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8.2E: Die inverse Laplace-Transformation (Übungen)


Q8.2.1

1. Verwenden Sie die Tabelle der Laplace-Transformationen, um die inverse Laplace-Transformation zu finden.

  1. ( {3über(s-7)^4})
  2. ( {2s-4über s^2-4s+13})
  3. ( {1über s^2+4s+20})
  4. ( {2über s^2+9})
  5. ( {s^2-1over(s^2+1)^2})
  6. ( {1über(s-2)^2-4})
  7. ( {12s-24over(s^2-4s+85)^2})
  8. ( {2über(s-3)^2-9})
  9. ( {s^2-4s+3over(s^2-4s+5)^2})

2. Verwenden Sie Satz 8.2.1 und die Tabelle der Laplace-Transformationen, um die inverse Laplace-Transformation zu finden.

  1. ( {2s+3über(s-7)^4})
  2. ( {s^2-1over(s-2)^6})
  3. ( {s+5über s^2+6s+18})
  4. ( {2s+1über s^2+9})
  5. ( {süber s^2+2s+1})
  6. ( {s+1über s^2-9})
  7. ( {s^3+2s^2-s-3over(s+1)^4})
  8. ( {2s+3über(s-1)^2+4})
  9. ( {1über s}-{süber s^2+1})
  10. ( {3s+4über s^2-1})
  11. ( {3über s-1}+{4s+1über s^2+9})
  12. ( {3über(s+2)^2}-{2s+6über s^2+4})

3. Verwenden Sie die Methode von Heaviside, um die inverse Laplace-Transformation zu finden.

  1. ( {3-(s+1)(s-2)über(s+1)(s+2)(s-2)})
  2. ( {7+(s+4)(18-3s)über(s-3)(s-1)(s+4)})
  3. ( {2+(s-2)(3-2s)über(s-2)(s+2)(s-3)})
  4. ( {3-(s-1)(s+1)über(s+4)(s-2)(s-1)})
  5. ( {3+(s-2)(10-2s-s^2)über(s-2)(s+2)(s-1)(s+3)})
  6. ( {3+(s-3)(2s^2+s-21)über(s-3)(s-1)(s+4)(s-2)})

4. Finden Sie die inverse Laplace-Transformation.

  1. ( {2+3süber(s^2+1)(s+2)(s+1)})
  2. ( {3s^2+2s+1über(s^2+1)(s^2+2s+2)})
  3. ( {3s+2über(s-2)(s^2+2s+5)})
  4. ( {3s^2+2s+1über(s-1)^2(s+2)(s+3)})
  5. ( {2s^2+s+3over(s-1)^2(s+2)^2})
  6. ( {3s+2over(s^2+1)(s-1)^2})

5. Verwenden Sie die Methode von Beispiel 8.2.9, um die inverse Laplace-Transformation zu finden.

  1. ( {3s+2über(s^2+4)(s^2+9)})
  2. ( {-4s+1over(s^2+1)(s^2+16)})
  3. ( {5s+3over(s^2+1)(s^2+4)})
  4. ( {-s+1over(4s^2+1)(s^2+1)})
  5. ( {17s-34over(s^2+16)(16s^2+1)})
  6. ( {2s-1over(4s^2+1)(9s^2+1)})

6. Finden Sie die inverse Laplace-Transformation.

  1. ( {17 s-15über(s^2-2s+5)(s^2+2s+10)})
  2. ( {8s+56over(s^2-6s+13)(s^2+2s+5)})
  3. ( {s+9over(s^2+4s+5)(s^2-4s+13)})
  4. ( {3s-2over(s^2-4s+5)(s^2-6s+13)})
  5. ( {3s-1over(s^2-2s+2)(s^2+2s+5)})
  6. ( {20s+40over(4s^2-4s+5)(4s^2+4s+5)})

7. Finden Sie die inverse Laplace-Transformation.

  1. ( {1über s(s^2+1)})
  2. ( {1über(s-1)(s^2-2s+17)})
  3. ( {3s+2über(s-2)(s^2+2s+10)})
  4. ( {34-17sover(2s-1)(s^2-2s+5)})
  5. ( {s+2über(s-3)(s^2+2s+5)})
  6. ( {2s-2over(s-2)(s^2+2s+10)})

8. Finden Sie die inverse Laplace-Transformation.

  1. ( {2s+1über(s^2+1)(s-1)(s-3)})
  2. ( {s+2over(s^2+2s+2)(s^2-1)})
  3. ( {2s-1over(s^2-2s+2)(s+1)(s-2)})
  4. ( {s-6over(s^2-1)(s^2+4)})
  5. ( {2s-3über s(s-2)(s^2-2s+5)})
  6. ( {5s-15over(s^2-4s+13)(s-2)(s-1)})

9. Gegeben sei (f(t)leftrightarrow F(s)), bestimme die inverse Laplace-Transformation von (F(as-b)), wobei (a>0) gilt.

10.

