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1.1: Warum es wichtig ist - Rückblick - Mathematik


Warum Themen aus früheren Mathematikkursen wiederholen?

Wieder Reste?

Du warst den ganzen Tag im Unterricht, rennst herum, holst deine Kinder von der Kita ab und kommst nach einem langen, brutalen Pendeln nach Hause und merkst, dass du nicht darüber nachgedacht hast, was du zum Abendessen reparieren sollst. Sie gehen zum Kühlschrank und alles, was Sie sehen, sind Reste, ein Durcheinander von unzusammenhängenden Teilen vergangener Mahlzeiten. Trotz deiner Müdigkeit schaffst du es, dir eine Mahlzeit zusammenzuschustern, die jeder gerne isst, und deinen Abend in Gang zu bringen.

In diesem Abschnitt haben Sie vielleicht das Gefühl, dass die Themen ein zusammengeschustertes Essen aus Resten sind. Das Ziel ist es, Sie an einige der Fähigkeiten und Themen aus früheren Mathematikkursen zu erinnern, die wie die Restekiste hinten in Ihrem Kühlschrank von den meisten Menschen leicht vergessen werden. Denn manchmal vergessen wir einfach, wie diese Konzepte funktionieren. bis wir sie wieder brauchen.

Lernerfolge

  • Arithmetik mit Brüchen
    • Brüche addieren und subtrahieren
    • Brüche multiplizieren
    • Brüche dividieren
  • Arithmetik der reellen Zahlen
    • Addiere und subtrahiere reelle Zahlen
    • Multiplizieren und dividieren Sie reelle Zahlen
    • Vereinfachen Sie den Ausdruck mit reellen Zahlen
    • Vereinfachen Sie zusammengesetzte Ausdrücke mit reellen Zahlen
  • Prozent
    • Erklären Sie die Grundlagen von Prozenten
    • Gleichungen mit Prozenten lösen
    • Lösen Sie prozentuale Änderungs- und Zinsprobleme

Wenn Sie die restlichen Abschnitte dieses Kurses durcharbeiten, kehren Sie bitte zu dieser Überprüfung zurück, wenn Sie das Gefühl haben, eine Erinnerung an die behandelten Themen zu benötigen. Diese Themen wurden gewählt, weil sie oft vergessen werden und im Verlauf des Kurses häufig verwendet werden. Keine Sorge, genau wie Ketchup haben diese Konzepte eine lange Haltbarkeit.


1.1 Was ist Ökonomie und warum ist sie wichtig?

Wirtschaft ist die Studie darüber, wie Menschen angesichts von Knappheit Entscheidungen treffen. Dies können individuelle Entscheidungen, Familienentscheidungen, geschäftliche Entscheidungen oder gesellschaftliche Entscheidungen sein. Wenn Sie sich genau umsehen, werden Sie feststellen, dass Knappheit eine Tatsache des Lebens ist. Knappheit bedeutet, dass der menschliche Bedarf an Gütern, Dienstleistungen und Ressourcen das verfügbare übersteigt. Ressourcen wie Arbeitskräfte, Werkzeuge, Land und Rohstoffe sind notwendig, um die von uns gewünschten Waren und Dienstleistungen zu produzieren, aber sie sind nur begrenzt verfügbar. Natürlich ist die ultimativ knappe Ressource Zeit – jeder, ob reich oder arm, hat nur 24 Stunden am Tag, um zu versuchen, die gewünschten Güter zu erwerben. Zu jedem Zeitpunkt steht nur eine begrenzte Menge an Ressourcen zur Verfügung.

Stellen Sie sich das so vor: Im Jahr 2015 umfasste die Erwerbsbevölkerung in den Vereinigten Staaten nach Angaben des U.S. Bureau of Labor Statistics über 158,6 Millionen Arbeitnehmer. In ähnlicher Weise beträgt die Gesamtfläche der Vereinigten Staaten 3.794.101 Quadratmeilen. Dies sind große Zahlen für solch wichtige Ressourcen, aber sie sind begrenzt. Da diese Ressourcen begrenzt sind, ist auch die Anzahl der Güter und Dienstleistungen, die wir damit herstellen, begrenzt. Kombinieren Sie dies mit der Tatsache, dass die Bedürfnisse der Menschen praktisch unendlich zu sein scheinen, und Sie können sehen, warum Knappheit ein Problem ist.

Abbildung 1. Ressourcenknappheit. Obdachlose sind eine starke Erinnerung daran, dass Ressourcenknappheit real ist. (Bildnachweis: „daveynin“/Flickr Creative Commons)

Wenn Sie immer noch nicht glauben, dass Knappheit ein Problem ist, denken Sie an Folgendes: Braucht jeder etwas zu essen? Braucht jeder einen anständigen Ort zum Leben? Hat jeder Zugang zur Gesundheitsversorgung? In jedem Land der Welt gibt es Menschen, die hungern, obdachlos sind (z. B. diejenigen, die Parkbänke ihr Bett nennen, wie in Abbildung 1 gezeigt) und medizinische Versorgung benötigen, nur um sich auf einige wichtige Güter und Dienstleistungen zu konzentrieren . Warum ist dies der Fall? Es liegt an der Knappheit. Lassen Sie uns etwas tiefer in das Konzept der Knappheit eintauchen, denn es ist entscheidend für das Verständnis der Ökonomie.


Spieltheorie durch Beispiele

Der Ausschuss für die Liste der Grundbibliotheken schlägt vor, dass Mathematikbibliotheken dieses Buch für den Erwerb in Betracht ziehen.

Erich Prisner's Spieltheorie durch Beispiele ist ein beispielhafter Beitrag zur MAA-Reihe von Klassenzimmer-Ressourcenmaterialien. Die Themen umfassen simultane Spiele und sequentielle Spiele, sowohl Nullsummen- als auch Nicht-Nullsummenspiele, und zwar mit perfekter Information und Zufälligkeit. Gemischte Strategien für Spiele werden relativ spät in Kapitel 27 besprochen, aber es folgen neun Beispielkapitel, so dass dieses Thema auch zur Erkundung zur Verfügung steht. Prisner bietet eine Fülle von Beispielspielen, die Schüler einzeln oder in Gruppen erkunden können, mit Fragen, die einige Minuten dauern können, um Projekte zu beantworten, die mehrere Wochen dauern können. Das elektronische Format des Textes ermöglicht einen einfachen und zeitnahen Zugriff auf eine Reihe von Java-Applets, die es den Lesern ermöglichen, die besprochenen Spiele zu erleben, und auf eine Reihe von Excel-Tabellen, die die zur Analyse der Spiele erforderlichen Berechnungen durchführen, sodass die Schüler nicht in den mechanischen Aspekten des Themas festgefahren. Typischerweise können die Applets und Tabellenkalkulationen von den Studierenden so modifiziert werden, dass sie Fragen zu Varianten stellen und diese selbstständig erkunden können.

