tan 5°33' = 515 Fuß.

164. Entfernung = 128/tan 2°.40', ungefähr 2750 Fuß, etwas mehr als eine halbe Meile.


Schau das Video: Como Caminar de Costado o Laterales en un Caballo - Caballos del Colorado (September 2021).