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6.3: Komplexe Zahlen - Mathematik


Es gibt keine reelle Zahl (x) mit (x^2 = -1 ). Es erweist sich jedoch als nützlich, eine solche Zahl zu erfinden, die als imaginäre Einheit und mit dem Buchstaben (i) bezeichnet. Somit ist (i^2 = -1 ) und damit (i = sqrt{-1} ). Sind (a) und (b) reelle Zahlen, so heißt eine Zahl der Form (a+bi) a komplexe Zahl, und wenn (b e 0 ) dann heißt es an imaginäre Zahl (und reine einbildung wenn (a=0) und (b e 0)). Die reelle Zahl (a) heißt die echter teil der komplexen Zahl (a+bi) und (bi) heißt seine imaginärer Teil.

Was bedeutet es, in der Definition (a+bi) einer komplexen Zahl (a) zu (bi) zu addieren, also eine reelle Zahl und eine imaginäre Zahl zu addieren? Sie können es sich als eine Möglichkeit vorstellen, verlängern die Menge der reellen Zahlen. Wenn (b=0) dann (a+bi = a+0i = a) (da (0i) als (0) definiert ist), so ist jede reelle Zahl eine komplexe Zahl. Der Imaginärteil (bi) in (a+bi) kann man sich als eine Möglichkeit vorstellen, die eindimensional Menge aller reellen Zahlen und Erweiterung auf a zweidimensional Menge: Es gibt eine natürliche Entsprechung zwischen einer komplexen Zahl (a+bi) und a Punkt ((a,b) ) in der (zweidimensionalen) (xy)-Koordinatenebene.

Bevor wir diese Korrespondenz weiter untersuchen, werden wir zunächst einige grundlegende Eigenschaften und Operationen mit komplexen Zahlen angeben:

Grundlegende Eigenschaften und Operationen mit komplexen Zahlen

Seien (a+bi) und (c+di) komplexe Zahlen. Dann:

  1. (a+bi ~=~ c+di) genau dann, wenn (a=c) und (b=d~) (d.h. die Realteile sind gleich und die Imaginärteile gleich)
  2. ((a+bi) ;+; (c+di) ~=~ (a+c) ;+; (b+d)i~ ) (dh addiere die Realteile und addiere die Imaginärteile Teile zusammen)
  3. ((a+bi) ;-; (c+di) ~=~ (a-c) ;+; (b-d)i)
  4. ((a+bi),(c+di) ~=~ (ac-bd) ;+; (ad+bc)i)
  5. ((a+bi),(a-bi) ~=~ a^2 ;+; b^2)
  6. (dfrac{a+bi}{c+di} ~=~ dfrac{(ac+bd) ;+; (bc-ad)i}{c^2 + d^2})

Die ersten drei obigen Punkte sind nur Definitionen von Gleichheit, Addition und Subtraktion komplexer Zahlen. Die letzten drei Punkte können abgeleitet werden, indem man die Multiplikation und Division komplexer Zahlen so behandelt, wie man normalerweise Faktoren reeller Zahlen behandeln würde:

[ onumber egin{align*}
(a+bi),(c+di) ~&=~ a,(c+di) ;+; bi,(c+di) onumber
&=~ ac ;+; adi ;+; bci ;+; bdi^2 ~=~ ac ;+; adi ;+; bci ;+; bd(-1) onumber
&=~ (ac - bd) ;+; (ad+bc)i
end{ausrichten*}]

Das fünfte Item ist ein Sonderfall der Multiplikationsformel:

[ onumber egin{align*}
(a+bi),(a-bi) ~&=~ ((a)(a) - (b)(-b)) ;+; ((a)(-b) + (b)(a))i keineZahl
&=~ ( a^2 + b^2 ) ;+; (-ab + ba)i ~=~ ( a^2 + b^2 ) ;+; 0i onumber
&=~ a^2 ;+; b^2
end{ausrichten*}]

Das sechste Element stammt aus der Verwendung der vorherigen Elemente:

[ onumber egin{align*}
dfrac{a+bi}{c+di} ~&=~ dfrac{a+bi}{c+di} ,cdot, dfrac{c-di}{c-di} onumber
&=~ dfrac{(ac - b(-d)) ;+; (a(-d) + bc)i}{c^2 + d^2} onumber
&=~ dfrac{(ac+bd) ;+; (bc-ad)i}{c^2 + d^2}
end{ausrichten*}]

Das konjugieren (overline{a+bi}) einer komplexen Zahl (a+bi) ist definiert als (overline{a+bi} = a-bi). Beachten Sie, dass ((a+bi) ;+; overline{(a+bi)} ~=~ 2a ) eine reelle Zahl ist, ((a+bi) ;-; overline{( a+bi)} ~=~ 2bi ) ist eine imaginäre Zahl, falls (b e 0 ), und ((a+bi) overline{(a+bi)} ~=~ a^2 + b ^2 ) ist eine reelle Zahl. Für eine komplexe Zahl (z=a+bi), (z,overline{z} = a^2 + b^2 ,) können wir also die Modul von (z) zu (sqrt{z,overline{z}} = sqrt{a^2 + b^2}), was wir mit (|z|) bezeichnen.

Beispiel 6.9

Seien (z_1 = -2+3i) und (z_2 = 3+4i). Finden Sie (z_1 + z_2 ), (z_1 - z_2 ), (z_1 , z_2 ), (z_1 / z_2 ), (|z_1| ) und (|z_2| ) .

Lösung

Mit unseren Regeln und Definitionen haben wir:
[ onumber egin{align*}
z_1 ;+; z_2 ~&=~ (-2+3i) ;+; (3+4i) keineZahl
&=~ 1 + 7i onumber
z_1 ;-; z_2 ~&=~ (-2+3i) ;-; (3+4i) keineZahl
&=~ -5 - i onumber
z_1 , z_2 ~&=~ (-2+3i), (3+4i) onumber
&=~ ((-2)(3) - (3)(4)) ;+; ((-2)(4) + (3)(3))i keineZahl
&=~ -18 + i onumber
dfrac{z_1}{z_2} ~&=~ dfrac{-2+3i}{3+4i} onumber
&=~ dfrac{(-2)(3) + (3)(4) ;+; ((3)(3) - (-2)(4))i}{3^2 + 4^2} onumber
&=~ dfrac{6}{25} ;+; dfrac{17}{25},i onumber
|z_1| ~&=~ sqrt{(-2)^2 + 3^2} onumber
&=~ sqrt{13} onumber
|z_2| ~&=~ sqrt{3^2 + 4^2} onumber
&=~ 5
end{ausrichten*}]

Wir wissen, dass jeder Punkt ((x,y)) in der (xy)-Koordinatenebene, der einen Abstand (r>0) vom Ursprung hat, Koordinaten (x=r,cos ; heta) und (y=r,sin; heta), wobei ( heta) der Winkel in Standardlage wie in Abbildung 6.3.1(a) ist.

Sei (z=x+yi) eine komplexe Zahl. Wir können (z ) als einen Punkt im darstellen komplexe Ebene, wobei die horizontale (x)-Achse den Realteil von (z) und die vertikale (y)-Achse den reinen Imaginärteil von (z) repräsentiert, wie in Abbildung 6.3.1 (B). Der Abstand (r) von (z) zum Ursprung ist nach dem Satz des Pythagoras (r = sqrt{x^2 + y^2}), was gerade der Modul von (z ). Und wir sehen aus Abbildung 6.3.1(b), dass (x=r,cos; heta) und (y=r,sin; heta) ( heta) ) ist der Winkel, den die positive (x)-Achse und die Strecke vom Ursprung nach (z) bilden. Wir nennen diesen Winkel ( heta) den Streit von (z). Somit erhalten wir die trigonometrische Form (manchmal auch genannt Polarform) der komplexen Zahl (z):

Für jede komplexe Zahl (z=x+yi) können wir schreiben

[egin{ausrichten}
z ~&=~ r,(cos; heta;+; i,sin; heta)~~,~ ext{wo}label{eqn:polar}
r ~&=~ |z| ~=~ sqrt{x^2 + y^2}~~ ext{und} otag
heta ~&=~ ext{das Argument von (z)}~. otag end{align}]

Die Darstellung (z=r,(cos; heta;+; i,sin; heta)) wird oft abgekürzt als:

[ z ~=~ r, ext{cis}; hetalabel{eqn:cis} ]

Im Spezialfall (z=0 = 0+0i) ist das Argument ( heta) undefiniert, da (r=|z|=0). Beachten Sie auch, dass das Argument ( heta) durch ( heta;+; 360^circ k) oder ( heta ;+; pi k) ersetzt werden kann, abhängig von ob Sie Grad oder Bogenmaß für (k=0), (pm,1), (pm,2), (...) verwenden. Beachten Sie auch, dass für (z=x+yi) mit (r=|z|) ( heta) erfüllen muss

[ onumber an; heta ~=~ frac{y}{x}~~,~ cos; heta ~=~ frac{x}{r}~~,~ sin; heta ~=~ frac{y}{r}~. ]

Beispiel 6.10

Stellen Sie die komplexe Zahl (-2 - i ) in trigonometrischer Form dar.

Lösung:

Sei (z=-2-i=x+yi), so dass (x=-2) und (y=-1). Dann ist ( heta) in QIII, wie wir in Abbildung 6.3.2 sehen. Da ( an; heta = frac{y}{x} = frac{-1}{-2} = frac{1}{2}), gilt also ( heta = 206.6 ^circ). Ebenfalls,

[ onumber r ~=~ sqrt{x^2 + y^2} ~=~ sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} ~=~ sqrt{5} ~. ]

Somit ist (oxed{-2 - i = sqrt{5};(cos;206.6^circ ;+; i,sin;206.6^circ)};) , oder (sqrt{5}; ext{cis};206.6^circ).

Für komplexe Zahlen in trigonometrischer Form haben wir folgende Gleichungen zur Multiplikation und Division:

Sei (z_1 = r_1 ,(cos; heta_1 ;+; i,sin; heta_1 )) und (z_2 = r_2 ,(cos; heta_2 ;+ ;i,sin; heta_2 ) ) komplexe Zahlen sein. Dann
[egin{ausrichten}
z_1 , z_2 ~&=~ r_1 , r_2 ,(cos;( heta_1 + heta_2 ) ;+; i,sin;( heta_1 +
heta_2 ))~ ext{, und}label{eqn:complextrigmult}
frac{z_1}{z_2} ~&=~ frac{r_1}{r_2} ,(cos;( heta_1 - heta_2) ;+; i,sin;( heta_1 -
heta_2 ))quad ext{if (z_2 e 0 ).}label{eqn:complextrigdiv}end{align}]

Die Beweise dieser Gleichungen sind einfach:

[ onumber egin{align*}
z_1 , z_2 ~&=~ r_1 ,(cos; heta_1 ;+; i,sin; heta_1 ) ;cdot;
r_2 ,(cos; heta_2 ;+; i,sin; heta_2 ) onumber
&=~ r_1 , r_2 ,left[ (cos; heta_1 ~ cos; heta_2 ;-; sin; heta_1 ~ sin; heta_2 )
;+; i,(sin; heta_1 ~ cos; heta_2 ;+; cos; heta_1 ~ sin; heta_2 ) ight] onumber
&=~ r_1 , r_2 ,(cos;( heta_1 + heta_2) ;+; i,sin;( heta_1 + heta_2 )) end{align*}]

durch die Addition Gleichungen für Sinus und Kosinus. Und

[ onumber egin{align*} frac{z_1}{z_2} ~&=~ frac{r_1 ,(cos; heta_1 ;+; i,sin; heta_1 ) }{
r_2 ,(cos; heta_2 ;+; i,sin; heta_2 )} onumber
&=~ frac{r_1}{r_2} ;cdot; frac{cos; heta_1;+; i,sünde; heta_1}{
cos; heta_2 ;+; i,sin; heta_2} ;cdot; frac{cos; heta_2;-; i,sünde; heta_2}{
cos; heta_2 ;-; i,sin; heta_2} onumber
&=~ frac{r_1}{r_2} ;cdot; frac{(cos; heta_1 ~ cos; heta_2 ;+;sin; heta_1 ~
sin; heta_2 ) ;+; i,(sin; heta_1 ~ cos; heta_2 ;-; cos; heta_1 ~
sin; heta_2 )}{cos^2 , heta_2 ;+; sin^2 , heta_2} onumber
&=~ frac{r_1}{r_2} ,(cos;( heta_1 - heta_2) ;+; i,sin;( heta_1 - heta_2))
end{ausrichten*}]

durch die Subtraktionsgleichungen für Sinus und Cosinus, und da (cos^2 , heta_2 ;+; sin^2 , heta_2 = 1 ). QED

Beachten Sie, dass die Gleichungen ef{eqn:complextrigmult} und ef{eqn:complextrigdiv} besagen, dass beim Multiplizieren komplexer Zahlen die Moduli multipliziert und die Argumente addiert werden, während beim Dividieren komplexer Zahlen die Moduli geteilt und die Argumente subtrahiert werden. Dies macht das Arbeiten mit komplexen Zahlen in trigonometrischer Form ziemlich einfach.

