Artikel

12.4: Bogenlänge und Krümmung


Lernziele

  • Bestimmen Sie die Länge des Wegs eines Partikels im Raum mithilfe der Bogenlängenfunktion.
  • Erklären Sie die Bedeutung der Krümmung einer Kurve im Raum und geben Sie ihre Formel an.
  • Beschreiben Sie die Bedeutung der Normalen- und Binormalenvektoren einer Kurve im Raum.

In diesem Abschnitt untersuchen wir Formeln, die sich auf Kurven sowohl in zwei als auch in drei Dimensionen beziehen, und sehen, wie sie mit verschiedenen Eigenschaften derselben Kurve zusammenhängen. Angenommen, eine vektorwertige Funktion beschreibt die Bewegung eines Partikels im Raum. Wir möchten ermitteln, wie weit sich das Teilchen in einem bestimmten Zeitintervall, das durch die Bogenlänge des zurückgelegten Weges beschrieben werden kann, zurückgelegt hat. Oder nehmen Sie an, dass die vektorwertige Funktion eine Straße beschreibt, die wir bauen, und wir möchten bestimmen, wie stark die Straße an einem bestimmten Punkt krümmt. Dies wird durch die Krümmung der Funktion an dieser Stelle beschrieben. Wir untersuchen jedes dieser Konzepte in diesem Abschnitt.

Bogenlänge für Vektorfunktionen

Wir haben gesehen, wie eine vektorwertige Funktion eine Kurve in zwei oder drei Dimensionen beschreibt. Denken Sie daran, dass die Formel für die Bogenlänge einer durch die parametrischen Funktionen (x=x(t),y=y(t),t_1≤t≤t_2) definierten Kurve gegeben ist durch

[s=int^{t_2}_{t_1} sqrt{(x′(t))^2+(y′(t))^2}dt. keine Nummer]

In ähnlicher Weise definieren wir eine glatte Kurve mit einer vektorwertigen Funktion (vecs r(t)=f(t),hat{mathbf{i}}+g(t),hat {mathbf{j}}), wobei (a≤t≤b), die Bogenlänge durch die Formel

[s=int^{b}_{a} sqrt{(f′(t))^2+(g′(t))^2}dt. keine Nummer]

In drei Dimensionen, wenn die vektorwertige Funktion beschrieben wird durch (vecs r(t)=f(t),hat{mathbf{i}}+g(t),hat{mathbf{ j}}+h(t),hat{mathbf{k}}) über das gleiche Intervall (a≤t≤b), die Bogenlänge ist gegeben durch

[s=int^{b}_{a} sqrt{(f′(t))^2+(g′(t))^2+(h′(t))^2}dt. keine Nummer]

Satz: Bogenlängenformeln für Ebenen- und Raumkurven

Ebene Kurve: Gegeben eine glatte Kurve (C) definiert durch die Funktion (vecs r(t)=f(t),hat{mathbf{i}}+g(t),hat{mathbf {j}}), wobei (t) innerhalb des Intervalls ([a,b]) liegt, ist die Bogenlänge von (C) über dem Intervall

[egin{align} s &=int^{b}_{a} sqrt{[f′(t)]^2+[g′(t)]^2}dt [4pt] & =int^{b}_{a} |vecs r′(t)|dt . label{Arc2D}end{align}]

Raumkurve: Gegeben eine glatte Kurve (C) definiert durch die Funktion (vecs r(t)=f(t),hat{mathbf{i}}+g(t),hat{mathbf {j}}+h(t),hat{mathbf{k}}), wobei (t) innerhalb des Intervalls ([a,b]) liegt, die Bogenlänge von (C ) über das Intervall ist

[egin{align} s &=int^{b}_{a} sqrt{[f′(t)]^2+[g′(t)]^2+[h′(t)] ^2}dt [4pt] &=int^{b}_{a} |vecs r′(t)|dt . label{Arc3D} end{align}]

Die beiden Formeln sind sehr ähnlich; sie unterscheiden sich nur darin, dass eine Raumkurve drei statt zwei Komponentenfunktionen hat. Beachten Sie, dass die Formeln für glatte Kurven definiert sind: Kurven, bei denen die vektorwertige Funktion (vecs r(t)) mit einer von Null verschiedenen Ableitung differenzierbar ist. Die Glättebedingung garantiert, dass die Kurve keine Spitzen (oder Ecken) hat, die die Formel problematisch machen könnten.

Beispiel (PageIndex{1}): Ermitteln der Bogenlänge

Berechnen Sie die Bogenlänge für jede der folgenden vektorwertigen Funktionen:

  1. (vecs r(t)=(3t−2) ,hat{mathbf{i}}+(4t+5) ,hat{mathbf{j}},quad 1≤t≤5 )
  2. (vecs r(t)=⟨tcos t,tsin t,2t⟩,0≤t≤2 pi)

Lösung

  1. Mit Gleichung ef{Arc2D}, (vecs r′(t)=3 ,hat{mathbf{i}}+4 ,hat{mathbf{j}}), also),

    [egin{align*} s &=int^{b}_{a} |vecs r′(t)|dt [4pt] &=int^{5}_{1} sqrt{3^2 + 4^2} dt [4pt] &=int^{5}_{1} 5 dt = 5tig|^{5}_{1} = 20. end{ ausrichten*}]

  2. Mit Gleichung ef{Arc3D}, (vecs r′(t)=⟨ cos t−tsin t, sin t+t cos t,2⟩), also

    [egin{align*} s &=int^{b}_{a} ∥vecs r′(t)∥dt [4pt] &=int^{2 pi}_{0} sqrt{(cos t−tsin t)^2+(sin t+t cos t)^2+2^2} dt [4pt] &=int^{2 pi}_ {0} sqrt{( cos ^2 t−2t sin t cos t+t^2 sin ^2 t)+( sin^2 t+2t sin t cos t+t^2 cos ^2 t)+4} dt [4pt] &=int^{2 pi}_{0} sqrt{cos^2 t+ sin^2 t+t^2( cos ^2 t+ sin ^2 t)+4} dt [4pt] &=int^{2 pi}_{0} sqrt{t^2+5} dtend{align*}]

    Hier können wir eine Tabellenintegrationsformel verwenden

    [int sqrt{u^2+a^2}du = dfrac{u}{2}sqrt{u^2+a^2} + dfrac{a^2}{2} ln ,left|, u + sqrt{u^2+a^2} , ight| + C, keineZahl]

    also erhalten wir

    [egin{align*} int^{2 pi}_{0} sqrt{t^2+5} dt ; &= frac{1}{2} igg( t sqrt{t^2+5}+5 ln ,left|t+sqrt{t^2+5} ight| igg) _0^ {2π} [4pt] &= frac{1}{2} igg( 2π sqrt{4π^2+5}+5 ln igg( 2π+ sqrt{4π^2+5} bigg) igg)−frac{5}{2} ln sqrt{5} [4pt] &≈25.343 , ext{units}. end{ausrichten*}]

Übung (PageIndex{1})

Berechnen Sie die Bogenlänge der parametrisierten Kurve

[vecs r(t)=⟨2t^2+1,2t^2−1,t^3⟩,quad 0≤t≤3. keine Nummer]

Hinweis

Verwenden Sie Gleichung ef{Arc3D}.

Antworten

(vecs r′(t)=⟨4t,4t,3t^2⟩,) also (s=frac{1}{27}(113^{3/2}−32^{3/2 })≈37.785) Einheiten

Wir kehren nun zu der früher in diesem Kapitel eingeführten Helix zurück. Eine vektorwertige Funktion, die eine Helix beschreibt, kann in der Form

[vecs r(t)=Rcosleft(dfrac{2πNt}{h} ight),hat{mathbf{i}} +Rsinleft(dfrac{2πNt}{ h} ight) ,hat{mathbf{j}}+t,hat{mathbf{k}},0≤t≤h, onumber]

wobei (R) den Radius der Helix repräsentiert, (h) die Höhe (Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Windungen) repräsentiert und die Helix (N) Windungen vervollständigt. Lassen Sie uns eine Formel für die Bogenlänge dieser Helix mit Gleichung ef{Arc3D} herleiten. Zunächst,

[vecs r′(t)=−dfrac{2πNR}{h} sin left(dfrac{2πNt}{h} ight) ,hat{mathbf{i}}+dfrac{ 2πNR}{h} cos left(dfrac{2πNt}{h} ight) ,hat{mathbf{j}}+,hat{mathbf{k}}. keine Nummer]

Deswegen,

[egin{align*} s & =int_a^b ‖vecs r′(t)‖dt [4pt] &=int_0^hsqrt{ igg(−dfrac{2πNR}{h } sin igg(dfrac{2πNt}{h} igg) igg)^2+ igg( dfrac{2πNR}{h} cos igg( dfrac{2πNt}{h} igg) igg)^2+1^2}dt [4pt] &=int_0^hsqrt{ dfrac{4π^2N^2R^2}{h^2} igg( sin ^2 igg (dfrac{2πNt}{h} igg) + cos^2 igg( dfrac{2πNt}{h} igg) igg)+1}dt [4pt] &=int_0^h sqrt{ dfrac{4π^2N^2R^2}{h^2} +1}dt [4pt] &=igg[ tsqrt{ dfrac{4π^2N^2R^2}{h^ 2} +1}igg]^h_0 [4pt] &=h sqrt{ dfrac{4π^2N^2R^2 + h^2}{h^2}} [4pt] &= sqrt{ 4π^2N^2R^2 + h^2}.end{align*}]

Dies ergibt eine Formel für die Länge eines Drahtes, der benötigt wird, um eine Helix mit (N) Windungen zu bilden, die den Radius (R) und die Höhe (h) hat.

Parametrierung der Lichtbogenlänge

Wir haben jetzt eine Formel für die Bogenlänge einer Kurve, die durch eine vektorwertige Funktion definiert ist. Gehen wir noch einen Schritt weiter und untersuchen, was ein Bogenlängenfunktion ist.

Wenn eine vektorwertige Funktion die Position eines Partikels im Raum als Funktion der Zeit darstellt, misst die Bogenlängenfunktion, wie weit sich dieses Partikel als Funktion der Zeit bewegt. Die Formel für die Bogenlängenfunktion folgt direkt aus der Formel für die Bogenlänge:

[s=int^{t}_{a} sqrt{(f′(u))^2+(g′(u))^2+(h′(u))^2}du. label{arclength2}]

Wenn die Kurve zweidimensional ist, erscheinen nur zwei Terme unter der Quadratwurzel innerhalb des Integrals. Der Grund für die Verwendung der unabhängigen Variablen du ist, zwischen Zeit und Integrationsvariable zu unterscheiden. Da (s(t)) die zurückgelegte Strecke als Funktion der Zeit misst, misst (s′(t)) die Geschwindigkeit des Teilchens zu einem bestimmten Zeitpunkt. Da wir eine Formel für (s(t)) in Gleichung ef{arclength2} haben, können wir beide Seiten der Gleichung unterscheiden:

[ egin{align*} s′(t) &=dfrac{d}{dt} igg[ int^{t}_{a} sqrt{(f′(u))^2+( g′(u))^2+(h′(u))^2}du igg] [4pt] &=dfrac{d}{dt} igg[ int^{t}_{a } ‖vecs r′(u)‖du igg] [4pt] &=|vecs r′(t)|.end{align*}]

Wenn wir annehmen, dass (vecs r(t)) eine glatte Kurve definiert, dann nimmt die Bogenlänge immer zu, also (s′(t)>0) für (t>a). Schließlich, wenn (vecs r(t)) eine Kurve ist, auf der (|vecs r′(t)|=1 ) für alle (t) gilt, dann

[s(t)=int^{t}_{a} ‖vecs r′(u)‖,du=int^{t}_{a} 1,du=t−a, keine Nummer]

was bedeutet, dass (t) die Bogenlänge darstellt, solange (a=0).

Satz: Bogenlängenfunktion

Sei (vecs r(t)) eine glatte Kurve für (t≥a). Dann ist die Bogenlängenfunktion gegeben durch

[s(t)=int^{t}_{a} ‖vecs r′(u)‖,du]

Weiter,

[dfrac{ds}{dt}=‖vecs r′(t)‖>0. keine Nummer]

Ist (‖vecs r′(t)‖=1) für alle (t≥a), dann repräsentiert der Parameter (t) die Bogenlänge vom Startpunkt bei (t=a) .

Eine nützliche Anwendung dieses Theorems besteht darin, eine alternative Parametrisierung einer gegebenen Kurve zu finden, genannt an Parametrierung der Bogenlänge. Denken Sie daran, dass jede vektorwertige Funktion über eine Variablenänderung umparametriert werden kann. Wenn wir zum Beispiel eine Funktion (vecs r(t)=⟨3 cos t,3 sin t⟩,0≤t≤2π) haben, die einen Kreis mit Radius 3 parametrisiert, können wir den Parameter von (t) zu (4t) und erhält eine neue Parametrisierung (vecs r(t)=⟨3 cos 4t,3 sin 4t⟩). Die neue Parametrisierung definiert immer noch einen Kreis mit Radius 3, aber jetzt brauchen wir nur noch die Werte (0≤t≤π/2) zu verwenden, um den Kreis einmal zu durchfahren.

