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7.2.1: Schlussfolgerungen aus der Darstellungsformel - Mathematik


Ähnlich wie bei der Funktionentheorie einer komplexen Variablen erhalten wir hier Ergebnisse für harmonische Funktionen aus der Darstellungsformel, insbesondere aus (7.2.5), (7.2.6). Wir erinnern daran, dass eine Funktion (u) heißt harmonisch wenn (uin C^2(Omega)) und
(dreieck u=0) in (Omega).

Vorschlag 7.1. Angenommen (u) ist harmonisch in (Omega). Dann ist (uin C^infty(Omega)).}

Nachweisen. Sei (Omega_0subsetsubsetOmega) eine Domäne mit (yinOmega_0). Aus den Darstellungsformeln (7.2.5), (7.2.6) mit (Omega:=Omega_0) folgt, dass (D^lu(y)) existieren und für alle (l ), da man die Differenzierung durch Integration in die rechten Seiten der Darstellungsformeln ändern kann.

(Kasten)

Anmerkung. Tatsächlich ist eine Funktion, die in (Omega) harmonisch ist, sogar in (Omega) reellanalytisch, siehe eine Übung.

Vorschlag 7.2 (Mittelwertformel für harmonische Funktionen). Angenommen (u) ist harmonisch in (Omega). Dann gilt für jedes (B_ ho(x)subsetsubsetOmega)
$$
u(x)=frac{1}{omega_n ho^{n-1}}int_{partial B_ ho(x)}u(y) dS_y.
$$

Nachweisen. Betrachten Sie den Fall (nge3). Die Behauptung folgt aus (7.2.6) wobei (Omega:=B_ ho(x)) da (r= ho) und
egin{eqnarray*}
int_{partial B_ ho(x)}frac{1}{r^{n-2}}frac{partial u}{partial n_y} dS_y&=&frac{1}{ ho ^{n-2}}int_{partial B_ ho(x)}frac{partial u}{partial n_y} dS_y
&=&frac{1}{ ho^{n-2}}int_{B_ ho(x)} dreieck u dy
&=&0.
end{eqnarray*}

(Kasten)

Wir erinnern daran, dass ein Gebiet (Omegainmathbb{R}^n) zusammenhängend heißt, wenn (Omega) nicht die Vereinigung zweier nichtleerer offener Teilmengen (Omega_1), (Omega_2 ) mit (Omega_1capOmega_2=emptyset). Ein Gebiet in (mathbb{R}^n) ist genau dann zusammenhängend, wenn sein Pfad zusammenhängend ist.

Vorschlag 7.3 (Maximalprinzip). Angenommen (u) ist harmonisch in einem zusammenhängenden Bereich und erreicht sein Supremum oder Infimum in (Omega). Dann (uequiv const.) in (Omega).

Nachweisen. Betrachten Sie den Fall des Supremums. Sei (x_0inOmega) so dass
$$
u(x_0)=sup_Omega u(x)=:M.
$$
Satz
(Omega_1:={xinOmega: u(x)=M}) und (Omega_2:={xinOmega: u(x)0) mit (overline{B_{ ho_0}(overline{x})}subset Omega) und (u(x)=M) für alle (xin B_{ ho_0}(overline{x})). Wenn nicht, dann gibt es ( ho>0) und (widehat{x}) mit
(|widehat{x}-overline{x}|= ho), (0< ho< ho_0) und (u(widehat{x})$$
M=frac{1}{omega_n ho^{n-1}}int_{partial B_ ho(overline{x})}u(x) dS
$$
was ein Widerspruch ist. Somit ist die Menge (Omega_2) leer, da (Omega_1) offen ist.

(Kasten)

Logische Folge. Angenommen (Omega) ist zusammenhängend und beschränkt, und (uin C^2(Omega)cap C(overline{Omega})) ist harmonisch in (Omega). Dann erreicht (u) sein Minimum und sein Maximum am Rand (partialOmega).

Anmerkung. Das vorherige Korollar schlägt fehl, wenn (Omega) nicht beschränkt ist, wie einfache Gegenbeispiele zeigen.


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Verstehe, dass eine Division von zwei ganzen Zahlen immer eine rationale Zahl ergibt. Verwenden Sie diese Informationen, um das Dezimalergebnis einer Divisionsaufgabe bei der Verwendung eines Taschenrechners zu interpretieren.

Suchen Sie positive und negative rationale Zahlen auf einer Zahlengeraden, verstehen Sie das Konzept der Gegensätze und zeichnen Sie Paare positiver und negativer rationaler Zahlen in einem Koordinatenraster auf.

GeoGebraTube: Zahlenstrahl-Grundlagen - Verschieben Sie 2 Zahlen entlang eines Zahlenstrahls. Sehen Sie, wo sie liegen und wie sie sich vergleichen. Der Absolutwert einer Zahl wird angezeigt.

Vergleichen Sie positive und negative rationale Zahlen, die in verschiedenen Formen unter Verwendung der Symbole <, >, =, ≤, ausgedrückt werden.

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Erkennen und generieren Sie äquivalente Darstellungen positiver und negativer rationaler Zahlen, einschließlich äquivalenter Brüche.

Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren positiver und negativer rationaler Zahlen, die ganze Zahlen, Brüche und abschließende Dezimalzahlen sind, verwenden effiziente und verallgemeinerbare Verfahren, einschließlich Standardalgorithmen, die positive rationale Zahlen zu ganzzahligen Exponenten erhöhen.

Beleuchtungen: Voltmeter - Addition von ganzen Zahlen von 6 bis -6.

GeoGebraTube: ACCESS Prealgebra - Multiplikation von ganzen Zahlen von -10 bis 10.

GeoGebraTube: Subtracting Integers - Subtraktion von ganzen Zahlen von -10 bis 10.

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BCMS 7. Klasse Mathematik: Spiele und Aktivitäten - Kapitel 1 - eine Vielzahl von Spielen und Aktivitäten für Integer-Operationen

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Verstehen Sie, dass eine Beziehung zwischen zwei Variablen x und y proportional ist, wenn sie in der Form y/x = k oder y = kx ausgedrückt werden kann. Unterscheiden Sie proportionale Beziehungen von anderen Beziehungen, einschließlich umgekehrt proportionaler Beziehungen ( xy = k oder k/x = y ).

Verstehen Sie, dass der Graph einer proportionalen Beziehung eine Linie durch den Ursprung ist, deren Steigung die Einheitsrate (Proportionalitätskonstante) ist. Erfahren Sie, wie Sie mithilfe von Grafiktechnologie untersuchen können, was mit einer Linie passiert, wenn die Einheitsrate geändert wird.

Stellen Sie proportionale Beziehungen mit Tabellen, verbalen Beschreibungen, Symbolen, Gleichungen und Grafiken dar, die von einer Darstellung in eine andere übersetzt werden. Bestimmen Sie die Einheitsrate (Proportionalitätskonstante oder Steigung) für eine dieser Darstellungen.

BCMS 7. Klasse Mathe: Kapitel 10 Vokabeln

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Nutzen Sie die Kenntnis der Proportionen, um die Angemessenheit von Lösungen zu beurteilen.

BCMS 7. Klasse Mathe: Spiele und Aktivitäten

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Werten Sie algebraische Ausdrücke aus, die rationale Zahlen und ganzzahlige Exponenten bei bestimmten Werten ihrer Variablen enthalten.

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Stellen Sie Beziehungen in verschiedenen Kontexten mit Gleichungen dar, die Variablen und positive und negative rationale Zahlen beinhalten. Verwenden Sie die Eigenschaften der Gleichheit, um nach dem Wert einer Variablen aufzulösen. Interpretieren Sie die Lösung im ursprünglichen Kontext.

Lösen Sie Gleichungen, die sich aus proportionalen Beziehungen in verschiedenen Kontexten ergeben.

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GeoGebraTube: Fläche eines Kreises visualisieren - Zerlegen Sie einen Kreis in Sektoren, ordnen Sie sie neu an und sehen Sie, welche Form sie bilden.

Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche von Zylindern und begründen Sie die verwendeten Formeln.

Beschreiben Sie die Eigenschaften der Ähnlichkeit, vergleichen Sie geometrische Figuren auf Ähnlichkeit und bestimmen Sie Skalierungsfaktoren.

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Zeichnen und beschreiben Sie Translationen und Spiegelungen von Figuren in einem Koordinatengitter und bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte der Figur nach der Transformation.

Entwerfen Sie einfache Experimente und sammeln Sie Daten. Bestimmen Sie Mittelwert, Median und Bereich für quantitative Daten und aus Daten, die in einer Anzeige dargestellt werden. Verwenden Sie diese Größen, um Rückschlüsse auf die Daten zu ziehen, verschiedene Datensätze zu vergleichen und Vorhersagen zu treffen.

Youtube: Mittelwert, Median, Modus: Musiknoten – lustiges Lied, um sich daran zu erinnern, welches was ist

Beschreiben Sie die Auswirkungen, die das Einfügen oder Löschen eines Datenpunkts auf den Mittelwert und den Median eines Datensatzes hat. Erfahren Sie, wie Sie Datenanzeigen mithilfe einer Kalkulationstabelle erstellen, um diese Auswirkungen zu untersuchen.

Beleuchtungen: Mittelwert und Median - Fügen Sie Datenpunkte zu einem Satz Ihrer eigenen Daten hinzu und sehen Sie, wie sich der Median und der Mittelwert ändern.

Verwenden Sie Argumentation mit Proportionen, um Daten in Kreisdiagrammen (Kreisdiagrammen) und Histogrammen anzuzeigen und zu interpretieren. Wählen Sie die geeignete Datenanzeige und wissen Sie, wie Sie die Anzeige mithilfe einer Tabellenkalkulation oder einer anderen Grafiktechnologie erstellen.

Beleuchtung: Advanced Data Grapher - Verwenden Sie die bereitgestellten Daten oder geben Sie Ihre eigenen ein und erstellen Sie ein Histogramm, ein Stamm-Blatt-Diagramm und andere Grafiken.

Beleuchtungen: Data Grapher - Geben Sie Daten ein und erstellen Sie ein Kreis- oder Liniendiagramm.

Beleuchtungen: Histogramm-Tool - Verwenden Sie die bereitgestellten Daten oder geben Sie Ihre eigenen ein und erstellen Sie ein Histogramm.

Verwenden Sie Zufallszahlen, die von einem Taschenrechner oder einer Tabellenkalkulation generiert oder aus einer Tabelle entnommen werden, um zufällige Situationen zu simulieren, erstellen Sie ein Histogramm, um die

Ergebnisse und vergleichen Sie die Ergebnisse mit bekannten Wahrscheinlichkeiten.

Beleuchtung: Einstellbarer Spinner - Erstellen Sie einen Spinner mit gleich großen Sektoren und drehen Sie ihn viele Male. Vergleichen Sie die theoretische Wahrscheinlichkeit und die relative Häufigkeit.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit als Bruchteil des Probenraums oder als Bruchteil der Fläche. Drücken Sie Wahrscheinlichkeiten als Prozente, Dezimalzahlen und Brüche aus.

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Verwenden Sie proportionales Denken, um Schlussfolgerungen zu ziehen und relative Häufigkeiten von Ergebnissen basierend auf Wahrscheinlichkeiten vorherzusagen.

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Angenommen $V$ ist ein Vektorraum über einem Körper $k.^dagger$ Wenn ein $Ainmathrm(V)$ ist diagonalisierbar, es induziert eine Eigenbasis $$ für $V$ mit zugehörigen Eigenwerten $$. Betrachten Sie die vererbte Wirkung von $A$ auf die äußeren und symmetrischen Potenzen $Lambda^k(V)$ bzw. $S^k(V)$. Insbesondere können wir die Eigenpaare oder $Lambda^k(A)$ bzw. $S^k(A)$ charakterisieren als

v_keilcdotskeil v_)$ $(lambda_cdotslambda_,

wobei $(i_1,cdots,i_k)$ und $(j_1,cdots,j_k)$ strikt steigende bzw. Damit erhalten wir die Spurenformeln

wobei $e_k$ das $k$te elementare symmetrische Polynom und $h_k$ das $k$te vollständige homogene symmetrische Polynom ist. Glücklicherweise sind die symmetrischen Potenzsummenpolynome

Andernfalls können wir die Familie der Newton-Girard-Identiten verwenden, um rekursiv Spurenformeln zu definieren, wie sie durch die Antwort von Draks auf die zuvor verlinkte Frage gegeben sind

$^dagger$Das Merkmal sollte $n!$ nicht teilen, wobei $n=dim V$ ist. Die Schlussfolgerungen hier können auf defekte $A$ erweitert werden, indem man z.B. Kontinuität, nachdem der Fall von diagonalisierbarem $A$ unter der Annahme einer zugrunde liegenden Topologie berücksichtigt wurde.

Explizit, zusätzlich zum Fall $k=2$ in Rattles Antwort, gibt uns dies


Leuchtet 2 Go

Schmidt, D. (1906). Artikel 2: Zahlentheorie. Geschichte der modernen Mathematik (Lit2Go-Ausgabe). Abgerufen am 07. Juli 2021 von https://etc.usf.edu/lit2go/103/history-of-modern-mathetics/1727/article-2-theory-of-numbers/

Smith, David Eugen. "Artikel 2: Zahlentheorie." Geschichte der modernen Mathematik. Lit2Go-Edition. 1906. Netz. https://etc.usf.edu/lit2go/103/history-of-modern-mathetics/1727/article-2-theory-of-numbers/ >. 07. Juli 2021.

