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1.2: Zahlenvergleiche mit < ,> und =


1.2: Zahlenvergleiche mit < ,> und =

Maximum und Minimum eines Arrays mit minimaler Anzahl von Vergleichen in C

Wir sind mit einem Array von ganzen Zahlen gegeben. Die Aufgabe besteht darin, das minimale und maximale Element des Arrays in der minimalen Anzahl von Vergleichen zu finden.

Erläuterung &minus Um die Anzahl der Vergleiche zu minimieren, werden wir hier das maximale und minimale Element mit Arr[0] initialisieren. Und ab dem 2. Element jeden Wert mit min und max vergleichen und entsprechend aktualisieren.

Erläuterung &minus Auch hier werden wir, um die Anzahl der Vergleiche zu minimieren, das maximale und das minimale Element mit Arr[0] initialisieren. Und ab dem 2. Element jeden Wert mit min und max vergleichen und entsprechend aktualisieren.


1.2: Zahlenvergleiche mit und =

Vergleichen Sie zwei Brüche mit unterschiedlichen Zählern und unterschiedlichen Nennern, z. B. indem Sie gemeinsame Nenner oder Zähler erstellen oder mit einem Benchmark-Bruch wie 1/2 vergleichen. Erkenne, dass Vergleiche nur gültig sind, wenn sich die beiden Brüche auf dasselbe Ganze beziehen. Zeichnen Sie die Ergebnisse von Vergleichen mit den Symbolen >, = oder < auf und begründen Sie die Schlussfolgerungen, z. B. durch Verwendung eines visuellen Bruchmodells. (Standard-Nr.: MAFS.4.NF.1.2)

Original-Tutorials

Verwenden Sie  äquivalente Brüche , um Brüche in diesen interaktiven Tutorials zum Thema Garten zu vergleichen Dies ist Teil 2 einer zweiteiligen Serie. Klicken Sie hier, um Teil 1 zu öffnen,   „Mama's Pizza, Schmetterlinge und Brüche vergleichen“.

Fachgebiet(e): Mathematik

Primärer Ressourcentyp: Original-Tutorial

Helfen Sie einer Familie, einen Streit darüber zu schlichten, wer die meiste Pizza bekommen hat und welcher Schmetterling länger war, indem Sie in diesem interaktiven Tutorial Brüche mithilfe von Benchmarks und Flächenmodellen vergleichen.

Fachgebiet(e): Mathematik

Primärer Ressourcentyp: Original-Tutorial

Andere Ressourcen

Dies ist ein unterhaltsames und interaktives Spiel, mit dem die Schüler das Ordnen von rationalen Zahlen, einschließlich Dezimalzahlen, Brüchen und Prozentzahlen, üben können. Sie pflanzen und ernten Blumen für Geld. Lassen Sie die Biene bestäuben und Sie können Ihre Ernten und Geldprämien vervielfachen!


1.2: Zahlenvergleiche mit und =

Lesen und schreiben Sie mehrstellige ganze Zahlen mit Ziffern zur Basis 10, Zahlennamen und erweiterter Form. Vergleichen Sie zwei mehrstellige Zahlen basierend auf der Bedeutung der Ziffern an jeder Stelle, indem Sie die Symbole >, = und < verwenden, um die Vergleichsergebnisse aufzuzeichnen. (Standard-Nr.: MAFS.4.NBT.1.2)

Original-Tutorials

Erfahren Sie in diesem interaktiven Tutorial, wie Sie Zahlen mit den Symbolen größer als und kleiner als vergleichen, die einige ziemlich coole Dinge vergleicht!

Fachgebiet(e): Mathematik

Primärer Ressourcentyp: Original-Tutorial

Lesen und schreiben Sie in diesem interaktiven Tutorial mehrstellige ganze Zahlen mit Zahlen zur Basis 10 und Zahlennamen mit dem Stellenwertsystem zur Basis 10. Hinweis: Dieses Tutorial überschreitet die Anzahlgrenzen des Benchmarks.

Fachgebiet(e): Mathematik, Mathematik (B.E.S.T. -.

Primärer Ressourcentyp: Original-Tutorial

Erfahren Sie in diesem interaktiven Tutorial, wie Sie Zahlen mit Stellenwerten in verschiedenen Formen wie Standard-, Wort- und erweiterter Notation schreiben.

Fachgebiet(e): Mathematik, Mathematik (B.E.S.T. -.

Primärer Ressourcentyp: Original-Tutorial

Andere Ressourcen

Dies ist ein unterhaltsames und interaktives Spiel, mit dem die Schüler das Ordnen rationaler Zahlen üben können, einschließlich Dezimalzahlen, Brüchen und Prozentzahlen. Sie pflanzen und ernten Blumen für Geld. Lassen Sie die Biene bestäuben und Sie können Ihre Ernten und Geldprämien vervielfachen!


Aktivitäten in Benchmark-Fraktionen

Eine einfache Möglichkeit, eine Lektion über Benchmark-Fraktionen einzuleiten, besteht darin, den Schülern ein Bild wie das untenstehende zu zeigen und Fragen zu stellen wie: “Welcher Donut ist ungefähr halb gegessen? Welcher Donut ist fast ganz und welcher fast weg?” Dieses Beispiel zeigt den Schülern, dass wir Benchmarks im wirklichen Leben verwenden!

Beginnen Sie mit Visuals und Fraction Manipulatives

Zu Beginn empfehle ich, Probleme mit einem Zahlenstrahl und Manipulationen wie Bruchkreisen und Bruchkacheln zu modellieren. Diese Grafiken helfen dabei, Benchmark-Fraktionen bei der Einführung dieser Fertigkeit konkreter zu machen.

