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3: Pauli Algebra und Elektrodynamik - Mathematik


  • 3.1: Lorentz-Transformation und Lorentz-Kraft
    Die wichtigste Bedeutung der Pauli-Algebra besteht darin, uns ein Sprungbrett für die Theorie der Spinorräume zu liefern. Es ist jedoch sinnvoll, an dieser Stelle anzuhalten, um zu zeigen, dass uns der bereits entwickelte Formalismus einen effizienten Rahmen für begrenzte, aber wichtige Aspekte der klassischen Elektrodynamik (CED) bietet.
  • 3.2: Das freie Maxwell-Feld

Quantenelektrodynamik

In der Teilchenphysik, Quantenelektrodynamik (QED) ist die relativistische Quantenfeldtheorie der Elektrodynamik. Im Wesentlichen beschreibt sie die Wechselwirkung von Licht und Materie und ist die erste Theorie, bei der eine vollständige Übereinstimmung zwischen Quantenmechanik und spezieller Relativitätstheorie erreicht wird. QED beschreibt mathematisch alle Phänomene, bei denen elektrisch geladene Teilchen durch den Austausch von Photonen wechselwirken und stellt das quantenmäßige Gegenstück zum klassischen Elektromagnetismus dar, das die Wechselwirkung von Materie und Licht vollständig beschreibt.

Technisch lässt sich QED als Störungstheorie des elektromagnetischen Quantenvakuums beschreiben. Richard Feynman nannte es "das Juwel der Physik" wegen seiner extrem genauen Vorhersagen von Größen wie dem anomalen magnetischen Moment des Elektrons und der Lamb-Verschiebung der Energieniveaus von Wasserstoff. [1] : Ch1


3: Pauli Algebra und Elektrodynamik - Mathematik

Wir führen einige Schlüsselformeln der speziellen Relativitätstheorie ein und wenden sie auf die Bewegung eines spinlosen, geladenen Punktteilchens mit Masseneinheit an, das der Lorentzkraft aufgrund eines externen elektromagnetischen Feldes unterliegt.

Pauli Algebra

Ein Element der Pauli-Algebra besteht aus einem komplexen Skalar, sagen wir, und einem dreidimensionalen komplexen Vektor, bezeichnet mit , der also acht reelle Dimensionen hat. Tatsächlich ist dies eine Verallgemeinerung der Quaternionenalgebra, jedoch mit komplexen statt reellen Komponenten. In diesem Artikel nennen wir diese Elemente “spinors.”

Ein Produkt zweier Spinoren ist ein Spinor definiert durch

wobei und die Punkt- bzw. Kreuzprodukte sind. Beachten Sie, dass diese Multiplikation assoziativ ist, was bedeutet, dass wir bei der Multiplikation von drei oder mehr Spinoren keine Klammern benötigen. Aber die Multiplikation ist nicht kommutativ (das Ergebnis hängt von der Reihenfolge der Faktoren ab).

Es gibt zwei wichtige unäre (einargumentäre) Operationen auf Spinoren: Die erste wird als Spiegelung (bezeichnet ) bezeichnet, die das Vorzeichen des Vektorteils ändert, d. h. die zweite nimmt die komplex Konjugierte von und jeder Komponente davon ist bezeichnet. Schließlich lassen wir der Einfachheit halber die Kombination von beiden bezeichnen, d.h. Beachten Sie, dass

die ganz einfach zu überprüfen sind.

Die entsprechende Mathematik Routinen sehen so aus und funktionieren so.

Von nun an betrachten wir einen dreidimensionalen Vektor als Spezialfall eines Spinors, also als Abkürzung für . Wir können leicht verschiedene Funktionen von Spinoren (und von dreidimensionalen Vektoren als Sonderfall) berechnen. Unter der Annahme, dass es sich beispielsweise um einen dreidimensionalen Vektor mit reellen Komponenten handelt, finden wir

wobei die Länge von und ein Einheitsvektor in die gleiche Richtung ist.

Ähnlich ergibt sich für einen dreidimensionalen Vektor mit reinen imaginären Komponenten (die wir in der Form ausdrücken, um die reellen Elemente beizubehalten) die gleiche Art der Entwicklung

wieder wo ist die Länge von und ist ein Einheitsvektor in die gleiche Richtung.

Dies kann leicht wie folgt auf ein komplexes Vektorargument erweitert werden.

Spezielle Relativität

Die Grundidee von Einsteins Theorie besteht darin, Raum und Zeit zu einer einzigen Einheit der Raumzeit zu vereinen, deren “Punkte” (oder Ereignisse) dann repräsentiert werden können durch Real Spinoren vom Typ . Die Trennung zwischen zwei solchen Ereignissen bildet einen sogenannten 4-Vektor, der, wenn er (im Sinne von Spinor) mit seiner eigenen Reflexion multipliziert wird, einen reinen Skalar ergibt. Es wird nun postuliert, dass diese Größe in allen Inertialkoordinatensystemen (d. h. solchen, die sich durch eine feste Rotation und/oder eine Boost—a-Bewegung bei konstanter Geschwindigkeit voneinander unterscheiden) invariant sein muss (mit dem gleichen Wert). Der Einfachheit halber setzt unsere Wahl der Einheiten die Lichtgeschwindigkeit (die in allen Inertialsystemen gleich sein muss) gleich 1.

Die Frage ist: Wie transformieren wir 4-Vektoren von einem Inertialsystem in ein anderes, während wir diese Invarianz beibehalten? Die Antwort liefert

wobei und einen 4-Vektor im alten bzw. neuen Bezugssystem darstellen und ein Spinor sind, so dass . Es ist offensichtlich, dass das real bleibt, wann immer es real ist, und das

wo (die skalare Invariante von ). Dies zeigt, dass in allen Inertialsystemen derselbe Wert vorhanden ist. Die Anforderung, dass die Reflexion eine rahmenunabhängige Operation ist (d. h. für jeden 4-Vektor) führt zu

Daraus können wir sehen, dass sich anders als transformiert, als Beispiel für ein vierdimensionales Kovektor (ein -Vektor, in unserer Notation). Ein weiteres wichtiges Beispiel für einen -Vektor ist der Operator, wobei für den üblichen dreidimensionalen (räumlichen) Gradienten (die Sammlung von , , und partiellen Ableitungen) steht.

Das kann man genau dann zeigen, wenn , wobei ein “reiner” Vektor ist (d. h. dreidimensional, aber potenziell komplexwertig). Dies ist eine völlig allgemeine, aber ziemlich unbequeme Form von glücklicherweise kann man beweisen, dass jede solche als Produkt einer gewöhnlichen dreidimensionalen Drehung und einer Verstärkung ausgedrückt werden kann, wobei und reellwertige Vektoren sind. Um zu sehen, dass dies zu einer gewöhnlichen Drehung des Vektorteils von führt (wobei der Betrag von den Winkel angibt und die Richtung von die Drehachse definiert), betrachten Sie

wo ist die Zerlegung von in Komponenten parallel bzw. senkrecht zu . Beachten Sie, dass kommutiert mit (und jede Funktion davon) folglich durch diese Transformation unverändert bleibt. Auf der anderen Seite und anticommute (d. h. ) impliziert

und folglich der Rest von (8). Man kann also sehen, dass diese Transformation den skalaren Teil eines 4-Vektors intakt lässt und den Vektorteil unter Verwendung von und als Drehachse bzw. Drehwinkel (des alten Rahmens in Bezug auf den neuen) dreht.

Hier kann durch ersetzt werden, wobei und die Einheitsrichtung bzw. die Größe eines dreidimensionalen Vektors (eine Geschwindigkeit des alten Rahmens in Bezug auf den neuen) darstellen. Dies führt zu folgendem vereinfachten (und physikalisch sinnvolleren) Ergebnis eines solchen Boosts, angewendet auf:

Elektromagnetische Felder

Ein 4-Vektor-Feld von zentraler Bedeutung ist das elektromagnetische Potential, wobei und jede Komponente von reellwertige Funktionen eines Raumzeit-Ortes (d. h. von , , , und ) sind. Jetzt kommt ein wichtiger Punkt: Im aktuellen Rahmen ist es physikalisch bedeutungslos, zwei 4-Vektoren zu multiplizieren (wir wüssten nicht, wie man ein solches Produkt von einem Inertialsystem in ein anderes transformiert), aber es ist möglich, einen -Vektor mit . zu multiplizieren einen 4-Vektor, wodurch ein sogenannter gemischter Vektor entsteht. Es ist also durchaus legitim, dies zu tun

Erstellen eines gemischten Vektors, der seine eigene neue Art der Transformation hat (in Kürze gezeigt).

Um die rechte Seite von (12) physikalisch zu interpretieren, stellen wir zunächst die sogenannte Lorenz-Bedingung (oft fälschlicherweise dem berühmteren Lorentz zugeschrieben) von (wir beweisen kurz, dass diese Bedingung rahmeninvariant ist) und identifizieren uns mit , wobei und sind die resultierenden (reellwertigen) elektrischen bzw. magnetischen Felder.

Man kann jetzt ziemlich einfach zeigen, dass sich einfach die beiden Felder drehen. Auf der anderen Seite führt ein Boost dazu, dass

da die Transformation eines gemischten Vektors durch erfolgt. In beiden Fällen (Rotation und Boost) bleibt der Skalaranteil gleich Null, was die Invarianz der Lorenz-Bedingung beweist.

Im Gegensatz zu 4-Vektoren können gemischte Vektoren multipliziert werden, was einen neuen gemischten Vektor ergibt (in Bezug auf seine Transformationseigenschaften). So ist zum Beispiel

sagt uns, dass beide und invariante Skalarfelder sind.

In ähnlicher Weise ergibt die Multiplikation eines 4-Vektors mit einem gemischten Vektor einen 4-Vektor zum Beispiel,

Diesmal muss das Ergebnis gleich der Ladungs-/Stromdichte sein (ein weiterer grundlegender 4-Vektor der Theorie). Dies führt zu einer kompakten Dirac-Algebra-Formulierung der üblichen Maxwell-Gleichungen. Als Beispiel berechnet das folgende Programm das elektromagnetische Feld eines punktförmigen massiven Teilchens einer Einheitsladung, das sich mit gleichmäßiger Geschwindigkeit entlang der Achse bewegt, und überprüft auch, ob das Ergebnis die Maxwell-Gleichungen erfüllt.

Dynamik eines punktförmigen geladenen Teilchens

Wir wählen Einheiten, in denen sowohl die Ruhemasse als auch die Ladung des Teilchens gleich 1 sind. Sein momentaner Ort wird mit bezeichnet, wobei die drei Komponenten von Funktionen von sind. Um die nachfolgenden Gleichungen rahmenunabhängig zu machen (mit der gleichen Form in allen Inertialsystemen), müssen wir nun die sogenannte Eigenzeit des Teilchens um . einführen

Wir wissen bereits, dass Transformationen als 4-Vektor , also relativistisch invariant sind (der Dot-Over impliziert Differenzierung nach ). Die Eigenzeit wird dann durch das entsprechende Integral berechnet, nämlich

der, da er eine “Summe” von invarianten Größen ist, auch ein invarianter Skalar ist. Dies impliziert, dass

als 4-Vektor transformiert (wir nennen es den 4-Impuls des bewegten Teilchens).

Die Bewegung des geladenen Teilchens in einem gegebenen elektromagnetischen Feld kann nun durch Lösen von

wobei die rechte Seite die sogenannte Lorentzkraft ist und “” den reellen Teil ihres Arguments übernimmt (ebenfalls ein 4-Vektor). Beachten Sie, dass “”, das auf einen 4-Vektor angewendet wird, ein 4-Vektor bleibt (da sich die komplex Konjugierte eines 4-Vektors als 4-Vektor transformiert, wie man leicht überprüfen kann).

Basierend auf (18) ist die rechte Seite von (19) gleich

Für ein Teilchen mit einer negativen Einheitsladung würde das Vorzeichen dieses 4-Vektors umgekehrt werden.

Eine Möglichkeit, die resultierende 4-Vektor-Gleichung zu lösen, besteht darin, die linke Seite von (19) zu erweitern:

die gleich (20) sein muss. Wenn wir den Skalarfaktor von aufheben, erhalten wir

Schließlich kann der erste (skalare Teil) dieser vier Gleichungen erhalten werden, indem das Skalarprodukt der verbleibenden drei Gleichungen (der Vektorteil) und gebildet wird, und ist daher redundant. Alles was wir am Ende lösen müssen ist

oder äquivalent (durch Auflösen nach ),

deren Richtigkeit leicht überprüft werden kann, indem man dies in die linke Seite von (23) einsetzt und die rechte Seite erhält. Diese Gleichungen können im Allgemeinen nur numerisch gelöst werden. Das Ergebnis wird eine dreikomponentige Funktion einer rahmenabhängigen Zeit sein (die Eigenzeit wurde nur als Zwischenwerkzeug verwendet, um die Übereinstimmung zwischen Inertialbezugssystemen sicherzustellen, unsere Lösung bleibt in jedem anderen solchen Rahmen nach der entsprechenden Transformation korrekt). Das folgende Programm findet die Bewegung eines negativ geladenen Teilchens (ausgewählt, weil eine Anziehungskraft den resultierenden Weg im Vergleich zur Abstoßung gleicher Ladung interessanter macht) im Feld des vorherigen Abschnitts.