David Eugene Smith, "Artikel 2: Zahlentheorie", Geschichte der modernen Mathematik, Lit2Go Edition, (1906), abgerufen am 07.07.2021, https://etc.usf.edu/lit2go/103/history-of-modern-mathematics/1727/article-2-theory-of-numbers/ .

Die Zahlenlehre,1 eine beliebte Studie der Griechen, erlebte im 16. und 17. Jahrhundert ihre Renaissance durch die Arbeiten von Viete, Bachet de Meziriac und insbesondere Fermat. Im 18. Jahrhundert trugen Euler und Lagrange zur Theorie bei, und am Ende nahm das Thema durch die großen Arbeiten von Legendre (1798) und Gauß (1801) wissenschaftliche Gestalt an. Mit den letztgenannten Disquisitiones Arithmeticæ (1801) beginnt die moderne Zahlentheorie. Diese Theorie teilt sich in zwei Zweige, denjenigen, der sich mit ganzen Zahlen beschäftigt und sich insbesondere mit (1) dem Studium der Primzahlen, der Kongruenzen und der Residuen und insbesondere des Reziprozitätsgesetzes beschäftigt, und (2) der Formentheorie , und der andere beschäftigt sich mit komplexen Zahlen.

Die Primzahlentheorie2 hat im 19. Jahrhundert viele Forscher angezogen, aber die Ergebnisse waren eher detailliert als allgemein. Tchäacutebichef (1850) war der erste, der wertvolle Schlussfolgerungen hinsichtlich der Bestimmung der Zahl der Primzahlen zwischen zwei gegebenen Grenzen gezogen hat. Riemann (1859) gab auch eine bekannte Formel für den Grenzwert der Zahl der Primzahlen, die eine gegebene Zahl nicht überschreiten.

Man kann sagen, dass die Theorie der Kongruenzen mit Gauss'schen Disquisitionen beginnt. Er führte die Symbolik a &äquiv b (mod c) ein und erforschte den größten Teil des Gebiets. Täacutebichef veröffentlichte 1847 ein Werk in russischer Sprache zu diesem Thema, und in Frankreich hat Serret viel dazu beigetragen, die Theorie bekannt zu machen.

Außer der Zusammenfassung der Arbeiten seiner Vorgänger in der Zahlentheorie und dem Hinzufügen vieler origineller und bemerkenswerter Beiträge kann Legendre der fundamentale Satz zugeschrieben werden, der seinen Namen trägt, das Gesetz der Reziprozität quadratischer Rückstände. Dieses durch Induktion entdeckte und von Euler ausgesprochene Gesetz wurde zuerst von Legendre in seiner Théacuteorie des Nombres (1798) für spezielle Fälle bewiesen. Unabhängig von Euler und Legendre entdeckte Gauß um 1795 das Gesetz und führte als erster einen allgemeinen Beweis an. Zu diesem Thema haben auch Cauchy beigetragen, der vielleicht vielseitigste französische Mathematiker des Jahrhunderts Dirichlet, dessen Vorlesungen über Zahlentheorie, herausgegeben von Dedekind, ein klassischer Jacobi ist, der das verallgemeinerte Symbol einführte, das seinen Namen trägt Liouville, Zeller, Eisenstein, Kummer , und Kronecker. Die Theorie wurde um kubische und biquadratische Reziprozität erweitert, insbesondere von Gauß, Jacobi, der als erster das Gesetz der kubischen Reziprozität bewies, und von Kummer.

Gauss verdankt auch die Darstellung von Zahlen durch binäre quadratische Formen. Cauchy, Poinsot (1845), Lebesque (1859, 1868) und insbesondere Hermite haben das Thema erweitert. In der Theorie der ternären Formen war Eisenstein führend, und ihm und H. J. S. Smith gebührt auch ein bemerkenswerter Fortschritt in der Theorie der Formen überhaupt. Smith gab eine vollständige Klassifikation ternärer quadratischer Formen und erweiterte Gauß'sche Forschungen über reelle quadratische Formen auf komplexe Formen. Die Untersuchungen zur Darstellung von Zahlen durch die Summe von 4, 5, 6, 7, 8 Quadraten wurden von Eisenstein vorangetrieben und die Theorie von Smith vervollständigt.

In Deutschland war Dirichlet einer der eifrigsten Arbeiter in der Zahlentheorie und der erste, der dieses Thema an einer deutschen Universität lehrte. Zu seinen Beiträgen gehört die Erweiterung des Satzes von Fermat auf xn + yn = zn , die Euler und Legendre für n = 3, 4 bewiesen hatten, wobei Dirichlet zeigte, dass x5 + y5 &ne az5. Zu den späteren französischen Schriftstellern zählen Borel Poincaréacute, dessen Memoiren zahlreich und wertvoll sind, Gerberei und Stieltjes. Zu den führenden Anbietern in Deutschland zählen Kronecker, Kummer, Schering, Bachmann und Dedekind. In Österreich gehören Stolz's Vorlesungen über allgemeine Arithmetik (188586) und in England Mathews' Zahlentheorie (Teil I, 1892) zu den gelehrtesten allgemeinen Werken. Genocchi, Sylvester und J.Auch W. L. Glaisher haben die Theorie ergänzt.

1 Cantor, M., Geschichte der Mathematik, Bd. III, p. 94 Smith, H. J. S., Bericht über die Theorie der Zahlen Collected Papers, Vol. 2, No. I Stolz, O., Grössen und Zahien, Leipzig. 1891.

2 Brocard, H., Sur la fréquence et la totalité des nombres Premiers Nouvelle Correspondence de Mathématiques, Vols. V und VI geben die jüngere Geschichte bis 1879.

Diese Sammlung von Kinderliteratur ist Teil des Educational Technology Clearinghouse und wird durch verschiedene Stipendien finanziert.


Eine kulturell ansprechende Linse in den Mathematikunterricht einbringen

Ein Matheprojekt der Mittelschule gibt den Schülern die Möglichkeit, die im Unterricht erworbenen Fähigkeiten auf ein Thema anzuwenden, das ihnen wichtig ist.

Entgegen der landläufigen Meinung ist Mathematik mehr als nur Zahlen, algebraische Formeln und uralte Algorithmen. Es kann als Vehikel dienen, um unseren Schülern zu helfen, die Welt, in der wir leben, zu verstehen, aber aktuelle Ereignisse und reale Probleme wurden im Allgemeinen nur in Fächer wie Englisch, Naturwissenschaften und Sozialkunde integriert eigene kleine Insel.

Nachdem ich jahrelang nach Unterrichtsplänen und Ressourcen gesucht hatte, die mir helfen würden, die Lücke zwischen Mathematik und realen Problemen zu schließen, beschloss ich, dafür mein eigenes Unit-Projekt zu erstellen. Ich befragte meine Schüler der siebten Klasse, um das richtige Thema zu finden, und erstellte ein dreiwöchiges Projekt, das sich auf die Schnittstelle zwischen Strafverfolgungsbehörden und farbigen Gemeinschaften in Boston konzentrierte. Andere für sie interessante Themen waren Einwanderung, Armut, Obdachlosigkeit, Umweltverschmutzung und die Schaffung von mehr Jugendarbeitsplätzen in unserer Wirtschaft – es gibt viele Möglichkeiten für diese Art von Arbeit.

Ein 4-Schritte-Prozess, um Mathematik mit dem Leben der Schüler zu verbinden

1. Auswahl des Themas oder Problems: Ich begann mit der Idee, dass das Thema für die rassische und kulturelle Zusammensetzung meiner Schüler und für die Gemeinschaften, in denen sie lebten, relevant sein müsste. Der beste Weg, das Thema auszuwählen, bestand darin, sie zu fragen, was ihnen wirklich wichtig wäre. Meine Studenten, die überwiegend Afroamerikaner und Latinos waren, wählten das Thema Polizeibrutalität, weil es sie persönlich berührt hatte.

Wenn Sie dies versuchen, garantiert die Wahl des richtigen Themas ein hohes Maß an studentischem Engagement während des gesamten Projekts. Sie können eine Interessenumfrage oder einen Fragebogen erstellen, um Ihren Schülern die Möglichkeit zu geben, die realen Themen, die sie erkunden möchten, detailliert zu teilen Druck aus.

Wenn Sie das Thema festgelegt haben, schreiben Sie es als offene Fokusfrage auf, auf die Ihre Schüler während des gesamten Projekts hinarbeiten werden. Für das Thema Polizeibrutalität habe ich mit meinen Studierenden die Fokusfrage erarbeitet: „Können mehr unterschiedliche Polizeikräfte Racial Profiling verhindern?“

2. Sammeln von Hintergrundinformationen: Die nächste große Frage für einen Mathematiklehrer lautet: „Welche spezifischen Datenpunkte werden benötigt, um die Fokusfrage effektiv zu beantworten?“ Da die Schüler das Thema durch eine mathematische Linse untersuchen, müssen Sie überlegen, welche quantitativen Datenpunkte sie untersuchen können, um ihre eigenen Schlussfolgerungen zu dem Thema zu ziehen.

Diese Datenpunkte – zum Beispiel Statistiken, grafische Darstellungen, geometrische Diagramme oder funktionale Zusammenhänge – müssen nicht nur für die Kontextualisierung im Rahmen des Themas zur Verfügung stehen, sondern auch Ihren Schülern zugänglich sein, damit sie die entsprechenden mathematischen Fähigkeiten anwenden können. In meinem Projekt wurden nationale Stop-and-Frisk-Statistiken, Bevölkerungsdaten und demografische Daten zu Polizeibeamten als Datenpunkte hervorgehoben, die bei der Beantwortung der Fokusfrage helfen würden.

Zusätzlich zu den quantitativen Daten, die Ihre Schüler in ihren mathematischen Arbeiten verwenden, benötigen sie qualitative Daten – Nachrichtenberichte, Bücher usw. – um das Thema, das sie untersuchen, besser zu verstehen. Meiner Meinung nach ist das Sammeln dieser Informationen der schwierigste Schritt des Prozesses, da Sie Ihre persönlichen Vorurteile einteilen müssen, die die Denkweise Ihrer Schüler über das Thema beeinflussen können. Sie müssen die vielfältigen Perspektiven darstellen, die die Leute zu dem Thema haben, damit Ihre Schüler die notwendigen Informationen haben, um Hintergrundwissen aufzubauen und ihr eigenes Denken zu diesem Thema zu entwickeln.

Primärquellen sind die zuverlässigsten Informationsquellen, da sie original sind und zum Zeitpunkt der Ausgabe geschrieben oder erstellt wurden. Beispiele für Primärquellen sind Manuskripte, Bücher, Zeitungsartikel, historische Dokumente, Videos, Fotografien und Interviews. Mit anderen Worten – und sie werden wahrscheinlich fragen – Schüler sollten Wikipedia nicht verwenden.

3. Mathekompetenzen identifizieren und mit Standards verbinden: Sobald Sie die geeigneten Datenpunkte identifiziert haben, sollten Sie die spezifischen mathematischen Fähigkeiten bestimmen, die Ihre Schüler verwenden, um die Datenpunkte zu analysieren und mathematische Argumente zu konstruieren.

Die mathematischen Fähigkeiten sollten für die von Ihnen unterrichtete Klassenstufe entwicklungsgerecht sein: Da unsere Einheit zur Erstellung von Rassenprofilen stark auf statistische Konzepte ausgerichtet war, stellte ich fest, dass die Schüler die Datenpunkte mithilfe von Fähigkeiten wie Umrechnungen zwischen rationalen Zahlen (Dezimalen, Brüchen und ) analysieren konnten Prozentsätze), Maße der zentralen Tendenz (Mittelwert, Median und Modus) und Zwei-Wege-Häufigkeitstabellen.

Als Nächstes müssen Sie die von Ihnen ermittelten mathematischen Fähigkeiten mit den entsprechenden akademischen Standards für Ihren Bundesstaat abgleichen, sei es die Common Core State Standards oder die akademischen Standards für Ihren Bundesstaat. Identifizieren Sie die Standards, die am besten zu den mathematischen Fähigkeiten passen, die Ihre Schüler für diese Lektion beherrschen sollen.

4. Bestimmung des endgültigen Arbeitsergebnisses: Schließlich müssen Sie beim Nachdenken über das Produkt, das Ihre Schüler produzieren werden, ihre unterschiedlichen akademischen Bedürfnisse berücksichtigen. Wenn Sie in einem inklusiven Klassenzimmer unterrichten, empfehle ich Ihnen dringend, bei diesem Schritt mit der Sonderpädagogin zusammenzuarbeiten. Sie können Ihnen dabei helfen, eine gerüstete oder modifizierte Version des endgültigen Arbeitsergebnisses zu erstellen, die für jeden einzelnen Schüler, der Unterrichtsunterstützung erhält, entwicklungsgerecht ist.