Ich beginne gerne damit, Brüche mit 0 und 1 zu vergleichen. Dies ist für die Schüler etwas einfacher. Zum Beispiel könnte ich Brüche wie 1/9 und 10/12 zeigen und die Schüler fragen, ob sie näher an 0 oder an 1 sind.

Nach einiger Übung können wir Brüche mit einer Hälfte vergleichen, wiederum mit Zahlengeraden und Manipulationen.

Nachdem die Schüler dies erledigt haben, können wir zum Vergleich von Brüchen übergehen zueinander indem man beide mit den Benchmarks vergleicht.

Beim Vergleich von 4/10 und 6/7 können die Schüler die Benchmarks von 1/2 und 1 verwenden. Da 1 größer als 1/2 ist, können die Schüler schätzen, dass 6/7 größer als 4/10 ist.

Benchmark-Fraktionen mit mentaler Mathematik

Der nächste Schritt besteht darin, diese Strategie auszuprobieren ohne visuelle Hilfen. Sie möchten äquivalente Brüche bereits unterrichtet haben, bevor Sie damit beginnen.

Für die Schüler ist es ziemlich einfach, Brüche mit 0 und 1 zu vergleichen, indem sie den Zähler mit dem Nenner vergleichen. Der Vergleich von Brüchen mit 1/2 erfordert etwas mehr Kopfrechnen. Ich bitte die Schüler, sich den Nenner des Bruchs anzusehen und zu bestimmen, welcher Bruch (unter Verwendung dieses Nenners) 1/2 äquivalent wäre. Eine einfache Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, den Nenner einfach durch 2 zu teilen.

Nehmen wir zum Beispiel den Bruch 4/10. 5/10 entspricht 1/2. Wenn wir also einen Bruch mit 10 als Nenner haben, wissen wir, dass 5/10 genau die Hälfte ist. Wenn wir 4/10 mit 5/10 vergleichen, sehen wir, dass es nur 1/10 entfernt ist. Es ist viel näher an 5/10 oder 1/2 als an 0 oder 1.

Hier müssen die Schüler auf jeden Fall wiederholt üben! Bei ungeraden Nennern ist es schwieriger, daher empfehle ich, mit geraden Nennern von 12 oder weniger zu beginnen.

In unserem früheren Beispiel von 3/11 und 6/7 ist 3/11 näher an 0 und 6/7 näher an 1 0 <1, also wissen wir, dass 3/11 < 6/7 ist. Wenn Sie auch 1/4 und 3/4 als Benchmarks verwenden, kann dies den Schülern helfen, eine genauere Antwort zu finden.

Benchmark-Fraktionsressourcen

Eine Sortieraktivität ist eine großartige Möglichkeit, um zu beurteilen, ob die Schüler diese Fähigkeit beherrschen.

Ich hoffe, dieser Beitrag hilft Ihnen zu verstehen, warum Benchmark-Fraktionen eine großartige Strategie zum Vergleichen und Ordnen von Brüchen sind! Wenn Sie Zeit sparen möchten, können Sie sich mein Benchmark-Fraktionen-Bundle schnappen. Lassen Sie mich unbedingt wissen, welche anderen Strategien Sie verwenden, um diese Lektion zu unterrichten!

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Wie man Zahlensätze mit Größer-als- und Kleiner-als-Zeichen vergleicht

Jedes Zeichen wird in einem Zahlensatz so gewählt, dass das Symbol auf die Seite mit dem kleinsten Wert zeigt.

Jedes Symbol öffnet sich dann zur Seite mit dem größten Wert.

Wir können einen Zahlenstrahl verwenden, um zu entscheiden, welche Seite eines Zahlensatzes den größten Wert hat.

Beim Unterrichten des Vergleichens von Zahlengrößen ist eine Zahlenlinie hilfreich, um die Größe der einzelnen Werte zu visualisieren.

Hier sind die Vielfachen von 10 von 0 bis 100, die auf einem Zahlenstrahl angezeigt werden.

Beim Vergleich von Zahlensätzen in KS1 und KS2 (bis zur vierten Klasse) wird von den meisten Kindern erwartet, dass sie für Zahlen bis 100 größere oder kleinere Zeichen verwenden.

In diesem Beispiel haben wir ein fehlendes Symbol zwischen 30 + 10 und 80.

Wir werten zuerst die Additionssumme links vom Problem fehlender Symbole aus.

40 ist kleiner als 80, weil es weiter links auf der Zahlengeraden steht.

Wir können das Kleiner-als-Symbol ‘ ’ verwenden, um diesen Vergleich mathematisch zu schreiben.

60 ist kleiner als 94, daher zeigt der Pfeil auf 64. Der ‘mouth’ öffnet sich bis zum größeren Wert von 94.

Wir können 94 > 60 schreiben, um zu sagen, dass 94 größer als 60 ist.

Da 94 > 60, können wir auch 90 + 4 > 60 schreiben.

In diesem nächsten Beispiel für den Vergleich eines Subtraktionssatzes haben wir ein fehlendes Symbol zwischen 15 und 20 – 2.

Wir werten zuerst die Subtraktion von 20 – 2 aus.

20 – 2 = 18, also rechts von 15 auf dem Zahlenstrahl.

18 ist größer als 15 und das Symbol öffnet sich zur 18 und zeigt auf die 15.


