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5.8: Korrigierbare Bögen. Absolute Kontinuität


Wenn eine Funktion (f : E^{1} ightarrow E) von beschränkter Variation (§7) auf einem Intervall (I=[a, b],) ist, können wir eine reelle Funktion (v_{ f}) auf (I) um

[v_{f}(x)=V_{f}[a, x](= ext { Gesamtvariation von } f ext { auf }[a, x]) ext { for } x in I; ]

(v_{f}) wird die totale Variationsfunktion oder Längenfunktion genannt, die von (f) auf (I) erzeugt wird. Beachte, dass (v_{f}uparrow) auf (I.) (Warum?) Wir betrachten nun den Fall, dass (f) auch auf (I,) relativ stetig ist, so dass die Menge (A=f[I]) ist ein gleichrichtbarer Lichtbogen (siehe §7, Anmerkung 1 und Definition 2).

Definition 1

Eine Funktion (f : E^{1} ightarrow E) ist (schwach) absolut stetig auf (I=[a, b]) genau dann, wenn (V_{f}[I]<+infty) und (f) ist auf (I) relativ stetig.

Satz (PageIndex{1})

Folgendes ist gleichwertig:

(i) (f) ist (schwach) absolut stetig auf (I=[a, b]);

(ii) (v_{f}) ist endlich und relativ stetig auf (I ;) und

(iii) ((forall varepsilon>0) ext{ } (exists delta>0) ext{ } (forall x, y in I | 0 leq yx

Nachweisen

Wir werden zeigen, dass (ii) (Rightarrow) (iii) (Rightarrow) (i) (Rightarrow) (ii) ist.

(ii) (Pfeil nach rechts) (iii). Da (I=[a, b]) kompakt ist, folgt aus (ii) dass (v_{f}) auf (I) gleichmäßig stetig ist (Satz 4 von Kapitel 4, §8). Daher

[(forall varepsilon>0) ext{ } (exists delta>0) ext{} (forall x, y in I|0 leq yx

Jedoch,

[v_{f}(y)-v_{f}(x)=V_{f}[a, y]-V_{f}[a, x]=V_{f}[x, y]]

durch Additivität (Satz 1 in §7). Somit folgt (iii).

(iii) (Rightarrow) (i). Nach Korollar 3 von §7 gilt (|f(x)-f(y)|leq V_{f}[x, y].) Daher folgt aus (iii)

[(forall varepsilon>0) ext{ } (exists delta>0) ext{ } (forall x, y in I||xy |

also ist (f) relativ (sogar gleichmäßig) stetig auf (I).

Nimm nun mit (varepsilon) und (delta) wie in (iii) eine Partition (P=left{t_{0}, ldots, t_{m} ight}) von (I) so fein, dass

[t_{i}-t_{i-1}

Dann ist ((forall i) V_{f}left[t_{i-1}, t_{i} ight]

[V_{f}[I]=sum_{i=1}^{m} V_{f}left[t_{i-1}, t_{i} ight]

Somit folgt (i) per Definition.

Dass (i) (Rightarrow) (ii) als nächster Satz gegeben ist. (quad quadrat)

Satz (PageIndex{2})

Wenn (V_{f}[I]<+infty) und (f) bei einem (pin I) relativ stetig ist (über (I=[a, b]), ) gilt dann dasselbe für die Längenfunktion (v_{f}).

Nachweisen

Wir betrachten zuerst die linke Stetigkeit mit (a

Sei (varepsilon>0.) Nach Annahme gibt es (delta>0) mit

[|f(x)-f(p)|

Fixiere jedes solche (x.) Auch (V_{f}[a, p]=sup_{P} S(f, P)) über ([a, p].) Also

[V_{f}[a, p]-frac{varepsilon}{2}

für eine Partition

[P=left{t_{0}=a, ldots, t_{k-1}, t_{k}=p ight} ext { of }[a, p]. ext { (Warum?)}]

Wir können wie oben (t_{k-1}=x, x) annehmen. (Wenn (t_{k-1} eq x,) (x) zu (P. ) addiere) Dann

[left|Delta_{k} f ight|=|f(p)-f(x)|

und daher

[V_{f}[a, p]-frac{varepsilon}{2}

Jedoch,

[V_{f}[a, p]=v_{f}(p)]

und

[V_{f}left[a, t_{k-1} ight]=V_{f}[a, x]=v_{f}(x).]

