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3.7: Ganzzahlen multiplizieren und dividieren (Teil 1)


Fähigkeiten zum Entwickeln

  • Ganzzahlen multiplizieren
  • Dividiere ganze Zahlen
  • Vereinfache Ausdrücke mit ganzen Zahlen
  • Variablenausdrücke mit ganzen Zahlen auswerten
  • Übersetzen Sie Wortphrasen in algebraische Ausdrücke

sei vorbereitet!

Bevor Sie beginnen, nehmen Sie an diesem Bereitschaftsquiz teil.

  1. Übersetzen Sie den Quotienten von (20) und (13) in einen algebraischen Ausdruck. Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, lesen Sie Beispiel 1.5.12.
  2. Addiere: (−5 + (−5) + (−5)). Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, lesen Sie Beispiel 3.2.8.
  3. Werte (n + 4) aus, wenn (n = −7). Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, lesen Sie Beispiel 3.2.10.

Ganzzahlen multiplizieren

Da Multiplikation eine mathematische Abkürzung für wiederholte Addition ist, kann unser Zählermodell leicht angewendet werden, um die Multiplikation ganzer Zahlen zu zeigen. Schauen wir uns dieses konkrete Modell an, um zu sehen, welche Muster wir bemerken. Wir werden die gleichen Beispiele verwenden, die wir für die Addition und Subtraktion verwendet haben.

Wir erinnern uns, dass (a • b) bedeutet, (a), (b) mal addieren. Hier verwenden wir das in Abbildung (PageIndex{1}) gezeigte Modell, um das Muster zu erkennen.

Abbildung (PageIndex{1})

Betrachten Sie nun, was es bedeutet, (5) mit (−3) zu multiplizieren. Es bedeutet, (5), (3) mal subtrahieren. Betrachtet man Subtraktion als Wegnehmen, bedeutet dies, (5), (3) mal wegzunehmen. Aber es gibt nichts wegzunehmen, also beginnen wir damit, neutrale Paare hinzuzufügen, wie in Abbildung (PageIndex{2}) gezeigt.

Abbildung (PageIndex{2})

In beiden Fällen haben wir mit (15) neutralen Paaren begonnen. Im linken Fall haben wir (5), (3) mal weggenommen und das Ergebnis war (−15). Um ((−5)(−3) zu multiplizieren, haben wir (−5), (3) mal weggenommen und das Ergebnis war (15). Also haben wir das gefunden

5(3) = 15-5(3) = -15
5(-3) = -15(-5)(-3) = 15

Beachten Sie, dass bei der Multiplikation zweier vorzeichenbehafteter Zahlen das Produkt positiv ist, wenn die Vorzeichen gleich sind, und wenn die Vorzeichen unterschiedlich sind, ist das Produkt negativ.

Definition: Multiplikation von Zahlen mit Vorzeichen

Das Vorzeichen des Produkts zweier Zahlen hängt von ihren Vorzeichen ab.

Gleiche ZeichenProdukt
Zwei PluspunktePositiv
Zwei NegativePositiv
Verschiedene ZeichenProdukt
Positiv negativNegativ
Negativ positivNegativ

Beispiel (PageIndex{1}):multiplizieren

Multiplizieren Sie jeden der folgenden Punkte:

  1. (−9 • 3)
  2. (−2(−5))
  3. (4(−8))
  4. (7 • 6)

Lösung

    Multiplizieren Sie und beachten Sie, dass die Vorzeichen unterschiedlich sind und das Produkt daher negativ ist.–9 • 3 = –27
      Multiplizieren Sie und beachten Sie, dass die Vorzeichen gleich sind und das Produkt positiv ist.–2(–5) = 10
        Multiplizieren Sie und beachten Sie, dass die Vorzeichen unterschiedlich sind und das Produkt daher negativ ist.4(–8) = –32
          Die Vorzeichen sind die gleichen, daher ist das Produkt positiv.7 • 6 = 42

          Übung (PageIndex{1})

          Multiplizieren:

          1. (−6 • 8)
          2. (−4(−7))
          3. (9(−7))
          4. (5 • 12)
          Antworte a

          (-48)

          Antwort b

          (28)

          Antwort c

          (-63)

          Antwort d

          (60)

          Übung (PageIndex{2})

          Multiplizieren:

          1. (−8 • 7)
          2. (−6(−9))
          3. (7(−4))
          4. (3 • 13)
          Antworte a

          (-56)

          Antwort b

          (54)

          Antwort c

          (-28)

          Antwort d

          (39)

          Wenn wir eine Zahl mit (1) multiplizieren, ist das Ergebnis dieselbe Zahl. Was passiert, wenn wir eine Zahl mit (−1) multiplizieren? Lassen Sie uns eine positive Zahl und dann eine negative Zahl mit (−1) multiplizieren, um zu sehen, was wir erhalten.

          −1 • 4−1(−3)
          −43
          −4 ist das Gegenteil von 43 ist das Gegenteil von −3

          Jedes Mal, wenn wir eine Zahl mit (−1) multiplizieren, erhalten wir das Gegenteil.

          Definition: Multiplikation mit (−1)

          Die Multiplikation einer Zahl mit (−1) ergibt das Gegenteil.

          [-1 cdot a = -a ]

          Beispiel (PageIndex{2}): multiplizieren

          Multiplizieren Sie jeden der folgenden Punkte:

          1. (−1 • 7)
          2. (−1(−11))

          Lösung

            Die Vorzeichen sind unterschiedlich, daher wird das Produkt negativ sein.−1 • 7
            Beachten Sie, dass -7 das Gegenteil von 7 ist.−7
              Die Vorzeichen sind die gleichen, daher wird das Produkt positiv sein.−1(−11)
              Beachten Sie, dass 11 das Gegenteil von −11 ist.11

              Übung (PageIndex{3})

              Multiplizieren.

              1. (−1 • 9)
              2. (−1 • (−17))
              Antworte a

              (-9)

              Antwort b

              (17)

              Übung (PageIndex{4})

              Multiplizieren.

              1. (−1 • 8)
              2. (−1 • (−16))
              Antworte a

              (-8)

              Antwort b

              (16)

              Ganzzahlen dividieren

              Division ist die Umkehroperation der Multiplikation. Also, (15 ÷ 3 = 5) weil (5 • 3 = 15) In Worten besagt dieser Ausdruck, dass (15) in (3) Gruppen von (5) unterteilt werden kann denn dreimaliges Addieren von fünf ergibt (15). Wenn wir uns einige Beispiele für die Multiplikation ganzer Zahlen ansehen, können wir die Regeln zum Dividieren ganzer Zahlen herausfinden.

              5 • 3 = 15 also 15 ÷ 3 = 5−5(3) = −15 also −15 ÷ 3 = −5
              (−5)(−3) = 15 also 15 ÷ (−3) = −55(−3) = −15 also −15 ÷ −3 = 5

              Die Division von Zahlen mit Vorzeichen folgt den gleichen Regeln wie die Multiplikation. Bei gleichen Vorzeichen ist der Quotient positiv, bei unterschiedlichen Vorzeichen ist der Quotient negativ.

              Definition: Division von Zahlen mit Vorzeichen

              Das Vorzeichen des Quotienten zweier Zahlen hängt von ihren Vorzeichen ab.