1.2: Zahlenvergleiche mit und =

Die Techniken der Varianzanalyse (ANOVA) testen, ob ein Satz von Gruppenmittelwerten (Behandlungseffekten) gleich sind oder nicht. Die Ablehnung der Nullhypothese führt zu dem Schluss, dass nicht alle Gruppenmittelwerte gleich sind. Dieses Ergebnis liefert jedoch keine weiteren Informationen darüber, welche Gruppenmittelwerte unterschiedlich sind.

Durchführung einer Reihe von T-Tests, um festzustellen, welche Mittelwertpaare signifikant unterschiedlich sind, wird nicht empfohlen. Wenn Sie mehrere ausführen T-Tests, die Wahrscheinlichkeit, dass die Mittelwerte signifikant erscheinen, und signifikante Differenzergebnisse können auf eine große Anzahl von Tests zurückzuführen sein. Diese T-Tests verwenden die Daten derselben Stichprobe, daher sind sie nicht unabhängig. Diese Tatsache erschwert die Quantifizierung des Signifikanzniveaus für Mehrfachtests.

Angenommen, in einem einzigen T-test, die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese (H0) wird abgelehnt, wenn es tatsächlich ein kleiner Wert ist, sagen wir 0,05. Angenommen, Sie führen auch sechs unabhängige T-Tests. Wenn das Signifikanzniveau für jeden Test 0,05 beträgt, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Tests H . nicht korrekt zurückweisen0, wenn H0 gilt für jeden Fall, ist (0,95) 6 = 0,735. Und die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Tests die Nullhypothese fälschlicherweise ablehnt, beträgt 1 – 0,735 = 0,265, was viel höher als 0,05 ist.

Um mehrere Tests zu kompensieren, können Sie mehrere Vergleichsverfahren verwenden. Die Funktion multicompare der Statistics and Machine Learning Toolbox führt einen mehrfachen paarweisen Vergleich der Gruppenmittelwerte oder Behandlungseffekte durch. Die Optionen sind das ehrlich signifikante Differenzkriterium von Tukey (Standardoption), die Bonferroni-Methode, das Scheffe-Verfahren, die Methode der geringsten signifikanten Differenzen (lsd) von Fisher und der Ansatz von Dunn & Sidák für T-Prüfung.

Um mehrere Vergleiche von Gruppenmittelwerten durchzuführen, geben Sie die Strukturstatistiken als Eingabe für multicompare an. Sie können Statistiken über eine der folgenden Funktionen abrufen:

Informationen zu mehreren Vergleichsverfahrensoptionen für Messwiederholungen finden Sie unter multicompare ( RepeatedMeasuresModel ).

Mehrfachvergleiche mit Einweg-ANOVA

MPG stellt die Meilen pro Gallone für jedes Auto dar, und Zylinder stellt die Anzahl der Zylinder in jedem Auto dar, entweder 4, 6 oder 8 Zylinder.

Testen Sie, ob die durchschnittlichen Meilen pro Gallone (mpg) bei Fahrzeugen mit unterschiedlicher Zylinderzahl unterschiedlich sind. Berechnen Sie auch die Statistiken, die für mehrere Vergleichstests benötigt werden.

Der kleine P -Wert von etwa 0 ist ein starker Hinweis darauf, dass die durchschnittlichen Meilen pro Gallone bei Fahrzeugen mit unterschiedlicher Zylinderzahl signifikant unterschiedlich sind.

Führen Sie einen Mehrfachvergleichstest mit der Bonferroni-Methode durch, um festzustellen, welche Zylinderzahl einen Unterschied in der Leistung der Autos macht.

In der Ergebnismatrix entsprechen 1, 2 und 3 Autos mit 4, 6 bzw. 8 Zylindern. Die ersten beiden Spalten zeigen, welche Gruppen verglichen werden. In der ersten Reihe werden beispielsweise die Autos mit 4 und 6 Zylindern verglichen. Die vierte Spalte zeigt die mittlere mpg-Differenz für die verglichenen Gruppen. Die dritte und fünfte Spalte zeigen die Unter- und Obergrenze für ein 95-%-Konfidenzintervall für die Differenz der Gruppenmittelwerte. Die letzte Spalte zeigt die P -Werte für die Tests. Alle P -Werte sind null, was darauf hinweist, dass sich der mittlere MPG für alle Gruppen in allen Gruppen unterscheidet.

In der Abbildung repräsentiert der blaue Balken die Gruppe der Autos mit 4 Zylindern. Die roten Balken repräsentieren die anderen Gruppen. Keines der roten Vergleichsintervalle für den durchschnittlichen mpg von Autos überlappt, was bedeutet, dass der durchschnittliche mpg für Autos mit 4, 6 oder 8 Zylindern signifikant unterschiedlich ist.

Die erste Spalte der Mittelwertmatrix enthält die mittleren mpg-Schätzungen für jede Fahrzeuggruppe. Die zweite Spalte enthält die Standardfehler der Schätzungen.

Mehrfachvergleiche für Drei-Wege-ANOVA

y ist der Antwortvektor und g1, g2 und g3 sind die Gruppierungsvariablen (Faktoren). Jeder Faktor hat zwei Stufen, und jede Beobachtung in y wird durch eine Kombination von Faktorstufen identifiziert. Zum Beispiel ist die Beobachtung y(1) mit dem Level 1 des Faktors g1 , dem Level 'hi' des Faktors g2 und dem Level 'may' des Faktors g3 verbunden. In ähnlicher Weise ist die Beobachtung y(6) mit der Stufe 2 des Faktors g1, der Stufe 'hi' des Faktors g2 und der Stufe 'june' des Faktors g3 verbunden.

