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1.7: Bewegung zum Gleichgewicht - Mathematik Math


Nun betrachten wir ein neues mathematisches Modell, das verwendet wird, um die Reaktion von Systemen auf ständige Material- oder Energiezufuhr zu beschreiben. Beispiele beinhalten

  • Ein unberührter See hat einen konstanten Fluss von Süßwasser in ihn und einen gleichen Fluss von Wasser aus dem See. Neben dem See wird eine Fabrik gebaut, die jeden Tag eine festgelegte Menge chemischer Abfälle in den See entlässt. Der chemische Abfall wird sich im See vermischen und ein Teil wird den See im abfließenden Wasser verlassen. Die Menge des chemischen Abfalls im See wird zunehmen, bis die Menge an Chemikalien, die den See jeden Tag verlässt, gleich der Menge ist, die täglich von der Fabrik freigesetzt wird.
  • Der Stickstoff im Muskel eines Tauchers beträgt anfangs 0,8 atm, der Partialdruck von N2 in atmosphärischer Luft. Sie steigt auf 20 Meter ab und atmet Luft mit N2 Partialdruck 2,4 atm. Fast sofort ihr Blut N2 Partialdruck beträgt ebenfalls 2,4 atm. Ihr Muskel absorbiert N2 langsamer; jede Minute die Menge an N2 die in ihren Muskel fließt, ist proportional zur Differenz der Partialdrücke von N2 in ihrem Blut (2,4 atm) und in ihrem Muskel. Allmählich ihr Muskel N2 Partialdruck bewegt sich in Richtung 2,4 atm.
  • Eine Henne verlässt ein Nest und setzt ihre Eier der Luft bei Temperaturen aus, die niedriger sind als die (37^{circ} C) der Eier, als sie das Nest verlassen hat. Die Temperatur der Eier nimmt in Richtung der Lufttemperatur ab.

Beispiel 1.7.1 Chemische Verschmutzung in einem See. Ein unberührter See mit einer Fläche von 2 km2 und eine durchschnittliche Tiefe von 10 Metern wird von einem Fluss mit einer Geschwindigkeit von 10.000 m . durchflossen3 pro Tag. Am Fluss wird eine Fabrik gebaut, die täglich 100 kg Chemieabfälle in den See entlässt. Wie hoch wird die Menge an Chemieabfällen in den nächsten Tagen im See sein? Siehe auch: mathinsight.org/chemical_verschmutzung_lake_model

Wir schlagen das folgende mathematische Modell vor.

Schritt 1. Mathematisches Modell. Die tägliche Veränderung des chemischen Abfalls im See ist die Differenz zwischen der Menge, die jeden Tag von der Fabrik freigesetzt wird, und der Menge, die aus dem See den Ausgangsfluss hinunterfließt. Die Menge an chemischem Abfall, die jeden Tag den See verlässt, ist gleich der Menge an Wasser, die den See an diesem Tag verlässt, multipliziert mit der Konzentration der chemischen Abfälle in diesem Wasser. Nehmen Sie an, dass sich die Chemikalie bei der Freigabe aus der Fabrik schnell im ganzen See vermischt, so dass die Chemikalienkonzentration im See gleichmäßig ist.

Schritt 2. Notation. Sei (t) die Zeit gemessen in Tagen nach Eröffnung der Fabrik und (W_t) sei der chemische Abfall in kg und (C_t) die Konzentration des chemischen Abfalls in (kg/m^3) im See am Tag (t). Sei (V) das Volumen des Sees und (F) der tägliche Wasserfluss durch den See.

Schritt 3. Gleichungen. Das Seevolumen seine Fläche mal seine Tiefe; nach den angegebenen Daten,

[egin{ausgerichtet}
&V=2 mathrm{km}^{2} 10 mathrm{m}=2 cdot 10^{7} mathrm{m}^{3}
&F=10^{4} frac{mathrm{m}^{3}}{mathrm{Tag}}
& ext { Die Chemikalienkonzentration im See beträgt } quad C_{t}=frac{W_{t}}{V}=frac{W_{t}}{2 imes 10^{7}} frac{ extrm{kg}}{ extrm{m}^{3}}
end{ausgerichtet}]

Die Änderung der Chemikalienmenge am Tag (t) beträgt (W_{t+1} − W_{t}) und

[egin{ausgerichtet}
ext{ Änderung pro Tag } &= quad ext{ Betrag, der pro Tag hinzugefügt wird } &&− quad ext{ Betrag, der pro Tag entfernt wird }
W_{t+1} - W_{t} &= quadquadquadquadquad 100 &&- quadquadquadquadquad Fcdot C_{t}
W_{t+1} - W_{t} &=quadquadquadquadquad 100quad &&-quadquadquadquadquad 10^{4}frac{W_t}{2 cdot 10^7}
W_{t+1} - W_{t} &=quadquadquadquadquad 100quad &&-quadquadquadquadquad 5cdot 10^{-4} W_{t }
end{ausgerichtet}]

Die Einheiten in der Gleichung sind

[egin{ausgerichtet}
W_{t+1}-W_{t} &=100-10^{4} frac{W_{t}}{2 cdot 10^{7}}
mathrm{kg}-mathrm{kg} &=mathrm{kg}-mathrm{m}^{3} frac{mathrm{kg}}{mathrm{m}^{3}}
end{ausgerichtet}]

und sie sind konsistent.

Am Tag 0 ist der chemische Gehalt des Sees 0. Somit haben wir

[egin{ausgerichtet}
W_{0} &=0
W_{t+1}-W_{t} &=100-5 cdot 10^{-4} W_{t}
end{ausgerichtet}]

und wir schreiben es um als

[egin{ausgerichtet}
W_{0} &=0
W_{t+1} &=100+0,9995 W_{t}
end{ausgerichtet}]

Schritt 5. Lösen Sie die dynamische Gleichung. Wir können die Mengen an Chemieabfällen im See in den ersten Tagen berechnen13 und finde 0, 100, 199,95, 299,85, 399,70 für die ersten fünf Einträge. Wir könnten 365 Mal iterieren, um herauszufinden, wie hoch der chemische Gehalt am Ende eines Jahres sein wird (wir würden aber wahrscheinlich die Zählung verlieren).

Gleichgewichtszustand. Die Umweltschützer wollen den „eventuellen Zustand“ des Chemiemülls im See wissen. Sie würden vorhersagen, dass die Chemikalie im See zunehmen wird, bis es an aufeinanderfolgenden Tagen keine Wahrnehmungsänderung gibt. Das Gleichgewichtszustand ist eine Zahl (E), so dass, wenn (W_{t} = E, W_{t+1}) auch (E) ist. Aus (W_{t+1} = 100 + 0,9995 W_{t}) schreiben wir

[E=100+0.9995 E, quad E=frac{100}{1-0.9995}=200.000]

Wenn die Chemikalie im See 200.000 kg erreicht, entspricht die Menge, die täglich aus dem See fließt, der Menge, die täglich von der Fabrik zugeführt wird.

Das Gleichgewicht (E) ist auch mathematisch nützlich. Subtrahiere die Gleichungen

[egin{ausgerichtet}
W_{t+1} &=100+0,9995 W_{t}
E &=100+0,9995 E
end{ausgerichtet}]

[W_{t+1}-E=0.9995left(W_{t}-E ight)]

Mit (D_{t} = W_{t} − E) lautet diese Gleichung

[D_{t}+1=0,9995 D_{t} quad ext{ mit der Lösung } quad D_{t}=D_{0} 0,9995^{t}]

Dann

[W_{t}-E=left(W_{0}-E ight) 0,9995^{t}, quad W_{t}=200000-200000 cdot 0,9995^{t}]

Der Graph von (W_t) ist in Abbildung 1.7.1 dargestellt, und (W_t) ist bis 200.000 kg asymptotisch.

Abbildung (PageIndex{1}): Die Menge an Chemikalienabfällen in einem See.

Sie können den chemischen Stand des Sees am Ende eines Jahres aus der Grafik ablesen oder berechnen

[W_{365}=200000-200000 cdot 0,9995^{365} doteq 33.000 kg]

33.000 der 36.500 kg Chemikalien, die im ersten Jahr in den See freigesetzt wurden, befinden sich am Jahresende noch im See. Beachten Sie, dass der See auch nach 20 Jahren noch nicht ganz im Gleichgewicht ist.

Wir können herausfinden, wie lange es dauert, bis der See 98 Prozent des Gleichgewichtswertes erreicht, indem wir fragen, was (t) ist (W_t = 0,98 cdot 200000)? Daher,

[egin{ausgerichtet}
W_{t}=0.98200000 &=200000-2000000.9995^{t}
0,98 &=1-0,9995^{t}
0,9995^{t} &=0,02
log 0.9995^{t} &=log 0.02
t log 0,9995 &=log 0,02
t &=frac{log 0.02}{log 0.9995}=7822 quad ext{Tage}=21,4quad ext{Jahre}
end{ausgerichtet}]

Schritt 6. Vergleichen Sie die Lösung mit den Daten. Leider haben wir keine Daten für dieses Modell. Das Volumen und die Strömung wurden so gewählt, dass sie sich dem Eriesee annähern, aber der See ist viel komplexer als unser einfaches Modell. Eine Simulation des Prozesses ist jedoch einfach:

Beispiel 1.7.2 Simulation des chemischen Eintrags in einen See. Beginnen Sie mit zwei 1-Liter-Bechern, einem Vorrat an destilliertem Wasser und Salz und einem Messgerät zur Messung der Leitfähigkeit im Wasser. Geben Sie einen Liter destilliertes Wasser und 0,5 g Salz in den Becher F (Werk). Geben Sie einen Liter destilliertes Wasser in den Becher L (See). Wiederhole

  1. Messen und notieren Sie die Leitfähigkeit des Wasserbechers L.
  2. 100 ml Lösung aus Becherglas L entnehmen und verwerfen.
  3. 100 ml Salzwasser von Becher F in Becher L überführen.

Die Leitfähigkeit des Salzwassers im Becher F soll etwa 1000 Mikrosiemens ((mu S)) betragen. Die Leitfähigkeit des Wassers im Becherglas L sollte anfangs 0 betragen und mit steigender Salzkonzentration in L zunehmen. Daten und ein Diagramm der Daten sind in Abbildung 1.7.2 dargestellt und sehen ähnlich aus wie das Diagramm in Abbildung 1.7.1. In Aufgabe 1.7.4 werden Sie gebeten, ein mathematisches Modell dieser Simulation zu schreiben und zu lösen und die Lösung mit den Daten zu vergleichen.

Abbildung (PageIndex{2}): Daten für Beispiel 1.7.2, Simulation der Infusion von chemischem Abfallprodukt in einen See.

Übungen zu Abschnitt 1.7 Bewegung zum Gleichgewicht.

Übung 1.7.1 Für jedes der folgenden Systeme gilt:

  1. Berechne (W_{0}, W_{1}, W_{2}, W_{3}) und (W_4).
  2. Finden Sie den Gleichgewichtswert von Wt für die Systeme.
  3. Schreiben Sie eine Lösungsgleichung für das System.
  4. Berechne (W_{100}).
  5. Berechnen Sie die Halbwertszeit (T_{1/2} = − frac{log{2}}{log{B}}) des Systems.
    1. (egin{ausgerichtet} W_{0} &= 0 W_{t+1} &= 1 - 0,2 W_{t} end{ausgerichtet})
    2. (egin{ausgerichtet} W_{0} &= 0 W_{t+1} &= 10 - 0,2 W_{t} end{ausgerichtet})
    3. (egin{ausgerichtet} W_{0} &= 0 W_{t+1} &= 100 - 0,2 W_{t} end{ausgerichtet})
    4. (egin{ausgerichtet} W_{0} &= 0 W_{t+1} &= 10 - 0,1 W_{t} end{ausgerichtet})
    5. (egin{ausgerichtet} W_{0} &= 0 W_{t+1} &= 10 - 0,05 W_{t} end{ausgerichtet})
    6. (egin{aligned} W_{0} &= 0 W_{t+1} &= 10 - 0,01 W_{t} end{aligned})

Übung 1.7.3 Für jedes der folgenden Systeme gilt:

  1. Berechne (W_{0}, W_{1}, W_{2}, W_{3}) und (W_{4}).
  2. Beschreiben Sie die Zukunftsterme (W_{5}, W_{6}, W_{7}, cdots).
    1. (egin{ausgerichtet} W_{0} &= 0 W_{t+1} &= 1 - W_{t} end{ausgerichtet})
    2. (egin{aligned} W_{0} &= frac{1}{2} W_{t+1} &= 1 - W_{t} end{aligned})
    3. (egin{ausgerichtet} W_{0} &= 0 W_{t+1} &= 1 + W_{t} end{ausgerichtet})
    4. (egin{ausgerichtet} W_{0} &= 0 W_{t+1} &= 2 + W_{t} end{ausgerichtet})
    5. (egin{ausgerichtet} W_{0} &= 0 W_{t+1} &= 1 + 2 W_{t} end{ausgerichtet})
    6. (egin{ausgerichtet} W_{0} &= -1 W_{t+1} &= 1 + 2 W_{t} end{ausgerichtet})

Übung 1.7.4 Schreiben Sie Gleichungen und lösen Sie sie, um die Salzmenge in den Bechern zu Beginn jedes Zyklus für die Simulation der chemischen Entladung in einen See von Beispiel 1.7.2 zu beschreiben.

Übung 1.7.5 Für unser Modell 1.7.1 der Seeverschmutzung gehen wir davon aus, „dass sich die Chemikalie bei der Freisetzung aus der Fabrik schnell im ganzen See vermischt, so dass die Chemikalienkonzentration im See gleichmäßig ist“. Die Zeitskala für „schnell“ ist relativ zu den anderen Teilen des Modells; in diesem Fall auf den täglichen Zu- und Abfluss in den See. Angenommen, es dauert 10 Tage, bis sich 100 kg der aus der Fabrik freigesetzten Chemikalie im ganzen See gleichmäßig vermischt haben. Schreiben Sie ein mathematisches Modell für diesen Fall. Es gibt mehrere vernünftige Modelle; Ihre Aufgabe, eine davon zu schreiben.

Übung 1.7.6 Eine intravenöse Penicillin-Infusion wird in den Gefäßpool eines Patienten mit einer Rate von 10 mg Penicillin alle fünf Minuten eingeleitet. Die Nieren des Patienten entfernen alle fünf Minuten 20 Prozent des Penicillins aus dem Gefäßpool.

