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1.5: Reihenfolge der Operationen


Die Reihenfolge, in der wir Ausdrücke auswerten, kann mehrdeutig sein. Wenn wir zuerst die Addition machen, dann

4+3 · 2=7 · 2

= 14.

Auf der anderen Seite, wenn wir zuerst die Multiplikation durchführen, dann

4+3 · 2=4+6

= 10.

Also, was sollen wir tun? Natürlich kann das Gruppieren von Symbolen die Mehrdeutigkeit beseitigen

Gruppierungssymbole

Klammern, Klammern oder geschweifte Klammern können verwendet werden, um Teile eines Ausdrucks zu gruppieren. Jede der folgenden ist äquivalent:

(4 + 3) · 2 oder [4 + 3] · 2 oder {4+3} · 2

In jedem Fall lautet die Regel „Bewerten Sie zuerst den Ausdruck innerhalb der Gruppierungssymbole“. Wenn Gruppierungssymbole verschachtelt sind, werten Sie zuerst den Ausdruck im innersten Paar von Gruppierungssymbolen aus.

So ist zum Beispiel

(4 + 3) · 2=7 · 2

= 14.

Beachten Sie, wie der in Klammern enthaltene Ausdruck zuerst ausgewertet wurde. Eine andere Möglichkeit, Mehrdeutigkeiten bei der Auswertung von Ausdrücken zu vermeiden, besteht darin, eine Reihenfolge festzulegen, in der Operationen ausgeführt werden sollen. Die folgenden Richtlinien sollten bei der Auswertung von Ausdrücken immer strikt eingehalten werden.

Regeln für die Reihenfolge der Operationen

Gehen Sie beim Auswerten von Ausdrücken in der folgenden Reihenfolge vor.

  1. Werten Sie zuerst Ausdrücke aus, die in Gruppierungssymbolen enthalten sind. Wenn Gruppierungssymbole verschachtelt sind, werten Sie zuerst den Ausdruck im innersten Paar von Gruppierungssymbolen aus.
  2. Werten Sie alle Exponenten aus, die im Ausdruck vorkommen.
  3. Führen Sie alle Multiplikationen und Divisionen in der Reihenfolge durch, in der sie im Ausdruck erscheinen, von links nach rechts.
  4. Führen Sie alle Additionen und Subtraktionen in . durch

Beispiel 1

Werten Sie 4 + 3 · 2 aus.

Lösung

Wegen der etablierten Regeln für die Reihenfolge der Operationen, ist dieser Ausdruck nicht mehr mehrdeutig. Es gibt keine Gruppierungssymbole oder Exponenten, also gehen wir sofort zu Regel drei über, werten alle Multiplikationen und Divisionen in der Reihenfolge aus, in der sie erscheinen, von links nach rechts. Danach rufen wir Regel 4 auf und führen alle Additionen und Subtraktionen in der Reihenfolge ihres Auftretens von links nach rechts durch.

[ egin{aligned} 4+3 dot 2=4+6 = 10 end{aligned} onumber ]

Also 4 + 3 · 2 = 10.

Ausübung

Vereinfachen: 8 + 2 · 5.

Antworten

18

Beispiel 2

Werten Sie 18 − 2 + 3 aus.

Lösung

Folge dem Regeln für die Reihenfolge der Operationen. Addition hat weder Vorrang vor Subtraktion noch hat Subtraktion Vorrang vor Addition. Wir müssen Additionen und Subtraktionen ausführen, sobald sie auftreten, von links nach rechts.

[ egin{aligned} 18 − 2 + 3 = 16 + 3 & extcolor{red}{ ext{ Subtrahieren: 18 − 2 = 16.}} = 19 & extcolor{red}{ ext{ Addiere: 16 + 3 = 19. }} end{aligned} onumber ]

Also 18 − 2 + 3 = 19.

Ausübung

Vereinfachen: 17 − 8 + 2.

Antworten

11

Beispiel 3

Bewerte 54 ÷ 9 · 2.

Lösung

Folge dem Regeln für die Reihenfolge der Operationen. Die Division hat keinen Vorrang vor der Multiplikation, noch hat die Multiplikation Vorrang vor der Division. Wir müssen Divisionen und Multiplikationen durchführen, wenn sie auftreten, von links nach rechts.

[ egin{aligned} 54 div 9 cdot 2=6 dot 2 & extcolor{red}{ ext{ Divide: 54 } div ext{ 9 = 6. }} = 12 & textcolor{red}{ ext{ Multiplizieren: 6 } cdot ext{ 2 = 12. }} end{aligned} onumber ]

Somit ist 54 ÷ 9 · 2 = 12.

Ausübung

Vereinfachen: 72 ÷ 9 · 2.

Antworten

16

Beispiel 4

Auswerten 2 · 32 − 12.

Lösung

Folge dem Regeln für die Reihenfolge der Operationen, Exponenten zuerst, dann Multiplikation, dann Subtraktion.

[ egin{aligned} 2 cdot 3^2 - 12 = 2 dot 9 - 12 & extcolor{red}{ ext{ Berechne den Exponenten: 3^2 = 9. }} = 18 - 12 & extcolor{red}{ ext{ Führe die Multiplikation durch: } 2 cdot 9 = 18. } = 6 & extcolor{red}{ ext{ Führe die Subtraktion durch: } 18 - 12 = 6.} end{ausgerichtet} onumber]

Also 2 · 32 − 12 = 6.

Ausübung

Vereinfachen: 14 + 3 · 42

Antworten

62

Beispiel 5

Bewerten 12 + 2(3 + 2 · 5)2.

Lösung

Befolgen Sie die Regeln für die Reihenfolge der Operationen, werten Sie zuerst den Ausdruck in den Klammern aus, dann die Exponenten, dann die Multiplikation und dann die Addition.

[ egin{aligned} 12 + 2(3 + 5 cdot 5 )^2 = 12 + 2(3 + 10)^2 ~ & extcolor{red}{ ext{ In Klammern multiplizieren: 2 } cdot 5 = 10.} = 12 + 2(13)^2 ~ & extcolor{red}{ ext{ In Klammern einfügen: } 3 + 10 = 13.} = 12 + 2(169) ~ & extcolor{red}{ ext{ Exponenten sind als nächstes: } (13)^2 = 169.} = 12 + 338 ~ & extcolor{red}{ ext{ Multiplikation ist als nächstes: } 2(169) = 338.} = 350 ~ & extcolor{red}{ ext{ Zeit zum Hinzufügen: } 12 + 338 = 350.} end{aligned} onumber ]

Somit ist 12 + 2(3 + 2 · 5) 2 = 350.