Testen Sie, ob die Antwort für alle Faktorstufen gleich ist. Berechnen Sie auch die Statistiken, die für Mehrfachvergleichstests erforderlich sind.

Das P -Wert von 0,2578 zeigt an, dass sich die mittleren Antworten für die Niveaus „Mai“ und „Juni“ des Faktors g3 nicht signifikant unterscheiden. Das P -Wert von 0,0347 zeigt an, dass die mittleren Antworten für Level 1 und 2 von Faktor g1 signifikant unterschiedlich sind. Ebenso die P -Wert von 0,0048 zeigt an, dass die mittleren Antworten für die Stufen 'hi' und 'lo' des Faktors g2 signifikant unterschiedlich sind.

Führen Sie mehrere Vergleichstests durch, um herauszufinden, welche Gruppen der Faktoren g1 und g2 sich signifikant unterscheiden.

multcompare vergleicht die Kombinationen von Gruppen (Ebenen) der beiden Gruppierungsvariablen g1 und g2 . In der Ergebnismatrix entspricht die Zahl 1 der Kombination von Stufe 1 von g1 und Stufe hi von g2 , die Zahl 2 entspricht der Kombination von Stufe 2 von g1 und Stufe hi von g2 . In ähnlicher Weise entspricht die Zahl 3 der Kombination von Stufe 1 von g1 und Stufe lo von g2, und die Zahl 4 entspricht der Kombination von Stufe 2 von g1 und Stufe lo von g2. Die letzte Spalte der Matrix enthält die P -Werte.

Die erste Zeile der Matrix zeigt beispielsweise, dass die Kombination von Stufe 1 von g1 und Stufe hi von g2 dieselben mittleren Antwortwerte aufweist wie die Kombination von Stufe 2 von g1 und Stufe hi von g2 . Das P -Wert, der diesem Test entspricht, beträgt 0,0280, was darauf hinweist, dass die mittleren Antworten signifikant unterschiedlich sind. Dieses Ergebnis sehen Sie auch in der Abbildung. Der blaue Balken zeigt das Vergleichsintervall für die mittlere Antwort für die Kombination von Stufe 1 von g1 und Stufe hi von g2 . Die roten Balken sind die Vergleichsintervalle für die mittlere Antwort für andere Gruppenkombinationen. Keiner der roten Balken überschneidet sich mit dem blauen Balken, was bedeutet, dass sich die mittlere Antwort für die Kombination von Stufe 1 von g1 und Stufe hi von g2 signifikant von der mittleren Antwort für andere Gruppenkombinationen unterscheidet.

Sie können die anderen Gruppen testen, indem Sie auf das entsprechende Vergleichsintervall für die Gruppe klicken. Der Balken, auf den Sie klicken, wird blau. Die Balken für die stark unterschiedlichen Gruppen sind rot. Die Balken für die Gruppen, die sich nicht wesentlich unterscheiden, sind grau. Wenn Sie beispielsweise auf das Vergleichsintervall für die Kombination von Stufe 1 von g1 und Stufe lo von g2 klicken, überlappt sich das Vergleichsintervall für die Kombination von Stufe 2 von g1 und Stufe lo von g2 und ist daher grau. Umgekehrt sind die anderen Vergleichsintervalle rot, was einen signifikanten Unterschied anzeigt.

Mehrere Vergleichsverfahren

Um die Mehrfachvergleichsprozedur anzugeben, die multicompare ausführen soll, verwenden Sie das Name-Wert-Paar-Argument 'CType'. multicompare bietet die folgenden Verfahren:

Tukeys Honestly Significant Difference Procedure

Sie können das ehrlich signifikante Differenzverfahren von Tukey mit dem Namen-Wert-Paar-Argument 'CType','Tukey-Kramer' oder 'CType','hsd' angeben. Der Test basiert auf der studentisierten Reichweitenverteilung. Ablehnen h0:αich = αJ Wenn

| t | = | y ¯ i − y ¯ j | M S E ( 1 n i + 1 n j ) > 1 2 q α , k , N − k ,

wobei q α , k , N − k die obere 100*(1 – α)tes Perzentil der studentisierten Reichweitenverteilung mit Parameter k und nk Freiheitsgrade. k ist die Anzahl der Gruppen (Behandlungen oder marginale Mittelwerte) und n ist die Gesamtzahl der Beobachtungen.

Das ehrlich signifikante Differenzverfahren von Tukey ist optimal für ausgeglichene Einweg-ANOVA und ähnliche Verfahren mit gleichen Stichprobengrößen. Sie hat sich bei Einweg-ANOVA mit unterschiedlichen Stichprobengrößen als konservativ erwiesen. Nach der unbewiesenen Tukey-Kramer-Vermutung ist sie auch für Probleme genau, bei denen die verglichenen Größen korreliert sind, wie bei der Analyse der Kovarianz mit unausgeglichenen Kovariatenwerten.

Bonferroni-Methode

Sie können die Bonferroni-Methode mit dem Name-Wert-Paar 'CType','bonferroni' angeben. Diese Methode verwendet kritische Werte aus Student's T-Verteilung nach einer Anpassung, um Mehrfachvergleiche zu kompensieren. Der Test lehnt ab h0:αich = αJ auf dem α / 2 (k 2 ) Signifikanzniveau, wobei k ist die Anzahl der Gruppen, wenn

| t | = | y ¯ i − y ¯ j | M S E ( 1 n i + 1 n j ) > t α 2 (k 2 ) , N − k ,

wo n ist die Gesamtzahl der Beobachtungen und k ist die Anzahl der Gruppen (Randmittel). Dieses Verfahren ist konservativ, aber in der Regel weniger konservativ als das Scheffé-Verfahren.

