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3.3.E: Aufgaben zu Intervallen in Eⁿ (Übungen) - Mathematik


(Hier bezeichnen (A) und (B) Intervalle.)

Übung (PageIndex{1})

Beweisen Sie Folgerungen 1-3.

Übung (PageIndex{2})

Beweisen Sie, dass wenn (Asubseteq B,) dann (d A leq d B) und (v A leq v B) gilt.

Übung (PageIndex{3})

Geben Sie eine geeignete Definition eines "Gesichts" und eines "Scheitelpunkts" von (A) an.

Übung (PageIndex{4})

Bestimme die Kantenlängen von (A=(overline{a}, overline{b})) in (E^{4}), falls
[
overline{a}=(1,-2,4,0) ext { und } overline{b}=(2,0,5,3).
]
Ist (A) ein Würfel? Finden Sie einige rationale Punkte darin. Finden Sie (d A) und (v A).

Übung (PageIndex{5})

Zeigen Sie, dass die in Fußnote 1 definierten Mengen (P) und (Q) tatsächlich Intervalle sind. Insbesondere können sie halboffen (halbgeschlossen) gemacht werden, wenn (A) halboffen (halbgeschlossen) ist.
([ ext { Hinweis: Sei } A=(overline{a}, overline{b}]),
[
P=links{overline{x}in A| x_{k} leq c ight}, ext{ und } Q=left{overline{x} in A| x_{k}>c echts}.
]
Um Ideen zu fixieren, sei (k=1,) d.h. schneide die erste Kante. Dann lass
[
overline{p}=left(c, a_{2}, ldots, a_{n} ight) ext { und } overline{q}=left(c, b_{2}, ldots, b_{n} ight) ext { (siehe Abbildung } 2 ),
]
und verifizieren Sie, dass (P=(overline{a}, overline{q}]) und (Q=(overline{p}, overline{b}] .) Geben Sie einen Beweis. (] )

Übung (PageIndex{6})

In Problem (5,) sei (A) abgeschlossen und (Q) abgeschlossen. (Beweise es!)

Übung (PageIndex{7})

Zeigen Sie in Aufgabe 5, dass (( ext { with } k ext { fixed })) die (k)-ten Kantenlängen von (P) und (Q) gleich (c-a_ {k}) bzw. (b_{k}-c,), während für (i eq k) die Kantenlänge (ell_{i}) in (A, P,) und (Q,), nämlich (ell_{i}=b_{i}-a_{i}).
[Hinweis: Falls (k=1,) definiere (overline{p}) und (overline{q}) wie in Problem (5 . ])

Übung (PageIndex{8})

Beweisen Sie, dass, wenn ein Intervall (A) in Teilintervalle (P) und (Q(P cap Q=emptyset)) zerlegt wird, (v A=v P+v Q .)
[Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 7, um (v A, v P,) und (v Q .) zu berechnen. (])
Gib ein Beispiel. (Nehmen Sie (A) wie in Aufgabe 4 und teilen Sie es durch die Ebene (x_{4}=1 . ))

Übung (PageIndex{9})

*9. Beweisen Sie die Additivität des Intervallvolumens, nämlich wenn (A) in beliebiger Weise in (m) voneinander disjunkte Teilintervalle (A_{1}, A_{2}, ldots, A_{ m}) (in E^{n},) dann
[
v A=sum_{i=1}^{m} v A_{i}.
]
(Dies gilt auch, wenn einige (A_{i}) gemeinsame Gesichter enthalten).
[Beweisskizze: Für (m=2,) verwende Problem 8.
Dann sei durch Induktion angenommen, dass Additivität für eine beliebige Anzahl von Intervallen gilt, die kleiner als ein bestimmtes (m) ((m>1) .) sind
[
A=igcup_{i=1}^{m} A_{i} quadleft(A_{i} ext { disjunkt} ight).
]
Einer der (A_{i}) (sagen wir (A_{1}=[overline{a}, overline{p}] )) muss eine Kantenlänge haben, die kleiner ist als die entsprechende Kantenlänge von (Aleft(operatorname{say}, ell_{1} ight) .) Schneide nun alle (A) in (P=[overline{a}, overline{d} ]) und (Q=AP( ext { Figure } 4)) durch die Ebene (x_{1}=cleft(c=p_{1} ight)), so dass (A_{ 1} subseteq P) während (A_{2} subseteq Q .) Der Einfachheit halber sei angenommen, dass die Ebene jedes (A_{i}) in zwei Teilintervalle (A_{i}^{prime }) und (A_{i}^{prime prime} .) (Eine davon kann leer sein.)
Dann
[
P=igcup_{i=1}^{m} A_{i}^{prime} ext{ und } Q=igcup_{i=1}^{m} A_{i}^{prime prime }.
]
Tatsächlich sind (P) und (Q) jedoch in weniger als (m) (nichtleere) Intervalle aufgeteilt, da (A_{1}^{prime prime}=emptyset=A_{2 }^{prime}) durch Konstruktion. Somit ist nach unserer induktiven Annahme
[
v P=sum_{i=1}^{m} v A_{i}^{prime} ext { und } v Q=sum_{i=1}^{m} v A_{i}^{ prime prime},
]
wobei (v A_{1}^{prime prime}=0=v A_{2}^{prime},) und (v A_{i}=v A_{i}^{prime} +v A_{i}^{primeprime}) nach Problem (8 .) Vervollständigen Sie den induktiven Beweis, indem Sie zeigen, dass
[
v A=v P+v Q=sum_{i=1}^{m} v A_{i} .]
]


13. Die Poisson-Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die Poisson-Verteilung wurde 1837 von dem französischen Mathematiker Simeon Denis Poisson entwickelt.

Die Poisson-Zufallsvariable erfüllt folgende Bedingungen:

Die Anzahl der Erfolge in zwei disjunkten Zeitintervallen ist unabhängig.

Die Erfolgswahrscheinlichkeit während eines kleinen Zeitintervalls ist proportional zur gesamten Länge des Zeitintervalls.

Neben disjunkten Zeitintervallen gilt die Poisson-Zufallsvariable auch für disjunkte Regionen des Weltraums.

