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9.4: Verwenden Sie Eigenschaften von Winkeln, Dreiecken und dem Satz des Pythagoras (Teil 1)


Fähigkeiten zum Entwickeln

  • Verwenden Sie die Eigenschaften von Winkeln
  • Nutze die Eigenschaften von Dreiecken
  • Verwenden Sie den Satz des Pythagoras

sei vorbereitet!

Bevor Sie beginnen, machen Sie dieses Bereitschaftsquiz.

  1. Lösen Sie: x + 3 + 6 = 11. Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, lesen Sie Beispiel 8.1.6.
  2. Löse: (dfrac{a}{45} = dfrac{4}{3}). Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, lesen Sie Beispiel 6.5.3.
  3. Vereinfachen: (sqrt{36 + 64}). Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, lesen Sie Beispiel 5.12.4.

Bisher haben wir uns in diesem Kapitel auf die Lösung von Textaufgaben konzentriert, die vielen realen Anwendungen der Algebra ähneln. In den nächsten Abschnitten werden wir unsere Problemlösungsstrategien auf einige gängige Geometrieprobleme anwenden.

Verwenden Sie die Eigenschaften von Winkeln

Kennen Sie den Satz „Mach eine 180“? Es bedeutet, sich so zu drehen, dass Sie in die entgegengesetzte Richtung blicken. Es kommt von der Tatsache, dass das Maß eines Winkels, der eine gerade Linie bildet, 180 Grad beträgt. Siehe Abbildung (PageIndex{1}).

Abbildung (PageIndex{1})

Ein Winkel wird von zwei Strahlen gebildet, die einen gemeinsamen Endpunkt haben. Jeder Strahl heißt Seite des Winkels und der gemeinsame Endpunkt heißt is Scheitel. Ein Winkel wird durch seinen Scheitelpunkt benannt. In Abbildung (PageIndex{2}) ist ∠A der Winkel mit dem Scheitelpunkt im Punkt A. Das Maß von ∠A ist m ∠ A.

Abbildung (PageIndex{2}) - ∠ A ist der Winkel mit dem Scheitelpunkt im Punkt A.

Wir messen Winkel in Grad und verwenden das Symbol °, um Grad darzustellen. Wir verwenden die Abkürzung m für die messen eines Winkels. Wenn also ∠A 27° beträgt, würden wir m ∠ A = 27 schreiben.

Wenn die Summe der Maße zweier Winkel 180° beträgt, heißen sie Ergänzungswinkel. In Abbildung (PageIndex{3}) ist jedes Winkelpaar ergänzend, da sich ihre Maße auf 180° addieren. Jeder Winkel ist der Ergänzung des anderen.

Abbildung (PageIndex{3}) - Die Summe der Maße der Zusatzwinkel beträgt 180°.

Wenn die Summe der Maße zweier Winkel 90° beträgt, dann sind die Winkel komplementäre Winkel. In Abbildung (PageIndex{4}) ist jedes Winkelpaar komplementär, weil sich ihre Maße zu 90° addieren. Jeder Winkel ist der ergänzen des anderen.

Abbildung (PageIndex{4}) - Die Summe der Maße der Komplementärwinkel beträgt 90°.

Definition: Ergänzende und komplementäre Winkel

Wenn die Summe der Maße zweier Winkel 180° beträgt, ergänzen sich die Winkel.

Wenn ∠A und ∠B ergänzend sind, dann ist m∠A + m∠B = 180°.

Wenn die Summe der Maße zweier Winkel 90° beträgt, sind die Winkel komplementär.

Sind ∠A und ∠B komplementär, dann ist m∠A + m∠B = 90°.

In diesem und im nächsten Abschnitt werden Ihnen einige gängige Geometrieformeln vorgestellt. Wir werden unsere Problemlösungsstrategie für Geometrieanwendungen anpassen. Die Geometrieformel benennt die Variablen und gibt uns die zu lösende Gleichung.

Da diese Anwendungen alle geometrische Formen beinhalten, ist es außerdem hilfreich, eine Figur zu zeichnen und sie dann mit den Informationen aus dem Problem zu beschriften. Wir werden diesen Schritt in die Problemlösungsstrategie für Geometrieanwendungen aufnehmen.

WIE MAN: EINE PROBLEMLÖSUNGSSTRATEGIE FÜR GEOMETRIEANWENDUNGEN VERWENDEN

Schritt 1. Lesen das Problem und stellen Sie sicher, dass Sie alle Wörter und Ideen verstehen. Zeichne eine Figur und beschrifte sie mit den gegebenen Informationen.

Schritt 2. Identifizieren Wonach suchen Sie

Schritt 3. Name wonach Sie suchen, und wählen Sie eine Variable aus, um sie darzustellen.

Schritt 4. Übersetzen in eine Gleichung umwandeln, indem Sie die entsprechende Formel oder das entsprechende Modell für die Situation schreiben. Ersetzen Sie die angegebenen Informationen.

Schritt 5. Lösen die Gleichung mit guten Algebra-Techniken.

Schritt 6. Prüfen die Antwort im Problem und stellen Sie sicher, dass es Sinn macht.

Schritt 7. Antworten die Frage mit einem vollständigen Satz.

Das nächste Beispiel zeigt, wie Sie die Problemlösungsstrategie für Geometrieanwendungen verwenden können, um Fragen zu ergänzenden und komplementären Winkeln zu beantworten.

Beispiel (PageIndex{1}):

Ein Winkel misst 40°. Finden Sie (a) seine Ergänzung und (b) seine Ergänzung.

Lösung

(ein)

Schritt 1. Lesen das Problem. Zeichne die Figur und beschrifte sie mit den gegebenen Informationen.
Schritt 2. Identifizieren Wonach suchen Sie.der Zuschlag von 40°
Schritt 3. Name. Wählen Sie eine Variable aus, um sie darzustellen.sei s = das Maß des Zuschlags
Schritt 4. Übersetzen. Schreiben Sie die passende Formel für die Situation und setzen Sie die gegebenen Informationen ein.$$m angle A + m angle B = 180$$
Schritt 5. Lösen Die gleichung.$$egin{split} s + 40 &= 180 s &= 140 end{split}$$
Schritt 6. Prüfen.$$egin{split} 140 + 40 &stackrel{?}{=} 180 180 &= 180; checkmark end{split}$$
Schritt 7. Antworten die Frage.Der Zuschlag des 40° Winkels beträgt 140°.

(B)

Schritt 1. Zeichnen Sie die Figur und beschriften Sie sie mit den angegebenen Informationen.
Schritt 2. Identifizieren Wonach suchen Sie.die Ergänzung eines 40°
Schritt 3. Wählen Sie eine Variable aus, um sie darzustellen.sei c = das Maß des Komplements
Schritt 4. Schreiben Sie die passende Formel für die Situation und setzen Sie die gegebenen Informationen ein.$$m angle A + m angle B = 90$$
Schritt 5. Lösen Die gleichung.$$egin{split} c + 40 &= 90 c &= 50 end{split}$$
Schritt 6. Prüfen.$$egin{split} 50 + 40 &stackrel{?}{=} 90 90 &= 90; checkmark end{split}$$
Schritt 7. Antworten die Frage.Der Zuschlag des 40°-Winkels beträgt 50°.

