Artikel

7.6: Gleichungen lösen


Denken Sie daran (siehe Abschnitt 1.6), dass eine Variable ein Symbol (normalerweise ein Buchstabe) ist, das für einen variierenden Wert steht. Wenn eine Variable in einer Gleichung durch eine Zahl ersetzt wird und sich eine wahre Aussage ergibt, dann heißt diese Zahl eine Lösung der Gleichung.

Beispiel 1

Ist −6 eine Lösung der Gleichung 2x +5= −7?

Lösung

Ersetze −6 für x in der Gleichung.

[ egin{aligned} 2x + 5 = 7 ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} 2(-6)+5 = -7 ~ & extcolor{red}{ ext { Substitute } -6 ext{ for } x.} -12 + 5 = -7 ~ & extcolor{red}{ ext{ Auf der linken Seite zuerst multiplizieren.}} -7 = -7 ~ & extcolor{red}{ ext{ Links hinzufügen.}} end{aligned} onumber ]

Da die letzte Aussage eine wahre Aussage ist, ist −6 eine Lösung der Gleichung.

Ausübung

Ist −4 eine Lösung von 8 − 2x = 5?

Antworten

Nein

Addieren oder Subtrahieren des gleichen Betrags

Zwei Gleichungen mit derselben Lösungsmenge sind Äquivalent. Zum Beispiel 2x+5 = -7 und x = −6 haben die gleichen Lösungen. Daher sind sie äquivalente Gleichungen. Bestimmte algebraische Operationen erzeugen äquivalente Gleichungen.

Erstellen von äquivalenten Gleichungen

Hinzufügen der gleichen Menge zu beiden Seiten einer Gleichung. Wenn wir mit der Gleichung beginnen

[a = b,keine Zahl ]

dann hinzufügen C auf beiden Seiten der Gleichung ergibt die äquivalente Gleichung

[ a + c = b + c.keine Zahl ]

Subtrahieren derselben Menge von beiden Seiten einer GleichungEqu. Wenn wir mit der Gleichung beginnen

[a = b,keine Zahl ]

dann subtrahieren C von beiden Seiten der Gleichung ergibt die äquivalente Gleichung

[a − c = b − c. onumber ]

Das heißt, das Addieren oder Subtrahieren desselben Betrags von beiden Seiten einer Gleichung ändert die Lösungen der Gleichung nicht.

Beispiel 2

Lösen für x: x + 3= −7.

Lösung

Um den Effekt der Addition von 3 rückgängig zu machen, subtrahiere 3 von beiden Seiten der Gleichung.

[ egin{aligned} x + 3 = -7 ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} x + 3 - 3 = -7 -3 ~ & extcolor{red}{ text{ Subtrahiere 3 von beiden Seiten.}} x = -7 + (-3) ~ & egin{array}{l} extcolor{red}{ ext{ Vereinfache die linke Seite. Auf der rechten Seite}} extcolor{red}{ ext{ Ausdrücken von Subtraktionen als Addition des Gegenteils.}} end{array} x = -10 end{aligned} onumber ]

Um die Lösung zu überprüfen, ersetzen Sie −10 für x in der ursprünglichen Gleichung und vereinfachen.

[ egin{aligned} x + 3 = -7 ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} -10 + 3 = -7 ~ & extcolor{red}{ ext{ Ersatz } -10 ext{ for } x.} =7 = -7 ~ & extcolor{red}{ ext{ Beide Seiten vereinfachen.}} end{aligned} onumber ]

Da die letzte Zeile des Checks eine wahre Aussage ist, bestätigt dies, dass −10 eine Lösung ist.

Ausübung

Lösen für x: x + 9 = -11.

Antworten

x = -20

Beispiel 3

Lösen für x: x − 8 = −11.

Lösung

Um den Effekt der Subtraktion von 8 rückgängig zu machen, addiere 8 zu beiden Seiten der Gleichung.

[ egin{aligned} x - 8 = -11 ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} x - 8 + 8 = -11+ 8 ~ & extcolor{red}{ text{ Addiere 8 zu beiden Seiten.}} x = -3 ~ & extcolor{red}{ ext{ Vereinfache beide Gleichungen.}} end{aligned} onumber ]

Um die Lösung zu überprüfen, ersetzen Sie − durch −3 x in der ursprünglichen Gleichung und vereinfachen.