  1. Schreiben Sie ein mathematisches Modell der Veränderung während jeder fünfminütigen Penicillin-Periode beim Patienten.
  2. Schreiben Sie eine Differenzengleichung, die die Penicillin-Menge des Patienten während der 5-Minuten-Intervalle beschreibt.
  3. Wie hoch ist der Ausgangswert von Penicillin beim Patienten?
  4. Wie hoch wird die Gleichgewichtsmenge an Penicillin im Patienten sein? (Das ist wichtig für die Krankenschwester und den Arzt!)
  5. Schreiben Sie eine Lösung der Differenzengleichung.
  6. Zu welchem ​​Zeitpunkt erreicht die Penicillin-Menge des Patienten 90 Prozent des Gleichgewichtswertes? (Die Krankenschwester und der Arzt kümmern sich auch darum. Warum?)
  7. Angenommen, die Nieren des Patienten sind schwach und entfernen nur alle 5 Minuten 10 Prozent des Penicillins aus dem Gefäßpool. Wie hoch ist die Gleichgewichtsmenge an Penicillin im Patienten?

Übung 1.7.7 Der Stickstoffpartialdruck in einem Muskel eines Tauchers beträgt anfangs 0,8 atm. Sie steigt auf 30 Meter ab und sofort die N2 Der Partialdruck in ihrem Blut beträgt 2,4 atm und bleibt bei 2,4 atm, während sie bei 30 Metern bleibt. Jede Minute die N2 Der Partialdruck in ihrem Muskel steigt um einen Betrag, der der Differenz von 2,4 und dem Stickstoffpartialdruck in ihrem Muskel zu Beginn dieser Minute proportional ist.

  1. Schreiben Sie eine dynamische Gleichung mit Anfangsbedingung zur Beschreibung des N2 partieller Druck in ihrem Muskel.
  2. Ihre dynamische Gleichung sollte eine Proportionalitätskonstante haben. Angenommen, diese Konstante beträgt 0,067. Schreiben Sie eine Lösung für Ihre dynamische Gleichung.
  3. Zu welcher Zeit wird die N2 Partialdruck 1,6 sein?
  4. Was ist die Halbwertszeit von N2 Partialdruck im Muskel mit dem Wert K = 0,067?

13 Auf Ihrem Taschenrechner: (egin{array}{cccccc}0 & ext { ENTER } & imes 0.9995+100 & ext { ENTER } & ext { ENTER } & ext { ENTER } & ext { ENTER }end{array})


Lieferung von Waren und Dienstleistungen

Wenn Ökonomen über reden liefern, bezeichnen sie die Menge einer Ware oder Dienstleistung, die ein Produzent zu jedem Preis zu liefern bereit ist. Der Preis ist das, was der Hersteller für den Verkauf einer Einheit von a . erhält gut oder Service. Ein Preisanstieg führt fast immer zu einem Anstieg der Menge geliefert dieser Ware oder Dienstleistung, während ein Preisrückgang die angebotene Menge verringert. Steigt beispielsweise der Benzinpreis, ermutigt dies gewinnorientierte Unternehmen, mehrere Maßnahmen zu ergreifen: die Exploration nach Ölreserven auszuweiten, nach mehr Öl zu bohren, in mehr Pipelines und Öltanker zu investieren, um das Öl zu Fabriken zu bringen, wo es zu Benzin raffiniert werden kann neue Ölraffinerien bauen zusätzliche Pipelines und Lastwagen kaufen, um das Benzin zu Tankstellen zu transportieren und mehr Tankstellen zu eröffnen oder bestehende Tankstellen länger geöffnet zu halten. Ökonomen nennen diese positive Beziehung zwischen Preis und angebotener Menge – dass ein höherer Preis zu einer höheren angebotenen Menge und ein niedrigerer Preis zu einer geringeren angebotenen Menge führt – die Gesetz des Angebots. Das Gesetz des Angebots geht davon aus, dass alle anderen Variablen, die das Angebot beeinflussen (wird im nächsten Modul erklärt), konstant gehalten werden.

Sie sind sich bei den verschiedenen Versorgungsarten noch unsicher? Siehe die folgende Clear It Up-Funktion.

Ist Angebot gleich Angebotsmenge?

In der wirtschaftlichen Terminologie ist Angebot nicht gleich Angebotsmenge. Wenn Ökonomen von Angebot sprechen, meinen sie die Beziehung zwischen einer Preisspanne und den zu diesen Preisen angebotenen Mengen, eine Beziehung, die mit einer Angebotskurve oder einem Angebotsplan veranschaulicht werden kann. Wenn Ökonomen von der angebotenen Menge sprechen, meinen sie nur einen bestimmten Punkt auf der Angebotskurve oder eine Menge auf dem Angebotsplan. Kurz gesagt bezieht sich das Angebot auf die Kurve und die angebotene Menge auf den (spezifischen) Punkt auf der Kurve.

Abbildung 2 illustriert das Gesetz des Angebots am Beispiel des Benzinmarktes. Wie die Nachfrage kann auch das Angebot anhand einer Tabelle oder eines Diagramms dargestellt werden. EIN Lieferplan ist eine Tabelle wie Tabelle 2, die die angebotene Menge zu unterschiedlichen Preisen anzeigt. Auch hier wird der Preis in Dollar pro Gallone Benzin gemessen und die angebotene Menge wird in Millionen Gallonen gemessen. EIN Angebotskurve ist eine grafische Darstellung der Beziehung zwischen dem Preis auf der vertikalen Achse und der Menge auf der horizontalen Achse. Der Angebotsplan und die Angebotskurve sind nur zwei verschiedene Möglichkeiten, die gleichen Informationen anzuzeigen. Beachten Sie, dass die horizontalen und vertikalen Achsen im Diagramm für die Angebotskurve die gleichen sind wie für die Nachfragekurve.

Figur 2. Eine Angebotskurve für Benzin. Der Lieferplan ist die Tabelle, die die gelieferte Benzinmenge zu jedem Preis anzeigt. Mit steigendem Preis steigt auch die angebotene Menge und umgekehrt. Die Angebotskurve (S) wird erstellt, indem die Punkte aus dem Angebotsplan grafisch dargestellt und anschließend verbunden werden. Die Steigung der Angebotskurve veranschaulicht das Gesetz des Angebots, dass ein höherer Preis zu einer höheren angebotenen Menge führt und umgekehrt.

Preis (pro Gallone) Liefermenge (Millionen Gallonen)
$1.00 500
$1.20 550
$1.40 600
$1.60 640
$1.80 680
$2.00 700
$2.20 720
Tabelle 2. Preis und Angebot von Benzin

Die Form der Angebotskurven variiert je nach Produkt etwas: steiler, flacher, gerader oder gekrümmt. Fast alle Angebotskurven haben jedoch eine grundlegende Ähnlichkeit: Sie steigen von links nach rechts an und veranschaulichen das Gesetz des Angebots: Wenn der Preis beispielsweise von 1,00 USD pro Gallone auf 2,20 USD pro Gallone steigt, steigt die angebotene Menge von 500 Gallonen auf 720 Gallonen. Umgekehrt sinkt die angebotene Menge, wenn der Preis sinkt.


Engpässe

So wie ein Preis über dem Gleichgewichtspreis einen Überschuss verursacht, führt ein Preis unter dem Gleichgewichtspreis zu einer Verknappung. Eine Unterdeckung ist der Betrag, um den die nachgefragte Menge die angebotene Menge zum aktuellen Preis übersteigt.

Abbildung 3.9 “A Knappheit auf dem Kaffeemarkt” zeigt eine Knappheit auf dem Kaffeemarkt. Angenommen, der Preis beträgt 4 US-Dollar pro Pfund. Bei diesem Preis würden monatlich 15 Millionen Pfund Kaffee geliefert und 35 Millionen Pfund pro Monat nachgefragt. Wenn mehr Kaffee nachgefragt als geliefert wird, herrscht Mangel.

Abbildung 3.9 Eine Knappheit auf dem Kaffeemarkt

Bei einem Preis von 4 US-Dollar pro Pfund beträgt die nachgefragte Kaffeemenge 35 Millionen Pfund pro Monat und die angebotene Menge 15 Millionen Pfund pro Monat. Das Ergebnis ist eine Knappheit von 20 Millionen Pfund Kaffee pro Monat.

Angesichts einer Knappheit werden die Verkäufer wahrscheinlich beginnen, ihre Preise zu erhöhen. Wenn der Preis steigt, wird die angebotene Menge erhöht (aber keine Änderung des Angebots) und die nachgefragte Menge reduziert (aber keine Änderung der Nachfrage), bis der Gleichgewichtspreis erreicht ist.


Nur ein Preis auf einem Markt ist nachhaltig

Da jeder Preis unter dem Gleichgewichtspreis P* einen Aufwärtsdruck auf die Preise und jeder Preis über dem Gleichgewichtspreis P* einen Abwärtsdruck auf die Preise bewirkt, sollte es nicht überraschen, dass der einzige nachhaltige Preis auf einem Markt der P* zum Schnittmenge von Angebot und Nachfrage.

Dieser Preis ist nachhaltig, weil bei P* die von den Verbrauchern nachgefragte Menge gleich der von den Produzenten angebotenen Menge ist, so dass jeder, der das Gut zum aktuellen Marktpreis kaufen möchte, dies tun kann und nichts von dem Gut übrig bleibt.


Gravitations-N-Körper-Problem (klassisch)

Kollisionsentwicklung

Betrachten Sie eine isolierte n -Körpersystem, das zunächst durch eine kugelsymmetrische Gleichgewichtslösung der Gleichungen [6] und [7] gegeben sein soll, wie z. B. Gl. [8] . Die Temperatur nimmt mit zunehmendem Radius ab, und ein graviothermisches Durchgehen verursacht den „Kollaps“ des Kerns, der in endlicher Zeit eine extrem hohe Dichte erreicht.(Dieser Kollaps findet auf der langen Zweikörper-Relaxationszeitskala statt und ist daher nicht der schnelle Kollaps auf einer freien Fallzeitskala, was der Name eher vermuten lässt.)

Bei ausreichend hohen Dichten wird die Zeitskala von Dreikörperreaktionen kompetitiv. Diese bilden gebundene Paare, wobei die überschüssige Energie von einem dritten Körper abtransportiert wird. Aus der Sicht der Ein-Teilchen-Verteilungsfunktion F, sind diese Reaktionen exotherm, was zu einer Expansion und Abkühlung der zentralen Regionen mit hoher Dichte führt. Diese Temperaturinversion treibt das graviothermale Durchgehen in umgekehrter Richtung und der Kern dehnt sich aus, bis der Kontakt mit der kühlen Hülle des Systems ein normales Temperaturprofil wiederherstellt. Der Kernkollaps setzt sich erneut fort und führt zu einer chaotischen Folge von Expansionen und Kontraktionen, die als graviothermale Oszillationen bezeichnet werden Figur 4 ).

Figur 4 . Gravothermale Schwingungen in an in n-Körpersystem mit n = 65536. Die zentrale Dichte wird als Funktion der Zeit in Einheiten so aufgetragen, dass t cr = 2 2 . (Quelle: Baumgardt H, Hut P und Makino J, mit Genehmigung.)

Die monotone Energiezufuhr während der kollabierten Phasen bewirkt eine säkulare Ausdehnung des Systems und eine allgemeine Zunahme auf allen Zeitskalen. In jeder Relaxationszeit entweicht ein kleiner Bruchteil der Massen, und schließlich (so wird angenommen) besteht das System aus einer dispergierenden Ansammlung von gegenseitig ungebundenen Einzelmassen, Binäreinheiten und (vermutlich) stabilen Systemen höherer Ordnung.

Es ist sehr bemerkenswert, dass das langfristige Schicksal der größten selbstgravitierenden n-Körper-System scheint eng mit dem Drei-Körper-Problem verbunden zu sein.


1.7: Bewegung zum Gleichgewicht - Mathematik Math

Im vorherigen Abschnitt haben wir eine Population unter der Annahme modelliert, dass die Wachstumsrate konstant ist. In der Realität macht dies jedoch nicht viel Sinn. Es ist klar, dass eine Bevölkerung nicht ewig mit der gleichen Geschwindigkeit wachsen darf. Die Wachstumsrate einer Bevölkerung muss von der Bevölkerung selbst abhängen. Sobald eine Population einen bestimmten Punkt erreicht hat, wird die Wachstumsrate beginnen sich zu reduzieren, oft drastisch. Ein viel realistischeres Modell eines Bevölkerungswachstums liefert die logistische Wachstumsgleichung. Hier ist die logistische Wachstumsgleichung.

In der logistischen Wachstumsgleichung (r) ist intrinsische Wachstumsrate und ist das gleiche (r) wie im letzten Abschnitt. Mit anderen Worten, es ist die Wachstumsrate, die ohne einschränkende Faktoren auftritt. (K) heißt entweder die Sättigungsgrad oder der Tragfähigkeit.

Nun behaupteten wir, dass dies ein realistischeres Modell für eine Population sei. Mal sehen, ob das tatsächlich stimmt. Damit wir ein Richtungsfeld skizzieren können, wählen wir ein paar Zahlen für (r) und (K). Wir verwenden (r = frac<1><2>) und (K = 10). Für diese Werte lautet die Logistikgleichung.

Wenn Sie eine Auffrischung zum Skizzieren von Richtungsfeldern benötigen, gehen Sie zurück und werfen Sie einen Blick auf diesen Abschnitt. Beachten Sie zunächst, dass die Ableitung bei (P = 0) und (P = 10) Null ist. Beachten Sie auch, dass dies tatsächlich Lösungen der Differentialgleichung sind. Diese beiden Werte heißen Gleichgewichtslösungen da sie konstante Lösungen der Differentialgleichung sind. Die restlichen Details zum Skizzieren des Richtungsfeldes überlassen wir Ihnen. Hier ist das Richtungsfeld sowie ein paar skizzierte Lösungen.

Beachten Sie, dass wir hier einen kleinen Teil negativer (P)s eingefügt haben, obwohl sie für ein Populationsproblem wirklich keinen Sinn ergeben. Der Grund dafür wird sich auf der Straße zeigen. Beachten Sie auch, dass eine Population von sagen wir 8 nicht allzu viel Sinn macht, also nehmen wir an, dass die Population Tausende oder Millionen beträgt, so dass 8 tatsächlich 8.000 oder 8.000.000 Individuen in einer Population darstellt.

Beachten Sie, dass, wenn wir mit einer Population von Null beginnen, kein Wachstum stattfindet und die Population bei Null bleibt. Die logistische Gleichung wird dies also richtig herausfinden. Beachten Sie als Nächstes, dass, wenn wir mit einer Population im Bereich (0 < Pleft(0 ight) < 10) beginnen, die Population wächst, sich jedoch abflacht, sobald wir uns einer Population von 10 nähern. Wenn wir mit einer Bevölkerung von 10 beginnen, bleibt die Bevölkerung bei 10. Wenn wir schließlich mit einer Bevölkerung von mehr als 10 beginnen, wird die Bevölkerung tatsächlich absterben, bis wir uns einer Bevölkerung von 10 nähern Der Bevölkerungsrückgang wird sich verlangsamen.

