Artikel

4: Das Sinusgesetz und das Kosinusgesetz


Zuvor haben wir die grundlegenden trigonometrischen Beziehungen in rechtwinkligen Dreiecken verwendet, um unbekannte Entfernungen und Winkel zu finden. Daher können wir aus den rechtwinkligen Dreiecksbeziehungen Beziehungen ableiten, die in jedem Dreieck verwendet werden können.

  • 4.1: Das Sinusgesetz
    Das Sinusgesetz basiert auf rechtwinkligen Dreiecksbeziehungen, die mit der Höhe eines Dreiecks erstellt werden können.
  • 4.2: Das Sinusgesetz – Der zweideutige Fall
    Mehrere Antworten ergeben sich, wenn wir die inversen trigonometrischen Funktionen verwenden. Bei Problemen, bei denen wir den Sinussatz bei einem Winkel und zwei Seiten anwenden, kann es ein mögliches Dreieck, zwei mögliche Dreiecke oder keine möglichen Dreiecke geben. Es gibt sechs verschiedene Szenarien im Zusammenhang mit dem mehrdeutigen Fall des Sinusgesetzes: drei führen zu einem Dreieck, eines zu zwei Dreiecken und zwei zu keinem Dreieck.
  • 4.3: Das Kosinusgesetz
  • 4.4: Anwendungen

Miniaturbild: Kosinussatz mit spitzen Winkeln. (CC BY SA 3.0 Unported; Scaler über Wikipedia)


1463 Wann man das Sinus- und das Kosinusgesetz anwenden sollte

Jahrelang habe ich meinen Schülern das Sinus- und das Kosinusgesetz nur mit einem handgehaltenen wissenschaftlichen Taschenrechner beigebracht. Leider haben viele von ihnen während der Pandemie keinen Zugang zu einem. Ich fand einige Online-Rechner für das Sinus- und das Kosinusgesetz, aber ich hatte das Gefühl, dass sie alle auf magische Weise Lösungen finden, ohne dass man dafür Verständnis braucht. Ich möchte, dass meine Schüler verstehen, wann sie das Sinusgesetz und wann das Kosinusgesetz anwenden müssen.

Wann sollte ich das Sinusgesetz anwenden?

Verwenden Sie das Sinusgesetz, wenn Sie diese drei Informationen über ein Dreieck erhalten: Winkel-Winkel-Seite, Winkel-Seite-Winkel oder Winkel-Seite-Seite. Hier ist eine Grafik, die ich gemacht habe, die jeden Fall zeigt und wie das Sinusgesetz transformiert wird, um den fehlenden Winkel oder die fehlende Seite zu erhalten:

Ich habe Desmos verwendet, um einen Rechner für das Sinusgesetz zu erstellen, der die obigen Gleichungen verwendet, die aus dem Sinusgesetz abgeleitet wurden. Winkel werden in Grad eingegeben und angegeben, nicht im Bogenmaß. Dieser Sinus-Rechner zwingt Sie immer noch, darüber nachzudenken, welche Informationen Sie erhalten und welche Gleichung Sie verwenden sollten. In Ihrem Problem gibt es einen bekannten Winkel und eine bekannte Seite, die sich gegenüberliegen. Beschriften Sie diese bekannten Werte mit A bzw. a. Wenn Sie einen anderen Winkel haben, beschriften Sie ihn mit B. Wenn Sie eine andere Seite haben, beschriften Sie ihn mit b. Suchen Sie die entsprechende Gleichung im Taschenrechner, ersetzen Sie die Variablen durch ihre Werte und Desmos berechnet die Antwort. Wenn Sie Angle-Side-Side erhalten, müssen Sie die inverse Sinusfunktion verwenden, und Sie haben möglicherweise zwei Lösungen. Wenn der angegebene Winkel also spitz ist, ersetzen Sie „Bacute“ durch den spitzen Winkel, der in der Formel darüber gefunden wird, damit Sie auch diese zweite Lösung erhalten. Ein Dreieck kann keine zwei stumpfen Winkel haben, also gib keine zwei Lösungen für B an, wenn A stumpf ist!

