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11.1: Vorspiel zu Kegelschnitten - Mathematik


Fünf vier. Anschließend verwenden Sie das Gelernte, um Systeme nichtlinearer Gleichungen zu untersuchen.


Übung 11.1 Kapitel 11 Kegelschnitte Klasse 11 Mathematik

In dieser Vorlesung habe ich ncert-Lösungen für Aufgabe 11.1 von Kapitel 11 Kegelschnitte Klasse 11 Mathematik besprochen.

00:00:05 Wie man Kegelschnitte in Klasse 11 lernt

00:05:31 Einführung in Kreis, Parabel, Ellipse und Hyperbel

00:07:31 Animation, um zu verstehen, warum sie Kegelschnitte genannt werden

00:09:51 Wie man eine Kreisgleichung herleitet
Finden Sie in jeder der folgenden Aufgaben 1 bis 5 die Kreisgleichung mit

00:13:51 NCERT-Lösungen Übung 11.1 Frage 1 Zentrum (0,2) und Radius 2

00:16:41 NCERT-Lösungen Übung 11.1 Frage 2 Zentrum (–2,3) und Radius 4

00:18:31 NCERT-Lösungen Aufgabe 11.1 Frage 3 Zentrum left ( frac<1><2>, frac<1> <4> ight ) und Radius frac <1>

00:21:41 NCERT-Lösungen Übung 11.1 Frage 4 Zentrum (1,1) und Radius sqrt

00:22:52 NCERT-Lösungen Übung 11.1 Frage 5 Zentrum (–a, –b) und Radius sqrt
Bestimmen Sie in jeder der folgenden Aufgaben 6 bis 9 den Mittelpunkt und den Radius der Kreise.

00:25:32 NCERT-Lösungsübung 11.1 Frage 6 (x+5)^2+(y-3)^2=36

00:26:52 NCERT-Lösungen Übung 11.1 Frage 7 x^2+y^2-4x-8y-45=0

00:31:02 NCERT-Lösungen Übung 11.1 Frage 8 x^2+y^2-8x+10y-12=0

00:33:22 NCERT-Lösungen Übung 11.1 Frage 9 2x^2+2y^2-x=0

00:36:02 NCERT Solutions Übung 11.1 Frage 15 Liegt der Punkt (–2.5, 3.5) innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis x^2+ y^2 = 25 ?

00:42:42 NCERT Solutions Übung 11.1 Aufgabe 14 Finden Sie die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt (2,2) und geht durch den Punkt (4,5).

00:45:42 NCERT Solutions Übung 11.1 Aufgabe 12 Finden Sie die Gleichung des Kreises mit Radius 5, dessen Mittelpunkt auf der x-Achse liegt und durch den Punkt (2,3) geht.

00:51:42 NCERT Solutions Übung 11.1 Aufgabe 13 Finden Sie die Gleichung des Kreises, der durch (0,0) geht und die Achsenabschnitte a und b auf den Koordinatenachsen bildet.

00:59:42 NCERT Solutions Übung 11.1 Aufgabe 10 Finden Sie die Gleichung des Kreises, der durch die Punkte (4,1) und (6,5) geht und dessen Mittelpunkt auf der Geraden 4x + y = 16 liegt.

01:08:32 NCERT Solutions Übung 11.1 Aufgabe 11 Finden Sie die Gleichung des Kreises, der durch die Punkte (2,3) und (–1,1) geht und dessen Mittelpunkt auf der Linie x – 3y – 11 = 0 liegt.


Kapitel 11 Konische Abschnitte der Klasse 11

Lernen Sie Kapitel 11 konische Abschnitte der Klasse 11 kostenlos mit Lösungen aller NCERT-Fragen, Beispiele und verschiedenen Übungen. Alle Lösungen werden mit einer Schritt-für-Schritt-Erklärung als Referenz bereitgestellt.

Mal sehen, was Kegelschnitt ist.

Gerade Linien haben wir im letzten Kapitel gelernt, aber gerade Linien sind nicht die einzige Art von Kurven, die wir haben.

In diesem Kapitel sprechen wir über Kegelschnitte,

das heißt, Abschnitte des Kegels

Konkret sprechen wir über

Kreise, Ellipse, Parabel und Hyperbel

Zu den Themen des Kapitels gehören also

  • Kreise - So finden Sie die Kreisgleichung, den Mittelpunkt des Kreises
  • Parabel - Parabelgleichung, ihre Leitlinie, Exzentrizität und Fokus
  • Ellipse - Gleichung der Ellipse, ihrer Leitlinie, Exzentrizität, Fokus und Scheitelpunkte
  • Hyperbel - Gleichung der Hyperbel, ihrer Leitlinie, Exzentrizität, Fokus und Scheitelpunkte
  • Andere Fragen wie Spiegelproblem, Dreieck-in-Parabel-Problem, Beam-Problem, Locus, Path Trace-Probleme

Klicken Sie auf eine Übung, um mit den Antworten auf die Fragen zu beginnen, oder auf das Thema, um die Konzepte mit den Fragen zu lernen


Kegelschnitte Klasse 11 Notizen Mathematik Kapitel 11

Kreis
Ein Kreis ist die Menge aller Punkte in einer Ebene, die einen festen Abstand zu einem festen Punkt in der Ebene haben. Der Fixpunkt wird als Kreismittelpunkt bezeichnet und der Abstand vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis wird als Kreisradius bezeichnet.
Die Gleichung eines Kreises mit Radius r und Mittelpunkt (h, k) ist gegeben durch (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 .

Die allgemeine Kreisgleichung ist gegeben durch x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0 , wobei g, f und c Konstanten sind.

Die allgemeine Gleichung des durch den Ursprung verlaufenden Kreises lautet x 2 + y 2 + 2gx + 2fy = 0.

Die parametrische Kreisgleichung x 2 + y 2 = r 2 sind gegeben durch x = r cos θ, y = r sin θ, wobei θ der Parameter und die parametrische Kreisgleichung (x – h) 2 + . ist (y – k) 2 = r 2 sind gegeben durch x = h + r cos θ, y = k + r sin θ.

Hinweis: Die allgemeine Kreisgleichung beinhaltet drei Konstanten, was bedeutet, dass mindestens drei Bedingungen erforderlich sind, um einen Kreis eindeutig zu bestimmen.

Parabel
Eine Parabel ist die Menge von Punkten P, deren Abstände von einem festen Punkt F in der Ebene gleich ihrem Abstand von einer festen Linie l in der Ebene sind. Der Fixpunkt F heißt Fokus und die Fixlinie l ist die Leitlinie der Parabel.