Beispiel 6.11

Sei (z_1 = 6,(cos;70^circ ;+; i,sin;70^circ )) und (z_1 = 2,(cos;31 ^circ ;+; i,sin;31^circ)). Finden Sie (z_1 , z_2 ) und (frac{z_1}{z_2} ).

Lösung

Nach den Gleichungen ef{eqn:complextrigmult} und ef{eqn:complextrigdiv} gilt

[ onumber egin{alignat*}{3}
z_1 , z_2 ~&=~ (6) , (2) , (cos;(70^circ + 31^circ ) ;+; i,sin;(70^ Kreis +
31^circ )) quad&&Rightarrowquad oxed{z_1 , z_2 ~=~ 12 , (cos;101^circ ;+;
i,sin;101^circ )} ~ ext{, und} onumber
frac{z_1}{z_2} ~&=~ frac{6}{2} , (cos;(70^circ - 31^circ ) ;+; i,sin; (70^circ -
31^circ )) quad&&Rightarrowquad oxed{frac{z_1}{z_2} ~=~ 3 , (cos;39^circ ;+;
i,sin;39^circ )} ~.
end{ausrichten*}]

Für den Spezialfall, wenn (z_1 = z_2 = z = r,(cos; heta;+; i,sin; heta)) in Gleichung ef{eqn:complextrigmult} gilt, wir haben

[ onumber egin{align*}
left[ r,(cos; heta;+; i,sin; heta) ight]^2 ~&=~
r cdot r ,(cos;( heta + heta ) ;+; i,sin;( heta + heta)) onumber
&=~ r^2 ,(cos;2 heta ;+; i,sin;2 heta) ~,end{align*}]

und so

[ onumber egin{align*} left[ r,(cos; heta;+; i,sin; heta) ight]^3 ~&=~
left[ r,(cos; heta;+; i,sin; heta) ight]^2 ;cdot;
r,(cos; heta;+; i,sin; heta ) onumber
&=~ r^2 ,(cos;2 heta ;+; i,sin;2 heta) ;cdot;
r,(cos; heta;+; i,sin; heta ) onumber
&=~ r^3 ,(cos;(2 heta + heta) ;+; i,sin;(2 heta + heta) ) onumber
&=~ r^3 ,(cos;3 heta ;+; i,sin;3 heta) ~,
end{ausrichten*}]

und so weitermachen (d.h. durch mathematische Induktion), wir bekommen:

Satz 6.1 Satz von De Moivrere

Für jede ganze Zahl (n ge 1 ),

[label{eqn:demoivre}
left[ r,(cos; heta;+; i,sin; heta ) ight]^n ~=~
r^n ,(cos;n heta ;+; i,sin;n heta ) ~.]

Wir definieren (z^0 = 1 ) und (z^{-n} = 1/z^n ) für alle ganzen Zahlen (n ge 1 ). Also nach De Moivres Theorem und Gleichung ef{eqn:complextrigmult}, für jedes (z=r,(cos; heta;+; i,sin; heta)) und ganze Zahl (n ge 1 ) erhalten wir

[ onumber egin{align*}
z^{-n} ~&=~ frac{1}{z^n} onumber
&=~ frac{1,(cos;0^circ ;+; i,sin;0^circ )}{r^n ,(cos;n heta ;+;
i,sin;n heta )} onumber
&=~ frac{1}{r^n} ,(cos;(0^circ - n heta) ;+; i,sin;(0^circ - n theta)) onumber
&=~ r^{-n} , (cos;(- n heta) ;+; i,sin;(- n heta)) ~,
end{ausrichten*}]

und so gilt der Satz von De Moivre tatsächlich für alle ganze Zahlen.

Beispiel 6.12

Finden Sie ((1+i)^{10} ).

Lösung

Da (1+i = sqrt{2};(cos;45^circ ;+; i,sin;45^circ )) (warum?), nach De Moivre's Satz wir haben

[ onumber (1+i)^{10} ~=~ (sqrt{2})^{10} ;(cos;450^circ ;+; i,sin; 450^circ) ~=~
2^{10/2} ;(0 ;+; i,(1)) ~=~ 2^5 ,cdot, i ~=~ oxed{32i} ~.]

Wir können den Satz von De Moivre verwenden, um die (n^{th} ) Wurzeln einer komplexen Zahl. Das heißt, für eine gegebene komplexe Zahl (z) und eine positive ganze Zahl (n) finden Sie alle komplexen Zahlen (w) mit (w^n = z). Sei (z=r,(cos; heta;+; i,sin; heta)). Da sich die Kosinus- und Sinusfunktionen alle (360^circ) wiederholen, wissen wir, dass (z=r,(cos;( heta + 360^circ k);+; i, sin;( heta + 360^circ k)) ) für (k=0), (pm,1), (pm,2), (.. Sei nun (w=r_0,(cos; heta_0;+; i,sin; heta_0 )) eine (n^{th}) Wurzel von (z ). Dann

[ onumber egin{align*}
w^n ~=~ z quad&Rightarrowquad left[ r_0 ,(cos; heta_0 ;+; i,sin; heta_0 ) ight]^n
~=~ r,(cos;( heta + 360^circ k);+; i,sin;( heta + 360^circ k)) onumber
&Pfeil nach rechtsquad r_0^n ,(cos;n heta_0 ;+; i,sin;n heta_0 )
~=~ r,(cos;( heta + 360^circ k);+; i,sin;( heta + 360^circ k)) onumber
&Rightarrowquad r_0^n ~=~ r quad ext{und}quad n heta_0 ~=~ heta + 360^circ k onumber
&Rightarrowquad r_0 ~=~ r^{1/n} quad ext{und}quad heta_0 ~=~
frac{ heta + 360^circ k}{n} ~.
end{ausrichten*}]

Da sich Cosinus und Sinus von (frac{ heta + 360^circ k}{n}) für (kge n) wiederholen, erhalten wir die folgende Gleichung für (n^{th } ) Wurzeln von (z):

Für jede von Null verschiedene komplexe Zahl (z=r,(cos; heta;+; i,sin; heta)) und positive ganze Zahl (n) gilt (n ) verschiedene (n^{th}) Wurzeln von (z) sind

[label{eqn:nthroots}
r^{1/n} , left[ cos;left(frac{ heta + 360^circ k}{n} ight) ;+;
i,sin;left(frac{ heta + 360^circ k}{n} ight) ight]]

für (k=0), (1), (2), (...), (n-1).

Hinweis: Eine (n^{th} ) Wurzel von (z ) wird normalerweise als (z^{1/n} ) oder (sqrt[n]{z} ) geschrieben. Die Zahl (r^{1/n}) in obiger Gleichung ist die übliche reelle (n^{th}) Wurzel der reellen Zahl (r=|z|).

Beispiel 6.13

Finden Sie die drei Kubikwurzeln von (i).

Lösung:

Da (i = 1,(cos;90^circ ;+; i,sin;90^circ)) sind die drei Kubikwurzeln von (i):

[ onumber egin{alignat*}{3}
sqrt[3]{1} ;left[ cos;left(frac{90^circ + 360^circ (0)}{3} ight) ;+;
i,sin;left(frac{90^circ + 360^circ (0)}{3} ight) ight] ~&=~
cos;30^circ ;+; i,sin;30^circ ~&&=~
oxed{frac{sqrt{3}}{2} ;+; frac{1}{2},i}~, onumber
sqrt[3]{1} ;left[ cos;left(frac{90^circ + 360^circ (1)}{3} ight) ;+;
i,sin;left(frac{90^circ + 360^circ (1)}{3} ight) ight] ~&=~
cos;150^circ ;+; i,sin;150^circ ~&&=~
oxed{-frac{sqrt{3}}{2} ;+; frac{1}{2},i}~, onumber
sqrt[3]{1} ;left[ cos;left(frac{90^circ + 360^circ (2)}{3} ight) ;+;
i,sin;left(frac{90^circ + 360^circ (2)}{3} ight) ight] ~&=~
cos;270^circ ;+; i,sin;270^circ ~&&=~ oxed{-i}
end{ausrichten*}]

Beachten Sie aus Beispiel 6.13, dass die drei Kubikwurzeln von (i) gleichmäßig verteilte Punkte entlang des Einheitskreises (|z|=1) in der komplexen Ebene sind, wie in Abbildung 6.3.3 gezeigt. Wir sehen, dass aufeinanderfolgende Kubikwurzeln (120^circ) auseinander liegen. Im Allgemeinen sind die (n)(n^{th}) Wurzeln einer komplexen Zahl (z) gleich beabstandete Punkte entlang des Kreises mit Radius (|z|^{1/n} ) in der komplexen Ebene, mit aufeinanderfolgenden Nullstellen getrennt durch ( frac{360^circ}{n}).

In der höheren Mathematik Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes Polynom vom Grad (n) mit komplexen Koeffizienten (n) komplexe Wurzeln hat (von denen sich einige wiederholen können). Insbesondere hat jede reelle Zahl (a) (n)(n^{th}) Wurzeln (das sind die Wurzeln von (z^n - a)). Zum Beispiel sind die Quadratwurzeln von (1) (pm,1) und die Quadratwurzeln von (-1) sind (pm,i).


Die Fläche eines Dreiecks, wenn die Ecken komplexe Zahlen sind

Ich muss für diese Aufgabe überprüfen, ob meine Logik richtig ist?

Es werden komplexe Zahlen angegeben, die die Punkte eines Dreiecks darstellen.

$z_1$ und $z_2$ stellen Fixpunkte dar, während $z_3$ von $lambda$ abhängt.

Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks

Ich nahm das $lambda$ zum Beispiel $1$ .

Nimmt man eine beliebige andere Zahl für $lambda$ , erhält man das gleiche Ergebnis.

Kann man es anders machen?


