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3.1: Grundlagen und ESTV - Mathematik


Als erstes machen wir die

Wir sagen (pinNN) ist prim falls (p>1) und die einzigen natürlichen Zahlen, die (p) teilen, sind (1) und (p).

[zB:Primzahlen] Einige Primzahlen sind (2), (3), (5), (7), (11), (13) und (17) . Beachten Sie, dass (2) die einzige gerade Primzahl ist (eindeutig – jede andere wäre ein Vielfaches von (2) und könnte daher keine Primzahl sein) und hat einige ungewöhnliche Eigenschaften – der Witz ist, dass „(2) ist die seltsamste Primzahl.“

Die größte Primzahl, die den Menschen zum Zeitpunkt dieses Schreibens bekannt ist, ist [2^{57,885,161}-1], die im Januar 2013 durch ein verteiltes Computerprogramm namens . als Primzahl nachgewiesen wurde GIMPS [das Großartige Internet-Mersenne-Prime-Suche] läuft auf Hunderten von Computern im Internet.

Im Gegensatz dazu verwenden wir auch den folgenden Begriff

Eine Zahl (cinNN), die größer als (1) und keine Primzahl ist, heißt zusammengesetzt.

Wie weit muss ein naiver Brute-Force-Check gehen, um zu sehen, ob eine Zahl zusammengesetzt ist?

Wenn (n) zusammengesetzt ist, dann hat es einen positiven Teiler (d), der (dlesqrt{n}) erfüllt.

Angenommen (n) ist zusammengesetzt. Dann hat es einen Teiler (ainNN). Beachten Sie, dass (n=acdotfrac{n}{a}), also (frac{n}{a}inNN) auch ein Teiler ist. Aber (a) und (frac{n}{a}) können nicht beide kleiner sein als (sqrt{n}), denn wenn sie es wären, hätten wir [n=acdotfrac {n}{a}

Das Lemma von Euklid (Lemma [lem:euklids]) nimmt eine besonders schöne Form an, wenn der beteiligte Teiler eine Primzahl ist:

[prop:primesdividingproducts] Angenommen (p) ist eine Primzahl und (a,binZ). Wenn (pmid ab) dann (pmid) oder (pmid b).

Beachten Sie, dass (gcd(p,a)mid p), also (gcd(p,a)) entweder (1) oder (p) ist, da (p) eine Primzahl ist . Aber auch (gcd(a,p)mid a), also entweder (pmid a) oder (gcd(a,p)=1). Wenn (pmid a), sind wir fertig. Wenn nicht, da also (gcd(a,p)=1), Euklids Lemma [lem:euklids] sagt uns, dass (pmid b).

Eine allgemeinere Form davon ist

[cor:primidivis] Angenommen (p) ist eine Primzahl, (kinNN) und (a_1,dots,a_kinZ). Wenn dann (pmid a_1dots a_k) gilt, folgt (p) mindestens eines der (a_j).

Dem Leser überlassen (benutze Induktion über (k)).

Dies führt zu dem treffend benannten

Der Fundamentalsatz der Arithmetik: Sei (ninNN), (nge2). Dann (exists kinNN) und Primzahlen (p_1,dots,p_k) mit (n=p_1dots p_k). Sind außerdem (linNN) und (q_1,dots,q_l) ebenfalls Primzahlen mit (n=q_1dots q_l), dann gilt (l=k) und die Faktorisierung in Bezug auf die (q)s ist lediglich eine Neuordnung der in Bezug auf die (p)s.

Wir verwenden das zweite Prinzip der mathematischen Induktion für den Existenzteil. Die allgemeine Aussage, die wir beweisen, ist (forall ninZ, n>1Rightarrow S(n)), wobei (S(n)) die Aussage „(exists kin NN) und Primzahlen (p_1,dots,p_k) mit (n=p_1dots p_k).“

Als Basisfall sagen wir (n=2). Dann funktioniert (k=1) und (p_1=2).

Nehmen wir nun an, dass (S(k)) für alle (k

Angenommen, (ninZ) erfüllt (n>1) und (exists k,linNN) und beide Primzahlen (p_1,dots p_k) und (q_1, dots,q_l) mit [p_1dots p_k = n = q_1dots q_l .] Sicherlich teilt (p_1) die linke Seite dieser dualen Ausdrücke für (n). Dann dividiert nach Korollar [cor:primedivis] (p_1) eine der (q_j), was bedeutet, dass (p_1=q_j) sein muss, da sie Primzahlen sind. Entfernen von (p_1) von links und (q_j) von rechts erhalten wir [p_2dots p_k = n = q_1dots q_{j-1}cdot q_{j+1} Punkte q_l .] Wenn wir auf diese Weise fortfahren, erhalten wir entweder die Eindeutigkeitsaussage im Satz, oder uns gehen die (p)- oder (q)-Werte aus. Wir können jedoch nicht von Primzahlen auf einer Seite vor der anderen laufen, weil das ein Produkt von Primzahlen auf einer Seite gleich (1) machen würde, was unmöglich ist.

Übungen zu §1

Geben Sie alle Details zum Nachweis von Korollar [cor:primedivs] an.

Formulieren und beweisen Sie einen Satz über die Primfaktorzerlegungen von Zahlen (a,binNN) und ihrer gcd.

Eine Zahl (ninZ, n>1) heißt quadratfrei wenn sie nicht durch das Quadrat einer anderen natürlichen Zahl als (1) teilbar ist. Beweisen Sie, dass ein (ninZ, nge1) genau dann quadratfrei ist, wenn es das Produkt verschiedener Primzahlen ist.