Wichtigste Fakten über die Parabel

Formen von Parabeln y 2 = 4ax y 2 = -4ax x 2 = 4ay x 2 = -4ay
Achse der Parabel y = 0 y = 0 x = 0 x = 0
Leitlinie der Parabel x = -a x = a y = -a y = a
Scheitel (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0)
Fokus (a, 0) (-a, 0) (0, a) (0, -a)
Länge des Mastdarms 4a 4a 4a 4a
Brennweite |x + a| |x – a| |y + a| |y – a|

Ellipse
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte in einer Ebene, deren Summe der Abstände von zwei Fixpunkten konstant ist.
oder
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte in der Ebene, deren Abstände von einem Fixpunkt in der Ebene ein konstantes Verhältnis haben, kleiner als zu ihrem Abstand von einem Fixpunkt in der Ebene. Der Fixpunkt heißt Fokus, die Fixlinie eine Leitlinie und die Konstante ratio(e) die Exzentrizität der Ellipse. Wir haben zwei Standardformen von Ellipsen, d.h.

Wichtigste Fakten über die Ellipse

Hyperbel
Eine Hyperbel ist der Ort eines Punktes in einer Ebene, der sich so bewegt, dass das Verhältnis seines Abstands von einem festen Punkt in derselben Ebene zu seinem Abstand von einer festen Linie immer konstant ist und immer größer als eins ist. Der Fixpunkt wird Brennpunkt genannt, die Fixlinie wird als Directrix bezeichnet und das konstante Verhältnis, allgemein mit e bezeichnet, ist als Exzentrizität der Hyperbel bekannt.
Wir haben zwei Standardformen von Hyperbeln, d.h.

Wichtigste Fakten über Hyperbeln


Inhaltsverzeichnis

Erkunden von Mustern und Sequenzen
TI-83 Plus-Rechner: Generierung der Bedingungen von a
    Sequenz
Sequenzen und rekursive Formeln
TI-83 Plus-Rechner: Grafische Darstellung von Sequenzen
Untersuchung von Möglichkeiten zum Schneiden von "Gemüse"
Arithmetische Folgen
Geometrische Sequenzen
Zinseszins: Betrag und Barwert
Rationale Exponenten
Vereinfachung von Ausdrücken mit Exponenten
Lösen von Exponentialgleichungen

Kapitel 2: Serien- und Finanzanwendungen

Arithmetische Reihe
Untersuchen einer Sequenz mit dem TI-83 Plus-Rechner    und dem TI-Rechner-basierten Ranger (CBR)
Geometrische Reihe
Verwenden einer Tabelle zur Darstellung des Werts einer Einlage
Verwendung von Tabellen zur Analyse und Darstellung von finanziellen    Situationen: Zukunftswert- und Amortisationstabellen
TI-83 Plus-Rechner: Ermitteln der Summe und der Verwendung von Reihen zur Analyse von Finanzsituationen: Zukünftiger Wert
Verwenden von Serien zur Analyse von Finanzsituationen: Präsentieren Sie den TI-83 Plus-Rechner: Analysieren von Finanzsituationen mit dem    der TVM-Solver
Äquivalente Raten und allgemeine Renten
TI-83 Plus-Rechner: Erstellen von Tilgungsplänen
Verwendung von Technologie zur Analyse kanadischer Hypotheken

Kapitel 2 Rückblick
Kapitel 2 Überprüfungstest
Kumulativer Überprüfungstest

Performance-Aufgabe für Kapitel 1 und 2

Überprüfung der grundlegenden Fähigkeiten und Kenntnisse - Teil 2

Kapitel 3: Einführung in Funktionen

Eine besondere Art von Beziehung untersuchen
Funktionen: Konzept und Notation
Ungleichungen lösen
Die Umkehrfunktion
TI-83 Plus-Rechner: Graphische Darstellung von Funktionen und inverse Untersuchung der Eigenschaften von inversen Funktionen
Transformationen und Funktionsnotation

Kapitel 4: Quadratische und rationale Funktionen

Algebra-Fähigkeiten erweitern: Das Quadrat vervollständigen
Maximal- und Minimalwerte quadratischer Funktionen
Nullstellen quadratischer Funktionen
Einführung in komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen addieren, subtrahieren und multiplizieren
Wechselseitige Funktionen
TI-83 Plus-Rechner: Untersuchung des Verhaltens von Funktionen in der Nähe der Asymptoten
Vereinfachen rationaler Ausdrücke
Multiplizieren und Dividieren von rationalen Ausdrücken
Komplexe Zahlen dividieren
Rationale Ausdrücke addieren und subtrahieren
Erweitern der Algebra-Fähigkeiten: Arbeiten mit Polynomen

Kapitel 4 Rückblick
Kapitel 4 Überprüfungstest
Kumulativer Überprüfungstest

Performance-Aufgabe für Kapitel 3 und 4


TEIL 3 - TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN

Überprüfung der grundlegenden Fähigkeiten und Kenntnisse - Teil 3

Kapitel 5: Periodische Funktionen modellieren

Periodische Phänomene
Winkel verstehen
Trigonometrische Funktionen
Bogenmaß
TI-83 Plus Rechner: Trigonometrische Funktionen grafisch darstellen
Transformationen untersuchen
Modellierung periodischer Phänomene
Lösen linearer trigonometrischer Gleichungen
TI-83 Plus Rechner: Sinusodiale Regression verwendengress
um die Kurve der besten Passform zu finden
Verwenden von digitalen Sonden zum Sammeln von periodischen Daten

Kapitel 5 Rückblick
Kapitel 5 Überprüfungstest

Kapitel 6: Fähigkeiten mit Trigonometrie erweitern

Erweiterung der Trigonometrie-Fähigkeiten mit schrägen Dreiecken Tri
Trigonometrieprobleme in zwei und drei Dimensionen lösen
Verwenden von speziellen Dreiecken zur Bestimmung genauer Werte
Untersuchen identischer Ausdrücke
Trigonometrische Identitäten
Quadratische trigonometrische Gleichungen lösen

TEIL 4 - LOCI UND KONISCHE

Überprüfung der grundlegenden Fähigkeiten und Kenntnisse - Teil 4

Kapitel 7: Untersuchung von Loci und Conics

Einführung in Locus-Definitionen
Den Kreis erneut besuchen
TI-83 Plus Rechner: Kreise grafisch darstellen
Die Ellipse
Wachspapiermodelle
Die Parabel
Reflektierende Eigenschaften von Kegelschnitten
Grafische Darstellung von Kegelschnitten mithilfe von Technologie
Die Hyperbel
Die allgemeine Form der Kegelschnitte
Wenn Linien auf Kegelschnitte treffen