Ausübung

Vereinfachen: 3(2 + 3 · 4)2 − 11.

Antworten

577

Beispiel 6

Werten Sie 2{2 + 2[2 + 2]} aus.

Lösung

Wenn Gruppierungssymbole verschachtelt sind, werten Sie zuerst den Ausdruck zwischen dem Paar der innersten Gruppierungssymbole aus.

[ egin{aligned} 2( 2 + 2[2 + 2]) = 2(2 + 2[4]) ~ & extcolor{red}{ ext{ Innerste Gruppierung zuerst: } 2 + 2 = 4. } = 2(2+8) ~ & extcolor{red}{ ext{ Als nächstes multiplizieren: } 2[4] = 8.} = 2(10) ~ & extcolor{red}{ ext { Fügen Sie innere Klammern hinzu: } 2 + 8 = 10.} = 20 ~ & extcolor{red}{ ext{ Multiplizieren: } 2(10) = 20} end{aligned} onumber ]

Somit ist 2(2 + 2[2 + 2]) = 20.

Ausübung

Vereinfachen: 2{3 + 2[3 + 2]}.

Antworten

26

Bruchstriche

Betrachten Sie den Ausdruck

[ frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}} onumber ]

Da ein Bruchstrich eine Division bedeutet, ist der obige Ausdruck äquivalent zu

[left(6^{2}+8^{2} ight) div(2+3)^{2} onumber]

Die Position der Gruppierungssymbole signalisiert, wie wir vorgehen sollen. Wir sollten den Zähler vereinfachen, dann den Nenner und dann dividieren.

Bruchausdrücke

Wenn ein gebrochener Ausdruck vorhanden ist, werten Sie zuerst den Zähler und den Nenner aus und dividieren Sie dann.

Beispiel 7

Werten Sie den Ausdruck aus

[ frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}}. onumber ]

Lösung

Vereinfachen Sie zuerst Zähler und Nenner und dividieren Sie dann.

[ egin{ausgerichtet} frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}}=frac{6^{2}+8^{2}}{ (5)^{2}} ~ & extcolor{red}{ ext{ Klammern im Nenner zuerst: } 2 + 3 = 5} = frac{36+64}{25} ~ & extcolor{red }{ ext{Exponenten sind als nächstes: } 6^2 = 36,~ 8^2 = 64,~ 5^2 = 25.} = frac{100}{25} ~ & extcolor{red}{ ext{ Addiere im Zähler: } 36 + 64 = 100} = 4 ~ & extcolor{red}{ ext{ Divide: } 100 div 25 = 4.} end{aligned} onumber ]

Somit ist (frac{6^{2}+8^{2}}{(2+3)^{2}}=4).

Ausübung

Vereinfachen: (frac{12+3 cdot 2}{6})Antworten

3

Das Verteilungsvermögen

Betrachten Sie den Ausdruck 2 · (3 + 4). Wenn wir die „Regeln für die Reihenfolge der Operationen“ befolgen, würden wir zuerst den Ausdruck in Klammern auswerten. 2 · (3 + 4) = 2 · 7 Klammern zuerst: 3 + 4 = 7. = 14 Multiplizieren: 2 · 7 = 14.

Wir könnten uns jedoch auch dafür entscheiden, die 2 zu „verteilen“, indem wir zuerst jeden Summanden in den Klammern mit 2 mal multiplizieren.

[ egin{aligned} 2 cdot (3 + 4) = 2 cdot 3 + 2 cdot 4 ~ & extcolor{red}{ ext{ 2 mal 3 und 4 multiplizieren}} = 6 + 8 ~ & extcolor{red}{ ext{ Multiplizieren: } 2 cdot 3 = 6 ext{ und } 2 cdot 4 = 8.} = 14 ~ & extcolor{red}{ ext{ Addiere: } 6 + 8 = 14.} end{aligned} onumber ]

Die Tatsache, dass wir im zweiten Ansatz dieselbe Antwort erhalten, veranschaulicht eine wichtige Eigenschaft ganzer Zahlen.1

Das Verteilungsvermögen

Lassen ein, B, und C beliebige ganze Zahlen sein. Dann,

ein · (B + C) = ein · B + ein · C.

Wir sagen, dass „Multiplikation bezüglich Addition distributiv ist“.

Die Multiplikation ist bezüglich der Addition distributiv. Wenn Sie nicht das Produkt einer Zahl und einer Summe von Zahlen berechnen, gilt die Verteilungseigenschaft nicht.

Vorsicht! Falsche Antwort voraus!

Wenn Sie das Produkt einer Zahl und das Produkt zweier Zahlen berechnen, darf die Verteilungseigenschaft nicht verwendet werden. Hier ist zum Beispiel eine häufige Fehlanwendung der Verteilungseigenschaft.

[ egin{aligned} 2 cdot (3 cdot 4) = (2 cdot 3) cdot (2 cdot 4) = 6 cdot 8 = 48 end{aligned} onumber ]

Dieses Ergebnis ist ziemlich weit von der richtigen Antwort entfernt, die durch Berechnung des Produkts in den Klammern zuerst gefunden wird.

[ egin{aligned} 2 cdot (3 cdot 4) = 2 cdot 12 = 24. end{aligned} onumber ]

Um die Verteilungseigenschaft anzuwenden, müssen Sie mit einer Summe multiplizieren.

Beispiel 8

Verwenden Sie die Verteilungseigenschaft, um 4 · (5 + 11) zu berechnen.

Lösung

Dies ist das Produkt einer Zahl und einer Summe, daher kann die Verteilungseigenschaft angewendet werden.

