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8: Lineare Gleichungen lösen - Mathematik


Dieses erstaunliche Mobile schwebt hoch über dem Boden und bleibt dank seiner sorgfältig ausbalancierten Masse in der Luft. Jede Verschiebung in eine der beiden Richtungen könnte dazu führen, dass das Mobiltelefon schief wird oder sogar nach unten stürzt. In diesem Kapitel werden wir Gleichungen lösen, indem wir Größen auf beiden Seiten eines Gleichheitszeichens in perfekter Balance halten.

  • 8.1: Gleichungen mit den Subtraktions- und Additionseigenschaften der Gleichheit lösen (Teil 1)
    Der Zweck beim Lösen einer Gleichung besteht darin, den Wert oder die Werte der Variablen zu finden, die jede Seite der Gleichung gleich machen. Jeder Wert der Variablen, der die Gleichung wahr macht, wird als Lösung der Gleichung bezeichnet. Wir können die Subtraktions- und Additionseigenschaften von Gleichheit verwenden, um Gleichungen zu lösen, indem wir die Variable auf einer Seite der Gleichung isolieren. Normalerweise müssen wir eine oder beide Seiten einer Gleichung vereinfachen, bevor wir die Subtraktions- oder Additionseigenschaften von Gleichheit verwenden.
  • 8.2: Gleichungen mit den Subtraktions- und Additionseigenschaften der Gleichheit lösen (Teil 2)
    Bei den meisten der zuvor gelösten Anwendungsprobleme konnten wir die gesuchte Größe durch Vereinfachung eines algebraischen Ausdrucks finden. Jetzt werden wir Gleichungen verwenden, um Anwendungsprobleme zu lösen. Wir beginnen damit, das Problem in nur einem Satz neu zu formulieren, eine Variable zuzuweisen und dann den Satz in eine zu lösende Gleichung zu übersetzen. Wählen Sie beim Zuweisen einer Variablen einen Buchstaben, der Sie daran erinnert, wonach Sie suchen.
  • 8.3: Gleichungen mit den Divisions- und Multiplikationseigenschaften der Gleichung lösen
    Wir können auch die Divisions- und Multiplikationseigenschaften von Gleichheit verwenden, um Gleichungen zu lösen, indem wir die Variable auf einer Seite der Gleichung isolieren. Das Ziel der Verwendung der Divisions- und Multiplikationseigenschaften von Gleichheit besteht darin, die Operation an der Variablen "rückgängig zu machen". Normalerweise müssen wir eine oder beide Seiten einer Gleichung vereinfachen, bevor wir die Divisions- oder Multiplikationseigenschaften von Gleichheit verwenden.
  • 8.4: Gleichungen mit Variablen und Konstanten auf beiden Seiten lösen (Teil 1)
    Sie haben vielleicht bemerkt, dass in allen Gleichungen, die wir bisher gelöst haben, alle variablen Terme nur auf einer Seite der Gleichung standen und die Konstanten auf der anderen Seite. Dies passiert nicht immer – also werden wir jetzt sehen, wie man Gleichungen löst, bei denen die variablen Terme und/oder konstante Terme auf beiden Seiten der Gleichung stehen.
  • 8.5: Gleichungen mit Variablen und Konstanten auf beiden Seiten lösen (Teil 2)
    Jeder der ersten Abschnitte dieses Kapitels befasste sich mit der Lösung einer bestimmten Form einer linearen Gleichung. Es ist jetzt an der Zeit, eine Gesamtstrategie zu entwickeln, mit der jede lineare Gleichung gelöst werden kann. Wir nennen dies die allgemeine Strategie. Einige Gleichungen erfordern nicht alle Schritte zum Lösen, aber viele werden es tun. Wenn Sie zuerst jede Seite der Gleichung so weit wie möglich vereinfachen, werden die restlichen Schritte einfacher.
  • 8.6: Gleichungen mit Bruch- oder Dezimalkoeffizienten lösen
    Die allgemeine Strategie zum Lösen linearer Gleichungen kann verwendet werden, um nach Gleichungen mit Bruch- oder Dezimalkoeffizienten zu lösen. Das Löschen der Bruchgleichung wendet die Multiplikationseigenschaft der Gleichheit an, indem beide Seiten der Gleichung mit der LCD aller Brüche in der Gleichung multipliziert werden. Das Ergebnis dieser Operation ist eine neue Gleichung, die der ersten äquivalent ist, jedoch ohne Brüche. Wenn wir eine Gleichung mit Dezimalzahlen haben, können wir den gleichen Prozess verwenden, den wir zum Löschen von Brüchen verwendet haben.
  • 8.E: Lineare Gleichungen lösen (Übungen)
  • 8.S: Lineare Gleichungen lösen (Zusammenfassung)

Abbildung 8.1 – Ein Calder-Handy ist ausbalanciert und hat auf jeder Seite mehrere Elemente. (Kredit: Paurian, Flickr)


Die Geometrie linearer Gleichungen

Eine Hauptanwendung der Linearen Algebra ist das Lösen von linearen Gleichungssystemen. In diesem Vortrag werden drei Denkweisen über diese Systeme vorgestellt. Die "Reihenmethode" konzentriert sich auf die einzelnen Gleichungen, die "Spaltenmethode" konzentriert sich auf die Kombination der Spalten und die "Matrixmethode" ist eine noch kompaktere und leistungsfähigere Art, lineare Gleichungssysteme zu beschreiben.

Ausschnitt aus Abb. 2.2 aus dem Lehrbuch Einführung in die Lineare Algebra.


