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8.4: Die quadratische Formel


Wir beginnen zunächst mit der Definition von a quadratische Gleichung.

Quadratische Gleichung

Eine Polynomgleichung zweiten Grades der Form [ax^2 + bx + c =0 onumber]wo (a), (b) und (c) beliebige reelle Zahlen sind, heißt a quadratische Gleichung in (x).

Das Ziel dieses Abschnitts ist es, eine formelhafte Abkürzung zu entwickeln, die exakte Lösungen der quadratischen Gleichung ax2 +bx+c = 0 liefert. Wir beginnen damit, den konstanten Term auf die andere Seite der Gleichung zu verschieben.

[egin{array}{rlrl}{a x^{2}+b x+c} & {=0} & {} & color{Red} { ext { Quadratische Gleichung. }} {a x^{2}+b x} & {=-c} & {} & color{Red} { ext { Subtrahiere } c ext { von beiden Seiten. }}end{array} onumber ]

Als Vorbereitung auf die Vervollständigung des Quadrats teilen wir als nächstes beide Seiten der Gleichung durch (a).

[x^{2}+dfrac{b}{a} x=-dfrac{c}{a} quad ext { Dividiere beide Seiten durch } a onumber]

Jetzt vervollständigen wir das Quadrat. Nimm die Hälfte des Koeffizienten von (x) und quadriere dann das Ergebnis.

(dfrac{1}{2} cdot dfrac{b}{a}=dfrac{b}{2 a}) wenn quadriert ergibt (left(dfrac{b}{2 a} rechts)^{2}=dfrac{b^{2}}{4 a^{2}})

Wir addieren nun (dfrac{b^{2}}{4 a^{2}}) zu beiden Seiten der Gleichung.

[x^{2}+dfrac{b}{a} x+dfrac{b^{2}}{4 a^{2}}=-dfrac{c}{a}+dfrac{b^ {2}}{4 a^{2}} quad color {Rot} ext { Add } b^{2} /left(4 a^{2} ight) ext { auf beiden Seiten. } keine Nummer ]

Links faktorisieren wir das perfekte quadratische Trinom. Rechts bilden wir äquivalente Brüche mit einem gemeinsamen Nenner.

[egin{array}{ll}{left(x+dfrac{b}{2 a} ight)^{2}=-dfrac{c}{a} cdot dfrac{4 a}{ 4 a}+dfrac{b^{2}}{4 a^{2}}} & color {Red} { ext { Links Faktor. Rechts }} {} & color {Red} { ext { äquivalente Brüche erzeugen mit }} {left(x+dfrac{b}{2 a} ight)^{2}= create -dfrac{4 ac}{4 a^{2}}+dfrac{b^{2}}{4 a^{2}}} & color {Red} { ext { Multiplizieren Sie Zähler und Nenner. }} {left(x+dfrac{b}{2 a} ight)^{2}=dfrac{b^{2}-4 ac}{4 a^{2}}} & color {Rot} { ext { Brüche hinzufügen. }}end{array} onumber ]

Wenn wir die Quadratwurzel ziehen, gibt es zwei Antworten.

[x+dfrac{b}{2 a}=pm sqrt{dfrac{b^{2}-4 ac}{4 a^{2}}} quad color {Rot} ext { Zwei Quadratwurzeln. } keine Nummer ]

Wenn Sie die Quadratwurzel eines Bruchs ziehen, ziehen Sie die Quadratwurzel von Zähler und Nenner.

[egin{ausgerichtet} x+dfrac{b}{2 a} &=pm dfrac{sqrt{b^{2}-4 ac}}{sqrt{4 a^{2}}} x+dfrac{b}{2 a} &=pm dfrac{sqrt{b^{2}-4 ac}}{2 a} quad color {Rot} ext { Vereinfachen: } sqrt {4 a^{2}}=2 a x &=-dfrac{b}{2 a} pm dfrac{sqrt{b^{2}-4 ac}}{2 a} quad color {Red} ext { Subtract } b /(2 a) ext { von beiden Seiten } end{aligned} onumber ]

Da beide Brüche den gleichen Nenner haben, können wir Zähler addieren und subtrahieren und das Ergebnis über den gemeinsamen Nenner legen.

[x=dfrac{-b pm sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} onumber ]

Die quadratische Formel

Die Gleichung (a x^{2}+b x+c=0) heißt quadratische Gleichung. Seine Lösungen sind gegeben durch[x=dfrac{-b pm sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} onumber ]genannt quadratische Formel.

Wütend! Glücklicherweise ist das Ergebnis viel einfacher anzuwenden als zu entwickeln! Versuchen wir einige Beispiele.

Beispiel (PageIndex{1})

Auflösen nach (x: x^{2}-4 x-5=0)

Lösung

Das ganzzahlige Paar (1,−5) hat das Produkt (ac = −5) und die Summe (b = −4). Daher diese Trinomialfaktoren.

[egin{array}{r}{x^{2}-4 x-5=0} {(x+1)(x-5)=0}end{array} onumber ]

Jetzt können wir die Nullprodukteigenschaft verwenden, um zu schreiben:

[egin{array}{rlrl}{x+1} & {=0} & { ext { oder }} & {x-5} & {=0} {x} & {=-1} & {} & {x} & {=5}end{array} onumber ]

Die Lösungen lauten also (x = −1) und (x = 5). Versuchen wir es nun mit der quadratischen Formel. Zuerst müssen wir unsere Gleichung mit der quadratischen Gleichung vergleichen und dann die Werte von (a), (b) und (c) bestimmen.

[egin{array}{l}{a x^{2}+b x+c=0} {x^{2}-4 x-5=0}end{array} onumber ]

Beim Vergleich der Gleichungen sehen wir (a = 1), (b = −4) und (c = −5). Diese Zahlen setzen wir nun in die quadratische Formel ein. Ersetzen Sie zuerst jedes Vorkommen von (a), (b) und (c) in der quadratischen Formel durch offene Klammern.

[egin{ausgerichtet}
x &=dfrac{-b pm sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} quad color {Rot} ext { Die quadratische Formel. } x& = {dfrac{-(quad) pm sqrt{(quad)^{2}-4( )( )}}{2( )} quad quad color {Rot} text { Ersetze } a, b, ext { und } c ext { durch offene Klammern. }}end{ausgerichtet} onumber ]

Jetzt können wir ersetzen: (1) für (a), (−4) für (b) und (−5) für (c).

[egin{array}{ll}{x=dfrac{-(-4) pm sqrt{(-4)^{2}-4(1)(-5)}}{2(1) }} & color {Rot} { ext { Ersatz: } 1 ext { for } a,-4 ext { for } b} {x=dfrac{4 pm sqrt{16+20} }{2}} & color {Rot} { ext { Vereinfachen. Erst Exponent, dann }} {x=dfrac{4 pm sqrt{36}}{2}} & color {Red} { ext { Add: } 16+20=36} {x =dfrac{4 pm 6}{2}} & color {Red} { ext { Vereinfachen: } sqrt{36}=6}end{array} onumber]

Beachten Sie, dass wir aufgrund des „Plus- oder Minus“-Symbols zwei Antworten haben.

[egin{array}{ll}{x=dfrac{4-6}{2}} & ext {or} & {x=dfrac{4+6}{2}} {x= dfrac{-2}{2}} && {x=dfrac{10}{2}} {x=-1} && {x=5}end{array} onumber ]

Beachten Sie, dass diese Antworten mit den Antworten übereinstimmen, die mit dem ac-Test gefunden wurden, um das Trinom zu faktorisieren.

Übung (PageIndex{1})

Löse nach (x: x^{2}-8x+12=0)

Antworten

(2), (6)

Beispiel (PageIndex{2})

Auflösen nach (x : x^{2}=5 x+7)

Lösung

Die Gleichung ist nichtlinear, machen Sie eine Seite zu Null.

[egin{array}{rlrl}{x^{2}} & {=5 x+7} & {} & color {Red} { ext { Originalgleichung. }} {x^{2}-5 x-7} & {=0} & {} & color {Rot} { ext { Nichtlinear. Machen Sie eine Seite zu Null. }}end{array} onumber ]

Vergleiche (x^2 −5x−7 = 0) mit (ax^2 + bx + c = 0) und beachte, dass (a = 1), (b = −5) und (c = −7). Ersetzen Sie jedes Vorkommen von (a), (b) und (c) durch offene Klammern, um die quadratische Formel für die Ersetzung vorzubereiten.

