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10: Brüche


Die „Kuchen pro Kind“[1]Der in diesem Teil verwendete Ansatz für Brüche stammt von James Tanton und wird mit seiner Erlaubnis verwendet. Sehen Sie seine Entwicklung dieser und anderer Ideen unter http://gdaymath.com/.


  1. Kuchenbild von Claus Ableiter (Eigenes Werk) [GFDL, CC-BY-SA-3.0 oder CC BY-SA 2.5-2.0-1.0], über Wikimedia Commons

Bruchrechner

Das buchstabierte Ergebnis in Worten ist sieben Fünftel (oder ein und zwei Fünftel).

Wie löst man Brüche Schritt für Schritt?

  1. Dividieren: 7 / 10 : 1 / 2 = 7 / 10 · 2 / 1 = 7 · 2 / 10 · 1 = 14 / 10 = 2 · 7 / 2 · 5 = 7 / 5
    Das Dividieren zweier Brüche entspricht der Multiplikation des ersten Bruchs mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs. Der erste Teilschritt besteht darin, den Kehrwert (Zähler und Nenner umkehren, Kehrwert von 1 / 2 ist 2 / 1 ) des zweiten Bruchs zu finden. Als nächstes multiplizieren Sie die beiden Zähler. Dann multiplizieren Sie die beiden Nenner. Im nächsten Zwischenschritt ergibt , Streichen um einen gemeinsamen Faktor von 2 7 / 5 .
    In Worten - sieben Zehntel geteilt durch eine Hälfte = sieben Fünftel.

Regeln für Ausdrücke mit Brüchen:

Brüche - verwenden Sie den Schrägstrich „/“ zwischen Zähler und Nenner, d. h. für fünfhundertstel geben Sie . ein 5/100. Wenn Sie gemischte Zahlen verwenden, achten Sie darauf, zwischen dem ganzen und dem Bruchteil ein einzelnes Leerzeichen zu lassen.
Der Schrägstrich trennt Zähler (Zahl über einem Bruchstrich) und Nenner (Zahl darunter).

Gemischte Ziffern (gemischte Brüche oder gemischte Zahlen) schreiben als ganze Zahl ungleich null, getrennt durch ein Leerzeichen und einen Bruch, d.h. 1 2/3 (hat das gleiche Vorzeichen). Ein Beispiel für einen negativen gemischten Bruch: -5 1/2.
Da Schrägstriche sowohl Zeichen für Bruchstrich als auch für Division sind, empfehlen wir die Verwendung von Doppelpunkt (:) als Operator für Divisionsbrüche, d. 1/2 : 3.

Dezimalzahlen (Dezimalzahlen) mit Dezimalpunkt eingeben . und sie werden automatisch in Brüche umgewandelt - d.h. 1.45.

Der Doppelpunkt : und Schrägstrich / ist das Symbol der Teilung. Kann verwendet werden, um gemischte Zahlen zu teilen 1 2/3 : 4 3/8 oder kann zum Schreiben komplexer Brüche verwendet werden, d.h. 1/2 : 1/3.
Ein Sternchen * oder × ist das Symbol für die Multiplikation.
Plus + ist Addition, Minuszeichen - ist Subtraktion und ()[] sind mathematische Klammern.
Das Potenzierungs-/Potenzsymbol ist ^ - zum Beispiel: (7/8-4/5)^2 = (7/8-4/5) 2

Beispiele:

Der Rechner folgt bekannten Regeln für Reihenfolge der Operationen. Die gebräuchlichsten Mnemoniken, um sich diese Reihenfolge der Operationen zu merken, sind:
PEMDAS - Klammern, Exponenten, Multiplikation, Division, Addition, Subtraktion.
SCHLAFZIMMER - Klammern, Exponenten, Division, Multiplikation, Addition, Subtraktion
BODMAS - Klammern, Of or Order, Division, Multiplikation, Addition, Subtraktion.
GEMDAS - Gruppierungssymbole - Klammern ()<>, Exponenten, Multiplikation, Division, Addition, Subtraktion.
Seien Sie vorsichtig, tun Sie es immer Multiplikation und Division Vor Addition und Subtraktion. Einige Operatoren (+ und -) und (* und /) haben die gleiche Priorität und müssen dann von links nach rechts ausgewertet werden.


Stattdessen ist es notwendig, den nächsten Bruch mit dem Nenner zu finden, der eine Potenz von 2 ist, auch bekannt als dyadischer Bruch oder dyadische rationale Zahl. [1] Typische Inch-Bruchteile sehen ungefähr wie 1/64, 1/32, 1/16, 1/8, 1/4 oder 1/2 aus. Verwenden Sie unseren Fuß- und Zollrechner, um Fuß- und Zollbrüche zu addieren oder zu subtrahieren.

Das Auffinden von Maßen auf einem Lineal oder Maßband kann zunächst verwirrend sein, aber wenn Sie erst einmal verstanden haben, wie die Markierungen angeordnet sind, ist es viel einfacher. Die Markierungen zwischen den größeren Zollzahlen variieren in der Länge.

Die längsten Markierungen sind die Viertel-Zoll-Markierungen, d.h. die erste Markierung ist 1/4 Zoll, die zweite 1/2 (2/4) Zoll, die dritte 3/4 Zoll.

Die nächstlängsten Markierungen sind die Achtel-Zoll-Markierungen, d.h. die erste Markierung ist 1/8 Zoll, die zweite 3/8 Zoll, die dritte 5/8 Zoll usw.

Die nächstlängsten Markierungen sind die 16-Zoll-Markierungen, d.h. die erste Markierung ist 1/16 Zoll, die zweite 3/16 Zoll, die dritte 5/16 Zoll usw.


Die 10 Möglichkeiten für Schüler, Brüche zu meistern

1.) Beobachten Sie die Sprache, die wir im Klassenzimmer verwenden. Manchmal kann die Sprache, die wir im Klassenzimmer verwenden, die Schüler wirklich verwirren. Wenn wir zum Beispiel einen unechten Bruch sagen (obwohl ich weiß, dass einige Bezirke dies verlangen), kann dies verwirrend sein und sich anfühlen, als wäre es falsch, wenn sie einen Bruch auf diese Weise schreiben. Nennen Sie es stattdessen vielleicht einen Bruch „größer als eins&rdquo, der auch verwendet werden kann, wenn Sie den Begriff gemischte Zahl verwenden. (Ich weiß, es scheint verrückt, aber es ist wahr!) Ein anderes Beispiel ist, wenn wir den Begriff „Brüche reduzieren&rdquo verwenden mit größer Stücke. Sehen Sie, wie schnell ein Schüler denken kann, dass 2/5 kleiner als 4/10 ist, weil wir gesagt haben, wir hätten es reduziert? Es erscheint uns immer verwirrend, weil wir das Material gut kennen.