Lineare Gleichungen lösen

Diese Lektion ist Teil einer Reihe von Lektionen für den Abschnitt zum quantitativen Denken des überarbeiteten Allgemeinen GRE-Tests. In dieser Lektion lernen wir:

  • Äquivalente Gleichungen
  • Lineare Gleichungen lösen
  • Isolieren Sie die Variablen
    • Beispiele mit Einzelschritt
    • Beispiele mit mehreren Schritten
    • Beispiele für das Kombinieren ähnlicher Begriffe
    • Beispiele für die Verwendung von Verteilungseigenschaften

    Äquivalente Gleichungen

    Eine Gleichung zu lösen bedeutet, die Werte der Variablen zu finden, die die Gleichung wahr machen, dh die Werte, die die Gleichung erfüllen.

    Äquivalente Gleichungen sind Gleichungen, die dieselbe Lösung haben.

    Zum Beispiel 2x + 3 = 11 und 2x = 11 &minus 3 und sind äquivalente Gleichungen beide sind wahr, wenn x = 4 und sind ansonsten falsch. Die allgemeine Methode zum Lösen einer Gleichung besteht darin, sukzessive einfachere äquivalente Gleichungen zu finden, so dass die einfachste äquivalente Gleichung die Lösungen offensichtlich macht.

    Die folgenden Regeln sind wichtig, um äquivalente Gleichungen zu erstellen.
    &bull Wenn dieselbe Konstante zu beiden Seiten einer Gleichung hinzugefügt oder von ihnen abgezogen wird, bleibt die Gleichheit erhalten und die neue Gleichung entspricht der ursprünglichen Gleichung.
    &bull Wenn beide Seiten einer Gleichung mit derselben von Null verschiedenen Konstanten multipliziert oder dividiert werden, bleibt die Gleichheit erhalten und die neue Gleichung entspricht der ursprünglichen Gleichung.

    Die folgenden Gleichungen sind beispielsweise äquivalent zu x = 6.

    2 von beiden Seiten abziehen both

    Auf beiden Seiten mit 4 multiplizieren

    Lineare Gleichungen lösen

    Wir können äquivalente Gleichungen verwenden, um eine Gleichung zu lösen. Die Lösung wird erhalten, wenn die Variable allein auf einer Seite der Gleichung steht. Das Ziel besteht also darin, äquivalente Gleichungen zu verwenden, um die Variable auf einer Seite der Gleichung zu isolieren.

    Betrachten Sie die Gleichung x + 6 = 14.
    Damit die Gleichung als gelöst betrachtet wird, gilt x muss auf einer Seite für sich stehen. Wie können wir die +6 loswerden, damit x kann von selbst sein? Wir können die umgekehrte Operation durchführen, d. h. 6 subtrahieren. Um eine äquivalente Gleichung zu erhalten, könnten wir 6 von beiden Seiten subtrahieren.

    Wir können die Lösung überprüfen, um sicherzustellen, dass sie richtig ist.

    Die folgenden Videos zeigen, wie Sie die Variable isolieren, um eine Gleichung zu lösen.

    Beispiele mit mehreren Schritten

    Manchmal können mehrere Schritte erforderlich sein, um eine Gleichung zu lösen.

    Das folgende Video zeigt, wie Sie Gleichungen lösen, die mehrere Schritte erfordern.

    Beispiele für die Verwendung von Verteilungseigenschaften

    Wenn die Gleichung Klammern enthält, müssen wir möglicherweise zuerst die Verteilungseigenschaft verwenden, um die Klammern zu entfernen, bevor die Variable isoliert wird.

    Das folgende Video zeigt einige Beispiele für das Lösen von Gleichungen, die die Verteilungseigenschaft beinhalten, und die Kombination ähnlicher Terme.

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    Gleichungen lösen (Klasse 8)


    Beispiele, Lösungen, Videos und Lektionen, mit denen Schüler der 8. Klasse lernen, wie man lineare Gleichungen in einer Variablen löst.

    A. Nennen Sie Beispiele für lineare Gleichungen in einer Variablen mit einer Lösung, unendlich vielen Lösungen oder ohne Lösungen. Zeigen Sie, welche dieser Möglichkeiten der Fall ist, indem Sie die gegebene Gleichung sukzessive in einfachere Formen umwandeln, bis eine äquivalente Gleichung der Form x = ein, ein = ein, oder ein = B Ergebnisse (wo ein und B sind unterschiedliche Zahlen).

    B. Löse lineare Gleichungen mit rationalen Zahlenkoeffizienten, einschließlich Gleichungen, deren Lösungen die Erweiterung von Ausdrücken unter Verwendung der Verteilungseigenschaft und das Sammeln ähnlicher Terme erfordern.

    Vorgeschlagene Lernziele

    • Ich kann lineare Gleichungen mit rationalen Zahlenkoeffizienten lösen.
    • Ich kann Gleichungen lösen, deren Lösungen die Erweiterung von Ausdrücken mit der Verteilungseigenschaft und/oder das Sammeln ähnlicher Terme erfordern.

    Löse lineare Gleichungen mit rationalen Koeffizienten (Common Core Standard 8.EE.7b)

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    8: Lineare Gleichungen lösen - Mathematik


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    (1) Die Studierenden verwenden lineare Gleichungen und lineare Gleichungssysteme, um eine Vielzahl von Problemen darzustellen, zu analysieren und zu lösen. Die Schüler erkennen Gleichungen für Proportionen (ja/x = m oder ja = mx) als spezielle lineare Gleichungen (ja = mx + B), zu verstehen, dass die Proportionalitätskonstante (m) ist die Steigung, und die Graphen sind Linien durch den Ursprung. Sie verstehen, dass die Steigung (m) einer Linie ist eine konstante Änderungsrate, so dass, wenn die Eingabe oder x-Änderungen um einen Betrag koordinieren EIN, die Ausgabe oder ja-Änderungen um den Betrag koordinieren m·A. Die Schüler verwenden auch eine lineare Gleichung, um den Zusammenhang zwischen zwei Größen in bivariaten Daten zu beschreiben (z. B. Armspanne vs. Körpergröße für Schüler in einem Klassenzimmer). In dieser Besoldungsgruppe erfolgt die Anpassung des Modells und die Bewertung seiner Anpassung an die Daten informell. Um das Modell im Kontext der Daten zu interpretieren, müssen die Schüler eine Beziehung zwischen den beiden fraglichen Größen ausdrücken und Komponenten der Beziehung interpretieren (wie Steigung und ja-intercept) in Bezug auf die Situation.