11.1: Vorspiel zu Kegelschnitten - Mathematik

Gegeben: Mittelpunkt (0, 2) und Radius (r) = 2

Die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt als (h, k) und Radius als r ist gegeben als (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2

As, Mittelpunkt (h, k) = (0, 2) und Radius (r) = 2



Die Kreisgleichung lautet also

(x – 0) 2 + (y – 2) 2 = 2 2 [mit der Formel (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 ]

x 2 + y 2 + 4 – 4y = 4

x 2 + y 2 – 4y = 0

Daher lautet die Kreisgleichung x 2 + y 2 – 4y = 0

Frage 2: Mittelpunkt (–2, 3) und Radius 4


Die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt als (h, k) und Radius als r ist gegeben als (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2

As, Mittelpunkt (h, k) = (-2, 3) und Radius (r) = 4

Die Kreisgleichung lautet also

(x + 2) 2 + (y – 3) 2 = (4) 2 [mit der Formel (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 ]

x 2 + 4x + 4 + y 2 – 6y + 9 = 16

x 2 + y 2 + 4x – 6y – 3 = 0

Daher lautet die Kreisgleichung x 2 + y 2 + 4x – 6y – 3 = 0

Frage 3: Mittelpunkt (1/2, 1/4) und Radius (1/12)


Die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt als (h, k) und Radius als r ist gegeben als (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2

Also Mittelpunkt (h, k) = (1/2, 1/4) und Radius (r) = 1/12

Die Kreisgleichung lautet also

(x – 1/2) 2 + (y – 1/4) 2 = (1/12) 2 [mit der Formel (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 ]

x 2 – x + 1/4 + y 2 – y/2 + 1/16 = 1/144

x 2 – x + 1/4 + y 2 – y/2 + 1/16 = 1/144

144x 2 – 144x + 36 + 144y 2 – 72y + 9 – 1 = 0

144x 2 – 144x + 144y 2 – 72y + 44 = 0

36x 2 + 36x + 36y2 – 18y + 11 = 0

36x 2 + 36y2 – 36x – 18y + 11= 0

Daher lautet die Kreisgleichung 36x 2 + 36y 2 – 36x – 18y + 11= 0

Frage 4: Mittelpunkt (1, 1) und Radius √2

Gegeben: Mittelpunkt (1, 1) und Radius √2

Die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt als (h, k) und Radius als r ist gegeben als (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2

Also Mittelpunkt (h, k) = (1, 1) und Radius (r) = √2

Die Kreisgleichung lautet also

(x-1) 2 + (y-1) 2 = (√2) 2 [mit der Formel (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 ]

x 2 – 2x + 1 + y 2 -2y + 1 = 2

x 2 + y 2 – 2x -2y = 0



Daher lautet die Kreisgleichung x 2 + y 2 – 2x -2y = 0

Frage 5: Mittelpunkt (–a, –b) und Radius √(a 2 – b 2 )

Gegeben: Mittelpunkt (-a, -b) und Radius √(a 2 – b 2 )

Die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt als (h, k) und Radius als r ist gegeben als (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2

Also Mittelpunkt (h, k) = (-a, -b) und Radius (r) = √(a 2 – b 2 )

Die Kreisgleichung lautet also

(x + a) 2 + (y + b) 2 = (√(a 2 – b 2 ) 2 ) [mit Formel (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ]

x 2 + 2ax + a 2 + y 2 + 2by + b 2 = a 2 – b 2

x 2 + y 2 +2ax + 2by + 2b 2 = 0

Daher lautet die Kreisgleichung x 2 + y 2 +2ax + 2by + 2b 2 = 0

Bestimmen Sie in jeder der folgenden Aufgaben 6 bis 9 den Mittelpunkt und den Radius der Kreise.

Frage 6: (x + 5) 2 + (y – 3) 2 = 36

Gegebene Gleichung: (x + 5) 2 + (y – 3) 2 = 36

(x – (-5)) 2 + (y – 3) 2 = 6 2

Die Gleichung hat die Form (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 wobei h = -5, k = 3 und r = 6

Daher ist der Mittelpunkt (-5, 3) und sein Radius ist 6.

Frage 7: x 2 + y 2 – 4x – 8y – 45 = 0

Gegebene Gleichung: x 2 + y 2 – 4x – 8y – 45 = 0.

x 2 + y 2 – 4x – 8y – 45 = 0

(x 2 – 4x) + (y 2 -8y) = 45



(x 2 – 2(x) (2) + 2 2 ) + (y 2 – 2(y) (4) + 4 2 ) – 4 – 16 = 45

(x – 2) 2 + (y – 4) 2 = 65

(x – 2) 2 + (y – 4) 2 = (√65) 2

Die Gleichung hat die Form (x-h) 2 +(y-k) 2 = r 2 ,wobei h = 2, k = 4 und r = √65

Daher ist der Mittelpunkt (2, 4) und sein Radius ist √65.

Frage 8: x 2 + y 2 – 8x + 10y – 12 = 0

Gegebene Gleichung: x 2 + y 2 -8x + 10y -12 = 0.

x 2 + y 2 – 8x + 10y – 12 = 0

(x 2 – 8x) + (y 2 + 10y) = 12

(x 2 – 2(x) (4) + 4 2 ) + (y 2 – 2(y) (5) + 5 2 ) – 16 – 25 = 12

(x – 4) 2 + (y + 5) 2 = 53

(x – 4) 2 + (y – (-5)) 2 = (√53) 2

Die Gleichung hat die Form (x-h) 2 +(y-k) 2 = r 2 ,wobei h = 4, k= -5 und r = √53

Daher ist der Mittelpunkt (4, -5) und sein Radius ist √53.

Frage 9: 2x 2 + 2y 2 – x = 0

Gegebene Gleichung: 2x 2 + 2y 2 – x = 0.

2x 2 + 2y 2 – x = 0

(2x 2 –x) + 2y 2 = 0

(x 2 – 2 (x) (1/4) + (1/4) 2 ) + y 2 – (1/4) 2 = 0

(x – 1/4) 2 + (y – 0) 2 = (1/4) 2

Die Gleichung hat die Form (x-h) 2 +(y-k) 2 = r 2 , wobei h = 1/4, k = 0 und r = 1/4

Daher ist der Mittelpunkt (1/4, 0) und sein Radius ist 1/4.

Frage 10: Finden Sie die Gleichung des Kreises, der durch die Punkte (4,1) und (6,5) geht und dessen Mittelpunkt auf der Geraden 4x + y = 16 liegt.