Anwendungen

  • die Zahl der Toten durch Pferdetritte in der preußischen Armee (Erstanwendung)
  • Geburtsfehler und genetische Mutationen
  • seltene Krankheiten (wie Leukämie, aber nicht AIDS, weil es ansteckend und somit nicht unabhängig ist) - insbesondere in Rechtsfällen
  • Autounfälle
  • Verkehrsfluss und idealer Lückenabstand
  • Anzahl der Tippfehler auf einer Seite
  • Haare in Hamburgern von McDonald's gefunden
  • Verbreitung eines vom Aussterben bedrohten Tieres in Afrika
  • Ausfall einer Maschine in einem Monat

Notation

Wir gebrauchen Großbuchstaben Variablen (wie x und Z) bezeichnen zufällige Variablen, und Kleinbuchstaben (wie x und z) bezeichnen spezifische Werte dieser Variablen.

Das Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Poisson-Zufallsvariablen x die Anzahl der in einem bestimmten Zeitintervall oder einer bestimmten Raumregion auftretenden Erfolge wird durch die Formel angegeben:

`x = 0, 1, 2, 3. `

`e = 2.71828` (aber verwenden Sie die Ihres Taschenrechners e Taste)

`&mu =` mittlere Anzahl von Erfolgen im gegebenen Zeitintervall oder Raumbereich


Beispiel 2

Der Graph von f(x) = sin(x) + 2 für 0 ≤ x ≤ 2π ist unten gezeigt. f(0) = f(2π) = 2 und f ist stetig auf [0 , 2π] und differenzierbar auf (0 , 2π) daher existiert nach dem Satz von Rolle mindestens ein Wert ( dort kann mehr als eins sein! ) von x = c mit f '(c) = 0.
f '(x) = cos(x)
f '(c) = cos(c) = 0
Die obige Gleichung hat zwei Lösungen im Intervall [0 , 2π]
C 1 = π/2 und c 2 = 3π/2.
Daher gibt es sowohl bei x = π/2 als auch bei x = 3 π/2 Tangenten an den Graphen, die eine Steigung gleich Null (horizontale Linie) haben, wie in Abbildung 2 unten gezeigt.

Abbildung 2. Satz von Rolle, Beispiel 2 mit zwei Tangenten


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3.3.E: Aufgaben zu Intervallen in Eⁿ (Übungen) - Mathematik

Sei $displaystyle A=sqrt<2>>,$ $displaystyle B=sqrt,$ $2A^2=u^2+v^2,$ $B^2=uv.,$ Weiter

$displaystyle egin &(u+v)^2=u^2+v^2+2uv=2A^2+2B^2 &u+vgeq A+BPfeil nach links (u+v)^2geq (A+ B)^2 &2A^2+2B^2geq (A+B)^2Pfeil nach links (AB)^2geq 0. end$

Lösung 2

Wir haben folgende Eigenschaft:

$displaystyle arctan(a)+arctan(b)=arctanleft(frac<1-a b> ight) + mathbb<1>_ <0 leq a b leq 1>pi$

(man beachte den Fehler in Abramowicz & Stigum, S. 80)

$displaystyle anleft(arctan(a)+arctan(b) ight)=frac<1-a b>,$

$displaystyle a, b in left[0,frac<2> ight].$

Da sich alle Variablen in $displaystyle left(0,frac<2> ight) befinden,,$ $displaystyle I(u,v)=frac<2>-frac<2>,$, der Integrand wird auf mysteriöse Weise zu $x$, also

für $displaystyle a,b,c,in [0,frac<2>]$, mit Gleichheit für $a=b=c=1$.

Dabei wurde ein potenzieller beängstigender Fehler in der Literatur gefunden. Die Leute scheinen es auf @StackMath vermutet zu haben

Riemann Oberflächen, sozusagen. Unten ist der Abr. & Stig. jetzt seit 50 Jahren im Einsatz!

Wissen

Dies ist ein Problem von Dan Sitaru aus dem Rumänischen Mathematischen Magazin. Dan hat mir freundlicherweise das Problem und seine Lösung in einer LaTeX-Datei geschickt, ebenso wie N. N. Taleb (Lösung 2). Ich schätze diese Art von Nachdenklichkeit sehr.


Vergleichen Sie Binomial- und Poisson-Verteilungen

Die Formel für die Poisson-Verteilung lässt sich am besten erklären, indem Sie das folgende Beispiel lösen.

Beispiel 2
Mein Computer stürzt durchschnittlich alle 4 Monate ab
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in einem Zeitraum von 4 Monaten nicht abstürzt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es einmal in einem Zeitraum von 4 Monaten abstürzt?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es innerhalb von 4 Monaten zweimal abstürzt?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es innerhalb von 4 Monaten dreimal abstürzt?

Lösung zu Beispiel 2
ein)
Der Durchschnitt ( lambda = 1 ) alle 4 Monate. Daher wird die Wahrscheinlichkeit, dass mein Computer in einem Zeitraum von 4 Monaten nicht abstürzt, als ( P(X = 0) ) geschrieben und durch
( P(X = 0) = dfraclambda^x> = dfrac 1^0> <0!>= 0.36787 )
B)
Der Durchschnitt ( lambda = 1 ) alle 4 Monate. Daher wird die Wahrscheinlichkeit, dass mein Computer einmal in einem Zeitraum von 4 Monaten abstürzt, als ( P(X = 1) ) geschrieben und durch
( P(X = 1) = dfraclambda^x> = dfrac 1^1> <1!>= 0.36787 )
C)
( P(X = 2) = dfraclambda^x> = dfrac 1^2> <2!>= 0.18393 )
D)
( P(X = 3) = dfraclambda^x> = dfrac 1^3> <3!>= 0.06131 )

Beispiel 3
Ein Kundendienstzentrum erhält durchschnittlich 3,5 Anrufe pro Stunde.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er pro Stunde höchstens 4 Anrufe erhält?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede Stunde mindestens 5 Anrufe eingehen?

Lösung zu Beispiel 3
ein)
höchstens 4 Anrufe bedeutet keine Anrufe, 1 Anruf, 2 Anrufe, 3 Anrufe oder 4 Anrufe.
( P(X le 4) = P(X=0 oder X=1 oder X=2 oder X=3 oder X=4) )
( = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) )
( = dfrac 3.5^0> <0!>+ dfrac 3.5^1> <1!>+ dfrac 3.5^2> <2!>+ dfrac 3.5^3> <3!>+ dfrac 3.5^4> <4!>+ )
( = 0.03020 + 0.10569 + 0.18496 + 0.21579 + 0.18881 = 0.72545 )
B)
Mindestens 5 Klasse bedeutet 5 Anrufe oder 6 Anrufe oder 7 Anrufe oder 8 Anrufe, . was geschrieben werden kann als ( x ge 5 )
( P(X ge 5) = P(X=5 oder X=6 oder X=7 oder X=8. ) )
Das obige hat eine unendliche Anzahl von Begriffen. Die Wahrscheinlichkeit des Komplements kann wie folgt verwendet werden
( P(X ge 5) = P(X=5 oder X=6 oder X=7 . ) = 1 - P(X le 4) )
( P(X le 4) ) wurde bereits oben berechnet. Somit
( P(X ge 5) = 1 - P(X le 4) = 1 - 0,7254 = 0,2746 )

Beispiel 4
Eine Person erhält durchschnittlich 3 E-Mails pro Stunde.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er über einen Zeitraum von zwei Stunden 5 E-Mails erhält?
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er über einen Zeitraum von zwei Stunden mehr als 2 E-Mails erhält?