    Die Schüler wählen strategisch Verfahren aus und implementieren sie effizient, um lineare Gleichungen in einer Variablen zu lösen, und verstehen, dass sie, wenn sie die Eigenschaften der Gleichheit und das Konzept der logischen Äquivalenz verwenden, die Lösungen der ursprünglichen Gleichung beibehalten. Die Schüler lösen Systeme aus zwei linearen Gleichungen in zwei Variablen und beziehen die Systeme auf Paare von Geraden in der Ebene, die diese schneiden, parallel sind oder dieselbe Gerade sind. Die Schüler verwenden lineare Gleichungen, lineare Gleichungssysteme, lineare Funktionen und ihr Verständnis der Steigung einer Linie, um Situationen zu analysieren und Probleme zu lösen.

    (2) Die Studierenden begreifen den Begriff einer Funktion in der Regel, die jedem Eingang genau einen Ausgang zuordnet. Sie verstehen, dass Funktionen Situationen beschreiben, in denen eine Größe eine andere bestimmt. Sie können zwischen Darstellungen und Teildarstellungen von Funktionen übersetzen (beachten Sie, dass tabellarische und grafische Darstellungen Teildarstellungen sein können) und sie beschreiben, wie Aspekte der Funktion in den verschiedenen Darstellungen widergespiegelt werden.

    (3) Die Studierenden verwenden Vorstellungen über Abstand und Winkel, ihr Verhalten bei Translationen, Rotationen, Spiegelungen und Dehnungen sowie Vorstellungen über Kongruenz und Ähnlichkeit, um zweidimensionale Figuren zu beschreiben und zu analysieren und Probleme zu lösen. Die Schüler zeigen, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck der Winkel ist, der von einer geraden Linie gebildet wird, und dass verschiedene Konfigurationen von Linien aufgrund der Winkel entstehen, die entstehen, wenn eine Transversale parallele Linien schneidet. Die Schüler verstehen die Aussage des Satzes des Pythagoras und seine Umkehrung und können erklären, warum der Satz des Pythagoras gilt, indem sie beispielsweise ein Quadrat auf zwei verschiedene Arten zerlegen. Sie wenden den Satz des Pythagoras an, um Abstände zwischen Punkten auf der Koordinatenebene zu finden, Längen zu finden und Polygone zu analysieren. Die Studierenden vervollständigen ihre Volumenarbeit, indem sie Probleme mit Kegeln, Zylindern und Kugeln lösen.

    Kernstandards des Kurses

    Strang: MATHEMATISCHE PRAXIS (8.MP)
    Die Standards für die mathematische Praxis in der achten Klasse beschreiben mathematische Denkgewohnheiten, die Lehrer bei ihren Schülern entwickeln sollten. Die Schüler werden mathematisch kompetent im Umgang mit mathematischen Inhalten und Konzepten, wenn sie diese Fähigkeiten und Einstellungen lernen, erleben und anwenden (Standards 8.MP.1.8).

    Standard 8.MP.1
    Verstehen Sie Probleme und versuchen Sie, sie zu lösen. Erklären Sie die Bedeutung eines Problems und suchen Sie nach Einstiegspunkten zu seiner Lösung. Analysieren Sie Gegebenheiten, Einschränkungen, Beziehungen und Ziele. Stellen Sie Vermutungen über die Form und Bedeutung der Lösung an, planen Sie einen Lösungsweg und überwachen Sie kontinuierlich den Fortschritt mit der Frage: "Ist das sinnvoll?" Betrachten Sie analoge Probleme, stellen Sie Verbindungen zwischen mehreren Darstellungen her, identifizieren Sie die Entsprechung zwischen verschiedenen Ansätzen, suchen Sie nach Trends und transformieren Sie algebraische Ausdrücke, um sinnvolle Mathematik hervorzuheben. Überprüfen Sie die Antworten auf Probleme mit einer anderen Methode.

    Standard 8.MP.2
    Vernunft abstrakt und quantitativ. Machen Sie sich die Mengen und ihre Beziehungen in Problemsituationen bewusst. Übersetzen Sie zwischen Kontext und algebraischen Darstellungen, indem Sie quantitative Beziehungen kontextualisieren und dekontextualisieren. Dies beinhaltet die Fähigkeit, eine gegebene Situation zu dekontextualisieren, sie algebraisch darzustellen und Symbole fließend zu manipulieren sowie die Fähigkeit, algebraische Darstellungen zu kontextualisieren, um das Problem zu verstehen.

    Standard 8.MP.3
    Konstruieren Sie tragfähige Argumente und kritisieren Sie die Argumentation anderer. Verstehen und verwenden Sie die angegebenen Annahmen, Definitionen und zuvor festgestellten Ergebnisse beim Konstruieren von Argumenten. Stellen Sie Vermutungen auf und bauen Sie eine logische Folge von Aussagen auf, um die Wahrheit ihrer Vermutungen zu untersuchen. Begründen Sie Schlussfolgerungen und teilen Sie sie anderen mit. Reagieren Sie auf die Argumente anderer, indem Sie zuhören, klärende Fragen stellen und die Argumentation anderer kritisieren.

    Standard 8.MP.4
    Modell mit Mathematik. Wenden Sie Mathematik an, um Probleme im Alltag, in der Gesellschaft und am Arbeitsplatz zu lösen. Treffen Sie Annahmen und Näherungen und identifizieren Sie wichtige Größen, um ein mathematisches Modell zu erstellen. Interpretieren Sie mathematische Ergebnisse routinemäßig im Kontext der Situation und reflektieren Sie, ob die Ergebnisse sinnvoll sind, und verbessern Sie möglicherweise das Modell, wenn es seinen Zweck nicht erfüllt hat.

