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6.2: Transformationen von Ableitungen und ODEs - Mathematik


6.2.1 Transformationen von Ableitungen

Sehen wir uns an, wie die Laplace-Transformation für Differentialgleichungen verwendet wird. Versuchen wir zunächst, die Laplace-Transformation einer Funktion zu finden, die eine Ableitung ist. Angenommen (g(t)) ist eine differenzierbare Funktion exponentieller Ordnung, d. h. (|g(t)|leq Me^{ct}) für einige (M) und (c) . Es existiert also (mathcal{L}{g(t)}) und außerdem (lim_{t ightarrowinfty}e^{-st}g(t)=0) wenn (s>c). Dann

[ mathcal{L}{g'(t)}= int_0^{infty}e^{-st}g'(t)dt= left[ e^{-st}g(t) ight]_{t=0}^{infty}-int_0^{infty}(-s)e^{-st}g(t)dt=-g(0)+s mathcal{L} {g(t)}.]

Wir wiederholen dieses Verfahren für höhere Ableitungen. Die Ergebnisse sind in Tabelle 6.2 aufgeführt. Das Verfahren funktioniert auch für stückweise glatte Funktionen, also Funktionen, die stückweise stetig mit einer stückweise stetigen Ableitung sind. Die Tatsache, dass die Funktion exponentiell ist, wird verwendet, um zu zeigen, dass die oben erscheinenden Grenzen existieren. Wir werden uns über diese Tatsache keine großen Sorgen machen.

Tabelle 6.2: Laplace-Transformationen von Ableitungen ((G(s)=mathcal{L}{g(t)}) wie üblich).
(f(t))(mathcal{L}{f(t)}=F(s))
(g'(t))(sG(s)-g(0))
(g''(t))(s^2G(s)-sg(0)-g'(0))
(g'''(t))(s^3G(s)-s^2g(0)-sg'(0)-g''(0))

6.2.2 ODEs mit der Laplace-Transformation lösen

Beachten Sie, dass die Laplace-Transformation die Differentiation in eine Multiplikation mit (s) umwandelt. Sehen wir uns an, wie man diese Tatsache auf Differentialgleichungen anwenden kann.

Beispiel (PageIndex{1}):

Nimm die Gleichung

[ x''(t) + x(t) = cos (2t),~~~~~~~ x(0)=0, ~~~~~~~ x'(0)=1. ]

Wir nehmen die Laplace-Transformation beider Seiten. Mit (X(s)) bezeichnen wir wie üblich die Laplace-Transformation von (x(t)).

[mathcal{L}{x''(t)+x(t)}= mathcal{L}{cos(2t)}, s^2X(x)-sx(0 )+x'(0)+X(s)+frac{s}{s^2+4}.]

Wir setzen jetzt die Anfangsbedingungen ein – dies macht die Berechnungen rationaler – um zu erhalten

[s^2X(s) - 1 + X(s) = dfrac{s}{s^2+4}.]

Wir lösen nach (X(s)),

[X(s) = dfrac{s}{(s^2+1)(s^2+4)} + dfrac{1}{s^2+1}. ]

Wir verwenden Partialbrüche (Übung), um zu schreiben

[ X(s) = dfrac{1}{3}dfrac{s}{s^2+1}-dfrac{1}{3}dfrac{s}{s^2+4} + dfrac{1}{s^2+1}.]

Nehmen Sie nun die inverse Laplace-Transformation, um zu erhalten

[ x(t) = dfrac{1}{3}cos(t) - dfrac{1}{3} cos (2t) + sin(t).]

Das Verfahren für Gleichungen mit linearen konstanten Koeffizienten ist wie folgt. Wir nehmen eine gewöhnliche Differentialgleichung in der Zeitvariablen (t). Wir wenden die Laplace-Transformation an, um die Gleichung im Frequenzbereich in eine algebraische (nicht differentielle) Gleichung umzuwandeln. Alle (x(t)), (x'(t)), (x''(t)) usw. werden in (X(s)), (sX(s)-x(0)), (s^2X(s) - sx(0) - x'(0)) und so weiter. Wir lösen die Gleichung nach (X(s)). Dann nehmen wir, wenn möglich, die inverse Transformation und finden (x(t)).

Es ist zu beachten, dass nicht jede Gleichung auf diese Weise gelöst werden kann, da nicht jede Funktion eine Laplace-Transformation besitzt. Auch wenn die Gleichung kein linearer konstanter Koeffizient ODE ist, erhalten wir durch Anwenden der Laplace-Transformation möglicherweise keine algebraische Gleichung.

6.2.3 Verwenden der Heaviside-Funktion

Bevor wir zu allgemeineren Gleichungen übergehen, als die, die wir zuvor lösen konnten, wollen wir die Heaviside-Funktion betrachten. Siehe Abbildung 6.1 für das Diagramm.

[u(t)=left{ egin{array}{cc} 0 & { m{if~}}t<0, 1 & { m{if~}}t geq 0. end{array} ight. ]

Abbildung 6.1: Auftragung der Heaviside-Funktion (Einheitsschritt) (u(t)).

Diese Funktion ist nützlich, um Funktionen zusammenzustellen oder Funktionen abzuschneiden. Am häufigsten wird es als (u(t-a)) für eine Konstante (a) verwendet. Dadurch wird der Graph nur um (a) nach rechts verschoben. Das heißt, es ist eine Funktion, die 0 ist, wenn (

[f(t)=left{ egin{array}{cc} 0 & { m{if~}}t< pi , sin t & { m{if~}}t geq pi . ]

Mit der Heaviside-Funktion kann (f(t)) geschrieben werden als

[ f(t) = u(t-pi) sin t]

In ähnlicher Weise kann die Stufenfunktion, die im Intervall ( [1,2)) 1 und überall sonst Null ist, geschrieben werden als

[ u(t-1) - u(t-2).]

Die Heaviside-Funktion ist nützlich, um stückweise definierte Funktionen zu definieren. Wenn Sie (f(t)) so definieren wollen, dass (f(t)=t), wenn (t) in ([0,1]) liegt, gilt (f(t) = -t +2) wenn (t) in ([1,2)) ist und (f(t)=0) andernfalls kannst du den Ausdruck verwenden

[ f(t) = t left(u(t) -u(t-1) ight) + (-t+2) left(u(t-1)-u(t-2) ight ).]

Daher ist es nützlich zu wissen, wie die Heaviside-Funktion mit der Laplace-Transformation interagiert. Das haben wir schon gesehen

[ mathcal{L} { u(t-a)} = dfrac{e^{-as}}{2}.]

Verschieben von Eigentum

Dies kann in eine Verschiebungseigenschaft oder eine zweite Verschiebungseigenschaft verallgemeinert werden.

[ mathcal{L} { f(t-a)u(t-a) } = e^{-as} mathcal{L} {f(t) }. ]

Beispiel (PageIndex{2}):

Angenommen, die Zwangsfunktion ist nicht periodisch. Nehmen wir zum Beispiel an, wir hätten ein Masse-Feder-System

[ x''(t) + x(t) = f(t), ~~~~~~ x(0) = 0,~~~~~~ x'(0) = 0,]

wobei (f(t)=1) wenn (1 le t < 5) und sonst null ist. Wir könnten uns ein Masse-Feder-System vorstellen, bei dem eine Rakete für 4 Sekunden ab (t=1) abgefeuert wird. Oder vielleicht eine RLC-Schaltung, bei der die Spannung ab (t=1) 4 Sekunden lang konstant angehoben und dann ab (t=5) wieder stabil gehalten wird.

Wir können schreiben (f(t) = u(t-1) - u(t-5)). Wir transformieren die Gleichung und setzen die Anfangsbedingungen wie zuvor ein, um zu erhalten

[ s^2X(s) + X(s) = dfrac{e^{-s}}{s}-dfrac{e^{-5s}}{s}.]

Wir lösen nach (X(s)) auf und erhalten

[ X(s) = dfrac{e^{-s}}{s(s^2+1)} - dfrac{e^{-5s}}{s(s^2+1)}. ]

Wir überlassen es dem Leser als Übung, das zu zeigen

[ mathcal{L}^{-1} left{ dfrac{1}{s(s^2+1)} ight} =1 - cos t.]

Mit anderen Worten (mathcal{L}{1-cos t} = frac{1}{s(s^2+1)}). Mit (6.2.14) finden wir also

[ mathcal{L}^{-1}left{frac{e^{-s}}{s(s^2+1)} ight}=mathcal{L}^{-1 }{e^{-s}mathcal{L}{1-cos t}}=(1-cos(t-1))u(t-1).]

Ähnlich

[ mathcal{L}^{-1}left{frac{e^{-5s}}{s(s^2+1)} ight}=mathcal{L}^{-1 }{e^{-5s}mathcal{L}{1-cos t}}=(1-cos(t-5))u(t-5).]

Daher ist die Lösung

[ x(t) = left( 1 - cos (t-1) ight) u(t-1) - left(1-cos (t-5) ight) u(t-5) .]

Der Plot dieser Lösung ist in Abbildung 6.2 dargestellt.

Abbildung 6.2: Plot von (x(t)).

6.2.4 Übertragungsfunktionen

Die Laplace-Transformation führt zu dem folgenden nützlichen Konzept zum Studium des stationären Verhaltens eines linearen Systems. Angenommen, wir haben eine Gleichung der Form

[ Lx = f(t),]

wobei (L) ein linearer Differentialoperator mit konstantem Koeffizienten ist. Dann wird (f(t)) normalerweise als Eingabe des Systems und (x(t)) als Ausgabe des Systems angesehen. Bei einem Masse-Feder-System ist beispielsweise die Eingabe die Kraftfunktion und die Ausgabe das Verhalten der Masse. Wir möchten eine bequeme Möglichkeit haben, das Verhalten des Systems für verschiedene Eingaben zu untersuchen.

Nehmen wir an, dass alle Anfangsbedingungen null sind und nehmen wir die Laplace-Transformation der Gleichung, wir erhalten die Gleichung

[ A(s)X(s) = F(s). ]

Durch Auflösen nach dem Verhältnis (frac{X(s)}{F(s)}) erhält man die sogenannte Übertragungsfunktion (H(s)=frac{1}{A(s)}) .

[ H(s) = dfrac{X(s)}{F(s)}]

Mit anderen Worten, (X(s) = H(s)F(s)). Wir erhalten eine algebraische Abhängigkeit der Ausgabe des Systems basierend auf der Eingabe. Wir können nun leicht das stationäre Verhalten des Systems bei verschiedenen Eingaben untersuchen, indem wir einfach mit der Übertragungsfunktion multiplizieren.

Beispiel (PageIndex{3}):

Gegeben (x''+ omega_0^2x=f(t)), finden wir die Übertragungsfunktion (vorausgesetzt, die Anfangsbedingungen sind null).

Zuerst nehmen wir die Laplace-Transformation der Gleichung.

[ s^2X(s)+omega_0^2X(s)=F(s).]

Nun lösen wir nach der Übertragungsfunktion (frac{X(s)}{F(s)}).

[H(s)= frac{X(s)}{F(s)}= frac{1}{s^2+ omega_0^2}.]

Sehen wir uns an, wie die Übertragungsfunktion verwendet wird. Angenommen, wir haben die konstante Eingabe (f(t)=1). Daher (F(s)=frac{1}{s}), und

[X(s)= H(s)F(s)= frac{1}{s^2+ omega_0^2}frac{1}{s}.]

Unter Verwendung der inversen Laplace-Transformation von (X(s)) erhalten wir

[x(t)=frac{1-cos(omega_0 t)}{ omega_0^2}.]

6.2.5 Transformationen von Integralen

Ein Merkmal der Laplace-Transformationen ist, dass sie auch mit Integralgleichungen problemlos umgehen können. Das heißt, Gleichungen, in denen Integrale statt Ableitungen von Funktionen auftreten. Die Grundeigenschaft, die durch Anwendung der Definition und partielle Integration bewiesen werden kann, ist

[ mathcal{L} left{ int_0^t f( au), d au ight} = dfrac{1}{s}F(s).]

Manchmal ist es nützlich (z. B. für die Berechnung der inversen Transformation), dies zu schreiben als

[ int_0^t f( au), d au = mathcal{L}^{-1} left{dfrac{1}{s}F(s) ight}.]

Beispiel (PageIndex{4}):

Um (mathcal{L}^{-1}left{dfrac{1}{s(s^2+1)} ight}) zu berechnen, können wir diese Integrationsregel anwenden.

[ mathcal{L}^{-1} left{ dfrac{1}{2} dfrac{1}{s^2+1} ight} = int_0^t mathcal{L} ^{-1} left{dfrac{1}{s^2+1} ight} = int_0^tsin au, d au = 1 -cos t.]

Beispiel (PageIndex{5}):

Eine Gleichung, die ein Integral der unbekannten Funktion enthält, heißt an Integralgleichung. Nimm zum Beispiel

[ t^2 = int_0^t e^{ au}x( au), d au]

wobei wir nach (x(t)) auflösen wollen. Wir wenden die Laplace-Transformation und die Shifting-Eigenschaft an, um zu erhalten

[ dfrac{2}{s^3} = dfrac{1}{s} mathcal{L} {e^tx(t)} = dfrac{1}{s}X(s-1 ),]

wobei (X(s) = mathcal{L}{x(t)}). Daher

[ X(s-1) = dfrac{2}{s^2}] oder [ X(s) = dfrac{2}{(s+1)^2}.]

Wir verwenden die Shifting-Eigenschaft erneut, um zu erhalten

[ x(t) = 2e^{-t}t.]