Lösung zu Beispiel 4
ein)
Wir erhalten den Durchschnitt pro Stunde, aber wir haben gebeten, Wahrscheinlichkeiten über einen Zeitraum von zwei Stunden zu ermitteln. Wir müssen daher den Durchschnitt (lambda) über einen Zeitraum von zwei Stunden ermitteln.
( lambda = 3 imes 2 = 6 ) E-Mails über 2 Stunden
Die Wahrscheinlichkeit, dass er über einen Zeitraum von zwei Stunden 5 E-Mails erhält, ergibt sich aus der Poisson-Wahrscheinlichkeitsformel
( P(X = 5) = dfraclambda^x> = dfrac 6^5> <5!>= 0.16062 )
B)
Mehr als 2 E-Mails bedeuten 3 E-Mails oder 4 E-Mails oder 5 E-Mails.
( P(X gt 2) = P(X=3 oder X=4 oder X=5 . ) )
Verwendung des Komplements
( = 1 - P(X le 2) )
( = 1 - ( P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ) )
Durch Formeln ersetzen
( = 1 - ( dfrac6^0> <0!>+ dfrac6^1> <1!>+ dfrac6^2> <2!>) )
( = 1 - (0.00248 + 0.01487 + 0.04462 ) )
( = 0.93803 )

Beispiel 5
Die Häufigkeitstabelle der Tore, die ein Fußballspieler in jedem seiner ersten 35 Spiele der Saison erzielt, ist unten aufgeführt.

Erzielte Tore , ( x ) 0 1 2 3 ( gt ) 3
Frequenz (Übereinstimmungen) , ( f ) 12 15 6 2 0
Unter der Annahme, dass die erzielten Tore durch eine Poisson-Verteilung angenähert werden können, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler trifft
a) ein Tor in einem bestimmten Spiel
b) mindestens ein Tor in einem bestimmten Spiel

Lösung zu Beispiel 5
ein)
Wir berechnen zuerst den Mittelwert (lambda)
( lambda = dfrac = dfrac<12 cdot 0 + 15 cdot 1 + 6 cdot 2 + 2 cdot 3 > < 12 + 15 + 6 + 2>ca. 0,94)
Die Wahrscheinlichkeit, dass er in einem Spiel ein Tor erzielt, ergibt sich aus der Poisson-Wahrscheinlichkeitsformel
( P(X = 1) = dfraclambda^x> = dfrac 0.94^1> <1!>= 0.36719 )
B)
Jedes mindestens eine Ziel bedeutet 1 oder 2 oder 3 oder 4 . Tore
( P(X ge 1) = P(X=1 oder X=2 oder X=3 . ) )
Verwendung des Komplements
( = 1 - P(X = 0) )
Durch Formeln ersetzen
( = 1 - dfrac0.94^0> <0!>)
( = 1 - 0.39062 )
( = 0.60938 )

Beispiel 6
Die Anzahl der defekten Artikel, die jeden Tag über einen Zeitraum von 100 Tagen an ein Geschäft zurückgegeben werden, ist unten aufgeführt.

Anzahl defekter Artikel, ( x ) 0 1 2 3 4 ( gt ) 4
Häufigkeit (Tage) , ( f ) 50 20 15 10 5 0
Unter der Annahme, dass die Anzahl der fehlerhaften Elemente durch eine Poisson-Verteilung angenähert werden kann, bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
a) an einem bestimmten Tag wird kein defekter Artikel zurückgegeben
b) drei oder mehr defekte Artikel an einem bestimmten Tag zurückgegeben werden

Lösung zu Beispiel 6
ein)
Wir berechnen zuerst den Mittelwert (lambda)
( lambda = dfrac = dfrac<50 cdot 0 + 20 cdot 1 + 15 cdot 2 + 10 cdot 3 + 5 cdot 4 > < 50 + 20 + 15 + 10 + 5>= 1 )
Die Wahrscheinlichkeit, dass kein defekter Artikel zurückgegeben wird, ergibt sich aus der Poisson-Wahrscheinlichkeitsformel
( P(X = 0) = dfraclambda^x> = dfrac 1^0> <0!>= 0.36787 )
B)
Mindestens drei oder mehr defekte Artikel werden zurückgesendet, was 3 oder 4 oder 5 bedeutet. Gegenstände oder ( x ge 3 )
( P(X ge 3) = P(X=3 oder X=4 oder X=5 . ) )
Verwendung des Komplements
( = 1 - P(X=0 oder X=1 oder X=2) )
Verwenden Sie die Summenformel der Wahrscheinlichkeiten und Poisson nach Formel
( = 1 - (dfrac 1^0> <0!>+ dfrac 1^1> <1!>+ dfrac 1^2><2!>) )
( = 1 - 0.91969 )
( = 0.08031 )

Weitere Referenzen und Links


3.3.E: Aufgaben zu Intervallen in Eⁿ (Übungen) - Mathematik

In diesem Abschnitt wollen wir die Tangenten an die parametrischen Gleichungen finden durch,

[x = fleft(t ight)hspace<0.5in>y = gleft(t ight)]

Um dies zu tun, erinnern wir uns zunächst daran, wie man die Tangente an (y = Fleft( x ight)) bei (x = a) findet. Hier ist die Tangente gegeben durch

Beachten Sie nun, dass, wenn wir herausfinden könnten, wie wir die Ableitung (frac<><>) aus den parametrischen Gleichungen könnten wir diese Formel einfach wiederverwenden, da wir die parametrischen Gleichungen verwenden können, um die (x)- und (y)-Koordinaten des Punktes zu finden.