Angenommen, wir finden die Bogenlängenfunktion (s(t)) und können diese Funktion nach (t) als Funktion von (s) auflösen. Wir können dann die ursprüngliche Funktion (vecs r(t)) umparametrieren, indem wir den Ausdruck für (t) wieder in (vecs r(t)) einsetzen. Die vektorwertige Funktion wird nun in Form des Parameters (s) geschrieben. Da die Variable (s) die Bogenlänge darstellt, nennen wir dies an Parametrierung der Bogenlänge der ursprünglichen Funktion (vecs r(t)). Ein Vorteil des Findens der Bogenlängenparametrisierung besteht darin, dass die entlang der Kurve von (s=0) ausgehende Strecke nun gleich dem Parameter (s) ist. Die Parametrisierung der Bogenlänge erscheint auch im Zusammenhang mit Krümmung (die wir später in diesem Abschnitt untersuchen) und Linienintegralen.

Beispiel (PageIndex{2}): Finden einer Bogenlängen-Parametrierung

Finden Sie die Bogenlängenparametrierung für jede der folgenden Kurven:

  1. (vecs r(t)=4 cos t,hat{mathbf{i}}+ 4 sin t,hat{mathbf{j}},quad t≥0)
  2. (vecs r(t)=⟨t+3,2t−4,2t⟩,quad t≥3)

Lösung

  1. Zuerst finden wir die Bogenlängenfunktion mit Gleichung ef{arclength2}:

    [egin{align*} s(t) &= int_a^t ‖vecs r′(u)‖ ,du [4pt] &= int_0^t ‖⟨−4 sin u,4 cos u⟩‖ ,du [4pt] &= int_0^t sqrt{(−4 sin u)^2+(4 cos u)^2} ,du [4pt] & = int_0^t sqrt{16 sin^2 u+16 cos^2 u} ,du [4pt] &= int_0^t 4,du = 4t, end{align*} ]

  2. was die Beziehung zwischen der Bogenlänge (s) und dem Parameter (t) als (s=4t;) angibt, also (t=s/4). Als nächstes ersetzen wir die Variable (t) in der ursprünglichen Funktion (vecs r(t)=4 cos t,hat{mathbf{i}}+4 sin t,hat{mathbf {j}}) mit dem Ausdruck (s/4) um zu erhalten

    [vecs r(s)=4 cosleft(frac{s}{4} ight),hat{mathbf{i}} + 4sinleft(frac{s}{ 4} echts) ,hat{mathbf{j}}. keine Nummer]

    Dies ist die Bogenlängenparametrisierung von (vecs r(t)). Da die ursprüngliche Einschränkung auf (t) durch (t≥0) gegeben war, ist die Einschränkung auf S wird zu (s/4≥0) oder (s≥0).
  3. Die Bogenlängenfunktion ist durch Gleichung ef{arclength2} gegeben:

    [egin{align*} s(t) & = int_a^t ‖vecs r′(u)‖ ,du [4pt] &= int_3^t ‖⟨1,2,2⟩‖ ,du [4pt] &= int_3^t sqrt{1^2+2^2+2^2} ,du [4pt] &= int_3^t 3 ,du [ 4pt] &= 3t - 9. end{align*}]

    Daher ist die Beziehung zwischen der Bogenlänge (s) und dem Parameter (t) (s=3t−9), also (t=frac{s}{3}+3). Setzt man dies in die ursprüngliche Funktion (vecs r(t)=⟨t+3,2t−4,2t⟩) ein, erhält man

    [vecs r(s)=⟨left(frac{s}{3}+3 ight)+3,,2left(frac{s}{3}+3 ight)−4 ,,2left(frac{s}{3}+3 ight)⟩=⟨frac{s}{3}+6, frac{2s}{3}+2,frac{2s} {3}+6⟩.keineZahl]

    Dies ist eine Bogenlängenparametrisierung von (vecs r(t)). Die ursprüngliche Einschränkung für den Parameter (t) war (t≥3), also ist die Einschränkung für (s) ((s/3)+3≥3) oder (s≥0 ).

Übung (PageIndex{2})

Finden Sie die Bogenlängenfunktion für die Helix

[vecs r(t)=⟨3 cos t, 3 sin t,4t⟩,quad t≥0. keine Nummer]

Verwenden Sie dann die Beziehung zwischen der Bogenlänge und dem Parameter (t), um eine Bogenlängenparametrisierung von (vecs r(t)) zu finden.

Hinweis

Beginnen Sie mit der Suche nach der Bogenlängenfunktion.

Antworten

(s=5t) oder (t=s/5). Einsetzen in (vecs r(t)=⟨3 cos t,3 sin t,4t⟩) ergibt)

[vecs r(s)=⟨3 cosleft(frac{s}{5} ight),3 sinleft(frac{s}{5} ight),frac{4s }{5}⟩,quad s≥0 onumber]

Krümmung

Ein wichtiges Thema im Zusammenhang mit der Bogenlänge ist die Krümmung. Das Konzept der Krümmung bietet eine Möglichkeit zu messen, wie stark sich eine glatte Kurve dreht. Ein Kreis hat eine konstante Krümmung. Je kleiner der Radius des Kreises ist, desto stärker ist die Krümmung.

Denken Sie daran, eine Straße entlang zu fahren. Angenommen, die Straße liegt auf einem großen Kreisbogen. In diesem Fall müssten Sie kaum das Rad drehen, um auf der Straße zu bleiben. Angenommen, der Radius ist kleiner. In diesem Fall müssten Sie schärfer abbiegen, um auf der Straße zu bleiben. Bei einer anderen Kurve als einem Kreis ist es oft sinnvoll, der Kurve an einem bestimmten Punkt zuerst einen Kreis einzuschreiben, so dass er dort tangential zur Kurve ist und die Kurve so nah wie möglich in a . „umarmt“. Umgebung des Punktes (Abbildung (PageIndex{1})). Die Krümmung des Graphen an diesem Punkt wird dann als gleich der Krümmung des einbeschriebenen Kreises definiert.

Definition: Krümmung

Sei (C) eine glatte Kurve in der Ebene oder im Raum, gegeben durch (vecs r(s)), wobei (s) der Bogenlängenparameter ist. Die Krümmung (κ) bei (s) ist

[κ =igg{|}dfrac{dvecs{T}}{ds}igg{|}=‖vecs T′(s)‖.]

In diesem Video erfahren Sie mehr über die Krümmung einer Raumkurve.

Die Formel in der Definition der Krümmung ist für die Berechnung nicht sehr nützlich. Denken Sie insbesondere daran, dass (vecs T(t)) den Einheitstangensvektor zu einer gegebenen vektorwertigen Funktion (vecs r(t)) darstellt, und die Formel für (vecs T(t) ) ist

[vecs T(t)=frac{vecs r′(t)}{∥vecs r′(t)∥}.]

Um die Krümmungsformel zu verwenden, muss man zuerst (vecs r(t)) durch den Bogenlängenparameter (s) ausdrücken und dann den Einheitstangensvektor (vecs T(s )) für die Funktion (vecs r(s)), dann ziehe die Ableitung von (vecs T(s)) nach (s). Dies ist ein langwieriger Prozess.Glücklicherweise gibt es äquivalente Formeln für die Krümmung.

Satz: Alternative Krümmungsformeln

Ist (C) eine glatte Kurve gegeben durch (vecs r(t)), dann ist die Krümmung (κ) von (C) bei (t) gegeben durch

[κ =dfrac{‖vecs T′(t)‖}{‖vecs r′(t)‖}. label{EqK2} ]

Wenn (C) eine dreidimensionale Kurve ist, dann kann die Krümmung durch die Formel

[κ =dfrac{‖vecs r′(t)×vecs r′′(t)‖}{‖vecs r′(t)‖^3}.label{GlK3}]

Wenn (C) der Graph einer Funktion (y=f(x)) ist und sowohl (y′) als auch (y'') existieren, dann ist die Krümmung (κ) im Punkt ((x,y)) ist gegeben durch

[κ =dfrac{|y''|}{[1+(y′)^2]^{3/2}}.label{EqK4}]

Nachweisen

Die erste Formel folgt direkt aus der Kettenregel:

[dfrac{dvecs{T}}{dt} = dfrac{dvecs{T}}{ds} dfrac{ds}{dt}, onumber]

wobei (s) die Bogenlänge entlang der Kurve (C) ist. Dividiert man beide Seiten durch (ds/dt) und nimmt man den Betrag beider Seiten, erhält man

[igg{|}dfrac{dvecs{T}}{ds}igg{|}= leftlVertfrac{vecs T′(t)}{dfrac{ds}{ dt}} ight Vert. onumber]

Wegen (ds/dt=‖vecs r′(t)‖) ergibt sich die Formel für die Krümmung (κ) einer Kurve (C) in Bezug auf eine beliebige Parametrisierung von (C) :

[κ =dfrac{‖vecs T′(t)‖}{‖vecs r′(t)‖}. onumber]

Bei einer dreidimensionalen Kurve beginnen wir mit den Formeln (vecs T(t)=(vecs r′(t))/‖vecs r′(t)‖) und (ds/ dt=‖vecs r′(t)‖). Daher (vecs r′(t)=(ds/dt)vecs T(t)). Wir können die Ableitung dieser Funktion mit der Skalarproduktformel bilden:

[vecs r″(t)=dfrac{d^2s}{dt^2}vecs T(t)+dfrac{ds}{dt}vecs T′(t). onumber]

Mit diesen letzten beiden Gleichungen erhalten wir

[egin{align*} vecs r′(t)×vecs r″(t) &=dfrac{ds}{dt}vecs T(t)× igg( dfrac{d^2s} {dt^2}vecs T(t)+dfrac{ds}{dt}vecs T′(t) igg) [4pt] &=dfrac{ds}{dt} dfrac{d^ 2s}{dt^2}vecs T(t)×vecs T(t)+(dfrac{ds}{dt})^2vecs T(t)×vecs T′(t). end{ausrichten*}]

Da (vecs T(t)×vecs T(t)=0), reduziert sich dies auf

[vecs r′(t)×vecs r′′(t)=left(dfrac{ds}{dt} ight)^2vecs T(t)×vecs T′(t). keine Nummer]

Da (vecs T′) parallel zu (vecs N) und (vecs T) orthogonal zu (vecs N) ist, folgt (vecs T) und (vecs T′) sind orthogonal. Dies bedeutet, dass (‖vecs T×vecs T′‖=‖vecs T‖‖vecs T′‖ sin (π/2)=‖vecs T′‖), also

[|vecs r′(t)×vecs r″(t)|=left(dfrac{ds}{dt} ight)^2‖vecs T′(t)‖. onumber ]

Nun lösen wir diese Gleichung nach (‖vecs T′(t)‖) und nutzen dabei (ds/dt=‖vecs r′(t)‖):

[‖vecs T′(t)‖=dfrac{‖vecs r′(t)×vecs r″(t)‖}{‖vecs r′(t)‖^2}. onumber ]

Dann teilen wir beide Seiten durch (‖vecs r′(t)‖). Das gibt

[κ =dfrac{‖vecs T′(t)‖}{‖vecs r′(t)‖}=dfrac{‖vecs r′(t)×vecs r″(t)‖} {‖vecs r′(t)‖^3}. onumber]

Dies beweist ( ef{Gl.K3}). Um ( ef{Gl.K4}) zu beweisen, gehen wir von der Annahme aus, dass die Kurve (C) durch die Funktion (y=f(x)) definiert ist. Dann können wir (vecs r(t)=x,hat{mathbf{i}}+f(x),hat{mathbf{j}}+0 ,hat{ mathbf{k}}). Verwenden der vorherigen Formel für die Krümmung:

[egin{align*} vecs r′(t) &=,hat{mathbf{i}}+f′(x),hat{mathbf{j}} [4pt] vecs r″(t) &=f″(x),hat{mathbf{j}} [4pt] vecs r′(t)×vecs r″(t) &= egin{ vmatrix} hat{mathbf{i}} & hat{mathbf{j}} & hat{mathbf{k}} 1 & f′(x) & 0 0 & f″(x ) & 0 end{vmatrix} =f″(x),hat{mathbf{k}}. end{ausrichten*}]

Deswegen,

[κ= dfrac{‖vecs r′(t)×vecs r″(t)‖}{‖vecs r′(t)‖^3}=dfrac{|f″(x)|} {(1+[f′(x)]^2)^{3/2}} onumber]

Beispiel (PageIndex{3}): Krümmung finden

Ermitteln Sie die Krümmung für jede der folgenden Kurven an dem angegebenen Punkt:

  1. (vecs r(t)=4 cos t,hat{mathbf{i}}+4 sin t,hat{mathbf{j}}+3t,hat{mathbf{ k}},quad t=dfrac{4π}{3})
  2. (mathrm{f(x)=sqrt{4x−x^2},x=2})

Lösung

  1. Diese Funktion beschreibt eine Helix.

Die Krümmung der Helix bei (t=(4π)/3) kann mit ( ef{EqK2}) ermittelt werden. Berechnen Sie zunächst (vecs T(t)):

[egin{align*} vecs T(t) &=dfrac{vecs r′(t)}{‖vecs r′(t)‖} [4pt] &=dfrac{⟨− 4 sin t,4 cos t,3⟩}{sqrt{(−4 sin t)^2+(4 cos t)^2+3^2}}[4pt] &=⟨− dfrac{4}{5} sin t,dfrac{4}{5} cos t, dfrac{3}{5}⟩. end{ausrichten*}]

Berechnen Sie als nächstes (vecs T′(t):)

[vecs T′(t)=⟨−dfrac{4}{5} cos t,− dfrac{4}{5} sin t,0⟩. keine Nummer]

Wenden Sie zuletzt ( ef{EqK2}) an:

[ egin{align*} κ &=dfrac{‖vecs T′(t)‖}{‖vecs r′(t)‖} = dfrac{‖⟨−dfrac{4}{5} cos t,−dfrac{4}{5} sin t,0⟩‖}{‖⟨−4 sin t,4 cos t,3⟩‖} [4pt] &=dfrac{ sqrt{(−dfrac{4}{5} cos t)^2+(−dfrac{4}{5} sin t)^2+0^2}}{sqrt{(−4 sin t)^2+(4 cos t)^2+ 3^2}} [4pt] &=dfrac{4/5}{5}=dfrac{4}{25}. end{ausrichten*}]

Die Krümmung dieser Helix ist an allen Punkten der Helix konstant.

