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3.8: Änderung von Variablen in mehreren Integralen (Jacobians)


Lernziele

  • Bestimmen Sie das Bild einer Region unter einer gegebenen Transformation von Variablen.
  • Berechnen Sie den Jacobi-Wert einer gegebenen Transformation.
  • Bewerten Sie ein Doppelintegral mit einer Variablenänderung.
  • Bewerten Sie ein Dreifachintegral mit einer Variablenänderung.

Erinnern Sie sich aus der Substitutionsregel an die Methode der Integration durch Substitution. Bei der Auswertung eines Integrals wie

[int_2^3 x(x^2 - 4)^5 dx,]

wir ersetzen (u = g(x) = x^2 - 4). Dann (du = 2x , dx) oder (x , dx = frac{1}{2} du) und die Grenzen ändern sich zu (u = g(2) = 2^2 - 4 = 0) und (u = g(3) = 9 - 4 = 5). Damit wird das Integral

[int_0^5 frac{1}{2}u^5 du]

und dieses Integral ist viel einfacher auszuwerten. Mit anderen Worten, wenn wir Integrationsprobleme lösen, nehmen wir geeignete Ersetzungen vor, um ein Integral zu erhalten, das viel einfacher wird als das ursprüngliche Integral.

Wir haben diese Idee auch verwendet, als wir Doppelintegrale in rechtwinkligen Koordinaten in Polarkoordinaten und Dreifachintegrale in rechtwinklige Koordinaten in Zylinder- oder Kugelkoordinaten transformierten, um die Berechnungen zu vereinfachen. Allgemeiner,

[int_a^b f(x) dx = int_c^d f(g(u))g'(u) du,]

Wobei (x = g(u), , dx = g'(u) du) und (u = c) und (u = d) (c = g(a)) und (d = g(b)).

Ein ähnliches Ergebnis tritt bei Doppelintegralen auf, wenn wir

  • (x = f(r, heta) = r,cos, heta)
  • ( y = g(r, heta) = r , sin, heta), und
  • (dA = dx, dy = r, dr, d heta).

Dann bekommen wir

[iint_R f(x,y) dA = iint_S (r, cos, heta, , r, sin, heta)r, dr, d heta]

wobei das Gebiet (R) durch das Gebiet (S) in Polarkoordinaten ersetzt wird. Im Allgemeinen wird die Funktion, die wir verwenden, um die Variablen zu ändern, um die Integration zu vereinfachen, als Transformation oder Mapping bezeichnet.

Planare Transformationen

Eine planare Transformation (T) ist eine Funktion, die eine Region (G) in einer Ebene in eine Region (R) in einer anderen Ebene durch Änderung von Variablen transformiert. Sowohl (G) als auch (R) sind Teilmengen von (R^2). Abbildung (PageIndex{1}) zeigt beispielsweise eine Region (G) in der (uv)-Ebene transformiert in eine Region (R) in der (xy)-Ebene durch Änderung der Variablen (x = g(u,v)) und (y = h(u,v)), oder manchmal schreiben wir (x = x(u,v)) und (y = y(u,v)). Wir nehmen typischerweise an, dass jede dieser Funktionen stetige erste partielle Ableitungen hat, was bedeutet, dass (g_u, , g_v, , h_u,) und (h_v) existieren und auch stetig sind. Die Notwendigkeit dieser Anforderung wird sich bald herausstellen.

Definition: Eins-zu-Eins-Transformation

Eine Transformation (T: , G ightarrow R), definiert als (T(u,v) = (x,y)), heißt eine Eins-zu-Eins-Transformation, wenn keine zwei Punkte map zum gleichen Bildpunkt.

Um zu zeigen, dass (T) eine Eins-zu-Eins-Transformation ist, nehmen wir (T(u_1,v_1) = T(u_2, v_2)) an und zeigen, dass als Konsequenz ((u_1,v_1) = (u_2, v_2)). Wenn die Transformation (T) im Bereich (G) eins zu eins ist, dann existiert die Inverse (T^{-1}) mit dem Bereich (R) so dass (T ^{-1} circ T) und (T circ T^{-1}) sind Identitätsfunktionen.

Abbildung (PageIndex{2}) zeigt die Abbildung (T(u,v) = (x,y)) wobei (x) und (y) auf (u) und bezogen sind (v) durch die Gleichungen (x = g(u,v)) und (y = h(u,v)). Die Region (G) ist der Bereich von (T) und die Region (R) ist der Bereich von (T), auch bekannt als Bild von (G) unter der Transformation (T).

