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2: Intervallnotation


2: Intervallnotation

Vertrauensintervalle

Ein Konfidenzintervall gibt einen geschätzten Wertebereich an, der wahrscheinlich einen unbekannten Populationsparameter enthält, wobei der geschätzte Bereich aus einem gegebenen Satz von Stichprobendaten berechnet wird. (Definition aus dem Statistik-Glossar v1.1 von Valerie J. Easton und John H. McColl)

Das Niveau C eines Konfidenzintervalls gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass das von der verwendeten Methode erzeugte Intervall den wahren Wert des Parameters enthält.

Angenommen, ein Schüler, der die Siedetemperatur einer bestimmten Flüssigkeit misst, beobachtet die Messwerte (in Grad Celsius) 102,5, 101,7, 103,1, 100,9, 100,5 und 102,2 an 6 verschiedenen Proben der Flüssigkeit. Er berechnet den Stichprobenmittelwert zu 101,82. Wenn er weiß, dass die Standardabweichung für dieses Verfahren 1,2 Grad beträgt, was ist dann das Konfidenzintervall für den Grundgesamtheitsmittelwert bei einem Konfidenzniveau von 95 %?

Mit anderen Worten, der Schüler möchte anhand seiner Messergebnisse die wahre mittlere Siedetemperatur der Flüssigkeit abschätzen. Wenn die Messungen einer Normalverteilung folgen, hat der Stichprobenmittelwert die Verteilung N( , ) . Da die Stichprobengröße 6 beträgt, beträgt die Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts 1,2/sqrt(6) = 0,49. Die Auswahl eines Konfidenzniveaus für ein Intervall bestimmt die Wahrscheinlichkeit, dass das erzeugte Konfidenzintervall den wahren Parameterwert enthält. Übliche Auswahlmöglichkeiten für das Konfidenzniveau C sind 0,90, 0,95 und 0,99. Diese Niveaus entsprechen Prozentsätzen der Fläche der normalen Dichtekurve. Ein Konfidenzintervall von 95 % deckt beispielsweise 95 % der Normalkurve ab – die Wahrscheinlichkeit, einen Wert außerhalb dieses Bereichs zu beobachten, beträgt weniger als 0,05. Da die normale Kurve symmetrisch ist, befindet sich die Hälfte der Fläche am linken Ende der Kurve und die andere Hälfte der Fläche am rechten Ende der Kurve. Wie im Diagramm rechts gezeigt, ist für ein Konfidenzintervall mit dem Niveau C die Fläche in jedem Ende der Kurve gleich (1-C)/2. Bei einem Konfidenzintervall von 95 % entspricht die Fläche in jedem Ende 0,05/2 = 0,025.

Der Wert z*, der den Punkt auf der Standardnormaldichtekurve darstellt, bei dem die Wahrscheinlichkeit, einen Wert größer als z* zu beobachten, gleich p ist, ist als oberer kritischer p-Wert der Standardnormalverteilung bekannt. Wenn beispielsweise p = 0,025 ist, ist der Wert z*, so dass P(Z >z*) = 0,025 oder P(Z <z*) = 0,975 ist, gleich 1,96. Für ein Konfidenzintervall mit dem Niveau C ist der Wert p gleich (1-C)/2. Ein 95 %-Konfidenzintervall für die Standardnormalverteilung ist dann das Intervall (-1,96; 1,96), da 95 % der Fläche unter der Kurve in dieses Intervall fallen.

Konfidenzintervalle für unbekannten Mittelwert und bekannte Standardabweichung

Hinweis: Dieses Intervall ist nur dann genau, wenn die Bevölkerungsverteilung normal ist. Für große Stichproben aus anderen Populationsverteilungen ist das Intervall nach dem zentralen Grenzwertsatz ungefähr korrekt. Im obigen Beispiel berechnete der Schüler den Probenmittelwert der Siedetemperaturen zu 101,82 mit einer Standardabweichung von 0,49. Der kritische Wert für ein 95 %-Konfidenzintervall ist 1,96, wobei (1 – 0,95)/2 = 0,025 ist. Ein 95 %-Konfidenzintervall für den unbekannten Mittelwert ist ((101,82 – (1,96*0,49), (101,82 + (1,96*0,49))) = (101,82 – 0,96, 101,82 + 0,96) = (100,86, 102,78).

