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8.4: Vektoren


Eine Frau verlässt das Haus, geht 3 Meilen nach Norden, dann 2 Meilen nach Südosten. Wie weit ist sie von zu Hause entfernt und in welche Richtung müsste sie gehen, um nach Hause zurückzukehren? Wie weit ist sie gelaufen, als sie nach Hause kommt?

Diese Frage mag bekannt vorkommen – tatsächlich hatten wir im ersten Abschnitt dieses Kapitels ein ähnliches Problem mit einem Boot. In diesem Abschnitt haben wir das Problem mit Dreiecken gelöst. In diesem Abschnitt werden wir eine andere Möglichkeit untersuchen, das Problem mithilfe von Vektoren zu lösen, einer geometrischen Einheit, die sowohl eine Entfernung als auch eine Richtung angibt. Wir beginnen unsere Untersuchung mit einer rein geometrischen Betrachtung von Vektoren.

Eine geometrische Ansicht von Vektoren

Definition: VEKTOR

EIN Vektor ist ein Objekt, das sowohl eine Länge als auch eine Richtung hat.

Geometrisch lässt sich ein Vektor durch einen Pfeil mit fester Länge darstellen und

zeigt eine Richtung an. Wenn sich ausgehend vom Punkt (A) ein Vektor, was im Lateinischen „Träger“ bedeutet, in Richtung des Punktes (B) bewegt, schreiben wir (overrightarrow{AB}), um den Vektor darzustellen.

Ein Vektor kann auch mit einem einzelnen Buchstaben in Fettdruck angegeben werden, z du, oder indem Sie den Buchstaben, der den Vektor darstellt, mit einem Pfeil abschließen, wie (vec{u}).

Beispiel (PageIndex{1})

Zeichne einen Vektor, der die Bewegung vom Punkt (P) (-1, 2) zum Punkt (Q) (3, 3) darstellt

Lösung

Indem wir einen Pfeil vom ersten zum zweiten Punkt ziehen, können wir einen Vektor (overrightarrow{PQ}) konstruieren.

Übung (PageIndex{1})

Zeichnen Sie einen Vektor (vec{v}), der sich vom Ursprung zum Punkt (3, 5) bewegt.

Antworten

Mit dieser geometrischen Darstellung von Vektoren können wir die Addition und Skalierung von Vektoren visualisieren.

Um Vektoren hinzuzufügen, stellen wir uns eine Summe von zwei Bewegungen vor. Um (vec{u} + vec{v}) zu finden, zeichnen wir zuerst den Vektor (vec{u}), dann vom Ende von (vec{u}) aus den Vektor (vec{v}). Dies entspricht der Vorstellung, dass wir uns zuerst entlang des ersten Vektors und dann von dieser Endposition entlang des zweiten Vektors bewegen. Die Summe (vec{u} + vec{v}) ist der neue Vektor, der sich direkt vom Anfang von (vec{u}) zum Ende von (vec{v}) bewegt. auf geradem Weg.

VEKTOREN GEOMETRISCH HINZUFÜGEN

Um Vektoren geometrisch hinzuzufügen, zeichne (vec{v}) ausgehend vom Ende von (vec{u}). Die Summe (vec{u} + vec{v}) ist der Vektor von Anfanging von (vec{u}) bis zum Ende von (vec{v}).

Beispiel (PageIndex{2})

Gegeben seien die beiden unten gezeigten Vektoren, zeichne (vec{u} + vec{v})

Lösung

Wir zeichnen (vec{v}) vom Ende von (vec{u}), dann ziehen wir die Summe (vec{u} + vec{v}) vom Anfang von (vec{u}) bis zum Ende von (vec{v}).

Beachten Sie, dass der Weg der gehenden Frau vom Anfang des Abschnitts als die Summe zweier Vektoren visualisiert werden könnte. Der resultierende Summenvektor würde ihre Endposition relativ zu Home anzeigen.

