Artikel

6.E: Periodische Funktionen (Übungen)


6.1: Graphen der Sinus- und Kosinusfunktionen

Im Kapitel über trigonometrische Funktionen haben wir trigonometrische Funktionen wie die Sinusfunktion untersucht. In diesem Abschnitt werden wir Graphen von Sinus- und Kosinusfunktionen interpretieren und erstellen

Verbale

1) Warum werden die Sinus- und Cosinusfunktionen periodische Funktionen genannt?

Antworten

Die Sinus- und Kosinusfunktionen haben die Eigenschaft (f(x+P)=f(x)) für ein bestimmtes (P). Das bedeutet, dass sich die Funktionswerte für alle (P)-Einheiten auf der (x)-Achse wiederholen.

2) Wie vergleicht sich der Graph von (y=sin x) mit dem Graphen von (y=cos x)? Erklären Sie, wie Sie den Graphen von (y=sin x) horizontal verschieben können, um (y=cos x) zu erhalten.

3) Für die Gleichung (Acos(Bx+C)+D), Welche Konstanten beeinflussen den Bereich der Funktion und wie beeinflussen sie den Bereich?

Antworten

Der Absolutwert der Konstanten (A) (Amplitude) vergrößert die Gesamtreichweite und die Konstante (D) (vertikale Verschiebung) verschiebt den Graphen vertikal.

4) Wie verhält sich der Bereich einer übersetzten Sinusfunktion zur Gleichung (y=A sin(Bx+C)+D)?

5) Wie kann der Einheitskreis verwendet werden, um den Graphen von (f(t)=sin t) zu konstruieren?

Antworten

An dem Punkt, wo die Endseite von (t) den Einheitskreis schneidet, kann man feststellen, dass (sin t) gleich der (y)-Koordinate des Punktes ist.

Grafisch

Stellen Sie für die folgenden Übungen zwei volle Perioden jeder Funktion grafisch dar und geben Sie Amplitude, Periode und Mittellinie an. Geben Sie die maximalen und minimalen (y)-Werte und ihre entsprechenden (x)-Werte in einer Periode für (x>0) an. Runden Sie die Antworten bei Bedarf auf zwei Dezimalstellen.

6) (f(x)=2sinx)

7) (f(x)=dfrac{2}{3}cos x)

Antworten

Amplitude: (dfrac{2}{3});Periode: (2pi);Mittellinie: (y=0);Maximum: (y=dfrac{2}{3}) tritt bei (x=0) auf;Minimum: (y=-dfrac{2}{3}) tritt bei (x=pi) auf;für eine Periode beginnt der Graph bei (0) und endet bei (2pi).

8) (f(x)=-3sinx)

9) (f(x)=4sinx)

Antworten

Amplitude: (4); Periode: (2pi);Mittellinie: (y=0);das Maximum (y=4) tritt bei (x=dfrac{pi}{2}) auf;Minimum: (y=-4) tritt bei (x=dfrac{3pi }{2}) auf;eine volle Periode tritt von (x=0) bis (x=2pi) auf

10) (f(x)=2cosx)

11) (f(x)=cos(2x))

Antworten

Amplitude: (1); Zeitraum: (pi);Mittellinie:


6.E: Elektronische Struktur von Atomen (Übungen)

Dies sind Hausaufgaben, die die Textmap begleiten, die für "Chemistry: The Central Science" von Brown et al. Ergänzende Fragenbänke der Allgemeinen Chemie finden Sie für andere Textmaps und können hier abgerufen werden. Zusätzlich zu diesen öffentlich zugänglichen Fragen ist der Zugang zur privaten Problembank für Prüfungen und Hausaufgaben nur für Dozenten individuell möglich. Bitte kontaktieren Sie Delmar Larsen für einen Zugang mit Zugangsberechtigung.