Wenn das Konfidenzniveau abnimmt, nimmt die Größe des entsprechenden Intervalls ab. Angenommen, der Student interessiert sich für ein 90 %-Konfidenzintervall für die Siedetemperatur. In diesem Fall ist C = 0,90 und (1-C)/2 = 0,05. Der kritische Wert z * für dieses Niveau ist gleich 1,645, daher ist das 90%-Konfidenzintervall ((101,82 - (1.645*0.49)), (101,82 + (1.645*0.49))) = (101,82 - 0,81, 101,82 + 0,81 .). ) = (101,01, 102,63) Eine Erhöhung des Stichprobenumfangs verringert die Länge des Konfidenzintervalls, ohne das Konfidenzniveau zu verringern. Dies liegt daran, dass die Standardabweichung mit zunehmendem n abnimmt. Die Fehlerspanne m eines Konfidenzintervalls ist definiert als der Wert, der vom Stichprobenmittelwert addiert oder abgezogen wird, der die Länge des Intervalls bestimmt: m = z * .

Angenommen, im obigen Beispiel möchte der Schüler eine Fehlerspanne von 0,5 mit 95-prozentiger Sicherheit haben. Einsetzen der entsprechenden Werte in den Ausdruck für m und Auflösen nach n ergibt die Berechnung n = (1,96*1,2/0,5)² = (2,35/0,5)² = 4,7² = 22,09. Um ein 95%-Konfidenzintervall für den mittleren Siedepunkt mit einer Gesamtlänge von weniger als 1 Grad zu erreichen, muss der Schüler 23 Messungen durchführen.

Konfidenzintervalle für unbekannten Mittelwert und unbekannte Standardabweichung

Für eine Grundgesamtheit mit unbekanntem Mittelwert und unbekannter Standardabweichung beträgt ein Konfidenzintervall für den Grundgesamtheitsmittelwert, basierend auf einer einfachen Zufallsstichprobe (SRS) der Größe n , + t * , wobei t * der obere Wert (1-C )/2 . ist kritischer Wert für die t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden, t(n-1) . Beispiel

Der Datensatz "Normale Körpertemperatur, Geschlecht und Herzfrequenz" enthält 130 Beobachtungen der Körpertemperatur, zusammen mit dem Geschlecht jedes Individuums und seiner Herzfrequenz. Die Verwendung des MINITAB-Befehls "DESCRIBE" liefert die folgenden Informationen: Um ein 95 %-Konfidenzintervall für den Mittelwert basierend auf dem Stichprobenmittelwert 98,249 und der Stichprobenstandardabweichung 0,733 zu ermitteln, ermitteln Sie zunächst den kritischen Wert 0,025 t * für 129 Freiheitsgrade. Dieser Wert beträgt ungefähr 1,962, der kritische Wert für 100 Freiheitsgrade (in Tabelle E bei Moore und McCabe zu finden). Die geschätzte Standardabweichung für den Stichprobenmittelwert beträgt 0,733/sqrt(130) = 0,064, der Wert, der in der Spalte SE MEAN der deskriptiven Statistik von MINITAB angegeben ist. Ein 95 %-Konfidenzintervall ist dann ungefähr ((98,249 - 1,962 * 0,064), (98,249 + 1,962 * 0,064)) = (98,249 - 0,126, 98,249 + 0,126) = (98,123, 98,375).

Für ein genaueres (und einfacher zu erreichendes) Ergebnis liefert der MINITAB-Befehl "TINTERVAL", der wie folgt geschrieben ist, ein exaktes 95%-Konfidenzintervall für 129 Freiheitsgrade: Nach diesen Ergebnissen wird die übliche angenommene normale Körpertemperatur von 98,6 Grad Fahrenheit liegt nicht innerhalb eines 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.


2: Intervallnotation

Viele unserer Anwendungen in diesem Kapitel drehen sich um Minimal- und Maximalwerte einer Funktion. Während wir alle die minimalen und maximalen Werte einer Funktion visualisieren können, möchten wir in unserer Arbeit hier etwas spezifischer sein. Insbesondere wollen wir zwischen zwei Arten von Minimal- oder Maximalwerten unterscheiden. Die folgende Definition gibt die Arten von Minimal- und/oder Maximalwerten an, die wir uns ansehen werden.

Definition

  1. Wir sagen, dass (fleft( x ight)) ein . hat absolutes (oder globales) Maximum bei (x = c) if(fleft( x ight) le fleft( c ight)) für jedes (x) in der Domäne, an der wir arbeiten.

Beachten Sie, dass wir mit einem „offenen Intervall um (x = c)“ meinen, dass wir ein Intervall (left( ight)), ohne die Endpunkte, so dass (a < c < b). Mit anderen Worten, (c) wird irgendwo innerhalb des Intervalls enthalten sein und ist keiner der Endpunkte.