Obwohl Vektoren überall in der Ebene existieren können, ist es leicht, seine Größe und Richtung relativ zu anderen Vektoren zu verstehen, wenn wir den Startpunkt auf den Ursprung legen.

Um Vektoren um eine Konstante wie (3vec{u}) zu skalieren, können wir uns vorstellen, (vec{u} + vec{u} + vec{u}) hinzuzufügen. Das Ergebnis ist ein dreimal so langer Vektor in die gleiche Richtung wie der ursprüngliche Vektor. Wenn wir einen Vektor mit einer negativen Zahl wie (-vec{u}) skalieren, können wir uns dies als das Gegenteil von (vec{u}) vorstellen; der Vektor, so dass (vec{u} + (-vec{u}) uns zum Ausgangspunkt zurückführt. Dieser Vektor (-vec{u}) würde in die entgegengesetzte Richtung wie ( vec{u}), aber gleich lang.

Eine andere Möglichkeit, über die Skalierung eines Vektors nachzudenken, besteht darin, seine Richtung beizubehalten und seine Länge mit einer Konstanten zu multiplizieren, sodass (3vec{u}) in die gleiche Richtung zeigen würde, aber dreimal so lang ist.

GEOMETRISCHES SKALIEREN EINES VEKTORS

Zu einen Vektor geometrisch skalieren durch eine Konstante skalieren Sie die Länge des Vektors mit der Konstanten.

Das Skalieren eines Vektors mit einer negativen Konstante kehrt die Richtung des Vektors um.

Beispiel (PageIndex{3})

Zeichnen Sie bei gegebenem Vektor (3vec{u}), (-vec{u}) und (-2vec{u}).

Lösung

Der Vektor (3vec{u}) ist dreimal so lang. Der Vektor (-vec{u}) hat die gleiche Länge, zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung. Der Vektor (-2vec{u}) zeigt in die entgegengesetzte Richtung und ist doppelt so lang.

Durch die Kombination von Skalierung und Addition können wir den Unterschied zwischen Vektoren auch geometrisch finden, da (vec{u} - vec{v} = vec{u} + (-vec{v})).

Beispiel (PageIndex{4})

Zeichne bei gegebenen Vektoren (vec{u} - vec{v})

Lösung

Aus dem Ende von (vec{u}) zeichnen wir (-vec{v}) und zeichnen dann das Ergebnis ein.

Beachten Sie, dass Summe und Differenz zweier Vektoren die beiden Diagonalen eines Parallelogramms mit den Vektoren (vec{u}) und (vec{v}) als e . sinddges.

Übung (PageIndex{2})

Zeichnen Sie mit dem Vektor (vec{v}) aus der vorherigen Übung (-2 vec{v}).

Antworten

Komponentenform von Vektoren

Obwohl uns die geometrische Interpretation von Vektoren ein intuitives Verständnis von Vektoren ermöglicht, bietet sie uns keine bequeme Möglichkeit, Carechnungen. Dafür brauchen wir eine praktische Möglichkeit, Vektoren darzustellen. Da ein Vektor eine Länge und eine Richtung beinhaltet, wäre es logisch, einen Vektor mit einer Länge und einem Winkel ( heta) darstellen zu wollen, der normalerweise von der Standardposition aus gemessen wird.

Definition: HÖHE UND RICHTUNG EINES VEKTORS

Ein Vektor (vec{u}) kann durch seine Größe oder Länge (|vec{u}|) und einen Winkel ( heta) beschrieben werden.

Ein Vektor der Länge 1 heißt Einheitsvektor.

Dies ist zwar sehr vernünftig und eine übliche Methode zum Beschreiben von Vektoren, es ist jedoch für Berechnungen oft bequemer, einen Vektor durch horizontale und vertikale Komponenten darzustellen.