Nehmen wir also für eine Sekunde an, wir könnten den Parameter aus der parametrischen Form eliminieren und die parametrischen Gleichungen in der Form (y = Fleft( x ight)) schreiben. Setzen Sie nun die parametrischen Gleichungen für (x) und (y) ein. Ja, es scheint albern, den Parameter zu eliminieren und ihn dann sofort wieder einzugeben, aber es ist das, was wir tun müssen, um das Derivat in die Hände zu bekommen. Dies gibt,

Differenzieren Sie nun nach (t) und beachten Sie, dass wir die Kettenregel auf der rechten Seite verwenden müssen.

Nehmen wir eine weitere Änderung der Notation vor. Wir müssen hier mit unseren Derivaten vorsichtig sein. Ableitungen der Funktion in Kleinbuchstaben beziehen sich auf (t), während Ableitungen von Funktionen in Großbuchstaben auf (x) erfolgen. Um sicherzustellen, dass wir dies in Ordnung halten, schreiben wir die Dinge wie folgt um.

An dieser Stelle sollten wir uns daran erinnern, was wir suchen. Wir brauchten eine Formel für (frac<><>) oder (F'left( x ight)), das heißt im Sinne der parametrischen Formeln. Beachten Sie jedoch, dass wir dies aus der obigen Gleichung erhalten können.

Ableitung für parametrische Gleichungen

Beachten Sie auch, dass dies eine Funktion von (t) und nicht (x) ist.

Beachten Sie nebenbei, dass wir bei Bedarf auch die folgende Formel mit einer ähnlichen Ableitung erhalten könnten:

Warum sollten wir das tun wollen? Nun, erinnern Sie sich, dass wir diese Ableitung im Abschnitt über die Bogenlänge des Abschnitts Anwendungen des Integrals tatsächlich gelegentlich gebraucht haben.

Suchen wir also eine Tangente.

Beachten Sie, dass hier anscheinend das Potenzial für mehr als eine Tangente besteht! Wir werden uns das genauer ansehen, nachdem wir mit dem Beispiel fertig sind.

Das erste, was wir tun sollten, ist die Ableitung zu finden, um die Steigung der Tangente zu erhalten.

An dieser Stelle haben wir ein kleines Problem. Die Ableitung erfolgt in Form von (t) und alles, was wir haben, ist an x-y Koordinatenpaar. Der nächste Schritt besteht dann darin, den oder die Werte von (t) zu bestimmen, die diesen Punkt ergeben. Wir finden diese, indem wir die (x)- und (y)-Werte in die parametrischen Gleichungen einsetzen und nach (t) auflösen.

[Start0 & = - 4 = left( <- 4> ight) &Rightarrow hspace <0.25in>& t = 0, pm 2 4 & = & Rightarrow hspace <0.25in>& t = pm 2end]

Jeder Wert von (t), der in beiden Listen erscheint, ergibt den Punkt. Da es also zwei Werte von (t) gibt, die den Punkt ergeben, erhalten wir tatsächlich zwei Tangentenlinien. Das ist in Calculus I definitiv nicht passiert, und wir müssen uns das ein wenig genauer ansehen. Bevor wir das tun, lassen Sie uns jedoch die Tangentenlinien erhalten.

(t = - 2:)
Da wir bereits die (x)- und (y)-Koordinaten des Punktes kennen, müssen wir nur noch die Steigung der Tangente ermitteln.

Die Tangente (bei (t = - 2)) ist dann

(t = 2:)
Auch hier brauchen wir nur die Steigung.

Die Tangente (bei (t = 2)) ist dann

Bevor wir dieses Beispiel verlassen, werfen wir einen Blick darauf, wie wir möglicherweise zwei Tangentenlinien an einem Punkt erhalten könnten. Dies war in Calculus I definitiv nicht möglich, als wir zum ersten Mal über Tangentenlinien liefen.

Ein kurzer Graph der parametrischen Kurve wird erklären, was hier vor sich geht.

Die parametrische Kurve kreuzt sich also selbst! Das erklärt, wie es mehr als eine Tangente geben kann. Für jeden Fall, in dem die Kurve durch den Punkt geht, gibt es eine Tangente.

Das nächste Thema, das wir in diesem Abschnitt besprechen müssen, sind die horizontalen und vertikalen Tangenten. Wir können leicht identifizieren, wo diese auftreten (oder zumindest die (t)s, die sie ergeben), indem wir uns die Ableitungsformel ansehen.

Horizontale Tangenten treten auf, wenn die Ableitung Null ist, und das bedeutet, dass wir bei Werten von (t) horizontale Tangenten erhalten, für die wir

Horizontale Tangente für parametrische Gleichungen

Vertikale Tangenten treten auf, wenn die Ableitung nicht definiert ist, und wir erhalten vertikale Tangenten bei Werten von (t), für die wir haben:

Vertikale Tangente für parametrische Gleichungen

Schauen wir uns dazu kurz ein Beispiel an.

Wir benötigen zunächst die Ableitungen der parametrischen Gleichungen.

Horizontale Tangenten
Wir haben horizontale Tangenten, wo

[6t = 0hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>t = 0]

Dies ist nun der Wert von (t), der die horizontalen Tangenten angibt, und wir wurden gebeten, die x-y Koordinaten des Punktes. Um diese zu erhalten, müssen wir nur (t) in die parametrischen Gleichungen einsetzen. Daher tritt die einzige horizontale Tangente am Punkt (left(<0, - 9> ight)) auf.

Vertikale Tangenten
In diesem Fall müssen wir lösen,

[3links( <- 1> ight) = 0hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>t = pm 1]

Die beiden vertikalen Tangenten treten an den Punkten (left( <2, - 6> ight)) und (left( < - 2, - 6> ight)) auf.

Der Vollständigkeit und zumindest teilweisen Verifizierung halber hier die Skizze der parametrischen Kurve.

Das letzte Thema, das wir in diesem Abschnitt besprechen müssen, bezieht sich wirklich nicht auf Tangenten, passt aber gut zu der Ableitung der Ableitung, die wir brauchten, um die Steigung der Tangente zu erhalten.

Bevor wir uns dem neuen Thema zuwenden, erinnern wir uns zunächst an die Formel für die erste Ableitung und schreiben sie dabei leicht um.

So geschrieben können wir sehen, dass die Formel uns tatsächlich sagt, wie wir eine Funktion (y) (als Funktion von (t)) nach (x) (wenn (x) ist auch eine Funktion von (t)), wenn wir parametrische Gleichungen verwenden.

Kommen wir nun zum letzten Thema dieses Abschnitts. Wir würden auch gerne wissen, wie man die zweite Ableitung von (y) nach (x) erhält.

Eine Formel dafür zu bekommen ist ziemlich einfach, wenn wir uns an die umgeschriebene Formel für die erste Ableitung oben erinnern.

