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4.2E: Übungen


Berechnung parametrischer Kurven

Übung (PageIndex{1})

Für die folgenden Übungen stellt jeder Satz parametrischer Gleichungen eine Linie dar. Ermitteln Sie die Steigung jeder Linie, ohne den Parameter zu eliminieren.

1) (displaystyle x=3+t,y=1−t)

2) (displaystyle x=8+2t,y=1)

3) (displaystyle x=4−3t,y=−2+6t)

4) (displaystyle x=−5t+7,y=3t−1)

Antworten

Lösung 2: 0,

Lösung 4: (displaystyle frac{−3}{5})

Übung (PageIndex{2})

Bestimmen Sie für die folgenden Übungen die Steigung der Tangente und finden Sie dann die Gleichung der Tangente bei dem gegebenen Wert des Parameters.

5) (displaystyle x=3sint,y=3cost,t=frac{π}{4})

6) (displaystyle x=Kosten,y=8sint,t=frac{π}{2})

7) (displaystyle x=2t,y=t^3,t=−1)

8) (displaystyle x=t+frac{1}{t},y=t−frac{1}{t},t=1)

9) (displaystyle x=sqrt{t},y=2t,t=4)

Antworten

Lösung 6: (displaystyle Slope=0; y=8.),

Lösung 8: Die Steigung ist undefiniert; (displaystyle x=2).

Übung (PageIndex{3})

Finden Sie für die folgenden Übungen alle Punkte auf der Kurve, die die angegebene Steigung haben.

10) (displaystyle x=4cost,y=4sint,) Steigung = 0.5

11) (displaystyle x=2Kosten,y=8sint,Steigung=−1)

12) (displaystyle x=t+frac{1}{t},y=t−frac{1}{t},Steigung=1)

13) (displaystyle x=2+sqrt{t},y=2−4t,Steigung=0)

Antworten

Lösung 10: (displaystyle t=arctan(−2); (frac{4}{sqrt{5}},frac{−8}{sqrt{5}})),

Lösung 12: Keine Punkte möglich; undefinierter Ausdruck.

Übung (PageIndex{4})

Schreiben Sie für die folgenden Übungen die Tangentengleichung in kartesischen Koordinaten für den gegebenen Parameter t.

14) (displaystyle x=e^{sqrt{t}},y=1−lnt^2,t=1)

15) (displaystyle x=tlnt,y=sin^2t,t=frac{π}{4})

16) (displaystyle x=e^t,y=(t−1)^2,at(1,1))

17) Für (displaystyle x=sin(2t),y=2sint) wobei (displaystyle 0≤t<2π.) Bestimme alle Werte von t, bei denen eine horizontale Tangente existiert.

18) Für (displaystyle x=sin(2t),y=2sint) wobei (displaystyle 0≤t<2π). Finden Sie alle Werte von t, bei denen eine vertikale Tangente existiert.

19) Finden Sie alle Punkte auf der Kurve (displaystyle x=4cos(t),y=4sin(t)), die die Steigung (displaystyle frac{1}{2}) haben.

20) Finden Sie (displaystyle frac{dy}{dx}) für (displaystyle x=sin(t),y=cos(t)).

21) Finden Sie die Tangentengleichung an (displaystyle x=sin(t),y=cos(t)) bei (displaystyle t=frac{π}{4}).

22) Bestimmen Sie für die Kurve (displaystyle x=4t,y=3t−2,) die Steigung und Konkavität der Kurve bei (displaystyle t=3).

23) Bestimmen Sie für die parametrische Kurve mit der Gleichung (displaystyle x=4cosθ,y=4sinθ) die Steigung und Konkavität der Kurve bei (displaystyle θ=frac{π}{4}).

24) Bestimmen Sie die Steigung und Konkavität für die Kurve, deren Gleichung (displaystyle x=2+secθ,y=1+2tanθ) bei (displaystyle θ=frac{π}{6}) lautet.

25) Finden Sie alle Punkte auf der Kurve (displaystyle x=t+4,y=t^3−3t), an denen es vertikale und horizontale Tangenten gibt.

26) Finden Sie alle Punkte auf der Kurve (displaystyle x=secθ,y=tanθ), an denen horizontale und vertikale Tangenten existieren.

Antworten

Lösung 14: (displaystyle y=−(frac{2}{e})x+3),

Lösung 16: (displaystyle y=2x−7),

Lösung 18: (displaystyle frac{π}{4},frac{5π}{4},frac{3π}{4},frac{7π}{4}),

Lösung 20: (displaystyle frac{dy}{dx}=−tan(t)),

Lösung 22: (displaystyle frac{dy}{dx}=frac{3}{4}) und (displaystyle frac{d^2y}{dx^2}=0), also Kurve ist bei (displaystyle t=3) weder nach oben noch nach unten konkav. Daher ist der Graph linear und hat eine konstante Steigung, aber keine Konkavität.

Lösung 24: (displaystyle frac{dy}{dx}=4,frac{d^2y}{dx^2}=−6sqrt{3};) die Kurve ist bei ( Anzeigestil θ=frac{π}{6}).

Lösung 26: Keine horizontalen Tangenten. Vertikale Tangenten bei (displaystyle (1,0),(−1,0)).

Übung (PageIndex{5})

Für die folgenden Übungen finden Sie (displaystyle d^2y/dx^2).

27) (displaystyle x=t^4−1,y=t−t^2)

28) (displaystyle x=sin(πt),y=cos(πt))

29) (displaystyle x=e^{−t},y=te^{2t})

Antworten

Lösung 28: (displaystyle −sec^3(πt))

Übung (PageIndex{6})

Suchen Sie für die folgenden Übungen Punkte auf der Kurve, an denen die Tangente horizontal oder vertikal ist.

30) (displaystyle x=t(t^2−3),y=3(t^2−3))

31) (displaystyle x=frac{3t}{1+t^3},y=frac{3t^2}{1+t^3})

Antworten

Lösung 30: Horizontal (displaystyle (0,−9)); vertikal (displaystyle (±2,−6).)

Übung (PageIndex{7})

Suchen Sie für die folgenden Übungen (displaystyle dy/dx) beim Wert des Parameters.

32) (displaystyle x=Kosten,y=sint,t=frac{3π}{4})

33) (displaystyle x=sqrt{t},y=2t+4,t=9)

34) (displaystyle x=4cos(2πs),y=3sin(2πs),s=−frac{1}{4})

Antworten

Lösung 32: 1,

Lösung 34: 0

Übung (PageIndex{8})

Suchen Sie für die folgenden Übungen (displaystyle d^2y/dx^2) an der angegebenen Stelle, ohne den Parameter zu eliminieren.