Für dieses Projekt habe ich den Studenten drei Optionen für das Endprodukt gegeben. Sie könnten an einem Sokratischen Seminar für eine ganze Klasse teilnehmen und miteinander in einen Dialog treten, indem sie textliche und statistische Beweise vorlegen, die ihre Antwort auf die Fokusfrage unterstützen würden. Die zweite Möglichkeit bestand darin, einen Brief an den Polizeikommissar zu schreiben, um seine Bedenken bezüglich des Themas Racial Profiling durch die Strafverfolgungsbehörden in Boston zu äußern, einschließlich relevanter Daten, um ihre Argumentation zu untermauern. Die letzte Möglichkeit bestand darin, ein Papier zu verfassen, in dem ihre Argumente dargelegt wurden, mit statistischen Beweisen und mindestens zwei Lösungen, von denen sie dachten, dass sie das Problem lösen würden. Meine Schüler entschieden sich für ein Sokratisches Seminar der ganzen Klasse.

Letztendlich sollte das Endprodukt mehrere Zugangspunkte für die unterschiedlichen Lernenden in Ihrer Klasse bieten und ihnen ermöglichen, ihre Beherrschung der mathematischen Fähigkeiten und ihr Wissen über das Thema am besten zu demonstrieren.


  • Zahlenarten: natürliche ganze Zahlen, rational, irrational
  • Stellenwert, Rundung, signifikante Zahlen
  • Faktoren und Primzahlen, GCF und LCM
  • Potenzen, Brüche und Dezimalzahlen
  • Befugnisse
  • Gesetze der Indizes
  • Indizes Operationen/Logarithmen
  • Gesetze der Logarithmen
  • Betrieb
  • Basis e
  • Basiswechsel
  • Logarithmische Gleichungen
  • Wissenschaftlicher Taschenrechner
  • Algebraische Ausdrücke
  • Operationen algebraischer Ausdrücke
  • Faktorisierung algebraischer Ausdrücke
  • Quadratische Ausdrücke
  • Lösung von Gleichungen
  • linear
  • quadratisch
  • kubisch und polynomisch
  • Partialbrüche
  • Simultangleichungen

- linear mit 2 Unbekannten - linear mit 3 Unbekannten - linear und quadratisch

  • Umsetzung von Formeln
  • Auswertung von Polynomen
  • Division von Polynomen, Rest- und Faktorsatz
  • Skala
  • Zeichnen von Grundfiguren Ebene
  • Zeichnen von Körpern
  • Folgen, arithmetische und geometrische Verläufe
  • Serie
  • Lösung von Problemen im Zusammenhang mit einfachen und Zinseszinsen
  • Konvergente Reihe
  • Linear
  • Quadratisch
  • Exponentiell
  • Lösung von Gleichungen

- Bogenmaß - Minuten und Sekunden

  • Trigonometrische Verhältnisse und ihre Kehrwerte
  • Elevations- und Depressionswinkel
  • Sinusregel
  • Kosinusregel
  • Lösung von Dreiecken
  • Graphen trigonometrischer Funktionen
  • Zusammengesetzte Winkelformel
  • Ableitung der Doppelwinkelformel
  • Grundlegende trigonometrische Gleichungen

- Formel - Halbwinkelformel - Tangentenregel - Faktorformel - weitere trigonometrische Gleichungen - parametrische Gleichungen - Heronsche Formel

  • Breiten- und Längengrade
  • Der Äquator und der Greenwich-Meridian
  • Abstand zwischen zwei Punkten auf kleinen und großen Kreisen
  • Zeit zwischen Längengrad
  • Geschwindigkeit
  • Polargleichungen
  • Umrechnung von Kartesisch in Polar und umgekehrt
  • Graphen von Polargleichungen
  • Ortsdefinitionen in Beziehungspunkten, Geraden, Ebenen, Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln
  • Maßeinheiten
  • Umfang und Flächen regelmäßiger Figuren
  • Volumen regelmäßiger Feststoffe
  • Oberflächen von regelmäßigen Festkörpern
  • Bereich mit unregelmäßigen Figuren
  • Fläche und Volumen nach dem Pappus-Theorem
  • Begriffsdefinitionen – Permutation und Kombination
  • faktorielle Notation
  • Lösen von Problemen mit Permutationen und Kombinationen
  • Binomialerweiterung:

- Pascal-Dreieck - Binomialsatz - Potenzreihen mit Binomialsatz - Zahlenwurzeln nach Binomialsatz - Binomialsatz auf Näherungen anwenden


Komplexe Analyse

IV.F Unendliche Produkte, Teilbrüche und Approximationen

Ein natürlicher Weg, eine meromorphe Funktion zu schreiben, ist in Bezug auf ihre Nullstellen und Pole. Zum Beispiel, weil Sünde π z Nullen bei den ganzen Zahlen hat, erwarten wir, dass wir es in das Produkt „faktorisieren“ können. Tatsächlich hat Euler die folgende Produkterweiterung aufgeschrieben:

Mit komplexer Analyse kann man solche Erweiterungen rigoros begründen.

Die Frage der Konvergenz eines unendlichen Produkts ist leicht zu lösen. Durch Logarithmen kann man es auf die Konvergenz einer Summe reduzieren. Zum Beispiel das Produkt

konvergiert absolut genau dann, wenn die Summe ∑ m = 1 ∞ | log ( 1 + ein m ) | konvergiert absolut. Seit | log ( 1 + ein m ) | ist ungefähr ¦einm¦, das Produkt konvergiert genau dann absolut, wenn die Reihe ∑ m = 1 ∞ | ein m | konvergiert absolut.

Der folgende Satz erlaubt es uns, eine ganze Funktion mit einer vorgegebenen Menge von Nullstellen zu konstruieren.

Der Produktsatz von Weierstraß.

Lassen (einJ : J = 1, 2, …) eine Folge komplexer Zahlen ungleich Null sein, in der keine komplexe Zahl unendlich oft vorkommt. Angenommen, die Menge <einJ> hat keinen (endlichen) Grenzpunkt in der komplexen Ebene. Dann existiert eine ganze Funktion F(z) mit einer Null der Vielfachheit m bei 0, Nullen in der Menge <einJ> mit der richtigen Multiplizität und ohne weitere Nullen. Diese Funktion kann in der Form geschrieben werden

Aus diesem Satz können wir die folgende Darstellung einer meromorphen Funktion ableiten.

Eine meromorphe Funktion auf der komplexen Ebene ist der Quotient zweier ganzer Funktionen. Die beiden Gesamtfunktionen können so gewählt werden, dass sie keine gemeinsamen Nullstellen haben.

Insbesondere kann man sich meromorphe Funktionen als Verallgemeinerungen rationaler Funktionen vorstellen.

Das Gamma-Funktion (z) ist eine nützliche Funktion, die durch eine Produktformel definiert werden kann. In der Tat,

Eine weitere nützliche Funktionalgleichung ist die Legendre-Formel

Rationale Funktionen können als Teilbrüche dargestellt werden, ebenso wie meromorphe Funktionen.

Satz von Mittag-Leffler.

Lass <BJ : J = 1, 2,…> sei eine Menge komplexer Zahlen ohne endlichen Grenzpunkt in der komplexen Ebene, und sei PJ(z) seien Polynome mit null konstanten Termen gegeben, eines für jeden Punkt BJ. Dann gibt es meromorphe Funktionen in der komplexen Ebene mit den Polen bei Bm mit einzelnen Teilen PJ(1/zBJ). Diese Funktionen haben die Form

Durch logarithmische Ableitungen und Integration kann man den Produktsatz von Weierstrass aus dem Satz von Mittag-Leffler ableiten.

Zwei Beispiele für Partialbruchexpansionen meromorpher Funktionen sind

Der Approximationssatz von Runge besagt, dass eine Funktionsanalytik auf einem beschränkten Gebiet Ω mit Löchern gleichmäßig durch eine rationale Funktion approximiert werden kann, deren Pole alle in den Löchern liegen. Der Satz von Runge kann mit einer Cauchyschen Integralformel für kompakte Mengen bewiesen werden.

Der Näherungssatz von Runge.

Lassen F(z) sei eine analytische Funktion auf einem Gebiet Ω in der komplexen Ebene sei K sei eine kompakte Teilmenge von Ω. Sei ε > 0 eine gegebene (kleine) positive reelle Zahl. Dann gibt es eine rationale Funktion R(z) mit all seinen Polen draußen K so dass


Mathematische und trigonometrische Funktionen (Referenz)

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Notiz: Versionsmarkierungen zeigen an, in welcher Excel-Version eine Funktion eingeführt wurde. Diese Funktionen sind in früheren Versionen nicht verfügbar. Eine Versionsmarkierung von 2013 zeigt beispielsweise an, dass diese Funktion in Excel 2013 und allen späteren Versionen verfügbar ist.

Gibt den absoluten Wert einer Zahl zurück

Gibt den Arkuskosinus einer Zahl zurück

Gibt den inversen hyperbolischen Kosinus einer Zahl zurück

ACOT-Funktion

Gibt den Arkuskotangens einer Zahl zurück

ACOTH-Funktion

Gibt den hyperbolischen Arkuskotangens einer Zahl zurück

Gibt das Aggregat in einer Liste oder Datenbank zurück

Arabische Funktion

Konvertiert eine römische Zahl in eine arabische Zahl, als Zahl

Gibt den Arkussinus einer Zahl zurück

Gibt den inversen hyperbolischen Sinus einer Zahl zurück

Gibt den Arkustangens einer Zahl zurück

Gibt den Arkustangens aus den x- und y-Koordinaten zurück

Gibt den inversen hyperbolischen Tangens einer Zahl zurück

BASE-Funktion

Wandelt eine Zahl in eine Textdarstellung mit der angegebenen Basis (Basis) um

Rundet eine Zahl auf die nächste ganze Zahl oder auf das nächste Vielfache der Signifikanz

DECKEN.MATH-Funktion

Rundet eine Zahl auf, auf die nächste ganze Zahl oder auf das nächste Vielfache der Signifikanz

Rundet eine Zahl auf die nächste ganze Zahl oder auf das nächste Vielfache der Signifikanz. Unabhängig vom Vorzeichen der Zahl wird die Zahl aufgerundet.

Gibt die Anzahl der Kombinationen für eine gegebene Anzahl von Objekten zurück

COMBINA-Funktion

Gibt die Anzahl der Kombinationen mit Wiederholungen für eine bestimmte Anzahl von Elementen zurück

Gibt den Kosinus einer Zahl zurück

Gibt den hyperbolischen Kosinus einer Zahl zurück

COT-Funktion

Gibt den Kotangens eines Winkels zurück

COTH-Funktion

Gibt den hyperbolischen Kotangens einer Zahl zurück

CSC-Funktion

Liefert den Kosekans eines Winkels

CSCH-Funktion

Gibt den hyperbolischen Kosekans eines Winkels zurück

DEZIMAL-Funktion

Wandelt eine Textdarstellung einer Zahl in einer gegebenen Basis in eine Dezimalzahl um

Wandelt Radiant in Grad um

Rundet eine Zahl auf die nächste gerade ganze Zahl auf

Kehrt zurück e potenziert mit einer gegebenen Zahl

Gibt die Fakultät einer Zahl zurück

Gibt die doppelte Fakultät einer Zahl zurück

Rundet eine Zahl ab, in Richtung Null

FLOOR.MATH-Funktion

Rundet eine Zahl ab, auf die nächste ganze Zahl oder auf das nächste Vielfache der Bedeutung

Rundet eine Zahl auf die nächste ganze Zahl oder auf das nächste Vielfache der Signifikanz ab. Unabhängig vom Vorzeichen der Zahl wird die Zahl abgerundet.

Gibt den größten gemeinsamen Teiler zurück

Rundet eine Zahl auf die nächste ganze Zahl ab

ISO.CEILING-Funktion

Gibt eine Zahl zurück, die auf die nächste ganze Zahl oder auf das nächste Vielfache der Signifikanz aufgerundet wird

Gibt das kleinste gemeinsame Vielfache zurück

Gibt den natürlichen Logarithmus einer Zahl zurück

Gibt den Logarithmus einer Zahl zu einer angegebenen Basis zurück

Gibt den Logarithmus zur Basis 10 einer Zahl zurück

Gibt die Matrixdeterminante eines Arrays zurück

Gibt die Matrixinverse eines Arrays zurück

Gibt das Matrixprodukt zweier Arrays zurück

Gibt den Rest der Division zurück

Gibt eine auf das gewünschte Vielfache gerundete Zahl zurück

Gibt das Multinom einer Menge von Zahlen zurück

MUNIT-Funktion

Gibt die Einheitenmatrix oder die angegebene Dimension zurück

Rundet eine Zahl auf die nächste ungerade ganze Zahl auf

Gibt das Ergebnis einer potenzierten Zahl zurück

Gibt den ganzzahligen Teil einer Division zurück

Wandelt Grad in Bogenmaß um

Gibt eine Zufallszahl zwischen 0 und 1 zurück

Gibt ein Array von Zufallszahlen zwischen 0 und 1 zurück. Sie können jedoch die Anzahl der zu füllenden Zeilen und Spalten, Mindest- und Höchstwerte angeben und angeben, ob ganze Zahlen oder Dezimalwerte zurückgegeben werden sollen.