Anwendungen und Analyse HL

Mathematik ist der Eckpfeiler aller Logik und Wissenschaft. Mathematiker suchen und verwenden Muster, um neue Vermutungen zu formulieren, sie lösen deren Wahrheit oder Falschheit durch mathematische Beweise. Wenn mathematische Strukturen gute Modelle realer Phänomene sind, kann mathematisches Denken verwendet werden, um Einblicke oder Vorhersagen über die Natur zu liefern.
Durch den Einsatz von Abstraktion und Logik entwickelte sich die Mathematik aus dem Zählen, Rechnen, Messen und dem systematischen Studium der Formen und Bewegungen physikalischer Objekte. Mathematik ist nicht nur ein eigenständiges Studienfach, sondern auch eine Voraussetzung für alle Naturwissenschaften. Ein Mathematikstudium beinhaltet unweigerlich die Förderung einer breiten Palette von Fähigkeiten wie analytische Fähigkeiten, Problemlösung, Datenverarbeitung, Mustererkennung, kritisches Denken, Rechnen und wissenschaftliche Fähigkeiten.
Diese Hilfsnotizen wurden entwickelt, um das Mathematiklernen in Gruppe 5 des IB-Diplomprogramms zu unterstützen. Keine der Notizen ist jedoch rechtlich anerkanntes Material der IB-Organisation und ersetzt auch nicht das für das IB-Diplomprogramm genehmigte Material.

Inhaltsverzeichnis

Kapitel 1.1: Sequenzen und Serien

  • Abschnitt 1.1.1: Sequenzen, Reihen und Sigma-Notation
  • Abschnitt 1.1.2: Arithmetische Folgen und Reihen
  • Abschnitt 1.1.3: Geometrische Folgen und Reihen

Kapitel 1.2: Zählprinzipien

  • Abschnitt 1.2.1: Fakultäten
  • Abschnitt 1.2.2: Kombinationen und Permutationen
  • Abschnitt 1.2.3: Der Binomialsatz

Kapitel 1.3: Beweis

  • Abschnitt 1.3.1: Beweisen in Mathematik
  • Abschnitt 1.3.2: Logik hinter Beweisen
  • Abschnitt 1.3.3: Beweismethoden

Kapitel 2.1: Funktionale Beziehungen

Kapitel 2.2: Sonderfunktionen

  • Abschnitt 2.2.1: Quadratische Funktion
  • Abschnitt 2.2.2: Radikalfunktion
  • Abschnitt 2.2.3: Rationale Funktionen
  • Abschnitt 2.2.4: Stückweise Funktion
  • Abschnitt 2.2.5: Absolutwertfunktionen

Kapitel 2.3: Klassifizierung von Funktionen

Kapitel 2.4: Operationen mit Funktionen

  • Abschnitt 2.4.1: Vier Operationen in Funktionen
  • Abschnitt 2.4.2: Funktionsinversion
  • Abschnitt 2.4.3: Fusionszusammensetzung

Kapitel 2.5: Funktionstransformation

Kapitel 3.1: Quadratische Gleichungen und Ungleichungen

Kapitel 3.2: Komplexe Zahlen

  • Abschnitt 3.2.1: Ansätze zu komplexen Zahlen
  • Abschnitt 3.2.2: Operationen mit komplexen Zahlen

Kapitel 3.3: Polynomgleichungen und Ungleichungen

Kapitel 3.4: Fundamentalsatz der Algebra

Kapitel 3.5: Gleichungen und Ungleichungen lösen

Kapitel 3.6: Systeme linearer Gleichungen lösen

  • Abschnitt 3.6.1: Systeme aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten
  • Abschnitt 3.6.2: Systeme aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten
  • Abschnitt 3.6.3: Bestimmung der Gleichung eines Polynoms aus einem System zweier linearer Gleichungen

Kapitel 4.1: Grenzen, Stetigkeit und Konvergenz

  • Abschnitt 4.1.1: Funktionsgrenzen
  • Abschnitt 4.1.2: Grenzen und Kontinuität
  • Abschnitt 4.1.3: Grenzen und Unendlichkeit
  • Abschnitt 4.1.4: Grenzen von Sequenzen
  • Abschnitt 4.1.5: Eigenschaften von Grenzwerten
  • Abschnitt 4.1.6: Grenzunsicherheitsfälle

Kapitel 4.2: Ableitung einer Funktion

  • Abschnitt 4.2.1: Änderungsraten
  • Abschnitt 4.2.2: Differenzierbarkeit und Stetigkeit
  • Abschnitt 4.2.3: Tangente und Normalen
  • Abschnitt 4.2.4: Höhere Derivate

Kapitel 4.3: Differenzierungsregeln

Kapitel 4.4: Grafische Interpretationen von Derivaten

  • Abschnitt 4.4.1: Punkte von Extrema
  • Abschnitt 4.4.2: Ableitungstests
  • Abschnitt 4.4.3: Wendepunkte
  • Abschnitt 4.4.4: Wertsätze
  • Abschnitt 4.4.5: Formen der Kurven

Kapitel 4.5: Anwendungen der Differentialrechnung

Kapitel 4.6: Implizite Differenzierung und zugehörige Raten

Kapitel 5.1: Probenahme

  • Abschnitt 5.1.1: Daten
  • Abschnitt 5.1.2: Population und Stichprobe
  • Abschnitt 5.1.3: Probenahmetechniken
  • Abschnitt 5.1.4: Verzerrung bei der Stichprobenziehung
  • Abschnitt 5.1.5: Zuverlässigkeit der Daten

Kapitel 5.2: Deskriptive Statistik

  • Abschnitt 5.2.1: Maßnahmen der zentralen Tendenz
  • Abschnitt 5.2.2: Ausbreitungsmaße
  • Abschnitt 5.2.3: Histogramme

Kapitel 5.3: Begründung statistischer Verfahren

  • Abschnitt 5.3.1: Box-and-Whisker-Diagramme
  • Abschnitt 5.3.2: Varianz und Standardableitung
  • Abschnitt 5.3.3: Kumulative Häufigkeit

Kapitel 5.4: Korrelation, Kausalität und lineare Regression

  • Abschnitt 5.4.1: Bivariate Daten und Streudiagramme
  • Abschnitt 5.4.2: Lineare Regression
  • Abschnitt 5.4.3: Korrelation und Kovarianz
  • Abschnitt 5.4.4: Interpolation und Extrapolation
  • Abschnitt 5.4.5: Korrelationsfehler

Kapitel 6.1: Eigenschaften des 3D-Raums

  • Abschnitt 6.1.1: Abmessungen, Mittelpunkt und Entfernung
  • Abschnitt 6.1.2: Trigonometrische Beziehungen
  • Abschnitt 6.1.3: Messung

Kapitel 6.2: Messwinkel

Kapitel 6.3: Verhältnisse und Identitäten

  • Abschnitt 6.3.1: Primwinkel in der Trigonometrie
  • Abschnitt 6.3.2: Komplementäre, ergänzende und komplementäre Winkel
  • Abschnitt 6.3.3: Gesetze von Sinus und Cosinus
  • Abschnitt 6.3.4: Trigonometrische Identitäten

Kapitel 6.4: Trigonometrische Funktionen

  • Abschnitt 6.4.1: Graphen trigonometrischer Funktionen
  • Abschnitt 6.4.2: Anpassen von Daten an Sinuskurven

Kapitel 6.5: Trigonometrische Gleichungen

  • Abschnitt 6.4.3: Gleichungen in einem bestimmten Bereich lösen
  • Abschnitt 6.4.4: Differenzierung trigonometrischer Funktionen
  • Abschnitt 6.4.5: Tangenten und Normalen trigonometrischer Funktionen

Kapitel 7.1: Integration als Antidifferenzierung

  • Abschnitt 7.1.1: Unbestimmte Integration
  • Abschnitt 7.1.2: Eigenschaften von Integralen
  • Abschnitt 7.1.3: Bestimmte Integration
  • Abschnitt 7.1.4: Fundamentalsatz der AnalysisCalc

Kapitel 7.2: Exponenten und Logarithmen

  • Abschnitt 7.2.1: Exponentialfunktionen
  • Abschnitt 7.2.2: Logarithmen
  • Abschnitt 7.2.3: Eulersche Zahl und Exponentialfunktionen

Kapitel 7.3: Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen


Anwendungen und Analyse HL

Mathematik ist der Eckpfeiler aller Logik und Wissenschaft. Mathematiker suchen und verwenden Muster, um neue Vermutungen zu formulieren, sie lösen deren Wahrheit oder Falschheit durch mathematische Beweise. Wenn mathematische Strukturen gute Modelle realer Phänomene sind, kann mathematisches Denken verwendet werden, um Einblicke oder Vorhersagen über die Natur zu liefern.
Durch den Einsatz von Abstraktion und Logik entwickelte sich die Mathematik aus dem Zählen, Rechnen, Messen und dem systematischen Studium der Formen und Bewegungen physikalischer Objekte. Mathematik ist nicht nur ein eigenständiges Studienfach, sondern auch eine Voraussetzung für alle Naturwissenschaften. Ein Mathematikstudium beinhaltet unweigerlich die Förderung einer breiten Palette von Fähigkeiten wie analytische Fähigkeiten, Problemlösung, Datenverarbeitung, Mustererkennung, kritisches Denken, Rechnen und wissenschaftliche Fähigkeiten.
Diese Hilfsnotizen wurden entwickelt, um das Mathematiklernen in Gruppe 5 des IB-Diplomprogramms zu unterstützen. Keine der Notizen ist jedoch rechtlich anerkanntes Material der IB-Organisation und ersetzt auch nicht das für das IB-Diplomprogramm genehmigte Material.

Inhaltsverzeichnis

Kapitel 1.1: Sequenzen und Serien

  • Abschnitt 1.1.1: Sequenzen, Reihen und Sigma-Notation
  • Abschnitt 1.1.2: Arithmetische Folgen und Reihen
  • Abschnitt 1.1.3: Geometrische Folgen und Reihen

Kapitel 1.2: Zählprinzipien

  • Abschnitt 1.2.1: Fakultäten
  • Abschnitt 1.2.2: Kombinationen und Permutationen
  • Abschnitt 1.2.3: Der Binomialsatz

Kapitel 1.3: Beweis

  • Abschnitt 1.3.1: Beweisen in Mathematik
  • Abschnitt 1.3.2: Logik hinter Beweisen
  • Abschnitt 1.3.3: Beweismethoden

Kapitel 2.1: Funktionale Beziehungen

Kapitel 2.2: Sonderfunktionen

  • Abschnitt 2.2.1: Quadratische Funktion
  • Abschnitt 2.2.2: Radikalfunktion
  • Abschnitt 2.2.3: Rationale Funktionen
  • Abschnitt 2.2.4: Stückweise Funktion
  • Abschnitt 2.2.5: Absolutwertfunktionen

Kapitel 2.3: Klassifizierung von Funktionen

Kapitel 2.4: Operationen mit Funktionen

  • Abschnitt 2.4.1: Vier Operationen in Funktionen
  • Abschnitt 2.4.2: Funktionsinversion
  • Abschnitt 2.4.3: Fusionszusammensetzung

Kapitel 2.5: Funktionstransformation

Kapitel 3.1: Quadratische Gleichungen und Ungleichungen

Kapitel 3.2: Komplexe Zahlen

  • Abschnitt 3.2.1: Ansätze zu komplexen Zahlen
  • Abschnitt 3.2.2: Operationen mit komplexen Zahlen

Kapitel 3.3: Polynomgleichungen und Ungleichungen

Kapitel 3.4: Fundamentalsatz der Algebra

Kapitel 3.5: Gleichungen und Ungleichungen lösen

Kapitel 3.6: Systeme linearer Gleichungen lösen

  • Abschnitt 3.6.1: Systeme aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten
  • Abschnitt 3.6.2: Systeme aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten
  • Abschnitt 3.6.3: Bestimmung der Gleichung eines Polynoms aus einem System zweier linearer Gleichungen