KOMPONENTENFORM EINES VEKTORS

Die Komponentenform eines Vektors repräsentiert den Vektor unter Verwendung von zwei Komponenten. (vec{u} = langle x, y angle) gibt an, dass der Vektor eine Verschiebung von (x) Einheiten horizontal und (y) Einheiten vertikal darstellt.

Beachten Sie, wie wir die Größe des Vektors als Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks oder in Polarform als Radius (r) sehen können.

ALTERNATIVE NOTATION FÜR VEKTORKOMPONENTEN

Manchmal sieht man Vektoren, die als Kombination der Einheitsvektoren (vec{i}) und (vec{j}) geschrieben sind, wobei (vec{i}) nach rechts zeigt und (vec {j}) zeigt nach oben. Mit anderen Worten, (vec{i} = langle 1, 0 angle) und (vec{j} = langle heta, 1 angle).

In dieser Notation würde der Vektor (vec{u} = langle 3, -4 angle) geschrieben als (vec{u} = 3vec{i} - 4vec{j} ), da beide eine Verschiebung von 3 Einheiten nach rechts und 4 Einheiten nach unten anzeigen.

Während es bequem sein kann, sich den Vektor (vec{u} = langle x, y angle) als einen Pfeil vom Ursprung zum Punkt ((x), (y)) vorzustellen, Denken Sie daran, dass sich die meisten Vektoren überall in der Ebene befinden können und geben Sie einfach eine Verschiebung (Positionsänderung) anstelle einer Position an.
Es ist üblich, einen Betrag und einen Winkel in die Komponentenform des Vektors umzuwandeln und umgekehrt. Glücklicherweise ist dieser Vorgang identisch mit der Umwandlung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten oder von der Polarform komplexer Zahlen in die (a+bi)-Form.

Beispiel (PageIndex{5})

Finden Sie die Komponentenform eines Vecors mit der Länge 7 in einem Winkel von 135 Grad.

Lösung

Mit den Umrechnungsformeln (x = rcos( heta)) und (y = rsin( heta)) finden wir die Komponenten

[x = 7 cos (135^{circ}) = -dfrac{7sqrt{2}}{2} onumber]
[y = 7 sin (135^{circ}) = dfrac{7sqrt{2}}{2} onumber]

Der Vektor kann in Komponentenform geschrieben werden als (langle -dfrac{7sqrt{2}}{2}, dfrac{7sqrt{2}}{2} angle)

Beispiel (PageIndex{6})

Bestimmen Sie Betrag und Winkel ( heta), die den Vektor (vec{u} = langle 3, -2 angle) darstellen.

Lösung

Zuerst können wir die Größe finden, indem wir uns an die Beziehung zwischen (x), (y) und (r) erinnern:

[r^2 = 3^2 + (-2)^2 = 13keineZahl]
[r = sqrt{13} onumber]

Zweitens können wir den Winkel ermitteln. Mit der Tangente,

[ an( heta) = dfrac{-2}{3} onumber]
[ heta = an^{-1}(-dfrac{2}{3}) approx -33.69^{circ} onumber]oder geschrieben als koterminaler positiver Winkel, (326.31^{) Kreis}). Dieser Winkel liegt wie gewünscht im (4^{ ext{th}})-Quadranten.

Übung (PageIndex{3})

Verwenden Sie den Vektor (vec{v}) aus der ersten Übung, den Vektor, der vom Ursprung zum Punkt (3, 5) wandert, und finden Sie die Komponenten, den Betrag und den Winkel ( heta), die diesen Vektor darstellen.

Antworten

[vec{v} = langle 3, 5 angle onumber]
[ ext{magnitude} = sqrt{34} onumber]
[ heta = an^{-1} (dfrac{5}{3}) = 59,04^{circ} onumber]

Neben der Darstellung von Distanzbewegungen werden Vektoren häufig in der Physik und im Ingenieurwesen verwendet, um jede Größe darzustellen, die sowohl Richtung als auch Größe hat, einschließlich Geschwindigkeiten und Kräften.