Gibt eine Zufallszahl zwischen den von Ihnen angegebenen Zahlen zurück

Konvertiert eine arabische Ziffer in eine römische als Text

Rundet eine Zahl auf eine bestimmte Anzahl von Stellen

Rundet eine Zahl ab, in Richtung Null

Rundet eine Zahl auf, weg von Null

SEC-Funktion

Gibt die Sekante eines Winkels zurück

SECH-Funktion

Gibt die hyperbolische Sekante eines Winkels zurück

Gibt die Summe einer Potenzreihe basierend auf der Formel zurück

Gibt das Vorzeichen einer Zahl zurück

Gibt den Sinus des angegebenen Winkels zurück

Gibt den hyperbolischen Sinus einer Zahl zurück

Gibt eine positive Quadratwurzel zurück

Gibt die Quadratwurzel von (Zahl * Pi) zurück

Gibt eine Zwischensumme in einer Liste oder Datenbank zurück

Fügt die Zellen hinzu, die durch ein bestimmtes Kriterium angegeben sind

Fügt die Zellen in einem Bereich hinzu, die mehrere Kriterien erfüllen

Gibt die Summe der Produkte der entsprechenden Array-Komponenten zurück

Gibt die Summe der Quadrate der Argumente zurück

Gibt die Summe der Differenz der Quadrate der entsprechenden Werte in zwei Arrays zurück

Gibt die Summe der Quadratsumme der entsprechenden Werte in zwei Arrays zurück

Gibt die Summe der Quadrate der Differenzen der entsprechenden Werte in zwei Arrays zurück

Gibt den Tangens einer Zahl zurück

Gibt den hyperbolischen Tangens einer Zahl zurück

Kürzt eine Zahl auf eine ganze Zahl

Wichtig: Die berechneten Ergebnisse von Formeln und einigen Excel-Arbeitsblattfunktionen können zwischen einem Windows-PC mit x86- oder x86-64-Architektur und einem Windows RT-PC mit ARM-Architektur geringfügig abweichen. Erfahren Sie mehr über die Unterschiede.


Arten von fortlaufenden Brüchen - endlich und unendlich

Es gibt zwei Arten von Kettenbrüche:

EIN endlicher Kettenbruch ist eine allgemeine Darstellung einer reellen Zahl x x x in der Form

Ein unendlicher Kettenbruch ist eine allgemeine Darstellung einer reellen Zahl x x x in der Form

ist einfach der Grenzwert (falls vorhanden) der Folge von abgeschnittenen Kettenbrüchen

Kettenbrüche haben viele schöne Eigenschaften im Zusammenhang mit der rationalen Approximation mit zahlreichen Anwendungen, einschließlich Lösungen der Pell-Gleichung.


Frühkindliches Mathematiklernen: Wege zu Exzellenz und Gerechtigkeit (2009)

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9 Schlussfolgerungen und Empfehlungen In den letzten Jahrzehnten hat sich die Bedeutung der Vorschulzeit – zwischen 3 und 5 Jahren – verstärkt, um Kindern die nötigen Chancen für einen erfolgreichen Start in die formale Schule zu bieten. Viele politische Entscheidungsträger sind jetzt bestrebt, eine universelle öffentliche Vorschule einzuführen, da immer mehr Beweise dafür vorliegen, dass eine qualitativ hochwertige Vorschule dazu beitragen kann, Ungleichheiten bei den Bildungschancen abzubauen und Leistungsdefizite zu beseitigen. Die Bedeutung der Förderung der Lese- und Schreibfähigkeit in diesen frühkindlichen Einrichtungen wird weithin akzeptiert, Mathematik wird jedoch wenig Aufmerksamkeit geschenkt. Die Forschung über die Fähigkeit von Kindern, Mathematik zu lernen, macht jedoch in Verbindung mit dem Nachweis, dass frühe Erfolge in Mathematik mit späteren Erfolgen sowohl in Mathematik als auch im Lesen verbunden sind, deutlich, dass die Grundkompetenz sowohl im Lesen als auch in Mathematik besteht. Verbesserungen im frühkindlichen Mathematikunterricht können kleinen Kindern die grundlegenden Bildungsressourcen zur Verfügung stellen, die für den Schulerfolg entscheidend sind. Darüber hinaus unterstreicht die zunehmende Bedeutung von Naturwissenschaften und Technik im Alltag und für den Erfolg in vielen Berufen die Notwendigkeit einer soliden mathematischen Grundlage. Historisch gesehen wurde Mathematik von vielen als unwichtig oder entwicklungsbedingt unangemessen für die Lernerfahrungen kleiner Kinder angesehen. Die in diesem Bericht zusammengefasste Forschung macht jedoch deutlich, dass diese Überzeugungen unbegründet sind. Im Laufe der normalen Entwicklung entwickeln kleine Kinder mathematische Schlüsselideen und -fähigkeiten, darunter das Zählen, Addieren und Subtrahieren, das mehr (oder weniger) Arbeiten mit Formen durch Bewegen, Kombinieren und Vergleichen, um einige ihrer Eigenschaften zu lernen, räumlich zu erleben und zu benennen Begriffe (zB oben, unten) 331

332 MATHEMATIK LERNEN IN DER FRÜHEN KINDHEIT und das Verständnis der Längenmessung als die Anzahl der Längeneinheiten, die die Summe ausmachen, sowie das Darstellen und Kommunizieren des mathematischen Verständnisses für andere. Basierend auf einem umfassenden Überblick über die Forschung legt dieser Bericht die kritischen Bereiche dar, die im Mittelpunkt der mathematischen Früherziehung von Kleinkindern stehen sollten, untersucht, inwieweit sie derzeit in frühkindliche Einrichtungen integriert sind, und identifiziert die Änderungen erforderlich, um die Qualität der Mathematikerfahrungen für kleine Kinder zu verbessern. Der Ausschuss beschreibt diese kritischen Bereiche der Mathematik in Form von Lehr-Lern-Wegen, mit denen ein optimales Lernen gefördert werden kann. Ein solcher Weg beschreibt die Fähigkeiten und das Wissen, die für das spätere Lernen grundlegend sind, und legt eine wahrscheinliche Abfolge der Schritte zu mehr Kompetenz fest. Man kann den Weg genau betrachten, um abzuschätzen, was die Kinder als nächstes tun können, und um Unterrichtsaktivitäten zu entwerfen, die ihnen helfen, sich auf dem Weg zu bewegen. Das Konzept solcher Lehr-Lern-Pfade ist eine grundlegende Annahme für die Schlussfolgerungen und Empfehlungen dieses Berichts. Damit alle Kinder mit der für ihren Erfolg notwendigen mathematischen Grundlage in die Grundschule eintreten, empfiehlt der Ausschuss eine große bundesweite Initiative in der frühkindlichen Mathematik. Der Erfolg einer solchen Initiative erfordert, dass Eltern, frühkindliche Lehrkräfte, politische Entscheidungsträger und Gemeinschaften ihre Denkweise und ihr Verständnis der Mathematik von Kleinkindern überdenken. Das frühkindliche Bildungssystem (z. B. Arbeitskräfte, frühkindliche Programme und Politiken) muss auf dieses Ziel hin kohärent zusammenarbeiten. Darüber hinaus müssen sich auch Familien und Gemeinschaften dieses Ziel zu eigen machen, wenn es ihnen ernst ist, den Mathematikunterricht von Kindern zu verbessern. In diesem Kapitel fasst der Ausschuss die wichtigsten Schlussfolgerungen des Berichts zusammen, der um die Kapitel herum angeordnet ist, formuliert die wichtigsten Empfehlungen, die sich aus diesen Schlussfolgerungen ergeben, und legt eine Agenda für die zukünftige Forschung fest. KOMPETENZ UND POTENTIAL VON KINDERN, MATHEMATIK ZU LERNEN Die Überprüfung der Entwicklungsforschung mit Säuglingen und Kleinkindern durch die Kommission zeigt, dass die für die Mathematik relevanten Kenntnisse und Kompetenzen schon früh im Leben vorhanden sind. Schon im Säuglingsalter sind Babys neugierig auf ihre Welt und können mathematisch darüber nachdenken. Das präverbale Zahlenwissen wird von Menschen mit unterschiedlichem kulturellem Hintergrund sowie von anderen Spezies geteilt. Zum Beispiel können Kleinkinder im Alter von 10 Monaten einen Satz von zwei Gegenständen von einem Satz von drei Gegenständen unterscheiden, und im Laufe der Zeit sind sie in der Lage, die Anzahl der Gegenstände in Sätzen mit größeren Nummern zu unterscheiden. Auf diesem Fundament aufbauend, machen kleine Kinder weiter

SCHLUSSFOLGERUNGEN UND EMPFEHLUNGEN 333 ihr Wissen und ihre Kompetenz zu erweitern und ihre frühen informellen Erfahrungen mit Mathematik zu genießen, wie z. B. spontan Spielzeug zu zählen, aufgeregt zu fragen, wer mehr hat oder auf Formen hinzuweisen. Schlussfolgerung 1: Kleine Kinder haben die Fähigkeit und das Interesse, sinnvolle Mathematik zu lernen. Das Erlernen solcher Mathematik bereichert ihre aktuellen intellektuellen und sozialen Erfahrungen und legt die Grundlage für das spätere Lernen. Durch alltägliche Erfahrungen erworbene Kenntnisse und Kompetenzen bilden einen Ausgangspunkt für das Mathematiklernen. Die natürliche Neugier von Säuglingen und Kleinkindern weckt zunächst ihr Interesse daran, die Welt aus einer mathematischen Perspektive zu verstehen, und die Erwachsenen und Gemeinschaften, die sie erziehen und betreuen, bieten auch Erfahrungen, die als Grundlage für weiteres mathematisches Lernen dienen. Die alltägliche Umgebung von Kindern ist reich an Möglichkeiten zum Mathematiklernen, zum Beispiel durch die Verwendung von relationalen Wörtern wie mehr als/weniger als und das Zählen und Sortieren von Objekten nach Form oder Größe. Auf diese grundlegenden, alltäglichen mathematischen Erfahrungen kann aufgebaut werden, um Kinder in ihrem Verständnis mathematischer Konzepte weiterzuentwickeln. Schlussfolgerung 2: Kinder lernen Mathematik zum Teil durch alltägliche Erfahrungen zu Hause und in der größeren Umgebung ab dem ersten Lebensjahr. Kinder brauchen vielfältige mathematische Interaktionen und Anleitungen, sowohl zu Hause als auch in der Schule, um gut auf die Herausforderungen vorbereitet zu sein, denen sie in der formalen Schule begegnen werden. Eltern, andere Betreuer und Lehrer können eine grundlegende Rolle bei der Organisation von Lernerfahrungen spielen, die die Mathematik unterstützen, da sie Kinder einer mathematisch reichen Umgebung aussetzen und sie in Mathematikaktivitäten einbeziehen können. Zum Beispiel können Eltern und Betreuer Kindern beibringen, kleine Mengen zu sehen und zu benennen, zu zählen und auf Formen in der Welt hinzuweisen: „Hier sind zwei Knaller. Sie haben eine in jeder Hand. Diese Knaller sind eckig.“ Eine wichtige Möglichkeit, das Mathematiklernen von Kleinkindern zu verbessern, besteht darin, dass Erwachsene unterstützt und unterrichtet werden, die mit ihren bereits vorhandenen Mathematikkenntnissen verbunden sind und diese erweitern. Zum Beispiel bietet eine Situation, in der ein kleines Kind darauf besteht, „mehr“ Teddybären zu haben als sein Spielkamerad, dem Erwachsenen die Möglichkeit, das Kind mit einer mathematischen Frage zu beschäftigen (z. B. wer hat mehr und wie kann man das herausfinden?) ?). In diesem Fall kann der Erwachsene mehrere mathematische Schlüsselideen verwenden, um dem Kind zu helfen, zu verstehen, wer mehr Bären hat, z

334 MATHEMATIK LERNEN IN DER FRÜHEN KINDHEIT Anzahl der Elemente im Set) und der Vergleich der Anzahl der Bären in den beiden Sets. Diese Art von Mathematiklernangeboten helfen Kindern, zu mathematisieren oder sich an Prozessen zu beteiligen, die sich auf die mathematischen Aspekte einer Alltagssituation konzentrieren, ein Modell der Situation darzustellen und zu erarbeiten und dieses Modell zur Lösung von Problemen zu verwenden. Schlussfolgerung 3: Kinder brauchen die Unterstützung und Anleitung von Erwachsenen, um ihr frühes Wissen aufzubauen und zu erweitern und zu lernen, sich auf die mathematischen Aspekte von Alltagssituationen zu konzentrieren und sie auszuarbeiten – zu mathematisieren. Das Komitee war sich des Einflusses entwicklungs- und kontextabhängiger Variationen auf die Lernmöglichkeiten von Kindern und die Qualität ihrer Bildungsumgebung sowohl innerhalb als auch außerhalb des Klassenzimmers sehr bewusst. Das Verständnis individueller Unterschiede in der Entwicklung von Kindern – zum Beispiel in Führungsfunktionen oder in den Möglichkeiten, Mathematik in ihrem alltäglichen Umfeld zu erlernen – ist von grundlegender Bedeutung, um die Kompetenzentwicklung in Mathematik zu unterstützen. Obwohl alle Kinder einen umfassenden Umgang mit Mathematik benötigen, gibt es in allen Lernbereichen eine große Bandbreite individueller Unterschiede. Dies beeinflusst die Art der Lernerfahrungen und des Unterrichts, die einzelne Kinder brauchen. Die Notwendigkeit, den frühkindlichen Mathematikunterricht in einer Weise zu unterstützen, die für unterschiedliche Lernende und Kontexte angemessen ist, ist ein Thema in der Diskussion des Ausschusses über frühkindliche Mathematik. Schlussfolgerung 4: Aufgrund individueller Variation, die mit einer Kombination aus Vorerfahrungen, Lernmöglichkeiten und angeborenen Fähigkeiten zusammenhängt, benötigen manche Kinder eine umfassendere Unterstützung in Mathematik als andere. Es ist wichtig, die Quellen der beobachteten Unterschiede in der Kompetenz von Kindern zu verstehen und nicht eine Quelle individueller Variation mit einer anderen zu verwechseln. Zum Beispiel kann eine geringe Leistung auf ein Defizit in der Fähigkeit eines Kindes zum Erlernen von Mathematik zurückgeführt werden, wenn es tatsächlich auf andere Faktoren zurückzuführen ist, wie zum Beispiel die mangelnden Möglichkeiten des Kindes, Mathematik zu lernen, oder Schwierigkeiten aufgrund von sprachlichen und kulturellen Barrieren zwischen Lehrer und Kind. Die Möglichkeiten, die Mathematik des Alltags zu erforschen, unterscheiden sich je nach Herkunft der Kinder, einschließlich ihres sozioökonomischen Status (SES) und kultureller Gruppe. Mathematikkenntnisse und -fähigkeiten variieren innerhalb und zwischen kulturellen Gruppen aufgrund einer Vielzahl von Faktoren, einschließlich der Sprache und der relativen Betonung der Mathematik. Kulturelle, sprachliche und sozioökonomische Faktoren interagieren auf komplexe Weise, die schwer zu trennen sind.