[ egin{aligned} x - 8 = -11 ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} -3 - 8 = -11 ~ & extcolor{red}{ ext{ Ersatz } -3 ext{ for } x.} -11 = -11 ~ & extcolor{red}{ ext{ Beide Seiten vereinfachen.}} end{aligned} onumber ]

Da die letzte Zeile des Checks eine wahre Aussage ist, bestätigt dies, dass −3 eine Lösung ist.

Ausübung

Lösen für x: x − 2 = −7

Antworten

x = −5

Manchmal ist eine kleine Vereinfachung angebracht, bevor Sie mit dem Lösungsprozess beginnen.

Beispiel 4

Lösen für ja: −8+2= ja − 11(−4).

Lösung

Vereinfachen Sie zunächst beide Seiten der Gleichung.

[ egin{aligned} -8 + 2 = y -11(-4) ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} -6 = y -(-44) ~ & egin {array}{l} extcolor{red}{ ext{ Vereinfachen. Links } -8 + 2 = -6.} extcolor{red}{ ext{ Rechts } 11(-4) = -44.} end{array} -6 = y + 44 - 44 ~ & extcolor{red}{ ext{ Ziehe 44 von beiden Seiten der Gleichung ab.}} -6 + (-44) = y ~ & extcolor{red}{ ext{ Express Subtraktion als Addition. Rechts vereinfachen.}} -50 = y end{aligned} onumber ]

Um die Lösung zu überprüfen, ersetzen Sie −50 für ja in der ursprünglichen Gleichung und vereinfachen.

[ egin{aligned} -8 + 2 = y -11(-4) ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} -8 + 2 = -50 -11 (-4) ~ & extcolor{red}{ ext{ Substitute } -50 ext{ for } y.} -6 = -50 -(-44) ~ & extcolor{red}{ ext{ Express-Subtraktion auf dem rechts als Addition.}} -6 = -6 ~ & extcolor{red}{ ext{ Rechts füge hinzu: } -50 + 44 = -6.} end{aligned} onumber ]

Da die letzte Zeile des Checks eine wahre Aussage ist, bestätigt dies, dass −50 eine Lösung ist.

Ausübung

Lösen für ja: ja + 2(−4) = −8+6

Antworten

ja = 6

Multiplizieren oder Dividieren mit demselben Betrag

Addieren und Subtrahieren ist nicht die einzige Möglichkeit, eine äquivalente Gleichung zu erstellen.

Erstellen von äquivalenten Gleichungen

Multiplizieren beider Seiten einer Gleichung mit derselben Größe. Wenn wir mit der Gleichung beginnen

[a = b,keine Zahl ]

dann multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit C ergibt die äquivalente Gleichung

[ a cdot c = b cdot c, ext{ oder äquivalent, } ac = bc, onumber]

vorausgesetzt c ≠ 0.

Teilen beider Seiten einer Gleichung durch dieselbe Größe. Wenn wir mit der Gleichung beginnen

[ a = b,keine Zahl ]

dann ergibt die Division beider Seiten der Gleichung durch c die äquivalente Gleichung

[ frac{a}{c} = frac{b}{c}, onumber]

vorausgesetzt c ≠ 0.

Das heißt, das Multiplizieren oder Dividieren beider Seiten einer Gleichung mit dem gleichen Betrag ändert die Lösungen der Gleichung nicht.

Beispiel 5

Lösen für x: −3x = 30.

Lösung

Um den Effekt der Multiplikation mit −3 rückgängig zu machen, dividieren Sie beide Seiten der Gleichung durch −3.

[ egin{aligned} -3x = 30 ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} frac{-3x}{-3} = frac{30}{-3} ~ & extcolor{red}{ ext{ Dividiere beide Seiten durch }-3.} x = -10 ~ & egin{array}{l} extcolor{red}{ ext{ Links, } - 3 ext{ mal } x, ext{ geteilt durch } -3 ext{ ist } x.} extcolor{red}{ ext{ Rechts } 30/(-3)=-10. } end{array} end{ausgerichtet} onumber ]

Um die Lösung zu überprüfen, ersetzen Sie x in der ursprünglichen Gleichung durch −10 und vereinfachen Sie.

[ egin{aligned} -3x = 30 ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} -3(-10) = 30 ~ & extcolor{red}{ ext{ Ersatz } -10 ext{ for } x.} 30 - 30 ~ & extcolor{red}{ ext{ Vereinfachen.}} end{aligned} onumber ]

Da die letzte Zeile der Prüfung eine wahre Aussage ist, bestätigt dies, dass −10 eine Lösung ist.