Übung (PageIndex{1}):

Ein Winkel misst 25°. Finden Sie (a) seine Ergänzung und (b) seine Ergänzung.

Antworte a

155°

Antwort b

65°

Übung (PageIndex{2}):

Ein Winkel misst 77°. Finden Sie (a) seine Ergänzung und (b) seine Ergänzung.

Antworte a

103°

Antwort b

13°

Ist Ihnen aufgefallen, dass die Wörter komplementär und ergänzend alphabetisch geordnet sind, genau wie 90 und 180 in numerischer Reihenfolge?

Beispiel (PageIndex{2}):

Zwei Winkel ergänzen sich. Der größere Winkel beträgt 30° mehr als der kleinere. Finden Sie das Maß beider Winkel.

Lösung

Schritt 1. Zeichnen Sie die Figur und beschriften Sie sie mit den angegebenen Informationen.
Schritt 2. Identifizieren Wonach suchen Sie.die Maße beider Winkel
Schritt 3. Wählen Sie eine Variable aus, um sie darzustellen.

sei a = Maß des kleineren Winkels

a + 30 = Maß des größeren Winkels

Schritt 4. Lösen Die gleichung.$$egin{split} (a + 30) + a &= 180 2a + 30 &= 180 2a &= 150 a &= 75Quad-Maß; von; kleiner; Winkel a &+ 30Quad-Maß; von; größer; Winkel 75 &+ 30 &105 end{split}$$
Schritt 6. Prüfen.$$egin{split} m angle A + m angle B &= 180 75 + 105 &stackrel{?}{=} 180 180 &= 180; checkmark end{split}$$
Schritt 7. Antworten die Frage.Die Winkelmaße sind 75° und 105°.

Übung (PageIndex{3}):

Zwei Winkel ergänzen sich. Der größere Winkel ist 100° mehr als der kleinere. Finden Sie die Maße beider Winkel.

Antworten

40°, 140°

Übung (PageIndex{4}):

Zwei Winkel ergänzen sich. Der größere Winkel beträgt 40° mehr als der kleinere. Finden Sie die Maße beider Winkel.

Antworten

25°, 65°

Verwenden Sie die Eigenschaften von Dreiecken

Was wissen Sie schon über Dreiecke? Dreieck hat drei Seiten und drei Winkel. Dreiecke werden nach ihren Ecken benannt. Das Dreieck in Abbildung (PageIndex{5}) heißt ΔABC, lesen Sie ‚Dreieck ABC‘. Wir beschriften jede Seite mit einem Kleinbuchstaben, der dem Großbuchstaben des gegenüberliegenden Scheitelpunkts entspricht.

Abbildung (PageIndex{5}) - ΔABC hat die Ecken A, B und C und die Seiten a, b und c.

Die drei Winkel eines Dreiecks hängen auf besondere Weise zusammen. Die Summe ihrer Maße beträgt 180°.

[m angle A + m angle B + m angle C = 180°]

Definition: Summe der Winkelmaße eines Dreiecks

Für jedes ΔABC beträgt die Summe der Winkelmaße 180°.

[m angle A + m angle B + m angle C = 180°]

Beispiel (PageIndex{3}):

Die Maße von zwei Winkeln eines Dreiecks sind 55° und 82°. Finden Sie das Maß des dritten Winkels.

Lösung

Schritt 1. Zeichnen Sie die Figur und beschriften Sie sie mit den angegebenen Informationen.
Schritt 2. Identifizieren Wonach suchen Sie.das Maß des dritten Winkels in einem Dreieck
Schritt 3. Wählen Sie eine Variable aus, um sie darzustellen.sei x = das Maß des Winkels
Schritt 4. Schreiben Sie die passende Formel für die Situation und setzen Sie die gegebenen Informationen ein.$$m angle A + m angle B + m angle C = 180$$
Schritt 5. Lösen Die gleichung.$$egin{split} 55 + 82 + x &= 180 137 + x &= 180 x &= 43 end{split}$$
Schritt 6. Prüfen.$$egin{split} 55 + 82 + 43 &stackrel{?}{=} 180 180 &= 180; checkmark end{split}$$
Schritt 7. Antworten die Frage.Das Maß des dritten Winkels beträgt 43 Grad.

Übung (PageIndex{5}):

Die Maße von zwei Winkeln eines Dreiecks sind 31° und 128°. Finden Sie das Maß des dritten Winkels.

Antworten

21°

Übung (PageIndex{6}):

Ein Dreieck hat Winkel von 49° und 75°. Finden Sie das Maß des dritten Winkels.

Antworten

56°

Rechte Dreiecke

Einige Dreiecke haben spezielle Namen. Wir schauen uns zuerst die rechtwinkliges Dreieck. Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen 90°-Winkel, der oft mit dem in Abbildung (PageIndex{6}) gezeigten Symbol gekennzeichnet ist.

Abbildung (PageIndex{6})

Wenn wir wissen, dass ein Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist, wissen wir, dass ein Winkel 90° misst, also brauchen wir nur das Maß eines der anderen Winkel, um das Maß des dritten Winkels zu bestimmen.

Beispiel (PageIndex{4}):

Ein Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks misst 28°. Wie groß ist der dritte Winkel?

Lösung

Schritt 1. Zeichnen Sie die Figur und beschriften Sie sie mit den angegebenen Informationen.
Schritt 2. Identifizieren Wonach suchen Sie.das Maß eines Winkels
Schritt 3. Lösen Die gleichung.$$egin{split} x + 90 + 28 &= 180 x + 118 &= 180 x &= 62 end{split}$$
Schritt 6. Prüfen.$$egin{split} 180 &stackrel{?}{=} 90 + 28 + 62 180 &= 180; checkmark end{split}$$
Schritt 7. Antworten die Frage.Das Maß des dritten Winkels beträgt 62°.

Übung (PageIndex{7}):

Ein Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks misst 56°. Was ist das Maß des anderen Winkels?

Antworten

34°

Übung (PageIndex{8}):

Ein Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks misst 45°. Was ist das Maß des anderen Winkels?

Antworten

45°

In den bisherigen Beispielen konnten wir direkt nach dem Lesen des Problems eine Figur zeichnen und beschriften. Im nächsten Beispiel müssen wir einen Winkel in Bezug auf einen anderen definieren. Wir warten also mit dem Zeichnen der Figur, bis wir Ausdrücke für alle Winkel geschrieben haben, nach denen wir suchen.

Beispiel (PageIndex{5}):

Das Maß eines Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist 20° mehr als das Maß des kleinsten Winkels. Finden Sie die Maße aller drei Winkel.

Lösung

Schritt 1. Lesen das Problem.
Schritt 2. Identifizieren Wonach suchen Sie.die Maße aller drei Winkel
Schritt 3. Wählen Sie eine Variable aus, um sie darzustellen. Zeichnen Sie nun die Figur und beschriften Sie sie mit den angegebenen Informationen.

