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3.5: Implizite Differenzierung - Mathematik


In den vorherigen Abschnitten haben wir gelernt, die Ableitung (frac{dy}{dx}) oder (y^prime) zu finden, wenn (y) gegeben ist ausdrücklich als Funktion von (x). Wenn wir (x) kennen, können wir (y) direkt finden.)

Manchmal ist die Beziehung zwischen (y) und (x) nicht explizit; eher ist es implizit. Zum Beispiel wissen wir vielleicht, dass (x^2-y=4). Diese Gleichheit definiert eine Beziehung zwischen (x) und (y); Wenn wir (x) kennen, könnten wir (y) herausfinden. Können wir noch (y^prime) finden? In diesem Fall sicher; wir lösen nach (y) auf, um (y=x^2-4) zu erhalten (daher kennen wir jetzt (y) explizit) und differenzieren dann zu (y^prime =2x).

Manchmal die implizit Die Beziehung zwischen (x) und (y) ist kompliziert. Angenommen, wir haben (sin(y)+y^3=6-x^3). Ein Graph dieser impliziten Funktion ist in Abbildung 2.19 dargestellt. In diesem Fall gibt es absolut keine Möglichkeit, nach (y) nach elementaren Funktionen aufzulösen. Das Überraschende ist jedoch, dass wir (y^prime) immer noch über einen Prozess namens finden können implizite Differenzierung.

Die implizite Differenzierung ist eine auf der Kettenregel basierende Technik, die verwendet wird, um eine Ableitung zu finden, wenn die Beziehung zwischen den Variablen implizit und nicht explizit gegeben ist (aufgelöst für eine Variable in Bezug auf die andere).

Wir beginnen mit der Überprüfung der Kettenregel. Seien (f) und (g) Funktionen von (x). Dann [frac{d}{dx}Big(f(g(x))Big) = f^prime(g(x))cdot g'(x).] Es sei nun ( y=g(x)). Wir können das obige umschreiben als [frac{d}{dx}Big(f(y))Big) = f^prime(y))cdot y^prime , quad ext{or} quad frac{d}{dx}Big(f(y))Big)= f^prime(y)cdot frac{dy}{dx}.label{2.1} ag{2.1} ] Diese Gleichungen sehen seltsam aus; Das Schlüsselkonzept, das wir hier lernen müssen, ist, dass wir (y^prime) finden können, auch wenn wir nicht genau wissen, wie (y) und (x) zusammenhängen.

Wir demonstrieren diesen Vorgang im folgenden Beispiel.

Beispiel 67: Implizite Differenzierung verwenden

Finden Sie (y^prime) unter der Voraussetzung (sin(y) + y^3=6-x^3).

Lösung

Wir beginnen mit der Ableitung beider Seiten (wodurch die Gleichheit aufrechterhalten wird.) Wir haben:

[ frac{d}{dx}Big(sin(y) + y^3Big)=frac{d}{dx}Big(6-x^3Big).]

Die rechte Seite ist einfach; es gibt (-3x^2) zurück.

Die linke Seite erfordert mehr Aufmerksamkeit. Wir nehmen den abgeleiteten Term-by-Term. Mit der oben aus Gleichung 2.1 abgeleiteten Technik können wir sehen, dass [frac{d}{dx}Big(sin yBig) = cos y cdot y^prime .]

Wir wenden das gleiche Verfahren auf den (y^3)-Term an.

[frac{d}{dx}Big(y^3Big) = frac{d}{dx}Big((y)^3Big) = 3(y)^2cdot y^ prime .]

Zusammen mit der rechten Seite haben wir

[cos(y)y^prime +3y^2y^prime = -3x^2.]

Lösen Sie nun nach (y^prime) auf.

[egin{align*} cos(y)y^prime +3y^2y^prime &= -3x^2. ig(cos y+3y^2ig)y^prime &= -3x^2 y^prime &= frac{-3x^2}{cos y+3y^2} end{align*}]

Diese Gleichung für (y^prime) erscheint wahrscheinlich ungewöhnlich, da sie sowohl (x)- als auch (y)-Terme enthält. Wie ist es zu verwenden? Wir werden das als nächstes ansprechen.

Implizite Funktionen sind im Allgemeinen schwieriger zu handhaben als explizite Funktionen. Mit einer expliziten Funktion haben wir bei einem gegebenen (x)-Wert eine explizite Formel zur Berechnung des entsprechenden (y)-Werts. Bei einer impliziten Funktion muss man oft (x)- und (y)-Werte finden zur selben Zeit die die Gleichung erfüllen. Es ist viel einfacher zu zeigen, dass ein gegebener Punkt die Gleichung erfüllt, als einen solchen Punkt tatsächlich zu finden.

Zum Beispiel können wir leicht behaupten, dass der Punkt ((sqrt[3]{6},0)) auf dem Graphen der impliziten Funktion (sin y + y^3=6-x^3 ). Setzen wir (0) für (y) ein, sehen wir auf der linken Seite (0). Wenn wir (x=sqrt[3]6) setzen, sehen wir, dass die rechte Seite auch (0) ist; die Gleichung ist erfüllt. Im folgenden Beispiel wird die Tangentengleichung an diese Funktion an dieser Stelle ermittelt.

Beispiel 68: Verwenden der impliziten Differenzierung, um eine Tangente zu finden

Finden Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve der implizit definierten Funktion (sin y + y^3=6-x^3) im Punkt ((sqrt[3]6,0)).