Das ursprünglich stationäre Masseneinheitsteilchen wurde von dem sich bewegenden massiven Teilchen (von dem angenommen wird, dass es so schwer ist, dass seine eigene Bewegung nicht beeinträchtigt wird) “gefangen” und wird es weiterhin umkreisen (während es seiner gleichförmigen Bewegung folgt). Es ist wichtig zu erkennen, dass diese Formulierung des Problems die Tatsache ignoriert hat, dass ein sich bewegendes Teilchen ein eigenes elektromagnetisches Feld erzeugt (und ausstrahlt), das seine Bewegung weiter modifizieren würde. Noch wichtiger ist, dass wir auch wissen, dass die Welt auf atomarer Ebene von der Quantenmechanik regiert wird, was letztendlich zu einer völlig anderen Beschreibung eines umlaufenden Teilchens führt. Aus diesem Grund ist die letzte Lösung nur von mathematischem Interesse. Unter einer Vielzahl von Anfangsbedingungen würde das leichte Teilchen angezogen, um mit dem schweren zu kollidieren.

Bewegung in einem konstanten elektromagnetischen Feld

Es wird einfacher, wenn und beides konstante Felder (in Raum und Zeit) sind. Man kann dann ausdrücken als , wobei der Anfangswert des 4-Impulses des Teilchens ist, und ein Spinor analog dazu (anstatt 4-Vektoren zwischen Inertialsystemen zu transformieren) zu seiner aktuellen Position fortschreitet. Diesmal finden wir es bequemer , beides und Funktionen der Eigenzeit zu machen . Auch darf man nicht vergessen, die Bedingung zu erfüllen, die dann automatisch von allen zukünftigen Zeiten eingehalten wird.

Erweitern der rechten Seite von (19) ergibt

Dies sollte der linken Seite von (19) entsprechen, nämlich

die offensichtliche Lösung haben having

eine Funktion eines gemischten Vektors wird als gemischter Vektor transformiert. Nach der Berechnung und folglich müssen wir nur noch diesen letzten Ausdruck integrieren, um eine Lösung für zu erhalten. Es folgt ein einfaches Beispiel.

In diesem Beispiel konnten wir eine explizite analytische Lösung erhalten.


Die gebräuchlichste Beschreibung des elektromagnetischen Feldes verwendet zwei dreidimensionale Vektorfelder, die als elektrisches Feld und magnetisches Feld bezeichnet werden. Diese Vektorfelder haben an jedem Punkt von Raum und Zeit jeweils einen Wert definiert und werden daher oft als Funktionen der Raum- und Zeitkoordinaten angesehen. Daher werden sie oft geschrieben als E(x, ja, z, T) (elektrisches Feld) und B(x, ja, z, T) (Magnetfeld).

Wenn nur das elektrische Feld (E) ungleich Null und zeitlich konstant ist, wird das Feld als elektrostatisches Feld bezeichnet. Ebenso, wenn nur das Magnetfeld (B) ungleich Null und zeitlich konstant ist, wird das Feld als magnetostatisches Feld bezeichnet. Wenn jedoch entweder das elektrische oder das magnetische Feld eine Zeitabhängigkeit aufweist, müssen beide Felder zusammen mit den Maxwell-Gleichungen als gekoppeltes elektromagnetisches Feld betrachtet werden.

Maxwell-Gleichungen im Vektorfeld-Ansatz Bearbeiten

Das Verhalten elektrischer und magnetischer Felder, sei es bei Elektrostatik, Magnetostatik oder Elektrodynamik (elektromagnetische Felder), wird durch die Maxwell-Gleichungen bestimmt:

Maxwell-Gleichungen (Vektorfelder)
∇ ⋅ E = ρ ε 0 =>>> Gaußsches Gesetz
∇ ⋅ B = 0 =0> Gaußsches Gesetz für Magnetismus
∇ × E = − ∂ B ∂ t =- >>> Faradaysches Gesetz
∇ × B = μ 0 J + μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t =mu_<0>mathbf +mu_<0>varepsilon_<0> >>> Ampère-Maxwell-Gesetz

wo ρ ist die Ladungsdichte, die zeit- und ortsabhängig sein kann (und oft auch tut), ε0 ist die elektrische Konstante, μ0 die magnetische Konstante ist und J ist der Strom pro Flächeneinheit, auch eine Funktion von Zeit und Position. Die Gleichungen nehmen diese Form mit dem Internationalen Mengensystem an.

Wenn es sich nur um nichtdispersive isotrope lineare Materialien handelt, werden die Maxwell-Gleichungen oft modifiziert, um gebundene Ladungen zu ignorieren, indem die Permeabilität und Permittivität des freien Raums durch die Permeabilität und Permittivität des fraglichen linearen Materials ersetzt wird. Bei einigen Materialien mit komplexeren Reaktionen auf elektromagnetische Felder können diese Eigenschaften durch Tensoren dargestellt werden, wobei die Zeitabhängigkeit von der Fähigkeit des Materials abhängt, auf schnelle Feldänderungen zu reagieren (Dispersion (Optik), Green-Kubo-Beziehungen) und möglicherweise auch Feldabhängigkeiten, die nichtlineare und/oder nichtlokale Materialantworten auf Felder mit großer Amplitude darstellen (nichtlineare Optik).

Bei der Verwendung und Berechnung von elektrischen und magnetischen Feldern berechnet der verwendete Ansatz oft zuerst ein zugehöriges Potenzial: das elektrische Potenzial, φ , für das elektrische Feld und das magnetische Vektorpotential, EIN, für das Magnetfeld. Das elektrische Potential ist ein skalares Feld, während das magnetische Potential ein Vektorfeld ist. Aus diesem Grund wird das elektrische Potenzial manchmal als Skalarpotenzial und das magnetische Potenzial als Vektorpotenzial bezeichnet. Diese Potenziale können verwendet werden, um die zugehörigen Felder wie folgt zu finden:

Maxwell-Gleichungen in der Potentialformulierung Bearbeiten

Diese Beziehungen können in die Maxwell-Gleichungen eingesetzt werden, um letztere in Form der Potentiale auszudrücken. Das Faradaysche Gesetz und das Gaußsche Gesetz für Magnetismus reduzieren sich auf Identitäten (z. B. im Fall des Gaußschen Gesetzes für Magnetismus 0 = 0). Die anderen beiden Gleichungen von Maxwell fallen weniger einfach aus.

Diese Gleichungen zusammengenommen sind so mächtig und vollständig wie die Maxwell-Gleichungen. Darüber hinaus wurde das Problem etwas reduziert, da das elektrische und das magnetische Feld zusammen sechs Komponenten zu lösen hatten. [1] In der Potentialformulierung gibt es nur vier Komponenten: das elektrische Potential und die drei Komponenten des Vektorpotentials. Die Gleichungen sind jedoch unübersichtlicher als die Maxwell-Gleichungen, die elektrische und magnetische Felder verwenden.

Freiheit messen Bearbeiten

Diese Gleichungen können vereinfacht werden, indem man sich die Tatsache zunutze macht, dass die elektrischen und magnetischen Felder physikalisch sinnvolle Größen sind, die gemessen werden können, die Potentiale jedoch nicht. Es besteht die Freiheit, die Form der Potentiale einzuschränken, vorausgesetzt, dass dies die resultierenden elektrischen und magnetischen Felder nicht beeinflusst, genannt Eichfreiheit. Speziell für diese Gleichungen, für jede Wahl einer zweimal differenzierbaren Skalarfunktion von Ort und Zeit λ, Wenn (φ, EIN) eine Lösung für ein gegebenes System ist, dann auch ein anderes Potential (φ′, EIN′) gegeben von:

Diese Freiheit kann genutzt werden, um die mögliche Formulierung zu vereinfachen. Typischerweise wird eine von zwei dieser Skalarfunktionen gewählt: die Coulomb-Eichung und die Lorenz-Eichung.

Coulomb-Anzeige Bearbeiten

Diese Funktionswahl führt zu folgender Formulierung der Maxwell-Gleichungen:

Einige Merkmale der Maxwell-Gleichungen in der Coulomb-Eichung sind wie folgt. Erstens ist das Auflösen nach dem elektrischen Potenzial sehr einfach, da die Gleichung eine Version der Poisson-Gleichung ist. Zweitens ist die Auflösung nach dem magnetischen Vektorpotential besonders schwierig. Dies ist der große Nachteil dieses Messgeräts. Das dritte, was nicht sofort offensichtlich ist, ist, dass sich das elektrische Potenzial als Reaktion auf eine Änderung der Bedingungen an einem Ort überall sofort ändert.

Wenn beispielsweise um 13 Uhr Ortszeit in New York eine Ladung bewegt wird, würde ein hypothetischer Beobachter in Australien, der das elektrische Potenzial direkt messen könnte, eine Änderung des Potenzials um 13 Uhr New Yorker Zeit messen. Dies verletzt scheinbar die Kausalität in der speziellen Relativitätstheorie, d. h. die Unmöglichkeit von Informationen, Signalen oder irgendetwas, das sich schneller als Lichtgeschwindigkeit bewegt. Die Lösung dieses scheinbaren Problems liegt in der Tatsache, dass, wie bereits erwähnt, kein Beobachter die Potentiale messen kann, die er in den elektrischen und magnetischen Feldern misst. Also die Kombination aus φ undEIN/∂T die bei der Bestimmung des elektrischen Feldes verwendet wird, stellt die durch die spezielle Relativitätstheorie für das elektrische Feld auferlegte Geschwindigkeitsbegrenzung wieder her, wodurch alle beobachtbaren Größen mit der Relativität vereinbar sind.

Lorenz-Spurzustand Bearbeiten

Eine häufig verwendete Spurweite ist die Lorenz Spurweite. Dabei ist die Skalarfunktion λ ist so gewählt, dass

bedeutet, dass λ muss die Gleichung erfüllen

Die Lorenz-Eichung ergibt die folgende Form der Maxwell-Gleichungen:

Der Operator ◻ 2 > wird d'Alembertian genannt (manche Autoren bezeichnen dies nur mit dem Quadrat ◻ ). Diese Gleichungen sind inhomogene Versionen der Wellengleichung, wobei die Terme auf der rechten Seite der Gleichung als Quellfunktionen für die Welle dienen. Wie bei jeder Wellengleichung führen diese Gleichungen zu zwei Arten von Lösungen: fortgeschrittene Potenziale (die sich auf die Konfiguration der Quellen zu zukünftigen Zeitpunkten beziehen) und retardierte Potenziale (die auf die vergangene Konfiguration der Quellen bezogen sind). erstere werden in der Regel vernachlässigt, wenn das Feld aus einer Kausalitätsperspektive analysiert werden soll.

Wie oben erwähnt, ist die Lorenz-Eichung nicht gültiger als jede andere, da die Potentiale nicht direkt gemessen werden können, jedoch hat die Lorenz-Eichung den Vorteil, dass die Gleichungen Lorentz-invariant sind.

Erweiterung zur Quantenelektrodynamik Bearbeiten

Die kanonische Quantisierung der elektromagnetischen Felder erfolgt durch Anheben der Skalar- und Vektorpotentiale φ(x), EIN(x), von Feldern zu Feldoperatoren. Ersetzen 1/C 2 = ε0μ0 in die vorherigen Lorenz-Eichgleichungen ergibt:

Hier, J und ρ sind die Strom- und Ladungsdichte der Materiefeld. Wenn das Materiefeld so genommen wird, dass es die Wechselwirkung elektromagnetischer Felder mit dem Dirac-Elektron beschreibt, die durch das vierkomponentige Dirac-Spinorfeld gegeben ist ψ, haben die Strom- und Ladungsdichten die Form: [2]

wo α sind die ersten drei Dirac-Matrizen. Damit können wir die Maxwell-Gleichungen umschreiben als:

Dies ist die Form, die in der Quantenelektrodynamik verwendet wird.