Kapitel 4.1: Grenzen, Stetigkeit und Konvergenz

  • Abschnitt 4.1.1: Funktionsgrenzen
  • Abschnitt 4.1.2: Grenzen und Kontinuität
  • Abschnitt 4.1.3: Grenzen und Unendlichkeit
  • Abschnitt 4.1.4: Grenzen von Sequenzen
  • Abschnitt 4.1.5: Eigenschaften von Grenzwerten
  • Abschnitt 4.1.6: Grenzunsicherheitsfälle

Kapitel 4.2: Ableitung einer Funktion

  • Abschnitt 4.2.1: Änderungsraten
  • Abschnitt 4.2.2: Differenzierbarkeit und Stetigkeit
  • Abschnitt 4.2.3: Tangente und Normalen
  • Abschnitt 4.2.4: Höhere Derivate

Kapitel 4.3: Differenzierungsregeln

Kapitel 4.4: Grafische Interpretationen von Derivaten

  • Abschnitt 4.4.1: Punkte von Extrema
  • Abschnitt 4.4.2: Ableitungstests
  • Abschnitt 4.4.3: Wendepunkte
  • Abschnitt 4.4.4: Wertsätze
  • Abschnitt 4.4.5: Formen der Kurven

Kapitel 4.5: Anwendungen der Differentialrechnung

Kapitel 4.6: Implizite Differenzierung und zugehörige Raten

Kapitel 5.1: Probenahme

  • Abschnitt 5.1.1: Daten
  • Abschnitt 5.1.2: Population und Stichprobe
  • Abschnitt 5.1.3: Probenahmetechniken
  • Abschnitt 5.1.4: Verzerrung bei der Stichprobenziehung
  • Abschnitt 5.1.5: Zuverlässigkeit der Daten

Kapitel 5.2: Deskriptive Statistik

  • Abschnitt 5.2.1: Maßnahmen der zentralen Tendenz
  • Abschnitt 5.2.2: Ausbreitungsmaße
  • Abschnitt 5.2.3: Histogramme

Kapitel 5.3: Begründung statistischer Verfahren

  • Abschnitt 5.3.1: Box-and-Whisker-Diagramme
  • Abschnitt 5.3.2: Varianz und Standardableitung
  • Abschnitt 5.3.3: Kumulative Häufigkeit

Kapitel 5.4: Korrelation, Kausalität und lineare Regression

  • Abschnitt 5.4.1: Bivariate Daten und Streudiagramme
  • Abschnitt 5.4.2: Lineare Regression
  • Abschnitt 5.4.3: Korrelation und Kovarianz
  • Abschnitt 5.4.4: Interpolation und Extrapolation
  • Abschnitt 5.4.5: Korrelationsfehler

Kapitel 6.1: Eigenschaften des 3D-Raums

  • Abschnitt 6.1.1: Abmessungen, Mittelpunkt und Entfernung
  • Abschnitt 6.1.2: Trigonometrische Beziehungen
  • Abschnitt 6.1.3: Messung

Kapitel 6.2: Messwinkel

Kapitel 6.3: Verhältnisse und Identitäten

  • Abschnitt 6.3.1: Primwinkel in der Trigonometrie
  • Abschnitt 6.3.2: Komplementäre, ergänzende und komplementäre Winkel
  • Abschnitt 6.3.3: Gesetze von Sinus und Cosinus
  • Abschnitt 6.3.4: Trigonometrische Identitäten

Kapitel 6.4: Trigonometrische Funktionen

  • Abschnitt 6.4.1: Graphen trigonometrischer Funktionen
  • Abschnitt 6.4.2: Anpassen von Daten an Sinuskurven

Kapitel 6.5: Trigonometrische Gleichungen

  • Abschnitt 6.4.3: Gleichungen in einem bestimmten Bereich lösen
  • Abschnitt 6.4.4: Differenzierung trigonometrischer Funktionen
  • Abschnitt 6.4.5: Tangenten und Normalen trigonometrischer Funktionen

Kapitel 7.1: Integration als Antidifferenzierung

  • Abschnitt 7.1.1: Unbestimmte Integration
  • Abschnitt 7.1.2: Eigenschaften von Integralen
  • Abschnitt 7.1.3: Bestimmte Integration
  • Abschnitt 7.1.4: Fundamentalsatz der AnalysisCalc

Kapitel 7.2: Exponenten und Logarithmen

  • Abschnitt 7.2.1: Exponentialfunktionen
  • Abschnitt 7.2.2: Logarithmen
  • Abschnitt 7.2.3: Eulersche Zahl und Exponentialfunktionen

Kapitel 7.3: Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen


Grundlagen der komplexen Zahl

&emsp&emspIm nächsten Abschnitt werden wir quadratische Gleichungen lösen, deren Term in die zweite Potenz erhoben wird (zB x^2-4x + 3 = 0 ). Lösungen quadratischer Gleichungen können keine reellen Zahlen sein. Zum Beispiel gibt es keine reellen Zahlenlösungen für die quadratische Gleichung

&emsp&emspEs wird eine Zahlenmenge benötigt, die die Lösung aller quadratischen Gleichungen erlaubt. Um einen solchen Zahlensatz zu erhalten, muss die Zahl ich ist wie folgt definiert.

DEFINITION VON i &emsp&emsp i^2=-1 &emsp&emspoder&emsp&emsp i=root(-1)

&emsp&emspZahlen der Form a + bi , wobei a und b reelle Zahlen sind, werden komplexe Zahlen genannt. Jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl, da man sich eine reelle Zahl a als die komplexe Zahl a + 0i vorstellen kann. Eine komplexe Zahl der Form a + bi , wobei b ungleich Null ist, heißt imaginäre Zahl. Sowohl die Menge der reellen Zahlen als auch die Menge der imaginären Zahlen sind Teilmengen der Menge der komplexen Zahlen. (Siehe Abbildung 2.3, die eine Erweiterung von Abbildung 1.5 in Abschnitt 1.1 ist.) Eine komplexe Zahl, die in der Form a + bi oder a + ib geschrieben wird, hat die Standardform. (Die Form a + ib wird verwendet, um bestimmte Symbole wie i root(5) zu vereinfachen, da root(5)i zu leicht mit root(5i) verwechselt werden könnte)

&emsp&emsp &emsp&emspABBILDUNG 2.3 Komplexe Zahlen (Reelle Zahlen sind schattiert.)

ERKENNUNG VON ARTEN VON KOMPLEXEN ZAHLEN

&emsp&emspDie folgenden Anweisungen identifizieren verschiedene Arten von komplexen Zahlen

&emsp&emsp(a) -8,root(7) und PI sind reelle Zahlen und komplexe Zahlen.

&emsp&emsp(b) 3i,-11i,i root(14) und 5+i sind imaginäre Zahlen und komplexe Zahlen.

KOMPLEXE ZAHLEN IN STANDARDFORM SCHREIBEN

&emsp&emspDie folgende Liste zeigt mehrere Zahlen zusammen mit der Standardform jeder Zahl.

Nummer Standardform
6i 0+6i
9 -9+0i
0 0+0i
-i+2 2-i
8+i-Wurzel(3) 8+i-Wurzel(3)

&emsp&emspViele der Lösungen quadratischer Gleichungen im nächsten Abschnitt beinhalten Ausdrücke wie root(-a) , für eine positive reelle Zahl a , die wie folgt definiert ist.

DEFINITION VON root(-a) &emsp&emspWenn a>0 , dann

SCHREIBEN Wurzel(-a) WIE ich wurzele (a)

&emsp&emspSchreibe jeden Ausdruck als Produkt von ich und eine reelle Zahl.

&emsp&emspProdukte oder Quotienten mit negativen Radikanden werden durch erstes Umschreiben vereinfacht Wurzel(-a) wie ich Wurzel(a) für positive Zahlen a . Dann können die Eigenschaften reeller Zahlen angewendet werden, zusammen mit der Tatsache, dass i^2=-1 .

&emsp&emspDie Regel root(c)*root(d)=root(cd) ist nur gültig, wenn c und d nicht beide negativ sind. Beispielsweise,

&emsp&emsp root((-4)(-9)) ist nicht gleich root(-4)*root(-9) .

VORSICHT&emsp&emspWenn Sie mit negativen Radikanden arbeiten, verwenden Sie unbedingt die Definition root(-a)=i root(a) bevor Sie eine der anderen Regeln für Radikale anwenden.

FINDEN VON PRODUKTEN UND QUOTIENTEN MIT NEGATIVEN RADICANDS

&emsp&emspMultiplizieren oder dividieren Sie wie angegeben.

&emsp&emspOPERATIONEN AUF KOMPLEXEN NUMMERN Komplexe Zahlen können mit den Eigenschaften reeller Zahlen addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden, wie die folgenden Definitionen und Beispiele zeigen.
&emsp&emspDie Summe zweier komplexer Zahlen a + bi und c + di ist wie folgt definiert.

HINZUFÜGEN KOMPLEXER ZAHLEN

&emsp&emspDa (a + bi) + (0 + 0i) = a + bi für alle komplexen Zahlen a + bi ist, heißt die Zahl 0 + 0i die additive Identität für komplexe Zahlen. Die Summe von a + bi und -a-bi ist 0 + 0i , daher wird die Zahl -a-bi als negative oder additive Umkehrung von a + bi bezeichnet.
&emsp&emspMit dieser Definition der additiven Inversen ist die Subtraktion der komplexen Zahlen a + bi und c + di definiert als

Subtraktion komplexer Zahlen

KOMPLEXE ZAHLEN SUBTRAHIEREN

&emsp&emspDas Produkt zweier komplexer Zahlen kann wie folgt ermittelt werden, indem man so multipliziert, als ob die Zahlen Binomialzahlen wären, und unter Verwendung der Tatsache, dass i^2=-1 ist, wie folgt.

&emsp&emspAuf der Grundlage dieses Ergebnisses wird das Produkt der komplexen Zahlen a + bi und c + di wie folgt definiert.

MULTIPLIKATION KOMPLEXER ZAHLEN

Diese Definition ist nicht praktikabel. Um ein bestimmtes Produkt zu finden, ist es einfacher, einfach zu multiplizieren wie bei Binomialen.

KOMPLEXE ZAHLEN MULTIPLIZIEREN

&emsp&emspFinden Sie jedes der folgenden Produkte

&emsp&emsp= 6^2-25i^2 &emsp&emspProdukt aus Summe und Differenz zweier Terme

&emsp&emspDie Potenzen von i können vereinfacht werden, indem man die Tatsachen verwendet, dass i^2=-1 und 1^4=1 . Das nächste Beispiel zeigt, wie das geht.

VEREINFACHUNG DER BEFUGNISSE VON ich .

&emsp&emspDa i^2=-1 der Wert einer Potenz von ich wird gefunden, indem man die gegebene Potenz als Produkt mit i^2 oder i^4 schreibt. Zum Beispiel i^3=i^2*i=(-1)*i=-i , Auch i^4=i^2*i^2=(-1)(-1)=1 . Die Verwendung von i^4 und i^3 zum Umschreiben von i^15 ergibt

&emsp&emspWir können das Verfahren von Beispiel 8 verwenden, um die folgende Tabelle der Potenzen von i zu konstruieren.

BEFUGNISSE VON i

&emsp&emspBeispiel 7(c) zeigte, dass (6 + 5i)(6 – 5i) = 61 ist. Die Zahlen 6 + 5i und 6 - 5i unterscheiden sich nur in ihren Mittelzeichen, deshalb werden diese Zahlen als Konjugierte bezeichnet. Das Produkt einer komplexen Zahl und ihrer Konjugierten ist immer eine reelle Zahl.

EIGENSCHAFTEN KOMPLEXER KONJUGATE

KONJUGATE UND IHRE PRODUKTE UNTERSUCHUNG

&emsp&emspDie folgende Liste zeigt mehrere Paare von Konjugaten zusammen mit ihren Produkten.