Fehlerbaumanalyse

Fehlerbaumanalyse (Freihandelsabkommen) ist eine deduktive Fehleranalyse von oben nach unten, bei der ein unerwünschter Zustand eines Systems mithilfe boolescher Logik analysiert wird, um eine Reihe von Ereignissen auf niedrigerer Ebene zu kombinieren. Diese Analysemethode wird hauptsächlich in der Sicherheitstechnik und Zuverlässigkeitstechnik verwendet, um zu verstehen, wie Systeme ausfallen können, um die besten Möglichkeiten zur Risikominderung zu identifizieren und um Ereignisraten eines Sicherheitsunfalls oder einer bestimmten Systemebene (funktional ) Fehler. FTA wird in der Luft- und Raumfahrt, [1] Kernkraft, Chemie und Prozessindustrie, [2] [3] [4] pharmazeutischen, [5] petrochemischen und anderen hochgefährlichen Industrien verwendet, wird aber auch in so unterschiedlichen Bereichen wie der Identifizierung von Risikofaktoren eingesetzt im Zusammenhang mit dem Versagen des Sozialsystems. [6] FTA wird auch in der Softwareentwicklung zu Debugging-Zwecken verwendet und steht in engem Zusammenhang mit der Methode zur Ursachenbeseitigung, die zur Erkennung von Fehlern verwendet wird.

In der Luft- und Raumfahrt wird der allgemeinere Begriff "Systemfehlerbedingung" für den "unerwünschten Zustand" / das oberste Ereignis des Fehlerbaums verwendet. Diese Bedingungen werden nach der Schwere ihrer Auswirkungen klassifiziert. Die härtesten Bedingungen erfordern die umfangreichste Fehlerbaumanalyse. Diese Systemausfallbedingungen und deren Klassifizierung werden oft zuvor in der funktionalen Gefahrenanalyse bestimmt.


Das Mathematikteam des Virginia Department of Education hat mehrere zusammengestellt Lernen vor Ort Mathematik-Ressourcen, um Lehrer, Eltern und Schüler in dieser beispiellosen Zeit zu unterstützen.

Virginia Standards of Learning – Mathematics Tracking Logs (Schuljahr 2020-2021 bis Schuljahr 2021-2022)

Mathematics Standards of Learning Tracking Logs für die Klassen Kindergarten bis Algebra II wurden entwickelt, um Lehrern zu helfen, herauszufinden, welche Standards die Schüler im Schuljahr 2020-2021 ausreichend kennen und erfahren haben. Sie können Entscheidungen darüber unterstützen, wann und wie im Schuljahr 2021-2022 Erfahrungen mit neuen Standards gemacht werden können. Mathematische Bridging Standards-Dokumente - Dies ist ein PDF-Dokument. (PDF) kann in Verbindung mit den Tracking Logs als Unterstützung bei der Identifizierung von verbindbaren Inhalten bei der Unterrichtsplanung und zur Förderung des tieferen Schülerverständnisses verwendet werden.

Brückenschlag Mathematik

Mathematische Bridging Standards-Dokumente - Dies ist ein PDF-Dokument. (PDF) kann in Verbindung mit den Tracking Logs als Unterstützung bei der Identifizierung von verbindbaren Inhalten bei der Unterrichtsplanung und zur Förderung des tieferen Schülerverständnisses verwendet werden. Standards gelten als Brücke, wenn sie: als Brücke fungieren, an die andere Inhalte innerhalb der Klassenstufe/des Kurses anknüpfen, als Voraussetzung für die in zukünftigen Klassenstufen/Kursen zu behandelnden Inhalte dienen oder über eine Unterrichtseinheit innerhalb einer Unterrichtseinheit hinaus Bestand haben Klassenstufe/Kurs.

Lernen vor Ort &ndash Online-Ressourcen

Die folgende Liste enthält einige der vielen allgemeinen Online-Ressourcen, die Lehrern, Eltern und Schülern jederzeit kostenlos zur Verfügung stehen.

Online-Ressource und Beschreibung für Mathematik Klassen K-2 Klassen 3-5 Klassen 6-8 Klassen 9-12
PBS für Eltern – umfasst Aktivitäten und Spiele, die nach Alter und Thema durchsucht werden können. Ja n n n
Bedtime Math - bietet Online-Mathematikaufgaben für Eltern, die sie jeden Tag mit ihren Kindern lösen können, sowie lebhafte Mitmachspiele. Ja Ja n n
GregTangMath - bietet Spiele, Rätsel und andere Ressourcen für Problemlösungs- und Mathematikzentren. Ja Ja n n
Sommer-Mathe-Challenge - ein kostenloses Programm, das Zugang zu täglichen unterhaltsamen Aktivitäten und Ressourcen bietet, die auf die Note und das Leistungsniveau Ihres Schülers zugeschnitten sind. Die Summer Math Challenge 2020 hat früh eröffnet, um Schüler zu unterstützen, die zu Hause lernen. Ja Ja Ja n
CK-12 - Online-Lehrbuch, adaptive Praxis und Videobeispiele Ja Ja Ja Ja
NCTM Illuminations - enthält zahlreiche interaktive Elemente, die K-12-Schüler ermutigen, Mathematik zu erforschen, zu lernen und anzuwenden. Für den Zugriff können Java-fähige Browser (d. h. Internet Explorer, Firefox, Chrome oder Safari) verwendet werden. Ja Ja Ja Ja
Offene Mitte - präsentiert mathematische Probleme, die mit derselben Antwort enden, aber mehrere Möglichkeiten haben, das Problem anzugehen und zu lösen. Ja Ja Ja Ja
National Library of Virtual Manipulatives - enthält interaktive Manipulationen und Aktivitäten für Schüler, um Mathematik zu erkunden. Ja Ja Ja Ja
PBS Learning Media - enthält kostenlose interaktive Inhalte, Videos und Unterrichtspläne. Enthält auch PreK-12-Ressourcen für Notschließungen. Ja Ja Ja Ja
Khan Academy Math - bietet kostenlose Online-Lektionen. Studenten müssen nur dann ein Konto erstellen, wenn ihre Arbeit gespeichert werden soll. Ja Ja Ja Ja
Möchten Sie lieber Mathe - fordert die Schüler auf, ein mathematisches Argument für die Wahl zwischen zwei oder mehr Optionen zu konstruieren. Ja Ja Ja Ja
VDOE Desmos Activity Log - enthält eine Tabelle für jede Klassenstufe, die SOL-orientierte Desmos-Aktivitäten mit einer kurzen Beschreibung und einem direkten Link zur Aktivität auf der Desmos-Webseite für Klassenzimmeraktivitäten auflistet. n Ja Ja Ja
AbbildungThis! NCTM - bietet Aktivitäten und mathematische Herausforderungen für Schüler und Familien. Einige Herausforderungen sind auch auf Spanisch verfügbar. Tipps für Eltern gibt es im Family Corner. n Ja Ja Ja

