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3: Exponenten und Logarithmen - Mathematik


In diesem Kapitel werden wir Konzepte untersuchen, die sich auf exponentielle, logarithmische und logistische Beziehungen beziehen. Im ersten Abschnitt werden wir uns ansehen, wie wir diese Probleme aus einer grafischen Perspektive angehen können. In den folgenden Abschnitten werden wir die Methoden untersuchen, die notwendig sind, um mit diesen Problemen algebraisch zu arbeiten.


3: Exponenten und Logarithmen - Mathematik

Zuvor haben wir festgestellt, dass WA seit Olympia im Jahr 2008 eine Bevölkerung von 245.000 hatte und um 3 % pro Jahr gewachsen war, die Bevölkerung durch die Gleichung modelliert werden konnte

Mit dieser Gleichung konnten wir die Bevölkerung in der Zukunft vorhersagen.

Angenommen, wir wollten wissen, wann die Bevölkerung von Olympia 400.000 erreichen würde. Da suchen wir das Jahr n Wenn die Bevölkerung 400.000 beträgt, müssen wir die Gleichung lösen

Wenn man beide Seiten durch 245.000 teilt, erhält man

Ein Ansatz für dieses Problem besteht darin, eine Wertetabelle zu erstellen oder mithilfe von Technologie einen Graphen zu zeichnen, um die Lösung abzuschätzen.

Aus der Grafik können wir abschätzen, dass die Lösung nach 2008 (2024 bis 2025) etwa 16 bis 17 Jahre dauern wird. Das ist ziemlich gut, aber wir hätten gerne ein algebraisches Werkzeug, um diese Frage zu beantworten. Dazu müssen wir eine neue Funktion einführen, die Exponentialfunktionen rückgängig macht, ähnlich wie eine Quadratwurzel ein Quadrat rückgängig macht. Für Exponentialfunktionen heißt die Funktion, die wir brauchen, Logarithmus. Es ist die Umkehrung der Exponentialfunktion, d. h. sie macht die Exponentialfunktion rückgängig. Während es eine ganze Familie von Logarithmen mit unterschiedlichen Basen gibt, konzentrieren wir uns auf den gemeinsamen Logarithmus, der auf dem exponentiellen 10 . basiert x .

Studienstrategie

Arbeiten Sie die folgenden Beispiele durch, die zeigen, wie Sie mithilfe eines Logarithmus einen Exponenten mit Bleistift und Papier mehrmals rückgängig machen, bis Sie das Muster ziemlich deutlich sehen können. Die Wiederholung Ihres absichtlichen Aufschreibens, während Sie die Operation, die Sie durchführen, laut ansprechen, kann Ihnen helfen, die Idee zu erhalten und dann zu behalten.

Gemeinsamer Logarithmus

Der gemeinsame Logarithmus, geschriebenes log(x), macht die Exponentialfunktion 10 . rückgängig x

Dies bedeutet, dass log(10 x ) = x, und ebenso 10 log(x) = x

Dies bedeutet auch die Aussage 10 ein = B entspricht der Anweisung log(B) = ein

Protokoll(x) wird als „Protokoll von . gelesen x“ und bedeutet „der Logarithmus des Wertes x“. Es ist wichtig zu beachten, dass dies nicht Multiplikation – der Logarithmus allein bedeutet nichts, genau wie √ für sich genommen nichts bedeutet, muss er auf eine Zahl angewendet werden.

Exponenten und Logarithmen: eine kleine Hilfe

Sie haben gesehen, dass der gemeinsame Logarithmus, geschriebene log(x), macht die Exponentialfunktion 10 . rückgängig x .

Dies funktioniert, weil der gemeinsame Logarithmus die Basis 10 hat, genau wie der Exponentialausdruck 10 x . Das heißt, log(x) macht 10 x rückgängig, weil log(x) die Zahl ist, auf die wir 10 erhöhen, um die Zahl x zu erhalten.

Im folgenden BEISPIEL werden Sie in Teil (a) aufgefordert, log(100) auszuwerten.

log(100) = log(10 2 ), was uns die Aussage x = 2 gibt, weil 2 die Zahl ist, auf die wir 10 erhöhen, um 100 zu erhalten.