Zweite Ableitung für parametrische Gleichungen

Es ist wichtig sich das zu merken,

Arbeiten wir ein kurzes Beispiel.

Dies ist der Satz parametrischer Gleichungen, den wir im ersten Beispiel verwendet haben, und daher haben wir die folgenden Berechnungen bereits abgeschlossen.

Wir benötigen zunächst folgendes,

Die zweite Ableitung ist dann

Warum sollten wir also die zweite Ableitung wollen? Nun, erinnern Sie sich aus Ihrer Calculus I-Klasse daran, dass wir mit der zweiten Ableitung bestimmen können, wo eine Kurve nach oben und nach unten konkav ist. Wir könnten dasselbe mit parametrischen Gleichungen machen, wenn wir wollten.

Um die zweite Ableitung zu berechnen, benötigen wir zunächst Folgendes.

Beachten Sie, dass wir auch die erste Ableitung oben verwenden können, um auch einige Informationen über die steigende/fallende Natur der Kurve zu erhalten. In diesem Fall sieht es so aus, als würde die parametrische Kurve bei (t < 0) ansteigen und bei (t > 0) abfallen.

Kommen wir nun zur zweiten Ableitung.

Es ist hoffentlich klar, dass die zweite Ableitung nur bei (t = 0) Null ist. Damit können wir sehen, dass die zweite Ableitung negativ ist, wenn (t < 0) und positiv ist, wenn (t > 0). Die parametrische Kurve ist also für (t < 0) nach unten konkav und für (t > 0) nach oben konkav.


3.3.E: Aufgaben zu Intervallen in Eⁿ (Übungen) - Mathematik

1) Wie viel Geld müssen Sie jetzt mit einem vierteljährlichen Zins von 6% einzahlen, um am Ende jedes Quartals 3.000 $ für zwei Jahre abheben zu können?

2) Angenommen, Sie haben über einen Zeitraum von 15 Jahren 1000 USD pro Quartal investiert. Wenn Geld eine jährliche Rate von 6,5% verdient, vierteljährlich aufgezinst, wie viel wäre am Ende des Zeitraums verfügbar. Wie hoch sind die Zinsen?

3) Eine Bank leiht einer Familie 90.000 US-Dollar zu einem jährlichen Zinssatz von 4,5%, um ein Haus zu kaufen. Die Familie verpflichtet sich, das Darlehen durch monatliche Zahlungen über einen Zeitraum von 15 Jahren abzulösen. Wie hoch sollte die monatliche Zahlung sein, um die Schulden in 15 Jahren zu begleichen?

4) Angenommen, Sie haben ein neues Auto zum Kauf für 19.500 US-Dollar ausgewählt. Wenn das Auto über einen Zeitraum von 4 Jahren mit einem Jahreszins von 6,9 % monatlich aufgezinst finanziert werden kann, wie hoch werden Ihre monatlichen Zahlungen sein? Wie viel von Ihrer ersten Zahlung sind Zinsen? Wie viel von Ihrer zweiten Zahlung sind Zinsen?

5) Angenommen, Sie benötigen in 3 Jahren 12.000 US-Dollar. Wie viel müssen Sie pro Monat investieren, um 12.000 US-Dollar zu haben, wenn das Geld eine jährliche Rate von 6% beträgt, die monatlich aufgezinst wird? Wie viel von den 12000 Dollar sind Zinsen?

6) Angenommen, Sie beginnen an Ihrem 21. Geburtstag, monatliche Zahlungen in Höhe von 500 USD auf ein Konto zu leisten, das monatlich 8 % aufzinst. Wenn Sie die Zahlungen bis zu Ihrem 51. Geburtstag (30 Jahre) fortsetzen, wie viel Geld wird auf dem Konto sein? Wie viel davon ist verzinst?

7) Angenommen, Ihre Eltern beschließen, Ihnen 10.000 US-Dollar für einen College-Treuhandfonds zu geben, der in gleichmäßigen vierteljährlichen Raten über einen Zeitraum von 5 Jahren ausgezahlt wird. Wenn Sie das Geld auf ein Konto einzahlen, das 1,5% zahlt Pro Quartal, wie hoch sind die vierteljährlichen Zahlungen (Angenommen, das Konto hat am Ende des Zeitraums einen Nullsaldo.) Hinweis: Was ist i?

8) Angenommen, die Eltern eines Kindes beginnen, vierteljährlich 1.000 US-Dollar auf ein Konto zu zahlen, das 7 % vierteljährlich aufgezinst zahlt. Die Zahlungen beginnen am 10. Geburtstag. Wie viel wird für das Kind verfügbar sein? a) 15. und b) 21. Geburtstag?

9) Wie lange wird es dauern, bis monatliche Zahlungen von 500 US-Dollar einen zukünftigen Wert von 100.000 US-Dollar haben, wenn das Geld monatlich 6% aufzinst? Sie müssen dies mit der entsprechenden Formel lösen, die Logarithmen erfordert.

10) Endlich haben Sie Ihr Traumhaus gefunden. Es wird für 120.000 US-Dollar verkauft und kann erworben werden, indem man 10 % Anzahlung zahlt und den Restbetrag zu einer jährlichen Rate von 9,6 % monatlich aufzinst.

ein) Wie hoch sind Ihre Zahlungen, wenn Sie 30 Jahre lang monatlich zahlen?

B) Bestimmen Sie, wie viel an Zinsen gezahlt werden würde.

C) Bestimmen Sie die Auszahlung nach 100 Zahlungen.

D) Ändern Sie den Satz auf 8,4% und die Zeit auf 15 Jahre und berechnen Sie die Zahlung.

e) Bestimmen Sie, wie viel Zinsen gezahlt werden würden und vergleichen Sie sie mit den vorherigen Zinsen. (auf den nächsten Dollar)

11) Experten sagen, dass die Babyboom-Generation (Jahrgang 1946-1960) für einen komfortablen Ruhestand nicht auf eine betriebliche Altersvorsorge oder Sozialversicherungsleistungen zählen kann. Es wird empfohlen, dass sie regelmäßig und früh mit dem Sparen beginnen. Michael, ein Babyboomer, hat beschlossen, jeden Monat 200 US-Dollar auf ein Konto einzuzahlen, das 20 Jahre lang 7,2% monatlich verzinst.

ein) Wie viel Geld wird am Ende der 20 Jahre auf dem Konto sein?