Lernen vor Ort – eMediaVA Online-Wiedergabelisten

Die folgende Tabelle enthält Links zu Playlists ausgewählter eMediaVA-Ressourcen, die auf die Noten K-8 2016 ausgerichtet sind Mathematik-Lernstandards. Unten finden Sie erweiterte Listen von eMediaVA-Ressourcensammlungen, die auf Mathematik ausgerichtet sind.

Thema Klasse K-1 Playlist Playlist für Klasse 2 Playlist für Klasse 3 Playlist für Klasse 4 Playlist für Klasse 5 Playlist für Klasse 6 Playlist für Klasse 7 Playlist für Klasse 8
Zahlen und Zahlensinn Klasse K-1 Note 2 3. Klasse Klasse 4 Klasse 5 6. Klasse Klasse 7 Klasse 8
Berechnung und Schätzung Klasse K-1 Note 2 3. Klasse Klasse 4 Klasse 5 6. Klasse Klasse 7 Klasse 8
Messung und Geometrie Klasse K-1 Note 2 3. Klasse Klasse 4 Klasse 5 6. Klasse Klasse 7 Klasse 8
Wahrscheinlichkeit und Statistik Klasse K-1 Note 2 3. Klasse Klasse 4 Klasse 5 6. Klasse Klasse 7 Klasse 8
Muster, Funktionen und Algebra Klasse K-1 Note 2 3. Klasse Klasse 4 Klasse 5 6. Klasse Klasse 7 Klasse 8

Lernen vor Ort – Zusätzliche eMediaVA Mathematik-Ressourcensammlungen nach Klassenstufen

Klassen K - 2

    – Diese Videoserie für die Klassen PreK-3 zeigt zwei Puppen, Blossom und Snappy, die beide es lieben, in alltäglichen Situationen Mathematik zu finden. Sie finden sie oft beim Einkaufen, Backen, Veranstaltungsplanen, Dekorieren und Besuchen von Attraktionen. – Diese Reihe von Mathe- und Umweltvideos für die Klassenstufen K-8 weckt die Neugier auf MINT-Konzepte und fördert die Problemlösungsfähigkeiten. – Diese digitale Videoserie für Erwachsene stellt Methoden, Vokabeln und Prozesse vor, die ihr Kind in der Schule lernt. Diese kurzen, klaren und unterhaltsamen Videos helfen dabei, mathematische Themen zu erklären, die in der Pre-K-Klasse 4 unterrichtet werden. – In jeder 11-minütigen Folge dieser animierten, auf Mathematik basierenden Serie für die Klassen PreK-2 finden sich Peg und Cat mitten in einer verrückten Wortaufgabe wieder. Diese Reihe umfasst Mathematikunterricht für die Klassen PreK – 1. – Singen Sie mit dem Grafen aus der Sesamstraße mit Fokus auf die heutige Nummer des Tages für die Klassen PreK – 1.

Klasse 3 - 5

    – Diese Videoserie für die Klassen PreK-3 zeigt zwei Puppen, Blossom und Snappy, die beide es lieben, in alltäglichen Situationen Mathematik zu finden. Sie finden sie oft beim Einkaufen, Backen, Veranstaltungsplanen, Dekorieren und Besuchen von Attraktionen. – Diese Reihe von Mathe- und Umweltvideos für die Klassenstufen K-8 weckt die Neugier auf MINT-Konzepte und fördert die Problemlösungsfähigkeiten. – Diese digitale Videoserie für Erwachsene stellt Methoden, Vokabeln und Prozesse vor, die ihr Kind in der Schule lernt. Diese kurzen, klaren und unterhaltsamen Videos helfen dabei, mathematische Themen zu erklären, die in der Vorstufe K-Klasse 4 unterrichtet werden. – Diese Reihe führt in die Mathematik der Klassen 4 bis 8 ein, um ein Verständnis für das &bdquowie&rdquo und &bdquowie&rdquo des mathematischen Problemlösens zu entwickeln. – Diese Sammlung enthält beispielhafte Videos, die sich mit den Mathematikstandards der Klassen 3 bis 12 verbinden und den Schülern ein klares Verständnis von mathematischen Operationen und Prinzipien zur Problemlösung vermitteln sollen.