Dunn & Sidáks Ansatz

Sie können den Ansatz von Dunn & Sidák mit dem Namen-Wert-Paar-Argument 'CType','dunn-sidak' spezifizieren. Es verwendet kritische Werte aus dem T-Verteilung, nach einer Anpassung für mehrere Vergleiche, die von Dunn vorgeschlagen und von Sidák als richtig bewiesen wurde. Dieser Test wird abgelehnt h0:αich = αJ Wenn

| t | = | y ¯ i − y ¯ j | M S E ( 1 n i + 1 n j ) > t 1 − η / 2 , v ,

und k ist die Anzahl der Gruppen. Dieses Verfahren ähnelt dem Bonferroni-Verfahren, ist jedoch weniger konservativ.

Geringster signifikanter Unterschied

Sie können das Verfahren mit der geringsten Signifikanz mit dem Namen-Wert-Paar-Argument 'CType','lsd' angeben. Dieser Test verwendet die Teststatistik

t = y i − y j M S E ( 1 n i + 1 n j ).

| y ¯ i − y ¯ j | > t α 2 , N – k M S E ( 1 n i + 1 n j ) L S D .

Fisher schlägt einen Schutz vor Mehrfachvergleichen vor, indem er LSD nur dann durchführt, wenn die Nullhypothese H0: α1 = α2 = . = αk wird von ANOVA abgelehnt F-Prüfung. Selbst in diesem Fall kann LSD keine der einzelnen Hypothesen ablehnen. Es ist auch möglich, dass die ANOVA H . nicht ablehnt0, auch wenn es Unterschiede zwischen einigen Gruppenmittelwerten gibt. Dieses Verhalten tritt auf, weil die Gleichheit der verbleibenden Gruppenmittelwerte dazu führen kann, dass F-Teststatistik als nicht signifikant. Ohne jede Bedingung bietet LSD keinen Schutz gegen das Mehrfachvergleichsproblem.

Scheffes Verfahren

Sie können die Scheffe-Prozedur mit dem Namen-Wert-Paar-Argument 'CType','scheffe' angeben. Die kritischen Werte ergeben sich aus den F Verteilung. Der Test lehnt ab h0:αich = αJ Wenn

| y ¯ i − y ¯ j | M S E ( 1 n i + 1 n j ) > ( k − 1 ) F k − 1 , N − k , α

Dieses Verfahren liefert ein simultanes Konfidenzniveau für Vergleiche aller Linearkombinationen der Mittelwerte. Es ist konservativ für Vergleiche einfacher Unterschiede von Paaren.


Algorithmen/RekursionscodeHS Test Q's

private void doSort(int niedrigererIndex, int höhererIndex)
<
if (niedrigerIndex < höhererIndex)
<
int Middle = LowerIndex + (higherIndex - LowerIndex) / 2
doSort(lowerIndex, middle)
doSort(mittel + 1, höherIndex)
doSomething(lowerIndex, middle,highIndex)
>
>

public static int lolUthought(int[] array, int key)
<
int n = array.length
int zuerst = 0
int zuletzt = n - 1
int Mitte = (erster + letzter)/2

while(erster <= letzter)
<
if ( array[mitte] < key )
<
zuerst = Mitte + 1
>
else if ( array[middle] == key )
<
Rückkehr Mitte
>
anders
<
zuletzt = Mitte - 1
>

I - Auswahlsortierung ist immer schneller als Einfügungssortierung

II - Einfügungssortieren ist immer schneller als Auswahlsortieren

III - Wenn Selection Sort ein Element in den sortierten Teil des Arrays platziert, befindet sich dieses Element an seiner endgültigen Position, während Insertion Sort das Element später verschieben kann, wenn es ein kleineres Element findet. Selection Sort baut nach und nach ein absolut sortiertes Array auf, während Insertion Sort ein relativ sortiertes Array aufbaut.


Klassifikation (oder Typ) des Mehrfachvergleichs: Einschrittige versus schrittweise Verfahren

Wie bereits erwähnt, führen wiederholte Tests mit bestimmten Gruppen zu dem schwerwiegenden Problem, das als α Inflation bekannt ist. Daher wurden im Laufe der Jahre zahlreiche MCT-Methoden in der Statistik entwickelt. 2) Die meisten Forscher auf diesem Gebiet sind daran interessiert, die Unterschiede zwischen den relevanten Gruppen zu verstehen. Diese Gruppen können alle Paare in den Experimenten sein, oder eine Kontrollgruppe und andere Gruppen oder mehr als zwei Gruppen (eine Untergruppe) und eine andere Experimentgruppe (eine weitere Untergruppe). Unabhängig von der Art der zu vergleichenden Paare sollten alle Post-hoc-Untergruppenvergleichsmethoden unter der Signifikanz des vollständigen ANOVA-Ergebnisses angewendet werden. 3)

Normalerweise werden MCTs in zwei Klassen eingeteilt, einstufige und schrittweise Verfahren. Die schrittweisen Verfahren werden weiter in Step-up- und Step-down-Verfahren unterteilt. Diese Klassifizierung hängt von der Methode ab, die verwendet wird, um Fehler vom Typ I zu behandeln. Wie der Name schon sagt, geht das einstufige Verfahren von einer hypothetischen Fehlerrate vom Typ I aus. Unter dieser Annahme werden fast alle paarweisen Vergleiche (Mehrfachhypothesen) durchgeführt (getestet mit einem kritischen Wert). Mit anderen Worten, jeder Vergleich ist unabhängig. Ein typisches Beispiel ist der Test der kleinsten signifikanten Differenz (LSD) von Fisher. Andere Beispiele sind Bonferroni, Sidak, Scheffé, Tukey, Tukey-Kramer, Hochberg’s GF2, Gabriel und Dunnett Tests.