[egin{array}{ll}{x=dfrac{-b pm sqrt{b^{2}-4 ac}}{2 a}} & color {Red} { ext { Die quadratische Formel. }} {x=dfrac{-( ) pm sqrt{( )^{2}-4( )( )}}{2( )}} & color {Rot} { ext { Ersetzen} a, b, ext { und } c ext { with }}end{array} onumber]

Ersetzen Sie (1) für (a), (−5) für (b) und (−7) für (c).

[egin{array}{ll}{x=dfrac{-(-5) pm sqrt{(-5)^{2}-4(1)(-7)}}{2(1) }} & color {Rot} { ext { Ersatz: } a=1, b=-5, c=-7} {x=dfrac{5 pm sqrt{25+28}}{2 }} & color {Red} { ext { Exponenten und Multiplikation zuerst. }} {x=dfrac{5 pm sqrt{53}}{2}} & color {Rot} { ext { Vereinfachen. }}end{array} onumber ]

Prüfen: Verwenden Sie den Taschenrechner, um jede Lösung zu überprüfen (siehe Abbildung (PageIndex{1})). Beachten Sie, dass wir beim Speichern von ((5-sqrt{53}) / 2) in (mathbf{X}) den Zähler in Klammern setzen müssen.

Abbildung (PageIndex{1}): Überprüfe ((5-sqrt{53}) / 2) und ((5+sqrt{53}) / 2).

Beachten Sie in jedem Bild in Abbildung (PageIndex{1}) nach dem Speichern der Lösung in (mathbf{X}), dass die linke und rechte Seite der ursprünglichen Gleichung (x^2 =5 x + 7) ergeben die gleiche Zahl, was bestätigt, dass unsere Lösungen richtig sind.

Übung (PageIndex{2})

Löse nach (x : x^{2}+7 x=10)

Antworten

((-7+sqrt{89}) / 2,(-7-sqrt{89}) / 2)

Zusätzlich zum Platzieren aller Quadratwurzeln in einfache radikale Form müssen Sie manchmal Ihre Antwort auf die niedrigsten Terme reduzieren.

Beispiel (PageIndex{3})

Löse nach (x : 7 x^{2}-10 x+1=0)

Lösung

Vergleiche (7x^2 −10x + 1 = 0) mit (ax^2 + bx + c = 0) und beachte, dass (a = 7), (b = −10) und (c = 1). Ersetzen Sie jedes Vorkommen von (a), (b) und (c) durch offene Klammern, um die quadratische Formel für die Ersetzung vorzubereiten.

[egin{ausgerichtet}
x &=dfrac{-b pm sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} quad color {Rot} ext { Die quadratische Formel. }
x &= dfrac{-(quad) pm sqrt{( )^{2}-4( )( )}}{2( )} quad color {Rot} ext { Ersetzen } a, b , ext { und } c ext { mit offenen Klammern.}
end{ausgerichtet} onumber ]

Ersetzen Sie (7) für (a), (−10) für (b) und (1) für (c).

[egin{array}{ll}{x=dfrac{-(-10) pm sqrt{(-10)^{2}-4(7)(1)}}{2(7)} } & color {Red} { ext { Ersatz: } 7 ext { for } a} {x=dfrac{10 pm sqrt{100-28}}{14}} & color {Red } { ext { Exponent, dann Multiplikation. }} {x=dfrac{10 pm sqrt{72}}{14}} & color {Rot} { ext { Vereinfachen. }}end{array} onumber ]

Beachten Sie in diesem Fall, dass wir ein perfektes Quadrat herausrechnen können, nämlich (sqrt{36}).

[egin{array}{ll}{x=dfrac{10 pm sqrt{36} sqrt{2}}{14}} & color {Red} {sqrt{72}=sqrt{ 36} sqrt{2}} {x=dfrac{10 pm 6 sqrt{2}}{14}} & color {Rot} { ext { Vereinfachen: } sqrt{36}=6 }end{array} onumber]

Beachten Sie schließlich, dass Zähler und Nenner durch (2) teilbar sind.

[egin{ausgerichtet}
x&= dfrac{ frac{10 pm 6 sqrt{2}}{2}}{ frac{14}{2}} quad color {Red} ext { Dividiere Zähler und Nenner durch } 2.
x&= dfrac{ frac{10}{2} pm frac{6 sqrt{2}}{2}}{ frac{14}{2}} quad color {Rot} ext { Verteilen die } 2. x&=dfrac{5 pm 3 sqrt{2}}{7} quad color {Rot} ext { Vereinfachen. }
end{ausgerichtet} onumber ]

Alternative Vereinfachung: Anstatt Zähler und Nenner durch (2) zu teilen, ziehen es einige vor, wie folgt zu faktorisieren und zu streichen.

[egin{array}{ll}{x=dfrac{10 pm 6 sqrt{2}}{14}} & color {Red} { ext { Originalantwort. }} {x=dfrac{2(5 pm 3 sqrt{2})}{2(7)}} & color {Rot} { ext { a ausrechnen } 2} {x =dfrac{ ot{2}(5 pm 3 sqrt{2})}{ ot{2}(7)}} & color {Rot} { ext { Abbrechen. }} {x=dfrac{5 pm 3 sqrt{2}}{7}} & color {Rot} { ext { Vereinfachen. }}end{array} onumber ]

Beachten Sie, dass wir mit dieser Technik die gleiche Antwort erhalten.

Übung (PageIndex{3})

Löse nach (x : 3 x^{2}+8 x+2=0)

Antworten

((-4+sqrt{10}) / 3,(-4-sqrt{10}) / 3)

Beispiel (PageIndex{4})

Ein Objekt wird vertikal abgeschossen und seine Höhe (y) (in Fuß) über dem Boden wird durch die Gleichung (y = 320+192t−16t^2) angegeben, wobei t die vergangene Zeit (in Sekunden) ist seit seiner Einführung. Wie viel Zeit muss nach dem Start vergehen, bevor das Objekt auf Bodenniveau zurückkehrt? Nachdem Sie die Antwort in einfacher Form eingegeben und reduziert haben, runden Sie die Antwort mit Ihrem Taschenrechner auf die nächste Zehntelsekunde.

Lösung

Wenn das Objekt zum Boden zurückkehrt, beträgt seine Höhe (y) über dem Boden (y = 0) Fuß. Um den Zeitpunkt zu ermitteln, an dem dies auftritt, setzen Sie (y = 0) in die Formel (y = 320 + 192t−16t^2) ein und lösen nach (t) auf.

[egin{array}{ll}{y=320+192 t-16 t^{2}} & color {Red} { ext { Originalgleichung. }} {0=320+192 t-16 t^{2}} & color {Rot} { ext { Set } y=0}end{array} onumber]

Jeder der Koeffizienten ist durch (−16) teilbar.

[0=t^{2}-12 t-20 quad color{Red} ext { Beide Seiten teilen durch }-16 onumber]

Vergleiche (t^2−12t−20 = 0) mit (at^2 +bt+c = 0) und beachte, dass (a = 1), (b = −12) und (c = −20). Ersetzen Sie jedes Vorkommen von (a), (b) und (c) durch offene Klammern, um die quadratische Formel für die Ersetzung vorzubereiten. Beachten Sie, dass wir diesmal nach t auflösen, nicht nach (x).

[egin{array}{ll}{x=dfrac{-b pm sqrt{b^{2}-4 ac}}{2 a}} & color {Red} { ext { Die quadratische Formel. }} {x=dfrac{-( ) pm sqrt{( )^{2}-4( )( )}}{2( )}} & color {Rot} { ext { Ersetzen} a, b, ext { und } c ext { mit offenen Klammern. }}end{array} onumber ]

Ersetzen Sie (1) für (a), (−12) für (b) und (−20) für (c).

[egin{array}{ll}{t=dfrac{-(-12) pm sqrt{(-12)^{2}-4(1)(-20)}}{2(1) }} & color {Rot} { ext { Ersatz: } 1 ext { for } a} {t=dfrac{12 pm sqrt{144+80}}{2}} & color { Rot} { ext { Exponent, dann Multiplikation. }} {t=dfrac{12 pm sqrt{224}}{2}} & color {Rot} { ext { Vereinfachen. }}end{array} onumber ]

Die Antwort ist nicht einfach, da wir (sqrt{16}) herausrechnen können.