B) Angenommen, Michael hat festgestellt, dass er von dieser Rente 130.000 US-Dollar ansammeln muss. Mit welcher Rate würde dieses Ziel erreicht (Grafiken verwenden) ?

C) Wenn er den höheren Satz nicht bekommen kann, wie hoch müssten seine Zahlungen sein, um das Ziel zu erreichen?

D) Angenommen, Michael kann weder den höheren Zinssatz erhalten noch seine Zahlungen erhöhen. Wie viele Monate müsste er investieren, um sein Ziel zu erreichen? Verwenden Sie Protokolle.

12) Ein Mann kaufte vor 10 Jahren ein Haus im Wert von 80.000 US-Dollar. Er zahlte eine Anzahlung von 20 % und unterzeichnete eine Hypothek mit einer Laufzeit von 30 Jahren zu einem effektiven Jahreszins von 6,6 % monatlich. Heute beträgt der Nettomarktwert des Hauses 120.000 US-Dollar. Wie viel Eigenkapital hat der Mann heute im Haus?

Im übrigen habe ich den Typ nicht aufgeführt.

13) EIGENKAPITAL: Die Familie Jones kaufte vor 14 Jahren ein Haus für 150.000 US-Dollar. Sie zahlten 10 % ab und finanzierten den Restbetrag über einen Zeitraum von 30 Jahren. Ihr jährlicher Zinssatz beträgt 4,8%, monatlich aufgezinst, und der heutige Marktwert des Hauses beträgt 190.000 US-Dollar. Wie viel Eigenkapital (nächster Dollarbetrag) hat der Jones in seinem Haus?

14) Herr Ray hat monatlich 150 US-Dollar in eine ordentliche Rente eingezahlt. Nach 14 Jahren beträgt die Rente 85.000 US-Dollar. Was Jährliche Rate monatlich aufgezinst Hat diese Rente in den 14 Jahren verdient? Durch grafische Darstellung lösen.

15) Lösung der Rate in einem PV-Problem

Angenommen, Sie möchten ein Auto im Wert von 20.000 USD kaufen und es in 60 monatlichen Raten von 375 USD pro Zahlung abbezahlen. Wie hoch ist der jährliche Zinssatz, mit dem Sie die Schulden in genau 60 Zahlungen abbezahlen können? Lösen Sie mit einem Grafikrechner.

16) Marie hat festgestellt, dass sie über einen Zeitraum von 30 Jahren 5000 US-Dollar pro Monat im Ruhestand benötigen wird. Sie hat prognostiziert, dass ihr Geld monatlich 7,2 % verdienen wird. Marie wird 25 Jahre lang auf dieses Ziel hinarbeiten und monatlich mit einer jährlichen Rate von 7,2 % investieren. Wie hoch sollten Maries monatliche Zahlungen während ihrer Arbeitsjahre sein, um ihren Ruhestandsbedarf zu decken? Tipp: Finden Sie heraus, wie viel Marie im Ruhestand haben muss, und ermitteln Sie dann die monatlichen Zahlungen, um dieses Ziel zu erreichen.

16b) Welchen maximalen Betrag könnte Marie jeden Monat abheben, damit ihr Guthaben nie sinkt (nächster Dollar)?


Übungen 8.3.1 Übungen

Übung 1

Zuerst machen wir ein Diagramm der Situation.

Als nächstes berücksichtigen wir die verschiedenen Mengen und Raten im Problem.

Wie weit der Ballon seit seiner Veröffentlichung gestiegen ist.

Wie weit ist der Beobachter (t) Sekunden vom Ballon entfernt, nachdem er losgelassen wurde?

Die Geschwindigkeit, mit der der Ballon steigt.

Die Geschwindigkeit, mit der sich der Abstand zwischen Beobachter und Ballon ändert.

Als nächstes finden wir eine Gleichung, die die Mengen in Beziehung setzt, und verwenden sie, um die zugehörige Ratengleichung zu finden.

Wenn der Ballon (400) ft in der Luft ist, können wir die Werte einiger der Variablen aus der zugehörigen Ratengleichung bestimmen.

Variable Was wir wissen
(h) Der Wert dieser Variablen ist (400 ext<.>)
(D) Der Wert dieser Variablen ist (d=sqrt<300^2+400^2>=500 ext<.>)
(lz) Der Wert dieser Variablen ist (10 ext<.>)
(lz) Dies ist die Variable, für die wir lösen müssen.
Tabelle 8.3.3 Was wir im beschriebenen Moment über die Variablen wissen

Nun können wir diese Werte in die zugehörige Ratengleichung einsetzen und nach (lz ext<.>)

Wenn der Ballon also (400) ft in der Luft ist, vergrößert sich der Abstand zwischen Beobachter und Ballon mit einer Geschwindigkeit von (8) ft ⁄S.

Übung 2

Zuerst machen wir ein Diagramm der Situation.

Als nächstes berücksichtigen wir die verschiedenen Mengen und Raten im Problem.

Wie weit Rex (t) Sekunden nach dem lauten Geräusch gelaufen ist.

Wie weit Muffin (t) Sekunden nach dem lauten Geräusch gelaufen ist.

Der Abstand zwischen Muffin und Rex (t) Sekunden nach dem lauten Geräusch.

Die Geschwindigkeit, mit der Rex (t) Sekunden nach dem lauten Geräusch läuft.

Die Geschwindigkeit, mit der Muffin (t) Sekunden nach dem lauten Geräusch läuft.

Die Geschwindigkeit, mit der sich der Abstand zwischen Rex und Muffin (t) Sekunden nach dem lauten Geräusch ändert.

Als nächstes finden wir eine Gleichung, die die Mengen in Beziehung setzt, und verwenden sie, um die zugehörige Ratengleichung zu finden.

Drei Sekunden nach ihrem Durchlauf können wir die Werte einiger der Variablen bestimmen, die die zugehörige Ratengleichung bilden.

Der Wert dieser Variablen ist (3cdot2.1=6.3 ext<.>)

Der Wert dieser Variablen ist (3cdot1.7=5.1 ext<.>)

Unter Verwendung des Diagramms und des Satzes des Pythagoras finden wir, dass (d=sqrt<6.3^2+5.1^2>approx8.105ldots ext<.>)

Der Wert dieser Variablen ist (2.1 ext<.>)

Der Wert dieser Variablen ist (1.7 ext<.>)

Dies ist die Variable, für die wir lösen müssen.

Nun können wir diese Werte in die zugehörige Ratengleichung einsetzen und nach (lz ext<.>)

Also, (3) s nachdem die Tiere zu rennen begonnen haben, nimmt ihr Abstand voneinander mit einer Geschwindigkeit von ungefähr (2.701) ft . zuS.