Nun, aus realistischer Sicht sollte dies einen Sinn ergeben. Bevölkerungen können nicht einfach unbegrenzt wachsen. Irgendwann wird die Bevölkerung eine solche Größe erreichen, dass die Ressourcen eines Gebiets nicht mehr in der Lage sind, die Bevölkerung zu ernähren, und das Bevölkerungswachstum beginnt sich zu verlangsamen, je näher diese Schwelle kommt. Auch wenn Sie mit einer Bevölkerung beginnen, die größer ist als das, was ein Gebiet aufrechterhalten kann, wird es tatsächlich ein Sterben geben, bis wir uns dieser Schwelle nähern.

In diesem Fall scheint dieser Schwellenwert 10 zu sein, was auch der Wert von (K) für unser Problem ist. Das sollte den Namen erklären, den wir ursprünglich (K) gegeben haben. Die Tragfähigkeit oder der Sättigungsgrad eines Gebiets ist die maximal nachhaltige Bevölkerung für dieses Gebiet.

Die Logistikgleichung ist also, obwohl sie noch recht simpel ist, viel besser geeignet, um zu modellieren, was mit einer Bevölkerung passieren wird.

Kommen wir nun zum Punkt dieses Abschnitts. Die Logistikgleichung ist ein Beispiel für eine autonome Differentialgleichung. Autonome Differentialgleichungen sind Differentialgleichungen der Form.

Die unabhängige Variable, in diesem Fall (t), kommt nur in der Ableitung vor.

Beachten Sie, dass wenn (fleft( <> ight) = 0) für einen Wert (y = ) dann ist dies auch eine Lösung der Differentialgleichung. Diese Werte heißen Gleichgewichtslösungen oder Gleichgewichtspunkte. Wir möchten diese Lösungen klassifizieren. Unter klassifizieren verstehen wir folgendes. Wenn Lösungen „in der Nähe“ einer Gleichgewichtslösung beginnen, bewegen sie sich dann von der Gleichgewichtslösung weg oder hin zur Gleichgewichtslösung? Wenn wir die Gleichgewichtslösungen klassifizieren, können wir dann wissen, was alle anderen Lösungen der Differentialgleichung auf lange Sicht tun werden, indem wir einfach darauf achten, bei welchen Gleichgewichtslösungen sie beginnen.

Also, was meinen wir mit "in der Nähe"? Gehen Sie zurück zu unserer Logistikgleichung.

Wie bereits erwähnt, gibt es für diese Gleichung (P = 0) und (P = 10) zwei Gleichgewichtslösungen. Wenn wir die Tatsache ignorieren, dass wir es mit der Bevölkerung zu tun haben, unterteilen diese Punkte die (P)-Zahlengerade in drei verschiedene Regionen.

Wir sagen, dass eine Lösung „in der Nähe“ einer Gleichgewichtslösung beginnt, wenn sie in einem Bereich beginnt, der sich auf beiden Seiten dieser Gleichgewichtslösung befindet. Lösungen, die „in der Nähe“ der Gleichgewichtslösung (P = 10) beginnen, starten also entweder in

und Lösungen, die „in der Nähe“ von (P = 0) beginnen, beginnen entweder in

Für Regionen, die zwischen zwei Gleichgewichtslösungen liegen, können wir uns jede Lösung, die in dieser Region beginnt, nach Bedarf als „in der Nähe“ einer der beiden Gleichgewichtslösungen vorstellen.

Nun entfernen sich alle Lösungen, die „in der Nähe“ von (P = 0) beginnen, mit zunehmendem (t) von der Lösung. Beachten Sie, dass Wegziehen nicht unbedingt bedeutet, dass sie beim Wegziehen unbegrenzt wachsen. Es bedeutet nur, dass sie wegziehen. Lösungen, die größer als (P = 0) beginnen, entfernen sich, bleiben aber beschränkt, wenn (t) wächst. Tatsächlich bewegen sie sich in Richtung (P = 10).

Gleichgewichtslösungen, bei denen sich Lösungen, die „in ihrer Nähe“ beginnen, von der Gleichgewichtslösung entfernen, heißen instabile Gleichgewichtspunkte oder instabile Gleichgewichtslösungen. Für unsere Logistikgleichung ist (P = 0) also eine instabile Gleichgewichtslösung.

Als nächstes bewegen sich alle Lösungen, die „in der Nähe“ von (P = 10) beginnen, mit zunehmendem (t) in Richtung (P = 10). Gleichgewichtslösungen, bei denen Lösungen, die „in der Nähe“ beginnen, sich in Richtung der Gleichgewichtslösung bewegen, heißen asymptotisch stabile Gleichgewichtspunkte oder asymptotisch stabile Gleichgewichtslösungen. (P = 10) ist also eine asymptotisch stabile Gleichgewichtslösung.

Es gibt noch eine weitere Klassifizierung, aber ich warte, bis wir ein Beispiel erhalten, in dem dies auftritt, um sie einzuführen. Schauen wir uns also ein paar Beispiele an.

Finden Sie zunächst die Gleichgewichtslösungen. Dies ist im Allgemeinen einfach genug.

Es sieht also so aus, als hätten wir zwei Gleichgewichtslösungen. Sowohl (y = -2) als auch (y = 3) sind Gleichgewichtslösungen. Unten ist die Skizze einiger Integralkurven für diese Differentialgleichung. Eine Skizze der Integralkurven oder Richtungsfelder kann die Klassifikation der Gleichgewichtslösungen vereinfachen.

Aus dieser Skizze geht hervor, dass Lösungen, die „in der Nähe“ von (y = -2) beginnen, sich alle mit steigendem (t) darauf zubewegen und somit (y = -2) eine asymptotisch stabile Gleichgewichtslösung ist und Lösungen, die beginnen „in der Nähe“ von (y = 3) alle entfernen sich davon, wenn (t) zunimmt, und daher ist (y = 3) eine instabile Gleichgewichtslösung.

Dieses nächste Beispiel wird die dritte Klassifikation vorstellen, die wir Gleichgewichtslösungen geben können.

Die Gleichgewichtslösungen dieser Differentialgleichung lauten (y = -2), (y = 2) und (y = -1). Unten ist die Skizze der Integralkurven.

Daraus ist (hoffentlich) klar, dass (y = 2) eine instabile Gleichgewichtslösung und (y = -2) eine asymptotisch stabile Gleichgewichtslösung ist. (y = -1) verhält sich jedoch anders als diese beiden. Lösungen, die darüber beginnen, bewegen sich in Richtung (y = -1), während Lösungen, die unterhalb von (y = -1) beginnen, sich mit zunehmendem (t) wegbewegen.

In Fällen, in denen sich Lösungen auf einer Seite einer Gleichgewichtslösung in Richtung der Gleichgewichtslösung bewegen und sich auf der anderen Seite der Gleichgewichtslösung davon wegbewegen, nennen wir die Gleichgewichtslösung halbstabil.


UW BOTHELL ENGINEERING UND MATHEMATIK (BOTHELL) MASCHINENBAU - UW BOTHELL

B ME 221 Statik (4)
Wendet die Vektoranalyse auf das Gleichgewicht von Starrkörpersystemen und Subsystemen an. Umfasst Kraft- und Momentresultanten, Freikörperdiagramme, Schnittgrößen und Reibung. Analysiert grundlegende strukturelle und maschinelle Systeme und Komponenten. Voraussetzung: Mindestnote 2,0 in STMATH 126 oder MATH 126 Mindestnote 2,0 in B PHYS 121 oder PHYS 121.
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B ME 222 Werkstoffmechanik (4)
Führt Verformungen von Festkörpern als Reaktion auf äußere Lasten und Auswirkungen von Verformungen auf Stabilität und Materialverhalten ein. Entwickelt grundlegende Beziehungen zwischen Lasten, Spannungen und Durchbiegungen von Struktur- und Maschinenelementen wie Stangen, Wellen und Balken. Inklusive Labor. Voraussetzung: Mindestnote 2,0 in B ME 221. Angebot: W.
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B ME 223 Dynamik (4) John W Bridge, Jong Yoon
Kinematik von Partikeln, Partikelsystemen und starren Körpern Bewegte Referenzsysteme Kinetik von Partikeln, Partikelsystemen und starren Körpern Gleichgewicht, Energie, Linearimpuls, Drehimpuls. Inklusive Labor. Voraussetzung: Mindestnote 2,0 in B ME 221. Angebot: Sp.
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B ME 293 Sonderthemen Maschinenbau (1-5, max. 15)
Erkundet spezielle Themen im Maschinenbau.
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B ME 301 Einführungsseminar Maschinenbau (1)
Bewertet den Studiengang Maschinenbau an der UW Bothell, hebt seine Besonderheiten hervor und bezieht seine Struktur und Absicht auf den Maschinenbau als Beruf. Nur Kredit/kein Kredit. Angeboten: W.
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B ME 315 Einführung in 3D-Modellierung, Konstruktion und Analyse (4) VLPA Jong Yoon
Explorer entwerfen, darstellen und analysieren von dreidimensionalen Objekten mit computergestützten Methoden und computergestütztem Design (CAD). Zu den Themen gehören Freihandskizzen, die Optimierung der Dokumentation von Konstruktionsparametern und die Übermittlung von Konstruktionsinformationen unter Verwendung geeigneter technischer Standards und Verfahren. Voraussetzung: Mindestnote 2,0 in B ME 222. Angebot: WSp.
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B ME 331 Thermodynamik (4) Steven Collins
Erster und zweiter Hauptsatz der Thermodynamik und ihre Anwendung in offenen und geschlossenen Systemen. Umfasst thermodynamische Eigenschaften von Stoffen, Gasgesetze, Entropie, Strom- und Kältekreisläufe. Voraussetzung: Mindestnote 1,7 in B CHEM 143 B CHEM 144 STMATH 307 und B PHYS 121.
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B ME 332 Strömungsmechanik (4) Shima Abadi, Steven Collins
Einführung in Fluideigenschaften, Hydrostatik, Impulsübertragung in internen und externen Fluidströmungen, Analyse von Fluidströmungssystemen und Fluiddynamik. Voraussetzung: Mindestnote 1,7 in B ME 331 und Mindestnote 1,7 in STMATH 324 Angebot: W.
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B ME 333 Wärmeübertragung (4) Shima Abadi, Steven Collins
Einführung in die Wärmeübertragung durch Leitung, natürliche und erzwungene Konvektion, Strahlung, Wärmeübertragung in Innen- und Außenströmung und Wärmetauscher. Voraussetzung: Mindestnote 1,7 in B ME 332. Angebot: Sp.
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B ME 334 Thermofluidlabor (2)
Wöchentliche Laborexperimente, die den Schülern die Grundlagen des Experimentierens, der Instrumentierung, der Datenerfassung und -analyse, der Fehleranalyse, des Verfassens von Berichten und der Teamfähigkeit vermitteln sollen. Themen sind unter anderem Strömungsmechanik und Wärmeübertragung. Voraussetzung: Mindestnote 1,7 in B ME 331 Mindestnote 1,7 in B ME 332 und Mindestnote 1,7 in B ME 333 Angebot: A.
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B ME 341 Mechanische Systemausführung I (4) John W Bridge
Mechanische Analyse und Materialauswahl von Maschinenkomponenten. Zu den Themen gehören Materialeigenschaften, Belastungsanalyse, erweiterte Festigkeit von Materialien, Schlag, Bruchmechanik, Ermüdung und Zuverlässigkeit. Es wird eine detaillierte Methodik zur Materialauswahl eingeführt. Zugehörige Herstellungsverfahren. Voraussetzung: Mindestnote 1,7 in B ENGR 320 und Mindestnote 1,7 in B ME 223 Angebot: WSp.
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B ME 342 Mechanische Systemausführung II (4) Jong Yoon, John W Bridge
Es werden Analysetechniken für die Konstruktion und Analyse einer Vielzahl von mechanischen Komponenten vorgestellt, darunter Befestigungselemente, Schweißverbindungen, Federn, Lager, Kupplungen und Bremsen, Wellen und Zahnräder. Überlegungen zur Materialauswahl enthalten. Schmierprinzipien werden durch die Lageranalyse eingeführt. Voraussetzung: Mindestnote 1,7 in B ME 341. Angebot: SpS.
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B ME 343 Konstruktion mechanischer Systeme III (5) Jong Yoon
Umfasst dynamische Systemmodellierung (mechanische, elektrische, Fluid- und Thermosysteme), lineare Oszillatoranalyse (Laplace-Transformationen, Fourier-Transformationen, Eigenwertprobleme und Modalanalyse) Leistungsspezifikationen von Rückkopplungsregelsystemen und Reglerdesigns für Einzeleingangs- und Einzelausgangssysteme. Inklusive Laborerfahrungen. Voraussetzung: Mindestnote 1,7 in B ME 342 und B ME 315.
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B ME 345 Grundlagen der Bearbeitung (4)
Einführung in die Prinzipien und Funktionsweise von spanenden Verfahren mit den Schwerpunkten Bohren, Fräsen, Drehen, Sägen und Schleifen. B ME 331 kann gleichzeitig eingenommen werden.
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B ME 410 Elektrische Energie und Maschinen (5) S. COLLINS
Grundlagen elektrischer Schaltungen und Komponenten und deren Anwendung in Motoren, Generatoren und anderen Maschinen, die in industriellen Anwendungen verwendet werden. Inklusive Labor. Voraussetzung: Mindestnote 1,7 in STMATH 126 und B PHYS 122. Angeboten: A.
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B ME 431 Akustiktechnik: Grundlagen (4)
Behandelt die zugrundeliegende Physik diagnostischer und therapeutischer Ultraschallsysteme und deren physikalische Wirkungen. Schätzt wichtige Ultraschallparameter mit numerischen Simulationen, algebraischen Techniken und laborbasierten Messungen. Voraussetzung: Mindestnote 2,0 in B ENGR 310 und B PHYS 123.
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B ME 432 Akustiktechnik: Medizinprodukte (4)
Analyse fortgeschrittener Anwendungen diagnostischer und therapeutischer Ultraschallsysteme bei Regen und peripherem Gewebe. Algebraische Schätzung der durch Ultraschall ausgeübten physikalischen Kräfte und der damit verbundenen biologischen Reaktionen. Literaturübersicht über die Anwendung von Ultraschall auf Gehirn und peripheres Gewebe.
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B ME 433 Advanced Thermal Fluids (4)
Erforscht fortgeschrittene Themen in Thermodynamik, Wärmeübertragung und Strömungsmechanik, einschließlich, aber nicht beschränkt auf HVAC, Verbrennung, kompressible Strömungsmechanik, fortschrittliche Stromerzeugung, Computermethoden und erneuerbare Energien. Voraussetzung: Voraussetzungen: Mindestnote 2,0 in B ME 333 empfohlen: B ME 333
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B ME 435 Einführung in das Heizen, Lüften und Klimatisieren (4)
Grundlagen der Heizung, Lüftung und Klimatisierung (HLK), um Gebäude für ihre Bewohner komfortabel und gesund zu halten und gleichzeitig die Umweltbelastung zu minimieren. Zu den Themen gehören: Eigenschaften der Verbrennung von Luft-Wasser-Gemischen, Kältekreisläufe, Heiz- und Kühllastberechnungen, HLK-Ausrüstung und Auslegung von HLK-Systemen für nachhaltige Gebäude. Voraussetzung: Mindestnote 2,0 in B ME 333.
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B ME 440 Mechanisches Materialverhalten (4)
Gründliche Untersuchung der Grundlagen der Verformung und des Versagens technischer Werkstoffe. Der Schwerpunkt liegt auf der kristallinen Struktur und mikrostrukturellen Aspekten in Bezug auf die Mechanismen der Verformung, Verstärkung und des Bruchs. Die Materialbearbeitung wird auch in Bezug auf die Steuerung der Mikrostruktur diskutiert, um die gewünschten mechanischen Eigenschaften für technische Anwendungen zu erreichen. Vorlesungsbasiert mit In-Class-Laborübungen. Voraussetzung: B ME 341. Angeboten: WSp.
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B ME 446 Nachhaltige Energie (4) Steven Collins
Studiert Prinzipien und Technologien der Energieumwandlung und deren Anwendung in nachhaltigen Stromerzeugungssystemen. Themen sind: Brennstoffe und Verbrennung kombinierte Zyklen erneuerbare Energien Kernkraft Brennstoffzellen und Energiespeicherung. Wirtschaftliche, ökologische und politische Auswirkungen von Energietechnologien werden ebenfalls berücksichtigt.Voraussetzung: Mindestnote 2,0 in B ME 331.
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B ME 450 Einführung in die Meerestechnik und -wissenschaften (4) NW S. Hossein Abadi
Einführung in grundlegende Konzepte der Meereswissenschaften und des Ingenieurwesens durch projektbezogene Aktivitäten. Zu den Themen gehören Hydrostatistik, Hydrodynamik, Meeressensoren, Unterwasserakustik, Sonar, Meeresgeologie, Meeresfahrzeuge, Meeresökosystem, Meeressäuger, Energie, Umweltverschmutzung und Politik. Voraussetzung: Mindestnote 2,0 in B ENGR 310
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B ME 460 Einführung in die Mechatronik (4) Jong Yoon
Erkundet das multidisziplinäre Gebiet der Mechatronik, das eine Kombination aus Maschinenbau, Elektronik, Computertechnik und Steuerungstechnik umfasst. Die Themen umfassen eine Übersicht über grundlegende Programmiersprachen Schaltungsgrundlagen und deren Komponenten Mikrocomputerarchitektur und Anwendungen elektromechanische Aktoren/Sensoren Einführung von intelligenten Materialien für die PC-basierte Steuerung und Anwendung auf intelligente Systeme. Voraussetzung: Mindestnote 2,0 in B ME 343 empfohlen: Computerprogrammierkurs auf Hochschulniveau.
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B ME 481 Bürgeringenieur (5) I&S, DIV Steven Collins
Untersucht die Verantwortlichkeiten des Ingenieurs bei der ethischen Anwendung von Technologie in vielfältigen, vernetzten und globalen Gesellschaften. Historische und zeitgenössische Fälle werden verwendet, um soziokulturelle Implikationen der Ingenieurpraxis und die Rolle von Ingenieuren in der lokalen, nationalen und globalen Entwicklung zu untersuchen. Voraussetzung: Mindestnote 2,0 in B ME 333 und Mindestnote 2,0 in B ME 342.
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B ME 482 Berufsingenieur (5) I&S Steven Collins
Themen in der Berufspraxis des Ingenieurwesens, einschließlich Ingenieurökonomie Produktentwicklung Projektplanung Führung Management und Organisation sowie rechtliche und regulatorische Angelegenheiten Beinhaltet die Überprüfung für die Prüfung zu den Grundlagen des Ingenieurwesens (FE), die als erster Schritt zur Berufszulassung erforderlich ist. Voraussetzung: Mindestnote 1,7 in B ME 481.
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B ME 483 Grundlagen des Ingenieurwesens Mechanische Prüfungsvorbereitung (2)
Unterstützt Maschinenbau-Majors bei der Vorbereitung auf die Prüfung zu den Grundlagen des Ingenieurwesens (FE), dem ersten Schritt auf dem Weg zum lizenzierten Professional Engineer (PE). Die Schüler wiederholen die in der Prüfung behandelten Themen und üben schnelle Problemlösungen unter Bedingungen, die denen der Prüfung ähnlich sind. Voraussetzung: Mindestnote 2,0 in B ME 343. Nur Anrechnung/keine Anrechnung.
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B ME 493 Vertiefungsrichtungen Maschinenbau (1-5, max. 15)
Erkundet spezielle Themen im Maschinenbau.
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B ME 494 Innovation, Design und Unternehmertum (5) I&S
Erkundet nicht-technische Aspekte des Geschäfts, die für das Engineering relevant sind. Zentral ist die Untersuchung der Bedürfnisse von Menschen (als Individuen als Mitglieder der Gesellschaft), die die Erfindung, Konstruktion und Konstruktion von Geräten leiten, und von Unternehmen, die diese Bedürfnisse erfüllen. Themen sind: Bedarfsermittlung, Marktanalyse, Ideenfindung, Patentierung, Entwicklung von Geschäftsplänen. Angeboten: A.
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B ME 495 Capstone-Projekt im Maschinenbau I (2) Pierre D. Mourad
Projekt in kleinen Teams, das auf offene Konstruktionsprobleme im Maschinenbau abzielt. Kann im Rahmen eines Industriepraktikums unter direkter Betreuung der Fakultät für Maschinenbau und des Sponsors absolviert werden. Voraussetzung: Mindestnote 0,7 in B ME 333 B ME 343 und B EE 371/CSS 371.
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B ME 496 Capstone-Projekt im Maschinenbau II (3) Pierre D. Mourad
Kleines Teamprojekt, das auf die Bauphase von offenen Entwurfsproblemen im Maschinenbau abzielt. Kann im Rahmen eines Industriepraktikums unter direkter Betreuung durch die ME-Fakultät und den Sponsor absolviert werden. Kann Studierende komplementärer Disziplinen einbeziehen. Voraussetzung: B ME 495 und kumulativer GPA von mindestens 2,0. Angeboten: Sp.
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B ME 498 Selbstständiges Studium Maschinenbau (1-5, max. 10)
Eigenständiges Studium zu einem Thema oder Bereich, auf das sich der Dozent und der Student einigen.
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B ME 499 Bachelorstudium Maschinenbau (1-5, max. 10)
Undergraduate-Forschung zu einem Thema oder Gebiet, auf das sich der Dozent und der Student einigen.
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Gasphasenreaktionen