Beispiel (PageIndex{1A}): Bestimmen, wie die Transformation funktioniert

Angenommen, eine Transformation (T) ist definiert als (T(r, heta) = (x,y)) wobei (x = r, cos, heta,, y = r, sin, heta). Finden Sie das Bild des polaren Rechtecks ​​(G = {(r, heta)|0leq rleq 1, ,0leq hetaleqpi/2}) im (r heta)-Ebene zu einer Region (R) in der (xy)-Ebene. Zeigen Sie, dass (T) eine Eins-zu-Eins-Transformation in (G) ist und finden Sie (T^{-1} (x,y)).

Lösung

Da (r) in der (r heta)-Ebene von 0 bis 1 variiert, haben wir in der (xy)-Ebene eine Kreisscheibe vom Radius 0 bis 1. Da ( heta) in der (r heta)-Ebene von 0 bis (pi/2) variiert, erhalten wir im ersten Quadranten von einen Viertelkreis mit Radius (1) die (xy)-Ebene (Abbildung (PageIndex{2})). Daher ist (R) ein Viertelkreis, der durch (x^2 + y^2 = 1) im ersten Quadranten begrenzt wird.

Um zu zeigen, dass (T) eine Eins-zu-Eins-Transformation ist, nehmen wir (T(r_1, heta_1) = T(r_2, heta_2)) an und zeigen als Konsequenz, dass ((r_1, heta_1) = (r_2, heta_2)). In diesem Fall haben wir

[T(r_1, heta_1) = T(r_2, heta_2),]

[(x_1,y_1) = (x_1,y_1),]

[(r_1 cos, heta_1, r_1 sin, heta_1) = (r_2 cos, heta_2, r_2 sin, heta_2),]

[r_1 cos, heta_1 = r_2 cos, heta_2, , r_1 sin, heta_1 = r_2 sin, heta_2.]

Dividieren erhalten wir we

[frac{r_1 cos, heta_1}{r_1 sin, heta_1} = frac{r_2 cos, heta_2}{ r_2 sin, heta_2}]

[frac{cos, heta_1}{sin, heta_1} = frac{cos, heta_2}{sin, heta_2}]

[ an, heta_1 = an, heta_2]

[ heta_1 = heta_2]

da die Tangentenfunktion eine Eins-Eins-Funktion im Intervall (0 leq heta leq pi/2) ist. Da (0 leq r leq 1) gilt auch (r_1 = r_2, , heta_1 = heta_2). Daher ist ((r_1, heta_1) = (r_2, heta_2)) und (T) eine Eins-zu-Eins-Transformation von (G) nach (R).

Um (T^{-1}(x,y)) zu finden, löse nach (r, heta) in Bezug auf (x,y) auf. Wir wissen bereits, dass (r^2 = x^2 + y^2) und ( an, heta = frac{y}{x}). Somit ist (T^{-1}(x,y) = (r, heta)) definiert als (r = sqrt{x^2 + y^2}) und ( an^{ -1} left(frac{y}{x} ight)).

Beispiel (PageIndex{1B}): Finden des Bildes unter (T)

Die Transformation (T) sei definiert durch (T(u,v) = (x,y)) mit (x = u^2 - v^2) und (y = uv). Finden Sie das Bild des Dreiecks in der (uv)-Ebene mit den Ecken ((0,0), , (0,1)) und ((1,1)).

Lösung

Das Dreieck und sein Bild sind in Abbildung (PageIndex{3}) dargestellt. Um zu verstehen, wie sich die Seiten des Dreiecks transformieren, nennen Sie die Seite, die ((0,0)) verbindet, und ((0,1)) Seite (A), die Seite, die ((0, 0)) und ((1,1)) Seite (B), und die Seite, die ((1,1)) und ((0,1)) Seite (C) verbindet ).

  • Für die Seite (A: , u = 0, , 0 leq v leq 1) transformiert sich in (x = -v^2, , y = 0), also ist dies die Seite (A '), die ((-1,0)) und ((0,0)) verbindet.
  • Für die Seite (B: , u = v, , 0 leq u leq 1) wird (x = 0, , y = u^2) umgewandelt, also ist dies die Seite (B' ), die ((0,0)) und ((0,1)) verbindet.
  • Für die Seite (C:, 0 leq u leq 1, , v = 1) wird (x = u^2 - 1, , y = u) (daher (x = y ^2 - 1), also ist dies die Seite (C'), die die obere Hälfte des parabolischen Bogens bildet, die ((-1,0)) und ((0,1)) verbindet.

Alle Punkte im gesamten Bereich des Dreiecks in der (uv)-Ebene werden innerhalb des parabolischen Bereichs in der (xy)-Ebene abgebildet.