Lösung

In Beispiel 67 haben wir festgestellt, dass [y^prime = frac{-3x^2}{cos y +3y^2}.]Wir finden die Steigung der Tangente im Punkt ((sqrt[ 3]6,0)) durch Einsetzen von (sqrt[3]6) für (x) und (0) für (y). Somit haben wir im Punkt ((sqrt[3]6,0)) die Steigung als [y^prime = frac{-3(sqrt[3]{6})^2}{ cos 0 + 3cdot0^2} = frac{-3sqrt[3]{36}}{1} approx -9,91.]

Daher lautet die Tangentengleichung an die implizit definierte Funktion (sin y + y^3=6-x^3) im Punkt ((sqrt[3]{6},0)) [y = -3sqrt[3]{36}(x-sqrt[3]{6})+0 approx -9,91x+18.]Die Kurve und diese Tangente sind in Abbildung 2.20 dargestellt.

Dies legt eine allgemeine Methode zur impliziten Differenzierung nahe. Gehen Sie für die folgenden Schritte davon aus, dass (y) eine Funktion von (x) ist.

  1. Nehmen Sie die Ableitung jedes Termes in der Gleichung. Behandeln Sie die (x)-Terme wie gewohnt. Bei der Ableitung von (y)-Termen gelten die üblichen Regeln, außer dass wir wegen der Kettenregel jeden Term mit (y^prime) multiplizieren müssen.
  2. Holen Sie sich alle (y^prime)-Terme auf einer Seite des Gleichheitszeichens und setzen Sie die restlichen Terme auf die andere Seite.
  3. Faktor aus (y^prime ); durch Division nach (y^prime) auflösen.

Praktischer Hinweis: Bei Handarbeit kann es von Vorteil sein, statt (y^prime) das Zeichen (frac{dy}{dx}) zu verwenden, da letzteres leicht mit (y) verwechselt werden kann. oder (y^1).

Beispiel 69: Implizite Differenzierung verwenden

Gegeben sei die implizit definierte Funktion (y^3+x^2y^4=1+2x), finde (y^prime).

Lösung

Wir werden die impliziten Ableitungen Term für Term nehmen. Die Ableitung von (y^3) ist (3y^2y^prime).

Der zweite Term, (x^2y^4), ist etwas knifflig. Sie erfordert die Produktregel, da sie das Produkt zweier Funktionen von (x) ist: (x^2) und (y^4). Seine Ableitung ist (x^2(4y^3y^prime) + 2xy^4). Der erste Teil dieses Ausdrucks erfordert ein (y^prime), weil wir die Ableitung eines (y)-Terms nehmen. Der zweite Teil erfordert es nicht, weil wir die Ableitung von (x^2) nehmen.

Die Ableitung der rechten Seite ist leicht (2). Insgesamt erhalten wir:

[3y^2y^prime + 4x^2y^3y^prime + 2xy^4 = 2.]

Verschieben Sie Terme so, dass die linke Seite nur aus den (y^prime)-Termen und die rechte Seite aus allen anderen Termen besteht:

[3y^2y^prime + 4x^2y^3y^prime = 2-2xy^4.]

Ziehe (y^prime) von der linken Seite aus und löse auf, um zu erhalten

[y^prime = frac{2-2xy^4}{3y^2+4x^2y^3}.]

Um die Gültigkeit unserer Arbeit zu bestätigen, suchen wir die Gleichung einer Tangente an diese Funktion an einem Punkt. Es ist leicht zu bestätigen, dass der Punkt ((0,1)) auf dem Graphen dieser Funktion liegt. An dieser Stelle gilt (y^prime = 2/3). Die Tangentengleichung lautet also (y = 2/3(x-0)+1). Die Funktion und ihre Tangente sind in Abbildung 2.21 grafisch dargestellt.

Beachten Sie, dass unsere Funktion ganz anders aussieht als andere Funktionen, die wir gesehen haben. Zum einen besteht es den vertikalen Linientest nicht. Solche Funktionen sind in vielen Bereichen der Mathematik wichtig, daher ist es auch wichtig, Werkzeuge zu entwickeln, um damit umzugehen.

Beispiel 70: Implizite Differenzierung verwenden

Gegeben sei die implizit definierte Funktion (sin(x^2y^2)+y^3=x+y), finde (y^prime).

Lösung

Term für Term zu unterscheiden, finden wir im ersten Term am schwierigsten. Es erfordert sowohl die Ketten- als auch die Produktregeln.

[egin{align*} frac{d}{dx}Big(sin(x^2y^2)Big) &= cos(x^2y^2)cdotfrac{d}{ dx}Big(x^2y^2Big) &= cos(x^2y^2)cdotig(x^2(2yy^prime )+2xy^2ig) & = 2(x^2yy^prime +xy^2)cos(x^2y^2). end{ausrichten*} ]

Die Ableitungen der anderen Terme überlassen wir dem Leser. Nachdem wir die Ableitungen beider Seiten genommen haben, haben wir

[2(x^2yy^prime +xy^2)cos(x^2y^2) + 3y^2y^prime = 1 + y^prime .]

Wir müssen jetzt vorsichtig sein, um richtig nach (y^prime) aufzulösen, insbesondere wegen des Produkts auf der linken Seite. Am besten multiplizieren Sie das Produkt. Dabei bekommen wir

[2x^2ycos(x^2y^2)y^prime + 2xy^2cos(x^2y^2) + 3y^2y^prime = 1 + y^prime .]

Von hier aus können wir Begriffe sicher verschieben, um Folgendes zu erhalten:

[2x^2ycos(x^2y^2)y^prime + 3y^2y^prime - y^prime = 1 - 2xy^2cos(x^2y^2).]