Reaktionen hören nicht auf, wenn sie ins Gleichgewicht kommen. Aber die Hin- und Rückreaktion sind im Gleichgewicht im Gleichgewicht, so dass sich die Konzentrationen der Reaktanten oder Produkte nicht ändern und die Reaktion im makroskopischen Maßstab zu stoppen scheint. Chemisches Gleichgewicht ist ein Beispiel für a dynamisch Gleichgewicht zwischen entgegengesetzten Kräften die Vorwärts- und Rückwärtsreaktion kein statisches Gleichgewicht.

Betrachten wir die logischen Konsequenzen der Annahme, dass die Reaktion zwischen ClNO2 und NO erreicht schließlich das Gleichgewicht.

Die Geschwindigkeiten der Hin- und Rückreaktion sind gleich, wenn sich dieses System im Gleichgewicht befindet.

Einsetzen der Geschwindigkeitsgesetze für die Hin- und Rückreaktion in diese Gleichheit ergibt das folgende Ergebnis.

Aber diese Gleichung ist nur gültig, wenn das System im Gleichgewicht ist, also sollten wir (ClNO2), (NEIN), (NEIN2) und (ClNO)-Terme mit Symbolen, die anzeigen, dass die Reaktion im Gleichgewicht ist. Konventionell verwenden wir hierfür eckige Klammern. Die Gleichung, die das Gleichgewicht zwischen Hin- und Rückreaktion beschreibt, wenn sich das System im Gleichgewicht befindet, sollte daher wie folgt geschrieben werden.

Das Umstellen dieser Gleichung ergibt das folgende Ergebnis.

Seit kF und kR Konstanten sind, das Verhältnis von kF geteilt durch kR muss auch eine Konstante sein. Dieses Verhältnis ist das Gleichgewichtskonstante für die Reaktion, KC. Das Verhältnis der Konzentrationen der Edukte und Produkte wird als bezeichnet Gleichgewichtskonstanter Ausdruck.

Unabhängig davon, mit welcher Konzentrationskombination von Reaktanten und Produkten wir beginnen, erreicht die Reaktion ein Gleichgewicht, wenn das Verhältnis der Konzentrationen, das durch den Ausdruck der Gleichgewichtskonstante definiert wird, gleich der Gleichgewichtskonstante für die Reaktion ist. Wir können mit viel ClNO . beginnen2 und sehr wenig NO oder viel NO und sehr wenig ClNO2. Es spielt keine Rolle. Wenn die Reaktion ein Gleichgewicht erreicht, ist die Beziehung zwischen den Konzentrationen der Reaktanten und Produkte, die durch den Ausdruck der Gleichgewichtskonstante beschrieben wird, immer gleich. Bei 25 o C erreicht diese Reaktion immer ein Gleichgewicht, wenn das Verhältnis dieser Konzentrationen 1,3 x 10 4 beträgt.

Das in diesem Abschnitt verwendete Verfahren zur Ableitung des Ausdrucks der Gleichgewichtskonstante funktioniert nur bei Reaktionen, die in einem einzigen Schritt ablaufen, wie z. B. die Übertragung eines Chloratoms von ClNO2 zu NEIN. Viele Reaktionen erfordern eine Reihe von Schritten, um Reaktanten in Produkte umzuwandeln. Aber jede Reaktion, die ein Gleichgewicht erreicht, egal wie einfach oder komplex, hat einen Gleichgewichtskonstantenausdruck, der die Regeln im folgenden Abschnitt erfüllt.

  • Obwohl chemische Reaktionen, die ein Gleichgewicht erreichen, in beiden Richtungen ablaufen, werden die Reagenzien auf der rechten Seite der Gleichung als die "Produkte" der Reaktion und die Reagenzien auf der linken Seite der Gleichung als die "Reaktanten" angenommen
  • Die Reaktionsprodukte werden im Zähler immer über dem Strich geschrieben.
  • Die Reaktanten werden im Nenner immer unter den Strich geschrieben.
  • Für homogene Systeme enthält der Ausdruck der Gleichgewichtskonstante einen Term für jeden Reaktanten und jedes Reaktionsprodukt.
  • Der Zähler des Gleichgewichtskonstantenausdrucks ist das Produkt der Konzentrationen der "Produkte" der Reaktion, potenziert mit dem Koeffizienten für diese Komponente in der ausgeglichenen Reaktionsgleichung. Der Nenner des Gleichgewichtskonstantenausdrucks ist das Produkt der Konzentrationen der "Reaktanten", potenziert mit dem Koeffizienten für diese Komponente in der ausgeglichenen Reaktionsgleichung.

Schreiben Sie Gleichgewichtskonstantenausdrücke für die folgenden Reaktionen.

Für diese Einführung in die Kinetik und das Gleichgewicht wurden Gasphasenreaktionen gewählt, da sie zu den einfachsten chemischen Reaktionen gehören. Einige mögen sich jedoch fragen, warum die Gleichgewichtskonstantenausdrücke in der vorherigen Übung in Bezug auf die Konzentrationen der Gase in Mol pro Liter ausgedrückt werden.

Konzentrationseinheiten wurden verwendet, um die Beziehung zwischen chemischen Gleichgewichten und den Geschwindigkeiten chemischer Reaktionen hervorzuheben, die als Konzentrationen der Reaktanten und Produkte angegeben werden. Diese Auswahl an Einheiten wird durch das Hinzufügen eines tiefgestellten " angezeigtc" zu den Symbolen für die Gleichgewichtskonstanten, um zu zeigen, dass sie aus den Konzentrationen der Reaktionskomponenten berechnet wurden.

Was passiert mit der Größe der Gleichgewichtskonstante für eine Reaktion, wenn wir die Gleichung umdrehen? Betrachten Sie zum Beispiel die folgende Reaktion.

Der Gleichgewichtskonstantenausdruck für diese Gleichung wird wie folgt geschrieben.

Da es sich um eine reversible Reaktion handelt, kann sie auch durch eine in die entgegengesetzte Richtung geschriebene Gleichung dargestellt werden.

Der Ausdruck der Gleichgewichtskonstante wird nun wie folgt geschrieben.

Jeder dieser Gleichgewichtskonstantenausdrücke ist die Umkehrung des anderen. Wir können daher berechnen KC durch Teilen KC in 1.

Wir können auch Gleichgewichtskonstanten berechnen, indem wir zwei oder mehr Reaktionen kombinieren, für die der Wert von KC ist bekannt. Nehmen wir zum Beispiel an, wir kennen die Gleichgewichtskonstanten für die folgenden Gasphasenreaktionen bei 200 °C.

Wir können diese Reaktionen kombinieren, um eine Gesamtgleichung für die Reaktion zwischen N2 und O2 NO . bilden2.

n2(g) + Ö2(g) 2 NEIN(g)
+ 2 NEIN(g) + Ö2(g) 2 NEIN2(g)
______________________________________________________________
n2(g) + 2 O2(g) 2 NEIN2(g)

Es ist leicht zu zeigen, dass der Gleichgewichtskonstantenausdruck für die Gesamtreaktion gleich dem Produkt der Gleichgewichtskonstantenausdrücke für die beiden Schritte in dieser Reaktion ist.

Die Gleichgewichtskonstante für die Gesamtreaktion ist daher gleich dem Produkt der Gleichgewichtskonstanten für die einzelnen Schritte.

Wir haben ein Modell, das beschreibt, was passiert, wenn eine Reaktion ein Gleichgewicht erreicht: Auf molekularer Ebene ist die Geschwindigkeit der Hinreaktion gleich der Geschwindigkeit der Rückreaktion. Da die Reaktion in beide Richtungen mit der gleichen Geschwindigkeit abläuft, ändert sich die Konzentration der Reaktionspartner oder der Produkte auf der makroskopischen Ebene der mit bloßem Auge sichtbaren Objekte nicht. Dieses Modell kann auch verwendet werden, um die Richtung vorherzusagen, in die sich eine Reaktion verschieben muss, um ein Gleichgewicht zu erreichen.