Übung (PageIndex{1})

Eine Transformation (T) sei definiert als (T(u,v) = (x,y)) mit (x = u + v, , y = 3v). Bestimme das Bild des Rechtecks ​​(G = {(u,v) : , 0 leq u leq 1, , 0 leq v leq 2}) aus der (uv)-Ebene nach der Transformation in eine Region (R) in der (xy)-Ebene. Zeigen Sie, dass (T) eine Eins-zu-Eins-Transformation ist und finden Sie (T^{-1} (x,y)).

Hinweis

Folgen Sie den Schritten von Beispiel (PageIndex{1B}).

Antworten

(T^{-1} (x,y) = (u,v)) wobei (u = frac{3x-y}{3}) und (v = frac{y}{3 })

Mit der Definition haben wir

[Updelta Aapprox J(u,v)Updelta uUpdelta v = left|frac{partial (x,y)}{partial (u,v)} ight| Delta u Delta v.]

Beachten Sie, dass das Jacobi häufig einfach mit den bezeichnet wird

[J(u,v) = frac{partial (x,y)}{partial (u,v)}.]

Beachten Sie auch, dass

[ egin{vmatrix} dfrac{partial x}{partial u} & dfrac{partial y}{partial u} onumber dfrac{partial x}{partial v} & dfrac{partial y}{partial v} end{vmatrix} = left( frac{partial x}{partial u}frac{partial y}{partial v} - frac{partial x}{partial v} frac{partial y}{partial u} ight) = egin{vmatrix} dfrac{partial x}{partial u} & dfrac{partial x}{ partielle v} onumber dfrac{partial y}{partial u} & dfrac{partial y}{partial v} end{vmatrix} .]

Daher legt die Notation (J(u,v) = frac{partial(x,y)}{partial(u,v)}) nahe, dass wir die Jacobi-Determinante mit Teilzahlen von (x) schreiben können in der ersten Reihe und Teiltöne von (y) in der zweiten Reihe.

Beispiel (PageIndex{2A}): Suche nach Jacobi

Finden Sie den Jacobi-Wert der Transformation aus Beispiel (PageIndex{1A}).

Lösung

Die Transformation im Beispiel ist (T(r, heta) = ( r , cos , heta, , r , sin , heta)) wobei (x = r, cos, heta) und (y = r, sin, heta). Der Jacobi ist also

[J(r, heta) = frac{partial(x,y)}{partial(r, heta)} = egin{vmatrix} dfrac{partial x}{partial r} & dfrac{partial x}{partial heta} dfrac{partial y}{partial r} & dfrac{partial y}{partial heta} end{vmatrix} = egin{ vmatrix} cos heta & -rsin hetasin heta & rcos hetaend{vmatrix} = r, cos^2 heta + r, sin^2 heta = r ( cos^2 heta + sin^2 heta) = r. keine Nummer]

Beispiel (PageIndex{2B}): Suche nach Jacobi

Finden Sie den Jacobi-Wert der Transformation aus Beispiel (PageIndex{1B}).

Lösung

Die Transformation im Beispiel ist (T(u,v) = (u^2 - v^2, uv)) wobei (x = u^2 - v^2) und (y = uv) . Der Jacobi ist also

[J(u,v) = frac{partial(x,y)}{partial(u,v)} = egin{vmatrix} dfrac{partial x}{partial u} & dfrac {partial x}{partial v} dfrac{partial y}{partial u} & dfrac{partial y}{partial v} end{vmatrix} = egin{vmatrix} 2u & -2v v & u end{vmatrix} = 2u^2 + 2v^2. keine Nummer]

Übung (PageIndex{2})

Finden Sie den Jacobi-Wert der Transformation aus dem vorherigen Prüfpunkt: (T(u,v) = (u + v, 2v)).

Hinweis

Befolgen Sie die Schritte in den beiden vorherigen Beispielen.

Antworten

[J(u,v) = frac{partial(x,y)}{partial(u,v)} = egin{vmatrix} dfrac{partial x}{partial u} & dfrac {partial x}{partial v} onumber dfrac{partial y}{partial u} & dfrac{partial y}{partial v} end{vmatrix} = egin{vmatrix} 1 & 1 onumber 0 & 2 end{vmatrix} = 2]

Übung (PageIndex{3})

Unter Berücksichtigung des Integrals (int_0^1 int_0^{sqrt{1-x^2}} (x^2 + y^2) dy , dx, ) verwende die Variablenänderung (x = r , cos , heta) und (y = r , sin , heta) und bestimme das resultierende Integral.

Hinweis

Befolgen Sie die Schritte im vorherigen Beispiel.

