Artikel

1.3.2: Fläche von Dreiecken - Mathematik


Lektion

Verwenden wir unser Wissen über Parallelogramme, um die Fläche von Dreiecken zu bestimmen.

Übung (PageIndex{1}): Erstellen von Parallelogrammen

Hier ist Dreieck M.

Han machte eine Kopie von Dreieck M und komponierte drei verschiedene Parallelogramme unter Verwendung des Originals M und der Kopie, wie hier gezeigt.

  1. Identifiziere für jedes von Han komponierte Parallelogramm eine Basis und eine entsprechende Höhe und schreibe die Maße in die Zeichnung.
  2. Finden Sie die Fläche jedes Parallelogramms, das Han zusammengesetzt hat. Zeigen Sie Ihre Argumentation.

Übung (PageIndex{2}): Mehr Dreiecke

Finden Sie die Flächen von mindestens zwei dieser Dreiecke. Zeigen Sie Ihre Argumentation.

Aufgabe (PageIndex{3}): Zerlegen eines Parallelogramms

  1. Ihr Lehrer gibt Ihnen zwei Kopien eines Parallelogramms. Kleber oder Klebeband eins Kopieren Sie Ihr Parallelogramm hier und finden Sie seinen Bereich. Zeigen Sie Ihre Argumentation.
  2. Zerlegen Sie die zweite Kopie Ihres Parallelogramms, indem Sie entlang der gestrichelten Linien schneiden. Nehmen nur das kleine Dreieck und das Trapez und ordne diese beiden Teile in ein anderes Parallelogramm um. Kleben oder kleben Sie das neu komponierte Parallelogramm auf Ihr Papier.
  3. Finden Sie die Fläche des neuen Parallelogramms, das Sie erstellt haben. Zeigen Sie Ihre Argumentation.
  4. Was fällt Ihnen an der Beziehung zwischen der Fläche dieses neuen Parallelogramms und der ursprünglichen auf?
  5. Wie sieht Ihrer Meinung nach die Fläche des großen Dreiecks im Vergleich zu der des neuen Parallelogramms aus: Ist sie größer, gleich oder kleiner? Warum das?
  6. Kleben oder kleben Sie das verbleibende große Dreieck auf Ihr Papier. Verwenden Sie jeden Teil Ihrer Arbeit, um seinen Bereich zu finden. Zeigen Sie Ihre Argumentation.

Bist du bereit für mehr?

Können Sie dieses Dreieck zerlegen und seine Teile neu anordnen, um ein Rechteck zu bilden? Beschreiben Sie, wie es gemacht werden könnte.

Zusammenfassung

Wir können über die Fläche eines Dreiecks nachdenken, indem wir das verwenden, was wir über Parallelogramme wissen. Hier sind drei allgemeine Möglichkeiten, dies zu tun:

  • Erstellen Sie eine Kopie des Dreiecks und verbinden Sie das Original und die Kopie entlang einer Kante, um ein Parallelogramm zu erstellen. Da die beiden Dreiecke dieselbe Fläche haben, hat eine Kopie des Dreiecks die Hälfte der Fläche dieses Parallelogramms.

Die Fläche des Parallelogramms B beträgt 16 Quadrateinheiten, da die Grundfläche 8 Einheiten und die Höhe 2 Einheiten beträgt. Die Fläche von Dreieck A ist die Hälfte davon, das sind 8 Quadrateinheiten. Die Fläche des Parallelogramms D beträgt 24 Quadrateinheiten, da die Basis 4 Einheiten und die Höhe 6 Einheiten beträgt. Die Fläche von Dreieck C ist die Hälfte davon, also 12 Quadrateinheiten.

  • Zerlegen Sie das Dreieck in kleinere Teile und setzen Sie sie zu einem Parallelogramm zusammen.

Im neuen Parallelogramm (b=6), (h=2) und (6cdot 2=12) beträgt seine Fläche also 12 Quadrateinheiten. Da das ursprüngliche Dreieck und das Parallelogramm aus den gleichen Teilen bestehen, beträgt die Fläche des ursprünglichen Dreiecks ebenfalls 12 Quadrateinheiten.

  • Zeichnen Sie ein Rechteck um das Dreieck. Manchmal hat das Dreieck die Hälfte der Fläche des Rechtecks.

Das große Rechteck kann in kleinere Rechtecke zerlegt werden. Der linke hat die Fläche (4cdot 3) oder 12 Quadrateinheiten; der rechte hat die Fläche (2cdot 3) oder 6 Quadrateinheiten. Das große Dreieck wird ebenfalls in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt. Jedes der rechtwinkligen Dreiecke ist die Hälfte eines kleineren Rechtecks, ihre Flächen sind also 6 Quadrateinheiten und 3 Quadrateinheiten. Das große Dreieck hat eine Fläche von 9 Quadrateinheiten.

Manchmal ist das Dreieck die Hälfte dessen, was vom Rechteck übrig ist, nachdem zwei Kopien der kleineren rechtwinkligen Dreiecke entfernt wurden.