Wie Prisner in einem hilfreichen Vorwort erwähnt, hat er weit mehr Material aufgenommen, als in einem einsemestrigen Kurs behandelt werden könnte, er bietet einen hilfreichen Leitfaden für den Text, der die Beziehungen zwischen den acht Theoriekapiteln aufzeigt (die jeweils auch Beispielspiele enthalten) , ein Kapitel, das den Schülern eine kurze Beschreibung von Excel gibt, fünf Geschichtskapitel, die den Schülern ein Gefühl für die Entwicklung und Relevanz der Ideen geben, und 24 (!) Kapitel, die konkrete Beispiele diskutieren.

Prisner schlägt eine Reihe möglicher Zielgruppen für das Buch vor, darunter Studenten der Wirtschaftswissenschaften, Politikwissenschaften, Informatik und Mathematik. Ich glaube, dass die Erklärungen klar genug sind, wenn auch knapp, und die Beispiele reich genug, damit all diese Gruppen das Buch genießen können . Er schlägt vor, dass sein Buch ein guter Sekundärtext wäre. Ich stimme dem zu, denn wenn ich daraus lehre oder es für ein unabhängiges Studium verwende, würde ich gerne einen Primärtext mit mehr Entwicklung der Theorie haben und Prisners haben Buch zur Hand für konkrete Beispiele.

Aber die Hauptzielgruppe des Textes, die Prisner im Sinn hatte, ist ein allgemeinbildender Mathematikkurs. Die Berechnungen in dem Buch werden auf Vorkalkül-Niveau durchgeführt, vielleicht sogar auf einem Niveau der High-School-Algebra, während das Niveau der Ideen und Abstraktionen für ein Publikum auf College-Niveau angemessen ist. Es würde nicht zu den besonderen Vorgaben eines allgemeinbildenden Mathematikkurses an meiner Hochschule passen, aber ich kann mir durchaus vorstellen, diesen Text als Grundlage für ein Ehrenseminar mit Studierenden unterschiedlicher Fachrichtungen zu verwenden. Und die konkreten Beispiele würden mir auch bei der Vielfalt der Lehrveranstaltungen helfen, in denen ich einige spieltheoretische Themen bespreche (Kombinatorik, Lineare Programmierung, Geschichte der Mathematik, Aufbaustudiengänge für Mittel- und Sekundarschullehrer). Meine Schüler werden besonders Spaß an sequentiellen Spielen haben, die an TV-Quizshows erinnern, Deal oder kein Deal, "Warten auf Mr. Perfect", Geld für Wahlwerbung ausgeben (besonders hier in Iowa!) und die einfacheren Pokervarianten.

Es gibt eine kleine Anzahl von Fehlern im Text, von denen nur wenige den Schülern Schwierigkeiten bereiten werden. Ausnahmen könnten auf Seite 201 sein, wo Schere statt Papier als häufigste Strategie genannt wird, und auf Seite 206, wo die in Abbildung 27.1 gezeichneten Linien als von ((0,A_<2,i> )) nach ((1, A_<1,i>)) statt von ((0, A_<1,i>)) nach ((1, A_<2,i>)) .

Während des gesamten Buches bin ich beeindruckt von Prisners Leidenschaft für die vorgestellten Themen. Er liefert auch nachdenkliche und intelligente Kommentare zum Wert der Berücksichtigung des psychologischen und sozialen Nutzens bei der Auszahlung (und nicht nur des Geldes), der Gewissheit, dass nicht alle Menschen in jeder Situation rational handeln, und der Moral der Verwendung von Spieltheorie in Kriegssituationen und Duelle. Es ist klar, dass er dieses Material unterrichtet und seinen Schülern zugehört hat.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass dieses Buch eine wertvolle Quelle von Beispielen für jeden Lehrer wäre, der Themen aus der Spieltheorie unterrichtet. Es wäre auch ein guter Text für einen allgemeinbildenden Studiengang, der die Studierenden in Sondierungsprojekte zu diesem Aspekt der angewandten Mathematik einbeziehen möchte.

Joel Haack ist Professor für Mathematik an der University of Northern Iowa.


Unit-Test vs. Integrationstest

Ein weiterer wichtiger Aspekt ist der Unterschied zwischen Unit-Tests und Integrationstests.

Der Zweck eines Unit-Tests in der Softwareentwicklung besteht darin, das Verhalten einer relativ kleinen Software unabhängig von anderen Teilen zu überprüfen. Unit-Tests haben einen engen Umfang und ermöglichen es uns, alle Fälle abzudecken und sicherzustellen, dass jedes einzelne Teil korrekt funktioniert.

Andererseits zeigen Integrationstests, dass verschiedene Teile eines Systems in der realen Umgebung zusammenarbeiten. Sie validieren komplexe Szenarien (wir können uns Integrationstests als einen Benutzer vorstellen, der eine übergeordnete Operation in unserem System durchführt) und erfordern normalerweise die Anwesenheit externer Ressourcen wie Datenbanken oder Webserver.

Kehren wir zu unserer Metapher des verrückten Wissenschaftlers zurück und nehmen an, dass er alle Teile der Chimäre erfolgreich kombiniert hat. Er möchte einen Integrationstest der resultierenden Kreatur durchführen, um sicherzustellen, dass sie beispielsweise auf verschiedenen Geländearten laufen kann. Zuallererst muss der Wissenschaftler eine Umgebung emulieren, auf der die Kreatur laufen kann. Dann wirft er die Kreatur in diese Umgebung und stößt sie mit einem Stock an, um zu beobachten, ob sie wie vorgesehen geht und sich bewegt. Nachdem er einen Test beendet hat, räumt der verrückte Wissenschaftler all den Schmutz, Sand und Steine ​​auf, die jetzt in seinem schönen Labor verstreut sind.

Beachten Sie den signifikanten Unterschied zwischen Unit- und Integrationstests: Ein Unit-Test überprüft das Verhalten eines kleinen Teils der Anwendung, isoliert von der Umgebung und anderen Teilen, und ist recht einfach zu implementieren, während ein Integrationstest Interaktionen zwischen verschiedenen Komponenten in der realitätsnahen Umgebung abdeckt und erfordert mehr Aufwand, einschließlich zusätzlicher Auf- und Abbauphasen.

Eine sinnvolle Kombination von Unit- und Integrationstests stellt sicher, dass jede einzelne Unit unabhängig von anderen korrekt funktioniert und dass alle diese Units bei der Integration gut funktionieren, was uns ein hohes Maß an Vertrauen gibt, dass das gesamte System wie erwartet funktioniert.

Wir müssen jedoch immer daran denken, welche Art von Test wir implementieren: einen Unit- oder einen Integrationstest. Der Unterschied kann manchmal täuschen. Wenn wir denken, dass wir einen Komponententest schreiben, um einen subtilen Grenzfall in einer Geschäftslogikklasse zu überprüfen, und feststellen, dass externe Ressourcen wie Webdienste oder Datenbanken vorhanden sein müssen, stimmt etwas nicht – im Wesentlichen verwenden wir einen Vorschlaghammer, um eine Nuss knacken. Und das bedeutet schlechtes Design.