Die schrittweise Prozedur behandelt Fehler vom Typ I gemäß zuvor ausgewählten Vergleichsergebnissen, dh sie verarbeitet paarweise Vergleiche in einer vorbestimmten Reihenfolge, und jeder Vergleich wird nur durchgeführt, wenn das vorherige Vergleichsergebnis statistisch signifikant ist. Im Allgemeinen verbessert dieses Verfahren die statistische Aussagekraft des Prozesses, während die Fehlerrate vom Typ I durchgehend beibehalten wird. Unter den Vergleichsteststatistiken wird der signifikanteste Test (für Step-Down-Verfahren) oder der am wenigsten signifikante Test (für Step-up-Verfahren) identifiziert, und Vergleiche werden sukzessive durchgeführt, wenn das vorherige Testergebnis signifikant ist. Wenn ein Vergleichstest während des Prozesses eine Nullhypothese nicht ablehnt, werden alle verbleibenden Tests abgelehnt. Dieses Verfahren ermittelt nicht das gleiche Signifikanzniveau wie einstufige Verfahren, sondern ordnet alle relevanten Gruppen in die statistisch ähnlichen Untergruppen ein. Die schrittweisen Methoden umfassen Ryan-Einot-Gabriel-Welsch Q (REGWQ), Ryan-Einot-Gabriel-Welsch F (REGWF), Student-Newman-Keuls (SNK) und Duncan-Tests. Diese Methoden haben unterschiedliche Anwendungen, zum Beispiel wird der SNK-Test gestartet, um die beiden Gruppen mit den größten Unterschieden zu vergleichen, die anderen beiden Gruppen mit den zweitgrößten Unterschieden werden nur verglichen, wenn es im vorherigen Vergleich einen signifikanten Unterschied gibt. Daher wird dieses Verfahren als Abwärtsverfahren bezeichnet, da die Ausmaße der Unterschiede mit fortschreitenden Vergleichen verringert werden. Es wird darauf hingewiesen, dass der kritische Vergleichswert für jedes Paar variiert. Das heißt, es hängt vom Bereich der mittleren Differenzen zwischen den Gruppen ab. Je kleiner der Vergleichsbereich ist, desto kleiner ist der kritische Wert für den Bereich, daher steigt die Wahrscheinlichkeit eines Typ-I-Fehlers, obwohl die Leistung zunimmt.

Alle oben genannten Verfahren können nur in der Situation der Annahme gleicher Varianz verwendet werden. Wenn die Annahme gleicher Varianz während des ANOVA-Prozesses heftig ist, sollten paarweise Vergleiche auf den Statistiken von Tamhane ’s T2, Dunnett’s T3, Games-Howell und Dunnetts C-Tests basieren.

Tukey-Methode

Dieser Test verwendet paarweise Post-hoc-Tests, um zu bestimmen, ob es eine Differenz zwischen dem Mittelwert aller möglichen Paare unter Verwendung einer studentisierten Bereichsverteilung gibt. Diese Methode testet jedes mögliche Paar aller Gruppen. Ursprünglich wurde der Tukey-Test als 𠆎hrlich-signifikanter Unterschied’-Test oder einfach als ‘T-Test’ 4) bezeichnet, da diese Methode auf der t-Verteilung beruhte. Es wird darauf hingewiesen, dass der Tukey-Test auf denselben Stichprobenzählungen zwischen Gruppen (ausgeglichene Daten) wie die ANOVA basiert. Anschließend modifizierte Kramer diese Methode, um sie auf unausgeglichene Daten anzuwenden, und sie wurde als Tukey-Kramer-Test bekannt. Dieses Verfahren verwendet das harmonische Mittel der Zellengröße der beiden Vergleiche. Die statistischen Annahmen der ANOVA sollten auch auf die Tukey-Methode angewendet werden. 5)

Abb. 2 zeigt die Beispielergebnisse der Einweg-ANOVA und des Tukey-Tests für Mehrfachvergleiche. Gemäß dieser Abbildung wird der Tukey-Test mit einem kritischen Level durchgeführt, wie zuvor beschrieben, und die Ergebnisse aller paarweisen Vergleiche werden in einer Tabelle unter dem Abschnitt ‘Post-hoc-Test’ dargestellt. Die Ergebnisse kommen zu dem Schluss, dass die Gruppen A und B sind verschieden, während die Gruppen A und C nicht verschieden sind und die Gruppen B und C auch nicht verschieden sind. Diese ungeraden Ergebnisse werden in der letzten Tabelle mit dem Namen ‘Homogene Teilmengen fortgesetzt.’ Die Gruppen A und C sind ähnlich und die Gruppen B und C sind ebenfalls ähnlich, jedoch sind die Gruppen A und B unterschiedlich. Eine Schlussfolgerung dieser Art ist bei der syllogistischen Argumentation anders. In der Mathematik gilt, wenn A = B und B = C, dann A = C. In der Statistik jedoch, wenn A = B und B = C, ist A nicht dasselbe wie C, da all diese Ergebnisse wahrscheinliche Ergebnisse basierend auf Statistiken sind. Solche widersprüchlichen Ergebnisse können auf eine unzureichende statistische Power, d. h. eine kleine Stichprobengröße, zurückzuführen sein. Der Tukey-Test ist eine großzügige Methode, um die Differenz beim paarweisen Vergleich zu erkennen (weniger konservativ), um dieses unlogische Ergebnis zu vermeiden, sollte eine ausreichende Stichprobengröße gewährleistet sein, was zu kleineren Standardfehlern führt und die Wahrscheinlichkeit erhöht, die Nullhypothese abzulehnen.