    Standard 8.MP.5
    Setzen Sie geeignete Tools strategisch ein. Berücksichtigen Sie die verfügbaren Tools und machen Sie sich mit ihnen ausreichend vertraut, um fundierte Entscheidungen darüber zu treffen, wann jedes Tool hilfreich sein könnte, und erkennen Sie sowohl die zu gewinnenden Erkenntnisse als auch die Grenzen. Identifizieren Sie relevante externe mathematische Ressourcen und verwenden Sie diese, um Probleme zu stellen oder zu lösen. Verwenden Sie Werkzeuge, um ihr Verständnis von Konzepten zu erforschen und zu vertiefen.

    Standard 8.MP.6
    Achten Sie auf Präzision. Kommunizieren Sie präzise mit anderen. Verwenden Sie in Diskussionen mit anderen und in ihrer eigenen Argumentation explizite Definitionen. Sie geben die Bedeutung der von ihnen gewählten Symbole an. Geben Sie Maßeinheiten an und beschriften Sie Achsen, um die Übereinstimmung mit Mengen in einem Problem zu verdeutlichen. Rechnen Sie genau und effizient, geben Sie numerische Antworten mit einer dem Problemkontext angemessenen Genauigkeit aus.

    Standard 8.MP.7
    Struktur suchen und nutzen. Schauen Sie sich mathematische Beziehungen genau an, um die zugrunde liegende Struktur zu identifizieren, indem Sie eine einfache Struktur innerhalb einer komplizierteren Struktur erkennen. Sehen Sie komplizierte Dinge, wie beispielsweise einige algebraische Ausdrücke, als einzelne Objekte oder als aus mehreren Objekten zusammengesetzt. Betrachten Sie beispielsweise 5 3(x y) 2 als 5 minus einer positiven Zahl mal ein Quadrat und verwenden Sie dies, um zu erkennen, dass der Wert für keine reellen Zahlen x und y größer als 5 sein kann.

    Standard 8.MP.8
    Achten Sie auf Regelmäßigkeit in wiederholten Überlegungen und drücken Sie diese aus. Achte darauf, ob die Argumentation wiederholt wird, und suche sowohl nach Verallgemeinerungen als auch nach Abkürzungen. Bewerten Sie die Angemessenheit von Zwischenergebnissen, indem Sie den Überblick über den Prozess behalten und gleichzeitig auf die Details achten.

    Strang: ZAHLENSYSTEM (8.NS)
    Wisse, dass es Zahlen gibt, die nicht rational sind, und approximiere sie durch rationale Zahlen (Standards 8.NS.1.3) .

    Standard 8.NS.1
    Wisse, dass Zahlen, die nicht rational sind, irrational genannt werden. Verstehen Sie informell, dass jede Zahl eine Dezimalentwicklung für rationale Zahlen hat. Zeigen Sie, dass sich die Dezimalentwicklung schließlich wiederholt, und konvertieren Sie eine Dezimalentwicklung, die sich schließlich wiederholt, in eine rationale Zahl.

    Standard 8.NS.2
    Verwenden Sie rationale Approximationen irrationaler Zahlen, um die Größe irrationaler Zahlen zu vergleichen, sie ungefähr in einem Zahlenliniendiagramm zu lokalisieren und den Wert von Ausdrücken (z. B. &pi 2 ) zu schätzen. Zeigen Sie beispielsweise durch Abschneiden der Dezimalentwicklung von &radic2, dass &radic2 zwischen 1 und 2 liegt, dann zwischen 1,4 und 1,5, und erklären Sie, wie Sie fortfahren können, um bessere Näherungen zu erhalten.

    Standard 8.NS.3
    Verstehen Sie, wie man Operationen durchführt und Radikale mit Schwerpunkt auf Quadratwurzeln vereinfacht.

    Aktionsbereich: AUSDRÜCKE UND GLEICHUNGEN (8.EE)
    Arbeiten Sie mit radikalen und ganzzahligen Exponenten (Standards 8.EE.1 4) . Verstehen Sie die Zusammenhänge zwischen proportionalen Beziehungen, Linien und linearen Beziehungen (Standards 8.EE.5.6). Analysieren und lösen Sie lineare Gleichungen und Ungleichungen sowie Paare simultaner linearer Gleichungen (Standards 8.EE.7.8) .

    1. Nennen Sie Beispiele für lineare Gleichungen in einer Variablen mit einer Lösung, unendlich vielen Lösungen oder ohne Lösungen. Zeigen Sie, welche dieser Möglichkeiten der Fall ist, indem Sie die gegebene Gleichung sukzessive in einfachere Formen umwandeln, bis eine äquivalente Gleichung der Form x = ein, ein = ein, oder ein = B Ergebnisse (wo ein und B sind unterschiedliche Zahlen).
    2. Lösen Sie lineare Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen mit Koeffizienten rationaler Zahlen, einschließlich Gleichungen und Ungleichungen, deren Lösungen die Erweiterung von Ausdrücken unter Verwendung der Distributiveigenschaft und das Sammeln ähnlicher Terme erfordern.
    3. Lösen von Absolutwertgleichungen mit einer Variablen.
    1. Verstehe, dass Lösungen eines Systems von zwei linearen Gleichungen in zwei Variablen Schnittpunkten ihrer Graphen entsprechen, weil Schnittpunkte beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen.
    2. Lösen Sie Systeme aus zwei linearen Gleichungen in zwei Variablen grafisch, nähern Sie sich an, wenn Lösungen keine ganzen Zahlen sind, und schätzen Sie Lösungen, indem Sie die Gleichungen grafisch darstellen. Lösen Sie einfache Fälle durch Inspektion. Beispielsweise, 3x + 2y = 5 und 3x + 2y = 6 hab keine lösung weil 3x + 2 Jahre kann nicht gleichzeitig 5 und 6 sein.
    3. Lösen Sie grafisch reale und mathematische Probleme, die zu zwei linearen Gleichungen in zwei Variablen führen. Bestimmen Sie beispielsweise bei gegebenen Koordinaten für zwei Punktpaare, ob die Linie durch das erste Punktpaar die Linie durch das zweite Punktpaar schneidet.