Außerdem werden wir die minimalen und maximalen Punkte einer Funktion kollektiv als extrem der Funktion. Relative Extrema beziehen sich also auf die relativen Minima und Maxima, während sich absolute Extrema auf die absoluten Minima und Maxima beziehen.

Lassen Sie uns nun ein wenig über den feinen Unterschied zwischen dem Absoluten und dem Relativen in der obigen Definition sprechen.

Wir werden ein absolutes Maximum (oder Minimum) bei (x = c) haben, vorausgesetzt (fleft(c ight)) ist der größte (oder kleinste) Wert, den die Funktion jemals in dem Bereich annehmen wird, den wir arbeiten daran. Auch wenn wir die „Domäne, an der wir arbeiten“ sagen, bedeutet dies einfach den Bereich von (x)s, mit dem wir für ein gegebenes Problem arbeiten. Es kann andere Werte von (x) geben, die wir tatsächlich in die Funktion einfügen können, aber aus irgendeinem Grund ausgeschlossen haben.

Ein relatives Maximum oder Minimum ist etwas anders. Damit ein Punkt ein relatives Maximum oder Minimum ist, muss dieser Punkt nur ein Maximum oder Minimum in einem Intervall von (x) um (x = c) sein. Es kann an anderer Stelle größere oder kleinere Werte der Funktion geben, aber relativ zu (x = c) oder lokal zu (x = c), (fleft( c ight)) ist größer oder kleiner als alle anderen Funktionswerte, die sich in der Nähe befinden.

Beachten Sie auch, dass wir, damit ein Punkt ein relatives Extrema ist, in der Lage sein müssen, Funktionswerte auf beiden Seiten von (x = c) zu betrachten, um zu sehen, ob es an diesem Punkt wirklich ein Maximum oder ein Minimum ist. Das bedeutet, dass an den Endpunkten einer Domäne keine relativen Extrema auftreten. Sie können nur innerhalb der Domäne auftreten.

Es gibt tatsächlich einige Diskussionen über den vorherigen Punkt. Einige Leute meinen, dass relative Extrema an den Endpunkten einer Domäne auftreten können. In dieser Klasse verwenden wir jedoch die Definition, die besagt, dass sie nicht an den Endpunkten einer Domäne auftreten können. Dies wird am Ende des Abschnitts etwas ausführlicher besprochen, sobald wir uns um eine relevante Tatsache gekümmert haben.

Normalerweise ist es einfacher, ein Gefühl für die Definitionen zu bekommen, indem Sie einen kurzen Blick auf eine Grafik werfen.

Für die in diesem Graphen gezeigte Funktion haben wir relative Maxima bei (x = b) und (x = d). Beide Punkte sind relative Maxima, da sie innerhalb des gezeigten Bereichs liegen und der größte Punkt auf dem Graphen in einem Intervall um den Punkt herum sind. Wir haben auch ein relatives Minimum bei (x = c), da dieser Punkt innerhalb des Bereichs liegt und der tiefste Punkt auf dem Graphen in einem Intervall um ihn herum ist. Der Endpunkt ganz rechts, (x = e), ist kein relatives Minimum, da er ein Endpunkt ist.

Die Funktion hat ein absolutes Maximum bei (x = d) und ein absolutes Minimum bei (x = a). Diese beiden Punkte sind die größten und kleinsten, die die Funktion jemals haben wird. Wir können auch feststellen, dass die absoluten Extrema einer Funktion entweder an den Endpunkten des Bereichs oder an relativen Extrema auftreten. Wir werden diese Idee in späteren Abschnitten verwenden, damit sie wichtiger ist, als es zum gegenwärtigen Zeitpunkt erscheinen mag.

Werfen wir einen kurzen Blick auf einige Beispiele, um sicherzustellen, dass wir die Definitionen von absoluten Extrema und relativen Extrema gerade haben.

Da diese Funktion einfach genug zu zeichnen ist, lassen Sie uns das tun. Wir wollen jedoch nur den Graphen auf dem Intervall (left[ < - 1,2> ight]). Hier ist die Grafik,

Beachten Sie, dass wir Punkte am Ende des Diagramms verwendet haben, um uns daran zu erinnern, dass das Diagramm an diesen Punkten endet.

Wir können nun die Extrema aus dem Graphen identifizieren. Es sieht so aus, als hätten wir ein relatives und absolutes Minimum von Null bei (x = 0) und ein absolutes Maximum von vier bei (x = 2). Beachten Sie, dass (x = - 1) kein relatives Maximum ist, da es am Endpunkt des Intervalls liegt.