Teil (d) fordert Sie auf, log(1/100) auszuwerten. Versuchen Sie zunächst, 1/100 als Basis 10 zu einer Zahl umzuschreiben.


Einführung in logarithmische Funktionen



In dieser Lektion werden wir uns ansehen, was Logarithmen sind und die Beziehung zwischen Exponenten und Logarithmen.

Logarithmen können als die Umkehrung von Exponenten (oder Indizes) betrachtet werden.

Denken Sie daran: Der Logarithmus ist der Exponent.

Das folgende Diagramm zeigt den Zusammenhang zwischen Logarithmus und Exponent. Scrollen Sie auf der Seite nach unten, um weitere Beispiele und Lösungen für Logarithmen und Exponenten zu erhalten.

Konvertieren Sie die folgende Exponentialform in die logarithmische Form:

a) 4 2 = 16
2 = log4 16 (der log ist der exponent)

Konvertieren Sie die folgende logarithmische Form in die Exponentialform


Beachten Sie Folgendes:

  • Seit ein 1 = ein, Protokolleinein = 1
  • Seit ein 0 = 1, logein1 = 0
  • Protokollein 0 ist undefiniert
  • Logarithmen negativer Zahlen sind undefiniert.
  • Die Basis von Logarithmen kann eine beliebige positive Zahl außer 1 sein.
  • Logarithmen zur Basis 10 sind als gewöhnliche Logarithmen bekannt und werden durch log . dargestellt10 oder protokollieren.
  • Logarithmen zur Basis e werden als natürliche Logarithmen bezeichnet und durch log . dargestellte oder ln.

Probieren Sie den kostenlosen Mathway-Rechner und den folgenden Problemlöser aus, um verschiedene mathematische Themen zu üben. Probieren Sie die angegebenen Beispiele aus oder geben Sie Ihr eigenes Problem ein und überprüfen Sie Ihre Antwort mit den Schritt-für-Schritt-Erklärungen.

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3. Die Logarithmusgesetze

Seit einem Logarithmus ist einfach ein Exponent was gerade auf die Linie geschrieben wird, erwarten wir, dass die Logarithmusgesetze genauso funktionieren wie die Regeln für Exponenten, und glücklicherweise tun sie es auch.

ExponentenLogarithmen
`b^m &mal b^n = ` `b^(m+n)` `log_b xy = ` ` log_b x + log_b y`
`b^m ÷ b^n = ` `b^(m-n)` `log_b (x/y) = ` `log_b x &minus log_b y`
`(b^m)^n = b^(mn)` `log_b (x^n) =` ` n log_b x`
`b^1 = b` `log_b (b) = 1`
`b^0 = 1` `log_b (1) = 0`

Notiz: Auf unseren Rechnern wird "log" (ohne Basis) als "log Basis 10" verstanden. Zum Beispiel bedeutet " log 7 " " log107 ".

Beispiele

als Summe von 2 Logarithmen.

Unter Verwendung des ersten oben gegebenen Gesetzes lautet unsere Antwort

Anmerkung 1: Dies hat die gleiche Bedeutung wie `10^7 xx 10^x = 10^(7+x)`

Anmerkung 2: Diese Frage ist nicht das gleiche wie `log_7 x`, was "log von . bedeutet x zur Basis `7`", was ganz anders ist.

2. Zeigen Sie mit Ihrem Taschenrechner, dass

Ich verwende diesmal Zahlen, damit Sie sich davon überzeugen können, dass das Protokollgesetz funktioniert.

Wir haben gezeigt, dass das obige zweite Logarithmusgesetz für unser Zahlenbeispiel funktioniert.

3. Als Vielfaches von Logarithmen ausdrücken: log x 5 .

Mit dem dritten Logarithmusgesetz haben wir

Wir haben es als Vielfaches eines Logarithmus ausgedrückt, und es beinhaltet keinen Exponenten mehr.

Anmerkung 1: Jedes der folgenden ist gleich 1:

Die äquivalenten Aussagen mit gewöhnlichen Exponenten lauten wie folgt:

Anmerkung 2: Alle der folgenden sind äquivalent zu `0`:

Die entsprechenden Aussagen in Exponentialform sind:

Übungen

1. Als Summe, Differenz oder Vielfaches von Logarithmen ausdrücken:

als Logarithmus einer einzelnen Größe.