Sonderangebote und Produktaktionen

Überprüfung

"Vor fast 100 Jahren hatten der Weise Tagore und der Wissenschaftler Einstein eine kurze Begegnung, um über die Natur der Realität zu diskutieren. Ihren faszinierenden Diskurs darüber, wie Wissenschaft und Spiritualität sich gegenseitig informieren, noch einmal zu überdenken, ist längst überfällig und dieses neue Buch schafft es endlich! Auch wenn Sie - wie ich, bevorzuge Einsteins Welt, dieses Buch wird Sie dazu bringen, Tagores wunderschönes menschliches Universum zu bestaunen, wie es von den Autoren meisterhaft entdeckt wurde." &ndashDimitar Sasselov, Professor für Astronomie, Harvard University, Autor von Das Leben der Supererden: Wie die Jagd nach fremden Welten und künstlichen Zellen das Leben auf unserem Planeten revolutionieren wird

„Dies ist nicht nur ein weiteres populärwissenschaftliches Buch, das fragt Wer bin ich? und Warum bin ich hier?. Dieses wichtige neue Buch befasst sich mit den wichtigsten wissenschaftlichen Fragen unserer heutigen Existenz. Am Ende können wir nicht anders, als davon überzeugt zu sein, dass wir in einem partizipativen Universum leben, das wir gemäß dem Nervensystem, das wir als Spezies genießen, definieren und synthetisieren. Das Ergebnis ist ein fesselndes und absolut faszinierendes literarisches Abenteuer, das Sie umhauen wird!" &ndashDr. Rudolph E. Tanzi, Joseph. P. und Rose F. Kennedy Professor für Neurologie Stellvertretende Vorsitzende der Harvard Medical School, Direktor für Neurologie, Forschungseinheit für Genetik und Alterung Massachusetts General Hospital

"Eine inspirierende&einsichtige&eindeutige Arbeit, die die Sterilität und Unzulänglichkeit des materialistischen Paradigmas aufzeigt, das die moderne Wissenschaft unnötig durchdringt." &mdashRuth E. Kastner, Ph.D., Autorin von Unsere unsichtbare Realität verstehen: Quantenrätsel lösen  
 
"In Du bist das Universum, Deepak Chopra macht da weiter, wo er in   . aufgehört hatKrieg der Weltanschauungen, nur dieses Mal, anstatt mit einem Wissenschaftler (mir) zu kämpfen, verbündet er sich mit einem. In Zusammenarbeit mit dem Quantenphysik-Experten Menas Kafatos nimmt uns Chopra mit auf eine Tour durch das Universum und den Platz der Menschheit darin, erforscht sowohl Wissenschaft als auch Spiritualität und wie sie sich gegenseitig informieren können. Obwohl es eine Weltanschauung ist, die ich nicht abonniere, war es eine angenehme Fahrt." &mdashLeonard Mlodinow, PhD, Autor von The Drunkard’s Walk: Wie der Zufall dein Leben regiert, und Das große Design  (mit Stephen Hawking)
 
"Da die Hirnforschung und die westliche Philosophie immer noch durch das Bewusstsein verwirrt sind, weist dieses Buch auf eine Lösung hin, eine tiefe Verbindung zwischen unserem Geist und dem grundlegenden Aufbau des Universums." &mdashStuart Hameroff, MD Direktor und Mitbegründer, Center for Consciousness Studies Professor Emeritus, Department of Anesthesiology Professor Emeritus, Department of Psychology University of Arizona

&bdquoIch werde oft gefragt, ob Deepak Chopra wirklich den vielen kontroversen und provokativen Ideen glaubt, die er in seinen vielen Schriften vertritt. Nachdem ich ihn nun kennengelernt habe, kann ich dies eindeutig bejahen, und es gibt keine bessere Verkörperung seiner wissenschaftlichen Weltsicht als You Are the Universe, das er gemeinsam mit dem hoch angesehenen Physiker Menas Kafatos, meinem Kollegen an der Chapman University, verfasst hat . Wenn Sie die Weltsicht verstehen möchten, in der das menschliche Bewusstsein im Vordergrund steht, und wie diese Perspektive durch die Wissenschaft verteidigt werden kann, ist dieses Buch das richtige Buch. Auf meiner eigenen Reise, Deepak und seine Weltanschauung besser zu verstehen, war dieses Buch der aufschlussreichste Weg, den ich eingeschlagen habe.&rdquo &mdashMichael Shermer, PhD, Herausgeber Skeptiker Magazin, monatlicher Kolumnist Wissenschaftlicher Amerikaner, Presidential Fellow Chapman University, Autor von Der moralische Bogen, Ter gläubiges Gehirn, und Warum Menschen seltsame Dinge glauben

„Bereit für eine umfassendere Vision von dir selbst?  Sehen Sie es! Das Paradigma der Wissenschaft ändert sich vom Primat der Materie zum Primat des Bewusstseins, was die Autoren den Primat der Qualia nennen – der gefühlten Erfahrung.  Lesen Sie das Buch und erfahre mehr über das Universum und dich selbst." &mdashAmit Goswami, Ph.D., Theoretischer Quantenphysiker, Autor von Das Alles-Antwort-Buch und Quantenökonomie

„Das Verständnis des Kosmos erfordert innovative Wahrnehmungen und manchmal wichtige Paradigmenbewegungen. Unsere kosmische Perspektive hat sich mit dem Aufkommen der Relativität und eines Quantenuniversums radikal verändert, auch wenn Schlüsselmysterien in der modernen Wissenschaft ungelöst bleiben Chopra und Menas Kafatos schlagen neue Wege vor, indem das Wissen um den Beobachter das kosmische Rätsel löst. Das Buch bringt eine frische Brise von Ideen und eine angenehme Reise in das Selbst und das Universum.“ &ndashDr. Pankaj S. Joshi, Senior Professor, Tata Institute of Fundamental Research Theoretical Physics and Cosmologist, Mumbai

„Als Teenager fand ich es eher merkwürdig, dass Menschen ihre Gedanken und Gefühle als integralen Bestandteil ihrer selbst betrachten, ihre Wahrnehmung jedoch als etwas völlig Über sich selbst hinausgehendes. Die Welt, die wir wahrnehmen, ist schließlich Teil unseres mentalen Lebens.“ wie unsere Gedanken und Emotionen. In diesem Buch führen Deepak und Menas diese scheinbar unschuldige Idee in kosmische Höhen und enthüllen ihre wahre Kraft und Bedeutung. Sie tun es intelligent, wissenschaftlich gut informiert und mit gutem Geschmack. Das Ergebnis ist herrlich." &mdashBernardo Kastrup, Ph.D., Autor von Warum Materialismus Blödsinn istKurze Blicke darüber hinaus und Mehr als Allegorie.
 
&bdquoDu bist das Universum hätte buchstabiert werden können Youniversum denn nicht nur &lsquoyou&rsquo steht im Universum &lsquoyou&rsquo steht am Anfang von allem.  Chopra und Kafatos haben eine gut geschriebene und, soweit jeder Wissenschaftler heute weiß, völlig genaue Untersuchung zusammengestellt, wie das Geheimnis des Subjektiven Bewusstsein bildet die Grundlage für die materielle Realität, wie sie gegenwärtig verstanden wird. Ich empfehle dies wärmstens für diejenigen, die neugierig sind.&rdquo &mdashFred Alan Wolf, Ph.D.  aka Dr. Quantum® Theoretischer Physiker, Autor von Das spirituelle Universum, preisgekrönt im Nationalbuch Den Quantensprung machen, Zeitschleifen und Raumdrehungen, und viele andere Bücher.
 