Q6.1.10

Photonen der Infrarotstrahlung sind für einen Großteil der Wärme verantwortlich, die wir fühlen, wenn wir unsere Hände vor ein Feuer halten. Diese Photonen werden auch andere Objekte erwärmen. Wie viele Infrarotphotonen mit einer Wellenlänge von 1,5 &mal 10 &minus6 m müssen vom Wasser absorbiert werden, um eine Tasse Wasser (175 g) von 25,0 °C auf 40 °C zu erwärmen

S6.1.10

1.) Zuerst müssen wir die Gleichung verwenden: q=mC&DeltaT °, um die Energiemenge in Joule (J) zu berechnen, um 175g H . zu erwärmen2O insgesamt 15° Celsius

  • m = Masse in Gramm (g) &rarr 175g
  • C = spezifische Wärme von H2Ö(l) &rarr (dfrac <4.184 J>)
  • &DeltaT ° = Temperaturdifferenz &rarr 40 - 25 =15°

2.) Nun müssen wir die Energiemenge in Joule (J) berechnen, die ein Photon mit einer Wellenlänge von 1,5x10 -6 m enthält. Wir verwenden die Gleichungen:

(E = h&nu) und (&nu=dfrac<&lambda>), die algebraisch manipuliert werden kann in: (E=dfrac<&lambda>)

  • h = Plancks-Konstante &rarr (6.6262 imes10^ <-34>Js)
  • c = Lichtgeschwindigkeit &rarr (2.998 imes 10^<8> dfrac )
  • &lambda = Wellenlänge des Photons &rarr (1,5 imes10^ <-6>m)

Dies ist die Energie in einem Photon, also müssen wir jetzt sehen, wie oft 1,3x10 -19 J in die 11.000 J aus unserer ersten Berechnung passen:


Kapitel 6

Sie würde sich über die Linie y = − 1 , y = − 1 spiegeln und zu einer ansteigenden Funktion werden.

Dies ist eine vertikale Spiegelung des vorherigen Graphen, da A A negativ ist.

6.3 Inverse trigonometrische Funktionen

6.1 Abschnitt Übungen

Einer periodischen Sinusfunktion wird eine lineare Funktion hinzugefügt. Der Graph hat keine Amplitude, da die kombinierte Funktion h ( x ) = x + sin x h ( x ) = x + sin x unbegrenzt wächst, wenn die lineare Funktion unbegrenzt ansteigt. Der Graph ist zwischen den Graphen von y = x + 1 y = x + 1 und y = x - 1 y = x - 1 begrenzt, da der Sinus zwischen −1 und 1 schwingt.

Es gibt keine Amplitude, da die Funktion nicht beschränkt ist.

Der Graph ist bezüglich der y-Achse symmetrisch und es gibt keine Amplitude, da die Grenzen der Funktion mit | . abnehmen x | | x | wächst. Es scheint eine horizontale Asymptote bei y = 0 y = 0 zu geben.

6.2 Abschnittsübungen

Antworten variieren. Mit dem Einheitskreis kann man zeigen, dass tan ( x + π ) = tan x . tan (x + π) = tan x.

Die Periode ist gleich: 2 π . 2 .

Periode: 8 horizontale Verschiebung: 1 Einheit nach links

Dehnungsfaktor: 6 Periode: 6 Asymptoten: x = 3 k , wobei k eine ganze Zahl ist x = 3 k , wobei k eine ganze Zahl ist

6.3 Abschnittsübungen

Damit eine Funktion eine Inverse hat, muss die Funktion eins zu eins sein und den Horizontallinientest bestehen. Die reguläre Sinusfunktion ist nicht eins zu eins, es sei denn, ihr Bereich ist in irgendeiner Weise eingeschränkt. Mathematiker haben vereinbart, die Sinusfunktion auf das Intervall [ − 2 , π 2 ] [ − π 2 , π 2 ] einzuschränken, sodass sie eins zu eins ist und eine Inverse besitzt.

Nein. Der Winkel, den die Leiter mit der Horizontalen bildet, beträgt 60 Grad.

Wiederholungsübungen

größte: 20.000 kleinste: 4.000

Amplitude: 8.000 Periode: 10 Phasenverschiebung: 0

Im Jahr 2007 beträgt die prognostizierte Bevölkerung 4.413. Im Jahr 2010 wird die Bevölkerung 11.924 sein.

Die Graphen sind bezüglich der Linie y = x nicht symmetrisch. y = x. Sie sind bezüglich der y y -Achse symmetrisch.

Die Grafiken scheinen identisch zu sein.