Sei a = 1NS Winkel

a + 20 = 2nd Winkel

90 = 3rd Winkel (der rechte Winkel)

Schritt 4. Schreiben Sie die passende Formel für die Situation und setzen Sie die gegebenen Informationen ein.$$egin{split} m angle A + m angle B + m angle C &= 180 a + (a + 20) + 90 &= 180 end{split}$$
Schritt 5. Lösen Die gleichung.$$egin{split} 2a + 110 &= 180 2a &= 70 a &= 35 quad first; Winkel a + &20 Quadsekunde; Winkel extcolor{red}{35} + &20 &55 &90 dreiviertel; Winkel end{split}$$
Schritt 6. Prüfen.$$egin{split} 35 + 55 + 90 &stackrel{?}{=} 180 180 &= 180; checkmark end{split}$$
Schritt 7. Antworten die Frage.Die drei Winkel messen 35°, 55° und 90°.

Übung (PageIndex{9}):

Das Maß eines Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist 50° mehr als das Maß des kleinsten Winkels. Finden Sie die Maße aller drei Winkel.

Antworten

20°, 70°, 90°

Übung (PageIndex{10}):

Das Maß eines Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist 30° mehr als das Maß des kleinsten Winkels. Finden Sie die Maße aller drei Winkel.

Antworten

30°, 60°, 90°

Ähnliche Dreiecke

Wenn wir eine Karte verwenden, um eine Reise zu planen, eine Skizze, um ein Bücherregal zu bauen, oder ein Muster, um ein Kleid zu nähen, arbeiten wir mit ähnlichen Figuren. Wenn zwei Figuren in der Geometrie genau die gleiche Form, aber unterschiedliche Größen haben, sagen wir, dass sie es sind ähnliche Figuren. Das eine ist ein maßstabsgetreues Modell des anderen. Die entsprechenden Seiten der beiden Figuren haben das gleiche Verhältnis und alle ihre entsprechenden Winkel haben die gleichen Maße.

Die beiden Dreiecke in Abbildung (PageIndex{7}) sind ähnlich. Jede Seite von ΔABC ist viermal so lang wie die entsprechende Seite von ΔXYZ und ihre entsprechenden Winkel haben gleiche Maße.

Abbildung (PageIndex{7}) - ΔABC und ΔXYZ sind ähnliche Dreiecke. Ihre entsprechenden Seiten haben das gleiche Verhältnis und die entsprechenden Winkel haben das gleiche Maß.

Definition: Eigenschaften ähnlicher Dreiecke

Wenn zwei Dreiecke ähnlich sind, dann sind ihre entsprechenden Winkelmaße gleich und ihre entsprechenden Seitenlängen stehen im gleichen Verhältnis.

Die Länge einer Seite eines Dreiecks kann durch ihre Endpunkte, zwei Eckpunkte des Dreiecks, bezeichnet werden. Zum Beispiel in ΔABC:

die Länge a kann auch BC . geschrieben werden

die Länge b kann auch AC . geschrieben werden

die Länge c kann auch AB . geschrieben werden

Wir werden diese Notation oft verwenden, wenn wir ähnliche Dreiecke lösen, weil sie uns hilft, die entsprechenden Seitenlängen zuzuordnen.

Beispiel (PageIndex{6}):

ΔABC und ΔXYZ sind ähnliche Dreiecke. Die Längen von zwei Seiten jedes Dreiecks werden angezeigt. Finden Sie die Längen der dritten Seite jedes Dreiecks.

Lösung

Schritt 1. Zeichnen Sie die Figur und beschriften Sie sie mit den angegebenen Informationen.Die Figur wird zur Verfügung gestellt.
Schritt 2. Identifizieren Wonach suchen Sie.Die Länge der Seiten ähnlicher Dreiecke
Schritt 3. Wählen Sie eine Variable aus, um sie darzustellen.Sei a = Länge der dritten Seite von ΔABC, y = Länge der dritten Seite ΔXYZ
Schritt 4. Übersetzen.

Die Dreiecke sind ähnlich, also stehen die entsprechenden Seiten im gleichen Verhältnis. Also$$dfrac{AB}{XY} = dfrac{BC}{YZ} = dfrac{AC}{XZ}$$Da die Seite AB = 4 der Seite XY = 3 entspricht, verwenden wir das Verhältnis (dfrac{AB}{XY} = dfrac{4}{3}), um die anderen Seiten zu finden.

Achten Sie darauf, die entsprechenden Seiten richtig zuzuordnen.

Schritt 5. Lösen Die gleichung.$$egin{split} 3a &= 4(4.5) qquad ; 4y = 3(3.2) 3a &= 18 qquad qquad 4y = 9,6 a &= 6 qquad qquad quad y = 2,4 end{split}$$
Schritt 6. Prüfen.$$egin{split} dfrac{4}{3} &stackrel{?}{=} dfrac{ extcolor{red}{6}}{4.5} qquad qquad qquad dfrac{4} {3} stackrel{?}{=} dfrac{3.2}{ extcolor{red}{2.4}} 4(4.5) &stackrel{?}{=} 6(3) qquad qquad ; 4(2.4) stackrel{?}{=} 3.2(3) 18 &= 18; checkmark qquad qquad quad ; 9,6 = 9,6; checkmark end{split}$$
Schritt 7. Antworten die Frage.Die dritte Seite von ABC ist 6 und die dritte Seite von ΔXYZ ist 2,4.

Übung (PageIndex{11}):

ABC ist ähnlich zu ΔXYZ. Finde einen.

Antworten

a = 8

Übung (PageIndex{12}):

ABC ist ähnlich zu ΔXYZ. Finden Sie j.

Antworten

y = 22,5


C | Geometrische Formeln

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    • Autoren: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
    • Herausgeber/Website: OpenStax
    • Buchtitel: Präalgebra 2e
    • Erscheinungsdatum: 11.03.2020
    • Ort: Houston, Texas
    • Buch-URL: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
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    Grafiken

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      9.4: Verwenden Sie Eigenschaften von Winkeln, Dreiecken und dem Satz des Pythagoras (Teil 1)

      Bevor Sie beginnen, machen Sie dieses Bereitschaftsquiz.

      Bisher haben wir uns in diesem Kapitel auf die Lösung von Textaufgaben konzentriert, die vielen realen Anwendungen der Algebra ähneln. In den nächsten Abschnitten werden wir unsere Problemlösungsstrategien auf einige gängige Geometrieprobleme anwenden.

      Verwenden Sie die Eigenschaften von Winkeln

      Ein Winkel wird durch zwei Strahlen gebildet, die einen gemeinsamen Endpunkt haben. Jeder Strahl wird als Seite des Winkels bezeichnet und der gemeinsame Endpunkt wird als Scheitelpunkt bezeichnet. Ein Winkel wird durch seinen Scheitelpunkt benannt. In [link] ist ∠ A ∠ A der Winkel mit dem Scheitelpunkt an Punkt A . A . Das Maß von ∠ A ∠ A wird m ∠ A geschrieben. m ∠ A .

      Wenn die Summe der Maße zweier Winkel 180° , 180° ist, werden sie als Ergänzungswinkel bezeichnet. In [link] ist jedes Winkelpaar ergänzend, da sich ihre Maße zu 180° addieren. 180° . Jeder Winkel ist der Ergänzung des anderen.

      Die Summe der Maße der zusätzlichen Winkel ist 180° . 180° .