  1. Wenn (s_1), (s_2), …, (s_n) verschieden sind und (P) ein Polynom vom Grad kleiner als (n) ist, dann gilt [{P(s) über(s-s_1)(s-s_2)cdots(s-s_n)}= {A_1über s-s_1}+{A_2über s-s_2}+cdots+{A_nüber s-s_n}. nonumber ] Multiplizieren Sie mit (s-s_i), um zu zeigen, dass (A_i) erhalten werden kann, indem man den Faktor (s-s_i) links ignoriert und (s=s_i) an anderer Stelle setzt.
  2. Angenommen (P) und (Q_1) sind Polynome mit (mbox{Grad}(P)lembox{Grad}(Q_1)) und (Q_1(s_1) e0). Zeigen Sie, dass der Koeffizient von (1/(s-s_1)) in der Partialbruchentwicklung von [F(s)={P(s)over(s-s_1)Q_1(s)} onumber] ist (P(s_1)/Q_1(s_1)).
  3. Erklären Sie, wie die Ergebnisse von (a) und (b) zusammenhängen.

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Berechnung der inversen Laplace-Transformation basierend auf einer Kollokationsmethode, die nur reelle Werte verwendet

Wir entwickeln einen numerischen Algorithmus zur Invertierung einer Laplace-Transformation (LT), basierend auf der Laguerre-Polynomreihenentwicklung der Umkehrfunktion unter der Annahme, dass die LT nur auf der reellen Achse bekannt ist. Die Methode gehört zur Klasse der Kollokationsmethoden (C-Methoden) und ist anwendbar, wenn die LT-Funktion im Unendlichen regulär ist. Die Schwierigkeiten, die mit diesen Problemen verbunden sind, sind auf ihre intrinsische Unausgeglichenheit zurückzuführen. Der Hauptbeitrag dieses Papiers besteht darin, berechenbare Schätzungen von Trunkierungs-, Diskretisierungs-, Konditionierungs- und Rundungsfehlern bereitzustellen, die durch numerische Berechnungen eingeführt werden. Darüber hinaus führen wir die Pseudogenauigkeit ein, die vom numerischen Algorithmus verwendet wird, um eine gleichmäßig skalierte Genauigkeit der berechneten Näherung für alle x bezüglich e σ x . Diese Schätzungen werden dann verwendet, um die Reihenentwicklung dynamisch zu kürzen. Mit anderen Worten, die Anzahl der Terme der Reihe wirkt wie der Regularisierungsparameter, der den Kompromiss zwischen Fehlern bereitstellt.

Mit dem Ziel, die Zuverlässigkeit und Verwendbarkeit des Algorithmus zu validieren, wurden Experimente an mehreren Testfunktionen durchgeführt.


Lösung des Faltungsproblems mit der Funktion $delta(x)$

Angenommen, wir hätten die Funktionen: $g(t)= heta(t)(e^<-t>+2e^<-2t>)+2delta(t)$ und $u(t)=2( theta(t)- heta(t-2))$ Dann gilt $u*g=int_<-infty>^g( au)u(t- au)d au= 2int_^(e^<- au>+2e^<-2 au>+2delta( au))d au$ was sich dann reduziert auf: $u*g=-2e^<-t>+2e^ <-2t>+2e^<-2t+4>-2e^<-2t>+4( heta(t)- heta(t-2))$

Mit der Laplace-Transformation bin ich jedoch zu diesem Ergebnis gekommen: $u*g=( heta(t)- heta(t-2))(16-4e^<-t>-4e^<-2t>)$

Die Tatsache, dass die Ergebnisse nicht übereinstimmen, lässt mich glauben, dass ich bei der Integration etwas sehr Wichtiges übersehe.