    Strang: FUNKTIONEN (8.F)
    Funktionen definieren, auswerten und vergleichen (Standards 8.F.1 3) . Verwenden Sie Funktionen, um Beziehungen zwischen Größen zu modellieren (Standards 8.F.4 5) .

    Standard 8.F.1
    Verstehen Sie, dass eine Funktion eine Regel ist, die jedem Eingang genau einen Ausgang zuweist. Der Graph einer Funktion ist die Menge geordneter Paare, bestehend aus einer Eingabe und der entsprechenden Ausgabe. (Funktionsnotation ist in Klasse 8 nicht erforderlich.)

    Standard 8.F.2
    Vergleichen Sie die Eigenschaften zweier Funktionen, die jeweils auf unterschiedliche Weise dargestellt werden (algebraisch, grafisch, numerisch in Tabellen oder durch verbale Beschreibungen). Bestimmen Sie beispielsweise bei einer gegebenen linearen Funktion, die durch eine Wertetabelle dargestellt wird, und einer linearen Funktion, die durch einen algebraischen Ausdruck dargestellt wird, welche Funktion die größere Änderungsrate aufweist.

    Standard 8.F.3
    Interpretiere die Gleichung y = mx + b als Definition einer linearen Funktion, deren Graph eine Gerade ist, geben Sie Beispiele für Funktionen, die nicht linear sind. Zum Beispiel ist die Funktion A = s 2 , die die Fläche eines Quadrats als Funktion seiner Seitenlänge angibt, nicht linear, weil ihr Graph die Punkte (1,1), (2,4) und (3,9) enthält, die liegen nicht auf einer geraden Linie.

    Standard 8.F.4
    Konstruieren Sie eine Funktion, um eine lineare Beziehung zwischen zwei Größen zu modellieren. Bestimmen Sie die Änderungsrate und den Anfangswert der Funktion aus einer Beschreibung einer Beziehung oder aus zwei (x, y) Werte, einschließlich des Lesens dieser aus einer Tabelle oder aus einem Diagramm. Interpretieren Sie die Änderungsrate und den Anfangswert einer linearen Funktion in Bezug auf die von ihr modellierte Situation und in Bezug auf ihr Diagramm oder eine Wertetabelle.

    Standard 8.F.5
    Beschreiben Sie qualitativ die funktionale Beziehung zwischen zwei Größen, indem Sie einen Graphen analysieren (z. B. wenn die Funktion steigend oder fallend, linear oder nichtlinear ist). Skizzieren Sie einen Graphen, der die qualitativen Merkmale einer verbal beschriebenen Funktion zeigt.

    Strang: GEOMETRIE (8.G)
    Verstehen Sie Kongruenz und Ähnlichkeit mit Hilfe von physikalischen Modellen, Transparenzen oder Geometriesoftware (Standards 8.G.1.5) . Den Satz des Pythagoras und seine Umkehrung verstehen und anwenden (Standards 8.G.6.8) . Lösen Sie reale und mathematische Probleme mit dem Volumen von Zylindern, Kegeln und Kugeln (Standard 8.G.9) .

    1. Linien werden zu Linien und Liniensegmente zu Liniensegmenten gleicher Länge.
    2. Winkel werden zu Winkeln des gleichen Maßes genommen.
    3. Parallele Linien werden zu parallelen Linien gemacht.

    Aktionsbereich: STATISTIK UND WAHRSCHEINLICHKEIT (8.SP)
    Untersuchung von Assoziationsmustern in bivariaten Daten (Standards 8.SP.1 4) .

    Standard 8.SP.1
    Konstruieren und interpretieren Sie Streudiagramme für bivariate Messdaten, um Assoziationsmuster zwischen zwei Größen zu untersuchen. Beschreiben Sie Muster wie Clustering, Ausreißer, positive oder negative Assoziation, lineare Assoziation und nichtlineare Assoziation.

    Standard 8.SP.2
    Wissen Sie, dass gerade Linien häufig verwendet werden, um Beziehungen zwischen zwei quantitativen Variablen zu modellieren. Passen Sie bei Streudiagrammen, die eine lineare Assoziation nahelegen, informell eine gerade Linie an und bewerten Sie die Modellanpassung informell, indem Sie die Nähe der Datenpunkte an der Linie beurteilen.

    Standard 8.SP.3
    Verwenden Sie die Gleichung eines linearen Modells, um Probleme im Zusammenhang mit bivariaten Messdaten zu lösen und die Steigung und den Achsenabschnitt zu interpretieren. Interpretieren Sie beispielsweise in einem linearen Modell für ein Biologie-Experiment eine Steigung von 1,5 cm/h so, dass eine zusätzliche Stunde Sonnenlicht pro Tag mit einer zusätzlichen Höhe von 1,5 cm reifen Pflanzen verbunden ist. (Das Berechnen von Gleichungen für ein lineares Modell wird in Klasse 8 nicht erwartet.)

    Standard 8.SP.4
    Verstehen Sie, dass Assoziationsmuster auch in bivariaten kategorialen Daten sichtbar sind, indem Sie Häufigkeiten und relative Häufigkeiten in einer Zwei-Wege-Tabelle anzeigen. Konstruieren und interpretieren Sie eine bidirektionale Tabelle, die Daten zu zwei kategorialen Variablen zusammenfasst, die von denselben Probanden gesammelt wurden. Verwenden Sie relative Häufigkeiten, die für Zeilen oder Spalten berechnet wurden, um eine mögliche Assoziation zwischen den beiden Variablen zu beschreiben. Sammeln Sie zum Beispiel Daten von Schülern in Ihrer Klasse darüber, ob sie an Schulabenden eine Ausgangssperre haben oder nicht und ob sie Hausarbeiten zugewiesen haben oder nicht. Gibt es Beweise dafür, dass diejenigen, die eine Ausgangssperre haben, auch dazu neigen, Hausarbeiten zu erledigen?