[egin{array}{ll}{t=dfrac{12 pm sqrt{16} sqrt{14}}{2}} & color {Red} {sqrt{224}=sqrt{ 16} sqrt{14}} {t=dfrac{12 pm 4 sqrt{14}}{2}} & color {Rot} { ext { Vereinfachen: } sqrt{16}=4 }end{array} onumber]

Verwenden Sie die Verteilungseigenschaft, um beide Terme im Zähler durch (2) zu teilen.

[egin{array}{ll}{t=dfrac{12}{2} pm dfrac{4 sqrt{14}}{2}} & color{Red} { ext { Dividiere beide Terme by } 2} {t=6 pm 2 sqrt{14}} & color {Red} { ext { Vereinfachen}}end{array} onumber]

Somit haben wir zwei Lösungen, (t=6-2 sqrt{14}) und (t=6+2 sqrt{14}). Verwenden Sie Ihren Taschenrechner, um Dezimalnäherungen zu finden, und runden Sie dann auf das nächste Zehntel.

Abbildung (PageIndex{2}): Verwenden des Taschenrechners, um Dezimal-Approximationen zu finden

[t approx-1.5,13.5 onumber]

Die negative Zeit ist irrelevant, so dass das Objekt auf die nächste Zehntelsekunde ungefähr (13,5) Sekunden braucht, um zum Boden zurückzukehren.

Übung (PageIndex{4})

Ein Objekt wird vertikal gestartet und seine Höhe (y) (in Fuß) über dem Boden wird durch die Gleichung (y = 160 + 96t−16t^2) angegeben, wobei (t) die Zeit (in Sekunden), die seit dem Start vergangen sind. Wie viel Zeit muss nach dem Start vergehen, bevor das Objekt auf Bodenniveau zurückkehrt?

Antworten

(3+sqrt{19} ca. 7,4) Sekunden

Beispiel (PageIndex{5})

Arnie steigt mittags auf sein Fahrrad und beginnt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 12 Meilen pro Stunde genau nach Norden zu fahren. Um 13:00 Uhr steigt Barbara am selben Startpunkt auf ihr Fahrrad und beginnt mit einer konstanten Geschwindigkeit von (8) Meilen pro Stunde genau nach Osten zu fahren. Zu welcher Tageszeit werden sie (50) Meilen voneinander entfernt sein (Luftlinie)? Machen Sie sich keine Sorgen um einfache Formulare, geben Sie einfach die Tageszeit an und korrigieren Sie sie auf die nächste Minute.

Lösung

Im Moment sind sie (50) Meilen voneinander entfernt, lassen (t) die Zeit darstellen, die Arnie seit Mittag reitet. Da Barbara um 13:00 Uhr gestartet ist, fährt sie eine Stunde weniger als Arnie. Sei also (t−1) die Anzahl der Stunden, die Barbara in dem Moment gefahren ist, in dem sie (50) Meilen voneinander entfernt sind.

Wenn Arnie nun (t) Stunden mit einer konstanten Geschwindigkeit von (12) Meilen pro Stunde gefahren ist, dann hat er eine Entfernung von (12t) Meilen zurückgelegt. Da Barbara (t−1) Stunden mit einer konstanten Geschwindigkeit von (8) Meilen pro Stunde gefahren ist, hat sie eine Strecke von (8(t−1)) Meilen zurückgelegt.

Abbildung (PageIndex{3}): (50) Meilen auseinander.

Die von Arnie und Barbara zurückgelegte Strecke und Richtung sind in Abbildung (PageIndex{3}) eingezeichnet. Beachten Sie, dass wir ein rechtwinkliges Dreieck haben, also müssen die Seiten des Dreiecks den Satz des Pythagoras erfüllen. Das ist,

[(12 t)^{2}+[8(t-1)]^{2}=50^{2} quad color{Red} ext { Verwenden Sie den Satz des Pythagoras. } keine Nummer ]

Verteilen Sie (8).

[(12 t)^{2}+(8 t-8)^{2}=50^{2} quad color{Rot} ext { Verteile die } 8 onumber]

Jeden Begriff quadrieren. Verwenden Sie ((a−b)^2 = a^2 −2ab + b^2), um ((8t−8)^2) zu erweitern.

[egin{aligned} 144 t^{2}+64 t^{2}-128 t+64 &=2500 quad color{Red} ext { Jeden Term quadrieren. } 208 t^{2}-128 t+64 &=2500 quad color{Rot} ext { Vereinfachen: } 144 t^{2}+64 t^{2}=208 t^{2} end{ausgerichtet} onumber ]

Die resultierende Gleichung ist nichtlinear. Machen Sie eine Seite gleich Null.

[egin{array}{rlrl}{208 t^{2}-128 t-2436} & {=0} & {} & color{Red} { ext { Subtrahieren} 2500 ext { von beiden Seiten . }} {52 t^{2}-32 t-609} & {=0} & {} & color{Red} { ext { Dividiere beide Seiten durch } 4.}end{array} onumber ]

Vergleiche (52t^2 −32t−609 = 0) mit (at^2 + bt + c = 0) und beachte, dass (a = 52), (b = −32) und (c = −609). Beachten Sie, dass wir dieses Mal nach (t) auflösen, nicht nach (x).

[egin{array}{ll}{x=dfrac{-b pm sqrt{b^{2}-4 ac}}{2 a}} & color{Red} { ext { Das quadratische Formel. }} {x=dfrac{-( ) pm sqrt{( )^{2}-4( )( )}}{2( )}} & color{Rot} { ext { Ersetzen} a, b, ext { und } c ext { with }}end{array} onumber]

Ersetzen Sie (52) für (a), (−32) für (b) und (−609) für (c).

[egin{align*} t &= dfrac{-(-32) pm sqrt{(-32)^{2}-4(52)(-609)}}{2(52)} quad color {Red} ext { Ersatz: } 52 ext { for } a t &= dfrac{32 pm sqrt{1024+126672}}{104} quad color {Red} ext {Exponent, dann Multiplikation.} t &= dfrac{32 pm sqrt{127696}}{104} quad color {Red} ext { Vereinfachen. } end{ausrichten*} onumber ]
Da es sich nun um eine ungefähre Zeitangabe handelt, werden wir uns nicht mit einfacher Form und Kürzung beschäftigen, sondern sofort zum Taschenrechner übergehen, um dieses letzte Ergebnis zu approximieren (siehe Abbildung (PageIndex{4})). Arnie fährt also ungefähr (3.743709336) Stunden. Um den Nachkommateil (0,743709336) Stunden in Minuten zu ändern, multiplizieren Sie mit (60)min/h.

Abbildung (PageIndex{4}): Ungefähre Zeit, die Arnie gefahren ist.

[0.743709336 mathrm{hr}=0.743709336 mathrm{hr} imes dfrac{60 mathrm{min}}{mathrm{hr}}=44.62256016 mathrm{min} onumber]

Auf die nächste Minute gerundet, fährt Arnie ungefähr (3) Stunden und (45) Minuten. Da Arnie mittags mit dem Reiten angefangen hat, sind er und Barbara etwa 15:45 Uhr voneinander entfernt.

Übung (PageIndex{5})

Um 6:00 Uhr passiert ein Güterzug mit (40) Meilen pro Stunde die Sagebrush Junction in Richtung Westen. Um 8:00 Uhr fährt ein Personenzug mit (60) Meilen pro Stunde durch die Kreuzung in Richtung Süden. Zu welcher Tageszeit, auf die nächste Minute genau, werden die beiden Züge (180) Meilen voneinander entfernt sein?

Antworten

9:42 Uhr


Quadratische Formel

Die quadratische Formel ist eine Formel, die verwendet wird, um quadratische Gleichungen zu lösen. Es ist die Lösung der allgemeinen quadratischen Gleichung. Quadratische sind Polynome, deren höchster Potenzterm den Grad 2 hat.

Allgemeine quadratische Gleichung:

a, b und c sind Konstanten, wobei a nicht gleich 0 sein kann. Das ± zeigt an, dass die quadratische Formel zwei Lösungen hat. Jeder von ihnen wird als Wurzel bezeichnet. Geometrisch stellen diese Wurzeln die Punkte dar, an denen eine Parabel die x-Achse schneidet. Somit kann die quadratische Formel verwendet werden, um die Nullstellen jeder Parabel zu bestimmen, sowie die Symmetrieachse der Parabel anzugeben.