Die zu entfernenden rechtwinkligen Dreiecke lassen sich zu einem kleinen Rechteck mit Flächeneinheiten ((2cdot 3)) zusammensetzen. Übrig bleibt ein Parallelogramm mit der Fläche (5cdot 3-2cdot 3), was (15-6) oder (9) Quadrateinheiten entspricht. Beachten Sie, dass wir das gleiche Parallelogramm mit zwei Kopien des ursprünglichen Dreiecks zusammensetzen können! Das ursprüngliche Dreieck ist die Hälfte des Parallelogramms, seine Fläche ist also (frac{1}{2}cdot 9) oder (4,5) Quadrateinheiten.

Trainieren

Übung (PageIndex{4})

Um die Fläche dieses rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmen, haben Diego und Jada unterschiedliche Strategien verwendet. Diego zog eine Linie durch die Mittelpunkte der beiden längeren Seiten, die das Dreieck in ein Trapez und ein kleineres Dreieck zerlegt. Dann ordnete er die beiden Formen in ein Parallelogramm um.

Jada machte eine Kopie des Dreiecks, drehte es und richtete es an einer Seite des ursprünglichen Dreiecks aus, sodass die beiden Dreiecke ein Parallelogramm ergeben.

  1. Erklären Sie, wie Diego sein Parallelogramm verwenden könnte, um die Fläche des Dreiecks zu bestimmen.
  2. Erklären Sie, wie Jada ihr Parallelogramm verwenden könnte, um die Fläche des Dreiecks zu bestimmen.

Übung (PageIndex{5})

Finden Sie die Fläche des Dreiecks. Erklären oder zeigen Sie Ihre Argumentation.

      Übung (PageIndex{6})

      Welches der drei Dreiecke hat die größte Fläche? Zeigen Sie Ihre Argumentation. Wenn Sie nicht weiterkommen, versuchen Sie es mit dem, was Sie über die Fläche von Parallelogrammen wissen.

      Übung (PageIndex{7})

      Zeichnen Sie von jedem Dreieck eine identische Kopie, sodass die beiden Kopien zusammen ein Parallelogramm bilden. Wenn Sie nicht weiterkommen, sollten Sie Pauspapier verwenden.

      (Ab Lektion 1.3.1)

      Übung (PageIndex{8})

      1. Ein Parallelogramm hat eine Grundfläche von 3,5 Einheiten und eine entsprechende Höhe von 2 Einheiten. Was ist seine Fläche?
      2. Ein Parallelogramm hat eine Basis von 3 Einheiten und eine Fläche von 1,8 Quadrateinheiten. Was ist die entsprechende Höhe für diese Basis?
      3. Ein Parallelogramm hat eine Fläche von 20,4 Quadrateinheiten. Wenn die einer Basis entsprechende Höhe 4 Einheiten beträgt, was ist die Basis?

      (Ab Lektion 1.2.3)


      1.3.2: Fläche von Dreiecken - Mathematik

      In der Geometrie ist ein Dreieck das 3-seitige Polygon mit 3 Kanten und 3 Eckpunkten.

      Die Fläche des Dreiecks ist ein Maß für den Raum, den das Dreieck in der zweidimensionalen Ebene bedeckt.

      In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie die Fläche eines Dreiecks in der Koordinatengeometrie ermitteln.

      Finden der Fläche eines Dreiecks mithilfe von Koordinaten:

      Wenn wir Eckpunkte des Dreiecks haben und die Fläche des Dreiecks ermitteln müssen, können wir die folgenden Schritte ausführen.

      (i) Tragen Sie die Punkte in ein grobes Diagramm ein.

      (ii) Nehmen Sie die Scheitelpunkte gegen den Uhrzeigersinn. Andernfalls liefert die Formel einen  negativen Wert.

      (iii)  Verwenden Sie die unten angegebene Formel

      Fügen Sie auch die diagonalen Produkte hinzu x2 ja1 , x3 ja2  und  x1 ja3  wie in den gepunkteten Pfeilen gezeigt.

      Ziehen Sie nun das letztere Produkt vom ersten Produkt ab, um die Fläche des Dreiecks ABC zu erhalten.

      Die Fläche des Dreiecks ABC ist also


      EIN Median eines Dreiecks ist das Liniensegment zwischen einem Eckpunkt des Dreiecks und dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Jeder Median teilt das Dreieck in zwei flächengleiche Dreiecke. Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mediane.

      Die drei Mediane unterteilen das Dreieck auch in sechs Dreiecke, die jeweils die gleiche Fläche haben.

      Der Schwerpunkt teilt jeden Median in zwei Teile, die immer im Verhältnis 2:1 stehen.

      Der Schwerpunkt hat auch die Eigenschaft, dass

      Dies ist eine Folge der allgemeineren Eigenschaft, dass

      Eine ähnliche Eigenschaft ist die folgende: Wenn eine Linie durch den Schwerpunkt A B AB A B an einem Punkt D D D und A C AC A C an einem Punkt E E E trifft, dann

      Es ist auch möglich, die Länge eines Medians aus den Seitenlängen zu berechnen:

      was eine andere Möglichkeit ist zu zeigen, dass AB 2 + BC 2 + CA 2 = 3 ( GA 2 + GB 2 + GC 2 ) AB^2+BC^2+CA^2=3ig(GA^2+GB^2 +GC^2ig) AB 2 + BC 2 + CA 2 = 3 (GA 2 + GB 2 + GC 2 ) .

      Wie ist das Verhältnis a 2 + b 2 + c 2 d 2 + e 2 + f 2 ? dfrac? d 2 + e 2 + f 2 a 2 + b 2 + c 2 ​ ?