Ein Beispiel für ein Ergebnis einer einseitigen Varianzanalyse (ANOVA) mit dem Tukey-Test für den Mehrfachvergleich, durchgeführt mit IBM Ⓡ SPSS Ⓡ Statistics (Ver 23.0, IBM Ⓡ Co., USA). Die Gruppen A, B und C werden verglichen. Der Tukey-Test der ehrlich signifikanten Differenz (HSD) wurde unter dem signifikanten Ergebnis der ANOVA durchgeführt. Mehrere Vergleichsergebnisse zeigten statistische Unterschiede zwischen den Gruppen A und B, aber nicht zwischen den Gruppen A und C und zwischen den Gruppen B und C. In der letzten Tabelle ‘Homogene Teilmengen’ gibt es jedoch ein widersprüchliches Ergebnis: die Unterschiede zwischen den Gruppen A und C und die Gruppen B und C sind nicht signifikant, obwohl ein signifikanter Unterschied zwischen den Gruppen A und B bestand. Diese inkonsistente Interpretation könnte auf unzureichende Beweise zurückzuführen sein.

Bonferroni-Methode: ɑ-Aufspaltung (Dunn’s-Methode)

Die Bonferroni-Methode kann verwendet werden, um verschiedene Gruppen am Ausgangswert zu vergleichen, die Beziehung zwischen Variablen zu untersuchen oder einen oder mehrere Endpunkte in klinischen Studien zu untersuchen. Es wird als Post-hoc-Test in vielen statistischen Verfahren wie der ANOVA und ihren Varianten angewendet, einschließlich der Kovarianzanalyse (ANCOVA) und der multivariaten ANOVA (MANOVA), mehreren t-Tests und der Korrelationsanalyse nach Pearson. Es wird auch in mehreren nichtparametrischen Tests verwendet, einschließlich des Mann-Whitney-Tests U Test, Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test und Kruskal-Wallis-Test nach Rängen [4] sowie als Test für kategoriale Daten, wie z. B. Chi-Quadrat-Test. Bei Verwendung als Post-hoc-Test nach einer ANOVA verwendet die Bonferroni-Methode Schwellenwerte basierend auf der t-Verteilung. Die Bonferroni-Methode ist strenger als der Tukey-Test, der Fehler vom Typ I toleriert, und großzügiger als der sehr konservative Scheffé’s Methode.

Es hat jedoch auch Nachteile, da es unnötig konservativ ist (mit schwacher statistischer Aussagekraft). Das angepasste α ist oft kleiner als erforderlich, insbesondere wenn viele Tests vorliegen und/oder die Teststatistiken positiv korreliert sind. Daher kann diese Methode häufig echte Unterschiede nicht erkennen. Wenn die vorgeschlagene Studie erfordert, dass Fehler vom Typ II vermieden und mögliche Effekte nicht übersehen werden sollen, sollten wir keine Bonferroni-Korrektur verwenden. Stattdessen sollten wir eine liberalere Methode wie Fishers LSD verwenden, die die familienbezogene Fehlerrate (FWER) nicht kontrolliert. 6) Eine weitere Alternative zur Bonferroni-Korrektur, um zu konservative Ergebnisse zu erhalten, ist die schrittweise (sequentielle) Methode, für die sich die Bonferroni-Holm- und Hochberg-Methoden eignen, die weniger konservativ sind als der Bonferroni-Test [5].

Dunnett-Methode

Dies ist eine besonders nützliche Methode zur Analyse von Studien mit Kontrollgruppen, basierend auf modifizierten T-Teststatistik (Dunnett’s t-Verteilung). Es ist eine aussagekräftige Statistik und kann daher relativ kleine, aber signifikante Unterschiede zwischen Gruppen oder Kombinationen von Gruppen entdecken. Der Dunnett-Test wird von Forschern verwendet, die daran interessiert sind, zwei oder mehr experimentelle Gruppen gegen eine einzige Kontrollgruppe zu testen. Der Dunnett-Test hat jedoch den Nachteil, dass er die anderen Gruppen als die Kontrollgruppe überhaupt nicht miteinander vergleicht.

Angenommen, es gibt drei experimentelle Gruppen A, B und C, in denen ein experimentelles Medikament verwendet wird, und eine Kontrollgruppe in einer Studie. Beim Dunnett-Test wird ein Vergleich der Kontrollgruppe mit A, B, C oder deren Kombinationen durchgeführt, jedoch kein Vergleich zwischen den Versuchsgruppen A, B und C. Daher ist die Teststärke höher, weil die Die Anzahl der Tests wird im Vergleich zum 𠆊lle paarweisen Vergleich reduziert.’