              Gleiche ZeichenQuotient
              Zwei PluspunktePositiv
              Zwei NegativePositiv
              Verschiedene ZeichenQuotient
              Positiv negativNegativ
              Negativ positivNegativ

              Denken Sie daran, dass Sie die Antwort auf eine Divisionsaufgabe jederzeit durch Multiplizieren überprüfen können.

              Beispiel (PageIndex{3}): dividieren

              Teilen Sie jeden der folgenden Punkte auf:

              1. (−27 ÷ 3)
              2. (−100 ÷ (−4))

              Lösung

                Dividiere und beachte, dass die Vorzeichen unterschiedlich sind und der Quotient daher negativ ist.–27 ÷ 3 = –9
                  Dividiere und beachte, dass die Vorzeichen gleich sind und der Quotient also positiv ist.–100 ÷ (–4) = 25

                  Übung (PageIndex{5})

                  Teilen:

                  1. (−42 ÷ 6)
                  2. (−117 ÷ (−3))
                  Antworte a

                  (-7)

                  Antwort b

                  (39)

                  Übung (PageIndex{6})

                  Teilen:

                  1. (−63 ÷ 7)
                  2. (−115 ÷ (−5))
                  Antworte a

                  (-9)

                  Antwort b

                  (23)

                  Wie wir bei der Multiplikation gesehen haben, ist das Ergebnis dieselbe Zahl, wenn wir eine Zahl durch (1) teilen. Was passiert, wenn wir eine Zahl durch (−1) teilen? Teilen wir eine positive Zahl und dann eine negative Zahl durch (−1), um zu sehen, was wir erhalten.

                  8 ÷ (−1)−9 ÷ (−1)
                  −89
                  −8 ist das Gegenteil von 89 ist das Gegenteil von -9

                  Wenn wir eine Zahl durch (−1) teilen, erhalten wir das Gegenteil.

                  Definition: Division durch (−1)

                  Die Division einer Zahl durch (−1) ergibt das Gegenteil.

                  [a div (-1) = -a]

                  Beispiel (PageIndex{4}): dividieren

                  Teilen Sie jeden der folgenden Punkte auf:

                  1. (16 ÷ (−1))
                  2. (−20 ÷ (−1))

                  Lösung

                    Die Dividende, 16, wird durch -1 geteilt.16 ÷ (–1)
                    Die Division einer Zahl durch -1 ergibt das Gegenteil.–16

                    Beachten Sie, dass die Vorzeichen unterschiedlich waren, sodass das Ergebnis negativ war.

                      Die Dividende, -20, wird durch -1 geteilt.–20 ÷ (–1)
                      Die Division einer Zahl durch -1 ergibt das Gegenteil.20

                      Beachten Sie, dass die Vorzeichen gleich waren, sodass der Quotient positiv war.

                      Übung (PageIndex{7})

                      Teilen:

                      1. (6 ÷ (−1))
                      2. (−36 ÷ (−1))
                      Antworte a

                      (-6)

                      Antwort b

                      (36)

                      Übung (PageIndex{8})

                      Teilen:

                      1. (28 ÷ (−1))
                      2. (−52 ÷ (−1))
                      Antworte a

                      (-28)

                      Antwort b

                      (52)

                      Ausdrücke mit ganzen Zahlen vereinfachen

                      Jetzt vereinfachen wir Ausdrücke, die alle vier Operationen – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division – mit ganzen Zahlen verwenden. Denken Sie daran, die Reihenfolge der Operationen einzuhalten.

                      Beispiel (PageIndex{5}): vereinfachen

                      Vereinfachen Sie: (7(−2) + 4(−7) − 6).

                      Lösung

                      Wir verwenden die Reihenfolge der Operationen. Zuerst multiplizieren und dann von links nach rechts addieren und subtrahieren.

                      Zuerst multiplizieren.−14 + (−28)−6
                      Hinzufügen.−42 − 6
                      Subtrahieren.−48

                      Übung (PageIndex{9})

                      Vereinfachen: (8(−3) + 5(−7)−4)

                      Antworten

                      (-63)

                      Übung (PageIndex{10})

                      Vereinfachen: (9(−3) + 7(−8) − 1)

                      Antworten

                      (-84)

                      Beispiel (PageIndex{6}): vereinfachen

                      Vereinfachen:

                      1. ((−2)^4)
                      2. (−2^4)

                      Lösung

                      Der Exponent gibt an, wie oft die Basis multipliziert werden soll.

                      1. Der Exponent ist (4) und die Basis (−2). Wir erhöhen (−2) in die vierte Potenz.
                      Schreiben Sie in erweiterter Form.(−2)(−2)(−2)(−2)
                      Multiplizieren.4(−2)(−2)
                      Multiplizieren.−8(−2)
                      Multiplizieren.16
                      1. Der Exponent ist (4) und die Basis ist (2). Wir erhöhen (2) in die vierte Potenz und nehmen dann das Gegenteil.
                      Schreiben Sie in erweiterter Form.−(2 • 2 • 2 • 2)
                      Multiplizieren.−(4 • 2 • 2)
                      Multiplizieren.−(8 • 2)
                      Multiplizieren.−16

                      Übung (PageIndex{11})

                      Vereinfachen:

                      1. ((−3)^4)
                      2. (−3^4)
                      Antworte a

                      (81)

                      Antwort b

                      (-81)

                      Übung (PageIndex{12})

                      Vereinfachen:

                      1. ((−7)^2)
                      2. (−7^2)
                      Antworte a

                      (49)

                      Antwort b

                      (-49)

                      Beispiel (PageIndex{7}): vereinfachen

                      Vereinfachen Sie: (12 − ​​3(9 − 12)).

                      Lösung

                      Entsprechend der Reihenfolge der Operationen vereinfachen wir zuerst in Klammern. Dann werden wir multiplizieren und schließlich subtrahieren.

                      Ziehen Sie zuerst die Klammern ab.12 − 3(−3)
                      Multiplizieren.12 − (−9)
                      Subtrahieren.21

                      Übung (PageIndex{13})

                      Vereinfachen Sie: (17 − 4(8 − 11))

                      Antworten

                      (29)

                      Übung (PageIndex{14})

                      Vereinfachen Sie: (16 − 6(7 − 13))

                      Antworten

                      (52)

                      Beispiel (PageIndex{8}): vereinfachen

                      Vereinfachen Sie: (8(−9) ÷ (−2)^3).

                      Lösung

                      Wir vereinfachen zuerst den Exponenten, multiplizieren und dividieren dann.

                      Vereinfachen Sie den Exponenten.8(−9) ÷ (−8)
                      Multiplizieren.−72 ÷ (−8)
                      Teilen.9

                      Übung (PageIndex{15})

                      Vereinfachen Sie: (12(−9) ÷ (−3)^3)

                      Antworten

                      (4)

                      Übung (PageIndex{16})

                      Vereinfachen Sie: (18(−4) ÷ (−2)^3)

                      Antworten

                      (9)

                      Beispiel (PageIndex{9}): vereinfachen

                      Vereinfachen Sie: (−30 ÷ 2 + (−3)(−7)).

                      Lösung

                      Zuerst multiplizieren und dividieren wir von links nach rechts. Dann werden wir hinzufügen.