[ egin{aligned} 4 cdot (5 + 11) = 4 cdot 5 + 4 cdot 11 ~ & extcolor{red}{ ext{ Verteile den 4-fachen Summanden in der Summe.}} = 20 + 44 ~ & extcolor{red}{ ext{ Multiplizieren: } 4 cdot 5 = 20 ext{ und } 4 cdot 11 = 44.} = 64 ~ & extcolor{red}{ ext { Addieren: } 20 + 44 = 64.} end{aligned} onumber ]

Die Leser sollten überprüfen, ob die gleiche Antwort gefunden wird, indem sie zuerst die Summe innerhalb der Klammern berechnen.

Ausübung

Verteilen: 5 · (11 + 8).

Antworten

95

Die Verteilungseigenschaft ist die Grundlage des Multiplikationsalgorithmus, den wir in unseren Kindheitsjahren gelernt haben.

Beispiel 9

Multiplizieren: 6 · 43.

Lösung

Wir drücken 43 als Summe aus und verwenden dann die Verteilungseigenschaft.

[ egin{aligned} 6 cdot 43 = 6 cdot (40 + 3) ~ & extcolor{red}{ ext{ 43 als Summe ausdrücken: } 43 = 40 + 3} = 6 cdot 40 + 6 cdot 3 ~ & extcolor{red}{ ext{ Verteile die 6.}} = 240 + 18 ~ & extcolor{red}{ ext{ Multipliziere: } 6 cdot 40 = 240 text{ und } 6 cdot 3 = 18.} = 258 ~ & extcolor{red}{ ext{ Add: } 240 + 18 = 258.} end{aligned} onumber ]

Die Leser sollten diese Anwendung der Verteilungseigenschaft in der bekannteren algorithmischen Form sehen können:

( egin{array}{r}{43} { imes 6} hline 18 {frac{240}{258}}end{array})

Oder noch komprimierter mit „tragen:“

( egin{array}{r}{^{1} 43} {frac{ imes 6}{258}}end{array})

Ausübung

Verwenden Sie die Verteilungseigenschaft, um 8 · 92 auszuwerten.

Antworten

736

Die Multiplikation ist auch bezüglich der Subtraktion distributiv.

Die Verteilungseigenschaft (Subtraktion)

Lassen ein, B, und C beliebige ganze Zahlen sein. Dann,

ein · (BC) = ein · Bein · C.

Wir sagen, die Multiplikation sei „distributiv in Bezug auf die Subtraktion“.

Beispiel 10

Vereinfachen Sie mit der Verteilungseigenschaft: 3 · (12 − ​​8).

Lösung

Dies ist das Produkt einer Zahl und einer Differenz, daher kann die Verteilungseigenschaft angewendet werden.

[ egin{aligned} 3 cdot (12 - 8) = 3 cdot 12 - 3 cdot 8 ~ & extcolor{red}{ ext{ Verteile jeden Term 3 mal in der Differenz.}} = 36 - 24 ~ & extcolor{red}{ ext{Multiplizieren: } 3 cdot 12 = 36 ext{ und } 3 cdot 8 = 24.} = 12 ~ & extcolor{red}{ text{Subtrahieren: } 36 - 24 = 12.} end{aligned} onumber ]

Alternative Lösung

Beachten Sie, was passiert, wenn wir die übliche „Reihenfolge der Operationen“ verwenden, um den Ausdruck auszuwerten.

[ egin{aligned} 3 cdot (12 - 8) = 3 cdot 4 ~ & extcolor{red}{ ext{ Klammern zuerst: } 12 - 8 = 4.} = 12 ~ & extcolor {red}{ ext{ Multiplizieren: } 3 cdot 4 = 12.} end{aligned} onumber ]

Gleiche Antwort.

Ausübung

Verteilen: 8 · (9 − 2).

Antworten

56

Übungen

Vereinfachen Sie in den Übungen 1-12 den gegebenen Ausdruck.

1. 5+2 · 2

2. 5+2 · 8

3. 23 − 7 · 2

4. 37 − 3 · 7

5. 4 · 3+2 · 5

6. 2 · 5+9 · 7

7. 6 · 5+4 · 3

8. 5 · 2+9 · 8

9. 9+2 · 3

10. 3+6 · 6

11. 32 − 8 · 2

12. 24 − 2 · 5


Vereinfachen Sie in den Übungen 13-28 den gegebenen Ausdruck.

13. 45 ÷ 3 · 5

14. 20 ÷ 1 · 4

15. 2 · 9 ÷ 3 · 18

16. 19 · 20 ÷ 4 · 16

17. 30 ÷ 2 · 3

18. 27 ÷ 3 · 3

19. 8 − 6+1

20. 15 − 5 + 10

21. 14 · 16 ÷ 16 · 19

22. 20 · 17 ÷ 17 · 14

23. 15 · 17 + 10 ÷ 10 − 12 · 4

24. 14 · 18 + 9 ÷ 3 − 7 · 13

25. 22 − 10 + 7

26. 29 − 11 + 1

27. 20 · 10 + 15 ÷ 5 − 7 · 6

28. 18 · 19 + 18 ÷ 18 − 6 · 7


Vereinfachen Sie in den Übungen 29-40 den gegebenen Ausdruck.

29. 9+8 ÷ {4+4}

30. 10 + 20 ÷ {2+2}

31. 7 · [8 − 5] − 10

32. 11 · [12 − 4] − 10

33. (18 + 10) ÷ (2 + 2)

34. (14 + 7) ÷ (2 + 5)

35. 9 · (10 + 7) − 3 · (4 + 10)

36. 9 · (7 + 7) − 8 · (3 + 8)

37. 2 · {8 + 12} ÷ 4

38. 4 · {8+7} ÷ 3

39. 9+6 · (12 + 3)

40. 3+5 · (10 + 12)


Vereinfachen Sie in den Übungen 41-56 den gegebenen Ausdruck.

41. 2+9 · [7 + 3 · (9 + 5)]

42. 6+3 · [4 + 4 · (5 + 8)]

43. 7+3 · [8 + 8 · (5 + 9)]

44. 4+9 · [7 + 6 · (3 + 3)]

45. 6 − 5[11 − (2 + 8)]

46. 15 − 1[19 − (7 + 3)]

47. 11 − 1[19 − (2 + 15)]

48. 9 − 8[6 − (2 + 3)]

49. 4{7[9 + 3] − 2[3 + 2]}

50. 4{8[3 + 9] − 4[6 + 2]}

51. 9 · [3 + 4 · (5 + 2)]

52. 3 · [4 + 9 · (8 + 5)]

53. 3{8[6 + 5] − 8[7 + 3]}

54. 2{4[6 + 9] − 2[3 + 4]}

55. 3 · [2 + 4 · (9 + 6)]

56. 8 · [3 + 9 · (5 + 2)]


Vereinfachen Sie in den Übungen 57-68 den angegebenen Ausdruck.