Beispiel (PageIndex{7})

Ein Objekt wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 200 Metern pro Sekunde in einem Winkel von 30 Grad gestartet. Bestimmen Sie die anfänglichen horizontalen und vertikalen Geschwindigkeiten.

Lösung

Indem wir die Anfangsgeschwindigkeit als Vektor betrachten, können wir den Vektor in horizontale und vertikale Komponenten auflösen.

[x = 200 cos(30^{circ} = 200 cdot dfrac{sqrt{3}}{2} approx 173.205 ext{ m/sec} onumber]
[y = 200 sin(30^{circ} = 200 cdot dfrac{1}{2} = 100 ext{ m/sec} onumber]

Dies sagt uns, dass sich das Objekt ohne Windwiderstand mit etwa 173 Metern pro Sekunde horizontal fortbewegt. Die Schwerkraft wird dazu führen, dass sich die vertikale Geschwindigkeit im Laufe der Zeit ändert – eine Diskussion darüber überlassen wir Physik- oder Mathematikunterricht.

Hinzufügen und Skalieren von Vektoren in Komponentenform

Um Vektoren in Komponentenform hinzuzufügen, können wir einfach die entsprechenden Komponenten hinzufügen. Um einen Vektor um eine Konstante zu skalieren, skalieren wir jede Komponente um diese Konstante.

KOMBINIEREN VON VEKTOREN IN KOMPONENTENFORM

Zu Vektoren addieren, subtrahieren oder skalieren in Bauteilform

Wenn (vec{u} = langle u_1, u_2 angle), (vec{v} = langle v_1, v_2 angle) und (c) eine beliebige Konstante ist, dann

[vec{u} + vec{v} = langle u_1 + v_1, u_2 + v_2 angle]
[vec{u} - vec{v} = langle u_1 - v_1, u_2 - v_2 angle]
[cvec{u} = langle cu_1, cu_2 angle]

Beispiel (PageIndex{8})

Gegeben (vec{u} = langle 3, -2 angle) und (vec{v} = langle -1, 4 angle) finden Sie einen neuen Vektor (vec{w} = 3vec{u} - 2vec{v})

Lösung

Unter Verwendung der angegebenen Vektoren,

[egin{array} {rcl} {vec{w}} &= & {3vec{u} - 2vec{v}} {} &= & {3 langle 3, -2 angle - 2langle -1, 4 angle ext{Jeden Vektor skalieren}} {} &= & { langle 9, -6 angle - langle -2, 8 angle ext{Entsprechende Komponenten subtrahieren}} { } &= & {langle 11, -14 angle} end{array} onumber]

Durch die Darstellung von Vektoren in Komponentenform können wir den resultierenden Verschiebungsvektor nach einer Vielzahl von Bewegungen finden, ohne viele komplizierte nicht rechtwinklige Dreiecke zeichnen zu müssen. Als einfaches Beispiel betrachten wir das Problem vom Anfang des Abschnitts an. Das allgemeine Verfahren, das wir befolgen werden, ist:

1) Konvertieren von Vektoren in Komponentenform
2) Addiere die Komponenten der Vektoren
3) Konvertieren Sie bei Bedarf wieder in Länge und Richtung, um dem Kontext der Frage zu entsprechen

Beispiel (PageIndex{9})

Eine Frau verlässt das Haus, geht 3 Meilen nach Norden, dann 2 Meilen nach Südosten. Wie weit ist sie von zu Hause entfernt und in welche Richtung müsste sie gehen, um nach Hause zurückzukehren? Wie weit ist sie gelaufen, als sie nach Hause kommt?

Lösung

Beginnen wir damit, die Frage etwas tiefer zu verstehen. Wenn wir Vektoren verwenden, um eine Fahrtrichtung zu beschreiben, positionieren wir oft dünngs, so dass Norden nach oben zeigt, Osten nach rechts zeigt und so weiter, wie hier abgebildet.