Ausübung

Lösen für z: −4z = −28

Antworten

z = 7

Beispiel 6

Lösen für x: ( frac{x}{-2} = -20).

Lösung

Um den Effekt der Division durch -2 rückgängig zu machen, multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit -2.

[ egin{aligned} frac{x}{-2} = -20 ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} -2 left( frac{x}{-2 } ight) - -2 (-20) ~ & extcolor{red}{ ext{ Multipliziere beide Seiten mit } -2.} x = 40 ~ & egin{array}{l} extcolor{red }{ ext{ Links } x ext{ geteilt durch } -2, ext{ multipliziert mit } -2,} extcolor{red}{ ext{ das Ergebnis ist } x. ext{ Rechts } -2(-20) = 40.} end{array} end{aligned} onumber ]

Um die Lösung zu überprüfen, ersetzen Sie x in der ursprünglichen Gleichung durch 40 und vereinfachen Sie.

[ egin{aligned} frac{x}{-2} = -20 ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} frac{40}{-2} = -20 ~ & extcolor{red}{ ext{ Ersetze 40 für } x.} -20 = -20 ~ & extcolor{red}{ ext{ Vereinfache beide Seiten.}} end{aligned} onumber ]

Da die letzte Zeile der Prüfung eine wahre Aussage ist, bestätigt dies, dass 40 eine Lösung ist.

Kombinieren von Operationen

Erinnern Sie sich an die Diskussionen „Wrap“ und „Unwrap“ aus Abschnitt 1.6. Um ein Geschenk zu verpacken, legen wir (1) das Geschenkpapier an, (2) das Klebeband an und (3) legen die Zierschleife an. Um das Geschenk auszupacken, müssen wir jeden dieser Schritte in umgekehrter Reihenfolge „rückgängig machen“. Um das Geschenk auszupacken, müssen wir daher: (1) die dekorative Schleife abnehmen, (2) das Klebeband entfernen und (3) das Geschenkpapier abnehmen.

Stellen Sie sich nun eine Maschine vor, die ihre Eingaben entgegennimmt, dann: (1) multipliziert die Eingabe mit 2 und (2) addiert 3 zum Ergebnis. Diese Maschine ist links in Abbildung 2.16 abgebildet.

Um den Effekt der Maschine auf der linken Seite zu „entpacken“, brauchen wir eine Maschine, die jeden der Schritte der ersten Maschine „rückgängig macht“, jedoch in umgekehrter Reihenfolge. Die Maschine zum „Auspacken“ ist rechts in Abbildung 2.16 abgebildet. Es subtrahiert zuerst drei von seiner Eingabe und dividiert dann das Ergebnis durch 2. Beachten Sie, dass jede dieser Operationen die entsprechende Operation der ersten Maschine „rückgängig macht“, jedoch in umgekehrter Reihenfolge.

Ziehen Sie zum Beispiel die ganze Zahl 7 in die erste Maschine links in Abbildung 2.16. Zuerst verdoppeln wir 7, dann addieren wir 3 zum Ergebnis. Das Ergebnis ist 2(7) + 3 = 17.

Um dieses Ergebnis „auszupacken“, lassen wir 17 in die zweite Maschine fallen. Wir subtrahieren zuerst 3 und dividieren dann durch 2. Das Ergebnis ist (17 − 3)/2 = 7, die ursprüngliche ganzzahlige Eingabe in die erste Maschine.

Betrachten Sie nun die Gleichung

[2x +3=7.keineZahl ]

Auf der linken Seite erfordert die Reihenfolge der Operationen, dass wir zuerst x mit 2 multiplizieren und dann 3 addieren. Um diese Gleichung nach x zu lösen, müssen wir jede dieser Operationen in umgekehrter Reihenfolge „rückgängig machen“. Daher werden wir (1) drei von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren und dann (2) beide Seiten der resultierenden Gleichung durch 2 dividieren.

[ egin{aligned} 2x + 3 - 3 = 7 - 3 ~ & extcolor{red}{ ext{ Subtrahiere 3 von beiden Seiten.}} 2x = 4 ~ & extcolor{red}{ ext { Beide Seiten vereinfachen.}} frac{2x}{2} = frac{4}{2} ~ & extcolor{red}{ ext{ Beide Seiten durch 2 teilen}} x = 2 ~ & extcolor{red}{ ext{ Beide Seiten vereinfachen.}} end{aligned} onumber ]

Leser sollten diese Lösung in der Originalgleichung überprüfen.