                      Teilen.−15 + (−3)(−7)
                      Multiplizieren.−15 + 21
                      Hinzufügen.6

                      Übung (PageIndex{17})

                      Vereinfachen Sie: (−27 ÷ 3 + (−5)(−6))

                      Antworten

                      (21)

                      Übung (PageIndex{18})

                      Vereinfachen: (−32 ÷ 4 + (−2)(−7))

                      Antworten

                      (6)


                      3.4 Ganzzahlen multiplizieren und dividieren

                      Da Multiplikation eine mathematische Abkürzung für wiederholte Addition ist, kann unser Zählermodell leicht angewendet werden, um die Multiplikation ganzer Zahlen zu zeigen. Schauen wir uns dieses konkrete Modell an, um zu sehen, welche Muster wir bemerken. Wir werden die gleichen Beispiele verwenden, die wir für die Addition und Subtraktion verwendet haben.

                      Wir erinnern uns, dass a · b a · b bedeutet, a , b a , b mal addieren. Hier verwenden wir das in Abbildung 3.19 gezeigte Modell nur, um uns zu helfen, das Muster zu entdecken.

                      Beachten Sie, dass bei der Multiplikation zweier vorzeichenbehafteter Zahlen das Produkt positiv ist, wenn die Vorzeichen gleich sind, und wenn die Vorzeichen unterschiedlich sind, ist das Produkt negativ.

                      Multiplikation von Zahlen mit Vorzeichen

                      Das Vorzeichen des Produkts zweier Zahlen hängt von ihren Vorzeichen ab.

                      Beispiel 3.47

                      Multiplizieren Sie jeden der folgenden Punkte:

                      Lösung

                      Jedes Mal, wenn wir eine Zahl mit −1 , −1 multiplizieren, erhalten wir das Gegenteil.

                      Multiplikation mit −1 −1

                      Die Multiplikation einer Zahl mit −1 −1 ergibt das Gegenteil.

                      Beispiel 3.48

                      Multiplizieren Sie jeden der folgenden Punkte:

                      Lösung

                      Ganzzahlen dividieren

                      Die Division von Zahlen mit Vorzeichen folgt den gleichen Regeln wie die Multiplikation. Bei gleichen Vorzeichen ist der Quotient positiv, bei unterschiedlichen Vorzeichen ist der Quotient negativ.

                      Division von vorzeichenbehafteten Zahlen

                      Das Vorzeichen des Quotienten zweier Zahlen hängt von ihren Vorzeichen ab.

                      Denken Sie daran, dass Sie die Antwort auf eine Divisionsaufgabe jederzeit durch Multiplizieren überprüfen können.

                      Beispiel 3.49

                      Teilen Sie jeden der folgenden Punkte auf:

                      Lösung

                      Wenn wir eine Zahl durch −1 −1 teilen, erhalten wir das Gegenteil.

                      Division durch −1 −1

                      Beispiel 3.50

                      Teilen Sie jeden der folgenden Punkte auf:

                      Lösung

                      Beachten Sie, dass die Vorzeichen gleich waren, sodass der Quotient positiv war.

                      Ausdrücke mit ganzen Zahlen vereinfachen

                      Jetzt vereinfachen wir Ausdrücke, die alle vier Operationen – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division – mit ganzen Zahlen verwenden. Denken Sie daran, die Reihenfolge der Operationen einzuhalten.

                      Beispiel 3.51

                      Lösung

                      Wir verwenden die Reihenfolge der Operationen. Zuerst multiplizieren und dann von links nach rechts addieren und subtrahieren.

                      Beispiel 3.52

                      Lösung

                      Der Exponent gibt an, wie oft die Basis multipliziert werden soll.

                      Beispiel 3.53

                      Lösung

                      Entsprechend der Reihenfolge der Operationen vereinfachen wir zuerst in Klammern. Dann werden wir multiplizieren und schließlich subtrahieren.

                      Beispiel 3.54

                      Lösung

                      Wir vereinfachen zuerst den Exponenten, multiplizieren und dividieren dann.

                      Beispiel 3.55

                      Lösung

                      Zuerst multiplizieren und dividieren wir von links nach rechts. Dann werden wir hinzufügen.

                      Variablenausdrücke mit ganzen Zahlen auswerten

                      Jetzt können wir Ausdrücke auswerten, die Multiplikation und Division mit ganzen Zahlen beinhalten. Denken Sie daran, dass Sie zum Auswerten eines Ausdrucks die Zahlen durch die Variablen ersetzen und dann vereinfachen.

                      Beispiel 3.56

                      Werte 2 x 2 − 3 x + 8 aus, wenn x = −4 . Werte 2 x 2 − 3 x + 8 aus, wenn x = −4 .

                      Lösung

                      Beispiel 3.57

                      Werten Sie 3 x + 4 y − 6 aus, wenn x = −1 und y = 2 ist. Werten Sie 3 x + 4 y − 6 aus, wenn x = −1 und y = 2 ist.

                      Lösung

                      7 x + 6 y − 12 wenn x = −2 und y = 3 7 x + 6 y − 12 wenn x = −2 und y = 3

                      8 x − 6 y + 13 wenn x = −3 und y = −5 8 x − 6 y + 13 wenn x = −3 und y = −5

                      Übersetzen Sie Wortsätze in algebraische Ausdrücke

                      Noch einmal, all unsere früheren Arbeiten zur Übersetzung von Wörtern in die Algebra werden auf Phrasen übertragen, die sowohl das Multiplizieren als auch das Dividieren von ganzen Zahlen beinhalten. Denken Sie daran, dass das Schlüsselwort für die Multiplikation ist Produkt und für die Division ist Quotient.

                      Beispiel 3.58

                      Übersetzen Sie in einen algebraischen Ausdruck und vereinfachen Sie wenn möglich: das Produkt von −2 −2 und 14 . 14.

                      Lösung

                      Das Wort Produkt sagt uns, zu multiplizieren.

                      Übersetzen Sie in einen algebraischen Ausdruck und vereinfachen Sie wenn möglich:

                      Übersetzen Sie in einen algebraischen Ausdruck und vereinfachen Sie wenn möglich:

                      Beispiel 3.59

                      Übersetzen Sie in einen algebraischen Ausdruck und vereinfachen Sie wenn möglich: den Quotienten von −56 −56 und −7 . −7 .

                      Lösung

                      Das Wort Quotient sagt uns zu teilen.

                      Übersetzen Sie in einen algebraischen Ausdruck und vereinfachen Sie wenn möglich:

                      Übersetzen Sie in einen algebraischen Ausdruck und vereinfachen Sie wenn möglich:

                      Medien

                      ZUGRIFF AUF ZUSÄTZLICHE ONLINE-RESSOURCEN

                      Abschnitt 3.4 Übungen

                      Übung macht den Meister

                      Ganzzahlen multiplizieren

                      Multiplizieren Sie in den folgenden Übungen jedes Paar von ganzen Zahlen.

                      Ganzzahlen dividieren

                      Teilen Sie in den folgenden Übungen.

                      Ausdrücke mit ganzen Zahlen vereinfachen

                      Vereinfachen Sie in den folgenden Übungen jeden Ausdruck.

                      Variablenausdrücke mit ganzen Zahlen auswerten

                      Bewerten Sie in den folgenden Übungen jeden Ausdruck.

                      Übersetzen Sie Wortsätze in algebraische Ausdrücke

                      Übersetzen Sie in den folgenden Übungen in einen algebraischen Ausdruck und vereinfachen Sie wenn möglich.