57. (5 − 2)2

58. (5 − 3)4

59. (4 + 2)2

60. (3 + 5)2

61. 23 + 33

62. 54 + 24

63. 23 − 13

64. 32 − 12

65. 12 · 52 + 8 · 9+4

66. 6 · 32 + 7 · 5 + 12

67. 9 − 3 · 2 + 12 · 102

68. 11 − 2 · 3 + 12 · 42


Vereinfachen Sie in den Übungen 69-80 den gegebenen Ausdruck.

69. 42 − (13 + 2)

70. 33 − (7 + 6)

71. 33 − (7 + 12)

72. 43 − (6 + 5)

73. 19 + 3[12 − (23 + 1)]

74. 13 + 12[14 − (22 + 1)]

75. 17 + 7[13 − (22 + 6)]

76. 10 + 1[16 − (22 + 9)]

77. 43 − (12 + 1)

78. 53 − (17 + 15)

79. 5 + 7[11 − (22 + 1)]

80. 10 + 11[20 − (22 + 1)]


Vereinfachen Sie in den Übungen 81-92 den gegebenen Ausdruck.

81. ( frac{13+35}{3(4)})

82. ( frac{35+28}{7(3)})

83. ( frac{64-(8 cdot 6-3)}{4 cdot 7-9})

84. ( frac{19-(4 cdot 3-2)}{6 cdot 3-9})

85. (frac{2+13}{4-1})

86. ( frac{7+1}{8-4})

87. ( frac{17+14}{9-8})

88. ( frac{16+2}{13-11})

89. ( frac{37+27}{8(2)})

90. ( frac{16+38}{6(3)})

91. ( frac{40-(3 cdot 7-9)}{8 cdot 2-2})

92. ( frac{60-(8 cdot 6-3)}{5 cdot 4-5})


Verwenden Sie in den Übungen 93-100 die distributive Eigenschaft, um den gegebenen Ausdruck auszuwerten.

93. 5 · (8 + 4)

94. 8 · (4 + 2)

95. 7 · (8 − 3)

96. 8 · (9 − 7)

97. 6 · (7 − 2)

98. 4 · (8 − 6)

99. 4 · (3 + 2)

100. 4 · (9 + 6)


Verwenden Sie in den Übungen 101-104 die distributive Eigenschaft, um den gegebenen Ausdruck mit der in Beispiel 9 gezeigten Technik auszuwerten.

101. 9 · 62

102. 3 · 76

103. 3 · 58

104. 7 · 57

Antworten

1. 9

3. 9

5. 22

7. 42

9. 15

11. 16

13. 75

15. 108

17. 45

19. 3

21. 266

23. 208

25. 19

27. 161

29. 10

31. 11

33. 7

35. 111

37. 10

39. 99

41. 443

43. 367

45. 1

47. 9

49. 296

51. 279

53. 24

55. 186

57. 9

59. 36

61. 35

63. 7

65. 376

67. 1203

69. 1

71. 8

73. 28

75. 38

77. 51

79. 47

81. 4

83. 1

85. 5

87. 31

89. 4

91. 2

93. 60

95. 35

97. 30

99. 20

101. 558

103. 174


1Später werden wir sehen, dass diese Eigenschaft für alle Zahlen gilt, nicht nur für ganze Zahlen


5. Klasse Schreiben und Auswerten von Ausdrücken, Reihenfolge der Operationen Google Paperless Practice - Schreiben und Bewerten von Ausdrücken in der 5. Klasse Begeistern Sie Ihre Schüler mit dieser interaktiven DIGITALEN Ressource, die mit Google Slides™ funktioniert. Keine Kopien mehr, keine Druckertinte und keine verlorenen Papiere mehr! Mit dieser digitalen Ressource mit 27 Folien üben Ihre Schüler das Schreiben numerischer Ausdrücke aus Wörtern und das Bewerten von Ausdrücken anhand der Reihenfolge der Operationen. Die Schüler werden es lieben, mit den beweglichen Teilen zu interagieren und ihre Antworten auf diesen Folien einzugeben! Diese Ressource wurde erstellt, um zu unterstützen 5. Klasse Common Core-Standards 5.OA.1 und 5.OA.2: Verwenden Sie Klammern, Klammern oder geschweifte Klammern in numerischen Ausdrücken und werten Sie Ausdrücke mit diesen Symbolen aus.* Schreiben Sie einfache Ausdrücke, die Berechnungen mit Zahlen aufzeichnen, und interpretieren Sie numerische Ausdrücke, ohne sie auszuwerten. *Hinweis: In dieser Ressource werden nur Klammern verwendet. Alle Gleichungen haben bis zu 3 Operationen. Wenn Sie diese DIGITALE Ressource kaufen, erhalten Sie: • Anweisungen zum Öffnen, Teilen und Verwenden dieser Google Slides™-Datei • 27 interaktive Folien, die Ihre Schüler ausfüllen müssen • Antwortschlüssel des Lehrers Wenn Sie ein Google-Klassenzimmer haben, macht diese Aktivität mit Sicherheit viel mehr Spaß, diese Schlüsselfertigkeiten zu üben, als wenn sie mit Papier und Bleistift durchgeführt würden. Möchten Sie mehr erfahren? Klicken Sie oben auf den grünen "Vorschau"-Button! WICHTIG: Dies ist eine digitale Ressource. Kaufen Sie diese Ressource daher nur, wenn Sie in Ihrem Klassenzimmer über die entsprechenden Fähigkeiten verfügen (Computer, Laptops oder Tablets, Internetzugang und ein Google-Konto). Wenn Sie Probleme mit dieser Ressource haben, senden Sie mir bitte direkt eine E-Mail an [email protected] Ich werde gerne versuchen, Ihnen zu helfen! Denken Sie voraus und sparen Sie $ indem Sie diese digitale Ressource im Rahmen dieses Rabatts kaufen DIGITALES PRAXIS-BUNDLE FÜR DIGITALE PRAXIS-BETRIEB DER 5. KLASSE! Suchen Sie diese Art von Praxis für eine andere Klassenstufe? Sie können auch unsere Digitale Ressourcen der 3. Klasse und Digitale Ressourcen der 4. Klasse Grad! Ihre Schüler können auch diese Aktivitäten der 5. Klasse aus Games 4 Gains genießen: Kundentipps: Wir hören gerne, was Sie denken! Bitte hinterlassen Sie Ihr Feedback zu dieser Ressource, um Kreditpunkte zu sammeln und bei zukünftigen Einkäufen Geld zu sparen! Klicken Sie oben auf das grüne ★, um meinem Shop zu folgen und Benachrichtigungen über neue Ressourcen, Verkäufe und Werbegeschenke zu erhalten! Erstellt von Brittney Field, © Games 4 Gains, LLC. Dieser Kauf ist nur für die Verwendung in einem Klassenzimmer bestimmt. Die gemeinsame Nutzung dieser Ressource mit mehreren Lehrern, einer ganzen Schule oder einem gesamten Schulsystem ist strengstens untersagt. Mehrere Lizenzen sind mit einem Rabatt erhältlich. Dieses Werk ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung-Keine kommerzielle Nutzung-Keine Bearbeitung 4.0 International Lizenz. PEMDAS: Reihenfolge der Operationen