Wenn die Konzentrationen der Reaktanten zu groß sind, damit die Reaktion im Gleichgewicht ist, ist die Geschwindigkeit der Hinreaktion höher als die der Rückreaktion, und einige der Reaktanten werden in Produkte umgewandelt, bis das Gleichgewicht erreicht ist. Umgekehrt, wenn die Konzentrationen der Reaktanten zu gering sind, wird die Geschwindigkeit der Rückreaktion die der Hinreaktion übersteigen und die Reaktion wird einen Teil der überschüssigen Produkte wieder in Reaktanten umwandeln, bis das System ein Gleichgewicht erreicht.

Wir können die Richtung bestimmen, in die sich eine Reaktion verschieben muss, um ein Gleichgewicht zu erreichen, indem wir die Reaktionsquotient (QC) für die Reaktion. Der Reaktionsquotient ist definiert als das Produkt der Konzentrationen der Reaktionsprodukte dividiert durch das Produkt der Konzentration der Reaktionspartner zu einem beliebigen Zeitpunkt.

Um zu veranschaulichen, wie der Reaktionsquotient verwendet wird, betrachten wir die folgende Gasphasenreaktion.

Der Ausdruck der Gleichgewichtskonstante für diese Reaktion wird wie folgt geschrieben.

Analog können wir den Ausdruck für den Reaktionsquotienten wie folgt schreiben.

QC kann jeden Wert zwischen null und unendlich annehmen. Wenn das System viel HI und sehr wenig H . enthält2 und ich2, ist der Reaktionsquotient sehr groß. Enthält das System relativ wenig HI und viel H2 und ich2, ist der Reaktionsquotient sehr klein.

Zu jedem Zeitpunkt gibt es drei Möglichkeiten.

1. QC ist kleiner als KC. Das System enthält zu viel Reaktant und nicht genug Produkt, um im Gleichgewicht zu sein. Der Wert von QC muss zunehmen, damit die Reaktion ein Gleichgewicht erreicht. Daher muss die Reaktion einen Teil der Reaktanten in Produkte umwandeln, um ins Gleichgewicht zu kommen.

2. QC entspricht KC. Ist dies der Fall, befindet sich die Reaktion im Gleichgewicht.

3. QC ist größer als KC. Das System enthält zu viel Produkt und zu wenig Reaktant, um im Gleichgewicht zu sein. Der Wert von QC kleiner werden muss, bevor die Reaktion ins Gleichgewicht kommen kann. Daher muss die Reaktion einige der Produkte in Reaktanten umwandeln, um ein Gleichgewicht zu erreichen.

Nehmen Sie an, dass die Konzentrationen von H2, ICH2, und HI können jederzeit für die folgende Reaktion gemessen werden.

Bestimmen Sie für jeden der folgenden Konzentrationssätze, ob die Reaktion im Gleichgewicht ist. Ist dies nicht der Fall, entscheiden Sie, in welche Richtung es gehen muss, um ein Gleichgewicht zu erreichen.

Die relative Größe von QC und KC denn eine Reaktion sagt uns, ob die Reaktion zu irgendeinem Zeitpunkt im Gleichgewicht ist. Ist dies nicht der Fall, wird die relative Größe von QC und KC Sagen Sie uns, in welche Richtung sich die Reaktion verschieben muss, um ein Gleichgewicht zu erreichen. Jetzt brauchen wir eine Möglichkeit, vorherzusagen, wie weit die Reaktion gehen muss, um das Gleichgewicht zu erreichen. Angenommen, Sie stehen vor dem folgenden Problem.

Die Gleichgewichtskonstante für diese Reaktion beträgt 0,030 bei 250 °C. Unter der Annahme, dass die Anfangskonzentration von PCl5 beträgt 0,100 Mol pro Liter und es gibt kein PCl3 oder Cl2 im System, wenn wir beginnen, berechnen wir die Konzentrationen von PCl5, PCl3, und Cl2 im Gleichgewicht.

Der erste Schritt zur Lösung dieses Problems besteht darin, die Informationen so zu organisieren, dass sie Hinweise für das weitere Vorgehen geben. Das Problem enthält vier Informationsblöcke: (1) eine ausgeglichene Gleichung, (2) eine Gleichgewichtskonstante für die Reaktion, (3) eine Beschreibung der Anfangsbedingungen und (4) eine Angabe zum Ziel der Berechnung der Gleichgewichtskonzentrationen der drei Reaktionskomponenten.

Das folgende Format bietet eine nützliche Möglichkeit, diese Informationen zusammenzufassen.

Wir beginnen mit der Gleichgewichtsgleichung und der Gleichgewichtskonstante für die Reaktion und fügen dann hinzu, was wir über die Anfangs- und Gleichgewichtskonzentrationen der verschiedenen Komponenten der Reaktion wissen. Anfangs enthält der Kolben 0,100 Mol pro Liter PCl5 und kein PCl3 oder Cl2. Unser Ziel ist es, die Gleichgewichtskonzentrationen dieser drei Stoffe zu berechnen.

Bevor wir etwas anderes tun, müssen wir entscheiden, ob die Reaktion im Gleichgewicht ist. Wir können dies tun, indem wir den Reaktionsquotienten für die Anfangsbedingungen mit der Gleichgewichtskonstante für die Reaktion vergleichen.

Obwohl die Gleichgewichtskonstante klein ist (KC = 3,0 x 10 -2 ), ist der Reaktionsquotient noch kleiner (QC = 0). Die einzige Möglichkeit für diese Reaktion, ein Gleichgewicht zu erreichen, besteht darin, dass ein Teil der PCl5 in PCl . zerfallen3 und Cl2.

Da die Reaktion nicht im Gleichgewicht ist, ist eines sicher, dass die Konzentrationen von PCl5, PCl3, und Cl2 wird sich alles ändern, wenn die Reaktion zum Gleichgewicht kommt. Da sich die Reaktion nach rechts verschieben muss, um ein Gleichgewicht zu erreichen, ist die PCl5 Konzentration wird kleiner, während die PCl3 und Cl2 Die Konzentration wird größer.

Auf den ersten Blick scheint dieses Problem drei Unbekannte zu haben: die Gleichgewichtskonzentrationen von PCl5, PCl3, und Cl2. Da es schwierig ist, ein Problem in drei Unbekannten zu lösen, sollten wir nach Beziehungen suchen, die die Komplexität des Problems reduzieren können. Eine Möglichkeit, dieses Ziel zu erreichen, besteht darin, die Beziehung zwischen den Änderungen der PCl .-Konzentrationen zu untersuchen5, PCl3, und Cl2 wenn sich die Reaktion dem Gleichgewicht nähert.

Berechnen Sie den Anstieg des PCl3 und Cl2 Konzentrationen, die auftreten, wenn die folgende Reaktion zum Gleichgewicht kommt, wenn die Konzentration von PCl5 nimmt um 0,042 Mol pro Liter ab.

Es besteht eine einfache Beziehung zwischen Änderung der Konzentrationen der drei Komponenten der Reaktion, wie es aufgrund der Stöchiometrie der Reaktion zum Gleichgewicht kommt.

Es wäre nützlich, ein Symbol zu haben, das die Änderung der Konzentration einer der Komponenten einer Reaktion darstellt, die von den Anfangsbedingungen zum Gleichgewicht übergeht. EIN Zustandsfunktion ist eine Eigenschaft eines Systems, deren Wert nur vom Zustand des Systems abhängt. Die Änderung des Wertes einer Zustandsfunktion wird durch die folgende Gleichung definiert.

Wir können dieses Argument auf Diskussionen über chemische Reaktionen ausweiten, die zum Gleichgewicht kommen, indemx) als die Größe der Änderung, die in der Konzentration von auftritt x wenn die Reaktion zum Gleichgewicht kommt. Wir können definieren (PCl5), zum Beispiel als Größe der Konzentrationsänderung von PCl5 das auftritt, wenn sich diese Verbindung zu PCl . zersetzt3 und Cl2.

(PCl5) = (PCl5) - [PCl5]
PCl5 verbraucht
als Reaktion
kommt zu
Gleichgewicht
Initial
Konzentration
Konzentration
bei
Gleichgewicht

Wenn wir diese Gleichung umstellen, finden wir, dass die Konzentration von PCl5 im Gleichgewicht ist gleich der Anfangskonzentration von PCl5 abzüglich der PCl .-Menge5 verbraucht, wenn die Reaktion ins Gleichgewicht kommt.

[PCl5] = (PCl5) - (PCl5)
Konzentration
bei
Gleichgewicht
Initial
Konzentration
PCl5 verbraucht
als Reaktion
kommt zu
Gleichgewicht

Wir können dann definieren (PCl3) und (Cl2) als die Änderungen, die im PCl . auftreten3 und Cl2 Konzentrationen, wenn die Reaktion ins Gleichgewicht kommt. Die Konzentrationen dieser beiden Stoffe im Gleichgewicht sind größer als ihre Anfangskonzentrationen.

Das Ausmaß der Konzentrationsänderungen dieser drei Stoffe, wenn die Reaktion zum Gleichgewicht kommt, wäre gleich.Wegen der 1:1:1-Stöchiometrie der Reaktion ist die Größe der Konzentrationsänderung von PCl5 wenn die Reaktion ins Gleichgewicht kommt, ist gleich der Größe der Konzentrationsänderung von PCl3 und Cl2.

Wir können daher die Gleichungen umschreiben, die die Gleichgewichtskonzentrationen von PCl . definieren5, PCl3, und Cl2 in Bezug auf eine einzelne Unbekannte: C.

Ersetzen des Wissens über die Anfangskonzentrationen von PCl5, PCl3, und Cl2 in diese Gleichungen ergibt das folgende Ergebnis.

Was wir über diese Reaktion wissen, können wir nun wie folgt zusammenfassen.

Wir haben jetzt nur noch eine Unbekannte C und brauchen nur noch eine Gleichung, um nach einer Unbekannten aufzulösen. Die offensichtliche Gleichung, der man sich zuwenden sollte, ist der Ausdruck der Gleichgewichtskonstante für diese Reaktion.

Ersetzen des Wissens über die Gleichgewichtskonzentrationen von PCl5, PCl3, und Cl2 in diese Gleichung ergibt das folgende Ergebnis.

Diese Gleichung kann erweitert und dann umgeordnet werden, um eine quadratische Gleichung zu ergeben

was mit der quadratischen Formel gelöst werden kann.

Obwohl sich aus dieser Berechnung zwei Antworten ergeben, macht nur die positive Wurzel physikalisch Sinn, da wir keine negative Konzentration haben können. Somit ist die Größe der Konzentrationsänderung von PCl5, PCl3, und Cl2 wie diese Reaktion zum Gleichgewicht kommt, beträgt 0,042 Mol pro Liter.

Setzen Sie diesen Wert von zurück in die Gleichungen, die die Gleichgewichtskonzentrationen von PCl . definieren5, PCl3, und Cl2 gibt folgende Ergebnisse.

Mit anderen Worten, etwas weniger als die Hälfte der PCl5 vorhanden zerfällt zunächst in PCl3 und Cl2 wenn diese Reaktion zum Gleichgewicht kommt.

Um zu überprüfen, ob die Ergebnisse dieser Berechnung legitime Werte für die Gleichgewichtskonzentrationen der drei Komponenten dieser Reaktion darstellen, können wir diese Werte in den Ausdruck der Gleichgewichtskonstante einsetzen.

Diese Ergebnisse müssen legitim sein, da die aus diesen Konzentrationen berechnete Gleichgewichtskonstante gleich dem Wert von ist KC im Problem gegeben, innerhalb experimenteller Fehler.

Gehen Sie von folgenden Anfangskonzentrationen aus: (PCl5) = 0.100 m und (Cl2) = 0.020 m. Berechnen Sie die Gleichgewichtskonzentrationen von PCl5, PCl3, und Cl2 wenn die Gleichgewichtskonstante für die Zerlegung von PCl5 ist 0,030.

Angenommen, Sie wurden gebeten, ein etwas schwieriges Problem zu lösen.

Der erste Schritt bei diesem Problem besteht darin, eine Darstellung der Informationen im Problem zu erstellen.

Wir vergleichen dann den Reaktionsquotienten für die Anfangsbedingungen mit der Gleichgewichtskonstante für die Reaktion.

Da die Anfangskonzentrationen von SO2 und O2 Null sind, muss sich die Reaktion nach rechts verschieben, um ein Gleichgewicht zu erreichen. Erwartungsgemäß sind einige der SO3 muss sich zu SO . zersetzen2 und O2.

Die Stöchiometrie dieser Reaktion ist komplexer als die Reaktion im vorherigen Abschnitt, aber die Konzentrationsänderungen der drei Reaktionskomponenten hängen noch zusammen. Für jeweils zwei Mol SO3 die sich zersetzen, erhalten wir zwei Mol SO2 und ein Mol O2, wie in der Abbildung unten gezeigt. Wir können diese Beziehung in das zuvor verwendete Format integrieren, indem wir die ausgeglichene Gleichung für die Reaktion als Richtlinie verwenden.

Die Vorzeichen der C-Terme in diesem Problem werden dadurch bestimmt, dass sich die Reaktion von links nach rechts verschieben muss, um ein Gleichgewicht zu erreichen. Die Koeffizienten in den C-Termen spiegeln die Koeffizienten in der ausgeglichenen Reaktionsgleichung wider. Weil doppelt so viele Mol SO2 werden als Mol O . produziert2, die Änderung der Konzentration von SO2 wenn die Reaktion ins Gleichgewicht kommt, muss doppelt so groß sein wie die Konzentrationsänderung von O2. Weil zwei Mol SO3 werden für jedes Mol O . verbraucht2 erzeugt, die Änderung des SO3 Konzentration muss doppelt so groß sein wie die Konzentrationsänderung von O2.

2 SO3(g) 2 SO2(g) + Ö2(g) KC = 1,6 x 10 -10
Initial: 0.100 m 0 0
Veränderung: -2 C +2 C + C
Gleichgewicht: 0,100 - 2 C 2 C C

Wenn wir das, was wir über das Problem wissen, in den Ausdruck der Gleichgewichtskonstante für die Reaktion einsetzen, erhalten Sie die folgende Gleichung.

Diese Gleichung ist etwas schwieriger zu erweitern, aber sie kann neu angeordnet werden, um die folgende kubische Gleichung zu erhalten.

4 C 3 - 6,4 x 10 -10 C 2 + 6,4 x 10 -11 C - 1,6 x 10 -12 = 0

Kubische Gleichungen zu lösen ist jedoch schwierig. Dieses Problem ist daher ein Beispiel für eine Familie von Problemen, die schwer, wenn nicht unmöglich, exakt zu lösen sind. Diese Probleme werden mit einer allgemeinen Strategie gelöst, die darin besteht, eine Annahme oder Näherung zu treffen, die sie in einfachere Probleme umwandelt. Die folgenden allgemeinen Regeln werden unsere Diskussion der Näherungsverfahren leiten.