&ldquoDas neueste Meisterwerk von Deepak ist ein gemeinsames Oeuvre mit dem Kosmologen Menas Kafatos.&160 Es behandelt alle wichtigen Fragen, die wir uns selbst und der Wissenschaft stellen können.  Fragen wie wer wir sind und warum wir hier sind &ndash mit der Wissenschaft, um unsere Antworten zu untermauern.  Dies ist das &ldquoneue Paradigma&rdquo über das wir gesprochen haben!&rdquo &mdashErvin Laszlo, Autor von Was ist Realität Die neue Karte von Kosmos und Bewusstsein
 
&bdquoIn diesem interessanten Buch arbeitet ein Astrophysiker auf einzigartige Weise mit einem Arzt zusammen. Sie präsentieren einen Roman, und ich wage zu sagen, ein revolutionäres "Paradigma", das uns alle dazu bringen muss, unsere Vorstellungen über unseren Platz im Universum zu überdenken. Es wird stagnierendes Wasser in den kurzsichtigen Überzeugungen vieler erschüttern. Es wird uns auch dazu bringen, über unsere wahre Beziehung zum Kosmos nachzudenken und uns zu fragen &mdashKanaris Tsinganos, Direktor und Präsident des Governing Board National Observatory of Athens, Professor, Sektion Astrophysik, Astronomie & Mechanics Department of Physics, Universität Athen (Griechenland)

&bdquoDieses Buch behandelt einen wichtigen Aspekt aus neurowissenschaftlicher Sicht, nämlich dass der Geist die Realität erschafft. Die Autoren mögen es nicht, die äußere Realität und die innere Realität zu unterscheiden. Dies ähnelt dem Yigacara-Buddhismus. Es wirft jedoch eine sehr wichtige Frage auf, ob eine physikalische Theorie auch Randbedingungen enthalten sollte oder Randbedingungen außerhalb der physikalischen Theorie liegen. Dieses Buch wirft viele dieser faszinierenden Fragen auf, die ein Umfeld für neue Debatten schaffen können.&rdquo &mdashSisir Roy, T.V. Raman Pai Chair, National Institute of Advanced Studies, IISC Campus, Bangalore und (ehemaliger) Professor, Physik und Angewandte Mathematik, Indian Statistical Institute, Kolkata, Indien.
 
&bdquoDu bist das Universum, vereint die übliche anmutige Klarheit aller Schriften von Deepak Chopra mit den Erkenntnissen des Physikers Menas Kafatos, um die tiefgreifendsten und dringendsten Fragen an den Grenzen der zeitgenössischen Wissenschaft zu klären.  Dr. Chopras Expertise in Bezug auf biologische Systeme mit Prof. Kafatos verweben “ arbeiten in der Quantenphysik, Geophysik und Kosmologie, sie beleuchten die Bereiche, in denen die erfolgreichsten zeitgenössischen Wissenschaften an den Rand dessen geraten, was mit den Lebenslichtern ihrer eigenen Lebenszeit tiefer spiritueller Praxis erklärt werden kann ist kein Aufeinanderprallen konkurrierender Perspektiven, sondern ein reichhaltiger, synergetischer Wandteppich von großer Weisheit, Schönheit und Komfort für unsere Kultur.  Als solches Du bist das Universum ist   ihr großes und großzügiges Geschenk an jeden von uns.&rdquo &mdashNeil Theise, MD, Professor für Pathologie, Icahn School of Medicine at Mount Sinai

Über den Autor

Deepak Chopra, MD, FACP, Gründer der Chopra Foundation und Mitbegründer des Chopra Center for Wellbeing and Jiyo, ist ein weltbekannter Pionier in integrativer Medizin und persönlicher Transformation und ist Board Certified in Internal Medicine, Endocrinology and Metabolism. Er ist a Fellow des American College of Physicians, Klinischer Professor am Department of Family Medicine and Public Health der University of California, San Diego, Forscher für Neurologie und Psychiatrie am Massachusetts General Hospital (MGH) und Mitglied der American Association of Clinical Endokrinologen. Die Weltpost und Die Huffington Post Eine globale Internet-Umfrage stufte Chopra auf Platz 17 der einflussreichsten Denker der Welt und auf Platz 1 in der Medizin ein. Chopra ist Autor von mehr als 85 Büchern, die in über 43 Sprachen übersetzt wurden, darunter zahlreiche Bestseller der New York Times. Das Magazin TIME hat Dr. Chopra als "einen der 100 besten Helden und Ikonen des Jahrhunderts" bezeichnet.&rdquo

Menas Kafatos ist The Fletcher Jones Endowed Professor of Computational Physics an der Chapman University, Autor von mehr als 320 referierten Artikeln und 15 Büchern. Er erhielt seinen B.A. in Physik von der Cornell University im Jahr 1967 und seinen Ph.D. in Physik vom Massachusetts Institute of Technology im Jahr 1972. Er ist Gründungsdekan des Schmid College of Science and Technology an der Chapman University und war von 2009 bis 2012 Dekan. Er leitet das Center of Excellence in Earth Systems Modeling and Observations.

Auszug. &Kopie Nachdruck mit Genehmigung. Alle Rechte vorbehalten.

Was kam vor dem Urknall?

Obwohl Zeit und Raum begonnen hatten, sich wie eine durchhängende Wäscheleine zu krümmen, gab es in der Physik große Panik, weil die Chance, dass die Linie auseinanderbrechen könnte, noch vorhanden war (schwarze Löcher, die Raum und Zeit schnappen, wurden später ins Bild gebracht ). Geniale Gleichungen wurden entwickelt, um die Realität intakt zu halten, und die Tatsache, dass die Mathematik so geheimnisvoll war, hielt einige sehr beunruhigende Ideen von der breiten Öffentlichkeit fern. Dies änderte sich jedoch mit dem Aufkommen der Urknalltheorie. Mit einem Schlag ist die Zeit in zwei Teile geschnappt. Es gab die Zeit, wie wir sie kennen, die mit dem Urknall auf die Bühne kam, und es gab noch etwas anderes&mdash­sonderbare Zeit, Pre-­time, no time?&mdash­, das außerhalb unseres Universums existierte.

Lassen Sie uns nach Einsteins Führung sehen, ob wir die Realität außerhalb unseres Universums visualisieren können. Der Einfachheit halber formulieren wir das Rätsel so: &bdquoWas kam vor dem Urknall?&rdquo Es gibt keinen besseren Weg, das Problem zu visualisieren, als in eine imaginäre Zeitmaschine zu steigen, die uns 13,7 Milliarden Jahre zurückversetzt. Wenn wir uns der unvorstellbaren Explosion nähern, mit der diese Schöpfung des Universums begann, ist unsere Zeitmaschine extremen Gefahren ausgesetzt. Es dauerte Tausende von Jahren, bis das überhitzte Säuglingsuniversum so weit abgekühlt war, dass die ersten Atome zusammenwachsen konnten. Aber da unsere Zeitmaschine zunächst imaginär ist, können wir uns vorstellen, dass sie durch den überhitzten Raum segelt, ohne zu schmelzen oder in subatomare Teilchen auseinanderzufliegen.