Lernziel:

Der Student kann die Reihenfolge der Operationen anwenden.

Wenn Sie mehrere Operationen wie 32-7 imesleft(7-5 ight)^<2>+3div7 ausführen, subtrahieren Sie zuerst oder achten Sie zuerst darauf, was in der Klammer steht?

Um Ihnen bei der Entscheidung zu helfen, denken Sie immer an die Reihenfolge der Operationen: PEMDAS. Die Abkürzung steht für Klammer, Exponenten, Multiplikation, Einteilung, Zusatz, und Subtraktion. Bei Operationen, die zuerst ausgeführt werden müssen, wie 32-7 imesleft(7-5 ight)^<2>+3div7 , Klammern übertrumpfen Exponenten was übertrifft Multiplikation und Division und Addition & Subtraktion. Mit anderen Worten, Sie sehen sich die Reihenfolge der Operationen wie folgt an:

Oft begegnet man Operationen mit dem gleichen Rang wie “Multiplikation & Einteilung” und “Zusatz & Subtraktion“. Dies kann irreführend sein, da die Multiplikation vor der Division aufgeführt wird. Das gleiche gilt für die Addition, die vor der Subtraktion aufgeführt ist. Dies ist keine korrekte Reihenfolge bei der Auswertung von Operationen, da die Multiplikation dieselbe Prioritätsstufe wie die Division hat. Das gleiche gilt für die Addition, sie hat die gleiche Prioritätsstufe wie die Subtraktion. Um Multiplikation und Division oder Addition und Subtraktion durchzuführen, beginnen Sie daher immer von links nach rechts bei der Auswertung von Operationen, die zuerst kommen.

Nachfolgend finden Sie einige Beispiele, in denen wir PEMDAS verwenden:

Beispiel 1: Auswerten

(4 + 4^<2>) imes5 ÷ 4

Sehen Sie sich die Operationen in der Klammer an. Vereinfachen Sie es, indem Sie die richtige Reihenfolge der Operationen erneut anwenden.

Innerhalb der Klammer haben wir 4 + 4^ <2> mit Addition und Exponenten. Da die Exponenten der Addition überlegen sind, werden wir zuerst 4^ <2> auswerten.

Somit ist (4 + color <16>) imes 5 ÷ 4 .

Wir haben noch eine Operation in der Klammer, die Addition ist. Jetzt werden wir also 4 und 16 hinzufügen.

Jetzt haben wir noch Multiplikation und Division. Beide haben die gleiche Priorität, daher bewerten wir die Operationen, die zuerst von links nach rechts kommen. Die erste Operation von links ist die Multiplikation, wir multiplizieren zuerst 20 und 5.

Wir haben jetzt noch eine Operation übrig, die Division ist, lassen Sie uns 100 div 4 auswerten.

Daher, Farbe ist unsere letzte Antwort.

Beispiel #2: Auswerten

15div5 imes7+(4^<2> imes2^<2>+8-40)

Werfen wir zuerst einen Blick in die Klammern. Vereinfachen Sie es, indem Sie die Reihenfolge der Operationen erneut anwenden.

Innerhalb der Klammer haben wir 4^<2> imes2^<2>+8-40 mit Multiplikation, Addition und Subtraktion sowie Exponenten. Da Exponenten diesen Operationen überlegen sind, werden wir zuerst 4^ <2> und 2^ <2> auswerten.

Da color <4^<2>> = color <16>und color <2^<2>> = color <4>, ersetzen:

Somit ist 15div5 imes7+( color <16> imes color <4>+8-40)

Zurück zu den Klammern, wir haben immer noch Multiplikation, Addition und Subtraktion. Die Multiplikation hat die höchste Priorität. Lassen Sie uns also zuerst 16 und 4 multiplizieren.

Somit ist 15div5 imes7+( color <64>+8-40) .

In Klammern haben wir Addition und Subtraktion, die die gleiche Priorität haben. Wir werten also von links nach rechts aus. Lassen Sie uns zuerst 64 und 8 hinzufügen.

Somit ist 15div5 imes7+( color <72>-40) .

Nur die Subtraktion bleibt jetzt in der Klammer. Ziehe 40 von 72 ab.

Jetzt, wo die Klammern behandelt sind, haben wir noch Division, Multiplikation und Addition im Problem. Da Division und Multiplikation der Addition überlegen sind, werden wir das Problem zuerst durch Division und Multiplikation von links nach rechts bewerten, da beide die gleiche Priorität haben. Wir beginnen also damit, 15 durch 5 zu teilen.

Diesmal bleiben Multiplikation und Addition übrig. 3 und 7 multiplizieren.