Nummer Konjugieren Produkt
3-i 3+i (3-i)(3+i)=9+1=10
2+7i 2-7i (2+7i)(2-7i)=53
-6i 6i (-6i)(6i)=36

&emsp&emspDie Konjugierte des Divisors wird verwendet, um den Quotienten zweier komplexer Zahlen zu finden. Den Quotienten erhält man, indem man Zähler und Nenner mit der Konjugierten des Nenners multipliziert. Das Ergebnis sollte in Standardform geschrieben werden.


Inhalt

Eine komplexe Zahl ist eine Zahl der Form ein + Bi , wobei a und b reelle Zahlen sind und ich ist eine unbestimmte befriedigende ich 2 = −1 . Zum Beispiel 2 + 3ich ist eine komplexe Zahl. [6] [3]

Auf diese Weise wird eine komplexe Zahl als Polynom mit reellen Koeffizienten im einfachen Unbestimmten definiert ich , für die die Beziehung ich 2 + 1 = 0 wird auferlegt. Basierend auf dieser Definition können komplexe Zahlen addiert und multipliziert werden, wobei die Addition und Multiplikation für Polynome verwendet wird. Die Beziehung ich 2 + 1 = 0 induziert die Gleichheiten ich 4k = 1, ich 4k+1 = ich, ich 4k+2 = −1, und ich 4k+3 = −ich, die für alle ganzen Zahlen k gelten, erlauben die Reduktion jedes Polynoms, das sich aus der Addition und Multiplikation komplexer Zahlen ergibt, auf ein lineares Polynom in i , wiederum der Form ein + Bi mit reellen Koeffizienten a, b.

Die reelle Zahl a heißt echter teil der komplexen Zahl ein + Bi die reelle Zahl b heißt its imaginärer Teil. Zu betonen ist, dass der Imaginärteil keinen Faktor i enthält, d. h. der Imaginärteil ist b , nicht Bi . [7] [8] [3]

Formal sind die komplexen Zahlen definiert als Quotientenring des Polynomrings im Unbestimmten ich , durch das vom Polynom erzeugte Ideal ich 2 + 1 (siehe unten). [9]

Eine reelle Zahl a kann als komplexe Zahl betrachtet werden ein + 0ich , deren Imaginärteil 0 ist. Eine rein imaginäre Zahl Bi ist eine komplexe Zahl 0 + Bi , dessen Realteil Null ist. Wie bei Polynomen ist es üblich, ein for ein + 0ich und Bi für 0 + Bi . Wenn der Imaginärteil negativ ist, d. h. B = −|b| < 0 , es ist üblich zu schreiben ein|b|i anstatt ein + (−|b|)ich zum Beispiel für B = −4 , 3 − 4ich kann statt 3 + (−4) geschrieben werdenich .

Da die Multiplikation des Unbestimmten ich und ein reelles ist in Polynomen mit reellen Koeffizienten kommutativ, das Polynom ein + Bi kann geschrieben werden als ein + ib. Dies ist oft sinnvoll für Imaginärteile, die mit Ausdrücken bezeichnet sind, zB wenn b ein Rest ist. [10]

Die Menge aller komplexen Zahlen wird mit C > (Tafel fett) oder C (aufrecht fett). [2]

In einigen Disziplinen, insbesondere im Elektromagnetismus und in der Elektrotechnik, wird j anstelle von i verwendet, da i häufig verwendet wird, um elektrischen Strom darzustellen. [11] In diesen Fällen werden komplexe Zahlen geschrieben als ein + bj , oder ein + jb .

Kartesische komplexe Ebene Bearbeiten

Die Definition der komplexen Zahlen mit zwei beliebigen reellen Werten legt sofort die Verwendung kartesischer Koordinaten in der komplexen Ebene nahe. Die Horizontale (Real) Achse wird im Allgemeinen verwendet, um den Realteil anzuzeigen, mit steigenden Werten nach rechts, und der Imaginärteil markiert die vertikale (imaginär)-Achse, mit steigenden Werten nach oben.

Eine eingezeichnete Zahl kann entweder als koordinierter Punkt oder als Positionsvektor vom Ursprung zu diesem Punkt betrachtet werden. Die Koordinatenwerte einer komplexen Zahl z lassen sich daher in ihrer Kartesisch, rechteckig, oder algebraisch Form.

Insbesondere die Additions- und Multiplikationsoperationen nehmen einen sehr natürlichen geometrischen Charakter an, wenn komplexe Zahlen als Positionsvektoren betrachtet werden: Die Addition entspricht der Vektoraddition, während die Multiplikation (siehe unten) der Multiplikation ihrer Größen und der Addition der Winkel entspricht, die sie mit dem echte Achse. So gesehen ist die Multiplikation einer komplexen Zahl mit ich entspricht einer Drehung des Positionsvektors gegen den Uhrzeigersinn um eine Vierteldrehung (90°) um den Ursprung – eine Tatsache, die algebraisch wie folgt ausgedrückt werden kann:

Polare komplexe Ebene Bearbeiten

Modul und Argument Bearbeiten

Eine alternative Möglichkeit für Koordinaten in der komplexen Ebene ist das Polarkoordinatensystem, das den Abstand des Punktes z vom Ursprung ( O ) und den Winkel zwischen der positiven reellen Achse und dem Liniensegment Oz im Gegenuhrzeigersinn verwendet. Dies führt zur Polarform der komplexen Zahlen.

Das Absolutwert (oder Modul oder Größe) einer komplexen Zahl z = x + ja ist [14]

Wenn z eine reelle Zahl ist (dh wenn ja = 0 ), dann R = |x| . Das heißt, der Absolutwert einer reellen Zahl entspricht ihrem Absolutwert als komplexe Zahl.

Nach dem Satz des Pythagoras ist der Absolutwert einer komplexen Zahl der Abstand zum Ursprung des Punktes, der die komplexe Zahl in der komplexen Ebene darstellt.

Das Streit von z (in vielen Anwendungen als "Phase" bezeichnet) [13] ist der Winkel des Radius Oz mit der positiven reellen Achse und wird als arg . geschrieben z . Wie beim Modul kann das Argument aus der Rechteckform x + yi [15] gefunden werden — durch Anwendung der inversen Tangente auf den Quotienten von Imaginär-Real-Anteilen. Bei Verwendung einer Halbwinkelidentität reicht ein einzelner Ast des arctan aus, um den Bereich der arg -Funktion abzudecken, (−π, π] und vermeidet eine subtilere Einzelfallanalyse

Normalerweise wird, wie oben angegeben, der Hauptwert im Intervall (− π , π ] gewählt. Werte im Bereich [0, 2 π ) erhält man durch Addition von 2π — wenn der Wert negativ ist. Der Wert von φ wird in diesem Artikel im Bogenmaß ausgedrückt. Es kann sich um ein beliebiges ganzzahliges Vielfaches von 2 increase erhöhenπ und geben immer noch den gleichen Winkel, betrachtet von den Strahlen der positiven reellen Achse und vom Ursprung durch z. Daher wird die arg-Funktion manchmal als mehrwertig angesehen. Der Polarwinkel für die komplexe Zahl 0 ist unbestimmt, aber der Polarwinkel 0 ist gebräuchlich.

Der Wert von φ entspricht dem Ergebnis von atan2:

Zusammen ergeben r und φ eine weitere Möglichkeit, komplexe Zahlen darzustellen, die Polarform, da die Kombination aus Modul und Argument die Position eines Punktes auf der Ebene vollständig angibt. Die Wiederherstellung der ursprünglichen rechteckigen Koordinaten aus der Polarform erfolgt durch die Formel namens formula trigonometrische Form

Mit der Eulerschen Formel kann dies geschrieben werden als

Mit der cis-Funktion wird dies manchmal abgekürzt mit

In Winkelnotation, die oft in der Elektronik verwendet wird, um einen Zeiger mit Amplitude r und Phase φ darzustellen, wird es geschrieben als [16]

Komplexe Grafiken Bearbeiten

Bei der Visualisierung komplexer Funktionen werden sowohl eine komplexe Eingabe als auch eine Ausgabe benötigt. Da jede komplexe Zahl in zwei Dimensionen dargestellt wird, würde die visuelle Darstellung einer komplexen Funktion die Wahrnehmung eines vierdimensionalen Raums erfordern, was nur in Projektionen möglich ist. Aus diesem Grund wurden andere Möglichkeiten zur Visualisierung komplexer Funktionen entwickelt.

Riemannsche Flächen sind eine weitere Möglichkeit, komplexe Funktionen zu visualisieren. [ weitere erklärung nötig ] Riemann-Flächen kann man sich als Deformationen der komplexen Ebene vorstellen, während die horizontalen Achsen die reellen und imaginären Eingaben repräsentieren, die einzelne vertikale Achse nur entweder die reelle oder imaginäre Ausgabe repräsentiert. Riemann-Flächen sind jedoch so aufgebaut, dass eine Drehung um 180 Grad die imaginäre Ausgabe zeigt und umgekehrt. Im Gegensatz zur Domänenfärbung können Riemann-Flächen mehrwertige Funktionen wie √ . darstellen z .

Die Lösung in Radikalen (ohne trigonometrische Funktionen) einer allgemeinen kubischen Gleichung enthält die Quadratwurzeln negativer Zahlen, wenn alle drei Wurzeln reelle Zahlen sind sogenannt casus irreduzibilis). Dieses Rätsel führte den italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano um 1545 dazu, komplexe Zahlen zu konzipieren [17], obwohl sein Verständnis rudimentär war.

Die Arbeit am Problem der allgemeinen Polynome führte schließlich zum Fundamentalsatz der Algebra, der zeigt, dass es bei komplexen Zahlen eine Lösung für jede Polynomgleichung vom Grad eins oder höher gibt. Komplexe Zahlen bilden somit einen algebraisch abgeschlossenen Körper, in dem jede Polynomgleichung eine Wurzel hat.

Viele Mathematiker haben zur Entwicklung komplexer Zahlen beigetragen. Die Regeln für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Wurzelextraktion komplexer Zahlen wurden von dem italienischen Mathematiker Rafael Bombelli entwickelt. [18] Ein abstrakterer Formalismus für die komplexen Zahlen wurde von dem irischen Mathematiker William Rowan Hamilton weiterentwickelt, der diese Abstraktion auf die Theorie der Quaternionen ausdehnte. [19]

Der früheste flüchtige Hinweis auf Quadratwurzeln negativer Zahlen findet sich vielleicht im Werk des griechischen Mathematikers Hero of Alexandria im 1. Stereometrie er betrachtet scheinbar irrtümlich das Volumen eines unmöglichen Pyramidenstumpfes, um zu dem Term √ 81 − 144 = 3 . zu gelangenich √ 7 in seinen Berechnungen, obwohl negative Größen in der hellenistischen Mathematik nicht gedacht waren und Hero sie lediglich durch ihre positiven ersetzte ( √ 144 − 81 = 3 √ 7 ). [20]

Der Anstoß, komplexe Zahlen als eigenes Thema zu studieren, entstand erstmals im 16. Jahrhundert, als italienische Mathematiker algebraische Lösungen für die Wurzeln kubischer und quartärer Polynome entdeckten (vgl. Niccolò Fontana Tartaglia, Gerolamo Cardano). Es wurde bald erkannt (aber viel später bewiesen) [21] dass diese Formeln, selbst wenn man nur an reellen Lösungen interessiert war, manchmal die Manipulation von Quadratwurzeln negativer Zahlen erforderten. Als Beispiel dient die Tartaglia-Formel für eine kubische Gleichung der Form x 3 = px + Q [c] gibt die Lösung der Gleichung x 3 = x wie

Der Begriff "imaginär" für diese Größen wurde 1637 von René Descartes geprägt, der sich bemühte, ihre unwirkliche Natur zu betonen [22]

. manchmal nur imaginär, d. h. man kann sich in jeder Gleichung so viele vorstellen, wie ich sagte, aber manchmal gibt es keine Quantität, die dem entspricht, was wir uns vorstellen.
[. quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui Corresponde à celle qu'on imagine.]