Übungstest

Amplitude: 1 Periode: 12 Phasenverschiebung: −6 −6 Mittellinie y = −3 y = −3

D ( t ) = 68 − 12 sin ( π 12 x ) D ( t ) = 68 − 12 sin ( π 12 x )

Die Ansichten sind unterschiedlich, da die Periode der Welle 1 25 beträgt. 1 25 . Über eine größere Domäne hinweg wird es mehr Zyklen des Graphen geben.

Über die ungefähren Intervalle (0.5, 1), (1.6, 2.1), (2.6, 3.1), (3.7, 4.2), (4.7, 5.2), (5.6, 6.28) (0.5, 1), (1.6, 2.1) , ( 2.6 , 3.1 ) , ( 3.7 , 4.2 ) , ( 4.7 , 5.2 ) , ( 5.6 , 6.28 )

f ( x ) = 2 cos ( 12 ( x + π 4 ) ) + 3 f ( x ) = 2 cos ( 12 ( x + π 4 ) ) + 3

Dieser Graph ist periodisch mit einer Periode von 2 . 2 .

ca. 0,07 Radiant

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    • Autoren: Jay Abramson
    • Herausgeber/Website: OpenStax
    • Buchtitel: Precalculus
    • Erscheinungsdatum: 23.10.2014
    • Ort: Houston, Texas
    • Buch-URL: https://openstax.org/books/precalculus/pages/1-introduction-to-functions
    • Abschnitts-URL: https://openstax.org/books/precalculus/pages/chapter-6

    © 21.01.2021 OpenStax. Von OpenStax produzierte Lehrbuchinhalte sind unter einer Creative Commons Attribution License 4.0-Lizenz lizenziert. Der OpenStax-Name, das OpenStax-Logo, die OpenStax-Buchcover, der OpenStax CNX-Name und das OpenStax CNX-Logo unterliegen nicht der Creative Commons-Lizenz und dürfen ohne vorherige und ausdrückliche schriftliche Zustimmung der Rice University nicht reproduziert werden.


    Vergleich der Muskelhypertrophie nach 6-monatigem kontinuierlichem und periodischem Krafttraining

    Um die Auswirkungen eines periodischen Widerstandstrainings (PTR)-Programms mit denen eines kontinuierlichen Widerstandstrainings (CTR)-Programms auf Muskelgröße und -funktion zu vergleichen, wurden 14 junge Männer zufällig in eine CTR-Gruppe und eine PTR-Gruppe eingeteilt. Beide Gruppen führten an 3 Tagen pro Woche ein hochintensives Bankdrücktraining [75 % eines Wiederholungsmaximums (1-RM) 3 Sätze mit 10 Wiederholungen] durch. Die CTR-Gruppe trainierte kontinuierlich über einen Zeitraum von 24 Wochen, während die PTR-Gruppe drei Zyklen von 6-wöchigem Training (oder Retraining) mit 3-wöchigen Trainingspausen zwischen den Trainingszyklen durchführte. Nach einem anfänglichen 6-wöchigen Training waren die Zunahmen der Querschnittsfläche (CSA) der M. triceps brachii und des großen Brustmuskels und die maximale isometrische willkürliche Kontraktion der Ellenbogenstrecker und des 1-RM zwischen den beiden Gruppen ähnlich. In der CTR-Gruppe stiegen die Muskel-CSA und die Muskelkraft während der ersten 6 Trainingswochen allmählich an. Danach nahm jedoch die Rate der Zunahme von Muskel-CSA und 1-RM allmählich ab. In der PTR-Gruppe war der Anstieg des Muskel-CSA und der Muskelkraft während des ersten 3-wöchigen Detrainings/6-wöchigen Umtrainingszyklus ähnlich wie in der CTR-Gruppe während des entsprechenden Zeitraums. Allerdings war die Zunahme des Muskel-CSA und der Muskelkraft während des zweiten 3-wöchigen Detrainings/6-wöchigen Umschulungszyklus in der PTR-Gruppe signifikant höher als in der CTR-Gruppe. Somit waren die Gesamtverbesserungen des Muskel-CSA und der Muskelkraft zwischen den Gruppen ähnlich. Die Ergebnisse zeigen, dass 3-wöchige Detrainings-/6-wöchige Retraining-Zyklen zu einer Muskelhypertrophie führen, ähnlich der, die nach 24 Wochen bei kontinuierlichem Widerstandstraining auftritt.