Die Kreisgleichung lautet (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2

Wenn der Kreis durch die Punkte (4,1) und (6,5) geht

Also, wenn der Kreis durch (4,1) geht

(4 – h) 2 + (1 – k) 2 = r 2 ……………..(1)

Wenn der Kreis durchläuft (6,5)

(6 – h) 2 + (5 – k) 2 = r 2 ………………(2)



Vorausgesetzt, der Mittelpunkt (h, k) des Kreises liegt auf der Linie 4x + y = 16,

4h + k =16 ………………… (3)

Aus Gleichung (1) und (2) erhalten wir

(4 – h) 2 + (1 – k) 2 =(6 – h) 2 + (5 – k) 2

16 – 8h + h 2 +1 -2k +k 2 = 36 -12h +h 2 +15 – 10k + k 2

16 – 8h +1 -2k + 12h -25 -10k

4h +8k = 44

h + 2k = 11 ……………. (4)

Lassen Sie uns nun Gleichung (3) mit 2 multiplizieren und mit Gleichung (4) subtrahieren, wir erhalten

(h + 2k) – 2(4h + k) = 11 – 32

h + 2k – 8h – 2k = -21

-7h = -21

h = 3

Ersetzen Sie diesen Wert von h in Gleichung (4), wir erhalten

3 + 2k = 11

2k = 11 – 3

2k = 8

k = 4

Wir erhalten h = 3 und k = 4

Wenn wir die Werte von h und k in Gleichung (1) einsetzen, erhalten wir

(4 – 3) 2 + (1 – 4) 2 = r 2

(1) 2 + (-3) 2 = r 2

1+9 = r2

r = √10

Die Kreisgleichung lautet nun

(x – 3) 2 + (y – 4) 2 = (√10) 2

x 2 – 6x + 9 + y 2 – 8y + 16 =10

x 2 + y 2 – 6x – 8y + 15 = 0

Daher lautet die Kreisgleichung x 2 + y 2 – 6x – 8y + 15 = 0

Frage 11: Finden Sie die Gleichung des Kreises, der durch die Punkte (2, 3) und (–1, 1) geht und dessen Mittelpunkt auf der Geraden x – 3y – 11 = 0 liegt.

Die Kreisgleichung lautet (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2

Wenn der Kreis durch die Punkte (2,3) und (-1,1) geht

Also, wenn der Kreis durch (2,3) geht

(2 – h) 2 + (3 – k) 2 =r 2 ……………..(1)

Wenn der Kreis durch (-1,1) geht

(-1 – h) 2 + (1– k) 2 =r 2 ………………(2)

Vorausgesetzt, der Mittelpunkt (h, k) des Kreises liegt auf der Linie x – 3y – 11= 0,

h – 3k =11 ………………… (3)

Aus den Gleichungen (1) und (2) erhalten wir

(2 – h) 2 + (3 – k) 2 = (-1 – h) 2 + (1 – k) 2

4 – 4h + h 2 +9 -6k +k 2 = 1 + 2h +h 2 +1 – 2k + k 2

4 – 4h +9 -6k = 1 + 2h + 1 -2k

6h + 4k =11 ……………. (4)

Lassen Sie uns nun Gleichung (3) mit 6 multiplizieren und mit Gleichung 4 subtrahieren, wir erhalten

6h+ 4k – 6(h-3k) = 11 – 66

6h + 4k – 6h + 18k = 11 – 66

22k = – 55

k = -5/2

Ersetzen Sie diesen Wert von k in Gleichung (4), wir erhalten



6h + 4(-5/2) = 11

6h – 10 = 11

6h = 21

h = 21/6

h = 7/2

Wir erhalten h = 7/2 und k = -5/2

Durch Einsetzen der Werte von h und k in Gleichung (1) erhalten wir

(2 – 7/2) 2 + (3 + 5/2) 2 = r 2

[(4-7)/2] 2 + [(6+5)/2] 2 = r 2

(-3/2) 2 + (11/2) 2 = r 2

9/4 + 121/4 = r 2

130/4 = r2

Die Kreisgleichung lautet nun

(x – 7/2) 2 + (y + 5/2) 2 = 130/4

[(2x-7)/2] 2 + [(2y+5)/2] 2 = 130/4

4ࡨ -28x + 49 +4y 2 + 20y + 25 =130

4x 2 +4y 2 -28x + 20y – 56 = 0

4(x 2 +y 2 -7x + 5y – 14) = 0

x 2 + y 2 – 7x + 5y – 14 = 0

Daher lautet die Kreisgleichung x 2 + y 2 – 7x + 5y – 14 = 0

Aufgabe 12: Finden Sie die Gleichung des Kreises mit Radius 5, dessen Mittelpunkt auf der x-Achse liegt und durch den Punkt (2, 3) geht.

Die Kreisgleichung lautet (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2

Angenommen der Radius des Kreises ist 5 und sein Mittelpunkt liegt auf der x-Achse, k = 0 und r = 5.

Die Kreisgleichung lautet nun (x – h) 2 + y 2 = 25.

Auch vorausgesetzt, dass der Kreis durch den Punkt (2, 3) geht.

Deswegen,

(2 – h) 2 + 3 2 = 25

(2 – h) 2 = 25-9

(2 – h) 2 = 16

2 – h = ± √16 = ± 4

Wenn 2-h = 4, dann h = -2

Wenn 2-h = -4, dann h = 6

Für h = -2 ist die Kreisgleichung

(x + 2) 2 + y 2 = 25

x 2 + 4x + 4 + y 2 = 25

x 2 + y 2 + 4x – 21 = 0

Für h = 6 lautet die Kreisgleichung

(x – 6) 2 + y 2 = 25

x 2 -12x + 36 + y 2 = 25

x 2 + y 2 -12x + 11 = 0

Daher lautet die Kreisgleichung x 2 + y 2 – 4x + 21 = 0 und x 2 + y 2 -12x + 11 = 0

Frage 13: Finden Sie die Gleichung des Kreises, der durch (0,0) geht und die Schnittpunkte a und b auf den Koordinatenachsen bildet.

Die Kreisgleichung lautet (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2

Wenn der Kreis durch (0, 0) geht, erhalten wir,

(0 – h) 2 + (0 – k) 2 = r 2

h2 + k2 = r2

Die Kreisgleichung lautet (x – h) 2 + (y – k) 2 = h 2 + k 2 .

Vorausgesetzt, der Kreis schneidet die Punkte a und b auf den Koordinatenachsen.



Denn der Kreis geht durch die Punkte (a, 0) und (0, b).