Im 18. Jahrhundert wurden komplexe Zahlen immer häufiger verwendet, da festgestellt wurde, dass die formale Manipulation komplexer Ausdrücke verwendet werden konnte, um Berechnungen mit trigonometrischen Funktionen zu vereinfachen. Zum Beispiel bemerkte Abraham de Moivre 1730, dass die komplizierten Identitäten, die trigonometrische Funktionen eines ganzzahligen Vielfachen eines Winkels mit Potenzen von trigonometrischen Funktionen dieses Winkels verbinden, einfach durch die folgende wohlbekannte Formel, die seinen Namen trägt, ausgedrückt werden könnten Moivres Formel:

durch formale Manipulation komplexer Potenzreihen und beobachtete, dass diese Formel verwendet werden könnte, um jede trigonometrische Identität auf viel einfachere exponentielle Identitäten zu reduzieren.

Die Idee einer komplexen Zahl als Punkt in der komplexen Ebene (oben) wurde erstmals 1799 vom dänisch-norwegischen Mathematiker Caspar Wessel beschrieben, [24] obwohl sie bereits 1685 in Wallis Eine Abhandlung über Algebra. [25]

Wessels Memoiren erschienen in den Proceedings of the Copenhagen Academy, blieben jedoch weitgehend unbeachtet. Im Jahr 1806 veröffentlichte Jean-Robert Argand unabhängig eine Broschüre über komplexe Zahlen und lieferte einen strengen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra. [26] Carl Friedrich Gauß hatte bereits 1797 einen im Wesentlichen topologischen Beweis des Satzes veröffentlicht, äußerte aber damals seine Zweifel an "der wahren Metaphysik der Quadratwurzel von −1". [27] Erst 1831 überwand er diese Zweifel und veröffentlichte seine Abhandlung über die komplexen Zahlen als Punkte in der Ebene, [28] [29] ( S. 638) und begründete damit weitgehend die moderne Notation und Terminologie.

Wenn man dieses Thema früher aus einem falschen Blickwinkel betrachtete und dabei eine mysteriöse Dunkelheit vorfand, ist dies zum großen Teil auf eine ungeschickte Terminologie zurückzuführen. Hätte man nicht +1, −1, √ −1 positive, negative oder imaginäre (oder sogar unmögliche) Einheiten genannt, sondern beispielsweise direkte, inverse oder laterale Einheiten, dann hätte von solcher Dunkelheit kaum die Rede sein können. — Gauss (1831) [29] ( S. 638) [28]

Zu Beginn des 19. Jahrhunderts entdeckten andere Mathematiker unabhängig voneinander die geometrische Darstellung der komplexen Zahlen: Buée, [30] [31] Mourey, [32] Warren, [33] Français und sein Bruder Bellavitis. [34] [35]

Der englische Mathematiker G.H. Hardy bemerkte, dass Gauss der erste Mathematiker war, der komplexe Zahlen auf „wirklich selbstbewusste und wissenschaftliche Weise“ verwendete, obwohl Mathematiker wie der Norweger Niels Henrik Abel und Carl Gustav Jacob Jacobi sie notwendigerweise routinemäßig verwendeten, bevor Gauss seine Abhandlung 1831 veröffentlichte. [36]

Augustin Louis Cauchy und Bernhard Riemann führten zusammen die Grundideen der komplexen Analysis zu einer hohen Vollendung, die im Falle Cauchys um 1825 begann.

Die in der Theorie gebräuchlichen Begriffe sind hauptsächlich auf die Gründer zurückzuführen. Argand namens cos φ + ich Sünde φ das Richtungsfaktor, und R = √ ein 2 + B 2 die Modul [e] [38] Cauchy (1821) genannt cos φ + ich Sünde φ das reduzierte Form (l'expression réduite) [39] und führte anscheinend den Begriff ein Streit Gauss verwendet ich für √ −1 führte [f] den Term . ein komplexe Zahl Pro ein + Bi , [g] und aufgerufen ein 2 + B 2 die Norm. [h] Der Ausdruck Richtungskoeffizient, oft verwendet für cos φ + ich Sünde φ , geht auf Hankel (1867), [40] und Absolutwert, Pro Modul, liegt an Weierstraß.

Spätere klassische Autoren der allgemeinen Theorie sind Richard Dedekind, Otto Hölder, Felix Klein, Henri Poincaré, Hermann Schwarz, Karl Weierstrass und viele andere. Wichtige Arbeiten (einschließlich einer Systematisierung) im komplexen multivariaten Kalkül wurden zu Beginn des 20. Jahrhunderts begonnen. Wichtige Ergebnisse wurden 1927 von Wilhelm Wirtinger erzielt.

Gleichstellung Bearbeiten

Komplexe Zahlen haben eine ähnliche Definition der Gleichheit wie reelle Zahlen zwei komplexe Zahlen ein1 + B1ich und ein2 + B2ich sind genau dann gleich, wenn sowohl ihr Real- als auch ihr Imaginärteil gleich sind, d. h. wenn ein1 = ein2 und B1 = B2 . In Polarform geschriebene komplexe Zahlen ungleich Null sind genau dann gleich, wenn sie den gleichen Betrag haben und sich ihre Argumente um ein ganzzahliges Vielfaches von 2 . unterscheidenπ .

Bestellung Bearbeiten

Anders als bei den reellen Zahlen gibt es bei den komplexen Zahlen keine natürliche Ordnung. Insbesondere gibt es keine lineare Ordnung der komplexen Zahlen, die mit Addition und Multiplikation kompatibel ist – die komplexen Zahlen können nicht die Struktur eines geordneten Körpers haben. Dies ist z.B. weil jede nicht-triviale Summe von Quadraten in einem geordneten Körper ≠ 0 ist, und ich 2 + 1 2 = 0 ist eine nicht-triviale Summe von Quadraten. Somit werden komplexe Zahlen natürlicherweise als auf einer zweidimensionalen Ebene existierend gedacht.

Konjugieren Bearbeiten

Das komplex konjugiert der komplexen Zahl z = x + ja wird gegeben von xja . Es wird entweder mit z oder den bezeichnet z* . [41] Diese unäre Operation auf komplexen Zahlen kann nicht durch Anwendung ihrer grundlegenden Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division ausgedrückt werden.

Geometrisch ist z die "Reflexion" von z an der reellen Achse. Durch zweimaliges Konjugieren erhält man die ursprüngliche komplexe Zahl

was diese Operation zu einer Involution macht. Die Spiegelung lässt sowohl den Realteil als auch den Betrag von z unverändert, d.h.

Der Imaginärteil und das Argument einer komplexen Zahl z ändern ihr Vorzeichen unter Konjugation

Einzelheiten zu Argument und Größe finden Sie im Abschnitt zur Polarform.

Das Produkt einer komplexen Zahl z = x + ja und sein Konjugat ist bekannt als das absolutes Quadrat. Es ist immer eine nicht-negative reelle Zahl und entspricht dem Quadrat des Betrags jeder:

Diese Eigenschaft kann verwendet werden, um einen Bruch mit einem komplexen Nenner in einen äquivalenten Bruch mit einem reellen Nenner umzuwandeln, indem Zähler und Nenner des Bruchs um das Konjugierte des angegebenen Nenners erweitert werden. Dieser Vorgang wird manchmal als "Rationalisierung" des Nenners bezeichnet (obwohl der Nenner im endgültigen Ausdruck eine irrationale reelle Zahl sein könnte), weil er der Methode zum Entfernen von Wurzeln aus einfachen Ausdrücken in einem Nenner ähnelt.

Der Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl z können mit der Konjugation extrahiert werden:

Außerdem ist eine komplexe Zahl genau dann reell, wenn sie gleich ihrer eigenen Konjugierten ist.

Die Konjugation verteilt über die grundlegenden komplexen Rechenoperationen:

Konjugation wird auch in der inversen Geometrie verwendet, einem Zweig der Geometrie, der Reflexionen untersucht, die allgemeiner sind als die über eine Linie. Bei der Netzwerkanalyse elektrischer Schaltungen wird die konjugierte Komplexzahl verwendet, um die äquivalente Impedanz zu finden, wenn nach dem maximalen Leistungsübertragungssatz gesucht wird.

Addition und Subtraktion Bearbeiten

Zwei komplexe Zahlen a und b werden am einfachsten addiert, indem man ihre Real- und Imaginärteile der Summanden getrennt addiert. Das heißt:

a + b = (x + yi) + (u + vi) = (x + u) + (y + v)i.

Ebenso kann die Subtraktion durchgeführt werden als

a – b = ( x + y i ) – ( ​​u + v i ) = ( x – u ) + ( y – v ) i .

Unter Verwendung der Visualisierung komplexer Zahlen in der komplexen Ebene hat die Addition die folgende geometrische Interpretation: Die Summe zweier komplexer Zahlen a und b , interpretiert als Punkte in der komplexen Ebene, ist der Punkt, den man durch Aufbau eines Parallelogramms aus den drei Ecken O . erhält , und die Punkte der mit a und b bezeichneten Pfeile (sofern sie nicht auf einer Linie liegen). Entsprechend sind die Dreiecke OAB und XBA kongruent, wenn man diese Punkte A bzw. B und den vierten Punkt des Parallelogramms X nennt. Eine Visualisierung der Subtraktion kann erreicht werden, indem man die Addition des negativen Subtrahend berücksichtigt.

Multiplikation und Quadrat Bearbeiten

Die Regeln der Verteilungseigenschaft, der kommutativen Eigenschaften (der Addition und Multiplikation) und der definierenden Eigenschaft ich 2 = −1 gilt für komplexe Zahlen. Es folgt dem

( x + y i ) ( u + v i ) = ( x u - y v ) + ( x v + y u ) i .

Reziproke und Division Bearbeiten

Mit der Konjugation wird der Kehrwert einer komplexen Zahl ungleich null z = x + ja kann immer aufgebrochen werden

seit ungleich null impliziert, dass x 2 + ja 2 ist größer als Null.

Dies kann verwendet werden, um eine Division einer beliebigen komplexen Zahl auszudrücken w = du + vi durch eine von Null verschiedene komplexe Zahl z as

Multiplikation und Division in Polarform Bearbeiten

Formeln für Multiplikation, Division und Potenzierung sind in Polarform einfacher als die entsprechenden Formeln in kartesischen Koordinaten. Gegeben zwei komplexe Zahlen z1 = R1(cos φ1 + ich Sünde φ1) und z2 = R2(cos φ2 + ich Sünde φ2) , wegen der trigonometrischen Identitäten

Mit anderen Worten, die absoluten Werte werden multipliziert und die Argumente werden addiert, um die Polarform des Produkts zu erhalten. Beispiel: Multiplizieren mit ich entspricht einer Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn, die zurückgibt ich 2 = −1 . Das Bild rechts veranschaulicht die Multiplikation von

Da der Real- und Imaginärteil von 5 + 5ich gleich sind, ist das Argument dieser Zahl 45 Grad, oder π/4 (im Bogenmaß). Andererseits ist es auch die Summe der Winkel im Ursprung des roten und blauen Dreiecks arctan(1/3) bzw. arctan(1/2). Somit ist die Formel

hält. Da die arctan-Funktion sehr effizient approximiert werden kann, werden Formeln wie diese – sogenannte Machin-like-Formeln – für hochgenaue Approximationen von π verwendet.