                      Mathe im Alltag

                      Gewichtsverlust In der ersten Woche eines Diätprogramms verloren acht Frauen durchschnittlich 3 Pfund 3 Pfund pro Person. Wie hoch war die Gesamtgewichtsveränderung bei den acht Frauen?

                      Schreibübungen

                      Geben Sie in eigenen Worten die Regeln für die Multiplikation von zwei ganzen Zahlen an.

                      Geben Sie in eigenen Worten die Regeln für die Division zweier Ganzzahlen an.

                      Selbstüberprüfung

                      ⓐ Verwenden Sie nach Abschluss der Übungen diese Checkliste, um Ihre Beherrschung der Ziele dieses Abschnitts zu bewerten.

                      ⓑ Auf einer Skala von 1 bis 10, wie würden Sie Ihre Beherrschung dieses Abschnitts angesichts Ihrer Antworten auf der Checkliste bewerten? Wie können Sie dies verbessern?

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                        • Autoren: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
                        • Herausgeber/Website: OpenStax
                        • Buchtitel: Präalgebra 2e
                        • Erscheinungsdatum: 11.03.2020
                        • Ort: Houston, Texas
                        • Buch-URL: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
                        • Abschnitts-URL: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/3-4-multiply-and-divide-integers

                        © 21.01.2021 OpenStax. Von OpenStax produzierte Lehrbuchinhalte sind unter einer Creative Commons Attribution License 4.0-Lizenz lizenziert. Der OpenStax-Name, das OpenStax-Logo, die OpenStax-Buchcover, der OpenStax CNX-Name und das OpenStax CNX-Logo unterliegen nicht der Creative Commons-Lizenz und dürfen ohne die vorherige und ausdrückliche schriftliche Zustimmung der Rice University nicht reproduziert werden.


                        Fertige Arbeitsblätter

                        Diese Arbeitsblätter sind vorkonfiguriert, aber dennoch zufällig generiert. Sie können eine andere der gleichen Art erhalten, indem Sie die Seite in Ihrem Browser aktualisieren (F5).

                        Dezimaladdition

                        Dezimalsubtraktion

                        Dezimalmultiplikation

                        In Spalten multiplizieren

                        Dezimaldivision - Kopfrechnen

                        Lange Division

                        • Dividieren von Dezimalzahlen durch ganze Zahlen (1-3 Dezimalstellen einstelliger Divisor)
                        • Dividieren von Dezimalzahlen durch ganze Zahlen (1-3 Dezimalstellen zweistelliger Divisor)

                        Schlüssel zu Dezimal-Arbeitsmappen

                        Dies ist eine Arbeitsbuchreihe von Key Curriculum Press, die mit grundlegenden Konzepten und Operationen auf Dezimalzahlen beginnt. Dann behandeln die Bücher die reale Verwendung von Dezimalzahlen in Preisgestaltung, Sport, Metriken, Taschenrechnern und Wissenschaft.


                        Ganzzahlen – Kapitel 1/Zusätzliche Fragen für die Praxis.

                        1. Überprüfen Sie a – (-b) = a + b für die folgenden Werte von a und b.
                        i) a = 25, b = 15
                        ii) a = 75, b = 20
                        2. Schreiben Sie ein Paar von ganzen Zahlen, deren Summe ergibt
                        i) eine negative ganze Zahl
                        ii) Null
                        3. Schreiben Sie ein Paar von ganzen Zahlen, deren Differenz ergibt
                        i) eine negative ganze Zahl
                        ii) null
                        4. In einem Klassentest erzielte Manu -30, 20, 15 und Sanu 20, -15, 25 in drei Fächern. Wer hat mehr geschossen? Können wir sagen, dass wir ganze Zahlen in beliebiger Reihenfolge addieren können?
                        5. Füllen Sie die Lücken aus, um die folgenden Aussagen wahr zu machen:
                        i) (-5) + (-7) = ———– + (-5)
                        ii) 23 + ———- = 0
                        iii) (3 + (-7)) + (——) = 3 + ((-7) + 5)
                        6. Was wird das Vorzeichen des Produkts sein, wenn wir zusammen multiplizieren
                        i) 8 negative ganze Zahlen und 3 positive ganze Zahlen?
                        ii) 5 negative ganze Zahlen und 4 positive ganze Zahlen?
                        7. Finden Sie das Produkt:
                        i) (-1) x (-2) x (-5) x (-6)
                        ii) (-876) x (-1)
                        8. Ersetzen Sie das Leerzeichen durch eine ganze Zahl, um es zu einer wahren Aussage zu machen.
                        i) (-4) x ——– = 28
                        ii) 5 x ———- = – 45
                        9. Das Produkt (-9) x (-5) x (-6) x (-3) ist positiv, während das Produkt
                        (-9) x (-5) x 6 x (-3) ist negativ. Wieso den?
                        10. Finden-

                        i) (-36) geteilt durch (-4)
                        ii) (-100) geteilt durch (20)

                        1. i) a = 25, b = 15
                        LHS = a – (-b) = 25 – (-15) = 25 + 15 = 40.
                        RHS = a + b = 25 + 15 = 40.
                        Daher LHS = RHS. Also verifiziert.
                        ii) a = 75, b = 20
                        LHS= a- (-b) = 75 – (-20) = 75 + 20 = 95
                        RHS = a + b = 75 + 20 = 95.
                        Daher LHS = RHS. Also verifiziert.

                        2. i) (-11) + 6 = -5
                        ii) (-6) + (+6) = 0

                        3. i) (-20) –(-4) = (-20) + 4 = -16
                        ii) 6 – 6 = 0

                        4. Manus Punktzahl = (-30) +20+15 = 5
                        Sanus Punktzahl = 20 + (-15) +25 = 30
                        Sanu erzielte mehr.
                        Wir können ganze Zahlen in beliebiger Reihenfolge hinzufügen. Das ist als Kommutative Eigenschaft bekannt.
                        Ganze Zahlen sind bei Addition kommutativ.

                        5. i) (-5) + (-7) = (-7) + (-5)
                        ii) 23 + (-23) = 0
                        iii) [3 + (-7)] +5 = 3 + [(-7) +5]

                        6. i) Wenn die Anzahl der negativen ganzen Zahlen gerade ist, ist das Produkt positiv. In der gegebenen Frage gibt es 8 negative ganze Zahlen, da 8 eine gerade Zahl ist, wird ihr Produkt positiv sein.
                        ii) Wenn die Zahlen der negativen ganzen Zahlen ungerade sind, dann ist ihr Produkt negativ. In der gegebenen Frage gibt es 5 negative ganze Zahlen, da 5 eine ungerade Zahl ist, wird ihr Produkt negativ sein.

                        7. i) 60
                        Hier ist die Anzahl der negativen ganzen Zahlen 4, da 4 eine gerade Zahl ist, deren Produkt positiv ist. Also multipliziere die Zahlen und setze positives Vorzeichen.
                        ii) 876
                        Hier ist die Anzahl der negativen ganzen Zahlen 2, da 2 eine gerade Zahl ist, deren Produkt positiv ist. Also multipliziere die Zahlen und setze positives Vorzeichen.