Die Gleichungen lauten also

(a – h) 2 + (0 – k) 2 = h 2 +k 2 ……………..(1)

(0 – h) 2 + (b– k) 2 = h 2 +k 2 …………………(2)

Aus Gleichung (1) erhalten wir

a 2 – 2ah + h 2 + k 2 = h 2 + k 2

a 2 – 2ah = 0

a(a – 2h) =0

a = 0 oder (a -2h) = 0

Da a ≠ 0 also (a -2h) = 0

h = a/2

Aus Gleichung (2) erhalten wir

h 2 – 2bk + k 2 + b 2 = h 2 + k 2

b 2 – 2bk = 0

b(b–2k) = 0

b= 0 oder (b-2k) =0

Da a ≠ 0 also (b -2k) = 0

k = b/2

Ersetzen wir nun die Werte von h und k, erhalten wir

(x – a/2) 2 + (y – b/4) 2 = (a/2) 2 + (b/2) 2

[(2x-a)/2] 2 + [(2y+b)/2] 2 = (a2 + b2)/4

4x 2 – 4ax + a 2 +4y 2 – 4by + b 2 = a 2 + b 2

4x 2 + 4y 2 -4ax – 4by = 0

4(x 2 +y 2 -7x + 5y – 14) = 0

x 2 + y 2 – ax – um = 0

Daher lautet die Kreisgleichung x 2 + y 2 – ax – by = 0

Frage 14: Finden Sie die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt (2,2) und geht durch den Punkt (4,5).

Gegeben den Mittelpunkt des Kreises als (h, k) = (2,2)

Auch da der Kreis durch den Punkt (4,5) geht,

der Radius (r) des Kreises ist der Abstand zwischen den Punkten (2,2) und (4,5).

r = [(2-4) 2 + (2-5) 2 ]

= √[(-2) 2 + (-3) 2 ]

= √[4+9]

= √13

Die Kreisgleichung lautet nun

(x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2

(x –h) 2 + (y – k) 2 = (√13) 2

(x –2) 2 + (y – 2) 2 = (√13) 2

x 2 – 4x + 4 + y 2 – 4y + 4 = 13

x 2 + y 2 – 4x – 4y = 5

Daher lautet die Kreisgleichung x 2 + y 2 – 4x – 4y = 5

Frage 15: Liegt der Punkt (–2.5, 3.5) innen, außen oder auf dem Kreis x 2 + y 2 = 25?

Die gegebene Kreisgleichung ist x 2 + y 2 = 25.

x2 + y2 = 25

(x – 0) 2 + (y – 0) 2 = 5 2

Die Gleichung hat die Form (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 ,wobei h = 0, k = 0 und r = 5 sind.

Der Abstand zwischen dem Punkt (-2.5, 3.5) und dem Mittelpunkt (0,0) beträgt nun

= √[(-2.5 – 0) 2 + (-3.5 – 0) 2 ]

= √(6.25 + 12.25)

= √18.5

= 4,3 [das ist < 5]

Denn der Abstand zwischen dem Punkt (-2.5, -3.5) und dem Mittelpunkt (0, 0) des Kreises ist kleiner als der Radius des Kreises.

Daher liegt der Punkt (-2.5, -3.5) innerhalb des Kreises.


Bestimmen Sie in jeder der folgenden Aufgaben 1 bis 6 die Koordinaten des Brennpunkts, der Parabelachse, der Leitlinie und der Länge des Mastdarms.

ÜB 11.2 Klasse 11 Mathematik Frage 1.
y 2 = 12x
Lösung:
Die gegebene Parabelgleichung ist y 2 = 12x, die die Form y 2 = 4ax hat.
4a = 12 ⇒ a = 3
∴ Fokuskoordinaten sind (3, 0)
Parabelachse ist y = 0
Gleichung der Leitlinie ist x = -3 ⇒ x + 3 = 0
Länge des Mastdarms = 4 x 3 = 12.

ÜB 11.2 Klasse 11 Mathematik Frage 2.
x 2 = 6y
Lösung:
Die gegebene Parabelgleichung ist x 2 = 6y, die die Form x 2 = 4ay hat.

ÜB 11.2 Klasse 11 Mathematik Frage 3.
y 2 = – 8x
Lösung:
Die angegebene Parabelgleichung ist
y 2 = -8x, was die Form y 2 = – 4ax hat.
∴ 4a = 8 ⇒ a = 2
∴ Fokuskoordinaten sind (-2, 0)
Parabelachse ist y = 0
Gleichung der Leitlinie ist x = 2 ⇒ x – 2 = 0
Länge des Mastdarms = 4 x 2 = 8.

ÜB 11.2 Klasse 11 Mathematik Frage 4.
x 2 = -16y
Lösung:
Die angegebene Parabelgleichung ist
x 2 = -16y, was die Form x 2 = -4ay hat.
4a = 16 ⇒ a = 4
∴ Fokuskoordinaten sind (0, -4)
Parabelachse ist x = 0
Gleichung der Leitlinie ist y = 4 ⇒ y – 4 = 0
Länge des Mastdarms = 4 x 4 = 16.

Überprüfen Sie den Parabel-Rechner, um die Parabel-Gleichung zu lösen.

ÜB 11.2 Klasse 11 Mathe Frage 5.
y 2 = 10x
Lösung:
Die gegebene Parabelgleichung ist y 2 = 10x, die die Form y 2 = 4ax hat.

ÜB 11.2 Klasse 11 Mathematik Frage 6.
x 2 = -9y
Lösung:
Die angegebene Parabelgleichung ist
x 2 = -9y, was die Form x 2 = -4ay hat.

Finden Sie in jeder der Aufgaben 7 bis 12 die Parabelgleichung, die die gegebenen Bedingungen erfüllt:

ÜB 11.2 Klasse 11 Mathematik Frage 7.
Fokus (6, 0) Directrix x = -6
Lösung:
Gegeben sei, dass der Fokus (6, 0) auf der x-Achse liegt, also die x-Achse die Parabelachse ist. Außerdem ist die Leitlinie x = -6, d. h. x = -a und Fokus (6, 0), d. h. (a, 0). Die Parabelgleichung hat die Form y 2 = 4ax.
Die erforderliche Parabelgleichung ist
y 2 = 4 x 6x ⇒ y 2 = 24x.

ÜB 11.2 Klasse 11 Mathematik Frage 8.
Fokus (0, -3) Richtung xy=3
Lösung:
Gegeben ist, dass der Fokus (0, -3) auf der y-Achse liegt, also ist die y-Achse die Parabelachse. Auch die Leitlinie ist y = 3, d. h. y = a und Fokus (0, -3), d. h. (0, -a). Die Parabelgleichung hat die Form x 2 = -4ay.
Die erforderliche Parabelgleichung ist
x 2 = – 4 x 3y ⇒ x 2 = -12y.