Antworten

[int_0^{pi/2} int_0^1 r^3 dr ,d heta]

Beachten Sie im nächsten Beispiel, dass die Region, über die wir integrieren sollen, eine geeignete Transformation für die Integration vorschlagen kann. Dies ist eine häufige und wichtige Situation.

Beispiel (PageIndex{4}): Variablen ändern

Betrachten Sie das Integral [iint_R (x - y) dy , dx,] wobei (R) das Parallelogramm ist, das die Punkte ((1,2), , (3,4), , ( 4,3)) und ((6,5)) (Abbildung (PageIndex{7})). Nehmen Sie die entsprechenden Variablenänderungen vor und schreiben Sie das resultierende Integral.

Lösung

Zuerst müssen wir die Region verstehen, über die wir uns integrieren sollen. Die Seiten des Parallelogramms sind (x - y + 1, , x - y - 1 = 0, , x - 3y + 5 = 0) und (x - 3y + 9 = 0) (Abbildung (PageIndex{8})). Eine andere Betrachtungsweise ist (x - y = -1, , x - y = 1, , x - 3y = -5) und (x - 3y = 9).

Offensichtlich wird das Parallelogramm durch die Geraden (y = x + 1, , y = x - 1, , y = frac{1}{3}(x + 5)) und (y = frac{1}{3}(x + 9)).

Beachten Sie, dass, wenn wir (u = x - y) und (v = x - 3y) machen würden, die Grenzen des Integrals (-1 leq u leq 1) und ( -9 leq v leq -5).

Um nach (x) und (y) aufzulösen, multiplizieren wir die erste Gleichung mit (3) und subtrahieren die zweite Gleichung (3u - v = (3x - 3y) - (x - 3y) = 2x). Dann haben wir (x = frac{3u-v}{2}). Wenn wir außerdem einfach die zweite Gleichung von der ersten abziehen, erhalten wir (u - v = (x - y) - (x - 3y) = 2y) und (y = frac{uv}{2} ).

Somit können wir die Transformation wählen

[T(u,v) = left(frac{3u - v}{2}, , frac{u - v}{2} ight)] und berechne den Jacobi-Wert (J(u, v)). Wir haben

[J(u,v) = frac{partial(x,y)}{partial(u,v)} = egin{vmatrix} dfrac{partial x}{partial u} & dfrac {partial x}{partial v} dfrac{partial y}{partial u} & dfrac{partial y}{partial v} end{vmatrix} = egin{vmatrix} 3/ 2 & -1/2 onumber 1/2 & -1/2 end{vmatrix} = -frac{3}{4} + frac{1}{4} = -frac{1}{ 2} keineZahl]

Daher ist (|J(u,v)| = frac{1}{2}). Außerdem wird der ursprüngliche Integrand zu

[x - y = frac{1}{2} [3u - v - u + v] = frac{1}{2} [3u - u] = frac{1}{2}[2u] = u. keine Nummer]

Daher ändert sich durch die Transformation (T) das Integral zu

[iint_R (x - y) dy , dx = int_{-9}^{-5} int_{-1}^1 J (u,v) u , du , dv = int_{ -9}^{-5} int_{-1}^1left(frac{1}{2} ight) u , du , dv, onumber] was viel einfacher zu berechnen ist.

Übung (PageIndex{4})

Nehmen Sie geeignete Änderungen der Variablen im Integral [iint_R frac{4}{(x - y)^2} dy, dx, onumber] vor, wobei (R) das Trapez ist, das durch die Geraden ( x - y = 2, , x - y = 4, , x = 0) und (y = 0). Schreiben Sie das resultierende Integral.

Hinweis

Befolgen Sie die Schritte im vorherigen Beispiel.

Antworten

(x = frac{1}{2}(v + u)) und (y = frac{1}{2} (v - u))

und

[int_{2}^4 int_{-u}^u left(frac{1}{2} ight)cdotfrac{4}{u^2} ,dv, du. keine Nummer]

Wir sind bereit, eine Problemlösungsstrategie für die Änderung von Variablen zu geben.

Im nächsten Beispiel finden wir eine Substitution, die die Berechnung des Integranden viel einfacher macht.

Beispiel (PageIndex{5}): Auswertung eines Integrals

Bewerte das Integral [iint_R (x - y)e^{x^2-y^2} dA unter Verwendung der Änderung der Variablen (u = x - y) und (v = x + y), ] wobei (R) der Bereich ist, der von den Geraden (x + y = 1) und (x + y = 3) und den Kurven (x^2 - y^2 = -1) begrenzt wird ) und (x^2 - y^2 = 1) (siehe den ersten Bereich in Abbildung (PageIndex{9})).

Lösung

Finden Sie wie zuvor zuerst den Bereich (R) und stellen Sie sich die Transformation vor, damit es einfacher wird, die Integrationsgrenzen nach den Transformationen zu erhalten (Abbildung (PageIndex{9})).