Innerhalb weniger Sekunden nach dem Urknall haben wir das Gefühl, dass wir uns dem Ziel nähern. &ldquoSekunden&rdquo bedeutet, dass Zeit existiert, und jetzt besteht die einzige Herausforderung darin, Sekunden auf Millionstel, Milliardstel und Billionstelsekunden zu reduzieren. Das menschliche Gehirn arbeitet in solch feinen Maßstäben, aber nehmen wir an, wir haben einen Bordcomputer, der Billionstelsekunden in menschliche Begriffe übersetzen kann. Schließlich erreichen wir die kleinste Zeiteinheit (und Raumeinheit), die man sich vorstellen kann. William Blakes berühmte Verszeilen, &ldquoHold Infinity in the palm of your hand / And Eternity in a hour&rdquo werden wahr, obwohl eine Stunde viel, viel zu lang ist. An diesem Punkt, als der Kosmos winzig klein war, gerät unser Bordcomputer durcheinander und unerwartet kann nichts mehr berechnen.

Unser ganzer Bezugsrahmen hat sich aufgelöst. Es gibt keine Materie oder Energie, nur ein wirbelndes Chaos, und innerhalb dieses Chaos gibt es keine Regeln, wie wir sie Naturgesetze nennen. Ohne Regeln fällt die Zeit selbst auseinander. Der Kapitän unserer Zeitmaschine wendet sich an die Passagiere, um ihnen zu sagen, wie schlimm die Situation ist, aber leider kann er das aus mehreren Gründen. Mit der Zeit brechen auch Begriffe wie &ldquovorher„„danach zusammen. Für den Kapitän, wir haben die Erde zu einem bestimmten Zeitpunkt nicht mehr verlassen und sind später beim Urknall angekommen. Ereignisse werden auf unvorstellbare Weise zusammengekauert. Die Passagiere können auch „Lass mich hier raus&rdquo weinen, denn auch der Raum hat sich aufgelöst, was &ldquoin&rdquo und &ldquorout&rdquo nutzlos macht.

Dieser Zusammenbruch an der Schwelle der Schöpfung ist real, auch wenn unsere Zeitmaschine nicht funktioniert. Egal, wie hart Sie daran arbeiten, egal wie fein die Zeit, die Sie rasieren, die Schwelle kann nicht mit gewöhnlichen Mitteln überschritten werden, denn, sehen Sie, der Urknall &bdquo trat überall auf,&rdquo war es also nicht irgendwo, wo wir konnten Reisen.

Uns bleiben zwei Möglichkeiten. Entweder ist die Frage „Was kam vor dem Urknall?“ unmöglich zu beantworten, oder es müssen außergewöhnliche Mittel gefunden werden, die möglicherweise eine Antwort liefern könnten. Fest steht jedoch: Die Entstehung von Zeit und Raum geschah in Zeit und Raum. Es geschah an einem außergewöhnlichen Ort, was zum Glück für uns bedeutet, dass außergewöhnliche Antworten nicht fehl am Platz sind und nicht verlangt werden. In diesem Sinne lasst das kosmische Rätseln beginnen.

&ldquoBefore&rdquo und &ldquoafter&rdquo sind Konzepte, die nur im Rahmen von space-­time Sinn machen. Sie wurden geboren, bevor Sie laufen konnten, Sie werden nach dem mittleren Alter alt werden. Das gleiche gilt nicht für die Geburt des Universums. Es wurde weithin theoretisiert, dass Zeit und Raum mit dem Urknall entstanden sind. Wenn das wahr ist&ndash­ und es&rsquo nur eine Möglichkeit ist, keine feste Annahme&ndash­, dann lautet die eigentliche Frage &bdquoWas kam, bevor die Zeit begann?&rdquo Ist das besser als die erste Formulierung?

Nein. &bdquoBevor die Zeit begann&rdquo ist ein selbstscheuer Widerspruch, wie zu sagen &bdquoals Zucker süß war&rdquo.&ldquo Wir befinden uns im Reich der unmöglichen Fragen, aber das ist kein Grund, im Voraus aufzugeben. Die Quantenphysik hat sich ein Gespräch zwischen Alice und der Roten Königin in Lewis Carroll&rsquos Through the Looking-­Glass zu Herzen genommen. Nachdem Alice verkündet hat, dass sie siebeneinhalb Jahre alt ist, erwidert die Königin, dass sie hunderteins, fünf Monate und einen Tag alt ist.

&bdquoDas kann ich glauben!&rdquo sagte Alice.

&bdquoKönnen &rsquot Sie?&rdquo sagte die Königin in einem mitleidigen Tonfall. &ldquoVersuchen Sie es noch einmal: Atmen Sie tief ein und schließen Sie die Augen.&rdquo

Alice lachte. &bdquoEs hat keinen Sinn, es zu versuchen&ldquo, sagte sie. &ldquoMan kann&rsquot unmögliche Dinge glauben.&rdquo

&bdquoIch wage zu behaupten, du hast&rsquot viel Übung&ldquo, sagte die Königin. &bdquoAls ich in deinem Alter war, habe ich das immer eine halbe Stunde am Tag gemacht. Manchmal habe ich vor dem Frühstück bis zu sechs unmögliche Dinge geglaubt.&rdquo

Quantenverhalten zwingt uns, gegenüber unmöglichen Dingen noch toleranter zu sein. Die Bedingungen zur Zeit des Urknalls sind nichts Gewöhnliches. Um sie zu begreifen, müssen einige geschätzte Überzeugungen in Frage gestellt und dann beiseite geschoben werden. Zuerst muss man erkennen, dass der Urknall der Anfang des Universums war, aber des aktuellen Universums. Abgesehen davon, ob das aktuelle Universum aus einem anderen Universum geschaffen wurde, kann die Physik den Kosmos tatsächlich bis zum absoluten Anfang zurückverfolgen. Messen funktioniert nur, wenn man etwas zu messen hat, und ganz am Anfang war ein winziger Splitter von etwas, ohne jegliche Ordnung: keine Objekte, kein Raum-Zeit-Kontinuum, keine Naturgesetze. Also pures Chaos. In diesem unvorstellbaren Zustand wurde die gesamte Materie und Energie aus Hunderten von Milliarden von Galaxien komprimiert. Innerhalb von Sekundenbruchteilen beschleunigte sich die Expansion mit unvorstellbarer Geschwindigkeit. Die Inflation dauerte zwischen 10 und 36 Sekunden (1/1 gefolgt von 36 Nullen) bis etwa 10 bis 32 Sekunden. Als die Inflation endete, hatte sich das Universum um einen erstaunlichen Faktor von 1026 vergrößert, während es sich um den Faktor 100.000 oder so abgekühlt hatte. Ein allgemein akzeptiertes (aber keineswegs endgültiges) Szenario bildet den Geburtsprozess wie folgt ab:

&bull10-­36 Sekunden&mdash­Das Universum erfährt unter überhitzten Bedingungen eine schnelle Expansion (bekannt als kosmische Inflation), von der Größe eines Atoms auf die Größe einer Grapefruit. Es existieren jedoch keine Atome oder Licht. In einem Zustand des Beinahe-Chaos sind die Konstanten und die Naturgesetze im Fluss.