2.) Helfen Sie den Schülern zu sehen, dass Zähler und Nenner eines Bruchs sind ein einziger Wert&ndash eine einzelne Zahl. Die Schüler betrachten sie oft als zwei separate Werte, weil wir sie als &ldquotdie obere Zahl&rdquo und &ldquotdie untere Zahl&rdquo bezeichnen (siehe auch diese Sprache). Manchmal nennen wir es auch „drei von vier&rdquo oder „hree über vier&rdquo. Stattdessen sollten wir es so nennen, wie es ist: Dreiviertel. Wenn Sie die Beziehung zur Division betonen möchten, erinnern Sie die Schüler daran, den Nenner als Teiler und den Zähler als Multiplikator zu sehen. Das heißt, das Dreifache dessen, was Sie erhalten, wenn Sie ein Ganzes in 4 Teile teilen, oder 3 & 4 teilen. Außerdem können Sie den Schülern helfen, zu erkennen, dass Brüche Zahlen sind, indem Sie kontinuierlich einen Zahlenstrahl verwenden.

3.) Die Schüler müssen verstehen, dass die Teile muss sein gleich große Teile. Ich habe im Laufe der Jahre viele Studenten getroffen, die glauben, dass 2/3 beliebige 2 Teile bedeutet, nicht gleich große Teile. Wenn Sie in diesem Beispiel unten Ihre Schüler fragen würden, wie viel schattiert ist, würden sie 3/4 oder 1/2 sagen?

Was dieses Missverständnis fördert, sind manchmal unsere von Studenten gezeichneten Flächenmodelle. Da es den Grundschülern an Präzision mangelt, können sie leicht ungleiche Partitionen erstellen und glauben, dass die Teile nicht gleich sein müssen. Eine Möglichkeit, dies zu bekämpfen, besteht darin, Umrissmodelle bereitzustellen, aber eine andere besteht darin, Gegenbeispiele für ungenau gezeichnete Modelle zu zeigen. Auch die ständige Erinnerung daran, dass Teile gleich sein müssen, ist wichtig.

4.) Wir müssen &ldquoFraktionssinn aufbauen.&rdquo Das bedeutet, dass wir sicherstellen müssen, dass wir die Bedeutung von Brüchen viel mehr betonen. Tatsächlich wird den Lehrkräften dringend empfohlen, mit dem Unterrichten der „Algorithmen&rdquo oder &ldquo-Verfahren&rdquo aller Brüche zu warten, bis die Schüler die konkreten Methoden der Brüche-Konzepte vollständig erforscht haben. Zum Beispiel werden die Schüler oft zur Kreuzmultiplikationsmethode getrieben, wenn es um den Vergleich von Brüchen, die Multiplikation für äquivalente Brüche oder unechte/gemischte Zahlen oder den Algorithmus zum Multiplizieren und Dividieren geht, ohne zu verstehen, warum. In meinem Beitrag Mathe unterrichten, damit die Schüler es verstehen, erkläre ich, wie Schüler am besten Mathematik lernen.

5.) Helfen Sie den Schülern, die Größe von Brüchen wirklich zu verstehen. Schüler sind oft verwirrt, weil sie in ganzen Zahlen denken. Bei ganzen Zahlen ist 5 kleiner als 10. Bei Brüchen ist 1/5 tatsächlich viel größer als 1/10. Dies ist für Kinder verwirrend, es sei denn, sie haben VIEL Übung beim Betrachten einer TONNEN von Bildern. Sie müssen üben, bis sie Ihnen sofort sagen können, dass 1/10 kleiner ist, weil es mehr Teile hat. Nur einem Kind zu sagen, dass je größer der Nenner, desto kleiner die Zahl, wird überhaupt nicht helfen. Es hat besonders geholfen, wenn sie zu Problemen wie 7/10 vs 1/5 kommen. Lassen Sie die Schüler dies üben und es sich immer wieder ansehen, bis sie es sich vorstellen können! Es ist SOOO kritisch!

6.) Verwenden Sie eine Vielzahl von Bruchmodellen und verbinden Sie diese Modelle mit realen Kontexten. Die wiederholte Verwendung dieser physischen Werkzeuge kann zur Verwendung mentaler Modelle und zum Verständnis führen. Manchmal ist es nützlich, dieselbe Aktivität mit zwei verschiedenen Darstellungen durchzuführen, damit die Schüler sie wirklich verstehen. Diese Bruchmodelle wären:

  • Flächenmodelle &ndash Normalerweise werden Aufgaben geteilt, in kleinere Teile geschnitten. Dies wird am häufigsten verwendet. Beispiele wären &ldquopie&rdquo-Stücke, rechteckige Bereiche, Geoboard, Musterblöcke, Papierfalten, Zeichnungen auf Rasterpapier oder Punktpapier.
  • Längen- oder Maßmodelle &ndash Diese zeigen fortlaufende Längen oder Messungen werden verglichen. Sie sind Zahlenlinien oder Bruchstreifen. Linien werden typischerweise unterteilt, es kann aber auch ein Messwerkzeug mit Skala verwendet werden (Lineal, Messbecher, Thermometer). Beispiele wären Bruchstreifen, Cuisenaire-Stäbe, gefaltete Papierstreifen, Lineal, Zahlenstrahl. **Die Zahl auf einer Linie bezeichnet den Abstand des identifizierten Punktes von Null, nicht den Punkt selbst.**
  • Modelle einstellen &ndash Das Ganze wird als Menge einzelner (diskreter) Objekte und Teilmengen des Ganzen verstanden, die Bruchteile bilden. Ein Beispiel wäre ein Satz von 12 Objekten das Ganze, während 3 Objekte mit Garn eingekreist sind, also 3/12 oder 1/4. Kann mit zweifarbigen Zählern verwendet werden.

7.) Ermutigen Sie die Verwendung von Schätzungen und Benchmarks. Die Schätzung hilft den Schülern zu wissen, wie groß ein bestimmter Bruch ist, und die Schüler sollten dies zum Vergleichen von Brüchen und später wieder für Operationen verwenden können. Da die Schüler beim Schätzen normalerweise weniger sicher sind, helfen Sie ihnen, indem Sie Benchmarks auf einem Zahlenstrahl verwenden. Ich verwende die Benchmarks (Referenzpunkte) 0, 1/2 und 1. Wenn die Zahl größer als eins ist, verwende ich immer noch dieselben Benchmarks, nur mit den Zahlen, zwischen denen die gemischte Zahl liegt. Üben Sie wie oben, bis die Schüler dies wirklich visualisieren können.

8.) Verbringen Sie viel Zeit damit, äquivalente Brüche zu unterrichten. Äquivalente Brüche sind ein wichtiges Konzept, das für alles in Brüchen grundlegend ist &ndash von den Operationen über Beziehungen bis hin zur Größe. Bieten Sie den Schülern viel Übung mit äquivalenten Brüchen in einer Vielzahl von Modellen. Stellen Sie sicher, dass sie es wirklich verstehen und verstehen, warum Brüche gleich sind. Unterrichten Sie nicht einmal die Multiplikationsmethode, bis die Schüler Ihnen veranschaulichen können, warum Brüche äquivalent sind. Dann lassen Sie sie beginnen, das Muster zu bemerken und sich zur Multiplikationsmethode vorzuarbeiten.