Diese Funktion hat keine relativen Maxima.

Wie wir im vorherigen Beispiel gesehen haben, müssen Funktionen keine relativen Extrema haben. Es ist durchaus möglich, dass eine Funktion kein relatives Maximum und/oder kein relatives Minimum hat.

Hier ist der Graph für diese Funktion.

In diesem Fall haben wir bei (x = 0) immer noch ein relatives und absolutes Minimum von Null. Wir haben auch noch ein absolutes Maximum von vier. Im Gegensatz zum ersten Beispiel tritt dies jedoch an zwei Punkten auf, (x = - 2) und (x = 2).

Auch hier hat die Funktion keine relativen Maxima.

Wie dieses Beispiel gezeigt hat, kann es nur einen einzigen absoluten Maximal- oder absoluten Minimalwert geben, sie können jedoch an mehr als einer Stelle in der Domäne vorkommen.

In diesem Fall haben wir keine Domäne angegeben und nehmen daher die größtmögliche Domäne an. Für diese Funktion sind das alle reellen Zahlen. Hier ist die Grafik.

In diesem Fall hört der Graph an beiden Enden nicht auf zu wachsen und daher gibt es für diese Funktion keinerlei Maxima. Egal welchen Punkt wir auf dem Graphen auswählen, es gibt auf beiden Seiten sowohl größere als auch kleinere Punkte, sodass wir keine Maxima (jeglicher Art, relativ oder absolut) in einem Graphen haben können.

Wir haben immer noch einen relativen und absoluten Minimalwert von Null bei (x = 0).

Einige Graphen können also Minima haben, aber keine Maxima. Ebenso könnte ein Graph Maxima haben, aber keine Minima.

Hier ist der Graph für diese Funktion.

Diese Funktion hat ein absolutes Maximum von acht bei (x = 2) und ein absolutes Minimum von minus acht bei (x = - 2). Diese Funktion hat keine relativen Extrema.

Eine Funktion muss also keine relativen Extrema haben, wie dieses Beispiel gezeigt hat.

Auch hier schränken wir die Domäne dieses Mal nicht ein, daher ist hier die Grafik.

In diesem Fall hat die Funktion keine relativen Extrema und keine absoluten Extrema.

Wie wir im vorherigen Beispiel gesehen haben, müssen Funktionen keine Extrema haben, weder relativ noch absolut.

Wir haben die Domain für diese Funktion nicht eingeschränkt. Hier ist die Grafik.

Kosinus hat Extrema (relativ und absolut), die an vielen Punkten auftreten. Kosinus hat sowohl relative als auch absolute Maxima von 1 at

[x = ldots - 4pi ,, - 2pi ,,,0,,,2pi ,,,4pi , ldots]

Kosinus hat auch ein relatives und absolutes Minimum von -1 at

[x = ldots - 3pi ,, - pi ,,,pi ,,,3pi , ldots ]

Wie dieses Beispiel gezeigt hat, kann ein Graph in der Tat Extrema aufweisen, die an einer großen Anzahl (in diesem Fall unendlich) von Punkten auftreten.

Wir haben jetzt einige Beispiele bearbeitet und können diese Beispiele verwenden, um eine schöne Tatsache über absolute Extrema zu sehen. Beachten wir zunächst, dass alle oben genannten Funktionen stetige Funktionen waren. Beachten Sie als nächstes, dass wir jedes Mal, wenn wir die Domäne auf ein geschlossenes Intervall beschränkt haben (d.h. das Intervall enthält seine Endpunkte) haben wir absolute Maxima und absolute Minima. Schließlich haben wir nur in einem der drei Beispiele, in denen wir die Domäne nicht eingeschränkt haben, sowohl ein absolutes Maximum als auch ein absolutes Minimum erhalten.

Diese Beobachtungen führen uns zum folgenden Satz.

Extremwertsatz

Angenommen, (fleft( x ight)) sei stetig auf dem Intervall (left[ ight]) dann gibt es zwei Zahlen (a le c,d le b), so dass (fleft( c ight)) ein absolutes Maximum für die Funktion ist und (fleft ( d ight)) ist ein absolutes Minimum für die Funktion.

Wenn wir also eine stetige Funktion auf einem Intervall (left[ ight]), dann haben wir garantiert sowohl ein absolutes Maximum als auch ein absolutes Minimum für die Funktion irgendwo im Intervall. Das Theorem sagt uns nicht, wo sie auftreten oder ob sie mehr als einmal auftreten werden, aber es sagt uns zumindest, dass sie irgendwo existieren. Manchmal müssen wir nur wissen, dass sie existieren.