      Wenn die Summe der Maße zweier Winkel 90°, 90° ist, dann sind die Winkel komplementäre Winkel. In [link] ist jedes Winkelpaar komplementär, da sich ihre Maße zu 90° addieren. 90° . Jeder Winkel ist der ergänzen des anderen.

      Die Summe der Maße der Komplementärwinkel ist 90° . 90° .

      Wenn die Summe der Maße zweier Winkel 180° , 180° ist, dann sind die Winkel ergänzend.

      Wenn die Summe der Maße zweier Winkel 90° , 90° ist, dann sind die Winkel komplementär.

      In diesem und im nächsten Abschnitt werden Ihnen einige gängige Geometrieformeln vorgestellt. Wir werden unsere Problemlösungsstrategie für Geometrieanwendungen anpassen. Die Geometrieformel benennt die Variablen und gibt uns die zu lösende Gleichung.

      Da diese Anwendungen alle geometrische Formen beinhalten, ist es außerdem hilfreich, eine Figur zu zeichnen und sie dann mit den Informationen aus dem Problem zu beschriften. Wir werden diesen Schritt in die Problemlösungsstrategie für Geometrieanwendungen aufnehmen.

      1. Lesen das Problem und stellen Sie sicher, dass Sie alle Wörter und Ideen verstehen. Zeichne eine Figur und beschrifte sie mit den gegebenen Informationen.
      2. Identifizieren Wonach suchen Sie.
      3. Name wonach Sie suchen, und wählen Sie eine Variable aus, um sie darzustellen.
      4. Übersetzen in eine Gleichung umwandeln, indem Sie die entsprechende Formel oder das entsprechende Modell für die Situation schreiben. Ersetzen Sie die angegebenen Informationen.
      5. Lösen die Gleichung mit guten Algebra-Techniken.
      6. Prüfen die Antwort im Problem und stellen Sie sicher, dass es Sinn macht.
      7. Antworten die Frage mit einem vollständigen Satz.

      Das nächste Beispiel zeigt, wie Sie die Problemlösungsstrategie für Geometrieanwendungen verwenden können, um Fragen zu ergänzenden und komplementären Winkeln zu beantworten.


      9.4: Verwenden Sie Eigenschaften von Winkeln, Dreiecken und dem Satz des Pythagoras (Teil 1)

      Beachten Sie die vielen individuellen Formen in diesem Gebäude.

      Wir sind von allerlei Geometrie umgeben. Architekten verwenden Geometrie, um Gebäude zu entwerfen. Künstler schaffen lebendige Bilder aus bunten geometrischen Formen. Straßenschilder, Autos und Produktverpackungen nutzen alle geometrischen Eigenschaften. In diesem Modul betrachten wir zunächst einen formalen Ansatz zur Lösung von Problemen und verwenden ihn, um eine Vielzahl allgemeiner Probleme zu lösen, einschließlich der Entscheidungsfindung in Bezug auf Geld. Anschließend werden wir die Geometrie erforschen und mit der von uns entwickelten Problemlösungsstrategie auf Alltagssituationen beziehen.

      Lernerfolge

      Am Ende dieses Abschnitts können Sie:

      • Verwenden Sie die Eigenschaften von Winkeln
      • Nutze die Eigenschaften von Dreiecken
      • Verwenden Sie den Satz des Pythagoras

      Bevor Sie mit diesem Modul beginnen, probieren Sie einige Übungsaufgaben aus und wiederholen Sie frühere Konzepte.


      9.3 Verwenden von Eigenschaften von Winkeln, Dreiecken und dem Satz des Pythagoras

      Bisher haben wir uns in diesem Kapitel auf die Lösung von Textaufgaben konzentriert, die vielen realen Anwendungen der Algebra ähneln. In den nächsten Abschnitten werden wir unsere Problemlösungsstrategien auf einige gängige Geometrieprobleme anwenden.

      Verwenden Sie die Eigenschaften von Winkeln

      Ein Winkel wird durch zwei Strahlen gebildet, die einen gemeinsamen Endpunkt haben. Jeder Strahl wird als Seite des Winkels bezeichnet und der gemeinsame Endpunkt wird als Scheitelpunkt bezeichnet. Ein Winkel wird durch seinen Scheitelpunkt benannt. In Abbildung 9.6 ist ∠ A ∠ A der Winkel mit dem Scheitelpunkt im Punkt A . A . Das Maß von ∠ A ∠ A wird m ∠ A geschrieben. m ∠ A .

      Wenn die Summe der Maße zweier Winkel 180°, 180° beträgt, dann werden sie Ergänzungswinkel genannt. In Abbildung 9.7 ist jedes Winkelpaar ergänzend, da sich ihre Maße zu 180° addieren. 180°. Jeder Winkel ist der Ergänzung des anderen.

      Wenn die Summe der Maße zweier Winkel 90°, 90° beträgt, dann sind die Winkel komplementäre Winkel. In Abbildung 9.8 ist jedes Winkelpaar komplementär, weil sich ihre Maße zu 90° addieren. 90° . Jeder Winkel ist der ergänzen des anderen.

      Ergänzende und komplementäre Winkel

      Wenn die Summe der Maße zweier Winkel 180° , 180° beträgt, dann sind die Winkel ergänzend.

      Wenn die Summe der Maße zweier Winkel 90° , 90° beträgt, dann sind die Winkel komplementär.

      In diesem und im nächsten Abschnitt werden Ihnen einige gängige Geometrieformeln vorgestellt. Wir werden unsere Problemlösungsstrategie für Geometrieanwendungen anpassen. Die Geometrieformel benennt die Variablen und gibt uns die zu lösende Gleichung.

      Da diese Anwendungen alle geometrische Formen beinhalten, ist es außerdem hilfreich, eine Figur zu zeichnen und sie dann mit den Informationen aus dem Problem zu beschriften. Wir werden diesen Schritt in die Problemlösungsstrategie für Geometrieanwendungen aufnehmen.

      Wie man

      Verwenden Sie eine Problemlösungsstrategie für Geometrieanwendungen.

      1. Schritt 1. Lesen das Problem und stellen Sie sicher, dass Sie alle Wörter und Ideen verstehen. Zeichne eine Figur und beschrifte sie mit den gegebenen Informationen.
      2. Schritt 2. Identifizieren Wonach suchen Sie.
      3. Schritt 3. Name wonach Sie suchen, und wählen Sie eine Variable aus, um sie darzustellen.
      4. Schritt 4. Übersetzen in eine Gleichung umwandeln, indem Sie die entsprechende Formel oder das entsprechende Modell für die Situation schreiben. Ersetzen Sie die angegebenen Informationen.
      5. Schritt 5. Lösen die Gleichung mit guten Algebra-Techniken.
      6. Schritt 6. Prüfen die Antwort im Problem und stellen Sie sicher, dass es Sinn macht.
      7. Schritt 7. Antworten die Frage mit einem vollständigen Satz.

      Das nächste Beispiel zeigt, wie Sie die Problemlösungsstrategie für Geometrieanwendungen verwenden können, um Fragen zu ergänzenden und komplementären Winkeln zu beantworten.