35) (displaystyle x=frac{1}{2}t^2,y=frac{1}{3}t^3,t=2)

36) (displaystyle x=sqrt{t},y=2t+4,t=1)

37) Finden Sie t Intervalle, auf denen die Kurve (displaystyle x=3t^2,y=t^3−t) sowohl nach oben als auch nach unten konkav ist.

38) Bestimmen Sie die Konkavität der Kurve (displaystyle x=2t+lnt,y=2t−lnt).

39) Skizzieren und finden Sie die Fläche unter einem Bogen der Zykloide (displaystyle x=r(θ−sinθ),y=r(1−cosθ)).

40) Bestimme die Fläche, die von der Kurve (displaystyle x=cost,y=e^t,0≤tracfrac{π}{2}) und den Linien (displaystyle y=1) und (displaystyle x=0).

41) Bestimme die von der Ellipse eingeschlossene Fläche (displaystyle x=acosθ,y=bsinθ,0≤θ<2π.)

42) Bestimme die Fläche der Region, die von (displaystyle x=2sin^2θ,y=2sin^2θtanθ) begrenzt wird, für (displaystyle 0≤θ≤frac{π}{2}).

Antworten

Lösung 36: 4,

Lösung 38: Konkav auf (displaystyle t>0),

Lösung 40: 1,

Lösung 42: (displaystyle frac{3π}{2})

Übung (PageIndex{9})

Ermitteln Sie für die folgenden Übungen die Fläche der durch die parametrischen Kurven begrenzten Bereiche und die angezeigten Werte des Parameters.

43) (displaystyle x=2cotθ,y=2sin^2θ,0≤θ≤π)

44) [T] (displaystyle x=2acost−acos(2t),y=2asint−asin(2t),0≤t<2π)

45) [T] (displaystyle x=asin(2t),y=bsin(t),0≤t<2π) (die „Sanduhr“)

46) [T] (displaystyle x=2acost−asin(2t),y=bsint,0≤t<2π) (die „Träne“)

Antworten

Lösung 44: (displaystyle 6πa^2),

Lösung 46: (displaystyle 2πab)

Übung (PageIndex{10})

Ermitteln Sie für die folgenden Übungen die Bogenlänge der Kurve im angegebenen Intervall des Parameters.

47) (displaystyle x=4t+3,y=3t−2,0≤t≤2)

48) (displaystyle x=frac{1}{3}t^3,y=frac{1}{2}t^2,0≤t≤1)

49) (displaystyle x=cos(2t),y=sin(2t),0≤t≤frac{π}{2})

50) (displaystyle x=1+t^2,y=(1+t)^3,0≤t≤1)

51) (displaystyle x=e^tcost,y=e^tsint,0≤t≤frac{π}{2}) (Antwort als auf drei Stellen gerundete Dezimalzahl ausdrücken)

52) (displaystyle x=acos^3θ,y=asin^3θ) auf dem Intervall (displaystyle [0,2π)) (der Hypozykloide)

53) Bestimme die Länge eines Bogens der Zykloide (displaystyle x=4(t−sint),y=4(1−cost).)

54) Bestimme die Distanz, die ein Teilchen mit Position (displaystyle (x,y)) zurücklegt, als T variiert im angegebenen Zeitintervall: (displaystyle x=sin^2t,y=cos^2t,0≤t≤3π).

55) Bestimme die Länge eines Bogens der Zykloide (displaystyle x=θ−sinθ,y=1−cosθ).

56) Zeigen Sie, dass die Gesamtlänge der Ellipse (displaystyle x=4sinθ,y=3cosθ) (displaystyle L=16∫^{π/2}_0sqrt{1−e^2sin^2θ} beträgt dθ), wobei (displaystyle e=frac{c}{a}) und (displaystyle c=sqrt{a^2−b^2}).

57) Bestimme die Länge der Kurve (displaystyle x=e^t−t,y=4e^{t/2},−8≤t≤3.)

Antworten

Lösung 48: (displaystyle frac{1}{3}(2sqrt{2}−1)),

Lösung 50: 7.075,

Lösung 52: (displaystyle 6a),

Lösung 54: (displaystyle 6sqrt{2})

Übung (PageIndex{11})

Ermitteln Sie für die folgenden Übungen die Fläche der Fläche, die durch Drehen der gegebenen Kurve um die x-Achse erhalten wird.

58) (displaystyle x=t^3,y=t^2,0≤t≤1)

59) (displaystyle x=acos^3θ,y=asin^3θ,0≤θ≤frac{π}{2})

60) [T] Benutze einen CAS, um die Fläche der Oberfläche zu finden, die durch Rotation erzeugt wird (displaystyle x=t+t^3,y=t−frac{1}{t^2},1≤t≤2 ) um die x-Achse. (Antworten mit drei Dezimalstellen.)

61) Bestimme die Fläche, die du erhältst, indem du (displaystyle x=3t^2,y=2t^3,0≤t≤5) um die y-Achse drehst.

62) Bestimme die Fläche der Fläche, die durch Rotation von (displaystyle x=t^2,y=2t,0≤t≤4) um die x-Achse erzeugt wird.

63) Bestimmen Sie die Fläche, die durch Rotation von (displaystyle x=t^2,y=2t^2,0≤t≤1) um die y-Achse erzeugt wird.

Antworten

Lösung 58: (displaystyle frac{2π(247sqrt{13}+64)}{1215}),

Lösung 60: 59.101,

Lösung 62: (displaystyle frac{8π}{3}(17sqrt{17}−1))


2.E: Atome, Moleküle und Ionen (Übungen)

Dies sind Hausaufgaben, die die Textmap begleiten, die für "Chemistry: The Central Science" von Brown et al. Ergänzende Fragenbänke der Allgemeinen Chemie finden Sie für andere Textmaps und können hier abgerufen werden. Zusätzlich zu diesen öffentlich zugänglichen Fragen steht der Zugang zur privaten Problembank für Prüfungen und Hausaufgaben nur den Lehrenden auf individueller Basis zur Verfügung. Bitte kontaktieren Sie Delmar Larsen für einen Zugang mit Zugangsberechtigung.

Konzeptionelle Probleme

Welche der folgenden Elemente existieren als zweiatomige Moleküle?

Welche der folgenden Elemente existieren als zweiatomige Moleküle?

Warum ist es richtig, die elementare Form von Helium als He darzustellen, aber unpassend, die elementare Form von Wasserstoff als H darzustellen?

Warum ist es richtig, die elementare Form von Chlor als Cl . darzustellen?2 aber unpassend, um die elementare Form von Calcium als Ca represent darzustellen2?

Konzeptionelle Lösung s

Wasserstoff existiert als zweiatomiges Molekül in seiner elementaren Form Helium existiert nicht als zweiatomiges Molekül.