Analog zur Tensorformulierung werden zwei Objekte eingeführt, eines für das Feld und eines für den Strom. In der geometrischen Algebra (GA) sind dies Multivektoren. Der Feldmultivektor, bekannt als Riemann-Silberstein-Vektor, ist

und der aktuelle Multivektor ist

Maxwell-Gleichungen werden auf die einzige Gleichung reduziert [3]

In drei Dimensionen hat das Derivat eine spezielle Struktur, die die Einführung eines Kreuzprodukts ermöglicht:

woraus leicht ersichtlich ist, dass das Gaußsche Gesetz der skalare Teil, das Ampère-Maxwell-Gesetz der Vektorteil, das Faradaysche Gesetz der Pseudovektorteil und das Gaußsche Magnetismusgesetz der pseudoskalare Teil der Gleichung ist. Nach dem Erweitern und Umordnen kann dies geschrieben werden als

Der Riemann–Silberstein wird zum Bivektor

und aus Ladung und Stromdichte wird ein Vektor a

Maxwell-Gleichungen reduzieren sich auf die Einzelgleichung

Feld 2-Formular Bearbeiten

Im freien Raum, wo ε = ε0 und μ = μ0 überall konstant sind, vereinfachen sich die Maxwell-Gleichungen erheblich, wenn man die Sprache der Differentialgeometrie und Differentialformen verwendet. Im Folgenden werden cgs-Gauss-Einheiten, keine SI-Einheiten verwendet. (Zur Umrechnung in SI siehe hier.) Die elektrischen und magnetischen Felder werden nun gemeinsam durch eine 2-Form beschrieben F in einer 4-dimensionalen Raumzeitmannigfaltigkeit. Der Faraday-Tensor F μ ν > (elektromagnetischer Tensor) lässt sich als 2-Form im Minkowski-Raum mit metrischer Signatur (− + + +) schreiben als

Die quellfreien Gleichungen können durch die Wirkung der äußeren Ableitung auf diese 2-Form geschrieben werden. Aber für die Gleichungen mit Quelltermen (Gauss'sches Gesetz und die Ampère-Maxwell-Gleichung) wird das Hodge-Dual dieser 2-Form benötigt. Der Hodge-Sternoperator nimmt ein P-Form zu einem ( nP )-Form, wobei n ist die Anzahl der Dimensionen. Hier nimmt es die 2-Form (F) und gibt eine weitere 2-Form (in vier Dimensionen, nP = 4 − 2 = 2 ). Für die Basiskotangensvektoren ist das Hodge-Dual gegeben als (siehe Hodge-Sternoperator § Vier Dimensionen)

usw. Unter Verwendung dieser Beziehungen ist das Dual der Faraday-2-Form der Maxwell-Tensor,

Strom 3-Form, Dual-Strom 1-Form Bearbeiten

Hier die 3-Form J heißt der Stromform oder aktuelle 3-Form:

mit der entsprechenden dualen 1-Form:

Die Maxwell-Gleichungen reduzieren sich dann auf die Bianchi-Identität bzw. die Quellgleichung: [4]

wobei d die äußere Ableitung bezeichnet – ein natürlicher koordinaten- und metrisch-unabhängiger Differentialoperator, der auf Formen wirkt, und der (duale) Hodge-Sternoperator ⋆ > eine lineare Transformation aus dem Raum der 2-Formen nach ist der Raum der (4 − 2)-Formen definiert durch die Metrik im Minkowski-Raum (in vier Dimensionen sogar durch jede dieser Metrik konforme Metrik). Die Felder sind in natürlichen Einheiten angegeben, wobei 1/4πε0 = 1 .

Da d 2 = 0 ist die 3-Form J erfüllt die Stromerhaltung (Stetigkeitsgleichung):

Die aktuelle 3-Form kann über einen 3-dimensionalen Raum-Zeit-Bereich integriert werden. Die physikalische Interpretation dieses Integrals ist die Ladung in dieser Region, wenn sie raumartig ist, oder die Ladungsmenge, die in einer bestimmten Zeit durch eine Oberfläche fließt, wenn diese Region eine raumartige Oberfläche durch ein zeitartiges Intervall ist. Da die äußere Ableitung auf jeder Mannigfaltigkeit definiert ist, ist die Differentialformversion der Bianchi-Identität für jede 4-dimensionale Mannigfaltigkeit sinnvoll, während die Quellgleichung definiert ist, wenn die Mannigfaltigkeit orientiert ist und eine Lorentz-Metrik hat. Insbesondere die Differentialformversion der Maxwell-Gleichungen ist eine bequeme und intuitive Formulierung der Maxwell-Gleichungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Linearer makroskopischer Einfluss von Materie Bearbeiten

In einer linearen, makroskopischen Theorie wird der Einfluss von Materie auf das elektromagnetische Feld durch eine allgemeinere lineare Transformation im Raum der 2-Formen beschrieben. Wir nennen

die konstitutive Transformation. Die Rolle dieser Transformation ist vergleichbar mit der Hodge-Dualitätstransformation. Die Maxwell-Gleichungen in Gegenwart von Materie lauten dann:

wobei die aktuelle 3-Form J erfüllt immer noch die Kontinuitätsgleichung dJ = 0 .

Wenn die Felder als Linearkombinationen (von äußeren Produkten) von Basisformen ausgedrückt werden θ P ,

die konstitutive Beziehung hat die Form

wobei die Feldkoeffizientenfunktionen in den Indizes antisymmetrisch und die konstitutiven Koeffizienten in den entsprechenden Paaren antisymmetrisch sind. Insbesondere erhält man die Hodge-Dualitätstransformation, die zu den oben diskutierten Vakuumgleichungen führt, indem man

welcher bis auf die Skalierung der einzige invariante Tensor dieses Typs ist, der mit der Metrik definiert werden kann.

In dieser Formulierung verallgemeinert sich Elektromagnetismus sofort auf jede 4-dimensionale orientierte Mannigfaltigkeit oder mit kleinen Anpassungen auf jede Mannigfaltigkeit.

Alternative Metriksignatur Bearbeiten

Die Faradaysche Krümmung 2-Form wird zu

und der Maxwell-Tensor wird

Die aktuelle 3-Form J ist

und die entsprechende duale 1-Form ist

Die aktuelle Norm ist jetzt positiv und gleich

Traditionelle Formulierung Bearbeiten

Materie und Energie erzeugen eine Krümmung der Raumzeit. Dies ist Gegenstand der Allgemeinen Relativitätstheorie. Die Krümmung der Raumzeit beeinflusst die Elektrodynamik. Ein elektromagnetisches Feld mit Energie und Impuls erzeugt auch eine Krümmung in der Raumzeit. Die Maxwell-Gleichungen in der gekrümmten Raumzeit können erhalten werden, indem die Ableitungen in den Gleichungen in der flachen Raumzeit durch kovariante Ableitungen ersetzt werden. (Ob dies die geeignete Verallgemeinerung ist, erfordert eine gesonderte Untersuchung.) Die quellenbezogenen und quellenfreien Gleichungen werden (cgs-Gauss-Einheiten):

ist ein Christoffel-Symbol, das die Krümmung der Raumzeit charakterisiert und ∇α ist die kovariante Ableitung.

Formulierung in Form von Differentialformen Bearbeiten

Die Formulierung der Maxwell-Gleichungen in Form von Differentialformen kann ohne Änderung der Allgemeinen Relativitätstheorie verwendet werden. Die Äquivalenz der traditionelleren allgemeinen relativistischen Formulierung unter Verwendung der kovarianten Ableitung mit der Differentialformformulierung kann wie folgt gesehen werden. Wählen Sie lokale Koordinaten x α was eine Basis von 1-Formen d . ergibtx α in jedem Punkt der offenen Menge, in dem die Koordinaten definiert sind. Mit dieser Basis und cgs-Gaußschen Einheiten definieren wir

  • Der antisymmetrische Feldtensor Fαβ, entsprechend dem Feld 2-Form F
  • Die infinitesimale 3-Form des Stromvektors J

Der mit der Differential-3-Form kontrahierte Epsilon-Tensor erzeugt die 6-fache Anzahl der erforderlichen Terme.

Hier g ist wie üblich die Determinante der Matrix, die den metrischen Tensor darstellt, gαβ. Eine kleine Berechnung, die die Symmetrie der Christoffel-Symbole (d. h. die Torsionsfreiheit der Levi-Civita-Verbindung) und die kovariante Konstante des Hodge-Sternoperators verwendet, zeigt dann, dass in dieser Koordinatenumgebung gilt:

Eine elegante und intuitive Möglichkeit, die Maxwell-Gleichungen zu formulieren, besteht darin, komplexe Linienbündel oder ein Haupt-U(1)-Bündel zu verwenden, auf deren Fasern U(1) regelmäßig einwirkt. Die Haupt-U(1)-Verbindung ∇ auf dem Linienbündel hat eine Krümmung F = ∇ 2, was eine Zweierform ist, die automatisch d . erfülltF = 0 und kann als Feldstärke interpretiert werden. Wenn das Linienbündel mit flacher Referenzverbindung trivial ist D wir können schreiben ∇ = d + EIN und F = dEIN mit EIN die 1-Form besteht aus dem elektrischen Potential und dem magnetischen Vektorpotential.

In der Quantenmechanik wird die Verbindung selbst verwendet, um die Dynamik des Systems zu definieren. Diese Formulierung erlaubt eine natürliche Beschreibung des Aharonov-Bohm-Effekts. In diesem Experiment verläuft ein statisches Magnetfeld durch einen langen Magnetdraht (z. B. einen längsmagnetisierten Eisendraht). Außerhalb dieses Drahtes ist die magnetische Induktion Null, im Gegensatz zum Vektorpotential, das im Wesentlichen vom magnetischen Fluss durch den Drahtquerschnitt abhängt und nach außen nicht verschwindet. Da auch kein elektrisches Feld vorhanden ist, ist der Maxwell-Tensor F = 0 im gesamten Raum-Zeit-Bereich außerhalb der Röhre, während des Experiments. Dies bedeutet per Definition, dass die Verbindung ∇ dort flach ist.

Die Verbindung hängt jedoch, wie erwähnt, vom Magnetfeld durch die Röhre ab, da die Holonomie entlang einer nicht zusammenziehbaren Kurve, die die Röhre umgibt, der magnetische Fluss durch die Röhre in den richtigen Einheiten ist. Dies kann quantenmechanisch mit einem Doppelspalt-Elektronenbeugungsexperiment an einer um die Röhre wandernden Elektronenwelle nachgewiesen werden. Die Holonomie entspricht einer zusätzlichen Phasenverschiebung, die zu einer Verschiebung des Beugungsmusters führt. [6] [7]

Im Folgenden sind die Gründe für die Verwendung jeder dieser Formulierungen aufgeführt.

Mögliche Formulierung Bearbeiten formulation

In der fortgeschrittenen klassischen Mechanik ist es oft nützlich und in der Quantenmechanik oft unerlässlich, die Maxwell-Gleichungen in a . auszudrücken mögliche Formulierung unter Einbeziehung des elektrischen Potentials (auch Skalarpotential genannt) φ, und das magnetische Potential (ein Vektorpotential) EIN. Zum Beispiel nutzt die Analyse von Funkantennen die Maxwell-Vektor- und Skalarpotentiale voll aus, um die Variablen zu trennen, eine übliche Technik, die bei der Formulierung der Lösungen von Differentialgleichungen verwendet wird. Die Potentiale können eingeführt werden, indem man das Poincaré-Lemma auf die homogenen Gleichungen verwendet, um sie universell zu lösen (dies setzt voraus, dass wir einen topologisch einfachen, z. B. kontrahierbaren Raum betrachten). Die Potentiale sind wie in der obigen Tabelle definiert. Alternativ definieren diese Gleichungen E und B hinsichtlich der elektrischen und magnetischen Potentiale, die dann die homogenen Gleichungen für E und B als Identitäten. Die Substitution liefert die inhomogenen Maxwell-Gleichungen in potentieller Form.

Viele verschiedene Auswahlmöglichkeiten von EIN und φ stimmen mit gegebenen beobachtbaren elektrischen und magnetischen Feldern überein E und B, also scheinen die Potenziale mehr, (klassisch) nicht beobachtbare Informationen zu enthalten. Die Nichteindeutigkeit der Potenziale ist jedoch gut bekannt. Für jede Skalarfunktion von Position und Zeit λ(x, T) können die Potentiale durch eine Eichtransformation verändert werden als

ohne das elektrische und magnetische Feld zu verändern. Zwei Paare von eichtransformierten Potentialen (φ, EIN) und (φ′, EIN') werden genannt Spuräquivalent, und die Freiheit, ein beliebiges Potentialpaar in seiner Eichäquivalenzklasse auszuwählen, wird Eichfreiheit genannt. Wiederum nach dem Poincaré-Lemma (und unter seinen Annahmen) ist Eichfreiheit die einzige Quelle der Unbestimmtheit, daher ist die Feldformulierung äquivalent zur Potentialformulierung, wenn wir die Potentialgleichungen als Gleichungen für Eichäquivalenzklassen betrachten.

Die Potentialgleichungen können mit einem Verfahren namens Eichfixierung vereinfacht werden. Da die Potentiale nur bis zur Eichäquivalenz definiert sind, steht es uns frei, den Potentialen zusätzliche Gleichungen aufzuerlegen, solange es für jedes Potentialpaar ein Eichäquivalentpaar gibt, das die zusätzlichen Gleichungen erfüllt (dh wenn die Eichfixierungsgleichungen a Slice auf die Gauge-Aktion). Die eichfesten Potentiale haben immer noch eine Eichfreiheit unter allen Eichtransformationen, die die Eichfixierungsgleichungen invariant lassen. Die Untersuchung der Potentialgleichungen legt zwei natürliche Möglichkeiten nahe. In der Coulomb-Skala verhängen wir EIN = 0, was meistens bei der Magnetostatik verwendet wird, wenn wir die vernachlässigen können C −2 ∂ 2 EIN/∂T 2 Begriff. In der Spur Lorenz (benannt nach dem Dänen Ludvig Lorenz) erzwingen wir

Die Lorenz-Eichbedingung hat den Vorteil, dass sie Lorentz-invariant ist und zu Lorentz-invarianten Gleichungen für die Potentiale führt.