      2.2: Formen komponieren (25 Minuten)

      Aktivität

      In der 3. Klasse erkannten die Schüler, dass der Bereich additiv ist. Sie lernten, die Fläche einer geradlinigen Figur zu finden, indem sie sie in nicht überlappende Rechtecke zerlegten und ihre Flächen addierten. Hier erweitern die Schüler dieses Verständnis auf nicht rechteckige Formen. Sie setzen Tangram-Stücke – bestehend aus Dreiecken und einem Quadrat – zu Formen mit bestimmten Flächen zusammen. Das Quadrat dient als Einheitsquadrat. Da die Schüler nur ein Quadrat haben, müssen sie diese Prinzipien bei ihrer Argumentation anwenden:

      • Können zwei Figuren exakt übereinander gelegt werden, so haben sie die gleiche Fläche.
      • Wenn eine Figur zerlegt und neu angeordnet wird, um eine andere Figur zu bilden, dann entspricht ihre Fläche der Fläche der ursprünglichen Figur.

      Jede Frage in der Aufgabe zielt darauf ab, Diskussionen über diese beiden Prinzipien anzuregen. Obwohl sie offensichtlich erscheinen mögen, müssen diese Prinzipien dennoch explizit (am Ende der Lektion) erwähnt werden, da ein besseres Verständnis des Gebiets der komplexen Figuren von ihnen abhängt.

      Die Bedingungen komponieren, zersetzen, und neu anordnen wird in einer der nächsten Lektionen formalisiert, aber suchen Sie in dieser Lektion nach Gelegenheiten, ihre Verwendung zu demonstrieren, während die Schüler ihre Arbeit mit den Tangram-Stücken beschreiben. Wenn die Schüler „make“ oder „build“, „break“ und „move around“ verwenden, überarbeiten Sie ihre alltäglichen Begriffe mit den formelleren Begriffen.

      Achten Sie während der Arbeit der Schüler darauf, wie sie die Teile zusammensetzen, um Formen mit bestimmten Bereichen zu erstellen. Suchen Sie nach Schülern, deren Argumentation die in der Aktivitätssynthese skizzierten Ideen veranschaulicht.

      Demonstrieren Sie die Verwendung des Wortes „komponieren“, indem Sie den alltäglichen Sprachgebrauch der Schüler wiederholen und dann die formalen Begriffe hier verwenden.

      Start

      Geben Sie jeder Gruppe von 2 Schülern das folgende Set von Tangram-Stücken aus dem Blackline-Meister oder aus handelsüblichen Sets. Beachten Sie, dass sich die hier verwendeten Tangram-Stücke von einem Standardset dadurch unterscheiden, dass anstelle eines Parallelogramms zwei zusätzliche kleine Dreiecke verwendet werden.

      Es ist wichtig, ihnen nicht mehr als diese Stücke zu geben.

      Geben Sie den Schülern 2-3 Minuten Zeit zum Nachdenken für die ersten drei Fragen. Bitten Sie sie, danach innezuhalten und ihre Lösungen mit denen ihres Partners zu vergleichen. Wenn sie für jede Frage dieselbe Form erstellt haben, bitten Sie sie, eine andere Form mit dem gleichen vorgegebenen Bereich zu erstellen, bevor Sie fortfahren. Bitten Sie sie dann, zusammenzuarbeiten, um die verbleibenden Fragen zu beantworten.

      Klassenzimmer, die die digitalen Aktivitäten verwenden, können physische Tangram-Stücke oder ein Applet mit den gleichen Formen verwenden, um die Beziehungen zwischen den Bereichen zu bestimmen. Applet ist von der Arbeit von Harry Drew in GeoGebra adaptiert.

      Dieses Applet hat ein Quadrat und einige kleine, mittlere und große rechtwinklige Dreiecke. Die Fläche des Quadrats beträgt 1 Quadrateinheit.

      Klicken Sie auf eine Form und ziehen Sie, um sie zu verschieben. Greifen Sie den Punkt am Scheitelpunkt und ziehen Sie ihn, um ihn zu drehen.

      Beachten Sie, dass Sie zwei kleine Dreiecke zu einem Quadrat zusammenfügen können. Wie groß ist die Fläche des Quadrats, das aus zwei kleinen Dreiecken besteht? Seien Sie bereit, Ihre Argumentation zu erläutern.

      Verwenden Sie Ihre Formen, um eine neue Form mit einer Fläche von 1 Quadrateinheit zu erstellen, die kein Quadrat ist. Zeichne deine Form auf Papier und beschrifte sie mit ihrer Fläche.

      Verwenden Sie Ihre Formen, um eine neue Form mit einer Fläche von 2 Quadrateinheiten zu erstellen. Zeichne deine Form und beschrifte sie mit ihrer Fläche.

      Verwenden Sie Ihre Formen, um a zu erstellen unterschiedlich Form mit einer Fläche von 2 Quadrateinheiten. Zeichne deine Form und beschrifte sie mit ihrer Fläche.

      Verwenden Sie Ihre Formen, um eine neue Form mit einer Fläche von 4 Quadrateinheiten zu erstellen. Zeichne deine Form und beschrifte sie mit ihrer Fläche.