Wiederholungsübungen

Bestimmen Sie, ob ein geordnetes Paar eine Lösung eines Gleichungssystems ist.

Bestimmen Sie in den folgenden Übungen, ob die folgenden Punkte Lösungen des gegebenen Gleichungssystems sind.

Lösen Sie ein System linearer Gleichungen durch grafische Darstellung

Lösen Sie in den folgenden Übungen die folgenden Gleichungssysteme grafisch.

Bestimmen Sie in den folgenden Übungen ohne graphische Darstellung die Anzahl der Lösungen und klassifizieren Sie dann das Gleichungssystem.

Lösen Sie ein Gleichungssystem durch Substitution

Lösen Sie in den folgenden Aufgaben die Gleichungssysteme durch Substitution.

Lösen Sie ein Gleichungssystem durch Elimination

Lösen Sie in den folgenden Aufgaben die Gleichungssysteme durch Elimination

< 1 3 x − 1 2 y = 1 3 4 x − y = 5 2 < 1 3 x − 1 2 y = 1 3 4 x − y = 5 2

Wählen Sie die bequemste Methode, um ein System linearer Gleichungen zu lösen

Entscheiden Sie in den folgenden Aufgaben, ob es bequemer ist, das Gleichungssystem durch Substitution oder Elimination zu lösen.

< 6 x − 5 y = 27 3 x + 10 y = −24 < 6 x − 5 y = 27 3 x + 10 y = −24

Lösen Sie Anwendungen mit Gleichungssystemen

Lösen von Direktübersetzungsanwendungen

Übersetzen Sie in den folgenden Übungen in ein Gleichungssystem und lösen Sie es.

Mollie möchte in ihrem Garten 200 Zwiebeln pflanzen, alle Iris und Tulpen. Sie möchte dreimal so viele Tulpen wie Schwertlilien pflanzen. Wie viele Iris und wie viele Tulpen soll sie pflanzen?

Ashanti wurden Stellen von zwei Telefongesellschaften angeboten. Das erste Unternehmen zahlt für jeden verkauften Vertrag ein Gehalt von 22.000 US-Dollar zuzüglich einer Provision von 100 US-Dollar. Der zweite zahlt ein Gehalt von 28.000 US-Dollar zuzüglich einer Provision von 25 US-Dollar für jeden verkauften Vertrag. Wie viele Verträge müssten verkauft werden, damit die Gesamtsumme gleich bleibt?

Leroy verbrachte 20 Minuten mit Joggen und 40 Minuten mit Radfahren und verbrannte 600 Kalorien. Am nächsten Tag tauschte Leroy die Zeiten, machte 40 Minuten Joggen und 20 Minuten Radfahren und verbrannte die gleiche Anzahl an Kalorien. Wie viele Kalorien wurden pro Minute beim Joggen und wie viele pro Minute beim Radfahren verbrannt?

Troy und Lisa kauften Schulmaterial ein. Jeder kaufte unterschiedliche Mengen desselben Notebooks und USB-Sticks. Troy kaufte vier Notebooks und fünf USB-Sticks für 116 Dollar. Lisa kaufte zwei Notebooks und drei USB-Sticks für 68 Dollar. Ermitteln Sie die Kosten für jedes Notebook und jeden USB-Stick.

Geometrieanwendungen lösen

Übersetzen Sie in den folgenden Übungen in ein Gleichungssystem und lösen Sie es.

Die Differenz zweier Zusatzwinkel beträgt 58 Grad. Finden Sie die Maße der Winkel.

Zwei Winkel ergänzen sich. Das Maß des größeren Winkels ist fünfmal mehr als das Vierfache des kleineren Winkels. Finden Sie die Maße beider Winkel.

Das Maß eines kleinen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 15 weniger als das Doppelte des anderen kleinen Winkels. Finden Sie das Maß beider Winkel.

Becca hängt eine 28-Fuß-Blumengirlande an den beiden Seiten und oben an einer Pergola, um sich auf eine Hochzeit vorzubereiten. Die Höhe beträgt vier Meter weniger als die Breite. Ermitteln Sie die Höhe und Breite der Pergola.

Der Umfang eines rechteckigen Stadtparks beträgt 1428 Fuß. Die Länge beträgt 78 Fuß mehr als das Doppelte der Breite. Finden Sie die Länge und Breite des Parks heraus.

Lösen von Anwendungen mit gleichmäßiger Bewegung

Übersetzen Sie in den folgenden Übungen in ein Gleichungssystem und lösen Sie es.

Sheila und Lenore fuhren zum Haus ihrer Großmutter. Lenore ging eine Stunde nach Sheila. Sheila fuhr mit einer Geschwindigkeit von 45 Meilen pro Stunde und Lenore fuhr mit einer Geschwindigkeit von 60 Meilen pro Stunde. Wie lange wird es dauern, bis Lenore Sheila einholt?

Bob verließ sein Zuhause und fuhr mit seinem Fahrrad mit einer Geschwindigkeit von 10 Meilen pro Stunde zum See. Cheryl, seine Frau, verließ 45 Minuten (3,4 (3,4) Stunden später) ihr Auto mit einer Geschwindigkeit von 25 Meilen pro Stunde. Wie lange wird Cheryl brauchen, um Bob einzuholen?

Marcus kann sein Boot in drei Stunden 36 Meilen flussabwärts fahren, braucht aber vier Stunden, um flussaufwärts zurückzukehren. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des Bootes in stillem Wasser und die Geschwindigkeit der Strömung.

Ein Passagierjet kann bei Rückenwind 804 Meilen in 2 Stunden fliegen, aber nur 776 Meilen in 2 Stunden bei Gegenwind. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Jets in ruhender Luft und die Geschwindigkeit des Windes.

Lösen Sie Mischungsanwendungen mit Gleichungssystemen

Lösen Sie Mischungsanwendungen mit Gleichungssystemen

Übersetzen Sie für die folgenden Übungen in ein Gleichungssystem und lösen Sie es.

Lynn zahlte insgesamt 2.780 US-Dollar für 261 Theaterkarten. Studententickets kosten 10 US-Dollar und Erwachsenentickets 15 US-Dollar. Wie viele Studententickets und wie viele Erwachsenentickets hat Lynn gekauft?

Priamos hat Groschen und Pfennige in einem Getränkehalter in seinem Auto. Der Gesamtwert der Münzen beträgt 4,21 $. Die Zahl der Groschen ist drei weniger als viermal so viel wie die Zahl der Pfennige. Wie viele Groschen und wie viele Pfennige sind in der Tasse?