In allen obigen Zeilen steht $ heta(x)$ für die Einheitsschrittfunktion und $delta(x)$ für die Dirac-Impulsfunktion. Mit den Ratschlägen, die ich in den Kommentaren erhalten habe, habe ich: $u*g=2int_^(e^<- au> heta( au)+2e^<-2 au> heta( au)+2delta( au))d au$ Dann habe ich versucht, das Integral zu lösen, aber diesen verdächtigen Schritt in den Berechnungen machen: $int_^e^<- au> heta( au)d au=-e^<- au> heta( au) |^_$


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Hinweise zu Diffy Qs: Differentialgleichungen für Ingenieure

Sehen wir uns an, wie die Laplace-Transformation für Differentialgleichungen verwendet wird. Versuchen wir zunächst, die Laplace-Transformation einer Funktion zu finden, die eine Ableitung ist. Angenommen (g(t)) ist eine differenzierbare Funktion exponentieller Ordnung, d. h. (lvert g(t) vert leq M e^) für einige (M) und (c ext<.>) Also (mathcal igl< g(t) igr>) existiert und außerdem (lim_ e^<-st>g(t) = 0) wenn (s > c ext<.>) Dann

Wir wiederholen dieses Verfahren für höhere Ableitungen. Die Ergebnisse sind in Tabelle 7.2.1 aufgeführt. Das Verfahren funktioniert auch für stückweise glatte Funktionen, also Funktionen, die stückweise stetig mit einer stückweise stetigen Ableitung sind.

Tabelle 7.2.1. Laplace-Transformationen von Ableitungen ((G(s) = mathcal igl< g(t) igr>) wie üblich).

(f(t)) (mathcal igl < f(t) igr>= F(s))
(g'(t)) (sG(s)-g(0))
(g''(t)) (s^2G(s)-sg(0)-g'(0))
(g'''(t)) (s^3G(s)-s^2g(0)-sg'(0)-g''(0))

Übung 6.2.1.

Unterabschnitt 6.2.2 ODEs mit der Laplace-Transformation lösen

Beachten Sie, dass die Laplace-Transformation die Differentiation in eine Multiplikation mit (s ext<.>) verwandelt. Sehen wir uns an, wie wir diese Tatsache auf Differentialgleichungen anwenden können.

Beispiel 6.2.1.

Wir nehmen die Laplace-Transformation beider Seiten. Mit (X(s)) bezeichnen wir wie üblich die Laplace-Transformation von (x(t) ext<.>)

Wir setzen jetzt die Anfangsbedingungen ein – dies macht die Berechnungen rationaler – um zu erhalten

Wir verwenden Partialbrüche (Übung), um zu schreiben

Nehmen Sie nun die inverse Laplace-Transformation, um zu erhalten

Das Verfahren für Gleichungen mit linearen konstanten Koeffizienten ist wie folgt. Wir nehmen eine gewöhnliche Differentialgleichung in der Zeitvariablen (t ext<.>) Wir wenden die Laplace-Transformation an, um die Gleichung in eine algebraische (nicht differentielle) Gleichung im Frequenzbereich umzuwandeln. Alle (x(t) ext<,>) (x'(t) ext<,>) (x''(t) ext<,>) usw. werden, umgewandelt in (X(s) ext<,>) (sX(s) - x(0) ext<,>) (s^2X(s) - sx(0) - x'( 0) ext<,>) und so weiter. Wir lösen die Gleichung nach (X(s) ext<.>) Dann nehmen wir, wenn möglich, die inverse Transformation und finden (x(t) ext<.>)

Es ist zu beachten, dass nicht jede Gleichung auf diese Weise gelöst werden kann, da nicht jede Funktion eine Laplace-Transformation besitzt. Auch wenn die Gleichung kein linearer konstanter Koeffizient ODE ist, erhalten wir durch Anwenden der Laplace-Transformation möglicherweise keine algebraische Gleichung.

Unterabschnitt 6.2.3 Verwendung der Heaviside-Funktion

Bevor wir zu allgemeineren Gleichungen übergehen, als die, die wir zuvor lösen konnten, wollen wir die Heaviside-Funktion betrachten. Siehe Abbildung 6.1 für das Diagramm.

Diese Funktion ist nützlich, um Funktionen zusammenzustellen oder Funktionen abzuschneiden. Am häufigsten wird es als (u(ta)) für eine Konstante (a ext<.>) verwendet. Dies verschiebt den Graphen nur um (a ext<.>) nach rechts Das heißt, es ist eine Funktion, die 0 ist, wenn (t < a) und 1 ist, wenn (t geq a ext<.>) Angenommen, (f(t)) ist ein „Signal“ und Sie starten Empfang des Signals (sin t) zum Zeitpunkt (t=pi ext<.>) Die Funktion (f(t)) soll dann definiert werden als

Mit der Heaviside-Funktion kann (f(t)) geschrieben werden als

In ähnlicher Weise kann die Stufenfunktion, die im Intervall ([1,2)) 1 und überall sonst Null ist, geschrieben werden als