      Illustrative Mathematik Einheit 6.1, Lektion 8: Fläche von Dreiecken

      Verwenden Sie Ihr Wissen über Parallelogramme, um die Fläche von Dreiecken zu bestimmen. Nachdem Sie die Fragen ausprobiert haben, klicken Sie auf die Schaltflächen, um Antworten und Erklärungen in Text oder Video anzuzeigen.

      Bereich der Dreiecke
      Verwenden wir unser Wissen über Parallelogramme, um die Fläche von Dreiecken zu bestimmen.

      8.1 - Erstellen von Parallelogrammen

      Han machte eine Kopie von Dreieck M und komponierte drei verschiedene Parallelogramme unter Verwendung des Originals M und der Kopie, wie hier gezeigt.

      1. Bestimme für jedes von Han komponierte Parallelogramm eine Basis und eine entsprechende Höhe und schreibe die Maße in die Zeichnung.

      2. Finden Sie die Fläche jedes Parallelogramms, das Han zusammengesetzt hat. Zeigen Sie Ihre Argumentation. Kannst du auch die Fläche des Dreiecks bestimmen?

      1. Während jede Seite eines Parallelogramms eine Basis sein kann, ist es auf einem Gitter Einfacher eine horizontale oder vertikale Seite zu verwenden, damit Sie die entsprechende Höhe leichter finden.

      2. Müssen Sie die Fläche aller Parallelogramme berechnen? Was fällt Ihnen an den Basen und Höhen der Parallelogramme auf? Wie hängen die Grundhöhenmessungen mit dem ursprünglichen rechtwinkligen Dreieck M zusammen?

      1.

      • Sie haben alle das gleiche Zahlenpaar (6 Einheiten und 4 Einheiten) für ihre Basen und Höhen.
      • Sie bestehen alle aus den gleichen Teilen - zwei Kopien des gleichen rechtwinkligen Dreiecks M.
      • Sie alle rufen dazu auf, zerlegt und in ein 6-mal-4-Rechteck neu angeordnet zu werden.

      Das Basen und Höhen der Parallelogramme entsprechen zwei Seiten der rechtwinkligen Dreiecke Zusammensetzen der Parallelogramme.
      Da ein Dreieck ein halbes Parallelogramm abdeckt, ist die Die Fläche des Dreiecks ist die Hälfte der Fläche eines Parallelogramms, oder 12 Quadrateinheiten.

      Finden Sie die Flächen von mindestens zwei der folgenden Dreiecke. Zeigen Sie Ihre Argumentation.

      Dreiecke können zu Parallelogrammen dupliziert werden, deren Fläche mit berechnet werden kann EIN = B · h. Die Fläche jedes Dreiecks entspricht dann der Hälfte der Fläche jedes Parallelogramms. Andere Strategien zur Lösung dieses Problems sind ebenfalls möglich.

      A: Parallelogrammfläche = B · h = 8 × 2 = 16 Quadrateinheiten
      Dreieckfläche = 8 Quadrateinheiten
      B: ½ (7 × 3) = 10½ Quadrateinheiten
      C: ½ (5 × 4) = 10 Quadrateinheiten
      D: ½ (4 × 6) = 12 Quadrateinheiten

      8.3 - Zerlegen eines Parallelogramms

      Drucken Sie die folgenden Parallelogramme aus, skizzieren Sie sie oder kopieren Sie sie mit einem Bildeditor.

      1. Nimm eins Kopie von eins Parallelogramm und bestimme seine Fläche. Zeigen Sie Ihre Argumentation.

      2. Zerlegen Sie eine weitere Kopie Ihres Parallelogramms, indem Sie entlang der gestrichelten Linien schneiden. Nehmen nur das kleine Dreieck und das Trapez und ordne diese beiden Teile in ein anderes Parallelogramm um.

      3. Suchen Sie die Fläche des neuen Parallelogramms, das Sie erstellt haben. Zeigen Sie Ihre Argumentation.

      4. Was fällt Ihnen bei der Beziehung zwischen der Fläche dieses neuen Parallelogramms und der ursprünglichen auf?

      5. Wie sieht Ihrer Meinung nach die Fläche des großen Dreiecks im Vergleich zu der des neuen Parallelogramms aus: Ist sie größer, gleich oder kleiner? Warum das?

      6. Betrachten Sie das verbleibende große Dreieck. Verwenden Sie jeden Teil Ihrer Arbeit, um seinen Bereich zu finden. Zeigen Sie Ihre Argumentation.

      1. Die Flächen aller vier Parallelogramme sind wie folgt:
      A: 10 cm × 8 cm = 80 Quadratzentimeter
      B: 5 cm × 12 cm = 60 Quadratzentimeter
      C: 10 cm × 6 cm = 60 Quadratzentimeter
      D: 4 cm × 10 cm = 40 Quadrat-cm

      2. Die kleinen Dreiecke und Trapeze aus jedem Parallelogramm können wie folgt neu angeordnet werden. Andere Anordnungen sind möglich.

      3. Unter Verwendung der Beschriftungen auf den Trapezen sind die Flächen der neuen Parallelogramme wie folgt:
      A: 10 cm × 4 cm = 40 Quadratzentimeter
      B: 5 cm × 6 cm = 30 Quadratzentimeter
      C: 10 cm × 3 cm = 30 Quadrat-cm
      D: 4 cm × 5 cm = 20 Quadrat-cm

      4. Die neuen Parallelogramme haben alle die halbe Fläche des Originals. Ihre Höhen sind alle halb so hoch wie das Original.