Wenn einem Quadrat entweder der bx- oder der c-Term fehlen, dann setze b oder c gleich 0 . Wenn die quadratische Formel den Term ax 2 nicht enthält, können Sie die quadratische Formel nicht verwenden, da der Nenner der quadratischen Formel 0 ist. In diesem Fall können Sie Algebra verwenden, um die Nullstellen zu finden.

Verwenden der quadratischen Gleichung

Die quadratische Formel beinhaltet hauptsächlich das Einsetzen von Zahlen in die Gleichung, aber es gibt ein paar Dinge, die Sie wissen müssen. Der Teil der Formel innerhalb des Radikals wird als Diskriminante bezeichnet:

Die Diskriminante sagt uns, wie viele Lösungen das Quadrat hat.

Beachten Sie außerdem das ±-Symbol. Dies bedeutet, dass bei einer positiven Diskriminante die Quadratische zwei Lösungen hat – eine, bei der Sie die Quadratwurzel der Diskriminante addieren, und eine, bei der Sie sie subtrahieren.

Unten ist ein Beispiel für die Verwendung der quadratischen Formel:

Erinnerung an die quadratische Gleichung

Obwohl die quadratische Gleichung auf den ersten Blick entmutigend erscheinen mag, kann die wiederholte Verwendung hilfreich sein. Wenn Sie die Melodie zu "Pop goes the weasel" kennen, können Sie auch die quadratische Gleichung zu ihrer Melodie singen, um sich an die quadratische Gleichung zu erinnern. Das Lied geht:

"x ist gleich minus b, plus oder minus der Quadratwurzel, von b zum Quadrat minus 4ac über 2a."


Die quadratische Gleichung

Scheitelpunkt beschriften, Symmetrieachse verwenden.

Überwachung:
a > 1, dann ist die Parabel _________
a < 1, dann ist die Parabel _________
a < 0, dann ist die Parabel _________

Der Graph von f (x) = a(x – h) 2

Scheitelpunkt beschriften, Symmetrieachse verwenden.

Überwachung:
(x+h) h ist neg, dann Parabel _________
(x–h) h ist Pos, dann Parabel _________
Die Wirkung von h ist _________

Der Graph von f (x) = a(x – h) 2 + k

Scheitelpunkt beschriften, Symmetrieachse verwenden.

Überwachung:
Der Scheitelpunkt ist _________
Die Gleichung des A.O.S. _________
Die Wirkung von k _________

Grafische Darstellung von y = a(x – h) 2 + k

Graph:

Fassen Sie die Scheitelpunktform zusammen

y = a(x – h) 2 + k ist die Scheitelpunktform.

8.7 Mehr über die grafische Darstellung von Quadraten

Muss man wissen
▪ Überprüfen Sie das Vervollständigen des Quadrats
▪ Konvertieren in Scheitelpunktform
(nicht um zu lernen, sondern um die Abkürzungsformel zu schätzen)
▪ Scheitelpunktformel – Short Cut
▪ Finden von Schnittpunkten
▪ Den Graphen eines Quadrats skizzieren

Den Platz vervollständigen

y = a(x – h) 2 + k
Was ist der Scheitelpunkt? ____________

Quadratische in Scheitelpunktform umwandeln

Wenn das Quadrat in Standardform vorliegt, haben wir keine Informationen.
Wir müssen die Form in eine Scheitelpunktform (quadratisches Zeug) ändern.

g(x) = x 2 – 10x + 21
f(x) = 4x 2 + 8x - 3

Vertex Point – Kurzer Schnitt (einfacher Weg)

Wenn f(x) = ax 2 + bx + c, dann (h, k) = ___________
was bedeutet _____________________________.
1. Finden Sie h mit der Formel
2. Finden Sie k, indem Sie h in die Funktion einsetzen.

g(x) = x 2 – 10x + 21
f(x) = 4x 2 + 8x – 3

Abrufen:
X-Schnittpunkt = Punkt, an dem der Graph die X-Achse schneidet. (a, 0)
Finden Sie den x-Schnittpunkt, indem Sie y = 0 lassen.

Y-Schnittpunkt = Punkt, an dem der Graph die y-Achse schneidet. (0, b)
Finden Sie den y-Schnittpunkt, indem Sie x = 0 lassen.
Beispiel:


Ms. McCulloughs Mathematikunterricht

Ich habe die Nummer 25 unserer Hausaufgaben gemacht, aber ich glaube nicht, dass ich es richtig gemacht habe. Kannst du mir sagen, wo ich falsch lag?

ich bin mir nicht sicher ob du das verstehen kannst oder nicht. Es tut uns leid

was mache ich wenn das "a" im problem nicht hat und exponet?

Hallo Davis! Zu deinem ersten Kommentar. Sie haben es richtig eingerichtet, aber denken Sie daran, wenn Sie eine negative Zahl in Ihrer Quadratwurzel haben, bedeutet dies, dass es keine echten Lösungen gibt (weil wir die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht ziehen können). Zu deinem zweiten Kommentar. wenn "a" keinen Exponenten von 2 hat, dann ist es nicht wirklich "a". Sie müssen die Begriffe neu anordnen, damit sie in die richtige Reihenfolge kommen (ax^2+bx+c=0), aber auf welches Problem beziehen Sie sich?

Ich habe darauf gewartet, dass jemand das fängt. es ist eine Fangfrage. Es ist nicht quadratisch, Sie können also einfach nach x auflösen und haben nur eine Antwort.

oh danke Ms. McCullough das ist nett von Ihnen. Also muss ich nur nach x auflösen?


Quadratische Formel

Setzen Sie die Werte von a, b und c ein, erhalten Sie die gewünschten Werte von x.

Ist der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen ( b 2 − 4 a c , auch Diskriminante genannt) negativ, dann gibt es keine reellen Lösungen. (Sie benötigen komplexe Zahlen, um diesen Fall richtig zu behandeln. Diese werden normalerweise in Algebra 2 gelehrt.)

Wenn die Diskriminante null ist, gibt es nur eine Lösung. Wenn die Diskriminante positiv ist, bedeutet das ±-Symbol, dass Sie zwei Antworten erhalten.

Löse die quadratische Gleichung.

Hier a = 1 , b = − 1 und c = − 12 . Einsetzend erhalten wir:

x = − ( − 1 ) ± ( − 1 ) 2 − 4 ( 1 ) ( − 12 ) 2 ( 1 )

Die Diskriminante ist positiv, also haben wir zwei Lösungen:

In diesem Beispiel war die Diskriminante 49 , ein perfektes Quadrat, sodass wir am Ende rationale Antworten erhielten. Bei der Verwendung der quadratischen Formel erhält man oft Antworten, die noch Radikale enthalten.

Löse die quadratische Gleichung.

Hier a = 3 , b = 2 und c = 1 . Einsetzend erhalten wir:

x = − 2 ± 2 2 − 4 ( 3 ) ( 1 ) 2 ( 3 )

Die Diskriminante ist negativ, daher hat diese Gleichung keine reellen Lösungen.

Löse die quadratische Gleichung.

Hier a = 1 , b = − 4 und c = 2 . Einsetzend erhalten wir:

x = − ( − 4 ) ± ( − 4 ) 2 − 4 ( 1 ) ( 2 ) 2 ( 1 ) = 4 ± 16 − 8 2 = 4 ± 8 2

x = 4 ± 4 ⋅ 2 2 = 4 ± 2 2 2 = 2 ( 2 ± 2 ) 2 = 2 ± 2

Die Diskriminante ist positiv, aber kein perfektes Quadrat, also haben wir zwei reelle Lösungen:


Angewandte Algebra: Modellierung und Funktionen

Nicht jede quadratische Gleichung kann durch Faktorisieren oder durch Ziehen von Wurzeln gelöst werden. Beispielsweise kann der Ausdruck (x^2 + x - 1) nicht faktorisiert werden, sodass die Gleichung (x^2 + x - 1 = 0) nicht durch Faktorisieren gelöst werden kann. Bei anderen Gleichungen kann die Faktorisierung schwierig sein. In diesem Abschnitt lernen wir zwei Methoden kennen, mit denen jede quadratische Gleichung gelöst werden kann.

Unterabschnitt Quadratische Formel

Anstatt das Quadrat jedes Mal zu vervollständigen, wenn wir eine neue quadratische Gleichung lösen, können wir das Quadrat auf der allgemeinen quadratischen Gleichung vervollständigen,

und erhalten Sie eine Formel für die Lösungen einer beliebigen quadratischen Gleichung.