Beispiel 7

Lösen für x: (frac{x}{4} - 3 = -7).

Lösung

Auf der linken Seite erfordert die Reihenfolge der Operationen, dass wir zuerst dividieren x um 4, dann subtrahiere 3. Um diese Gleichung nach . zu lösen x, müssen wir jede dieser Operationen in umgekehrter Reihenfolge „rückgängig machen“. Daher werden wir (1) 3 zu beiden Seiten der Gleichung addieren und dann (2) beide Seiten der resultierenden Gleichung mit 4 multiplizieren.

[ egin{aligned} frac{x}{4} - 3 = -7 ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} frac{x}{4} - 3 + 3 = -7 + 3 ~ & extcolor{red}{ ext{ Addiere 3 zu beiden Seiten.}} frac{x}{4} = -4 ~ & extcolor{red}{ ext{ Beides vereinfachen Seiten.}} 4 left( frac{x}{4} ight) = 4 (-4) ~ & extcolor{red}{ ext{ Multiplizieren Sie beide Seiten mit 4.}} x = -16 ~ & extcolor{red}{ ext{ Beide Seiten vereinfachen.}} end{aligned} onumber ]

Prüfen

Ersetze −16 für x in der ursprünglichen Gleichung.

[ egin{aligned} frac{x}{4} - 3 = 7 ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} frac{-16}{4} - 3 = - 7 ~ & extcolor{red}{ ext{ Ersetzen } -16 ext{ for } x.} -4 -3 = -7 ~ & extcolor{red}{ ext{ Zuerst dividieren: } -16 /4 = -4.} -7 = - 7 ~ & extcolor{red}{ ext{ Subtrahieren: } -4 -3 = -7.} end{aligned} onumber ]

Da die letzte Zeile des Checks eine wahre Aussage ist, ist −16 eine Lösung der ursprünglichen Gleichung.

Ausübung

Lösen für x:

[ frac{x}{2} + 6 = 4keine Zahl ]

Antworten

x = -4

Beispiel 8

Lösen für T: 0=8 − 2T.

Lösung

Auf der rechten Seite erfordert die Reihenfolge der Operationen, dass wir zuerst t mit −2 multiplizieren und dann 8 addieren. Um diese Gleichung nach t zu lösen, müssen wir jede dieser Operationen in umgekehrter Reihenfolge „rückgängig machen“. Daher werden wir (1) 8 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren und dann (2) beide Seiten der resultierenden Gleichung durch −2 dividieren.

[ egin{aligned} 0 = 8 -2t ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} 0 - 8 = 8 - 2t - 8 ~ & extcolor{red}{ ext{ Subtrahiere 8 von beiden Seiten.}} -8 = -2t ~ & extcolor{red}{ ext{ Vereinfache beide Seiten.}} frac{-8}{-2} = frac{-2t }{-2} ~ & extcolor{red}{ ext{ Beide Seiten durch 2 teilen}} 4 = t ~ & extcolor{red}{ ext{ Beide Seiten vereinfachen.}} end{aligned }keine Nummer ]

Prüfen

Ersetze t in der ursprünglichen Gleichung durch 4.

[ egin{aligned} 0 = 8 - 2t ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} 0 = 8 - 2(4) ~ & extcolor{red}{ ext{ Ersatz 4 für } t.} 0 = 8-8 ~ & extcolor{red}{ ext{ Zuerst multiplizieren: 2(4) = 8.}} 0 = 0 ~ & extcolor{red}{ text{ Subtrahieren: } 8-8=0.} end{aligned} onumber ]

Da die letzte Zeile des Checks eine wahre Aussage ist, ist 4 eine Lösung der ursprünglichen Gleichung.

Ausübung

Lösen für R: 0 = 9 + 3R

Antworten

R = -3

Beispiel 9

Lösen für P: (-12 + 3 = -8+4 + frac{p}{-3}.)

Lösung

Vereinfachen Sie immer wenn möglich.