Einige Leute könnten versuchen, diesem Rechner Schieberegler hinzuzufügen, weil sie dann nicht so viel nachdenken müssen. Das Hinzufügen von Schiebereglern würde Desmos mit zu vielen Variablen verwirren, daher habe ich auch einen Sinus-Rechner mit Schiebereglern erstellt. Winkel werden in Grad eingegeben und angegeben, nicht im Bogenmaß. In Ihrem Problem gibt es einen bekannten Winkel und eine bekannte Seite, die sich gegenüberliegen. Beschriften Sie diese bekannten Werte mit A bzw. a. Wenn Sie einen anderen Winkel haben, beschriften Sie ihn mit B. Wenn Sie eine andere Seite haben, beschriften Sie ihn mit b. Anstatt die Werte in die Gleichung einzugeben, können Sie die Werte als Schieberegler eingeben. Der Standardwert für alle Schieberegler ist 0. Wenn also eine Ihrer Lösungen 0 oder undefiniert ist, suchen Sie entweder an der falschen Stelle nach Ihrer Antwort oder Sie haben nicht genügend Informationen eingegeben. Wenn Sie diesen Rechner verwenden, müssen Sie ihn nach jedem Problem aktualisieren und neu laden.

Wann sollte ich das Kosinusgesetz anwenden?

Der Kosinussatz lässt sich leicht eingeben: c² = a² + b² – 2ab cos C. Es sieht ein bisschen aus wie der Satz des Pythagoras, und wenn C 90º beträgt, ist es genau das.

Verwenden Sie das Kosinusgesetz, wenn Sie diese drei Informationen über ein Dreieck erhalten: Seite-Winkel-Seite oder Seite-Seite-Seite. Hier ist eine Grafik, die ich gemacht habe, die beide Fälle zeigt:

Da das Kosinusgesetz erfordert, dass sowohl a als auch b zweimal eingegeben werden müssen, habe ich beschlossen, die Schieberegler im Rechner des Kosinusgesetzes zu verwenden, um das Tippen ein wenig zu erleichtern. Winkel werden in Grad eingegeben und angegeben, nicht im Bogenmaß. Wenn Sie Side-Winkel-Side erhalten, sei der Winkel C. Wenn Sie Side-Side-Side erhalten, beschriften Sie die Seite, die dem gesuchten Winkel gegenüberliegt, c. Es spielt keine Rolle, welche Seite Sie mit a oder b beschriften, aber die gegenüberliegende Seite muss c sein. Sie müssen die inverse Kosinusfunktion verwenden, aber die habe ich bereits im Taschenrechner für Sie. Sie müssen aktualisieren und neu laden, bevor Sie ein neues Problem starten.

Da dies die Postnummer 1463 ist, werde ich ein wenig über diese Nummer schreiben.

Faktoren von 1463:

Da sowohl 14 als auch 63 Vielfache von 7 sind, können wir sicher sein, dass 1463 durch 7 teilbar ist.

  • 1463 ist eine zusammengesetzte Zahl.
  • Primfaktorzerlegung: 1463 = 7 × 11 × 19
  • 1463 hat keine Exponenten größer als 1 in seiner Primfaktorzerlegung, daher kann √1463 nicht vereinfacht werden.
  • Die Exponenten bei der Primfaktorzerlegung sind 1, 1 und 1. Addiert man zu jedem Exponenten einen und multipliziert man, erhält man (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2 × 2 × 2 = 8. Daher hat 1463 genau 8 Faktoren.
  • Die Faktoren von 1463 sind mit ihren Faktorpaarpartnern in der folgenden Grafik dargestellt.

Da alle vier Faktorpaare von 1463 nur ungerade Zahlen enthalten, kann 1463 basierend auf diesen vier Wegen als Differenz zweier Quadrate geschrieben werden:

732² – 731² = 1463 (732 ist der Durchschnitt von 1 und 1463 und 731 ist eins weniger.)
108² – 101² = 1463 (108 ist der Durchschnitt von 7 und 209 und 101 ist sieben weniger.)
72² – 61² = 1463 (72 ist der Durchschnitt von 11 und 133 und 61 ist elf weniger.)
48² – 29² = 1463 (48 ist der Durchschnitt von 19 und 77 und 29 ist neunzehn weniger.)