Die Quadratische Formel.

Die Lösungen der Gleichung (ax^2 + bx + c = 0 ext

Diese Formel drückt die Lösungen einer quadratischen Gleichung durch ihre Koeffizienten aus. (Der Beweis der Formel wird in den Hausaufgaben behandelt.) Das Symbol (pm ext<,>) gelesen plus oder minus, wird verwendet, um die beiden Gleichungen zu kombinieren

Um eine quadratische Gleichung mit der quadratischen Formel zu lösen, müssen wir nur die Koeffizienten (a ext<,>) (b ext<,>) und (c) in die Formel einsetzen.

Beispiel 6.18 .

Schreiben Sie die Gleichung in Standardform als

Ersetzen Sie (alert<2>) für (a ext<,>) (alert<-4>) für (b ext<,>) und (alert<1> ) für (c) in die quadratische Formel, dann vereinfache.

Mit einem Taschenrechner finden wir, dass die Lösungen ungefähr (1.707) und (0.293 ext<.>) sind.

Wir können auch verifizieren, dass die (x)-Achsenabschnitte des Graphen von (y = 2x^2 - 4x + 1) ungefähr (1.707) und (0.293 ext<,>) sind, wie gezeigt unter.

Kontrollpunkt 6.19 .

Verwenden Sie die quadratische Formel, um (

Unterabschnitt Anwendungen

Wir haben nun vier verschiedene algebraische Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen kennengelernt:

  1. Factoring
  2. Extraktion von Wurzeln
  3. Das Quadrat vervollständigen
  4. Quadratische Formel

Faktorisieren und Ziehen von Wurzeln sind relativ schnell und einfach, funktionieren jedoch nicht bei allen quadratischen Gleichungen. Die quadratische Formel funktioniert mit jeder quadratischen Gleichung.

Beispiel 6.20 .

Die Besitzer einer Kita planen, wie unten dargestellt, einen geteilten Spielbereich an die Rückwand ihres Gebäudes einzugrenzen. Sie haben (300) Fuß Lattenzaun und möchten, dass die Gesamtfläche des Spielplatzes (6000) Quadratfuß beträgt. Können sie den Spielplatz mit dem vorhandenen Zaun umschließen und wenn ja, welche Abmessungen sollte der Spielplatz haben?

Angenommen, die Breite des Spielbereichs beträgt (x) Fuß. Da es drei Zaunabschnitte entlang der Breite des Spielbereichs gibt, bleiben für seine Länge (300 - 3x) Fuß Zaun übrig. Die Fläche des Spielbereichs sollte (6000) Quadratfuß betragen, also haben wir die Gleichung

Dies ist eine quadratische Gleichung. In Standardform,

Die linke Seite kann nicht faktorisiert werden, daher verwenden wir die quadratische Formel mit (a = alert<1> ext<,>) (b = alert<-100> ext<,>) und ( c = alert<2000> ext<.>)

Wir vereinfachen den letzten Bruch und finden, dass (x approx 72,35) oder (xapprox 27,65 ext<.>) Beide Werte Lösungen des Problems liefern.

  • Wenn die Breite des Spielbereichs (72,35) Fuß beträgt, dann ist die Länge (300 - 3(72,35) ext<,>) oder (82,95) Fuß.
  • Wenn die Breite (27,65) Fuß beträgt, ist die Länge (300 - 3(27,65) ext<,>) oder (217,05) Fuß.
Kontrollpunkt 6.21 .

In Untersuchung 6.1 haben wir die Höhe eines Baseballs betrachtet, gegeben durch die Gleichung

Finden Sie zweimal, wann sich der Ball in einer Höhe von (20) Fuß befindet. Geben Sie Ihre Antworten mit zwei Dezimalstellen an.

Manchmal ist es nützlich, eine quadratische Gleichung für eine Variable in Bezug auf die anderen zu lösen.

Beispiel 6.22 .

Wir schreiben die Gleichung zunächst in Standardform als quadratische Gleichung in die Variable (x ext<.>)

Ausdrücke in (y) werden in Bezug auf (x ext<,>) als Konstanten behandelt, sodass (a = alert<1> ext<,>) (b = alert<- y> ext<,>) und (c = alert ext<.>) Setzen Sie diese Ausdrücke in die quadratische Formel ein.

Kontrollpunkt 6.23 .

Unterabschnitt Einführung in komplexe Zahlen

Sie wissen, dass nicht alle quadratischen Gleichungen reelle Lösungen haben.

hat keine (x)-Achsenabschnitte (wie rechts gezeigt), und die Gleichung

Wir können immer noch das Quadrat oder die quadratische Formel vervollständigen, um die Gleichung zu lösen.

Beispiel 6.24 .

Lösen Sie die Gleichung (x^2 - 2x + 2 = 0) mit der quadratischen Formel.

Wir setzen (a = 1 ext<,>) (b =-2 ext<,>) und (c= 2) in die quadratische Formel ein, um zu erhalten

Da (sqrt<-4>) keine reelle Zahl ist, hat die Gleichung (x^2 - 2x + 2 = 0) keine reellen Lösungen.

Prüfpunkt 6.25 .

Lösen Sie die Gleichung (x^2 - 6x + 13 = 0) mit der quadratischen Formel.

Unterabschnitt Imaginäre Zahlen

Obwohl Quadratwurzeln negativer Zahlen wie (sqrt<-4>) keine reellen Zahlen sind, kommen sie in der Mathematik und ihren Anwendungen häufig vor.

Mathematiker begannen im 16. Jahrhundert mit Quadratwurzeln negativer Zahlen zu arbeiten, um quadratische und kubische Gleichungen zu lösen. René Descartes gab ihnen den Namen imaginäre Zahlen, was das Misstrauen widerspiegelte, mit dem Mathematiker sie damals betrachteten. Heute werden solche Zahlen jedoch von Wissenschaftlern und Ingenieuren gut verstanden und routinemäßig verwendet.

Wir beginnen mit der Definition einer neuen Zahl, (i ext<,>), deren Quadrat (-1 ext<.>) ist.

Imaginäre Einheit.
Achtung 6.26 .

Der auf diese Weise verwendete Buchstabe (i) ist keine Variable, sondern der Name einer bestimmten Zahl und somit eine Konstante.

Die Quadratwurzel einer beliebigen negativen Zahl kann als Produkt einer reellen Zahl und (i ext<.>) geschrieben werden. Zum Beispiel:

oder (sqrt<-4>=2i ext<.>) Jede Zahl, die das Produkt von (i) und einer reellen Zahl ist, heißt .

Imaginäre Zahlen.

Beispiele für imaginäre Zahlen sind

Beispiel 6.27 .

Schreiben Sie jedes Radikal als imaginäre Zahl.

  1. (displaystyle egin[t] sqrt<-25>amp=sqrt<-1>sqrt<25> amp=isqrt<25>=5i end)
  2. (displaystyle egin[t] 2sqrt<-3>amp=2sqrt<-1>sqrt<3> amp=2isqrt <3>end)
Prüfpunkt 6.28 .

Schreiben Sie jedes Radikal als imaginäre Zahl.

Hinweis 6.29.

Jede negative reelle Zahl hat zwei imaginäre Quadratwurzeln, (isqrt) und (-isqrt ext<,>), weil

Zum Beispiel sind die beiden Quadratwurzeln von (-9) (3i) und (-3i ext<.>)

Unterabschnitt Komplexe Zahlen

Betrachten Sie die quadratische Gleichung

Mit der quadratischen Formel zum Lösen der Gleichung finden wir we

Wenn wir nun (sqrt<-16>) durch (4i ext<,>) ersetzen, haben wir

Die beiden Lösungen sind (1 + 2i) und (1 - 2i ext<.>) Diese Zahlen sind Beispiele für .

Komplexe Zahlen.

A kann in der Form (a+bi ext<,>) geschrieben werden, wobei (a) und (b) reelle Zahlen sind.

Beispiele für komplexe Zahlen sind

In einer komplexen Zahl heißt (a+bi ext<,>) (a) die , und (b) heißt die . Alle reellen Zahlen sind auch komplexe Zahlen (mit dem Imaginärteil gleich Null). Eine komplexe Zahl, deren Realteil gleich Null ist, heißt Zahl.

Beispiel 6.30 .