Klassen 6 - 8

    – Diese Reihe von Mathe- und Umweltvideos für die Klassenstufen K-8 weckt die Neugier auf MINT-Konzepte und fördert die Problemlösungsfähigkeiten. – In dieser Reihe werden Konzepte in den Klassen 4-8 in Mathematik vorgestellt, um ein Verständnis für das &bdquowie&rdquo und &bdquowarum&rdquo der mathematischen Problemlösung zu entwickeln. – Diese Medien- und integrierten Aktivitäten richten sich an Schüler der Mittelstufe in den Klassen 6-8 mit unterschiedlichen Lernstilen und Hintergründen. Sammlung – Diese Sammlung umfasst alltägliche Probleme, die einen neugierigen Verstand, Entschlossenheit und ein wenig Sinn für Zahlen erfordern, um sie zu lösen. Mathe-Messen können auftauchen, wenn Sie sie am wenigsten erwarten – und in jedem Kurzfilm animiert Mathe-Chaos Video, treffen Sie einige mathematisch herausgeforderte Charaktere, die mittendrin sind. – Diese Sammlung umfasst interaktive und Videos zu algebraischen Themen in den Klassen 4-9. – Diese Sammlung umfasst interaktive Inhalte und Videos zu geometrischen Themen in den Klassen 6-10.

Learning in Place – VA TV Classroom On-Demand

Blue Ridge PBS, VPM, WETA und WHRO Public Media arbeiteten mit dem VDOE zusammen, um VA TV Classroom zu entwickeln, um Schüler der Klassen K-10 zu unterrichten, die aufgrund eines Mangels an Highspeed-Internet keinen Zugang zu anderen Fernunterrichtsangeboten haben. Diese Bildungsprogramme sind auch auf Anfrage verfügbar. Segmente aus beiden Lernen und wachsen Sie mit WHRO (Klassen K-3) und Weiter wissen mit WHRO (Klassen 4-7) sind jetzt in eMediaVA verfügbar.

Lernen vor Ort - Vorgeschlagene Offline-Aktivitäten zur Einbindung der Schüler

Die folgende Liste enthält nur einige der vielen Ressourcen, die Lehrern, Eltern und Schülern kostenlos zur Verfügung stehen.

Kindergarten - Klasse 2

  • Zeichnen Sie die Vogelarten auf, die Sie in Ihrem Garten oder aus Ihrem Fenster sehen. (Verwenden Sie Tally-Markierungen, um Ihre Daten zu sammeln und Ihre Daten entweder in einem Bilddiagramm oder einem Balkendiagramm zu organisieren.)
  • Spiele Mathe-Kartenspiele. Ein Beispiel, Geh Fisch (Versuchen Sie, Paare zu bilden, die 10 addieren).
  • Messen Sie die Länge Ihres Bettes mit fünf verschiedenen Nicht-Standard-Einheiten. Mein Bett ist zum Beispiel 14 Schuhe lang, wie lang ist dein Bett?

Klassen 3-5

  • Messen Sie die Fläche und den Umfang jedes Raums in Ihrem Haus. Welche Zimmer sind die größten, die kleinsten? Machen Sie eine Liste, wann Sie die Fläche eines Raums kennen müssen? Umfang eines Raumes?
  • Baue 3 verschiedene Papierflugzeuge. Testen Sie jeden, um festzustellen, welcher die größte Entfernung fliegt. Messen Sie die Entfernung, die jedes Flugzeug fliegt.
  • Spiele Mathe-Kartenspiele. Ein Beispiel, Fraktionskrieg (jede Person bekommt 2 Karten und bildet eine Fraktion mit der Absicht, die größte Fraktion zu bilden).

Klassen 6-8

  • Wählen Sie Ihr Lieblingsrezept und die Hälfte davon. Entscheiden Sie, wie viel von jeder Zutat Sie benötigen, um eine Leckerei für Ihre Familie zuzubereiten.
  • Finden Sie das Volumen und die Oberfläche verschiedener Gegenstände in Ihren Schränken, wie Müslischachteln und Konserven.
  • Verwenden Sie ein Verkaufspapier für Geschäfte, um eine Einkaufsliste zu erstellen. Ermitteln Sie dann die Gesamtkosten Ihrer Artikel mit Rabatten und Mehrwertsteuer.
  • Spiele Mathe-Kartenspiele. Ein Beispiel, Reihenfolge der Operationen, jede Person zieht vier Karten und verwendet die Regeln der Operationsreihenfolge, um eine Zahl einer bestimmten Zahl so nahe zu bringen.

Klassen 9-12

  • Berechnen Sie die Steigung einer Treppe (Anstieg/Lauf) und vergleichen Sie, was passiert, wenn die Höhe jeder Stufe erhöht oder verringert wird. Welche Treppen sind am einfachsten zu erklimmen?
  • Schätzen Sie das Volumen mehrerer unregelmäßig geformter Gegenstände in Ihrem Zuhause ab, indem Sie Ihr Wissen über Volumen und Oberfläche verwenden. Was würde mit der Oberfläche passieren, wenn der Artikel vertikal in zwei Hälften geschnitten würde?

Addiere zwei Zahlen und berechne den Modulo der Summe und einer dritten Zahl, M.