Die Heaviside-Funktion ist nützlich, um stückweise definierte Funktionen zu definieren. Wenn Sie (f(t)) so definieren wollen, dass (f(t) = t), wenn (t) in ([0,1] ext<,>) (f (t) = -t+2) wenn (t) in ([1,2] ext<,>) ist und (f(t) = 0) andernfalls, dann kannst du die Ausdruck

Daher ist es nützlich zu wissen, wie die Heaviside-Funktion mit der Laplace-Transformation interagiert. Das haben wir schon gesehen

Dies lässt sich verallgemeinern in a Eigentum verschieben oder zweite Schalteigenschaft.

Beispiel 6.2.2 .

Angenommen, die Zwangsfunktion ist nicht periodisch. Nehmen wir zum Beispiel an, wir hätten ein Masse-Feder-System

wobei (f(t) = 1) wenn (1 leq t < 5) und sonst null ist. Wir können uns ein Masse-Feder-System vorstellen, bei dem eine Rakete 4 Sekunden lang ab (t=1 ext<.>) abgefeuert wird oder vielleicht eine RLC-Schaltung, bei der die Spannung 4 Sekunden lang konstant erhöht wird bei (t=1 ext<,>) und dann ab (t=5 ext<.>) wieder ruhig gehalten

Wir können schreiben (f(t) = u(t-1) - u(t-5) ext<.>) Wir transformieren die Gleichung und setzen die Anfangsbedingungen wie zuvor ein, um zu erhalten

Wir lösen nach (X(s)) auf und erhalten

Wir überlassen es dem Leser als Übung, das zu zeigen

Mit anderen Worten (mathcal < 1 - cos t >= frac<1> ext<.>) Mit (6.1) finden wir also

Der Plot dieser Lösung ist in Abbildung 6.2 dargestellt.

Abbildung 6.2. Plot von (x(t) ext<.>)

Unterabschnitt 6.2.4 Übertragungsfunktionen

Die Laplace-Transformation führt zu dem folgenden nützlichen Konzept zum Studium des stationären Verhaltens eines linearen Systems. Betrachten Sie eine Gleichung der Form

wobei (L) ein linearer Differentialoperator mit konstantem Koeffizienten ist. Dann wird (f(t)) normalerweise als Eingabe des Systems und (x(t)) als Ausgabe des Systems angesehen. Bei einem Masse-Feder-System ist beispielsweise die Eingabe die Kraftfunktion und die Ausgabe das Verhalten der Masse. Wir möchten eine bequeme Möglichkeit haben, das Verhalten des Systems für verschiedene Eingaben zu untersuchen.

Nehmen wir an, dass alle Anfangsbedingungen null sind und nehmen wir die Laplace-Transformation der Gleichung, wir erhalten die Gleichung

Auflösen nach dem Verhältnis ( icefrac) erhalten wir das sogenannte Übertragungsfunktion (H(s) = icefrac<1> ext<,>), das heißt,

Mit anderen Worten, (X(s) = H(s) F(s) ext<.>) Wir erhalten eine algebraische Abhängigkeit der Ausgabe des Systems basierend auf der Eingabe. Wir können nun leicht das stationäre Verhalten des Systems bei verschiedenen Eingaben untersuchen, indem wir einfach mit der Übertragungsfunktion multiplizieren.

Beispiel 6.2.3 .

Gegeben (x'' + omega_0^2 x = f(t) ext<,>) suchen wir die Übertragungsfunktion (vorausgesetzt, die Anfangsbedingungen sind null).

Zuerst nehmen wir die Laplace-Transformation der Gleichung.

Nun lösen wir nach der Übertragungsfunktion ( icefrac ext<.>)

Sehen wir uns an, wie die Übertragungsfunktion verwendet wird. Angenommen, wir haben die konstante Eingabe (f(t) = 1 ext<.>) Also (F(s) = icefrac<1> ext<,>) und

Unter Verwendung der inversen Laplace-Transformation von (X(s)) erhalten wir

Unterabschnitt 6.2.5 Transformationen von Integralen

Ein Merkmal der Laplace-Transformationen ist, dass sie auch mit Integralgleichungen problemlos umgehen können. Das heißt, Gleichungen, in denen Integrale statt Ableitungen von Funktionen auftreten. Die Grundeigenschaft, die durch Anwendung der Definition und partielle Integration bewiesen werden kann, ist

Manchmal ist es nützlich (z. B. für die Berechnung der inversen Transformation), dies zu schreiben als

Beispiel 6.2.4 .