Offensichtlich kovarianter (Tensor) Ansatz Bearbeiten

Die Maxwell-Gleichungen sind exakt mit der speziellen Relativitätstheorie vereinbar, d. h. wenn sie in einem Inertialsystem gültig sind, dann sind sie automatisch auch in jedem anderen Inertialsystem gültig. Tatsächlich waren die Maxwell-Gleichungen entscheidend für die historische Entwicklung der speziellen Relativitätstheorie. Allerdings ist bei der üblichen Formulierung der Maxwell-Gleichungen deren Konsistenz mit der speziellen Relativitätstheorie nicht offensichtlich, sondern nur durch eine aufwendige Rechnung nachweisbar.

Betrachten Sie zum Beispiel einen Leiter, der sich im Feld eines Magneten bewegt. [8] Im Rahmen des Magneten erfährt dieser Leiter a magnetisch Gewalt. Im Rahmen eines relativ zum Magneten bewegten Leiters erfährt der Leiter jedoch eine Kraft aufgrund einer elektrisch Feld. Die Bewegung ist in diesen beiden unterschiedlichen Bezugssystemen exakt konsistent, entsteht aber mathematisch auf ganz unterschiedliche Weise.

Aus diesem und anderen Gründen ist es oft sinnvoll, die Maxwell-Gleichungen so umzuschreiben, dass sie „offensichtlich kovariant“ sind – d.h. offensichtlich im Einklang mit der speziellen Relativitätstheorie, sogar mit nur einem Blick auf die Gleichungen – unter Verwendung von kovarianten und kontravarianten Vierervektoren und Tensoren. Dies kann mit dem EM-Tensor erfolgen F, oder das 4-Potential EIN, mit dem 4-Strom J – siehe kovariante Formulierung des klassischen Elektromagnetismus.

Differentialformen-Ansatz Bearbeiten

Das Gaußsche Gesetz für Magnetismus und das Faraday-Maxwell-Gesetz können zusammengefaßt werden, da die Gleichungen homogen sind und als geometrisch angesehen werden können Identitäten ausdrücken Feld F (eine 2-Form), die sich aus der 4-Potential EIN. Das Gaußsche Gesetz für Elektrizität und das Ampere-Maxwell-Gesetz könnten als dynamische Bewegungsgleichungen der Felder, erhalten über das Lagrangesche Prinzip der kleinsten Wirkung, aus dem "Wechselwirkungsterm" AJ (eingeführt durch Eichkovarianten-Ableitungen), die das Feld an die Materie koppeln. Zur Feldformulierung der Maxwell-Gleichungen im Sinne eines Extremalwirkungsprinzips siehe Elektromagnetischer Tensor.

Oftmals motiviert die Zeitableitung in der Faraday-Maxwell-Gleichung, diese Gleichung als "dynamisch" zu bezeichnen, was im Sinne der vorhergehenden Analyse etwas irreführend ist. Dies ist eher ein Artefakt des Brechens der relativistischen Kovarianz durch die Wahl einer bevorzugten Zeitrichtung. Um physikalische Freiheitsgrade durch diese Feldgleichungen propagieren zu lassen, muss man einen kinetischen Term einschließen FF Pro EIN, und berücksichtigen die nicht-physikalischen Freiheitsgrade, die durch Eichtransformation entfernt werden können EINEIN − dα . Siehe auch Messgerätebefestigung und Faddeev–Popov-Geister.

Ansatz der geometrischen Berechnung Bearbeiten

Diese Formulierung verwendet die Algebra, die die Raumzeit durch die Einführung eines distributiven, assoziativen (aber nicht kommutativen) Produkts erzeugt, das als geometrisches Produkt bezeichnet wird. Elemente und Operationen der Algebra können im Allgemeinen mit geometrischer Bedeutung in Verbindung gebracht werden. Die Glieder der Algebra lassen sich nach Grad (wie im Formalismus der Differentialformen) und dem (geometrischen) Produkt eines Vektors mit a . zerlegen k-Vektor zerfällt in ein (k − 1) -Vektor und ein (k + 1) -Vektor. Das (k − 1) -Vektorkomponente kann mit dem inneren Produkt und dem (k + 1) -Vektorkomponente mit dem äußeren Produkt. Es ist von algebraischer Bequemlichkeit, dass das geometrische Produkt invertierbar ist, das innere und das äußere Produkt jedoch nicht. Die Ableitungen, die in den Maxwell-Gleichungen erscheinen, sind Vektoren und elektromagnetische Felder werden durch den Faraday-Bivektor dargestellt F. Diese Formulierung ist so allgemein wie die von Differentialformen für Mannigfaltigkeiten mit metrischem Tensor, da diese dann natürlich mit R-Formulare und es gibt entsprechende Operationen. Maxwells Gleichungen reduzieren sich in diesem Formalismus auf eine Gleichung. Diese Gleichung kann aus Vergleichsgründen wie oben beschrieben in Teile zerlegt werden.


Inhalt

Die früheste Feldtheorie mit Eichsymmetrie war Maxwells Formulierung der Elektrodynamik (1864-65) ("A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field"), die besagte, dass jedes Vektorfeld, dessen Krümmung verschwindet – und daher normalerweise als Gradient von . geschrieben werden kann eine Funktion – könnte dem Vektorpotential hinzugefügt werden, ohne das Magnetfeld zu beeinflussen. Die Bedeutung dieser Symmetrie blieb in den frühesten Formulierungen unbeachtet. Ähnlich unbemerkt hatte Hilbert die Einsteinschen Feldgleichungen abgeleitet, indem er die Invarianz der Aktion unter einer allgemeinen Koordinatentransformation postulierte. Später vermutete Hermann Weyl in einem Versuch, die allgemeine Relativitätstheorie und den Elektromagnetismus zu vereinen, dass Eichinvarianz oder Invarianz unter der Änderung der Skala (oder "Gauge") könnte auch eine lokale Symmetrie der Allgemeinen Relativitätstheorie sein. Nach der Entwicklung der Quantenmechanik modifizierten Weyl, Vladimir Fock und Fritz London die Eichung, indem sie den Skalenfaktor durch eine komplexe Größe ersetzten und die Skalentransformation in eine Phasenänderung umwandelten, die eine U(1)-Eichsymmetrie darstellt. Dies erklärte den elektromagnetischen Feldeffekt auf die Wellenfunktion eines geladenen quantenmechanischen Teilchens. Dies war die erste weithin anerkannte Eichtheorie, die 1941 von Pauli populär gemacht wurde. [1]

In dem Versuch, einige der großen Verwirrung in der Elementarteilchenphysik zu lösen, führten Chen Ning Yang und Robert Mills 1954 nicht-abelsche Eichtheorien als Modelle ein, um die starke Wechselwirkung zu verstehen, die Nukleonen in Atomkernen zusammenhält. [2] (Ronald Shaw, der unter Abdus Salam arbeitete, führte unabhängig voneinander in seiner Doktorarbeit denselben Begriff ein.) Sie verallgemeinerten die Eichinvarianz des Elektromagnetismus und versuchten, eine Theorie zu konstruieren, die auf der Wirkung der (nicht-abelschen) SU(2 ) Symmetriegruppe auf dem Isospin-Dublett von Protonen und Neutronen. Dies ähnelt der Wirkung der U(1)-Gruppe auf die Spinorfelder der Quantenelektrodynamik. In der Teilchenphysik lag der Schwerpunkt auf der Verwendung quantisierter Eichtheorien.

Diese Idee fand später Anwendung in der Quantenfeldtheorie der schwachen Kraft und ihre Vereinigung mit dem Elektromagnetismus in der elektroschwachen Theorie. Eichtheorien wurden noch attraktiver, als erkannt wurde, dass nicht-abelsche Eichtheorien ein Merkmal namens asymptotische Freiheit reproduzierten. Man glaubte, dass asymptotische Freiheit ein wichtiges Merkmal starker Wechselwirkungen ist. Dies motivierte die Suche nach einer starken Kraftmessertheorie. Diese Theorie, heute als Quantenchromodynamik bekannt, ist eine Eichtheorie mit der Wirkung der SU(3)-Gruppe auf das Farbtriplett von Quarks. Das Standardmodell vereint die Beschreibung von Elektromagnetismus, schwachen Wechselwirkungen und starken Wechselwirkungen in der Sprache der Eichtheorie.

In den 1970er Jahren begann Michael Atiyah, die Mathematik der Lösungen der klassischen Yang-Mills-Gleichungen zu studieren. 1983 baute Atiyahs Schüler Simon Donaldson auf dieser Arbeit auf, um zu zeigen, dass sich die differenzierbare Klassifikation glatter 4-Mannigfaltigkeiten stark von ihrer Klassifikation bis hin zum Homöomorphismus unterscheidet. [3] Michael Freedman benutzte Donaldsons Arbeiten, um Exoten auszustellen R 4 s, d. h. exotische differenzierbare Strukturen im euklidischen 4-dimensionalen Raum. Dies führte zu einem zunehmenden Interesse an der Eichtheorie um ihrer selbst willen, unabhängig von ihren Erfolgen in der Grundlagenphysik. 1994 erfanden Edward Witten und Nathan Seiberg auf Supersymmetrie basierende eichtheoretische Techniken, die die Berechnung bestimmter topologischer Invarianten [4] [5] (der Seiberg-Witten-Invarianten) ermöglichten. Diese Beiträge zur Mathematik aus der Eichtheorie haben zu einem erneuten Interesse an diesem Gebiet geführt.

Die Bedeutung der Eichtheorien in der Physik wird durch den enormen Erfolg des mathematischen Formalismus bei der Bereitstellung eines einheitlichen Rahmens zur Beschreibung der Quantenfeldtheorien des Elektromagnetismus, der schwachen Kraft und der starken Kraft veranschaulicht. Diese Theorie, bekannt als Standardmodell, beschreibt experimentelle Vorhersagen bezüglich drei der vier fundamentalen Naturkräfte genau und ist eine Eichtheorie mit der Eichgruppe SU(3) × SU(2) × U(1). Moderne Theorien wie die Stringtheorie sowie die allgemeine Relativitätstheorie sind auf die eine oder andere Weise Eichtheorien.

Siehe Pickering [6] für mehr über die Geschichte der Eich- und Quantenfeldtheorien.

Globale und lokale Symmetrien Bearbeiten

Globale Symmetrie Bearbeiten

In der Physik enthält die mathematische Beschreibung einer physikalischen Situation normalerweise überschüssige Freiheitsgrade. Die gleiche physikalische Situation wird ebenso gut durch viele äquivalente mathematische Konfigurationen beschrieben. Wenn beispielsweise in der Newtonschen Dynamik zwei Konfigurationen durch eine Galilei-Transformation (eine Trägheitsänderung des Bezugsrahmens) in Beziehung stehen, repräsentieren sie dieselbe physikalische Situation. Diese Transformationen bilden eine Gruppe von "Symmetrien" der Theorie, und eine physikalische Situation entspricht nicht einer einzelnen mathematischen Konfiguration, sondern einer Klasse von Konfigurationen, die durch diese Symmetriegruppe aufeinander bezogen sind.

Diese Idee kann verallgemeinert werden, um sowohl lokale als auch globale Symmetrien einzubeziehen, analog zu viel abstrakteren "Koordinatenänderungen" in einer Situation, in der es kein bevorzugtes "Trägheits"-Koordinatensystem gibt, das das gesamte physikalische System abdeckt. Eine Eichtheorie ist ein mathematisches Modell, das Symmetrien dieser Art aufweist, zusammen mit einer Reihe von Techniken, um physikalische Vorhersagen zu treffen, die mit den Symmetrien des Modells übereinstimmen.

Beispiel für globale Symmetrie Bearbeiten

Wenn eine in der mathematischen Konfiguration vorkommende Größe nicht nur eine Zahl ist, sondern eine gewisse geometrische Bedeutung hat, wie eine Geschwindigkeit oder eine Rotationsachse, wird ihre Darstellung als in einem Vektor oder einer Matrix angeordnete Zahlen ebenfalls durch eine Koordinatentransformation geändert. Wenn beispielsweise eine Beschreibung eines Strömungsmusters besagt, dass die Strömungsgeschwindigkeit in der Nähe von (x=1, ja=0) ist 1 m/s positiv x Richtung, dann besagt eine Beschreibung derselben Situation, in der das Koordinatensystem um 90 Grad im Uhrzeigersinn gedreht wurde, dass die Fluidgeschwindigkeit in der Nähe von (x=0, ja=1) ist 1 m/s positiv ja Richtung. Die Koordinatentransformation hat sich sowohl auf das Koordinatensystem ausgewirkt, das zur Identifizierung der Lage der Messung und die Grundlage, in der es Wert ausgedrückt wird. Solange diese Transformation global durchgeführt wird (betrifft die Koordinatenbasis an jedem Punkt gleich), ist die Auswirkung auf Werte, die die Änderungsrate einer bestimmten Menge entlang eines Weges in Raum und Zeit, wenn es durch den Punkt geht P ist derselbe wie der Effekt auf Werte, die wirklich lokal für sind P.