6.2: Transformationen von Ableitungen und ODEs - Mathematik

Videovorlesungen für gewöhnliche Differentialgleichungen, MATH 3301
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Eine kurze Liste interessanter Links:
Richtungsfeldplotter John Polking, Rice University.
Neigungsfeldplotter. Lösungen für viele Probleme in Boyce, 7. Aufl., Kapitel 1,2,3,7,9,10, David Schmidt bei RPI
Kursinformation Frühjahr 2013 Änderungen vorbehalten
Ein Leitfaden zu den Grundregeln des mathematischen Schreibens
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Zusätzliche Ressourcen für ODEs
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Wofür Sie möglicherweise verantwortlich sind, wenn Sie Ihre ODEs nicht lernen!
Videos für Lösungen zu vielen Problemen in Boyce, 7. Aufl., Kapitel 1,2,3,7,9,10 Von David Schmidt bei RPI
ODE am MIT. Video der Vorträge von Arthur Mattuck und Haynes Miller, Sportler von Huber Hohn, am Massachussette Institute of Technology. Beinhaltet Transkript, Tools, Prüfungen usw.
ODE-Tools an der JHU. Java-Tools für einen ODE-Kurs von Chikako Mese an der John Hopkins University.
Interaktive Differentialgleichungen Addison Wesley Pearson Applet-Set für ODE.
Richtungsfeldplotter John Polking, Rice University.
Richtungsfeld-Software. Harmonischer Oszillator Eric Woolgar, University of Alberta. Graph der Lösung von IVP ay"+by'+cy=0, y(0), y'(0).
Gedämpftes Pendel J. Feldman, UBC.
Parametrische Resonanz J. Feldman, UBC.
Eine Demo der Euler-Methode J. Feldman, UBC.
Evolution mit Zufallsfaktor Paul Garrett, U Minnesota.
Differentialgleichungslöser für einige berühmte Gleichungen mit Auswahl von RHS aus einer Vielzahl von Eingaben.
Solver für symbolische gewöhnliche Gleichungen Robert Marik und Miroslava Tihlarikova.
Gewöhnlicher Systemlöser für Differentialgleichungen. Jens Langer, Jürgen Arndt, Felix Kramer. Technische Universität Dresden.
IODE: Illinoise ODE UIUC Matlab-Code für ODEs.
Differentialgleichungen mit Randwertproblemen. Software, Hausaufgaben, Livemath von Selwyn Hollis. Verwenden Sie Internet Explorer und installieren Sie das LiveMath-Plugin. Oder stellen Sie zunächst sicher, dass das Plugin für Ihren Browser funktioniert.
Demo zum nichtlinearen Pendel
Grafischer Solver für ODEs zweiter Ordnung. Ihre Variablen sind t, u, v=u'.
Texte:
Differenzgleichungen zu Differenzialgleichungen Dan Sloughter.
Anmerkungen zu Differentialgleichungen Robert E. Terrell, Cornell.
Anmerkungen zu Diffy Qs: Differentialgleichungen für Ingenieure Jiri Lebel, U Wiskonsin Madison.
ODE-Notizen von Paul Dawkins.
Angewandte Mathematik Saun Mauch. Abschnitt IV, Kapitel 14-24.
Eine Liste von Online-Texten in Differentialgleichungen
Projekte:
IDEA (Internet Differential Equation Activities: Studentenprojekte in ODEs)
Ahorn-basierte ODEs bei U South Carolina Doug Meade.
Ahorn-basierte Honors ODEs an der U South Carolina Doug Meade.
Mathematica-basierte ODEs bei U Manchester Gray, Mezzino, Pinsky.
ODE-Projekte für Biologie und Chemie
Analysatoren und Rechner:
Funktionsanalysator.
Wolfram Natural Language Portal für eine Computational Knowledge Engine.
Wolfram-Integrator.
Ein einfacher Rechner.
Herunterladbare Software:
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Maxima ein freies symbolisches Computeralgebrasystem.
Physik-Applets:
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Physik-Applets Wolfgang Christian, Davison College.
Physik-Applets Scott Schneider, LTU.
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Einführung, Überprüfung der Infinitesimalrechnung 65 MB. 90 Minuten
Weitere Informationen finden Sie unter Infinitesimalrechnung und anderen Themen.
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Studienabschnitt 1.1
Modellierung eines Sturzes. Wie eine Differentialgleichung entsteht. Fallendes Objekt bei Luftreibung. V'=g-(c/m)V, V= Geschwindigkeit, g=Gravitationskonstante, c Widerstandskonstante, m Masse. 11MB.16 Min.
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Richtungsfeld, Gleichgewichtslösung. Grafische Darstellung einer Differentialgleichung erster Ordnung y'=f(t,y) durch graphische Darstellung eines Liniensegments mit Steigung m=f(t,y) am Punkt (t,y) in der Koordinatenebene von t und y. Im Moment sind alle Beispiele einfache Beispiele, bei denen t nicht explizit auftaucht. 23MB.27 Min.
Verwenden Sie Direction Field Plotter von John Polking, Rice University, um Ihnen beim Zeichnen von Richtungsfeldern zu helfen. Warten Sie eine Minute, bis die App geladen ist, klicken Sie dann auf die Schaltfläche DFIELD und füllen Sie das Eingabefeld für x'=f(t,x) aus.
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Langzeitverhalten der Lösung Ermitteln des asymptotischen Verhaltens der Lösung mit Hilfe des Richtungsfeldes. Beispiel y'=y(y-3). 14 MB. 23 Min.
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Modellierung einer Mischung. Ein Mischungsproblem. Eine Lösung, die eine gelöste Substanz enthält, tritt in einen Tank ein, wird gemischt und die gemischte Lösung verlässt den Tank. Modellieren und entwickeln Sie die Differentialgleichung, die die Menge an gelöster Substanz im Tank bestimmt. 19 MB. 25 Min.
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Studienabschnitt 1.3
Klassifizierung der hochzuladenden Differentialgleichungen
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Studienabschnitt 2.1
Integrationsfaktor-Methode 1. Lösen der linearen Gleichungen erster Ordnung y'+p(t)y=g(t). Definiere m=exp(int(p)), dann y= [int(mg)+C]/m. Einfaches Beispiel gegeben y'+3y=exp(t). Ein Teil des Audios geht verloren. 29 MB. 35 Min.
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Studienabschnitt 2.2
Trennbare Gleichungen y'=f(t,y), f ist Produkt oder Verhältnis einer Funktion von t und einer anderen Funktion von y. 20 MB. 25 Min.
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Homogene Gleichungen y'=f(t,y), wobei f homogen nullter Ordnung ist, was bedeutet, dass es in Form von y/t geschrieben werden kann, oder f(st, sy)= f(t,y) für alle Werte von S. Kann mit v=y/t in trennbar umgewandelt werden. 10 MB. 17 Min.
Ein weiteres Beispiel für eine homogene Nullordnung Lösung von (x^2-2xy-y^2)y'=(x^2+2xy-y^2).
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Studienabschnitt 2.3
Modellierung eines Mischmischungsproblems mit variablem Volumen, Verwendung der integrierenden Faktormethode und Anfangsbedingung. 34MB. 42 Minuten
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Studienabschnitt 2.4
Existenzbereich für nichtlineare Gleichungen Einfluss der Anfangsbedingung auf das Existenzintervall. 26 MB. 32 Minuten
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Existenzbereich für lineare Gleichungen. Eindeutigkeit für lineare und nichtlineare Gleichungen. Zwei Beispielprobleme. 40 MB. 42 Minuten
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Studienabschnitt 2.5
Autonome Differentialgleichungen und Populationsdynamik, Teil 1 Qualitative Beschreibung der Lösung von y'=(a-by)y, kritische Punkte, Phasenlinie, Gleichgewichtslösungen, stabile, instabile, semistabile Lösungen, Tragfähigkeit. 20 MB. 22 Min.
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Autonome Differentialgleichungen und Populationsdynamik, Teil 2 Terminologieüberprüfung: kritische Punkte, Phasenlinie, Integralkurven, Gleichgewichtslösungen, stabile, instabile, semistabile Lösungen, Bestimmung durch Vorzeichendiagramm von f(y), horizontale Translation von an Integralkurve erzeugt eine weitere Integralkurve, Integralkurven kollidieren nicht. 20 MB. 22 Min.
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Autonome Differentialgleichungen und Populationsdynamik, Teil 3 Parametrische Gleichungen, Analyse des Graphen von f(y) vs y, kritische Punkte, bei denen df/dy 0 Instabilität anzeigt, df/dy=0 weitere Analyse erfordert, evan Potenzen von Faktoren zeigen semistabil und ungerade Potenzen können stabil (nach unten kreuzen) oder instabil (nach oben kreuzen) sein. 20 MB. 22 Min.
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Autonome Differentialgleichungen und Populationsdynamik, Teil 4 Schäfer Modell für Population mit Ernte proportional zur Population, Ertrag, optimaler Ertrag. 20 MB. 22 Min.
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Autonome Differentialgleichungen und Populationsdynamik, Teil 5 Der Wendepunkt von Integralkurven y(t) liegt bei max oder min des Graphen von f(y) in Bezug auf y, was typischerweise df/dy=0 ist. 20 MB. 22 Min.
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Studienabschnitt 2.6
Euler-Verfahren Näherungsweise Lösung der Gleichung erster Ordnung y'=f(t,y) durch eine Folge von Geraden. 30 MB. 42 Minuten
Euler-Applet von David Protas, CSU Northridge. Geben Sie Ihre Funktion ein.
Euler-Applet von Huber Hohn, MIT. Feste Funktionsauswahl.
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Studienabschnitt 3.1
Differentialgleichungen zweiter Ordnung Einführung, allgemeine Form, linear / nichtlinear, konstanter Koeffizient / variabler Koeffizient, homogen / inhomogen, Anfangsbedingungen, IVP, Linearität, Überlagerungsprinzip, 30 MB. 32 Minuten
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Studiere komplexe Wurzeln und wiederholte Wurzeln
Ausgabe 8 Abschnitt 3.4, 3.5
Ausgabe 9 Abschnitt 3.3, 3.4
2. Ordnung, homogen, konstanter Koeffizient ODE Charakteristische Gleichung, Klassifikation von Wurzeln, zwei verschiedene reelle Wurzeln, wiederholte Wurzeln, komplexe Wurzeln, Eulerformal, 30 MB. 32 Minuten
Studienabschnitt 3.4, 3.5
2. Ordnung, homogen, konstanter Koeffizient ODE Charakteristische Gleichung, Klassifikation von Wurzeln, zwei verschiedene reelle Wurzeln, wiederholte Wurzeln, komplexe Wurzeln, Eulerformal, 30 MB. 32 Minuten
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Studie Auftragsreduzierung
Ausgabe 8 Abschnitt 3.5
Ausgabe 9 Abschnitt 3.4
Reduktion der Ordnungsmethode y = V * bekannte Lösung, in ODE ersetzen, um eine neue ODE zu erhalten, wo V fehlt, verwenden Sie W=V', um eine ODE erster Ordnung zu erhalten, erhalten Sie W, integrieren Sie, um V zu erhalten, erhalten Sie y. 30 MB. 32 Minuten
Studienmethode des unbestimmten Koeffizienten
ein weiteres Ordnungsreduktionsbeispiel, eine Lösung gegeben, Problem 28 Seite 173 Löse (x-1) y" - x y' + y = 0, y_1=e^x
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Untersuchungsmethode unbestimmter Koeffizienten
Ausgabe 8 Abschnitt 3.6
Ausgabe 9 Abschnitt 3.5
Methode der unbestimmten Koeffizienten, Teil a Anwendbar auf inhomogene Gleichungen, bei denen der Quellterm die Summe der Produkte von Polynomen, Exponentialen und Sinuskurven ist. 30 MB. 32 Minuten
Methode der unbestimmten Koeffizienten, Teil b Weitere Beispiele. 40 MB. 32 Minuten
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Optional
Untersuchungsmethode der Parametervariation
Ausgabe 8 Abschnitt 3.7
Ausgabe 9 Abschnitt 3.6
Variation von Parametern zwei Lösungen der entsprechenden inhomogenen Gleichung sind gegeben wir finden die Lösung der inhomogenen Gleichung, Beispielaufgabe 5 Seite 190 Lösen Sie y" + y = tan t , 0 a.
3- Zur Zeit 32:50 schreibe ich statt S+1 S-1. Der Fehler wird bis zum Ende des Videos fortgesetzt. Das Problem wird behoben und im nächsten Video erneut durchgeführt.
Thema 1: Laplace[ exp(at) f(t)], mehrere Beispiele.
Thema 2: Partielle Fraktionszerlegung.
Thema 3: Vervollständigung von Quadraten.
Laplace-Transformation So finden Sie in einigen grundlegenden Fällen die inverse Laplace-Transformation. Allgemeiner Fall 2. Ordnung.
Beispiel 1: Ein linearer Term geteilt durch einen quadratischen. Quadratisch ist irreduzibel, dh Wurzeln sind komplex.
Beispiel 2: Ein Quadrat dividiert durch ein Kubik.
Beispiel 3: Laplace-Transformation der Lösung von ay"+by"+cy=g(t), y_0, y'_0.
Extra:
Laplace-Transformationsrechner. Xiao Gang, WIMS, Frankreich.
Laplace-Transformation in Wikipedia.
Rechner für inverse Laplace-Transformation. Nur rationale Funktionen.
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Studieren Sie die Laplace-Transformation
Ausgabe 8 Abschnitt 6.2
Ausgabe 9 Abschnitt 6.2
Laplace-Transformation Laplace[t sin(at)], Laplace[(-t)^n f(t)]=F^(n) (s), Laplace-Transformation der Step/Switch/Heaviside-Funktion u_c(t)
Studieren Sie die Laplace-Transformation
Ausgabe 8 Abschnitt 6.3
Ausgabe 9 Abschnitt 6.3
Laplace Transformiert externe Eingaben mit Schalter und Verzögerung, Laplace[u_3(t) (t-3)^2], Schreiben von mehrteiligen oder stückweise definierten Funktionen mit Add- und Delete-Ansatz.
Korrekturen:
Zur Zeit 6:00 schreibe ich y=x^2. Es sollte y=t^2 sein.
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Studieren Sie die Laplace-Transformation
Ausgabe 8 Abschnitt 6.3
Ausgabe 9 Abschnitt 6.3
Laplace-Transformation Laplace-Transformation einer stückweise definierten Funktion, Neuformierung von Funktionen durch Einbeziehung künstlicher Verzögerung
Korrekturen:
Cursor hat bei dieser Aufnahme nicht richtig funktioniert.
Von 4:35 bis 5:35 Uhr. Ich schreibe y(0), es sollte f(0) sein, auch y'(0) sollte f'(0) sein und y"(0) sollte f"(0) sein.
Um 14:48 schreibe ich ein Extra (t-2). Es wird um 15:40 Uhr korrigiert.
Um 22:30 schreibe ich F(t), es sollte F(s) sein.
Laplace-Transformation Zwei grundlegende Probleme, 13 und 21 aus 6.2.
Laplace Transform ein Beispiel zum Finden von Laplace[y(t)] für IVP mit diskontinuierlicher Antriebsfunktion, Problem 24 aus 6.2.
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Studieren Sie die Laplace-Transformation
Ausgabe 8 Abschnitt 6.3
Ausgabe 9 Abschnitt 6.3
Laplace Transformieren Sie eine Bewertung.
Laplace Transformieren Sie eine Bewertung.
Beginn der ODE-Vorlesungen für 2011
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Überprüfung:
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Beginnen Sie mit dem Studium 1.1
Einführung in die gewöhnlichen Differentialeuationen (ODEs) ODE als Beziehung zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung. Ähnlichkeiten zwischen einem Richtungsfeld und einem Magnetfeld.
Richtungsfeld, DField-Software, Verbindung zur Physik
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6.2: Transformationen von Ableitungen und ODEs - Mathematik

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Das Studium von Differentialgleichungen ist ein so umfangreiches Thema, dass selbst ein kurzer Überblick über ihre Methoden und Anwendungen in der Regel einen vollen Kurs in Anspruch nimmt.