Um (>^ <-1>links ight>) könnten wir fortfahren, indem wir diese Integrationsregel anwenden.

Beispiel 6.2.5 .

Eine Gleichung, die ein Integral der unbekannten Funktion enthält, heißt an Integralgleichung. Nimm zum Beispiel

wobei wir nach (x(t) ext<.>) auflösen wollen. Wir wenden die Laplace-Transformation und die Shifting-Eigenschaft an, um zu erhalten

wobei (X(s) = mathcal igl< x(t) igr> ext<.>) Also

Wir verwenden wieder die Shifting-Eigenschaft

Unterabschnitt 6.2.6 Übungen

Aufgabe 6.2.2.

Schreiben Sie mit der Heaviside-Funktion die stückweise Funktion auf, die 0 ist für (t < 0 ext<,>) (t^2) für (t) in ([0,1]) und (t) für (t > 1 ext<.>)

Aufgabe 6.2.3.

Mit der Laplace-Transformation lösen

wobei (m > 0 ext<,>) (c > 0 ext<,>) (k > 0 ext<,>) und (c^2 - 4km > 0) ( System ist überdämpft).

Aufgabe 6.2.4.

Mit der Laplace-Transformation lösen

wobei (m > 0 ext<,>) (c > 0 ext<,>) (k > 0 ext<,>) und (c^2 - 4km < 0) ( System ist zu schwach).

Aufgabe 6.2.5.

Mit der Laplace-Transformation lösen

wobei (m > 0 ext<,>) (c > 0 ext<,>) (k > 0 ext<,>) und (c^2 = 4km) (System ist kritisch gedämpft).

Aufgabe 6.2.6.

Löse (x'' + x = u(t-1)) für die Anfangsbedingungen (x(0) = 0) und (x'(0) = 0 ext<.>)

Aufgabe 6.2.7.

Zeigen Sie die Differenzierung der Transformationseigenschaft. Angenommen (mathcal igl < f(t) igr>= F(s) ext<,>) dann zeige

Hinweis: Unterscheiden Sie unter dem Integralzeichen.

Aufgabe 6.2.8.

Löse (x''' + x = t^3 u(t-1)) für die Anfangsbedingungen (x(0) = 1) und (x'(0) = 0 ext<,> ) (x''(0) = 0 ext<.>)

Aufgabe 6.2.9 .

Zeigen Sie die zweite Verschiebungseigenschaft: (mathcal igl < f(t-a) , u(t-a) igr>= e^ <-as>mathcal igl< f(t) igr> ext<.>)

Übung 6.2.10 .

Denken wir an das Masse-Feder-System mit einer Rakete aus Beispiel 6.2.2. Wir haben festgestellt, dass die Lösung weiter oszilliert, nachdem die Rakete aufgehört hat zu laufen. Die Amplitude der Schwingung hängt von der Zeit ab, in der die Rakete abgefeuert wurde (im Beispiel für 4 Sekunden).

Finden Sie eine Formel für die Amplitude der resultierenden Schwingung in Bezug auf die Zeit, in der die Rakete abgefeuert wird.

Gibt es eine Zeit ungleich Null (wenn ja, welche?), für die die Rakete feuert und die resultierende Schwingung die Amplitude 0 hat (die Masse bewegt sich nicht)?

Übung 6.2.11 .

Skizzieren Sie den Graphen von (f(t) ext<.>)

Schreiben Sie (f(t)) mit der Heaviside-Funktion auf.

Löse (x''+x=f(t) ext<,>) (x(0)=0 ext<,>) (x'(0) = 0) mit der Laplace-Transformation.

Übung 6.2.12 .

Finden Sie die Übertragungsfunktion für (m x'' + c x' + kx = f(t)) (unter der Annahme, dass die Anfangsbedingungen Null sind).

Aufgabe 6.2.101 .

Schreiben Sie die Funktion mit der Heaviside-Funktion (u(t) ext<,>) auf

(f(t) = (t-1)igl(u(t-1) - u(t-2)igr) + u(t-2))

Aufgabe 6.2.102 .

Löse (x''-x = (t^2-1) u(t-1)) nach Anfangsbedingungen (x(0)=1 ext<,>) (x'(0) = 2) unter Verwendung der Laplace-Transformation.

Aufgabe 6.2.103 .

Finden Sie die Übertragungsfunktion für (x' + x = f(t)) (unter der Annahme, dass die Anfangsbedingungen Null sind).


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