      Beispiel 9.16

      Lösung

      Schritt 1. Lesen das Problem. Zeichne die Figur und beschrifte sie mit den gegebenen Informationen.
      Schritt 2. Identifizieren Wonach suchen Sie.
      Schritt 3. Name. Wählen Sie eine Variable aus, um sie darzustellen.
      Schritt 4. Übersetzen.
      Schreiben Sie die passende Formel für die Situation und setzen Sie die gegebenen Informationen ein.


      Schritt 5. Lösen Die gleichung.
      Schritt 6. Prüfen:

      Schritt 7. Antworten die Frage.
      Schritt 1. Lesen das Problem. Zeichne die Figur und beschrifte sie mit den gegebenen Informationen.
      Schritt 2. Identifizieren Wonach suchen Sie.
      Schritt 3. Name. Wählen Sie eine Variable aus, um sie darzustellen.
      Schritt 4. Übersetzen.
      Schreiben Sie die passende Formel für die Situation und setzen Sie die gegebenen Informationen ein.

      Schritt 5. Lösen Die gleichung.
      Schritt 6. Prüfen:

      Schritt 7. Antworten die Frage.

      Ist Ihnen aufgefallen, dass die Wörter komplementär und ergänzend alphabetisch geordnet sind, genau wie 90 90 und 180 180 in numerischer Reihenfolge?

      Beispiel 9.17

      Lösung

      Schritt 1. Lesen das Problem. Zeichne die Figur und beschrifte sie mit den gegebenen Informationen.
      Schritt 2. Identifizieren Wonach suchen Sie.
      Schritt 3. Name. Wählen Sie eine Variable aus, um sie darzustellen.
      Der größere Winkel beträgt 30° mehr als der kleinere.

      Schritt 4. Übersetzen.
      Schreiben Sie die passende Formel und ersetzen Sie sie.

      Schritt 5. Lösen Die gleichung.





      Schritt 6. Prüfen:


      Schritt 7. Antworten die Frage.

      Verwenden Sie die Eigenschaften von Dreiecken

      Was wissen Sie schon über Dreiecke? Dreieck hat drei Seiten und drei Winkel. Dreiecke werden nach ihren Ecken benannt. Das Dreieck in Abbildung 9.9 heißt Δ A B C , Δ A B C , gelesen „Dreieck ABC ABC“. Wir beschriften jede Seite mit einem Kleinbuchstaben, der dem Großbuchstaben des gegenüberliegenden Scheitelpunkts entspricht.

      Die drei Winkel eines Dreiecks hängen auf besondere Weise zusammen. Die Summe ihrer Maße beträgt 180°. 180°.

      Summe der Maße der Winkel eines Dreiecks

      Beispiel 9.18

      Die Maße von zwei Winkeln eines Dreiecks sind 55° 55° und 82° . 82° . Finden Sie das Maß des dritten Winkels.

      Lösung

      Schritt 1. Lesen das Problem. Zeichne die Figur und beschrifte sie mit den gegebenen Informationen.
      Schritt 2. Identifizieren Wonach suchen Sie.
      Schritt 3. Name. Wählen Sie eine Variable aus, um sie darzustellen.
      Schritt 4. Übersetzen.
      Schreiben Sie die passende Formel und ersetzen Sie sie.

      Schritt 5. Lösen Die gleichung.

      Schritt 6. Prüfen:

      Schritt 7. Antworten die Frage.

      Die Maße von zwei Winkeln eines Dreiecks sind 31° 31° und 128°. 128° . Finden Sie das Maß des dritten Winkels.

      Rechte Dreiecke

      Einige Dreiecke haben spezielle Namen. Wir betrachten zuerst das rechtwinklige Dreieck. Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen 90°-90°-Winkel, der oft mit dem in Abbildung 9.10 gezeigten Symbol gekennzeichnet ist.

      Beispiel 9.19

      Ein Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks misst 28°. 28°. Wie groß ist der dritte Winkel?

      Lösung

      Schritt 1. Lesen das Problem. Zeichne die Figur und beschrifte sie mit den gegebenen Informationen.
      Schritt 2. Identifizieren Wonach suchen Sie.
      Schritt 3. Name. Wählen Sie eine Variable aus, um sie darzustellen.
      Schritt 4. Übersetzen.
      Schreiben Sie die passende Formel und ersetzen Sie sie.

      Schritt 5. Lösen Die gleichung.

      Schritt 6. Prüfen:

      Schritt 7. Antworten die Frage.

      Probieren Sie es aus 9.37

      Ein Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks misst 56°. 56° . Was ist das Maß des anderen Winkels?

      Probieren Sie es aus 9.38

      Ein Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks misst 45°. 45° . Was ist das Maß des anderen Winkels?

      In den bisherigen Beispielen konnten wir direkt nach dem Lesen des Problems eine Figur zeichnen und beschriften. Im nächsten Beispiel müssen wir einen Winkel in Bezug auf einen anderen definieren. Wir warten also mit dem Zeichnen der Figur, bis wir Ausdrücke für alle Winkel geschrieben haben, nach denen wir suchen.

      Beispiel 9.20

      Lösung

      Schritt 1. Lesen das Problem.
      Schritt 2. Identifizieren Wonach suchen Sie. die Maße aller drei Winkel
      Schritt 3. Name. Wählen Sie eine Variable aus, um sie darzustellen.


      Zeichnen Sie nun die Figur und beschriften Sie sie mit den angegebenen Informationen.



      Schritt 4. Übersetzen.
      Schreibe die passende Formel und setze sie in die Formel ein.

      Schritt 5. Lösen Die gleichung.





      Schritt 6. Prüfen:

      Schritt 7. Antworten die Frage.

      Probieren Sie es aus 9.39

      Probieren Sie es aus 9.40

      Ähnliche Dreiecke

      Wenn wir eine Karte verwenden, um eine Reise zu planen, eine Skizze, um ein Bücherregal zu bauen, oder ein Muster, um ein Kleid zu nähen, arbeiten wir mit ähnlichen Figuren. Wenn zwei Figuren in der Geometrie genau die gleiche Form, aber unterschiedliche Größen haben, sagen wir, dass es sich um ähnliche Figuren handelt. Das eine ist ein maßstabsgetreues Modell des anderen. Die entsprechenden Seiten der beiden Figuren haben das gleiche Verhältnis und alle ihre entsprechenden Winkel haben die gleichen Maße.

      Eigenschaften ähnlicher Dreiecke

      Wenn zwei Dreiecke ähnlich sind, dann sind ihre entsprechenden Winkelmaße gleich und ihre entsprechenden Seitenlängen stehen im gleichen Verhältnis.

      Die Länge einer Seite eines Dreiecks kann durch ihre Endpunkte, zwei Eckpunkte des Dreiecks, bezeichnet werden. Zum Beispiel in Δ A B C : Δ A B C :

      die Länge a kann auch geschrieben werden B C die Länge b kann auch geschrieben werden A C die Länge c kann auch geschrieben werden A B die Länge a kann auch geschrieben werden B C die Länge b kann auch geschrieben werden A C die Länge c kann auch geschrieben werden A B

      Wir werden diese Notation oft verwenden, wenn wir ähnliche Dreiecke lösen, weil sie uns hilft, die entsprechenden Seitenlängen zuzuordnen.