In der Mathematik ist eine gewöhnliche Differentialgleichung (abgekürzt ODE) eine Gleichung, die eine Funktion einer unabhängigen Variablen und ihrer Ableitungen enthält. Die Ableitungen sind gewöhnlich, weil partielle Ableitungen nur für Funktionen vieler unabhängiger Variablen gelten.

Das Thema ODEs ist anspruchsvoll (eher bei PDEs), vor allem aufgrund der verschiedenen Formen und Integrationsmöglichkeiten der ODE. Lineare Differentialgleichungen sind solche mit Lösungen, die addiert und mit Koeffizienten multipliziert werden können, und die Theorie der linearen Differentialgleichungen ist gut definiert und verstanden, und es können exakte Lösungen in geschlossener Form erhalten werden. Im Gegensatz dazu sind ODEs, die keine additiven Lösungen haben, nichtlinear, und das Finden der Lösungen ist viel komplizierter, da es selten möglich ist, sie durch elementare Funktionen in geschlossener Form darzustellen – vielmehr liegen die exakten (oder "analytischen") Lösungen in Reihe oder integrale Form. Alternativ zur exakten analytischen Lösung können graphische und numerische Verfahren (von Hand oder am Computer) zur Generierung von Näherungslösungen verwendet werden. Die Eigenschaften solcher Näherungslösungen können sehr nützliche Informationen liefern, die oft ausreichen, wenn die genaue analytische Lösung fehlt.

Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) treten in vielen verschiedenen Kontexten in Mathematik und Naturwissenschaften (sozial und natürlich) auf die eine oder andere Weise auf, da bei der mathematischen Beschreibung von Veränderungen Differentiale und Ableitungen (verwandt, wenn auch nicht ganz gleich) am genauesten verwendet werden. Da verschiedene Differentiale, Ableitungen und Funktionen zwangsläufig über Gleichungen miteinander in Beziehung stehen, entsteht eine Differentialgleichung, die dynamische Phänomene, Evolution und Variation beschreibt. Größen werden oft als Änderungsgeschwindigkeit anderer Größen (Zeitableitungen) oder Gradienten von Größen definiert, wodurch sie in Differentialgleichungen eingehen.

Spezifische mathematische Gebiete umfassen Geometrie und analytische Mechanik. Zu den wissenschaftlichen Gebieten gehören ein Großteil der Physik und Astronomie (Himmelsmechanik), Geologie (Wettermodellierung), Chemie (Reaktionsraten), Biologie (Infektionskrankheiten, genetische Variation), Ökologie und Populationsmodellierung (Bevölkerungswettbewerb), Ökonomie (Aktientrends, Zinssätze und der Marktgleichgewichtspreis ändert sich).

Viele Mathematiker haben Differentialgleichungen studiert und zu diesem Gebiet beigetragen, darunter Newton, Leibniz, die Familie Bernoulli, Riccati, Clairaut, d’Alembert und Euler.


6.2: Transformationen von Ableitungen und ODEs - Mathematik

Fortgeschrittene Ingenieurmathematik

Woche 1: Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung Trennbare ODEs, Exakte ODEs, Reduktion auf exakte Form, Bestimmung von Integrationsfaktoren für Ungenauigkeiten, Anfangswertprobleme, Lineare ODEs, Bernoulli-Gleichung, Homogene ODEs, Nichthomogene ODEs, Populationsdynamik, Verhulst-Gleichung, Picard s Existenz- und Eindeutigkeitssätze, Lipschitz-Bedingung

Woche 2: Lineare ODE zweiter Ordnung Homogene lineare ODEs, Inhomogene ODEs zweiter Ordnung, Reduktion von Ordnung und Basis, Differentialoperatoren, Modellierung freier Schwingungen (Masse-Feder-System – Überdämpfung, Kritische Dämpfung, Unterdämpfung), Euler-Cauchy-Gleichungen, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen, Wronskian, Methode der unbestimmten Koeffizienten, Modellierung erzwungener Schwingungen (Masse-Feder-System - gedämpfte erzwungene Schwingungen, ungedämpfte erzwungene Schwingungen-Resonanz), Lösung durch Parametervariation, lineare ODEs höherer Ordnung homogene lineare ODEs, eindeutige reelle Wurzeln, Einfache komplexe Nullstellen, Mehrere reelle Nullstellen, Mehrere komplexe Nullstellen, Inhomogene lineare ODEs, Methode der unbestimmten Koeffizienten, Methode der Parametervariation

Woche 3: Systeme von ODEs, Eigenwerte und Eigenvektoren, Umwandlung einer ODE n-ter Ordnung in ein System, Grundlegende Theorie der Systeme von ODEs, Konstantkoeffizientensysteme und Phasenebenenmethode, Qualitative Methoden, Trajektorien, 5 Arten von kritischen Punkten des Systems (ungeeigneter Knoten, Eigener Knoten, Sattelpunkt, Mittelpunkt, Spiralpunkt), Entarteter Knoten, Kriterien für kritische Punkte, Stabilität (stabile, instabile und attraktive und stabile kritische Punkte), Qualitative Methoden für nichtlineare Systeme, Linearisierung nichtlinearer Systeme, Freies ungedämpftes Pendel und Linearisierung, Linearisierung des gedämpften Pendels, Inhomogene lineare ODEs, Methode der unbestimmten Koeffizienten, Methode der Parametervariation

Woche 4: Reihenlösungen von ODEs Potenzreihenmethode, Konvergenzintervall, Konvergenzradius, Legendresche Gleichungen, Legendre-Polynome, Frobenius-Methode, Besselsche Gleichungen, Besselfunktionen,

Woche 5: Besselfunktionen zweiter Art, Sturm-Liouville-Probleme, Orthogonale Funktionen, Orthogonale Eigenfunktionsentwicklungen.

Woche 6-7: Laplace-Transformationen, inverse Transformation, s-Shifting, Transformationen von Ableitungen und Integralen, Einheitsschrittfunktion, t-Shifting, Short Impulse, Dirac’s Delta Function, Partial Fractions, Convolution, Integral Equations, Differentiation and Integration of Transformations, Systems of ODEs , Laplace-Transformation: allgemeine Formeln.

Woche 8: Lineare Algebra, lineare Unabhängigkeit, Rang, Vektorraum, Determinanten zweiter und dritter Ordnung, Inverse einer Matrix, Gauß-Jordan-Elimination, Vektorräume, innere Produkträume, lineare Transformationen

Woche 9: Matrixeigenwertprobleme, Eigenwerte, Eigenvektor, schiefsymmetrische und orthogonale Matrizen, Eigenbasen, Diagonalisierung, quadratische Formen

Woche 10: Vektordifferentialrechnung, Gradient, Divergenz, Curl eines Vektorfeldes, Punktprodukt, Kreuzprodukt, Vektorfelder, Richtungsableitungen, Kurven, Bogenlänge

Woche 11: Vektorintegralrechnung, Linienintegrale, Wegunabhängigkeit von Linienintegralen, Doppelintegrale, Satz von Green in der Ebene, Oberflächenintegrale, Tripelintegrale, Divergenzsatz von Gauß, Satz von Stokes.

Woche 12-13: Fourierreihen, Integrale und Transformationen.

Woche 13-14: Partielle Differentialgleichungen, Wellengleichung, D Alemberts Lösung der Wellengleichung, Wärmegleichung und Lösung durch Fourier-Reihe, Wärmegleichung und Lösung durch Fourier-Integrale und -Transformationen, Rechteckige Membran, Doppel-Fourier-Reihe, Laplace in Polarkoordinaten, Kreisförmig Membran, Fourier-Bessel-Serie, Lösung von PDEs durch Laplace-Transformationen


6.2: Transformationen von Ableitungen und ODEs - Mathematik


Advanced Engineering Mathematics Zehnte Ausgaben
Buku ini diterbitkan tahun 2011 von JOHN WILEY & SONS, INC. adalah buku edisi Sepuluh.

Judul: Zehnte Ausgabe von Advanced Engineering Mathematics
Oleh: Erwin Kreyszig, et al
Penerbit: JOHN WILEY & SONS, INC.
Tahun: 2011
Jumlah Halaman: 1283 ha.

ERWIN KREYSZIG
Professor für Mathematik Ohio State University
Columbus, Ohio’
In Zusammenarbeit mit
HERBERT KREYSZIG
New York, New York
EDWARD J. NORMINTON
Außerordentlicher Professor für Mathematik Carleton University
Ottawa, Ontario

Buku ini memberikan petunjuk yang komprehensif, menyeluruh, dan up-to-date dari rekayasa
matematika. Hal ini dimaksudkan untuk memperkenalkan mahasiswa teknik, fisika, matematika,
ilmu komputer, dan yang terkait bieder matematika terapan yang paling relevant für memecahkan masalah praktis. Sebuah kursus dalam kalkulus dasar adalah satu-satunya prasyarat. (Namun, penyegaran singkat dari kalkulus dasar bagi siswa disertakan di bagian dalam dan di Lampiran 3.)
Subyek diatur menjadi tujuh bagian sebagai berikut:
A. Persamaan Diferensial Biasa (Odes) dalam Bab 1-6
B. Aljabar-Linear. Vektorrechnung. Lihat Bab 7-10
C. Analisis Fourier. Persamaan Diferensial Parsial (PDE). Lihat Bab 11 und 12
D. Analisis Kompleks dalam Bab 13-18
E. Analisis Numerisches Dalam Bab 19-21
F. Optimierung, Grafik dalam Bab 22 dan 23
G. Probabilitas, Statistik dalam Bab 24 dan 25.
Ini diikuti oleh lima lampiran: 1. Referensi, 2. Jawaban Ganjil-bernomor Masalah, 3. Hilfs-Bahan (lihat juga di dalam buku), 4. Bukti Tambahan, 5. Tabel Fungsi. Hal ini ditunjukkan dalam sebuah diagramm blok pada halaman berikutnya.
Bagian-bagian dari buku ini diupayakan unabhängig. Selain itu, masing-masing bab disimpan sein-independen mungkin. (Jika demikian diperlukan, prasyarat-ke tingkat individu bagian sebelumnya bab-jelas dinyatakan pada pembukaan setiap bab.) Buku ini telah membantu untuk membuka jalan bagi pengembangan rekayasa matematika. Edisi baru akan mempersiapkan siswa untuk tugas-tugas saat ini dan masa depan dengan pendekatan modern untuk daerah yang tercantum di atas. Buku ini menyediakan materi und alat pembelajaran bagi siswa untuk mendapatkan dasar yang baik matematika teknik yang akan membantu mereka dalam karir mereka und dalam studi lebih lanjut.

TEIL A Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) 1
KAPITEL 1 ODE erster Ordnung 2

1.1 Grundkonzepte. Modellieren 2
1.2 Geometrische Bedeutung von y_ _ ƒ(x, y). Richtungsfelder, Euler-Methode 9
1.3 Trennbare ODEs. Modellierung 12
1.4 Genaue ODEs. Integrationsfaktoren 20
1.5 Lineare ODEs. Bernoulli-Gleichung. Bevölkerungsdynamik 27
1.6 Orthogonale Trajektorien. Optional 36
1.7 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für Anfangswertprobleme 38
Kapitel 1 Prüfungsfragen und -probleme 43
Zusammenfassung von Kapitel 1 44
KAPITEL 2 Lineare ODEs zweiter Ordnung 46
2.1 Homogene lineare ODEs zweiter Ordnung 46
2.2 Homogene lineare ODEs mit konstanten Koeffizienten 53
2.3 Differentialoperatoren. Optional 60
2.4 Modellierung der freien Schwingungen eines Masse–Federsystems 62
2.5 Euler–Cauchy-Gleichungen 71
2.6 Existenz und Einzigartigkeit von Lösungen. Wronski 74
2.7 Inhomogene ODEs 79
2.8 Modellierung: Erzwungene Schwingungen. Resonanz 85
2.9 Modellierung: Stromkreise 93
2.10 Lösung durch Variation von Parametern 99
Kapitel 2 Überprüfungsfragen und -probleme 102
Zusammenfassung von Kapitel 2 103
KAPITEL 3 Lineare ODE höherer Ordnung 105
3.1 Homogene lineare ODEs 105
3.2 Homogene lineare ODEs mit konstanten Koeffizienten 111
3.3 Inhomogene lineare ODEs 116
Kapitel 3 Überprüfungsfragen und -probleme 122
Zusammenfassung von Kapitel 3 123
KAPITEL 4 Systeme von ODEs. Phasenebene. Qualitative Methoden 124
4.0 Als Referenz: Grundlagen von Matrizen und Vektoren 124
4.1 Systeme von ODEs als Modelle in Ingenieuranwendungen 130
4.2 Grundlegende Theorie der Systeme von ODEs. Wronski 137
4.3 Systeme mit konstantem Koeffizienten. Phasenebenenmethode 140
4.4 Kriterien für kritische Punkte. Stabilität 148
4.5 Qualitative Methoden für nichtlineare Systeme 152
4.6 Inhomogene Linearsysteme von ODEs 160
Kapitel 4 Prüfungsfragen und -probleme 164
Zusammenfassung von Kapitel 4 165
KAPITEL 5 Serienlösungen von ODEs. Sonderfunktionen 167
5.1 Power-Serien-Methode 167
5.2 Legendre's Gleichung. Legendre-Polynome Pn(x) 175
5.3 Extended Power Series Methode: Frobenius Methode 180
5.4 Besselsche Gleichung. Bessel-Funktionen J_(x) 187
5.5 Bessel-Funktionen des Y_(x). Allgemeine Lösung 196
Kapitel 5 Fragen und Probleme bei der Überprüfung 200
Zusammenfassung von Kapitel 5 201
KAPITEL 6 Laplace-Transformationen 203
6.1 Laplace-Transformation. Linearität. Erster Verschiebungssatz (s-Verschiebung) 204
6.2 Transformationen von Ableitungen und Integralen. ODEs 211
6.3 Einheitsschrittfunktion (Heaviside-Funktion). Zweiter Verschiebungssatz (t-Verschiebung) 217
6.4 Kurze Impulse. Dirac’s Delta-Funktion. Teilbrüche 225
6.5 Faltung. Integrale Gleichungen 232
6.6 Differenzierung und Integration von Transformationen. ODEs mit variablen Koeffizienten 238
6.7 Systeme von ODEs 242
6.8 Laplace-Transformation: Allgemeine Formeln 248
6.9 Tabelle der Laplace-Transformationen 249
Kapitel 6 Fragen und Probleme bei der Überprüfung 251
Zusammenfassung von Kapitel 6 253