    Wenn JavaScript eine return-Anweisung erreicht, wird die Ausführung der Funktion beendet.

    Wenn die Funktion von einer Anweisung aufgerufen wurde, "kehrt" JavaScript zurück, um den Code nach der aufrufenden Anweisung auszuführen.

    Funktionen berechnen oft a Rückgabewert. Der Rückgabewert wird an den "Aufrufer" " zurückgegeben"

    Beispiel

    Berechnen Sie das Produkt zweier Zahlen und geben Sie das Ergebnis zurück:

    let x = myFunction(4, 3) // Funktion wird aufgerufen, Rückgabewert landet in x

    Funktion myFunction(a, b) <
    return a * b // Funktion liefert das Produkt von a und b
    >


    Gemeinsame Kernalgebra 1

    Diese interaktiven Lektionen verwenden dynamische Grafiken und geführte Entdeckungen, um das symbolische und visuelle Denken zu stärken und zu verbinden. Sie geben dem Schüler eine praktische visuelle Exposition aller Common Core Algebra 1-Themen, verstärkt durch adaptive Übungen und zufällig generierte Tests. Alle Übungen und Tests werden automatisch geprüft und benotet. Bewegen Sie die Maus über einen Link unten, um ein Beispiel aus dieser Lektion anzuzeigen, oder klicken Sie auf einen Testlink, um eine kurze Zusammenfassung einer Gruppe von Lektionen anzuzeigen. Relevante Standards werden nach den Übungen jeder Lektion aufgelistet, wobei ein ' (Prime) einen eindeutigen Link kennzeichnet. Wir bieten auch ein Kursglossar an.

    Der Common Core und andere Standards decken viele algebraische Themen ab, bevor der erste eigentliche High School Algebra-Kurs stattfindet. Viele der folgenden Lektionen und Übungen haben die Schüler daher möglicherweise bereits in einer früheren Klasse oder in einem Sommervorbereitungskurs absolviert. In diesem Fall werden diese Aufgaben auch in diesem Kurs als bereits erledigt behandelt.

    Schüler sollten Arbeitspapier zur Verfügung haben, Zugang zu numerischen Taschenrechnern (Software oder Hardware) haben, außer während des Kapitels Arithmetic Review, und andere Schüler oder einen Lehrer, die um Hilfe bitten, wenn sie nicht weiterkommen. Alle Schüler werden ermutigt, mit Gleichaltrigen mathematische Erklärungen zu geben und zu erhalten. Bitte senden Sie uns Ihre Kommentare, Fragen und Anregungen.


    Syntax

    Die PMT-Funktion hat die folgende Syntax:

    PMT(Rate, Anzahl, pv, [fv], [typ])

    Die Werte in eckigen Klammern sind optional, während alle anderen Werte obligatorisch sind.

    Rate ist der periodische Zinssatz, der für den Cashflow, d. h. eine Hypothek, gilt. Der eingegebene Zinssatz muss der Länge der einzelnen Zahlungsperioden entsprechen, dh wenn jede Zahlung nach einem Jahr erfolgt, müssen Sie den jährlichen Zinssatz eingeben und wenn die Periode ein Quartal ist, müssen Sie den vierteljährlichen Zinssatz eingeben (=Jahresprozentsatz enter /4).

    NPER ist die Anzahl der Perioden im Cashflow-Stream. Sie sollte in Zeiteinheiten eingegeben werden, die der Zahlungsdauer entsprechen. Wenn jede periodische Zahlung nach 1 Jahr erfolgt, sollte NPER in Jahren eingegeben werden.

    PV ist der Barwert des Cashflows.

    FV ist ein optionaler Wert. Sie stellt den zukünftigen Wert des Darlehens oder der Investition dar. Dies ist nützlich bei Cashflows, die am Ende eine große Ballonzahlung haben, zum Beispiel eine Anleihe oder einige Leasingverträge.