      5. Das große Dreieck hat die selbe Gegend als neues Parallelogramm. Das große Dreieck hat auch die Hälfte der Fläche des ursprünglichen Parallelogramms und kann aus den gleichen Teilen wie das neue Parallelogramm zusammengesetzt werden.

      6: Aus dem oben Gesagten ergeben sich die Flächen der großen Dreiecke wie folgt:
      A: 40 cm²
      B: 30 cm²
      C: 30 cm²
      D: 20 cm²

      Können Sie dieses Dreieck zerlegen und seine Teile neu anordnen, um a . zu bilden? Rechteck? Beschreiben Sie, wie es gemacht werden könnte.

      Um ein Rechteck mit rechtwinkligen Ecken (im Gegensatz zu einem normalen Parallelogramm) zu erhalten, müssen Sie möglicherweise mehr als einen geraden Schnitt machen.

      Machen Sie zwei gerade Schnitte im rechten Winkel zueinander, wie durch die roten gestrichelten Linien gezeigt. Die Dreiecke können dann wie durch die schwarzen Pfeile gezeigt zu einem Rechteck neu angeordnet werden.

      Wir können über die Fläche eines Dreiecks nachdenken, indem wir das verwenden, was wir über Parallelogramme wissen. Hier sind drei allgemeine Möglichkeiten, dies zu tun:

      Erstellen Sie eine Kopie des Dreiecks und verbinden Sie das Original und die Kopie entlang einer Kante, um ein Parallelogramm zu erstellen. Da die beiden Dreiecke dieselbe Fläche haben, hat eine Kopie des Dreiecks die Hälfte der Fläche dieses Parallelogramms.

      Die Fläche des Parallelogramms B beträgt 16 Quadrateinheiten, da die Grundfläche 8 Einheiten beträgt und die Höhe 2 Einheiten beträgt. Die Fläche von Dreieck A ist die Hälfte davon, das sind 8 Quadrateinheiten. Die Fläche des Parallelogramms D beträgt 24 Quadrateinheiten, da die Grundfläche 4 Einheiten beträgt und die Höhe 6 Einheiten beträgt. Die Fläche von Dreieck C ist die Hälfte davon, also 12 Quadrateinheiten.

      Zerlegen Sie das Dreieck in kleinere Teile und setzen Sie sie zu einem Parallelogramm zusammen.

      Im neuen Parallelogramm B = 6, h = 2 und 6 · 2 = 12, also beträgt seine Fläche 12 Quadrateinheiten. Da das ursprüngliche Dreieck und das Parallelogramm aus den gleichen Teilen bestehen, beträgt die Fläche des ursprünglichen Dreiecks ebenfalls 12 Quadrateinheiten.

      Zeichnen Sie ein Rechteck um das Dreieck. Das Dreieck hat die Hälfte der Fläche des Rechtecks.

      Das große Rechteck kann in kleinere Rechtecke zerlegt werden. Die linke hat Fläche 4 · 3 oder 12 Quadrateinheiten die rechte hat Fläche 2 · 3 oder 6 Quadrateinheiten. Das große Dreieck wird ebenfalls in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt. Jedes der rechtwinkligen Dreiecke ist die Hälfte eines kleineren Rechtecks, ihre Flächen sind also 6 Quadrateinheiten und 3 Quadrateinheiten. Das große Dreieck hat eine Fläche von 9 Quadrateinheiten.

      Manchmal ist das Dreieck die Hälfte dessen, was vom Rechteck übrig ist, nachdem zwei Kopien der kleineren rechtwinkligen Dreiecke entfernt wurden.

      Die zu entfernenden rechtwinkligen Dreiecke können zu einem kleinen Rechteck mit Flächeneinheiten (2 · 3) Quadrateinheiten zusammengesetzt werden. Übrig bleibt ein Parallelogramm mit Fläche (5 · 3) - (2 · 3), was 15 - 6 oder 9 Quadrateinheiten entspricht. Beachten Sie, dass wir das gleiche Parallelogramm mit zwei Kopien des ursprünglichen Dreiecks zusammensetzen können! Das ursprüngliche Dreieck ist die Hälfte des Parallelogramms, seine Fläche beträgt also ½ · 9 oder 4,5 Quadrateinheiten.

      1. Um die Fläche dieses rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmen, haben Diego und Jada unterschiedliche Strategien verwendet. Diego zog eine Linie durch die Mittelpunkte der beiden längeren Seiten, die das Dreieck in ein Trapez und ein kleineres Dreieck zerlegt. Dann ordnete er die beiden Formen in ein Parallelogramm um.

      Jada machte eine Kopie des Dreiecks, drehte es und richtete es an einer Seite des ursprünglichen Dreiecks aus, sodass die beiden Dreiecke ein Parallelogramm ergeben.

      A: Erklären Sie, wie Diego sein Parallelogramm verwenden könnte, um die Fläche des Dreiecks zu bestimmen.
      B: Erklären Sie, wie Jada ihr Parallelogramm verwenden könnte, um die Fläche des Dreiecks zu bestimmen.