TEIL B Lineare Algebra. Vektorrechnung 255
KAPITEL 7 Lineare Algebra: Matrizen, Vektoren, Determinanten. Linearsysteme 256
7.1 Matrizen, Vektoren: Addition und Skalarmultiplikation 257
7.2 Matrixmultiplikation 263
7.3 Lineare Gleichungssysteme. Gauss-Elimination 272
7.4 Lineare Unabhängigkeit. Rang einer Matrix. Vektorraum 282
7.5 Lösungen linearer Systeme: Existenz, Einzigartigkeit 288
7.6 Als Referenz: Determinanten zweiter und dritter Ordnung 291
7.7 Determinanten. Cramer’er Regel 293
7.8 Inverse einer Matrix. Gauss–Jordan Elimination 301
7.9 Vektorräume, innere Produkträume. Lineare Transformationen. Optional 309
Kapitel 7 Fragen und Probleme bei der Überprüfung 318
Zusammenfassung von Kapitel 7 320
KAPITEL 8 Lineare Algebra: Matrixeigenwertprobleme 322
8.1 Das Matrixeigenwertproblem. Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren 323
8.2 Einige Anwendungen von Eigenwertproblemen 329
8.3 Symmetrische, schiefsymmetrische und orthogonale Matrizen 334
8.4 Eigenbasen. Diagonale. Quadratische Formen 339
8.5 Komplexe Matrizen und Formen. Optional 346
Kapitel 8 Überprüfungsfragen und -probleme 352
Zusammenfassung von Kapitel 8 353
KAPITEL 9 Vektordifferentialrechnung. Grad, Div, Curl 354
9.1 Vektoren im 2-Space und 3-Space 354
9.2 Inneres Produkt (Punktprodukt) 361
9.3 Vektorprodukt (Kreuzprodukt) 368
9.4 Vektor- und Skalarfunktionen und ihre Felder. Vektorrechnung: Ableitungen 375
9.5 Kurven. Bogenlänge. Krümmung. Torsion 381
9.6 Calculus Review: Funktionen mehrerer Variablen. Optional 392
9.7 Gradient eines Skalarfeldes. Richtungsableitung 395
9.8 Divergenz eines Vektorfeldes 402
9.9 Curl eines Vektorfeldes 406
Kapitel 9 Überprüfungsfragen und -probleme 409
Zusammenfassung von Kapitel 9 410
KAPITEL 10 Vektorintegralrechnung. Integralsätze 413
10.1 Linienintegrale 413
10.2 Pfadunabhängigkeit von Linienintegralen 419
10.3 Calculus Review: Doppelte Integrale. Optional 426
10.4 Satz von Green’ in der Ebene 433
10.5 Flächen für Flächenintegrale 439
10.6 Oberflächenintegrale 443
10.7 Dreifachintegrale. Divergenzsatz von Gauß 452
10.8 Weitere Anwendungen des Divergenzsatzes 458
10.9 Stokes’s Satz 463
Kapitel 10 Fragen und Probleme bei der Überprüfung 469
Zusammenfassung von Kapitel 10 470

TEIL C Fourier-Analyse. Partielle Differentialgleichungen (PDEs) 473
KAPITEL 11 Fourier-Analyse 474

11.1 Fourier-Serie 474
11.2 Willkürliche Frist. Gerade und ungerade Funktionen. Halbbereichserweiterungen 483
11.3 Erzwungene Schwingungen 492
11.4 Approximation durch trigonometrische Polynome 495
11.5 Sturm–Liouville-Probleme. Orthogonale Funktionen 498
11.6 Orthogonale Serie. Generalisierte Fourier-Serie 504
11,7 Fourier-Integral 510
11.8 Fourier-Cosinus- und Sinus-Transformationen 518
11.9 Fourier-Transformation. Diskrete und schnelle Fourier-Transformationen 522
11.10 Transformationstabellen 534
Kapitel 11 Überprüfungsfragen und -probleme 537
Zusammenfassung von Kapitel 11 538
KAPITEL 12 Partielle Differentialgleichungen (PDEs) 540
12.1 Grundkonzepte von PDEs 540
12.2 Modellierung: Vibrierende Saite, Wellengleichung 543
12.3 Lösung durch Trennen von Variablen. Verwendung von Fourier Serie 545
12.4 D’Alembert’s Lösung der Wellengleichung. Eigenschaften 553
12.5 Modellierung: Wärmefluss von einem Körper im Raum. Wärmegleichung 557
12.6 Wärmegleichung: Lösung durch Fourier-Reihe. Stetige zweidimensionale Wärmeprobleme. Dirichlet
Problem 558
12.7 Wärmegleichung: Modellieren von sehr langen Stäben. Lösung durch Fourier-Integrale und Transformationen 568
12.8 Modellierung: Membran, zweidimensionale Wellengleichung 575
12.9 Rechteckige Membran. Doppel-Fourier-Serie 577
12.10 Laplace-Funktion in Polarkoordinaten. Kreisförmige Membran. Fourier–Bessel Serie 585
12.11 Laplacesche Gleichung in zylindrischen und sphärischen Koordinaten. Potenzial 593
12.12 Lösung von PDEs von Laplace transformiert 600
Kapitel 12 Überprüfungsfragen und -probleme 603
Zusammenfassung von Kapitel 12 604

TEIL D Komplexe Analysis 607
KAPITEL 13 Komplexe Zahlen und Funktionen. Komplexe Differenzierung 608

13.1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische Darstellung 608
13.2 Polarform komplexer Zahlen. Kräfte und Wurzeln 613
13.3 Derivat. Analytische Funktion 619
13.4 Cauchy–Riemann-Gleichungen. Laplace’s Gleichung 625
13.5 Exponentialfunktion 630
13.6 Trigonometrische und hyperbolische Funktionen. Eulers Formel 633
13.7 Logarithmus. Allgemeine Macht. Hauptwert 636
Kapitel 13 Fragen und Probleme bei der Überprüfung 641
Zusammenfassung von Kapitel 13 641
KAPITEL 14 Komplexe Integration 643
14.1 Linienintegral in der komplexen Ebene 643
14.2 Cauchys Integralsatz 652
14.3 Cauchy’s Integralformel 660
14.4 Ableitungen analytischer Funktionen 664
Kapitel 14 Fragen und Probleme bei der Überprüfung 668
Zusammenfassung von Kapitel 14 669
KAPITEL 15 Power-Serie, Taylor-Serie 671
15.1 Folgen, Reihen, Konvergenztests 671
15.2 Leistungsserie 680
15.3 Funktionen der Power Series 685
15.4 Taylor- und Maclaurin-Serie 690
15.5 Gleichmäßige Konvergenz. Optional 698
Kapitel 15 Überprüfungsfragen und -probleme 706
Zusammenfassung von Kapitel 15 706
KAPITEL 16 Laurent-Reihe. Rückstandsintegration 708
16.1 Laurent Serie 708
16.2 Singularitäten und Nullstellen. Unendlich 715
16.3 Rückstandsintegrationsmethode 719
16.4 Restintegration reeller Integrale 725
Kapitel 16 Fragen und Probleme bei der Überprüfung 733
Zusammenfassung von Kapitel 16 734
KAPITEL 17 Konformes Mapping 736
17.1 Geometrie analytischer Funktionen: Conformal Mapping 737
17.2 Lineare Bruchtransformationen (Möbius-Transformationen) 742
17.3 Spezielle lineare Bruchtransformationen 746
17.4 Konformes Mapping durch andere Funktionen 750
17.5 Riemannsche Flächen. Optional 754
Kapitel 17 Überprüfungsfragen und -probleme 756
Zusammenfassung von Kapitel 17 757
KAPITEL 18 Komplexe Analysis und Potentialtheorie 758
18.1 Elektrostatische Felder 759
18.2 Verwendung von konformem Mapping. Modellieren 763
18.3 Hitzeprobleme 767
18.4 Flüssigkeitsfluss 771
18.5 Poisson-Integralformel für Potentiale 777
18.6 Allgemeine Eigenschaften harmonischer Funktionen. Eindeutigkeitssatz für das Dirichlet-Problem 781
Kapitel 18 Überprüfungsfragen und -probleme 785
Zusammenfassung von Kapitel 18 786

TEIL E Numerische Analyse 787
Software 788
KAPITEL 19 Numerik im Allgemeinen 790

19.1 Einführung 790
19.2 Lösung von Gleichungen durch Iteration 798
19.3 Interpolation 808
19.4 Spline-Interpolation 820
19.5 Numerische Integration und Differenzierung 827
Kapitel 19 Überprüfungsfragen und -probleme 841
Zusammenfassung von Kapitel 19 842
KAPITEL 20 Numerische Lineare Algebra 844
20.1 Lineare Systeme: Gauss-Eliminierung 844
20.2 Lineare Systeme: LU-Faktorisierung, Matrixinversion 852
20.3 Lineare Systeme: Lösung durch Iteration 858
20.4 Lineare Systeme: Schlechte Konditionierung, Normen 864
20.5 Methode der kleinsten Quadrate 872
20.6 Matrixeigenwertprobleme: Einführung 876
20.7 Einbeziehung von Matrix-Eigenwerten 879
20.8 Potenzverfahren für Eigenwerte 885
20.9 Tridiagonalisierung und QR-Faktorisierung 888
Kapitel 20 Fragen und Probleme bei der Überprüfung 896
Zusammenfassung von Kapitel 20 898
KAPITEL 21 Numerik für ODEs und PDEs 900
21.1 Methoden für ODEs erster Ordnung 901
21.2 Mehrschrittmethoden 911
21.3 Methoden für Systeme und ODEs höherer Ordnung 915
21.4 Methoden für elliptische PDEs 922
21.5 Neumann- und gemischte Probleme. Unregelmäßige Grenze 931
21.6 Methoden für parabolische PDEs 936
21.7 Methode für hyperbolische PDEs 942
Kapitel 21 Überprüfungsfragen und -probleme 945
Zusammenfassung von Kapitel 21 946

TEIL F Optimierung, Diagramme 949
KAPITEL 22 Unbeschränkte Optimierung. Lineare Programmierung 950
22.1 Grundkonzepte. Uneingeschränkte Optimierung: Methode der steilsten Abfahrt 951
22.2 Lineare Programmierung 954
22.3 Simplex-Methode 958
22.4 Simplex-Methode: Schwierigkeiten 962
Kapitel 22 Überprüfungsfragen und -probleme 968
Zusammenfassung von Kapitel 22 969
KAPITEL 23 Grafiken. Kombinatorische Optimierung 970
23.1 Graphen und Digraphen 970
23.2 Kürzeste-Wege-Probleme. Komplexität 975
23.3 Bellman-Prinzip. Dijkstra’s Algorithmus 980
23.4 Kürzeste Spanning Trees: Greedy Algorithmus 984
23.5 Kürzeste Spanning Trees: Prim’s Algorithmus 988
23.6 Flüsse in Netzwerken 991
23,7 Maximaler Durchfluss: Ford–Fulkerson-Algorithmus 998
23.8 Bipartite Graphen. Zuordnungsprobleme 1001
Kapitel 23 Überprüfungsfragen und -probleme 1006
Zusammenfassung von Kapitel 23 1007

TEIL G Wahrscheinlichkeit, Statistik 1009
Software 1009
KAPITEL 24 Datenanalyse. Wahrscheinlichkeitstheorie 1011

24.1 Datendarstellung. Durchschnitt. Verbreite 1011
24.2 Experimente, Ergebnisse, Ereignisse 1015
24.3 Wahrscheinlichkeit 1018
24.4 Permutationen und Kombinationen 1024
24.5 Zufallsvariablen. Wahrscheinlichkeitsverteilungen 1029
24.6 Mittelwert und Varianz einer Verteilung 1035
24.7 Binomial-, Poisson- und hypergeometrische Verteilungen 1039
24.8 Normalverteilung 1045
24.9 Verteilungen mehrerer Zufallsvariablen 1051
Kapitel 24 Überprüfungsfragen und -probleme 1060
Zusammenfassung von Kapitel 24 1060
KAPITEL 25 Mathematische Statistik 1063
25.1 Einführung. Zufallsstichprobe 1063
25.2 Punktschätzung der Parameter 1065
25.3 Vertrauensintervalle 1068
25.4 Hypothesen testen. Entscheidungen 1077
25.5 Qualitätskontrolle 1087
25.6 Abnahmebemusterung 1092
25.7 Passungsgüte. _ 2-Test 1096
25.8 Nichtparametrische Tests 1100
25.9 Regression. Gerade Linien anpassen. Korrelation 1103
Kapitel 25 Überprüfungsfragen und -probleme 1111
Zusammenfassung von Kapitel 25 1112
ANHANG 1 Referenzen A1
ANHANG 2 Antworten zu ungeradzahligen Pro
Fehler A4
ANHANG 3 Hilfsmaterial A63
A3.1 Formeln für Sonderfunktionen A63
A3.2 Partielle Derivate A69
A3.3 Sequenzen und Serie A72
A3.4 Grad, Div, Curl, _2 in krummlinigen Koordinaten A74
ANHANG 4 Zusätzliche Nachweise A77
ANHANG 5 Tabellen A97
INDEX I1
FOTOKREDITE P1


6.2: Transformationen von Ableitungen und ODEs - Mathematik

MA201 Mathematik III (3-1-0-8)

Komplexe Analyse: Komplexe Zahlen und elementare Eigenschaften Komplexe Funktionen Grenzwerte, Stetigkeit und Differentiation, Cauchy-Riemann-Gleichungen, analytische und harmonische Funktionen, elementare analytische Funktionen, Stammfunktionen und Linienintegrale, Cauchy-Goursat-Theorem, Cauchy-Integralformel, Morera x27s Theorem, Liouville's Theorem, Fundamental Theorem of Algebra and Maximum Modulus Principle Potenzreihen, Taylor-Reihen, Nullstellen analytischer Funktionen, Singularitäten und Laurent-Reihen, Rouche's Theorem und Argumentprinzip, Residuen, Cauchy's Residue Theorem und Anwendungen, Möbius-Transformationen und -Anwendungen.