9.) Achten Sie auf die Verwendung von Operationsregeln, bei denen ganze Zahlen mit Brüchen verwendet werden. Ich bin sicher, wir haben alle schon einmal gesehen, wie Schüler, sogar Einheitsbrüche, addieren, als ob sie ganze Zahlen addieren würden. Zum Beispiel 1/2 + 1/2 = 2/4. Was sie tun, ist, die Brüche zu addieren, als ob sie ganze Zahlen wären, anstatt über die Bedeutung von Brüchen nachzudenken. Dies zeigt, dass sie kein Bruchteilgefühl haben und den Bruch nicht visualisieren. Wir können dies verhindern, indem wir viel Übung mit Bruchstücken bieten, damit sie beginnen können, es zu visualisieren, selbst wenn es nur die Einheitsbrüche sind.

10.) Füge so oft wie möglich Brüche ein. Wenn Sie beispielsweise während des Unterrichts eine Minute Zeit haben, fragen Sie einfach schnell: „Welcher Bruchteil der Klasse trägt heute Pullover?“ Werden Sie kreativ. Wenn Sie nach Wegen suchen, Brüche in Ihren Tagesablauf zu integrieren, können Sie den Schülern regelmäßige tägliche Übungen ermöglichen, sie im Gedächtnis behalten und die Relevanz erkennen.

Mit diesen 10 Best Practices helfen Sie Ihren Schülern auf jeden Fall dabei, Brüche zu meistern und ein schwieriges Konzept in elementaren Mathematikklassen überall zu finden!

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Über Brüche

Ein Bruch ist das Ergebnis einer Division von zwei ganzen Zahlen. Mit anderen Worten, ein Bruch beschreibt, wie viele Teile einer bestimmten Größe vorhanden sind, zum Beispiel eine Hälfte, fünf Achtel, drei Viertel oder sieben Neuntel. Ein Bruch besteht aus einem Zähler und einem Nenner (die Zahl über der Strichlinie wird als Zähler bezeichnet, die Zahl unter der Strichlinie ist der Nenner). Der Zähler stellt eine Anzahl gleicher Teile dar und der Nenner gibt an, wie viele dieser Teile ein Ganzes bilden. Der Nenner darf nicht null sein. Ist der Zähler kleiner als der Nenner, liegt der Bruch zwischen 0 und 1.


Grundlegende Anweisungen für die Arbeitsblätter

Jedes Arbeitsblatt ist zufällig generiert und somit einzigartig. Das Antwortschlüssel wird automatisch generiert und wird auf der zweiten Seite der Datei platziert.

Sie können die Arbeitsblätter generieren entweder im HTML- oder PDF-Format &ndash beide sind einfach zu drucken. Um das PDF-Arbeitsblatt zu erhalten, drücken Sie einfach die Schaltfläche "PDF erzeugen" oder "PDF-Arbeitsblatt erstellen". Um das Arbeitsblatt im HTML-Format zu erhalten, drücken Sie die Schaltfläche "Im Browser ansehen" oder "HTML-Arbeitsblatt erstellen". Dies hat den Vorteil, dass Sie das Arbeitsblatt direkt in Ihrem Browser speichern können (Datei &rarr Speichern wählen) und dann bearbeite es in Word oder einem anderen Textverarbeitungsprogramm.

Manchmal ist das generierte Arbeitsblatt nicht genau das, was Sie wollen. Versuchen Sie es einfach noch einmal! So erhalten Sie ein anderes Arbeitsblatt mit denselben Optionen:


Inhalt

Definition Bearbeiten

Das größter gemeinsamer Teiler (GCD) zweier ganzer Zahlen a und b ist die größte positive ganze Zahl d, so dass d ein Teiler von a und b ist, d. h. es gibt ganze Zahlen e und f mit ein = de und B = df , und d ist die größte solche ganze Zahl. Die GCD von a und b wird allgemein als gcd(ein, B) . [9]

Diese Definition gilt auch, wenn eines von a und b null ist. In diesem Fall ist der GCD der absolute Wert der ganzen Zahl ungleich null: gcd(ein, 0) = gcd(0, ein) = | ein | . Dieser Fall ist als Abschlussschritt des euklidischen Algorithmus wichtig.

Die obige Definition kann nicht zur Definition von gcd(0, 0) verwendet werden, da 0 × n = 0 , und null hat somit keinen größten Teiler. Null ist jedoch sein eigener größter Teiler, wenn größte wird im Kontext der Teilbarkeitsrelation verstanden, daher wird gcd(0, 0) allgemein als 0 definiert. Dadurch bleiben die üblichen Identitäten für GCD und insbesondere Bézouts Identität erhalten, nämlich dass gcd(ein, B) erzeugt dasselbe Ideal wie <ein, B> . [10] [11] [12] Diese Konvention wird von vielen Computeralgebra-Systemen befolgt. [13] Dennoch lassen einige Autoren gcd(0, 0) undefiniert. [14]

Die GCD von a und b ist ihr größter positiver gemeinsamer Teiler in der Vorordnungsrelation der Teilbarkeit. Dies bedeutet, dass die gemeinsamen Teiler von a und b genau die Teiler ihrer GCD sind. Dies wird gewöhnlich bewiesen, indem man entweder das Lemma von Euklid, den fundamentalen Satz der Arithmetik oder den euklidischen Algorithmus verwendet. Dies ist die Bedeutung von "am größten", die für die Verallgemeinerungen des Konzepts der GCD verwendet wird.

Beispiel Bearbeiten

Die Zahl 54 kann auf verschiedene Weise als Produkt zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden:

54 × 1 = 27 × 2 = 18 × 3 = 9 × 6.

Von diesen ist der Größte 6, also ist es der größter gemeinsamer Teiler:

Die Berechnung aller Teiler der beiden Zahlen auf diese Weise ist normalerweise nicht effizient, insbesondere bei großen Zahlen mit vielen Teilern. Viel effizientere Methoden werden in § Berechnung beschrieben.

Coprime-Zahlen Bearbeiten

Zwei Zahlen heißen relativ prim oder teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler gleich 1 ist. [15] Zum Beispiel sind 9 und 28 relativ prim.

Eine geometrische Ansicht Bearbeiten

Ein rechteckiger Bereich von 24 x 60 kann beispielsweise in ein Raster unterteilt werden: 1 x 1 Quadrate, 2 x 2 Quadrate, 3 x 3 Quadrate, 4 x 4 Quadrate, 6 x -6 Quadrate oder 12 x 12 Quadrate. Daher ist 12 der größte gemeinsame Teiler von 24 und 60. Eine rechteckige Fläche von 24 x 60 kann somit in ein Raster von 12 x 12 Quadraten mit zwei Quadraten entlang einer Kante (24/12 = 2) unterteilt werden und divided fünf Quadrate übereinander (60/12 = 5).

Brüche reduzieren Bearbeiten

Der größte gemeinsame Teiler ist nützlich, um Brüche auf die niedrigsten Terme zu reduzieren. [16] Zum Beispiel ist gcd(42, 56) = 14, daher

Kleinstes gemeinsames Vielfaches Bearbeiten

Der größte gemeinsame Teiler kann verwendet werden, um das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen zu finden, wenn der größte gemeinsame Teiler bekannt ist, unter Verwendung der Beziehung [1]

Primfaktorzerlegungen verwenden Bearbeiten

Die größten gemeinsamen Teiler können berechnet werden, indem die Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlen bestimmt und Faktoren verglichen werden. Um zum Beispiel gcd(48, 180) zu berechnen, finden wir die Primfaktorzerlegungen 48 = 2 4 · 3 1 und 180 = 2 2 · 3 2 · 5 1 die GCD ist dann 2 min(4,2) · 3 min( 1,2) · 5 min(0,1) = 2 2 · 3 1 · 5 0 = 12, wie im Venn-Diagramm gezeigt. Der entsprechende LCM ist dann 2 max(4,2) · 3 max(1,2) · 5 max(0,1) = 2 4 · 3 2 · 5 1 = 720.