Unter Anwendung der Logarithmusgesetze haben wir:

Notiz: Der Logarithmus zur Basis e ist ein sehr wichtiger Logarithmus. Sie werden es zuerst in Natural Logs (Base e) und wird es später in den Kapiteln der Infinitesimalrechnung sehen.


Gelöste Beispiele zur Finanzmathematik

Sie können Ihre Antworten gegebenenfalls mit den: Finanzmathematik-Rechnern überprüfen
Für ACT-Studenten
Die ACT ist eine zeitgesteuerte Prüfung. $60$ Fragen für $60$ Minuten
Dies bedeutet, dass Sie jede Frage in einer Minute lösen müssen.
Bei einigen Fragen dauert die Lösung normalerweise weniger als eine Minute.
Bei einigen Fragen dauert das Lösen normalerweise länger als eine Minute.
Das Ziel ist, Ihre Zeit zu maximieren. Sie verwenden die Zeit, die Sie bei den Fragen, die Sie in weniger als einer Minute gelöst haben, sparen, um die Fragen zu lösen, die länger als eine Minute dauern.
Sie sollten also versuchen, jede Frage zu lösen korrekt und rechtzeitig.
Es geht also nicht nur darum, eine Frage richtig zu lösen, sondern sie zu lösen richtig pünktlich.
Bitte stellen Sie sicher, dass Sie es versuchen alle ACT-Fragen.
Es gibt keine "negative" Strafe für eine falsche Antwort.

Für JAMB-, NZQA- und CMAT-Studenten
Taschenrechner sind nicht erlaubt. So werden die Fragen so gelöst, dass kein Taschenrechner erforderlich ist.

Für WASSCE-Studenten
Jede mit WASCCE gekennzeichnete Frage ist eine Frage für die WASCCE Allgemeine Mathematik
Jede Frage mit der Bezeichnung WASSCE:FM ist eine Frage für das WASSCE Weitere Mathematik/Wahlfach Mathematik

Für GCSE-Studenten
Es wird gezeigt, dass alle Arbeiten das Minimum für die Vergabe von Methodennoten erfüllen (und tatsächlich übertreffen).
Für einige Fragen sind Taschenrechner erlaubt. Für einige Fragen sind Taschenrechner nicht erlaubt.

Für NSC-Studenten
Für die Fragen:
Jedes Leerzeichen in einer Zahl gibt ein Komma an, das zum Trennen von Ziffern verwendet wird. Trennen von Vielfachen von drei Ziffern von hinten.
Jedes Komma in einer Zahl gibt einen Dezimalpunkt an.
Für die Lösungen:
Dezimalstellen werden statt Kommas richtig verwendet
Kommas werden verwendet, um Ziffern entsprechend zu trennen.

Löse alle Wortaufgaben.
Verwenden Sie nach Bedarf mindestens zwei Methoden.
Überprüfen Sie ggf. Ihre Lösungen.
Alle Arbeiten anzeigen.
Runden Sie alle Antworten auf zwei Dezimalstellen.

(1.) Esthers Eltern haben einen Betrag von $$750$ auf ein Prepaid-College-Konto eingezahlt.
Wie hoch ist der Wert dieses Geldes nach einem Zeitraum von sechzehn Jahren, wenn es zu $3\%$ jährlich aufgezinst wird?

(2.) Nahum investierte $$10.000$ in eine Bank, die 13,7\%$ kontinuierlich aufzinst.
(a.) Wie viel Geld wird er nach 2$ Jahren haben?
(b.) Wenn eine andere Bank Nahum 14\%$ vierteljährlich aufgezinst zahlt, wie viel würde er dann nach 2$ Jahren haben?

(3.) Matthew hat $$1000$ zu investieren zu $6\%$ pro Jahr, vierteljährlich aufgezinst.
(a.) Wie lange dauert es, bis er $ 1450 $ hat?
(b.) Wenn die Compoundierung kontinuierlich ist, wie lange wird sie dauern?