      A: Diegos Parallelogramm hat die selbe Gegend wie das ursprüngliche Dreieck.
      Das Parallelogramm hat eine Grundfläche von 3 ft und eine Höhe von 4 ft, daher beträgt seine Fläche und die Fläche des ursprünglichen Dreiecks 3 ft × 4 ft = 12 Quadratfuß.

      B: Jadas Parallelogramm istda doppelt so groß des ursprünglichen Dreiecks, bestehend aus 2 Kopien des Dreiecks.
      Das Parallelogramm hat eine Basis von 3 ft und eine Höhe von 8 ft, genau wie zwei Seitenlängen des ursprünglichen Dreiecks.
      Die Fläche des Parallelogramms beträgt 3 ft × 8 ft = 24 Quadratfuß.
      Die Fläche des Dreiecks ist die Hälfte der Fläche von Jadas Parallelogramm, also ½ × 24 = 12 Quadratfuß.

      Beide Strategien führen bei richtiger Anwendung zur gleichen Antwort.

      2. Finden Sie die Fläche jedes Dreiecks. Erklären oder zeigen Sie Ihre Argumentation.

      EIN:
      Die Fläche des Rechtecks ​​und des ursprünglichen Dreiecks beträgt 6 × 2 = 12 Quadrateinheiten.

      B:
      Die Fläche des Parallelogramms, das aus Kopien des Dreiecks besteht, beträgt 4 × 3 = 12 Quadrateinheiten. Das Dreieck bedeckt die Hälfte des Parallelogramms, seine Fläche beträgt also ½ × 12 = 6 Quadrateinheiten.

      3. Welches der drei Dreiecke hat die größte Fläche? Zeigen Sie Ihre Argumentation.

      Wenn Sie nicht weiterkommen, verwenden Sie Ihr Wissen über den Bereich der Parallelogramme als Hilfestellung.

      Alle Dreiecke haben die selbe Gegend.
      Wenn wir Parallelogramme verwenden, um die Fläche der Dreiecke zu ermitteln, hat das erste Dreieck eine Fläche von ½ (5 × 4) = 10 Quadrateinheiten.
      Die durch Kopieren dieser Dreiecke gebildeten Parallelogramme haben alle die gleichen Wertepaare (4 Einheiten und 5 Einheiten) für ihre Basis und Höhe. Daher haben sie alle die gleiche Fläche.

      4. Zeichnen Sie von jedem Dreieck eine identische Kopie, sodass die beiden Kopien zusammen ein Parallelogramm bilden. Wenn Sie nicht weiterkommen, sollten Sie Pauspapier verwenden.

      Dies sind Beispiele für Parallelogramme, die unter Verwendung von Kopien der Dreiecke D, E und F gebildet werden können.

      5. A: Ein Parallelogramm hat eine Basis von 3,5 Einheiten und eine entsprechende Höhe von 2 Einheiten. Was ist seine Fläche?
      B: Ein Parallelogramm hat eine Basis von 3 Einheiten und eine Fläche von 1,8 Quadrateinheiten. Was ist die entsprechende Höhe für diese Basis?
      C: Ein Parallelogramm hat eine Fläche von 20,4 Quadrateinheiten. Wenn die einer Basis entsprechende Höhe 4 Einheiten beträgt, was ist die Basis?

      EIN: EIN = B · h
      EIN = 3,5 Einheiten · 2 Einheiten
      EIN = 7 Quadrateinheiten

      B: EIN = B · h
      1,8 Quadrateinheiten = 3 Einheiten · h
      h = 1,8 Quadrateinheiten ÷ 3 Einheiten
      h = 0,6 Einheiten

      C: EIN = B · h
      20,4 Quadrateinheiten = B · 4 Einheiten
      B = 20,4 Quadrateinheiten ÷ 4 Einheiten
      B = 5,1 Einheiten

      Der Mathematiklehrplan von Open Up Resources kann kostenlos von der Open Up Resources-Website heruntergeladen werden und ist auch bei Illustrative Mathematics erhältlich.

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      Hilfe zur Zuweisung von Dreiecken

      Die Fläche eines Dreiecks ist die Größe des vom Dreieck eingeschlossenen Bereichs. Es gibt eine Vielzahl von Ansätzen, um die Fläche eines Dreiecks zu erklären, abhängig von den gegebenen Daten. Für den Fall, dass Sie feststellen, dass das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist, ist die Fläche die Länge der Basis dupliziert mit der Länge der Höhe.

      Für den Fall, dass Sie die Länge der Basis und die Länge der Höhe kennen, das Dreieck jedoch nachweislich kein rechter Winkel ist, ist die Fläche des Dreiecks gleich der Länge der Basis erhöht um die Länge der Höhe multipliziert durch den Sinus des Winkels zwischen der Fläche eines Dreiecks.

      Falls Sie die Längen jeder der drei Seiten kennen, aber keine Winkel,

      Sie können die Heldenformel verwenden, um die Fläche eines Dreiecks zu berechnen.