In der Praxis ist diese Methode nur für kleine Zahlen durchführbar, da die Berechnung der Primfaktorzerlegung zu lange dauert.

Euklids Algorithmus Bearbeiten

Die von Euklid eingeführte Methode zur Berechnung der größten gemeinsamen Teiler basiert auf der Tatsache, dass für zwei positive ganze Zahlen a und b mit ein > B , sind die gemeinsamen Teiler von a und b dieselben wie die gemeinsamen Teiler von einB und B .

Euklids Methode zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von zwei positiven ganzen Zahlen besteht also darin, die größere Zahl durch die Differenz der Zahlen zu ersetzen und dies zu wiederholen, bis die beiden Zahlen gleich sind: das ist ihr größter gemeinsamer Teiler.

Um beispielsweise gcd(48,18) zu berechnen, geht man wie folgt vor:

Diese Methode kann sehr langsam sein, wenn eine Zahl viel größer ist als die andere. Daher wird im Allgemeinen die folgende Variante bevorzugt.

Euklidischer Algorithmus Bearbeiten

Eine effizientere Methode ist die Euklidischer Algorithmus, eine Variante, bei der die Differenz der beiden Zahlen a und b durch die ersetzt wird Rest der euklidischen Teilung (auch Division mit Rest) von a durch b .

Bezeichne diesen Rest als ein mod B , ersetzt der Algorithmus (ein, B) von (B, ein mod B) so oft, bis das Paar (D, 0) , wobei d der größte gemeinsame Teiler ist.

Um beispielsweise gcd(48,18) zu berechnen, ist die Berechnung wie folgt:

Dies ergibt wiederum gcd(48, 18) = 6 .

Lehmers GCD-Algorithmus Bearbeiten

Lehmers Algorithmus basiert auf der Beobachtung, dass die Anfangsquotienten des Euklid-Algorithmus nur aus den ersten paar Ziffern bestimmt werden können. Dies ist nützlich für Zahlen, die größer als ein Computerwort sind. Im Wesentlichen extrahiert man Anfangsziffern, die typischerweise ein oder zwei Computerwörter bilden, und führt Euklids Algorithmen auf diese kleineren Zahlen aus, solange sichergestellt ist, dass die Quotienten mit denen übereinstimmen, die mit den ursprünglichen Zahlen erhalten würden. Diese Quotienten werden in einer kleinen 2-mal-2-Transformationsmatrix (das ist eine Matrix von Einzelwort-Ganzzahlen) gesammelt, um sie alle auf einmal zum Reduzieren der ursprünglichen Zahlen zu verwenden [ Klärung nötig ] . Dieser Vorgang wird wiederholt, bis die Zahlen klein genug sind, damit der binäre Algorithmus (siehe unten) effizienter ist.

Dieser Algorithmus verbessert die Geschwindigkeit, da er die Anzahl der Operationen bei sehr großen Zahlen reduziert und für die meisten Operationen Hardwarearithmetik verwenden kann. Tatsächlich sind die meisten Quotienten sehr klein, so dass eine beträchtliche Anzahl von Schritten des euklidischen Algorithmus in einer 2-mal-2-Matrix von Einzelwort-Ganzzahlen gesammelt werden kann. Wenn Lehmers Algorithmus auf einen zu großen Quotienten stößt, muss er auf eine Iteration des euklidischen Algorithmus mit einer euklidischen Division großer Zahlen zurückgreifen.

Binärer GCD-Algorithmus Bearbeiten

Der binäre GCD-Algorithmus verwendet nur Subtraktion und Division durch 2. Die Methode ist wie folgt: Sei ein und B seien die beiden nicht-negativen ganzen Zahlen. Lassen Sie die ganze Zahl D 0 sein. Es gibt fünf Möglichkeiten:

Als gcd(ein, ein) = ein, die gewünschte GCD ist ein × 2 D (wie ein und B in den anderen Fällen geändert werden, und D zeichnet auf, wie oft ein und B im nächsten Schritt beide durch 2 geteilt wurden, ist die GCD des Anfangspaares das Produkt von product ein und 2 D ).

Dann ist 2 ein gemeinsamer Teiler. Teile beides ein und B um 2, inkrement D durch 1, um die Anzahl der Male aufzuzeichnen, ist 2 ein gemeinsamer Teiler und fahren Sie fort.

Dann ist 2 kein gemeinsamer Teiler. Teilen ein um 2 und weiter.

Dann ist 2 kein gemeinsamer Teiler. Teilen B um 2 und weiter.

Als gcd(ein,B) = gcd(B,ein), Wenn ein < B dann tauschen ein und B. Die Nummer C = einB ist positiv und kleiner als ein. Jede Zahl, die teilt ein und B muss sich auch teilen C also jeder gemeinsame Teiler von ein und B ist auch ein gemeinsamer Teiler von B und C. Ähnlich, ein = B + C und jeder gemeinsame Teiler von B und C ist auch ein gemeinsamer Teiler von ein und B. Also die beiden Paare (ein, B) und (B, C) haben die gleichen gemeinsamen Teiler, und daher gcd(ein,B) = gcd(B,C). Außerdem, wie ein und B sind beide seltsam, C gerade ist, kann der Vorgang mit dem Paar fortgesetzt werden (ein, B) ersetzt durch die kleineren Zahlen (C/2, B) ohne die GCD zu ändern.

Jeder der obigen Schritte reduziert mindestens einen von ein und B während sie nicht negativ bleiben und daher nur endlich oft wiederholt werden können. So führt der Prozess schließlich zu ein = B, der Stoppfall. Dann ist die GCD ein × 2 D .

Beispiel: (ein, B, D) = (48, 18, 0) → (24, 9, 1) → (12, 9, 1) → (6, 9, 1) → (3, 9, 1) → (3, 3, 1) Original-GCD ist somit das Produkt 6 von 2 D = 2 1 und ein= B= 3.

Der binäre GCD-Algorithmus ist auf binären Computern besonders einfach zu implementieren. Seine Rechenkomplexität ist

Die Rechenkomplexität wird üblicherweise durch die Länge n der Eingabe angegeben. Hier ist diese Länge n = log ⁡ a + log ⁡ b , und die Komplexität ist somit

Andere Methoden Bearbeiten

Ob ein und B sind beide ungleich Null, der größte gemeinsame Teiler von ein und B kann unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) von berechnet werden ein und B:

aber häufiger wird der LCM aus dem GCD berechnet.

was verallgemeinert zu ein und B rationale Zahlen oder kommensurable reelle Zahlen.