1. Es ist nichts Falsches daran, eine Annahme zu treffen.

2. Es gibt zwei Kardinalsünden:

(a) Vergessen, welche Annahmen gemacht wurden.

(b) Vergessen zu überprüfen, ob die Annahmen gültig sind.

Welche Annahme kann gemacht werden, um dieses Problem zu vereinfachen? Kehren wir zum ersten zurück, was wir getan haben, nachdem wir eine Darstellung für das Problem erstellt haben. Wir begannen unsere Berechnung mit dem Vergleich des Reaktionsquotienten für die Anfangskonzentrationen mit der Gleichgewichtskonstante für die Reaktion.

Daraus haben wir geschlossen, dass der Reaktionsquotient (QC = 0) war kleiner als die Gleichgewichtskonstante (KC = 1,6 x 10 -10 ) und entschieden, dass einige der SO3 müssen sich zersetzen, damit diese Reaktion ins Gleichgewicht kommt.

Aber was ist mit den relativen Größen des Reaktionsquotienten und der Gleichgewichtskonstante für die Reaktion? Die Anfangswerte von QC und KC sind beide relativ klein, was bedeutet, dass die Anfangsbedingungen ziemlich nahe am Gleichgewicht liegen, wie in der Abbildung unten gezeigt. Daher muss die Reaktion nicht weit gehen, um ein Gleichgewicht zu erreichen. Es ist daher vernünftig anzunehmen, dass C in diesem Problem relativ klein ist.

Es ist wichtig, die Art der getroffenen Annahme zu verstehen. Wir gehen nicht davon aus, dass C null ist. Wenn wir das täten, würden alle Unbekannten aus der Gleichung verschwinden! Wir nehmen nur an, dass C klein ist. So klein im Vergleich zur Anfangskonzentration von SO3 dass es keinen signifikanten Unterschied macht, wenn 2 C von dieser Zahl abgezogen wird. Diese Annahme können wir wie folgt schreiben.

Kehren wir nun zu der Gleichung zurück, die wir zu lösen versuchen.

Unter der Annahme, dass 2 C sehr viel kleiner als 0,100 ist, können wir diese Gleichung durch die folgende Näherungsgleichung ersetzen.

Wenn man dies erweitert, erhält man eine Gleichung, die viel einfacher zu lösen ist.

Bevor wir weitermachen können, müssen wir unsere Annahme überprüfen, dass 2 C im Vergleich zu 0,100 so klein ist, dass es keinen signifikanten Unterschied macht, wenn es von dieser Zahl abgezogen wird. Stimmt diese Annahme? Ist 2 C im Vergleich zu 0,100 klein genug, um ignoriert zu werden?

Ja, 2 C ist eine Größenordnung kleiner als der experimentelle Fehler bei der Messung der Anfangskonzentration von SO3.

Wir können daher diesen Näherungswert von C verwenden, um die Gleichgewichtskonzentrationen von SO . zu berechnen3, SO2, und O2.

Das Gleichgewicht zwischen SO3 und Mischungen von SO2 und O2 begünstigt daher stark SO3, Nicht so2.

Wir können die Ergebnisse unserer Berechnung überprüfen, indem wir diese Ergebnisse in den Ausdruck der Gleichgewichtskonstante für die Reaktion einsetzen.

Der Wert der Gleichgewichtskonstante, der sich aus dieser Berechnung ergibt, stimmt innerhalb des experimentellen Fehlers mit dem im Problem angegebenen Wert überein. Unsere Annahme, dass 2 C im Vergleich zur Anfangskonzentration von SO . vernachlässigbar klein ist3 ist daher gültig, und wir können uns auf die Antworten verlassen, die es liefert.

Es bestand kein Zweifel an der Gültigkeit der Annahme, dass C im Vergleich zur Anfangskonzentration von SO . klein sei3 im vorhergehenden Abschnitt. Der Wert von C war so klein, dass 2 C eine Größenordnung kleiner war als der experimentelle Fehler bei der Messung der Anfangskonzentration von SO .3.

Im Allgemeinen können wir eine Vorstellung davon bekommen, ob C klein genug ist, um ignoriert zu werden, indem wir den anfänglichen Reaktionsquotienten mit der Gleichgewichtskonstante für die Reaktion vergleichen. Ob QC und KC beide viel kleiner als 1 oder beide viel größer als 1 sind, muss die Reaktion nicht sehr weit gehen, um ein Gleichgewicht zu erreichen, und die Annahme, dass C klein genug ist, um ignoriert zu werden, ist wahrscheinlich legitim.

Dies wirft eine interessante Frage auf: Wie entscheiden wir, ob es gültig ist, anzunehmen, dass klein genug ist, um ignoriert zu werden? Die Antwort auf diese Frage hängt davon ab, wie viel Fehler wir in unsere Berechnungen einfließen lassen, bevor wir den Ergebnissen nicht mehr vertrauen. Als Faustregel gehen Chemiker normalerweise davon aus, dass C vernachlässigbar klein ist, solange das, was den Anfangskonzentrationen der Reaktanten oder Produkte hinzugefügt oder davon abgezogen wird, weniger als 5 % der Anfangskonzentration beträgt. Der beste Weg, um zu entscheiden, ob die Annahme dieser Faustregel in einer bestimmten Berechnung entspricht, besteht darin, sie auszuprobieren und zu sehen, ob sie funktioniert.

Ammoniak wird aus Stickstoff und Wasserstoff durch die folgende reversible Reaktion hergestellt.

Angenommen, die Anfangskonzentration von N2 beträgt 0,050 Mol pro Liter und die Anfangskonzentration von H2 beträgt 0,100 Mol pro Liter. Berechnen Sie die Gleichgewichtskonzentrationen der drei Komponenten dieser Reaktion bei 500 °C, wenn die Gleichgewichtskonstante für die Reaktion bei dieser Temperatur 0,040 beträgt.

Man kann sich leicht ein Problem vorstellen, bei dem die Annahme, dass C im Vergleich zu den Anfangskonzentrationen klein ist, unmöglich gültig sein kann. Wir müssen lediglich ein Problem konstruieren, bei dem es einen großen Unterschied zwischen den Werten von gibt QC für die Anfangskonzentrationen und KC für die Reaktion im Gleichgewicht. Betrachten Sie zum Beispiel das folgende Problem.

Die Gleichgewichtskonstante für diese Reaktion beträgt 3 x 10 6 bei 200 o C. Angenommene Anfangskonzentrationen von 0,100 m für NO und 0,050 m für O2. Berechnen wir die Konzentrationen der drei Komponenten dieser Reaktion im Gleichgewicht.

Wir beginnen noch einmal damit, die Informationen im Problem wie folgt darzustellen.

Der erste Schritt ist immer der gleiche: Vergleichen Sie den Anfangswert des Reaktionsquotienten mit der Gleichgewichtskonstante.

Die Beziehung zwischen dem Anfangsreaktionsquotienten (QC = 0) und die Gleichgewichtskonstante (KC = 3 x 10 6 ) sagt uns etwas, was wir vielleicht schon vermutet haben, die Reaktion muss sich nach rechts verschieben, um ein Gleichgewicht zu erreichen.

Manche mögen fragen: "Warum den Anfangswert des Reaktionsquotienten für diese Reaktion berechnen? Ist es nicht offensichtlich, dass sich die Reaktion nach rechts verschieben muss, um zumindest etwas NO . zu produzieren?2?" Ja, das ist es. Aber den Wert von berechnen QC denn die Reaktion sagt uns nicht nur, in welche Richtung sie sich verschieben muss, um ein Gleichgewicht zu erreichen. Es gibt uns auch einen Hinweis darauf, wie weit die Reaktion gehen muss, um ein Gleichgewicht zu erreichen.

In diesem Fall, QC ist so viel kleiner als KC für die Reaktion müssen wir schlussfolgern, dass die Anfangsbedingungen sehr weit vom Gleichgewicht entfernt sind. Es wäre daher ein Fehler anzunehmen, dass dies klein ist.

Wir können nicht davon ausgehen, dass das in diesem Problem vernachlässigbar klein ist, aber wir können das Problem neu definieren, damit diese Annahme gültig wird. Der Schlüssel zum Erreichen dieses Ziels besteht darin, sich an die Bedingungen zu erinnern, unter denen wir annehmen können, dass dies klein genug ist, um ignoriert zu werden. Diese Annahme ist nur gültig, wenn QC ist von der gleichen Größenordnung wie KC. (Wann QC und KC sind beide viel größer als 1 oder viel kleiner als 1.) Wir können Probleme lösen, für die QC ist nicht in der Nähe KC indem man die Anfangsbedingungen so umdefiniert, dass QC wird nah an KC (siehe Abbildung unten).

Um zu zeigen, wie dies bewerkstelligt werden kann, kehren wir zu dem Problem in diesem Abschnitt zurück.

Die Gleichgewichtskonstante für die Reaktion zwischen NO und O2 NO . bilden2 ist viel größer als 1 (KC = 3 × 10 6 ). Dies bedeutet, dass das Gleichgewicht die Reaktionsprodukte begünstigt. Der beste Weg, dieses Problem zu lösen, besteht darin, die Reaktion so weit wie möglich nach rechts zu treiben und sie dann wieder ins Gleichgewicht zu bringen. Definieren wir daher einen Zwischensatz von Bedingungen, der dem entspricht, was passieren würde, wenn wir die Reaktion so weit wie möglich nach rechts schieben.

Wohin uns das führt, sehen wir, indem wir den Reaktionsquotienten für die Zwischenbedingungen berechnen.

Der Reaktionsquotient ist nun größer als die Gleichgewichtskonstante, und die Reaktion muss sich nach links zurückschieben, um das Gleichgewicht zu erreichen. Einige der NEIN2 muss sich nun zu NO und O . zersetzen2.Die Beziehung zwischen den Konzentrationsänderungen der drei Komponenten dieser Reaktion wird durch die Stöchiometrie der Reaktion bestimmt, wie in der Abbildung unten gezeigt.

2 NEIN(g) + Ö2(g) 2 NEIN2(g) KC = 3 x 10 6
Dazwischenliegend: 0 0 0.100 m
Veränderung: +2 C +C -2 C
Gleichgewicht: 2 C C 0,100 - 2 C

Wir setzen nun das, was wir über die Reaktion wissen, in den Ausdruck der Gleichgewichtskonstante ein.

Da der Reaktionsquotient für die Zwischenbedingungen und die Gleichgewichtskonstante beide relativ groß sind, können wir davon ausgehen, dass die Reaktion nicht sehr weit ist, um das Gleichgewicht zu erreichen. Mit anderen Worten, wir nehmen an, dass 2 C klein ist im Vergleich zur mittleren Konzentration von NO2 und leiten Sie die folgende Näherungsgleichung ab.

Dann lösen wir diese Gleichung nach einem ungefähren Wert von C auf.

Wir überprüfen nun unsere Annahme, dass 2 C klein genug ist im Vergleich zur mittleren Konzentration von NO2 ignoriert werden.

Der Wert von 2C beträgt weniger als 2% der Zwischenkonzentration von NO2, was bedeutet, dass es bei dieser Berechnung zu Recht ignoriert werden kann.

Da die Näherung gültig ist, können wir mit dem neuen Wert von die Gleichgewichtskonzentrationen von NO, NO . berechnen2, und O2.

Die Ergebnisse dieser Berechnung geben Aufschluss über die Chemie der Schadstoffe, die von einem Verbrennungsmotor gebildet werden. Bei der Verbrennung eines Benzin-Luft-Gemischs wird das N2 und O2 in der Luft zu NO reagieren, das dann mit Sauerstoff zu NO react reagieren kann2.

Obwohl das Produkt dieser Reaktionen oft als NOx um anzuzeigen, dass es sich um eine Mischung aus NO und NO . handelt2 diese Rechnung legt nahe, dass das dominierende Produkt der Reaktion NO . ist2, wenn diese Reaktion ins Gleichgewicht kommt.

Wir können unsere Berechnungen überprüfen, indem wir diese Konzentrationen wieder in den Ausdruck der Gleichgewichtskonstante einsetzen.

Auch hier können wir die Gültigkeit der Annahme akzeptieren, die wir machen mussten, um diese Gleichgewichtskonzentrationen zu erhalten, da der Wert der Gleichgewichtskonstante, der sich aus dieser Berechnung ergibt, mit dem Wert von übereinstimmt KC im Problem gegeben, innerhalb experimenteller Fehler.

Im Allgemeinen funktioniert die Annahme, dass C im Vergleich zu den Anfangskonzentrationen der Reaktanten oder Produkte klein ist, unter den folgenden Bedingungen am besten.

1. Wann KC << 1 und wir nähern uns dem Gleichgewicht von links nach rechts. (Wir beginnen mit überschüssigen Reaktanten und bilden einige Produkte.)

2. Wann KC >> 1 und wir nähern uns dem Gleichgewicht von rechts nach links. (Wir beginnen mit überschüssigen Produkten und bilden einige Reaktanten.)

Chemiker untersuchen normalerweise Gasphasengleichgewichte, indem sie die Partialdrücke der Gase in der Reaktion verfolgen. Wir können verstehen, warum dies möglich ist, indem wir die ideale Gasgleichung umstellen, um die folgende Beziehung zwischen dem Druck eines Gases und seiner Konzentration in Mol pro Liter zu erhalten.

Wir können daher die folgende Reaktion charakterisieren

mit einer in Konzentrationseinheiten definierten Gleichgewichtskonstante

oder eine Gleichgewichtskonstante, die in Form von Partialdrücken definiert ist.

Was ist die Beziehung zwischen KP und KC für eine Gasphasenreaktion? Nach der umgestellten Version der idealen Gasgleichung ist der Druck eines Gases gleich der Konzentration des Gases mal dem Produkt aus der idealen Gaskonstante und der Temperatur in Kelvin.

Wir können daher den Wert von berechnen KP für eine Reaktion durch Multiplikation jedes der Terme in der KC Ausdruck von RT.

Das Sammeln von Begriffen in diesem Beispiel ergibt das folgende Ergebnis.

Im Allgemeinen ist der Wert von KP für eine Reaktion lässt sich berechnen aus KC mit folgender Gleichung.

In dieser Gleichung n ist die Differenz zwischen der Molzahl der Produkte und der Molzahl der Reaktanten in der ausgeglichenen Gleichung.

Berechnen Sie den Wert von KP für die folgende Reaktion bei 500 o C, wenn der Wert von KC für die Reaktion bei dieser Temperatur beträgt 0,040.

Die Techniken für Arbeitsprobleme mit KP Ausdrücke sind die gleichen wie die für . beschriebenen KC Probleme, außer dass Partialdrücke anstelle von Konzentrationen verwendet werden, um die Mengen an Ausgangsmaterialien und Produkten darzustellen, die sowohl anfänglich als auch im Gleichgewicht vorhanden sind.

Wenn die Gleichgewichtskonstante wirklich konstant ist, warum müssen wir uns dann um die Temperatur der Reaktion kümmern?