&bull10-­32 Sekunden&mdash­Immer noch unvorstellbar heiß, kocht das Universum vor Elektronen, Quarks und anderen Teilchen. Die frühere schnelle Inflation nimmt ab oder macht eine Pause, aus Gründen, die nicht vollständig geklärt sind.

&bull10-­6 Sekunden&mdash­Nach der dramatischen Abkühlung des Säuglingsuniversums entstehen nun Protonen und Neutronen, die aus Gruppen von Quarks gebildet werden.

&bull3 Minuten&mdash­Geladene Teilchen existieren, aber noch keine Atome, und Licht kann dem dunklen Nebel, zu dem das Universum geworden ist, nicht entkommen.

&bull300.000 Jahre&mdash­Der Abkühlungsprozess hat einen Zustand erreicht, in dem Wasserstoff- und Heliumatome beginnen, sich aus Elektronen, Protonen und Neutronen zu bilden. Licht kann nun entweichen, und wie weit es sich zurücklegt, wird von diesem Punkt an den äußeren Rand (den Ereignishorizont) des sichtbaren Universums bestimmen.

&bull1 Milliarde Jahre&mdash­Durch die Anziehungskraft der Schwerkraft verschmelzen Wasserstoff und Helium zu Wolken, aus denen Sterne und Galaxien entstehen.

Diese Zeitlinie folgt dem Impuls des Urknalls, der selbst bei der Größe eines einzelnen Atoms ausreichte, um die heute sichtbaren Milliarden von Galaxien zu produzieren. Sie werden weiterhin von der Kraft der anfänglichen unvorstellbaren Expansion auseinandergetrieben. Viele komplexe Ereignisse haben sich von Anfang an ereignet (ganze Bücher sind nur der Beschreibung der ersten drei Minuten der Schöpfung gewidmet), aber für unsere Zwecke reicht es aus, den groben Umriss zu betrachten.

Da wir uns alle vorstellen können, wie eine Dynamitstange oder ein Vulkan explodiert, scheint der Urknall zu unserer vernünftigen Sicht der Realität zu passen. Aber unser Verständnis von dem, was passiert ist, ist fragil. Tatsächlich stellen die ersten Sekunden der Schöpfung fast alles in Frage, was wir über Zeit, Raum, Materie und Energie wahrnehmen. Das große Geheimnis der Entstehung unseres Universums ist, wie aus dem Nichts etwas erschaffen wurde, und niemand kann wirklich verstehen, wie dies geschah. Einerseits ist „das Nichts&rdquo für jede Form der Beobachtung unerreichbar. Andererseits ist das anfängliche Chaos des Säuglingsuniversums ein völlig fremder Zustand, der frei von Atomen, Licht und vielleicht sogar den vier Grundkräften der Natur ist.

Dieses ganze Mysterium kann vermieden werden, weil derselbe Geburtsprozess in dieser Minute und die ganze Zeit auf der subatomaren Ebene fortgesetzt wird. Genesis ist jetzt. Die subatomaren Teilchen, auf denen der Kosmos aufgebaut ist, verschwinden ständig. Wie ein kosmischer Ein/Aus-Schalter gibt es einen Mechanismus, der nichts (den sogenannten Vakuumzustand) in einen Ozean voller physischer Objekte verwandelt. Unsere vernünftige Sicht der Realität sieht die Sterne in einer kalten, leeren Leere schweben. Tatsächlich ist die Leere jedoch reich an kreativen Möglichkeiten, die wir überall um uns herum abspielen sehen.

Schon das Argument fühlt sich an, als würde es abstrakt, bereit, wie ein Heliumballon davonzuschweben. Wir wollen nicht, dass das passiert. Jedes kosmische Mysterium hat ein menschliches Gesicht. Stellen Sie sich vor, Sie sitzen an einem Sommertag draußen auf einem Liegestuhl. Eine warme Brise macht Sie schläfrig, und Ihr Geist ist gefüllt mit halb-shyseen Bildern und halb-shy-realisierten Gedanken. Suddenly someone asks, &ldquoWhat do you want for dinner?&rdquo You open your eyes and answer, ­&ldquoLasagna.&rdquo In this little scenario the mystery of the big bang is encapsulated. Your mind is capable of being empty, a blank. Chaotic images and thoughts roam across it. But when you are asked a question and make a reply, this emptiness comes to life. Out of infinite possibilities, you pick a single thought, and it forms in your mind of its own accord.

This last part is crucial. When you say &ldquolasagna&rdquo&mdash­or any other word&mdash­you don&rsquot build it up from something smaller. You don&rsquot construct it at all it just comes to you. For example, words can be broken down into letters, the way matter can be broken down into atoms. But of course, this isn&rsquot a true description of the creative process. All creation brings something out of nothing. It&rsquos humbling to realize that even as we feel comfortable being creators, immersed in infinite words and thoughts, we have no idea where they come from. Do you know your next thought? Even Einstein looked upon his most brilliant thoughts as happy accidents. The point is that creating something out of nothing is a human process, not a faraway cosmic event.

The transition of nothing into something always achieves the same result: a possibility becomes actual. Physics dehumanizes the process and does so with incredible precision. In unimaginably small scales of time, vibrations of quanta come out of emptiness and quickly merge back into emptiness, but this quantum on/off cycle is totally invisible to us. The rules governing physical creation must be deduced. You can&rsquot apply a stethoscope to the outside of the Superdome in order to discover the rules of football, and that&rsquos essentially what cosmology is doing, in attempting to explain the origin of the universe. Logical deduction is a great tool, but this may be a case in which it creates as many problems as it solves.

There&rsquos little doubt that the objects in space didn&rsquot exist before the big bang. But did space and time (technically, the space-­time continuum) also emerge with them? The standard reply is yes. If there were once no objects, there was no space or time, either. So what was the pre-­created state like? It didn&rsquot have an inside or outside, which are properties of space. As the infant universe expanded, it wasn&rsquot expanding with anything around it, and now, while billions of galaxies operate in outer space, the universe isn&rsquot like a balloon with a skin. Here again, the concepts of before and after, inside and outside simply don&rsquot apply.

Are we left with anything to hold on to? Barely. &ldquoTo exist&rdquo suggests the possibility that even without time and space, things might happen. Here&rsquos a useful analogy. Imagine that you are sitting in a room where you notice that objects are moving slightly: the milk in your cereal bowl is jiggling, and you can feel a vibration coming up through the floor.

As it happens, you are deaf, so you have no way of knowing if something is pounding on the walls of the room from the outside. (Some people might be sensitive enough to feel a vibration in their bodies&mdash­let&rsquos leave this aside.) But you can measure the waves in your cereal bowl and the vibrations of other objects, including the floor, ceiling, and walls. This is roughly how cosmologists confront the big bang. The universe is full of vibrations and waves emitted billions of years ago. These can be measured and inferences drawn from them. But uneasiness appears if we ask a simple question: Can someone who is deaf from birth actually know what sound is? Though there are measurable vibrations associated with sound, feeling them is not the same experience as hearing a solo violin, the voice of Ella Fitzgerald, or a dynamite explosion.