Mit anderen Worten, es gibt (A+B) % M zurück. Es ist als kompakter Mechanismus zum Inkrementieren eines 'Modus'-Schalters und zum Zurückspringen auf 'Modus 0' konzipiert, wenn der Schalter das Ende des verfügbaren Bereichs überschreitet. z.B. Wenn Sie sieben Modi haben, wechselt dies zum nächsten und springt bei Bedarf um: mode = addmod8( mode, 1, 7) LIB8STATIC_ALWAYS_INLINESiehe 'mod8' für Hinweise zur Leistung.

Definition in Zeile 276 der Datei math8.h.

Berechnen eines ganzzahligen Durchschnitts von zwei vorzeichenbehafteten 15-Bit-Ganzzahlen (int16_t) Wenn das erste Argument gerade ist, wird das Ergebnis abgerundet.

Wenn das erste Argument ungerade ist, ist das Ergebnis Ergebnis aufwärts.

Definition in Zeile 217 der Datei math8.h.

Berechnen Sie einen ganzzahligen Durchschnitt von zwei vorzeichenlosen 16-Bit-Ganzzahlwerten (uint16_t).

Bruchteile werden abgerundet, z.B. durchschn.16(20,41) = 30

Definition in Zeile 169 der Datei math8.h.

Berechnen eines ganzzahligen Durchschnitts von zwei vorzeichenbehafteten 7-Bit-Ganzzahlen (int8_t) Wenn das erste Argument gerade ist, wird das Ergebnis abgerundet.

Wenn das erste Argument ungerade ist, ist das Ergebnis Ergebnis aufwärts.

Definition in Zeile 196 der Datei math8.h.

Berechnen Sie einen ganzzahligen Durchschnitt von zwei vorzeichenlosen 8-Bit-Ganzzahlwerten (uint8_t).

Bruchteile werden abgerundet, z.B. Durchschnitt8(20,41) = 30

Definition in Zeile 148 der Datei math8.h.

Berechnen Sie den Rest eines vorzeichenlosen 8-Bit-Werts geteilt durch einen Noter, auch bekannt als A % M.

Wird durch wiederholte Subtraktion implementiert, was sehr kompakt und sehr schnell ist, wenn A 'wahrscheinlich' kleiner als M ist. Wenn A ein großes Vielfaches von M ist, muss die Schleife mehrmals ausgeführt werden. Aber selbst in diesem Fall ist die Schleife auf dem AVR nur zwei Anweisungen lang, d. h. schnell.

Definition in Zeile 249 der Datei math8.h.

Fügen Sie ein Byte zu einem anderen hinzu und sättigen Sie bei 0x7F.

Parameter

ich- erstes Byte zum Hinzufügen
J- zweites Byte zum Hinzufügen
Gibt die Summe von i & j zurück, begrenzt auf 0xFF

Definition in Zeile 54 der Datei math8.h.

füge ein Byte zu einem anderen hinzu und sättige bei 0xFF

Parameter

ich- erstes Byte zum Hinzufügen
J- zweites Byte zum Hinzufügen
Gibt die Summe von i & j zurück, begrenzt auf 0xFF

Definition in Zeile 21 der Datei math8.h.

sättigende 8x8-Bit-Multiplikation mit 8-Bit-Ergebnis

Gibt das Produkt von i * j zurück, mit einer Begrenzung bei 0xFF

Definition in Zeile 320 der Datei math8.h.

Subtrahiere ein Byte von einem anderen, Sättigung bei 0x00

Gibt i - j mit einem Boden von 0 . zurück

Definition in Zeile 86 der Datei math8.h.

Quadratwurzel für 16-Bit-Ganzzahlen Ungefähr dreimal schneller und fünfmal kleiner als Arduinos allgemeines sqrt auf AVR.

Definition in Zeile 379 der Datei math8.h.


Vorläufige Systemsicherheitsbewertung

5.7.1 Rollen der Fehlerbaumanalyse in der Sicherheitsbewertung

FTA kann als wirksame Maßnahme dienen, um Fehlerursachen nach einem schwerwiegenden Fehler oder Unfall zu untersuchen, kann als Leitfaden für die Fehlerdiagnose und zur Verbesserung von Nutzungsszenarien und Wartungsplänen verwendet werden, kann auch verwendet werden, um Zuverlässigkeits- und Sicherheitsschwächen zu erkennen und Maßnahmen zu ergreifen sie zu verbessern.

Die grafische Darstellung der FTA ist hierarchisch und nach ihren Zweigen benannt. Es ist gut lesbar und leicht verständlich, was FTA zu einem nützlichen Werkzeug für die Durchführung von Sicherheitsdesigns durch Industrie- und Zertifizierungsbehörden macht. Im Prozess der Sicherheitsbewertung hat die FTA folgende Funktionen:

Analysieren Sie Ausfallursachen der Top-Ereignisse in Kombination mit der Systemarchitektur

quantifizieren Sie die Wahrscheinlichkeiten der Top-Ereignisse

Ordnen Sie die Sicherheitsanforderungen der Top-Events den niedrigeren Events zu

Bewertung der Auswirkungen der Entwicklungsfehler durch die Kombination qualitativer und quantitativer Methoden

Bewertung der Auswirkungen einzelner und kombinierter Ausfälle

Bewerten Sie die Auswirkungen der Expositionszeit der versteckten Fehler auf die Systemsicherheit

Bewerten Sie die Ursache von Ausfällen aufgrund gemeinsamer Ursache

Beurteilung der Natur des fehlersicheren Designs (Fehlertoleranz und Fehlertoleranz)

Bewertung der Auswirkungen von Konstruktionsänderungen auf die Sicherheit

Im Vergleich zu anderen Sicherheitsanalysemethoden wird FTA am häufigsten in der Luftfahrtindustrie verwendet.