SCHLUSSFOLGERUNGEN UND EMPFEHLUNGEN 335 Der Ausschuss war besonders besorgt über den Mathematikunterricht und das Mathematiklernen für Kinder mit niedrigem sozioökonomischem Hintergrund, da sie mit besonderen Herausforderungen konfrontiert sind, die sich auf ihre Kenntnisse und Kompetenzen in Mathematik auswirken können. Sie besuchen beispielsweise eher Schulen mit weniger Ressourcen und haben zu Hause weniger Unterstützung für Mathematik. Obwohl Kinder mit sehr geringen und hohen mathematischen Kenntnissen und Kompetenzen in allen SES-Gruppen zu finden sind, müssen Kinder mit niedrigem SES jedoch besondere Aufmerksamkeit erhalten. Wichtig ist, dass die Bereitstellung eines qualitativ hochwertigen Mathematikunterrichts für Kleinkinder dazu beitragen kann, systematische Ungleichheiten in Bezug auf Bildungsergebnisse und spätere Karrierechancen zu verringern. Schlussfolgerung 5: Kleine Kinder aus niedrigeren sozioökonomischen Gruppen gehen im Durchschnitt mit weniger mathematischen Kenntnissen und Fähigkeiten in die Schule als Gleichaltrige mit höherem sozioökonomischem Status. Die formale Schulbildung konnte diese Lücke für Kinder mit niedrigem sozioökonomischem Status nicht schließen. Neben dem Bedarf an Unterrichtsunterstützung in Mathematik gibt es Hinweise darauf, dass kleine Kinder auch in ihrer sozial-emotionalen Entwicklung als integraler Bestandteil ihrer Bildung unterstützt werden müssen. Insbesondere in den ersten Bildungsjahren entwickeln Kinder allgemeine Kompetenzen und Lernansätze, die ihre Fähigkeit beinhalten, ihre Emotionen und ihr Verhalten zu regulieren, ihre Aufmerksamkeit zu fokussieren und effektiv mit anderen zu kommunizieren. Das Mathematiklernen wiederum kann dazu beitragen, die Entwicklung dieser allgemeinen Kompetenzen zu fördern. Schlussfolgerung 6: Jegliches Lernen, einschließlich des Erlernens von Mathematik, wird erleichtert, wenn kleine Kinder auch Fähigkeiten entwickeln, um ihr eigenes Lernen zu regulieren, einschließlich der Regulierung von Emotionen und Verhalten, Konzentration ihrer Aufmerksamkeit und effektiver Kommunikation mit anderen. GRUNDLAGEN UND ERREICHBAR MATHEMATIK FÜR JUNGE KINDER Auf der Grundlage von Forschungsergebnissen über das Wissen und die Kompetenz von Kindern in den frühen Kindheitsjahren sowie auf dem etablierten Konsens der frühkindlichen Mathematik-Community (siehe zum Beispiel das NCTM Curriculum Focal Punkte) identifizierte das Komitee zwei Bereiche der Mathematik, auf die man sich konzentrieren sollte: (1) Zahl, einschließlich Ganzzahlen, Operationen und Beziehungen, und (2) Geometrie, räumliches Denken und Messen. In jedem dieser Bereiche bietet das Gremium Orientierungshilfen zu den Lehr-Lern-Wegen basierend auf Erkenntnissen aus der Entwicklungs- und Präsenzforschung. Der Fortschritt jedes Kindes auf diesen Lehr-Lern-Wegen in Mathematik hängt von seinem eigenen Entwicklungsstand ab.

336 MATHEMATIK LERNEN IN DER FRÜHEN KINDHEIT sowie Möglichkeiten und Erfahrungen inklusive Unterricht. Die Lehr-Lern-Pfade können die Grundlage für den Lehrplan bilden und können von Lehrern verwendet werden, um festzustellen, wo sich jedes Kind auf dem Weg befindet. Obwohl es stimmt, dass Kleinkinder in Mathematik kompetenter sind, als viele Erzieher, Eltern und die allgemeine Öffentlichkeit glauben, sind ihren Möglichkeiten in Mathematik Grenzen gesetzt. Die Kommission hat dies während des gesamten Studiums im Hinterkopf behalten, und so sind die in diesem Bericht vorgestellten Lehr-Lern-Wege sowohl grundlegend als auch erreichbar. Der erste Inhaltsbereich ist Zahl, einschließlich Ganzzahl, Operationen und Beziehungen. Die Arbeit mit Zahlen (z. B. Zählen lernen) ist das Hauptziel vieler frühkindlicher Programme, jedoch sind Kinder, wenn die Gelegenheit dazu gegeben wird, in der Lage, Kompetenzen in komplexeren mathematischen Aktivitäten im Zusammenhang mit ganzen Zahlen, Operationen und Beziehungen zu demonstrieren . Zum Beispiel ist die Kardinalität – zu wissen, wie viele in einem Satz sind – ein wichtiger Bestandteil des Zahlenlernens von Kindern. Beziehungen und Operationen sind Erweiterungen des Zahlenverständnisses. Der Relationskern besteht aus Fähigkeiten wie dem Konstruieren der Relationen mehr als, weniger als und gleich. Der Operationskern umfasst Addition und Subtraktion. Der zweite große inhaltliche Bereich ist Geometrie, räumliches Denken und Messen. Die grundlegende Mathematik von Kindern beinhaltet Geometrie oder das Erlernen von Raum und Formen in zwei und drei Dimensionen (z. B. Lernen, Formen in vielen verschiedenen Orientierungen, Größen und Formen zu erkennen). Ein grundlegendes Verständnis von Formen beginnt mit Erfahrungen, in denen Kindern vielfältige Beispiele und Nicht-Beispiele gezeigt werden und mathematisch relevante Eigenschaften von Formen (z. B. Orientierung, Größe) verstanden werden, die dies nicht sind. Im Laufe des Lehr-Lern-Pfades brauchen Kinder Gelegenheiten, Formen zu diskutieren und zu beschreiben, und erwerben auf der Grundlage dieser Erfahrungen die Fähigkeit, Formen zu Bildern zu kombinieren und schließlich zu lernen, Formen zu zerlegen und zusammenzusetzen, um neue Formen zu schaffen . Kleine Kinder brauchen auch Unterrichtsaktivitäten mit räumlicher Orientierung und räumlicher Visualisierung. Sie können beispielsweise mentale Repräsentationen ihrer Umgebung verwenden und auf der Grundlage der Repräsentation Beziehungen zwischen Objekten in ihrer Umgebung modellieren. Wichtig ist, dass Kinder mit ihrem Wissen über das Messen dabei helfen, Zahlen und Geometrie zu verbinden, da das Messen einen Raum abdeckt und diesen Umfang quantifiziert. Später können Kinder Längen vergleichen, indem sie Objekte mit manipulierbaren Einheiten wie Zentimeterwürfeln messen. Zahlen sind für den späteren Erfolg in der Schulmathematik besonders wichtig, da Zahlen und verwandte Konzepte den Großteil der Mathematikinhalte in späteren Klassenstufen ausmachen. Es ist jedoch wichtig darauf hinzuweisen, dass Konzepte im Zusammenhang mit Zahlen (und Beziehungen und Operationen) auch durch Geometrie und Messung erforscht werden können. Außerdem Geometrie

SCHLUSSFOLGERUNGEN UND EMPFEHLUNGEN 337 und Messung bieten reichhaltige Kontexte, in denen Kinder ihre mathematischen Fähigkeiten vertiefen können. Schlussfolgerung 7: Zwei breite mathematische Inhaltsbereiche sind als Schwerpunkt für den Mathematikunterricht in den ersten Jahren besonders wichtig: (1) Zahl (die ganze Zahl, Operationen und Beziehungen umfasst) und (2) Geometrie, räumliches Denken und Messen. Im Zusammenhang mit diesen Kerninhaltsbereichen sollten sich kleine Kinder sowohl an allgemeinen als auch an spezifischen Denkprozessen beteiligen, die alle Ebenen der Mathematik unterstützen. Dazu gehören die allgemeinen Prozesse des Repräsentierens, Problemlösens, Argumentierens, Verbindens und Kommunizierens sowie die spezifischeren Prozesse des Vereinheitlichen, Zerlegens und Komponierens, des Beziehens und Ordnens, des Suchens nach Mustern und Strukturen sowie des Organisierens und Klassifizierens von Informationen. Mit anderen Worten, Kinder sollten lernen, ihre Welt zu mathematisieren: sich auf die mathematischen Aspekte einer alltäglichen Situation konzentrieren, lernen, die quantitativen und räumlichen Aspekte einer Situation darzustellen und auszuarbeiten, um ein mathematisches Modell der Situation zu erstellen und dieses Modell zur Lösung zu verwenden Probleme. Schlussfolgerung 8: Im Kontext jedes dieser Inhaltsbereiche sollten sich junge Kinder sowohl an allgemeinen als auch an spezifischen mathematischen Denkprozessen beteiligen, wie oben und in Kapitel 2 beschrieben €, die Kinder vor dem Kindergarteneintritt erzieht und betreut, ist sehr vielfältig und lässt sich am besten als lose zusammengefügtes Flickwerk unterschiedlicher Programme und Anbieter charakterisieren, die sich in ihrer Artikulation und Umsetzung ihrer Bildungsangebote stark unterscheiden Missionen oder sind explizit auf die Erbringung von Bildungsdienstleistungen ausgerichtet. Die Programmtypen reichen von Freunden und Verwandten, die Kinder zu Hause durch informelle Vereinbarungen betreuen, bis hin zu großen Zentren mit Lehrern, die einen strukturierten Lehrplan anbieten. Diese Vielfalt im frühkindlichen Bildungssystem kennzeichnet die heutigen Bildungs- und Betreuungsangebote für Kleinkinder in den Vereinigten Staaten. Etwa 40 Prozent der Kleinkinder verbringen ihren Tag zu Hause, entweder bei einem Elternteil oder einem anderen betreuenden Erwachsenen (dieser Prozentsatz umfasst Kinder in häuslicher Pflege von Angehörigen und Nichtverwandten sowie Kinder, die keine reguläre Früherziehung erhalten). und Betreuungsregelungen), und etwa 60 Prozent befinden sich in irgendeiner Form von zentrumsbasierter Betreuung (dies umfasst Kinder in zentrumsbasierten Nicht-Head-Start- und Head-Start-Einstellungen). Je nach Einstellungsart gelten unterschiedliche Regelungen zur Bildung.