Yumi möchte 12 Tassen Partymix aus Süßigkeiten und Nüssen herstellen. Ihr Budget erfordert, dass der Party-Mix sie 1,29 Dollar pro Tasse kostet. Die Bonbons kosten 2,49 USD pro Tasse und die Nüsse 0,69 pro Tasse. Wie viele Tassen Süßigkeiten und wie viele Tassen Nüsse sollte sie verwenden?

Ein Wissenschaftler braucht 70 Liter einer 40%igen Alkohollösung. Er hat eine 30% und eine 60% Lösung zur Verfügung. Wie viele Liter der 30%igen und wie viele Liter der 60%igen Lösungen sollte er mischen, um die 40%ige Lösung herzustellen?

Interessenanträge lösen

Übersetzen Sie für die folgenden Übungen in ein Gleichungssystem und lösen Sie es.

Jack hat 12.000 Dollar zu investieren und möchte 7,5% Zinsen pro Jahr verdienen. Er wird einen Teil des Geldes auf ein Sparkonto mit 4% pro Jahr und den Rest auf ein CD-Konto mit 9% pro Jahr einzahlen. Wie viel Geld sollte er auf jedes Konto einzahlen?

Wenn sie das College abschließt, schuldet Linda 43.000 US-Dollar an Studentendarlehen. Der Zinssatz für die Bundesdarlehen beträgt 4,5% und der Zinssatz für die privaten Bankdarlehen beträgt 2%. Die Gesamtzinsen, die sie für ein Jahr schuldet, betrug 1.585 US-Dollar. Wie hoch ist die Höhe jedes Darlehens?

Gleichungssysteme mit drei Variablen lösen

Gleichungssysteme mit drei Variablen lösen

Bestimmen Sie in den folgenden Übungen, ob das geordnete Tripel eine Lösung des Systems ist.

Lösen Sie ein System linearer Gleichungen mit drei Variablen

Lösen Sie in den folgenden Aufgaben das Gleichungssystem.

< 3 x − 5 y + 4 z = 5 5 x + 2 y + z = 0 2 x + 3 y − 2 z = 3 < 3 x − 5 y + 4 z = 5 5 x + 2 y + z = 0 2 x + 3 y − 2 z = 3

< x + 5 2 y + z = −2 2 x + 2 y + 1 2 z = −4 1 3 x − y − z = 1 < x + 5 2 y + z = −2 2 x + 2 y + 1 2 z = −4 1 3 x − y − z = 1

< 5 x + 3 y = −6 2 y + 3 z = −1 7 x + z = 1 < 5 x + 3 y = −6 2 y + 3 z = −1 7 x + z = 1

< 2 x + 3 y + z = 12 x + y + z = 9 3 x + 4 y + 2 z = 20 < 2 x + 3 y + z = 12 x + y + z = 9 3 x + 4 y + 2z = 20

< − x − 3 y + 2 z = 14 − x + 2 y − 3 z = −4 3 x + y − 2 z = 6 < − x − 3 y + 2 z = 14 − x + 2 y − 3 z = −4 3 x + y − 2 z = 6

Lösen Sie Anwendungen mit linearen Gleichungssystemen mit drei Variablen

Nach dem Besuch eines Baseballspiels der Major League kaufen die Gäste oft Souvenirs. Wenn eine Familie 4 T-Shirts, eine Mütze und 1 Kuscheltier kauft, sind es insgesamt 135 US-Dollar. Ein Paar kauft für seine Nichten 2 T-Shirts, eine Mütze und 3 Kuscheltiere und gibt 115 Dollar aus. Ein anderes Paar kauft 2 T-Shirts, eine Mütze und 1 Stofftier und der Gesamtbetrag beträgt 85 Dollar. Was kostet jeder Artikel?

Gleichungssysteme mit Matrizen lösen

Schreiben Sie die erweiterte Matrix für ein Gleichungssystem.

Schreiben Sie jedes lineare Gleichungssystem als erweiterte Matrix.

< 4 x + 3 y = −2 x − 2 y − 3 z = 7 2 x − y + 2 z = −6 < 4 x + 3 y = −2 x − 2 y − 3 z = 7 2 x − y + 2z = -6

Schreiben Sie das Gleichungssystem, das der erweiterten Matrix entspricht.

Führen Sie in den folgenden Übungen die angegebenen Operationen an den erweiterten Matrizen durch.

ⓐ Vertauschen Sie die Reihen 2 und 1.
ⓑ Zeile 1 mit 4 multiplizieren.
ⓒ Zeile 2 mit 3 multiplizieren und zu Zeile 1 addieren.

ⓐ Vertauschen Sie die Reihen 2 und 3.
ⓑ Zeile 1 mit 2 multiplizieren.
ⓒ Zeile 3 mit −2 −2 multiplizieren und zu Zeile 2 addieren.

Gleichungssysteme mit Matrizen lösen

Lösen Sie in den folgenden Übungen jedes Gleichungssystem mit einer Matrix.

< 2 x − y + 3 z = −3 − x + 2 y − z = 10 x + y + z = 5 < 2 x − y + 3 z = −3 − x + 2 y − z = 10 x + y + z = 5

< 2 y + 3 z = −1 5 x + 3 y = −6 7 x + z = 1 < 2 y + 3 z = −1 5 x + 3 y = −6 7 x + z = 1

< x + 2 y − 3 z = −1 x − 3 y + z = 1 2 x − y − 2 z = 2 < x + 2 y − 3 z = −1 x − 3 y + z = 1 2 x − y − 2 z = 2

< x + y − 3 z = −1 y − z = 0 − x + 2 y = 1 < x + y − 3 z = −1 y − z = 0 − x + 2 y = 1

Gleichungssysteme mit Determinanten lösen

Bewerten Sie die Determinante einer 2 × 2 Matrix

Bewerten Sie in der folgenden Übung die Bestimmte der quadratischen Matrix.

Bewerten Sie die Determinante einer 3 × 3-Matrix

Finden und bewerten Sie in der folgenden Übung die angegebenen Minderjährigen.

Bewerten Sie in der folgenden Übung jede Determinante, indem Sie die erste Zeile um Nebenwerte erweitern.

Bewerten Sie in der folgenden Übung jede Determinante, indem Sie sie nach Nebenwerten erweitern.

Verwenden Sie die Cramer-Regel, um Gleichungssysteme zu lösen

Lösen Sie in den folgenden Übungen jedes Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel

< 4 x − 3 y + z = 7 2 x − 5 y − 4 z = 3 3 x − 2 y − 2 z = −7 < 4 x − 3 y + z = 7 2 x − 5 y − 4 z = 3 3 x − 2 y − 2 z = −7

< 2 x + 5 y = 4 3 y − z = 3 4 x + 3 z = −3 < 2 x + 5 y = 4 3 y − z = 3 4 x + 3 z = −3

< x + y − 3 z = −1 y − z = 0 − x + 2 y = 1 < x + y − 3 z = −1 y − z = 0 − x + 2 y = 1

< 3 x + 4 y − 3 z = −2 2 x + 3 y − z = −12 x + y − 2 z = 6 < 3 x + 4 y − 3 z = −2 2 x + 3 y − z = −12 x + y − 2 z = 6

Anwendungen mit Determinanten lösen

Bestimmen Sie in den folgenden Übungen, ob die gegebenen Punkte kollinear sind.