ÜB 11.2 Klasse 11 Mathematik Frage 9.
Scheitelpunkt (0, 0) Fokus (3, 0)
Lösung:
Da der Scheitelpunkt der Parabel bei (0, 0) liegt und der Fokus bei (3, 0) liegt
∴ y = 0 ⇒ Die Parabelachse liegt auf der x-Achse
∴ Die Parabelgleichung hat die Form y 2 = 4ax
Die erforderliche Gleichung der Parabel ist
y 2 = 4 x 3x ⇒ y 2 = 12x.

ÜB 11.2 Klasse 11 Mathematik Frage 10.
Scheitelpunkt (0, 0) Fokus (-2, 0)
Lösung:
Da der Scheitelpunkt der Parabel bei (0, 0) liegt und der Fokus bei (-2, 0) liegt.
∴ y = 0 ⇒ Die Parabelachse liegt auf der x-Achse
∴ Die Parabelgleichung hat die Form y 2 = – 4ax
Die erforderliche Gleichung der Parabel ist
y 2 = – 4 x 2x ⇒ y 2 = -8x.

ÜB 11.2 Klasse 11 Mathematik Frage 11.
Scheitelpunkt (0, 0) verläuft durch (2, 3) und die Achse ist entlang der x-Achse.
Lösung:
Da der Scheitelpunkt der Parabel bei (0, 0) liegt und die Achse entlang der x-Achse liegt.
∴ Die Parabelgleichung hat die Form y 2 = 4ax
Da die Parabel durch Punkt (2, 3) geht

ÜB 11.2 Klasse 11 Mathematik Frage 12.
Scheitel (0, 0) durch (5, 2) und symmetrisch zur Spielzeugachse.
Lösung:
Da der Scheitelpunkt der Parabel bei (0, 0) liegt und symmetrisch zur y-Achse ist.
∴ Die Parabelgleichung hat die Form x 2 = 4ay
Da die Parabel durch Punkt (5, 2) geht

Wir hoffen, dass Ihnen die NCERT-Lösungen für Mathematik der Klasse 11 Kapitel 11 Kegelschnitte Ex 11.2 helfen. Wenn Sie Fragen zu NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 11 Conic Sections EX 11.2 haben, hinterlassen Sie unten einen Kommentar und wir werden uns so schnell wie möglich bei Ihnen melden.


NCERT-Lösungen für Mathematik der Klasse 11 Kapitel 11 Übung 11.3

NCERT-Lösungen für Klasse 11 Mathematik Kapitel 11 Kegelschnitte Ex 11.3

Frage 1:

Antwort:

Frage 2:

Antwort:

Frage 3:

Antwort:

Frage 4:

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Frage 5:

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Frage 6:

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Frage 7:

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Frage 8:

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Frage 9:

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Frage 10:

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Frage 11:

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Frage 12:

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Frage 13:

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Frage 14:

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Frage 15:

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Frage 16:

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Frage 17:

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Frage 18:

Antwort:

Frage 19:

Antwort:

Frage 20:

Antwort:


Kegelschnitte – Übung 11.1 – Klasse XI

Es gilt Mittelpunkt (h, k) = (0, 2) und Radius (r) = 2.

Daher lautet die Kreisgleichung

Die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt (h, k) und Radius r ist gegeben als

Es gilt Mittelpunkt (h, k) = (–2, 3) und Radius (r) = 4.

Daher lautet die Kreisgleichung

⟹ x 2 + 4x + 4 + y 2 – 6y + 9 = 16

Die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt (h, k) und Radius r ist gegeben als

Es ist gegeben, dass Zentrum (h, k) =( 1 /2, 1 /4) und Radius (r) = ( 1 /12)

Daher lautet die Kreisgleichung

144x 2 – 144x + 36 + 144y 2 – 72y + 44 = 0

36x 2 – 36x + 36y 2 – 18y + 11 = 0

36x 2 + 36y 2 – 36x – 18y + 11=0

Die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt (h, k) und Radius r ist gegeben als

Es gilt Mittelpunkt (h, k) = (1, 1) und Radius (r) = √2.

Daher lautet die Kreisgleichung

Die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt (h, k) und Radius r ist gegeben als

Es gilt Mittelpunkt (h, k) = (-a, -b) und Radius (r) = √(a 2 – b 2 ).

Daher lautet die Kreisgleichung

(x + a) 2 + (y + b) 2 = (√(a 2 – b 2 )) 2

x 2 + 2ax + a 2 +y 2 + 2by + b 2 = a 2 – b 2

x 2 + y 2 + 2ax + 2by + 2b 2 = 0

Die Gleichung des gegebenen Kreises ist (x + 5) 2 + (y – 3) 2 = 36.

2 + (y – 3) 2 = 6 2 , was die Form (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 hat, wobei h = – 5, k = 3 und r = 6 sind.

Somit ist der Mittelpunkt des gegebenen Kreises (–5, 3), während sein Radius 6 beträgt.

Die Gleichung des gegebenen Kreises ist x 2 + y 2 – 4x – 8y – 45 = 0.

Welche von der Form (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 , wobei h = 2, k = 4 und da r 2 = 65 gilt, gilt r = √65 ,

Somit ist der Mittelpunkt des gegebenen Kreises (2, 4), während sein Radius √65 ist.

Die Gleichung des gegebenen Kreises ist x 2 + y 2 – 8x + 10y – 12 = 0.

⟹ (x − 4) 2 + 2 = (√53) 2 von der Form (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 , wobei h = 4, k = – 5 und r = √53

Somit ist der Mittelpunkt des gegebenen Kreises (4, –5), während sein Radius √53 beträgt.

Die Gleichung des gegebenen Kreises lautet 2x 2 + 2y 2 – x = 0.

welches die Form (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 hat, wobei h = 1/4, k = 0 und r = 1/4 ist.

Somit ist der Mittelpunkt des gegebenen Kreises (1/4, 0), während sein Radius 1/4 ist.

  1. Finden Sie die Gleichung des Kreises, der durch die Punkte (4, 1) und (6, 5) geht und dessen Mittelpunkt auf der Geraden 4x + y = 16 liegt.

Die Gleichung des benötigten Kreises sei (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 .