FTA erfolgt im Rahmen von PASA/ASA und PSSA/SSA.

Im Prozess von PASA wird FTA verwendet, um die Fehlerursachen von Fehlerbedingungen in AFHA zu bestimmen. Die Top-Ereignisse von Fehlerbäumen sind die Ausfallbedingungen in AFHA, und die grundlegenden Ereignisse sind normalerweise die Ausfallbedingungen in SFHA.

Im PSSA-Prozess wird FTA verwendet, um die Sicherheitsanforderungen der in SFHA identifizierten Fehlerbedingungen auf untergeordnete Elemente zuzuordnen, wobei die vorgeschlagene Systemarchitektur und die CCA-Ergebnisse kombiniert werden.

Die im Detaildesign gewonnenen Informationen können zu Veränderungen in den Fehlerbäumen führen. Daher entsprechen im SSA-Prozess die Ausfallraten von FMES oder anderen den Basisereignissen der Fehlerbäume, und das berechnete oberste Ereignis ist die Wahrscheinlichkeit der in SFHA identifizierten Ausfallbedingungen, um zu verifizieren, dass das Systemdesign die Sicherheitsziele erfüllt .

Darüber hinaus können während der Prototypentests und Flugtests aufgedeckte Probleme zu Änderungen in der Hardware oder Software sowie zu Änderungen der Fehlerbäume führen, und daher werden die endgültigen Fehlerbäume als Teil des Sicherheitsbewertungsdokuments betrachtet.


6. Zwei klassische Modelle zur mathematischen Erklärung: Steiner und Kitcher

In Abschnitt 4 wurde darauf hingewiesen, dass auf der Ebene des Vergleichs verschiedener Beweise für das gleiche Ergebnis und der konzeptionellen Umformung wesentlicher Bereiche zwei Hauptformen der Erklärungssuche in der mathematischen Praxis auftreten. Diese beiden Arten von Erklärungsaktivitäten führen zu zwei unterschiedlichen Erklärungskonzepten. Diese Konzepte können als lokal und global charakterisiert werden. Der Punkt ist, dass im ersteren Fall die Erklärungsfähigkeit in erster Linie eine (lokale) Eigenschaft von Beweisen ist, während sie im letzteren Fall eine (globale) Eigenschaft der gesamten Theorie oder des Rahmens ist und die Beweise aufgrund ihrer Zugehörigkeit zum Rahmen als erklärend beurteilt werden . Während diese beiden Arten von Erklärungsaktivitäten die Vielfalt mathematischer Erklärungen, die in der Praxis vorkommen, nicht erschöpfen, erfasst die Kontraposition zwischen lokal und global den Hauptunterschied zwischen den beiden großen klassischen Erklärungen der mathematischen Erklärung, denen von Steiner und Kitcher (neuere Erklärungen). wird in Abschnitt 7) besprochen. Während wir die lokale/globale Dichotomie betonen, ist es wichtig hinzuzufügen, dass es andere Möglichkeiten gibt, die wichtigsten Alternativen in der Theorie der mathematischen Erklärung zu konzeptualisieren. Kim 1994 verwendet zum Beispiel die Kontraposition zwischen &lsquoexplanatory Internalism&rsquo und &lsquoexplanatory Externalism&rsquo, um eine Taxonomie der verschiedenen Darstellungen wissenschaftlicher Erklärung zu geben. Während Erklärungen für &lsquoexplanatory Internalism&rsquo Aktivitäten innerhalb eines epistemischen Korpus (einer Theorie oder einer Reihe von Überzeugungen) sind, wird ein &lsquoexplanatory Externalist&rsquo nach einigen ontischen Beziehungen suchen, die die erklärenden Beziehungen begründen, die sich in sprachlichen Erklärungszuschreibungen widerspiegeln. Diese Taxonomie ist orthogonal zur lokalen/globalen Taxonomie und wir erwähnen hier nur, dass der Geist von Kitchers Erklärungstheorie &lsquointernalistisch&rsquo ist, während der von Steiner &lsquoexternalistisch&rsquo ist.

Bevor sie diskutiert werden, sollte auch darauf hingewiesen werden, dass andere Modelle der wissenschaftlichen Erklärung auf mathematische Erklärungen ausgedehnt werden können. Sie werden in Abschnitt 7 besprochen.