Gegeben (u = x - y) und (v = x + y) gilt (x = frac{u+v}{2}) und (y = frac{vu}{ 2}) und daher ist die anzuwendende Transformation (T(u,v) = left(frac{u+v}{2}, , frac{vu}{2} ight)). Die Geraden (x + y = 1) und (x + y = 3) werden zu (v = 1) bzw. (v = 3). Die Kurven (x^2 - y^2 = 1) und (x^2 - y^2 = -1) werden zu (uv = 1) bzw. (uv = -1).

Somit können wir die Region (S) (siehe die zweite Region Abbildung (PageIndex{9})) beschreiben als

[S = left{ (u,v) | 1 leq v leq 3, , frac{-1}{v} leq u leq frac{1}{v} ight}. keine Nummer]

Der Jacobi für diese Transformation ist

[J(u,v) = frac{partial(x,y)}{partial(u,v)} = egin{vmatrix} dfrac{partial x}{partial u} & dfrac {partial x}{partial v} dfrac{partial y}{partial u} & dfrac{partial y}{partial v} end{vmatrix} = egin{vmatrix} 1/ 2 & 1/2 -1/2 & 1/2 end{vmatrix} = frac{1}{2}. keine Nummer]

Daher ändert sich mit der Transformation (T) das Integral zu

[iint_R (x - y)e^{x^2-y^2} dA = frac{1}{2} int_1^3 int_{-1/v}^{1/v} ue^ {uv} du, dv. keine Nummer]

Bei der Auswertung haben wir

[frac{1}{2} int_1^3 int_{-1/v}^{1/v} ue^{uv} du, dv = frac{2}{3e} approx 0,245. keine Nummer]

Übung (PageIndex{5})

Bewerte mit den Substitutionen (x = v) und (y = sqrt{u + v}) das Integral (displaystyleiint_R y, sin (y^2 - x) ,dA, ) wobei (R) der Bereich ist, der von den Geraden (y = sqrt{x}, , x = 2) und (y = 0) begrenzt wird.

Hinweis

Skizzieren Sie ein Bild und finden Sie die Integrationsgrenzen.

Antworten

(frac{1}{2} (sin 2 - 2))

Versuchen wir es mit einem anderen Beispiel mit einer anderen Substitution.

Beispiel (PageIndex{6B}): Auswertung eines Tripelintegrals mit Variablenänderung

Bewerte das Tripelintegral

[int_0^3 int_0^4 int_{y/2}^{(y/2)+1} left(x + frac{z}{3} ight) dx , dy , dz ]

Im (xyz)-Raum mit der Transformation

(u = (2x - y)/2, , v = y/2) und (w = z/3).

Integrieren Sie dann über einen geeigneten Bereich im (uvw)-Raum.

Lösung

Nach wie vor kann eine Art Skizze der Region (G) im (xyz)-Raum, über die wir die Integration durchführen müssen, helfen, die Region (D) im (uvw)-Raum zu identifizieren ( Abbildung (PageIndex{13})). Offensichtlich ist (G) im (xyz)-Raum begrenzt durch die Ebenen (x = y/2, , x = (y/2) + 1, , y = 0, , y = 4 , , z = 0) und (z = 4). Wir wissen auch, dass wir für die Transformationen (u = (2x - y) /2, , v = y/2) und (w = z/3) verwenden müssen. Wir müssen nach (x,y) und (z) auflösen. Hier finden wir (x = u + v, , y = 2v) und (z = 3w).

Mit elementarer Algebra können wir die entsprechenden Flächen für den Bereich (G) und die Integrationsgrenzen im (uvw)-Raum finden. Es ist praktisch, diese Gleichungen in einer Tabelle aufzulisten.

Gleichungen in (xyz) für den Bereich (D)Entsprechende Gleichungen in (uvw) für den Bereich (G)Grenzen für die Integration in (uvw)
(x = y/2)(u + v = 2v/2 = v)(u = 0)
(x = y/2)(u + v = (2v/2) + 1 = v + 1)(u = 1)
(y = 0)(2v = 0)(v = 0)
(y = 4)(2v = 4)(v = 2)
(z = 0)(3w = 0)(w = 0)
(z = 3)(3w = 3)(w = 1)

Nun können wir den Jacobi-Wert für die Transformation berechnen:

[J(u,v,w) = egin{vmatrix} dfrac{partial x}{partial u} & dfrac{partial x}{partial v} & dfrac{partial x}{ partial w} dfrac{partial y}{partial u} & dfrac{partial y}{partial v} & dfrac{partial y}{partial w} dfrac{ partiell z}{partial u} & dfrac{partial z}{partial v} & dfrac{partial z}{partial w} end{vmatrix} = egin{vmatrix} 1 & 1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 end{vmatrix} = 6. onumber]

Die zu integrierende Funktion wird

[f(x,y,z) = x + frac{z}{3} = u + v + frac{3w}{3} = u + v + w.]