Lokale Symmetrie Bearbeiten

Verwendung von Faserbündeln zur Beschreibung lokaler Symmetrien Bearbeiten

Um physikalische Situationen in komplexeren Theorien adäquat beschreiben zu können, ist es oft notwendig, für einige der Gegenstände der Theorie, die nicht diese einfache Beziehung zu den Koordinaten zur Bezeichnung von Punkten in Raum und Zeit haben, eine „Koordinatenbasis“ einzuführen. (Mathematisch ausgedrückt beinhaltet die Theorie ein Faserbündel, bei dem die Faser an jedem Punkt des Basisraums aus möglichen Koordinatenbasen zur Verwendung bei der Beschreibung der Werte von Objekten an diesem Punkt besteht.) Um eine mathematische Konfiguration zu formulieren, ist eins muss an jedem Punkt eine bestimmte Koordinatenbasis wählen (a lokaler Abschnitt des Faserbündels) und drücken auf dieser Grundlage die Werte der Theorieobjekte (meist "Felder" im Sinne des Physikers) aus. Zwei solche mathematischen Konfigurationen sind äquivalent (beschreiben die gleiche physikalische Situation), wenn sie durch eine Transformation dieser abstrakten Koordinatenbasis (eine Änderung des lokalen Schnitts, oder Eichtransformation).

In den meisten Eichtheorien ist die Menge möglicher Transformationen der abstrakten Eichbasis an einem einzelnen Punkt in Raum und Zeit eine endlichdimensionale Lügengruppe. Die einfachste solche Gruppe ist U(1), die in der modernen Formulierung der Quantenelektrodynamik (QED) durch die Verwendung komplexer Zahlen auftaucht. QED wird allgemein als die erste und einfachste physikalische Eichtheorie angesehen. Die Menge der möglichen Eichtransformationen der gesamten Konfiguration einer gegebenen Eichtheorie bildet ebenfalls eine Gruppe, die Messgruppe der Theorie. Ein Element der Eichgruppe kann durch eine von den Punkten der Raumzeit bis zur (endlich-dimensionalen) Lie-Gruppe glatt variierende Funktion so parametrisiert werden, dass der Wert der Funktion und ihre Ableitungen an jedem Punkt die Wirkung der Eichtransformation auf die Faser über diesem Punkt.

Eine Eichtransformation mit konstanten Parametern an jedem Punkt in Raum und Zeit ist analog zu einer starren Drehung des geometrischen Koordinatensystems sie stellt eine globale Symmetrie der Eichdarstellung dar. Wie im Fall einer starren Drehung wirkt sich diese Eichtransformation auf Ausdrücke aus, die die Änderungsrate entlang eines Pfads einer eichwertabhängigen Größe auf die gleiche Weise darstellen wie solche, die eine wirklich lokale Größe darstellen. Eine Eichtransformation, deren Parameter ist nicht Eine konstante Funktion wird als lokale Symmetrie bezeichnet. Ihre Wirkung auf Ausdrücke, die eine Ableitung beinhalten, unterscheidet sich qualitativ von der auf Ausdrücke, die dies nicht tun. (Dies ist analog zu einer nicht inertialen Änderung des Referenzrahmens, die einen Coriolis-Effekt erzeugen kann.)

Anzeigefelder Bearbeiten

Die "eichkovariante" Version einer Eichtheorie berücksichtigt diesen Effekt durch die Einführung von a Messfeld (in mathematischer Sprache eine Ehresmann-Verbindung) und formulieren alle Änderungsraten in Bezug auf die kovariante Ableitung in Bezug auf diese Verbindung. Das Eichfeld wird ein wesentlicher Bestandteil der Beschreibung einer mathematischen Konfiguration. Eine Konfiguration, in der das Eichfeld durch eine Eichtransformation eliminiert werden kann, hat die Eigenschaft, dass ihre Feldstärke (in mathematischer Sprache ihre Krümmung) überall dort Null ist, wo eine Eichtheorie ist nicht auf diese Konfigurationen beschränkt. Mit anderen Worten, das Unterscheidungsmerkmal einer Eichtheorie besteht darin, dass das Eichfeld nicht nur eine schlechte Wahl des Koordinatensystems kompensiert, es gibt im Allgemeinen keine Eichtransformation, die das Eichfeld verschwinden lässt.

Bei der Analyse der Dynamik einer Eichtheorie muss das Eichfeld als dynamische Variable behandelt werden, ähnlich wie bei anderen Objekten bei der Beschreibung einer physikalischen Situation. Zusätzlich zu seiner Wechselwirkung mit anderen Objekten über die kovariante Ableitung trägt das Eichfeld typischerweise Energie in Form eines "Selbstenergie"-Terms bei. Die Gleichungen für die Eichtheorie erhält man durch:

  • ausgehend von einem naiven Ansatz ohne Eichfeld (bei dem die Ableitungen in "nackter" Form erscheinen)
  • Auflistung der globalen Symmetrien der Theorie, die durch einen kontinuierlichen Parameter charakterisiert werden können (im Allgemeinen ein abstraktes Äquivalent eines Rotationswinkels)
  • Berechnen der Korrekturterme, die sich daraus ergeben, dass der Symmetrieparameter von Ort zu Ort variieren kann und
  • Neuinterpretation dieser Korrekturterme als Kopplungen mit einem oder mehreren Eichfeldern und Vergeben dieser Felder mit geeigneten Selbstenergietermen und dynamischem Verhalten.

In diesem Sinne "erweitert" eine Eichtheorie eine globale Symmetrie zu einer lokalen Symmetrie und ähnelt stark der historischen Entwicklung der als Allgemeinen Relativitätstheorie bekannten Eichtheorie der Gravitation.

Physikalische Experimente Bearbeiten

Eichtheorien, die verwendet werden, um die Ergebnisse physikalischer Experimente zu modellieren, beschäftigen sich mit:

  • Begrenzung des Universums möglicher Konfigurationen auf diejenigen, die mit den Informationen übereinstimmen, die zum Aufbau des Experiments verwendet wurden, und dann
  • Berechnen der Wahrscheinlichkeitsverteilung der möglichen Ergebnisse, die das Experiment messen soll.

Wir können die mathematischen Beschreibungen der "Aufbauinformationen" und der "möglichen Messergebnisse" oder der "Randbedingungen" des Experiments nicht ohne Bezug auf ein bestimmtes Koordinatensystem einschließlich einer Wahl der Spurweite ausdrücken. Man nimmt ein adäquates, von "äußerem" Einfluss isoliertes Experiment an, das selbst eine messwertabhängige Aussage ist. Die falsche Handhabung von Eichabhängigkeitsberechnungen in Randbedingungen ist eine häufige Quelle von Anomalien, und Ansätze zur Anomalievermeidung klassifizieren Eichtheorien [ Klärung nötig ] .

Kontinuumstheorien Bearbeiten

Die beiden oben erwähnten Eichtheorien, Kontinuumselektrodynamik und Allgemeine Relativitätstheorie, sind Kontinuumsfeldtheorien. Die Berechnungstechniken einer Kontinuumstheorie gehen implizit davon aus, dass:

  • bei völlig fester Wahl der Spurweite sind die Randbedingungen einer individuellen Konfiguration vollständig beschrieben
  • Bei einem vollständig festen Pegel und einem vollständigen Satz von Randbedingungen bestimmt die kleinste Aktion eine einzigartige mathematische Konfiguration und damit eine einzigartige physikalische Situation, die mit diesen Grenzen übereinstimmt consistent
  • Das Festlegen des Eichmaßes bringt keine Anomalien in die Berechnung mit sich, die entweder auf Eichmaßabhängigkeit bei der Beschreibung von Teilinformationen über Randbedingungen oder auf Unvollständigkeit der Theorie zurückzuführen sind.

Die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit möglicher Messergebnisse erfolgt wie folgt:

  • Festlegung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung über alle physikalischen Situationen, die durch Randbedingungen im Einklang mit den Setup-Informationen bestimmt sind
  • Festlegung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung von Messergebnissen für jede mögliche physikalische Situation diese beiden Wahrscheinlichkeitsverteilungen, um eine Verteilung möglicher Messergebnisse zu erhalten, die mit den Setup-Informationen übereinstimmt consistent

Diese Annahmen haben über einen weiten Bereich von Energieskalen und experimentellen Bedingungen genügend Gültigkeit, um es diesen Theorien zu ermöglichen, genaue Vorhersagen über fast alle im täglichen Leben anzutreffenden Phänomene zu treffen: Licht, Wärme und Elektrizität, Finsternisse, Raumfahrt usw. Sie scheitern nur im kleinsten und größten Maßstab aufgrund von Auslassungen in den Theorien selbst und wenn die mathematischen Techniken selbst versagen, insbesondere bei Turbulenzen und anderen chaotischen Phänomenen.

Quantenfeldtheorien Bearbeiten

Abgesehen von diesen klassischen Kontinuumsfeldtheorien sind die bekanntesten Eichtheorien die Quantenfeldtheorien, einschließlich der Quantenelektrodynamik und des Standardmodells der Elementarteilchenphysik. Der Ausgangspunkt einer Quantenfeldtheorie ist dem ihres Kontinuumsanalogons sehr ähnlich: ein eich-kovariantes Aktionsintegral, das "erlaubte" physikalische Situationen nach dem Prinzip der kleinsten Wirkung charakterisiert. Kontinuums- und Quantentheorien unterscheiden sich jedoch erheblich darin, wie sie mit den überschüssigen Freiheitsgraden umgehen, die durch Eichtransformationen repräsentiert werden. Kontinuumstheorien und die meisten pädagogischen Behandlungen der einfachsten Quantenfeldtheorien verwenden eine Eichfixierungsvorschrift, um die Umlaufbahn mathematischer Konfigurationen, die eine gegebene physikalische Situation darstellen, auf eine kleinere Umlaufbahn zu reduzieren, die durch eine kleinere Eichgruppe (die globale Symmetriegruppe oder vielleicht .) sogar die triviale Gruppe).

Anspruchsvollere Quantenfeldtheorien, insbesondere solche, die eine nicht-abelsche Eichgruppe beinhalten, brechen die Eichsymmetrie innerhalb der Techniken der Störungstheorie, indem sie in einem bekannten Ansatz zusätzliche Felder (die Faddeev-Popov-Geister) und Gegenterme einführen, die durch Anomalieauslöschung motiviert sind als BRST-Quantisierung. Obwohl diese Bedenken in gewisser Hinsicht sehr technisch sind, hängen sie auch eng mit der Art der Messung, den Grenzen der Kenntnis einer physikalischen Situation und den Wechselwirkungen zwischen unvollständig spezifizierten experimentellen Bedingungen und unvollständig verstandener physikalischer Theorie zusammen. [ Zitat benötigt ] Die mathematischen Techniken, die entwickelt wurden, um Eichtheorien handhabbar zu machen, haben viele andere Anwendungen gefunden, von der Festkörperphysik und Kristallographie bis hin zur niederdimensionalen Topologie.

Klassischer Elektromagnetismus Bearbeiten

Die allgemeinen Eichtransformationen werden jetzt nicht nur V ↦ V + C , sondern

wo F ist jede zweimal stetig differenzierbare Funktion, die von Ort und Zeit abhängt. Die Felder bleiben unter der Eichtransformation gleich, und daher sind die Maxwell-Gleichungen immer noch erfüllt. Das heißt, die Maxwell-Gleichungen haben eine Eichsymmetrie.

Ein Beispiel: Skalar O(n) Eichtheorie Bearbeiten

Im Folgenden wird dargestellt, wie lokale Eichinvarianz heuristisch ausgehend von globalen Symmetrieeigenschaften "motiviert" werden kann und zu einer Wechselwirkung zwischen ursprünglich nicht wechselwirkenden Feldern führt.

Betrachten Sie eine Reihe von n nicht wechselwirkende reelle Skalarfelder mit gleichen Massen m. Dieses System wird durch eine Aktion beschrieben, die die Summe der (üblichen) Aktionen für jedes Skalarfeld ist φ i >

Die Lagrange-Funktion (Dichte) kann kompakt geschrieben werden als

durch Einführung eines Vektors von Feldern

Es ist jetzt transparent, dass die Lagrange-Funktion unter der Transformation invariant ist

Dies zeichnet die global Symmetrie dieses speziellen Lagrange-Operators, und die Symmetriegruppe wird oft als bezeichnet Messgruppe der mathematische Begriff ist Strukturgruppe, insbesondere in der Theorie der G-Strukturen. Übrigens impliziert der Satz von Noether, dass die Invarianz unter dieser Gruppe von Transformationen zur Erhaltung der Ströme

bei dem die T a Matrizen sind Generatoren der SO(n) Gruppe. Für jeden Generator gibt es einen Stromerhaltungssatz.