                        8. i) (-4) x (-7) = 28
                        ii) 5 x (-9) = -45

                        9. In (-9) x (-5) x (-6) x (-3) beträgt die Anzahl der negativen ganzen Zahlen 4, da gerade ihr Produkt positiv ist, während in (-9) x (-5 ) x 6 x (-3), die Anzahl der negativen ganzen Zahlen beträgt 3, da 3 ungerade ist, ist ihr Produkt negativ.


                        Inhalt

                        Der einfachste Divisionsalgorithmus, historisch in einen größten gemeinsamen Teileralgorithmus integriert, der in Euklids Elemente, Buch VII, Proposition 1, findet den Rest bei zwei positiven ganzen Zahlen, indem nur Subtraktionen und Vergleiche verwendet werden:

                        Der Beweis, dass Quotient und Rest existieren und eindeutig sind (beschrieben bei der euklidischen Division), führt zu einem vollständigen Divisionsalgorithmus mit Additionen, Subtraktionen und Vergleichen:

                        Dieses Verfahren erzeugt immer R ≥ 0. Obwohl es sehr einfach ist, benötigt es Ω(Q) Schritte und ist daher exponentiell langsamer als selbst langsame Divisionsalgorithmen wie die lange Division. Es ist nützlich, wenn Q als klein bekannt ist (da es sich um einen ausgabeempfindlichen Algorithmus handelt) und als ausführbare Spezifikation dienen kann.

                        Die lange Division ist der Standardalgorithmus, der für die Division von mehrstelligen Zahlen in Dezimalschreibweise mit Stift und Papier verwendet wird. Er verschiebt sich allmählich vom linken zum rechten Ende des Dividenden, wobei in jeder Stufe das größtmögliche Vielfache des Divisors (auf Ziffernebene) abgezogen wird. Die Vielfachen werden dann die Ziffern des Quotienten, und die letzte Differenz ist dann der Rest.

                        Bei Verwendung mit einem binären Radix bildet dieses Verfahren die Grundlage für den (vorzeichenlosen) ganzzahligen Division mit Rest-Algorithmus unten. Kurze Division ist eine abgekürzte Form der langen Division, die für einstellige Teiler geeignet ist. Chunking – auch bekannt als partielle Quotientenmethode oder Hangman-Methode – ist eine weniger effiziente Form der langen Division, die möglicherweise leichter zu verstehen ist. Indem man erlaubt, mehr Vielfache zu subtrahieren, als man derzeit auf jeder Stufe hat, kann auch eine freiere Variante der langen Division entwickelt werden [1]

                        Ganzzahldivision (ohne Vorzeichen) mit Rest Bearbeiten

                        Der folgende Algorithmus, die binäre Version der berühmten langen Division, wird dividieren n von D, setzt den Quotienten in Q und der Rest in R. Im folgenden Code werden alle Werte als Ganzzahlen ohne Vorzeichen behandelt.

                        Beispiel Bearbeiten

                        Schritt 1: Setze R=0 und Q=0
                        Schritt 2: Nimm i=3 (eins weniger als die Anzahl der Bits in N)
                        Schritt 3: R=00 (nach links verschoben um 1)
                        Schritt 4: R=01 (Einstellung von R(0) auf N(i))
                        Schritt 5: F<D, also Anweisung überspringen

                        Schritt 2: Setze i=2
                        Schritt 3: R=010
                        Schritt 4: R=011
                        Schritt 5: F<D, Anweisung übersprungen

                        Schritt 2: Setze i=1
                        Schritt 3: R=0110
                        Schritt 4: R=0110
                        Schritt 5: R>=D, Anweisung eingegeben
                        Schritt 5b: R=10 (R−D)
                        Schritt 5c: Q=10 (Einstellung von Q(i) auf 1)

                        Schritt 2: Setze i=0
                        Schritt 3: R=100
                        Schritt 4: R=100
                        Schritt 5: R>=D, Anweisung eingegeben
                        Schritt 5b: R=0 (R−D)
                        Schritt 5c: Q=11 (Einstellung von Q(i) auf 1)

                        Langsame Divisionsmethoden basieren alle auf einer Standard-Rekursionsgleichung [2]

                        • RJ ist der J-ter Teilrest der Division
                        • B ist die Radix (Basis, normalerweise 2 intern in Computern und Taschenrechnern)
                        • Qn − (J + 1) ist die Ziffer des Quotienten in Position n−(j+1), wobei die Ziffernpositionen von der niederwertigsten 0 bis zur höchstwertigen nummeriert sind n−1
                        • n ist die Anzahl der Stellen im Quotienten
                        • D ist der Teiler

                        Teilung wiederherstellen Bearbeiten

                        Die Wiederherstellung der Division funktioniert mit Festkomma-Bruchzahlen und hängt von der Annahme ab 0 < D < n. [ Zitat benötigt ]

                        Die Quotientenziffern Q werden aus der Ziffernmenge <0,1> gebildet.

                        Der grundlegende Algorithmus für die binäre (Radix 2) Wiederherstellung der Division ist:

                        Die nicht durchgeführte Wiederherstellung der Division ähnelt der Wiederherstellung der Division, außer dass der Wert von 2R gespeichert wird D muss für den Fall von R < 0 nicht wieder hinzugefügt werden.

                        Nicht wiederherstellende Abteilung Bearbeiten

                        Bei der nicht wiederherstellenden Division wird für die Quotientenziffern anstelle von <0, 1> die Ziffernmenge <−1, 1> verwendet. Der Algorithmus ist komplexer, hat aber bei der Implementierung in Hardware den Vorteil, dass es nur eine Entscheidung und Addition/Subtraktion pro Quotientenbit gibt es gibt keinen Wiederherstellungsschritt nach der Subtraktion, was die Anzahl der Operationen potenziell um die Hälfte reduziert und lässt es schneller ausgeführt werden. [3] Der grundlegende Algorithmus für die binäre (Radix 2) nicht wiederherstellende Division von nicht negativen Zahlen ist:

                        Nach diesem Algorithmus liegt der Quotient in einer nicht standardmäßigen Form vor, die aus Ziffern von –1 und +1 besteht. Diese Form muss in binär umgewandelt werden, um den endgültigen Quotienten zu bilden. Beispiel:

                        Wandeln Sie den folgenden Quotienten in die Ziffernmenge <0,1> um:
                        Start: Q = 111 1 ¯ 1 1 ¯ 1 1 ¯ >1<ar <1>>1<ar <1>>>
                        1. Bilden Sie den positiven Term: P = 11101010
                        2. Maskieren Sie den negativen Term*: M = 00010101
                        3. Subtrahiere: P − M : Q = 11010101
                        *.( Vorzeichenbehaftete binäre Notation mit Einerkomplement ohne Zweierkomplement)

                        Schließlich sind die von diesem Algorithmus berechneten Quotienten immer ungerade, und der Rest in R liegt im Bereich −D ≤ R < D. Zum Beispiel 5 / 2 = 3 R −1. Um in einen positiven Rest umzuwandeln, führen Sie einen einzelnen Wiederherstellungsschritt aus nach Q wird von der Nicht-Standard-Form in die Standard-Form umgewandelt:

                        Der tatsächliche Rest ist R >> n. (Wie beim Wiederherstellen der Division werden die niederwertigen Bits von R mit der gleichen Rate verbraucht, wie die Bits des Quotienten Q erzeugt werden, und es ist üblich, für beide ein einziges Schieberegister zu verwenden.)