  1. Diese Funktion beschreibt einen Halbkreis.

Um die Krümmung dieses Graphen zu finden, müssen wir ( ef{Gl.K4}) verwenden. Zuerst berechnen wir (y′) und (y″:)

[egin{align*}y &=sqrt{4x−x^2}=(4x−x^2)^{1/2} [4pt] y′ &=dfrac{1}{2 }(4x−x^2)^{−1/2}(4−2x)=(2−x)(4x−x^2)^{−1/2} [4pt] y″ &=− (4x−x^2)^{−1/2}+(2−x)(−dfrac{1}{2})(4x−x^2)^{−3/2}(4−2x) [4pt] & =−dfrac{4x−x^2}{(4x−x^2)^{3/2}}−dfrac{(2−x)^2}{(4x−x^ 2)^{3/2}} [4pt] &=dfrac{x^2−4x−(4−4x+x^2)}{(4x−x^2)^{3/2}} [4pt] &=−dfrac{4}{(4x−x^2)^{3/2}}. end{ausrichten*} ]

Dann wenden wir ( ef{EqK4}) an:

[ egin{align*} κ &=dfrac{|y''|}{[1+(y′)^2]^{3/2}} [4pt] &= dfrac{igg | −dfrac{4}{(4x−x^2)^{3/2}}igg|}{igg[1+((2−x)(4x−x^2)^{−1/2 })^2 igg]^{3/2}} = dfrac{igg| dfrac{4}{(4x−x^2)^{3/2}} igg|}{igg[ 1+dfrac{(2−x)^2}{4x−x^2} igg ]^ {3/2}} [4pt] &= dfrac{igg| dfrac{4}{(4x−x^2)^{3/2}} igg|}{ igg[ dfrac{4x−x^2+x^2−4x+4}{4x−x^ 2} igg]^{3/2}}=igg| dfrac{4}{(4x−x^2)^{3/2}} igg| ⋅dfrac{(4x−x^2)^{3/2}}{8} [4pt] &=dfrac{1}{2}. end{ausrichten*}]

Die Krümmung dieses Kreises ist gleich dem Kehrwert seines Radius. Es gibt ein kleines Problem mit dem Absolutwert in ( ef{EqK4}) ; Ein genauerer Blick auf die Rechnung zeigt jedoch, dass der Nenner für jeden Wert von (x) positiv ist.

Übung (PageIndex{3})

Finden Sie die Krümmung der Kurve definiert durch die Funktion the

[y=3x^2−2x+4 onumber]

am Punkt (x=2).

Hinweis

Verwenden Sie ( ef{EqK4}).

Antworten

(κ ; =frac{6}{101^{3/2}}≈0,0059)

Der normale und der binormale Vektor

Wir haben gesehen, dass die Ableitung (vecs r′(t)) einer vektorwertigen Funktion ein Tangentenvektor an die durch (vecs r(t)) definierte Kurve ist und der Einheitstangensvektor ( vecs T(t)) kann berechnet werden, indem (vecs r′(t)) durch seinen Betrag geteilt wird. Beim Studium der Bewegung in drei Dimensionen sind zwei weitere Vektoren nützlich, um die Bewegung eines Teilchens entlang einer Bahn im Raum zu beschreiben: der Hauptnormalenvektor und der binormaler Vektor.

Definition: binormale Vektoren

Sei (C) ein dreidimensionales glatt Kurve dargestellt durch (vecs r) über einem offenen Intervall (I). Falls (vecs T′(t)≠vecs 0), dann ist der Haupteinheitsnormalenvektor bei (t) definiert als

[vecs N(t)=dfrac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖}. label{EqNormal}]

Der binormale Vektor bei (t) ist definiert als

[vecs B(t)=vecs T(t)×vecs N(t),label{EqBinormal}]

wobei (vecs T(t)) der Einheitstangensvektor ist.

Beachten Sie, dass der binormale Vektor per Definition sowohl zum Einheitstangensvektor als auch zum Normalenvektor orthogonal ist. Außerdem ist (vecs B(t)) immer ein Einheitsvektor. Dies kann mit der Formel für den Betrag eines Kreuzprodukts gezeigt werden.

[‖vecs B(t)‖=‖vecs T(t)×vecs N(t)‖=‖vecs T(t)‖‖vecs N(t)‖ sin heta,]

wobei ( heta) der Winkel zwischen (vecs T(t)) und (vecs N(t)) ist. Da (vecs N(t)) die Ableitung eines Einheitsvektors ist, sagt uns die Eigenschaft (vii) der Ableitung einer vektorwertigen Funktion, dass (vecs T(t)) und (vecs N(t)) sind orthogonal zueinander, also ( heta=π/2). Außerdem sind sie beide Einheitsvektoren, ihr Betrag ist also 1. Daher ist (‖vecs T(t)‖‖vecs N(t)‖ sin heta=(1)(1) sin (π/ 2)=1) und (vecs B(t)) ist ein Einheitsvektor.

Die Berechnung des Haupt-Einheitsnormalenvektors kann schwierig sein, da der Einheitstangensvektor einen Quotienten beinhaltet und dieser Quotient oft eine Quadratwurzel im Nenner hat. Im dreidimensionalen Fall kann das Auffinden des Kreuzprodukts des Einheitstangensvektors und des Einheitsnormalenvektors noch mühsamer sein. Glücklicherweise haben wir alternative Formeln, um diese beiden Vektoren zu finden, und sie werden in Motion in Space vorgestellt.

Beispiel (PageIndex{4}): Ermitteln des Haupteinheitsnormalenvektors und des Binormalenvektors

Ermitteln Sie für jede der folgenden vektorwertigen Funktionen den Haupteinheitsnormalenvektor. Finden Sie dann, wenn möglich, den binormalen Vektor.

  1. (vecs r(t)=4 cos t,hat{mathbf{i}}− 4 sin t,hat{mathbf{j}})
  2. (vecs r(t)=(6t+2),hat{mathbf{i}}+5t^2,hat{mathbf{j}}−8t,hat{mathbf{ k}})

Lösung

  1. Diese Funktion beschreibt einen Kreis.

Um den Haupt-Einheitsnormalenvektor zu finden, müssen wir zuerst den Einheitstangensvektor (vecs T(t):) finden

[egin{align*} vecs T(t) &=dfrac{vecs r′(t)}{‖vecs r′(t)‖} [4pt]
&=dfrac{−4 sin t,hat{mathbf{i}}−4 cos t,hat{mathbf{j}}}{sqrt{(−4sin t)^ 2+(−4 cos t)^2}} [4pt]
&=dfrac{−4 sin t,hat{mathbf{i}}−4 cos t,hat{mathbf{j}} }{sqrt{16 sin^2 t+16 cos^2 t}} [4pt]
&=dfrac{−4 sin t,hat{mathbf{i}}−4 cos t,hat{mathbf{j}} }{sqrt{16(sin^2 t+ cos ^2 t)}} [4pt]
&=dfrac{−4 sin t,hat{mathbf{i}}−4 cos t,hat{mathbf{j}}}}{4} [4pt] &=− sin t,hat{mathbf{i}}−cos t,hat{mathbf{j}}.end{align*}]

Als nächstes verwenden wir ( ef{EqNormal}) :

[egin{align*} vecs N(t) &=dfrac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖} [4pt] &=dfrac{− cos t,hat{mathbf{i}}+sin t,hat{mathbf{j}}}{sqrt{(−cos t)^2+(sin t)^2} } [4pt]
&=dfrac{− cos t,hat{mathbf{i}}+ sin t,hat{mathbf{j}}}{sqrt{ cos^2 t+ sin^2 t }} [4pt]
&=−cos t,hat{mathbf{i}}+sin t,hat{mathbf{j}}. end{ausrichten*}]

Beachten Sie, dass der Einheitstangensvektor und der Haupteinheitsnormalenvektor für alle Werte von (t) orthogonal zueinander sind:

[egin{align*} vecs T(t)·vecs N(t) &=⟨− sin t,− cos t⟩·⟨− cos t, sin t⟩ [4pt] &= sin t cos t−cos t sin t [4pt] &=0. end{ausrichten*}]

Außerdem zeigt der Normalenvektor der Haupteinheit von jedem Punkt auf dem Kreis zum Mittelpunkt des Kreises. Da (vecs r(t)) eine Kurve in zwei Dimensionen definiert, können wir den binormalen Vektor nicht berechnen.

  1. Diese Funktion sieht so aus:

Um den Haupt-Einheitsnormalenvektor zu finden, finden wir zuerst den Einheitstangensvektor (vecs T(t):)

[egin{align*} vecs T(t) &=dfrac{vecs r′(t)}{‖vecs r′(t)‖} [4pt]
&=dfrac{6,hat{mathbf{i}}+10t,hat{mathbf{j}}−8,hat{mathbf{k}}}{ sqrt{6^ 2+(10t)^2+(−8)^2}} [4pt]
&=dfrac{6,hat{mathbf{i}}+10t,hat{mathbf{j}}−8,hat{mathbf{k}}}{ sqrt{36+ 100t^2+64}} [4pt]
&= dfrac{6,hat{mathbf{i}}+10t,hat{mathbf{j}}−8,hat{mathbf{k}}}{sqrt{100( t^2+1)}} [4pt]
&=dfrac{3,hat{mathbf{i}}−5t,hat{mathbf{j}}−4,hat{mathbf{k}}}{5sqrt{t ^2+1}} [4pt]
&=dfrac{3}{5}(t^2+1)^{−1/2},hat{mathbf{i}}−t(t^2+1)^{−1/2 },hat{mathbf{j}}−dfrac{4}{5}(t^2+1)^{−1/2},hat{mathbf{k}}. end{ausrichten*}]

Als nächstes berechnen wir (vecs T′(t)) und (‖vecs T′(t)‖):

[egin{align*} vecs T′(t) &=dfrac{3}{5}(−dfrac{1}{2})(t^2+1)^{−3/2} (2t),hat{mathbf{i}}−((t^2+1)^{−1/2}−t(dfrac{1}{2})(t^2+1)^ {−3/2}(2t)),hat{mathbf{j}}−dfrac{4}{5}(−dfrac{1}{2})(t^2+1)^{ −3/2}(2t),hat{mathbf{k}} [4pt]
&=−dfrac{3t}{5(t^2+1)^{3/2}},hat{mathbf{i}}−dfrac{1}{(t^2+1)^ {3/2}},hat{mathbf{j}}+dfrac{4t}{5(t^2+1)^{3/2}},hat{mathbf{k}} [4pt] ‖vecs T′(t)‖ &=sqrt{igg(−dfrac{3t}{5(t^2+1)^{3/2} }igg) ^2+ igg( −dfrac{1}{(t^2+1)^{3/2}} igg) ^2+ igg( dfrac{4t}{5(t^2+1)^{3 /2}} igg)^2} [4pt]
&=sqrt{dfrac{9t^2}{25(t^2+1)^3} +dfrac{1}{(t^2+1)^3}+dfrac{16t^2}{ 25(t^2+1)^3}} [4pt]
&=sqrt{dfrac{25t^2+25}{25(t^2+1)^3}} [4pt]
&=sqrt{dfrac{1}{(t^2+1)^2}} [4pt]
&=dfrac{1}{t^2+1}. end{ausrichten*}]

Daher gilt nach ( ef{EqNormal}) :

[egin{align*} vecs N(t) &=dfrac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖} [4pt]
&= igg( −dfrac{3t}{5(t^2+1)^{3/2}},hat{mathbf{i}}−dfrac{1}{(t^2+ .) 1)^{3/2}},hat{mathbf{j}} +dfrac{4t}{5(t^2+1)^{3/2}},hat{mathbf{ k}} igg)(t^2+1) [4pt]
&=−dfrac{3t}{5(t^2+1)^{1/2}},hat{mathbf{i}}−dfrac{5}{5(t^2+1) ^{1/2}},hat{mathbf{j}}+dfrac{4t}{5(t^2+1)^{1/2}},hat{mathbf{k} } [4pt]
&=−dfrac{3t,hat{mathbf{i}}+5,hat{mathbf{j}}−4t,hat{mathbf{k}}}{5sqrt{ t^2+1}}. end{ausrichten*}]