Da der Kreis durch die Punkte (4, 1) und (6, 5) geht,

Da der Mittelpunkt (h, k) des Kreises auf der Geraden 4x + y = 16 liegt,

Aus den Gleichungen (1) und (2) erhalten wir

(4 – h) 2 + (1 – k) 2 = (6 – h) 2 + (5 – k) 2

⇒ 16 – 8h + h2 + 1 – 2k + k2 = 36 – 12h + h2 + 25 – 10k + k2

⇒ 16 – 8h + 1 – 2k = 36 – 12h + 25 – 10k

Beim Lösen der Gleichungen (3) und (4) erhalten wir h = 3 und k = 4.

Durch Einsetzen der Werte von h und k in Gleichung (1) erhalten wir (4 – 3) 2 + (1 – 4) 2 = r 2

Somit lautet die Gleichung des benötigten Kreises

x 2 – 6x + 9 + y 2 – 8y + 16 = 10

  1. Finden Sie die Gleichung des Kreises, der durch die Punkte (2, 3) und (–1, 1) geht und dessen Mittelpunkt auf der Geraden x – 3y – 11 = 0 liegt.

Die Gleichung des benötigten Kreises sei (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 .

Da der Kreis durch die Punkte (2, 3) und (–1, 1) geht,

Da der Mittelpunkt (h, k) des Kreises auf der Linie x – 3y – 11 = 0 liegt,

Aus den Gleichungen (1) und (2) erhalten wir

(2 – h) 2 + (3 – k) 2 = (–1 – h) 2 + (1 – k) 2

⇒ 4 – 4h + h 2 + 9 – 6k + k 2 = 1 + 2h + h 2 + 1 – 2k + k 2

⇒ 4 – 4h + 9 – 6k = 1 + 2h + 1 – 2k

Beim Lösen der Gleichungen (3) und (4) erhalten wir h = 7 /2 und k = − 5 /2

Durch Einsetzen der Werte von h und k in Gleichung (1) erhalten wir

Somit lautet die Gleichung des benötigten Kreises

4x 2 – 28x + 49 + 4y 2 + 20y + 25 = 130

4x 2 + 4y 2 – 28x + 20y – 56 = 0

  1. Finden Sie die Gleichung des Kreises mit Radius 5, dessen Mittelpunkt auf der x-Achse liegt und durch den Punkt (2, 3) geht.

Die Gleichung des benötigten Kreises sei (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 .

Da der Kreisradius 5 beträgt und sein Mittelpunkt auf der x-Achse liegt, ist k = 0 und r = 5.

Die Kreisgleichung lautet nun (x – h) 2 + y 2 = 25.

Es ist gegeben, dass der Kreis durch Punkt (2, 3) geht.

bei h = -2 wird die Kreisgleichung

Bei h = 6 wird die Kreisgleichung

  1. Finden Sie die Gleichung des Kreises, der durch (0, 0) geht und die Schnittpunkte a und b auf den Koordinatenachsen bildet.

Die Gleichung des benötigten Kreises sei (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 .

Da der Kreismittelpunkt durch (0, 0) geht,

Die Kreisgleichung lautet nun (x – h) 2 + ( y- k) 2 =h 2 + k 2

Es ist gegeben, dass der Kreis Schnittpunkte a und b auf den Koordinatenachsen macht. Das bedeutet, dass der Kreis durch die Punkte (a, 0) und (0, b) geht. Deswegen,

Aus Gleichung (1) erhalten wir a 2 – 2ah + h 2 + k 2 = h 2 + k 2

Allerdings gilt a hence 0 also (a – 2h) = 0 ⇒ h =a/2.

Aus Gleichung (2) erhalten wir h 2 + b 2 – 2bk + k 2 = h 2 + k 2

Jedoch ist b 0, also (b – 2k) = 0 ⇒ k =b/2.

Somit lautet die Gleichung des benötigten Kreises

4x 2 – 4ax +a 2 + 4y 2 – 4by + b 2 = a 2 + b 2

  1. Finden Sie die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt (2, 2) und geht durch den Punkt (4, 5) .

Der Mittelpunkt des Kreises ist gegeben als (h, k) = (2, 2).

Da der Kreis durch Punkt (4, 5) geht, ist der Radius (r) des Kreises der Abstand zwischen den Punkten (2, 2) und (4, 5).

r = [(2-4) 2 + (2-5) 2 ] = √[(2) 2 + (3) 2 ] = √(4+9) = √13

Die Kreisgleichung lautet also

Die Gleichung des gegebenen Kreises ist x 2 + y 2 = 25.

⇒ (x – 0) 2 + (y – 0) 2 = 5 2 ,was die Form (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 hat, wobei h = 0, k = 0 und r = 5.

∴ Zentrum = (0, 0) und Radius = 5

Abstand zwischen Punkt (–2.5, 3.5) und Zentrum (0, 0)

Da der Abstand zwischen Punkt (–2.5, 3.5) und Mittelpunkt (0, 0) des Kreises kleiner ist als der Radius des Kreises, liegt Punkt (–2.5, 3.5) innerhalb des Kreises.


NCERT-Lösungen für Mathematik der Klasse 11 Kapitel 11 Kegelschnitte Übung 11.1

NCERT-Lösungen von Kapitel 11 Kegelschnitte Hier finden Sie Übung 11.1, die Ihnen hilft, schwierige Fragen einfach zu lösen und Ihre Hausaufgaben in kürzester Zeit zu erledigen. NCERT-Lösungen für Mathematik der Klasse 11 werden von Studyrankers-Experten erstellt, die detailliert und korrekt sind, damit Sie Ihre Punktzahl in den Prüfungen verbessern können.

Hier ist h = 𔃀, k = 3 und r = 4. Daher lautet die erforderliche Kreisgleichung
[x – (𔃀)] 2 + (y – 3) 2 = (4) 2
oder (x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 16
oder x 2 + 4x + 4 + y 2 – 6y + 9 = 16.

3. Finden Sie die Kreisgleichung mit Mittelpunkt (1/2 , 1/4) und Radius 1/12.

Die Kreisgleichung ist
(x – 1/2) 2 + (y – 1/4) 2 = 1/12 2 = 1/144
=> x 2 + y 2 – x – y/2 + 1/4 + 1/16 = 1/144
=> 36x 2 + 36y 2 – 36x – 18y + 11 = 0.

4. Finden Sie die Kreisgleichung mit Mittelpunkt (1, 1) und Radius 𕔆.

Kreismittelpunkt ist (1, 1), Radius = 𕔆
Kreisgleichung ist
(x – 1) 2 + (y – 1) 2 = (𕔆) 2 =2
oder x 2 + y 2 – 2x – 2y + 2 = 2
oder x 2 + y 2 – 2x – 2y = 0.