(4.) Ein Kreditunternehmen möchte eine CD (Certificate of Deposit) mit einer monatlichen Firmenrate anbieten, die einen APY von $7,5\%$ hat.
Welchen jährlichen Nominalzinssatz auf monatlicher Basis sollten sie verwenden?

(5.) Ezra investierte $$2000$ zu einem Zinssatz, $k$ wird kontinuierlich aufgezinst.
Der Fonds belief sich auf $$2504.65$ in $5$ Jahren.
(a.) Berechnen Sie den Zinssatz.
(b.) Berechnen Sie den Saldo nach $10$ Jahren.
(c.) Nach welcher Zeit wird der Fonds verdoppelt?
Runden Sie nach Bedarf auf das nächste Hundertstel.

(6.) Malachi investierte einen Betrag von $$800$ auf ein Konto, das Zinsen in Höhe von $2,9\%$ pro Jahr zahlt, kontinuierlich aufgezinst.
Wie viel Geld wird nach $8$ Jahren auf dem Konto sein?
Berechnen Sie die Verdopplungszeit.
Runden Sie nach Bedarf auf das nächste Hundertstel.

$ unterstreichen [3ex] P = $800 [3ex] t = 8: Jahre [3ex] r = 2.9\% = dfrac<2.9> <100>= 0.029 [5ex] A = Pe^ [5ex] A = 800 * e^ <0,029 * 8>[5ex] = 800 * e^ <0,232>[5ex] = 800 * 1,261119729 [2ex] = 1008.895783 [3ex] A ca. $1008,90 [3ex] $ Die Berechnung der Verdopplungszeit bedeutet, "wann" wird der Fonds verdoppelt?
"Wie lange" wird es dauern, bis das Geld verdoppelt ist?


Was ist mit dem Bruchteil eines binären Logarithmus?

Lassen n sei der ganzzahlige Teil des binären Logarithmus von x, dann kann der Bruchteil des Logarithmus wie folgt berechnet werden:

Die Berechnung des Bruchteils eines binären Logarithmus könnte also auf die Berechnung des binären Logarithmus einer Zahl zwischen 1 (einschließlich) und 2 (ausschließlich) zurückgeführt werden. Um diese Berechnung durchzuführen, verwenden wir die folgenden zwei Regeln:

Hier ist der Code, der so geschrieben ist, als würde Solidity nativ Bruchzahlen unterstützen:

Bei jeder Iteration wenden wir die erste Regel an: quadrieren Sie den Wert von x und halbieren Sie den Wert von delta . Wenn der Wert von x irgendwann größer oder gleich 2 wird, wenden wir die letztere Regel an: Addieren Sie Delta zum Ergebnis und halbieren Sie den Wert von x . Wir wiederholen die Schleife, bis Delta unter die gewünschte Genauigkeit fällt, da das Fortfahren mit der Berechnung dem Ergebnis nichts Wesentliches hinzufügen würde.

Leider unterstützt Solidity keine Brüche nativ, daher sieht der echte Code etwa so aus:

wobei ONE , TWO , add , mul , div und gte Konstanten und Funktionen sind, die eine Art von Bruchzahlen und Arithmetik auf ihnen für Solidity emulieren.

Glücklicherweise verfügt ABDK Libraries über einsatzbereite Binärlogarithmus-Implementierungen für 64,64-Bit-Binär-Festkommazahlen mit vierfacher Genauigkeit.

Wenn wir nun wissen, wie man den binären Logarithmus berechnet,


Exponenten in der realen Welt

Exponenten, Indexzahlen, Potenzen und Indizes werden in vielen Teilen unserer modernen technologischen Welt verwendet.

Exponenten werden in Computerspielphysik, pH- und Richter-Messskalen, Naturwissenschaften, Ingenieurwesen, Wirtschaft, Rechnungswesen, Finanzen und vielen anderen Disziplinen verwendet.

Exponentielles Wachstum ist ein äußerst wichtiger Aspekt von Finanzen, Demografie, Biologie, Wirtschaft, Ressourcen, Elektronik und vielen anderen Bereichen.

Exponentieller Zerfall wird mit Licht, Ton, Sportgeräten, gefährlichen Chemikalien und radioaktiven Abfällen in Verbindung gebracht.