Ebenso ist die Division gegeben durch

Quadratwurzel Bearbeiten

Die Quadratwurzeln von ein + Bi (mit B ≠ 0 ) sind ± ( γ + δ i ) , wobei

wobei sgn die Signumfunktion ist. Dies kann durch Quadrieren von ± ( γ + δ i ) gesehen werden, um ein + Bi . [42] [43] Hier a 2 + b 2 +b^<2>>>> heißt Modul von ein + Bi , und das Quadratwurzelzeichen gibt die Quadratwurzel mit nicht-negativem Realteil an, genannt Hauptquadratwurzel auch a 2 + b 2 = z z ¯ , +b^<2>>>=>>>,> wo z = ein + Bi . [44]

Exponentialfunktion Bearbeiten

Der Wert bei 1 der Exponentialfunktion ist die Eulersche Zahl

Wenn z reell ist, gilt exp ⁡ z = e z . .> Die analytische Fortsetzung erlaubt es, diese Gleichheit für jeden komplexen Wert von z zu erweitern und somit die komplexe Exponentiation mit der Basis e als . zu definieren

Funktionale Gleichung Bearbeiten

Eulersche Formel Bearbeiten

Die Eulersche Formel besagt, dass für jede reelle Zahl y

Die Funktionalgleichung impliziert also, dass, wenn x und y reell sind,

e x + i y = e x ( cos ⁡ y + i sin ⁡ y ) = e x cos ⁡ y + i e x sin ⁡ y , =e^(cos y+isin y)=e^cos y+ie^sin y,>

Das ist die Zerlegung der Exponentialfunktion in ihren Real- und Imaginärteil.

Komplexer Logarithmus Bearbeiten

als komplexer Logarithmus hat man eine echte Umkehrung:

exp ln z = exp ⁡ ( ln ⁡ r + i φ ) = r exp ⁡ i = r ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ ) = z .

Da Cosinus und Sinus jedoch periodische Funktionen sind, ist die Addition eines ganzzahligen Vielfachen von 2π zu φ ändert sich nicht z . Beispielsweise, e ich = e 3ich = −1 , also sowohl iπ als auch 3ich sind mögliche Werte für den natürlichen Logarithmus von −1 .

Wenn also der komplexe Logarithmus nicht als mehrwertige Funktion definiert werden soll

man muss einen Verzweigungsschnitt verwenden und die Kodomäne einschränken, was die bijektive Funktion ergibt

Potenzierung Bearbeiten

Ob x > 0 ist reell und z komplex, die Potenzierung ist definiert als

wobei ln den natürlichen Logarithmus bezeichnet.

Es erscheint natürlich, diese Formel auf komplexe Werte von x auszudehnen, aber es ergeben sich einige Schwierigkeiten aus der Tatsache, dass der komplexe Logarithmus nicht wirklich eine Funktion, sondern eine mehrwertige Funktion ist.

Daraus folgt, dass, wenn z wie oben ist und t eine andere komplexe Zahl ist, dann die Potenzierung ist die mehrwertige Funktion

Ganzzahlige und gebrochene Exponenten Bearbeiten

Wenn in der vorhergehenden Formel t eine ganze Zahl ist, dann sind Sinus und Kosinus unabhängig von k . Wenn also der Exponent n eine ganze Zahl ist, dann z n ist gut definiert, und die Potenzierungsformel vereinfacht sich zu der Formel von de Moivre:

Die n n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl z sind gegeben durch

Während die n-te Wurzel einer positiven reellen Zahl r als positiv reelle Zahl c befriedigend C n = R , gibt es keinen natürlichen Weg, eine bestimmte komplexe n-te Wurzel einer komplexen Zahl zu unterscheiden. Daher ist die n-te Wurzel eine n-wertige Funktion von z. Dies impliziert, dass man im Gegensatz zu positiven reellen Zahlen

da die linke Seite aus n Werten besteht und die rechte Seite ein einzelner Wert ist.

Feldstruktur Bearbeiten

Die Menge C > komplexer Zahlen ist ein Körper. [45] Kurz gesagt bedeutet dies, dass die folgenden Tatsachen gelten: Erstens können zwei beliebige komplexe Zahlen addiert und multipliziert werden, um eine andere komplexe Zahl zu erhalten. Zweitens ist für jede komplexe Zahl z ihre additive Umkehrung –z ist auch eine komplexe Zahl und drittens hat jede von Null verschiedene komplexe Zahl eine reziproke komplexe Zahl. Darüber hinaus erfüllen diese Operationen eine Reihe von Gesetzen, zum Beispiel das Kommutativitätsgesetz der Addition und Multiplikation für zwei beliebige komplexe Zahlen z1 und z2 :

Diese beiden Gesetze und die anderen Anforderungen an einen Körper lassen sich durch die oben angegebenen Formeln beweisen, indem man die Tatsache nutzt, dass die reellen Zahlen selbst einen Körper bilden.

Im Gegensatz zu den reellen Zahlen ist C > ist kein geordneter Körper, d.h. es kann keine Relation definiert werden z1 < z2 das ist kompatibel mit der Addition und Multiplikation. Tatsächlich ist in jedem geordneten Körper das Quadrat jedes Elements notwendigerweise positiv, also ich 2 = −1 schließt die Existenz einer Ordnung auf C aus. .> [46]

Wenn das zugrunde liegende Feld für ein mathematisches Thema oder Konstrukt das Feld komplexer Zahlen ist, wird der Name des Themas normalerweise geändert, um diese Tatsache widerzuspiegeln. Zum Beispiel: komplexe Analyse, komplexe Matrix, komplexes Polynom und komplexe Lie-Algebra.

Lösungen von Polynomgleichungen Bearbeiten

Gegeben beliebige komplexe Zahlen (so genannte Koeffizienten) ein0, . einn , Die gleichung

Es gibt verschiedene Beweise für diesen Satz, entweder durch analytische Methoden wie den Satz von Liouville oder topologische wie die Windungszahl oder einen Beweis, der die Galois-Theorie und die Tatsache kombiniert, dass jedes reelle Polynom von seltsam Grad hat mindestens eine reelle Wurzel.

Aufgrund dieser Tatsache gelten die Sätze, die für jeden algebraisch abgeschlossenen Körper auf C anwenden. .> Zum Beispiel hat jede nichtleere komplexe quadratische Matrix mindestens einen (komplexen) Eigenwert.

Algebraische Charakterisierung Bearbeiten

  • Erstens hat es die Eigenschaft 0. Dies bedeutet, dass 1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0 für beliebig viele Summanden (alle gleich eins) sind.
  • Zweitens, sein Transzendenzgrad über Q > , der Primkörper von C , ,> ist die Kardinalität des Kontinuums.
  • Drittens ist es algebraisch abgeschlossen (siehe oben).

Es kann gezeigt werden, dass jedes Feld mit diesen Eigenschaften isomorph (als Feld) zu C ist. .> Zum Beispiel der algebraische Abschluss des Körpers Q p _

> der p-adischen Zahl erfüllt auch diese drei Eigenschaften, also sind diese beiden Körper isomorph (als Körper, aber nicht als topologische Körper). [48] ​​Auch C > isomorph zum Körper der komplexen Puiseux-Reihen. Die Angabe eines Isomorphismus erfordert jedoch das Axiom der Wahl. Eine weitere Konsequenz dieser algebraischen Charakterisierung ist, dass C > enthält viele richtige Unterfelder, die isomorph zu C sind > .

Charakterisierung als topologisches Feld Bearbeiten

  • P ist unter Addition, Multiplikation und Inversen geschlossen.
  • Wenn x und y verschiedene Elemente von sind P , dann entweder xja oder jax ist in P .
  • Wenn S eine nichtleere Teilmenge von ist P , dann S + P = x + P für einige x in C . .>

Außerdem ist C > hat einen nichttrivialen involutiven Automorphismus xx* (nämlich die komplexe Konjugation), so dass x x* ist in P für ein beliebiges x ungleich Null in C . .>

Jedes Feld F mit diesen Eigenschaften kann mit einer Topologie ausgestattet werden, indem man die Mengen nimmt B(x, P) = < ja | P − (jax)(jax)* ∈ P > als Basis, wobei x über das Feld und p über reicht P . Mit dieser Topologie ist F isomorph, da a topologisch Feld zu C . .>

Konstruktion als geordnete Paare Bearbeiten

William Rowan Hamilton führte den Ansatz ein, die Menge C > komplexer Zahlen [50] als Menge ℝ 2 geordneter Paare (ein, B) reeller Zahlen, in denen folgende Regeln für Addition und Multiplikation gelten: [45]

Es ist dann nur eine Frage der Notation, um auszudrücken (ein, B) wie ein + Bi .

Konstruktion als Quotientenfeld Bearbeiten

muss für drei beliebige Elemente x , y und z eines Feldes gelten. Die Menge R > von reellen Zahlen bildet ein Feld. Ein Polynom P(x) mit reellen Koeffizienten ist ein Ausdruck der Form

bei dem die ein0, . einn sind reelle Zahlen. Die übliche Addition und Multiplikation von Polynomen ergibt die Menge R [ X ] [X]> aller solcher Polynome mit Ringstruktur. Dieser Ring wird Polynomring über den reellen Zahlen genannt.

Die Menge der komplexen Zahlen wird als Quotientenring R[x]/(X2+1) definiert. [x]/(X^<2>+1).> [51] Dieser Erweiterungskörper enthält zwei Quadratwurzeln von −1 , nämlich (die Nebenklassen von) x und −x , beziehungsweise. (Die Nebenklassen von) 1 und x bilden eine Basis von ℝ[x]/(x 2 + 1) als reeller Vektorraum, was bedeutet, dass jedes Element des Erweiterungskörpers eindeutig als Linearkombination in diese beiden Elemente geschrieben werden kann. Äquivalent können Elemente des Erweiterungsfeldes als geordnete Paare geschrieben werden (ein, B) von reellen Zahlen. Der Quotientenring ist ein Körper, denn x 2 + 1 ist über R irreduzibel, ,> Das erzeugte Ideal ist also maximal.

Matrixdarstellung komplexer Zahlen Bearbeiten

Komplexe Zahlen ein + Bi kann auch durch 2 × 2 Matrizen dargestellt werden, die die Form haben:

Hier sind die Einträge a und b reelle Zahlen. Da die Summe und das Produkt zweier solcher Matrizen wieder diese Form haben, bilden diese Matrizen einen Teilring der Ring 2 × 2 Matrizen.

Eine einfache Rechnung zeigt, dass die Karte:

ist ein Ringisomorphismus vom Körper der komplexen Zahlen zum Ring dieser Matrizen. Dieser Isomorphismus verbindet das Quadrat des Absolutwerts einer komplexen Zahl mit der Determinante der entsprechenden Matrix und die Konjugierte einer komplexen Zahl mit der Transponierten der Matrix.

Die geometrische Beschreibung der Multiplikation komplexer Zahlen kann auch in Form von Rotationsmatrizen ausgedrückt werden, indem diese Entsprechung zwischen komplexen Zahlen und solchen Matrizen verwendet wird. Die Wirkung der Matrix auf einen Vektor (x, ja) entspricht der Multiplikation von x + iy von ein + ib . Insbesondere wenn die Determinante 1 ist, gibt es eine reelle Zahl t, so dass die Matrix die Form hat:

In diesem Fall ist die Wirkung der Matrix auf Vektoren und die Multiplikation mit der komplexen Zahl cos t + i sin ⁡ t beides die Drehung des Winkels t .