Schreiben Sie die Lösungen zu Beispiel 6.24, (dfrac<2pmsqrt<-4>><2> ext<,>) als komplexe Zahlen.

Da (sqrt<-4>=sqrt<-1>sqrt<4>=2i ext<,>) gilt (dfrac<2pmsqrt<-4>><2> =dfrac<2pm2i><2> ext<,>) oder (1pm i ext<.>) Die Lösungen sind (1+i) und (1-i ext <.>)

Kontrollpunkt 6.31 .

Verwenden Sie die Wurzelextraktion, um ((2x + 1)^2 + 9 = 0 ext<.>) zu lösen. Schreiben Sie Ihre Antworten als komplexe Zahlen.

Unterabschnitt Arithmetik komplexer Zahlen

Alle Eigenschaften reeller Zahlen, die in Abschnitt A.13 zur Auffrischung der Algebra-Fähigkeiten aufgeführt sind, gelten auch für komplexe Zahlen. Wir können arithmetische Operationen mit komplexen Zahlen durchführen.

Wir addieren und subtrahieren komplexe Zahlen, indem wir ihre Real- und Imaginärteile getrennt kombinieren. Beispielsweise,

Summen und Differenzen komplexer Zahlen.
Beispiel 6.32 .

Subtrahieren: ((8 - 6i ) - (5 + 2i ) ext<.>)

Kombinieren Sie Real- und Imaginärteil.

Kontrollpunkt 6.33 .

Subtrahieren: ((-3 + 2i ) - (-3 - 2i ) ext<.>)

Unterabschnitt Abschnitt Zusammenfassung

Unterabschnitt Vokabular

Schlagen Sie die Definitionen neuer Begriffe im Glossar nach.

Unterabschnitt KONZEPTE

Das Binomialquadrat ist a ,

So lösen Sie eine quadratische Gleichung durch Vervollständigung des Quadrats.

Schreiben Sie die Gleichung in Standardform.

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch den Koeffizienten des quadratischen Termes und subtrahiere den konstanten Term von beiden Seiten.

Vervollständige das Quadrat auf der linken Seite:

  1. Multiplizieren Sie den Koeffizienten des Termes ersten Grades mit der Hälfte und quadrieren Sie dann das Ergebnis.
  2. Addiere den in (a) erhaltenen Wert zu beiden Seiten der Gleichung.

Schreiben Sie die linke Seite der Gleichung als Quadrat eines Binomials. Vereinfachen Sie die rechte Seite.

Verwenden Sie die Extraktion von Wurzeln, um die Lösung zu beenden.

Die Quadratische Formel.

Die Lösungen der Gleichung (ax^2 + bx + c = 0 ext

Wir haben vier Methoden, um quadratische Gleichungen zu lösen: Wurzeln ziehen, faktorisieren, Quadrat vervollständigen und die quadratische Formel verwenden. Die ersten beiden Methoden sind schneller, funktionieren aber nicht bei allen Gleichungen. Die letzten beiden Methoden funktionieren mit jeder quadratischen Gleichung.

Unterabschnitt STUDIENFRAGEN

Name four algebraic methods for solving a quadratic equation.

Give an example of a quadratic trinomial that is the square of a binomial.

What number must be added to (x^2 - 26x) to make it the square of a binomial?

After completing the square, how do we finish solving the quadratic equation?

What is the first step in solving the equation (2x^2 - 6x = 5) by completing the square?

Subsubsection SKILLS

Practice each skill in the Homework problems listed.

Solve quadratic equations by completing the square: #3–24

Solve quadratic equations by using the quadratic formula: #27–36

Solve problems by writing and solving quadratic equations: #37–44

Exercises Homework 6.2

For Problems 1-2, complete the square and write the result as the square of a binomial.

For Problems 3-18, solve by completing the square.

For Problems 19-24, solve by completing the square. Your answers will involve (a ext<,>) (b ext<,>) or (c ext<.>)

Write an expression for the area of the square in the figure.

Express the area as a polynomial.

Divide the square into four pieces whose areas are given by the terms of your answer to part (b).

Write an expression for the area of the shaded region in the figure.

Express the area in factored form.

By making one cut in the shaded region, rearrange the pieces into a rectangle whose area is given by your answer to part (b).

For Problems 23-36, solve using the quadratic formula. Round your answers to three decimal places.

A car traveling at (s) miles per hour on a dry road surface requires approximately (d) feet to stop, where (d) is given by the function

Make a table showing the stopping distance, (d ext<,>) for speeds of (10 ext<,>) (20 ext<,>) (ldots) , (100) miles per hour. (Use the feature of your calculator.)

Graph the function for (d) in terms of (s ext<.>) Use your table values to help you choose appropriate window settings.

Write and solve an equation to answer the question: If a car must be able to stop in (50) feet, what is the maximum safe speed it can travel?

A car traveling at (s) miles per hour on a wet road surface requires approximately (d) feet to stop, where (d) is given by the function

Make a table showing the stopping distance, (d ext<,>) for speeds of (10 ext<,>) (20 ext<,>) (ldots) , (100) miles per hour. (Use the feature of your calculator.)

Graph the function for (d) in terms of (s ext<.>) Use your table values to help you choose appropriate window settings.

Insurance investigators at the scene of an accident find skid marks (100) feet long leading up to the point of impact. Write and solve an equation to discover how fast the car was traveling when it put on the brakes. Verify your answer on your graph.

A skydiver jumps out of an airplane at (11,000) feet. While she is in free-fall, her altitude in feet (t) seconds after jumping is given by the function

Make a table of values showing the skydiver's altitude at (5)-second intervals after she jumps from the airplane. (Use the feature of your calculator.)

Graph the function. Use your table of values to choose appropriate window settings.

If the skydiver must open her parachute at an altitude of (1000) feet, how long can she free-fall? Write and solve an equation to find the answer.

If the skydiver drops a marker just before she opens her parachute, how long will it take the marker to hit the ground? (Hinweis: The marker continues to fall according to the equation given above.)

Find points on your graph that correspond to your answers to parts (c) and (d).

A high diver jumps from the (10)-meter springboard. His height in meters above the water (t) seconds after leaving the board is given by the function

Make a table of values showing the diver's altitude at (0.25)-second intervals after he jumps from the airplane. (Use the feature of your calculator.)

Graph the function. Use your table of values to choose appropriate window settings.

How long is it before the diver passes the board on the way down?

How long is it before the diver hits the water?

Find points on your graph that correspond to your answers to parts (c) and (d).

A dog trainer has (100) meters of chain link fence. She wants to enclose (250) square meters in three pens of equal size, as shown in the figure.

Let (l) and (w) represent the length and width, respectively, of the entire area. Write an equation about the amount of chain link fence.

Solve your equation for (l) in terms (w ext<.>)

Write and solve an equation in (w) for the total area enclosed.

Find the dimensions of each pen.

An architect is planning to include a rectangular window topped by a semicircle in his plans for a new house, as shown in the figure. In order to admit enough light, the window should have an area of (120) square feet. The architect wants the rectangular portion of the window to be (2) feet wider than it is tall.

Let (x) stand for the horizontal width of the window. Write expressions for the height of the rectangular portion and for the radius of the semicircular portion.

Write an expression for the total area of the window.

Write and solve an equation to find the width and overall height of the window.

When you look down from a height, say a tall building or a mountain peak, your line of sight is tangent to the Earth at the horizon, as shown in the figure.

Suppose you are standing on top of the Petronas Tower in Kuala Lumpur, (1483) feet high. How far can you see on a clear day? (You will need to use the Pythagorean theorem and the fact that the radius of the Earth is (3960) miles. Do not forget to convert the height of the Petronas Tower to miles.)

How tall a building should you stand on in order to see (100) miles?

If the radius of the Earth is (6370) kilometers, how far can you see from an airplane at an altitude of (10,000) meters? (Hinweis: See Problem 43.)

B. How high would the airplane have to be in order for you to see a distance of (10) kilometers?

For Problems 45-52, use the quadratic formula to solve each equation for the indicated variable.


In order to sketch the graph of the quadratic equation, we follow these steps :

(a) Check if `a > 0` or `a < 0` to decide if it is U-shaped or n-shaped.

(b) The Vertex: Das x-coordinate of the minimum point (or maximum point) is given by

(which can be shown using completing the square method, which we met earlier).