Menschen, die Exponenten verwenden, sind Ökonomen, Banker, Finanzberater, Versicherungsrisikobewerter, Biologen, Ingenieure, Computerprogrammierer, Chemiker, Physiker, Geographen, Toningenieure, Statistiker, Mathematiker, Geologen und viele andere Berufe.

In dieser Lektion zeigen wir verschiedene Verwendungen von Exponenten im wirklichen Leben sowie ihren Einfluss auf unser Verständnis der modernen Welt um uns herum.

Exponenten sind von grundlegender Bedeutung, insbesondere in Basis 2 und Basis 16, sowie in Physik- und Elektronikformeln, die mit Computern verbunden sind.

Die Geschwindigkeit und Leistung von Computern hat in den letzten Jahren exponentiell zugenommen, und bis etwa 2030 wird die Rechenleistung voraussichtlich der des menschlichen Gehirns entsprechen.

Exponenten sind im modernen internetbasierten Vertrieb und Marketing von entscheidender Bedeutung,

Exponenten sind wichtig für Investitionen und Finanzen.

Zinseszinsen wirken auch gegen Menschen mit einer Kreditkartenschuld, die sie nicht abbezahlen, da die Schulden mit jedem Abrechnungszeitraum schneller und schneller wachsen und schnell außer Kontrolle geraten können.

Exponenten sind die Grundlage von “Demographics” (Bevölkerungswachstum)

Die Weltbevölkerung wächst außerordentlich schnell, insbesondere in den Entwicklungsregionen Afrikas, Indiens und Chinas.


Mit massivem Bevölkerungswachstum geht ein massiver Einsatz fossiler Brennstoffe für Industrie, Heizung, Elektrizität und Verkehr einher.

In den letzten Jahren ist die Handynutzung und die Marktdurchdringung massiv exponentiell gestiegen.

Die Verbraucherkreditverschuldung ist in den letzten Jahren auf Rekordhöhen gestiegen.

Exponenten sind auch Teil der Lebensmitteltechnologie und Mikrobiologie.

Viruskrankheiten (wie auch viele E-Mail- und Computerviren) können sich mit immer höheren Geschwindigkeiten ausbreiten und zu weit verbreiteten infizierten Gebieten führen.

Dies geschieht auf die gleiche Weise, wie sich Virales Marketing in immer breiteren Zweigen ausbreitet, in denen immer mehr Menschen etwas an immer mehr Menschen weitergeben.

Bei Explosionen erhalten wir innerhalb kürzester Zeit eine unkontrolliert massiv ansteigende Energie- und Kraftabgabe.

Stellen Sie sich dies als sehr steiles exponentielles Diagramm vor, verglichen mit einem brennenden Streichholz, das Energie in einem ziemlich flachen geraden Liniendiagramm abgibt.

Die Situationen, die wir bisher in Betracht gezogen haben, beinhalten “exponentielles Wachstum”.

Die Gleichungen für Graphen dieser Situationen enthalten Exponenten, was dazu führt, dass der Graph langsam beginnt, dann aber sehr schnell ansteigt.

Z.B. Denken Sie an Quadratzahlen und wie sie schnell größer und größer werden:

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 132 usw.

Wir brauchen nur neun Quadratzahlen, um 100 zu erreichen.

Exponentielle Wachstumssituationen sehen, wenn sie grafisch dargestellt werden, wie im folgenden Diagramm aus.

Das Gegenteil von “Exponential Growth” ist, wenn wir Exponenten auf Brüche anwenden, was zu einem “Exponential Decay” führt.

Die Verwendung negativer Potenzwerte führt zu Brüchen, und wenn auf diese Brüche Exponenten angewendet werden, erhalten wir “Decay”.

In einem “Decay”-Prozess fällt die beteiligte Menge zu Beginn ziemlich schnell ab, aber dann wird der Abfall immer langsamer.

Ein typisches Exponential Decay-Diagramm sieht wie folgt aus:

Erstellen eines exponentiellen Zerfallsdiagramms


Bildquelle: http://teachers.egfi-k12.org

Eine unterhaltsame Möglichkeit, ein exponentielles Zerfallsdiagramm zu erstellen, besteht darin, eine Packung M&M’s oder Skittles zu nehmen und sie weiter aus einer Tasse zu gießen, aber jedes Mal alle Bonbons zu entfernen, die mit der Buchstabenseite erscheinen.