      Beispiel 9.21

      Lösung

      Schritt 1. Lesen das Problem. Zeichne die Figur und beschrifte sie mit den gegebenen Informationen. Die Figur wird zur Verfügung gestellt.
      Schritt 2. Identifizieren Wonach suchen Sie. Die Länge der Seiten ähnlicher Dreiecke
      Schritt 3. Name. Wählen Sie eine Variable aus, um sie darzustellen. Lassen
      ein = Länge der dritten Seite von Δ A B C Δ A B C
      ja = Länge der dritten Seite Δ X Y Z Δ X Y Z
      Schritt 4. Übersetzen.
      Die Dreiecke sind ähnlich, also stehen die entsprechenden Seiten im gleichen Verhältnis. So

      Probieren Sie es aus 9.41

      Probieren Sie es aus 9.42

      Verwenden Sie den Satz des Pythagoras

      Der Satz des Pythagoras ist eine spezielle Eigenschaft rechtwinkliger Dreiecke, die seit der Antike verwendet wird. Es ist nach dem griechischen Philosophen und Mathematiker Pythagoras benannt, der um 500 bis 500 v. Chr. lebte.

      Der Satz des Pythagoras sagt, wie sich die Längen der drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zueinander verhalten. Es besagt, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der beiden Schenkel gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist.

      Der Satz des Pythagoras

      In jedem rechtwinkligen Dreieck Δ A B C , Δ A B C ,

      Um Probleme mit dem Satz des Pythagoras zu lösen, müssen wir Quadratwurzeln finden. In Simplify and Use Square Roots haben wir die Notation m m eingeführt und so definiert:

      Zum Beispiel haben wir festgestellt, dass 25 25 5 5 ist, weil 5 2 = 25 . 5 2 = 25 .

      Wir verwenden diese Definition von Quadratwurzeln, um nach der Länge einer Seite in einem rechtwinkligen Dreieck aufzulösen.

      Beispiel 9.22

      Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die Länge der Hypotenuse zu bestimmen.

      Lösung

      Schritt 1. Lesen das Problem.
      Schritt 2. Identifizieren Wonach suchen Sie. die Länge der Hypotenuse des Dreiecks
      Schritt 3. Name. Wählen Sie eine Variable aus, um sie darzustellen. Sei c = die Länge der Hypotenuse c = die Länge der Hypotenuse
      Schritt 4. Übersetzen.
      Schreiben Sie die passende Formel.
      Ersatz.

      Schritt 5. Lösen Die gleichung.
      Schritt 6. Prüfen:
      Schritt 7. Antworten die Frage. Die Länge der Hypotenuse beträgt 5.

      Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die Länge der Hypotenuse zu bestimmen.

      Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die Länge der Hypotenuse zu bestimmen.

      Beispiel 9.23

      Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die Länge des längeren Beins zu finden.

      Lösung

      Schritt 1. Lesen das Problem.
      Schritt 2. Identifizieren Wonach suchen Sie. Die Länge des Dreiecksschenkels
      Schritt 3. Name. Wählen Sie eine Variable aus, um sie darzustellen. Sei b = der Schenkel des Dreiecks b = der Schenkel des Dreiecks
      Etikettenseite B
      Schritt 4. Übersetzen.
      Schreiben Sie die passende Formel. Ersatz.
      Schritt 5. Lösen Die gleichung. Isolieren Sie den Variablenterm. Verwenden Sie die Definition der Quadratwurzel.
      Vereinfachen.
      Schritt 6. Prüfen:
      Schritt 7. Antworten die Frage. Die Beinlänge beträgt 12.

      Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die Länge des Beins zu bestimmen.

      Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die Länge des Beins zu bestimmen.

      Beispiel 9.24

      Lösung

      Schritt 1. Lesen das Problem.
      Schritt 2. Identifizieren Wonach suchen Sie. der Abstand von der Ecke, an dem die Halterung befestigt werden soll
      Schritt 3. Name. Wählen Sie eine Variable aus, um sie darzustellen. Lassen x = der Abstand von der Ecke
      Schritt 4. Übersetzen.
      Schreiben Sie die passende Formel.
      Ersatz.

      Schritt 5. Lösen Die gleichung.
      Isolieren Sie die Variable.
      Verwenden Sie die Definition der Quadratwurzel.
      Vereinfachen. Ungefähr auf das nächste Zehntel.
      Schritt 6. Prüfen:

      Jawohl.
      Schritt 7. Antworten die Frage. Kelvin sollte jedes Holzstück ungefähr 7,1" von der Ecke entfernt befestigen.

      Medien

      ZUGRIFF AUF ZUSÄTZLICHE ONLINE-RESSOURCEN

      Abschnitt 9.3 Übungen

      Übung macht den Meister

      Verwenden Sie die Eigenschaften von Winkeln

      Finden Sie in den folgenden Übungen ⓐ die Ergänzung und ⓑ die Ergänzung des gegebenen Winkels.

      Verwenden Sie in den folgenden Übungen die Eigenschaften von Winkeln zum Lösen.

      Finden Sie die Ergänzung eines 135° 135° Winkels.

      Finden Sie das Komplement eines 38° 38° Winkels.

      Finden Sie das Komplement eines 27,5° 27,5° Winkels.

      Finden Sie die Ergänzung eines 109,5° 109,5° Winkels.

      Verwenden Sie die Eigenschaften von Dreiecken

      Lösen Sie in den folgenden Übungen mithilfe der Eigenschaften von Dreiecken.

      Die Maße von zwei Winkeln eines Dreiecks sind 26° 26° und 98°. 98° . Finden Sie das Maß des dritten Winkels.

      Die Maße von zwei Winkeln eines Dreiecks sind 61° 61° und 84° . 84° . Finden Sie das Maß des dritten Winkels.

      Die Maße von zwei Winkeln eines Dreiecks sind 105° 105° und 31° . 31° . Finden Sie das Maß des dritten Winkels.

      Die Maße von zwei Winkeln eines Dreiecks sind 47° 47° und 72° . 72° . Finden Sie das Maß des dritten Winkels.

      Ein Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks misst 33°. 33° . Was ist das Maß des anderen Winkels?

      Ein Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks misst 51°. 51° . Was ist das Maß des anderen Winkels?

      Ein Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks misst 22,5°. 22,5 ° . Was ist das Maß des anderen Winkels?

      Ein Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks misst 36,5°. 36,5°. Was ist das Maß des anderen Winkels?

      Die beiden kleineren Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks haben gleiche Maße. Finden Sie die Maße aller drei Winkel.

      Die Winkel in einem Dreieck sind so, dass das Maß eines Winkels das Doppelte des kleinsten Winkels ist, während das Maß des dritten Winkels das Dreifache des kleinsten Winkels beträgt. Finden Sie die Maße aller drei Winkel.

      Finden Sie die Länge der fehlenden Seite

      Auf einer Karte bilden San Francisco, Las Vegas und Los Angeles ein Dreieck, dessen Seiten in der folgenden Abbildung dargestellt sind. Die tatsächliche Entfernung von Los Angeles nach Las Vegas beträgt 270 270 Meilen.

      Finden Sie die Entfernung von Los Angeles nach San Francisco.

      Finden Sie die Entfernung von San Francisco nach Las Vegas.

      Verwenden Sie den Satz des Pythagoras

      Verwenden Sie in den folgenden Übungen den Satz des Pythagoras, um die Länge der Hypotenuse zu bestimmen.