338 MATHEMATISCHES LERNEN IN DER FRÜHEN KINDHEIT kationische Standards oder Erwartungen vorhanden sein können, die ihrerseits die Art und Qualität der Lernerfahrungen von Kleinkindern von Einrichtung zu Einrichtung beeinflussen. Politische Entscheidungsträger konzentrieren sich zunehmend darauf, mehr Kindern eine qualitativ hochwertige Vorschulerziehung zu bieten, insbesondere für diejenigen, deren Familien es sich nicht leisten können, dafür zu bezahlen. Eine Reihe von Staaten bewegt sich in Richtung einer staatlich finanzierten Vorschulerziehung, um diese Kinder früh zu erziehen und zu betreuen. Über alle Settings hinweg besteht die Notwendigkeit, den Umfang und die Qualität der Zeit, die der Mathematik gewidmet wird, zu erhöhen. Formale Settings mit einer pädagogischen Agenda bieten die größte Chance für die Umsetzung kohärenter, sequenzieller Lernerfahrungen in Mathematik.Aus diesem Grund konzentrierte sich der Ausschuss auf die Art von Lehrplan und Unterricht, die in Zentren und Vorschulen umgesetzt werden können. Der Ausschuss widmete der Frage, wie die Unterstützung für Mathematik in informellen Umgebungen verstärkt werden kann, weniger Aufmerksamkeit. Diese Ansätze werden im Abschnitt „Jenseits des Bildungssystems“ diskutiert. Curriculum and Instruction Nachdem eine Vision für optimale Lehr-Lern-Wege in der frühkindlichen Mathematik entwickelt worden war, wandte sich die Kommission der Evidenzbasis in Bezug auf Curriculum und Lehrplan zu Anweisung. Der Ausschuss untersuchte zunächst, inwieweit die Inhalte und Lernerfahrungen der Lehr-Lern-Pfade in aktuellen Lehrplänen und Vorschulklassen vertreten sind. Als nächstes untersuchte das Komitee, was über effektiven Mathematikunterricht für Kleinkinder bekannt ist und was getan werden könnte, um die bestehende Praxis zu verbessern. Die Kommission suchte nach Belegen für zwei Fragenkomplexe: Was ist darüber bekannt, wie viel und in welcher Qualität Kinder im Vorschulbereich derzeit in Mathematik unterrichtet werden? Was ist über die besten Unterrichtsmethoden und den effektivsten Lehrplan bekannt, um kleinen Kindern Mathematik beizubringen? Obwohl nur wenige systematische Daten vorliegen, konnte der Ausschuss einige nützliche Quellen identifizieren. Wir führten Originalanalysen der Standarddokumente in Bezug auf die frühe Kindheit für 49 Bundesstaaten und diejenigen in Bezug auf den Kindergarten für die 10 Staaten mit der größten Schülerpopulation durch. Auf Basis dieser Analysen kommt der Ausschuss zu dem Schluss: Schlussfolgerung 9: Die aktuellen staatlichen Standards für die frühe Kindheit beinhalten im Durchschnitt nicht viel Mathematik. Wenn Mathematik einbezogen wird, gibt es ein Muster großer Unterschiede zwischen den Staaten in den behandelten Inhalten. Standards stellen zwar eine breite Orientierung der Länder hinsichtlich geeigneter Inhalte für frühkindliche Settings dar, bieten aber keine

SCHLUSSFOLGERUNGEN UND EMPFEHLUNGEN 339 Fenster zu dem, was tatsächlich in Klassenräumen passiert. Für letztere untersuchte der Ausschuss Daten aus einer groß angelegten Studie zum Unterricht in staatlich geförderten Vorschulen aus 11 Bundesländern sowie mehreren kleineren Studien zum Curriculum. Die Ergebnisse zeigen, dass Mathematikaktivitäten, die in den frühkindlichen Unterricht integriert werden, oft als Teil eines integrierten oder eingebetteten Curriculums präsentiert werden, in dem der Mathematikunterricht anderen Lernzielen untergeordnet ist. Diese Art der Integration findet statt, wenn zum Beispiel ein Bilderbuch einen mathematischen Inhalt hat, aber nicht dazu gedacht ist, die Mathematik in den Vordergrund zu stellen, ein Lehrer zählt oder einfache Arithmetik während der Snackzeit macht oder auf die mathematischen Ideen hinweist, mit denen Kinder beim Spielen stoßen könnten Blöcke. Die Daten deuten jedoch darauf hin, dass eine starke Abhängigkeit von integrierten oder eingebetteten Mathematikaktivitäten dazu beitragen kann, dass in den frühkindlichen Klassenzimmern zu wenig Zeit für Mathematik aufgewendet wird. Darüber hinaus kann die Zeit für Aktivitäten verwendet werden, bei denen die Integrität und Tiefe der Mathematik fraglich ist. Nur wenige der bestehenden umfassenden frühkindlichen Curriculum-Ansätze bieten genügend gezielten Mathematikunterricht für Kinder, um auf den vom Ausschuss empfohlenen Lehr-Lern-Wegen voranzukommen. Schlussfolgerung 10: In den meisten frühkindlichen Programmen wird wenig Zeit mit Mathematik verbracht, und das meiste davon ist von geringer Unterrichtsqualität. Daher werden viele Gelegenheiten verpasst, im Laufe des Vorschultages Mathematik zu lernen. Vom Ausschuss geprüfte Beweise legen nahe, dass auf Mathematik ausgerichtete Unterrichtszeit potenziell effektiver ist als eingebettete Mathematik. Neue Erkenntnisse aus einigen Studien zu strengen Mathematiklehrplänen zeigen, dass Kinder, die konzentrierte Mathematikaktivitäten erleben, bei denen der Mathematikunterricht das Hauptziel ist, höhere Gewinne in Mathematik erzielen und angeben, Mathematik mehr zu genießen als diejenigen, die dies nicht tun. Darüber hinaus weisen diese Studien darauf hin, dass ein geplanter, sequenzieller Lehrplan die mathematische Entwicklung von Kleinkindern sensibel und reaktionsschnell unterstützen kann. Zusätzliche Gelegenheiten, Mathematik beim mathematischen Spielen, soziodramatischen Spielen und mit konkreten Materialien (z. B. Blöcke, Puzzles, Manipulationen, interaktive Computersoftware) anzuwenden, können Kindern die Möglichkeit bieten, Mathematik in einem sinnvollen und ansprechenden Kontext zu „üben“. Schlussfolgerung 11: Das Mathematiklernen von Kindern kann verbessert werden, wenn sie ein geplantes, sequenziertes Curriculum erleben, das die in diesem Bericht beschriebenen forschungsbasierten Lehr-Lern-Wege nutzt, sowie integrierte Mathematikerfahrungen (z. B. Mathematik im Kontext) eines Bilderbuchs), die das mathematische Denken durch Spielen, Erkunden, kreative Aktivitäten und Praxis erweitern.

340 MATHEMATIKLERNEN IN DER FRÜHEN KINDHEIT Effektive Mathematiklehrpläne verwenden eine Vielzahl von Lehransätzen, wie eine Kombination von Einzel-, Kleingruppen- und Gesamtgruppenaktivitäten mit Schwerpunkt auf Mathematik, die Kinder auf den beschriebenen forschungsbasierten Lehr-Lern-Wegen bewegen move in diesem Bericht. Darüber hinaus verbessert in all diesen Kontexten bewusster Unterricht das Mathematiklernen kleiner Kinder. Der gezielte Unterricht variiert von lehrergeführten Aktivitäten bis hin zu reaktionsschnellem Feedback, das auf dem Verständnis des Kindes aufbaut und es erweitert. Es ist auch wichtig, Kinder in Mathe-Gespräche einzubeziehen – eine Diskussion zwischen Erwachsenen und Kindern, die sich auf mathematische Konzepte konzentriert, wie z. B. wie viele Objekte in einer Menge sind oder wie man zu einer Antwort kommt –, da dies ihre mathematische Entwicklung erleichtert, indem die Verbindungen, die sie zwischen mathematischen Konzepten, Wörtern und Ideen herstellen. Es sei darauf hingewiesen, dass der Ausschuss kein bestimmtes Modell oder Lehrplan befürwortet, sondern wir hoffen, vermitteln zu können, dass die in diesem Bericht beschriebenen forschungsbasierten Prinzipien die Entscheidungen über die Entwicklung des frühkindlichen Mathematiklehrplans und -unterrichts leiten sollten. Schlussfolgerung 12: Effektive Lehrpläne der frühen Mathematik verwenden eine Vielzahl von Unterrichtsansätzen und beinhalten einen bewussten Unterricht. Es gibt auch Hinweise darauf, dass Unterricht effektiver ist, wenn er auf Informationen über den aktuellen Kenntnisstand des Kindes aufbauen kann. Ein solcher reaktionsschneller Unterricht kann erreicht werden, wenn Lehrer wissen, wie sie die formative Bewertung zur Anleitung des Unterrichts verwenden. Die formative Beurteilung ist ein wichtiger Bestandteil dessen, was Lehrer wissen müssen, um Kinder effektiv auf den Lehr-Lern-Wegen der Mathematik zu führen. Schlussfolgerung 13: Die formative Beurteilung liefert Lehrkräften Informationen über die aktuellen Kenntnisse und Fähigkeiten der Kinder, um den Unterricht zu leiten, und ist ein wichtiges Element eines effektiven Mathematikunterrichts. Studien zur frühkindlichen Bildung zeigen, dass jeder Ansatz für Curriculum und Pädagogik effektiver ist, wenn er im Kontext einer positiven Lernumgebung durchgeführt wird. Positive Beziehungen zwischen Kindern und ihren Lehrkräften sind ein wesentlicher Aspekt einer qualitativ hochwertigen frühkindlichen Bildung. In dieser Art von Klassenzimmer wird den Kindern eine sichere und fürsorgliche Umgebung geboten, die das Lernen und positive Interaktionen zwischen Lehrern und Gleichaltrigen fördert. Schlussfolgerung 14: Erfolgreiches Mathematiklernen erfordert eine positive Lernumgebung, die Kinder voll einbezieht und ihre Lernbegeisterung fördert.

SCHLUSSFOLGERUNGEN UND EMPFEHLUNGEN 341 Belegschaft und berufliche Entwicklung Die frühkindliche Belegschaft – diejenigen, die sowohl unterrichtende als auch nicht unterrichtende Rollen in frühkindlichen Einrichtungen übernehmen – ist von zentraler Bedeutung für die Unterstützung der schulischen, sozialen, emotionalen und körperlichen Entwicklung von Kleinkindern. Diese Belegschaft besteht aus Personen, die in einer Vielzahl von Funktionen tätig sind, sich in einer Vielzahl von Umgebungen befinden und eine breite Palette von Bildungs- und Ausbildungshintergrund haben. Ungefähr 24 Prozent der frühpädagogischen Fachkräfte sind in Einrichtungseinrichtungen tätig, 28 Prozent in geregelten häuslichen Einrichtungen und etwa 48 Prozent arbeiten in informellen Betreuungsarrangements außerhalb dieser beiden Systeme. Obwohl die Mehrheit der Fachkräfte der frühen Kindheit in informellen Betreuungseinrichtungen arbeitet, befindet sich die Mehrheit der Kinder in Einrichtungen der Einrichtung. Selbst in einer einzigen Umgebung besetzen Einzelpersonen unterschiedliche Rollen, z. B. als Hauptlehrer, Hilfslehrer, Klassenassistent oder Programmadministrator. Niveau und Art der Ausbildung können je nach Funktion und Einstellung variieren. Zum Beispiel können Anbieter von Kinderbetreuern in der Familie wenig oder keine spezielle Ausbildung in frühkindlicher Bildung haben, ein Lehrerassistent kann einige formale Studienleistungen haben und leitende Lehrer in Zentren können einen 4-jährigen College-Abschluss (oder sogar .) haben abgeschlossenes Studium) mit Spezialisierung in der frühen Kindheit. Diese Vielfalt an Rollen und Bildungshintergründen stellt Herausforderungen für die Deckung des Personalbedarfs im Zusammenhang mit der Unterstützung der frühkindlichen Mathematik. Personen in unterschiedlichen Rollen benötigen wahrscheinlich unterschiedliche Arten von Wissen und Ausbildung, um die Mathematik von Kindern zu unterstützen. Je nach Bildungsstand gibt es wahrscheinlich auch Unterschiede in den Kenntnissen des Einzelnen in Mathematik, in der Entwicklung von Kindern in Mathematik und in der Frage, wie das Mathematiklernen unterstützt werden kann. Darüber hinaus hat der Bereich der frühen Kindheit in der Vergangenheit großen Wert darauf gelegt, seine Mitarbeiter zu unterrichten, um die soziale und emotionale Entwicklung der Kinder zu unterstützen, und weniger Aufmerksamkeit auf die kognitive Entwicklung und den akademischen Bereich gelegt. Tatsächlich können akademische Aktivitäten, wie das Lernen in Mathematik, ein Kontext sein, in dem die sozial-emotionale Entwicklung gedeiht. Die starke Betonung der sozial-emotionalen Entwicklung in der frühen Kindheit beruht zu einem großen Teil auf Fehlinterpretationen der Theorien der kognitiven Entwicklung, d und Lernen von Kindern im Vorschulalter. Die Forschung zur frühkindlichen Mathematik hat diese Vorstellung widerlegt, aber die Idee ist in diesem Bereich immer noch allgegenwärtig und stellt weiterhin eine Herausforderung dar, um von der Forschung in die Praxis zu gelangen. Schlussfolgerung 15: Viele in der frühkindlichen Beschäftigung tätige Personen sind sich nicht bewusst, wozu kleine Kinder in Mathematik fähig sind, und erkennen möglicherweise nicht ihr Potenzial, Mathematik zu lernen.