    Diese Materialien wurden von und für die Lehrer des Staates Utah erstellt. Kopien dieser Materialien dürfen für Lehrer und Klassenzimmer frei reproduziert werden. Bei der Verteilung dieser Materialien sollte das Utah State Board of Education gutgeschrieben werden. Diese Materialien dürfen ohne die schriftliche Genehmigung des Utah State Board of Education, 250 East 500 South, PO Box 144200, Salt Lake City, Utah 84114-4200, weder ganz noch teilweise oder in einem anderen Format veröffentlicht werden.


    Was sie sagen

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    Anoushka, Studentin, Indien

    Mathematik PreCalculus Mathematik in Nebraska

    Algebra vereinfacht den Prozess der Lösung realer Probleme. Dies geschieht, indem Buchstaben verwendet werden, um Unbekannte darzustellen, Probleme in Form von Gleichungen umformulieren und systematische Techniken zum Lösen dieser Gleichungen anbieten. In diesem Abschnitt werden wir verschiedene Arten von Problemen der realen Welt mit Algebra lösen.

    In diesem Abschnitt werden Sie.

    verbale Beschreibungen in Gleichungen übersetzen

    schreiben und lösen Sie lineare Gleichungen, um Anwendungen in der realen Welt darzustellen

    Um Probleme mit Algebra zu lösen, übersetzen Sie zuerst den Wortlaut des Problems in mathematische Aussagen, die die Beziehungen zwischen den gegebenen Informationen und den Unbekannten beschreiben. Normalerweise ist diese Übersetzung in mathematische Aussagen der schwierige Schritt in diesem Prozess. Der Schlüssel zur Übersetzung besteht darin, das Problem sorgfältig zu lesen und bestimmte Schlüsselwörter und Phrasen zu identifizieren.

    Schlüsselwörter Übersetzung
    Summe: erhöht um, mehr als, plus, addiert, insgesamt (+)
    Unterschied: vermindert um, subtrahiert von, weniger, minus (-)
    Produkt: multipliziert mit, mal, zweimal (cdot)
    Quotient: geteilt durch, Verhältnis, pro, (div)
    Gleich: ist, insgesamt, Ergebnis (=)

    Wenn Sie Sätze in mathematische Aussagen übersetzen, lesen Sie den Satz mehrmals und analysieren Sie die Schlüsselwörter und Phrasen. Es ist wichtig, zuerst zu identifizieren, was durch eine Variable dargestellt werden muss, und dann anzugeben, was diese Variable sein soll. Wenn wir beispielsweise eine Wortaufgabe lösen, die uns auffordert, die zurückgelegte Entfernung eines Autos zu ermitteln, möchten wir wahrscheinlich eine Variable definieren, die die zurückgelegte Entfernung des Autos darstellt. Es ist wichtig, spezifisch zu sein und gegebenenfalls Einheiten anzugeben: Es ist besser "(d=)die vom Auto zurückgelegte Entfernung in Meilen" zu sagen, als einfach "(d=)Entfernung" zu sagen.

    Im vorherigen Absatz haben wir die Variable (d) gewählt, um den Abstand darzustellen. Sie können einen beliebigen Buchstaben für Ihre Variablen wählen, aber es kann hilfreich sein, einen Buchstaben zu wählen, der mit dem übereinstimmt, was die Variable darstellt (z. B. (d) für die Entfernung, (t) für die Zeit usw.). Wir verwenden jedoch oft nur (x ext<.>). Solange Sie Ihre Variablen klar definieren, spielt es keine Rolle, welche Variablen Sie verwenden.

    Bevor wir mit Textaufgaben arbeiten, üben wir zunächst, einfache Sätze in Gleichungen zu übersetzen.

    Beispiel 65

    Schreiben Sie eine Gleichung für die Reihenfolge der Operationen, um jede der folgenden Situationen zu beschreiben.

    In all diesen Beispielen kann es hilfreich sein, sich das Wort "ist" als Gleichheitszeichen vorzustellen.

    (x) ist (9) mehr als (y) bedeutet, dass (x=y+9 ext<.>)

    Die Hälfte von (x) ist (y) bedeutet, dass (frac<1><2>x=y ext<.>)

    (x) ist (30\%) von (y) bedeutet, dass (x=0.30y ext<.>)

    Wir werden diese Ideen nun erweitern, um ein Wortproblem mit einer linearen Gleichung zu lösen.

    Beispiel 66

    Wenn 6 von der doppelten Summe einer Zahl und 8 subtrahiert wird, ist das Ergebnis 5. Finden Sie die Zahl.

    Sei (n) die unbekannte Zahl. Im obigen Satz wird "die Summe einer Zahl und 8" durch (n+8 ext<,>) dargestellt, also ist "die doppelte Summe einer Zahl und 8" (2(n+8) text<.>) Als nächstes wäre "6 subtrahiert von der doppelten Summe einer Zahl und 8" 6 weniger, also (2(n+8)-6 ext<.>) uns wird gesagt, dass das Ergebnis 5 ist, mit anderen Worten, dieser Ausdruck ist gleich 5:

    Nachdem wir das Problem in eine lineare Gleichung übersetzt haben, können wir nach (n ext<:>)

    Wir sollten unsere Antwort immer überprüfen, um sicherzustellen, dass wir beim Einrichten oder Lösen des Problems keinen Fehler gemacht haben. Die Summe von (-frac<5><2>) und (8) ist (-frac<5><2>+8=frac<11><2> ext<.> ) Zweimal ist dies (frac<11><2>cdot2=11 ext<,>) und (6) weniger als (5 ext<.>) Da wir die gewünschten Ergebnis wissen wir, dass unsere Antwort richtig ist. Die unbekannte Zahl ist (-frac<5><2> ext<.>)