Dann können wir nach (y^prime) auflösen, um zu erhalten

[y^prime = frac{1 - 2xy^2cos(x^2y^2)}{2x^2ycos(x^2y^2)+3y^2-1}.]

Ein Graph dieser impliziten Funktion ist in Abbildung 2.22 dargestellt. Es ist leicht zu überprüfen, dass die Punkte ((0,0)), ((0,1)) und ((0,-1)) alle auf dem Graphen liegen. Wir können die Steigungen der Tangenten an jedem dieser Punkte mit unserer Formel für (y^prime) ermitteln.

Bei ((0,0)) beträgt die Steigung (-1).

Bei ((0,1)) beträgt die Steigung (1/2).

Bei ((0,-1)) ist die Steigung auch (1/2).

Die Tangentenlinien wurden dem Funktionsgraphen in Abbildung 2.23 hinzugefügt.

Nicht wenige "berühmte" Kurven haben Gleichungen, die implizit gegeben sind. Wir können die implizite Differentiation verwenden, um die Steigung an verschiedenen Punkten dieser Kurven zu finden. Wir untersuchen zwei solcher Kurven in den nächsten Beispielen.

Beispiel 71: Ermitteln von Neigungen von Tangentiallinien an einen Kreis

Finden Sie die Steigung der Tangente an den Kreis (x^2+y^2=1) im Punkt ((1/2, sqrt{3}/2)).

Lösung

Durch Ableitungen erhalten wir (2x+2yy^prime =0). Auflösen nach (y^prime) ergibt: [ y^prime = frac{-x}{y}.]

Das ist eine clevere Formel. Denken Sie daran, dass die Steigung der Geraden durch den Ursprung und den Punkt ((x,y)) auf dem Kreis (y/x) ist. Wir haben festgestellt, dass die Steigung der Tangente an den Kreis an diesem Punkt der umgekehrte Kehrwert von (y/x) ist, nämlich (-x/y). Daher stehen diese beiden Geraden immer senkrecht.

Im Punkt ((1/2, sqrt{3}/2)) haben wir die Steigung der Tangente als

[y^prime = frac{-1/2}{sqrt{3}/2} = frac{-1}{sqrt{3}} approx -0.577.]

Ein Graph des Kreises und seiner Tangente bei ((1/2,sqrt{3}/2)) ist in Abbildung 2.24 dargestellt, zusammen mit einer dünnen gestrichelten Linie vom Ursprung, die senkrecht zur Tangente steht. (Es stellt sich heraus, dass alle normalen Linien zu einem Kreis durch den Mittelpunkt des Kreises gehen.)

Dieser Abschnitt hat gezeigt, wie man die Ableitungen von implizit definierten Funktionen findet, deren Graphen eine Vielzahl interessanter und ungewöhnlicher Formen enthalten. Die implizite Differenzierung kann auch verwendet werden, um unser Verständnis von „regulärer“ Differenzierung zu erweitern.

Eine Lücke in unserem derzeitigen Verständnis von Ableitungen ist folgende: Was ist die Ableitung der Quadratwurzelfunktion? Das heißt [frac{d}{dx}ig(sqrt{x}ig) = frac{d}{dx}ig(x^{1/2}ig) = ext{ ?}]

Wir spielen auf eine mögliche Lösung an, da wir die Quadratwurzelfunktion als Potenzfunktion mit einer rationalen (oder gebrochenen) Potenz schreiben können. Wir sind dann versucht, die Potenzregel anzuwenden und erhalten [frac{d}{dx}ig(x^{1/2}ig) = frac12x^{-1/2} = frac{1} {2sqrt{x}}.]

Das Problem dabei ist, dass die Potenzregel ursprünglich nur für positive ganzzahlige Potenzen definiert wurde, (n>0). Obwohl wir dies damals nicht begründeten, wird die Potenzregel im Allgemeinen mit dem sogenannten Binomialsatz bewiesen, der sich nur mit positiven ganzen Zahlen befasst. Die Quotientenregel ermöglichte es uns, die Potenzregel auf negative ganzzahlige Potenzen zu erweitern. Die implizite Differenzierung ermöglicht es uns, die Potenzregel auf rationale Potenzen auszudehnen, wie unten gezeigt.

Sei (y = x^{m/n}), wobei (m) und (n) ganze Zahlen ohne gemeinsame Faktoren sind (also (m=2) und (n=5) ist in Ordnung, aber (m=2) und (n=4) ist es nicht). Wir können diese explizite Funktion implizit umschreiben als (y^n = x^m). Wenden Sie nun implizite Differenzierung an.

[egin{align*}y &= x^{m/n} y^n &= x^m frac{d}{dx}ig(y^nig) &= frac{d}{dx}ig(x^mig) ncdot y^{n-1}cdot y^prime &= mcdot x^{m-1} y^ prime &= frac{m}{n} frac{x^{m-1}}{y^{n-1}} quad ext{(ersetze jetzt (x^{m/n} ) für (y))} &= frac{m}{n} frac{x^{m-1}}{(x^{m/n})^{n-1}} quad ext{(viel Algebra anwenden)} &= frac{m}nx^{(mn)/n} &= frac{m}nx^{m/n -1}.end {ausrichten*}]

Die obige Herleitung ist der Schlüssel zum Beweis der Erweiterung der Potenzregel auf rationale Potenzen. Mit Hilfe von Limits können wir dies noch einmal erweitern um alle Potenzen, einschließlich irrationaler (sogar transzendentaler!) Potenzen, ergibt den folgenden Satz.

Satz 21: Potenzregel für die Differenzierung

Sei (f(x) = x^n), wobei (n eq 0) eine reelle Zahl ist. Dann ist (f) eine differenzierbare Funktion und (f^prime(x) = ncdot x^{n-1}).

Dieser Satz erlaubt uns zu sagen, dass die Ableitung von (x^pi) (pi x^{pi -1}) ist.

Diese letzte Version der Potenzregel wenden wir nun im nächsten Beispiel an, der zweiten Untersuchung einer „berühmten“ Kurve.

Beispiel 72: Verwenden der Potenzregel

Finden Sie die Steigung von (x^{2/3}+y^{2/3}=8) im Punkt ((8,8)).

Lösung

Dies ist eine besonders interessante Kurve namens an Astroide. Es ist die Form, die von einem Punkt am Rand eines Kreises gezeichnet wird, der innerhalb eines größeren Kreises herumrollt, wie in Abbildung 2.25 gezeigt.

Um die Steigung des Astroiden im Punkt ((8,8) zu bestimmen, nehmen wir implizit die Ableitung.

[egin{align*} frac23x^{-1/3}+frac23y^{-1/3}y^prime &=0 frac23y^{-1/3}y^prime & = -frac23x^{-1/3} y^prime &= -frac{x^{-1/3}}{y^{-1/3}} y^prime &= -frac{y^{1/3}}{x^{1/3}} = -sqrt[3]{frac{y}x}. end{ausrichten*}]

Setzen wir (x=8) und (y=8) ein, erhalten wir eine Steigung von (-1). Der Astroid mit seiner Tangente bei ((8,8)) ist in Abbildung 2.26 dargestellt.

Implizite Differenzierung und die zweite Ableitung

Wir können implizite Differentiation verwenden, um Ableitungen höherer Ordnung zu finden. Theoretisch ist das einfach: Zuerst (frac{dy}{dx}) finden, dann seine Ableitung nach (x) nehmen. In der Praxis ist es nicht schwer, erfordert aber oft ein wenig Algebra. Wir demonstrieren dies an einem Beispiel.

Beispiel 73: Ermitteln der zweiten Ableitung

Gegeben (x^2+y^2=1), finde (frac{d^2y}{dx^2} = y^{primeprime}).

Lösung

Wir haben in Beispiel 71 festgestellt, dass (y^prime = frac{dy}{dx} = -x/y) gilt. Um (y^{primeprime}) zu finden, wenden wir implizite Differentiation auf (y^prime).

[egin{align*} y^{primeprime} &= frac{d}{dx}ig(y^prime ig) &= frac{d}{dx}left (-frac xy ight)qquad ext{(Nun benutze die Quotientenregel.)} &= -frac{y(1) - x(y^prime )}{y^2} end {ausrichten*}]

ersetze (y^prime) durch (-x/y):

[egin{align*}&= -frac{yx(-x/y)}{y^2} &= -frac{y+x^2/y}{y^2}. end{ausrichten*}]

Dies ist zwar kein besonders einfacher Ausdruck, aber er ist verwendbar. Wir sehen, dass (y^{primeprime}>0) für (y<0) und (y^{primeprime}<0) für (y>0) gilt. In Abschnitt 3.4 werden wir sehen, wie dies mit der Form des Graphen zusammenhängt.

Logarithmische Differenzierung

Betrachten Sie die Funktion (y=x^x); es ist in Abbildung 2.27 grafisch dargestellt. Es ist wohldefiniert für (x>0) und wir könnten daran interessiert sein, Gleichungen von tangentialen und senkrechten Linien zu seinem Graphen zu finden. Wie nehmen wir seine Ableitung?

Die Funktion ist keine Potenzfunktion: sie hat eine "Potenz" von (x), keine Konstante. Sie ist keine Exponentialfunktion: sie hat eine "Basis" von (x), keine Konstante .

Eine Differenzierungstechnik, bekannt als logarithmische Differenzierung wird hier nützlich. Das Grundprinzip ist folgendes: Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus beider Seiten einer Gleichung (y=f(x)) und verwenden Sie dann implizite Differentiation, um (y^prime) zu finden. Dies demonstrieren wir im folgenden Beispiel.

Beispiel 74: Verwendung der logarithmischen Differenzierung

Gegeben (y=x^x) verwenden Sie logarithmische Differentiation, um (y^prime) zu finden.

Lösung

Wie oben vorgeschlagen, nehmen wir zunächst den natürlichen Logarithmus beider Seiten und wenden dann implizite Differentiation an.

[egin{align*} y &= x^x ln (y) &= ln (x^x) ext{(Logarithmusregel anwenden)} ln (y) &= x ln x ext{(verwende jetzt implizite Differentiation)} frac{d}{dx}Big(ln (y)Big) &= frac{d}{dx}Big(xln x Big) frac{y^prime }{y} &= ln x + xcdotfrac1x frac{y^prime }{y} &= ln x + 1 y ^prime &= yig(ln x+1ig) ext{(Ersatz (y=x^x))} y^prime &= x^xig(ln x +1groß). end{ausrichten*} ]

Um unsere Antwort zu "testen", verwenden wir sie, um die Gleichung der Tangente bei (x=1.5) zu finden. Der Punkt auf dem Graphen, durch den unsere Tangente gehen muss, ist ((1.5, 1.5^{1.5} ) approx (1.5, 1.837)) Mit der Gleichung für (y^prime) finden wir die Steigung als

[y^prime = 1,5^{1,5}ig(ln 1,5+1ig) approx 1,837(1,405) approx 2,582.]

Die Tangentengleichung lautet also (y = 1.6833(x-1.5)+1.837). Abbildung 2.28 zeigt (y=x^x) zusammen mit dieser Tangente.

Die implizite Differenzierung erweist sich als nützlich, da sie es uns ermöglicht, die momentanen Änderungsraten einer Vielzahl von Funktionen zu finden. Insbesondere erweiterte es die Potenzregel auf rationale Exponenten, die wir dann auf alle reellen Zahlen erweiterten. Im nächsten Abschnitt wird implizite Differentiation verwendet, um die Ableitungen von . zu finden invers Funktionen wie (y=sin^{-1} x).


Manchmal die implizit Weg funktioniert dort, wo der explizite Weg schwer oder unmöglich ist.

Beispiel: 10x 4 - 18xy 2 + 10y 3 = 48

Wie lösen wir nach y auf? Wir müssen nicht!

  • Differenzieren Sie zunächst nach x (verwenden Sie die Produktregel für den xy 2 -Term).
  • Verschieben Sie dann alle dy/dx-Terme auf die linke Seite.
  • Auflösen nach dy/dx

(der mittlere Begriff wird unten erklärt)

dy dx = 9y 2 − 20x 3
3(5y 2 − 6xy)

Produktregel

Für den Mittelterm haben wir die Produktregel verwendet: (fg)’ = f g’ + f’ g

Weil (y 2 )’ = 2y dy dx (Wir haben das in einem vorherigen Beispiel herausgearbeitet)

Oh und dxdx = 1, also x’ = 1


ABSCHNITT 3.5 Implizite Differentiation 215 3.5 ÜBUNGEN 1-4 29. xy (2x 2y2 x, (0.) (Niere) (a) Bestimme y' durch implizite Differentiation (b) Löse die Gleichung explizit nach y und differenziere zu erhalten y in Bezug auf x. (c) Überprüfen Sie, ob Ihre Lösungen für die Teile (a) und (b) konsistent sind, indem Sie den Ausdruck für y in Ihre Lösung für Teil (a) einsetzen 1. 9x2 y2 1 2. 2x2x + xy 1 3. 1 2 4. 30. x2/y2/4, (-3/3, 1), (Astroid) - =4 5-20 Finde dy/dx durch implizite Differentiation 5. x2-4xy + y2 4 6. 2x2+xy y2 = 2 7. x+x'y2y 5 8. x-xy2 y= 1 31. 2(x2y225(x2-y2), ( 3, 1), (Lemniskate) x2 10. xe xy 9. = y2 + 1 x+ y 12. Cos(xy) 1 + sin y 11. y cos x x2 + y 14. e' sin xx + xy 13. Vx +y x+ y Vx2 +y 15. e xy 16. xy 32 . y(y 4) x(x -5), (0,-2), (Teufelskurve) 17. tan (xy) x + xy 18. x sin y + y sin x 1 20. tan(xy ) 19. sin(xy) cos(x + y) 1x2 21. Falls f(x) +x[f(x)]' = 10 und f(1) = 2, finde f'(1). 22. Falls g(x) +x sin g(x) x, bestimme g' (0) 33. (a) Die Kurve mit Gleichung 5x-x2 ist Kampyle von Eudoxus genannt. Finden Sie eine Gleichung der Tam-Linie zu dieser Kurve am Punkt (1, 2). (b) Veranschaulichen Sie Teil (a), indem Sie die Kurve und die t-Linie auf einem gemeinsamen Bildschirm grafisch darstellen. (Wenn Ihr Diagramm implizit definierte Kurven grafisch darstellt, dann verwenden Sie diese Eigenschaft. Wenn nicht, können Sie diese Kurve immer noch grafisch darstellen, indem Sie die obere und untere Hälfte separat erfassen.) 23-24 Betrachten Sie y als unabhängige Variable und x als abhängige dent Variable und verwenden Sie implizite Differentiation, um dx/dy zu finden. 24. y sec x x tan y 23. xy2-x'y + 2xy 0 25-32 Verwenden Sie implizite Differentiation, um eine Gleichung der Tangente an die Kurve an dem gegebenen Punkt zu finden. (T/2, T/4) x +3x2 ist Calle 34. (a) Die Kurve mit Gleichung y Tschirnhausen kubisch. Finden Sie eine Gleichung der Geraden zu dieser Kurve am Punkt (1, -2). (b) An welchen Punkten hat diese Kurve horizontale Tangenten? (c) Veranschaulichen Sie die Teile (a) und (b), indem Sie die Schnitttangenten auf einem gemeinsamen Bildschirm grafisch darstellen. 25. y sin 2x x cos 2y, (T, T) 2x 2y, 26. sin(x + y) 27. xxy y2= 1, (2, 1) (Hyperbel) 28. x2xy +4y 12, (2, 1) (Ellipse)

Ich brauche Hilfe bei der Suche dy/dx zu Frage Nr. 9 in Abschnitt 3.5, Seite 215, der James Stewart Calculus Achte Ausgabe Lehrbuch.

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ABSCHNITT 3.5 Implizite Differentiation 215 3.5 ÜBUNGEN 1-4 29. xy (2x 2y2 x, (0.) (Niere) (a) Bestimme y' durch implizite Differentiation (b) Löse die Gleichung explizit nach y und differenziere zu erhalten y in Bezug auf x. (c) Überprüfen Sie, ob Ihre Lösungen für die Teile (a) und (b) konsistent sind, indem Sie den Ausdruck für y in Ihre Lösung für Teil (a) einsetzen 1. 9x2 y2 1 2. 2x2x + xy 1 3. 1 2 4. 30. x2/y2/4, (-3/3, 1), (Astroid) - =4 5-20 Finde dy/dx durch implizite Differentiation 5. x2-4xy + y2 4 6. 2x2+xy y2 = 2 7. x+x'y2y 5 8. x-xy2 y= 1 31. 2(x2y225(x2-y2), ( 3, 1), (Lemniskate) x2 10. xe xy 9. = y2 + 1 x+ y 12. Cos(xy) 1 + sin y 11. y cos x x2 + y 14. e' sin xx + xy 13. Vx +y x+ y Vx2 +y 15. e xy 16. xy 32 . y(y 4) x(x -5), (0,-2), (Teufelskurve) 17. tan (xy) x + xy 18. x sin y + y sin x 1 20. tan(xy ) 19. sin(xy) cos(x + y) 1x2 21. Falls f(x) +x[f(x)]' = 10 und f(1) = 2, finde f'(1). 22. Falls g(x) +x sin g(x) x, bestimme g' (0) 33. (a) Die Kurve mit Gleichung 5x-x2 ist Kampyle von Eudoxus genannt. Finden Sie eine Gleichung der Tam-Linie zu dieser Kurve am Punkt (1, 2). (b) Veranschaulichen Sie Teil (a), indem Sie die Kurve und die t-Linie auf einem gemeinsamen Bildschirm grafisch darstellen. (Wenn Ihr Diagramm implizit definierte Kurven grafisch darstellt, verwenden Sie diese Eigenschaft. Wenn nicht, können Sie diese Kurve immer noch grafisch darstellen, indem Sie die obere und untere Hälfte separat erfassen.) 23-24 Betrachten Sie y als unabhängige Variable und x als Abhängigkeit. dent Variable und verwenden Sie implizite Differentiation, um dx/dy zu finden. 24. y sec x x tan y 23. xy2-x'y + 2xy 0 25-32 Verwenden Sie implizite Differentiation, um eine Gleichung der Tangente an die Kurve an dem gegebenen Punkt zu finden. (T/2, T/4) x +3x2 ist Calle 34. (a) Die Kurve mit Gleichung y Tschirnhausen kubisch. Finden Sie eine Gleichung der Geraden zu dieser Kurve am Punkt (1, -2). (b) An welchen Punkten hat diese Kurve horizontale Tangenten? (c) Veranschaulichen Sie die Teile (a) und (b), indem Sie die Schnitttangenten auf einem gemeinsamen Bildschirm grafisch darstellen. 25. y sin 2x x cos 2y, (T, T) 2x 2y, 26. sin(x + y) 27. xxy y2= 1, (2, 1) (Hyperbel) 28. x2xy +4y 12, (2, 1) (Ellipse)


Math 140 Calculus mit analytischer Geometrie I

Blaue Buchbeschreibung: Infinitesimalrechnung ist ein wichtiger Baustein in der Ausbildung eines jeden Fachmanns, der quantitative Analyse verwendet. In diesem Kurs werden die mathematischen Fähigkeiten eingeführt und entwickelt, die für die Analyse von Veränderungen und die Erstellung mathematischer Modelle erforderlich sind, die reale Phänomene nachbilden. Zu den Zielen unserer Analysis-Kurse gehört es, das Wissen der Schüler über Analysis-Techniken zu entwickeln und die Analysis-Umgebung zu nutzen, um kritisches Denken und Fähigkeiten zur Problemlösung zu entwickeln. Das Konzept der Grenze ist von zentraler Bedeutung für die Infinitesimalrechnung MATH 140 beginnt mit einer Untersuchung dieses Konzepts. Zu den Themen der Differentialrechnung gehören Derivate und ihre Anwendungen auf Änderungsraten, verwandte Raten, Linearisierung, Optimierung und grafische Darstellungstechniken. Das Fundamental Theorem of Calculus, das Differential- und Integralrechnung in Beziehung setzt, beginnt das Studium der Integralrechnung. Antidifferenzierung und Substitutionstechnik werden in Integrationsanwendungen verwendet, um Flächen von ebenen Figuren und Volumen von Rotationskörpern zu finden. Trigonometrische Funktionen sind in jedem Thema enthalten. Studierende können nur einen Kurs für die Anrechnung von MATH 110, 140, 140A, 140B und 140H belegen.

Voraussetzungen: Mathe 22 und Mathe 26 oder Mathe 26 und zufriedenstellende Leistung bei der Einstufungsprüfung Mathematik oder Mathematik 40 oder Mathe 41 oder zufriedenstellende Leistung bei der Einstufungsprüfung Mathematik

Voraussetzung für: MATH 141, MATH 141B, MATH 220

Bachelor of Arts: Quantifizierung
Allgemeinbildung: Quantifizierung (GQ)
GenEd-Lernziel: Kritisches und analytisches Denken
GenEd-Lernziel: Schlüsselkompetenzen

Empfohlenes Lehrbuch:
Single Variable Calculus: Early Transcendentals, Vol 1, 8. Auflage, von James Stewart, herausgegeben von Brookes/Cole Cengage Learning.
Erkundigen Sie sich bei Ihrem Lehrer, ob dies das Lehrbuch ist, das für Ihren Abschnitt verwendet wird.

Themen:
Kapitel 2: Limits und Derivate
2.1 Das Tangenten- und Geschwindigkeitsproblem
2.2 Die Grenze einer Funktion
2.3 Berechnung von Limits mit Hilfe der Limitgesetze
2.4 Die genaue Definition eines Limits (optional),
2.5 Kontinuität
2.6 Grenzen bei unendlichen horizontalen Asymptoten
2.7 Derivate und Änderungsraten
2.8 Die Ableitung als Funktion

Kapitel 3: Differenzierungsregeln
3.1 Ableitungen von Polynomen und Exponentialfunktionen
3.2 Die Produkt- und Quotientenregeln
3.3 Ableitungen trigonometrischer Funktionen
3.4 Die Kettenregel
3.5 Implizite Differenzierung
3.6 Ableitungen logarithmischer Funktionen
3.7 Veränderungsraten der Natur- und Sozialwissenschaften (optional)
3.8 Exponentielles Wachstum und Verfall (optional)
3.9 Verwandte Preise

Kapitel 4: Anwendungen der Differenzierung
4.1 Maximal- und Minimalwerte
4.2 Der Mittelwertsatz
4.3 Wie Ableitungen die Form eines Graphen beeinflussen
4.4 Unbestimmte Formen und L’Hospital’s-Regel
4.5 Zusammenfassung der Kurvenskizze
4.7 Optimierungsprobleme
4.8 Newton-Methode (optional)
4.9 Stammfunktionen

Kapitel 5: Integrale
5.1 Gebiete und Entfernungen
5.2 Das bestimmte Integral
5.3 Der Fundamentalsatz der Analysis
5.4 Unbestimmte Integrale und das Netzänderungstheorem
5.5 Die Ersetzungsregel

Kapitel 6: Anwendungen der Integration
6.1 Bereiche zwischen Kurve
6.2 Bände
6.2 Volumen nach zylindrischen Schalen (optional)
6.4 Arbeit (optional)
6.5 Durchschnittswert einer Funktion (optional)


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Letzte Antwort von: Arshin Jain
So 15.12.2013 23:22

Beitrag von Steve Denton am 11. Oktober 2012

In Beispiel 5 um 16:00 Uhr erfordert das Addieren der Zählerterme die Multiplikation des ersten Terms mit sin y/sin y und sollte daher sin x sin^2 y sein. Richtig?

Letzte Antwort von: Steve Denton
Do 11. Okt 2012 19:59

Beitrag von James Xie am 5. Juli 2012

Für das Problem: x + sin(x) = (x^2)(y^2), das ist die Arbeit, die ich gemacht habe:
1) 1 + cos(y)(dy/dx) = 2(x^2)y(dy/dx) + 2x(y^2)
2)(dy/dx)(cos(y)-2(x^2)y) = 2x(y^2)-1
3)(dy/dx) = (2x(y^2)-1)/(cos(y)-2(x^2)y)
Wäre das auch richtig? (Entschuldigung, wenn es hier unklar aussieht)

Letzte Antwort von: Joshua Spears
Di 26.02.2013 13:06

Beitrag von James Xie am 5. Juli 2012

Für das Beispiel zweiter Ordnung, warum ist es 4(8y+1)^2 am Anfang der endgültigen Antwort? Sollte es nicht mit 4(8y+1) beginnen?


Implizite Differenzierung

die die obere und untere Hälfte eines Kreises sind, um die funktionale Beziehung vollständig zu definieren.

Und xy = sin( y )+ x 2 y 2 (die magentafarbenen Kurven in der linken Abbildung) kann weder nach y als explizite Funktion von x noch nach x als explizite Funktion von y aufgelöst werden. Diese implizite Funktion wird in Beispiel 2 betrachtet.

Überraschenderweise können wir die Ableitung impliziter Funktionen genauso nehmen wie die Ableitung expliziter Funktionen. Wir nehmen einfach die Ableitung jeder Seite der Gleichung und denken daran, die abhängige Variable als Funktion der unabhängigen Variablen zu behandeln, wenden die Differenzierungsregeln an und lösen nach der Ableitung auf. Zurück zu unserem ursprünglichen Beispiel:

Dies ist natürlich das Ergebnis der Differenzierung der expliziten Form y = 2 x -3 nach x .

Dieses einfache Beispiel mag nicht sehr aufschlussreich sein. Betrachten Sie das zweite Beispiel, die Gleichung, die einen Kreis mit Radius 3 beschreibt, der im Ursprung zentriert ist. Nimmt man die Ableitung beider Seiten nach x unter Verwendung der Potenzregel für die Ableitung von y ,

Aus den Abbildungen ist ersichtlich, dass die Steigung der Tangente für jeden Teil des Kreises das entgegengesetzte Vorzeichen des Verhältnisses x / y hat und dass der Betrag der Steigung größer wird, wenn sich der Tangentenpunkt der x-Achse nähert .

(In diesem Fall erfordert das Auffinden von dy/dx als explizite Funktion von x die Anwendung der Potenzregel für gebrochene Potenzen, die normalerweise später betrachtet wird. Dieses Beispiel kann als Vorgeschmack auf die kommenden Dinge betrachtet werden.)

Einige Beispiele:

Beachten Sie, dass dieser Ausdruck gelöst werden kann, um x als explizite Funktion von y zu erhalten, indem eine kubische Gleichung gelöst wird, und das Finden von y als explizite Funktion von x würde das Lösen einer quartischen Gleichung beinhalten, von denen keine in unserem Plan enthalten ist.

Unter Verwendung der Kettenregel und Behandlung von y als implizite Funktion von x ,

In diesem Fall werden sowohl die Kettenregel als auch die Produktregel vorteilhaft verwendet:

Die Verwendung von inversen trigonometrischen Funktionen ermöglicht es, dies wie gezeigt nach y als explizite Funktion von x aufzulösen und grafisch darzustellen. Diese Funktion dient jedoch als gutes Beispiel für implizite Differenzierung:


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Mathematik 144: Geschäftsrechnung

1) 22.08.2017 - Lehrplan durchgehen. Sehen Sie sich einige wichtige Konzepte von College Algebra an.
Algebra Review Handout
TUTORIAL VIDEO (Wichtig): ALGEBRA REVIEW-Brüche, Exponenten, Ungleichungen, Gleichungen lösen.
Tutorial-Video: Was ist eine Funktion?


2) 24.08.2017 - Ein wenig mehr Rückblick zu Beginn des Unterrichts, dann beginne mit Kapitel 2.1 - Einführung in das Limit.
Tutorial-Video: Rationale Ausdrücke und Domäne
Tutorial-Video: Warum Grenzen in der Analysis wichtig sind
Tutorial-Video: Einführung in das Limit

3) 29.08.2017 - Kapitel 2.1 Fortsetzung. Grenzwerteigenschaften, Grenzwerte polynomialer und rationaler Funktionen, Zwischenform.
****HAUSAUFGABEN 1 IST HEUTE NACHT um 23:59 UHR FÄLLIG.
Tutorial-Video: Eigenschaften von Grenzen
Tutorial-Video: Grenzen von Polynomfunktionen
Tutorial-Video: Grenzen polynomialer und rationaler Funktionen

4) 31.08.2017 - Kapitel 2.1 Fortsetzung (Ja, wir haben 3 Unterrichtsstunden in diesem Abschnitt verbracht. Dies ist ein sehr wichtiges Konzept und ich möchte, dass Sie es vollständig verstehen).
**Tutorial-Video:** Einseitige Grenzen aus Diagrammen – Bezogen auf Problem 4-7 auf HW2.


10) 26.09.2017 - Kapitel 3.1 - Die Konstante "e". Überprüfung der Exponential- und Logarithmusfunktion. Definieren Sie den Wert "e" als Grenzwert.
Tutorial-Video: Die Konstante "e" als Grenzwert
Tutorial-Video: Eine Einführung in Exponentialfunktionen
Tutorial-Video: Exponentielle Funktionen grafisch darstellen

12) 03.10.2017 - Kapitel 3.2 - Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen.
Wir haben zu Beginn des Unterrichts 8 verschiedene Beispiele gemacht.

Kapitel 3.3 - Produktregel. Wir machen die Quotientenregel am Donnerstag, den 05.10.2017.
Tutorial-Video: Beispiele für Produktregeln
Tutorial video: More examples of product rule
Tutorial video: Proof of product rule (In case you are intersted)

15) 10/10/2017 - Chapter 3.4- "Chain Rule" continue.
Tutorial video: More examples of chain rule.
Please IGNORE the part about TRIG functions. We don't study trig function in this class. Tutorial video: Another example of chain rule
Tutorial video: More examples of chain rule
Tutorial video: Even more examples chain rule :-)

16) 10/12/2017 - Chapter 3.5- Implicit differentiation Cont.
Tutorial video: Examples of implicit differentiation
Tutorial video: More examples but PLEASE IGNOTE TRIG FUNCTIONS (Sin(x) Cos(x) etc.) since we do not study trig functions in this course
logarithm differentiation using implicit differentiation https://www.youtube.com/watch?v=Q27MGfI1V70

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MATH 161: Calculus I

Note: MATH 162A uses a different textbook. Namely, James Stewart. Calculus, Early Transcendentals (WebAssign eBook) 8th ed. Cengage Learning. Be sure you are reading the correct information.

Kapitel 1: Functions and Models
1.1 Four Ways to Represent a Function
1.2 Mathematical Models: A Catalog of Essential Functions
1.3 New Functions from Old Functions
1.4 Exponential Functions and Logarithms
1.5 Inverse Functions and Logarithms
Optional: Graphing with calculators, Mathematica, Wolfram Alpha (pp. xxiv-xxv)

Kapitel 2: Limits and Derivatives
2.1 The Tangent and Velocity Problems
2.2 The Limit of a Function
2.3 Calculating Limits Using the Limit Laws
2.4 The Precise Definition of a Limit
2.5 Continuity
2.6 Limits at Infinity Horizontal Asymptotes
2.7 Derivatives and Rates of Change
2.8 The Derivative as a Function

Chapter 3: Differentiation Rules
3.1 Derivatives of Polynomials and Exponential Functions
3.2 The Product and Quotient Rules
3.3 Derivatives of Trigonometric Functions
3.4 Die Kettenregel
3.5 Implicit Differentiation
3.6 Derivatives of Logarithmic Functions
3.7 Rates of Change in Natural and Social Sciences
3.8 Exponential Growth and Decay
3.9 Related Rates
3.10 Linear Approximations and Differentials
3.11 Optional: Hyperbolic Functions

Chapter 4: Applications of Derivatives
4.1 Maximum and Minimum Values
4.2 The Mean Value Theorem
4.3 How Derivatives Affect the Shape of a Graph
4.4 Indeterminate Forms and l'Hospital's Rule
4.5 Summary of Curve Sketching
4.6 Optional: Graphing with Calculus and Calculators
4.7 Optimization Problems
4.8 Optional: Newton's Method
4.9 Antiderivatives

Chapter 5: Integrals
5.1 Areas and Distances
5.2 The Definite Integral
5.3 Der Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung
5.4 Indefinite Integrals and the Net Change Theorem
5.5 The Substitution Rule


Schau das Video: Explizites u0026 Implizites Differenzieren Grundlagen. Mathe by Daniel Jung (September 2021).