Keith Slavin hat gezeigt, dass für ungerade ein ≥ 1:

das ist eine Funktion, die für komplex ausgewertet werden kann B. [18] Wolfgang Schramm hat gezeigt, dass

ist eine ganze Funktion in der Variablen B für alle positiven ganzen Zahlen ein wo CD(k) ist die Summe von Ramanujan. [19]

Komplexität Bearbeiten

Die rechnerische Komplexität der Berechnung der größten gemeinsamen Teiler wurde umfassend untersucht. [20] Verwendet man den euklidischen Algorithmus und die elementaren Algorithmen zur Multiplikation und Division, so ergibt sich die Berechnung des größten gemeinsamen Teilers zweier ganzer Zahlen von höchstens n Bits zu O ( n 2 ) . ).> Dies bedeutet, dass die Berechnung des größten gemeinsamen Teilers bis auf einen konstanten Faktor die gleiche Komplexität wie die Multiplikation hat.

Wenn jedoch ein schneller Multiplikationsalgorithmus verwendet wird, kann man den euklidischen Algorithmus modifizieren, um die Komplexität zu verbessern, aber die Berechnung eines größten gemeinsamen Teilers wird langsamer als die Multiplikation. Genauer gesagt, wenn die Multiplikation zweier ganzer Zahlen von n Bits eine Zeit von T(n) , dann hat der schnellste bekannte Algorithmus für den größten gemeinsamen Teiler eine Komplexität O ( T ( n ) log ⁡ n ) . Dies impliziert, dass der schnellste bekannte Algorithmus eine Komplexität von O ( n ( log ⁡ n ) 2 ) hat. ight).>

Bisherige Komplexitäten gelten für die üblichen Berechnungsmodelle, insbesondere Multitape-Turing-Maschinen und Random-Access-Maschinen.

Die Berechnung der größten gemeinsamen Teiler gehört somit zur Klasse der in quasilinearer Zeit lösbaren Probleme. Vom Stärkeren her, gehört das zugehörige Entscheidungsproblem zur Klasse P der in polynomieller Zeit lösbaren Probleme. Es ist nicht bekannt, dass das GCD-Problem in NC auftritt, und daher gibt es keine bekannte Möglichkeit, es effizient zu parallelisieren, noch ist es bekannt, dass es P-vollständig ist, was bedeuten würde, dass es unwahrscheinlich ist, dass die GCD-Berechnung effizient parallelisiert werden kann. Shallcrosset al. haben gezeigt, dass ein verwandtes Problem (EUGCD, Bestimmung der Restfolge, die während des euklidischen Algorithmus entsteht) NC-äquivalent zum Problem der ganzzahligen linearen Programmierung mit zwei Variablen ist, wenn eines der Probleme in . ist NC oder ist P-vollständig, das andere auch. [21] Da NC NL enthält, ist auch für nichtdeterministische Turingmaschinen unbekannt, ob ein platzsparender Algorithmus zur Berechnung der GCD existiert.

Obwohl das Problem nicht bekannt ist NC, parallele Algorithmen asymptotisch schneller als der euklidische Algorithmus existieren der schnellste bekannte deterministische Algorithmus ist von Chor und Goldreich, der (im CRCW-PRAM-Modell) das Problem lösen kann in Ö(n/Protokoll n) Zeit mit n 1+ε Prozessoren. [22] Randomisierte Algorithmen können das Problem lösen in solve Ö((Protokoll n) 2 ) Zeit auf exp ⁡ ( O ( n log ⁡ n ) ) > ight) ight)> Prozessoren [ Klärung nötig ] (dies ist Superpolynom). [23]

  • Jeder gemeinsame Teiler von ein und B ist ein Teiler von gcd(ein, B) .
  • gcd(ein, B) , wo ein und B nicht beide Null sind, kann alternativ und äquivalent als kleinste positive ganze Zahl definiert werden D was in der Form geschrieben werden kann D = einP + BQ , wo P und Q sind ganze Zahlen. Dieser Ausdruck wird Bézouts Identität genannt. Zahlen P und Q Dies kann mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus berechnet werden.
  • gcd(ein, 0) = | ein | , Pro ein ≠ 0 , da jede Zahl ein Teiler von 0 ist und der größte Teiler von ein ist | ein |. [3][6] Dies wird normalerweise als Basisfall im euklidischen Algorithmus verwendet.
  • Ob ein teilt das Produkt BC, und gcd(ein, B) = D , dann ein/D teilt C.
  • Ob m eine nicht negative ganze Zahl ist, dann gcd(mein, mB) = mgcd(ein, B) .
  • Ob m ist eine ganze Zahl, dann gcd(ein + mB, B) = gcd(ein, B) .
  • Ob m ist ein positiver gemeinsamer Teiler von ein und B, dann gcd(ein/m, B/m) = gcd(ein, B)/m .
  • Die GCD ist eine multiplikative Funktion im folgenden Sinne: if ein1 und ein2 relativ prim sind, dann gcd(ein1ein2, B) = gcd(ein1, B)⋅gcd(ein2, B) . Wenn wir uns insbesondere daran erinnern, dass GCD eine positive ganzzahlige Funktion ist, erhalten wir, dass gcd(ein, BC) = 1 genau dann, wenn gcd(ein, B) = 1 und gcd(ein, C) = 1 .
  • Die GCD ist eine kommutative Funktion: gcd(ein, B) = gcd(B, ein) .
  • Die GCD ist eine assoziative Funktion: gcd(ein, gcd(B, C)) = gcd(gcd(ein, B), C) . Also gcd(ein, B, C, . ) kann verwendet werden, um die GCD mehrerer Argumente anzugeben.
  • gcd(ein, B) ist eng verwandt mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen lcm(ein, B) : wir haben gcd(ein, B)⋅lcm(ein, B) = | einB | .
  • Die folgenden Versionen von Distributivität gelten: gcd(ein, lcm(B, C)) = lcm(gcd(ein, B), gcd(ein, C)) lcm(ein, gcd(B, C)) = gcd(lcm(ein, B), lcm(ein, C)) .
  • Wenn wir die eindeutigen Primfaktorzerlegungen von ein = P1e1P2e2 ⋅⋅⋅ Pmem und B = P1F1P2F2 ⋅⋅⋅ PmFm wo eich ≥ 0 und Fich ≥ 0 , dann die GCD von ein und B ist gcd(ein,B) = P1 Mindest(e1,F1) P2 Mindest(e2,F2) ⋅⋅⋅ Pm Mindest(em,Fm) .
  • Manchmal ist es sinnvoll, gcd(0, 0) = 0 und lcm(0, 0) = 0 zu definieren, weil dann die natürlichen Zahlen ein vollständiges Verteilungsgitter mit GCD als Meet und LCM als Join-Operation werden. [24] Diese Erweiterung der Definition ist auch mit der unten angegebenen Verallgemeinerung für kommutative Ringe kompatibel.
  • In einem kartesischen Koordinatensystem ist gcd(ein, B) kann als Anzahl der Segmente zwischen Punkten mit ganzzahligen Koordinaten auf dem geraden Liniensegment interpretiert werden, das die Punkte (0, 0) und (ein, B) .
  • Für nicht negative ganze Zahlen ein und B, wo ein und B nicht beide Null sind, beweisbar durch Betrachtung des euklidischen Algorithmus in base n: [25] gcd(nein − 1, nB − 1) = n gcd(ein,B) − 1 .
  • Eine Identität mit Eulers Totient-Funktion: gcd ( a , b ) = ∑ k | a und k | b (k). >k|b>varphi (k).>