[ egin{aligned} -12+3= -8+4+ frac{p}{-3} ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} -9 = -4 + frac{p}{-3} ~ & extcolor{red}{ ext{ Beide Seiten vereinfachen.}} end{aligned} onumber ]

Rechts erfordert die Reihenfolge der Operationen, dass wir zuerst teilen we P um -3, dann füge -4 hinzu. Um diese Gleichung zu lösen nach P, müssen wir jede dieser Operationen in umgekehrter Reihenfolge „rückgängig machen“. Daher werden wir (1) zu beiden Seiten der Gleichung eine positive 4 addieren und dann (2) beide Seiten der resultierenden Gleichung mit −3 multiplizieren.

[ egin{aligned} -9+-4 = -4+ frac{p}{-3} + 4~ & extcolor{red}{ ext{ Addiere 4 zu beiden Seiten.}} -5 = frac{p}{-3} ~ & extcolor{red}{ ext{ Beide Seiten vereinfachen.}} -3(-5) = -3 left( frac{p}{-3} ight) ~ & extcolor{red}{ ext{ Multipliziere beide Seiten mit } -3.} 15 = p ~ & extcolor{red}{ ext{ Vereinfache beide Seiten.}} end{aligned} keine Nummer ]

Prüfen

Ersetzen Sie 15 für P in der ursprünglichen Gleichung.

[ egin{aligned} -12 + 3 = =8 + 4 + frac{p}{-3} ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} -12 + 3 = - 8 + 4 + frac{15}{-3} ~ & extcolor{red}{ ext{ Ersetze 15 für } p.} -9 = -8 + 4 + (-5) ~ & egin{ ausgerichtet} extcolor{red}{ ext{ Fügen Sie links hinzu: } -12 + 3 = -9. ext{ Auf der }} extcolor{red}{ ext{ rechts, dividiere: } 15/(-3) = -5.} end{aligned} -9 = -4 + (-5 ) ~ & extcolor{red}{ ext{ Rechts } -8 + 4 = -4.} -9 = -9 ~ & extcolor{red}{ ext{ Rechts füge hinzu: } -4 + (-5) = -9.} end{ausgerichtet} onumber ]

Da die letzte Zeile des Schecks eine wahre Aussage ist, ist 15 eine Lösung der ursprünglichen Gleichung.

Ausübung

Lösen für Q:

[ frac{q}{-2} -9 = -8+3keine Zahl ]

Antworten

Q = −8

Anwendungen

Schauen wir uns einige Anwendungen von Gleichungen mit ganzen Zahlen an. Zuerst erinnern wir die Leser daran, dass eine Lösung einer Wortaufgabe jeden der folgenden Schritte beinhalten muss.

Anforderungen an Word-Problemlösungen

  1. Richten Sie ein Variablenverzeichnis ein. Sie müssen Ihre Leser wissen lassen, was jede Variable in Ihrem Problem darstellt. Dies kann auf verschiedene Weise erreicht werden:
    1. Aussagen wie „Lass P stellen den Umfang des Rechtecks ​​dar.“
    2. Beschriften von unbekannten Werten mit Variablen in einer Tabelle.
    3. Kennzeichnen unbekannter Größen in einer Skizze oder einem Diagramm.
  2. Stellen Sie eine Gleichung auf. Jede Lösung eines Wortproblems muss eine sorgfältig ausgearbeitete Gleichung enthalten, die die Einschränkungen in der Problemstellung genau beschreibt.
  3. Löse die Gleichung. Sie müssen immer die im vorherigen Schritt aufgestellte Gleichung lösen.
  4. Beantworte die Frage. Dieser Schritt wird leicht übersehen. Das Problem könnte zum Beispiel nach Janes Alter fragen, aber die Lösung Ihrer Gleichung gibt das Alter von Janes Schwester Liz an.Stellen Sie sicher, dass Sie die ursprüngliche Frage beantworten, die im Problem gestellt wurde. Ihre Lösung sollte in einem Satz mit passenden Einheiten geschrieben werden.
  5. Zurückschauen. Es ist wichtig zu beachten, dass dieser Schritt nicht bedeutet, dass Sie einfach Ihre Lösung in Ihrer Gleichung überprüfen sollten. Schließlich ist es möglich, dass Ihre Gleichung die Situation des Problems falsch modelliert, sodass Sie eine gültige Lösung für eine falsche Gleichung haben. Die wichtige Frage lautet: „Macht Ihre Antwort basierend auf den Worten in der ursprünglichen Problemstellung einen Sinn?“

Beispiel 10

Das Bankkonto eines Studenten ist überzogen. Nachdem er sein Konto erstellt hat, stellt Allen fest, dass er um 15 $ überzogen ist. Wie hoch war sein Kontostand vor seiner Auszahlung? einer Einzahlung von 120 USD stellt er fest, dass sein Konto immer noch um einen Betrag von 75 USD überzogen ist. Wie hoch war sein Guthaben vor der Einzahlung?