Die Antwort ist einfach. Beide KC und KP für eine Reaktion sind bei einer gegebenen Temperatur Konstanten, die sich jedoch mit der Temperatur ändern können. Betrachten Sie das Gleichgewicht zwischen NO2 und sein Dimer, N2Ö4, zum Beispiel.

Die folgende Abbildung zeigt den Einfluss der Temperatur auf dieses Gleichgewicht. Wenn wir ein verschlossenes Röhrchen abkühlen, das NO . enthält2 in einem Trockeneis/Aceton-Bad bei -78 o C, die Intensität der braunen Farbe von NO2 Gas nimmt deutlich ab. Erwärmen wir das Röhrchen in einem Heißwasserbad, wird die braune Farbe intensiver als bei Raumtemperatur.

Die Gleichgewichtskonstante für diese Reaktion ändert sich mit der Temperatur, wie in der folgenden Tabelle gezeigt. Bei niedrigen Temperaturen begünstigt das Gleichgewicht das Dimer, N2Ö4. Bei hohen Temperaturen begünstigt das Gleichgewicht NO2. Die Tatsache, dass Gleichgewichtskonstanten temperaturabhängig sind, erklärt, warum Sie für dieselbe chemische Reaktion unterschiedliche Werte für die Gleichgewichtskonstante finden können.


Neue Quantentheorie könnte den Fluss der Zeit erklären

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Kaffee kühlt ab, Gebäude bröckeln, Eier zerbrechen und Sterne verpuffen in einem Universum, das dazu bestimmt zu sein scheint, in einen Zustand einheitlicher Tristesse zu verfallen, der als thermisches Gleichgewicht bekannt ist. Der Astronom-Philosoph Sir Arthur Eddington zitierte 1927 die allmähliche Verteilung der Energie als Beweis für einen irreversiblen „Zeitpfeil“.

Aber zum Erstaunen von Generationen von Physikern scheint der Zeitpfeil nicht aus den zugrunde liegenden Gesetzen der Physik zu folgen, die in der Zeit vorwärts genauso funktionieren wie rückwärts. Nach diesen Gesetzen schien es, dass, wenn jemand die Bahnen aller Teilchen im Universum kennt und sie umdreht, sich Energie ansammelt, anstatt sich zu verteilen: Lauwarmer Kaffee würde sich spontan erhitzen, Gebäude würden aus ihren Trümmern aufsteigen und das Sonnenlicht würde zurückschleichen Die Sonne.

Originalgeschichte nachgedruckt mit Genehmigung von Simons Wissenschaft Nachrichten, eine redaktionell unabhängige Abteilung von SimonsFoundation.org deren Aufgabe es ist, das öffentliche Verständnis der Wissenschaft zu verbessern, indem sie Forschungsentwicklungen und Trends in der Mathematik sowie in den Physik- und Biowissenschaften abdeckt.„In der klassischen Physik hatten wir Probleme“, sagt Sandu Popescu, Physikprofessor an der University of Bristol im Vereinigten Königreich. „Wenn ich mehr wüsste, könnte ich das Ereignis rückgängig machen und alle Moleküle des zerbrochenen Eies zusammenfügen? Warum bin ich relevant?“

Sicher, sagte er, wird der Pfeil der Zeit nicht von menschlicher Unwissenheit gesteuert. Und doch bestand seit der Geburt der Thermodynamik in den 1850er Jahren der einzige bekannte Ansatz zur Berechnung der Energieverteilung darin, statistische Verteilungen der unbekannten Flugbahnen von Teilchen zu formulieren und zu zeigen, dass die Unwissenheit im Laufe der Zeit die Dinge verwischte.

Jetzt demaskieren Physiker eine grundlegendere Quelle für den Zeitpfeil: Energie zerstreut sich und Objekte gleichen sich aus, weil sich Elementarteilchen bei ihrer Wechselwirkung verflechten – ein seltsamer Effekt, der „Quantenverschränkung“ genannt wird.

„Endlich können wir verstehen, warum sich eine Tasse Kaffee in einem Raum ausgleicht“, sagt Tony Short, Quantenphysiker in Bristol. „Zwischen dem Zustand der Kaffeetasse und dem Zustand des Raumes baut sich eine Verschränkung auf.“

Popescu, Short und ihre Kollegen Noah Linden und Andreas Winter berichteten 2009 in der Zeitschrift Physical Review E über die Entdeckung und argumentierten, dass Objekte innerhalb einer unendlichen Zeit ein Gleichgewicht oder einen Zustand gleichförmiger Energieverteilung erreichen, indem sie sich quantenmechanisch mit ihrem Umfeld. Ähnliche Ergebnisse von Peter Reimann von der Universität Bielefeld in Deutschland erschienen einige Monate zuvor in Physical Review Letters. Short und ein Mitarbeiter verstärkten die Argumentation im Jahr 2012, indem sie zeigten, dass Verschränkung innerhalb einer endlichen Zeit einen Ausgleich bewirkt. Und in einer Arbeit, die im Februar auf der wissenschaftlichen Preprint-Site arXiv.org veröffentlicht wurde, haben zwei separate Gruppen den nächsten Schritt unternommen und berechnet, dass die meisten physikalischen Systeme auf Zeitskalen proportional zu ihrer Größe schnell ins Gleichgewicht kommen. „Um zu zeigen, dass es für unsere tatsächliche physische Welt relevant ist, müssen die Prozesse in angemessenen Zeiträumen ablaufen“, sagte Short.

Ein Wendepunktpapier von Noah Linden, links, Sandu Popescu, Tony Short und Andreas Winter (nicht abgebildet) aus dem Jahr 2009 zeigte, dass die Verschränkung dazu führt, dass sich Objekte in Richtung Gleichgewicht entwickeln. Die Allgemeingültigkeit des Beweises sei „außerordentlich überraschend“, sagt Popescu. „Die Tatsache, dass ein System ein Gleichgewicht erreicht, ist universell.“ Das Papier löste weitere Forschungen zur Rolle der Verschränkung bei der Lenkung des Zeitpfeils aus.

Foto: Mit freundlicher Genehmigung von Tony Short

Die Tendenz von Kaffee – und allem anderen –, ein Gleichgewicht zu erreichen, sei „sehr intuitiv“, sagte Nicolas Brunner, Quantenphysiker an der Universität Genf. „Aber wenn es darum geht, zu erklären, warum es passiert, ist dies das erste Mal, dass es unter Berücksichtigung einer mikroskopischen Theorie auf festem Boden abgeleitet wurde.“

Wenn die neue Forschungsrichtung richtig ist, beginnt die Geschichte des Zeitpfeils mit der quantenmechanischen Idee, dass die Natur im Grunde von Natur aus ungewiss ist. Ein Elementarteilchen hat keine bestimmten physikalischen Eigenschaften und wird nur durch Wahrscheinlichkeiten definiert, sich in verschiedenen Zuständen zu befinden. Zum Beispiel könnte ein Partikel zu einem bestimmten Zeitpunkt eine 50-prozentige Chance haben, sich im Uhrzeigersinn zu drehen und eine 50-prozentige Chance, sich gegen den Uhrzeigersinn zu drehen. Ein experimentell getesteter Satz des nordirischen Physikers John Bell besagt, dass es keinen „wahren“ Zustand des Teilchens gibt, die Wahrscheinlichkeiten sind die einzige Realität, die ihm zugeschrieben werden kann.

Die Quantenunsicherheit führt dann zur Verschränkung, der mutmaßlichen Quelle des Zeitpfeils.

Wenn zwei Teilchen wechselwirken, können sie nicht einmal mehr durch ihre eigenen, sich unabhängig voneinander entwickelnden Wahrscheinlichkeiten beschrieben werden, die als „reine Zustände“ bezeichnet werden. Stattdessen werden sie zu verschränkten Komponenten einer komplizierteren Wahrscheinlichkeitsverteilung, die beide Teilchen zusammen beschreibt. Es könnte zum Beispiel vorschreiben, dass sich die Teilchen in entgegengesetzte Richtungen drehen. Das System als Ganzes befindet sich in einem reinen Zustand, aber der Zustand jedes einzelnen Teilchens ist mit dem seines Bekannten „vermischt“. Die beiden könnten Lichtjahre voneinander entfernt reisen, und der Spin eines jeden würde mit dem des anderen korreliert, ein Merkmal, das Albert Einstein bekanntermaßen als „spukhafte Fernwirkung“ bezeichnete.

„Verschränkung ist in gewisser Weise die Essenz der Quantenmechanik“ oder der Gesetze, die Wechselwirkungen auf der subatomaren Skala regeln, sagte Brunner. Das Phänomen liegt dem Quantencomputing, der Quantenkryptographie und der Quantenteleportation zugrunde.

Die Idee, dass Verschränkung den Zeitpfeil erklären könnte, kam Seth Lloyd vor etwa 30 Jahren in den Sinn, als er ein 23-jähriger Philosophiestudent an der Cambridge University mit einem Harvard-Physikabschluss war. Lloyd erkannte, dass die Quantenunsicherheit und die Art und Weise, wie sie sich ausbreitet, wenn sich Teilchen zunehmend verschränken, die menschliche Unsicherheit in den alten klassischen Beweisen als wahre Quelle des Zeitpfeils ersetzen könnte.

Seth Lloyd, heute MIT-Professor, hatte die Idee, dass Verschränkung den Zeitpfeil erklären könnte, als er in den 1980er Jahren an der Universität Cambridge studierte.

Foto: Mit freundlicher Genehmigung von Seth Lloyd

Unter Verwendung eines obskuren Ansatzes der Quantenmechanik, der Informationseinheiten als Grundbausteine ​​behandelte, verbrachte Lloyd mehrere Jahre damit, die Evolution von Teilchen in Bezug auf das Mischen von Einsen und Nullen zu untersuchen. Er fand heraus, dass sich die Informationen, die sie ursprünglich beschrieben haben (z. B. eine „1“ für den Spin im Uhrzeigersinn und eine „0“ für den Gegenuhrzeigersinn) mit zunehmender Verschränkung der Teilchen verschieben, um das System der verschränkten Teilchen als Ganzes zu beschreiben . Es war, als würden die Teilchen allmählich ihre individuelle Autonomie verlieren und zu Schachfiguren des kollektiven Staates werden. Schließlich enthielten die Korrelationen alle Informationen und die einzelnen Partikel enthielten keine. An diesem Punkt, entdeckte Lloyd, erreichten die Teilchen einen Gleichgewichtszustand und ihre Zustände hörten auf, sich zu ändern, wie Kaffee, der auf Raumtemperatur abgekühlt ist.

„Was wirklich passiert, ist, dass die Dinge immer mehr miteinander korrelieren“, erinnert sich Lloyd. „Der Zeitpfeil ist ein Pfeil zunehmender Korrelationen.“

Die Idee, die er 1988 in seiner Dissertation präsentierte, stieß auf taube Ohren. Als er es bei einer Zeitschrift einreichte, wurde ihm gesagt, dass es "keine Physik in dieser Arbeit" gab. Die Quanteninformationstheorie "war damals zutiefst unbeliebt", sagte Lloyd, und Fragen zum Zeitpfeil "waren für Spinner und Nobelpreisträger, die im Kopf weich geworden sind". er erinnert sich, dass ihm ein Physiker davon erzählt hat.

„Ich war kurz davor, ein Taxi zu fahren“, sagte Lloyd.

Fortschritte im Quantencomputing haben seitdem die Quanteninformationstheorie zu einem der aktivsten Zweige der Physik gemacht. Lloyd ist heute Professor am Massachusetts Institute of Technology, anerkannt als einer der Begründer dieser Disziplin, und seine übersehene Idee ist in den Händen der Bristoler Physiker in stärkerer Form wieder aufgetaucht. Die neueren Beweise sind allgemeiner, sagen Forscher und gelten für praktisch jedes Quantensystem.

„Als Lloyd die Idee in seiner Dissertation vorschlug, war die Welt noch nicht bereit“, sagt Renato Renner, Leiter des Instituts für Theoretische Physik der ETH Zürich. „Niemand hat es verstanden. Manchmal muss man die Idee zum richtigen Zeitpunkt haben.“

Während sich eine heiße Tasse Kaffee mit der umgebenden Luft ins Gleichgewicht bringt, interagieren Kaffeepartikel (weiß) und Luftpartikel (braun) und werden zu verschlungenen Mischungen aus braunen und weißen Zuständen. Nach einiger Zeit sind die meisten Partikel im Kaffee mit Luftpartikeln korreliert, der Kaffee hat ein thermisches Gleichgewicht erreicht.

Im Jahr 2009 stieß der Beweis der Bristol-Gruppe bei Quanteninformationstheoretikern auf Resonanz und eröffnete neue Anwendungsmöglichkeiten für ihre Techniken. Es zeigte sich, dass bei der Interaktion von Objekten mit ihrer Umgebung – wenn beispielsweise die Partikel in einer Tasse Kaffee mit der Luft kollidieren – Informationen über ihre Eigenschaften „auslaufen und über die gesamte Umgebung verschmiert werden“, erklärte Popescu. Dieser lokale Informationsverlust führt dazu, dass der Zustand des Kaffees stagniert, während sich der Reinzustand des gesamten Raumes weiter entwickelt. Abgesehen von seltenen, zufälligen Schwankungen, sagte er, "hört sein Zustand mit der Zeit auf, sich zu ändern".

Folglich erwärmt sich eine lauwarme Tasse Kaffee nicht spontan. Im Prinzip könnte sich der Kaffee mit der Entwicklung des Reinzustands des Raumes plötzlich von der Luft lösen und einen eigenen reinen Zustand einnehmen. Aber es gibt so viel mehr gemischte Zustände als reine Zustände, die dem Kaffee zur Verfügung stehen, dass dies praktisch nie passiert – man müsste das Universum überleben, um es zu erleben. Diese statistische Unwahrscheinlichkeit verleiht dem Zeitpfeil den Anschein von Irreversibilität. „Im Wesentlichen öffnet die Verstrickung einen sehr großen Raum für dich“, sagte Popescu. „Es ist, als wärst du im Park und beginnst neben dem Tor, weit weg vom Gleichgewicht. Dann treten Sie ein und haben diesen riesigen Ort und Sie verlieren sich darin. Und du kommst nie wieder zum Tor zurück.“

In der neuen Geschichte vom Zeitpfeil ist es nicht ein subjektiver Mangel an menschlichem Wissen, der eine Tasse Kaffee ins Gleichgewicht mit dem umgebenden Raum bringt, sondern der Informationsverlust durch Quantenverschränkung. Der Raum gleicht sich schließlich mit der äußeren Umgebung aus, und die Umgebung driftet noch langsamer in Richtung des Gleichgewichts mit dem Rest des Universums. Die Giganten der Thermodynamik des 19. Jahrhunderts betrachteten diesen Prozess als eine allmähliche Verteilung von Energie, die die Gesamtentropie oder Unordnung des Universums erhöht. Heute sehen Lloyd, Popescu und andere auf ihrem Gebiet den Zeitpfeil anders. Aus ihrer Sicht werden Informationen immer diffuser, verschwinden aber nie ganz. Sie behaupten also, dass die Gesamtentropie des Universums konstant bei Null bleibt, obwohl die Entropie lokal zunimmt.