Graphische Darstellung von Systemen linearer Ungleichungen

Bestimmen Sie, ob ein geordnetes Paar eine Lösung eines Systems linearer Ungleichungen ist

Bestimmen Sie in den folgenden Übungen, ob jedes geordnete Paar eine Lösung des Systems ist.

Lösen Sie ein System linearer Ungleichungen durch grafische Darstellung

Lösen Sie in den folgenden Übungen jedes System grafisch.

Anwendungen von Ungleichungssystemen lösen

Übersetzen Sie in den folgenden Übungen in ein System von Ungleichungen und lösen Sie.

Roxana stellt Armbänder und Halsketten her und verkauft sie auf dem Bauernmarkt. Sie verkauft die Armbänder für jeweils 12 US-Dollar und die Halsketten für jeweils 18 US-Dollar. Auf dem Markt am kommenden Wochenende wird sie nicht mehr als 40 Stück ausstellen können, und sie muss mindestens 500 Dollar im Wert verkaufen, um einen Gewinn zu erzielen.

ⓐ Schreiben Sie ein System von Ungleichungen, um diese Situation zu modellieren.
ⓑ Zeichnen Sie das System grafisch auf.
ⓒ Soll sie 26 Armbänder und 14 Halsketten zeigen?
ⓓ Soll sie 39 Armbänder und 1 Halskette zeigen?

Annie hat ein Budget von 600 US-Dollar, um Taschenbücher und Hardcover-Bücher für ihr Klassenzimmer zu kaufen. Sie möchte, dass die Anzahl der Hardcover mindestens 5 beträgt, mehr als das Dreifache der Anzahl der Taschenbücher. Taschenbücher kosten jeweils 4 US-Dollar und Hardcover-Bücher kosten jeweils 15 US-Dollar.

ⓐ Schreiben Sie ein System von Ungleichungen, um diese Situation zu modellieren.
ⓑ Zeichnen Sie das System grafisch auf.
ⓒ Kann sie 8 Taschenbücher und 40 gebundene Bücher kaufen?
ⓓ Kann sie 10 Taschenbücher und 37 Hardcover-Bücher kaufen?

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    • Autoren: Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis
    • Herausgeber/Website: OpenStax
    • Buchtitel: Intermediate Algebra 2e
    • Erscheinungsdatum: 6. Mai 2020
    • Ort: Houston, Texas
    • Buch-URL: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • Abschnitts-URL: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/4-review-exercises

    © 21.01.2021 OpenStax. Von OpenStax produzierte Lehrbuchinhalte sind unter einer Creative Commons Attribution License 4.0-Lizenz lizenziert. Der OpenStax-Name, das OpenStax-Logo, die OpenStax-Buchcover, der OpenStax CNX-Name und das OpenStax CNX-Logo unterliegen nicht der Creative Commons-Lizenz und dürfen ohne vorherige und ausdrückliche schriftliche Zustimmung der Rice University nicht reproduziert werden.


    Wiederholungsübungen

    Zeichnen Sie in den folgenden Übungen jeden Punkt in einem rechteckigen Koordinatensystem.

    Identifizieren Sie Punkte in einem Diagramm

    Benennen Sie in den folgenden Übungen das geordnete Paar jedes Punktes, der im rechteckigen Koordinatensystem angezeigt wird.

    Lösungen einer Gleichung in zwei Variablen überprüfen Ver

    Welche geordneten Paare sind in den folgenden Aufgaben Lösungen für die gegebenen Gleichungen?

    Vervollständigen Sie eine Tabelle mit Lösungen für eine lineare Gleichung in zwei Variablen

    Vervollständigen Sie in den folgenden Übungen die Tabelle, um Lösungen für jede lineare Gleichung zu finden.

    Finden Sie Lösungen für eine lineare Gleichung in zwei Variablen

    Finden Sie in den folgenden Übungen drei Lösungen für jede lineare Gleichung.

    Lineare Gleichungen grafisch darstellen

    Erkenne die Beziehung zwischen den Lösungen einer Gleichung und ihrem Graphen

    Entscheiden Sie in den folgenden Übungen für jedes bestellte Paar:

    Zeichnen Sie eine lineare Gleichung durch Zeichnen von Punkten Point

    In den folgenden Übungen zeichnen Sie durch Zeichnen von Punkten.

    Vertikale und horizontale Linien grafisch darstellen

    Stellen Sie in den folgenden Übungen jede Gleichung grafisch dar.

    Zeichnen Sie in den folgenden Übungen jedes Gleichungspaar im gleichen rechteckigen Koordinatensystem.

    Grafische Darstellung mit Abschnitten

    Identifizieren Sie die x- und ja-Schnittpunkte in einem Diagramm

    In den folgenden Übungen finden Sie die x- und ja-Abfangen.

    Finden Sie die x- und ja-Schnittpunkte einer Geradengleichung

    Finden Sie in den folgenden Übungen die Achsenabschnitte jeder Gleichung.

    Zeichnen Sie eine Linie mit den Achsenabschnitten

    Zeichnen Sie in den folgenden Übungen die Achsenabschnitte.

    Steigung einer Linie

    Verwenden Sie Geoboards, um die Neigung zu modellieren

    Finden Sie in den folgenden Übungen die auf jedem Geoboard modellierte Neigung.

    Modellieren Sie in den folgenden Übungen jede Steigung. Zeichnen Sie ein Bild, um Ihre Ergebnisse zu zeigen.

    Ermitteln Sie in den folgenden Übungen die Steigung jeder angezeigten Linie.

    Finden Sie die Neigung von horizontalen und vertikalen Linien

    Ermitteln Sie in den folgenden Übungen die Steigung jeder Linie.

    Verwenden Sie die Neigungsformel, um die Neigung einer Linie zwischen zwei Punkten zu finden

    Verwenden Sie in den folgenden Übungen die Steigungsformel, um die Steigung der Linie zwischen jedem Punktpaar zu ermitteln.

    Zeichnen Sie eine Linie mit einem gegebenen Punkt und der Steigung

    Zeichnen Sie in den folgenden Übungen jede Linie mit dem angegebenen Punkt und der Steigung.