Dies sollte die erforderliche Grafik erzeugen.

Unter folgendem Link finden Sie eine tolle Anleitung dazu:

Exponentieller Verfall – Beispiele aus dem wirklichen Leben

Einige Beispiele für exponentiellen Zerfall in der realen Welt sind die folgenden.

Exponentieller Zerfall und Halbwertszeit

Viele Schadstoffe, insbesondere radioaktive Abfälle, brauchen sehr lange, um in der Umwelt auf sichere Werte abgebaut zu werden.

Dies liegt daran, dass diese Materialien einem exponentiellen Zerfall unterliegen und selbst eine kleine Menge des noch verbleibenden Materials schädlich sein kann.

Die Richterskala wird verwendet, um zu messen, wie stark Erdbeben sind.

Die tatsächliche Energie jedes Bebens ist eine Potenz von 10, aber auf der Skala nehmen wir einfach den Indexwert von 1, 2, 3, 4 usw. und nicht den vollen Exponenten.

Dies bedeutet, dass ein Erdbeben auf der Richterskala 6 tatsächlich 10 Mal stärker ist als ein Beben auf der Richterskala 5. (zB 1000000 vs 100000).

Ebenso ist ein Erdbeben auf der Richterskala 7 tatsächlich 100-mal stärker als ein Beben auf der Richterskala 5. (zB 10000000 vs 100000).

Die pH-Skala zur Messung des Säuregehalts von Materialien wird ebenfalls erstellt, indem die Potenzwerte aus gemessenen Potenzen von 10 Säurekonzentrationswerten genommen werden.

Exponenten und wissenschaftliche Notation

Sehr große Zahlen, wie die Entfernung zwischen Planeten oder die Bevölkerung von Ländern, werden mit Zehnerpotenzen in einem Format namens “Scientific Notation” ausgedrückt.

Wissenschaftliche Notation wird auch verwendet, um sehr kleine Dezimalwerte wie die Größe von Grippevirusmolekülen oder den Abstand zwischen Atomen in einer Kristallstruktur auszudrücken.

Online-Präsentation zu Exponenten in der realen Welt

Eine Online-Präsentation dieser Lektion ist auf SlideShare unter folgendem Link verfügbar:

Musikvideo über Exponenten

Das folgende Musikvideo rund um Exponents ist möglicherweise das erfolgreichste Mathe-Video, das jemals auf YouTube hochgeladen wurde.

Es hat derzeit über 850.000 Aufrufe auf YouTube und ist eine ziemlich erstaunliche Produktion!

Sehr sehenswert für jeden, der Indizes und Exponenten lernt.

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Eigenschaften von Logarithmen

Diese werden manchmal als logarithmische Identitäten oder logarithmische Gesetze bezeichnet.

Die Produktregel:

Der Log eines Produkts entspricht der Summe der Logs.

Die Quotientenregel:

Der Logarithmus eines Quotienten (d.h. eines Verhältnisses) ist die Differenz zwischen dem Logarithmus des Zählers und dem Logarithmus des Nenners.

Die Machtregel:

Der Logarithmus einer potenzierten Zahl ist das Produkt aus Potenz und Zahl.

Basiswechsel:

Diese Identität ist nützlich, wenn Sie einen Logarithmus zu einer anderen Basis als 10 berechnen müssen. Viele Taschenrechner haben nur die Tasten "log" und "ln" für Log zur Basis 10 und natürlichen Logarithmus zur Basis e beziehungsweise.


Die Zahl $9$ ist eine Größe und kann durch die Potenzierung exponentiell ausgedrückt werden.

$9 ,=, 3 mal 3$
$impliziert 9 ,=, 3^2$

In diesem Fall ist $3$ eine Menge und $2$ die Anzahl ihrer Multiplikationsfaktoren. Die Umkehroperation von $9 ,=, 3^2$ wird in logarithmischer Form geschrieben.

Das logarithmische System stellt dar, dass die Anzahl der Multiplikationsfaktoren $2$ beträgt, wenn die Menge $9$ als Multiplikationsfaktoren auf der Basis der Zahl $3$ geschrieben wird.