Jahr 5 - Arbeitsblatt zur Arbeitsreihenfolge (1-5)

Hallo alle! Ich bin Jinky, Grundschullehrerin für Mathematik und Koordinatorin für Mathematik am Beaconhouse Yamsaard Rangsit, Thailand. Eine meiner Freuden ist es, Zeit zu finden, um Fotos von allem zu machen, was ich interessant finde. Wenn ich nicht gerade Katzen jage oder Fotos mache, bin ich damit beschäftigt, Teile zusammenzusetzen und bunte Banner, Bordüren für Papier, Zahlen und Alphabet zu entwerfen. Ich biete von Zeit zu Zeit Rabatte für meine Ressourcen an. Schauen Sie also bitte auf meiner Seite vorbei. 'Danke' für Ihren Besuch.

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PEMDAS

Die folgende Liste ist von höchster Priorität zu niedrigster Priorität.

P #-># Klammer
E #-># Exponenten
MD #-># Multiplikation und Division von links nach rechts
AS #-># Addition und Subtraktion von links nach rechts

Klammern haben den hohen Vorrang und sollten von innen nach außen gearbeitet werden.

Als nächstes würden Sie an allen Ausdrücken arbeiten, die potenziert werden, Exponenten.

Als nächstes, wenn Sie Multiplikation und Division haben, sollten diese von ganz links nach rechts ausgewertet werden.

Schließlich, wenn Sie irgendwelche Additionen und Subtraktionen haben, sollten diese von ganz links nach rechts ausgewertet werden.

Dies ist eine vereinbarte Methode zum Auflösen oder Bewerten von Ausdrücken und Gleichungen. Ohne diese Übereinkunft würden Personen, die mit Mathematik arbeiten, zu unterschiedlichen Schlussfolgerungen kommen, basierend auf den Operationen, die sie nach dem Zufallsprinzip auswerten.

Wenn Sie jemals an den Punkt kommen, an dem ein Teil eines Ausdrucks oder einer Gleichung mit höherer Priorität ausgewertet werden soll, müssen Sie ihn nur in Klammern setzen.

PEMDAS ist ein Gedächtnisstütze, das Schüler an die Reihenfolge der Operationen bei der Berechnung eines mathematischen Problems erinnert.

Die Initialen sind auch zusammen mit dem von vielen Schülern und Lehrern verwendeten Satz: Bitte entschuldigen Sie meine liebe Tante Sally.

P = Klammer (Klammern)
E = Exponenten
M = Multiplizieren
D = Teilen
A = Zusatz
S = Subtraktion

Lösen Sie in Klammern auf, führen Sie dann Exponenten, Multiplizieren und Dividieren aus, bevor Sie Addieren und Subtrahieren.

Ein Beispielproblem könnte so aussehen.

Nach der Reihenfolge der Operationen

Klammer zuerst
#3^2(5)(4) + 8#

Jetzt multiplizieren und dividieren
#900 + 8#

Durch Addieren und Subtrahieren lösen
#908#


Arbeitsblätter für die Reihenfolge der Operationen

Die folgenden Arbeitsblätter sind bereits für Sie konfiguriert &ndash klicken Sie einfach auf die Links. Sie werden nach dem Zufallsprinzip generiert, sodass Sie jedes Mal, wenn Sie auf die Links klicken, eine neue erhalten.

Siehe auch

Mathesicher
Ein lustiges logisches Denkspiel, bei dem Sie die vier vorgegebenen einstelligen Zahlen und eine der vier Operationen verwenden müssen, um die Zielzahl zu erreichen, und dann öffnet sich der Safe! Es übt die Verwendung aller vier Operationen und auch die Reihenfolge der Operationen. Das Spiel eignet sich für die besten Klassenstufen 4 und höher.

Wählen Sie das Mathe-Operationsspiel
Wähle die mathematische(n) Operation(en) so, dass der Zahlensatz wahr ist. Üben Sie die Rolle von Null und Eins in grundlegenden Operationen oder Operationen mit negativen Zahlen. Hilft, Zahlensinn und logisches Denken zu entwickeln.

Arbeitsablauf: Unterrichtsstunde für die dritte Klasse
Eine kostenlose Lektion für die 3. Klasse über den Arbeitsablauf. Für diese Klassenstufe beschäftigt sich der Unterricht nur mit Addition, Subtraktion und Multiplikation.


Wann sollte ein Arbeitsblatt zur Arbeitsreihenfolge verwendet werden?

Versuchen Sie, diese Arbeitsblätter zu Beginn des Unterrichts, als einfache Aktivität in ruhiger Zeit oder als Teil einer rotierenden Lernstation zu verwenden.

Arbeitsblätter sind eine effektive Möglichkeit für Schüler, neue Fähigkeiten zu üben, die sie gerade gelernt haben, oder Fähigkeiten zu wiederholen, die in früheren Einheiten oder Klassen unterrichtet wurden. Sie können auch Arbeitsblätter verwenden, um festzustellen, welche Schüler mit bestimmten Konzepten Schwierigkeiten haben und möglicherweise zusätzliche Hilfe benötigen.

Wie auch immer Sie sich entscheiden, diese Arbeitsblätter zur Arbeitsreihenfolge zu verwenden, sie werden eine wertvolle Ressource für Sie und Ihre Schüler sein!


Vorrang von C++-Operatoren

In der folgenden Tabelle sind die Rangfolge und Assoziativität von C++-Operatoren aufgeführt. Operatoren werden von oben nach unten in absteigender Reihenfolge aufgelistet.

  1. ↑ Der Operand von sizeof kann keine Typumwandlung im C-Stil sein: Der Ausdruck sizeof ( int ) * p wird eindeutig als ( sizeof ( int ) ) * p interpretiert, aber nicht sizeof ( ( int ) * p ) .
  2. ↑ Der Ausdruck in der Mitte des Bedingungsoperators (zwischen ? und : ) wird wie in Klammern geparst: seine Priorität relativ zu ?: wird ignoriert.

Beim Parsen eines Ausdrucks wird ein Operator, der in einer Zeile der obigen Tabelle mit Vorrang aufgeführt ist, enger (wie durch Klammern) an seine Argumente gebunden als jeder Operator, der in einer Zeile darunter mit niedrigerer Vorrangstellung aufgeführt ist. Zum Beispiel werden die Ausdrücke std:: cout << a & b und * p ++ als ( std:: cout << a ) & b und * ( p ++ ) geparst, und nicht als std:: cout << ( a & b ) oder ( * p ) ++ .