1972 zeigte James E. Nymann, dass k ganze Zahlen, unabhängig und einheitlich ausgewählt aus <1, . n>, sind teilerfremd mit Wahrscheinlichkeit 1/ζ(k) wie n geht ins Unendliche, wo ζ bezieht sich auf die Riemannsche Zetafunktion. [26] (Siehe coprime für eine Ableitung.) Dieses Ergebnis wurde 1987 erweitert, um zu zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass k Zufallszahlen haben den größten gemeinsamen Teiler D ist D −k /ζ(k). [27]

Anhand dieser Informationen kann festgestellt werden, dass der Erwartungswert der größten gemeinsamen Teilerfunktion (informell) nicht existiert, wenn k = 2. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit, dass die GCD gleich D ist D −2 /ζ(2), und da ζ(2) = π 2 /6 gilt

Diese letzte Summation ist die harmonische Reihe, die divergiert. Wenn jedoch k ≥ 3, der Erwartungswert ist wohldefiniert, und nach obigem Argument ist er

Für k = 3, dies entspricht ungefähr 1,3684. Für k = 4, es ist ungefähr 1.1106.

Der Begriff des größten gemeinsamen Teilers kann allgemeiner für Elemente eines beliebigen kommutativen Rings definiert werden, obwohl es im Allgemeinen nicht für jedes Paar von Elementen einen geben muss.

Ist R ein kommutativer Ring und sind a und b in R , dann heißt ein Element d von R a gemeinsamer Teiler von a und b, wenn es sowohl a als auch b teilt (dh wenn es Elemente x und y in R gibt, so dass such D·x = ein und D·ja = B). Wenn d ein gemeinsamer Teiler von a und b ist und jeder gemeinsame Teiler von a und b Teiler von d ist, dann heißt d a größter gemeinsamer Teiler von a und B.

Mit dieser Definition können zwei Elemente a und b sehr wohl mehrere größte gemeinsame Teiler haben oder gar keinen. Wenn R ein ganzzahliger Bereich ist, dann müssen zwei beliebige GCDs von a und b assoziierte Elemente sein, da per Definition einer der beiden den anderen teilen muss, wenn ein GCD existiert, jeder seiner assoziierten Elemente ebenfalls ein GCD ist. Die Existenz einer GCD ist in beliebigen Integralbereichen nicht gewährleistet. Wenn R jedoch eine eindeutige Faktorisierungsdomäne ist, dann haben zwei beliebige Elemente eine GCD, und allgemeiner gilt dies für GCD-Domänen. Wenn R ein euklidisches Gebiet ist, in dem die euklidische Division algorithmisch gegeben ist (wie es beispielsweise der Fall ist, wenn R = F[x] wobei F ein Körper ist oder wenn R der Ring von Gaußschen ganzen Zahlen ist), dann können die größten gemeinsamen Teiler unter Verwendung einer Form des euklidischen Algorithmus basierend auf dem Divisionsverfahren berechnet werden.

Das Folgende ist ein Beispiel für einen ganzzahligen Bereich mit zwei Elementen, die keine GCD haben:

Die Elemente 2 und 1 + √ −3 sind zwei maximale gemeinsame Teiler (d. h. jeder gemeinsame Teiler, der ein Vielfaches von 2 ist, ist mit 2 verbunden, dasselbe gilt für 1 + √ −3 , aber sie sind nicht verbunden, also gibt es ist kein größter gemeinsamer Teiler von a und B.

Entsprechend der Bézout-Eigenschaft können wir in jedem kommutativen Ring die Sammlung von Elementen der Form pa + qb, wobei p und q über den Ring reichen. Dies ist das von a und b erzeugte Ideal und wird einfach (ein, B). In einem Ring, dessen Ideale alle Hauptideale sind (ein Hauptidealbereich oder PID), ist dieses Ideal identisch mit der Menge der Vielfachen eines Ringelements D dann ist dieses d ein größter gemeinsamer Teiler von a und B. Aber das Ideal (ein, B) kann auch dann nützlich sein, wenn es keinen größten gemeinsamen Teiler von a und . gibt B. (In der Tat hat Ernst Kummer dieses Ideal als Ersatz für eine GCD in seiner Behandlung von Fermats letztem Satz verwendet, obwohl er es sich als Menge von Vielfachen einiger hypothetischer oder Ideal, Ringelement d , daher der ringtheoretische Term.)


Inhalt

Im Allgemeinen entspricht eine Schätzung einem beliebigen Intervall, von dem bekannt ist, dass es die Wurzel enthält (z. B. [x0, S/x0]). Der Schätzwert ist ein spezifischer Wert einer funktionalen Näherung an f(x) = √ x über das Intervall. Um eine bessere Schätzung zu erhalten, müssen entweder engere Grenzen für das Intervall erhalten oder eine bessere funktionale Annäherung an f(x) gefunden werden. Letzteres bedeutet normalerweise die Verwendung eines Polynoms höherer Ordnung in der Näherung, obwohl nicht alle Näherungen polynomiell sind. Übliche Schätzungsmethoden umfassen skalar, linear, hyperbolisch und logarithmisch. Eine Dezimalbasis wird normalerweise für die mentale oder Papier-und-Bleistift-Schätzung verwendet. Für Computerschätzungen ist eine binäre Basis besser geeignet. Bei der Schätzung werden Exponent und Mantisse normalerweise getrennt behandelt, da die Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise ausgedrückt würde.

Dezimalschätzungen Bearbeiten

Skalare Schätzungen Bearbeiten

Für zwei geometrisch geteilte Intervalle gilt die Quadratwurzel S = a × 10 n >= imes 10^> kann geschätzt werden als [Anmerkung 2]

Lineare Schätzungen Bearbeiten

Eine Regressionsgerade der kleinsten Quadrate minimiert die durchschnittliche Differenz zwischen der Schätzung und dem Wert der Funktion. Seine Gleichung lautet y = 8,7 x − 10 . Neuordnung, x = 0,115 y + 1,15 . Runden der Koeffizienten zur Vereinfachung der Berechnung,

Das ist die beste Schätzung im Durchschnitt die mit einer einteiligen linearen Approximation der Funktion y=x 2 im Intervall [1,100] erreicht werden kann. Es hat einen maximalen absoluten Fehler von 1,2 bei a=100 und einen maximalen relativen Fehler von 30% bei S=1 und 10. [Anmerkung 3]

Eine viel bessere Schätzung kann durch eine stückweise lineare Approximation erhalten werden: mehrere Liniensegmente, von denen jedes einen Teilbogen des Originals approximiert. Je mehr Liniensegmente verwendet werden, desto besser ist die Annäherung. Die gebräuchlichste Methode ist die Verwendung von Tangentiallinien. Die wichtigsten Entscheidungen sind, wie der Bogen geteilt wird und wo die Tangentialpunkte platziert werden. Eine effiziente Möglichkeit, den Bogen von y=1 bis y=100 zu teilen, ist geometrisch: Für zwei Intervalle sind die Grenzen der Intervalle die Quadratwurzel der Grenzen des ursprünglichen Intervalls, 1*100, dh [1, 2 √ 100 ] und [ 2 √ 100 ,100]. Für drei Intervalle sind die Grenzen die Kubikwurzeln von 100: [1, 3 100 ], [ 3 √ 100 ,( 3 √ 100 ) 2 ] und [( 3 √ 100 ) 2 ,100] usw. Für zwei Intervalle, 2 √ 100 = 10, eine sehr bequeme Zahl. Tangentenlinien sind leicht herzuleiten und liegen bei x = √ 1* √ 10 und x = √ 10* √ 10 . Ihre Gleichungen sind: y = 3,56x - 3,16 und y = 11,2x - 31,6. Invertierend sind die Quadratwurzeln: x = 0,28y + 0,89 und x = 0,089y + 2,8. Also für S = a * 10 2n :

