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Abgestufte Systeme


Wir verwenden die Cramer-Regel, um lineare Systeme zu diskutieren und zu lösen, in denen die Anzahl der Gleichungen (m) entspricht der Anzahl der Unbekannten (nein). Wann? m und nein größer als drei sind, ist es sehr mühsam, diese Regel anzuwenden. Deshalb verwenden wir die Technik von umwerfend, Dies erleichtert die Diskussion und Auflösung von linearen Systemen.

Wir sagen, dass ein System, in dem es in jeder Gleichung mindestens einen Koeffizienten ungleich Null gibt, gestaffelt ist, wenn die Anzahl der Nullkoeffizienten vor dem ersten Koeffizienten ungleich Null von Gleichung zu Gleichung zunimmt. Um ein System zu skalieren, haben wir das folgende Verfahren angewendet:

a) Wir legen als 1. Gleichung eine der Gleichungen fest, die den Koeffizienten der ersten unbekannten ungleich Null haben.

b) Unter Verwendung der Eigenschaften äquivalenter Systeme annullieren wir alle Koeffizienten der ersten unbekannten der anderen Gleichungen.

c) Wir wiederholen den Vorgang mit den anderen Unbekannten, bis das System gestaffelt ist.

Wenden wir die Planungstechnik an und betrachten zwei Arten von Systemen:

I. Die Anzahl der Gleichungen entspricht der Anzahl der Unbekannten (m = n)

Beispiel 1:

1. Schritt: Wir heben alle Koeffizienten des 1. Unbekannten aus der 2. Gleichung auf, indem wir die Eigenschaften der äquivalenten Systeme anwenden:

  • Wir tauschen die 1. Gleichung mit der 2. Gleichung, so dass der 1. Koeffizient von x gleich 1 ist.
  • Wir tauschen die 2. Gleichung gegen die Summe der 1. Gleichung multipliziert mit -2 mit der 2. Gleichung aus:

  • Wir tauschen die 3. Gleichung gegen die Summe der 1. Gleichung multipliziert mit -3 mit der 3. Gleichung aus:

2. Schritt: Wir annullieren die Koeffizienten des 2. Unbekannten aus der 3. Gleichung:

  • Wir tauschen die 3. Gleichung gegen die Summe der 2. Gleichung multipliziert mit -1 mit der 3. Gleichung aus:

Jetzt ist das System gestaffelt und wir können es lösen.

-2z = -6 z = 3

Ersetzen von z = 3 in (II):

-7y - 3 (3) = -2 -7y - 9 = -2 y = -1

Ersetzen von z = 3 und y = -1 in (I):

x + 2 (-1) + 3 = 3 x = 2

Also ist x = 2, y = -1 und z = 3

Beispiel 2:

1. Schritt: Wir annullieren alle Koeffizienten des 1. Unbekannten aus der 2. Gleichung:

  • Wir tauschen die 2. Gleichung für die Summe des Produkts der 1. Gleichung gegen -2 mit der 2. Gleichung aus:

  • Wir tauschen die 3. Gleichung für die Summe des Produkts der 1. Gleichung gegen -3 mit der 3. Gleichung aus:

2. Schritt: Wir annullieren die Koeffizienten des 2. Unbekannten aus der 3. Gleichung:

  • Wir tauschen die 3. Gleichung für die Summe des Produkts der 2. Gleichung gegen -1 mit der 3. Gleichung aus:

Auf diese Weise ist das System atemberaubend. Da es keinen reellen Wert von z gibt, so dass 0z = -2 ist, ist das System unmöglich.

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