6.1 Ein lokales Erklärungsmodell: Steiner

Steiner schlug 1978 sein Modell der mathematischen Erklärung vor. Bei der Entwicklung seiner eigenen Darstellung des erklärenden Beweises in der Mathematik diskutiert er eine Reihe von zunächst plausiblen Erklärungskriterien, z.B. die (höhere) Abstraktheit oder Allgemeingültigkeit eines Beweises, seine Sichtbarkeit und sein genetischer Aspekt, der zur Entdeckung des Ergebnisses führen würde. Im Gegensatz dazu greift Steiner die Idee auf, "das Verhalten einer Entität zu erklären, leitet man das Verhalten aus dem Wesen oder der Natur der Entität ab" (Steiner 1978a, 143). Um die notorischen Schwierigkeiten bei der Definition der Begriffe Wesen und wesentliche (oder notwendige) Eigenschaft zu vermeiden, die im Übrigen in mathematischen Zusammenhängen ohnehin nicht sinnvoll erscheinen, da alle mathematischen Wahrheiten als notwendig angesehen werden, führt Steiner den Begriff der Charakterisierung ein Eigentum. (Lassen Sie mich nebenbei erwähnen, dass Kit Fine zwischen wesentlichen und notwendigen Eigenschaften unterscheidet und dass die Unterscheidung vielleicht in diesem Zusammenhang ausgenutzt werden könnte). Mit der Charakterisierung von Eigentum meint Steiner „ein Eigentum, das für eine gegebene Entität oder Struktur innerhalb einer Familie oder Domäne solcher Entitäten oder Strukturen einzigartig ist&rdquo, wobei der Begriff der Familie als undefiniert angesehen wird. Was also einen erklärenden Beweis von einem nicht-erklärenden unterscheidet, ist, dass nur der erstere eine solche charakterisierende Eigenschaft beinhaltet. In Steiners Worten: „ein erklärender Beweis bezieht sich auf eine charakterisierende Eigenschaft einer im Satz erwähnten Entität oder Struktur, so dass aus dem Beweis ersichtlich ist, dass das Ergebnis von der Eigenschaft abhängt&rdquo. Darüber hinaus ist ein erklärender Beweis im folgenden Sinne verallgemeinerbar. Die Variation des relevanten Merkmals (und damit einer bestimmten charakterisierenden Eigenschaft) in einem solchen Beweis führt zu einer Reihe entsprechender Theoreme, die durch eine Reihe von „Deformationen&rdquo des ursprünglichen Beweises bewiesen&mdashanderklärt&mdash werden. Damit gelangt Steiner zu zwei Kriterien für erklärende Beweise, nämlich Abhängigkeit von einer charakterisierenden Eigenschaft und Generalisierbarkeit durch Variation dieser Eigenschaft (Steiner 1978a, 144, 147).

Steiners Modell wurde 1987 von Resnik & Kushner kritisiert, die die absolute Unterscheidung zwischen erklärenden und nicht erklärenden Beweisen in Frage stellten und argumentierten, dass eine solche Unterscheidung nur kontextabhängig sein kann. Sie lieferten auch Gegenbeispiele zu den von Steiner verteidigten Kriterien. In Hafner & Mancosu 2005 wird argumentiert, dass die Kritik von Resnik und Kushner als Herausforderung für Steiner nicht ausreicht, da sie sich darauf verlassen, bestimmten Beweisen Erklärungskraft zuzuschreiben, die nicht auf Bewertungen von praktizierenden Mathematikern beruht, sondern sich auf die Intuitionen der Autoren verlassen. Im Gegensatz dazu bauen Hafner und Mancosu ihre Argumentation gegen Steiner mit einem in der mathematischen Praxis als solcher anerkannten Erklärungsfall aus der realen Analyse auf, der den Beweis des Kummerschen Konvergenzkriteriums betrifft. Sie argumentieren, dass die Erklärungskraft des Beweises des fraglichen Ergebnisses in Steiners Modell nicht berücksichtigt werden kann, und diese Kritik ist entscheidend für eine sorgfältige und detaillierte Prüfung verschiedener konzeptioneller Komponenten des Modells. Darüber hinaus finden sich weitere Erläuterungen zu Steiners Konto in Weber & Verhoeven 2002, Pincock 2015b, Salverda 2017 und Gijsbers 2017.

6.2 Ein ganzheitliches Erklärungsmodell: Kitcher

Kitcher ist ein bekannter Verteidiger einer Darstellung der wissenschaftlichen Erklärung als theoretische Vereinigung. Eine der Tugenden seiner Sichtweise sieht Kitcher darin, dass sie auch auf die Erklärung in der Mathematik angewendet werden kann, im Gegensatz zu anderen wissenschaftlichen Erklärungstheorien, deren zentrale Konzepte, etwa Kausalität oder Naturgesetze, für die Mathematik nicht relevant erscheinen. Kitcher hat der mathematischen Erklärung keinen einzigen Artikel gewidmet und so kann seine Position nur aus dem abgeleitet werden, was er in seinen Hauptartikeln über die wissenschaftliche Erklärung über die Mathematik sagt. In Kitcher 1989 verwendet er die Vereinheitlichung als übergreifendes Erklärungsmodell sowohl in den Naturwissenschaften als auch in der Mathematik:

Kitcher behauptet, dass hinter der Erklärung von Hempel, die das Gesetzesmodell und das offizielle Erklärungsmodell für den logischen Positivismus abdeckte, ein inoffizielles Modell steckte, das Erklärung als Vereinheitlichung ansah. Was ist von einem Erklärungsansatz zu erwarten? Kitcher im Jahr 1981 weist auf zwei Dinge hin. Erstens sollte eine Erklärungstheorie erklären, wie die Wissenschaft unser Verständnis der Welt vorantreibt. Zweitens soll es uns bei der Bewertung oder Schlichtung von Streitigkeiten in der Wissenschaft helfen. Er behauptet, dass das Modell des Deckungsgesetzes in beiden Punkten scheitert und schlägt vor, dass sein Vereinigungskonto viel besser abschneidet.