Dieser Satz sagt nichts über absolute Extrema aus, wenn wir nicht an einem Intervall arbeiten. Wir haben oben Beispiele für Funktionen gesehen, die beide absolute Extrema, ein absolutes Extrema und keine absoluten Extrema hatten, wenn wir uns nicht auf ein Intervall beschränkten.

Die Voraussetzung, dass eine Funktion stetig ist, ist auch erforderlich, damit wir den Satz verwenden können. Betrachten Sie den Fall von

Diese Funktion ist bei (x = 0) nicht stetig, da wir uns in Richtung Null bewegen, nähert sich die Funktion der Unendlichkeit. Die Funktion hat also kein absolutes Maximum. Beachten Sie jedoch, dass es ein absolutes Minimum gibt. Tatsächlich tritt das absolute Minimum sowohl bei (x = - 1) als auch bei (x = 1) zweimal auf.

Wenn wir das Intervall ein wenig geändert haben, um zu sagen,

die Funktion hätte nun beide absolute Extrema. Wir können nur dann auf Probleme stoßen, wenn das Intervall die Unstetigkeitsstelle enthält. Ist dies nicht der Fall, gilt das Theorem.

Wir sollten auch darauf hinweisen, dass nur weil eine Funktion an einem Punkt nicht stetig ist, das nicht bedeutet, dass sie nicht beide absolute Extrema in einem Intervall hat, das diesen Punkt enthält. Unten ist der Graph einer Funktion, die an einem Punkt im gegebenen Intervall nicht stetig ist und dennoch beide absolute Extrema hat.

Dieser Graph ist bei (x = c) nicht stetig, hat aber sowohl ein absolutes Maximum ((x = b)) als auch ein absolutes Minimum ((x = c)). Beachten Sie auch, dass in diesem Fall eines der absoluten Extrema an der Diskontinuitätsstelle aufgetreten ist, dies jedoch nicht erforderlich ist. Das absolute Minimum hätte einfach am anderen Endpunkt oder an einem anderen Punkt innerhalb der Region liegen können. Der Punkt hier ist, dass dieser Graph nicht stetig ist und dennoch beide absolute Extrema hat

Der Sinn von all dem ist, dass wir darauf achten müssen, den Extremwertsatz nur zu verwenden, wenn die Bedingungen des Satzes erfüllt sind, und die Ergebnisse nicht falsch zu interpretieren, wenn die Bedingungen nicht erfüllt sind.

Um den Extremwertsatz zu verwenden, müssen wir ein Intervall haben, das seine Endpunkte enthält, oft als geschlossenes Intervall bezeichnet, und die Funktion muss in diesem Intervall kontinuierlich sein. Wenn wir kein geschlossenes Intervall haben und/oder die Funktion im Intervall nicht stetig ist, kann die Funktion absolute Extrema haben oder nicht.

Wir müssen noch ein letztes Thema in diesem Abschnitt besprechen, bevor wir zur ersten großen Anwendung der Ableitung übergehen, die wir uns in diesem Kapitel ansehen werden.

Satz von Fermat

Wenn (fleft( x ight)) ein relatives Extrema bei (x = c) hat und (f'left( c ight)) existiert, dann ist (x = c) a kritischer Punkt von (fleft( x ight)). Tatsächlich wird es ein kritischer Punkt sein, so dass (f'left(c ight) = 0).

Den Beweis dieses Theorems finden Sie im Abschnitt Beweise aus Anwendungen der Ableitung des Kapitels Extras.

Beachten Sie auch, dass wir (f'left( c ight) = 0) sagen können, weil wir auch annehmen, dass (f'left( c ight)) existiert.

Dieser Satz sagt uns, dass es eine schöne Beziehung zwischen relativen Extrema und kritischen Punkten gibt. Tatsächlich wird es uns ermöglichen, eine Liste aller möglichen relativen Extrema zu erhalten. Da ein relatives Extrema ein kritischer Punkt sein muss, gibt uns die Liste aller kritischen Punkte eine Liste aller möglichen relativen Extrema.

Betrachten wir den Fall (fleft( x ight) = ). Wir haben in mehreren früheren Beispielen gesehen, dass diese Funktion ein relatives Minimum bei (x = 0) hatte. Also sollte nach dem Satz von Fermat (x = 0) ein kritischer Punkt sein. Die Ableitung der Funktion ist

Sicher genug ist (x = 0) ein kritischer Punkt.

Achten Sie darauf, diesen Satz nicht zu missbrauchen. Es heißt nicht, dass ein kritischer Punkt ein relatives Extrem ist. Betrachten Sie dazu den folgenden Fall.