                        SRT-Abteilung Bearbeiten

                        Die SRT-Division wurde nach ihren Schöpfern (Sweeney, Robertson und Tocher) benannt und ist eine beliebte Methode zur Division in vielen Mikroprozessorimplementierungen. [4] [5] Die SRT-Division ähnelt der Division ohne Wiederherstellung, verwendet jedoch eine Nachschlagetabelle, die auf dem Dividenden und dem Divisor basiert, um jede Quotientenziffer zu bestimmen.

                        Der bedeutendste Unterschied ist, dass a redundante Darstellung wird für den Quotienten verwendet. Wenn Sie beispielsweise eine Radix-4-SRT-Division implementieren, wird jede Quotientenstelle ausgewählt aus fünf Möglichkeiten: < −2, −1, 0, +1, +2 >. Aus diesem Grund muss die Wahl einer Quotientenziffer nicht perfekt sein, spätere Quotientenziffern können leichte Fehler korrigieren. (Zum Beispiel sind die Quotientenziffernpaare (0, +2) und (1, −2) äquivalent, da 0×4+2 = 1×4−2.) Diese Toleranz erlaubt es, Quotientenziffern mit nur wenigen die höchstwertigen Bits des Dividenden und Divisors, anstatt eine Subtraktion in voller Breite zu erfordern. Diese Vereinfachung ermöglicht wiederum die Verwendung einer Radix höher als 2.

                        Wie bei der nicht wiederherstellenden Division sind die letzten Schritte eine abschließende Subtraktion der vollen Breite, um das letzte Quotientenbit aufzulösen, und die Umwandlung des Quotienten in die Standard-Binärform.

                        Der berüchtigte Fehler bei der Gleitkomma-Division des Intel Pentium-Prozessors wurde durch eine falsch codierte Nachschlagetabelle verursacht. Fünf der 1066 Einträge waren fälschlicherweise weggelassen worden. [6] [7]

                        Newton-Raphson-Division Bearbeiten

                        Die Schritte der Newton-Raphson-Division sind:

                        Diese Quadratur des Fehlers bei jedem Iterationsschritt – die sogenannte quadratische Konvergenz des Newton-Raphson-Verfahrens – bewirkt, dass die Anzahl der korrekten Stellen im Ergebnis ungefähr verdoppelt sich bei jeder Iteration, eine Eigenschaft, die sehr wertvoll wird, wenn die beteiligten Zahlen viele Stellen haben (z. B. im großen Integer-Bereich). Es bedeutet aber auch, dass die anfängliche Konvergenz der Methode vergleichsweise langsam sein kann, insbesondere wenn die anfängliche Schätzung X 0 > schlecht gewählt ist.

                        um Newton-Raphson zu initialisieren. Um das Maximum des Absolutwerts des Fehlers dieser Näherung auf Intervall [ 0.5 , 1 ] zu minimieren, sollte man verwenden

                        Es ist möglich, eine Polynomanpassung mit einem Grad größer als 1 zu erzeugen, indem die Koeffizienten unter Verwendung des Remez-Algorithmus berechnet werden. Der Kompromiss besteht darin, dass die anfängliche Schätzung mehr Rechenzyklen erfordert, aber hoffentlich im Austausch für weniger Iterationen von Newton-Raphson.

                        Da für diese Methode die Konvergenz exakt quadratisch ist, folgt

                        Pseudocode bearbeiten

                        Im Folgenden wird der Quotient von N und D mit einer Genauigkeit von P Binärstellen berechnet:

                        Für eine Gleitkommadivision mit doppelter Genauigkeit verwendet diese Methode beispielsweise 10 Multiplikationen, 9 Additionen und 2 Verschiebungen.

                        Variante Newton-Raphson-Division Bearbeiten

                        Das Newton-Raphson-Divisionsverfahren kann wie folgt modifiziert werden, um etwas schneller zu sein. Nach dem Schalten n und D damit D ist in [0.5, 1.0], initialisieren mit

                        Dies ist die beste quadratische Anpassung an 1/D und gibt einen Absolutwert des Fehlers kleiner oder gleich 1/99 an. Es wird gewählt, um den Fehler gleich einem neu skalierten Tschebyscheff-Polynom dritter Ordnung der ersten Art zu machen. Die Koeffizienten sollten vorberechnet und hartcodiert sein.

                        Verwenden Sie dann in der Schleife eine Iteration, die den Fehler würfelt.

                        Das Ja·E Begriff ist neu.

                        Wenn die Schleife ausgeführt wird, bis X mit 1/ übereinstimmtD auf seiner führenden P Bits, dann beträgt die Anzahl der Iterationen nicht mehr als

                        Dies ist die Anzahl von Malen, die 99 gewürfelt werden muss, um 2 . zu erhalten P+1. Dann

                        ist der Quotient zu P Bits.

                        Die Verwendung von Polynomen höheren Grades entweder bei der Initialisierung oder der Iteration führt zu einer Verschlechterung der Leistung, da die erforderlichen zusätzlichen Multiplikationen besser für die Durchführung von mehr Iterationen ausgegeben würden.

                        Geschäftsbereich Goldschmidt Bearbeiten

                        Die Goldschmidt-Division [8] (nach Robert Elliott Goldschmidt [9] ) verwendet einen iterativen Prozess, bei dem Dividende und Divisor wiederholt mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert werden common Fich, so gewählt, dass der Divisor gegen 1 konvergiert. Dadurch konvergiert der Dividenden gegen den gesuchten Quotienten Q:

                        Die Schritte für die Goldschmidt-Division sind:

                        1. Erzeuge eine Schätzung für den Multiplikationsfaktor Fich .
                        2. Multiplizieren Sie den Dividenden und den Divisor mit Fich .
                        3. Wenn der Divisor nahe genug an 1 liegt, geben Sie den Dividenden zurück, andernfalls fahren Sie mit Schritt 1 fort.

                        Angenommen n/D wurde so skaliert, dass 0 < D < 1, jeweils Fich basiert auf D:

                        Die Multiplikation von Dividende und Divisor mit dem Faktor ergibt:

                        Nach einer ausreichenden Anzahl k der Iterationen Q = N k > .

                        Die Goldschmidt-Methode wird in AMD Athlon-CPUs und späteren Modellen verwendet. [10] [11] Er ist auch als Anderson Earle Goldschmidt Powers (AEGP)-Algorithmus bekannt und wird von verschiedenen IBM-Prozessoren implementiert. [12] [13]

                        Binomialsatz Bearbeiten

                        Die Goldschmidt-Methode kann mit Faktoren verwendet werden, die Vereinfachungen durch den Binomialsatz erlauben. Angenommen, N/D sei mit einer Potenz von 2 skaliert worden, so dass D ∈ ( 1 2 , 1 ] <2>>,1]> . Wir wählen D = 1 − x und F i = 1 + x 2 i =1+x^<2^>> . Dies ergibt

                        Verfahren, die für eine Hardwareimplementierung entwickelt wurden, skalieren im Allgemeinen nicht auf ganze Zahlen mit Tausenden oder Millionen von Dezimalstellen, dies tritt beispielsweise häufig bei modularen Reduktionen in der Kryptographie auf. Für diese großen ganzen Zahlen transformieren effizientere Divisionsalgorithmen das Problem, um eine kleine Anzahl von Multiplikationen zu verwenden, die dann mit einem asymptotisch effizienten Multiplikationsalgorithmus wie dem Karatsuba-Algorithmus, der Toom-Cook-Multiplikation oder dem Schönhage-Strassen-Algorithmus durchgeführt werden können. Das Ergebnis ist, dass die Rechenkomplexität der Division dieselbe Größenordnung hat (bis zu einer multiplikativen Konstante) wie die der Multiplikation. Beispiele sind die Reduktion auf Multiplikation durch das oben beschriebene Newton-Verfahren [14] sowie die etwas schnelleren Barrett-Reduktions- und Montgomery-Reduktionsalgorithmen. [fünfzehn] [ Verifizierung erforderlich ] Newtons Methode ist besonders effizient in Szenarien, in denen man viele Male durch denselben Divisor dividieren muss, da nach der anfänglichen Newton-Inversion nur eine (abgeschnittene) Multiplikation für jede Division benötigt wird.