    Gefälleanwendungen lösen

    Lösen Sie in den folgenden Übungen diese Steigungsanwendungen.

    Das unten abgebildete Dach hat eine Höhe von 10 Fuß und eine Lauflänge von 15 Fuß. Wie ist seine Steigung?

    Eine Bergstraße steigt 50 Fuß für einen 500 Fuß langen Lauf an. Wie ist seine Steigung?

    Schnittform einer Geradengleichung

    Erkenne die Beziehung zwischen dem Graphen und der Steigungs-Schnittpunkt-Form einer Geradengleichung

    Verwenden Sie in den folgenden Übungen den Graphen, um die Steigung und ja-Abfang jeder Zeile. Vergleichen Sie die Werte mit der Gleichung y = m x + b y = m x + b .

    Identifizieren Sie die Steigung und den y-Achsenabschnitt aus einer Gleichung einer Linie

    Identifizieren Sie in den folgenden Übungen die Steigung und ja-Abfang jeder Zeile.

    Zeichnen Sie eine Linie mit ihrer Neigung und ihrem Schnittpunkt

    Zeichnen Sie in den folgenden Übungen die Linie jeder Gleichung anhand ihrer Steigung und ja-abfangen.

    Bestimmen Sie in den folgenden Übungen die bequemste Methode, um jede Linie grafisch darzustellen.

    Graphische Darstellung und Interpretation von Anwendungen von Slope–Intercept

    1. ⓐ Ermitteln Sie Katherines Kosten für eine Woche, in der sie keine Mahlzeiten serviert.
    2. ⓑ Finden Sie die Kosten für eine Woche heraus, wenn sie 14 Mahlzeiten serviert.
    3. ⓒ Interpretieren Sie die Steigung und C-Schnittpunkt der Gleichung.
    4. ⓓ Zeichnen Sie die Gleichung.
    1. ⓐ Finde Marjories Gewinn für eine Woche, in der sie keinen Schülerunterricht erteilt.
    2. ⓑ Finde den Gewinn für eine Woche, wenn sie 20 Schülerstunden unterrichtet.
    3. ⓒ Interpretieren Sie die Steigung und P–Achsenabschnitt der Gleichung.
    4. ⓓ Zeichnen Sie die Gleichung.

    Verwenden Sie Neigungen, um parallele Linien zu identifizieren

    Verwenden Sie in den folgenden Übungen Steigungen und y-Achsenabschnitte, um zu bestimmen, ob die Linien parallel sind.

    Verwenden von Neigungen zum Identifizieren von senkrechten Linien

    Verwenden Sie in den folgenden Übungen Steigungen und y-Achsenabschnitte, um zu bestimmen, ob die Linien senkrecht sind.

    Finden Sie die Gleichung einer Linie

    Finden Sie eine Gleichung der Geraden bei gegebener Steigung und ja-Abfangen

    Finden Sie in den folgenden Übungen die Gleichung einer Geraden mit gegebener Steigung und y-Achsenabschnitt. Schreiben Sie die Gleichung in Steigungs-Schnittpunkt-Form.

    Finden Sie in den folgenden Übungen die Gleichung der Geraden, die in jedem Diagramm angezeigt wird. Schreiben Sie die Gleichung in Steigungs-Schnittpunkt-Form.

    Finden Sie eine Gleichung der Linie mit der Steigung und einem Punkt

    Finden Sie in den folgenden Übungen die Gleichung einer Geraden mit gegebener Steigung, die den gegebenen Punkt enthält. Schreiben Sie die Gleichung in Steigungs-Schnittpunkt-Form.

    Horizontale Linie mit ( −2 , 7 ) ( −2 , 7 )

    Finden Sie eine Gleichung der Geraden mit zwei Punkten

    Finden Sie in den folgenden Übungen die Gleichung einer Geraden, die die gegebenen Punkte enthält. Schreiben Sie die Gleichung in Steigungs-Schnittpunkt-Form.

    Finden Sie eine Gleichung einer Geraden parallel zu einer gegebenen Geraden

    Finden Sie in den folgenden Übungen eine Geradengleichung, die parallel zur gegebenen Geraden verläuft und den gegebenen Punkt enthält. Schreiben Sie die Gleichung in Steigungs-Schnittpunkt-Form.

    Finden Sie eine Gleichung einer Linie senkrecht zu einer gegebenen Linie

    Finden Sie in den folgenden Übungen eine Gleichung einer Geraden, die senkrecht zur gegebenen Gerade steht und den gegebenen Punkt enthält. Schreiben Sie die Gleichung in Steigungs-Schnittpunkt-Form.

    Lineare Ungleichungen grafisch darstellen

    Lösungen für eine Ungleichung in zwei Variablen überprüfen

    Bestimmen Sie in den folgenden Übungen, ob jedes geordnete Paar eine Lösung der gegebenen Ungleichung ist.

    Bestimmen Sie, ob jedes geordnete Paar eine Lösung der Ungleichung y < x − 3 y < x − 3 ist:

    Bestimmen Sie, ob jedes geordnete Paar eine Lösung der Ungleichung x + y > 4 x + y > 4 ist:

    Erkenne die Beziehung zwischen den Lösungen einer Ungleichung und ihrem Graphen

    Schreiben Sie in den folgenden Übungen die durch den schattierten Bereich dargestellte Ungleichung.

    Schreiben Sie die im Graphen gezeigte Ungleichung mit der Grenzlinie y = − x + 2 y = − x + 2 .

    Schreiben Sie die im Graphen gezeigte Ungleichung mit der Grenzlinie y = 2 3 x − 3 y = 2 3 x − 3 .

    Schreiben Sie die Ungleichung, die durch den schattierten Bereich im Graphen dargestellt wird, mit der Grenzlinie x + y = −4 x + y = −4 .

    Schreiben Sie die Ungleichung, die durch den schattierten Bereich in den Graphen mit der Grenzlinie x − 2 y = 6 dargestellt wird. x − 2 y = 6 .

    Lineare Ungleichungen grafisch darstellen

    Stellen Sie in den folgenden Übungen jede lineare Ungleichung grafisch dar.

    Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y > 2 5 x − 4 y > 2 5 x − 4 .

    Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y < − 1 4 x + 3 y < − 1 4 x + 3 .

    Zeichnen Sie die lineare Ungleichung x − y ≤ 5 x − y ≤ 5 .

    Zeichnen Sie die lineare Ungleichung 3 x + 2 y > 10 3 x + 2 y > 10 .

    Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y ≤ −3 x y ≤ −3 x .

    Zeichnen Sie die lineare Ungleichung y < 6 y < 6 .