[flinks( x echts) = hspace<0.25in>hspace<0.25in>f'left( x ight) = 3]

(x = 0) ist offensichtlich ein kritischer Punkt. Wir haben jedoch in einem früheren Beispiel gesehen, dass diese Funktion keinerlei relative Extrema hat. Kritische Punkte müssen also keine relativen Extrema sein.

Beachten Sie auch, dass dieser Satz nichts über absolute Extrema aussagt. Ein absolutes Extrema kann ein kritischer Punkt sein oder auch nicht.

Bevor wir diesen Abschnitt verlassen, müssen wir ein paar Fragen besprechen.

Erstens funktioniert der Satz von Fermat nur für kritische Punkte, in denen (f'left(c ight) = 0). Dies bedeutet jedoch nicht, dass keine relativen Extrema an kritischen Punkten auftreten, an denen die Ableitung nicht existiert. Um dies zu sehen, betrachte (fleft( x ight) = left|x ight|). Diese Funktion hat eindeutig ein relatives Minimum bei (x = 0) und dennoch haben wir in einem vorherigen Abschnitt in einem Beispiel gezeigt, dass (f'left( 0 ight)) nicht existiert.

Dies alles bedeutet, dass wir, wenn wir relative Extrema lokalisieren wollen, nur die kritischen Punkte betrachten müssen, da dies die Stellen sind, an denen relative Extrema existieren können.

Erinnern Sie sich schließlich daran, dass wir zu Beginn des Abschnitts erklärt haben, dass an den Endpunkten des betrachteten Intervalls keine relativen Extrema existieren. Der Grund dafür ist, dass, wenn wir zulassen, dass relative Extrema dort auftreten, dies durchaus (und tatsächlich die meiste Zeit) den Satz von Fermat verletzen könnte. Es gibt keinen Grund zu erwarten, dass Endpunkte von Intervallen kritische Punkte irgendeiner Art sind. Daher lassen wir keine relativen Extrema an den Endpunkten von Intervallen zu.


Wie schließt man Zahlen in Intervallnotation aus?

Nehmen wir zum Beispiel f(x)=x+2x&minus3. Wir können sehen, dass seine Domäne ist alle reellen Zahlen außer 3. In Intervall-Notation das steht geschrieben (&minus&infin,3)&cup(3,&infin). Es ist nicht so einfach zu sehen, was die Reichweite muss sein.

Man kann sich auch fragen, was ist ein Beispiel für Intervallnotation? Intervall-Notation. EIN Notation für die Darstellung eines Intervall als Zahlenpaar. Die Zahlen sind die Endpunkte der Intervall. Klammern und/oder Klammern werden verwendet, um anzuzeigen, ob die Endpunkte ausgeschlossen oder eingeschlossen sind. Für Beispiel, [3, 8) ist der Intervall von reellen Zahlen zwischen 3 und 8, einschließlich 3 und ausschließlich 8.

Wie schreibt man entsprechend alle reellen Zahlen außer 0 in Intervallnotation?

Ein Set inklusive alle reellen Zahlen außer ein einzelnes Nummer. Zum Beispiel können wir die Menge ausdrücken, 0>, mit Intervall-Notation als, (&minus&infin, 0) &Tasse (0, &infin).


Beispiele

Dieser Abschnitt enthält einige Beispiele für Probleme im Zusammenhang mit Ungleichheiten, die auftreten können

Löse die folgenden Ungleichungen 1) 3 x + 5 ≤ 6 x + 14

Beim Lösen von Ungleichungen muss die endgültige Antwort manchmal in Intervallnotation sein. Für dieses Problem ist das [ − 3 , ∞ )

2) Hier können wir jede Ungleichung einzeln lösen, und x muss beide Ungleichungen erfüllen. Wir müssen also − 3 < 2 x + 5 ਊnd  2 x + 5 ≤ 10 >2x+5leq 10> . lösen

Für das erste erhalten wir -8 < 2x und -4 < x. Für das letzte haben wir 2 x ≤ 5 ਊnd  x ≤ 5 2 >xleq <2>> >

3) Für dieses Problem müssen Zähler und Nenner beide positiv oder beide negativ sein. Wir wollen also lösen, wenn 3x - 5 > 0. Beachten Sie, dass wir 3x - 5 = 0 nicht einschließen, da wir nicht durch 0 teilen können. Wenn wir diese Ungleichung lösen, finden wir x > 5 3 < 3>>> . In Intervallnotation haben wir ( 5 3 , ∞ ) <3>>,infty )>


So schreiben Sie die Intervallnotation von Lösungen von Ungleichungen:

Schritt 1. Zeichnen Sie die Lösungsmenge auf dem Zahlenstrahl. Verwenden Sie einen offenen Punkt () an dem/den in der Lösung ausgeschlossenen Grenzpunkt/en. Verwenden Sie einen geschlossenen Punkt (●) an den Grenzpunkten, die in der Lösung enthalten sind.