Jetzt fordern, dass dieser Lagrangeianer haben sollte lokal Ö(n)-Invarianz erfordert, dass die g Matrizen (die früher konstant waren) sollten Funktionen der Raum-Zeit-Koordinaten werden x.

In diesem Fall ist die g Matrizen "durchlaufen" die Ableitungen nicht, wenn g = g(x),

Die fehlende Vertauschung der Ableitung mit "G" führt (gemäß der Produktregel) einen zusätzlichen Term ein, der die Invarianz des Lagrange-Operators verdirbt. Um dies zu korrigieren, definieren wir einen neuen Ableitungsoperator, so dass die Ableitung von Φ wieder identisch mit ΦΦ transformiert

Diese neue "Ableitung" wird als (eich-)kovariante Ableitung bezeichnet und hat die Form

Wo g heißt Kopplungskonstante eine Größe, die die Stärke einer Wechselwirkung definiert. Nach einer einfachen Rechnung können wir sehen, dass die Messfeld EIN(x) muss sich wie folgt transformieren

Das Eichfeld ist ein Element der Lie-Algebra und kann daher erweitert werden als

Es gibt also so viele Eichfelder wie Generatoren der Lie-Algebra.

Endlich haben wir jetzt a lokal Eichinvariante Lagrange

Der Unterschied zwischen diesem Lagrangeschen und dem Original global eichinvariant Lagrange gilt als der Interaktion Lagrange

Dieser Begriff führt Wechselwirkungen zwischen den n Skalarfelder als Folge der Forderung nach lokaler Eichinvarianz. Um diese Interaktion jedoch physisch und nicht völlig willkürlich zu gestalten, muss der Mediator EIN(x) muss sich im Raum ausbreiten. Dies wird im nächsten Abschnitt behandelt, indem ein weiterer Term hinzugefügt wird, L g f >_ >> , zum Lagrange. In der quantisierten Version der erhaltenen klassischen Feldtheorie sind die Quanten des Eichfeldes EIN(x) werden Eichbosonen genannt. Die Interpretation des Wechselwirkungs-Lagrange-Operators in der Quantenfeldtheorie ist, dass skalare Bosonen durch den Austausch dieser Eichbosonen wechselwirken.

Der Yang-Mills-Lagrange-Operator für das Eichfeld Bearbeiten

und das f a b c > sind die Strukturkonstanten der Lie-Algebra der Generatoren der Eichgruppe. Diese Formulierung des Lagrangeschen heißt a Yang-Mills-Aktion. Es gibt auch andere eichinvariante Aktionen (z. B. nichtlineare Elektrodynamik, Born-Infeld-Aktion, Chern-Simons-Modell, Theta-Term usw.).

Der vollständige Lagrange-Operator für die Eichtheorie ist jetzt

Ein Beispiel: Elektrodynamik Bearbeiten

Betrachten Sie als einfache Anwendung des in den vorherigen Abschnitten entwickelten Formalismus den Fall der Elektrodynamik nur mit dem Elektronenfeld. Die Bare-Bones-Aktion, die die Dirac-Gleichung des Elektronenfeldes erzeugt, ist

Die globale Symmetrie für dieses System ist

Die Eichgruppe ist hier U(1), nur Drehungen des Phasenwinkels des Feldes, wobei die jeweilige Drehung durch die Konstante . bestimmt wird θ .

Das "Lokalisieren" dieser Symmetrie impliziert den Ersatz von θ von θ(x) . Eine geeignete kovariante Ableitung ist dann

Identifizieren der "Ladung" e (nicht zu verwechseln mit der mathematischen Konstante e in der Symmetriebeschreibung) mit der üblichen elektrischen Ladung (daher der Begriff in der Eichtheorie) und dem Eichfeld EIN(x) mit dem Vier-Vektor-Potential des elektromagnetischen Feldes ergibt eine Wechselwirkung Lagrange

wobei J μ ( x ) = e ℏ ψ ¯ ( x ) γ μ ψ ( x ) (x)=><ar >(x)gamma ^psi (x)> ist der elektrische Strom-Vier-Vektor im Dirac-Feld. Es wird daher gesehen, dass das Eichprinzip natürlich die sogenannte minimale Kopplung des elektromagnetischen Felds an das Elektronenfeld einführt.

Addiert man für das Eichfeld A μ ( x ) (x)> einen Lagrange-Operator genau wie in der Elektrodynamik in Bezug auf den Feldstärke-Tensor, erhält man den Lagrange-Operanden, der in der Quantenelektrodynamik als Ausgangspunkt verwendet wird.

Eichtheorien werden normalerweise in der Sprache der Differentialgeometrie diskutiert. Mathematisch, a Messgerät ist nur eine Auswahl eines (lokalen) Abschnitts eines Hauptbündels. EIN Eichtransformation ist nur eine Transformation zwischen zwei solchen Abschnitten.

Obwohl die Eichtheorie vom Studium von Verbindungen dominiert wird (hauptsächlich, weil sie hauptsächlich von Hochenergiephysikern studiert wird), ist die Idee einer Verbindung für die Eichtheorie im Allgemeinen nicht zentral. Tatsächlich zeigt ein Ergebnis der allgemeinen Eichtheorie, dass affine Darstellungen (d. h. affine Module) der Eichtransformationen als Abschnitte eines Strahlbündels klassifiziert werden können, die bestimmte Eigenschaften erfüllen. Es gibt Darstellungen, die kovariant punktweise transformieren (von Physikern Eichtransformationen erster Art genannt), Darstellungen, die sich als Verbindungsform transformieren (von Physikern Eichtransformationen zweiter Art genannt, eine affine Darstellung) – und andere allgemeinere Darstellungen, wie z das B-Feld in der BF-Theorie. Es gibt allgemeinere nichtlineare Darstellungen (Realisierungen), aber diese sind extrem kompliziert. Dennoch transformieren nichtlineare Sigma-Modelle nichtlinear, daher gibt es Anwendungen.

Wenn es ein Hauptbündel gibt P deren Basisraum Raum oder Raumzeit ist und die Strukturgruppe eine Lie-Gruppe ist, dann sind die Abschnitte von P einen homogenen Hauptraum der Gruppe der Eichtransformationen bilden.

Verbindungen (Eichverbindung) definieren dieses Hauptbündel, was eine kovariante Ableitung ∇ in jedem zugehörigen Vektorbündel ergibt. Wenn ein lokaler Rahmen gewählt wird (eine lokale Basis von Abschnitten), dann wird diese kovariante Ableitung durch die Verbindungsform EIN, eine Lie-Algebra-wertige 1-Form, die als Potenzial messen in der Physik. Dies ist offensichtlich keine intrinsische, sondern eine frameabhängige Größe. Die Krümmungsform F, eine Lie-Algebra-wertige 2-Form, die eine intrinsische Größe ist, wird aus einer Verbindungsform konstruiert durch

Infinitesimale Eichtransformationen bilden eine Lie-Algebra, die durch einen glatten Lie-Algebra-bewerteten Skalar gekennzeichnet ist. Unter einer solchen infinitesimalen Eichtransformation ist

Nicht alle Eichtransformationen können im Allgemeinen durch infinitesimale Eichtransformationen erzeugt werden. Ein Beispiel ist, wenn die Basismannigfaltigkeit eine kompakte Mannigfaltigkeit ohne Rand ist, so dass die Homotopieklasse der Abbildungen von dieser Mannigfaltigkeit auf die Lie-Gruppe nichttrivial ist. Siehe Instanton für ein Beispiel.

Das Yang-Mills-Aktion wird jetzt gegeben von

wobei * für das Hodge-Dual steht und das Integral wie in der Differentialgeometrie definiert ist.

Eine Menge, die Spurinvariante (d. h. invariant unter Eichtransformationen) ist die Wilson-Schleife, die über einen beliebigen geschlossenen Pfad defined wie folgt definiert ist:

Der Formalismus der Eichtheorie überträgt sich auf ein allgemeines Setting. Zum Beispiel genügt es zu fragen, ob ein Vektorbündel einen metrischen Zusammenhang hat, wenn man dies tut, stellt man fest, dass der metrische Zusammenhang die Yang-Mills-Bewegungsgleichungen erfüllt.

Eichtheorien können durch Spezialisierung von Methoden quantisiert werden, die auf jede Quantenfeldtheorie anwendbar sind. Aufgrund der Feinheiten, die durch die Eichbeschränkungen (siehe Abschnitt über den mathematischen Formalismus, oben) auferlegt werden, gibt es jedoch viele technische Probleme zu lösen, die in anderen Feldtheorien nicht auftreten. Gleichzeitig ermöglicht die reichhaltigere Struktur der Eichtheorien die Vereinfachung einiger Berechnungen: zum Beispiel verbinden Ward-Identitäten verschiedene Renormierungskonstanten.

Methoden und Ziele Bearbeiten

Die erste quantisierte Eichtheorie war die Quantenelektrodynamik (QED). Die ersten dafür entwickelten Methoden beinhalteten die Eichfixierung und die anschließende Anwendung der kanonischen Quantisierung. Um dieses Problem zu lösen, wurde auch die Gupta-Bleuler-Methode entwickelt. Nicht-abelsche Eichtheorien werden heute auf verschiedene Weise behandelt. Methoden zur Quantisierung werden im Artikel zur Quantisierung behandelt.

Der Hauptpunkt der Quantisierung besteht darin, Quantenamplituden für verschiedene von der Theorie zugelassene Prozesse berechnen zu können. Technisch reduzieren sie sich auf die Berechnung bestimmter Korrelationsfunktionen im Vakuumzustand. Dies beinhaltet eine Renormierung der Theorie.

Wenn die laufende Kopplung der Theorie klein genug ist, können alle erforderlichen Größen in der Störungstheorie berechnet werden. Quantisierungsschemata, die solche Berechnungen vereinfachen sollen (wie die kanonische Quantisierung), können als bezeichnet werden störende Quantisierungsschemata. Gegenwärtig führen einige dieser Methoden zu den genauesten experimentellen Tests von Eichtheorien.

In den meisten Eichtheorien gibt es jedoch viele interessante Fragen, die nicht störend sind. Für diese Probleme geeignete Quantisierungsschemata (wie z. B. die Gittereichtheorie) können genannt werden nicht störende Quantisierungsschemata. Präzise Berechnungen in solchen Schemata erfordern oft Supercomputing und sind daher derzeit weniger gut entwickelt als andere Schemata.

Anomalien Bearbeiten

Einige der Symmetrien der klassischen Theorie halten in der Quantentheorie kein Phänomen namens an Anomalie. Zu den bekanntesten zählen:


Algebraische Eigenschaften

Alle drei Pauli-Matrizen können zu einem einzigen Ausdruck komprimiert werden:

wo ich = √ −1 ist die imaginäre Einheit, und δab ist das Kronecker-Delta, das gleich +1 ist, wenn ein = B und 0 sonst. Dieser Ausdruck ist nützlich, um eine der Matrizen numerisch "auszuwählen", indem Werte von ersetzt werden ein = 1, 2, 3 , wiederum nützlich, wenn eine der Matrizen (aber keine bestimmte) in algebraischen Manipulationen verwendet werden soll.

Die Determinanten und Spuren der Pauli-Matrizen sind:

Daraus können wir ableiten, dass die Eigenwerte von jedem σich sind ±1 .

Unter Einbeziehung der Identitätsmatrix ich (manchmal bezeichnet σ0 ), bilden die Pauli-Matrizen eine orthogonale Basis (im Sinne von Hilbert–Schmidt) des reellen Hilbertraums von 2 × 2 komplexen hermiteschen Matrizen, />, und des komplexen Hilbert-Raums aller 2 × 2 Matrizen, />.

Eigenvektoren und Eigenwerte

Jede der (hermiteschen) Pauli-Matrizen hat zwei Eigenwerte, +1 und −1 . Unter Verwendung einer Konvention, bei der vor der Normalisierung die 1 in die obere bzw. untere Position der + und – Wellenfunktionen platziert wird, sind die entsprechenden normalisierten Eigenvektoren:

Ein Vorteil dieser Konvention besteht darin, dass die + und – Wellenfunktionen unter Verwendung der Pauli-Matrizen selbst miteinander in Beziehung gesetzt werden können, indem , und .

Pauli-Vektor

Der Pauli-Vektor ist definiert durch

und stellt einen Abbildungsmechanismus von einer Vektorbasis zu einer Pauli-Matrixbasis wie folgt bereit:

seine Eigenwerte sind , und darüber hinaus (siehe Vollständigkeit unten)

Seine (unnormierten) Eigenvektoren sind

Kommutierungsbeziehungen

Die Pauli-Matrizen gehorchen den folgenden Kommutierungsrelationen:

wobei die Strukturkonstante εABC das Levi-Civita-Symbol ist, wird die Einstein-Summation verwendet, δab ist das Kronecker-Delta, und ich ist die 2 × 2-Identitätsmatrix.