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      • Autoren: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
      • Herausgeber/Website: OpenStax
      • Buchtitel: Elementare Algebra 2e
      • Erscheinungsdatum: 22.04.2020
      • Ort: Houston, Texas
      • Buch-URL: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-introduction
      • Abschnitts-URL: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/4-review-exercises

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      L | Standardelektroden-(Halbzellen-)Potentiale

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        • Autoren: Paul Flowers, Klaus Theopold, Richard Langley, William R. Robinson, PhD
        • Herausgeber/Website: OpenStax
        • Buchtitel: Chemie 2e
        • Erscheinungsdatum: 14.02.2019
        • Ort: Houston, Texas
        • Buch-URL: https://openstax.org/books/chemistry-2e/pages/1-introduction
        • Abschnitts-URL: https://openstax.org/books/chemistry-2e/pages/l-standard-electrode-half-cell-potentials

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        Der Einfluss der Konzentration auf das Zellpotential: Die Nernst-Gleichung

        Erinnern Sie sich an Kapitel 16, dass die tatsächlich Änderung der freien Energie für eine Reaktion unter Nichtstandardbedingungen, &Deltag, wird wie folgt angegeben:

        Teilen beider Seiten dieser Gleichung durch &minusnF,

        Gleichung 17.4.16 heißt Nernst-Gleichung Eine Gleichung zur Berechnung von Zellpotentialen EZelle unter nicht standardisierten Bedingungen kann es verwendet werden, um die Richtung der spontanen Reaktion für jede Redoxreaktion unter folgenden Bedingungen zu bestimmen: EZelle=</mo><msubsup><mi>E°&minus(RT/nF)lnQ , nach dem deutschen Physiker und Chemiker Walter Nernst (1864&ndash1941), der es zuerst herleitete. Die Nernst-Gleichung ist wohl die wichtigste Beziehung in der Elektrochemie. Wenn eine Redoxreaktion im Gleichgewicht ist (&Deltag = 0), Gleichung 17.4.16 reduziert sich auf Gleichung 17.4.12, weil Q = K, und es gibt keinen Nettotransfer von Elektronen (d. h. EZelle = 0).

        Einsetzen der Werte der Konstanten in Gleichung 17.4.16 mit T = 298 K und Umrechnung in Logarithmen zur Basis 10 ergibt das Verhältnis des tatsächlichen Zellpotentials (EZelle), das Standardzellpotential (E&gradZelle) und die Edukt- und Produktkonzentrationen bei Raumtemperatur (enthalten in Q):

        Beachten Sie das Muster

        Die Nernst-Gleichung kann verwendet werden, um den Wert von zu bestimmen EZelle, und damit die Richtung der spontanen Reaktion, für jede Redoxreaktion unter allen Bedingungen.

        Gleichung 17.4.17 ermöglicht es uns, das mit jeder elektrochemischen Zelle bei 298 K verbundene Potential für jede Kombination von Reaktanten- und Produktkonzentrationen unter allen Bedingungen zu berechnen. Wir können daher die spontane Richtung jeder Redoxreaktion unter allen Bedingungen bestimmen, solange wir tabellarische Werte für die relevanten Standardelektrodenpotentiale haben. Beachten Sie in Gleichung 17.4.17, dass sich das Zellpotential um 0,0591/n V für jede 10-fache Änderung des Wertes von Q weil log 10 = 1.

        Beispiel 17.4.3

        In der Übung in Beispiel 6 haben Sie festgestellt, dass die folgende Reaktion unter Standardbedingungen spontan abläuft, weil E&gradZelle > 0 (was Sie jetzt wissen, bedeutet, dass &Deltag&Grad < 0):

        ( 2Ce^<4+>left ( aq ight )+2Cl^<->left ( aq ight ) ightarrow 2Ce^<3+>left ( aq ight )+ Cl_<2>left ( g echts ) )

        Berechnung E für diese Reaktion unter den folgenden Nichtstandardbedingungen und bestimmen Sie, ob sie spontan auftritt: [Ce 4+ ] = 0,013 M, [Ce 3+ ] = 0,60 M, [Cl &minus ] = 0,0030 M, Cl 2 = 1,0 atm, und T = 25°C.

        Gegeben: ausgewogene Redoxreaktion, Standardzellpotential und nicht standardisierte Bedingungen

        Gefragt: Zellpotential

        Bestimmen Sie die Anzahl der Elektronen, die während des Redoxprozesses übertragen werden. Verwenden Sie dann die Nernst-Gleichung, um das Zellpotential unter den Nichtstandardbedingungen zu finden.

        Mit den gegebenen Informationen und der Nernst-Gleichung können wir berechnen EZelle. Da die Temperatur 25°C (298 K) beträgt, können wir außerdem Gleichung 17.4.17 anstelle von 19.46 verwenden. Die Gesamtreaktion beinhaltet die Nettoübertragung von zwei Elektronen:

        so n = 2. Ersetzt man die in der Aufgabe angegebenen Konzentrationen, ist der Partialdruck von Cl2, und der Wert von E&gradZelle in Gleichung 17.4.17,

        ( =0.25V-left [ left ( 0.0296V ight ) left ( 8.37 ight ) ight ]=0.00V )

        So wird die Reaktion nicht unter diesen Bedingungen spontan auftreten (weil E = 0 V und &Deltag = 0). Die angegebene Zusammensetzung ist die einer Gleichgewichtsmischung.

        In der Übung in Beispiel 6 haben Sie festgestellt, dass molekularer Sauerstoff MnO . nicht oxidiert2 über die Reaktion zu permanganieren

        ( 4MnO_<2>left ( s ight )+3O_<2>left ( g ight )+4OH^<->left ( aq ight ) ightarrow 4MnO_<4>^<->left ( aq ight )+ 2H_<2>Oleft ( l ight ) ) E_^=-0,20V)

        Berechnung EZelle für die Reaktion unter den folgenden Nichtstandardbedingungen und entscheiden Sie, ob die Reaktion spontan abläuft: pH 10, P(O2) = 0,20 atm, [MNO4 &minus ] = 1.0 × 10 &minus4 M, and T = 25°C.

        Antworten: Ecell = &minus0.22 V the reaction will not occur spontaneously.