      Wenn Sie sich jemals fragen, ob Sie genug Informationen haben, um die Fläche eines Dreiecks zu lösen, denken Sie daran, dass nur diese Kombinationen von Informationen ausreichen: SSS, SAS, AAS, ASA

      Die Fläche eines Dreiecks wird durch die Gleichung ermittelt:

      Fläche=(1/2) Basis x Höhe oder A=(1/2)bh
      Wenn Sie die Basis und die Höhe eines Dreiecks kennen, können Sie seine Fläche berechnen.
      Viele Probleme geben Ihnen jedoch nicht einfach die Höhe der Basis, sondern geben Ihnen die anderen Seiten des Dreiecks und bitten Sie, die Fläche zu berechnen. Wenn Sie ein Dreieck mit der linken Seite = 5, der rechten Seite = 5 und der unteren Seite = 6 haben, müssen wir das Dreieck in der Mitte teilen. Wir können diese neue Trennlinie, die Höhe, berechnen, indem wir den Satz des Pythagoras verwenden. Die Seite ist immer noch 5, aber die Basis ist jetzt in zwei Hälften geteilt, also 3. Wir können A^2 + B^2= C^2 verwenden. Da wir wissen, was A und C sind, können wir B isolieren und nach Höhe auflösen.
      A=3 B=? C=5

      A^2 + B^2= C^2 B^2 isolieren
      B^2 = C^2 - A^2 Sqrt beide Seiten
      Quadrat (B^2) = Quadrat (C^2-A^2) Vereinfachen
      B=Sqrt (C^2 - A^2) Ersetze Variablen durch Zahlen
      B=Quadrat (5^2 - 3^2) Vereinfachen
      B=Quadrat (25-9) Vereinfachen
      B=Quadrat (16) Vereinfachen
      B=4 Höhe =4
      Nachdem wir nun die Höhe gefunden haben und wissen, was die Basis ist, können wir die Fläche berechnen, indem wir Area=1/2(6 x4) Area = 12 doing

      Als Dreiecke wird eine zweidimensional geformte, geschlossene Figur aus drei Seiten und drei Winkeln bezeichnet, die wie folgt demonstriert wird:

      Hier sind a, b und c drei Kanten eines Dreiecks ABC. Nach der Kantengesamteigenschaft eines Dreiecks ist die Summe der Proportionen dieser drei Punkte äquivalent zu 180 °

      Umfang des Dreiecks, P =ein + B + C, wo ein, B, und C sind drei Seiten des Dreiecks.

      Fläche des Dreiecks,, wo B ist die Basis des Dreiecks und h ist die Höhe des Dreiecks.

      Klassifikationen von Dreiecken nach Winkeln:

      Die Dreiecke werden nach ihren Seiten- und Winkelmaßen klassifiziert, die unten angegeben sind:

      Ungleichseitiges Dreieck - Alle Seiten haben unterschiedliche Längenmaße.

      Gleichschenkligen Dreiecks - Mindestens zwei Seitenlängenmaße sind gleich.

      Gleichseitiges Dreieck - Alle Seiten haben gleiche Längenmaße.

      Spitzwinkliges Dreieck - Alle drei Winkel ein , B, und C sind kleiner als 90 °.

      Rechtwinkliges Dreieck- Jeder der Winkel (ein, B, und C) ist genau 90 °. und die verbleibenden zwei Winkel sind kleiner als 90 ° (was zusammen 180 °. ergibt).

      Stumpfwinkliges Dreieck - Jeder der Winkel (ein, B, und C) ist größer als 90 ° und die verbleibenden zwei Winkel sind kleiner als 90 ° (was 180 ° ergibt).

      Gleicheckiges Dreieck - Alle Winkel eines Dreiecks sind gleich 60 °.


      4 Antworten 4

      Da die Basis-$x$-Werte in jedem neuen Dreieck um den Faktor 4/3$ ansteigen, ist das Verhältnis größer $1$ und somit werden die Basen unendlich groß. Die Fläche ist nicht begrenzt.

      Auf dem Bild sieht es so aus, als ob die Dreiecke kleiner werden und sich der $y$-Achse nähern. WENN SO, dann haben Sie eine geometrische Reihe für ihre Fläche, die konvergiert: $sum_^inftyfrac<1><2>frac<6><7>left(frac<3^><4^>-frac<3^n><4^n> ight)=sum_^inftyfrac<1><2>frac<6><7>left(frac<4><3>-1 ight)frac<3^n><4^n>=frac <1><2>frac<6><7>frac<1><3>3=frac<3><7>$

      Die Fläche eines Dreiecks ist die halbe Basis mal Höhe, und da alle Dreiecke die gleiche Höhe haben, ist die gesamt Fläche ist halb gesamt Basis mal Höhe, d.h. $frac 12cdot 1cdot frac 67 = color$

      Die geometrische Reihensummierung ist eine Ablenkung :)

      Hinweis: OP hat eine Mehrdeutigkeit hinterlassen, in welche Richtung die unendlichen Dreiecke gehen, von links nach rechts oder von rechts nach links. Ich habe für beide Fälle geantwortet


      Ich gehe davon aus, dass die Basen des Dreiecks von rechts (bei $x=1$) unbegrenzt auf $x=0$ abnehmen. Dann nimmt die Fläche des Dreiecks von rechts nach links um den Faktor 3/4$ ab. Angenommen, die Gesamtfläche der Dreiecke beträgt $A$. Wenn Sie das größte Dreieck rechts ausschließen, ist der verbleibende Bereich nur eine verkleinerte Version des Originalbilds. Daher ist seine Fläche $frac<3><4>A$. Also können wir $ ext . sagen+frac<3><4>A=A$ $3/28=1/4A$ $A=frac<3><7>$

      Wenn sich die Basen des Dreiecks nach rechts unbegrenzt vergrößern, dann divergiert das Gebiet und wir können es nicht finden.