Operatoren mit gleicher Priorität werden in Richtung ihrer Assoziativität an ihre Argumente gebunden. Zum Beispiel wird der Ausdruck a = b = c als a = ( b = c ) geparst und nicht als ( a = b ) = c wegen der Rechts-Links-Assoziativität der Zuweisung. aber a + b - c wird geparst ( a + b ) - c und nicht a + ( b - c ) wegen der Links-Rechts-Assoziativität von Addition und Subtraktion.

Die Angabe der Assoziativität ist für unäre Operatoren redundant und wird nur der Vollständigkeit halber angezeigt: Unäre Präfixoperatoren verknüpfen immer von rechts nach links ( delete ++* p ist delete ( ++ ( * p ) ) ) und Unäre Postfixoperatoren verbinden immer von links nach rechts ( a [ 1 ] [ 2 ] ++ ist ( ( a [ 1 ] ) [ 2 ] ) ++ ). Beachten Sie, dass die Assoziativität für Member-Zugriffsoperatoren von Bedeutung ist, auch wenn sie mit unären Postfix-Operatoren gruppiert sind: a. b ++ wird geparst ( a. b ) ++ und nicht a. ( b ++ ) .

Die Operatorrangfolge wird durch das Überladen von Operatoren nicht beeinflusst. Beispiel: std:: cout << a ? b : c parst als ( std:: cout << a ) ? b : c, weil der Vorrang der arithmetischen Linksverschiebung höher ist als der des bedingten Operators.

[Bearbeiten] Notizen

Vorrang und Assoziativität sind Konzepte zur Kompilierzeit und unabhängig von der Reihenfolge der Auswertung, die ein Laufzeitkonzept ist.

Der Standard selbst legt keine Prioritätsstufen fest. Sie sind aus der Grammatik abgeleitet.

Einige der Operatoren haben alternative Schreibweisen (z. B. und für && , oder für || , nicht für ! usw.).

In C hat der ternäre Bedingungsoperator eine höhere Priorität als Zuweisungsoperatoren. Daher ist der Ausdruck e = a < d ≤ a ++ : a = d , was in C++ als e = ( ( a < d ) geparst wird? ( a ++ ) : ( a = d ) ) , kann aufgrund grammatikalischer oder semantischer Einschränkungen in C nicht in C kompiliert werden. Weitere Informationen finden Sie auf der entsprechenden C-Seite.

[Bearbeiten] Siehe auch

a = b
a + = b
a - = b
a * = b
a / = b
a % = b
a & = b
ein | = b
a^ = b
a <<= b
a >>= b

static_cast wandelt einen Typ in einen anderen verwandten Typ um
dynamic_cast konvertiert innerhalb von Vererbungshierarchien
const_cast Fügt Lebenslauf-Qualifizierer hinzu oder entfernt sie
reinterpret_cast wandelt den Typ in einen nicht verwandten Typ um
Cast im C-Stil konvertiert einen Typ in einen anderen durch eine Mischung aus static_cast , const_cast und reinterpret_cast
Neu erstellt Objekte mit dynamischer Speicherdauer
löschen zerstört Objekte, die zuvor durch den neuen Ausdruck erstellt wurden, und gibt den erhaltenen Speicherbereich frei
Größe von fragt die Größe eines Typs ab
Größe von. fragt die Größe eines Parameterpakets ab (seit C++11)
Typid fragt die Typinformationen eines Typs ab
keine Ausnahme prüft, ob ein Ausdruck eine Ausnahme auslösen kann (seit C++11)
ausrichten fragt Ausrichtungsanforderungen eines Typs ab (seit C++11)


Dividiere und multipliziere den Rang gleich (und gehe von links nach rechts).

Rang gleich addieren und subtrahieren (und von links nach rechts gehen)

Nachdem Sie "P" und "E" ausgeführt haben, gehen Sie einfach von links nach rechts und machen Sie ein beliebiges "M" oder "D", wie Sie sie finden.

Gehen Sie dann von links nach rechts und machen Sie ein beliebiges "A" oder "S", wie Sie sie finden.

Du kannst dich erinnern, indem du " . sagstPmieten Exkuse mja DOhr EINun SVerbündeter".
Oder . Pummelige Elfen können einen Snack verlangen
Popcorn jeden Montag Donuts immer Sonntag
Bitte iss Mamas leckeren Apfelstrudel
Überall trafen Menschen Entscheidungen über Summen

Hinweis: In Großbritannien sagt man BODMAS (Klammern,Orders,Divide,Multiply,Add,Subtract), und in Kanada sagt man BEDMAS (Brackets,Exponents,Divide,Multiply,Add,Subtract). Es bedeutet alles dasselbe! Es spielt keine Rolle, wie Sie sich daran erinnern, solange Sie es richtig machen.


1.5: Reihenfolge der Operationen

· Verwenden Sie die Reihenfolge der Operationen, um Ausdrücke zu vereinfachen.

· Vereinfachen Sie Ausdrücke, die absolute Werte enthalten.

Menschen brauchen ein gemeinsames Regelwerk für die Durchführung grundlegender Berechnungen. Was ist 3 + 5 • 2 gleich? Ist es 16 oder 13? Ihre Antwort hängt davon ab, wie Sie das verstehen Reihenfolge der Operationen — eine Reihe von Regeln, die Ihnen die Reihenfolge angeben, in der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division bei jeder Berechnung ausgeführt werden.

Mathematiker haben eine Standardreihenfolge von Operationen entwickelt, die Ihnen sagt, welche Berechnungen in einem Ausdruck mit mehr als einer Operation zuerst durchgeführt werden müssen. Ohne ein Standardverfahren zum Durchführen von Berechnungen könnten zwei Personen zwei verschiedene Antworten auf dasselbe Problem erhalten.

Die vier Grundoperationen

Die Bausteine ​​der Operationsreihenfolge sind die Rechenoperationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Die Reihenfolge der Operationen besagt:

  • zuerst multiplizieren oder dividieren, von links nach rechts gehen
  • dann addiere oder subtrahiere in der Reihenfolge von links nach rechts

Was ist die richtige Antwort auf den Ausdruck 3 + 5 • 2? Verwenden Sie die oben aufgeführte Reihenfolge der Operationen.