Die maximalen absoluten Fehler treten an den Höhepunkten der Intervalle bei a=10 und 100 auf und betragen 0,54 bzw. 1,7. Die maximalen relativen Fehler liegen an den Endpunkten der Intervalle bei a=1, 10 und 100 und betragen in beiden Fällen 17%. 17% oder 0,17 ist größer als 1/10, sodass die Methode weniger als eine Dezimalstelle Genauigkeit liefert.

Hyperbolische Schätzungen Bearbeiten

In einigen Fällen können hyperbolische Schätzungen wirksam sein, da eine Hyperbel auch eine konvexe Kurve ist und besser als eine Linie entlang eines Bogens von Y = x 2 liegen kann. Hyperbolische Schätzungen sind rechnerisch komplexer, da sie notwendigerweise eine schwebende Division erfordern. Eine nahezu optimale hyperbolische Annäherung an x ​​2 im Intervall [1.100] ist y=190/(10-x)-20. Beim Transponieren ist die Quadratwurzel x = -190/(y+20)+10. Somit gilt für S = a ⋅ 10 2 n > :

Die Gleitteilung muss nur auf eine Dezimalstelle genau sein, da die Schätzung insgesamt nur so genau ist und gedanklich erfolgen kann. Eine hyperbolische Schätzung ist im Durchschnitt besser als skalare oder lineare Schätzungen. Es hat einen maximalen absoluten Fehler von 1,58 bei 100 und einen maximalen relativen Fehler von 16,0% bei 10. Für den schlimmsten Fall bei a=10 beträgt die Schätzung 3,67. Wenn man mit 10 beginnt und sofort Newton-Raphson-Iterationen anwendet, sind zwei Iterationen erforderlich, die 3,66 ergeben, bevor die Genauigkeit der hyperbolischen Schätzung überschritten wird. Für einen typischeren Fall wie 75 beträgt die hyperbolische Schätzung 8,00, und es wären 5 Newton-Raphson-Iterationen, beginnend bei 75, erforderlich, um ein genaueres Ergebnis zu erhalten.

Arithmetische Schätzungen Bearbeiten

A method analogous to piece-wise linear approximation but using only arithmetic instead of algebraic equations, uses the multiplication tables in reverse: the square root of a number between 1 and 100 is between 1 and 10, so if we know 25 is a perfect square (5 × 5), and 36 is a perfect square (6 × 6), then the square root of a number greater than or equal to 25 but less than 36, begins with a 5. Similarly for numbers between other squares. This method will yield a correct first digit, but it is not accurate to one digit: the first digit of the square root of 35 for example, is 5, but the square root of 35 is almost 6.

A better way is to the divide the range into intervals half way between the squares. So any number between 25 and half way to 36, which is 30.5, estimate 5 any number greater than 30.5 up to 36, estimate 6. [Note 4] The procedure only requires a little arithmetic to find a boundary number in the middle of two products from the multiplication table. Here is a reference table of those boundaries:

The final operation is to multiply the estimate k by the power of ten divided by 2, so for S = a ⋅ 10 2 n > ,

The method implicitly yields one significant digit of accuracy, since it rounds to the best first digit.

The final operation, as above, is to multiply the result by the power of ten divided by 2

k is a decimal digit and R is a fraction that must be converted to decimal. It usually has only a single digit in the numerator, and one or two digits in the denominator, so the conversion to decimal can be done mentally.

Example: find the square root of 75. 75 = 75 × 10 2 · 0 , so a is 75 and n is 0. From the multiplication tables, the square root of the mantissa must be 8 point etwas because 8 × 8 is 64, but 9 × 9 is 81, too big, so k is 8 etwas is the decimal representation of R . The fraction R is 75 - k 2 = 11, the numerator, and 81 - k 2 = 17, the denominator. 11/17 is a little less than 12/18, which is 2/3s or .67, so guess .66 (it's ok to guess here, the error is very small). So the estimate is 8 + .66 = 8.66 . √ 75 to three significant digits is 8.66, so the estimate is good to 3 significant digits. Not all such estimates using this method will be so accurate, but they will be close.

Binary estimates Edit

which has maximum absolute error of 0.086 at 2 and maximum relative error of 6.1% at a =0.5 and a =2.0.


10: Fractions

USE THIS HANDY TABLE FOR YOUR ANTENNA
MEASUREMENTS AND CONVERSIONS.
It also has many other uses!
Convert fractions to decimals and millimeters and reverse.
(1 INCH = 25.4 MM EXACTLY)
Read from left to right - pick your fraction, decimal, or mm measurement.
Example = convert 1/64" to mm . Find 1/64 and read to the right under mm !
You will see 0.3969 under the mm column.
Another example = convert 0.125 decimal to inches . Look down the decimal column
until you find 0.125 , then follow that line to the left to find 1/8 inches
or look in the right column for mm!