      Über diese Lektion

      Diese Lektion baut auf früheren Arbeiten der Schüler auf, die Regionen zerlegen und neu anordnen, um Flächen zu finden. Es führt die Schüler zu der Erkenntnis, dass sie zusätzlich zu den Flächenbetrachtungsmethoden aus früheren Lektionen auch das verwenden können, was sie über Parallelogramme wissen (dh dass die Fläche eines Parallelogramms (b⋅h) ist), um über die Fläche der Dreiecke.

      Die Schüler beginnen zu erkennen, dass die Fläche eines Dreiecks die Hälfte der Fläche eines Parallelogramms gleicher Höhe oder gleich der Fläche eines Parallelogramms mit der Hälfte seiner Höhe ist. Sie bauen diese Intuition auf verschiedene Weise auf:

      • indem wir uns daran erinnern, dass zwei Kopien eines Dreiecks zu einem Parallelogramm zusammengesetzt werden können
      • indem man erkennt, dass ein Dreieck in ein Parallelogramm mit der halben Höhe des Dreiecks neu zusammengesetzt werden kann oder
      • indem man indirekt argumentiert, indem man ein oder mehrere Rechtecke mit der gleichen Höhe wie das Dreieck verwendet.

      Sie wenden diese Erkenntnis an, um die Fläche von Dreiecken sowohl innerhalb als auch außerhalb des Rasters zu finden.

      • 8.1 Aufwärmen: Erstellen von Parallelogrammen (10 Minuten)
      • 8.2 Aktivität: Mehr Dreiecke (25 Minuten)
      • 8.3 Optionale Aktivität: Zerlegen eines Parallelogramms (25 Minuten)
        • Enthält "Bist du bereit für mehr?" Erweiterungsproblem
        • Zeichnen Sie ein Diagramm, um zu zeigen, dass die Fläche eines Dreiecks die Hälfte der Fläche eines zugehörigen Parallelogramms ist.
        • Erklären Sie (mündlich und schriftlich) Strategien, um die Grundfläche und Höhe eines zugehörigen Parallelogramms zu verwenden, um die Fläche eines Dreiecks zu bestimmen.

        Lernziele (Schülerorientierung):

        Lernziele (Schülerseite):

        • Band
        • vorgedruckte Belege, geschnitten aus Kopien des Blackline-Masters
        • Kleber oder Klebestifte
        • Geometrie-Toolkits
        • Schüler brauchen Zugang zu Tonband oder Kleber ist es nicht notwendig, beides zu haben.
        • Jede Kopie des Blackline-Masters enthält jeweils zwei Kopien der Parallelogramme A, B, C und D.
        • Bereiten Sie genügend Kopien vor, damit jeder Schüler zwei Kopien eines Parallelogramms erhält.

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        Wir beginnen mit dieser Formel:

        Fläche = ½ × Base × Höhe

        Wir wissen, die Basis ist C, und kann die Höhe berechnen:


        die höhe ist b × sin A

        Was vereinfacht werden kann zu:

        Fläche = 12 bc sin A

        Durch Ändern der Beschriftungen auf dem Dreieck können wir auch Folgendes erhalten:

        Beispiel: Finden Sie heraus, wie viel Land

        Bauer Rigby besitzt ein dreieckiges Stück Land.

        Die Länge des Zauns AB beträgt 150 m. Die Länge des Zauns BC beträgt 231 m.


        2 Antworten 2

        Dies ist ein Spezialfall des Satzes von Routh.

        Im Diagramm wollen wir zunächst die Flächenverhältnisse der drei Dreiecke um das innere Dreieck $dreieck JKL$ mit dem Satz von Menelaos berechnen. Betrachten wir zunächst $dreieck ABE$ und das Menelaos-Liniensegment $DC$, das es durchläuft. Wir haben dann $fracmal fracmal frac=1$ oder $frac=4/3$ basierend auf den angegebenen Cevian-Verhältnissen. Unter Verwendung von Flächenverhältnissen bedeutet dies, dass $[JEC]=4/3 [AJC]$ . Lassen Sie $x=[AJC]$ dann $7/3x=[AEC]$ oder $[AJC]=3/7[AEC]$ . Seit $frac=2$ , wir lassen jetzt $y=[ABE]$ dann $2y=[AEC]$ oder $3y=[ABC]$ so dass $[ABE]=1/3[ABC]$ also $[AEC]= 2/3[ABC]$ . Schließlich erhalten wir $[JAC]=(3/7)(2/3)[ABC]=6/21[ABC]$ .
        Und wir können eine identische Analyse für die verbleibenden Dreiecke $ riangle BKC$ und $ riangle ABL$ durchführen und dasselbe $6/21[ABC]$ für jede Fläche erhalten, was $[JKL]=1/7[ABC]$ ergibt.

        Um die Flächen der blauen Dreiecke zu berechnen, verwenden wir wieder ähnliche Verhältnisse, wir haben $1/3[ABC]=[BKC]+[KFC]$ oder aus den obigen Ergebnissen $1/3[ABC]=3/21 [ABC]+[KFC]$, sodass $[KFC]=1/21[ABC]$ das Viereck $[AJKF]=5/21[ABC]$ verlässt.