342 MATHEMATIKLERNEN IN DER FRÜHEN KINDHEIT Die berufliche Weiterbildung, die in der Regel bereits Berufstätige schult, kann ein wichtiger Mechanismus sein, um Lehrkräften neue oder aktualisierte Fähigkeiten und Kenntnisse zu vermitteln, die sie benötigen, und um diejenigen in der Erwerbsbevölkerung zu erreichen, die wenig haben oder keine formale Ausbildung. Basierend auf Studien auf K-12-Ebene werden wirksame Ansätze für die berufsbegleitende Weiterbildung in Mathematik laufend, theoretisch fundiert, an ein Curriculum gebunden, berufsintegriert und zumindest teilweise vor Ort von einem sachkundigen Trainer vermittelt der Lehrern Zeit zum Nachdenken lässt. Der Ausschuss überprüfte neue Daten aus Studien, die in frühkindlichen Einrichtungen durchgeführt wurden und diese Ergebnisse stützen. Diese Studien weisen darauf hin, dass eine professionelle Entwicklung, die sich darauf konzentriert, den Entwicklungsfortschritt von Kindern in Mathematik im Kontext einer forschungsbasierten Lehrplansequenz zu verstehen, die Unterrichtseffektivität von Lehrern verbessern kann. Das Bemühen um die berufliche Weiterentwicklung von Lehrkräften ist eine wichtige Komponente für eine erfolgreiche Verbesserung des Unterrichts, aber nachhaltige Veränderungen erfordern auch die Zusammenarbeit von Verwaltung, Lehrkräften und Eltern. Schlussfolgerung 16: Die berufsbegleitende Weiterbildung von Lehrkräften und anderem Personal zur Unterstützung des Mathematikunterrichts und -lernens ist für eine wirksame Umsetzung der frühkindlichen Mathematikerziehung von wesentlicher Bedeutung. Eine sinnvolle berufliche Entwicklung erfordert nachhaltige Anstrengungen, die darin bestehen, Lehrkräften zu helfen, (a) die notwendige Mathematik, die entscheidenden Lehr-Lern-Pfade und die Prinzipien des bewussten Lehrens und Lehrplans zu verstehen und (b) zu lernen, wie man einen Lehrplan umsetzt. Die von der Kommission geprüfte Evidenz über die formale Vorbereitung von Erzieherinnen und Erziehern (Studiengänge im Rahmen eines Associate- oder Bachelor-Abschlusses) zeigt, dass es nur wenige Möglichkeiten gibt, die Entwicklung von Kindern in Mathematik oder den frühkindlichen Mathematikunterricht kennenzulernen . Um Frühpädagogen besser auf Mathematik vorzubereiten, werden zusätzliche Kurse und zusätzliche Materialien in bestehenden Kursen benötigt, die die Entwicklung von Kindern in Mathematik und Mathematikpädagogik abdecken. Darüber hinaus haben Zulassungs- und Berechtigungsnachweissysteme einen großen Einfluss auf die Inhalte und Erfahrungen von frühkindlichen Bildungsprogrammen, und nur wenige berücksichtigen mathematische Anforderungen. Schlussfolgerung 17: Die Vorbereitung auf den Dienst von frühpädagogischen Fachkräften beinhaltet in der Regel nur wenige Gelegenheiten, etwas über die mathematische Entwicklung von Kindern oder ihre Unterstützung zu erfahren. Zulassungs- und Zertifizierungsanforderungen für die Anerkennung von Lehrkräften und Studiengängen sind beides potenzielle Hebel, um die Aufmerksamkeit, die der Unterstützung der Mathematik geschenkt wird, zu erhöhen.

SCHLUSSFOLGERUNGEN UND EMPFEHLUNGEN 343 Neben den bereits skizzierten Herausforderungen in Bezug auf die vielfältigen Ausbildungen und Rahmenbedingungen der Belegschaft ist die Gewinnung und Bindung qualifizierter Personen in der frühen Kindheit aufgrund schlechter Entlohnung, fehlender Sozialleistungen und hoher Fluktuationsraten in der frühen Kindheit schwierig Feld. Diese Situation stellt eine zusätzliche Herausforderung für die Gestaltung von Erfahrungen vor und während der Dienstzeit dar, die das Wissen von frühpädagogischen Fachkräften darüber verbessern können, wie das Lernen von Kleinkindern in Mathematik unterstützt werden kann. Schlussfolgerung 18: Die Verbesserung der Ausbildungs- und Wissensanforderungen für Erzieherinnen und Erzieher wird erhebliche Herausforderungen mit sich bringen, wenn nicht auch bestehende Fragen der Einstellung, Vergütung, Sozialleistungen und der hohen Fluktuation behandelt werden. ÜBER DAS BILDUNGSSYSTEM HINAUS Ein beträchtlicher Teil (ca. 40 Prozent) der Kinder besucht keine Zentren, sondern wird von einem Elternteil, Verwandten oder einem anderen Erwachsenen zu Hause erzogen und betreut. Eltern oder andere Bezugspersonen sind die ersten Lehrer der Kinder. Die vom Ausschuss überprüften Beweise deuten darauf hin, dass sie eine Schlüsselrolle bei der Gestaltung des frühen Mathematiklernens von Kindern spielen können, indem sie zum Spielen mit Blöcken und anderen Manipulationen ermutigen, Zahlenwörter lehren, Zählen und Brettspiele spielen, sortieren, klassifizieren, schreiben und pädagogische Fernsehprogramme ansehen, während Sie mit Kindern über das sprechen, was sie sehen. Math Talk hat sich als besonders effektiv für Erwachsene erwiesen, um die Entwicklung mathematischer Ideen zu unterstützen. Tatsächlich hängt der Mathematikunterricht, der bereits im Säuglingsalter beginnt, mit den Mathematikkenntnissen der Kinder beim Eintritt in die Vorschule zusammen. Darüber hinaus haben informelle Lernumgebungen wie Bibliotheken, Museen und Gemeindezentren das Potenzial, Ressourcen zu sein, die Eltern und Betreuer nutzen können, um Kinder an mathematischen Aktivitäten zu beteiligen. Schlussfolgerung 19: Familien können die Entwicklung mathematischer Kenntnisse und Fähigkeiten fördern, indem sie Erwartungen setzen und anregende Umgebungen schaffen. Es gibt jedoch Hinweise darauf, dass Familien mit niedrigem SES seltener als Familien aus höheren sozioökonomischen Gruppen Praktiken ausüben, die Sprach- und Mathematikkompetenz fördern. Obwohl viele Arten von Bildungsprogrammen entwickelt wurden, um die Anwendung dieser Praktiken bei Eltern mit niedrigem SES zu fördern, gibt es wenig Beweise für die Qualitäten, die solche Bemühungen erfolgreich machen. Bildungsprogramme für Eltern nach Modellen, die Eltern in die traditionelle Schülerrolle versetzen

344 MATHEMATIKLERNEN IN DER FRÜHEN KINDHEIT Das Lernen von „Experten“ hat Schwierigkeiten, die Familienbeteiligung lange genug aufrechtzuerhalten, um erfolgreich zu sein. Schlussfolgerung 20: Bildungsprogramme für Eltern haben das Potenzial, die mathematischen Erfahrungen der Eltern zu verbessern, jedoch gibt es wenig Hinweise darauf, wie solche Programme so gestaltet werden können, dass sie effektiv sind. Auch die Ressourcen, die Eltern und anderen Bezugspersonen zur Verfügung stehen, sowie solche, die in informellen Bildungsumgebungen (z. B. Bibliotheken, Museen, Gemeindezentren) zur Verfügung stehen, können ein wirksames Instrument zur Unterstützung des Mathematiklernens von Kindern sein. Durch pädagogische Fernsehprogramme und Software können Kinder beispielsweise über Mathematik unterrichtet werden. Das Komitee überprüfte die Forschung zu Software und Bildungsprogrammen sowie Modellen von Community-basierten Programmen, die Mathematik fördern, und kommt zu dem Schluss: Schlussfolgerung 21: Bei angemessenen mathematischen Inhalten und Erwachsenenunterstützung sind die Medien (z. B. Fernsehen, Computersoftware) als sowie gemeindebasierte Lernangebote (z. B. Museen, Bibliotheken, Gemeindezentren) können kleine Kinder in Mathematik einbeziehen und erziehen. Solche Ressourcen können kleinen Kindern zusätzliche Lernmöglichkeiten in Mathematik bieten, insbesondere solchen, die möglicherweise keinen Zugang zu hochwertigen Früherziehungsprogrammen haben. EMPFEHLUNGEN Wie die Schlussfolgerungen des Ausschusses deutlich machen, gibt es noch viel zu tun, um kleinen Kindern die Lernmöglichkeiten in Mathematik zu bieten, die sie brauchen. Der Ausschuss hält es daher für äußerst wichtig, intensive nationale Bemühungen zu unternehmen, um die Möglichkeiten zum Erlernen von Mathematik in frühkindlichen Einrichtungen zu verbessern, um sicherzustellen, dass alle Kinder mit den mathematischen Grundlagen in die Schule eintreten, die sie für einen schulischen Erfolg benötigen. Die in diesem Bericht beschriebenen forschungsbasierten Prinzipien und Lehr-Lern-Pfade in Mathematik können auch die Disparität in den Bildungsergebnissen zwischen Kindern mit niedrigem SES-Hintergrund und ihren Altersgenossen mit höherem SES verringern. Die bisherige Forschung darüber, wie Kleinkinder Schlüsselkonzepte in der Mathematik lernen, hat klare Auswirkungen auf die Praxis, doch sind diese Ergebnisse weder von frühkindlichen Erziehern noch von denen, die frühkindliche Erzieher unterrichten, allgemein bekannt oder umgesetzt. Dieser Bericht hat sich darauf konzentriert, diese Evidenzbasis zu synthetisieren und in eine brauchbare Form zu übersetzen, die als Leitfaden für nationale Bemühungen verwendet werden kann. Daher empfiehlt der Ausschuss:

SCHLUSSFOLGERUNGEN UND EMPFEHLUNGEN 345 ​​Empfehlung 1: Zur Verbesserung des Mathematikunterrichts und -lernens für alle Kinder im Alter von 3 bis 6 Jahren sollte eine koordinierte nationale frühkindliche Mathematikinitiative aufgesetzt werden. Aus dieser übergreifenden Empfehlung folgen eine Reihe konkreter Handlungsempfehlungen. Die konkreten Schritte und die Personen oder Organisationen, die an deren Umsetzung beteiligt sein müssen, werden im Folgenden beschrieben. Empfehlung 2: Mathematikerfahrungen in frühkindlichen Umgebungen sollten sich auf (1) Zahl (die ganze Zahlen, Operationen und Beziehungen einschließt) und (2) Geometrie, räumliche Beziehungen und Messung konzentrieren, wobei mehr Mathematik-Lernzeit gewidmet wird mehr als zu den anderen Themen. In diese Inhaltsbereiche sollen die mathematischen Prozessziele integriert werden. Kinder sollten die Konzepte verstehen und die Fähigkeiten erlernen, die in den in diesem Bericht beschriebenen Lehr-Lern-Pfade beispielhaft dargestellt sind. In beiden Inhaltsbereichen sollte dem Unterricht ausreichend Zeit gewidmet werden, damit die Kinder die in den Lehr-Lernpfaden skizzierten Konzepte und Fähigkeiten beherrschen.Darüber hinaus müssen die allgemeinen und spezifischen mathematischen Prozessziele (siehe Kapitel 2) in die Inhalte integriert werden, um es den Kindern zu ermöglichen, Zusammenhänge zwischen mathematischen Ideen herzustellen und ihre mathematischen Denkfähigkeiten zu vertiefen. Diese neue inhaltliche Ausrichtung erfordert von allen Beteiligten ein Umdenken, wie sie die in der frühen Kindheit erlernte Mathematik sehen und verstehen. Frühkindliche Lernziele, Programme, Curricula und berufliche Entwicklung müssen durch die in diesem Bericht dargelegten forschungsbasierten Lehr-Lern-Wege informiert und angepasst werden. Der Ausschuss empfiehlt daher: Empfehlung 3: Alle frühkindlichen Programme sollten hochwertige Lehrpläne und Unterricht in Mathematik anbieten, wie in diesem Bericht beschrieben. Frühkindliche Programme müssen jeweils einen sorgfältig geplanten Lehrplan implementieren, der eine Reihe von lehrergeführten Mathematikaktivitäten sowie kindzentrierte, lehrerunterstützte Erfahrungen umfasst. Solche Lehrpläne müssen auf Unterrichtsmodellen basieren, die für Kleinkinder geeignet sind und ihre emotionale und soziale Entwicklung sowie ihre kognitive Entwicklung unterstützen. Wie bereits erwähnt, verwenden effektive Mathematiklehrpläne eine Vielzahl von Unterrichtsansätzen und sollten den Kindern Gelegenheiten bieten, ihr mathematisches Denken durch Spielen, Erkunden, kreative Aktivitäten und Praxis zu erweitern. Programme müssen ihre bestehenden Standards überprüfen, überarbeiten und angleichen.