Partielle Differentialgleichungen: Fourier-Reihe, Halbbereichs-Fourier-Reihe, Fourier-Transformation, Finite Sinus- und Cosinus-Transformation Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, Lösungen linearer und quasilinearer PDEs erster Ordnung, Kennlinienverfahren Klassifikation von PDEs zweiter Ordnung, kanonische Form Anfangs- und Randwertprobleme mit Wellengleichung und Wärmeleitungsgleichung, Randwertprobleme mit Laplace-Gleichung und Lösungen durch Verfahren der Variablentrennung Anfangsrandwertprobleme in nicht-rechteckigen Koordinaten.

Laplace- und inverse Laplace-Transformationen, Eigenschaften, Faltungen Lösung von ODEs und

PDEs durch Laplace-Transformation Lösung von PDEs durch Fourier-Transformation.

[1] J. W. Brown und R. V. Churchill, Complex Variables and Applications, 7. Auflage, McGraw Hill, 2004.

[2] I. N. Sneddon, Elements of Partial Differential Equations, McGraw Hill, 1957.

[3] E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10. Auflage, Wiley, 2015.

[1] J. H. Mathews und R. W. Howell, Complex Analysis for Mathematics and Engineering, 3. Auflage, Narosa, 1998.

[2] S. J. Farlow, Partielle Differentialgleichungen für Wissenschaftler und Ingenieure, Dover Publications, 1993.

[3] K. Sankara Rao, Einführung in partielle Differentialgleichungen, 3. Auflage, Prentice Hall of India, 2011.


6.2: Transformationen von Ableitungen und ODEs - Mathematik

Von Schülern, die Mathematikkurse auf dem Niveau 2000 oder höher belegen, wird erwartet, dass sie in der Computerprogrammierung unter Verwendung von Sprachen wie BASIC, C, FORTRAN oder PASCAL kompetent sind. Diese Kompetenz kann durch den Abschluss von CSCI 1110 erworben werden.

Sofern nicht anders angegeben, werden Kurse jeweils im Herbst, Frühjahr und Sommer I und II angeboten.

1010. Grundlagen der Algebra. 3 Stunden. Grundlegende algebraische Operationen, lineare Gleichungen und Ungleichungen, Polynome, rationale Ausdrücke, Faktorisierung, Exponenten und Radikale sowie quadratische Gleichungen. Voraussetzung(en): Zustimmung der Abteilung. Studenten können sich nicht für diesen Kurs einschreiben, wenn sie für einen anderen UNT-Mathematikkurs angerechnet wurden. Credits in diesem Studiengang erfüllen keine Studienvoraussetzungen. Nur Pass/Kein Pass.

1100 (1314). Hochschulalgebra. 3 Stunden. Quadratische Gleichungssysteme mit quadratischen Variations-, Verhältnis- und Proportionsverläufen der Binomialsatz Ungleichungen komplexe Zahlen Theorie der Gleichungen Determinanten Partialbrüche. Voraussetzung(en): zwei Jahre High-School-Algebra und ein Jahr Geometrie oder Zustimmung des Fachbereichs.

1190 (1325). Mathematik mit Schwerpunkt auf Geschäftsanwendungen. 3 Stunden. Lineare Ungleichungen und Systeme linearer Ungleichungen, Lineare Programmierung, Matrizen, Ableitungen und Integrale. Voraussetzung(en): MATH 1100.

1600. College-Mathematik mit Infinitesimalrechnung. 5 Stunden. (302) Ein Kurs für angewandte Mathematik, der für nicht-wissenschaftliche Hauptfächer konzipiert ist. Alle Themen werden durch reale Anwendungen motiviert. Gleichungen, Graphen, Funktionen, exponentielle und logarithmische Funktionen Finanzmathematik lineare Gleichungen und Ungleichungen, lineare Programmierung Wahrscheinlichkeit, Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Stichprobenziehung und der zentrale Grenzwertsatz grundlegende Differentialrechnung mit Anwendungen. Voraussetzung(en): zwei Jahre Algebra in der High School und abteilungsbezogene Anerkennung oder MATH 1100.

1650. Vorkalkulation. 5 Stunden. Ein Vorbereitungskurs für Infinitesimalrechnung. Trigonometrische Funktionen, ihre Graphen und Anwendungen die Kegelschnitte, exponentielle und logarithmische Funktionen und ihre Graphen Graphen für polynomische und rationale Funktionen Allgemeine Erläuterung von Funktionen und ihren Eigenschaften. Voraussetzung(en): MATH 1100.

1680 (1342). Elementare Wahrscheinlichkeit und Statistik. 3 Stunden. Ein Einführungskurs für Studenten aller Fachrichtungen, die statistische Inferenz anwenden möchten. Deskriptive Statistik, elementare Wahrscheinlichkeit, Schätzung, Hypothesenprüfung und kleine Stichproben. Voraussetzung(en): MATH 1100. Angeboten Herbst, Frühjahr, Sommer I.

1710 (2413). Kalkül I. 4 Stunden. Grenzen und Stetigkeit, Ableitungen und Integrale, Differenzierung und Integration polynomischer, rationaler und algebraischer Funktionen, einschließlich Steigung, Geschwindigkeit, Extrema, Fläche, Volumen und Arbeit. Voraussetzung(en): MATH 1650.

1720 (2414). Kalkül II. 3 Stunden. Differenzierung und Integration von trigonometrischen, exponentiellen, logarithmischen und transzendentalen Funktionen Integrationstechniken unbestimmte Formen unechte Integrale Fläche und Bogenlänge in Polarkoordinaten unendliche Reihen Potenzreihen Satz von Taylor. Voraussetzung(en): MATH 1710.

1780. Einführung in die statistische Analyse. 3 Stunden. Wahrscheinlichkeit, diskrete und kontinuierliche Zufallsvariablen, Stichprobenverteilungen, Punktschätzungen, Konfidenzintervalle, Hypothesentests, Chi-Quadrat-Tests, Regression und Korrelation. Voraussetzung(en): MATH 1710. Angeboten Herbst, Frühjahr, Sommer II.

2090. Struktur und Anwendungen des Zahlensystems. 3 Stunden. Logik und Mengenlehre Zahlentheorie Geometrie Wahrscheinlichkeit und Statistik. Für Schüler, die in der Grundschule unterrichten möchten. Voraussetzung(en): MATH 1100.

2510. Echte Analyse I. 3 Stunden. Einführung in mathematische Beweise durch Realanalyse. Themen sind Mengen, Relationen, Beweisarten, Stetigkeit und Topologie der reellen Geraden. Voraussetzung(en): MATH 1720. Angeboten Herbst, Frühjahr, Sommer I.

2520. Reale Analyse II. 3 Stunden. Fortsetzung von 2510. Themen sind Ableitungen, Integrale, Grenzen von Funktionsfolgen, Fourier-Reihen und eine Einführung in die multivariable Analysis. Voraussetzung(en): MATH 2510 und 2700 (kann gleichzeitig belegt werden). Angeboten Herbst, Frühling, Sommer II.

2700. Lineare Algebra und Vektorgeometrie. 3 Stunden. Vektorräume über den reellen Zahlenfeldern Anwendungen auf lineare Gleichungssysteme und analytische Geometrie in E n , lineare Transformationen, Matrizen, Determinanten und Eigenwerte. Voraussetzung(en): MATH 1720. Angeboten Herbst, Frühjahr, Sommer I.

2730. Multivariabler Kalkül. 3 Stunden. Vektoren und analytische Geometrie in 3-Raum partiellen und gerichteten Ableitungen Extrema Doppel- und Dreifachintegrale und Anwendungen Zylinder- und Kugelkoordinaten. Voraussetzung(en): MATH 1720. Angeboten Herbst, Frühjahr, Sommer II.

2770. Diskrete mathematische Strukturen. 3 Stunden. Einführung in die mathematische Logik, mathematische Induktion, Beziehungen und Funktionen, Kombinatorik, Zähltechniken, Graphen und Bäume und endliche Automatentheorie. Voraussetzung(en): MATH 1710 und CSCI 1100 (kann gleichzeitig belegt werden). Angeboten werden Herbst, Frühling, Sommer I.

2900-2910. Besondere Probleme. 1-3 Stunden jeweils. Kann für Kredit wiederholt werden.

3010. Seminar in Problemlösungstechniken. 1 Stunde. Problemlösungstechniken mit Binomialkoeffizienten, elementar
Zahlentheorie, Euklidische Geometrie, Eigenschaften von Polynomen und Analysis. Kann für Kredit wiederholt werden.

3130. Mathematische Beweise. 3 Stunden. Axiome der reellen Zahlen Beweise der Grundtatsachen der Arithmetik. Sorgfältiges logisches Denken wird betont. Voraussetzung(en): MATH 1650 und 2090. Angeboten Herbst, Frühjahr, Sommer I.

3140. Themen für grundlegende Mathematik. 3 Stunden. Für angehende oder berufsbegleitende Lehrer grundlegende zeitgenössische mathematische Konzepte Voraussetzung(en): MATH 2510 oder 3130. Angeboten Herbst, Sommer II.

3150. Themen in der Geometrie. 3 Stunden. Für angehende oder berufstätige Grundschullehrer grundlegende zeitgenössische Konzepte in der Einführungsgeometrie. Voraussetzung(en): MATH 2510 oder 3130. Angeboten Frühjahr, Sommer II.

3350. Einführung in die numerische Analyse. 3 Stunden. Beschreibung und mathematische Analyse von Methoden zur Lösung von Problemen mathematischer Natur am Computer. Gleichungswurzeln, lineare Gleichungssysteme, Polynominterpolation und -approximation, Least-Squares-Approximation, numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen. Voraussetzung(en): MATH 2700 und Computerprogrammierfähigkeit. Angeboten werden Herbst, Frühling, Sommer I.

3400. Zahlentheorie. 3 Stunden. Faktorisierungen, Kongruenzen, quadratische Reziprozität, endliche Körper, quadratische Formen, diophantische Gleichungen. Voraussetzung(en): MATH 3510. Angebotener Herbst.

3410. Differentialgleichungen I. 3 Stunden. Gleichungen erster Ordnung Existenz-Eindeutigkeitssatz, lineare Gleichungen, Variablentrennung, lineare Gleichungen höherer Ordnung, lineare Gleichungssysteme, Reihenlösungen und numerische Lösungen Voraussetzung(en): MATH 1720 und MATH 2700.Angeboten werden Herbst, Frühling, Sommer I.

3420. Differentialgleichungen II. 3 Stunden. Gewöhnliche Differentialgleichungen aus partiellen Differentialgleichungen mittels Variablentrennung Kennlinienmethode für PDEs erster Ordnung Randwertprobleme für ODEs vergleichende Untersuchung von Wärmegleichung, Wellengleichung und Laplace-Gleichung durch Variablentrennung und numerische Methoden weitere Themen in numerischer Lösung von ODEs. Voraussetzung(en): MATH 2700 und 3410. Angeboten Frühjahr, Sommer II.

3510. Einführung in die abstrakte Algebra I. 3 Stunden. Gruppen, Ringe, Integralbereiche, Polynomringe und Körper. Voraussetzung(en): MATH 2520. Angeboten Herbst, Sommer II.

3520. Abstrakte Algebra II. 3 Stunden. Themen aus Codierungstheorie, quadratische Formen, Galoistheorie, multilineare Algebra, fortgeschrittene Gruppentheorie und fortgeschrittene Ringtheorie. Voraussetzung(en): MATH 3510. Angebotene Feder.

3740. Vektorrechnung. 3 Stunden. Theorie vektorwertiger Funktionen im euklidischen Raum. Ableitung als beste lineare Transformations-Approximation an eine Funktion. Divergenz, Farbverlauf, Locke. Vektorfelder, Wegintegrale, Flächenintegrale. Beschränkte Extrema und Lagrange-Multiplikatoren. Satz über implizite Funktionen. Jacobi-Matrizen. Theoreme von Green, Stokes und Gauss (Divergenz) im euklidischen Raum. Differentialformen und eine Einführung in die Differentialgeometrie. Voraussetzung(en): MATH 2700. Angebotener Herbst.

4060. Grundlagen der Geometrie. 3 Stunden. Auswahl aus synthetischer, analytischer, projektiver, euklidischer und nichteuklidischer Geometrie. Voraussetzung(en): MATH 2520. Angeboten Frühjahr, Sommer II.

4100. Fourier-Analyse. 3 Stunden. Umfassende Theorie der Fourier-Transformationen, Fourier-Reihen und diskreten Fourier-Transformationen mit Schwerpunkt auf Verbindungen. Der Kalkül der Fourier-Transformationen. Operatoralgebraischer Formalismus. Hartley verwandelt sich. FFT und andere schnelle Algorithmen. Hochpräzise Arithmetik. Einführung in verallgemeinerte Funktionen (temperierte Verteilungen). Anwendungen auf Signalverarbeitung, Wahrscheinlichkeits- und Differentialgleichungen. Voraussetzung(en): MATH 3410. Angebotene Feder.

4200. Dynamische Systeme. 3 Stunden. Eindimensionale Dynamik. Sarkovskiis Theorie, Wege ins Chaos, symbolische Dynamik, höherdimensionale Dynamik, Attraktoren, Bifurkationen, quadratische Karten, Julia- und Mandelbrot-Mengen. Voraussetzung(en): MATH 2520. Angebotener Herbst.

4430. Einführung in die Graphentheorie. 3 Stunden. Einführung in die Kombinatorik durch Graphentheorie. Zu den vorgestellten Themen gehören Verbundenheit, Faktorisierung, Hamiltonsche Graphen, Netzwerkflüsse, Ramsey-Zahlen, Graphfärbung, Automorphismen von Graphen und Plyas Aufzählungssatz. Verbindungen zur Informatik werden betont. Voraussetzung(en): MATH 2510 oder 2770. Angebotener Herbst.