Schritt 2. Schreiben Sie die Intervallnotation beginnend mit der unteren Grenze und dann mit der oberen Grenze. Benutzen Quadrat Klammern ([ ]) um anzuzeigen, dass Aufnahme der Grenzen in der Lösung, oder Klammern ( ) um ihre anzuzeigen Ausschluss.

HINWEIS: Unendlichkeiten (-∞, +∞) werden immer in Klammern eingeschlossen. Außerdem können Lösungsmengen eine eckige Klammer und eine Klammer auf jeder Seite haben, je nachdem, ob die Grenzen eingeschlossen oder ausgeschlossen sind.

Sehen Sie sich zum Beispiel das Bild unten an.

x > 4
Lösung:
Schritt 1.
Zeichnen Sie die Lösung. Verwenden Sie einen offenen Punkt bei 4 und schattieren Sie alle reellen Zahlen größer als 4. Setzen Sie positive Unendlichkeit darüber, um anzuzeigen, dass die Lösungsmenge rechts von der Zahlengeraden (oder allen positiven reellen Zahlen) unbegrenzt ist.
Schritt 2. Schreiben Sie die Intervallnotation in Klammern, da die untere Grenze (4) nicht enthalten ist, und setzen Sie dann positiv unendlich als obere Grenze, die automatisch in eine Klammer eingeschlossen wird.
Intervallnotation: (4, +∞)

x ≤ 4
Lösung:
Schritt 1. Zeichnen Sie die Lösung. Verwenden Sie einen geschlossenen Punkt bei 4 und schattieren Sie alle reellen Zahlen unter 4, einschließlich 4. Setzen Sie negative Unendlichkeit darüber, um anzuzeigen, dass die Lösungsmenge links von der Zahlengeraden (oder allen negativen reellen Zahlen) unbegrenzt ist.
Schritt 2. Schreiben Sie die Intervallnotation. Verwenden Sie eine Klammer bei der unteren Grenze (-∞) und eine eckige Klammer bei der oberen Grenze (4).
Intervallnotation: (-∞, 4]


Kurze Einführung in Algebra Online

Intervall-Notation

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Übersicht über Algebra und Wahrscheinlichkeit: MAT 101

Wenn wir eine Gleichung lösen, finden wir einen einzelnen Wert für unsere Variable. Bei Ungleichungen geben wir einen Wertebereich für unsere Variable an. Dazu verwenden wir kein Gleichheitszeichen, sondern eines der folgenden Symbole:

WeBWork: Eingabe von Ungleichheitssymbolen.

Geben Sie die beiden Symbole zusammen ein:

>= für (geq) (größer oder gleich)

<= für (leq) (kleiner oder gleich)

Der Ausdruck (x lt 4) bedeutet, dass unsere Variable (x) eine beliebige Zahl kleiner als (4) sein kann wie (-2, 0, 3, 3.9) oder sogar (3.999999999). ) solange es kleiner ist als (4 ext<.>) Mit anderen Worten, (x lt 4) ist die Menge aller Zahlen kleiner als (4 ext<.>) 4 ist NICHT weniger als 4. Wir schreiben (4 less 4 ext<.>) Jedoch ist (4) kleiner oder gleich (4 ext<.>) Wir schreiben (4leq 4 ext<.> )

Der Ausdruck (y geq -2,) bedeutet, dass die Variable (y) eine beliebige Zahl größer oder gleich (-2,) sein kann, z. B. (5, 0,-1,-1.9999 ,) oder sogar (-2 ext<.>) Mit anderen Worten, (x geq -2) ist die Menge aller Zahlen größer oder gleich (-2 ext<.> )

Es ist oft sinnvoll, ein Bild der Lösungen der Ungleichung auf einem Zahlenstrahl zu zeichnen. Wir beginnen mit dem Wert in der Aufgabe und fetten den unteren Teil des Zahlenstrahls, wenn die Variable kleiner als die Zahl ist, und den oberen Teil des Zahlenstrahls, wenn die Variable größer ist. Den Wert selbst markieren wir mit einem offenen oder geschlossenen Kreis: offen für kleiner oder größer und ein geschlossener Kreis für kleiner oder gleich oder größer oder gleich.