Auch hier sind der Einheitstangensvektor und der Haupteinheitsnormalenvektor für alle Werte von (t) orthogonal zueinander:

[egin{align*} vecs T(t)·vecs N(t) &= igg( dfrac{3,hat{mathbf{i}}−5t,hat{mathbf {j}}−4,hat{mathbf{k}}}{5sqrt{t^2+1} }igg) · igg( −dfrac{3t,hat{mathbf{ i}}+5,hat{mathbf{j}}−4t,hat{mathbf{k}}}{5sqrt{t^2+1}} igg) [4pt]
&=dfrac{3(−3t)−5t(−5)−4(4t)}{25(t^2+1)} [4pt]
&=dfrac{−9t+25t−16t}{25(t^2+1)} [4pt]
&=0. end{ausrichten*} ]

Da (vecs r(t)) schließlich eine dreidimensionale Kurve darstellt, können wir den binormalen Vektor mit ( ef{EqBinormal}) berechnen:

[egin{ausrichten*} vecs B(t) &= ; vecs T(t)×vecs N(t) [4pt]
&= egin{vmatrix} hat{mathbf{i}} & hat{mathbf{j}} & hat{mathbf{k}} dfrac{3}{5 sqrt{t^ 2+1}} & − dfrac {5t}{5sqrt{t^2+1}} & −dfrac {4}{5 sqrt{t^2+1}} −dfrac {3t }{5sqrt {t^2+1}} & − dfrac {5}{5 sqrt {t^2+1}} & dfrac {4t}{5sqrt{t^2+1}} end{vmatrix} [4pt]
&= igg( igg( − dfrac{5t}{5sqrt{t^2+1}} igg) igg( dfrac{4t}{5sqrt{t^2+1}} bigg) − igg( − dfrac{4}{5 sqrt{t^2+1}} igg) igg( −dfrac{5}{5sqrt{t^2+1}} igg ) igg),hat{mathbf{i}}
& - igg( igg( dfrac{3}{5sqrt{t^2+1}} igg) igg( dfrac{4t}{5sqrt{t^2+1}} igg ) − igg( − dfrac{4}{5 sqrt{t^2+1}} igg) igg( −dfrac{3t}{5sqrt{t^2+1}} igg) igg),hat{mathbf{j}}
& + igg( igg( dfrac{3}{5sqrt{t^2+1}} igg) igg( - dfrac{5}{5sqrt{t^2+1}} bigg) − igg( − dfrac{5t}{5 sqrt{t^2+1}} igg) igg( −dfrac{3t}{5sqrt{t^2+1}} igg ) igg),hat{mathbf{k}} [4pt]
&= igg( dfrac{−20t^2−20}{25(t^2+1)} igg),hat{mathbf{i}} + igg( dfrac{−15−15t ^2}{25(t^2+1)} igg),hat{mathbf{k}} [4pt]
&= −20 igg( dfrac{t^2+1}{25(t^2+1)} igg),hat{mathbf{i}} −15 igg( dfrac{t^ 2+1}{25(t^2+1)} igg),hat{mathbf{k}} [4pt]
&= −dfrac{4}{5},hat{mathbf{i}}−dfrac{3}{5},hat{mathbf{k}}. end{ausrichten*} ]

Übung (PageIndex{4})

Finden Sie den Einheitsnormalenvektor für die vektorwertige Funktion (vecs r(t)=(t^2−3t),hat{mathbf{i}}+(4t+1),hat{ mathbf{j}}) und werte es zu (t=2) aus.

Hinweis

Finde zuerst (vecs T(t)), dann verwende ( ef{EqNormal}).

Antworten

(vecs N(2)=dfrac{sqrt{2}}{2}(,hat{mathbf{i}}−,hat{mathbf{j}}))

Für jede glatte Kurve in drei Dimensionen, die durch eine vektorwertige Funktion definiert ist, haben wir nun Formeln für den Einheitstangensvektor (vecs T), den Einheitsnormalenvektor (vecs N) und den binormalen Vektor (vecsB). Der Einheitsnormalenvektor und der Binormalenvektor bilden eine Ebene, die an jedem Punkt der Kurve senkrecht zur Kurve steht, die als Normalebene bezeichnet wird. Darüber hinaus bilden diese drei Vektoren einen Bezugsrahmen im dreidimensionalen Raum, der als bezeichnet wird Frenetischer Bezugsrahmen (auch genannt die TNB Rahmen) (Abbildung (PageIndex{2})). Schließlich bildet die durch die Vektoren (vecs T) und (vecs N) bestimmte Ebene die Schmiegebene von (C) an einem beliebigen Punkt (P) auf der Kurve.

Angenommen, wir bilden einen Kreis in der Schminkebene von (C) im Punkt (P) auf der Kurve. Angenommen, der Kreis hat die gleiche Krümmung wie die Kurve im Punkt (P) und der Kreis hat den Radius (r). Dann ist die Krümmung des Kreises durch (frac{1}{r}) gegeben. Wir nennen (r) den Krümmungsradius der Kurve, und er ist gleich dem Kehrwert der Krümmung. Liegt dieser Kreis auf der konkaven Seite der Kurve und tangiert die Kurve im Punkt (P), dann heißt dieser Kreis circle Schmiegkreis von (C) bei (P), wie in Abbildung (PageIndex{3}) gezeigt.

Weitere Informationen zu Schmiegkreisen finden Sie in dieser Demonstration zu Krümmung und Torsion, in diesem Artikel über Schmiegkreise und in dieser Diskussion der Serret-Formeln.

Um die Gleichung eines Schmiegkreises in zwei Dimensionen zu finden, brauchen wir nur den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu finden.

Beispiel (PageIndex{5}): Ermitteln der Gleichung eines Schwingkreises

Finden Sie die Gleichung des Schmiegkreises der durch die Funktion (y=x^3−3x+1) definierten Kurve bei (x=1).

Lösung

Abbildung (PageIndex{4}) zeigt den Graphen von (y=x^3−3x+1).

Berechnen wir zunächst die Krümmung bei (x=1):

[κ =dfrac{|f″(x)|}{igg( 1+[f′(x)]^2 igg) ^{3/2}} = dfrac{|6x|}{( 1+[3x^2−3]^2)^{3/2}}.]

Dies ergibt (κ=6). Daher ist der Radius des Schmiegkreises gegeben durch (R=frac{1}{κ}=dfrac{1}{6}). Als nächstes berechnen wir dann die Koordinaten des Kreismittelpunkts. Bei (x=1) ist die Steigung der Tangente Null. Daher liegt der Mittelpunkt des Schmiegkreises direkt über dem Punkt auf dem Graphen mit den Koordinaten ((1,−1)). Das Zentrum befindet sich bei ((1,−frac{5}{6})). Die Formel für einen Kreis mit Radius (r) und Mittelpunkt ((h,k)) lautet ((x−h)^2+(y−k)^2=r^2). Die Gleichung des Schmiegkreises lautet also ((x−1)^2+(y+frac{5}{6})^2=frac{1}{36}). Die Kurve und ihr Schmiegkreis erscheinen in der folgenden Kurve.

Übung (PageIndex{5})

Finden Sie die Gleichung des Schmiegkreises der durch die vektorwertige Funktion (y=2x^2−4x+5) definierten Kurve bei (x=1).

Hinweis

Verwenden Sie ( ef{EqK4}), um die Krümmung des Graphen zu bestimmen, und zeichnen Sie dann einen Graphen der Funktion um (x=1), um den Kreis in Bezug auf den Graphen zu visualisieren.

Antworten

(κ =frac{4}{[1+(4x−4)^2]^{3/2}})

Im Punkt (x=1) ist die Krümmung gleich (4). Daher ist der Radius des Schmiegkreises (frac{1}{4}).

Als nächstes erscheint ein Graph dieser Funktion:

Der Scheitelpunkt dieser Parabel liegt im Punkt ((1,3)). Außerdem liegt der Mittelpunkt des Schmiegkreises direkt über dem Scheitelpunkt. Daher sind die Koordinaten des Zentrums ((1,frac{13}{4})). Die Gleichung des Schmiegkreises lautet

((x−1)^2+(y−frac{13}{4})^2=frac{1}{16}).

Schlüssel Konzepte

  • Die Bogenlängenfunktion für eine vektorwertige Funktion wird mit der Integralformel (displaystyle s(t)=int_a^b ‖vecs r′(t)‖,dt) berechnet. Diese Formel ist sowohl in zwei als auch in drei Dimensionen gültig.
  • Die Krümmung einer Kurve an einem Punkt in entweder zwei oder drei Dimensionen wird als die Krümmung des einbeschriebenen Kreises an diesem Punkt definiert. Die Parametrierung der Bogenlänge wird bei der Definition der Krümmung verwendet.
  • Es gibt verschiedene Formeln für die Krümmung. Die Krümmung eines Kreises ist gleich dem Kehrwert seines Radius.
  • Der Haupteinheitsnormalenvektor bei (t) ist definiert als

    [vecs N(t)=dfrac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖}. keine Nummer]

  • Der binormale Vektor bei (t) ist definiert als (vecs B(t)=vecs T(t)×vecs N(t)), wobei (vecs T(t)) die Einheit Tangens Vektor.
  • Der Frenet-Bezugsrahmen wird durch den Einheitstangensvektor, den Haupteinheitsnormalenvektor und den Binormalenvektor gebildet.
  • Der Schmiegkreis tangiert an einem Punkt eine Kurve und hat die gleiche Krümmung wie die Tangentenkurve an diesem Punkt.

Schlüsselgleichungen

  • Bogenlänge der Raumkurve
    (s= {displaystyle int _a^b} sqrt{[f′(t)]^2+[g′(t)]^2+[h′(t)]^2} ,dt= {displaystyle int _a^b} ‖vecs r′(t)‖,dt)
  • Bogenlängenfunktion
    (s(t)={displaystyle int _a^t} sqrt{f′(u))^2+(g′(u))^2+(h′(u))^2} , du ; oder ; s(t)={displaystyle int _a^t}‖vecs r′(u)‖,du)
  • (κ=frac{‖vecs T′(t)‖}{‖vecs r′(t)‖} ; oder ;κ=frac{‖vecs r′(t)×vecs r ″(t)‖}{‖vecs r′(t)‖^3} ;oder ;κ=frac{|y″|}{[1+(y′)^2]^{3/2 }})
  • Haupteinheitsnormalenvektor
    (vecs N(t)=frac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖})
  • Binormaler Vektor
    (vecs B(t)=vecs T(t)×vecs N(t))

Glossar

Bogenlängenfunktion
eine Funktion (s(t)), die die Bogenlänge der Kurve (C) als Funktion von (t) beschreibt
Parametrierung der Bogenlänge
eine Umparametrisierung einer vektorwertigen Funktion, bei der der Parameter gleich der Bogenlänge . ist
binormaler Vektor
ein Einheitsvektor orthogonal zum Einheitstangensvektor und zum Einheitsnormalenvektor
Krümmung
die Ableitung des Einheitstangensvektors nach dem Bogenlängenparameter
Frenetischer Bezugsrahmen
(TNB-Rahmen) ein Bezugsrahmen im dreidimensionalen Raum, der durch den Einheitstangensvektor, den Einheitsnormalenvektor und den Binormalenvektor gebildet wird
normale Ebene
eine Ebene, die an einem beliebigen Punkt der Kurve senkrecht zu einer Kurve steht
Schmiegkreis
ein Kreis, der eine Kurve (C) in einem Punkt (P) tangiert und die gleiche Krümmung hat
schmiegende Ebene
die durch die Einheitstangente und den Einheitsnormalenvektor bestimmte Ebene
Haupteinheitsnormalenvektor
ein Vektor orthogonal zum Einheitstangensvektor, gegeben durch die Formel (frac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖})
Krümmungsradius
der Kehrwert der Krümmung
glatt
Kurven, bei denen die vektorwertige Funktion (vecs r(t)) mit einer von Null verschiedenen Ableitung differenzierbar ist

Einführung in die Mathematik der Allgemeinen Relativitätstheorie

Das Mathematik der Allgemeinen Relativitätstheorie ist komplex. In Newtons Bewegungstheorien bleiben die Länge eines Objekts und die Geschwindigkeit, mit der die Zeit vergeht, konstant, während das Objekt beschleunigt, was bedeutet, dass viele Probleme der Newtonschen Mechanik allein durch Algebra gelöst werden können. In der Relativitätstheorie ändern sich jedoch die Länge eines Objekts und die Geschwindigkeit, mit der die Zeit vergeht, merklich, wenn sich die Objektgeschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit nähert, was bedeutet, dass mehr Variablen und kompliziertere Mathematik erforderlich sind, um die Bewegung des Objekts zu berechnen. Daher erfordert die Relativität die Verwendung von Konzepten wie Vektoren, Tensoren, Pseudotensoren und krummlinigen Koordinaten.