    Es folgen allgemeine Richtlinien zum Einrichten und Lösen von Textaufgaben:

    Richtlinien für Wortprobleme
    1. Lesen Sie die Aufgabe mehrmals, identifizieren Sie die Schlüsselwörter und -sätze und ordnen Sie die gegebenen Informationen.
    2. Identifizieren Sie die Variablen, indem Sie den unbekannten Größen einen Buchstaben oder einen Ausdruck zuweisen.
    3. Übersetzen und erstellen Sie eine algebraische Gleichung, die das Problem modelliert.
    4. Lösen Sie die resultierende algebraische Gleichung.
    5. Beantworten Sie abschließend die Frage in Satzform und stellen Sie sicher, dass sie Sinn macht (ankreuzen).

    Alle Gleichungen in den folgenden Beispielen können mit nur einer Variablen erstellt werden. Wir können zwei Variablen vermeiden, indem wir nach einer Beziehung zwischen den Unbekannten suchen.

    Beispiel 67

    Ein Rechteck hat einen Umfang von (92) Metern. Die Länge ist (2) Meter kleiner als (3) mal die Breite. Finden Sie die Abmessungen des Rechtecks.

    Der Satz "Die Länge ist (2) Meter kleiner als (3) mal die Breite" gibt uns die Beziehung zwischen den beiden wichtigen Größen Länge und Breite. Sei (w) die Breite des Rechtecks. Da die Länge (2) Meter kleiner ist als (3) mal die Breite, muss die Länge (3w-2 ext<.>) betragen.

    Der Satz "Ein Rechteck hat einen Umfang von (92) Metern" legt einen algebraischen Aufbau nahe. Der Umfang eines Rechtecks ​​ist in diesem Beispiel immer die Summe aus der doppelten Länge und der doppelten Breite, d.h. der Umfang ist

    Da wir wissen, dass der Umfang (92) Meter beträgt, haben wir die folgende Gleichung:

    Sobald Sie eine algebraische Gleichung mit einer Variablen aufgestellt haben, lösen Sie nach der Breite (w ext<.>)

    Da wir nun die Breite kennen, können wir die Länge der Länge (3w-2) verwenden, um die Länge zu bestimmen.

    Dies bedeutet, dass die Abmessungen des Rechtecks ​​(12) Meter mal (34) Meter betragen. Um dies zu überprüfen, stellen wir sicher, dass der Umfang tatsächlich (92) Meter beträgt:

    Für den Rest dieses Abschnitts werden wir verschiedene Kategorien von Anwendungsproblemen untersuchen, die Ihnen möglicherweise auffallen, wie z. B. Anwendungen von Interesse, Währung, Entfernungen und mehr.

    Unterabschnitt Zinsanträge

    Bei Problemen mit einfachen Zinsen ist es oft hilfreich, die einfache Zinsformel (I=prt) zu verwenden, wobei (I) der einfache Zins ist, der aus einer Hauptinvestition erzielt wird, (p ext<,>) mit ein Zinssatz von (r) über (t) Jahre.

    Beispiel 68

    Bei einem jährlichen Zinssatz von (4.375)%, wie lange dauert es (2.500$), um ($437,50) in einfachen Zinsen zu erwirtschaften?

    Sei (t) die Zeit, die benötigt wird, um $(437.50) zu (4.375)% zu verdienen. Organisieren Sie die Informationen, die für die Verwendung der Formel für einfache Interessen erforderlich sind, (I=prt ext<.>)

    Setzen Sie als nächstes alle bekannten Größen in die Formel ein und lösen Sie dann nach der einzigen Unbekannten auf, (t ext<.>)

    Es dauert (4) Jahre, bis ($2.500) zu (4,375)% investiert ist, um ($437,50) in einfachen Zinsen zu verdienen.

    Beispiel 69

    Stephanie investierte ihre gesamten Ersparnisse von ($12.500) auf zwei Konten mit einfachen Zinsen. Ihr Investmentfondskonto hat letztes Jahr (7)% und ihre CD (4,5)% verdient. Wenn ihre Gesamtzinsen für das Jahr (670$ ext<,>) betrugen, wie viel war auf jedem Konto?

    Die Summe des Geldes auf jedem Konto ist (12.500 $ ext<.>). Wenn es sich um eine Summe handelt, wird häufig verwendet, um zwei Variablen zu vermeiden, die zweite Unbekannte als Differenz der Gesamtsumme und der ersten Unbekannten darzustellen.

    (m) sei der in den Investmentfonds investierte Betrag.

    Da der Betrag auf den beiden Konten ($12.500 ext<,>) beträgt, muss der Betrag auf der CD (12.500-m ext<.>) betragen.

    Die Gesamtzinsen sind die Summe der Zinsen, die von jedem Konto erwirtschaftet werden.

    Diese Gleichung modelliert das Problem mit einer Variablen. Auflösen nach (m ext<.>)

    Verwenden Sie (12.500-m), um den Betrag auf der CD zu ermitteln.

    Stephanie investierte ($4.300) zu (7)% in einen Investmentfonds und ($8.200) zu (4,5)% in eine CD.

    Unterabschnitt Währungsanwendungen

    Eine neue Art von Problem, auf das wir bei Anwendungen stoßen, nennen wir Währungsprobleme. Diese Probleme beinhalten das Auffinden der Anzahl von Münzen oder Scheinen, die andere Informationen über den Wert erhalten. Es ist wichtig, bei der spezifischen Definition unserer Variablen vorsichtig zu sein - entweder für die Nummer der Währung oder den Wert der Währung.

    Beispiel 70

    Ashley hat 17,25 Dollar in ihrem Sparschwein, das nur Viertel und 50-Cent-Stücke enthält. Ashley has nine more fifty-cent pieces than she has quarters. How many coins of each denomination does she have?