Die gegenseitige inverse mathematische Beziehung zwischen exponentiellen und logarithmischen Systemen wird in der Mathematik wie folgt geschrieben.

Algebraische Form

$y$ ist eine Menge. Es wird in Form von $b$ geschrieben und die Gesamtzahl der Multiplikationsfaktoren beträgt $x$. Die Beziehung zwischen drei von ihnen wird in mathematischer Form als Exponentiation geschrieben.

Es wird in logarithmischer Form wie folgt geschrieben, um die Gesamtzahl der Multiplikationsfaktoren zu ermitteln, indem man y als Multiplikationsfaktoren von b ausdrückt.

Die Beziehung zwischen logarithmischen und exponentiellen Systemen wird in algebraischer Form wie folgt geschrieben.


3: Exponenten und Logarithmen - Mathematik

In der Chemie werden häufig zwei Arten von Logarithmen verwendet: gewöhnliche (oder Brigg'sche) Logarithmen und natürliche (oder napiesche) Logarithmen. Die Potenz, auf die eine Basis von 10 erhöht werden muss, um eine Zahl zu erhalten, wird als gewöhnlicher Logarithmus (log) der Zahl bezeichnet. Die Potenz, mit der die Basis e (e = 2,718281828. ) erhöht werden muss, um eine Zahl zu erhalten, wird als natürlicher Logarithmus (ln) der Zahl bezeichnet.

Einfacher gesagt hat mir mein Mathelehrer in der 8. Klasse immer gesagt: LOGS SIND EXPONENTE!! Was meinte sie damit?

    Log verwenden10 ("Log zur Basis 10"):
    Protokoll10100 = 2 entspricht 10 2 = 100
    wobei 10 die Basis ist, 2 der Logarithmus (d. h. der Exponent oder die Potenz) und 100 die Zahl ist.

Der Rest dieser Mini-Präsentation konzentriert sich auf Logarithmen zur Basis 10 (oder Logs). Eine Verwendung von Logs in der Chemie beinhaltet den pH-Wert, wobei pH = -log10 der Wasserstoffionenkonzentration.

Hier sind einige einfache Beispiele für Protokolle.

NummerExponentieller AusdruckLogarithmus
100010 3 3
10010 2 2
1010 1 1
110 0 0
1/10 = 0.110 - 1 -1
1/100 = 0.0110 - 2 -2
1/1000 = 0.00110 - 3 -3

    Beispiel 1: log 5,43 x 10 10 = 10,73479983. (viel zu viele signifikante Zahlen)

Schauen wir uns also den Logarithmus genauer an und finden Sie heraus, wie wir die richtige Anzahl signifikanter Stellen bestimmen, die er haben sollte.

    Beispiel 1: log 5,43 x 10 10 = 10,735
    Die Zahl hat 3 signifikante Stellen, aber ihr Log endet mit 5 signifikanten Stellen, da die Mantisse 3 und das Merkmal 2 hat.

    Beispiel 4: Welchen pH-Wert hat eine wässrige Lösung, wenn die Wasserstoffionenkonzentration 5,0 x 10 – 4 M beträgt?

FINDEN VON ANTILOGARITHMEN (auch Inverser Logarithmus genannt)

  1. Geben Sie die Nummer ein,
  2. drücke die inverse (inv) oder Shift-Taste, dann
  3. drücken Sie die log (oder ln)-Taste. Es kann auch mit der Schaltfläche 10 x (oder e x ) beschriftet sein.

    Beispiel 5: log x = 4,203 also x = inverser log von 4,203 = 15958,79147. (zu viele signifikante Zahlen)
    Es gibt drei signifikante Ziffern in der Mantisse des Logs, also hat die Zahl 3 signifikante Ziffern. Die Antwort auf die richtige Anzahl signifikanter Stellen ist 1,60 x 10 4 .

    Beispiel 8: Wie hoch ist die Konzentration der Wasserstoffionen in einer wässrigen Lösung mit pH = 13,22?

BERECHNUNGEN MIT LOGARITHMEN

Da Logarithmen Exponenten sind, folgen mathematische Operationen, an denen sie beteiligt sind, denselben Regeln wie für Exponenten.