We substitute this x-value into our quadratic function (the ja expression). Then we will have the (x, ja) coordinates of the minimum (or maximum) point. This is called the vertex of the parabola.

(c) The coordinates of the ja-intercept (substitute `x = 0`). This is always easy to find!

(d) The coordinates of the x-intercepts (substitute `y = 0` and solve the quadratic equation), as long as they are easy to find.

Beispiel 1

Sketch the graph of the function `y = 2x^2&minus 8x + 6`

We first identify that `a = 2`, `b = -8` and `c = 6`.

Step (a)

Since `a = 2`, `a > 0` hence the function is a parabola with a minimum point and it opens upwards (U-shaped)

Step (b)

Das x co-ordinate of the minimum point is:

Das ja value of the minimum point is

So the minimum point is `(2, -2)`

Step (c)

Das ja-intercept is found by substituting `x = 0` into the ja expression.

So `(0, 6)` is the ja-abfangen.

Step (d)

Das x-intercepts are found by setting `y = 0` and solving:

`2x^2 - 8x + 6 = 0`

`2(x^2 - 4x + 3) = 0`

`2(x - 1)(x - 3) = 0`

So `x = 1`, or `x = 3`.


SOLVING QUADRATIC EQUATIONS BY QUADRATIC FORMULA

Solve the quadratic equation using quadratic formula :

The given quadratic equation is in the form of 

Substitute the above values of a, b and c into the quadratic formula. 

Therefore, the solution is

Solve the quadratic equation using quadratic formula :

The given quadratic equation is in the form of 

Substitute the above values of a, b and c into the quadratic formula. 

Therefore, the solution is

Solve the quadratic equation using quadratic formula :

The given quadratic equation is in the form of 

Substitute the above values of a, b and c into the quadratic formula. 

Therefore, the solution is

Solve the quadratic equation using quadratic formula :

Write the given quadratic equation in the form :

Substitute the above values of a, b and c into the quadratic formula. 

Therefore, the solution is

Solve the quadratic equation using quadratic formula :

Write the given quadratic equation in the form :

Substitute the above values of a, b and c into the quadratic formula. 

Therefore, the solution is

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News from Mathnasium of Pflugerville

For those students in high school, and even some younger, we are familiar with the quadratic formula, "the opposite of b, plus or minus the square root of b squared minus 4ac, all divided by 2a". This formula allows you to find the root of quadratic equations of the form: ax 2 + bx + c = 0.

Where did this formula come from? Why did older civilizations need to solve equations of this form in the first place? The following article, taken from h2g2, explores the origins of this famous formula.

Original article: https://h2g2.com/approved_entry/A2982567

This is the quadratic formula, as it is taught to most of us in school:

x1,2=(-b/2ein) ± (1/2ein)(B 2 -4ac) 1/2

gives the solution to a generic quadratic equation of the form:

Axt 2 + bx + C = 0

The development, or derivation, of a mathematical idea is usually as logical, deducible and rectilinear as possible. This brings about the common notion that its historical development is similarly as continuous, logical and rectilinear: one mathematician picking up an idea where another mathematician left it.

Using the quadratic formula as an example, it will be shown that the historical development of mathematics is not at all rectilinear. Instead, parallel developments, interconnections and confluences can be found, which - to complicate this stuff even further - are also interrelated with social, cultural, political and religious matters.

The so-called quadratic formula has been derived in the course of a few millennia to its current form, which is taught to most of us in school. This Entry will strictly concentrate on the historical development of the quadratic formula. Some mathematical background may be of use to fully understand the described development, however the maths used in this Entry will be kept at a necessary minimum.

The Original Problem 2000(or so)BC

Egyptian, Chinese and Babylonian engineers were really smart people - they knew how the area of a square scales with the length of its side. They knew that it's possible to store nine times more bales of hay if the side of the square loft is tripled. They also found out how to calculate the area of more complex designs like rectangles and T-shapes and so on. However, they didn't know how to calculate the sides of the shapes - the length of the sides, starting from a given area - which was often what their clients really needed. And so, this is the original problem: a certain shape 1 must be scaled with a total area, and in the end what's needed is lengths of the sides, or walls to make a working floor plan.

1500BC The Beginnings - Egypt

The first aspect that finally led to the quadratic equation was the recognition that it is connected to a very pragmatic problem, which in its turn demanded a 'quick and dirty' solution. We have to note, in this context, that Egyptian mathematics did not know equations and numbers like we do nowadays it is instead descriptive, rhetorical and sometimes very hard to follow. It is known that the Egyptian wisemen (engineers, scribes and priests) were aware of this shortcoming - but they came up with a way to circumvent this problem: instead of learning an operation, or a formula that could calculate the sides from the area, they calculated the area for all possible sides and shapes of squares and rectangles and made a look-up table. This method works much like we learn the multiplication tables by heart in school instead of doing the operation proper.

So, if someone wanted a loft with a certain shape and a certain capacity to store bales of papyrus, the engineer would go to his table and find the most fitting design. The engineers did not have time to calculate all shapes and sides to make their own table. Instead, the table they used was a reproduction of a master look-up table. The copyists did not know if the stuff they were copying made sense or not as they didn't know anything about maths. So, obviously, sometimes errors crept in, and copies of the copies were known to be less trustworthy 2 . These tables still exist, and it is possible to see where errors crept in during the copying of the documents.

400 BCE The Next Step - Babylon and China

The Egyptian method worked fine, but a more general solution - without the need for tables - seemed desirable. That's where the Babylonian geeks come into play. Babylonian maths had a big advantage over the one used in Egypt, namely they used a number-system that is pretty much like the one we use today, albeit on a hexagesimal basis, or base-60. Addition and multiplication were a lot easier to perform with this system, so the engineers around 1000 BC could always double-check the values in their tables. By 400 BC they found a more general method called 'completing the square' to solve generic problems involving areas. There are no indications that these people used a specific mathematical procedure to find out the solutions, so probably some educated guessing was involved. Around the same time, or a bit later, this method also appears in Chinese documents. The Chinese, like the Egyptians, also did not use a numeric system, but a double checking of simple mathematical operations was made astonishingly easy by the widespread use of the abacus.

300BC Geometry - Hellenistic Mediterranean Area

The first attempts to find a more general formula to solve quadratic equations can be tracked back to geometry (and trigonometry) top-bananas Pythagoras (500 BC in Croton, Italy) and Euclid (300 BC in Alexandria, Egypt), who used a strictly geometric approach, and found a general procedure to solve the quadratic equation. Pythagoras noted that the ratios between the area of a square and the respective length of the side - the square root - were not always integer, but he refused to allow for proportions other than rational. Euclid went even further and found out that this proportion might also not be rational. He concluded that irrational numbersexist.

Euclid's opus Elemente covered more or less all the mathematics needed for technical applications from a theoretical point of view. However, it didn't use the same notation with formulas and numbers like we use nowadays. For that reason it was not possible to calculate the square root of any number by hand, in order to obtain a good approximation for the exact value of the root, which is what the architects and engineers were after. Because all (theoretically relevant at least) maths seemed to be complete 3 but otherwise useless, the many wars occurring in Europe, and also the early Middle Ages turned the mathematical world in Europe silent until the 13th Century. In this period mathematics also suffered a big shift, going from a pragmatic science to a more mystical, philosophical discipline.

700AD All Numbers - India

Hindu mathematics has used the decimal system (the one we use) at least since 600AD. One of the most important influences on Hindu mathematics was that it was widely used in commerce. The average Hindu merchant was pretty fast in simple maths. If someone had a debt the numbers would be negative, if someone had a credit the numbers would be positive. Also, if someone had neither credit, nor debt, the numbers would add up to zero. Zero is an important number in the history of mathematics, and its relatively late appearance is due to the fact that many cultures had difficulty of conceiving 'nothing'. The concept of 'nothing', like in 'shunya', the void, or the concept of 'equilibrium', was already anchored in Hindu culture.

Around 700AD the general solution for the quadratic equation, this time using numbers, was devised by a Hindu mathematician called Brahmagupta, who, among other things, used irrational numbers he also recognised two roots in the solution. The final, complete solution as we know it today came around 1100AD, by another Hindu mathematician called Baskhara 4 . Baskhara was the first to recognise that any positive number has two square roots.