Wenn wir also nach NW, SW, NE oder SE reisen, bedeutet dies, dass wir durch den Quadranten reisen, der von den angegebenen Richtungen in einem Winkel von 45 Grad begrenzt wird.

Vor diesem Hintergrund beginnen wir damit, jeden Vektor in Komponenten umzuwandeln.

Ein Spaziergang von 3 Meilen nach Norden wäre in Komponenten (langle 0, 3 angle).

Ein Spaziergang von 2 Meilen südöstlich würde in einem Winkel von (45^{circ}) South of East verlaufen. Von der Standardposition aus gemessen, wäre der Winkel (315^{circ}).

Bei der Umwandlung in Komponenten verwenden wir den Standardpositionswinkel, damit wir uns keine Gedanken darüber machen müssen, ob die Vorzeichen negativ oder positiv sind. sie werden automatisch funktionieren.

[langle 2cos (315^{circ}),: 2sin (315^{circ}) angle = langle 2cdotfrac{sqrt{2}}{2}, :2cdotfrac{-sqrt{2}}{2} angleapproxlangle 1.414, -1.414 angle onumber]

Die Addition dieser Vektoren ergibt die Summe der Bewegungen in Komponentenform

[langle 0, 3 angle + langle 1.414, -1.414 angle = langle 1.414 1.586 angle onumber]

Um herauszufinden, wie weit sie von zu Hause entfernt ist und in welche Richtung sie gehen müsste, um nach Hause zurückzukehren, könnten wir die Größe und den Winkel dieses Vektors bestimmen.

[ ext{Länge} = sqrt{1.414^2 + 1.586^2} = 2.125 onumber]

Um den Winkel zu finden, können wir den Tangens

[ an( heta) = dfrac{1.586}{1.414} onumber]
[ heta = tan^{-1} (dfrac{1.586}{1.414}) = 48.273^{circ} ext{ nördlich von Osten} onumber]

Dies ist natürlich der Winkel von ihrem Startpunkt zu ihrem Endpunkt. Um nach Hause zurückzukehren, müsste sie die entgegengesetzte Richtung einschlagen, die wir entweder als (180^{circ} + 48,273^{circ} = 228.273^{circ}) in Standardposition gemessen beschreiben könnten, oder als (48,273^{circ}) südwestlich (oder (41.727^{circ}) westlich von Süden).

Sie hat eine Gesamtstrecke von 3 + 2 + 2,125 = 7,125 Meilen zurückgelegt.

Beachten Sie, dass die zurückgelegte Gesamtstrecke nicht der Länge des resultierenden Verschiebungsvektors oder des „Rückkehr“-Vektors entspricht.

Übung (PageIndex{4})

Bei einer Schnitzeljagd werden Anweisungen gegeben, um einen vergrabenen Schatz zu finden. Von einem Startpunkt an einem Fahnenmast müssen Sie 9 m nach Osten gehen, um 30 Grad nach Norden drehen und 15 m zurücklegen und dann genau nach Süden abbiegen und 25 m zurücklegen. Skizzieren Sie ein Bild dieser Vektoren, finden Sie ihre Komponenten und berechnen Sie, wie weit und in welche Richtung Sie reisen müssen, um vom Fahnenmast direkt zum Schatz zu gelangen, ohne der Karte zu folgen.

Antworten

[vec{v}_1 = langle 30, 0 anglequad vec{v}_2 = langle 50cos(30^{circ}), 50sin(30^{circ}) ranglequadvec{v}_3 = langle 0, -75 angle onumber]
[vec{v}_f = langle 30 + 50 cos(30^{circ}), 50 sin(30^{circ}) - 75 angle = langle 73.301, -50 angle keine Nummer]
Größe = 88,73 Fuß in einem Winkel von (34,3^{circ}) südlich von Osten.