Beziehung zu Punkt- und Kreuzprodukt

Pauli-Vektoren bilden diese Kommutierungs- und Antikommutierungsbeziehungen elegant auf entsprechende Vektorprodukte ab. Die Addition des Kommutators zum Antikommutator ergibt

Ob wird mit dem Pseudoskalar . identifiziert dann wird die rechte Seite Dies ist auch die Definition für das Produkt zweier Vektoren in der geometrischen Algebra.

Einige Spurenbeziehungen

Folgende Spuren können unter Verwendung der Kommutierungs- und Antikommutierungsbeziehungen abgeleitet werden.

Exponential eines Pauli-Vektors

man hat, für gleichmäßige Kräfte,

was zuerst gezeigt werden kann für die Fall unter Verwendung der Antikommutierungsrelationen. Der Einfachheit halber ist der Fall wird angenommen vereinbarungs.

Für ungerade Kräfte,

.

In der letzten Zeile ist die erste Summe der Kosinus, während die zweite Summe der Sinus ist.

,

während die Determinante der Exponentialfunktion selbst nur 1 ist, was sie zur generisches Gruppenelement von SU(2).

Eine abstraktere Version der Formel (2) für eine allgemeine 2 × 2-Matrix finden Sie im Artikel über Matrixexponentialfunktionen. Eine allgemeine Version von (2) für eine Analyse (at ein und −ein)-Funktion wird durch Anwendung der Sylvester-Formel bereitgestellt,

die in Matrixindizes umgeschrieben werden kann als wobei die Summation über die wiederholten Indizes impliziert wird γ und δ. Da dies für jede Wahl der Matrix gilt m, folgt die Vollständigkeitsrelation wie oben angegeben.

Wie oben erwähnt, ist es üblich, die 2 × 2-Einheiten-Matrix mit σ0, so σ 0 αβ = δαβ. Die Vollständigkeitsrelation kann alternativ ausgedrückt werden als

, die idempotente Dichtematrix

mit Eigenwert 1, also wie ein Projektionsoperator dafür.

Zusammenhang mit dem Permutationsoperator

Lassen Pij sei die Transposition (auch als Permutation bekannt) zwischen zwei Spins σich und σJ Leben im Tensorproduktraum ℂ 2 ⊗ ℂ 2 ,

Dieser Operator kann auch expliziter als Diracs Spin-Austausch-Operator geschrieben werden,

Seine Eigenwerte sind daher 1 oder −1. Er kann daher als Wechselwirkungsterm in einem Hamilton-Operator verwendet werden, der die Energieeigenwerte seiner symmetrischen gegenüber antisymmetrischen Eigenzuständen aufspaltet.

Die Gruppe SU(2) ist die Lie-Gruppe von unitären 2 × 2 Matrizen mit Einheitsdeterminante, ihre Lie-Algebra ist die Menge aller 2 × 2 anti-hermiteschen Matrizen mit Spur 0. Direkte Berechnung wie oben zeigt, dass die Lie-Algebra ist die 3-dimensionale reelle Algebra aufgespannt durch die Menge <ichJ >. In kompakter Schreibweise

Infolgedessen ist jeder ichJ kann als infinitesimaler Generator von SU(2) angesehen werden. Die Elemente von SU(2) sind Exponentialfunktionen von Linearkombinationen dieser drei Generatoren und multiplizieren sich wie oben bei der Diskussion des Pauli-Vektors angegeben. Obwohl dies ausreicht, um SU(2) zu generieren, ist es keine richtige Darstellung von su(2) , da die Pauli-Eigenwerte unkonventionell skaliert werden. Die konventionelle Normalisierung ist λ =   1 2 , damit

Da SU(2) eine kompakte Gruppe ist, ist ihre Cartan-Zerlegung trivial.

Die Lügenalgebra su(2) isomorph zur Lie-Algebra so(3) , die der Lie-Gruppe SO(3) entspricht, der Gruppe der Drehungen im dreidimensionalen Raum. Mit anderen Worten, man kann sagen, dass die ichJ sind eine Realisation (und tatsächlich die niedrigstdimensionale Realisation) von unendlich klein Drehungen im dreidimensionalen Raum. Allerdings auch wenn su(2 und so(3) sind als Lie-Algebren isomorph, SU(2) und SO(3) sind als Lie-Gruppen nicht isomorph. SU(2) ist eigentlich eine doppelte Abdeckung von SO(3) , was bedeutet, dass es einen Zwei-zu-eins-Gruppenhomomorphismus von SU(2) zu SO(3) gibt, siehe Beziehung zwischen SO(3) und SU(2) .

Quaternionen

Die reelle lineare Spanne von <ich, ich1, ich2, ich3> isomorph zur reellen Algebra der Quaternionen ℍ . Der Isomorphismus von ℍ zu dieser Menge ist durch die folgende Abbildung gegeben (beachten Sie die umgekehrten Vorzeichen für die Pauli-Matrizen):

Alternativ kann der Isomorphismus durch eine Abbildung mit den Pauli-Matrizen in umgekehrter Reihenfolge erreicht werden,

Als Satz von Versoren U ⊂ ℍ bildet eine zu SU(2) isomorphe Gruppe, U gibt noch eine andere Möglichkeit, SU(2) zu beschreiben. Der Zwei-zu-Eins-Homomorphismus von SU(2) zu SO(3) kann in dieser Formulierung in Form der Pauli-Matrizen angegeben werden.

Quaternionen bilden eine Divisionsalgebra – jedes Element ungleich Null hat eine Inverse – während Pauli-Matrizen dies nicht tun.


1 Antwort 1

Was Sie als explizite 4x4-Matrix geschrieben haben, kann in der kompakteren "sigma" -Notation als $x_0 sigma_0 + oldsymbol cdot mathbf . geschrieben werden.$ Es ist nicht angebracht, diesen Multivektor als Quaternion oder als Rotation zu beschreiben. Quaternionen können in der Pauli-Algebra als Multivektoren mit Skalar+Bivektor-Komponenten dargestellt werden, wie zum Beispiel $x_0 sigma_0 + i oldsymbol cdot mathbf.$ (denken Sie daran, dass $ i sigma_0 = sigma_1 sigma_2 sigma_3 $ der Pseudoskalar in der Pauli-Darstellung ist und dass ein Pseudoskalar- und Vektorprodukt ein Bivektor ist.) Insbesondere durch Setzen von $ mathbf = sigma_2 sigma_3, mathbf = sigma_1 sigma_3, mathbf = sigma_1 sigma_2 $ , ist es leicht zu erkennen, dass die übliche Quaternionen-Multiplikationstabelle wiederhergestellt werden kann.

Was die Drehungen in der Pauli-Algebra betrifft, so wird ein Vektor um eine Normale $ mathbf $ kann erreicht werden, indem der Vektor zwischen zwei konjugierte Rotoren gelegt wird, Exponentiale mit Bivektorargumenten $sigma cdot mathbf ightarrow e^ <-i oldsymbolcdot mathbf/2> sigma cdot mathbf e^ < i oldsymbolcdot mathbf/2 >$ Dies funktioniert als Rotation, da $ e^ <-i oldsymbolcdot mathbf/2> $ kommutiert mit jeder Komponente von $ sigma cdot mathbf $, das in Normalenrichtung liegt, und konjugiert kommutiert mit jeder Komponente, die in der Rotationsebene liegt (d. h. der Ebene, die durch den Bivektor $i mathbf$ .) Zum Beispiel, wenn $ sigma cdot mathbf = sigmacdotmathbf_parallel + sigmacdotmathbf_perp $ , wobei $ mathbf_parallelcdotmathbf = 0 $ , dann haben wir $eginsigma cdot mathbf & ightarrow e^ <-i oldsymbolcdot mathbf/2> left( < sigma cdot mathbf_parallel + sigmacdotmathbf_perp> ight) e^ < i oldsymbolcdot mathbf/2 > &=left( < sigma cdot mathbf_parallel > ight) e^ < i oldsymbolcdot mathbf >+ sigma cdot mathbf_perp.end$ Die Komponente, die senkrecht zur Rotationsebene steht, bleibt unberührt, während wir eine komplex-exponentielle Rotation jeder Komponente des Vektors haben, die in der Ebene liegt. Zum Beispiel mit $ i mathbf = i heta sigma_3 = sigma_1 sigma_2 $ , haben wir eine Drehung in der x-y-Ebene. Jeder der Rotoren ist ein Multivektor mit Skalar+Bivektorkomponenten $e^< heta sigma_1 sigma_2 /2 >=sigma_0 cos heta/2 + sigma_1 sigma_2 sin heta/2.$

Also, wenn ein Skalar+Vektor weder eine Rotation noch eine Quaternion ist, was ist es dann? Darauf habe ich im Allgemeinen keine gute Antwort, aber es gibt einige interessante Spezialfälle von Multivektoren dieses Typs. Einer ist der Projektor, ein Beispiel dafür ist $P = frac<1><<2>> left( < sigma_0 + sigma_3 > ight).$ Dies quadriert zu sich selbst und frisst jeden Faktor von $ sigma_3 $ $egin P^2 &=frac<1><<4>> left( < sigma_0 + sigma_3 > ight) left( < sigma_0 + sigma_3 > ight) &=frac<1> <<4>> left( < sigma_0 + 2 sigma_3 + sigma_3^2 > ight) &=frac<1><<4>> left( < 2 sigma_0 + 2 sigma_3 > ight) &= P,end$ und $ P sigma_3 = frac<1><<2>> left( < sigma_0 + sigma_3 > ight) sigma_3=frac<1><<2>> left( < sigma_3 + sigma_3^2 > ight)= P.$ Projektoren dieser Form erscheinen als Faktoren in (Multivektor-Elektromagnetische-Welle-)Lösungen der Maxwell-Gleichung in geladenen und aktuellen freien Regionen.

Was den verbleibenden Teil Ihrer Frage betrifft, was ist ein Pseudoskalar + Vektor? In der Sigma-Notation hat eine solche Summe die Form $ i sigma_0 alpha + oldsymbol cdot mathbf.$ Anstatt diese "Was ist"-Frage zu beantworten, werde ich schummeln und ein Beispiel geben, wo wir eine solche Summe sehen. Insbesondere in der obigen Rotation hatten wir Produkte wie $ oldsymbol cdot mathbf e^ < i oldsymbolcdot mathbf/2 > $. Sei $ mathbf = hetahat> $ , also expandiert dieses Produkt zu $oldsymbol cdot mathbf expandleft( < cos heta/2 + i oldsymbolcdot hat> sin heta/2> ight).$ Der Multivektorkoeffizient des Sinus ist $ i (oldsymbol cdot mathbf)( oldsymbol cdot hat> ) $ . Wenn $ mathbf $ und $ hat> $ senkrecht sind, ist ein solches Produkt ein Vektor, und wenn sie parallel sind, ist ein solches Produkt ein Pseudoskalar. Im Allgemeinen ist ein solches Produkt jedoch eine Summe aus einem Vektor und einem Pseudoskalar. Zufällig heben sich alle Pseudoskalarprodukte, die bei der Expansion der Rotation auftreten, am Ende auf und es bleibt nur ein Vektor.

Ein weiteres Beispiel (wenn auch etwas erfunden) für eine Vektor + Pseudoskalarsumme kann gefunden werden, indem man die Verallgemeinerung der Maxwell-Gleichung in der Ingenieurantennentheorie betrachtet, die fiktive magnetische Quellen einschließt. Man kann ein Multivektorpotentialfeld konstruieren, das sowohl ein Vektorpotential als auch ein magnetisches Skalarpotential enthält, wie folgt: $ A = c oldsymbol cdot mathbf - eta i phi_m sigma_0.$ Dieses Potential hat beides Vektor- und pseudoskalare Komponenten, aber im Allgemeinen auch skalare und bivektorielle Komponenten.