      Find the Length of the Missing Side

      In the following exercises, use the Pythagorean Theorem to find the length of the missing side. Round to the nearest tenth, if necessary.

      In the following exercises, solve. Approximate to the nearest tenth, if necessary.

      Pam wants to put a banner across her garage door to congratulate her son on his college graduation. The garage door is 12 12 feet high and 16 16 feet wide. How long should the banner be to fit the garage door?

      Chi is planning to put a path of paving stones through her flower garden. The flower garden is a square with sides of 10 10 feet. What will the length of the path be?

      Mathe im Alltag

      Building a scale model Joe wants to build a doll house for his daughter. He wants the doll house to look just like his house. His house is 30 30 feet wide and 35 35 feet tall at the highest point of the roof. If the dollhouse will be 2.5 2.5 feet wide, how tall will its highest point be?

      Schreibübungen

      Write three of the properties of triangles from this section and then explain each in your own words.

      Explain how the figure below illustrates the Pythagorean Theorem for a triangle with legs of length 3 3 and 4 . 4 .

      Selbstüberprüfung

      ⓐ Verwenden Sie nach Abschluss der Übungen diese Checkliste, um Ihre Beherrschung der Ziele dieses Abschnitts zu bewerten.

      ⓑ What does this checklist tell you about your mastery of this section? What steps will you take to improve?

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        • Autoren: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
        • Publisher/website: OpenStax
        • Buchtitel: Präalgebra 2e
        • Erscheinungsdatum: 11.03.2020
        • Location: Houston, Texas
        • Buch-URL: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
        • Section URL: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem

        © Jan 21, 2021 OpenStax. Textbook content produced by OpenStax is licensed under a Creative Commons Attribution License 4.0 license. The OpenStax name, OpenStax logo, OpenStax book covers, OpenStax CNX name, and OpenStax CNX logo are not subject to the Creative Commons license and may not be reproduced without the prior and express written consent of Rice University.


        9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids

        In this section, we’ll continue working with geometry applications. We will add some more properties of triangles, and we’ll learn about the properties of rectangles and trapezoids.

        Understand Linear, Square, and Cubic Measure

        When you measure your height or the length of a garden hose, you use a ruler or tape measure (Figure 9.13). A tape measure might remind you of a line—you use it for linear measure , which measures length. Inch, foot, yard, mile, centimeter and meter are units of linear measure.

        When you want to know how much tile is needed to cover a floor, or the size of a wall to be painted, you need to know the area , a measure of the region needed to cover a surface. Area is measured is square units . We often use square inches, square feet, square centimeters, or square miles to measure area. A square centimeter is a square that is one centimeter (cm) on each side. A square inch is a square that is one inch on each side (Figure 9.14).

        When you measure how much it takes to fill a container, such as the amount of gasoline that can fit in a tank, or the amount of medicine in a syringe, you are measuring volume . Volume is measured in cubic units such as cubic inches or cubic centimeters. When measuring the volume of a rectangular solid, you measure how many cubes fill the container. We often use cubic centimeters, cubic inches, and cubic feet. A cubic centimeter is a cube that measures one centimeter on each side, while a cubic inch is a cube that measures one inch on each side (Figure 9.16).

        Manipulative Mathematics

        Example 9.25

        For each item, state whether you would use linear, square, or cubic measure:

        ⓐ amount of carpeting needed in a room

        ⓒ amount of sand in a sandbox

        ⓔ amount of flour in a canister

        ⓕ size of the roof of a doghouse.

        Lösung

        ⓐ You are measuring how much surface the carpet covers, which is the area. square measure
        ⓑ You are measuring how long the extension cord is, which is the length. linear measure
        ⓒ You are measuring the volume of the sand. cubic measure
        ⓓ You are measuring the length of the curtain rod. linear measure
        ⓔ You are measuring the volume of the flour. cubic measure
        ⓕ You are measuring the area of the roof. square measure

        Determine whether you would use linear, square, or cubic measure for each item.

        ⓐ amount of paint in a can ⓑ height of a tree ⓒ floor of your bedroom ⓓ diameter of bike wheel ⓔ size of a piece of sod ⓕ amount of water in a swimming pool

        Determine whether you would use linear, square, or cubic measure for each item.

        ⓐ volume of a packing box ⓑ size of patio ⓒ amount of medicine in a syringe ⓓ length of a piece of yarn ⓔ size of housing lot ⓕ height of a flagpole

        Many geometry applications will involve finding the perimeter or the area of a figure. There are also many applications of perimeter and area in everyday life, so it is important to make sure you understand what they each mean.

        Picture a room that needs new floor tiles. The tiles come in squares that are a foot on each side—one square foot. How many of those squares are needed to cover the floor? This is the area of the floor.

        Next, think about putting new baseboard around the room, once the tiles have been laid. To figure out how many strips are needed, you must know the distance around the room. You would use a tape measure to measure the number of feet around the room. This distance is the perimeter.


        Calculating Distances

        One of the most important application of Pythagoras’ Theorem is for calculating distances.

        On the right you can see two points in a coordinate system. We could measure their distance using a ruler, but that is not particularly accurate. Instead, let’s try using Pythagoras. Weitermachen

        We can easily count the horizontal distance along the x-axis, and the vertical distance along the ja-Achse. If we draw those two lines, we get a right-angled triangle .

        This method works for any two points:

        The Distance Formula
        If you are given two points with coordinates ( x 1 , y 1 ) and ( x 2 , y 2 ), the distance between them is


        9.4: Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (Part 1)

        Before you get started, take this readiness quiz.

        So far in this chapter, we have focused on solving word problems, which are similar to many real-world applications of algebra. In the next few sections, we will apply our problem-solving strategies to some common geometry problems.

        An angle is formed by two rays that share a common endpoint. Each ray is called a side of the angle and the common endpoint is called the vertex . An angle is named by its vertex. In [link], ∠ A ∠ A is the angle with vertex at point A . A . The measure of ∠ A ∠ A is written m ∠ A . m ∠ A .

        If the sum of the measures of two angles is 180° , 180° , then they are called supplementary angles . In [link], each pair of angles is supplementary because their measures add to 180° . 180° . Each angle is the supplement of the other.

        The sum of the measures of supplementary angles is 180° . 180° .

        If the sum of the measures of two angles is 90° , 90° , then the angles are complementary angles . In [link], each pair of angles is complementary, because their measures add to 90° . 90° . Each angle is the complement of the other.

        The sum of the measures of complementary angles is 90° . 90° .

        If the sum of the measures of two angles is 180° , 180° , then the angles are supplementary.

        In this section and the next, you will be introduced to some common geometry formulas. We will adapt our Problem Solving Strategy for Geometry Applications. The geometry formula will name the variables and give us the equation to solve.

        In addition, since these applications will all involve geometric shapes, it will be helpful to draw a figure and then label it with the information from the problem. We will include this step in the Problem Solving Strategy for Geometry Applications.

        Problem Solving Strategy for Geometry Applications.

        Schritt 1. Lesen the problem and make sure you understand all the words and ideas. Draw a figure and label it with the given information.

        Schritt 2. Identifizieren what you are looking for.

        Schritt 3. Name what you are looking for and choose a variable to represent it.