    [Typ] ist ein optionaler Wert mit Binäreingabe (d. h. 0 oder 1). Sie müssen 0 eingeben, wenn der Cashflow eine Annuität ist, d. h. jede Zahlung erfolgt am Ende der Periode und 1, wenn der Cashflow eine Annuität darstellt, d. h. wenn jede Zahlung im Voraus, d. h. zu Beginn der Periode, erfolgt. Der Standardwert ist 0. Wenn Sie also nichts eingeben, berechnet Excel den periodischen Cashflow unter der Annahme, dass jeder Cashflow am Ende der Periode auftritt.


    Bewegung und Stuhlgang

    Nach Angaben des Central and North West London NHS Foundation Trust liegt die normale Häufigkeit des Stuhlgangs zwischen dreimal täglich und dreimal pro Woche. Bewegungsmangel kann zu Verstopfung beitragen. Bewegungsmangel kann das Verdauungssystem verlangsamen, was bedeutet, dass der Stuhl hart, schwer oder nicht oft passiert. Wenn Sie mit Verstopfung zu kämpfen haben, empfiehlt Ihr Arzt möglicherweise viel regelmäßige Bewegung, um die Dinge in Gang zu bringen.

    Wenn Sie bereits regelmäßig trainieren, stellen Sie möglicherweise fest, dass Sie mehr Stuhlgang haben, wenn Sie Ihre Trainingsroutine erhöhen und Ihr Verdauungssystem reagiert. Laut dem Gesundheitssystem der University of Michigan reagiert der Darm noch mehr, wenn Sie sich in einer konsistenten Trainingsroutine befinden und jeden Tag zur gleichen Zeit trainieren.


    MCR3U: FUNKTIONEN KLASSE 11, UNIVERSITÄTSVORBEREITUNG BEISPIELÜBUNGEN ☰ Menü: Klicken Sie hier, um auf dieser Seite zu navigieren

    Vielleicht haben Sie dies als Lehrer (unabhängig von Ihrem Unterrichtsfach) erlebt.

    Sie haben eine Hausarbeit oder eine Hausaufgabe entworfen. Sie haben Kopien gedruckt und an Ihre Schüler verteilt. Sie haben ihnen einen Tag Zeit gegeben, um die Arbeit einzureichen. Der Tag kam. Dann hat ein bestimmter Student – ​​oder einige Studenten – die Arbeit nicht gemacht. Sie fragten warum? Als Antwort erwähnte der Student, dass die Arbeit (versehentlich) verlegt wurde (oder verloren ging). Der Schüler bat dann um eine weitere Kopie der Übung. Sie, der Lehrer, haben sich verpflichtet und dem Schüler eine weitere Kopie der Übung gegeben. Der Vorfall wiederholt sich dann.

    Dies ist eine der Ausreden, die manche Schüler dafür anführen, die ihnen zugewiesenen Übungen nicht zu machen. Aus unserer persönlichen Perspektive sind nicht viele Erfahrungen im Klassenzimmer so frustrierend wie die oben genannten. Um dies zu vermeiden, haben wir diese Website erstellt – unser ursprüngliches Ziel war es, unseren Schülern alle Übungen außerhalb des Klassenzimmers (und der Schule) zur Verfügung zu stellen. Unser Ansatz mag drastisch gewesen sein, wurde aber auch durch unser Interesse an der Webentwicklung ermöglicht. Wir müssen unsere Übungen dann EINMAL und nur EINMAL ausdrucken. Wenn der Schüler das Exemplar der Übung verlegt (oder verliert), liegt es in der Verantwortung des Schülers, neue Exemplare von unserer Website auszudrucken.

    Daraus folgt, dass die meisten der folgenden Übungen unseren Lehrgeschmack widerspiegeln und daher möglicherweise nicht ein breites Publikum ansprechen. Tatsächlich sind sie dem Lehrplan von Ontario nachempfunden, und so kann ihr möglicher Nutzen auf diese kanadische Provinz beschränkt sein. Außerdem haben wir keine Lösungen dafür bereitgestellt – aber wir arbeiten daran, einschließlich der Änderung des Formats. Wenn Sie in der Zwischenzeit eine dieser Übungen nützlich finden, werden wir mehr als aufgeregt sein.