Für eine Einführung am Beispiel von Teilchen, die Kreisbahnen um eine große Masse folgen, werden nichtrelativistische und relativistische Behandlungen in Newtonsche Motivationen für die Allgemeine Relativität bzw. Theoretische Motivation für die Allgemeine Relativität gegeben.


12.4: Bogenlänge und Krümmung

In diesem Abschnitt wollen wir kurz auf die Krümmung einer glatten Kurve (erinnern Sie sich, dass wir für eine glatte Kurve benötigen, dass (vec r'left( t ight)) stetig ist und (vec r'left( t ight) e 0)) . Die Krümmung misst, wie schnell eine Kurve die Richtung an einem bestimmten Punkt ändert.

Es gibt mehrere Formeln, um die Krümmung einer Kurve zu bestimmen. Die formale Definition der Krümmung lautet:

wobei (vec T) die Einheitstangente und (s) die Bogenlänge ist. Denken Sie daran, dass wir in einem vorherigen Abschnitt gesehen haben, wie man eine Kurve neu parametriert, um sie in Bezug auf die Bogenlänge zu erhalten.

Im Allgemeinen ist die formale Definition der Krümmung nicht einfach zu verwenden, daher gibt es zwei alternative Formeln, die wir verwenden können. Hier sind sie.

Diese sind vielleicht auch nicht besonders einfach zu handhaben, aber zumindest müssen wir die Einheitstangente nicht umparametrieren.

Zurück in dem Abschnitt, als wir den Tangentenvektor eingeführt haben, haben wir die Tangenten- und Einheitstangensvektoren für diese Funktion berechnet. Diese waren,

[Startvec r'left( t ight) & = leftlangle <1,3cos t, - 3sin t> ight angle vec Tleft( t ight) & = linkslangle <>>,frac<3> <>>cos t, - frac<3> < >>sin t> ight angle end]

Die Ableitung des Einheitstangens ist

[vec T'left( t ight) = leftlangle <0, - frac<3> <>>sin t, - frac<3> <>>cos t> ight angle]

Die Beträge der beiden Vektoren sind

In diesem Fall ist die Krümmung konstant. Dies bedeutet, dass die Kurve an jedem Punkt entlang der Kurve die Richtung mit der gleichen Geschwindigkeit ändert. Wenn man sich daran erinnert, dass diese Kurve eine Helix ist, ist dieses Ergebnis sinnvoll.

In diesem Fall wäre die zweite Form der Krümmung wahrscheinlich am einfachsten. Hier sind die ersten paar Derivate.

[vec r'left( t ight) = 2t,vec i + ,vec khspace<0.25in>hspace<0.25in>vec r''left( t ight) = 2,vec i]

Als nächstes benötigen wir das Kreuzprodukt.

Die Krümmung bei jedem Wert von (t) ist dann

Es gibt einen Sonderfall, den wir hier ebenfalls betrachten können. Angenommen wir haben eine Kurve gegeben durch (y = fleft( x ight)) und wir wollen ihre Krümmung finden.

Wie wir beim ersten Betrachten von Vektorfunktionen gesehen haben, können wir dies wie folgt schreiben:

[vec rleft( x ight) = x,vec i + fleft( x ight)vec j]

Wenn wir dann die zweite Formel für die Krümmung verwenden, erhalten wir die folgende Formel für die Krümmung.


Sei r eine durch die Bogenlänge s parametrisierte Raumkurve mit dem Einheitstangensvektor T . Wenn die Krümmung κ von r an einem bestimmten Punkt nicht Null ist, dann sind der Hauptnormalenvektor und der Binormalenvektor an diesem Punkt die Einheitsvektoren

wobei die Primzahl die Ableitung des Vektors nach dem Parameter s bezeichnet. Das Drehung τ misst die Rotationsgeschwindigkeit des binormalen Vektors an dem gegebenen Punkt. Es ergibt sich aus der Gleichung

Anmerkung: Die Ableitung des Binormalenvektors steht sowohl auf der Binormalen als auch auf der Tangente senkrecht, muss also proportional zum Hauptnormalenvektor sein. Das negative Vorzeichen ist einfach Konventionssache: Es ist ein Nebenprodukt der historischen Entwicklung des Themas.

Geometrische Relevanz: Die Torsion τ(S) misst die Umkehrung des binormalen Vektors. Je größer die Torsion ist, desto schneller dreht sich der binormale Vektor um die durch den Tangentenvektor gegebene Achse (siehe grafische Darstellungen). In der animierten Figur ist die Drehung des binormalen Vektors an den Spitzen der Torsionsfunktion deutlich zu erkennen.

  • Eine ebene Kurve mit nicht verschwindender Krümmung hat an allen Punkten keine Torsion. Umgekehrt, wenn die Torsion einer regulären Kurve mit nicht verschwindender Krümmung identisch Null ist, dann gehört diese Kurve zu einer festen Ebene.
  • Die Krümmung und die Torsion einer Helix sind konstant. Umgekehrt ist jede Raumkurve, deren Krümmung und Torsion sowohl konstant als auch nicht Null sind, eine Helix. Die Torsion ist bei einer rechtsgängigen [1] Helix positiv und bei einer linksgängigen negativ.

Lassen R = R(T) die parametrische Gleichung einer Raumkurve. Nehmen Sie an, dass dies eine reguläre Parametrisierung ist und die Krümmung der Kurve nicht verschwindet. Analytisch, R(T) ist eine dreimal differenzierbare Funktion von t mit Werten in R 3 und die Vektoren

Dann lässt sich die Torsion nach folgender Formel berechnen:

Dabei bezeichnen die Primzahlen die Ableitungen nach t und das Kreuz das Kreuzprodukt. Für R = (x, ja, z) ist die Formel in Komponenten


Wenn ich am Wasser stehe und auf das Meer schaue, wie weit ist dann der Horizont entfernt?

Eines der lustigsten Dinge am Ozean ist die Tatsache, dass seine Oberfläche gebogen. Wir neigen dazu zu denken, dass Wasser große flache Platten bildet, aber die Oberfläche eines großen Gewässers ist überhaupt nicht flach – sie folgt der Krümmung der Erde.

Aufgrund der Krümmung unseres Planeten hängt die Entfernung zwischen Ihnen und dem Horizont beim Blick über den Ozean von Ihrer Höhe über der Wasseroberfläche ab. Das folgende Diagramm zeigt Ihnen, wie sich der Abstand zum Horizont je nach Höhe des Betrachters:

Die Entfernung zum Horizont hängt also von der Höhe Ihrer Augen über dem Wasser ab. Wenn sich Ihre Augen 20 cm über dem Wasser befinden, beträgt die Entfernung zum Horizont etwa 1,6 km. Eine grobe Formel zur Berechnung der Entfernung zum Horizont lautet:

wobei "Höhe über der Oberfläche" in Fuß und "Entfernung zum Horizont" in Meilen angegeben ist. Wenn Sie 1,80 m groß sind und direkt am Wasser stehen, befinden sich Ihre Augen etwa 1,5 m über der Wasseroberfläche. Die Entfernung zum Horizont beträgt:

In Metrik ist das Äquivalent:

wobei "Höhe über der Oberfläche" in Zentimetern und "Entfernung zum Horizont" in Kilometern angegeben ist.


12.4: Bogenlänge und Krümmung

Geometriebearbeitung - Krümmung

Um loszulegen: Dieses Repository klonen und dann ausgeben

Installation, Layout und Zusammenstellung

Nach dem Erstellen können Sie die Zuweisung aus dem Build/ ausführen, indem Sie auf einem bestimmten Mesh ausführen:

In dieser Aufgabe untersuchen wir diskrete Krümmungsgrößen, die auf einer Oberfläche berechnet werden. Diese Größen geben uns lokale Informationen über eine Form. Über die Inspektion der Oberfläche hinaus (der Umfang dieser Aufgabe) werden diese Größen zu den Bausteinen für:

  • Definieren von Energien zur Minimierung während der Glättung/Verformung,
  • hervorstechende Punkte und Kurven auf der Form identifizieren und
  • geben Anfangsbedingungen/Nebenbedingungen für wiedervernetzend.

Der grundlegende Unterschied zwischen einem Segment auf der reellen Linie und einer Kurve besteht in der Einführung einer Krümmung. Das ist ganz natürlich und intuitiv. Wenn wir ein 1D-Objekt in der Ebene oder im Raum zeichnen, haben wir die Freiheit, dieses Objekt biegen zu lassen. Diese "Verbiegung" quantifizieren wir lokal als Krümmung.

Die Krümmung ist auch der grundlegende Unterschied zwischen einem Stück (d. h. einer Unterregion) der euklidischen Ebene und einer Oberfläche, die in (oder anderswo) eingetaucht wurde. Im Gegensatz zu Kurven können Flächen an jedem Punkt in jede Richtung gebogen werden.

Wir beginnen unsere Diskussion unter der Annahme einer glatten Oberfläche. Wir möchten Punkte auf der Oberfläche dahingehend kategorisieren, wie sich die Oberfläche lokal biegt oder krümmt.

Krümmung von ebenen Kurven

Erinnern wir uns kurz daran, wie die Krümmung für eine ebene Kurve definiert ist.

Es gibt mehrere gleichwertige Definitionen.

Wir können die Tangentenrichtung an einem Punkt als Grenze der Sekante definieren, die zwischen einem anderen Punkt auf der Kurve bei Annäherung gebildet wird:

Es ist immer möglich und oft bequem, ohne Einschränkung der Allgemeinheit anzunehmen, dass es sich um eine Bogenlängenparametrisierung der Kurve handelt, so dass und damit der Einheitstangensvektor einfach ist.

In analoger Weise können wir die Grenze des Umkreises betrachten, der durch und zeigt und davor und danach auf der Kurve zeigt:

Dieser Grenzkreis wird Schmiegkreis im Kurvenpunkt genannt. Durch die Konstruktion stimmen die Tangente der Kurve und des Kreises überein: Sie sind beides. Der Radius des Schmiegkreises an dem Punkt ist proportional dazu, wie gerade die Kurve lokal ist: Wenn die Kurve immer gerader wird, geht der Radius gegen unendlich. Dies impliziert, dass der Radius umgekehrt proportional zur "Kurvenigkeit" der Kurve ist. Daher wird der Kehrwert des Radius als Krümmung bezeichnet:

Der Radius ist ein nicht negatives Längenmaß mit der Einheit Meter, daher ist die Krümmung ein nicht negativer Skalar mit der Einheit 1/Meter. Der Radius des Schmiegkreises kann auch als Grenze des Umkreisradius geschrieben werden:

Durch Einsetzen unserer Bogenlängenparametrisierung zeigt sich, dass die Krümmung (Kehrwert des Radius) gleich der Größe der Tangentenänderung oder äquivalent der Größe der zweiten Ableitung der Kurve ist:

Da wir die Bogenlängenparametrierung gewählt haben, ist die einzige Änderung des Tangentenvektors eine Änderung in Richtung (im Gegensatz zur Größe, da ). Dies bedeutet, dass die Änderung – als Vektor selbst – senkrecht zur Tangente. Mit anderen Worten, die Änderung der Tangentenpunkte entlang der Normalenrichtung:

Wenn wir eine Orientierung zu unserer Kurve definieren, können wir der Krümmung ein Vorzeichen geben, je nachdem, ob der Mittelpunkt des Schmiegkreises auf der linken oder rechten Seite der Kurve liegt. Wie bereits festgestellt, stimmen die Tangente des Schmiegkreises und die Kurve überein, sodass der zum Kreismittelpunkt weisende Vektor senkrecht zur Tangente stehen muss, also entweder in positiver oder negativer Normalenrichtung.

Stimmt die Orientierung mit der Erhöhung des Bogenlängenparameters überein, kann das Vorzeichen durch Vergleichen des zweiten Ableitungsvektors mit der Einheitsnormalen bestimmt werden. Das vorzeichenbehaftete Krümmung an einem Punkt ist also gegeben durch:

Diese Definition entspricht genau unserer Intuition einer Kurve als Trajektorie eines sich bewegenden Punktes. Stellen Sie sich die Kurve vor, die durch das Fahren entlang einer bestimmten Flugbahn entsteht, die wir wirklich als Zeit interpretieren.

Während dies Ihrem Geschwindigkeitsvektor und Ihrer Geschwindigkeit entspricht, würde die (Neu-)Parametrierung der Bogenlänge dem entsprechen, dass Ihr Freund Ihren Weg mit einer perfekt gleichmäßigen Geschwindigkeit zurückverfolgt, wobei die "Zeit" Ihrer Freunde von Ihrer abweichen kann (es kann länger oder kürzer dauern, je nachdem, ob Sie schnell oder langsam gefahren sind).

Krümmung im Pfad entspricht drehen und im wahrsten Sinne des Wortes den Betrag, um den Ihr Freund das Lenkrad von der "Geraden"-Position wegdrehen muss: Auf einer geraden Strecke bleibt das Lenkrad in der Nullwinkelposition und die Krümmung ist Null, auf einer Kreisbahn das Lenkrad in einem konstanten Winkel in der linken oder rechten Richtung entsprechend konstanter positiver bzw. negativer Krümmung fixiert ist.