        Schritt 4. Translate into an equation by writing the appropriate formula or model for the situation. Substitute in the given information.

        Schritt 5. Solve the equation using good algebra techniques.

        Schritt 6. Prüfen the answer in the problem and make sure it makes sense.

        Schritt 7. Antworten the question with a complete sentence.

        The next example will show how you can use the Problem Solving Strategy for Geometry Applications to answer questions about supplementary and complementary angles.

        (b) We’ll find the complement in much the same way.

        Did you notice that the words complementary and supplementary are in alphabetical order just like 90 90 and 180 180 are in numerical order?

        What do you already know about triangles? Triangle have three sides and three angles. Triangles are named by their vertices. The triangle in [link] is called Δ A B C , Δ A B C , read ‘triangle ABC ABC ’. We label each side with a lower case letter to match the upper case letter of the opposite vertex.

        The three angles of a triangle are related in a special way. The sum of their measures is 180° . 180° .

        Right Triangles

        Some triangles have special names. We will look first at the right triangle . A right triangle has one 90° 90° angle, which is often marked with the symbol shown in [link].

        In the examples so far, we could draw a figure and label it directly after reading the problem. In the next example, we will have to define one angle in terms of another. So we will wait to draw the figure until we write expressions for all the angles we are looking for.

        Similar Triangles

        When we use a map to plan a trip, a sketch to build a bookcase, or a pattern to sew a dress, we are working with similar figures. In geometry, if two figures have exactly the same shape but different sizes, we say they are similar figures . One is a scale model of the other. The corresponding sides of the two figures have the same ratio, and all their corresponding angles are have the same measures.

        The length of a side of a triangle may be referred to by its endpoints, two vertices of the triangle. For example, in Δ A B C : Δ A B C :

        the length a can also be written B C the length b can also be written A C the length c can also be written A B the length a can also be written B C the length b can also be written A C the length c can also be written A B

        We will often use this notation when we solve similar triangles because it will help us match up the corresponding side lengths.

        Schritt 1. Lesen Sie das Problem. Draw the The figure is already provided. figure and label it with the given information. Schritt 2. Identifizieren Sie, wonach Sie suchen. the length of the sides of similar triangles Step 3. Name. Choose a variable to Let a = length of the third side of Δ A B C represent it. y = length of the third side of Δ X Y Z Step 4. Translate. The triangles are similar, so the corresponding sides are in the same ratio. A B X Y = B C Y Z = A C X Z Since the side A B = 4 corresponds to the side X Y = 3 we will use the ratio A B X Y = 4 3 to find the other sides. Be careful to match up corresponding sides correctly. To find a : To find y : Sides of large triangle A B X Y = B C Y Z A B X Y = A C X Z Sides of small triangle 4 3 = a 4.5 4 3 = 3.2 y Substitute. Step 5. Solve the equation. 3 a = 4 ( 4.5 ) 4 y = 3 ( 3.2 ) 3 a = 18 4 y = 9.6 a = 6 y = 2.4 Step 6. Check. 4 3 = ? 6 4.5 4 3 = ? 3.2 2.4 4 ( 4.5 ) = ? 6 ( 3 ) 4 ( 2.4 ) = ? 3.2 ( 3 ) 18 = 18 ✓ 9.6 = 9.6 ✓ Step 7. Answer the question. The third side of Δ A B C is 6 and the third side of Δ X Y Z is 2.4 . Schritt 1. Lesen Sie das Problem. Draw the The figure is already provided. figure and label it with the given information. Schritt 2. Identifizieren Sie, wonach Sie suchen. the length of the sides of similar triangles Step 3. Name. Choose a variable to Let a = length of the third side of Δ A B C represent it. y = length of the third side of Δ X Y Z Step 4. Translate. The triangles are similar, so the corresponding sides are in the same ratio. A B X Y = B C Y Z = A C X Z Since the side A B = 4 corresponds to the side X Y = 3 we will use the ratio A B X Y = 4 3 to find the other sides. Be careful to match up corresponding sides correctly. To find a : To find y : Sides of large triangle A B X Y = B C Y Z A B X Y = A C X Z Sides of small triangle 4 3 = a 4.5 4 3 = 3.2 y Substitute. Step 5. Solve the equation. 3 a = 4 ( 4.5 ) 4 y = 3 ( 3.2 ) 3 a = 18 4 y = 9.6 a = 6 y = 2.4 Step 6. Check. 4 3 = ? 6 4.5 4 3 = ? 3.2 2.4 4 ( 4.5 ) = ? 6 ( 3 ) 4 ( 2.4 ) = ? 3.2 ( 3 ) 18 = 18 ✓ 9.6 = 9.6 ✓ Step 7. Answer the question. The third side of Δ A B C is 6 and the third side of Δ X Y Z is 2.4 .

        Use the Pythagorean Theorem

        The Pythagorean Theorem is a special property of right triangles that has been used since ancient times. It is named after the Greek philosopher and mathematician Pythagoras who lived around 500 500 BCE.

        In a right triangle, the side opposite the 90° 90° angle is called the hypotenuse and each of the other sides is called a leg.

        The Pythagorean Theorem tells how the lengths of the three sides of a right triangle relate to each other. It states that in any right triangle, the sum of the squares of the two legs equals the square of the hypotenuse.

        In any right triangle Δ A B C , Δ A B C ,

        To solve problems that use the Pythagorean Theorem, we will need to find square roots. In Simplify and Use Square Roots we introduced the notation m m and defined it in this way:

        For example, we found that 25 25 is 5 5 because 5 2 = 25 . 5 2 = 25 .

        We will use this definition of square roots to solve for the length of a side in a right triangle.

        Use the Pythagorean Theorem to find the length of the hypotenuse.

        Use the Pythagorean Theorem to find the length of the hypotenuse.

        Use the Pythagorean Theorem to find the length of the hypotenuse.

        Use the Pythagorean Theorem to find the length of the longer leg.

        Use the Pythagorean Theorem to find the length of the leg.

        Use the Pythagorean Theorem to find the length of the leg.

        We encourage you to go to Appendix B to take the Self Check for this section.

        Access the following online resources for additional instruction and practice with the properties of angles and triangles.

        Schlüssel Konzepte

        • If two angles are supplementary, the sum of their measures is 180° 180° if two angles are complementary, the sum of their measures is 90° . 90° . See [link].
        • The sum of the measures of the angles of a triangle is 180° . 180° . See [link].
        • A right triangle is a triangle that has one 90° 90° angle. See [link].
        • If two triangles are similar, their corresponding sides have the same ratio, and the corresponding angles have the same measure. See [link].
        • In a right triangle, with legs a a and b b and hypotenuse c , a 2 + b 2 = c 2 . c , a 2 + b 2 = c 2 . This property is called the Pythagorean Theorem. See [link].

        Übung macht den Meister

        Use the Properties of Angles In the following exercises, find (a) the supplement and (b) the complement of the given angle.


        Vocabulary

        Term Definition
        Acute Triangle An acute triangle has three angles that each measure less than 90 degrees.
        Obtuse Triangle An obtuse triangle is a triangle with one angle that is greater than 90 degrees.
        Right Triangle A right triangle is a triangle with one 90 degree angle.


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