In the same way, measuring the light from racing galaxies and the background microwave radiation in the current universe (this radiation is a residue of the big bang) doesn&rsquot tell us what the beginning of the universe was like&mdash­we are working from inferences, just like a deaf person observing waves in his cereal bowl, and this limitation could be a fatal flaw in any explanation of where the universe came from.

We can still try, from our standpoint here in our space-­time, to explore laws of nature that operate outside space and time. In particular, physics can resort to the language of mathematics in the hopes that its existence doesn&rsquot depend on which universe you happen to live in. Most of the speculation that follows keeps faith with mathematics as something eternally valid. Even in an alien universe, where time goes backward and people walk on the ceiling, if you add one apple to another apple, the sum is two apples, right?

However, no one has ever proved that this faith is actually valid. The mathematics that&rsquos applicable to black holes, for example, is locked in speculation, because a black hole is totally impenetrable. Mathematics could be the product of the human brain. Take the number zero. It hasn&rsquot always been around. By 1747 BCE, the ancient Egyptians and Babylonians had a written symbol for zero as a concept, but it wasn&rsquot used as a number for calculating purposes until around AD 800, in India, long past the heyday of Greek and Roman culture.


WGU Academic Engagement Webinars Diversity, Equity, and Inclusion Best Practices

JASON R. THOMPSON
Vice President, Diversity, Equity & Inclusion, WGU

Jason R. Thompson is a thought leader in Diversity, Equity, and Inclusion, having spent the past 25 years building DE&I programs in sports, healthcare, technology, and education organizations.

His programs have won several awards at the local and international level. Most recently, the D&I Scorecard Jason developed received the top honor in the 2016 International Innovations in Diversity Awards program from Profiles in Diversity Journal, which also recognized him as a Diversity Leader in 2017 and 2018. His work has been highlighted and quoted in USA Today, The Washington Post, CNN, The New York Times, und The Guardian.

Session 1: Why inclusion matters.

Inclusion is commonly talked about in many companies and organizations. However knowing how to actually make real progress on inclusion can be challenging. Jason will share his experience and tools that help a company or organization focus on inclusion

Participants will leave with:

  • An understanding of what inclusion is and why it is in an important goal for organizations and companies
  • A few simple tools to intentionally move toward a more inclusive culture

Session 2: Why diversity plans should reflect your company.

Leaders are responsible for creating a diverse, equitable and inclusive environment where everyone is treated fairly and in a respectful manner. Creating a plan so that every employee knows what is expected of them can be challenging. The most successful companies create DE&I plans that reflect their company, its values and its mission.

Participants will takeaway:

  • An understanding of the importance of developing a DE&I plan that looks like their company
  • A general format to begin the process of formulation a personalized company DE&I plan
  • Participants are encouraged to review their organizations mission and vision prior to the session

Session 3: Why diversity data matters and how to use it for a successful DEI program.

Most companies collect some data, but knowing what to collect, when to collect it and how to use that data to set realistic, achievable goals is a challenge for many organizations. Jason will share his experience across different industries and company sizes on why diversity data is essential and how to use it most effectively to inform the direction and achievement of your DE&I initiatives and programs.


One-on-one for the books: how to plan productive 1:1 meetings

Meetings are a fact of office life. And while they may not be everyone’s favorite part of the day, with a little bit of planning, it is possible to make them productive and worthwhile for you and your teammates. One meeting type in particular can even help people feel more engaged at work: the one on one meeting.

Unlike department meetings, planning meetings, or quick syncs where teams might discuss the most pressing issues of the day, week, or month, the one on one meeting agenda looks a little different. For managers and their reports, one on one meetings are dedicated time for connecting regularly on goals, building rapport, and most importantly, coaching and mentorship.

One on one meetings are dedicated time for connecting regularly, building rapport, and most importantly, coaching and mentorship.

The most effective 1:1s are those that are prepped ahead of time. But more often than not, work (about work) gets in the way of planning a meaningful one-on-one agenda, leading to wasted time deciding what to talk about or meandering discussions that don’t feel actionable. The good news is: planning a productive one-on-one meeting is easier than it seems.

Whether you’re a manager or a report, here are few simple ways to make the most of your one-on-ones.

Create a shared one on one meeting agenda

One of the reasons why 1:1 meetings can feel ineffective is that there isn’t a consistent, shared space for creating and tracking agenda items. Without a designated spot for planning your agenda ahead of time (and to refer to during the meeting itself), it’s easy to veer off course.

If, for instance, you’ve ever kicked off a 1:1 with a list of agenda items in your head, only to find yourself talking about cat memes 10 minutes later, you probably need a better way to prep for your 1:1 meetings.

Instead, create a shared 1:1 agenda for you and your report (or manager). This makes it easy for both of you to collaborate on what to discuss. In Asana, you can set up a private meeting project for this, but whatever tool you choose to use, make sure that it’s easily accessible and editable by both 1:1 participants.

“Now that I’m using Asana, my conversations and 1:1s are so much more productive because we have this shared space where we can collaborate.”

– Tim Wood, Head of Product, Patreon

Organize your 1:1 agenda

Once you’ve created a shared space for planning and tracking your one on one meeting agenda, the next step is to add some structure. The idea here is to define a couple of high-level themes to help you organize discussion topics from one meeting to the next. Depending on the needs and preferences of you and your report, you can organize your 1:1 agenda many different ways. For example, it might be helpful to group agenda items into the following categories:

  • Discuss this week
  • Revisit later
  • Roadblocks and wins
  • Ziele
  • Action items

To do this in Asana, just create sections for each theme in your meeting project:

Organizing your one on one meeting agenda this way balances tactical conversations about project work with bigger picture discussions about how that work ladders up to overall company goals and objectives and, not to mention, individual career goals. As you meet week to week, team members come away with a clearer sense of what they’re working on—and why it matters as well.

Add agenda items as they come up

With a shared space for your agenda and a clear structure in place, now comes the fun (and easy) part: adding topics for discussion. As soon as you or your report think of a topic—whether it’s feedback on a recent presentation, a question about budgets, or a growth opportunity—add these items to your shared agenda. Be sure to include a brief description and attach any relevant files, so you don’t forget anything important.

Adding agenda items ahead of time lets manager and report reflect on important topics before discussing in person.

This will help you avoid the mad scramble to remember everything you wanted to discuss right before your meeting. Adding agenda items ahead of time also lets both you and your report prep and reflect on important topics before discussing in person.