Somit ergibt (1)

[left|v_{f}(p)-v_{f}(x) ight|=V_{f}[a, p]-V_{f}[a, x]

Dies zeigt, dass (v_{f}) bei (p) stetig bleibt.

Die rechte Kontinuität wird ähnlich bewiesen, wenn man feststellt,

[v_{f}(x)-v_{f}(p)=V_{f}[p, b]-V_{f}[x, b] ext { for } p leq x

Somit ist (v_{f}) in der Tat relativ stetig bei (p.) Beachten Sie, dass (v_{f}) auch auf (I,) von beschränkter Variation ist, da es monoton und endlich ist (siehe Satz 3(ii) von §7).

Damit ist der Beweis von Satz 2 und Satz 1 abgeschlossen. (quad square)

Wir haben auch folgendes.

Folgerung (PageIndex{1})

Ist (f) reell und absolut stetig auf (I=[a, b]) (schwach), so sind auch die nicht abnehmenden Funktionen (g) und (h(f=gh)) definiert in Satz 3 von §7.

Tatsächlich ist die dort definierte Funktion (g) einfach (v_{f}.) Sie ist also nach Satz 1 relativ stetig und endlich auf (I). Also auch (h=fg). ) Beide sind von beschränkter Variation (monoton!) und daher absolut stetig (schwach).

Anmerkung 1. Der Beweis von Satz 1 zeigt, dass (schwache) absolute Stetigkeit gleichförmige Stetigkeit impliziert. Die Umkehrung schlägt jedoch fehl (siehe Problem 1(iv) in §7).

Wir wenden unsere Theorie nun auf Stammfunktionen (Integrale) an.

Folgerung (PageIndex{2})

Wenn (F=int f) auf (I=[a, b]) und (f) beschränkt ist (left(|f|leq Kin E^{1} rechts)) auf (IQ) ((Q) abzählbar), dann ist (F) auf (I.) schwach absolut stetig

(Eigentlich folgt sogar die stärkere Variante der absoluten Stetigkeit. Siehe Kapitel 7, §11, Aufgabe 17).

Nachweisen

Definitionsgemäß ist (F=int f) endlich und relativ stetig auf (I,), also müssen wir nur zeigen, dass (V_{F}[I]<+infty.) , folgt leicht aus Aufgabe 3 von §7, wenn man bemerkt, dass (F^{prime}=f) auf (IS) ((S) abzählbar) ist. Details bleiben dem Leser überlassen. (quad quadrat)

Unser nächster Satz drückt die Bogenlänge in Form eines Integrals aus.

Satz (PageIndex{3})

Wenn (f : E^{1} ightarrow E) auf (I=[a, b]) stetig differenzierbar ist (§6), dann gilt (v_{f}=intleft|f^ {prime} ight|) auf (I) und

[V_{f}[a, b]=int_{a}^{b}left|f^{prime} ight|.]

Nachweisen

Seien (a

[Updelta v_{f}=v_{f}(x)-v_{f}(p)=V_{f}[p, x] . quad ext {(Warum?)}]

Als ersten Schritt zeigen wir, dass

[frac{Updelta v_{f}}{Updelta x} leqsup_{[p,x]}left|f^{prime} ight|.]

Für jede Partition (P=left{p=t_{0}, ldots, t_{m}=x ight}) von ([p, x],) gilt

[S(f, P)=sum_{i=1}^{m}left|Delta_{i}f ight| leq sum_{i=1}^{m} sup_{left[t_{i-1}, t_{i} ight]}left|f^{prime} ight|left( t_{i}-t_{i-1} ight) leq sup_{[p, x]}left|f^{prime} ight| Delta x.]

Da dies für jede Partition (P,) gilt, gilt

[V_{f}[p, x] leq sup_{[p, x]}left|f^{prime} ight| Delta x,]

was impliziert (2).

Auf der anderen Seite,

[Updelta v_{f}=V_{f}[p, x] geq|f(x)-f(p)|=|Updelta f|.]

Kombinieren wir erhalten

[links|frac{Updelta f}{Updelta x} ight| leq frac{Updelta v_{f}}{Updelta x} leqsup_{[p,x]}left|f^{prime} ight|<+infty]

da (f^{prime}) auf ([a,b],) relativ stetig ist, also auch gleichmäßig stetig und beschränkt. (Hier haben wir (a

Jetzt

[| | f^{prime}(p)|-| f^{prime}(x)| | leqleft|f^{prime}(p)-f^{prime}(x) ight| ightarrow 0 quad ext { as } x ightarrow p,]

Nehmen wir also die Grenzen als (x ightarrow p,) erhalten wir we

[lim_{x ightarrow p} frac{Updelta v_{f}}{Updelta x}=left|f^{prime}(p) ight|.]