Andererseits ist die Dunnett-Methode in der Lage, ‘twotailed’ oder ‘onetailed’ zu testen, wodurch sie sich von anderen paarweisen Vergleichsmethoden unterscheidet. Ist beispielsweise die Wirkung eines neuen Medikaments überhaupt nicht bekannt, sollte der zweiseitige Test verwendet werden, um zu bestätigen, ob die Wirkung des neuen Medikaments besser oder schlechter ist als die einer herkömmlichen Kontrolle. Anschließend ist ein einseitiger Test erforderlich, um das neue Medikament und die Kontrolle zu vergleichen. Da je nach Situation der zweiseitige oder einseitige Test durchgeführt werden kann, kann die Dunnett-Methode ohne Einschränkungen verwendet werden.

Scheffé’s Methode: explorative Post-hoc-Methode

Die Methode von Scheffé’ ist kein einfacher paarweiser Vergleichstest. Basierend auf der F-Verteilung ist es eine Methode zur Durchführung simultaner, gemeinsamer paarweiser Vergleiche für alle möglichen paarweisen Kombinationen jedes Gruppenmittels [6]. Er kontrolliert die FWER, nachdem jede mögliche paarweise Kombination berücksichtigt wurde, während der Tukey-Test die FWER kontrolliert, wenn nur alle paarweisen Vergleiche durchgeführt werden. 7) Aus diesem Grund ist die Scheffé’s-Methode sehr konservativ als andere Methoden und hat eine geringe Aussagekraft, um die Unterschiede zu erkennen. Da die Methode von Scheff é’ Hypothesen basierend auf allen möglichen Vergleichen generiert, um die Signifikanz zu bestätigen, wird diese Methode bevorzugt, wenn der theoretische Hintergrund für Unterschiede zwischen den Gruppen nicht verfügbar ist oder frühere Studien nicht vollständig implementiert wurden (explorative Datenanalyse). Die auf diese Weise generierten Hypothesen sollten durch nachfolgende Studien getestet werden, die speziell darauf ausgelegt sind, neue Hypothesen zu testen. Dies ist wichtig bei der explorativen Datenanalyse oder dem theoretischen Testprozess (z. B. wenn bei dieser Art von Studien wahrscheinlich ein Fehler vom Typ I auftritt und die Unterschiede in nachfolgenden Studien identifiziert werden sollen). Follow-up-Studien, die spezifische Subgruppenkontraste testen, die durch die Anwendung der Scheffé’-Methode entdeckt wurden, sollten verwendet werden. Bonferroni-Methoden, die für theoretische Teststudien geeignet sind. Es ist ferner anzumerken, dass Bonferroni-Methoden weniger empfindlich auf Fehler des Typs I reagieren als die Scheffé’-Methode. Schließlich ermöglicht die Methode von Scheffé’ einfache oder komplexe Mittelungsvergleiche sowohl bei ausgeglichenen als auch bei unausgeglichenen Daten.

Verletzung der Annahme der Varianzäquivalenz

Eine einfache ANOVA wird nur in Fällen durchgeführt, in denen die Annahme der Varianzäquivalenz gilt. Es handelt sich jedoch um eine robuste Statistik, die auch bei einer Abweichung von der Äquivalenzannahme verwendet werden kann. In solchen Fällen können die Tests von Games-Howell, Tamhane’s T2, Dunnett’s T3 und Dunnett’s C angewendet werden.

The Games-Howell method is an improved version of the Tukey-Kramer method and is applicable in cases where the equivalence of variance assumption is violated. Es ist ein T-test using Welch’s degree of freedom. This method uses a strategy for controlling the type I error for the entire comparison and is known to maintain the preset significance level even when the size of the sample is different. However, the smaller the number of samples in each group, the it is more tolerant the type I error control. Thus, this method can be applied when the number of samples is six or more.

Tamhane’s T2 method gives a test statistic using the t-distribution by applying the concept of ‘multiplicative inequality’ introduced by Sidak. Sidak’s multiplicative inequality theorem implies that the probability of occurrence of intersection of each event is more than or equal to the probability of occurrence of each event. Compared to the Games-Howell method, Sidak’s theorem provides a more rigorous multiple comparison method by adjusting the significance level. In other words, it is more conservative than type I error control. Contrarily, Dunnett’s T3 method does not use the t-distribution but uses a quasi-normalized maximum-magnitude distribution (studentized maximum modulus distribution), which always provides a narrower CI than T2. The degrees of freedom are calculated using the Welch methods, such as Games-Howell or T2. This Dunnett’s T3 test is understood to be more appropriate than the Games-Howell test when the number of samples in the each group is less than 50. It is noted that Dunnett’s C test uses studentized range distribution, which generates a slightly narrower CI than the Games-Howell test for a sample size of 50 or more in the experimental group however, the power of Dunnett’s C test is better than that of the Games-Howell test.


Containment operators

The containment operators ( -contains , -notcontains , -in , and -notin ) are similar to the equality operators, except that they always return a Boolean value, even when the input is a collection. These operators stop comparing as soon as they detect the first match, whereas the equality operators evaluate all input members. In a very large collection, these operators return quicker than the equality operators.

-contains and -notcontains

These operators tell whether a set includes a certain element. -contains returns True when the right-hand side (test object) matches one of the elements in the set. -notcontains returns False instead. When the test object is a collection, these operators use reference equality, i.e. they check whether one of the set's elements is the same instance of the test object.

-in and -notin

The -in and - notin operators were introduced in PowerShell 3 as the syntactic reverse of the of contains and -notcontain operators. -in returns Wahr when the left-hand side <test-object> matches one of the elements in the set. -notin returns Falsch stattdessen. When the test object is a set, these operators use reference equality to check whether one of the set's elements is the same instance of the test object.

The following examples do the same thing that the examples for -contain and -notcontain do, but they are written with -in and -notin instead.


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