Kosinusgesetz

Der Kosinussatz wird auch verwendet, wenn es kein rechtwinkliges Dreieck gibt und das Problem darin besteht, den Winkel oder die Seite zu finden. Anders ist es beim Sinusgesetz. Der Kosinussatz kann verwendet werden, wenn bekannt:

Wenn es in der Mathematik ein Dreieck gibt, dann

ein 2 = b 2 + c 2 – 2.a.b.cos α

B 2 = a 2 + c 2 – 2.a.c.cos β

C 2 = a 2 + b 2 – 2.a.b.cos γ

(Wählen Sie eine der Gleichungen abhängig vom Problem)

Hinweis:

Denken Sie daran, dass die Winkelsumme im Dreieck 180 ° beträgt. Wenn also zwei Winkel bekannt sind, ist auch der dritte bekannt.


Sinusgesetz mehrdeutiger Fall (SSA)

Wenn wir den Fall Side-Side-Angle (in einer Reihe) haben (SSA), wir könnten haben eins, zwei, oder Nein Dreiecke gebildet, und wir müssen zusätzliche Arbeit leisten, um festzustellen, welche Situation wir haben.

In diesen Fällen zeichne ich mein Dreieck immer gerne mit dem bekannter Winkel unten links (auch wenn dieser Winkel B oder C ), damit ich sehen kann, was los ist. Wenn die Seite direkt gegenüber diesem Winkel (die gepaart Seite) ist weniger als die Seite, die diesen Winkel berührt, haben wir wahrscheinlich einen mehrdeutigen Fall (oder haben möglicherweise kein Dreieck, das gebildet werden kann).

Wenn wir in dieser Situation eine Fehlermeldung im Rechner erhalten, wenn wir versuchen, den anderen Winkel mit zu erhalten Gesetz der Sinus, oder, im Falle eines Stumpfes Dreieck, wir bekommen mehr als 180° für das Dreieck gibt es kein Dreieck das kann mit den angegebenen Zahlen gebildet werden (und das ist die Antwort).

Für spitze Dreiecke, wenn wir eine andere Antwort als erhalten 90° , wir werden haben zwei Dreiecke der gebildet werden kann, und der zweite Winkel ist 180 minus dem Winkel, den wir gerade erhalten haben (einer wird spitz und einer wird stumpf sein). Wir können dann nach zwei verschiedenen Dreiecken auflösen (die gegebenen zwei Seiten und ein Winkel für die beiden Dreiecke sind gleich). Wenn wir es bekommen 90° für den zweiten Winkel gilt ein rechtwinkliges Dreieck. Dies geschieht, wenn die Höhe des Dreiecks entspricht der gepaarten Seite (die Seite gegenüber dem bekannten Winkel).

Für stumpfe Dreiecke, haben wir entweder ein Dreieck (wenn (a>b)) oder kein Dreieck (wenn (ale b)).

Für spitze Dreiecke:

Wenn (age b), sind wir OK: ein Dreieck! Verfahren Sie wie oben beschrieben mit Gesetz der Sinus : (displaystyle frac<>=frac<>=frac<>).

Wenn (a<b), haben wir den zweideutigen Fall, den wir entweder haben zwei Dreiecke (wenn (a>) die Höhe (h) des Dreiecks ist), ein Dreieck (wenn (a=h)), oder kein Dreieck (wenn (a&l)). (Beachten Sie, dass wir, wenn kein Dreieck vorhanden ist, einen Fehler auf unserem Rechner erhalten, wenn wir versuchen, nach dem Winkel (B) aufzulösen.)

(Beachten Sie, dass wir die Höhe erhalten können, indem Sie verwenden rechtwinkliges Dreieck trigon: die Höhe ist (h=bsin A) da (displaystyle sin A=frac). Normalerweise müssen Sie die Höhe jedoch nicht ermitteln, es sei denn, Sie werden nach Ihrem Taschenrechner gefragt Winkel anders als 90° ohne Fehler wenn es gibt zwei Dreiecke.) Wenn (a=h), haben wir ein rechtwinkliges Dreieck mit Winkel (B=90°).

Falls (a>h), können wir bilden zwei Dreiecke mit Seite (b): eine mit den Seiten (a) (rechts oben) und (<_<1>>), und das andere mit den Seiten (a) (links oben) und (<_<2>>). Dann Winkel (<_<1>>) und (<_<1>>) wird mit (a) und (<_<1>>) und Winkel (<_<2>>) und (<_<2>>) wird mit (a) und (<_<2>>), und wir verwenden die folgenden Formeln. Um (<_<2>>), subtrahieren wir einfach (<_<1>>) von 180° : (<_<2>>=180-<_<1>>).