4450. Einführung in die Matrizentheorie. 3 Stunden. Kongruenz (hermitesche) Ähnlichkeitsorthogonalität, Matrizen mit Polynomelementen und minimalen Polynomen Cayley-Hamilton-Theorem bilinear und quadratisch bildet Eigenwerte. Voraussetzung(en): MATH 2700. Angeboten Frühjahr, Sommer II.

4500. Einführung in die Topologie. 3 Stunden. Punktmengentopologie Zusammenhang, Kompaktheit, stetige Funktionen und metrische Räume. Voraussetzung(en): MATH 2520. Angeboten Frühjahr, Sommer II.

4520. Einführung in Funktionen einer komplexen Variablen. 3 Stunden. Algebra komplexer Zahlen und geometrischer Darstellung analytische Funktionen elementare Funktionen und Abbildung reelle Linienintegrale komplexe Integration Potenzreihen Reste, Pole, konforme Abbildung und Anwendungen. Voraussetzung(en): MATH 2730. Angeboten Herbst, Sommer I.

4610. Wahrscheinlichkeit. 3 Stunden. Kombinatorische Analyse, Wahrscheinlichkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit, Zufallsvariablen, Erwartung, erzeugende Funktionen und Grenzwertsätze. Voraussetzung(en): MATH 2730. Angeboten Herbst, Sommer I.

4650. Statistik. 3 Stunden. Stichprobenverteilungen, Punktschätzung, Intervallschätzung, Hypothesentest, Anpassungstest, Regression und Korrelation, Varianzanalyse und nichtparametrische Methoden. Voraussetzung(en): MATH 4610. Angeboten Frühjahr, Sommer II.

4900-4910. Besondere Probleme. 1-3 Stunden jeweils.


6.2: Transformationen von Ableitungen und ODEs - Mathematik

Verwenden Sie Laplace-Transformationen, um Differentialgleichungen zu lösen

Und hier kommt die Eigenschaft von Laplace-Transformationen zum Tragen, dass eine Ableitung im "t"-Raum nur ein Vielfaches der ursprünglichen Transformation im "s"-Raum ist.

Genau das werden wir tun:

Wenden Sie die Laplace-Transformation auf alle Terme eines D.E. an:

Ableitungen verschwinden, Vielfache der (transformierten) Funktion stattdessen !

Dies lässt sich am besten anhand eines Beispiels verdeutlichen:

Beispiel: Inhomogenes D.E. 2. Ordnung mit Anfangswerten:

Das sollte Ihnen bekannt vorkommen: Es ist eine LDE 2. Ordnung , inhomogen, Koeffizienten sind konstant Moment mal - warum gibt es Anfangsbedingungen?

Antwort: naja - ein kleiner Wermutstropfen dieser Methode - sie eignet sich nur zum Lösen von Anfangswertproblemen. Aber sehr oft können wir damit recht glücklich leben - da wir ja im Berufsleben bestimmte Probleme lösen sollen - interessiert sich fast niemand mehr für allgemeine Lösungen.

Beginnen wir unser Verfahren (und das ist es: nur ein Verfahren, das Sie Schritt für Schritt befolgen müssen, und Sie werden erfolgreich sein!)

Schritt 1: Laplace transformiert alle Terme des D.E.:

(Fast) kein Nachdenken erforderlich: Nehmen Sie die Differentialgleichung - das wäre in unserem Beispiel, und wenden Sie den Satz auf jeden Term der Gleichung separat an (wir können dies tun, weil die Laplace-Transformation - linear ist):

wo sind die Laplace-Transformationen und

Diese neue Gleichung im "s"-Raum heißt "Nebengleichung"

Wir können Terme sortieren und sehen natürlich, dass im "s"-Raum der Laplace-Transformationen unsere ehemalige Differentialgleichung keine Ableitungen mehr enthält: Wir erhalten eine peinliche einfache algebraische Gleichung für Y(s).

Beachten Sie, dass y(0) und y'(0) keine Funktionen mehr sind, sondern nur unsere Anfangswerte - hier kommen unsere Anfangswerte ins Spiel!

Wie gesagt, der nächste Schritt wird peinlich einfach: Wir müssen die Hilfsgleichung nach Y(s) lösen. Lass uns das machen:

Schritt 2: Löse die Hilfsgleichung

oder mit (Übertragungsfunktion)

Um dieses Verfahren strukturiert erscheinen zu lassen (und Ihr Leben etwas komplizierter zu gestalten, können wir den Nenner dieses Ausdrucks "Übertragungsfunktion" nennen und ihn Q(s) nennen. Dann können wir unser D.E. in nur einer Zeile schreiben wie

Hurra! Naja, jetzt sieht es wirklich viel besser aus. Die Einfachheit dieser Gleichung wird jedoch ganz klar, wenn wir uns daran erinnern, dass es sich nur um Zahlen handelt.

Sie sind eigentlich ganz besondere Konstanten .

Richtig, das sind unsere Ausgangsbedingungen!

Um das Folgende möglichst einfach zu halten (keine Sorge, wir können es später beliebig kompliziert machen) setzen wir in diesem Beispiel die Anfangsbedingungen gleich Null:

In diesem speziellen Fall erweist sich unsere Übertragungsfunktion Q als sehr einfach:

Für : und dann (aber nur dann)

(aber nur für diese Ausgangsbedingungen - bitte überlegen Sie, warum das so ist!)

Die Übertragungsfunktion hat in Anwendungen sogar eine echte messbare Bedeutung: Sie ist das Verhältnis zwischen den Transformationen der Ausgangs- und Eingangsamplituden eines Stromkreises, zum Beispiel:

Physikalisch bedeutet dies (z.B. für einen Stromkreis), dass

Q beschreibt hier die Übertragung von Energie, die dem System zugeführt wird, auf die Energie, die das System verlässt.

Aber zurück zu unserem Problem: Obwohl wir eine Lösung für Y(s) gefunden haben, befinden wir uns immer noch im "s"-Raum! Unsere Lösung wird jedoch in der realen Welt des "t"-Raums benötigt.

Die Aufgabe besteht nun darin, unsere Lösung Y(s) zurück in eine reelle Lösung y(t) zu transformieren:

3. und letzter Schritt: Verwenden Sie z.B. Teilbrüche zu reduzieren

in einfache Begriffe, die in Tabellen nachgeschlagen werden können

Das klingt einfach, ist aber manchmal ein ziemlich schmerzhafter Prozess! Allerdings lassen sich in diesem Verlauf meist Partialbrüche relativ leicht finden.

Haben Sie die Vorgehensweise bisher verstanden? Vielleicht möchten Sie zum ersten Schritt zurückkehren und ihn noch einmal lesen .

Wir können es aber auch an einem anderen, konkreteren Beispiel demonstrieren:

Das ist wirklich einfach - wir haben eine LDE zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, a=0, b=1 und unser r(t)=t

Schritt 1: Die Transformation dieser Gleichung ist nicht schwierig, wir verwenden die Definition für die Transformation der zweiten Ableitung für die linke Seite der Gleichung und suchen die Transformation für "t":

und schließlich nach Y . auflösen

und schreiben Sie unsere Lösung in Partialbrüche um.

Jetzt haben wir . Was übrig bleibt, ist, diese einfachen Ausdrücke zurückzutransformieren (verwenden Sie zum Beispiel eine Tabelle):

Schritt 3: Zurückübertragen per Tabellensuche:

Und so gehen wir Begriff für Begriff vor. Erledigt. Unsere Lösung ist

Versuchen Sie es selbst und testen Sie diese Lösung für dieses spezielle Problem. Nur um sicherzustellen, dass es funktioniert!

Okay, noch einmal die gesamte Prozedur, diesmal als Diagramm (Start in der oberen linken Ecke und folge den Pfeilen):


Kurse

1. Mathematik 2 Praktische Mathematik. Grundlegende mathematische Fähigkeiten im Alltag. Voraussetzung: Keine. 3h. (lec) 3u.

2. Mathematik 10 Mathematik, Kultur und Gesellschaft. Würdigung der Schönheit und Kraft der Mathematik durch die Untersuchung ihres Wesens, ihrer Entwicklung und ihres Nutzens sowie ihrer Beziehung zu Kultur und Gesellschaft. Voraussetzung: Keine. 3 Std. (lec) 3 u.

3. Mathematik 11 College-Algebra. Lineare Gleichungen Algebraische und grafische Lösungen der quadratischen Gleichungen Exponenten und Radikale Komplexe Zahlen Binomialentwicklung Determinanten Progressionen Lösungen von Gleichungen, mehrere Gleichungen in mehreren Variablen. Voraussetzung: Einjähriges Gymnasium für Algebra. 3 Std. (lec) 3 u. Der Kurs wird ab AY 2020-2021 nicht angeboten.

4. Math 14 Ebenen-Trigonometrie. Logarithmengraphen der trigonometrischen Funktionen die allgemeinen Dreieckslösungen trigonometrischer, invers trigonometrischer, exponentieller und logarithmischer Gleichungen komplexer Zahlen. Voraussetzung: Jeweils ein Jahr High School Algebra und Plane Geometrie. 3 Std. (lec) 3 u. Der Kurs wird ab AY 2020-2021 nicht angeboten.

5. Math 17 Algebra und Trigonometrie. Setzt und nummeriert die Algebra von Zahlen als logische Systemungleichungen Absolutwerte und Koordinatensystemfunktionen und Graphen Kreis-, Linear-, Quadrat- und Polynomfunktionen Exponential- und Logarithmusfunktionen Anwendungen der Kreisfunktionen auf Winkel. Voraussetzung: Jeweils ein Jahr High-School-Algebra. 5 Std. (lec) 5 u. Der Kurs wird ab AY 2020-2021 nicht angeboten.

6. Mathe 20 Precalculus: Funktionen und ihre Graphen. Setzt und nummeriert die Algebra von Zahlen als logische Systemungleichungen Absolutwerte und Koordinatensystemfunktionen und Graphen Kreis-, Linear-, Quadrat- und Polynomfunktionen Exponential- und Logarithmusfunktionen Anwendungen der Kreisfunktionen auf Winkel. Voraussetzung: High School Algebra/Äquiv. 4 Std. (lek). Kein Kredit.

7. Mathematik 21 Elementaranalyse I. Grenzwerte und Kontinuität Ableitungen von algebraischen und transzendentalen Funktionen (exponentiell, logarithmisch, trigonometrisch, hyperbolisch und ihre Umkehrungen) Anwendungen von Ableitungen Stammfunktionen und bestimmte Integrale Fundamental Theorem of Calculus Anwendungen des bestimmten Integrals. Voraussetzung: High School Basic Calculus oder Mathe 20/Äquiv. 4 Std. (lec) 4 u.

8. Mathematik 22 Elementaranalyse II. Integrationstechniken uneigentliche Integrale parametrische Gleichungen und Polarkoordinaten Linien im Raum, Ebenen, Zylinderflächen, Rotationsflächen und quadratische Flächen Vektoren und vektorwertige Funktionsfolgen und -reihen. Voraussetzung: Mathe 21/Äquiv. 4 Std. (lec) 4 u.

9. Mathematik 23 Elementaranalyse III. Funktionen mehrerer Variablen Grenzen und Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variablen partielle Ableitungen und totale differentielle Richtungsableitungen relative und absolute Extrema von Funktionen mehrerer Variablen Doppel- und Tripel Ab Juli 2020 Integrale Anwendungen von Mehrfachintegralen Vektorfelder Linien- und Flächenintegrale. Voraussetzung: Mathe 22/Äquiv. 4 Std. (lec) 4 u.

10. Mathe 30 Fortgeschrittene Calculus und Anwendungen. Integrationstechniken multivariate Kalkülsequenzen und Reihen Einführung in Matrizen Anwendungen in den Wirtschafts-, Wirtschafts-, Lebens- und Sozialwissenschaften. Voraussetzung: Mathe 21/Äquiv. 3 Std. (lec) 3 u.

11. Mathematik 40 Lineare Algebra. Vektorräume Lineare Transformationen Matrizen Eigenwerte Kanonische Formen Orthogonalitätsanwendungen. Voraussetzung: Math 22/Äquiv. oder Math 30/Äquiv. 3 Std. (lec) 3 u.

12. Mathematik 53 Elementaranalyse I. Funktionen und ihre Graphen Grenzen und Stetigkeit die Ableitungen von algebraischen und trigonometrischen Funktionen exponentielle und logarithmische Funktionen Umkehrfunktionen Stammfunktionen und bestimmte Integrale Fundamentalsatz der Analysis Anwendungen des bestimmten Integrals. Voraussetzung: Mathe 17/Äquiv. 5 Std. (lec) 5 u. Der Kurs wird ab AY 2020-2021 nicht angeboten.

13. Mathematik 54 Elementaranalyse II. Integrationsmethoden Anwendungen der definitiven integralen Ebene und der festen analytischen Geometrie Polarkoordinaten Vektoren parametrische Gleichungen. Folgen und Reihenleistungsreihen. Voraussetzung: Mathe 53/Äquiv. 5 Std. (lec) 5 u. Der Kurs wird ab AY 2020-2021 nicht angeboten.

14. Mathematik 55 Elementaranalyse III. Partielle Differentiation multipler Integrale unendliche Reihen Differentialgleichungen. Voraussetzung: Mathe 54/Äquiv. 3 h (lec) 3 u. Der Kurs wird ab AY 2020-2021 nicht angeboten.

15. Mathe 60 Vorberechnung. Algebraische Operationen, Funktionen, Analytik, Geometrie, Trigonometrie, Matrizen. Voraussetzung: keine. 5 Std. (lec) 5 u. Der Kurs wird ab AY 2020-2021 nicht angeboten.

16. Mathematik 63 Calculus I. Funktionen einer einzelnen Variablen begrenzt Stetigkeit die Ableitung und die Riemann-Integralableitungen von algebraischen, trigonometrischen und inversen trigonometrischen Funktionen Anwendungen Polarkoordinaten Kegelschnitte. Voraussetzung: Mathe 60/Äquiv. 5 Std. (lec) 5 u. Der Kurs wird ab AY 2020-2021 nicht angeboten.

17. Mathe 64 Calculus II. Die exponentiellen, logarithmischen und hyperbolischen Funktionen Techniken der Integrationsvektoren und vektorwertigen Funktionen uneigentliche Integrale unendliche Reihen Potenzreihen Anwendungen. Voraussetzung: Mathematik 63/Äquiv. 5 Std. (lec) 5 u. Der Kurs wird ab AY 2020-2021 nicht angeboten.