                        Die Division durch eine Konstante D entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert. Da der Nenner konstant ist, ist auch sein Kehrwert (1/D). Somit ist es möglich, den Wert von (1/D) einmal zur Kompilierzeit und zur Laufzeit die Multiplikation durchführen n·(1/D) statt der Teilung N/D. In der Gleitkomma-Arithmetik wird die Verwendung von (1/D) stellt kein Problem dar, aber in der ganzzahligen Arithmetik wird der Kehrwert immer zu Null ausgewertet (unter der Annahme von |D| >1).

                        Es ist nicht notwendig, speziell zu verwenden (1/D) beliebiger Wert (x/Ja), die sich auf (1/D) könnte genutzt werden. Für die Division durch 3 könnten beispielsweise die Faktoren 1/3, 2/6, 3/9 oder 194/582 verwendet werden. Folglich, wenn Ja bei einer Zweierpotenz würde sich der Divisionsschritt auf eine schnelle Bitverschiebung nach rechts reduzieren. Die Wirkung der Berechnung n/D wie (n·x)/Ja ersetzt eine Division durch eine Multiplikation und eine Verschiebung. Beachten Sie, dass die Klammern wichtig sind, da n·(x/Ja) wird zu Null ausgewertet.

                        Allerdings, es sei denn D selbst ist eine Zweierpotenz, es gibt keine x und Ja das die oben genannten Bedingungen erfüllt. Glücklicherweise, (n·x)/Ja liefert genau das gleiche Ergebnis wie n/D in ganzzahliger Arithmetik auch dann, wenn (x/Ja) ist nicht genau gleich 1/D, aber "nahe genug", dass der durch die Approximation eingeführte Fehler in den Bits liegt, die durch die Schiebeoperation verworfen werden. Moderne Compiler führen diese Optimierung üblicherweise [16] [17] [18] für eine Konstante durch, die nur zur Laufzeit bekannt ist, jedoch muss das Programm die Optimierung selbst implementieren. [19]

                        In einigen Fällen kann die Division durch eine Konstante in noch kürzerer Zeit durchgeführt werden, indem die "Multiplikation mit einer Konstanten" in eine Reihe von Verschiebungen und Additionen oder Subtraktionen umgewandelt wird. [20] Von besonderem Interesse ist die Division durch 10, für die man den exakten Quotienten erhält, ggf. mit Rest. [21]

                        Rundungsfehler können aufgrund begrenzter Genauigkeit durch Divisionsoperationen eingeführt werden.


                        3.7: Ganzzahlen multiplizieren und dividieren (Teil 1)

                        mit folgender Interpretation: 3/5 = 6/10 = 9/15 = . Das Ganze in 5 Teile zu teilen und 3 davon zu nehmen, ist dasselbe wie das Teilen in 10 Teile und 6 Teile und so weiter. Ein Applet veranschaulicht diese Idee. Bewegen Sie die Maus langsam und beobachten Sie, wie gleiche Brüche aufleuchten.

                        Wenn Sie dies lesen, ist Ihr Browser nicht auf die Ausführung von Java-Applets eingestellt. Probieren Sie IE11 oder Safari aus und deklarieren Sie die Site https://www.cut-the-knot.org als vertrauenswürdig im Java-Setup.

                        Bedenkt man, dass die u-Eigenschaft die Addition und Subtraktion von Brüchen auf die von ganzen Zahlen reduziert. 1 Quinte + 2 Quinten = 3 Quinten. In mathematischen Notationen: Was ist mit allgemeineren Situationen: Antwort: Da wir nur Größen in denselben Einheiten addieren oder subtrahieren können, sollten wir zuerst "2 Fünftel" und "3 Siebtel" in gemeinsamen Einheiten beschreiben. Fügen Sie keine Äpfel und Orangen hinzu. 2/5 + 3/7 = 14/35 + 15/35 = 29/35. Ob das Ergebnis am niedrigsten ist oder nicht, ist an dieser Stelle absolut irrelevant.

                        Eine Kombination von u- und d-Eigenschaften ist auch nützlich, um den Multiplikationsalgorithmus zu rechtfertigen: "2/5 mal 3/7" ist dasselbe wie "2 fünfte mal 3 siebte", was dasselbe wie "6 fünfte-siebte" ist, wo fünftes-siebtes ist eine Maßeinheit, die dem fünften Teil von 1 Siebtel entspricht, d. h. 1/7 geteilt durch 5, was 1/35 des Ganzen ist.

                        Die Teilung ist natürlich die letzte Operation, über die gesprochen werden muss. Die allgegenwärtige Regel "Invert the Divisor and Multiply" bleibt vielen Studenten ein tiefes Rätsel. Aus meiner Sicht lässt sich die Bruchteilung am besten anhand der u-Eigenschaft erklären. Betrachten Sie eine (vielleicht erfundene) Situation: 12 Torten wurden gleichmäßig in mehrere Gruppen aufgeteilt, sodass jede Gruppe 3 Torten enthielt. Wie viele Gruppen gab es? Antwort: 12 Torten geteilt durch 3 Torten ergibt 4. Es ist wiederum praktisch, Mengen in den gleichen Einheiten anzugeben. Was ist 2/5 geteilt durch 3/7? Schreiben wir zuerst Also: Wenn wir die d-Eigenschaft aufrufen, sehen wir, dass geteilt durch 14/15 ist. Daher ergibt 2/5 geteilt durch 3/7 14/15. Allgemein,

                        Hier sind zusätzliche Seiten zu den Definitionen, Eigenschaften und Operationen von Brüchen:


                        Hier ist eine Beispielgleichung und ein schrittweiser Prozess, um sie zu lösen:

                        Beispielgleichung: x/7 = 2/3

                        Schritt 1: Multiplizieren Sie beide Seiten mit 7.

                        x/7 * 7 = 2/3 * 7

                        Multipliziere 2 und 7, um 14 zu erhalten.

                        x/7 * 7 = 14/3

                        Löschen Sie /7 * 7, um x zu belassen, und konvertieren Sie, um nach x aufzulösen.

                        x = 14/3 = 4 2/3

                        Sie multiplizieren beide Seiten mit 7, um den Nenner auf der linken Seite der Gleichung zu eliminieren. Die 7er heben sich links auf. Dann löst du die Gleichung nach x auf. Als letzten Schritt wandeln Sie den unechten Bruch 14/3 in den gemischten Bruch 4 und 2/3 um.