Zeichnen wir zunächst das Dreieck (das offensichtlich nicht maßstabsgetreu ist):

Da dies ein . ist Stumpfes Dreieck, und seit (20<25) haben wir kein Dreieck. Aber sehen wir uns an, was passiert, wenn man das Sinusgesetz verwendet:

Löse zuerst nach Winkel B (kreuzmultiplizieren und verwenden 2. SIN), um (B=73.2<>^circ ) zu erhalten. Dann können wir EIN : (180-left( <130+73.2> ight)=-23.2<>^circ ).

Aha! Wir können keinen negativen Winkel haben! Es existiert kein Dreieck!

Notiz: Wenn die Seite ((c)) gegenüber von Angle C war 20 , zum Beispiel (kleiner als (b) , was 25 ), hätten wir ein Dreieck und könnten den normalen Weg mit dem Sinusgesetz lösen.

Zeichnen wir zuerst das Dreieck:

Wegen (14<20) haben wir den zweideutigen Fall, den wir entweder haben zwei Dreiecke (wenn (14>) die Höhe (h) des Dreiecks ist), ein Dreieck (wenn (14=h)), oder kein Dreieck (wenn (14&l)).

Lösen wir nach Winkel auf C um zu sehen, ob wir eine Fehlermeldung erhalten, wenn wir (<^<<-1>>>):

Kreuzmultiplizieren, um zu erhalten C (mit 2. SIN), um (C=66.7<>^circ) zu erhalten. Da wir keinen Fehler oder eine Winkelmessung von erhalten haben 90° , wir haben zwei Dreiecke, eines mit (C=66.7°) und das andere mit (C= 180°–66.7°=113.3°).

Jetzt können wir Winkel bekommen EIN , und nach Seite auflösen ein in beiden Fällen. Beachten Sie, wie die ursprünglichen Werte ( B , B, und C ) bleiben in beiden Fällen gleich:

Lassen Sie uns zuerst das Dreieck zeichnen, das am Ende ungefähr so ​​​​aussehen wird:

Wegen (a<b) haben wir den zweideutigen Fall, den wir entweder haben zwei Dreiecke (wenn (a>) die Höhe (h) des Dreiecks ist), ein Dreieck (wenn (a=h)), oder kein Dreieck (wenn (a&l)).

Versuchen wir nach Winkel . aufzulösen B und schau, dass wir eine bekommen Fehlermeldung wenn wir (<^<<-1>>>) verwenden (wir erhalten ein (sin left( B ight)) von größer als 1 ):

Notiz: Wir können hier auch mehrdeutige Falldreiecke mit dem Kosinussatz und einem Grafikrechner lösen ).

Damit es zwei Dreiecke gibt, ein muss kleiner sein als 10 , aber größer als die Höhe des Dreiecks, die (10sin 40<>^circ) beträgt, oder 6.427 .


Überprüfung

Geben Sie für jedes Dreieck unten die Werte von (a), (b) und (c) an.


  1. Abbildung (PageIndex<7>)

  2. Abbildung (PageIndex<8>)

  3. Abbildung (PageIndex<9>)

  4. Abbildung (PageIndex<10>)

  5. Abbildung (PageIndex<11>)

  6. Abbildung (PageIndex<12>)

  7. Abbildung (PageIndex<13>)

Lösen Sie nun für jedes Dreieck nach der fehlenden Seite mit dem Kosinussatz auf.


  1. Abbildung (PageIndex<14>)

  2. Abbildung (PageIndex<15>)

  3. Abbildung (PageIndex<16>)

  4. Abbildung (PageIndex<17>)

  5. Abbildung (PageIndex<18>)

  6. Abbildung (PageIndex<19>)

  7. Abbildung (PageIndex<20>)
  8. Beweisen Sie, dass der Kosinussatz für alle rechtwinkligen Dreiecke äquivalent zum Satz des Pythagoras ist.

Die Gesetze von Kosinus und Sinus

Es reicht aus, um die letzte Gleichung zu zeigen denn die erste Version unterscheidet sich nur in der Beschriftung des Dreiecks.

Eine Erklärung des Sinusgesetzes ist ziemlich einfach zu befolgen, aber in einigen Fällen müssen wir Sinus mit stumpfen Winkeln betrachten.