Während die Verwendung von Vektoren nicht viel schneller ist als die Verwendung des Kosinusgesetzes mit nur zwei Bewegungen, wird die Verwendung von Vektoren bei der Kombination von drei oder mehr Bewegungen, Kräften oder anderen Vektorgrößen schnell viel effizienter als der Versuch, Dreiecke zu verwenden.

Beispiel (PageIndex{10})

Auf ein Objekt wirken wie unten gezeigt drei Kräfte, die jeweils in Newton (N) gemessen werden. Welche Kraft muss aufgewendet werden, um das Objekt im Gleichgewicht zu halten (wo die Summe der Kräfte null ist)?

Lösung

Wir beginnen damit, jeden Vektor in Komponenten aufzulösen.

Der erste Vektor mit der Größe 6 Newton bei einem Winkel von 30 Grad hat Komponenten

[langle 6cos(30^{circ}). 6sin(30^{circ}) angle = langle 6 cdot dfrac{sqrt{3}}{2}, 6 cdot dfrac{1}{2} angle = langle 3 Quadrat{3} 3 angle onumber]

Der zweite Vektor ist nur in horizontaler Richtung, kann also als (langle -7, 0 angle) geschrieben werden.

Der dritte Vektor mit der Größe 4 Newton bei einem Winkel von 300 Grad hat Komponenten

[langle 4 cos(300^{circ}), 4sin(300^{circ}) angle = langle 4 cdot dfrac{1}{2}, 4 cdot dfrac{ -sqrt{3}}{2} angle = langle 2, -2sqrt{3} angle onumber]

Um das Objekt im Gleichgewicht zu halten, müssen wir einen Kraftvektor (x), (y) finden, sodass die Summe der vier Vektoren der Nullvektor (langle 0, 0 angle) ist.

[langle 3sqrt{3}, 3 angle + langle -7, 0 angle + langle 2, -2sqrt{3} angle + langle x, y angle = langle 0, 0 angle onumber]Komponentenweise hinzufügen
[langle 3sqrt{3} - 7 + 2, 3 + 0 - 2sqrt{3} angle + langle x, y angle = langle 0, 0 angle onumber]Vereinfachen
[langle 3sqrt{3} - 5, 3 - 2sqrt{3} angle + langle x, y angle = langle 0, 0 angle onumber]Löse
[langle x, y angle = langle 0, 0 angle - langle 3sqrt{3} - 5, 3 - 2sqrt{3} angle onumber]
[langle x, y angle = langle -3sqrt{3} + 5, -3 + 2sqrt{3} angle approx langle -0,196, 0,464 angle onumber]

Dieser Vektor gibt in Komponenten die Kraft an, die aufgebracht werden müsste, um das Objekt im Gleichgewicht zu halten. Falls gewünscht, könnten wir die Größe dieser Kraft und die Richtung ermitteln, in der sie angewendet werden müsste.

[ ext{Magnitude} = sqrt{(-0,196)^2 + 0,464^2} = 0,504 ext{ N} onumber]

Winkel:

[ an( heta) = dfrac{0.464}{-0.196} onumber]
[ heta = an^{-1} (dfrac{0.464}{-0.196} = -67.089^{circ} onumber]

Dies ist im falschen Quadranten, also passen wir an, indem wir den nächsten Winkel mit demselben Tangentenwert finden, indem wir eine volle Tangentenperiode hinzufügen:

[ heta = -67.089^{circ} + 180^{circ} = 112. 911^{circ} onumber]

Um das Objekt im Gleichgewicht zu halten, müsste eine Kraft von 0,504 Newton in einem Winkel von (112.911^{circ}) aufgebracht werden.

Wichtige Themen dieses Abschnitts

  • Vektoren, Betrag (Länge) & Richtung Addition von Vektoren
  • Skalierung von Vektoren
  • Komponenten von Vektoren
  • Vektoren als Geschwindigkeit
  • Vektoren als Kräfte
  • Addieren und Skalieren von Vektoren in Komponentenform Zurückgelegte Gesamtstrecke vs. Gesamtverschiebung


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