Der Wechsel des Lenkrads verändert die Richtung der Geschwindigkeit des Fahrzeugs. Für Ihren Freund, der mit konstanter Geschwindigkeit fährt, ist dies der nur Änderung der Geschwindigkeit zulässig, daher entspricht die Krümmung genau und dem Lenkradwinkel.

Wenn jemand ein von Sega Out Run inspiriertes Gif machen möchte, das ein Lenkrad zeigt, das sich neben einem kleinen Auto dreht, das eine Kurve fährt, werde ich sehr beeindruckt sein.

Die integrierte vorzeichenbehaftete Krümmung um eine geschlossene Kurve muss ein ganzzahliges Vielfaches von sein:

wobei eine ganze Zahl ist, die als "Drehzahl" der Kurve bezeichnet wird.

Das ist auf den ersten Blick etwas überraschend. Allerdings in der Analogie des beweglichen Punktes eine geschlossene Kurve entspricht einer periodischen Trajektorie (z. B. Fahren auf einer Rennstrecke). Wenn wir es einmal um die Strecke geschafft haben, muss unsere Geschwindigkeitsrichtung (z. B. die Richtung, in die das Fahrzeug zeigt) in die ursprüngliche Richtung zeigen. Das heißt, das Auto hat sich während des Kurses entweder einmal vollständig gedreht ( ) oder genauso weit im Uhrzeigersinn gedreht und es hat sich gegen den Uhrzeigersinn gedreht (z. B. auf einem Achterkurs: ), oder es hat mehrere Schleifen gemacht usw.

Wenn in der diskreten Welt eine Kurve als stückweise lineare Kette von Segmenten dargestellt wird, ist es natürlich, Krümmungen mit Scheitelpunkten zu verknüpfen: Die Segmente sind flach und enthalten daher keine Krümmung.

Ein natürliches Analogon zur Definition der Krümmung als Ableitung des Tangentenvektors (d. h. ) ist zu definieren diskrete Krümmung als Änderung der Tangentenrichtung zwischen diskreten Segmenten, die sich an einem Scheitelpunkt treffen:

das heißt, die unterschriebene Außenwinkel am Scheitel.

Der Drehzahlsatz für stetige Kurven findet an sofort analog im diskreten Fall. Für ein geschlossenes Polygon müssen die diskreten vorzeichenbehafteten Winkel ein Vielfaches von summieren, um zu schließen:

Auf diese Weise haben wir die Struktur bewahren im kontinuierlichen Fall in unserem diskreten Analog gefunden. Diese Strukturerhaltung führt zu einem Verständnis des Außenwinkels als Näherung oder diskretes Analogon des lokal integriert Krümmung.

Alternativ könnten wir buchstäblich einen Kreis an die diskrete Kurve anpassen, basierend auf lokalen Abtastwerten und der ungefähren Krümmung als inverser Radius des Schmiegkreises. Dieses Krümmungsmaß wird (im Allgemeinen) nicht dem Drehzahlsatz gehorchen, aber (richtig durchgeführt) konvergiert es zu den punktweise stetigen Werten bei der Verfeinerung (z. B. wenn die Segmentlänge schrumpft).

Wir werden diese beiden Konzepte auch für Oberflächen untersuchen: diskrete Analoga, die kontinuierliche Strukturen erhalten, und Diskretisierungen, die kontinuierliche Größen im Grenzfall annähern.

Eine Fläche kann auf verschiedene Weise lokal gekrümmt werden. Betrachten Sie den Unterschied zwischen einem flachen Blatt Papier, einem kugelförmigen Tischtennisball und einem sattelförmigen Pringles-Chip. Der Pringles-Chip ist am interessantesten, weil er sich in eine Richtung "nach außen" und in eine andere Richtung "nach innen" krümmt. In diesem Abschnitt lernen wir, Punkte auf einer Oberfläche basierend auf ihrer Krümmung in jede Richtung zu unterscheiden und zu klassifizieren.

Der einfachste Weg, die Krümmung, die wir für planare Kurven definiert haben, auf eine Fläche auszudehnen, ist zu Scheibe die Fläche durch einen gegebenen Punkt mit einer zur Flächennormalen parallelen Ebene.

Der (lokale) Schnittpunkt der Fläche und der Ebene wird eine Kurve zeichnen, auf der wir sofort die obige Definition der planaren Krümmung anwenden können.

Es gibt unendlich viele Ebenen, die durch einen bestimmten Punkt verlaufen und parallel zu einem bestimmten Normalenvektor liegen: Die Ebene kann sich um jeden Winkel um die Normale drehen. Für jede Wahl von definiert die Ebene eine sich schneidende Kurve und somit gibt es für jeden Winkel a normale Krümmung:

Die normale Krümmung erfordert die Wahl eines Winkels, daher wird unser Wunsch nicht befriedigt, die "Kurvigkeit" für jeden Punkt auf der Oberfläche auf eine einzige Zahl zu reduzieren. Ein einfacher Weg, diesen Raum normaler Krümmungen zu reduzieren, besteht darin, alle möglichen normalen Krümmungen zu mitteln. Dies definiert die mittlere Krümmung:

Maximale und minimale Krümmung

Eine andere offensichtliche Möglichkeit, den Raum der normalen Krümmungen auf eine einzige Zahl zu reduzieren, besteht darin, die maximale oder minimale normale Krümmung über alle Auswahlmöglichkeiten von zu berücksichtigen:

Zusammen werden diese als Hauptkrümmungen bezeichnet und entsprechend werden die Winkel, die die Krümmung maximieren und minimieren, als Hauptkrümmungsrichtungen bezeichnet:

Der Satz von Euler besagt, dass die Normalkrümmung eine recht einfache Funktion von und der Hauptkrümmungen ist:

Es gibt zwei unmittelbare und wichtige Konsequenzen:

  1. die Hauptkrümmungsrichtungen ( und ) orthogonal sind, und
  2. die mittlere Krümmung reduziert sich auf den Durchschnitt der Hauptkrümmungen:

Für mehr Theorie und einen Beweis des Eulerschen Satzes empfehle ich "Elementary Differential Geometry" von Barret O'Neill, Kapitel 5.2.

Maximale, minimale und mittlere Krümmung reduzieren die Krümmung auf eine einzige Zahl, können aber dennoch (allein) nicht zwischen Punkten unterscheiden, die auf einem runden Tischtennisball, einem flachen Blatt Papier, der zylindrischen Pringles-Dose und einem sattelförmigen Pringles-Chip liegen.

Der Hals dieses Cartoon-Elefanten - wie ein Pringles-Chip - biegt sich in eine Richtung (positiv) nach innen und in die andere Richtung (negativ) nach außen.

Bildunterschrift: Maximale , minimale und Gaußsche Krümmung .

Das Produkt der Hauptkrümmungen hält die Unstimmigkeit im Zeichen aufrecht, die dieses sattelartige Verhalten kategorisiert. Dieses Produkt wird Gaußsche Krümmung genannt:

Verhältnis zur Fläche

Sowohl die mittlere als auch die Gaußsche Krümmung haben sinnvolle Beziehungen zur Oberfläche.

Mittlere Krümmung als Flächengradient

Betrachten wir ein scheinbar nicht verwandtes, aber bekanntes Problem. Angenommen, wir möchten Fluss eine gegebene Oberfläche in der Richtung, in der ihre Oberfläche schrumpft. Das heißt, wir möchten jeden Oberflächenpunkt in die Richtung verschieben, in der die Oberfläche minimiert wird.

Die Oberfläche von kann als Integral der Einheitsdichte geschrieben werden:

Dafür gibt es viele Ausdrücke. Wir können einen Ausdruck wählen, der besonders einfach zu handhaben ist. Die kleine Positionsänderung gegenüber einer kleinen Positionsänderung ist nämlich ein Einheitsvektor.

Die Norm des Gradienten ist eine nichtlineare Funktion mit Quadratwurzeln, aber da der Betrag eins ist, ist auch der quadrierte Betrag eins ( . Dies ermöglicht es uns, die Oberfläche als quadratische Funktion von Positionen und bekannt als die Dirichlet-Energie zu schreiben :

Durch Missbrauch der Notation können wir sagen, dass dies ein Funktional ist (Funktion, die eine Funktion als Eingabe verwendet) und misst die Oberfläche der durch die Einbettungsfunktion definierten Oberfläche. Betrachten wir nun die funktionale Ableitung von nach . Diese spezielle Art von Derivat kann geschrieben werden als:

wo ist ein willkürlich Funktion. Das heißt, wir betrachten den Grenzwert einer winzigen Störung der Funktion in irgendeiner Weise.

Wir können diese Grenze identifizieren, indem wir die Ableitung der zu Null bewerteten Störungsgröße betrachten:

Wenn wir unsere Dirichlet-Energiedefinition von einspeisen, können wir beginnen, diese Ableitung durchzuarbeiten:

Unter der Annahme, dass dies geschlossen ist (keine Grenze), dann lässt uns die Anwendung von Greens Identität:

Damit bleibt uns immer noch ein Ausdruck der Ableitung als Integral geschrieben, der diese willkürliche Funktion beinhaltet. Wir hätten gerne einen kompakteren Ausdruck zur Auswertung an einem Abfragepunkt auf der Oberfläche.

Da dies für jede Wahl der Störungsfunktion zutreffen muss, können wir eine Funktion wählen, die überall auf der Domäne ist, außer in der Region um , wo eine kleine "Beule" bei maximiert wird. Da dieser Buckel beliebig dünn gemacht werden kann, können wir argumentieren, dass dies aus dem obigen Integral herausgerechnet werden kann (wenn überall außer beliebig nahe bei , dann wird das Integral nur zu at ausgewertet):

Dies zeigt uns, dass der Laplace-Operator der Einbettungsfunktion die Richtung und den Betrag angibt, um den sich die Oberfläche bewegen sollte, um die Oberfläche zu verringern.

Der Laplace-Operator einer Funktion auf der Oberfläche hängt nicht von der Wahl der Parametrisierung ab. Sie ist definiert als die Divergenz des Gradienten der Funktion oder äquivalent die Spur des Hesseschen:

Wenn wir großzügig wählen und in den Hauptrichtungen und darüber variieren. In diesem Fall reduziert sich der Laplace-Operator der Positionsfunktion auf die Summe der Hauptkrümmungen mal der Normalen (erinnern Sie sich an die Definition der Krümmungsnormalen):

wo heißt das mittlere Krümmung normal Vektor. Wir haben gezeigt, dass die mittlere Krümmungsnormale gleich dem halben Laplace-Operator der Einbettungsfunktion ist, der wiederum der Oberflächengradient ist.

Gaußsche Krümmung als Flächenverzerrung

Als Produkt der Hauptkrümmungen misst die Gaußsche Krümmung immer null, wenn eine (oder beide) der Hauptkrümmungen null sind. Intuitiv geschieht dies nur bei Flächen, die sich in eine Richtung krümmen oder biegen. Stellen Sie sich vor, Sie rollen ein Blatt Papier zusammen. Flächen mit null Gaußscher Krümmung heißen abwickelbare Oberflächen weil die auf die ebene Fläche abgeflacht (entwickelt) werden kann (genauso wie Sie das Stück Papier abrollen könnten) ohne Dehnen oder Scheren. Als Folge davon sind Flächen mit einer Gaußschen Krümmung ungleich null kann nicht zur Ebene abgeflacht werden, ohne einen Teil zu dehnen.

Lokal misst die Gaußsche Krümmung, wie weit die Oberfläche von der Entwickelbarkeit entfernt ist: wie viel müsste sich die lokale Fläche dehnen, um flach zu werden.

Zuerst führen wir die Gauss-Abbildung ein, eine kontinuierliche Abbildung von jedem Punkt auf der Oberfläche bis zur Einheitskugel, so dass , die Einheitsnormale bei .

Betrachten Sie einen kleinen Fleck auf einer gekrümmten Oberfläche. Die Gaußsche Krümmung kann äquivalent als Grenze des Verhältnisses zwischen der Flächenfläche the gefegt heraus durch die Einheitsnormale auf der Gauss-Karte und die Fläche des Oberflächenpatches:

Betrachten wir verschiedene Arten von Regionen:

  • flach: weil die Gaußkarte ein Punkt ist,-
  • zylindrisch: weil die Gaußkarte eine Kurve ist,
  • sphärisch: weil die Gauss-Karte einen positiven Sweep-Bereich beibehält, und
  • sattelförmig: weil die Fläche auf der Gauss-Karte erhalten bleibt umgekehrt orientierten Bereich (d. h. aus dem sphärischen Fall).

Ähnlich dem Satz der Drehzahl für Kurven gibt es einen analogen Satz für Flächen, der besagt, dass die gesamte Gaußsche Krümmung ein ganzzahliges Vielfaches von sein muss:

wo ist die Euler-Charakteristik der Flächen (eine topologische unveränderlich der Oberfläche, aus der hervorgeht, wie viele Löcher die Oberfläche hat).