Ziehe zuerst eine senkrechte Linie ANZEIGE aus EIN bis zur Basis BC des Dreiecks. Der Fuß D dieser Senkrechten liegt auf der Kante lie BC des Dreiecks, wenn beide Winkel B und C sind akut. Aber wenn Winkel B ist stumpf, dann der Fuß D werde lügen BC verlängert in Richtung B. Doch wenn Winkel C ist stumpf, dann D wird anstellen BC verlängert in Richtung C. Glücklicherweise ist das Argument in allen drei Fällen gleich.

Lassen h bezeichne die Länge dieser Linie ANZEIGE, das heißt, die Höhe (oder Höhe) des Dreiecks.

Wenn Winkel B akut ist, dann Sünde B = h/z. Aber das gilt auch dann, wenn B ist ein stumpfer Winkel wie im dritten Diagramm. Dort, Winkel ABC ist stumpf. Aber der Sinus eines stumpfen Winkels ist der gleiche wie der Sinus seiner Ergänzung. Das bedeutet Sünde ABC ist dasselbe wie Sünde ABD, das heißt, sie sind beide gleich h/z.

Ebenso ist es egal, ob der Winkel C ist akut oder stumpf, sin C = h/b auf jeden Fall.

Diese beiden Gleichungen sagen uns, dass h gleich beides C Sünde B und B Sünde C. Aber aus der Gleichung C Sünde B = B Sünde C, Wir können leicht das Sinusgesetz erhalten:

Das Kosinusgesetz

Es gibt zwei andere Versionen des Kosinusgesetzes,

ein 2 = B 2 + C 2 – 2bc cos EIN und B 2 = ein 2 + C 2 – 2ac cos B.

Um zu sehen, warum diese Gesetze gültig sind, müssen wir uns drei Fälle ansehen. Für Fall 1 nehmen wir den Winkel C stumpf sein. Im Fall 2, Winkel C wird ein rechter Winkel sein. Im Fall 3, Winkel C wird akut sein.

Aus der Abbildung können wir folgende Gleichungen ableiten:

C 2 = D 2 + h 2
B 2 = e 2 + h 2
D = ein + e
cos C = &ndash e/b

Diese Gleichungen und einfache Algebra beenden das Argument wie folgt:

C 2 = D 2 + h 2
= (ein + e) 2 + h 2
= ein 2 + 2ae + e 2 + h 2
= ein 2 + B 2 + 2ae
= ein 2 + B 2 &ndash 2ab cos C

Somit gilt das Kosinusgesetz, wenn C ist ein stumpfer Winkel.

Fall 2. Betrachten wir nun den Fall, dass der Winkel bei C ist richtig. Der Kosinus eines rechten Winkels ist 0, also das Kosinusgesetz, C 2 = ein 2 + B 2 – 2ab cos C, vereinfacht sich zur pythagoräischen Identität, C 2 = ein 2 + B 2 , für rechtwinklige Dreiecke, von denen wir wissen, dass sie gültig sind.

Fall 3. In diesem Fall nehmen wir an, dass der Winkel C ist ein spitzes Dreieck. Ziehe eine senkrechte Linie ANZEIGE aus EIN bis zur Basis BC des Dreiecks. Der Fuß D der Senkrechten wird (1) auf der Kante liegen BC wenn Winkel B akut ist, (2) fällt mit dem Punkt . zusammen B wenn der Winkel B richtig ist, oder (3) auf der Seite liegen BC verlängert, wenn der Winkel B ist stumpf.

Lassen h bezeichne die Höhe des Dreiecks, sei D bezeichnen BD, und e bezeichnen CD.

Dann können wir die folgenden Beziehungen aus dem Diagramm ablesen:

C 2 = D 2 + h 2
B 2 = e 2 + h 2
cos C = e/b
D 2 = (eein) 2

Diese letzte Gleichung erfordert eine Erklärung. Wenn der Punkt D liegt auf der seite BC, dann D = ein &ndash e, aber falls D liegt auf BC verlängert, dann D = e &ndash A. In beiden Fällen, D 2 = (e &ndash ein) 2 .

Diese Gleichungen und ein wenig Algebra beenden den Beweis wie folgt:

C 2 = D 2 + h 2
= D 2 &ndash e 2 + B 2
= (D &ndash e) (D + e) + B 2
= (ein &ndash 2e) ein + B 2
= ein 2 + B 2 &ndash 2ae
= ein 2 + B 2 &ndash 2ab cos C

Somit wissen wir jetzt, dass das Kosinusgesetz gilt, wenn beide Winkel C ist akut, und wir haben alle drei Fälle abgeschlossen.