18. Mathematik 65 Infinitesimalrechnung III. Berechnung mehrerer Variablen und Fourier-Reihen. Voraussetzung: Mathe 64. 3 h. (lek). 3 u. Der Kurs wird ab AY 2020-2021 nicht angeboten.

19. Mathematik 100 Einführung in die Infinitesimalrechnung. Begrenzt Ableitungsintegralanwendungen. Voraussetzung: Mathe 17 oder COI. 4 Std. (lec) 4 u. Der Kurs wird ab AY 2020-2021 nicht angeboten.

20. Mathematik 108 Grundlagen der abstrakten Mathematik. Aussagen- und Prädikatenkalkülmethoden der Beweisalgebra von Mengenbeziehungen und Funktionen endlicher und unendlicher Mengen. Voraussetzung: Math 21/Äquiv. oder COI. 4 Std. (lec) 4 u.

21. Mathematik 109 Grundlegende Konzepte der Mathematik. Algebra von Mengen und logische Methoden von Beweisfunktionen und Relationen logische Natur und Struktur der Mathematik Einführung in die Zahlentheorie Algebra und Geometrie komplexer Zahlen. Voraussetzung: Zweites Jahr stehend. 3 Std. (lec) 3 u. Der Kurs wird ab AY 2020-2021 nicht angeboten. Stand Juli 2020

22. Mathematik 110.1 Abstrakte Algebra I. Gruppen, Gruppenhomomorphismus Permutationsgruppen Faktorgruppen Ringe, Ringhomomorphismus, Ideale, Integralbereiche Einführung in Körper, Quotientenkörper. Voraussetzung: Math 108/Äquiv. oder COI. 3 Std. (lec) 3 u.

23. Mathematik 110.2 Abstrakte Algebra II. Vektorräume Lineare Transformationen Matrizen Diagonalisierbarkeit Eigenwerte und Eigenvektoren Innere Produkträume Normale Matrizen. Voraussetzung: Mathematik 110.1. 3 Std. (lec) 3 u.

24. Mathematik 110.3 Abstrakte Algebra III. Polynomringe und Faktorisierung Felderweiterungen, Teilungsfelder, endliche Felder, Feldautomorphismen Einführung in die Galoistheorie. Voraussetzung: Mathematik 110.1. 3 Std. (lec) 3 u.

25. Mathematik 117 Elementare Zahlentheorie. Eigenschaften der Teilbarkeit ganzer Zahlen Eindeutiger Faktorisierungssatz Lösungen von Kongruenzen Restsystemen primitive Wurzeln und quadratische Reziprozitätsgesetz Lösungen diophantischer Gleichungen. Voraussetzung: Math 108/Äquiv. oder COI. 3 Std. (lec) 3 u.

26. Math 122 Differentialgleichungen und Anwendungen. Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) erster Ordnung homogene und inhomogene lineare ODEs zweiter Ordnung lineare Gleichungssysteme Reihenlösungen von ODEs Stabilitätsanalyse von nichtlinearen ODEs Laplace transformiert Anwendungen von ODEs. Voraussetzung: Math 22/Äquiv. oder Math 30/Äquiv. 3 Std. (lec) 3 u.

27. Mathematik 123.1 Advanced Calculus I. Das reelle Zahlensystem Punktmengentopologie Folgen reeller Zahlen Grenzen und Stetigkeit die Ableitung die Riemannschen Integralfolgen von Funktionen gleichmäßige Konvergenz. Voraussetzung: Math 23/Äquiv und Math 108/Äquiv oder COI. 3 Std. (lec) 3 u.

28. Mathe 123.2 Fortgeschrittenes Rechnen II. Reihe von reellen Zahlen Reihe von Funktionen macht Sereis Topologie von R! Grenzen und Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variablen implizite und inverse Funktionssätze multiple Integration uneigentliche Integrale Transformationen. Voraussetzung: Mathematik 123.1. 3 Std. (lec) 3 u.

29. Mathe 126 Reale Analyse. Eigenschaften reeller Zahlen Integral von Stufenfunktionen Lebesgue-Integral-Konvergenzsätze Messbare Funktionen Messbare Mengen ausgewählter Themen. Voraussetzung: Mathematik 123.1. 3 Std. (lec) 3 u.

30. Math 128 Komplexe Analyse. Komplexe Zahlen und Eigenschaften analytische Funktionen und die Cauchy-Riemann-Gleichungen Potenzreihen Darstellung analytischer Funktionen komplexe Integration Cauchy-Integralformel und ihre Folgen Singularitäten, Laurent-Reihen und Residuen Anwendungen auf definierte Integrale. Voraussetzung: Mathematik 123.1/Äquiv. 3 Std. (lec) 3 u.

31. Mathematik 131 Elementare Mengenlehre. Axiome der Mengenlehre Beziehungen und Funktionen natürliche Zahlen, Kardinalzahlen und das Auswahlaxiom Ordnungen und Ordinalzahlen. Voraussetzung: Mathematik 110.1. 3 Std. (lec) 3 u. Dieser Kurs wird zur Abschaffung vorgeschlagen.

32. Mathematik 133 Einführung in die mathematische Modellierung. Überblick über die mathematische Modellierung diskrete Modelle Modellanpassung lineare Programmierung lineare und nichtlineare kontinuierliche Modelle numerische Methoden Optimierung kontinuierlicher Modelle. Voraussetzung: CS 11/Äquiv. und Math 122/Äquiv. 3 Std. (lec) 3 u.

33. Mathematik 140 Einführung in moderne Geometrien. Entwicklung moderner Geometrien endliche Geometrien geometrische Transformationen projektive Geometrie nichteuklidische Geometrien. Voraussetzung: Math 108/Äquiv. oder COI. 3 Std. (lec) 3 u. Stand Juli 2020

34. Math 142 Elementare Topologie. Topologische Räume stetige Funktionen und Homöomorphismen Kompaktheit und Verbundenheit Trennungsaxiome. Voraussetzung: Math 123.1 oder COI. 3 Std. (lec) 3 u.

35. Mathematik 146 Einführung in die Differentialgeometrie. Elementare Topologierechnung mehrerer Variablen Kurven und Flächensätze von Stokes- und Gauß-Differentialformen. Voraussetzung: Math 23/Äquiv und Math 140/Äquiv oder COI. 3 Std. (lec) 3 u.

36. Mathematik 147 Einführung in die algebraische Geometrie. Projektive Varietäten algebraische und elliptische Kurven. Voraussetzung: Math 110.1 und Math 140. 3 h. (lec) 3 u.

37. Mathematik 148 Einführung in die projektive Geometrie. Projektive Ebenen und Räume. Voraussetzung: Math 110.1 und Math 140. 3 h. (lec) 3 u.

38. Mathematik 150.1 Mathematische Statistik I.Kombinatorische Wahrscheinlichkeitsverteilungen Gemeinsame und bedingte Verteilungen Zufallsvariablen Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen mathematischer Erwartungsmoment erzeugende Funktionen Stichprobenverteilungen. Voraussetzung: Math 23/Äquiv. und Statistik 101/Äquiv. 3 Std. (lec) 3 u.

39. Mathematik 150.2 Mathematische Statistik II. Limitierende Verteilungen Schätzung von Parametern Tests von Hypothesen Regression und Korrelationsanalyse von Varianzanwendungen. Voraussetzung: Mathe 150.1. 3 Std. (lec) 3 u.

40. Mathematik 157 Diskrete mathematische Strukturen. Grundlagen der Mengenlehre algebraische Beziehungen kombinatorische Algorithmen algebraische Strukturen und ihre Anwendungen in der Informatik. Voraussetzung: Mathe 54. 3 h. (lec) 3 u. Der Kurs wird ab AY 2020-2021 nicht angeboten.

41. Mathematik 158 Einführung in die diskrete Mathematik. Permutationen und Kombinationen Binomial- und Multinomialkoeffizienten Das Prinzip der Inklusion und Exklusion Graphen und ihre Eigenschaften Graphenfamilien, Abstand und Konnektivität von Graphen, ausgewählte Themen der diskreten Mathematik. Voraussetzung: Math 108/Äquiv. oder COI. 3 Std. (lec) 3 u.

42. Mathematik 162 Theorie des Interesses. Einfacher Zins Zinseszins Kontinuierliche Zinsen Annuitäten Amortisationspläne und Sinkfonds Anleihen und andere Wertpapiere Spezialthemen. Voraussetzung: Math 22/Äquiv. oder Math 30/Äquiv. 3 Std. (lec) 3 u.

43. Mathematik 164 Mathematik der Lebenskontingenzen. Mathematische Theorie der Lebenskontingente mit Single-Life-Funktionen Sterblichkeit Lebensrenten und Versicherungen Reserven Kostenfaktor Populationstheorie. Voraussetzung: Math 150.1/Äquiv und Math 164/Äquiv. 3 Std. (lec) 3 u.

44. Mathematik 166 Finanzmathematik. Immunisierung des Anleihe-Aktienmarktes für Forwards und Futures-Optionen, einschließlich Binomial Pricing und Black-Scholes Pricing Griechen von Optionen, Swaps und Absicherungs- und Anlagestrategien. Voraussetzung: Mathe 162.3 h. (lec) 3 u.

45. Mathematik 171 Einführung in die numerische Analysis. Fehleranalyse Lösung einer einzelnen nichtlinearen Gleichung Lösung von Gleichungssystemen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungsreihen. Voraussetzung: Math 122/Äquiv. und Math 110.2/Äquiv. 3 Std. (lec) 3 u.

46. ​​Mathematik 180.1 Operations Research I. Einführung in die lineare Programmierung die Simplex-Methoden Dualität Sensitivitätsanalyse ganzzahlige Programmierung nichtlineare Programmierung Mathematik 40/Äquiv. 3 Std. (lec) 3 u.

47. Mathematik 180.2 Operations Research II. Überblick über die Wahrscheinlichkeitstheorie Stochastische Modelle Markov-Ketten Einführung in die Warteschlangentheorie Einführung in Simulationsspiele, Ersetzungs- und Zuverlässigkeitstheorie. Voraussetzung: Math 180.1 und Math 150.1. 3 Std. (lec) 3 u.

48. Math 190 Einführung in die mathematische Forschung und das Schreiben. Grundlagen und Best Practices der mathematischen Forschung und des Schreibens. Voraussetzung: Junioren-Stehplatz. 2 Std. (lec) 2 u.

49. Mathe 196 Bachelor-Seminar. Voraussetzung: Junioren-Stehplatz. 1 u. Der Kurs wird ab AY 2020-2021 nicht angeboten.

50. Mathematik 197 Spezialthemen. Voraussetzung: COI. 3 u. (darf höchstens dreimal belegt werden, sofern Themen unterschiedlich zu spezifizieren sind)

51. Mathe 200 Bachelorarbeit. Voraussetzung: Senior Stehend. 3 u.

1. Math 201 Konzepte und Techniken in der abstrakten Algebra. Gruppen, Ringe und Homomorphismus. Voraussetzung: Math 109/ COI. 3 Std. (lec) 3 u.

2. Mathematik 202.1 Analysis I. Reelle Zahlen, Folgen reeller Zahlen und Grenzwerte, Stetigkeit von Funktionen, Ableitungen, Riemann-Integral. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u.

3. Mathematik 202.2 Analyse II. n-dimensionaler euklidischer Raum, Funktionen mehrerer Variablen, partielle Ableitungen, multiple Integrale, komplexwertige Funktionen und deren Ableitungen. Voraussetzung: Mathe 202.1. 3 Std. (lec) 3 u.

4. Mathematik 203 Matrizen und Anwendungen. Lineare Gleichungs- und Matrizensysteme, Matrizenoperationen, Determinanten, Vektorräume, Lineare Transformationen, Eigenwerte, Eigenvektoren, Anwendungen. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u.

5. Mathematik 204 Klassische und moderne Geometrie. Endliche Geometrien, euklidische und nichteuklidische Geometrien, projektive Geometrie, geometrische Transformationen. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u.

6. Math 205 Konzepte und Methoden in Wahrscheinlichkeit und Statistik. Deskriptive Statistik, Wahrscheinlichkeits- und Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Stichprobentheorie, Schätzung und Test von Hypothesen, lineare Korrelations- und Regressionsanalyse. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u.

7. Mathematik 208 Geschichte und Entwicklung der Grundbegriffe der Mathematik. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u.

8. Mathematik 209.1 Ausgewählte Themen der Angewandten Mathematik. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u.

9. Mathematik 209.2 Ausgewählte Themen der diskreten Mathematik. Voraussetzung: Mathe 201.3 h. (lec) 3 u

10. Mathematik 210.1 Moderne Algebra I. Halbgruppen und Gruppen Ringe Feldgruppen mit Operatoren. Ausgewählte Themen. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u.

11. Mathematik 210.2 Moderne Algebra II. Eine Fortsetzung von Mathematik 210.1. Voraussetzung: Mathematik 210.1. 3 Std. (lec) 3 u.

12. Mathematik 211 Lineare Algebra. Vektorräume, Satz der linearen Abbildungen von Hamilton-Cayley-Modulen über idealen Hauptdomänen Kanonische Form von Jordan, bilineare Formen von rationaler kanonischer Form, Trägheitsgesetz der inneren Produkte, Spektralsatz multilineare Formen Tensorprodukte. Voraussetzung: Math 110.2/114/COI. 3 Std. (lec) 3 u.

13. Mathematik 212 Theorie der Gruppen. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u. Dieser Kurs wird zur Abschaffung vorgeschlagen.

14. Mathematik 213 Theorie der Ringe. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u. Dieser Kurs wird zur Abschaffung vorgeschlagen.

15. Mathematik 214 Matrizentheorie. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u.

16. Mathematik 216 Lügengruppen und Lügenalgebren. Klassische Matrix Lie-Gruppen, Lie-Algebren von Lie-Gruppen, nilpotente und lösbare Algebren, halbeinfache Algebren, Darstellungen. Voraussetzung: Mathematik 210.1. 3 Std. (lec) 3 u.

17. Mathematik 217 Zahlentheorie. Lineare Kongruenzen, Sätze von Euler und Wilson, Quadratische Residuen, Quadratisches Reziprozitätsgesetz, Symbole von Jacobi und Kronocker, Polsche Gleichung, positive binäre und ternäre quadratische Formen. Theorie der Summen von zwei und drei Quadraten. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u.