Zuerst multiplizieren. 3 + 5 • 2 = 3 + 10

Diese Reihenfolge der Operationen gilt für alle reellen Zahlen.

Vereinfachen 7 – 5 + 3 · 8.

Nach der Reihenfolge der Operationen kommt die Multiplikation vor der Addition und Subtraktion. Multiplizieren Sie 3 · 8.

Addiere und subtrahiere nun von links nach rechts. 7 – 5 kommt zuerst.

Wenn Sie die Reihenfolge der Operationen auf Ausdrücke anwenden, die Brüche, Dezimalzahlen und negative Zahlen enthalten, müssen Sie sich auch daran erinnern, wie diese Berechnungen durchgeführt werden.

Nach der Reihenfolge der Operationen kommt die Multiplikation vor der Addition und Subtraktion. Zuerst multiplizieren.

Wenn Sie Ausdrücke auswerten, werden Sie manchmal Exponenten sehen, die verwendet werden, um wiederholte Multiplikationen darzustellen. Denken Sie daran, dass ein Ausdruck wie is exponentielle Notation für 7 • 7. (Exponentielle Notation hat zwei Teile: die Base und das Exponent oder der Energie. In , 7 ist die Basis und 2 ist der Exponent, der Exponent bestimmt, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird.)

Exponenten sind eine Möglichkeit, wiederholte Multiplikationen in der Reihenfolge der Operationen darzustellen Vor jede andere Multiplikation, Division, Subtraktion und Addition wird durchgeführt.

Dieses Problem enthält Exponenten und Multiplikationen. Gemäß der Reihenfolge der Operationen kommt das Vereinfachen von 3 2 und 2 3 vor der Multiplikation.

ist 2 · 2 · 2, was 8 entspricht.

Dieses Problem enthält Exponenten, Multiplikation und Addition. Vereinfachen Sie die Terme entsprechend der Reihenfolge der Operationen zuerst mit den Exponenten, dann multiplizieren Sie und addieren Sie dann.

Falsch. Sie haben vielleicht 4 · 5 = 20 gefunden, 20 quadriert und dann 400 von 100 abgezogen. Die Reihenfolge der Operationen besagt, dass Sie den Term zuerst mit dem Exponenten vereinfachen, dann multiplizieren und dann subtrahieren sollten. = 25 und 25 · 4 = 100 und 100 – 100 = 0. Die richtige Antwort ist 0.

Richtig. Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, vereinfachen Sie den Ausdruck zuerst mit dem Exponenten, multiplizieren Sie dann und subtrahieren Sie dann. = 25 und 25 · 4 = 100 und 100 – 100 = 0.

Falsch. Die Reihenfolge der Operationen besagt, dass Sie den Term zuerst mit dem Exponenten vereinfachen, dann multiplizieren und dann subtrahieren sollten. = 25 und 25 · 4 = 100 und 100 – 100 = 0. Die richtige Antwort ist 0.

Falsch. Sie haben vielleicht festgestellt, dass = 25, das von 100 subtrahiert und mit 4 multipliziert wurde. Die Reihenfolge der Operationen besagt, dass Sie den Term zuerst mit dem Exponenten vereinfachen, dann multiplizieren und dann subtrahieren sollten. = 25 und 25 · 4 = 100 und 100 – 100 = 0. Die richtige Antwort ist 0.

Das letzte Stück, das Sie in der Reihenfolge der Operationen berücksichtigen müssen, ist Gruppierungssymbole. Dazu gehören Klammern ( ), Klammern [ ], geschweifte Klammern < > und sogar Bruchstriche. Diese Symbole werden oft verwendet, um mathematische Ausdrücke zu organisieren (Sie werden sie häufig in der Algebra sehen).

Gruppierungssymbole werden verwendet, um zu verdeutlichen, welche Operationen zuerst ausgeführt werden müssen, insbesondere wenn eine bestimmte Reihenfolge gewünscht wird. Wenn es innerhalb der Gruppierungssymbole einen zu vereinfachenden Ausdruck gibt, befolgen Sie die Reihenfolge der Operationen.

Die Reihenfolge der Operationen

· Führen Sie zuerst alle Operationen innerhalb der Gruppierungssymbole durch. Gruppierungssymbole umfassen Klammern ( ), Klammern [ ], geschweifte Klammern < > und Bruchstriche.

· Exponenten oder Quadratwurzeln auswerten.

· Multiplizieren oder dividieren Sie von links nach rechts.

· Addieren oder subtrahieren, von links nach rechts.

Wenn Gruppierungssymbole innerhalb von Gruppierungssymbolen vorhanden sind, berechnen Sie von innen nach außen. That is, begin simplifying within the innermost grouping symbols first.

Remember that parentheses can also be used to show multiplication. In the example that follows, both uses of parentheses—as a way to represent a group, as well as a way to express multiplication—are shown.


1.8 Order of Operation

Some math problems are a mixture of addition, subtraction, division, and multiplication. An operation to be performed might be true for one item but not another, so parentheses are used () for clarification.

There is a specific order to follow when making calculations.

The order in which operations are performed is:

  1. Parentheses: ( )
  2. Exponents: 2 3
  3. Multiplication and division
  4. Addition und Subtraktion
  5. Left to right

Note: It is always useful to add parentheses to clarify the order.

Example 1 - Solve 10 + 10 ÷ 10

Step 1. Division is performed before addition.
10 ÷ 10 = 1

The same example can be rewritten:
10 + 10 ÷ 10
10 + (10 ÷ 10). Using the parentheses helps clarify the order of operation.

Example 2 - Solve 6 3 ÷ (10 - 8) 2 ÷ 2 + 2

Step 1. Parentheses.
6 3 ÷ (10 - 8) 2 ÷ 2 + 2 = 6 3 ÷ 2 2 ÷ 2 + 2

Step 2. Exponents.
216 ÷ 4 ÷ 2 + 2

Step 3. Division in order from left to right.
216 ÷ 4 = 54
54 ÷ 2 = 27


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