Übrigens hat Euklid in seinem Elemente ein paar Sätze, II.12 und II.13, die dem Kosinusgesetz sehr ähnlich sehen, aber natürlich nicht wirklich das Kosinusgesetz sind, da die Trigonometrie noch nicht zu Euklids Zeiten entwickelt wurde.


WORTPROBLEME BEI ​​DER VERWENDUNG DES SINES- UND Cosinusgesetzes

Ein Forscher möchte die Breite eines Teiches von Ost nach West bestimmen, was durch eine tatsächliche Messung nicht möglich ist. Von einem Punkt P aus findet er die Entfernung zum östlichsten Punkt des Teiches zu 8 km, während die Entfernung zum westlichsten Punkt von P zu 6 km beträgt. Wenn der Winkel zwischen den beiden Sichtlinien 60 ° beträgt, ermitteln Sie die Breite des Teiches.

Indem wir die fehlende Seite finden, können wir die Breite des Teiches finden.

cos C  =  (a 2 + b 2 - c 2 ) / 2ab 

Die Breite des Teiches beträgt also   2  km13 km.

Zwei Navy-Hubschrauber A und B fliegen auf gleicher Höhe vom Meeresspiegel über den Golf von Bengalen, um ein vermisstes Boot zu suchen. Die Piloten beider Helikopter sehen das Boot gleichzeitig, während sie 10 km voneinander entfernt sind. Wenn die Entfernung des Bootes von A 6 km beträgt und die Linie   Segment AB das Boot   ꁠ °   erreicht, ermitteln Sie die Entfernung des Bootes von B.

Um die fehlende Seite zu finden, müssen wir die Kosinusformel verwenden. 

Hier verwenden wir die Formel für cos C, weil wir die Länge von b und c kennen.

Die Entfernung vom Helikopter B zum Boot beträgt also   3 + √73 km.

Durch einen Berg soll ein gerader Tunnel gebaut werden. Ein Vermesser beobachtet die beiden Enden A und   B des zu bauenden Tunnels von einem Punkt P vor dem Berg. Wenn AP = 3 km, BP = 5 km  und ∠APB = 120 ◦ , dann ermitteln Sie die Länge des zu bauenden Tunnels

AP = 3 km = b, BP = 5 km = a  und ∠APB = 120 ◦

Wenn Sie abgesehen von den oben genannten Dingen noch andere Dinge in Mathematik benötigen, verwenden Sie bitte unsere benutzerdefinierte Google-Suche hier.

Wenn Sie Feedback zu unseren mathematischen Inhalten haben, senden Sie uns bitte eine E-Mail: 

Wir freuen uns immer über Ihr Feedback. 

Sie können auch die folgenden Webseiten zu verschiedenen Themen in Mathematik besuchen. 


Kosinusgesetz

In jedem Dreieck ist das Quadrat einer beliebigen Seite gleich der Summe des Quadrats der anderen beiden Seiten minus dem doppelten Produkt dieser beiden Seiten und der Kosinus zwischen ihnen.

Wir können das Gesetz auch in der Form schreiben:
a² = b² + c² – 2bc⋅cosA
b² = a² + c² – 2ac⋅cosB

Wir können das Kosinusgesetz verwenden, wenn wir zwei Seiten und den Winkel zwischen diesen beiden Seiten kennen, aber wir können es auch verwenden, um den Winkel zwischen zwei Seiten zu bestimmen, wenn wir alle Seiten kennen.

Auch wenn wir die Winkel finden wollen:

Beispiel 2: Wir erhalten a = 5 cm, b = 12 cm und C = 60°. Finden Sie die c.

Lösung : Da wir zwei Seitenlängen und den Winkel zwischen ihnen haben, können wir das Kosinusgesetz verwenden, um die fehlende Seite zu finden.

$ displaystyle <^<2>>=25+144-120cdot frac<1><2>$

Beispiel 3: John steht auf einem Hügel in 15m Entfernung vom Helikopter. Das Schiff beobachtet den Helikopter aus einem 60° Winkel und mit einer Distanz von 10 Metern. Finden Sie heraus, wie weit John vom Schiff entfernt ist.