Wir sind nun bereit, alles zusammenzustellen und das Problem zu lösen.

[egin{align*} int_0^3 int_0^4 int_{y/2}^{(y/2)+1} left(x + frac{z}{3} ight) dx , dy , dz &= int_0^1 int_0^2 int_0^1 (u + v + w) |J (u,v,w)|du , dv , dw [4pt]
&= int_0^1 int_0^2 int_0^1 (u + v + w) |6|du , dv , dw [4pt]
&= 6 int_0^1 int_0^2 int_0^1 (u + v + w) , du , dv , dw [4pt]
&= 6 int_0^1 int_0^2 left[ frac{u^2}{2} + vu + wu ight]_0^1 , dv , dw [4pt]
&= 6 int_0^1 int_0^2 left(frac{1}{2} + v + u ight) dv , dw [4pt]
&= 6 int_0^1 left[frac{1}{2} v + frac{v^2}{2} + wv ight]_0^2 dw[4pt]
&= 6 int_0^1 (3 + 2w), dw = 6Big[3w + w^2Big]_0^1 = 24. end{align*}]

Übung (PageIndex{6})

Sei (D) die Region im (xyz)-Raum, definiert durch (1 leq x leq 2, , 0 leq xy leq 2) und (0 leq z leq 1).

Bewerte (iiiint_D (x^2 y + 3xyz) , dx , dy , dz) unter Verwendung der Transformation (u = x, , v = xy) und (w = 3z) .

Hinweis

Erstellen Sie für jede Fläche der Regionen eine Tabelle und legen Sie die Grenzen fest, wie im Beispiel gezeigt.

Antworten

[int_0^3 int_0^2 int_1^2 left(frac{v}{3} + frac{vw}{3u} ight) du,dv,dw = 2 + ln 8 ]

Schlüssel Konzepte

  • Eine Transformation (T) ist eine Funktion, die eine Region (G) in einer Ebene (Raum) in eine Region (R) transformiert. in einer anderen Ebene (Raum) durch eine Änderung der Variablen.
  • Eine Transformation (T: G ightarrow R) definiert als (T(u,v) = (x,y)) (oder (T(u,v,w) = (x,y,z) )) heißt eine Eins-zu-Eins-Transformation, wenn keine zwei Punkte auf denselben Bildpunkt abgebildet werden.
  • Wenn (f) auf (R) stetig ist, dann gilt [iint_R f(x,y) dA = iint_S f(g(u,v), , h(u,v)) left |frac{partial(x,y)}{partial(u,v)} ight| du, dv.]
  • Wenn (F) auf (R) stetig ist, dann ist [egin{align*}iiiint_R F(x,y,z), dV &= iiiint_G F(g(u,v,w ), , h(u,v,w), , k(u,v,w) left|frac{partial(x,y,z)}{partial (u,v,w)} ight|,du , dv , dw. [4pt] &= iint_G H(u,v,w) |J(u,v,w)|, du , dv , dw. end{ausrichten*}]

[T] Lamé-Ovale (oder Superellipsen) sind ebene Kurven der Gleichungen (left(frac{x}{a} ight)^n + left(frac{y}{b} ight)^n = 1), wobei ein, B, und n sind positive reelle Zahlen.

A. Verwenden Sie einen CAS, um die Regionen (R) grafisch darzustellen, die von Lamé-Ovalen für (a = 1, , b = 2, , n = 4) bzw. (n = 6) begrenzt sind.

B. Finden Sie die Transformationen, die die Region (R) begrenzt durch das Lamé-Oval (x^4 + y^4 = 1), auch als Kreisel bezeichnet und in der folgenden Abbildung dargestellt, in die Einheitsscheibe abbilden.

C. Verwenden Sie einen CAS, um eine Näherung der Fläche (A(R)) der Region (R) zu finden, die von (x^4 + y^4 = 1) begrenzt wird. Runden Sie Ihre Antwort auf zwei Dezimalstellen.

[T] Lamé-Ovale werden von Designern und Architekten konsequent verwendet. Der kanadische Architekt Gerald Robinson hat beispielsweise ein Parkhaus in einem Einkaufszentrum in Peterborough, Ontario, in Form einer Superellipse der Gleichung (left(frac{x}{a} ight)^ . entworfen n + left(frac{y}{b} ight)^n = 1) mit (frac{a}{b} = frac{9}{7}) und (n = e ). Verwenden Sie einen CAS, um eine Näherung der Fläche des Parkhauses im Fall (a = 900) Yards, (b = 700) Yards und (n = 2,72) Yards zu finden.