                        Beachten Sie, dass Sie nur die 7 im Nenner gekreuzt haben. Wenn Sie mit 23*x/7 = 2/3 begonnen hätten, hätten Sie beide Seiten mit 7/23 anstelle von nur 7 kreuzmultipliziert. Damit bliebe nur x auf der linken Seite.


                        Brüche in Wortaufgaben:


                          Was sind zwei Viertel von zwölf?
                          Der Quotient von g und 55 ist gleich 279. Was ist g?
                          Sei k eine unbekannte Zahl, drücke die folgenden Ausdrücke aus: 1. Die Summe der Zahl n und zwei 2. Der Quotient der Zahlen n und neun 3. Die doppelte Zahl n 4. Die Differenz zwischen neun und der Zahl n 5. Neun weniger als die Zahl n
                          Für wie viele Personen reichen 90 Liter Suppe, wenn wir 3/8 Liter Suppe pro Person in der Kantine annehmen?
                          Wie viele Produkte mit einem Gewicht von 12,5 kg können auf einen Güterwagen mit einer Zuladung von 1,5 t geladen werden, um zwei Drittel zu laden?
                          Berechnen Sie die Kehrzahlen zu den gegebenen reellen Zahlen.
                          Ein Drittel der Stange ist blau, die Hälfte der Stange ist rot, der Rest der Stange ist weiß und misst 8 cm. Wie lang ist die ganze Stange?
                          Gegeben ist die Zahl C = 281, D = 201. Finden Sie die höchste natürliche Zahl S, so dass C:S, D:S mit Rest 1 sind.
                          Welcher Teil des Tages sind 23 Stunden 22 Minuten? Als Dezimalzahl ausdrücken.
                          Sie werden feststellen, dass das College langsam jede zweite High School hochfährt. In der Slowakei/Tschechien studieren viele Leute Politikwissenschaft, Medienkommunikation, Soziale Arbeit, viele Arten von Management MBA. Berechnen Sie, wie oft mehr clever 25-Jahre verdient
                          Auflösen nach x: 7: x = 14: 1000
                          Four cooks cleaned 5 kg of potatoes for 10 minutes. How many cook would have to work clean 9 kg of potatoes for 12 minutes?
                          A baker has 5 1/4 pies in her shop. She cut the pies in pieces that are each 1/8 of a whole pie. How many pieces of pie does she have?

                        Multiplying Integers


                        Image Source: http://wme.cs.kent.edu

                        Can you work out how many soldiers are in the photo ?

                        We can see they are standing “three deep” : there is a soldier in the front, one in the middle, and one at the back.

                        There are three rows of soldiers.

                        We can also see that there are seven soldiers when we look across the front row of the photo.

                        So in the soldiers photo we have the following situation:


                        Image Source: http://www.utdanacenter.org

                        We can add up the seven lots of three and obtain an answer of 21.

                        Or we can multiply and say that 3 x 7 = 21 or 7 x 3 = 21.

                        Multiplication involves adding up how many lots of something we have.

                        For example 2 x 3 means we have “two lots of 3”, or 3 + 3, which equals 6.

                        4 x 3 means we have “four lots of 3”, or 3 + 3 + 3 + 3 which is 12.

                        When we have big numbers to multiply like 12 x 3, then we have to add up the three twelve times like this:

                        3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3

                        to obtain an answer of 36.

                        In primary school we learn our multiplying tables and know that 12 x 3 = 36, 7 x 3 = 21, 2 x 3 = 6, and so on.

                        It is much quicker and easier to know the multiplication tables than to write out long addition sums and add them up.

                        Multiplying Using Negative Numbers

                        But what about negative numbers ?

                        then we have two lots of -3

                        is four lots of negative 3

                        But what about something like:

                        We can think of the negative sign at the start of the sum as meaning “the opposite of”.

                        So for -2 x 3 we need to find the opposite of 2 x 3.

                        Now here is the hardest one to get our head around:

                        = +6 but we usually leave the positive sign off normal numbers

                        That was a very long lot of working out!

                        Integer Multiplication Rules

                        All the thinking and working out of how many lots of, and opposites of, and opposites of opposites, can get quite challenging.

                        But thankfully, Mathematicians noticed a pattern that Integer multiplications always follow, which goes like this:

                        These Integer Multiplication Rules can be summarised as follows.

                        In the summary diagram above:

                        + means a positive number and does not mean addition.

                        – means a negative number and does not mean subtraction.

                        the “x” means multiply, and does not stand for the algebra variable “x”.

                        Integer Multiplying Rules Song

                        Here is a great short soulful song all about Integer Multiplying Rules .

                        Love Hate Rules for Multiplying Integers

                        These rules came from the webpage: http://7math.wikispaces.com/Integers

                        and they are a helpful way of remembering the multiplying rules.

                        It is good (+) to love (+), and it is bad (-) to hate (-)!

                        If you love to love, that is good. (positive x positive = positive)
                        If you love to hate, that is bad. (positive x negative = negative)
                        If you hate to love, that is bad. (negative x positive = negative)
                        If you hate to hate, that is good. (negative x negative = positive)

                        Same Sign Positive “SSP” Rule

                        The previous Integer Rules diagram we had was as follows:

                        This diagram can be summarised even further:

                        Notice that the following always happens in the above diagram when multiplying integers:

                        Positive x Positive = Positive Answer

                        Negative x Negative = Positive Answer

                        If we multiply two items that have the same sign, we always get a positive answer.

                        If the items are not the same sign we get a negative answer when multiplying.

                        This is summarised into the sentence:

                        When MULTIPLYING : Same Sign Positive, Different Signs Negative.

                        Some people like to remember this rule in terms of relationships:

                        Two people the same will get along okay, and have a Positive relationship.

                        Two people that are completely different will probably not get along and have a negative relationship.

                        Multiplying Integers Video

                        The following video shows some examples that use the “same Sign Positive” rule.
                        [youtube http://www.youtube.com/watch?v=D3jfoq5HtXc]

                        Multiplying Integers Using the Triangle Rule

                        Some people like to summarise the integer multiplying rules into a Triangle, and draw this triangle next to their working out for each multiplying question that they do.

                        The following video shows how to do this.

                        Note that Americans use a dot instead of a multiplying “X” sign.

                        Also note that the same rules for multiplying also work for dividing, which we will be covering in a later lesson.

                        Summary of Multiplying Rules

                        We hope we have not confused everyone by supplying so many versions of the Integer Multiplying Rules.
                        Here at Passy World we like to use “SSP” : “Same Sign Positive, otherwise Negative”, because we find it quick and easy.

                        However, we recommend that you pick the Rule method which works best for you.

                        The “+ – – Triangle”, or the “Love Hate” rules work just as well as “SSP”.

                        Example 1 : 4 x -3

                        The question contains different signed numbers multiplied together,
                        so using the “SSP” rule the answer needs to be Negative.

                        Here we have the same signs, and so using “SSP” rule, the answer will be Positive.

                        Here we have different signs, and so using “SSP” rule, the answer will be Negative.

                        Here we have the same signs, (both numbers are positive), and so using “SSP” rule the answer will be Positive.

                        Integer Warp Multiplying Integers Game

                        To play this game We need to know our multiplying rules which are:

                        – x – = a Positive answer (Same Sign = Positive answer)

                        + x – = a Negative answer (Different signs = Negative answer)

                        Click on the image below, or the text link which follows, to play this game.

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