18. Mathematik 218 Theorie der algebraischen Zahlen. Algebraische Zahlenkörper Algebraische Ganzzahlen Basis- und Diskriminanzideale Fundamentalsatz über die Zerlegung von Idealen Idealklassen Satz von Minkowski Die Klassenformeleinheiten Letzter Satz von Fermat. Ausgewählte Themen. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u.

19. Mathematik 220.1 Theorie der Funktionen einer reellen Variablen I. Lebesgue und andere Integrale Differenzierungsmaßtheorie. Voraussetzung: Math 123.1, COI. 3 Std. (lec) 3 u

20. Mathematik 220.2 Funktionstheorie einer reellen Variablen II. Fortsetzung von Math 220.1. Ausgewählte Themen. Voraussetzung: Mathe 220.1. 3 Std. (lec) 3 u.

21. Math 221 Partielle Differentialgleichungen. Gleichungen erster und zweiter Ordnung. Greens Funktion. Grenzwertprobleme. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u.

22. Math 222 Approximationstheorie. Taylor-Theorem, Weierstrass-Approximationstheorem, Approximation in Hilbert-Räumen, Fourier-Reihe und Fourier-Transformation, direkte und inverse Theoreme, algebraische und trigonometrische Interpolation, Whittaker-Shannon-Sampling-Theorie, Wavelet-Analyse. Voraussetzung: Math 220.1/COI. 3 Std. (lec) 3 u.

23. Math 224 Kontrolltheorie. Elemente der Variationsrechnung. Naive Optimalkontrolltheorie Funktionsanalyse Verallgemeinerte Optimalkontrolltheorie Das Pontrjaginsche Maximumprinzip für Ratterkontrollen Forschungsprobleme. Voraussetzung: Math 126, 142/COI. 3 Std. (lec) 3 u.

24. Mathematik 227 Variationsrechnung. Eulersche Gleichungen. Legendre Bedingungen. Jacobis Bedingungen. Isoperimetrische Probleme. Lagranges Methoden. Das Dirichlet-Prinzip. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u.

25. Mathematik 228 Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen. Analytische Funktionen geometrische Funktionentheorie analytische Fortsetzung Riemann-Abbildungssatz. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u.

26. Mathematik 229 Funktionsanalyse. Lineare Operatoren, lineare Funktionale, topologische lineare Räume, normierte Räume, Hilberträume, Funktionalgleichungen, Radonmaße, distributive und lineare partielle Differentialgleichungen und Spektralanalyse. Voraussetzung: Mathe 220.1. 3 Std. (lec) 3 u.

27. Mathematik 235 Mathematik in der Populationsbiologie. Kontinuierliche und diskrete Populationsmodelle für einzelne Arten, Modelle für interagierende Populationen, Evolutionsmodelle, Dynamik von Infektionskrankheiten. Voraussetzung: Math 121.1/Äquiv./COI. 3 Std. (lec) 3 u.

28. Mathematik 236 Mathematik in biologischen Prozessen. Biologische Oszillatoren und Schalter, gestörte und gekoppelte Oszillatoren, Reaktionsdiffusion, Enzymkinetik, Chemotaxis, circadiane Systemmodelle, gekoppelte Zellnetzwerke. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u.

29. Math 240 Geometrische Kristallographie. Isometrien, Friesgruppen, kristallographische Gruppen, Gitter und invariante Untergitter, endliche Isometriegruppen, geometrische und arithmetische Kristallklassen. Voraussetzung: Math 210.1/ Äquiv. 3 Std. (lec) 3 u.

30. Math 241 Hyperbolische Geometrie. Moebius-Transformationen, hyperbolische Ebene und hyperbolische Metrik, Geometrie der Geodäten, hyperbolische Trigonometrie, Isometriegruppen auf der hyperbolischen Ebene. Voraussetzung: Math 210.1/Äquiv. 3 Std. (lec) 3 u.

31. Mathematik 242 Allgemeine Topologie. Topologische Räume metrische Räume Konvergenztheorie Basen Axiome der Abzählbarkeit Unterräume Homöomorphismen. Ausgewählte Themen. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u.

32. Mathematik 243 Algebraische Topologie. Homotopie, Fundamentalgruppe, singuläre Homologie, simpliziale Komplexe, Grad- und Fixpunktsätze. Voraussetzung: Mathe 242.3 h. (lec) 3 u.

33. Mathematik 246 Differentialgeometrie. Klassische Kurven- und Flächentheorie. Abbildungen von Oberflächen. Differenzielle Strukturen. Lügengruppen und Rahmenbündel. Voraussetzung: Math 123.2/COI. 3 Std. (lec) 3 u.

34. Mathematik 247 Algebraische Geometrie. Der allgemeine projektive Raum. Kollineation und Korrelationen in einem projektiven Raum. Algebraische Mannigfaltigkeiten. Ebene Kurven. Quadratische Transformation von Systemen von ebenen Kurven. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u.

35. Mathematik 249 Ausgewählte Themen in Geometrie und Topologie. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u. (Thema muss zu Aufzeichnungszwecken angegeben werden)

36. Math 250 Wahrscheinlichkeitstheorie. Zufallsvariablen, Gesetze der großen Zahlen, spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen, zentraler Grenzwertsatz, Markov-Ketten, Poisson-Prozess, Martingale. Voraussetzung: Math 220.1/COI. 3 Std. (lec) 3 u.

37. Mathematik 255 Mathematik der Entscheidungsfindung. Einige Anwendung der Bayes-Statistik Verwendung von Experimenten bei Entscheidungsproblemen Gruppenentscheidungsfindung und Risikoteilung. Voraussetzung: Mathe 155. 3 h. (lec) 3 u. Dieser Kurs wird zur Abschaffung vorgeschlagen.

38. Mathematik 258 Kombinatorische Mathematik. Permutationen und Kombinationen. Generieren von Funktionen. Prinzip der Inklusion und Exklusion. Wiederholungsbeziehungen. Belegung. Matrizen aus Nullen und Einsen. Partitionen. Orthogonale lateinische Quadrate. Kombinatorische Designs. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u.

39. Math 260 Versicherungsmathematische Theorie und Praxis. Multiple-Life-Theorie, Multiple-Dekrement-Theorie, Anwendungen der Multiple-Dekrement-Theorie, Risikotheorie, Ruin-Theorie und Einführung in die Glaubwürdigkeitstheorie. Voraussetzung: Math 164/COI. 3 Std. (lec) 3 u.

40. Math 261 Überlebens- und Verlustmodelle. Hazard-Rate-Funktion, Analyse verschiedener Überlebens- und Verlustmodelle, Glaubwürdigkeitstheorie. Voraussetzung: Math 164/COI. 3 Std. (lec) 3 u.

41. Mathematik 262.1 Versicherungsmathematik I. Bruttoprämien und Vermögensanteile, unverfallbare Werte, Kostenanalyse, Überschussverteilung, Bewertung von Verbindlichkeiten, Produktentwicklungsprozess, Einführung in die Bilanzierung von Lebensversicherungen. Voraussetzung: Math 261/COI. 3 Std. (lec) 3 u.

42. Mathematik 262.2 Versicherungsmathematik II. Risikoauswahl, Rückversicherung, Einführung in die Kapitalanlageanalyse und das Finanzmanagement, Versicherungsgesetzbuch, versicherungstechnische Grundlagen in speziellen Versicherungssparten. Voraussetzung: Math 262.1/ COI. 3 Std. (lec) 3 u.

43. Mathematik 265 Stochastische Berechnung. Bedingte Erwartungen, Martingale, Brownsche Bewegung, Ito-Integral, Ito-Formel, Stochastische Differentialgleichung, Girsanov-Theorem, Anwendungen auf die Finanzmathematik. Voraussetzung: Math 150.1/COI. 3 Std. (lec) 3 u.

44. Mathematik 266 Mathematische Finanzen. Binomiales Asset-Pricing-Modell, Vanilla-Optionen, exotische Optionen, amerikanische Optionen, Arbitrage-Wahrscheinlichkeiten, Gewinn und Verlust, stochastische Zinssätze. Voraussetzung: Math 265/COI. 3 Std. (lec) 3 u.

45. Mathematik 271.1 Numerische Analysis I. Gleitkommadarstellung, Bedingungszahlen, iterative Methoden zum Lösen von Systemen linearer und nichtlinearer Gleichungen, numerische Integration, numerische lineare Algebra. Voraussetzung: Math 171/COI. 3 Std. (lec) 3 u.

46. ​​Mathematik 271.2 Numerische Analyse II. Numerische Verfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen, Finite-Differenz-Verfahren für partielle Differenzengleichungen, numerische Verfahren für Erhaltungssätze, Mehrgitterverfahren. Voraussetzung: Math 271.1/COI. 3 Std. (lec) 3 u.

47. Mathematik 272 Automatentheorie. Endliche Automaten. Reguläre Ausdrücke, Zerlegung endlicher Automaten und deren Realisierung. Turing-Maschinen. Einführung in die formalen Sprachen. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u. Dieser Kurs wird zur Abschaffung vorgeschlagen.

48. Mathematik 276 Einführung in die Computersimulation. Einführung in die Computersimulation theoretischer System- und Echtzeitprozesse. Simulationsbeispiele zur Lösung theoretischer und praktischer Probleme in verschiedenen Anwendungsbereichen. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u. Dieser Kurs wird zur Abschaffung vorgeschlagen.

49. Math 280 Lineare Programmierung. Simplexmethode, Dualität, Geometrie linearer Programme, parametrische Programmierung, Dekomposition und Variablen mit oberer Begrenzung. Voraussetzung: Mathe 40/Äquiv. 3 Std. (lec) 3 u. Die Voraussetzung wurde zur Überarbeitung vorgeschlagen, von Math 114 und Math 180.2 bis Math 40/Äquiv.

50. Mathematik 281 Nichtlineare Programmierung. Eigenschaften konvexer Mengen und Funktionen. Uneingeschränkte Optimierung. Kuhn-Tucker-Theorem. Lagrange-Multiplikatoren. Sattelpunktsätze. Algorithmen. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u.

51. Mathematik 282 Integer-Programmierung und kombinatorische Optimierung. Anwendungen der Integer-Programmierung. Konvergierende Dual- und Primal-Schnittebenenalgorithmen. Verzweigungsgebundene Methoden. Totale Unimodularität und das Transportproblem. Anwendungen der Graphentheorie auf die mathematische Programmierung. Voraussetzung: Mathe 280/Äquiv. 3 Std. (lec) 3 u.

52. Mathematik 283 Angewandte dynamische Programmierung. Deterministische Entscheidungsprobleme Analytische und rechnerische Methoden Anwendungen auf Probleme des Geräteaustauschs, der Ressourcenzuweisung, der Planung, der Suche und des Routings. Voraussetzung: GS/COI. 3 Std. (lec) 3u.

53. Mathematik 285 Einführung in die stochastische Optimierung. Wahrscheinlichkeitstheorie und Anwendungen auf diskrete und kontinuierliche Zeit Markov-Ketten Klassifikation von Zuständen algebraische Methoden, Geburts- und Sterbeprozesse, Erneuerungstheorie, Grenzwertsätze. Voraussetzung: Math 114, 150.1. 3 Std. (lec) 3 u.

54. Math 286 Endliche Graphen und Netzwerke. Grundlegende Graphentheorie und Anwendungen auf optimale Pfadprobleme fließen in kombinatorischen Netzwerkproblemen. Voraussetzung: Math 285/COI. 3 Std. (lec) 3 u.

55. Mathematik 288 Numerische Optimierung. Deterministische Descent-Typ-Methoden, stochastische Optimierungsmethoden, numerische Implementierung. Voraussetzung: Math 271.1/COI. 3 Std. (lec) 3 u.

56. Math 290 Forschungspapier zur Hochschulmathematik. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u.

57. Mathe 294 Unabhängiges Studium. Kann einmalig im M.S. Mathematik/Angewandte Mathematik und zweimal im Ph.D. Mathematik Programm. 3 u.

58. Math 295 Spezialprojekt. Voraussetzung: COI. 3 u.

59. Mathematik 296 Graduate Seminar. Voraussetzung: COI. 1 u.

60. Mathematik 297 Spezialthemen. Voraussetzung: COI. 3 Std. (lec) 3 u. (darf höchstens dreimal belegt werden Thema ist zu Protokollzwecken anzugeben)


Graduiertenkurse für Bachelor-Studierende

Qualifizierte Studierende können bestimmte Mathematikkurse am Center for Data Science (CDS) und der Graduate School of Arts and Science (GSAS) belegen, sofern sie die Erlaubnis des Studiendirektors oder des stellvertretenden Lehrstuhls für grundständige Angelegenheiten einholen. Nachfolgend sind einige solcher Kurse aufgeführt. Voraussetzungen, Punkte pro Kurs und Beschreibungen finden sich im GSAS Bulletin und auf den Websites der CDS und des Fachbereichs Mathematik. Wenn diese Kurse zur Erfüllung der Anforderungen für das Bakkalaureat verwendet werden, werden für sie keine Anrechnungen auf fortgeschrittenem Graduiertenniveau in CNS oder GSAS gewährt.

ZENTRUM FÜR DATENWISSENSCHAFT

Einführung in die Datenwissenschaft
DS-GA 1001, 1002

ABTEILUNG MATHEMATIK (STATISTISCHE UND MATHEMATISCHE METHODEN)

Informatik im Finanzwesen
MATH-GA 2041

Wissenschaftliches rechnen
MATH-GA 2043

Computergestützte Methoden für Finanzen
MATH-GA 2045

Erweiterte ökonometrische Modellierung und Big Data
MATH-GA 2046

Wissenschaftliches Rechnen im Finanzwesen
MATH-GA 2048

Topologie I
MATH-GA 2310

Differentialgeometrie I
MATH-GA 2350

Gewöhnliche Differentialgleichungen
MATH-GA 2470

Partielle Differentialgleichungen I
MATH-GA 2490

Flüssigkeitsdynamik
MATH-GA 2702

Angewandte stochastische Analyse
MATH-GA 2704

Zeitreihenanalyse und statistische Arbitrage
MATH-GA 2707

Algorithmischer Handel und quantitative Strategien
MATH-GA 2708

Mechanik
MATH-GA 2710

Risiko- und Portfoliomanagement mit Ökonometrie
MATH-GA 2751


Schau das Video: Graphisches Ableiten, Ableitungsgraph skizzieren. Mathe by Daniel Jung (Oktober 2021).