Im krassen Gegensatz zur mittleren Krümmung sagt uns dieser Satz, dass wir einer Fläche keine Gaußsche Krümmung hinzufügen können ohne:

Da eine Änderung der Topologie der Oberfläche eine diskontinuierliche Verformung erfordern würde, muss das Hinzufügen und Entfernen der Gaußschen Krümmung auch für glatte Verformungen ausgleichen. Dies erklärt gleichzeitig, warum ein Tuch beim Drapieren über einen Tisch Falten haben muss und warum ein nicht aufgeblasener Basketball nicht flach auf dem Boden liegt.

Es gibt noch einen anderen Weg, um zu Haupt-, Mittel- und Gaußschen Krümmungen zu gelangen. Betrachten Sie einen Punkt auf einer Fläche mit Einheitsnormalenvektor. Wenn wir einen Einheitstangensvektor wählen (d. h. so dass ), dann können wir fragen, wie sich die Normale ändert, wenn wir uns in Richtung entlang der Oberfläche bewegen:

wir nennen die Formoperator am Punkt . So wie bei der Definition der Krümmungsnormalen die Krümmungsnormale in Normalenrichtung zeigen muss, nimmt der Formoperator als Eingabe einen Tangentenvektor und gibt einen anderen Tangentenvektor aus (dh die Änderung der Einheitsnormalen muss tangential zur Fläche Nr die Änderung kann in der Normalenrichtung selbst erfolgen).

Lokal ist der Tangentenvektorraum zweidimensional von Basisvektoren aufgespannt, sodass wir uns den Formoperator als Abbildung von nach vorstellen können. Als Differentialoperator ist der Formoperator a linearer Operator. Dies bedeutet, dass wir seine Wirkung auf einen Tangentenvektor als Matrix darstellen können:

Gegeben und sind die Hauptkrümmungsrichtungen (als Einheit 2D-Tangentenvektoren), können wir unseren Koordinatenrahmen drehen, um ihn mit den Hauptkrümmungsrichtungen auszurichten. Der Formoperator nimmt eine ganz besondere Form an:

Überlegen Sie, warum die Terme außerhalb der Diagonalen null sind. Denken Sie an die Extremität der Hauptkrümmungen.

Wir haben tatsächlich eine Eigenzerlegung des Formoperators durchgeführt. Wenn man diese Progression rückwärts liest, zeigt die Eigenzerlegung des in jeder Basis ausgedrückten Formoperators:

  1. die Hauptkrümmungen als Eigenwerte und
  2. die Hauptkrümmungsrichtungen als Eigenvektoren.

Diskrete Krümmungen auf Oberflächen

Diskrete mittlere Krümmungsnormale über diskretes Laplace

Inzwischen kennen wir den diskreten Laplace-Operator für Dreiecksnetze sehr gut:

wo sind die Masse- und Kotangensmatrizen.

Auf die Scheitelpunktpositionen angewendet, liefert dieser Operator eine punktweise (oder vielmehr ganzzahlige) Approximation der mittleren Krümmungsnormalen:

Das Abziehen der Größe aus den Zeilen der resultierenden Matrix würde die ohne Vorzeichen mittlere Krümmung. Um sicherzustellen, dass das Vorzeichen erhalten bleibt, können wir überprüfen, ob jede Zeile in mit konsistent orientierten Per-Scheitel-Normalen in übereinstimmt oder nicht.

Dieser Zusammenhang zwischen dem Laplace-Operator und der mittleren Krümmungsnormale liefert zusätzliches Verständnis für seine Verwendung als geometrischer Glättungsoperator (siehe "Berechnung von diskreten Minimalflächen und deren Konjugaten" [Pinkall und Polthier 1993]).

Diskrete Gaußsche Krümmung über Winkelfehler

Auf einer diskreten Fläche, die als Dreiecksnetz dargestellt wird, kann die Krümmung sicherlich nicht auf den flachen Flächen leben. Außerdem kann die Gaußsche Krümmung nicht entlang von Kanten leben, weil wir immer entwickeln die Dreiecke auf beiden Seiten einer Kante zur Ebene, ohne sie zu dehnen. Tatsächlich können wir jede beliebig lange Kette von Flächen entwickeln, die durch Kanten verbunden sind, solange sie keine Schleife bildet oder alle Flächen enthält, die auf einen Scheitelpunkt fallen. Dies deutet darauf hin, dass diskrete Gaußsche Krümmung (wie Krümmung für Kurven) an Scheitelpunkten leben muss.

Unter Verwendung der Definition der Gaußschen Krümmung in Bezug auf die Fläche auf der Gauss-Karte entsprechen flache Flächen Punkten auf der Gauss-Karte (die nichts beitragen), Kanten entsprechen flächenlosen Kurven (durch ihre Diederwinkel verfolgt), aber Scheitelpunkte entsprechen sphärischen Polygonen verbindende Flächennormalpunkte. Die von der Gauss-Karte abgedeckte Fläche wird Raumwinkel genannt. Praktischerweise ist dieser Bereich einfach der Winkelfehler von Innenwinkeln, die auf den -ten Scheitelpunkt einfallen, der von jeder -ten Einfallsfläche beigetragen wird:

Somit ist unser diskretes Analogon von lokal integriert Die Gaußsche Krümmung wird als Winkelfehler am -ten Scheitelpunkt angegeben. Das lokale Integralmittel (oder punktuell) diskrete Gaußsche Krümmung ist der Winkelfehler geteilt durch die lokale Fläche, die mit dem -ten Scheitelpunkt verbunden ist:

Um die Gauss-Abbildung zu schließen, gehorchen auch geschlossene polyedrische Flächen (d. h. Netze) dem obigen Gauss-Bonnet:

Wir können dies in unserer allerersten Aufgabe mit der Eulerschen Formel für Polyeder verbinden:

wobei die Anzahl der Scheitelpunkte, Kanten und Flächen ist.

Approximation und Eigenzerlegung des Formoperators

Alternativ können wir alle Krümmungen einer Fläche approximieren, indem wir eine analytische Fläche lokal anpassen und lesen seine Krümmungswerte ab. Da Ebenen keine Krümmung haben, ist die einfachste Art einer analytischen Fläche, die einen nicht trivialen Krümmungswert ergibt, eine quadratische Fläche.

Somit geht der Algorithmus wie folgt vor. Für jeden Scheitelpunkt des gegebenen Netzes gilt

  1. Sammeln Sie eine Stichprobe von Punkten in der Nähe. Der Einfachheit halber nehmen wir einfach alle anderen Scheitelpunkte, die eine Kante mit teilen oder eine Kante mit einem Scheitelpunkt teilen, der eine Kante mit teilt (d. h. der "Zwei-Ring" von ). Für die meisten gesunden Netze bietet dies genügend Punkte. Sammeln Sie die Positionen dieser Punkte relativ zu (d. h. ) in eine Matrix .
  2. Als nächstes definieren wir eine quadratische Fläche als ein Höhenfeld über einer zweidimensionalen Ebene, die durch geht. Idealerweise ist die Ebene orthogonal zur Normalen bei . Um eine solche Ebene zu finden, berechne die Hauptkomponentenanalyse von (d. h. führe die Eigenzerlegung auf durch). Seien die Koeffizienten für zwei Hauptrichtungen (nennen Sie sie die - und - Richtungen), die jedem Punkt in entsprechen, und seien Sie die "Höhe" jedes Punktes in der kleinsten Hauptrichtung (nennen Sie es die -Richtung).
  3. Eine quadratische Funktion als Höhenfeldfläche durch den Ursprung ist gegeben durch:

Wir haben Werte und Werte. Behandeln Sie dies als Anpassungsproblem der kleinsten Quadrate und lösen Sie nach den 5 unbekannten Koeffizienten auf. ( igl::pinv ist gut, um dies robust zu lösen).

  1. Jedes Element des Formoperators für den Graphen einer quadratischen Funktion über der Ebene hat einen geschlossenen Formausdruck. Diese müssen Sie von Hand ableiten. Nur ein Scherz. Der Formoperator kann als Produkt zweier Matrizen konstruiert werden:

als zweite und erste Grundform bekannt. Die Einträge dieser Matrizen kategorisieren die Dehnung und Biegung in jede Richtung:

Siehe Tabelle 1 von "Estimating Differential Quantities Using Polynomial Fitting of Osculating Jets" [Cazals & Pouget 2003], um auf Tippfehler zu überprüfen :-).

Die Eigenzerlegung von zeigt die Hauptkrümmungen und und die Haupttangentenrichtungen (in der PCA-Basis).

Heben Sie die Haupttangentenrichtungen zurück zu den Weltkoordinaten.

Laden Sie Barret O'Neills Buch herunter. Dies ist mein Lieblingsbuch zur Differentialgeometrie. Der Abschnitt über die Krümmung und der Formoperator sollen oben helfen, Fragen zu klären und fehlende Beweise zu ergänzen.

  • igl::gaussian_curvature
  • igl::internal_angles (oder eine der anderen Überladungen)
  • igl::principal_curvatures
  • igl::adjacency_matrix.h
  • igl::cotmatrix
  • igl::invert_diag
  • igl::massmatrix
  • igl::per_vertex_normals
  • igl::pinv
  • igl::scheibe
  • igl::sort
  • igl::squared_edge_lengths

Berechnen Sie die diskrete mittlere Krümmung an jedem Scheitelpunkt eines Netzes ( V , F ), indem Sie den vorzeichenbehafteten Betrag der mittleren Krümmungsnormalen als a . nehmen punktweise (oder integraler Durchschnitt) Menge.

Gegebene (quadratische) Kantenlängen eines Dreiecksnetzes l_sqr berechne die Innenwinkel an jeder Ecke (auch bekannt als Keil) des Netzes.

Berechnen Sie den diskreten Winkelfehler an jedem Scheitelpunkt eines Dreiecksnetzes ( V , F ), d lokal integriert diskrete Gaußsche Krümmung.

Annähern der Hauptkrümmungswerte und -richtungen lokal durch Berücksichtigung der Zwei-Ring-Nachbarschaft jedes Scheitelpunkts im Netz ( V , F ).


Kontinuitätsprobleme

Wie in der Diskussion von B-Rep erwähnt, können die Kanten und Flächen eines Volumenkörpers Kurvensegmente und Oberflächenpatches sein, anstatt Liniensegmente und Polygone. Dies kann jedoch zu einigen Problemen führen. In der unten gezeigten Abbildung haben wir drei krummlinige Patches eines B-Rep, die sich verbinden. Zwei Grenzkurvensegmente sind in Gelb und Weiß dargestellt, die sich an einem Scheitelpunkt X treffen. Diese beiden Kurven seien als f(u) und g(v) beschrieben, wobei u und v Werte in Intervallen [a, b] bzw. [m, n] sind. Das Problem ist: Wie können wir sicherstellen, dass sich diese Kurven „weich“ verbinden.

Betrachten Sie das "rechte Ende" der Kurve f (b) und das "linke Ende" der Kurve g (m). Wenn f (b) und g (m) gleich sind, wie in der obigen Abbildung gezeigt, werden wir sagen, dass die Kurven f () und g () bei f (b) = g (m) C 0 stetig sind. Wenn für alle i k die i-ten Ableitungen bei f (b) und g (m) gleich sind, werden wir sagen, dass die Kurven C k-stetig am Punkt f (b) = g (m) sind. Intuitiv sind zwei Kurven am Verbindungspunkt C 0 stetig, wenn wir von einer Kurve zur anderen gehen können, ohne eine Lücke zu überqueren, weil diese beiden Kurven miteinander verbunden sind. Zwei Kurven sind am Verbindungspunkt C 1 kontinuierlich, wenn sich die Geschwindigkeit (d. h. die erste Ableitung) beim Überqueren einer Kurve zur anderen nicht ändert. In ähnlicher Weise sind zwei Kurven C 2 am Verbindungspunkt stetig, wenn neben der Geschwindigkeit auch die Beschleunigung (d. h. die zweite Ableitung) beim Überqueren einer Kurve zur anderen gleich ist. Daher ist C 1 kontinuierlich am Verbindungspunkt "glatter" als C 0 kontinuierlich, C 2 kontinuierlich ist "glatter" als C 1 kontinuierlich am Verbindungspunkt und so weiter. Wenn die Krümmungen der Kurven am Verbindungspunkt gleich sind, werden wir darüber hinaus sagen, dass sie am Verbindungspunkt krümmungskontinuierlich sind. Intuitiv sind zwei Kurven krümmungsstetig, wenn die Drehgeschwindigkeit am Fügepunkt gleich ist, die zweiten Ableitungen am Fügepunkt jedoch möglicherweise nicht gleich sind. Mit anderen Worten: Krümmungskontinuierlich garantiert nicht C2-kontinuierlich, aber C2-kontinuierlich impliziert Krümmung. (Warum?)

Aus der Definition geht klar hervor, dass, wenn zwei Kurvensegmente bei f(b) = g(m) C k stetig sind, sie auch C i stetig sind für alle i kleiner oder gleich k. Wenn andererseits die k-ten Ableitungen von zwei Kurvensegmenten an ihrem Verbindungspunkt nicht gleich sind, können sie nicht C i stetig für irgendein i größer oder gleich k sein.