Übung 3

Zuerst machen wir ein Diagramm der Situation.

Als nächstes berücksichtigen wir die verschiedenen Mengen und Raten im Problem.

Der Abstand zwischen den Handspitzen zum Zeitpunkt (t ext<.>)

Der Winkel vom Minutenzeiger zum Stundenzeiger zum Zeitpunkt (t ext<.>)

Die Geschwindigkeit, mit der sich der Abstand zwischen den Handspitzen zum Zeitpunkt (t) ändert.

Die Geschwindigkeit, mit der sich der Winkel vom Minutenzeiger zum Stundenzeiger zum Zeitpunkt (t) ändert.

Als nächstes finden wir eine Gleichung, die die Mengen in Beziehung setzt, und verwenden sie, um die zugehörige Ratengleichung zu finden. Hier können wir das Kosinusgesetz anwenden.

Wenn der Minutenzeiger 12 erreicht, können wir die Werte einiger der Variablen bestimmen, die die zugehörige Ratengleichung bilden.

Der Wert dieser Variablen wird mit dem Kosinusgesetz ermittelt: (d=sqrt<30^2+20^2-2(30)(20)fe< 3>>>ca.43,58ldots ext<.>)

Der Wert dieser Variablen ist (frac<2pi><3> ext<.>)

Dies ist die Variable, für die wir lösen müssen.

Der Wert dieser Variablen ist (-frac<2pi><60> ext<,>), da der Minutenzeiger alle (60) min eine ganze Umdrehung durchläuft. Es ist negativ, denn im Moment, in dem wir untersuchen, rückt der Minutenzeiger näher an den Stundenzeiger heran.

Nun können wir diese Werte in die zugehörige Ratengleichung einsetzen und nach (lz ext<.>)

Wenn der Minutenzeiger also die 12 erreicht, verringert sich der Abstand zwischen den Spitzen der beiden Zeiger mit einer Geschwindigkeit von etwa (1.248) cm .Mindest.

Übung 4

Zuerst machen wir ein Diagramm der Situation.

Als nächstes berücksichtigen wir die verschiedenen Mengen und Raten im Problem.

Die Entfernung vom Lampensockel zu dem Ort, an dem Bahram zum Zeitpunkt (t ext<.>) steht

Die Länge von Bahrams Schatten zum Zeitpunkt (t ext<.>)

Die Geschwindigkeit, mit der sich Bahrams Abstand vom Sockel des Laternenpfahls zum Zeitpunkt (t ext<.>) ändert

Die Geschwindigkeit, mit der sich die Länge von Bahrams Schatten zum Zeitpunkt (t ext<.>) ändert

Als nächstes finden wir eine Gleichung, die die Mengen in Beziehung setzt, und verwenden sie, um die zugehörige Ratengleichung zu finden. Hier können wir ähnliche Dreiecke verwenden.

Wenn Bahram (80) ft vom Sockel der Lampe entfernt ist, können wir die Werte einiger der Variablen aus der zugehörigen Ratengleichung bestimmen.

Der Wert dieser Variablen ist (80 ext<.>)

Der Wert dieser Variablen könnte mithilfe der Gleichung für ähnliche Dreiecke ermittelt werden, aber da diese Variable nicht in der zugehörigen Ratengleichung vorkommt, besteht keine Notwendigkeit, ihren Wert zu ermitteln.

Da Bahram mit einer Geschwindigkeit von (2) ft gehtS emph die Lampe, der Wert dieser Variablen ist (-2 ext<.>)

Dies ist die Variable, nach der wir auflösen müssen.

Nun können wir diese Werte in die zugehörige Ratengleichung einsetzen und nach (lz ext<.>)

Wenn Bahram also (80) ft vom Laternenpfahl entfernt ist, nähert man sich ihm mit einer Geschwindigkeit von (2) ft ⁄S, sein Schatten nimmt mit einer Geschwindigkeit von etwa (0.3188) ft ⁄ . abS.

Übung 5

Wir brauchen hier nicht wirklich ein Diagramm, da die Gleichung für die verschiedenen Größen angegeben wurde. Berücksichtigung der verschiedenen Mengen und Raten im Problem:

Der Abstand zwischen den Massenschwerpunkten der beiden Objekte zum Zeitpunkt (t ext<.>)

Die Gravitationskraft zwischen den beiden Objekten zum Zeitpunkt (t ext<.>)

Die Geschwindigkeit, mit der sich der Abstand zwischen den Massenschwerpunkten der beiden Objekte zum Zeitpunkt (t ext<.>) ändert

Die Geschwindigkeit, mit der sich die Gravitationskraft zwischen den beiden Objekten zum Zeitpunkt (t ext<.>) ändert

Wir haben eine Gleichung erhalten, die die Mengen in Beziehung setzt, und wir können sie verwenden, um die zugehörige Ratengleichung zu finden.

Im betrachteten Moment können wir die Werte einiger der Variablen aus der zugehörigen Ratengleichung bestimmen.

Der Wert dieser Variablen ist (250 ext<.>)

Diese Variable erscheint nicht in der zugehörigen Ratengleichung, sodass wir sie nicht berechnen müssen.

The value of this variable is negative, since the objecta are getting closer to each other. Given their speeds at the moment under consideration, the value of (lz) is (-(0.9+0.5)=-1.4 ext<.>)

This is the variable for which we must solve.

Now we can substitute these values into the related rates equation and solve for (lz ext<.>)

So at the moment when the objects are (250) km apart, the gravitational force between them is increasing at a rate of (0.2688G) newtons per hour. ((G) is measured in N km 2 ⁄kg 2 .)

Übung 6

First we make a diagram of the situation.

Next we account for the various quantities and rates in the problem. Note that an angle and an angle rate were given in terms of degrees, but we should convert to radians because the derivatives that we are familiar with for trigonometric functions assume that radians are in use.

The angle between the pendulum and the vertical.

The distance from the pendulum weight to the table.

The rate at which the angle between the pendulum and the vertical is changing at time (t ext<.>)

The rate at which the distance from the pendulum weight to the table is changing at time (t ext<.>)

Next we find an equation that relates the quantities, and use it to find the related rates equation. Here we can use the cosine formula for an angle of a right triangle.

At the moment in questio, we can determine the values of some of the variables form the related rates equation.

The value of this variable is (frac<4> ext<.>)

This variable does not appear in the related rates equation, so there is no need to solve for it.