Lösung: Basierend auf der obigen Abbildung, um herauszufinden, wie weit John vom Schiff entfernt ist, können wir die Kosinusgesetz:

x² = 15² + 10² – 2 ⋅ 15 ⋅ 10 ⋅ cos60°

x² = 225 + 100 – 300 ⋅ $ displaystyle frac<1><2>$

x $ displaystyle ungefähr 13,2$

John ist ca. 13,2 m vom Schiff entfernt


In einem Dreieck ABC gilt ∠A = 60 ° . Beweisen Sie, dass b + c = 2a cos (B − C)/2

a = 2R sin A, b = 2R sin B  und c = 2R sin C

  =  2R [2 sin (180 - A)/2 cos (B - C)/2]

Beweisen Sie in einem Dreieck ABC folgendes:

(i) a sin (A/2 + B) = (b + c) sin A/2

  =  (2R sin B + 2R sin C) sin A/2

  =  2R (2 sin (B+C)/2 cos (B - C)/2) sin A/2

  =  2R (2 sin (180 - A)/2 cos (B - C)/2) sin A/2

  =  2R (2 cos (A/2) cos (B - C)/2) sin A/2

  =  2R (2 cos (A/2) sin A/2 cos (B - C)/2

Den Wert von cos (B - C)/2 ermitteln:

cos (B - C)/2  =  cos (B - (180 - (A+B)))/2

Anwenden des Wertes von cos (B - C)/2 in (1)

Nachdem wir das oben Gesagte durchgegangen sind, hoffen wir, dass die Schüler das "Gesetz der Sinus- und Kosinus-Beispiele mit Antworten" verstanden haben.

Abgesehen von den Dingen, die in "Gesetz der Sinus- und Kosinus-Beispiele mit Antworten" angegeben sind,  , wenn Sie andere Dinge in Mathematik benötigen, verwenden Sie bitte unsere benutzerdefinierte Google-Suche hier.

Wenn Sie Feedback zu unseren mathematischen Inhalten haben, senden Sie uns bitte eine E-Mail: 

Wir freuen uns immer über Ihr Feedback. 

Sie können auch die folgenden Webseiten zu verschiedenen Themen in Mathematik besuchen. 


4: Das Sinusgesetz und das Kosinusgesetz

Wenn sich zwei Vektoren, u und v, unter einem Winkel von θ treffen und die Längen von u und v a und b sind und die Länge der dritten Seite c ist, besagt das Kosinusgesetz:

Ersetzen Sie θ durch seine algebraische Definition oben und denken Sie daran, dass Kosinus und Arkuskosinus inverse Funktionen sind. Der Nenner |u|×|v| ist das gleiche wie ab, und die Gleichung vereinfacht sich dazu.

Erweitern Sie alle Punktprodukte in der letzten Gleichung. Die linke und rechte Seite sind algebraisch äquivalent. Somit gilt das Kosinusgesetz, eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras, wenn Winkel wie oben definiert sind. Mal sehen, ob das Gleiche in der ebenen Geometrie gilt.

Gegeben ein Dreieck mit den Längen a, b und c, lassen Sie eine Senkrechte von der Spitze fallen und teilen Sie b in die Längen x und y auf. Also x+y = b. Beachten Sie, dass x oder y negativ sein können, wenn sich der Apex nach links oder rechts von der Basis neigt. Verwenden Sie den Satz des Pythagoras zweimal, um zu erhalten:

Ersetze y durch b-x und x durch a×cos(θ) und leite das Kosinusgesetz her. Somit stimmt die algebraische Definition des Winkels mit der geometrischen Definition überein, und beide erzeugen denselben Kosinus.

Beweisen Sie mit dem Kosinusgesetz das Sinusgesetz, indem Sie sin(θ) 2 /c 2 erweitern. Ersetze sin 2 durch 1-cos 2 , und nach dem Kosinusgesetz wird cos(θ) zu a 2 + b 2 -c 2 über 2ab. Wenn Sie die gesamte Algebra ausführen, lautet der Ausdruck:

2a 2 b 2 + 2a 2 c 2 + 2b 2 c 2 - a 4 - b 4 - c 4 über 4a 2 b 2 c 2

Beachten Sie, dass dieser Ausdruck in Bezug auf alle drei Variablen symmetrisch ist. Der genaue Wert hängt von der Form des Dreiecks ab, aber für jedes Dreieck ist der Sinus eines Winkels geteilt durch die Länge der gegenüberliegenden Seite ein festes Verhältnis.