346 MATHEMATIKLERNEN IN DER FRÜHEN KINDHEIT Darts, berufliche Entwicklung, Curriculum und Materialien, um die in diesem Bericht vorgestellten Lehr-Lern-Pfade für den frühkindlichen Mathematikunterricht zu erreichen. Besonders wichtig ist, dass in Armut lebende Kinder so hochwertige Erfahrungen machen, dass sie gleichberechtigt mit Kindern aus privilegierten Verhältnissen in die erste Klasse kommen. Daher ist die Umsetzung unserer Empfehlungen durch Programme für wirtschaftlich benachteiligte Kinder wie Head Start und öffentlich geförderte Frühförderungsprogramme besonders dringlich. Um die empfohlenen Änderungen vorzunehmen, benötigen frühkindliche Programme explizite politische Richtlinien. Um dies zu fördern, empfiehlt der Ausschuss: Empfehlung 4: Die Staaten sollten ihre frühkindlichen Lernstandards oder Richtlinien entwickeln oder überarbeiten, um die in diesem Bericht beschriebenen Lehr-Lern-Pfade widerzuspiegeln. Angesichts der neuen Erkenntnisse und Perspektiven, die dieser Bericht bietet, ist es wichtig, dass die Staaten ihre Standards und Leitlinien für frühes Lernen und Entwicklung überprüfen, um sicherzustellen, dass sie eine angemessene Betonung der frühen Mathematik widerspiegeln. Zu diesem Zweck fordern wir alle Staaten auf, ihre frühpädagogischen und entwicklungspolitischen Leitlinien zu überprüfen, um erstens sicherzustellen, dass die Bedeutung der Mathematik für die Entwicklung von Kleinkindern ausreichend hervorgehoben wird, und zweitens sicherzustellen, dass die Mathematikinhalte fokussiert sind auf (1) Zahl (einschließlich Ganzzahl, Operationen und Beziehungen) und (2) Geometrie, räumliches Denken und Messen. Empfehlung 5: Lehrplanentwickler und Herausgeber sollten ihre Materialien auf die in diesem Bericht beschriebenen Prinzipien und Lehr-Lern-Pfade aufbauen. Lehrer und frühkindliche Programme benötigen geeignete Materialien, um die mathematische Entwicklung und das Lernen der Kinder zu unterstützen. Lehrplanentwickler und Herausgeber, die Materialien für Lehrplan, Unterricht und Bewertung erstellen, sollten diese überarbeiten und aktualisieren, damit sie die in diesem Bericht formulierten Grundsätze widerspiegeln. Der Erfolg dieser Gesamtbemühungen muss sich darauf konzentrieren, sowohl das vorhandene frühkindliche Personal als auch die angehenden Pädagogen zu erreichen, um ihnen die Fähigkeiten und das Wissen zu vermitteln, die sie für den Mathematikunterricht benötigen. Daher geben wir mehrere Empfehlungen in Bezug auf Lehrer und Arbeitnehmer. Empfehlung 6: Ein wesentlicher Bestandteil einer koordinierten nationalen Initiative für frühkindliche Mathematik ist die Bereitstellung einer beruflichen Weiterbildung für berufsbegleitende frühkindliche Lehrkräfte, die ihnen hilft

SCHLUSSFOLGERUNGEN UND EMPFEHLUNGEN 347 (a) die notwendige Mathematik, die entscheidenden Lehr-Lern-Pfade und die Prinzipien des absichtlichen Lehrens und Lehrplans zu verstehen und (b) zu lernen, wie man einen Lehrplan umsetzt. Die Anwendung des theoretischen Wissens der Lehrer auf ein Curriculum mit einer starken Mathematikkomponente bietet ihnen die Möglichkeit, Feedback zu erhalten und über die Unterrichtspraktiken zu reflektieren, die sie tatsächlich im Klassenzimmer anwenden werden. Die berufliche Entwicklung sollte sich auch auf die Ansichten der Lehrer über die Mathematik der Kinder, die Aktivitäten und Ressourcen im Klassenzimmer, die die mathematische Entwicklung der Kinder fördern können, und ihr Wissen über lehrplanbezogene Bewertungspraktiken konzentrieren. Alle diese wichtigen Bereiche sollten in die berufliche Entwicklung einbezogen werden, die von einem hochqualifizierten Lehrerausbildner durchgeführt wird. Um einen qualitativ hochwertigen Mathematikunterricht zu implementieren, empfiehlt der Ausschuss außerdem, dass frühkindliche Erzieher eine Reihe von effektiven Unterrichtsstrategien in einer Vielzahl von Formaten anwenden, einschließlich Gruppenarbeit, Paar-/Kleingruppenarbeit und Einzelarbeit, Exploration und Praxis und Spiel und konzentrierte Aktivitäten. Ernsthafte Anstrengungen zur Verbesserung der Vorbereitung von frühkindlichen Lehrkräften müssen die staatliche Zulassung/Zertifizierung, Akkreditierung und Anerkennung sowie Beglaubigungssysteme umfassen, die die Kompetenz und die Programmqualität der Lehrkräfte bewerten. Die in diesem Bericht beschriebene frühkindliche Mathematik sollte sich in den Kernkomponenten dieser Systeme und Programme widerspiegeln. Empfehlung 7: Die Anforderungen an Studienleistungen und Praktika für Erzieherinnen und Erzieher sollten geändert werden, um eine stärkere Betonung der Kindermathematik, wie im Bericht beschrieben, widerzuspiegeln. Diese Änderungen sollten auch von frühkindlichen Organisationen vorgenommen und durchgesetzt werden, die die Beglaubigung, Akkreditierung und Anerkennung von Fortbildungsprogrammen für Lehrer beaufsichtigen. Der Ausschuss erkennt auch die Notwendigkeit an, über das formale frühkindliche Bildungssystem hinauszugehen, um Familien und Gemeinschaften zu erreichen – beides hat einen starken Einfluss auf das Lernen kleiner Kinder. Eine wichtige Komponente, um alle Kinder zu erreichen, müssen Strategien umfassen, die auf Kinder abzielen, die sich in anderen Umgebungen wie zu Hause oder in der Kinderbetreuung in der Familie befinden. Empfehlung 8: Partnerschaften für die frühkindliche Bildung sollten zwischen Familien- und Gemeindeprogrammen gebildet werden, damit sie in der Lage sind, bei der Förderung der Mathematik von Kindern zusammenzuarbeiten. Zum Beispiel sollten Familienbildungs- und Unterstützungsprogramme, wie das Head Start Family and Community Partnerships Program, Informationen enthalten.

348 MATHEMATISCHES LERNEN IN DER FRÜHEN KINDHEIT, das Familien und Gemeinschaften Orientierung bietet, warum sie dies tun sollten und wie sie Kindern helfen können, wichtige mathematische Ideen und Fähigkeiten zu entwickeln. Darüber hinaus sollten Fachkräfte, die mit Familien arbeiten, eine Ausbildung erhalten, die sich auf frühe mathematische Kenntnisse und Fähigkeiten konzentriert, sowie Zugang zu Programmen und Ressourcen für zu Hause durchgeführte Mathematikaktivitäten haben. Zu diesem Zweck müssen mehr Ressourcen entwickelt werden, die Mathematik in informellen Umgebungen sowie durch Medien und Technologie unterstützen können. Empfehlung 9: Es besteht ein Bedarf an mehr informellen Programmen, Lehrplanressourcen, Software und anderen Medien, die verwendet werden können, um das Mathematiklernen von Kleinkindern in Umgebungen wie Heimen, Gemeindezentren, Bibliotheken und Museen zu unterstützen. ZUKÜNFTIGE FORSCHUNG Im Rahmen seiner Arbeit führte der Ausschuss eine umfassende Überprüfung der vorhandenen Evidenz in Bezug auf die mathematische Entwicklung und das Lernen in der frühen Kindheit durch. Wie bereits erwähnt, haben wir festgestellt, dass die Evidenzbasis robust genug ist, um eine große nationale Initiative in der frühen Mathematik zu leiten. Dennoch bleiben Lücken in der Wissensbasis über den Mathematikunterricht von Kindern. Wir halten es für entscheidend, dass die Forschungsbasis in einer Reihe von Schlüsselbereichen, die im Folgenden beschrieben werden, weiter vorankommt. Implikationen für Englischlerner.  In zunehmendem Maße werden frühkindliche Klassenzimmer von einer beträchtlichen Anzahl von Kindern bedient, deren Erstsprache nicht Englisch ist. Diese Kinder werden an die gleichen Erwartungen hinsichtlich ihrer zukünftigen Leistungen gestellt wie Kinder, deren Muttersprache Englisch ist. Bislang wurde das Lehren und Lernen von Mathematik bei Kindern im Vorschulalter, die gleichzeitig Englisch lernen, nur wenig publiziert. Der Ausschuss empfiehlt die Durchführung von Untersuchungen, die dazu beitragen können, die besten Methoden zur Verbesserung des mathematischen Lernens von Kleinkindern zu ermitteln, die eine andere Muttersprache als Englisch sprechen. Forschung zur Rolle von Lehrkräften bei der Bereitstellung eines effektiven Unterrichts.  In den letzten Jahren haben Forscher Fortschritte beim Verständnis des Prozesses des Mathematikunterrichts in der Grundschule gemacht. Diese Forschung betont die Rolle des Wissens und der Fähigkeiten von Lehrern, einschließlich ihrer Kenntnisse in Mathematik, ihres Verständnisses des mathematischen Denkens und Lernens von Kindern und ihres pädagogischen Inhaltswissens (dh ihres Wissens über die Strukturierung des Klassenzimmers und des Lehrplans und die Einbeziehung Kinder in Aktivitäten, damit die Mathematik zugänglich ist). Allerdings wurde ähnlichen Themen in frühkindlichen Einrichtungen viel weniger Aufmerksamkeit geschenkt. Forschung ist notwendig, um festzustellen, inwieweit die Ergebnisse der Forschung in

SCHLUSSFOLGERUNGEN UND EMPFEHLUNGEN 349 Die höheren Noten gelten für den Mathematikunterricht in der frühen Kindheit und für das, was für die frühe Kindheit einzigartig sein könnte. Evaluation von Curricula.  Im Zuge unserer Überprüfung der frühkindlichen Mathematik wurde deutlich, dass viele der verfügbaren Curricula nicht rigoros auf ihre Wirksamkeit evaluiert wurden. Es ist eine qualitativ hochwertige Curriculumforschung erforderlich, die die Wirksamkeit der Curricula während der Umsetzung verfolgt und dabei die Theorien und Lehrmodelle verwendet, die ursprünglich zur Entwicklung des Curriculums verwendet wurden. Diese Forschung muss auch berücksichtigen, wie die Vielfalt im Hintergrund der Kinder und in verschiedenen Lernumgebungen die Umsetzung und Wirksamkeit beeinflusst. Um diese Ziele zu erreichen, empfiehlt der Ausschuss, dass die Curriculumforschung und -entwicklung Phasen durchlaufen: von der frühen Überprüfung relevanter Forschungsergebnisse über die Erstellung von Lernmaterialien, die Kindern auf den Lehr-Lern-Pfade in diesem Bericht helfen, bis hin zu Zyklen der Basisbewertung und schließlich bis hin zur konfirmatorischen Bewertung mit strengen Designs, wobei in allen Phasen quantitative und qualitative Methoden integriert sind. Forschung dieser Art wird dazu beitragen, dass frühkindliche Programme fundierte, evidenzbasierte Entscheidungen zwischen den Lehrplänen treffen können. Effektive Lehrervorbereitung.†Ein Großteil der neueren Forschungen zur Vorbereitung von Erzieherinnen und Erziehern hat sich darauf konzentriert, ob der Bachelorabschluss ein wirksamer Marker für die Kompetenz von Lehrkräften ist. Obwohl diese Untersuchung hilfreich war, um einige der Fähigkeiten von Lehrkräften zu identifizieren, die mit positiven Lernergebnissen von Kindern zusammenhängen, muss die Forschung auf diesem Gebiet über den B.A./Non-B.A. hinausgehen. Unterscheidung. Der Ausschuss empfiehlt, dass sich die Forschung zur Effektivität von frühpädagogischen Fachkräften auf den Inhalt und die Qualität von Lehramtsstudiengängen konzentriert und nicht darauf, ob Lehrkräfte einen Bachelor-Abschluss haben oder nicht. Beteiligung der Eltern.  Es ist unklar, warum Familien mit niedrigem SES-Hintergrund oft nicht an Bildungsaktivitäten teilnehmen und was getan werden kann, um ihre Beteiligung an diesen Programmen zu fördern. Der Ausschuss empfiehlt daher die Durchführung besser beschreibender Studien, die untersuchen, was Eltern über die Unterstützung des Mathematiklernens ihrer Kinder verstehen und wie die Einbeziehung der Eltern in diese Bemühungen gefördert werden kann. Wenn Eltern über Kenntnisse zur Förderung der mathematischen Entwicklung ihrer Kinder verfügen, dieses Wissen aber nicht in die Praxis umsetzen, ist es wichtig, dass die Forschung die Hindernisse untersucht, die einer aktiven Förderung der frühkindlichen Mathematik im Wege stehen. Interventionen für Kinder mit Lernschwierigkeiten in Mathematik.  Die Erforschung von Lernschwierigkeiten oder Behinderungen in Mathematik ist ein im Entstehen begriffenes Gebiet

350 MATHEMATIK LERNEN IN DER FRÜHEN KINDHEIT der Forschung, die erweitert werden muss. Weitere Untersuchungen sind erforderlich, um besser zu verstehen, welche frühen Zahlenkompetenzen den zukünftigen Erfolg in Mathematik vorhersagen. Solche Forschungen können dazu beitragen, Kinder mit einem Risiko für Lernschwierigkeiten oder Behinderungen in Mathematik während der Vorschuljahre zu identifizieren, gezielte Interventionen für diese Kinder zu entwickeln und ihre Wirksamkeit zu testen.