Somit ist (v_{f}) an jedem (p) in ((a, b),) differenzierbar mit (v_{f}^{prime}(p)=left|f^ {prime}(p) ight|.) Außerdem ist (v_{f}) relativ stetig und endlich auf ([a, b]) (nach Satz 1). Also (v_{f}=intleft|f^{prime} ight|) auf ([a, b],) und wir erhalten

[int_{a}^{b}left|f^{prime} ight|=v_{f}(b)-v_{f}(a)=V_{f}[a, b], ext { wie behauptet.} quad square]

Anmerkung 2. Ist der Bereich (E) (E^{n}) (*oder (C^{n})), hat (f) (n) Komponenten

[f_{1}, f_{2}, ldots, f_{n}.]

Nach Satz 5 in §1, (f^{prime}=left(f_{1}^{prime}, f_{2}^{prime}, ldots, f_{n}^{prime } ichtig so

[left|f^{prime} ight|=sqrt{sum_{k=1}^{n}left|f_{k}^{prime} ight|^{2}}, ]

und wir bekommen

[V_{f}[a, b]=int_{a}^{b} sqrt{sum_{k=1}^{n}left|f_{k}^{prime} ight| ^{2}}=int_{a}^{b} sqrt{sum_{k=1}^{n}left|f_{k}^{prime}(t) ight|^{2 }} dt quad ext {(klassische Notation).}]

Insbesondere für komplexe Funktionen gilt (siehe Kapitel 4, §3, Anm. 5)

[V_{f}[a, b]=int_{a}^{b} sqrt{f_{mathrm{re}}^{prime}(t)^{2}+f_{mathrm{ im}}^{prime}(t)^{2}} d t.]

In der Praxis wird Formel (5) verwendet, wenn eine Kurve parametrisch gegeben ist durch

[x_{k}=f_{k}(t), quad k=1,2, ldots, ext{ }n,]

mit (f_{k}) differenzierbar auf ([a, b].) Kurven in (E^{2}) werden oft in nichtparametrischer Form als

[y=F(x), quad F : E^{1} ightarrow E^{1}.]

Hier ist (F[I]) (nicht) die gewünschte Kurve, sondern einfach eine Menge in (E^{1}.) Um (5) hier anzuwenden, ersetzen wir zuerst "(y=F( x))" durch geeignete parametrische Gleichungen,

[x=f_{1}(t) ext { und } y=f_{2}(t);]

dh wir führen eine Funktion (f : E^{1} ightarrow E,) ein mit (f=left(f_{1}, f_{2} ight).) Eine offensichtliche (aber nicht die einzige) Möglichkeit, es zu erreichen, ist zu setzen

[x=f_{1}(t)=t ext { und } y=f_{2}(t)=F(t)]

so dass (f_{1}^{prime}=1) und (f_{2}^{prime}=F^{prime}.) Dann kann Formel (5) geschrieben werden als

[V_{f}[a, b]=int_{a}^{b} sqrt{1+F^{prime}(x)^{2}} dx, quad f(x)=( x, F(x)).]

Beispiel

Finden Sie die Länge des Kreises

[x^{2}+y^{2}=r^{2}.]

Hier ist es praktisch, die parametrischen Gleichungen zu verwenden

[x=r cos t ext { und } y=r sin t,]

d.h. um (f : E^{1} ightarrow E^{2}) zu definieren durch

[f(t)=(rcos t, rsint),]

oder in komplexer Schreibweise

[f(t)=r e^{t i}.]

Dann erhält man den Kreis, indem man (t) durch ([0,2pi].) variieren lässt

[V_{f}[0,2 pi]=int_{a}^{b} r sqrt{cos^{2} t+sin^{2} t} dt=r int_{a} ^{b} 1 dt=rleft.t ight|_{0} ^{2 pi}=2 r pi.]

Beachten Sie, dass (f) denselben Kreis (A=f[I]) über (I=[0,4 pi].) beschreibt Intervall ([a, b]) mit (ba geq 2 pi.) Allerdings würde sich die Länge (V_{f}[a, b],) ändern (abhängig von (ba) ). Dies liegt daran, dass der Kreis (A=f[I]) kein einfacher Bogen ist (siehe §7, Anmerkung 1), also hängt (ell A) von (f) und (I, ) und man muss vorsichtig sein, beide richtig auszuwählen.


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