The value of this variable is (-25frac<180> ext<,>) or just (-frac<5><36>pi ext<.>)

This is the variable for which we must solve.

Now we can substitute these values into the related rates equation and solve for (lz ext<.>)

So at the moment in question, the distance between the pendulum weight and the table is decreasing with a rate of about (5.553) in ⁄s.


New exercises and problems in MathematicsNovember 2004

Please read The Rules of the Problem Solving Competition.

New exercises for beginners

Solutions can be submitted only by students of grade 9. Maximum score for each exercise (sign "K") is 6 points.

K. 13. Determine the last two digits of the sum 7 1 +7 2 +. +7 2005 .

K. 14. There are several roads connecting three towns Downton, Upton and Middleton. The number of direct roads between any pair of towns is at least 3 and at most 10. There are 33 different paths from Downton to Upton, including roads that lead there directly as well as paths passing through Middleton. Similarly, one can go from Middleton to Upton directly or through Downton in 23 different ways. Given the information above, how many different paths are there altogether from Middleton to Downton (including direct roads as well as paths passing through Upton)? Example: In the Figure there are 2 direct roads from Downton ( A ) to Uptown ( F ) and there are 3 . 2=6 paths through Middleton ( K ), which make 8 paths altogether.

K. 15. The convex quadrilateral ABCD has an angle of 100 o at vertex A . Given that the diagonal AC divides the quadrilateral into an equilateral triangle and an isosceles triangle, calculate the measures of the interior angles of the quadrilateral.

K. 16. a ) Using each of the digits 9, 8, 7, 6 once, form two two-digit numbers such that their product is maximal. b ) Using each of the digits 9, 8, 7, 6, 5, 4 once, form three two-digit numbers such that their product is maximal. Give reasons for your answer.

K. 17. The sides of the concave quadrilateral ABCD are AB =13 cm, BC =4 cm, CD =3 cm, DA =12 cm, and its interior angle at vertex C is 270 o . Find the area of the quadrilateral.

K. 18. Determine the four distinct digits a , b , c and d , such that (displaystyle overline:overline=4), where (displaystyle overline) and (displaystyle overline) denote four-digit numbers.

K. 12. For how many positive numbers n is it true that 2004 n is a factor of 2004! ? [2004! denotes the product of integers from 1 to 1024.] (Suggested by Á. Englert, Zalaegerszeg.)

New exercises

Maximum score for each exercise (sign "C") is 5 points.

C. 780. There were three problems posed in a mathematics competition. The first problem was solved by 85 percent of the participants, the second one was solved by 80 percent and the last one by 75 percent. Prove that at least 40 percent solved all three problems.

C. 781. Find the positive primes p > q > r , such that p 2 - ( q + r ) 2 =136.

C. 782. A sailboat is travelling parallel to the shore of the lake Balaton, at a distance of 200 metres. A swimmer wants to reach the approaching sailboat by moving along a straight line. At what angle to the shore should he leave if the speed of the boat is 15 km/h, the speed of the swimmer is 2 km/h, and at start his distance from the point of the shore that is closest to the boat is 2 km? (Suggested by L. Koncz, Budapest)

C. 783. The shaded region in the figure is bounded by the arms of the 30 o angle of vertex A and a circular arc centred at the point O . Find the area of the region, given that AO = AB =1.

C. 784. In the cuboid ABCDEFGH (with vertices labelled in the conventional way), AE = 1, AD = 2, AB =3. Find the volume of the solid whose vertices are A , C , and the midpoints of the edges around the face EFGH .

New problems

The maximum scores for problems (sign "B") depend on the difficulty. It is allowed to send solutions for any number of problems, but your score will be computed from the 6 largest score in each month.

B. 3762. Two cylindrical tanks were filled with water. At 12 noon, two pumps of the same power started to pump the water, one from each tank, at a constant rate. At 2 p.m. the water levels were the same. At 5 p.m. the first tank was finished, and at 8 p.m. the second tank became empty, too. If the height of the second tank is 10 metres, how tall is the first one? ( 3 points )

B. 3763. P is a point in the interior of a convex quadrilateral ABCD . Beweise das

PA 2 + PB 2 + PC 2 + PD 2 (displaystyle ge)2 t ABCD .

B. 3764. C 1 divides the side AB of an equilateral triangle ABC in a ratio 1:3. (It lies closer to A .) The points A 1 , A 2 and A 3 divide the side BC into four equal parts. Find the sum of the angles AA 1 C 1 , AA 2 C 1 and AA 3 C 1 . ( 4 points )

B. 3765. Given that the product of each pair out of 25 different positive integer not greater than 1000 is a perfect square, prove that the numbers themselves are also square numbers. ( 4 points )

B. 3766. There were four problems in a mathematics competition. The first problem was solved by 85 percent of the participants, the second one was solved by 80 percent, the third one was solved by 75 percent and the last one by 70 percent. What percentage of the participants, at least, must have solved all four problems? ( 4 points )

B. 3767. (displaystyle alpha), (displaystyle eta), (displaystyle gamma) are the angles of a triangle. Given that sin (displaystyle alpha)+sin (displaystyle eta)=(cos (displaystyle alpha)+cos (displaystyle eta))sin (displaystyle gamma), determine the angle (displaystyle gamma). ( 3 points )

B. 3768. A rectangle T 0 is cut into two non-congruent but similar rectangles T 1 and T 1 ' with a line parallel to a side. The procedure is repeated for the resulting rectangle T 1 . Then it is repeated again for one of the parts obtained, and so on. Is there a rectangle T 0 , such that the procedure can be repeated to infinity? ( 5 points )

B. 3769. Given three tangents and one focus of an ellipse, construct by ruler and compass, the other focus. ( 4 points )

B. 3770. Into how many parts do the planes of the faces of a regular octahedron divide the space? ( 5 points )

B. 3771. Let (displaystyle a_k=frac<1><inom>), (displaystyle b_k=frac<1><2^>), k = 1,2. n . Beweise das

New advanced problems

Maximum score for each advanced problem (sign "A") is 5 points.

A. 356. The sequence P n ( x ) of polynomials is defined by the following recurrence: P 0 ( x )=0, P 1 ( x )=1 and P n ( x )= x . P n -1 ( x )+(1- x ) . P n -2 ( x ). What are the roots of P n ( x )?

A. 357. k 1 , k 2 , k 3 , . are disjoint circles. The radius of the circle k i is (displaystyle frac<1>) and its centre is P i . Is it possible for the sequence of points P i to be convergent?


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