820AD Powerful Islamic Science - Persia

Around 820AD, near Baghdad, Mohammad bin Musa Al-Khwarismi, a famous Islamic mathematician 5 who knew Hindu mathematics, also derived the quadratic equation. The algebra used by him was entirely rhetorical, and he rejected negative solutions. This particular derivation of the quadratic formula was brought to Europe by Jewish mathematician/astronomer Abraham bar Hiyya (whose Latinised name is Savasorda) who lived in Barcelona around 1100.

1500AD Renaissance - Europe

With the Renaissance in Europe, academic attention came back to original mathematical problems. By 1545 Girolamo Cardano, who was a typical Renaissance scientist (ie, interested in alchemy, occultism and suchlike), and one of the best algebraists of his time, compiled the works related to the quadratic equations - that is, he blended Al-Khwarismi's solution with the Euclidean geometry. He was possibly not the first or only one, but the most famous. In his (mainly rhetorical) works he allows for the existence of complex, or imaginary numbers - that is, roots of negative numbers. At the end of the 16th Century the mathematical notation and symbolism was introduced by amateur-mathematician François Viète, in France. In 1637, when René Descartes published La Géométrie, modern Mathematics was born, and the quadratic formula has adopted the form we know today.


Frequently asked questions on finding the zeros of a quadratic function

How many zeros can a quadratic function have?

A quadratic function has 2 zeros real or complex.

How many real zeros can a quadratic function have?

A quadratic function has either 2 real zeros or 0 real zeros.
We know that complex roots occur in conjugate pairs.
Therefore a quadratic function can not have one complex root ( or zero).

What are the zeros of the quadratic function f(x) = 8x^2 – 16x – 15?

Given quadratic function is f(x) = 8x^ <2>- 16x - 15 .
Comparing this with the quadratic function ax^ <2>+ bx + c = 0 , we get
a = 18, b = - 16, c = -15
Now putting these values of a, b, c on Quadratic formula we get
x = frac <- b pm sqrt- 4ac>> <2a>
or, x = frac <- (-16) pm sqrt<(-16)^<2>- 4(8)(-15)>> <2(8)>
or, x = frac< 16 pm sqrt<256 + 480>> <16>
or, x = frac< 16 pm sqrt<736>> <16>
or, x = frac< 16 pm 4sqrt<46>> <16>
or, x = frac< 4 pm sqrt<46>> <4>
or, x = frac< 4 + sqrt<46>><4>,frac< 4 - sqrt<46>> <4>
Therefore the zeros of the quadratic function f(x) = 8ࡨ – 16x – 15 are x = frac< 4 + sqrt<46>><4>, frac<4 - sqrt<46>> <4>.

Which is a zero of the quadratic function f(x) = 16x^2 + 32x − 9?

Given quadratic function is f(x) = 16x^ <2>+ 32x - 9 .
We will find the zeros of the quadratic function f(x) = 16x^ <2>+ 32x - 9 by factoring.
16x^ <2>+ 32x - 9 = 0
or, 16x^ <2>+ (36 - 4)x - 9 = 0
or, 16x^ <2>+ 36x - 4x - 9 = 0
or, 4x (4x + 9) -1 (4x + 9) = 0
or, (4x + 9)(4x -1) = 0
Either 4x + 9 = 0 or 4x - 1 = 0
Either 4x = -9 or 4x = 1
Either x = frac<-9> <4>or x = frac<1> <4>
Therefore the zeros of the quadratic function f(x) = 16x^ <2>+ 32x - 9 are x = frac<-9><4>, : frac<1> <4>.

What are the zeros of the quadratic function f(x) = 6x^2 + 12x – 7?

Given quadratic function is f(x) = 6x^ <2>+ 12x – 7 .
We will find the zeros of the quadratic function by the quadratic formula.
Comparing this with the quadratic function ax^ <2>+ bx + c = 0 , we get
a = 6, b = 12, c = -7
Now putting these values of a, b, c on Quadratic formula we get
x = frac <- b pm sqrt- 4ac>> <2a>
or, x = frac <- 12 pm sqrt<(12)^<2>- 4(6)(-7)>> <2(6)>
or, x = frac<- 12 pm sqrt<144 + 168>> <12>
or, x = frac<- 12 pm sqrt<312>> <12>
or, x = frac<- 12 pm 2 sqrt<78>> <12>
or, x = frac<- 6 pm sqrt<78>> <6>
or, x = frac<- 6 + sqrt<78>><6>, frac<- 6 - sqrt<78>> <6>
Therefore the zeros of the quadratic function f(x) = 6x^ <2>+ 12x – 7 are x = frac<- 6 + sqrt<78>><6>, : frac<- 6 - sqrt<78>> <6>.

What are the zeros of the quadratic function f(x) = 2x^2 + 16x – 9?

Given quadratic function is f(x) = 2x^ <2>+ 16x – 9 .
We use the quadratic formula to find the zeros of the quadratic function f(x) = 2x^ <2>+ 16x – 9 .
Comparing this with the quadratic function ax^ <2>+ bx + c = 0 , we get
a = 2, b = 16, c = -9
Now putting these values of a, b, c on Quadratic formula we get
x = frac <- b pm sqrt- 4ac>> <2a>
or, x = frac <- 16 pm sqrt<(16)^<2>- 4(2)(-9)>> <2(2)>
or, x = frac<- 16 pm sqrt<256 + 72>> <4>
or, x = frac<- 16 pm sqrt<328>> <4>
or, x = frac<- 16 pm 2 sqrt<82>> <4>
or, x = frac<- 8 pm sqrt<82>> <2>
or, x = frac<- 8 + sqrt<82>><2>, frac<- 8 - sqrt<82>> <2>
Therefore the zeros of the quadratic function f(x) = 2x^ <2>+ 16x – 9 are x = frac<- 8 + sqrt<82>><2>, : frac<- 8 - sqrt<82>> <2>.

The zeros of a quadratic polynomial are 1 and 2 then what is the polynomial?

The quadratic polynomial whose zeros are 1 and 2 is
(x-1)(x-2)
= x(x-2) -1(x-2)
= x^ <2>- 2x -x +2
= x^ <2>-3x + 2

What are the zeroes of the quadratic polynomial 3x^2-48?

We can write
3x^<2>-48=0
or, 3(x^<2>-16)=0
or, x^<2>-16=0 (Dividing both sides by 3)
or, x^<2>=16
or, x=pm sqrt <16>
or, x=pm 4
Therefore the zeroes of the quadratic polynomial 3x^2-48 are x = +4, -4.

3x+1/x-8=0 is a quadratic equation or not

We know that the degree of a quadratic function is 2.
But the degree of the function frac<3x+1> is not equal to 2.
Therefore the given function frac<3x+1> is not a quadratic function.
Consequently, 3x+1/x-8=0 is not a quadratic equation.

Find quadratic polynomial whose sum of roots is 0 and the product of roots is 1.

Let the roots of the quadratic polynomial are ‘a’ and ‘b’.
Then by the given condition, we have,
a+b=0
or, a=-b
und
ab=1
or, (-b)b=1
or, b^<2>=-1
or, b=pm sqrt <-1>
or, b=+sqrt<-1>, -sqrt <-1>
Now a=-b=- (sqrt<-1>) = mp sqrt <-1>=-sqrt<-1>, +sqrt <-1>
If we take a=-sqrt <-1>and b=+sqrt <-1>then the quadratic polynomial is
(x-a)(x-b)
= (x-(-sqrt<-1>))(x-sqrt<-1>)
= (x+sqrt<-1>)(x-sqrt<-1>)
= (x)^<2>-(sqrt<-1>)^ <2>
= x^<2>-(-1)
= x^<2>+1
Again if we take a=+sqrt <-1>and b=-sqrt <-1>then the quadratic polynomial is
(x-a)(x-b)
= (x-sqrt<-1>)(x-(-sqrt<-1>))
= (x-sqrt<-1>)(x+sqrt<-1>)
= (x)^<2>-(sqrt<-1>)^ <2>
= x^<2>-(-1)
= x^<2>+1
Therefore the quadratic polynomial whose sum of roots (zeros) is 0 and the product of roots (zeros) is 1 is x^<2>+1 and the zeros of the quadratic polynomial are x= +sqrt<-1>, -sqrt <-1>.

We hope you understand how to find the zeros of a quadratic function.

If you have any doubts or suggestions on the topic of how to find the zeros of a quadratic function feel free to ask in the comment section. We love to hear from you.


Schau das Video: quadratische Ergänzung - ganz einfach erklärt. Lehrerschmidt (September 2021).