    Let (q) represent the number of quarters. Since Ashley has nine more fifty-cent pieces than quarters, the number of fifty cent pieces she has is (q+9 ext<.>)

    Since a quarter is worth (.25 ext<,>) (0.25q) represents the value of Ashley's quarters. Similarly, since a fifty-cent piece is worth (.50 ext<,>) (0.50(q+9)) gives the value of Ashley's fifty-cent pieces.

    Since Ashley has a total of ($17.25 ext<,>) it must be the case that the sum of these values is (17.25 ext<:>)

    We can now solve for (q ext<:>)

    Ashley has (17) quarters, andtherefore (26) fifty-cent pieces.

    Subsection Mixing Applications

    Mixture problems often include a percentage and some total amount. It is important to make a distinction between these two types of quantities. For example, if a problem states that a 10-ounce container is filled with a (3)% saline (salt) solution, then this means that the container is filled with a mixture of salt and water as follows:

    In other words, we multiply the percentage times the total to get the amount of each part of the mixture.

    Example 72

    How many milliliters of a (15)% alcohol solution must be mixed with (110) milliliters of a (35)% solution to obtain a (25)% solution?

    It is often helpful to use a table to organize your work for application problems. We will use the following table to keep track of all the different solutions in this problem:

    Solution Percent Alcohol Total Amount of Liquid Amount of Alcohol
    (15)% solution
    (35)% solution
    Mixture

    Let (m) be the milliliters of the (15)% solution. To get the amount of alcohol in this part of the mixture, we multiply the percentage by the amount: (0.15m ext<.>)

    Likewise, to get the amount of the second part of the mixture, we multiply the percentage by the amount: (0.35cdot 110=38.5 ext<.>)

    Let's now think about the mixture of these two solutions. We know that we're aiming for a (25)% solution. Since there are (m) milliliters from the first solution and (110) milliliters from the second solution, the mixture will have (m+110) milliters in it. Again, we find the amount of alcohol in the mixture by multiplying the percentage by the amount: (0.25(m+110) ext<.>) We can now fill in our table.

    Solution Percent Alcohol Total Amount of Liquid Amount of Alcohol
    (15)% solution (15)%(=0.15) (m) mL (0.15(m) mL()=0.15m) mL
    (35)% solution (35)%(=0.35) (110) mL (0.35(110) mL()=38.5) mL
    Mixture (25)%(=0.25) (m+110) mL (0.25(m+110)) mL

    From our table, we see that the total amount of alochol in the mixture is (0.25(m+110) ext<.>) On the other hand, we know that there are (0.15m) milliliters from the first solution and (38.5) milliliters from the second solution, for a total of (0.15m+38.5) milliliters of alcohol in the solution. We have found two different expressions for the total amount of alcohol in the mixuture, so they must be equal:

    We can now solve for (m ext<.>)

    We have found that we must mix (110) milliliters of a (15)% alcohol solution with (110) milliliters of a (35)% solution to obtain a (25)% solution.

    Subsection Distance Applications

    The distance traveled is equal to the average rate times the time traveled at that rate, (d=rcdot t ext<.>) These problems usually have a lot of data, so it helps to carefully rewrite the pertinent information as you define variables.

    Example 73

    Two planes leave a city traveling in opposite directions. One travels at a rate of (530) mph and the other at a rate of (600) mph. How long will it take until they are (3672.5) miles apart?

    Let (d_1) represent the distance travelled by the first plane in miles, and let (d_1) represent the distance travelled by the second plane in miles. The key to this problem is that the sum of their distances is the distance between them:

    Let (t) represent the time it takes for them to be (3672.5) miles apart (in hours) this is what we're actually looking for. The first plane travels at a rate of (530) mph, meaning that its distance is modeled by the equation

    The second plane travels at a rate of (600) mph, meaning that its distance is modeled by the equation

    Since the sum of their distances is the distance between them, after (t) hours the two planes will be

    miles apart. Now, we want to know when the distance is (3672.5 ext<.>) Thus we solve:

    This tells us that it will take (3) hours and (15) minutes for the planes to be (3672.5) miles apart.


    Linear Equations Unit: 8th Grade Math TEKS 8.8A, 8.8B, 8.8C

    A 9 day Linear Equations TEKS-Aligned complete unit including: simplifying expressions, solving multi-step equations, solving equations with variables on both sides, and writing inequalities with variables on both sides

    Standards: TEKS: 8.8A, 8.8B, 8.8C

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    COMBINING RULES FOR SOLVING EQUATIONS

    OBJECTIVES

    1. Use combinations of the various rules to solve more complex equations.
    2. Apply the orderly steps established in this section to systematically solve equations.

    Many of the exercises in previous sections have required the use of more than one rule in the solution process. In fact, it is possible that a single problem could involve all the rules

    There is no mandatory process for solving equations involving more than one rule, but experience has shown that the following order gives a smoother, more mistake-free procedure.

    First Eliminate fractions, if any, by multiplying each term of the equation by the least common multiple of all denominators of fractions in the equation.
    Second Simplify by combining like terms on each side of the equation.
    Third Add or subtract the necessary quantities to obtain the unknown quantity on one side and the numbers of arithmetic on the other side.
    Fourth Divide by the coefficient of the unknown quantity.
    Fifth Check your answer.

    Remember, the coefficient is the number being multiplied by the letter. (That is, in the expression 5x the coefficient is 5.)

    Again, make sure every term is multiplied by 3.

    Multiplying each term by 15 yields

    You may want to leave your answer as an improper fraction instead of a mixed number. Either form is correct, but the improper fraction form will be more useful in checking your solution.

    Note that there are four terms in this equation.

    Beispiel 3 The selling price (S) of a certain article was $30.00. If the margin (M) was one-fifth of the cost (C), find the cost of the article. Use the formula C + M = S.