„Das Universum als Ganzes befindet sich in einem reinen Zustand“, sagte Lloyd. „Aber einzelne Stücke davon, weil sie mit dem Rest des Universums verstrickt sind, sind in Mischungen.“

Ein Aspekt des Zeitpfeils bleibt ungelöst. "In diesen Werken gibt es nichts zu sagen, warum Sie am Tor angefangen haben", sagte Popescu und bezog sich auf die Parkanalogie. „Mit anderen Worten, sie erklären nicht, warum der Anfangszustand des Universums weit vom Gleichgewicht entfernt war.“ Er sagte, dies sei eine Frage nach der Natur des Urknalls.

Trotz der jüngsten Fortschritte bei der Berechnung von Äquilibrierungszeitskalen muss sich der neue Ansatz als Werkzeug zur Analyse der thermodynamischen Eigenschaften bestimmter Dinge wie Kaffee, Glas oder exotischer Aggregatzustände noch durchsetzen. (Einige traditionelle Thermodynamiker berichteten, dass sie sich des neuen Ansatzes nur vage bewusst waren.) „Es geht darum, die Kriterien zu finden, nach denen sich Dinge wie Fensterglas und welche Dinge wie eine Tasse Tee verhalten“, sagte Renner. "Ich würde die neuen Papiere als einen Schritt in diese Richtung sehen, aber es muss noch viel mehr getan werden."

Einige Forscher äußerten Zweifel daran, dass dieser abstrakte Ansatz der Thermodynamik jemals der Aufgabe gewachsen sein wird, die „harten Details des Verhaltens bestimmter Observablen“ anzugehen, wie Lloyd es ausdrückte. Aber der konzeptionelle Fortschritt und der neue mathematische Formalismus helfen Forschern bereits, sich mit theoretischen Fragen der Thermodynamik zu befassen, wie den grundlegenden Grenzen von Quantencomputern und sogar dem endgültigen Schicksal des Universums.

„Wir haben immer mehr darüber nachgedacht, was wir mit Quantenmaschinen machen können“, sagt Paul Skrzypczyk vom Institute of Photonic Sciences in Barcelona. „Da ein System noch nicht im Gleichgewicht ist, wollen wir Arbeit daraus machen. Wie viel nützliche Arbeit können wir extrahieren? Wie kann ich intervenieren, um etwas Interessantes zu tun?“

Sean Carroll, theoretischer Kosmologe am California Institute of Technology, verwendet den neuen Formalismus in seiner neuesten Arbeit über den Zeitpfeil in der Kosmologie. „Mich interessiert das ultra-lange Schicksal der kosmologischen Raumzeiten“, sagt Carroll, Autor von „From Eternity to Here: The Quest for the Ultimate Theory of Time“. „Das ist eine Situation, in der wir nicht alle relevanten Gesetze der Physik kennen, daher ist es sinnvoll, auf einer sehr abstrakten Ebene zu denken, weshalb ich diese grundlegende quantenmechanische Behandlung nützlich fand.“

Sechsundzwanzig Jahre nachdem Lloyds große Idee über den Zeitpfeil gescheitert ist, freut er sich, seinen Aufstieg mitzuerleben, und wendet die Ideen in seiner jüngsten Arbeit zum Informationsparadoxon Schwarzer Löcher an. "Ich denke, jetzt wäre der Konsens, dass es Physik gibt", sagte er.

Von Philosophie ganz zu schweigen.

Laut den Wissenschaftlern kann unsere Fähigkeit, sich an die Vergangenheit, aber nicht an die Zukunft zu erinnern, eine weitere historisch verwirrende Manifestation des Zeitpfeils, auch als Aufbau von Korrelationen zwischen wechselwirkenden Teilchen verstanden werden. Wenn Sie eine Nachricht auf einem Blatt Papier lesen, wird Ihr Gehirn durch die Photonen, die Ihre Augen erreichen, damit korreliert. Erst von diesem Moment an werden Sie in der Lage sein, sich an die Botschaft zu erinnern. Wie Lloyd es ausdrückte: „Die Gegenwart kann durch den Prozess der Korrelation mit unserer Umgebung definiert werden.“

Der Hintergrund für das stetige Wachstum der Verschränkung im gesamten Universum ist natürlich die Zeit selbst. Die Physiker betonen, dass sie trotz großer Fortschritte beim Verständnis der zeitlichen Veränderungen keine Fortschritte bei der Aufdeckung der Natur der Zeit selbst gemacht haben oder warum sie sich (sowohl wahrnehmungsmäßig als auch in den Gleichungen der Quantenmechanik) von den drei Dimensionen des Raumes unterscheidet. Popescu nennt dies „eine der größten Unbekannten der Physik“.

„Wir können darüber diskutieren, dass sich unser Gehirn vor einer Stunde in einem Zustand befand, der mit weniger Dingen korreliert war“, sagte er. „Aber unsere Wahrnehmung, dass die Zeit fließt – das ist eine ganz andere Sache. Wir werden höchstwahrscheinlich eine weitere Revolution in der Physik brauchen, die uns darüber Auskunft gibt.“


Systeme von Differentialgleichungen

6.7.0.1 Klassifikation von Gleichgewichtspunkten eines nichtlinearen Systems

Sei ( x 0 , y 0 ) ein Gleichgewichtspunkt des Systems (6.30) und seien 1 und λ 2 Eigenwerte der Jacobi-Matrix (6.34) des zugehörigen linearisierten Systems um den Gleichgewichtspunkt ( x 0 , y 0 ).

Wenn ( x 0 , y 0 ) als asymptotisch stabiler oder instabiler unechter Knoten klassifiziert wird (weil die Eigenwerte von J ( x 0 , y 0 ) reell und verschieden sind), ein Sattelpunkt oder eine asymptotisch stabile oder instabile Spirale in das zugehörige lineare System (x 0 , y 0 ) hat die gleiche Klassifizierung im nichtlinearen System.

Wenn ( x 0 , y 0 ) als Zentrum im zugehörigen linearen System klassifiziert wird, kann ( x 0 , y 0 ) ein Zentrum, ein instabiler Spiralpunkt oder ein asymptotisch stabiler Spiralpunkt im nichtlinearen System sein, sodass wir ( x 0 , y 0 ) in dieser Situation (siehe Aufgabe 28).

Wenn die Eigenwerte von J (x 0 , y 0 ) reell und gleich sind, dann kann (x 0 , y 0 ) ein Knoten oder ein Spiralpunkt im nichtlinearen System sein. Wenn 1 ⩽ 2 < 0 ist, dann ist (x 0 , y 0 ) asymptotisch stabil. Wenn 1 ⩽ 2 > 0 ist, dann ist (x 0 , y 0 ) instabil.

Diese Ergebnisse sind in Tabelle 6.2 zusammengefasst.

Tabelle 6.2. Klassifikation des Gleichgewichtspunktes in einem nichtlinearen System

Eigenwerte von J(x0,ja0)GeometrieStabilität
λ1,λ2 Real λ1 &gt λ2 &gt 0Ungeeigneter KnotenInstabil
λ1,λ2 Real λ1 = λ2 &gt 0Knoten oder SpiralpunktInstabil
λ1,λ2 Real λ2 &lt λ1 &lt 0Ungeeigneter KnotenAsymptotisch stabil
λ1,λ2 Real λ1 = λ2 &lt 0Knoten oder SpiralpunktAsymptotisch stabil
λ1,λ2 Real λ2 &lt 0 &lt λ1SattelpunktInstabil
λ1 = α + βi, λ2 = αβi, β ≠ 0, α &gt 0SpiralspitzeInstabil
λ1 = α + βi, λ2 = αβi, β ≠ 0, α &lt 0SpiralspitzeAsymptotisch stabil
λ1 = βi, λ2 = −βi, β ≠ 0Mittelpunkt oder SpiralspitzeNicht schlüssig

Beispiel 6.39

Finden und klassifizieren Sie die Gleichgewichtspunkte von < x ′ = 1 − y y ′ = x 2 − y 2 .

Für ( 1 , 1 ) erhalten wir die Jacobi-Matrix J ( 1 , 1 ) = ( 0 − 1 2 − 2 ) mit Eigenwerten, die | − λ − 1 2 − 2 − λ | = 2 + 2 λ + 2 = 0 . Daher gilt λ 1 , 2 = − 1 ± i . Da diese Eigenwerte komplexwertig mit negativem Realteil sind, klassifizieren wir ( 1 , 1 ) im zugehörigen linearisierten System als asymptotisch stabile Spirale. Daher ist ( 1 , 1 ) eine asymptotisch stabile Spirale im nichtlinearen System.

Für ( − 1 , 1 ) erhalten wir J ( − 1 , 1 ) = ( 0 − 1 − 2 − 2 ) . In diesem Fall sind die Eigenwerte Lösungen von | − λ − 1 − 2 − 2 − λ | = 2 + 2 λ − 2 = 0 . Somit ist λ 1 = 1 2 ( − 2 + 2 3 ) = − 1 + 3 > 0 und λ 2 = 1 2 ( − 2 − 2 3 ) = − 1 − 3 < 0 also ( − 1 , 1 ) ist a Sattelpunkt im zugehörigen linearisierten System und diese Klassifikation überträgt sich auf das nichtlineare System. In Abb. 6.20 A zeichnen wir Lösungen für dieses nichtlineare System, angenähert mit Hilfe eines Computeralgebrasystems. Wir können sehen, wie sich die Lösungen zu den Gleichgewichtspunkten hin und von ihnen weg bewegen, indem wir die Pfeile auf den Vektoren im Richtungsfeld beobachten. □

Abbildung 6.20. (A) (1,1) ist eine stabile Spirale und (−1,1) ist ein Sattel. (B) (0,0) ist ein instabiler Knoten, (0,5) ist ein asymptotisch stabiler unechter Knoten, (7,0) ist ein asymptotisch stabiler unechter Knoten und (3,2) ist ein Sattelpunkt.

Beispiel 6.40

Finden und klassifizieren Sie die Gleichgewichtspunkte von < x ′ = x ( 7 − x − 2 y ) y ′ = y ( 5 − x − y ) .

Lösung: Die Gleichgewichtspunkte dieses Systems erfüllen < x ( 7 − x − 2 y ) = 0 y ( 5 − x − y ) = 0 . Also < x = 0 oder 7 − x − 2 y = 0 >und < y = 0 oder 5 − x − y = 0 >. Wenn x = 0, dann y ( 5 − y ) = 0 also y = 0 oder y = 5 , und wir erhalten die Gleichgewichtspunkte ( 0 , 0 ) und ( 0 , 5 ) . Wenn y = 0 , dann x ( 7 − x ) = 0 , was angibt, dass x = 0 oder x = 7 ist. Die entsprechenden Gleichgewichtspunkte sind ( 0 , 0 ) (die wir früher gefunden haben) und ( 7 , 0 ) . Die andere Möglichkeit, die zu einem Gleichgewichtspunkt führt, ist die Lösung von < 7 − x − 2 y = 0 5 − x − y = 0 , also x = 3 und y = 2 , was den Gleichgewichtspunkt ( 3 , 2 ) ergibt .

Die Jacobi-Matrix ist J ( x , y ) = ( 7 − 2 x − 2 y − 2 x − y 5 − x − 2 y ). Wir klassifizieren jeden der Gleichgewichtspunkte ( x 0 , y 0 ) des zugehörigen linearisierten Systems anhand der Eigenwerte von J ( x 0 , y 0 ) :

J ( 0 , 0 ) = ( 7 0 0 5 ) 1 = 7, λ 2 = 5 ( 0 , 0 ) ist ein instabiler Knoten.

J ( 0 , 5 ) = ( − 3 0 − 5 − 5 ) λ 1 = − 3 , λ 2 = − 5 ( 0 , 5 ) ist ein asymptotisch stabiler uneigentlicher Knoten.

J ( 7 , 0 ) = ( − 7 − 14 0 − 2 ) λ 1 = − 2 , λ 2 = − 7 ( 7 , 0 ) ist ein asymptotisch stabiler uneigentlicher Knoten.

J ( 3 , 2 ) = ( − 3 − 6 − 2 − 2 ) λ 1 = 1 , λ 2 = − 6 ( 3 , 2 ) ist ein Sattelpunkt.

Die Klassifikation überträgt sich jeweils auf das nichtlineare System. In Abb. 6.20 B zeichnen wir mehrere Näherungslösungen und das Richtungsfeld dieses nichtlinearen Systems mit Hilfe eines Computeralgebrasystems. Beachten Sie das Verhalten in der Nähe jedes Gleichgewichtspunktes. □

Beispiel 6.41

Untersuchen Sie die Stabilität des Gleichgewichtspunktes ( 0 , 0 ) des nichtlinearen Systems

Lösung: Zuerst finden wir die Jacobi-Matrix, J ( x , y ) = ( 3 2 x 2 + 1 2 y 2 1 + x y − 1 + x y 1 2 x 2 + 3 2 y 2 ) . Dann gilt am Gleichgewichtspunkt ( 0 , 0 ) J ( 0 , 0 ) = ( 0 1 − 1 0 ) , also ist die lineare Näherung

mit Eigenwerten λ 1 , 2 = ± i . Daher ist (0, 0) ein (stabiles) Zentrum im linearisierten System. Wenn wir jedoch das Richtungsfeld für das ursprüngliche (nichtlineare) System in Abb. 6.21 A grafisch darstellen, beobachten wir, dass ( 0 , 0 ) kein Zentrum ist. Stattdessen scheinen die Trajektorien von ( 0 , 0 ) spiralförmig wegzugehen (siehe Abb. 6.21 B), sodass ( 0 , 0 ) ein instabiler Spiralpunkt des nichtlinearen Systems ist. Die nichtlinearen Terme beeinflussen nicht nur die Klassifikation des Gleichgewichtspunktes, sondern verändern auch die Stabilität. Notiz: Dies ist der einzige Fall, in dem wir dem Gleichgewichtspunkt im nichtlinearen System nicht dieselbe Klassifizierung zuordnen können wie im zugehörigen linearen System. Wenn ein Gleichgewichtspunkt ein Zentrum im zugehörigen linearen System ist, können wir keine Rückschlüsse auf seine Einordnung in das nichtlineare System ziehen. □

Abbildung 6.21. (A) Das Richtungsfeld zeigt an, dass (0,0) instabil ist. (B) Alle (nicht trivialen) Trajektorien spiralförmig vom Ursprung weg. (C) Phasenporträt.


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