Schauen wir uns ein einfaches Beispiel an. Die folgende Kurve besteht aus zwei Parabeln:

Folgende Informationen sind für diese Überprüfung erforderlich:

Lassen Sie uns ihre Krümmungen berechnen:

Probleme mit parametrischen Darstellungen

Da sich u ( bzw. v ) von 0 auf 1 ändert, läuft f ( u ) ( bzw. g ( v )) von A nach B ( bzw. B nach C ). Liniensegmente f ( u ) und g ( v ) sind im Verbindungspunkt B offensichtlich C 0 - stetig. Ist es C 1 kontinuierlich?

Ist es seltsam? Ja, das ist tatsächlich ein Problem der Parametrisierung. Wenn wir die Richtungsvektoren B - A und C - B durch Vektoren mit Einheitslänge ersetzen und die Domäne der Parameter u und v ändern, wird dieses Problem verschwinden. Das heißt, die obigen Gleichungen werden wie folgt geändert:

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an, bei dem PI für 3,1415926 steht und u und v im Bereich von [0,1] liegen.

Wenn sich u von 0 nach 1 bewegt, zeichnet f ( u ) den linken Teil des Halbkreises nach. Wenn sich v von 0 nach 1 bewegt, zeichnet g ( u ) den rechten Teil des Halbkreises nach. Diese beiden haben einen rot dargestellten Verbindungspunkt bei (0,1,0) = f (1) = g (0). Wir haben folgendes:

f '( u ) = ( PI u sin( u 2 PI/2), PI u cos( u 2 PI/2), 0 )
f ''( u ) = ( PI 2 u 2 cos( u 2 PI/2), -PI 2 u 2 sin( u 2 PI/2), 0 )
f '( u ) &mal f ''( u ) = ( 0, 0, -PI 3 u 3 )
| f '( u ) | = PI u
| f '( u ) &mal f ''( u ) | = PI 3 u 3
k ( u ) = 1

g '( v ) = ( PI gegen cos( v 2 PI/2), -PI gegen sin( v 2 PI/2), 0 )
g ''( v ) = ( -PI 2 v 2 cos( v 2 PI/2), -PI 2 v 2 cos( v 2 PI/2), 0 )
g '( v ) &mal g ''( v ) = ( 0, 0, -PI 3 u 3 )
| g '( v ) | = PI v
| g '( v ) &mal g ''( v ) | = PI 3 gegen 3
k(v) = 1

Lassen Sie uns diese Kurven neu parametrisieren (d. h. ihre parametrischen Gleichungen ändern, ohne ihre Form zu ändern). Sei u 2 = p in f ( u ) und sei v 2 = q in g ( v ). Die neuen Gleichungen lauten:

f '( p ) = ( (PI/2) sin( p PI/2), (PI/2) cos( p PI/2), 0 )
f ''( p ) = ( (PI/2) 2 cos( p PI/2), -(PI/2) 2 sin( p PI/2), 0 )

g '( q ) = ( (PI/2) cos( q PI/2), -(PI/2) sin( q PI/2), 0 )
g ''( q ) = ( -(PI/2) 2 sin( q PI/2), -(PI/2) 2 cos( q PI/2), 0 )

f '( p ) &mal f ''( p ) = g '( q ) &mal g ''( q ) = ( 0, 0, -(PI/2) 3 )
| f '( p ) &mal f ''( p ) | = | g '( q ) &mal g ''( q ) | = (PI/2) 3
| f '( p ) | = | g '(q) | = PI/2
k(p) = k(q) = 1

Parametrierung der Lichtbogenlänge

Ein Kurvensegment habe die Länge s . Man kann diese Kurve so parametrisieren, dass f ( u ) der Punkt mit einem Abstand u vom Anfangspunkt f (0) ist, wobei u im Bereich von 0 und s liegt. Bei dieser Parametrierung der Bogenlänge bewegt sich f ( u ) auf der Kurve von f (0) nach f ( s ) mit der gleichen Geschwindigkeit, wenn sich u von 0 nach s bewegt. Daher hat der Tangensvektor, der die Geschwindigkeit misst, eine Einheitslänge. Darüber hinaus können viele Formeln auf dieser und den vorherigen Seiten vereinfacht werden.

Warum verwenden wir keine Bogenlängenparametrierung, um unsere Berechnung zu vereinfachen? Die Antwort ist ganz einfach. Während die Parametrierung der Bogenlänge theoretisch einfach und elegant ist, ist sie in der Berechnung mühsam und unpraktisch. Man kann eine Kurve leicht in einer praktischen Parametrisierung entwerfen, aber es ist manchmal extrem schwierig, sie mit der Bogenlänge neu zu parametrieren. Das heißt, das Auffinden der Bogenlänge ist keine leichte Aufgabe, da es erforderlich ist, eine Funktion zu integrieren, die die Verwendung der Quadratwurzel beinhaltet.

Obwohl die Parametrierung der Nicht-Bogenlänge Probleme verursachen könnte, werden wir daher die Parametrierung der Bogenlänge nicht verwenden.

Geometrische Kontinuität

G. Neilson hat eine sehr einfache Formel für die G 2 -Stetigkeit wie folgt gefunden:

Lassen Sie uns ein Beispiel verwenden, um Nielsons Ergebnis zu veranschaulichen. Betrachten Sie die folgenden zwei Parabelsegmente mit Verbindungspunkt bei ( 0, 1, 0):

Nachfolgend sind wesentliche Berechnungen aufgeführt:

f '( u ) = ( 2 u , 2 - 2 u , 0 )
f ''( u ) = ( 2, -2, 0 )
f '( u ) &mal f ''( u ) = ( 0, 0, -4 )
| f '( u ) | = 2 SQRT (1 - 2 u + 2 u 2 )
| f '( u ) &mal f ''( u ) | = 4
k ( u ) = 1/(2(1 - 2 u + 2 u 2 ) 1,5 )

g '( v ) = ( 2 - 2 v , -2 v , 0 )
g ''( v ) = ( -2, -2, 0 )
g '( v ) &mal g ''( v ) = ( 0, 0, -4 )
| g '( v ) | = 2 SQRT (1 - 2 v + 2 v 2 )
| g '( v ) &mal g ''( v ) | = 4
k ( v ) = 1/(2(1 - 2 v + 2 v 2 ) 1,5 )

Wir prüfen nach G 2 . Da die Kurven C 1 sind, ist die Überprüfung auf G 2 sinnvoll. Da f ''(1) - g ''(0) = ( 4, 0, 0 ) im Verbindungspunkt parallel zum Tangentenvektor ( 2, 0, 0 ) ist, sind diese beiden Kurvenabschnitte G 2 stetig am Verbindungspunkt ( 0, 1, 0 ).

Durch die Definition von G k könnten Sie zwei Parametrisierungen finden, die nicht unbedingt vom Bogenlängentyp sind, so dass die neu parametrisierten Segmente von C 2 sind.


12.4: Bogenlänge und Krümmung

In diesem Abschnitt werden wir eine alte Formel in Vektorfunktionen umwandeln. Wir wollen die Länge einer Vektorfunktion bestimmen,

auf dem Intervall (a le t le b).

Wir wissen eigentlich schon, wie das geht. Denken Sie daran, dass wir die Vektorfunktion in die parametrische Form schreiben können,

[x = fleft(t ight)hspace<0.25in>y = gleft(t ight)hspace<0.25in>z = hleft(t ight)]

Denken Sie auch daran, dass bei zweidimensionalen parametrischen Kurven die Bogenlänge gegeben ist durch

Es gibt eine natürliche Erweiterung auf drei Dimensionen. Die Länge der Kurve (vec rleft(t ight)) auf dem Intervall (ale tle b) beträgt also

Dafür gibt es eine schöne Vereinfachung. Beachten Sie, dass der Integrand (die Funktion, die wir integrieren) nichts anderes ist als die Größe des Tangensvektors,

Daher kann die Bogenlänge geschrieben werden als

Wir benötigen zunächst den Tangensvektor und seinen Betrag.

[Startvec r'left( t ight) & = leftlangle <2,6cos left( <2t> ight), - 6sin left( <2t> ight)> ight winkel links| ight| & = sqrt <4 + 36<^2>left( <2t> ight) + 36<^2>left( <2t> ight)> = sqrt <4 + 36>= 2sqrt <10>end]

Wir müssen hier einen kurzen Blick auf ein anderes Konzept werfen. Wir definieren die Bogenlängenfunktion wie,

Bevor wir uns ansehen, warum dies wichtig sein könnte, arbeiten wir an einem kurzen Beispiel.

Aus dem vorherigen Beispiel wissen wir, dass

Die Bogenlängenfunktion ist dann

Okay, warum sollten wir das nur tun? Nun nehmen wir das Ergebnis des obigen Beispiels und lösen es nach (t) auf.

Jetzt nehmen wir dies und stecken es in die ursprüngliche Vektorfunktion ein und wir können neu parametrieren die Funktion in die Form (vec rleft( Rechts)). Für unsere Funktion ist dies

Warum sollten wir das also tun wollen? Nun, mit der Umparametrisierung können wir jetzt erkennen, wo wir uns auf der Kurve befinden, nachdem wir eine Strecke von (s) entlang der Kurve zurückgelegt haben. Beachten Sie auch, dass wir die Entfernungsmessung von dort aus beginnen, wo wir uns bei (t = 0) befinden.

Um dies zu ermitteln, benötigen wir die Umparametrierung, die wir von oben haben.

Um dann zu bestimmen, wo wir sind, müssen wir nur (s = frac <>><3>) einstecken und schon erhalten wir unseren Standort.

Nachdem wir also eine Strecke von (frac <>><3>) entlang der Kurve zurückgelegt haben, befinden wir uns im Punkt (left( <3> ,frac<<3sqrt 3 >><2>,frac<3><2>> ight)).


Krümmung und Krümmungsradius

Betrachten Sie eine ebene Kurve definiert durch die Gleichung (y = fleft( x ight).) Angenommen, die Tangente wird an einem Punkt (Mleft( ight).) Die Tangente bildet mit der horizontalen Achse einen Winkel (alpha) (Abbildung (1 ext<).>)

Bei der Verschiebung (Delta s) entlang des Kurvenbogens bewegt sich der Punkt (M) auf den Punkt (.) Auch die Lage der Tangente ändert sich: der Neigungswinkel der Tangente zum positiven (x- ext) am Punkt () wird (alpha + Deltaalpha.) Wenn sich der Punkt also um die Strecke (Delta s,) bewegt, dreht sich die Tangente um den Winkel (Deltaalpha.) (The Winkel (alpha) soll beim Drehen gegen den Uhrzeigersinn zunehmen.)

Der Absolutwert des Verhältnisses (largefrac<><> ormalsize) heißt mittlere Krümmung des Bogens (M.) Im Limes als (Delta s o 0,) erhalten wir die Krümmung der Kurve im Punkt (M:)

Aus dieser Definition folgt, dass die Krümmung an einem Punkt einer Kurve die Rotationsgeschwindigkeit der Tangente der Kurve an diesem Punkt charakterisiert.

Für eine ebene Kurve gegeben durch die Gleichung (y = fleft( x ight),) ist die Krümmung an einem Punkt (Mleft( ight)) wird ausgedrückt durch die erste und zweite Ableitung der Funktion (fleft( x ight)) durch die Formel

Ist eine Kurve parametrisch durch die Gleichungen (x = xleft( t ight),) (y = yleft(t ight),) definiert, dann ist ihre Krümmung an einem beliebigen Punkt (M links( ight)) ist gegeben durch

Ist eine Kurve durch die Polargleichung (r = rleft( heta ight),) gegeben, berechnet sich die Krümmung nach der Formel

Der Krümmungsradius einer Kurve an einem Punkt (Mleft( ight)) heißt Kehrwert der Krümmung (K) der Kurve an dieser Stelle:

Also für ebene Kurven, die durch die explizite Gleichung (y = fleft( x ight),) gegeben sind, der Krümmungsradius an einem Punkt (Mleft( ight)) ist durch den folgenden Ausdruck gegeben:


Gehen Sie vom Fragen zum Verstehen

Fragen stellen

Egal, ob Sie bei einer Geschichtsfrage stecken bleiben oder von einem Geometrierätsel blockiert werden, für Brainly ist keine Frage zu knifflig.

Hilfe bekommen

Unsere Experten-Community besteht aus Studenten, Lehrern, Doktoranden und anderen Genies, die nur darauf warten, Ihre schwierigsten Fragen anzugehen.

Gegeben : 1/16 ÷ 1/81 + - 1/8

Finden: multiplikativ invers

eine multiplikative Inverse ist im Grunde eine reziproke

Multiplikative Inverse der Zahl ist die Zahl, die bei Multiplikation mit der ursprünglichen Zahl 1

Multiplikativ invers = 16/79

Weitergehen

Die Brainly-Community ist ständig begeistert von der endlosen Zusammenarbeit und beweist, dass Lernen mehr Spaß macht – und effektiver – wenn wir unsere Köpfe zusammenstecken. Helfen Sie der Community, indem Sie Ihr Wissen teilen. Auch das Beantworten von Fragen hilft beim Lernen!