Sobald der Graph gezeichnet ist, können wir den Graphen schnell in einen sogenannten . Die Intervallschreibweise gibt zwei Zahlen an, die erste ist der kleinste Wert (ganz links auf der Zahlenreihe), die zweite ist der größte Wert (ganz rechts auf der Zahlenreihe). Wir verwenden eckige Klammern, wenn die Ungleichung . enthält oder gleich (also entweder (leq) oder (geq)). Wir verwenden runde Klammern, wenn die Ungleichung strikt kleiner oder größer als ist (also entweder (lt) oder (gt)). Wenn es keinen größten Wert gibt, können wir (infty) (unendlich) verwenden. Wenn es keinen kleinsten Wert gibt, können wir (-infty) (negative Unendlichkeit) verwenden. Wenn wir entweder positiv oder negativ unendlich verwenden, verwenden wir immer eine runde Klammer neben dem Symbol.

Beispiel 2.B.1 . Beziehen einer Ungleichung, eines Graphen und eines Intervalls.

Zeichnen Sie die Ungleichung (xgeq 4) und geben Sie die Intervallnotation an.

Beginnen Sie bei (4) und schattieren Sie nach rechts. Verwenden Sie einen geschlossenen Kreis für größer oder gleich.

Intervallnotation: ([4,infty ) checkmark)

WeBWork: Eingabe von Intervallen.

Geben Sie [4,inf) für das Intervall ([4,infty ) ext<.>) ein

Beispiel 2.B.2 . Beziehen einer Ungleichung, eines Graphen und eines Intervalls.

Zeichnen Sie die Ungleichung (xlt -4) und geben Sie die Intervallnotation an.

Beginnen Sie bei (-4) und schattieren Sie nach links. Verwenden Sie einen offenen Kreis für weniger als.

Intervallnotation: ((-infty, -4) checkmark)

WeBWork: Eingabe eines Infinity-Symbols.

Geben Sie (-inf,-4) für das Intervall ((-infty, -4) ext<.> ein.

Beispiel 2.B.3 . Beziehen einer Ungleichung, eines Graphen und eines Intervalls.

Zeichnen Sie die Ungleichung (-3lt x lt 1) und geben Sie die Intervallnotation an.

Beginnen Sie bei (-3) und schattieren Sie nach rechts bis (1 ext<.>) Verwenden Sie offene Kreise an beiden Enden für weniger als.

Intervallnotation: ((-3, -1) checkmark)

Unterabschnitt 2.B.2 Lineare Ungleichungen

Das Lösen von Ungleichungen ist dem Lösen von Gleichungen mit einer Ausnahme sehr ähnlich. Um die Ausnahme zu verstehen, betrachten Sie die Werkzeuge, die wir zum Lösen einer Gleichung verwenden: Addieren/Subtrahieren, Multiplizieren/Dividieren von Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung, um die Variable zu isolieren. Wir betrachten die Ungleichung (1 lt 3) und beobachten, was mit dem Ungleichungszeichen passiert, wenn wir sowohl durch positive als auch durch negative Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.


Intervall-Notation

Mathematiker wollen oft darüber reden Intervalle von reellen Zahlen wie „alle reellen Zahlen zwischen (1) und (2) “, ohne eine Variable zu erwähnen. Als Beispiel: „Der Bereich der Funktion (f:xmapsto sin x) sind alle reellen Zahlen zwischen (-1) und (1)“.

Eine kompakte Notation, die häufig für diese Intervalle reeller Zahlen verwendet wird, lautet wie folgt:

((1,2)) bedeutet alle reellen Zahlen zwischen (1) und (2) , ausschließlich der Endpunkte

([1,2]) bedeutet alle reellen Zahlen zwischen (1) und (2) , einschließlich der Endpunkte

Wir können diese Intervalle auch in der Satznotation schreiben als () und () beziehungsweise.

Bei Bedarf können wir die beiden Arten von Klammern auch mischen, also bedeutet ((1,2]) das Intervall () und ([1,2)) bedeutet () .

Das Intervall „alle reellen Zahlen größer als (-5)“ wird als ((-5,infty)) und „alle reellen Zahlen kleiner oder gleich (7)“ als ((-infty,7]). Dies bedeutet nicht, dass (infty) eine Zahl ist, sondern nur eine bequeme Abkürzung.

Obwohl die Notation ((1,2)) genau dieselbe ist wie die Notation für Koordinaten, werden die beiden selten verwechselt, da der Kontext klar macht, was gemeint ist.