Das Studium der Funktionen einer komplexen Variablen wird als komplexe Analysis bezeichnet und hat einen enormen praktischen Nutzen in der angewandten Mathematik sowie in anderen Zweigen der Mathematik. Oft verwenden die natürlichsten Beweise für Aussagen in der reellen Analysis oder der Theorie der geraden Zahlen Techniken aus der komplexen Analysis (siehe Primzahlensatz für ein Beispiel). Im Gegensatz zu reellen Funktionen, die üblicherweise als zweidimensionale Graphen dargestellt werden, haben komplexe Funktionen vierdimensionale Graphen und können nützlicherweise durch Farbcodierung eines dreidimensionalen Graphen veranschaulicht werden, um vier Dimensionen vorzuschlagen, oder durch Animieren der dynamischen Transformation der komplexen Funktion des komplexe Ebene.

Komplexe Exponentialfunktionen und verwandte Funktionen Bearbeiten

Die Begriffe konvergenter Reihen und stetiger Funktionen in der (realen) Analysis haben natürliche Analogien in der komplexen Analysis. Eine Folge komplexer Zahlen wird genau dann konvergiert, wenn ihr Real- und Imaginärteil konvergiert. Dies entspricht der (ε, δ)-Definition von Grenzwerten, bei der der Absolutwert der reellen Zahlen durch den der komplexen Zahlen ersetzt wird. Aus abstrakterer Sicht ist ℂ mit der Metrik ausgestattet

ist ein vollständiger metrischer Raum, der insbesondere die Dreiecksungleichung enthält

für zwei beliebige komplexe Zahlen z1 und z2 .

Wie in der reellen Analysis wird dieser Konvergenzbegriff verwendet, um eine Reihe elementarer Funktionen zu konstruieren: die Exponentialfunktion exp z , auch geschrieben e z , ist definiert als die unendliche Reihe

Die Reihen, die die reellen trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus definieren, sowie die hyperbolischen Funktionen sinh und cosh, lassen sich unverändert auch auf komplexe Argumente übertragen. Für die anderen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen wie Tangente ist die Sache etwas komplizierter, da die definierenden Reihen nicht für alle komplexen Werte konvergieren. Daher muss man sie entweder in Form von Sinus, Cosinus und Exponential definieren oder äquivalent mit der Methode der analytischen Fortsetzung.

exp ⁡ ( i φ ) = cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ

für jede reelle Zahl φ , insbesondere

Anders als bei reellen Zahlen gibt es unendlich viele komplexe Lösungen z der Gleichung

für jede komplexe Zahl w 0 . Es kann gezeigt werden, dass jede solche Lösung z – genannt komplexer Logarithmus von w – erfüllt

log w = ln ⁡ | w | + ich arg ⁡ w ,

wobei arg das oben definierte Argument ist, und ln der (reale) natürliche Logarithmus. Da arg eine mehrwertige Funktion ist, ist sie nur bis zu einem Vielfachen von 2 . eindeutigπ , log ist auch mehrwertig. Der Hauptwert von log wird oft durch Beschränkung des Imaginärteils auf das Intervall (−π, π] .

Komplexe Potenzierung z ω ist definiert als

und ist mehrwertig, außer wenn ω eine ganze Zahl ist. Für ω = 1 / n , für eine natürliche Zahl n, stellt dies die oben erwähnte Nichteindeutigkeit der n-ten Wurzeln wieder her.

Komplexe Zahlen erfüllen im Gegensatz zu reellen Zahlen im Allgemeinen nicht die unveränderten Potenz- und Logarithmus-Identitäten, insbesondere wenn sie naiv als einwertige Funktionen behandelt werden, sehen Sie das Versagen von Potenz- und Logarithmus-Identitäten. Sie erfüllen zum Beispiel nicht

Beide Seiten der Gleichung werden durch die hier gegebene Definition der komplexen Exponentiation mehrwertig, und die Werte auf der linken Seite sind eine Teilmenge der Werte auf der rechten Seite.

Holomorphe Funktionen Bearbeiten

Eine Funktion F : ℂ → ℂ heißt holomorph, wenn es die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt. Zum Beispiel kann jede ℝ-lineare Abbildung ℂ → ℂ in der Form . geschrieben werden

Die komplexe Analyse zeigt einige Merkmale, die in der realen Analyse nicht sichtbar sind.Beispielsweise stimmen zwei beliebige holomorphe Funktionen f und g, die auf einer beliebig kleinen offenen Teilmenge von übereinstimmen, notwendigerweise überall überein. Meromorphe Funktionen, Funktionen, die lokal geschrieben werden können als F(z)/(zz0) n mit einer holomorphen Funktion f noch einige der Merkmale holomorpher Funktionen teilen. Andere Funktionen haben wesentliche Singularitäten, wie z. B. sin(1/z) bei z = 0 .

Komplexe Zahlen finden in vielen wissenschaftlichen Bereichen Anwendung, darunter Signalverarbeitung, Steuerungstheorie, Elektromagnetismus, Fluiddynamik, Quantenmechanik, Kartographie und Schwingungsanalyse. Einige dieser Anwendungen werden im Folgenden beschrieben.


Komplexe Zahlen als Python-Objekte¶

Dieser Untertyp von PyObject repräsentiert ein Python-Objekt mit komplexen Zahlen.

Diese Instanz von PyTypeObject repräsentiert den komplexen Zahlentyp von Python. Es ist dasselbe Objekt wie komplex in der Python-Schicht.

Gibt true zurück, wenn das Argument ein PyComplexObject oder ein Untertyp von PyComplexObject ist.

int PyComplex_CheckExact ( PyObject *P ) ¶

Gibt true zurück, wenn das Argument ein PyComplexObject, aber kein Untertyp von PyComplexObject ist.

PyObject* PyComplex_FromCComplex ( Py_complex v ) ¶ Rückgabewert: Neue Referenz.

Erstellen Sie ein neues Python-Objekt mit komplexen Zahlen aus einem C Py_complex-Wert.

PyObject* PyComplex_FromDoubles ( double Real, doppelt Bild ) ¶ Rückgabewert: Neue Referenz.

Gibt ein neues PyComplexObject-Objekt zurück von Real und Bild.

double PyComplex_RealAsDouble ( PyObject *op ) ¶

Gib den echten Teil von . zurück op als C-Doppel.

double PyComplex_ImagAsDouble ( PyObject *op ) ¶

Gib den Imaginärteil von zurück op als C-Doppel.

Gib den Py_komplexen Wert der komplexen Zahl zurück op.

Ob op kein Python-Objekt mit komplexen Zahlen ist, sondern eine __complex__()-Methode hat, wird diese Methode zuerst aufgerufen, um zu konvertieren op zu einem komplexen Zahlenobjekt in Python. Bei einem Fehler gibt diese Methode -1.0 als reellen Wert zurück.


Programmierung für mathematische Anwendungen

Eine Einführung in die Computerprogrammierung mit Schwerpunkt auf der Lösung mathematisch-naturwissenschaftlicher Probleme. Grundlegende Programmierkonzepte wie Variablen, Anweisungen, Schleifen, Verzweigungen, Funktionen, Datentypen und Objektorientierung. Mathematische/wissenschaftliche Werkzeuge wie Arrays, Gleitkommazahlen, Plotten, symbolische Algebra und verschiedene Pakete. Beispiele aus einer Vielzahl mathematischer Anwendungen wie Auswertung komplexer algebraischer Ausdrücke, Zahlentheorie, Kombinatorik, statistische Analyse, effiziente Algorithmen, Computergeometrie, Fourieranalyse und Optimierung. Hauptsächlich basierend auf den Programmiersprachen Julia und Mathematica.


Warum bildet #["Co"("NN"_3)_6]^(3+)# einen inneren Orbitalkomplex, aber #["CoF"_6]^(3-)# einen äußeren Orbitalkomplex?

#sf([Co(NH_3)_6]^(3+))# ist ein innerer Orbitalkomplex, da er eine elektronische Konfiguration mit niedrigem Spin annimmt.

Ich gehe davon aus, dass Sie im ersten Beispiel #sf(NH_3)# als den fraglichen Liganden meinen.

Erläuterung:

Ein Merkmal der Übergangselemente ist ihre Fähigkeit, komplexe Ionen zu bilden. Diese bestehen aus einem zentralen Metallion, das von elektronenspendenden Spezies umgeben ist, genannt Liganden.

Die leeren 4s-, 4p- und 4d-Orbitale sind den 3d-Orbitalen energetisch ziemlich ähnlich.

Dies bedeutet, dass Liganden mit verfügbaren freien Elektronenpaaren wie Ammoniakmoleküle in der Lage sind, Elektronen in diese leeren Orbitale abzugeben und koordinative Bindungen einzugehen.

Eine ziemlich übliche stabile Anordnung ist mit 6 Liganden.

Ein Beispiel ist hydratisiert #sf(Fe^(3+)# :

Die d-Orbitale sehen so aus:

Wegen der oktaedrischen Symmetrie des Komplexes zeigen die Orbitale #sf(d_(z^2))# und #sf(d_(x^2-y^2))# direkt auf negative freie Elektronenpaare des Liganden und werden destabilisiert.

Die anderen 3d-Orbitale haben Lappen, die zwischen die Liganden ragen und sind relativ stabiler. Dies wird hier angezeigt:

Diese Orbitale erhalten die Symmetrieterme #sf(e_g)# und #sf(t_(2g))# und die Energielücke wird mit dem Symbol #sf(Delta)# bezeichnet.

Wichtig hierbei ist, dass der Wert von #sf(Delta)# mit der Natur des Liganden variiert.

Das spektrochemische series listet die Liganden in der Reihenfolge #sf(Delta)# auf:

I- < Br- < S2- < SCN- < Cl- < NO3- < F- < OH- < C2O42- < H2O < NCS- < CH3CN < NH3 < en < bipy < phen < NO2- < PPh3 < CN- < CO

Dies sagt uns, dass #sf(NH_3)# einen größeren #sf(Delta)#-Wert als #sf(F^(-))# hat, was Auswirkungen auf die Art und Weise hat, wie die Elektronen die 3d-Orbitale besetzen.

Für den Ammoniakkomplex ist der Wert von #sf(Delta)# relativ groß und es ist energetisch günstiger, dass die 6 Elektronen die #sf(t_(2g))# Unterniveaus mit Spinpaaren besetzen:

Dies wird als "Low-Spin"-Komplex bezeichnet.

Wie Sie in Abb. 3 sehen können, können die rot dargestellten Orbitale jeweils ein Elektronenpaar von jedem #sf(NH_3)# Liganden aufnehmen und #sf([Co(NH_3)_6]^(3+))# bilden.

Die 3d-, 4s- und 4p-Orbitale reorganisieren sich effektiv selbst, um 6 äquivalente Orbitale zu bilden, die daher als #sf(d^2sp^3)# beschrieben werden. hybrid Orbitale

Da innere 3D-Orbitale verwendet werden, kann dies als an . bezeichnet werden innerer Orbitalkomplex .

Im Fall des #sf([CoF_6]^(3-))#-Komplexes bedeutet der relativ kleine Wert von #sf(Delta)#, dass es aufgrund der Coulomb-Abstoßung zwischen den Elektronen energetisch günstiger ist, die Orbitale einzeln zu besetzen in einer "High Spin"-Anordnung:

Da die #sf(e_g)#-Orbitale nun teilweise besetzt sind, können die Liganden ihre Elektronen in die leeren 4s-, 4p- und 4d-Orbitale abgeben, die sich in #sf(sp^3d^2)#-Hybridorbitale reorganisieren können.

Da nun die äußeren 4d-Orbitale verwendet werden, kann dies als ein . beschrieben werden äußerer Orbitalkomplex.


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