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Division eines Polynoms durch (x - a) (x - b)


Nehmen wir an, dass ein Polynom P (x) ist teilbar durch (x - a) und von (x-b)als dieb. Tut das P (x) ist durch Produkt teilbar (x - a) (x - b)?

Der Teiler (x - a) (x - b) habe grad 2, so wird der Rest höchstens sein 1.

Dann können wir schreiben:

Wie P (x) ist teilbar durch (x - a)dann P (a) = 0:

Wie P (x) ist teilbar durch (x-b)dann P (b) = 0:

Wir haben das folgende Gleichungssystem:

Daraus können wir schließen P (x) ist teilbar durch (x - a) (x - b).

Wir haben also folgenden Satz:

Wenn P (x) ist teilbar durch (x - a) und von (x - b) mit diebdann P (x) ist teilbar durch (x - a) (x - b).

Verallgemeinern des Satzes, wenn P (x) ist teilbar durch mit dann deutlich P (x) ist teilbar durch .

Beispiel 1

Das Polynom ist teilbar durch (x - 1) (x - 2)?

Auflösung

Wenn P (x) ist teilbar durch (x - 1) und von (x - 2)dann P (x) wird teilbar sein durch (x - 1) (x - 2).

P (x) ist teilbar durch (x -1)das heißt P (1) = 0?

Ja

P (x) ist teilbar durch (x - 2)das heißt P (2) = 0?

Ja

Wie P (x) ist teilbar durch (x -1) und von (x - 2) so P (x) ist teilbar durch (x - 1) (x - 2).

Beispiel 2

Ein Polynom P (x)geteilt durch x - 1ausruhen 4; geteilt durch x +1ausruhen 2. Was ist der Rest der Aufteilung von P (x) von (x - 1) (x + 1)?

Auflösung

Als der Teiler (x - 1) (x + 1) habe grad 2wird der Grad der Ruhe höchstens sein 1. Wir können schreiben:

P (x) geteilt durch x - 1 gib Ruhe 4. Also P (1) = 4:

P (x) geteilt durch x + 1 gib Ruhe2. Also P (-1) = 2:

Wir haben das folgende Gleichungssystem:

Also der Rest der Aufteilung von P (x) von (x - 1) (x + 1) é x + 3.

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Video: Polynomdivision bei x4, doppelte Polynomdivision, Polynome teilen. Mathe by Daniel Jung (November 2020).