Inspiration fand Kitcher in Friedman 1974, wo Friedman die Idee vorbrachte, dass das Verständnis der Welt durch die Wissenschaft erreicht wird, indem die Anzahl der Fakten reduziert wird, die wir als brachial ansehen:

Friedman versuchte, diese Intuition zu präzisieren, indem er den Appell an Phänomene und Gesetze durch sprachliche Beschreibungen ersetzte. Kitcher ist mit den spezifischen Details des Vorschlags von Friedman nicht einverstanden, hält die allgemeine Intuition jedoch für richtig. Er modifiziert Friedmans Vorschlag, indem er betont, dass das, was hinter der Vereinigung steckt, die Reduzierung der Anzahl der Argumentationsmuster ist, die bei der Bereitstellung von Erklärungen verwendet werden, während die Anzahl der erklärten Phänomene so umfassend wie möglich ist:

Lassen Sie uns dies etwas formaler machen. Beginnen wir mit einem Set K von Überzeugungen, von denen angenommen wird, dass sie konsistent und deduktiv geschlossen sind (informell kann man sich dies als eine Reihe von Aussagen vorstellen, die von einer idealen wissenschaftlichen Gemeinschaft zu einem bestimmten Zeitpunkt unterstützt werden Kitcher 1981, S.75). Eine Systematisierung von K ist eine beliebige Menge von Argumenten, die einige Sätze in der ableiten K aus anderen Sätzen von K. Der erklärende Laden vorbei K, E(K), ist die beste Systematisierung von K (Kitcher macht hier eine Idealisierung, indem er behauptet, dass E(K) ist einzigartig). Entsprechend unterschiedlicher Systematisierungen haben wir unterschiedliche Vereinheitlichungsgrade. Der höchste Grad der Vereinheitlichung ist der gegeben durch E(K). Doch nach welchen Kriterien kann eine Systematisierung als die beste beurteilt werden? Es gibt drei Faktoren: die Anzahl der Muster, die Stringenz der Muster und die Folge der aus der Vereinigung ableitbaren Konsequenzen.

Wir können hier nicht auf die technischen Details von Kitchers Modell eingehen. Im Gegensatz zu Steiners Modell der mathematischen Erklärung wurde Kitchers Darstellung der mathematischen Erklärung nicht ausführlich diskutiert (im Gegensatz zu der ausführlichen Diskussion seines Modells im Kontext der allgemeinen Wissenschaftsphilosophie). Eine allgemeine Diskussion findet sich in Tappenden 2005, jedoch keine detaillierte Analyse. Die einzige Ausnahme bildet Hafner & Mancosu 2008, wo das Kitcher-Modell im Licht des Brumfiel-Falls anhand der realen algebraischen Geometrie getestet wird, wie in Abschnitt 4 beschrieben. Die Autoren argumentieren, dass das Kitcher-Modell Vorhersagen über die Erklärungskraft macht, die bestimmten Fällen in der mathematischen Praxis widersprechen (siehe auch Pincock 2015b).


Mathe-Arbeitsblätter und Ausdrucke für die vierte Klasse

Wenn die Kinder die dritte Klasse beenden, haben sie ein grundlegendes Verständnis der vier Grundsätze der Mathematik: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Die wirklich anspruchsvolle Arbeit beginnt in der vierten Klasse, in der Konzepte wie mehrstellige Multiplikation und komplexe Wortaufgaben eingeführt werden. Es besteht kein Zweifel, dass Mathematik in der vierten Klasse ein wenig überwältigend sein kann, also helfen Sie Ihrem Kind mit unseren Mathe-Arbeitsblättern für die vierte Klasse, dieses neue Arithmetik-Abenteuer zu erleben.

With a variety of topics to choose from and easy-to-understand instructions, our fourth grade math worksheets are perfect for honing the concepts taught in the classroom. There are even worksheets that require your student to solve a set of problems within a given time limit—ideal for chapter exam preparation.

Of course, just like at earlier grade levels, fourth graders are more likely to embrace math practice if they find it enjoyable. Be sure to supplement the tough stuff with such activities as multiplication crossword, fraction fruit, and hexagon mazes. That’s just a small sample of the printable puzzles and games that you’ll find in our database of fourth grade math worksheets.


3.1: Basics and the FTA - Mathematics

Welcome to WEB MATH MINUTE. This website will help you print math sheets to practice math.

What's a MATH MINUTE sheet?
It's a sheet of paper with 50 math questions. The goal is to see how many answers a student can calculate in one minute.

Why Paper?
Some students are still required to write tests with pencils on paper in school, so this website can generate sheets you can print on your printer. You can also practice math minutes online if you prefer.

Okay, what do we do?
To begin, choose whether you want to Print Sheets on Paper, or Practice Online by clicking one of the buttons below.


oder

NEW FEATURES
&bull Half-sheets - Print 2 math tests on a single paper, so you can cut it in half and save paper.
&bull Specific number - Select a specific number to practice multiplication or any other equation.
&bull Mix it up - Select addition and subtraction, or multiplication and division, all on the same test.


Symbolab Blog

Integration is the inverse of differentiation. Even though derivatives are fairly straight forward, integrals are not. Some integration problems require techniques such as substitution, integration by parts, trigonometric substitutions, or possibly more than one method. We will walk you through slowly, starting with the basic integration rules: the constant multiplication rule, the power rule, and the sum rule.

Some common functions you should get familiar with (we’ll show you more later):
int a dx = ax + C
int x dx = frac <2>+ C

One more thing to remember, always add the constant of integration C.

Let’s start with the Power Rule: int x^n dx = frac<>> + C,quad n e-1
The power rule simply tells you to divide by n+1 (the power + 1) and increase the power by 1, it’s that simple. Here’s an example of how it works (click here):

Let’s continue with the constant multiplication rule (click here):
int af(x) dx = aint f(x)dx

The constant multiplication rule simply tells to take out the constant

Moving on to the Sum Rule (click here):

That wasn’t too bad. If you’d like to take a pick at some more advanced integrals click here


Schau das Video: Vorzeichenregeln der Mathematik (September 2021).