What to talk about in 1:1s

If you’re unsure of what to talk about in your one-on-ones, remember that it’s a shared space for asking questions, getting feedback, and discussing long-term goals. Both manager and report should feel comfortable contributing to the agenda. Here, for example, are a few topics you could discuss in your next 1:1:

  • Weekly and monthly priorities
  • Feedback on any in-progress assignments
  • Checking in on team and company goals
  • Identifying and resolving any roadblocks
  • Celebrating successes and milestones
  • What worked well (and didn’t) on recent projects
  • Career goals and learning opportunities

Take notes and take action

Before your next 1:1, take some time to review whatever topics have been added to your shared agenda since your last meeting and prioritize discussion topics. As the meeting progresses, make sure someone is taking notes on what’s discussed and to document any action items that come up.

By clearly outlining next steps and who’s doing what (by when), you create a sense of accountability and help ensure that any follow-up items are completed in a timely fashion. If you’re using a project in Asana to track your one on one meetings, all you have to do is create and assign a task and move it to your “Action items” section.

1:1s that work for everyone

Regular one-on-one meetings are a critical ingredient to keeping employees happy, productive, and engaged. By creating a shared space for your agenda and adding a little structure, you and your team members are more likely to keep your 1:1s on track and have meaningful and actionable conversations.

Learn how Asana can help you deliver a great employee experience by running all of your cross-functional programs and activities better.


The mystery of Fibonacci numbers

However, there seems to be an inconsistency in abstract math. Doing abstract math is like counting the triangles in The Louvre. Sure, it&rsquos fun to do, but is it of any use? However, it is in our nature to investigate. The predisposition to patternize, whether mathematically or behaviorally, cannot be neglected. Regardless of its futility, our fascination with patterns is persuasive enough to seek them.

Bedenke die Pisano Periods derived from the Fibonacci sequence. A Pisano Period, named after Fibonacci himself, is a set of numbers that cyclically repeat themselves. The numbers are remainders obtained from the division of Fibonacci numbers and a positive real number.

One can divide the sequence with irgendein number to obtain such a cyclic pattern. For instance, when the numbers are divided by 7, a period of 16 numbers emerge. Similarly, the period&rsquos length is 20 when the divisor is 5. Even dividing by 1/3 results in a long tape of recurring, identical snippets. However, mathematicians haven&rsquot discovered a general formula that predicts the length of one period when the sequence is divided by a particular number.

Another raging perplexity is the infinite right-angled triangles hidden in the sequence. Starting with 5, every second number in the sequence is the hypotenuse of a right-angled triangle whose longer side is the sum of all sides of the preceding triangle and the shorter side is the difference between the skipped number and the shorter side of the preceding triangle. A pictorial explanation will help these triangles be better understood.

The utility of abstract math has been the primary argument in the debate questioning whether math was invented or discovered. There are theories that illustrate the highest order of mathematical genius and rigor but are utterly isolated from the real world. For instance, Newton invented calculus im Speziellen to determine the equation of the trajectory that Earth was following around the Sun. Of course, calculus turned out to be lucrative in a myriad of other domains too, but can we say the same thing about Riemann&rsquos Hypothesis?

However, there are rare instances where highly esoteric abstract math becomes applicable. For instance, Riemann developed his absurd concepts of curved geometry in the 1850s, which seemed inapplicable until Einstein used them to rediscover the laws of gravity in his General Theory of Relativity. The unpredictability of these mathematical marriages still perturbs us.

This is the case with the mystical nature of Fibonacci numbers too. Despite being discovered in the Middle Ages, they have been discovered and rediscovered, to everyone&rsquos bewilderment, in places that we never expected. Our fascination with Fibonacci numbers extends to such an extent that an entire magazine is dedicated to its peculiarities, called the Fibonacci Quarterly.

Consider Pascal&rsquos triangle. When Pascal was consulted by a gambler about the odds of the outcomes of a die and the nature of stakes, he erfunden the theory of probability to solve these problems. Pascal&rsquos triangle is a neat triangle formed by binomial coefficients. The triangle acts as a table that one refers to while expanding the binomial equation.

Pascal&rsquos triangle. (Photo Credit: RDBury / Wikimedia Commons)

However, if you were to draw diagonals moving down the triangle and sum the numbers residing on each individual diagonal, then the series of numbers equated with each diagonal represent, as you might have guessed, the Fibonacci numbers. The theory of probability was founded 400 years after Liber Abaci wurde publiziert.

Or, consider the Mandelbrot set, a mathematical function that can be limned by a beautiful diagram drawn in the complex plane. The diagram appears to be a heart-shaped leaf with tiny buds on its edges. These buds are suffused with incredibly thin thorns. The diagram represents a fractal, a structure whose every single part is made up of selbst. Which means that if you were to keep zooming in on it, you&rsquod find that the structure recurs in an infinite loop.

Mandelbrot set diagrams. (Photo Credit: Wolfgang Beyer with the program Ultra Fractal 3. / Wikimedia Commons)

As we zoom into the buds on the edges, we see that the bud enlarges into the original leaf and three new buds emerge on its edges. If one were to keep zooming in, he would witness this procession go on and on forever. However, as we peek deeper and deeper, we observe that the number of thorns on every new bud increases. The increment in numbers mimics a certain pattern it&rsquos the Fibonacci sequence! Who could&rsquove possibly predicted this?

The sequence also turns up in economics and in tracing the pedigree of male bees. It is extensively used in computer science, where it is used to generate perceivably random numbers by algorithms called Pseudorandom Number Generators. I use perceivably because the generated numbers aren&rsquot truly random they always depend on a previous input.

It is also used in sorting algorithms in which dividing the area into proportions that are two consecutive Fibonacci numbers, and not two equal parts. This renders the hunting down of a location to the simplest mathematical operations &mdash addition and subtraction. Whereas, binary sorting (dividing into two equal parts) requires the use of multiplication, division and bit shifting. The sequence is also used to derive various other important mathematical identities. However, its most important application is found in our gardens.


Photography aspect ratio: conclusion

As you now know, aspect ratio is a big deal. It&rsquos always a good idea to think about aspect ratios while shooting &ndash and then, if necessary, adjust the aspect ratio in post-processing.

What&rsquos your favorite aspect ratio? And do you think about aspect ratio while taking photos? Share your thoughts in the comments below!

There is no one best aspect ratio &ndash it all depends on the look you&rsquore after! Some scenes benefit from square (1:1) aspect ratios, whereas others look great with a 4:3 or a 5:4 aspect ratio. I&rsquod recommend playing around in a program like Adobe Lightroom.

That depends on the photo. As discussed in the article, landscape shooters tend to favor squarer aspect ratios such as 4:5, though if you&rsquore a panorama photographer, a 16:9 frame (or wider!) might be preferable. Portrait photographers tend to avoid narrow aspect ratios, but there are times when a portrait looks good as a 9:16 composition.


How much should students rely on calculators?

The issue of calculators has been debated by math teachers, university professors, and parents, but there is general agreement that calculators shouldn’t be a substitute for learning basic arithmetic and standard algorithms.

Larson believes the use of calculators is not a yes or no question. While he says technology can help build a deeper understanding of key algebra concepts, students should still learn how to practice standard procedures on their own.

You don’t want to see students go straight to calculators, Fennell says. “The calculator is an instructional tool,” says Fennell. “It should support but not supplant anything. You don’t use it for 6 x 7.”


Schau das Video: Investorský magazín: Lekce z psychologie tradingu (September 2021).