5. Finden Sie die Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt (–a, –b) und Radius √a 2 + b 2

Centre of circle is (–a, –b), radius =√ein2 + b2
∴ Equation of the circle is
(x + a) 2 + (y + b) 2 = a 2 – b 2
Or x 2 + y 2 + 2xa + 2yb + a 2 + b 2 = a 2 – b 2
Or x 2 + y 2 + 2ax + 2by + 2b 2 = 0.

6. Find the centre and radius of the circle.
(x + 5) 2 + (y – 3) 2 = 36

Comparing the equation of the circle
(x + 5) 2 + (y – 3) 2 = 36
with (x – h) 2 + (y – k) 2 = 2
∴ –h = 5 or h = 𔃃, k = 3, r 2 = 36, r = 6
∴ Centre of the circle is (𔃃, 3) and radius = 6

7. Find the centre and radius of the circle.
x 2 + y 2 – 4x – 8y – 45 = 0

The given equation is
x 2 + y 2 – 4x – 8y – 45 = 0
or (x 2 – 4x) + (y 2 – 5y) = 45
Now completing the squares with in the parenthesis, we get
(x 2 – 4x + 4) + (y 2 – 8y + 16) = 4 + 16 + 45
or (x – 2) 2 + (y – 4) 2 = 65
Therefore, the given circle has centre at (2, 4) and radius 󕉩.

8. Find the centre and radius of the circle.
x 2 + y 2 – 8x + 10y – 12 = 0.

The given equation is
x 2 + y 2 – 8x + 10y – 12 = 0
or (x 2 – 8x) + (y 2 + 10) = 12
or (x 2 – 8x + 16) + (y 2 + 10y + 25) = 12 + 16 + 25
or (x – 4) 2 + (y + 5) 2 = 53
Therefore, the given circle has centre at (4, 𔃃) and radius 󕉝.

9. Find the centre and radius of the given circle
2x 2 + 2y 2 – x = 0.

Equation of circle is 2x 2 + 2y 2 – x = 0
=> x 2 + y 2 – x/2 = 0 => (x 2 – x/2) + y 2 = 0
=> (x 2 – x/ 2 + 1/16) + y 2 = 1/16
=> (x – 1/4) 2 + y 2 = 1/16
Centre is (1/4 , 0)and radius is 1.

10. Find the equation of the circle passing through the points (4, 1) and (6, 5) and whose centre is on the line 4x + y = 16.

Let the equation of the circle be
(x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 … (i)
The points (4, 1) and (6, 5) lies on it
∴ (4 – h) 2 + (1 – k) 2 = r 2
=> h 2 + k 2 – 8h – 2k + 17 = r 2 …..(ii)
and (6 – h) 2 + (5 – k) 2 = r 2 …..(iii)
The centre (h, k) lies on
4x + y = 16
4h + k = 16 … (iv)
Subtracting (iii) from (ii),
∴ 4h + 8k – 44 = 0 Þh + 2k = 11 … (v)
Multiplying (v) by 4, 4h + 8k = 44
Subtracting eqn (iv) from it
7k = 44 – 16 = 28 ∴ k = 4
From (v) h + 8 = 11 ∴ h = 3
Putting h = 3, k = 4 in (ii)
9 + 16 – 24 – 8 + 17 = r 2
=> 42 – 32 = r 2
∴ r 2 = 10
∴ Equation of the circle is
(x – 3) 2 + (y – 4) 2 = 10
=> x 2 + y 2 – 6x – 8y + 15 = 0

11. Find the equation of the circle passing through the points (2, 3) and (𔂿, 1) and whose centre is on the line x – 3y – 11 = 0.

Let the equation of the circle be
(x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 … (i)
Since, the points (2, 3) and (𔂿, 1) lies on it.
∴ (2 – h) 2 + (3 – k) 2 = r 2
h 2 + k 2 – 4h – 6k + 13 = r 2 … (ii)
Centre (h, k) lies on x – 3y – 11 = 0
h – 3k – 11 = 0 … (iii)
Subtracting (ii) from (i) 6h + 4 k – 11 = 0 … (iv)
Multiply eqn (iii) by 6 6h – 18 k – 66 = 0 … (v)
Subtracting (v) from (iv) 22k + 55 = 0
∴ k = -(55/22) = -(5/2)
from (iii) h = 3k + 11 = -(15/2) + 11 = 7/2
Put the value of h and k in (2 – h) 2 + (3 – k) 2 = r 2
(2 – 7/2) 2 + (3 + 5/2) 2 = r 2
=> r 2 = 9/4 + 121/4 130/4 = 65/2
∴ Equation of the circle
(x – 7/2) 2 + (y + 5/2) 2 = 65/2
=> x 2 + y 2 – 7x + 5y + 49/4 + 25/4 – 65/2 = 0
=> x 2 + y 2 – 7x + 5y – 14 = 0

12. Find the equation of the circle with radius 5 whose centre lies on x-axis and passes through the point (2, 3).

Let the equation of the circle be
(x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 … (i)
r = 5 ∴ r 2 = 25
Centre lies on x -axis is k = 0
Equation (i) becomes (x – h) 2 + y 2 = 25 (2, 3) lies on it
∴ (2 – h) 2 + 9 = 25 => (2 – h) 2 = 16,
∴ 2 – h = ۮ => h = 𔃀, 6
When h = 𔃀, equation of circle
(x + 2) 2 + y 2 = 25
=> x 2 + y 2 + 4x – 21 = 0
When h = 6, (x – 6) 2 + y 2 = 25,
x 2 + y 2 – 12x + 11 = 0
Thus, required circles are x 2 + y 2 + 4x – 21 = 0
and x 2 + y 2 – 12x + 11 = 0

13. Find the equation of the circle passing through (0, 0) and making intercepts a and b on the coordinate axes.

a, b are the intercepts made by the circle on the co-ordinate axes at A and B, C the mid point of AB is the centre of the circle
∴ centre (a/2 , b/2)
radius = OC =
=
∴ Equation of the circle is
(x – a/2) 2 + (y – b/2) 2 =

x 2 + y 2 – ax – by + a 2 /4 + b 2 /4 = (a 2 + b 2 )4
=> x 2 + y 2 – ax – by = 0

14. Find the equation of a circle with centre (2, 2) and passes through the point (4, 5).

Let the centre of the circle C(2, 2), and P(4, 5) is a point on the circle
∴ radius CP = √(4 - 2)2 + (5 - 2)2
= √4 + 9 = √13
∴ Equation of the circle is
(x – 2) 2 + (y – 2) 2 = 13
=> x 2 + y 2 – 4x – 4y = 5

15. Does the point (𔃀.5, 3.5) lie inside, outside or on the circle x 2 + y 2 = 25?


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