[Lösung ausblenden]

(A(R) simeq 83.999,2)

Übungen zur Kapitelüberprüfung

Richtig oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort mit einem Beweis oder einem Gegenbeispiel.

[int_a^b int_c^d f(x,y) , dy , dx = int_c^d int_a^b f(x,y) , dy , dx]

Der Satz von Fubini kann auf drei Dimensionen erweitert werden, solange (f) in allen Variablen stetig ist.

[Lösung ausblenden]

Wahr.

Das Integral [int_0^{2pi}int_0^1 int_0^1 dz,dr,d heta] repräsentiert das Volumen eines rechten Kegels.

Der Jacobi-Wert der Transformation für (x = u^2 - 2v, , y = 3v - 2uv) ist gegeben durch (-4u^2 + 6u + 4v).

[Lösung ausblenden]

Falsch.

Bewerten Sie die folgenden Integrale.

[iint_R (5x^3y^2 - y^2) , dA, , R = {(x,y)|0 leq x leq 2, , 1 leq y leq 4} ]

[iint_D frac{y}{3x^2 + 1} dA, , D = {(x,y) |0 leq x leq 1, , -x leq y leq x} ]

[Lösung ausblenden]

(0)

[iint_D sin (x^2 + y^2) dA] wobei (D) eine Scheibe mit Radius (2) ist, die im Ursprung [int_0^1 int_0^1 xye^ . zentriert ist {x^2} dx , dy]

[Lösung ausblenden]

(frac{1}{4})

[int_{-1}^1 int_0^z int_0^{x-z} 6dy , dx , dz]

[iiiint_R 3y , dV,] wobei (R = {(x,y,z) |0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x, , 0 leq z leq sqrt{9 - y^2}})

[Lösung ausblenden]

(1.475)

[int_0^2 int_0^{2pi} int_r^1 r,dz,d heta, dr]

[int_0^{2pi} int_0^{pi/2} int_1^3 ho^2, sin(varphi) d ho, dvarphi, , d heta ]

[Lösung ausblenden]

(frac{52}{3} pi)

[int_0^1 int_{-sqrt{1-x^2}}^{sqrt{1-x^2}} int_{-sqrt{1-x^2-y^2}} ^{sqrt{1-x^2-y^2}} dz , dy , sx]

Suchen Sie bei den folgenden Problemen den angegebenen Bereich oder das angegebene Volumen.

Die Fläche der Region, die von einem Blütenblatt von (r = cos (4 heta)) umschlossen wird.

[Lösung ausblenden]

(frac{pi}{16})

Das Volumen des Festkörpers, das zwischen dem Paraboloid (z = 2x^2 + 2y^2) und der Ebene (z = 8) liegt.

Das Volumen des Festkörpers, das vom Zylinder (x^2 + y^2 = 16) und von (z = 1) bis (z + x = 2) begrenzt wird.

[Lösung ausblenden]

(93.291)

Das Volumen der Schnittmenge zwischen zwei Kugeln mit Radius 1, deren oberer Mittelpunkt ((0,0,0.25)) ist und der untere, dessen Mittelpunkt ((0,0,0)) ist.

Bestimmen Sie für die folgenden Probleme den Schwerpunkt der Region.

( ho(x,y) = xy) auf dem Kreis mit Radius (1) nur im ersten Quadranten.

[Lösung ausblenden]

(left(frac{8}{15}, frac{8}{15} ight))

( ho(x,y) = (y + 1) sqrt{x}) in der von (y = e^x, , y = 0) und (x = 1) begrenzten Region ).

( ho(x,y,z) = z) auf dem umgekehrten Kegel mit Radius (2) und Höhe (2).

(left(0,0,frac{8}{5} ight))

Das Volumen einer Eistüte, das durch den Körper über (z = sqrt{(x^2 + y^2)}) und unter (z^2 + x^2 + y^2 = z) gegeben ist ).

Die folgenden Probleme untersuchen Mount Holly im Bundesstaat Michigan. Mount Holly ist eine Deponie, die in ein Skigebiet umgewandelt wurde. Die Form von Mount Holly kann durch einen geraden kreisförmigen Kegel der Höhe (1100) ft und Radius (6000) ft angenähert werden.

Wenn der verdichtete Müll, der zum Bau von Mount Holly verwendet wurde, im Durchschnitt eine Dichte von (400 , lb/ft^3) hat, ermitteln Sie den Arbeitsaufwand, der für den Bau des Berges erforderlich ist.