Konjugation mit Pauli-Matrizen

wobei $|0 angle=egin1 0ende$ und $|1 angle=egin0 1ende$. Entwickeln Sie nun den ersten Teil der vorgeschlagenen Gleichheit unter Verwendung der obigen Beziehungen:

Start Start frac<1><4>sum_^3sigma_jAsigma_j &=frac<1><4>(sigma_0Asigma_0+sigma_1Asigma_1+sigma_2Asigma_2+sigma_3Asigma_3) & = frac<0 .4>[(| anglelangle0|+|1 anglelangle1|)A|(0 anglelangle0|+|1 anglelangle1|)+(|0 anglelangle1|+|1 anglelangle0|) A(|0 anglelangle1|+|1 anglelangle0|) & +i^2(|1 anglelangle0|-|0 anglelangle1|)A(|1 angle langle0|-|0 anglelangle1|)+(|0 anglelangle0|-|1 anglelangle1|)A(|0 anglelangle0|-|1 anglelangle1|)] & =frac<1><4>[|0 anglelangle0|A|0 anglelangle0|+|0 anglelangle0|A|1 anglelangle1|+|1 anglelangle1| A|0 anglelangle0|+|1 anglelangle1|A|1 anglelangle1| & + |0 anglelangle1|A|0 anglelangle1|+|0 anglelangle1|A|1 anglelangle0|+|1 anglelangle0|A|0 anglelangle1 |+|1 anglelangle0|A|1 anglelangle0| & - (|1 anglelangle0|A|1 anglelangle0|+|1 anglelangle0|A|0 anglelangle1|+|0 anglelangle1|A|1 angle langle0|+|0 anglelangle1|A|0 anglelangle1|) & +|0 anglelangle0|A|0 anglelangle0|-|0 anglelangle0|A|1 ranglelangle1|-|1 anglelangle1|A|0 anglelangle0|+|1 anglelangle1|A|1 anglelangle1|] & =frac<1><4>[ 2|0 anglelangle0|A|0 anglelangle0|+2|1 anglelangle1|A|1 anglelangle1|+2|0 anglelangle1|A|1 anglelangle0| +2|1 anglelangle0|A|0 anglelangle1|] & = frac<1><2>[|0 anglelangle0|A|0 anglelangle0|+|1 ranglelangle1|A|1 anglelangle1|+|0 anglelangle1|A|1 anglelangle0|+|1 anglelangle0|A|0 anglelangle1|] . Ende Ende

An dieser Stelle ist der Effekt der Multiplikation dieser Matrizen mit der Matrix $A=egina & b c & dend$ muss analysiert werden:

  • $|0 anglelangle0|A|0 anglelangle0|=egin1 & 0 0 & 0endeStarta & b c & dendStart1 & 0 0 & 0ende=eginnena & 0 0 & 0ende$.
  • $|1 anglelangle1|A|1 anglelangle1|=egin0 & 0 0 & 1endeStarta & b c & dendStart0 & 0 0 & 1ende=eginnen0 & 0 0 & dend$.
  • $|0 anglelangle1|A|1 anglelangle0|=egin0 & 1 0 & 0endeStarta & b c & dendStart0 & 0 1 & 0ende=eginnend & 0 0 & 0ende$.
  • $|1 anglelangle0|A|0 anglelangle1|=egin0 & 0 1 & 0endeStarta & b c & dendStart0 & 1 0 & 0ende=eginnen0 & 0 0 & aend$.

Unter Verwendung solcher Beziehungen und der Tatsache, dass $tr(A)=a+d$ ist, setzen wir die oben begonnene Ableitung aus dem letzten Schritt fort

Start Start frac<1><4>sum_^3sigma_jAsigma_j &=frac<1><2>[|0 anglelangle0|A|0 anglelangle0|+|1 anglelangle1|A|1 anglelangle1|+| 0 anglelangle1|A|1 anglelangle0|+|1 anglelangle0|A|0 anglelangle1|] & = frac<1><2>left[egina & 0 0 & 0ende + egin0 & 0 0 & dend + egind & 0 0 & 0ende + egin0 & 0 0 & aend ight]=frac<1><2>egina+d & 0 0 & a+dend & = frac<2>egin1 & 0 0 & 1ende=frac<2>Ich. Ende Ende

Beachten Sie, dass bei der Ableitung der Gleichheit die Einschränkung, dass $A$ positiv definit sein muss, nicht verwendet wurde, sodass die Gleichheit für alle $2 imes 2$-Matrizen gilt.


Riassunto

Si estende al caso di un numero qualunque di particelle simili (Spin 1/2) nel sistema di due particelle, la derivazione di una proprietà delle equazioni di campo non lineari di una nuova teoria dell'elettrodinamica quantistica, che del principe le conse di esclusione di Pauli per un tale sistema. Il risultato segue esattamente da a procedimento non lineare e sviluppato puramente sulla teoria di campo, applicato alla descrizione del sistema din particelle, e basato sui due postulati fondamentali cheein) richiedono l’invarianza rispetto alle passenden transformazioni del gruppo non omogeneo di Lorentz, eB) che si prenda come entità elementare l’interazione fra particelle anzichè i campi liberi delle particelle. Si estende il risultato ottenuto a limite non relativistico di particelle non interagenti in cui si dimostra che il campo di interazione della teoria si riduce alla funzione d’onda antisimmetrica per il sistema din particelle della teoria di Schrödinger.


Geometrische Algebra in der Quantenmechanik

Vorwort. Diese Arbeiten analysieren die quantenmechanische Dirac-Theorie des Elektrons in Bezug auf seine geometrische Struktur, wie sie durch eine Umformulierung in Bezug auf die Raumzeit-Algebra offenbart wird. Das Hauptergebnis ist, dass die Dirac-Wellenfunktion psi in die invariante Operatorform zerlegt werden kann

während die imaginäre Einheit in der Dirac-Gleichung Notwendig mit Elektronenspin identifiziert. Dieses auffallende Ergebnis wurde erstmals [1] aus einer Formulierung im Buch STA abgeleitet, die übrigens bereits gezeigt hat, dass Imaginäre Skalare sind in der Dirac-Theorie überflüssig. Alternative Ableitungen, die sich direkter auf die Standardmatrixformulierung beziehen, sind in [3] und einem Anhang zu [2] angegeben. Das in [2] verwendete Verfahren macht transparent, dass die sogenannten "Fierz-Identitäten für bilineare Kovarianten" triviale Konsequenzen der obigen invarianten Form für die Wellenfunktion sind. Paper [2] liefert eine kompakte und vollständige Formulierung und Analyse lokaler Erhaltungssätze in der Ein-Teilchen-Dirac-Theorie. Vergleichbare Ableitungen durch Standard-Matrix- und Tensor-Methoden sind fast zehnmal länger, wie in der in [2] zitierten Arbeit von Takabayashi zu sehen ist. Eine analoge Behandlung lokaler Erhaltungssätze in Schrödingers Theorie spielt eine wesentliche Rolle in der Bohmschen Interpretation der Quantenmechanik. Papier [2] macht die Komplikationen der Erweiterung des Bohmschen Ansatzes auf die relativistische QM explizit.

Die nichtrelativistische Behandlung lokaler Erhaltungssätze einschließlich des Spins wird in [5] gegeben und in [6] weiter diskutiert. Die Hauptaussage dieser Papiere ist, dass Standardinterpretationen der Quantenmechanik (einschließlich Böhms) den Zusammenhang zwischen Spin und imaginären Zahlen, der der Dirac-Theorie inhärent ist, nicht berücksichtigen. Die notwendigen Verbindungen zwischen Dirac-, Pauli- und Schroedinger-Theorien werden in [4] hergeleitet, wobei auf Inkonsistenzen zwischen Standardinterpretationen hingewiesen wird.

Paper [3] betont, dass die gängigen Interpretationen von Pauli- und Dirac-Matrizen als quantenmechanische Operatoren ungerechtfertigt und schlecht durchdacht sind. GA macht absolut klar, dass diese Matrizen Richtungen im Raum und in der Raumzeit darstellen, ohne jegliche Auswirkungen auf den Spin. Tatsächlich wird der Spin entgegen der Behauptung von Dirac und der landläufigen Meinung nicht durch Gammamatrizen in die Dirac-Theorie eingeführt, sondern durch die Definition von Energie-Impuls-Operatoren. Die STA-Formulierung der Dirac-Theorie macht diese Tatsache explizit. Mehr zu diesem und anderen Fragen der QM-Interpretation in Abschnitt III des Universal Geometric Calculus.

[1] Reale Spinorfelder.

[2] Lokale Observablen in der Dirac-Theorie

[3] Observable, Operatoren und komplexe Zahlen in der Dirac-Theorie

[4] Konsistenz in der Formulierung der Dirac-, Pauli- und Schrödinger-Theorien

[5] Lokale Observablen in der Quantentheorie

[6] Spin und Unsicherheit bei der Interpretation der Quantenmechanik

Abstrakt: Eine strenge Ableitung der Schrödinger-Theorie aus der Pauli- (oder Dirac-)Theorie impliziert, dass die Schrödinger-Gleichung ein Elektron in einem Eigenzustand des Spins beschreibt. Darüber hinaus wird die kinetische Energie im Grundzustand vollständig durch die Elektronenspindichte bestimmt. Dies lässt sich durch die Interpretation des Spins als Bahndrehimpuls erklären, der zwangsläufig von einer kinetischen Energie begleitet wird. Daher, der Spin ist ein Nullpunktsdrehimpuls, der mit der Nullpunktsenergie des Elektrons verbunden ist. Da die Streuung des Elektronenimpulses durch die Nullpunktsenergie bestimmt wird, können die Heisenbergschen Unschärferelationen für ein Elektron als Eigenschaft der Elektronenspinbewegung interpretiert werden. Die kinetische Interpretation des Spins und die statistische Interpretation der Quantenmechanik können gemeinsam getragen werden, indem man das Elektron als Punktteilchen betrachtet. Daraus folgt, dass stationäre Elektronenzustände Quellen fluktuierender elektrischer Felder sind. Es gibt Grund zu der Annahme, dass diese fluktuierenden Felder für die Van-der-Waals-Kraft verantwortlich sind und mit elektromagnetischen Vakuumfeldfluktuationen identifiziert werden können. Die kinetische Interpretation des Spins impliziert dann, dass die Van-der-Waals-Kräfte spinabhängig sind. Diese Ideen stimmen nicht nur mit dem herkömmlichen mathematischen Formalismus der Quantenmechanik überein, sie liefern auch eine vollständigere und kohärentere Interpretation vieler Details des Formalismus als die alternative Kopenhagener Interpretation. Sie weisen jedoch einige Schwierigkeiten auf, die, wenn die kinetische Interpretation des Spins richtig ist, wahrscheinlich eine Modifikation der Quantenelektrodynamik erfordern, um gelöst zu werden.

[7] Geometrie der Dirac-Theorie

Abstrakt: Die Dirac-Wellenfunktion wird in einer Form dargestellt, in der alle ihre Komponenten offensichtliche geometrische und physikalische Interpretationen haben. Sechs Komponenten, die eine Lorentz-Transformation bilden, die die Elektronengeschwindigkeit bestimmt, sind Spinrichtungen. Dies liefert die Grundlage für einen rigorosen Zusammenhang zwischen der relativistischen Starrkörperdynamik und der zeitlichen Entwicklung der Wellenfunktion. Die Streumatrix erhält eine neue Form als Spinor-wertiger Operator und nicht als komplexe Funktion. Der Ansatz offenbart eine geometrische Struktur der Streumatrix und vereinfacht Streuberechnungen. Diese Behauptung wird durch eine explizite Berechnung des differentiellen Wirkungsquerschnitts und der Polarisationsänderung bei der Coulomb-Streuung gestützt. Implikationen für die Struktur und Interpretation der relativistischen Quantentheorie werden diskutiert.

D. Hestenes, Ursprünglich veröffentlicht in: Ein Symposium zur Mathematik der physikalischen Raumzeit, Facultad de Quimica, Universidad Nacional Autonoma de Mexico, Mexiko-Stadt, Mexiko (1981), 67-96.
D. Hestenes

[8] Geheimnisse und Einsichten der Dirac-Theorie

Abstrakt: Die Dirac-Gleichung hat eine verborgene geometrische Struktur, die durch Umformulierung in Form einer realen Raumzeitalgebra manifestiert wird. Dies zeigt einen wesentlichen Zusammenhang zwischen Spin und komplexen Zahlen mit tiefgreifenden Auswirkungen auf die Interpretation der Quantenmechanik. Unter anderem schlägt es vor, dass Spin mit einer intrinsischen Zitterbewegung identifiziert werden sollte, um eine vollständige Interpretation der Quantenmechanik zu erreichen.

D. Hestenes, veröffentlicht in: Annales de la Fondation Louis de Broglie, vol. 28, 390–408 (2003).
D. Hestenes

[9] Zitterbewegung in der Quantenmechanik

Abstrakt: Die Möglichkeit, dass die Zitterbewegung ein Fenster zur Teilchensubstruktur in der Quantenmechanik öffnet, wird untersucht, indem ein Teilchenmodell mit strukturellen Merkmalen konstruiert wird, die der Dirac-Gleichung innewohnen. Diese Arbeit entwickelt ein in sich geschlossenes dynamisches Modell des Elektrons als lichtähnliches Teilchen mit helixförmiger Zitterbewegung und elektromagnetischen Wechselwirkungen. Das Modell lässt periodische Lösungen mit quantisierter Energie zu, und das richtige magnetische Moment wird durch Ladungszirkulation erzeugt. Sie schreibt dem Elektron ein mit ultrahoher Frequenz rotierendes elektrisches Dipolmoment zu, und die Möglichkeit, dieses direkt als Resonanz beim Elektronenkanalisieren zu beobachten, wird detailliert analysiert. Die Entsprechung mit der Dirac-Gleichung wird diskutiert. Eine Modifikation der Dirac-Gleichung wird vorgeschlagen, um das rotierende Dipolmoment einzubeziehen.

D. Hestenes, veröffentlicht in: Grundlagen der Physik, vol. 40, 1-54 (2010) DOI 10.1007/s10701-009-9360-3.
D. Hestenes