        Applying the Nernst equation to a simple electrochemical cell such as the Zn/Cu cell discussed in Section 17.1.4 allows us to see how the cell voltage varies as the reaction progresses and the concentrations of the dissolved ions change. Recall that the overall reaction for this cell is as follows:

        ( Znleft ( s ight )+Cu^<2+>left ( aq ight ) ightarrow Zn^<2+>left ( aq ight )+ Culeft ( s ight ) ) E_^=1.10V ag<17.4.18>)

        The reaction quotient is therefore Q = [Zn 2+ ]/[Cu 2+ ]. Suppose that the cell initially contains 1.0 M Cu 2+ and 1.0 × 10 &minus6 M Zn 2+ . The initial voltage measured when the cell is connected can then be calculated from Equation 17.4.17:

        Thus the initial voltage is greater than E° because Q < 1. As the reaction proceeds, [Zn 2+ ] in the anode compartment increases as the zinc electrode dissolves, while [Cu 2+ ] in the cathode compartment decreases as metallic copper is deposited on the electrode. During this process, the ratio Q = [Zn 2+ ]/[Cu 2+ ] steadily increases, and the cell voltage therefore steadily decreases. Eventually, [Zn 2+ ] = [Cu 2+ ], so Q = 1 and Ecell = E°cell. Beyond this point, [Zn 2+ ] will continue to increase in the anode compartment, and [Cu 2+ ] will continue to decrease in the cathode compartment. Thus the value of Q will increase further, leading to a further decrease in Ecell. When the concentrations in the two compartments are the opposite of the initial concentrations (i.e., 1.0 M Zn 2+ and 1.0 × 10 &minus6 M Cu 2+ ), Q = 1.0 × 10 6 , and the cell potential will be reduced to 0.92 V.

        The variation of Ecell with log Q over this range is linear with a slope of &minus0.0591/n, as illustrated in Figure 17.4.2. As the reaction proceeds still further, Q continues to increase, and Ecell continues to decrease. If neither of the electrodes dissolves completely, thereby breaking the electrical circuit, the cell voltage will eventually reach zero. This is the situation that occurs when a battery is &ldquodead.&rdquo The value of Q when Ecell = 0 is calculated as follows:

        Figure 17.4.2 The Variation of Ecell with Log Q for a Zn/Cu Cell Initially, log Q < 0, and the voltage of the cell is greater than E°cell. As the reaction progresses, log Q increases, and Ecell decreases. When [Zn 2+ ] = [Cu 2+ ], log Q = 0 and Ecell = E°cell = 1.10 V. As long as the electrical circuit remains intact, the reaction will continue, and log Q will increase until Q = K and the cell voltage reaches zero. At this point, the system will have reached equilibrium.

        Recall that at equilibrium, Q = K. Thus the equilibrium constant for the reaction of Zn metal with Cu 2+ to give Cu metal and Zn 2+ is 1.7 × 10 37 at 25°C.


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        Think Python is an introduction to Python programming for beginners. It starts with basic concepts of programming, and is carefully designed to define all terms when they are first used and to develop each new concept in a logical progression. Larger pieces, like recursion and object-oriented programming are divided into a sequence of smaller steps and introduced over the course of several chapters.

        What’s new in the second edition?

        • We’ve upgraded to Python 3: All examples in the book are now Python 3, and the supporting code has been updated to run in both Python 2 and 3.
        • We’ve removed the roadblocks: Based on reader feedback, we know where people had problems, so we’ve fixed or removed the pain points.
        • Python in the browser: For beginners, one of the challenges of getting started is installing Python. For readers who don’t want to install Python right away, we provide instructions for running Python in a browser using PythonAnywhere, a free online programming environment.
        • More Python goodies: We’ve added a chapter to cover some powerful Python features that didn’t make it into the first edition, including list comprehensions and additional data structures.

        Think Python 2e is a Free Book. It is available under the Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported License, which means that you are free to copy, distribute, and modify it, as long as you attribute the work and don’t use it for commercial purposes.

        If you have comments, corrections or suggestions, please send me email at feedbackthinkpythoncom.


        MATH246 Exercise Environment (beta)

        The equation in part (a) is separable solve it. Comment on whether the explicit solution agrees with your phase line.

        Exercise 6

        Suppose (f(t)) is the solution to [frac

        = (y - 2)(y - 1)^2 (y + 1) (y + 3)^3] with (f(0) = -2) . What is (lim_ f(t)) ?

        Same differential equation, but change the initial condition to (f(5) = 0) . What is (lim_ f(t)) ?

        Change again to (f(-3) = 2) . What is (lim_ f(t)) ?

        For problems #7–#9, solve the given initial value problem, then plot the solution you get over the interval given.

        Exercise 7

        (dot + w = 2e^t) , (w(0) = 3) , (t in [-5, 5])

        Exercise 8

        (x' - x = t^2) , (x(0) = 1) , (t in [-4, 4])

        Exercise 9

        (y' - 2y = 5sin(x)) , (y(0) = 0) , (t in [-5, 2])

        For problems #10–#12, find the general solution to the differential equation, then plot the solutions for the suggested values of (q) . Do the various solutions all have the same end behavior (i.e., their limits as (t o infty) )?

        Exercise 10

        (y' + y = 2e^t) , (y(0) = q) , (q = -2, -1, 0, 1) , (t in [-5, 5])

        Exercise 11

        (dot - y = t^2) , (y(0) = q) , (q = -6, -2, 2, 6) , (t in [-4, 4])

        Exercise 12

        (y' - 2y = 5sin(x)) , (y(0) = q) , (q = -3, -1, 1, 3) , (t in [-5, 2])

        Exercise 13

        Produce a contour plot of (H(x, y) = sin(xy)) on ([-2, 2] imes [-2, 2]) .

        Exercise 14

        Produce a contour plot of (H(x, y) = x^2 + y^3 + 2xy + 1) on ([-1.5, 1.5) imes [-1.5, 1.5]) .

        Exercise 15

        Consider the initial value problem [frac

        = frac<2 t + 2 t e^x> ,, quad x(1) = 0 ,.]

        Separate the equation and show that the solution to this differential equation satisfies (ln(1+e^x) = t^2 + ln(2) - 1) .

        Use a contour plot to graph this solution on ([0.75, 5]) . [Hint. While the range for (x) is ([0.75, 5]) , the range for (t) should be between (-3) and (25) or so in order to get the full picture. Take this into account when you build your meshgrid .]

        As a check, solve the equation from part (a) and get an explicit formula for (x) , then graph it on ([0.75, 5]) . [hopefully they match!]

        Exercise 16

        Check that solutions to the equation [frac

        = frac><1 + t^2>] satisfy (e^ <-2x>= -2arctan(t) + c) .

        What values of the constant (c) correspond to the initial conditions (x(0) = 0) , (ln(2)) , and (1) ?

        Produce a contour plot of the solutions of the three initial value problems considered in part (b). Plot them on ([0, 1]) . [Hint. The vertical range should be ([0, 5]) or so. The inverse tangent function is implemented in MATLAB by the command atan .]

        For problems #17–19, perform the following tasks. (a) Separate the differential equation to get an implicit relationship that (x) and (t) satisfy, then (b) determine what values of the constant of integration will give the requested initial conditions, and finally (c) plot those solutions on the ranges of (t) and (x) specified.


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