[Lösung ausblenden]

(1.452 pi imes 10^{15}) ft-lb

In Wirklichkeit ist es sehr wahrscheinlich, dass der Müll am Fuße des Mount Holly mit dem ganzen Gewicht des oben genannten Mülls kompakter geworden ist. Betrachten Sie eine Dichtefunktion in Bezug auf die Höhe: Die Dichte an der Spitze des Berges ist immer noch die Dichte (400 , lb/ft^3) und die Dichte nimmt zu. Alle (100) Fuß tiefer verdoppelt sich die Dichte. Was ist das Gesamtgewicht von Mount Holly?

Die folgenden Probleme betrachten die Temperatur und Dichte der Erdschichten.

[T] Die Temperatur der Erdschichten ist in der folgenden Tabelle dargestellt. Verwenden Sie Ihren Taschenrechner, um ein Polynom vom Grad (3) an die Temperatur entlang des Erdradius anzupassen. Dann finden Sie die durchschnittliche Temperatur der Erde. (Hinweis: beginnen bei (0) im inneren Kern und nehmen nach außen zur Oberfläche zu)

SchichtTiefe vom Zentrum (km)Temperatur (^oC)
Felsige Kruste0 bis 400
Oberer Mantel40 bis 150870
Mantel400 bis 650870
Innenmantel650 bis 2700870
Geschmolzener äußerer Kern2890 bis 51504300
Innerer Kern5150 bis 63787200

Quelle: http://www.enchantedlearning.com/sub...h/Inside.shtml

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(y = -1,238 imes 10^{-7} x^3 + 0,001196 x^2 - 3,666x + 7208); Durchschnittstemperatur ca. (2800 ^oC)

[T] Die Dichte der Erdschichten wird in der folgenden Tabelle angezeigt. Finden Sie mit Ihrem Taschenrechner oder einem Computerprogramm die am besten geeignete quadratische Gleichung für die Dichte. Bestimme mit dieser Gleichung die Gesamtmasse der Erde.

SchichtTiefe vom Zentrum (km)Dichte ((g/cm^3))
Innerer Kern012.95
Äußerer Kern122811.05
Mantel34885.00
Oberer Mantel63383.90
Kruste63782.55

Quelle: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu...rthstruct.html

Die folgenden Probleme betreffen das Theorem von Pappus (siehe Moments and Centers of Mass für eine Auffrischung), eine Methode zur Volumenberechnung unter Verwendung von Schwerpunkten. Unter der Annahme einer Region (R) ist das Volumen beim Umlauf um die (x)-Achse durch (V_x = 2pi A ar{y}) gegeben und beim Umlauf um die ( y)-Achse ist das Volumen durch (V_y = 2pi A ar{x}) gegeben, wobei (A) die Fläche von (R) ist. Betrachten Sie die Region, die von (x^2 + y^2 = 1) und darüber (y = x + 1) begrenzt wird.

Ermitteln Sie das Volumen, wenn Sie die Region um die (x)-Achse drehen.

[Lösung ausblenden]

(frac{pi}{3})

Ermitteln Sie das Volumen, wenn Sie die Region um die (y)-Achse drehen.

Glossar

Jacobi

der Jacobi (J(u,v)) in zwei Variablen ist eine (2 imes 2) Determinante:

[J(u,v) = egin{vmatrix} frac{partial x}{partial u} frac{partial y}{partial u} onumber frac{partial x}{ partial v} frac{partial y}{partial v} end{vmatrix};]

der Jacobi (J(u,v,w)) in drei Variablen ist eine (3 imes 3) Determinante:

[J(u,v,w) = egin{vmatrix} frac{partial x}{partial u} frac{partial y}{partial u} frac{partial z}{partial u} onumber frac{partial x}{partial v} frac{partial y}{partial v} frac{partial z}{partial v} onumber frac{ partiell x}{partial w} frac{partial y}{partial w} frac{partial z}{partial w}end{vmatrix}]

Eins-zu-eins-Transformation
eine Transformation (T : G ightarrow R) definiert als (T(u,v) = (x,y)) heißt eins zu eins, wenn keine zwei Punkte auf denselben Bildpunkt abgebildet werden map
planare Transformation
eine Funktion (T), die eine Region (G) in einer Ebene in eine Region (R) in einer anderen Ebene durch Änderung von Variablen
Transformation
eine Funktion, die eine Region GG in einer Ebene in eine Region RR in einer anderen Ebene durch Änderung von Variablen transformiert


Schau das Video: Change of Variables by Jacobian. Multiple Integrals. BTech BSc Mathematics. Various Universities (September 2021).