fraction Dezimal mm fraction Dezimal mm fraction Dezimal mm
1/64 0.0156 0.3969 1 1/64 1.0156 25.7969 2 1/64 2.0156 51.1969
1/32 0.0313 0.7938 1 1/32 1.0313 26.1938 2 1/32 2.0313 51.5938
3/64 0.0469 1.1906 1 3/64 1.0469 26.5906 2 3/64 2.0469 51.9906
1/16 0.0625 1.5875 1 1/16 1.0625 26.9875 2 1/16 2.0625 52.3875
5/64 0.0781 1.9844 1 5/64 1.0781 27.3844 2 5/64 2.0781 52.7844
3/32 0.0938 2.3813 1 3/32 1.0938 27.7813 2 3/32 2.0938 53.1813
7/64 0.1094 2.7781 1 7/64 1.1094 28.1781 2 7/64 2.1094 53.5781
1/8 0.1250 3.1750 1 1/8 1.1250 28.5750 2 1/8 2.1250 53.9750
9/64 0.1406 3.5719 1 9/64 1.1406 28.9719 2 9/64 2.1406 54.3719
5/32 0.1563 3.9688 1 5/32 1.1563 29.3688 2 5/32 2.1563 54.7688
11/64 0.1719 4.3656 1 11/64 1.1719 29.7656 2 11/64 2.1719 55.1656
3/16 0.1875 4.7625 1 3/16 1.1875 30.1625 2 3/16 2.1875 55.5625
13/64 0.2031 5.1594 1 13/64 1.2031 30.5594 2 13/64 2.2031 55.9594
7/32 0.2188 5.5563 1 7/32 1.2188 30.9563 2 7/32 2.2188 56.3563
15/64 0.2344 5.9531 1 15/64 1.2344 31.3531 2 15/64 2.2344 56.7531
1/4 0.2500 6.3500 1 1/4 1.2500 31.7500 2 1/4 2.2500 57.1500
17/64 0.2656 6.7469 1 17/64 1.2656 32.1469 2 17/64 2.2656 57.5469
9/32 0.2813 7.1438 1 9/32 1.2813 32.5438 2 9/32 2.2813 57.9438
19/64 0.2969 7.5406 1 19/64 1.2969 32.9406 2 19/64 2.2969 58.3406
5/16 0.3125 7.9375 1 5/16 1.3125 33.3375 2 5/16 2.3125 58.7375
21/64 0.3281 8.3344 1 21/64 1.3281 33.7344 2 21/64 2.3281 59.1344
11/32 0.3438 8.7313 1 11/32 1.3438 34.1313 2 11/32 2.3438 59.5313
23/64 0.3594 9.1281 1 23/64 1.3594 34.5281 2 23/64 2.3594 59.9281
3/8 0.3750 9.5250 1 3/8 1.3750 34.9250 2 3/8 2.3750 60.3250
25/64 0.3906 9.9219 1 25/64 1.3906 35.3219 2 25/64 2.3906 60.7219
13/32 0.4063 10.3188 1 13/32 1.4063 35.7188 2 13/32 2.4063 61.1188
27/64 0.4219 10.7156 1 27/64 1.4219 36.1156 2 27/64 2.4219 61.5156
7/16 0.4375 11.1125 1 7/16 1.4375 36.5125 2 7/16 2.4375 61.9125
29/64 0.4531 11.5094 1 29/64 1.4531 36.9094 2 29/64 2.4531 62.3094
15/32 0.4688 11.9063 1 15/32 1.4688 37.3063 2 15/32 2.4688 62.7063
31/64 0.4844 12.3031 1 31/64 1.4844 37.7031 2 31/64 2.4844 63.1031
1/2 0.5000 12.7000 1 1/2 1.5000 38.1000 2 1/2 2.5000 63.5000
33/64 0.5156 13.0969 1 33/64 1.5156 38.4969 2 33/64 2.5156 63.8969
17/32 0.5313 13.4938 1 17/32 1.5313 38.8938 2 17/32 2.5313 64.2938
35/64 0.5469 13.8906 1 35/64 1.5469 39.2906 2 35/64 2.5469 64.6906
9/16 0.5625 14.2875 1 9/16 1.5625 39.6875 2 9/16 2.5625 65.0875
37/64 0.5781 14.6844 1 37/64 1.5781 40.0844 2 37/64 2.5781 65.4844
19/32 0.5938 15.0813 1 19/32 1.5938 40.4813 2 19/32 2.5938 65.8813
39/64 0.6094 15.4781 1 39/64 1.6094 40.8781 2 39/64 2.6094 66.2781
5/8 0.6250 15.8750 1 5/8 1.6250 41.2750 2 5/8 2.6250 66.6750
41/64 0.6406 16.2719 1 41/64 1.6406 41.6719 2 41/64 2.6406 67.0719
21/32 0.6563 16.6688 1 21/32 1.6563 42.0688 2 21/32 2.6563 67.4688
43/64 0.6719 17.0656 1 43/64 1.6719 42.4656 2 43/64 2.6719 67.8656
11/16 0.6875 17.4625 1 11/16 1.6875 42.8625 2 11/16 2.6875 68.2625
45/64 0.7031 17.8594 1 45/64 1.7031 43.2594 2 45/64 2.7031 68.6594
23/32 0.7188 18.2563 1 23/32 1.7188 43.6563 2 23/32 2.7188 69.0563
47/64 0.7344 18.6531 1 47/64 1.7344 44.0531 2 47/64 2.7344 69.4531
3/4 0.7500 19.0500 1 3/4 1.7500 44.4500 2 3/4 2.7500 69.8500
49/64 0.7656 19.4469 1 49/64 1.7656 44.8469 2 49/64 2.7656 70.2469
25/32 0.7813 19.8438 1 25/32 1.7813 45.2438 2 25/32 2.7813 70.6438
51/64 0.7969 20.2406 1 51/64 1.7969 45.6406 2 51/64 2.7969 71.0406
13/16 0.8125 20.6375 1 13/16 1.8125 46.0375 2 13/16 2.8125 71.4375
53/64 0.8281 21.0344 1 53/64 1.8281 46.4344 2 53/64 2.8281 71.8344
27/32 0.8438 21.4313 1 27/32 1.8438 46.8313 2 27/32 2.8438 72.2313
55/64 0.8594 21.8281 1 55/64 1.8594 47.2281 2 55/64 2.8594 72.6281
7/8 0.8750 22.2250 1 7/8 1.8750 47.6250 2 7/8 2.8750 73.0250
57/64 0.8906 22.6219 1 57/64 1.8906 48.0219 2 57/64 2.8906 73.4219
29/32 0.9063 23.0188 1 29/32 1.9063 48.4188 2 29/32 2.9063 73.8188
59/64 0.9219 23.4156 1 59/64 1.9219 48.8156 2 59/64 2.9219 74.2156
15/16 0.9375 23.8125 1 15/16 1.9375 49.2125 2 15/16 2.9375 74.6125
61/64 0.9531 24.2094 1 61/64 1.9531 49.6094 2 61/64 2.9531 75.0094
31/32 0.9688 24.6063 1 31/32 1.9688 50.0063 2 31/32 2.9688 75.4063
63/64 0.9844 25.0031 1 63/64 1.9844 50.4031 2 63/64 2.9844 75.8031
1" 1.0000 25.4000 2" 2.0000 50.8000 3" 3.0000 76.2000


MORE USEFUL CONVERSIONS
To convert decimal fractions of an inch to fractions of an inch.

Take the decimal fraction of feet and divide by 0.08333 (1/12th) and this will give you inches and decimals of an inch.
For example - 6.37 feet. Take the 0.37 feet and divide by 0.0833 = 4.44 inches .
So for 6.37 ft. we can also say 6 ft. - 4.44 in.
Now take the 0.44 in. and round it down to 0.4 which is 4/10"
We can now say 6.37' approximatly equals 6' - 4 4/10"

For fractions of an inch other than tenth's, take the decimal remainder of inches and divide by:
0.125 for the number of eighth's
0.0625 for the number of sixteenth's
0.03125 for the number of thirty-second's
0.015625 for the number of sixty-fourth's, and so on.

For example - 4.382 inches. For eighth's, divide the remainder, 0.382 by 0.125 and the answer is 3.056 so the fraction is a bit over 3 eighth's, therefore the answer ends up as approx. 4 3/8"


Fractions

We can describe numbers smaller than one by using decimals or fractions. Today, most systems use decimals, but it is still useful to know how to read and say simple fractions in English.

Look at these examples of fractions:

We write: We say:
½ a half OR one half
¼ a quarter OR one quarter
¾ three quarters
a third OR one third
two thirds
a fifth OR one fifth
three fifths
an eighth OR one eighth
five eighths
eineinhalb
five and three quarters

Although the system of fractions is not used much these days, we commonly use a few simple fractions in everyday speech, for example: