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6.3: Taylor- und Maclaurin-Reihe


Lernziele

  • Beschreiben Sie das Verfahren zum Finden eines Taylor-Polynoms einer bestimmten Ordnung für eine Funktion.
  • Erklären Sie die Bedeutung und Bedeutung des Satzes von Taylor mit Rest.
  • Schätzen Sie den Rest für eine Taylor-Reihen-Approximation einer gegebenen Funktion ab.

In den vorherigen beiden Abschnitten haben wir diskutiert, wie man Potenzreihendarstellungen für bestimmte Arten von Funktionen findet – insbesondere Funktionen, die sich auf geometrische Reihen beziehen. Hier diskutieren wir Potenzreihendarstellungen für andere Arten von Funktionen. Dabei gehen wir insbesondere folgenden Fragen nach: Welche Funktionen lassen sich durch Potenzreihen darstellen und wie finden wir solche Darstellungen? Wenn wir eine Potenzreihendarstellung für eine bestimmte Funktion (f) finden können und die Reihe in einem Intervall konvergiert, wie beweisen wir dann, dass die Reihe tatsächlich gegen (f) konvergiert?

Übersicht über die Taylor/Maclaurin-Serie

Betrachten Sie eine Funktion (f), die eine Potenzreihendarstellung bei (x=a) hat. Dann hat die Reihe die Form

[sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n=c_0+c_1(x−a)+c_2(x−a)^2+ dots. label{eq1}]

Wie sollen die Koeffizienten sein? Im Moment ignorieren wir Konvergenzprobleme, sondern konzentrieren uns stattdessen darauf, was die Reihe sein sollte, falls eine existiert. Wir kommen später in diesem Abschnitt auf die Konvergenz zurück. Wenn die Reihe Gleichung ef{eq1} eine Darstellung für (f) bei (x=a) ist, wollen wir sicherlich, dass die Reihe (f(a)) bei (x=a) entspricht. . Wenn wir die Reihe bei (x=a) auswerten, sehen wir, dass

[sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n=c_0+c_1(a−a)+c_2(a−a)^2+dots=c_0.label{eq2}]

Somit ist die Reihe gleich (f(a)), falls der Koeffizient (c_0=f(a)). Außerdem möchten wir, dass die erste Ableitung der Potenzreihe bei (x=a) gleich (f′(a)) ist. Wenn wir Gleichung ef{eq2} Term für Term differenzieren, sehen wir, dass

[dfrac{d}{dx}left( sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n ight)=c_1+2c_2(x−a)+3c_3(x−a)^ 2+dots.label{eq3}]

Daher ist bei (x=a,) die Ableitung

[dfrac{d}{dx}left( sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n ight)=c_1+2c_2(a−a)+3c_3(a−a)^ 2+dots=c_1.label{eq4}]

Daher ist die Ableitung der Reihe gleich (f′(a)), falls der Koeffizient (c_1=f′(a).) So fortfahrend suchen wir nach Koeffizienten (c_n) mit allen Ableitungen der Potenzreihe Gleichung ef{eq4} stimmen mit allen entsprechenden Ableitungen von (f) bei (x=a) überein. Die zweite und dritte Ableitung von Gleichung ef{eq3} sind gegeben durch

[dfrac{d^2}{dx^2} left(sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n ight)=2c_2+3⋅2c_3(x−a)+4 ⋅3c_4(x−a)^2+dotslabel{eq5}]

und

[dfrac{d^3}{dx^3} left( sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n ight)=3⋅2c_3+4⋅3⋅2c_4(x− a)+5⋅4⋅3c_5(x−a)^2+⋯.label{eq6}]

Daher ist bei (x=a) die zweite und dritte Ableitung

[dfrac{d^2}{dx^2} left(sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n ight)=2c_2+3⋅2c_3(a−a)+4 ⋅3c_4(a−a)^2+dots=2c_2label{eq7}]

und

[dfrac{d^3}{dx^3} left(sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n ight)=3⋅2c_3+4⋅3⋅2c_4(a− a)+5⋅4⋅3c_5(a−a)^2+dots =3⋅2c_3label{eq8}]

gleich (f''(a)) bzw. (f'''(a)), falls (c_2=dfrac{f''(a)}{2}) und (c_3 =dfrac{f'''(a)}{3⋅2}). Im Allgemeinen sehen wir, dass, wenn (f) eine Potenzreihendarstellung bei (x=a) hat, die Koeffizienten gegeben sein sollten durch (c_n=dfrac{f^{(n)}(a) }{n!}). Das heißt, die Serie sollte sein

[sum_{n=0}^∞dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^n=f(a)+f′(a)(x− a)+dfrac{f''(a)}{2!}(x−a)^2+dfrac{f'''(a)}{3!}(x−a)^3+⋯ ]

Diese Potenzreihe für (f) ist als Taylor-Reihe für (f) in (a.) bekannt. Falls (x=0), dann ist diese Reihe als Maclaurin-Reihe für (f ).

Definition (PageIndex{1}): Maclaurin- und Taylor-Reihen

Wenn (f) Ableitungen aller Ordnungen an (x=a) hat, dann giltTaylor-Reihe für die Funktion (f) in (a) ist

[sum_{n=0}^∞dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^n=f(a)+f′(a)(x− a)+dfrac{f''(a)}{2!}(x−a)^2+⋯+dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a) ^n+⋯]

Die Taylor-Reihe für (f) bei 0 ist bekannt als Maclaurin-Reihe für (f).

Später in diesem Abschnitt werden wir Beispiele für das Finden von Taylor-Reihen zeigen und Bedingungen diskutieren, unter denen die Taylor-Reihe für eine Funktion gegen diese Funktion konvergiert. Hier stellen wir ein wichtiges Ergebnis fest. Denken Sie daran, dass Potenzreihendarstellungen eindeutig sind. Wenn also eine Funktion (f) eine Potenzreihe in (a) hat, dann muss es die Taylor-Reihe für (f) in (a) sein.

Einzigartigkeit der Taylor-Serie

Wenn eine Funktion (f) eine Potenzreihe bei a hat, die auf einem offenen Intervall mit (a) gegen (f) konvergiert, dann ist diese Potenzreihe die Taylorreihe für (f) bei ( ein).

Der Beweis folgt direkt aus dem zuvor diskutierten.

Um zu bestimmen, ob eine Taylor-Reihe konvergiert, müssen wir uns ihre Folge von Partialsummen ansehen. Diese Teilsummen sind endliche Polynome, bekannt als Taylorpolynome.

Taylor-Polynome

DannNS Teilsumme der Taylor-Reihe für eine Funktion (f) in (a) ist bekannt als nNS Taylorpolynom. Zum Beispiel die 0NS, 1NS, 2nd, und 3rd Teilsummen der Taylor-Reihe sind gegeben durch

[egin{align*} p_0(x) =f(a) [4pt] p_1(x) =f(a)+f′(a)(x−a) [4pt]p_2(x ) =f(a)+f′(a)(x−a)+dfrac{f''(a)}{2!}(x−a)^2 [4pt]p_3(x) = f(a)+f′(a)(x−a)+dfrac{f''(a)}{2!}(x−a)^2+dfrac{f'''(a)}{ 3!}(x−a)^3 end{align*}]

beziehungsweise. Diese Teilsummen werden als 0 . bezeichnetNS, 1NS, 2nd, und 3rd Taylor-Polynome von (f) bei (a). Falls (x=a), dann sind diese Polynome bekannt als Maclaurin-Polynome für (f). Wir geben nun eine formale Definition von Taylor- und Maclaurin-Polynomen für eine Funktion (f).

Definition (PageIndex{2}): Maclaurin-Polynom

Wenn (f) hat n Ableitungen an (x=a), dann ist das n-te Taylor-Polynom für (f) an (a)

[p_n(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+dfrac{f''(a)}{2!}(x−a)^2+dfrac{f' ''(a)}{3!}(x−a)^3+⋯+dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^n.]

Das nNS Das Taylor-Polynom für (f) bei 0 ist als n . bekanntNS Maclaurin-Polynom für (f).

Wir zeigen nun, wie man mit dieser Definition mehrere Taylor-Polynome für (f(x)=ln x) bei (x=1) findet.

Beispiel (PageIndex{1}): Finden von Taylor-Polynomen

Finden Sie die Taylor-Polynome (p_0,p_1,p_2) und (p_3) für (f(x)=ln x) bei (x=1). Verwenden Sie ein grafisches Dienstprogramm, um den Graphen von (f) mit den Graphen von (p_0,p_1,p_2) und (p_3) zu vergleichen.

Lösung

Um diese Taylor-Polynome zu finden, müssen wir (f) und seine ersten drei Ableitungen bei (x=1) auswerten.

(f(x)=lnx) (f(1)=0)

(f′(x)=dfrac{1}{x}) (f′(1)=1)

(f''(x)=−dfrac{1}{x^2}) (f''(1)=−1)

(f'''(x)=dfrac{2}{x^3}) (f'''(1)=2)

Deswegen,

[egin{align*} p_0(x) =f(1)=0,[4pt]p_1(x) =f(1)+f′(1)(x−1) =x−1, [4pt]p_2(x) =f(1)+f′(1)(x−1)+dfrac{f''(1)}{2}(x−1)^2 = (x− 1)−dfrac{1}{2}(x−1)^2 [4pt]p_3(x) =f(1)+f′(1)(x−1)+dfrac{f'' (1)}{2}(x−1)^2+dfrac{f'''(1)}{3!}(x−1)^3=(x−1)−dfrac{1}{ 2}(x−1)^2+dfrac{1}{3}(x−1)^3 end{align*}]

Die Graphen von (y=f(x)) und den ersten drei Taylor-Polynomen sind in Abbildung (PageIndex{1}) dargestellt.

Übung (PageIndex{1})

Finden Sie die Taylor-Polynome (p_0,p_1,p_2) und (p_3) für (f(x)=dfrac{1}{x^2}) bei (x=1).

Hinweis

Finden Sie die ersten drei Ableitungen von (f) und berechnen Sie sie zu (x=1.)

Antworten

[ p_0(x)=1]

[p_1(x)=1−2(x−1)]

[p_2(x)=1−2(x−1)+3(x−1)^2]

[p_3(x)=1−2(x−1)+3(x−1)^2−4(x−1)^3]

Wir zeigen nun, wie man Maclaurin-Polynome für (e^x, sin x,) und (cos x) findet. Wie oben erwähnt, sind Maclaurin-Polynome Taylor-Polynome, die bei Null zentriert sind.

Beispiel (PageIndex{2}): Maclaurin-Polynome finden

Finden Sie für jede der folgenden Funktionen Formeln für die Maclaurin-Polynome (p_0,p_1,p_2) und (p_3). Finden Sie eine Formel für die nMaclaurin-Polynom und schreiben Sie es in Sigma-Notation. Verwenden Sie ein graphisches Dienstprogramm, um die Graphen von (p_0,p_1,p_2) und (p_3) mit (f) zu vergleichen.

  1. (f(x)=e^x)
  2. (f(x)=sinx)
  3. (f(x)=cosx)

Lösung

Da (f(x)=e^x), wissen wir, dass (f(x)=f′(x)=f''(x)=⋯=f^{(n)}(x)= e^x) für alle positiven ganzen Zahlen n. Deswegen,

[f(0)=f′(0)=f''(0)=⋯=f^{(n)}(0)=1 onumber]

für alle positiven ganzen Zahlen n. Daher haben wir

(p_0(x)=f(0)=1,)

(p_1(x)=f(0)+f′(0)x=1+x,)

(p_2(x)=f(0)+f′(0)x+dfrac{f''(0)}{2!}x^2=1+x+dfrac{1}{2}x^2 ),

(p_3(x)=f(0)+f′(0)x+dfrac{f''(0)}{2}x^2+dfrac{f'''(0)}{3!} x^3=1+x+dfrac{1}{2}x^2+dfrac{1}{3!}x^3),

(p_n(x)=f(0)+f′(0)x+dfrac{f''(0)}{2}x^2+dfrac{f'''(0)}{3!} x^3+⋯+dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=1+x+dfrac{x^2}{2!}+dfrac{x^3} {3!}+⋯+dfrac{x^n}{n!}=sum_{k=0}^ndfrac{x^k}{k!}).

Die Funktion und die ersten drei Maclaurin-Polynome sind in Abbildung 2 dargestellt.

B. Für (f(x)=sin x) sind die Werte der Funktion und ihrer ersten vier Ableitungen bei (x=0) wie folgt gegeben:

(f(x)=sinx) (f(0)=0)

(f′(x)=cos x) (f′(0)=1)

(f''(x)=−sin x) (f''(0)=0)

(f'''(x)=−cos x) (f'''(0)=−1)

(f^{(4)}(x)=sinx) (f^{(4)}(0)=0).

Da die vierte Ableitung (sin x,) ist, wiederholt sich das Muster. Das heißt, (f^{(2m)}(0)=0) und (f^{(2m+1)}(0)=(−1)^m) für (m≥0). ) Somit haben wir

(p_0(x)=0,)

(p_1(x)=0+x=x,)

(p_2(x)=0+x+0=x,)

(p_3(x)=0+x+0−dfrac{1}{3!}x^3=x−dfrac{x^3}{3!},)

(p_4(x)=0+x+0−dfrac{1}{3!}x^3+0=x−dfrac{x^3}{3!}),

(p_5(x)=0+x+0−dfrac{1}{3!}x^3+0+dfrac{1}{5!}x^5=x−dfrac{x^3} {3!}+dfrac{x^5}{5!}),

und für (m≥0),

(p_{2m+1}(x)=p_{2m+2}(x)=x−dfrac{x^3}{3!}+dfrac{x^5}{5!}−⋯+ (−1)^mdfrac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}=sum_{k=0}^m(−1)^kdfrac{x^{2k+1 }}{(2k+1)!}).

Graphen der Funktion und ihrer Maclaurin-Polynome sind in Abbildung 3 dargestellt.

C. Für (f(x)=cos x) sind die Werte der Funktion und ihrer ersten vier Ableitungen bei (x=0) wie folgt gegeben:

(f(x)=cosx) (f(0)=1)

(f′(x)=−sinx) (f′(0)=0)

(f''(x)=−cos x) (f''(0)=−1)

(f'''(x)=sin x) (f'''(0)=0)

(f^{(4)}(x)=cos x) (f^{(4)}(0)=1.)

Da die vierte Ableitung (sin x) ist, wiederholt sich das Muster. Mit anderen Worten, (f^{(2m)}(0)=(−1)^m) und (f^{(2m+1)}=0) für (m≥0). Deswegen,

(p_0(x)=1,)

(p_1(x)=1+0=1,)

(p_2(x)=1+0−dfrac{1}{2!}x^2=1−dfrac{x^2}{2!}),

(p_3(x)=1+0−dfrac{1}{2!}x^2+0=1−dfrac{x^2}{2!}),

(p_4(x)=1+0−dfrac{1}{2!}x^2+0+dfrac{1}{4!}x^4=1−dfrac{x^2}{2 !}+dfrac{x^4}{4!}),

(p_5(x)=1+0−dfrac{1}{2!}x^2+0+dfrac{1}{4!}x^4+0=1−dfrac{x^2} {2!}+dfrac{x^4}{4!}),

und für (n≥0),

(p_{2m}(x)=p_{2m+1}(x)=1−dfrac{x^2}{2!}+dfrac{x^4}{4!}−⋯+(− 1)^mdfrac{x^{2m}}{(2m)!}=sum_{k=0}^m(−1)^kdfrac{x^{2k}}{(2k)!} ).

Graphen der Funktion und der Maclaurin-Polynome erscheinen in Abbildung 4.

Übung (PageIndex{2})

Finden Sie Formeln für die Maclaurin-Polynome (p_0,p_1,p_2) und (p_3) für (f(x)=dfrac{1}{1+x}).

Finden Sie eine Formel für die nth Maclaurin-Polynom. Schreiben Sie Ihre Antwort in Sigma-Notation.

Hinweis

Werten Sie die ersten vier Ableitungen von (f) aus und suchen Sie nach einem Muster.

Antworten

(p_0(x)=1;p_1(x)=1−x;p_2(x)=1−x+x^2;p_3(x)=1−x+x^2−x^3;p_n( x)=1−x+x^2−x^3+⋯+(−1)^nx^n=_{k=0}^n(−1)^kx^k)

Satz von Taylor mit Rest with

Denken Sie daran, dass die nTaylor-Polynom für eine Funktion (f) bei a ist die n-te Teilsumme der Taylor-Reihe für (f) bei ein. Um zu bestimmen, ob die Taylor-Reihe konvergiert, müssen wir daher bestimmen, ob die Folge von Taylor-Polynomen ({p_n}) konvergiert. Wir wollen jedoch nicht nur wissen, ob die Folge von Taylor-Polynomen konvergiert, sondern auch, ob sie gegen (f) konvergiert. Um diese Frage zu beantworten, definieren wir den Rest (R_n(x)) als

[R_n(x)=f(x)−p_n(x).]

Damit die Folge von Taylor-Polynomen gegen (f) konvergiert, brauchen wir den Rest (R_n), um gegen Null zu konvergieren. Um zu bestimmen, ob (R_n) gegen Null konvergiert, führen wir Satz von Taylor mit Rest. Dieser Satz ist nicht nur nützlich, um zu beweisen, dass eine Taylor-Reihe gegen ihre zugehörige Funktion konvergiert, sondern erlaubt uns auch zu quantifizieren, wie gut die nDas Taylor-Polynom approximiert die Funktion.

Hier suchen wir nach einer Schranke auf (|R_n|.) Betrachten Sie den einfachsten Fall: (n=0). Sei (p_0) die 0NS Taylor-Polynom bei a für eine Funktion (f). Der Rest (R_0) erfüllt

(R_0(x)=f(x)−p_0(x)=f(x)−f(a).)

Wenn (f) auf einem Intervall differenzierbar ist ich mit (a) und (x), dann existiert nach dem Mittelwertsatz eine reelle Zahl C zwischen ein und x mit (f(x)−f(a)=f′(c)(x−a)). Deswegen,

[R_0(x)=f′(c)(x−a).]

Mit dem Mittelwertsatz in einem ähnlichen Argument können wir zeigen, dass für (f) n mal differenzierbar auf einem Intervall ich enthält ein und x, dann ist die nRest (R_n) erfüllt

[R_n(x)=dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x−a)^{n+1}]

für eine reelle Zahl C zwischen a und x. Es ist wichtig zu beachten, dass der Wert C im Zähler oben ist nicht das Zentrum ein, sondern ein unbekannter Wert c zwischen ein und x. Diese Formel ermöglicht es uns, eine Schranke für den Rest (R_n) zu erhalten. Wenn wir zufällig wissen, dass (∣f^{(n+1)}(x)∣) durch eine reelle Zahl begrenzt ist m in diesem Intervall ich, dann

[|R_n(x)|≤dfrac{M}{(n+1)!}|x−a|^{n+1}]

für alle x im Intervall ICH.

Wir stellen nun den Satz von Taylor fest, der die formale Beziehung zwischen einer Funktion (f) und ihrem nTaylor-Polynom des Grades (p_n(x)). Dieser Satz erlaubt es uns, den Fehler zu begrenzen, wenn wir ein Taylor-Polynom verwenden, um einen Funktionswert anzunähern, und wird wichtig sein, um zu beweisen, dass eine Taylor-Reihe für (f) gegen (f) konvergiert.

Satz von Taylor mit Rest with

Sei (f) eine Funktion, die (n+1)-mal auf einem Intervall . differenziert werden kann ich enthält die reelle Zahl ein. Sei (p_n) die nTaylor-Polynom von (f) at ein und lass

[R_n(x)=f(x)−p_n(x)]

sei der nte Rest. Dann für jeden x im Intervall ICH, es gibt eine reelle Zahl C zwischen ein und x so dass

[R_n(x)=dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x−a)^{n+1}].

Gibt es eine reelle Zahl (M) mit (∣f^{(n+1)}(x)∣≤M) für alle (x∈I), dann

[|R_n(x)|≤dfrac{M}{(n+1)!}|x−a|^{n+1}]

für alle (x) in (I).

Nachweisen

Fixiere einen Punkt (x∈I) und führe die Funktion g so ein, dass

[g(t)=f(x)−f(t)−f′(t)(x−t)−dfrac{f''(t)}{2!}(x−t)^2− ⋯−dfrac{f^{(n)}(t)}{n!}(x−t)^n−R_n(x)dfrac{(x−t)^{n+1}}{(x −a)^{n+1}}.]

Wir behaupten, dass (g) die Kriterien des Satzes von Rolle erfüllt. Seit (g) ist eine Polynomfunktion (in T), ist es eine differenzierbare Funktion. Ebenfalls, g Null bei (t=a) und (t=x) ist, weil

[ egin{align} g(a) =f(x)−f(a)−f′(a)(x−a)−dfrac{f''(a)}{2!}(x− a)^2+⋯+dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^n−R_n(x) [4pt] =f(x)−p_n( x)−R_n(x) [4pt] =0, [4pt] g(x) =f(x)−f(x)−0−⋯−0 [4pt] =0. end{ausrichten}]

Deswegen, g erfüllt den Satz von Rolle, und folglich gibt es C zwischen ein und x mit (g′(c)=0.) Wir berechnen nun (g′). Mit der Produktregel stellen wir fest, dass

[dfrac{d}{dt}[dfrac{f^{(n)}(t)}{n!}(x−t)^n]=−dfrac{f^{(n)}( t)}{(n−1)!}(x−t)^{n−1}+dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x−t)^n .]

Folglich,

[g′(t)=−f′(t)+[f′(t)−f''(t)(x−t)]+[f''(t)(x−t)−dfrac {f'''(t)}{2!}(x−t)^2]+⋯+[dfrac{f^{(n)}(t)}{(n−1)!}(x− t)^{n−1}−dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x−t)^n]+(n+1)R_n(x)dfrac{ (x−t)^n}{(x−a)^{n+1}}].

Beachten Sie, dass es einen Teleskopeffekt gibt. Deswegen,

[g′(t)=−dfrac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x−t)^n+(n+1)R_n(x)dfrac{(x −t)^n}{(x−a)^{n+1}}].

Aus dem Satz von Rolle schließen wir, dass es eine Zahl gibt C zwischen ein und x mit (g′(c)=0.) Da

[g′(c)=−dfrac{f^{(n+1})(c)}{n!}(x−c)^n+(n+1)R_n(x)dfrac{(x −c)^n}{(x−a)^{n+1}}]

Wir schließen daraus

[−dfrac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x−c)^n+(n+1)R_n(x)dfrac{(x−c)^n} {(x−a)^{n+1}}=0.]

Addiert man den ersten Term auf der linken Seite zu beiden Seiten der Gleichung und dividiert beide Seiten der Gleichung durch (n+1,) kommt man zu dem Schluss, dass

[R_n(x)=dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x−a)^{n+1}]

wie gewünscht. Aus dieser Tatsache folgt, dass wenn es existiert m so dass (∣f^{(n+1)}(x)∣≤M) für alle x In ich, dann

[|R_n(x)|≤dfrac{M}{(n+1)!}|x−a|^{n+1}].

Mit dem Satz von Taylor können wir nicht nur beweisen, dass eine Taylor-Reihe gegen eine Funktion konvergiert, sondern wir können auch die Genauigkeit von Taylor-Polynomen bei der Approximation von Funktionswerten abschätzen. Wir beginnen mit der Betrachtung linearer und quadratischer Näherungen von (f(x)=dfrac[3]{x}) bei (x=8) und bestimmen, wie genau diese Näherungen bei der Schätzung von (dfrac[3 ]{11}).

Beispiel (PageIndex{3}): Verwenden linearer und quadratischer Approximationen zur Schätzung von Funktionswerten Value

Betrachten Sie die Funktion (f(x)=sqrt[3]{x}).

  1. Finden Sie das erste und das zweite Taylor-Polynom für (f) bei (x=8). Verwenden Sie ein grafisches Dienstprogramm, um diese Polynome mit (f) in der Nähe von (x=8.) zu vergleichen.
  2. Verwenden Sie diese beiden Polynome, um (sqrt[3]{11}) abzuschätzen.
  3. Verwenden Sie den Satz von Taylor, um den Fehler zu begrenzen.

Lösung:

A. Für (f(x)=sqrt[3]{x}) lauten die Werte der Funktion und ihrer ersten beiden Ableitungen bei (x=8) wie folgt:

(f(x)=sqrt[3]{x}) (f(8)=2)

(f′(x)=dfrac{1}{3x^{2/3}}) (f′(8)=dfrac{1}{12})

(f''(x)=dfrac{−2}{9x^{5/3}}) (f''(8)=−dfrac{1}{144.})

Somit sind das erste und das zweite Taylor-Polynom bei (x=8) gegeben durch

(p_1(x)=f(8)+f′(8)(x−8))

(=2+dfrac{1}{12}(x−8))

(p_2(x)=f(8)+f′(8)(x−8)+dfrac{f''(8)}{2!}(x−8)^2)

(=2+dfrac{1}{12}(x−8)−dfrac{1}{288}(x−8)^2).

Die Funktion und die Taylor-Polynome sind in Abbildung 4 dargestellt.

B. Mit dem ersten Taylor-Polynom bei (x=8) können wir

[dfrac[3]{11}≈p_1(11)=2+dfrac{1}{12}(11−8)=2.25.]

Unter Verwendung des zweiten Taylor-Polynoms bei (x=8) erhalten wir

[sqrt[3]{11}≈p_2(11)=2+dfrac{1}{12}(11−8)−dfrac{1}{288}(11−8)^2=2.21875. ]

C. Nach Hinweis gibt es a C im Intervall ((8,11)), so dass der Rest bei der Approximation von (sqrt[3]{11}) durch das erste Taylor-Polynom erfüllt

[R_1(11)=dfrac{f''(c)}{2!}(11−8)^2.]

Wir kennen nicht den genauen Wert von C, also finden wir eine obere Schranke für (R_1(11)) indem wir den Maximalwert von (f'') auf dem Intervall ((8,11)) bestimmen. Da (f''(x)=−dfrac{2}{9x^{5/3}}), tritt der größte Wert für (|f''(x)|) in diesem Intervall bei (x=8). Ausgehend von (f''(8)=−dfrac{1}{144}) erhalten wir

(|R_1(11)|≤dfrac{1}{144⋅2!}(11−8)^2=0.03125.)

Um (R_2(11) abzuschätzen) verwenden wir in ähnlicher Weise die Tatsache, dass

(R_2(11)=dfrac{f'''(c)}{3!}(11−8)^3).

Da (f'''(x)=dfrac{10}{27x^{8/3}}), der Maximalwert von (f''') auf dem Intervall ((8,11) ) ist (f'''(8)≈0,0014468). Daher haben wir

(|R_2(11)|≤dfrac{0,0011468}{3!}(11−8)^3≈0,0065104.)

Übung (PageIndex{3}):

Finden Sie das erste und das zweite Taylor-Polynom für (f(x)=sqrt{x}) bei (x=4). Verwenden Sie diese Polynome, um (sqrt{6}) zu schätzen. Verwenden Sie den Satz von Taylor, um den Fehler zu begrenzen.

Hinweis

Bewerte (f(4),f′(4),) und (f''(4).)

Antworten

(p_1(x)=2+dfrac{1}{4}(x−4);p_2(x)=2+dfrac{1}{4}(x−4)−dfrac{1}{ 64}(x−4)^2;p_1(6)=2.5;p_2(6)=2.4375;)

(|R_1(6)|≤0,0625;|R_2(6)|≤0,015625)

Beispiel (PageIndex{4}): Approximieren von (sin x) mit Maclaurin-Polynomen

Aus Beispiel b. sind die Maclaurin-Polynome für (sin x) gegeben durch

[p_{2m+1}(x)=p_{2m+2}(x)=x−dfrac{x^3}{3!}+dfrac{x^5}{5!}−dfrac {x^7}{7!}+⋯+(−1)^mdfrac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} onumber]

für (m=0,1,2,….)

  1. Verwenden Sie das fünfte Maclaurin-Polynom für (sin x), um (sin(dfrac{π}{18})) zu approximieren und den Fehler zu begrenzen.
  2. Für welche Werte von (x) nähert sich das fünfte Maclaurin-Polynom (sin x) auf (0,0001) an?

Lösung

A.

Das fünfte Maclaurin-Polynom ist

[p_5(x)=x−dfrac{x^3}{3!}+dfrac{x^5}{5!}].

Mit diesem Polynom können wir wie folgt abschätzen:

[sin(dfrac{π}{18})≈p_5(dfrac{π}{18})=dfrac{π}{18}−dfrac{1}{3!}(dfrac{π }{18})^3+dfrac{1}{5!}(dfrac{π}{18})^5≈0,173648.]

Um den Fehler abzuschätzen, verwenden Sie die Tatsache, dass das sechste Maclaurin-Polynom (p_6(x)=p_5(x)) ist, und berechnen Sie eine Schranke für (R_6(dfrac{π}{18})). Nach Note ist der Rest

[R_6(dfrac{π}{18})=dfrac{f^{(7)}(c)}{7!}(dfrac{π}{18})^7]

für ein c zwischen 0 und (dfrac{π}{18}). Unter Verwendung der Tatsache, dass (∣f^{(7)}(x)∣≤1) für alle (x) gilt, finden wir, dass der Betrag des Fehlers höchstens

[dfrac{1}{7!}⋅(dfrac{π}{18})^7≤9.8×10^{−10}.]

B.

Wir müssen die Werte von (x) finden, so dass

[dfrac{1}{7}!|x|^7≤0,0001.]

Wenn wir diese Ungleichung nach (x) auflösen, haben wir, dass das fünfte Maclaurin-Polynom eine Schätzung innerhalb von (0,0001) liefert, solange (|x|<0,907.)

Übung (PageIndex{4})

Verwenden Sie das vierte Maclaurin-Polynom für (cos x), um (cos(dfrac{π}{12}) zu approximieren.)

Hinweis

Das vierte Maclaurin-Polynom ist (p_4(x)=1−dfrac{x^2}{2!}+dfrac{x^4}{4!}).

Antworten

0.96593

Da wir nun den Rest (R_n(x) begrenzen können, können wir mit dieser Schranke beweisen, dass eine Taylorreihe für (f) an a gegen (f) konvergiert.

Darstellung von Funktionen mit Taylor- und Maclaurin-Reihen

Wir diskutieren nun Konvergenzprobleme für Taylorreihen. Wir beginnen damit, dass wir zeigen, wie man eine Taylor-Reihe für eine Funktion findet und wie man ihr Konvergenzintervall findet.

Beispiel (PageIndex{5}): Finden einer Taylor-Reihe

Finden Sie die Taylor-Reihe für (f(x)=dfrac{1}{x}) bei (x=1). Bestimmen Sie das Konvergenzintervall.

Lösung

Für (f(x)=dfrac{1}{x},) sind die Werte der Funktion und ihrer ersten vier Ableitungen bei (x=1)

(f(x)=dfrac{1}{x}) (f(1)=1)

(f′(x)=−dfrac{1}{x^2}) (f′(1)=−1)

(f''(x)=dfrac{2}{x^3}) (f''(1)=2!)

(f'''(x)=−dfrac{3⋅2}{x^4}) (f'''(1)=−3!)

(f^{(4)}(x)=dfrac{4⋅3⋅2}{x^5}) (f^{(4)}(1)=4!).

Das heißt, wir haben (f^{(n)}(1)=(−1)^nn!) für alle (n≥0). Daher ist die Taylor-Reihe für (f) bei (x=1) gegeben durch

(displaystyle sum_{n=0}^∞dfrac{f^{(n)}(1)}{n!}(x−1)^n=sum_{n=0}^∞(− 1)^n(x−1)^n).

Um das Konvergenzintervall zu bestimmen, verwenden wir den Verhältnistest. Wir glauben, dass

(dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=dfrac{∣(−1)^{n+1}(x−1)n^{+1}∣}{|( −1)^n(x−1)^n|}=|x−1|).

Somit konvergiert die Reihe, wenn (|x−1|<1.) Das heißt, die Reihe konvergiert für (0

(displaystyle sum_{n=0}^∞(−1)^n(2−1)^n=sum_{n=0}^∞(−1)^n)

divergiert durch den Divergenztest. Ebenso bei (x=0,)

(displaystyle sum_{n=0}^∞(−1)^n(0−1)^n=sum_{n=0}^∞(−1)^{2n}=sum_{n= 0}^∞1)

divergiert. Daher ist das Konvergenzintervall ((0,2)).

Übung (PageIndex{5})

Finden Sie die Taylor-Reihe für (f(x)=dfrac{1}{2}) bei (x=2) und bestimmen Sie ihr Konvergenzintervall.

Hinweis

(f^{(n)}(2)=dfrac{(−1)^nn!}{2^{n+1}})

Antworten

(dfrac{1}{2}displaystyle sum_{n=0}^∞(dfrac{2−x}{2})^n). Das Konvergenzintervall ist ((0,4)).

Wir wissen, dass die in diesem Beispiel gefundene Taylor-Reihe gegen das Intervall ((0,2)) konvergiert, aber woher wissen wir, dass sie tatsächlich gegen (f) konvergiert? Wir betrachten diese Frage gleich allgemeiner, aber für dieses Beispiel können wir diese Frage schriftlich beantworten

[ f(x)=dfrac{1}{x}=dfrac{1}{1−(1−x)}.]

Das heißt, (f) kann durch die geometrische Reihe (displaystyle sum_{n=0}^∞(1−x)^n) dargestellt werden. Da dies eine geometrische Reihe ist, konvergiert sie gegen (dfrac{1}{x}), solange (|1−x|<1.) Daher konvergiert die in Beispiel gefundene Taylorreihe gegen ( f(x)=dfrac{1}{x}) auf ((0,2).)

Wir betrachten nun die allgemeinere Frage: Wenn eine Taylor-Reihe für eine Funktion (f) auf einem Intervall konvergiert, wie können wir dann feststellen, ob sie tatsächlich gegen (f) konvergiert? Um diese Frage zu beantworten, erinnern Sie sich daran, dass eine Reihe genau dann gegen einen bestimmten Wert konvergiert, wenn ihre Folge von Teilsummen gegen diesen Wert konvergiert. Gegeben eine Taylor-Reihe für (f) bei a, ist die n-te Teilsumme durch das n-te Taylor-Polynom pn gegeben. Um zu bestimmen, ob die Taylor-Reihe gegen (f) konvergiert, müssen wir also bestimmen, ob

(displaystyle lim_{n→∞}p_n(x)=f(x)).

Da der Rest (R_n(x)=f(x)−p_n(x)) konvergiert, konvergiert die Taylorreihe genau dann gegen (f), wenn

(displaystyle lim_{n→∞}R_n(x)=0.)

Wir formulieren diesen Satz nun formal.

Konvergenz von Taylor-Reihen

Angenommen, (f) hat Ableitungen aller Ordnungen auf einem Intervall (I), das (a) enthält. Dann die Taylor-Reihe

[sum_{n=0}^∞dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^n]

konvergiert gegen (f(x)) für alle (x) in (I) genau dann, wenn

[lim_{n→∞}R_n(x)=0]

für alle (x) in (I).

Mit diesem Satz können wir beweisen, dass eine Taylorreihe für (f) an a gegen (f) konvergiert, wenn wir beweisen können, dass der Rest (R_n(x)→0) ist. Um zu beweisen, dass (R_n(x)→0), verwenden wir typischerweise die Schranke

[|R_n(x)|≤dfrac{M}{(n+1)!}|x−a|^{n+1}]

aus dem Satz von Taylor mit Rest.

Im nächsten Beispiel finden wir die Maclaurin-Reihen für (e^x) und (sin x) und zeigen, dass diese Reihen für alle reellen Zahlen gegen die entsprechenden Funktionen konvergieren, indem wir beweisen, dass die Reste (R_n(x )→0) für alle reellen Zahlen (x).

Beispiel (PageIndex{6}): Suche nach Maclaurin-Reihen

Bestimmen Sie für jede der folgenden Funktionen die Maclaurin-Reihe und ihr Konvergenzintervall. Beweisen Sie mit Note, dass die Maclaurin-Reihe für (f) in diesem Intervall gegen (f) konvergiert.

  1. (e^x)
  2. (sünde x)

Lösung

A. Verwendung der nMaclaurin-Polynom für (e^x) in Beispiel a. gefunden, finden wir, dass die Maclaurin-Reihe für (e^x) gegeben ist durch

(displaystyle sum_{n=0}^∞dfrac{x^n}{n!}).

Um das Konvergenzintervall zu bestimmen, verwenden wir den Verhältnistest. Seit

(dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}⋅dfrac{n!}{| x|^n}=dfrac{|x|}{n+1}),

wir haben

(displaystyle lim_{n→∞}dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=lim_{n→∞}dfrac{|x|}{n+1}=0 )

für alle (x). Daher konvergiert die Reihe absolut für alle (x), und somit ist das Konvergenzintervall ((−∞,∞)). Um zu zeigen, dass die Reihe für alle (x) gegen (e^x) konvergiert, benutzen wir die Tatsache, dass (f^{(n)}(x)=e^x) für alle (n ≥0) und (e^x) ist eine steigende Funktion auf ((−∞,∞)). Daher ist für jede reelle Zahl (b) der Maximalwert von (e^x) für alle (|x|≤b) (e^b). Daher,

(|R_n(x)|≤dfrac{e^b}{(n+1)!}|x|^{n+1}).

Da wir das gerade gezeigt haben

(displaystyle sum_{n=0}^∞dfrac{|x|^n}{n!})

konvergiert für alle x, durch den Divergenztest wissen wir, dass

(displaystyle lim_{n→∞}dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}=0)

für jede reelle Zahl x. Kombiniert man diese Tatsache mit dem Squeeze-Theorem, ergibt sich (lim_{n→(}R_n(x)=0.)

B. Verwendung der nMaclaurin-Polynom für (sin x) in Beispiel b. gefunden, finden wir, dass die Maclaurin-Reihe für (sin x) gegeben ist durch

(displaystyle sum_{n=0}^∞(−1)^ndfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}).

Um den Verhältnistest anzuwenden, bedenken Sie

(dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=dfrac{|x|^{2n+3}}{(2n+3)!}⋅dfrac{(2n+1) !}{|x|^{2n+1}}=dfrac{|x|^2}{(2n+3)(2n+2)}).

Seit

(displaystyle lim_{n→∞}dfrac{|x|^2}{(2n+3)(2n+2)}=0)

für alle (x) erhalten wir das Konvergenzintervall zu ((−∞,∞).) Um zu zeigen, dass die Maclaurin-Reihe gegen (sin x) konvergiert, betrachten wir (R_n(x) ). Für jedes (x) gibt es eine reelle Zahl (c) zwischen (0) und (x) so dass

(R_n(x)=dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1}).

Da (∣f^{(n+1)}(c)∣≤1) für alle ganzen Zahlen (n) und alle reellen Zahlen (c) gilt, gilt

(|R_n(x)|≤dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!})

für alle reellen Zahlen (x). Unter Verwendung der gleichen Idee wie in Teil a. ist das Ergebnis (displaystyle lim_{n→∞}R_n(x)=0) für alle (x) und damit die Maclaurin-Reihe für ( sin x) konvergiert gegen (sin x) für alle reellen (x).

Übung (PageIndex{6})

Finden Sie die Maclaurin-Reihe für (f(x)=cos x). Verwenden Sie den Verhältnistest, um zu zeigen, dass das Konvergenzintervall ((−∞,∞)) ist. Zeigen Sie, dass die Maclaurin-Reihe für alle reellen Zahlen (x) gegen (cos x) konvergiert.

Hinweis

Verwenden Sie die Maclaurin-Polynome für (cos x.)

Antworten

(sum_{n=0}^∞dfrac{(−1)^nx^{2n}}{(2n)!})

Nach dem Verhältnistest ist das Konvergenzintervall ((−∞,∞).) Da (|R_n(x)|≤dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1) !}), konvergiert die Reihe gegen (cos x) für alle reellen (x).

Das beweisen E ist irrational

In diesem Projekt verwenden wir die Maclaurin-Polynome für (e^x), um zu beweisen, dass e irrational ist. Der Beweis beruht auf der Annahme, dass e rational ist und auf einen Widerspruch zu gelangen. Daher nehmen wir in den folgenden Schritten (e=r/s) für einige ganze Zahlen r und s an, wobei (s≠0.)

  1. Schreiben Sie die Maclaurin-Polynome (p_0(x),p_1(x),p_2(x),p_3(x),p_4(x)) für (e^x). Werte (p_0(1),p_1(1),p_2(1),p_3(1),p_4(1)) aus, um e zu schätzen.
  2. Sei (R_n(x)) den Rest, wenn (p_n(x)) verwendet wird, um (e^x) zu schätzen. Daher gilt (R_n(x)=e^x−p_n(x)) und (R_n(1)=e−p_n(1)). Unter der Annahme, dass (e=dfrac{r}{s}) für ganze Zahlen r und s gilt, bewerte (R_0(1),R_1(1),R_2(1),R_3(1),R_4(1). )
  3. Zeigen Sie mit den Ergebnissen aus Teil 2, dass wir für jeden Rest (R_0(1),R_1(1),R_2(1),R_3(1),R_4(1),) eine ganze Zahl k finden können, so dass (kR_n(1)) ist eine ganze Zahl für (n=0,1,2,3,4.)
  4. Schreiben Sie die Formel für das n-te Maclaurin-Polynom (p_n(x)) für (e^x) und den entsprechenden Rest (R_n(x)) auf. Zeigen Sie, dass (sn!R_n(1)) ist eine ganze Zahl.
  5. Verwenden Sie den Satz von Taylor, um eine explizite Formel für (R_n(1)) aufzuschreiben. Schließen Sie, dass (R_n(1)≠0) und damit (sn!R_n(1)≠0) gilt.
  6. Verwenden Sie den Satz von Taylor, um eine Abschätzung für (R_n(1)) zu finden. Verwenden Sie diese Schätzung kombiniert mit dem Ergebnis aus Teil 5, um zu zeigen, dass (|sn!R_n(1)|n groß genug ist, dann ist (|sn!R_n(1)|<1). Daher ist (sn!R_n(1)) eine ganze Zahl mit einer Größe kleiner als 1. Somit ist (sn!R_n(1)=0). Aber aus Teil 5 wissen wir, dass (sn!R_n(1)≠0). Wir sind zu einem Widerspruch gekommen, und folglich muss die ursprüngliche Annahme, dass e rational ist, falsch sein.

Schlüssel Konzepte

  • Taylor-Polynome werden verwendet, um Funktionen nahe einem Wert (x=a) anzunähern. Maclaurin-Polynome sind Taylor-Polynome bei (x=0).
  • Das nTaylor-Polynome des Grades für eine Funktion (f) sind die Teilsummen der Taylor-Reihe für (f).
  • Hat eine Funktion (f) eine Potenzreihendarstellung bei (x=a), dann ist sie durch ihre Taylor-Reihe bei (x=a) gegeben.
  • Eine Taylor-Reihe für (f) konvergiert genau dann gegen (f), wenn (displaystyle lim_{n→∞}R_n(x)=0) mit (R_n(x)=f(x )−p_n(x)).
  • Die Taylorreihen für (e^x, sin x) und (cos x) konvergieren für alle reellen x gegen die entsprechenden Funktionen.

Schlüsselgleichungen

  • Taylorreihe für die Funktion (f) im Punkt (x=a)

(sum_{n=0}^∞dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^n=f(a)+f′(a)(x− a)+dfrac{f''(a)}{2!}(x−a)^2+⋯+dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a) ^n+⋯)

Glossar

Maclaurin-Polynom
ein Taylor-Polynom, das bei 0 zentriert ist; das n-te Taylor-Polynom für (f) bei 0 ist das n-te Maclaurin-Polynom für (f)
Maclaurin-Reihe
eine Taylor-Reihe für eine Funktion (f) bei (x=0) ist als Maclaurin-Reihe für (f) bekannt
Taylor-Polynome
das nDas Taylor-Polynom für (f) bei (x=a) ist (p_n(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+dfrac{f''(a) }{2!}(x−a)^2+⋯+dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^n)
Taylor-Reihe
eine Potenzreihe bei a, die auf einem offenen Intervall mit a gegen eine Funktion (f) konvergiert
Satz von Taylor mit Rest

für eine Funktion (f) und die nTaylor-Polynom für (f) bei (x=a), der Rest (R_n(x)=f(x)−p_n(x)) erfüllt (R_n(x)=dfrac{f ^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x−a)^{n+1})

für einige C zwischen x und ein; falls es ein Intervall I mit a und einer reellen Zahl gibt m so dass (∣f^{(n+1)}(x)∣≤M) für alle x In ich, dann (|R_n(x)|≤dfrac{M}{(n+1)!}|x−a|^{n+1})

Mitwirkende

  • Gilbert Strang (MIT) und Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) mit vielen beitragenden Autoren. Dieser Inhalt von OpenStax wird mit einer CC-BY-SA-NC 4.0-Lizenz lizenziert. Kostenlos herunterladen unter http://cnx.org.


Power Series: Verstehen Sie die Taylor- und MacLaurin-Serien

In diesem Beitrag stellen wir Potenzreihen als Methode zur Approximation unbekannter Funktionen vor. Wir leiten die Maclaurin-Reihe und die Taylor-Reihe in einfachen und intuitiven Begriffen her.

Die Differentialrechnung ist ein erstaunliches Werkzeug, um Veränderungen in komplexen Systemen mit mehreren Eingaben zu beschreiben. Aber um die Macht der Infinitesimalrechnung zu entfesseln, müssen wir das System in Form einer mathematischen Funktion beschreiben. Aber wie finden wir diese Funktion überhaupt? Potenzreihen wie die Taylor-Reihe und die MacLaurin-Reihe ermöglichen es uns, Funktionen schrittweise anzunähern.

Der Grundgedanke der Potenzreihen ist wie folgt. Wenn Sie einen Punkt p entlang der unbekannten Funktion f(x) kennen, die Sie approximieren möchten, können Sie eine Funktion p(x) steigender Ordnungen durch diesen Punkt p erstellen, bis Sie f(x) so nah wie möglich kommen.


Taylor-Serie

Taylor polynomials can be used to approximate a function around any value for a differentiable function. In other words, when you use a Taylor series, you assume that you can find derivatives for your function. Taylor polynomials look a little ugly, but if you break them down into small steps, it’s actually a fast way to approximate a function.

Taylor polynomials can be used to approximate any differentiable function.


How the Calculator Works

This calculator is written in the programming language JavaScript (JS) and utilizes a JS-native computer algebra system (CAS). When you click the calculate button, the entire script is run by your device’s internet browser JS engine, allowing for near-instant results.

The CAS employs symbolic computation to create the Maclaurin series expansion. It treats every character as a symbol, rather than a number value. In practice, this avoids computer roundoff error and provides the user with a perfectly accurate analytical solution, being in the form of a mathematical expression.

When the solution is fully calculated, it is converted to LaTeX code. LaTeX is a math markup and rendering language that allows us to graphically display math equations and expressions on a webpage. That final LaTeX solution code is rendered on the page in the answer area.


What is a Taylor Series

So what exactly are Taylor Series? If possible (not always), we can represent a function f ( x ) f(x) f ( x ) about x = a x=a x = a as a Power Series in the form:

Formula 3: Taylor Series Formula 4: Maclaurin Series

Here are some commonly used functions that can be represented as a Maclaurin Series:

Formula 5: Common Taylor Series

We will learn how to use the Taylor Series formula later to get the common series, but first let&aposs talk about Taylor Series Expansion.


3.3: Taylor Series

  • Contributed by Marcia Levitus
  • Associate Professor (Biodesign Institute) at Arizonia State University

Before discussing more applications of Maclaurin series, let&rsquos expand our discussion to the more general case where we expand a function around values different from zero. Let&rsquos say that we want to expand a function around the number (h). If (h=0), we call the series a Maclaurin series, and if (h eq0) we call the series a Taylor series. Because Maclaurin series are a special case of the more general case, we can call all the series Taylor series and omit the distinction. The following is true for a function (f(x)) as long as the function and all its derivatives are finite at (h):

[label f(x)=a_0 + a_1(x-h)+a_2(x-h)^2+. +a_n(x-h)^n = displaystylesum_^a_n(x-h)^n]

The coefficients are calculated as

Notice that instead of evaluating the function and its derivatives at (x=0) we now evaluate them at (x=h), and that the basis set is now (1, (x-h), (x-h)^2. (x-h)^n) instead of (1, x, x^2. x^n). A Taylor series will be a good approximation of the function at values of (x) close to (h), in the same way Maclaurin series provide good approximations close to zero.

To see how this works let&rsquos go back to the exponential function. Recall that the Maclaurin expansion of (e^x) is shown in Equation (3.1.3). We know what happens if we expand around zero, so to practice, let&rsquos expand around (h=1). The coefficient (a_0) is (f(1)= e^1=e). All the derivatives are (e^x), so (f'(1)=f''(1)=f'''(1). =e.) Therefore, (a_n=frac) and the series is therefore

We can use the same arguments we used before to conclude that (e^xapprox ex) if (xapprox 1). If (xapprox 1), ((x-1)approx 0), and the terms ((x-1)^2, (x-1)^3) will be smaller and smaller and will contribute less and less to the sum. Deswegen,

[e^x approx e left[ 1+(x-1) ight]=ex.]

This is the equation of a straight line with slope (e) and (y)-intercept 0. In fact, from Equation (3.1.7) we can see that all functions will look linear at values close to (h). This is illustrated in Figure (PageIndex<1>), which shows the exponential function (red) together with the functions (1+x) (magenta) and (ex) (blue). Not surprisingly, the function (1+x) provides a good approximation of (e^x) at values close to zero (see Equation (3.1.3)) and the function (ex) provides a good approximation around (x=1) (Equation ef).

Figure (PageIndex<1>): Two linear approximations of the exponential function. The function (e^x) is plotted in red together with the function (y = 1+x) (magenta) and (y=ex) (blue). (CC BY-NC-SA Marcia Levitus)

[f(x)=a_0 + a_1(x-h)+a_2(x-h)^2+. +a_n(x-h)^n, a_n=frac<1>left( frac ight)_h onumber]

The derivatives of (ln) are:

To calculate the coefficients, we need to divide by (n!):

Note that we start the sum at (n=1) because (a_0=0), so the term for (n=0) does not have any contribution.


What's a Taylor Series?

Let's say we have some function that isn't a particularly nice function. And by not "nice", I mean something like $ f(x)=e^x ext ln(x) $ because if I asked you what $ e^ <3.81>$ was you would have to use a calculator to find an approximate answer. But what if there was a way to rewrite a "nasty" function as a polynomial? Polynomials are generally easier to compute so it would be great if we could represent difficult functions as polynomials or power series (just infinite polynomials, remember). As it turns out, we can represent some functions as power series and if a function can be represented as a power series, we can find it using a Taylor Series.

1. We start with the assumption that we have a function $ f(x) $ which can be represented as a power series. Deswegen,

but we need to find out what the values of all the $ c_n $ 's are. We notice that if we plug in $ a $ for $ x $ we get

because all the other terms become 0.

Ok, cool, so now we know that $ c_0=f(a) $ .

2. Just for fun, lets take the derivative of this function. When we do, we get

Again, we plug in ein Pro x and all the terms except $ c_1 $ become zero so we are left with

So now we know the first two terms of our power series.

3. Taking a derivative helped us last time so let's try taking a second derivative.

Again, we plug in ein Pro x and we get that

Solving for $ c_2 $ we get that

So now we know the first three terms of our power series.

4. If we continue doing this process (taking another derivative, plugging in ein Pro x and solving for $ c_n $ we realize that every $ c_n $ has the following form.

This is easy to verify and if you don't believe me, please try it on your own! To continue just find the 3rd derivative, plug in ein Pro x and solve for $ c_3 $ and again with the 4th derivative until you see the pattern.

So what did we just learn? Ob we have some function that can be represented as a power series, then its power series representation is of the form,


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Steps to Compute Maclaurin Series of Function

Below mentioned are the simple and easy steps that are helpful while solving the maclaurin series function. Follow these guidelines

  • Take any function and its range to solve the Maclaurin Series.
  • For any function f(x) the maclaurin series is given by f(x)=∑k=0 ∞ f (k) (a)* x k / k!
  • Find f (k) (a) by calculating the function derivative and substituting the range values in the function.
  • Compute the k! for each step.
  • Replace the values in the above formula.
  • Apply sigma function and obtain the answer.

Question: Calculate Maclaurin Series of sin(x) up to n = 5?

Maclaurin series for the function is f(x)=∑k=0 ∞ f (k) (a)* x k / k!

So, calculate the derivative and evaluate them at the given point to get the result into the given formula.

Calculate first derivative f 1 (x) = [f 0 (x)]’

Evaluate first derivative (f(0))’ = cos(0) = 1

Second Derivative: f 2 (x) = [f 1 (x)]’ = [cos(x)]’ = -sin(x)

Third derivative: f 3 (x) = [f 2 (x)]’ = (-sin(x))’ = -cos(x)

Evaluate third derivative (f(0))”’ = -cos(0)

Fourth derivative: f 4 (x) = [f 3 (x)]’ = [-cos(x)]’ = sin(x)

Evaluate 4th derivative (f(0))”” = sin(0) = 0

Fifth derivative: f 5 (x) = [f 4 (x)]’ = [sin(x)]’ = cos(x)

Evaluate 5th derivative (f(0)””’ = cos(0) = 1

Replace the derivative values in the above formula

f(x) ≈ 0/0! x 0 + 1/1! x 1 + 0/2! x 2 + (-1)/3! x 3 + 0/4! x 4 + 1/5! x 5

f(x) ≈ 0 + x + 0 – 1/6 x 3 + 0 + 1/120 x 5

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Frequently Asked Questions on Maclaurin Series

1. How do you define the Maclaurin Series?

Maclaurin Series is defined as the expanded series of the function. Here, approximate value of the function can be evaluated as the sum of derivatives of the function.

2. What is the difference between Maclaurin and Taylor Series?

Taylor Series is the representation of a function as an infinite sum of terms calculated from the values of its derivatives at a single point. Maclaurin series is a special case of tayloe series which uses zero as a single point.

3. How does Maclaurin series work?

A maclaurin series is a power series that allows you to calculate an approximation of function f(x) for the input values close to zero, given that one knows the values of the successive derivatives of the function at zero.

4. What is the formula of Maclaurin series?

Maclaurin series for function is defined as f(x)=∑k=0 ∞ f (k) (a)* x k / k!


Taylor and Maclaurin Series

In the previous two sections we discussed how to find power series representations for certain types of functions––specifically, functions related to geometric series. Here we discuss power series representations for other types of functions. In particular, we address the following questions: Which functions can be represented by power series and how do we find such representations? If we can find a power series representation for a particular function f

and the series converges on some interval, how do we prove that the series actually converges to f ?

Overview of Taylor/Maclaurin Series

that has a power series representation at x = a .

Then the series has the form

What should the coefficients be? For now, we ignore issues of convergence, but instead focus on what the series should be, if one exists. We return to discuss convergence later in this section. If the series [link] is a representation for f

we certainly want the series to equal f ( a )

Evaluating the series at x = a ,

Thus, the series equals f ( a )

if the coefficient c 0 = f ( a ) .

In addition, we would like the first derivative of the power series to equal f ′ ( a )

Differentiating [link] term-by-term, we see that

Therefore, the derivative of the series equals f ′ ( a )

if the coefficient c 1 = f ′ ( a ) .

Continuing in this way, we look for coefficients Cn such that all the derivatives of the power series [link] will agree with all the corresponding derivatives of f

The second and third derivatives of [link] are given by

the second and third derivatives

respectively, if c 2 = f ″ ( a ) 2

More generally, we see that if f

has a power series representation at x = a ,

then the coefficients should be given by c n = f ( n ) ( a ) n ! .

That is, the series should be

is known as the Taylor series for f

then this series is known as the Maclaurin series for f .

has derivatives of all orders at x = a ,

then the Taylor series for the function f

at 0 is known as the Maclaurin series for f .

Later in this section, we will show examples of finding Taylor series and discuss conditions under which the Taylor series for a function will converge to that function. Here, we state an important result. Recall from [link] that power series representations are unique. Therefore, if a function f

then it must be the Taylor series for f

has a power series at ein that converges to f

on some open interval containing ein, then that power series is the Taylor series for f

The proof follows directly from [link].

To determine if a Taylor series converges, we need to look at its sequence of partial sums. These partial sums are finite polynomials, known as Taylor polynomials.

Visit the MacTutor History of Mathematics archive to read brief biographies of Brook Taylor and Colin Maclaurin and how they developed the concepts named after them.

Taylor Polynomials

Das nth partial sum of the Taylor series for a function f

is known as the nth Taylor polynomial. For example, the 0th, 1st, 2nd, and 3rd partial sums of the Taylor series are given by

beziehungsweise. These partial sums are known as the 0th, 1st, 2nd, and 3rd Taylor polynomials of f

then these polynomials are known as Maclaurin polynomials for f .

We now provide a formal definition of Taylor and Maclaurin polynomials for a function f .

verfügt über n derivatives at x = a ,

then the nth Taylor polynomial for f

Das nth Taylor polynomial for f

at 0 is known as the nth Maclaurin polynomial for f .

We now show how to use this definition to find several Taylor polynomials for f ( x ) = ln x

Find the Taylor polynomials p 0 , p 1 , p 2

Use a graphing utility to compare the graph of f

with the graphs of p 0 , p 1 , p 2

To find these Taylor polynomials, we need to evaluate f

and its first three derivatives at x = 1 .

and the first three Taylor polynomials are shown in [link].

Find the Taylor polynomials p 0 , p 1 , p 2

Find the first three derivatives of f

and evaluate them at x = 1 .

We now show how to find Maclaurin polynomials for e x , sin x ,

As stated above, Maclaurin polynomials are Taylor polynomials centered at zero.

For each of the following functions, find formulas for the Maclaurin polynomials p 0 , p 1 , p 2

Find a formula for the nth Maclaurin polynomial and write it using sigma notation. Use a graphing utilty to compare the graphs of p 0 , p 1 , p 2

f ( x ) = f ′ ( x ) = f ″ ( x ) = ⋯ = f ( n ) ( x ) = e x

for all positive integers n. Deswegen,

for all positive integers n. Therefore, we have

The function and the first three Maclaurin polynomials are shown in [link].

the values of the function and its first four derivatives at

Since the fourth derivative is

the pattern repeats. Das ist,

Graphs of the function and its Maclaurin polynomials are shown in [link].

the values of the function and its first four derivatives at

Since the fourth derivative is

the pattern repeats. In other words,

Graphs of the function and the Maclaurin polynomials appear in [link].

Find formulas for the Maclaurin polynomials p 0 , p 1 , p 2

Find a formula for the nth Maclaurin polynomial. Write your anwer using sigma notation.

Evaluate the first four derivatives of f

Taylor’s Theorem with Remainder

Recall that the nth Taylor polynomial for a function f

bei ein is the nth partial sum of the Taylor series for f

bei ein. Therefore, to determine if the Taylor series converges, we need to determine whether the sequence of Taylor polynomials

converges. However, not only do we want to know if the sequence of Taylor polynomials converges, we want to know if it converges to f .

To answer this question, we define the remainder R n ( x )

For the sequence of Taylor polynomials to converge to f ,

we need the remainder Rn to converge to zero. To determine if Rn converges to zero, we introduce Taylor’s theorem with remainder. Not only is this theorem useful in proving that a Taylor series converges to its related function, but it will also allow us to quantify how well the nth Taylor polynomial approximates the function.

Here we look for a bound on | R n | .

Consider the simplest case: n = 0 .

Let p0 be the 0th Taylor polynomial at ein for a function f .

The remainder R0 satisfies

is differentiable on an interval ich containing ein und x, then by the Mean Value Theorem there exists a real number C zwischen ein und x such that f ( x ) − f ( a ) = f ′ ( c ) ( x − a ) .

Using the Mean Value Theorem in a similar argument, we can show that if f

ist n times differentiable on an interval ich containing ein und x, then the nth remainder Rn satisfies

für eine reelle Zahl C zwischen ein und x. It is important to note that the value C in the numerator above is not the center ein, but rather an unknown value C zwischen ein und x. This formula allows us to get a bound on the remainder Rn. If we happen to know that | f ( n + 1 ) ( x ) |

is bounded by some real number M on this interval ich, then

für alle x in the interval ich.

We now state Taylor’s theorem, which provides the formal relationship between a function f

and its nth degree Taylor polynomial p n ( x ) .

This theorem allows us to bound the error when using a Taylor polynomial to approximate a function value, and will be important in proving that a Taylor series for f

be a function that can be differentiated n + 1

times on an interval ich containing the real number ein. Let pn be the nth Taylor polynomial of f

be the nth remainder. Then for each x in the interval ich, there exists a real number C zwischen ein und x so dass

If there exists a real number M such that | f ( n + 1 ) ( x ) | ≤ M

Nachweisen

and introduce the function g so dass

We claim that g satisfies the criteria of Rolle’s theorem. Since g is a polynomial function (in T), it is a differentiable function. Ebenfalls, g is zero at t = a

Deswegen, g satisfies Rolle’s theorem, and consequently, there exists C zwischen ein und x such that g ′ ( c ) = 0 .

Using the product rule, we note that

Notice that there is a telescoping effect. Deswegen,

By Rolle’s theorem, we conclude that there exists a number C zwischen ein und x such that g ′ ( c ) = 0 .

Adding the first term on the left-hand side to both sides of the equation and dividing both sides of the equation by n + 1 ,

as desired. From this fact, it follows that if there exists M such that | f ( n + 1 ) ( x ) | ≤ M

Not only does Taylor’s theorem allow us to prove that a Taylor series converges to a function, but it also allows us to estimate the accuracy of Taylor polynomials in approximating function values. We begin by looking at linear and quadratic approximations of f ( x ) = x 3

and determine how accurate these approximations are at estimating 11 3 .

Consider the function f ( x ) = x 3 .

    Find the first and second Taylor polynomials for f

Use a graphing utility to compare these polynomials with

the values of the function and its first two derivatives at

Thus, the first and second Taylor polynomials at

The function and the Taylor polynomials are shown in [link].

Using the second Taylor polynomial at

such that the remainder when approximating

by the first Taylor polynomial satisfies

We do not know the exact value of C, so we find an upper bound on

by determining the maximum value of

on that interval occurs at

Find the first and second Taylor polynomials for f ( x ) = x

Use these polynomials to estimate 6 .

Use Taylor’s theorem to bound the error.

From [link]b., the Maclaurin polynomials for sin x

    Use the fifth Maclaurin polynomial for sin x

Using this polynomial, we can estimate as follows:

To estimate the error, use the fact that the sixth Maclaurin polynomial is

für alle x, we find that the magnitude of the error is at most

Solving this inequality for x, we have that the fifth Maclaurin polynomial gives an estimate to within 0.0001 as long as

Use the fourth Maclaurin polynomial for cos x

The fourth Maclaurin polynomial is p 4 ( x ) = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! .

Now that we are able to bound the remainder R n ( x ) ,

we can use this bound to prove that a Taylor series for f

Representing Functions with Taylor and Maclaurin Series

We now discuss issues of convergence for Taylor series. We begin by showing how to find a Taylor series for a function, and how to find its interval of convergence.

Find the Taylor series for f ( x ) = 1 x

Determine the interval of convergence.

the values of the function and its first four derivatives at x = 1

That is, we have f ( n ) ( 1 ) = ( −1 ) n n !

Therefore, the Taylor series for f

To find the interval of convergence, we use the ratio test. We find that

Thus, the series converges if | x − 1 | < 1 .

That is, the series converges for 0 < x < 2 .

Next, we need to check the endpoints. At x = 2 ,

diverges by the divergence test. Similarly, at x = 0 ,

diverges. Therefore, the interval of convergence is ( 0 , 2 ) .

Find the Taylor series for f ( x ) = 1 2 x

and determine its interval of convergence.

The interval of convergence is ( 0 , 4 ) .

We know that the Taylor series found in this example converges on the interval ( 0 , 2 ) ,

but how do we know it actually converges to f ?

We consider this question in more generality in a moment, but for this example, we can answer this question by writing

can be represented by the geometric series ∑ n = 0 ∞ ( 1 − x ) n .

Since this is a geometric series, it converges to 1 x

Therefore, the Taylor series found in [link] does converge to f ( x ) = 1 x

We now consider the more general question: if a Taylor series for a function f

converges on some interval, how can we determine if it actually converges to f ?

To answer this question, recall that a series converges to a particular value if and only if its sequence of partial sums converges to that value. Given a Taylor series for f

bei ein, das nth partial sum is given by the nth Taylor polynomial pn. Therefore, to determine if the Taylor series converges to f ,

we need to determine whether

Since the remainder R n ( x ) = f ( x ) − p n ( x ) ,

the Taylor series converges to f

We now state this theorem formally.

has derivatives of all orders on an interval ich containing ein. Then the Taylor series

für alle x In ich if and only if

With this theorem, we can prove that a Taylor series for f

if we can prove that the remainder R n ( x ) → 0 .

we typically use the bound

from Taylor’s theorem with remainder.

In the next example, we find the Maclaurin series for e x and sin x

and show that these series converge to the corresponding functions for all real numbers by proving that the remainders R n ( x ) → 0

For each of the following functions, find the Maclaurin series and its interval of convergence. Use [link] to prove that the Maclaurin series for f

  1. Verwendung der nth Maclaurin polynomial for e x found in [link]a., we find that the Maclaurin series for e x wird gegeben von

To determine the interval of convergence, we use the ratio test. Since

für alle x. Therefore, the series converges absolutely for all x, and thus, the interval of convergence is

To show that the series converges to e x für alle x, we use the fact that

und e x is an increasing function on

Therefore, for any real number b, the maximum value of e x für alle

Since we just showed that

converges for all x, by the divergence test, we know that

for any real number x. By combining this fact with the squeeze theorem, the result is

found in [link]b., we find that the Maclaurin series for

In order to apply the ratio test, consider

für alle x, we obtain the interval of convergence as

To show that the Maclaurin series converges to

For each x there exists a real number C between 0 and x so dass

for all integers n and all real numbers C, we have

for all real numbers x. Using the same idea as in part a., the result is

für alle x, and therefore, the Maclaurin series for

Find the Maclaurin series for f ( x ) = cos x .

Use the ratio test to show that the interval of convergence is ( − ∞ , ∞ ) .

Show that the Maclaurin series converges to cos x

By the ratio test, the interval of convergence is ( − ∞ , ∞ ) .

Since | R n ( x ) | ≤ | x | n + 1 ( n + 1 ) ! ,

the series converges to cos x

Use the Maclaurin polynomials for cos x .

In this project, we use the Maclaurin polynomials for e x to prove that e is irrational. The proof relies on supposing that e is rational and arriving at a contradiction. Therefore, in the following steps, we suppose e = r / s

for some integers R und S where s ≠ 0 .

    Write the Maclaurin polynomials p 0 ( x ) , p 1 ( x ) , p 2 ( x ) , p 3 ( x ) , p 4 ( x )

p 0 ( 1 ) , p 1 ( 1 ) , p 2 ( 1 ) , p 3 ( 1 ) , p 4 ( 1 )

denote the remainder when using

to estimate e x . Deswegen,

for integers R und S, evaluate

we can find an integer k so dass

Pro e x and the corresponding remainder

Use this estimate combined with the result from part 5 to show that

Conclude that if n is large enough, then

is an integer with magnitude less than 1. Thus,

But from part 5, we know that

We have arrived at a contradiction, and consequently, the original supposition that e is rational must be false.

Key Concepts

Maclaurin polynomials are Taylor polynomials at

are the partial sums of the Taylor series for

has a power series representation at

then it is given by its Taylor series at

converge to the respective functions for all real x.

Schlüsselgleichungen

**Taylor series for the function f

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.


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