Lösung

In unserer Lösung adressieren wir jeden Schritt der Anforderungen an Word-Problemlösungen.

1. Ein Variablenwörterbuch einrichten. In diesem Fall ist das Unbekannte der ursprüngliche Saldo auf dem Konto des Schülers. Lassen B repräsentieren dieses ursprüngliche Gleichgewicht.

2. Stellen Sie eine Gleichung auf. Eine positive ganze Zahl steht für einen gesunden Kontostand, während eine negative Zahl für ein überzogenes Konto steht. Nach der Einzahlung des Studenten ist das Konto immer noch um 75 USD überzogen. Wir werden sagen, dass dieser Saldo -75 $ beträgt. Daher,

[ egin{array}{ccccc} colorbox{cyan}{Originalsaldo} & ext{plus} & colorbox{cyan}{Studenteneinzahlung} & ext{equals} & colorbox{cyan}{aktueller Saldo } B & + & 120 $ & = & -75 $ end{array} onumber ]

3. Löse die Gleichung. Um die Addition rückgängig zu machen, subtrahiere 120 von beiden Seiten der Gleichung.

[ egin{aligned} B + 120 = -75 ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} B + 120 - 120 = -75 - 120 ~ & extcolor{red}{ text{ 120 von beiden Seiten abziehen.}} B = -195 ~ & extcolor{red}{ ext{ Beide Seiten vereinfachen.}} end{aligned} onumber ]

4. Beantworte die Frage. Das ursprüngliche Guthaben wurde in Höhe von 195 US-Dollar überzogen.

5. Zurückschauen. Wenn das ursprüngliche Guthaben um 195 USD überzogen wurde, lassen wir −195 USD für dieses Guthaben stehen. Der Student leistet eine Anzahlung von 120 US-Dollar. Addieren Sie dies zum ursprünglichen Guthaben, um −195 $ + 120 $ = −75 $ zu erhalten, das korrekte aktuelle Guthaben.

Ausübung

Nachdem er 125 Dollar von seinem Konto abgehoben hat, stellt Allen fest, dass er um 15 Dollar überzogen ist. Wie hoch war sein Kontostand vor seiner Auszahlung?

Antworten

$110

Beispiel 11

Drei mehr als das Doppelte einer bestimmten Zahl ist −11. Finden Sie die unbekannte Nummer.

Lösung

In unserer Lösung adressieren wir jeden Schritt der Anforderungen an Word-Problemlösungen.

1. Richten Sie ein Variablenverzeichnis ein. Sei x die unbekannte Zahl. 2. Stellen Sie eine Gleichung auf. „Drei mehr als das Doppelte einer bestimmten Zahl“ wird zu:

[ egin{array}{ccccc} colorbox{cyan}{Drei} & ext{mehr als} & colorbox{cyan}{Zweimal eine bestimmte Zahl} & ext{ist} & colorbox{cyan}{ -11} 3 & + & 2x & = & 11 end{array} onumber ]

3. Löse die Gleichung. Auf der linken Seite erfordert die Reihenfolge der Operationen, dass wir zuerst x mit 2 multiplizieren und dann 3 addieren. Somit werden wir (1) 3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren, dann (2) beide Seiten der resultierenden Gleichung durch 2 dividieren.

[ egin{aligned} 3 + 2x = -11 ~ & extcolor{red}{ ext{ Originalgleichung.}} 3 + 2x - 3 = -11 - 3 ~ & extcolor{red}{ text{ Subtrahiere 3 von beiden Seiten.}} 2x = -14 ~ & extcolor{red}{ ext{ Vereinfache beide Seiten.}} ~ frac{2x}{2} = frac{-14 }{2} ~ & extcolor{red}{ ext{ Beide Seiten durch 2 teilen}} x = -7 ~ & extcolor{red}{ ext{ Beide Seiten vereinfachen.}} end{aligned }keine Nummer ]

4. Beantworte die Frage. Die unbekannte Zahl ist -7.

5. Zurückschauen. Erfüllt die Antwort die Problemeinschränkungen? Drei mehr als zweimal –7 ist drei mehr als –14 oder –11. Die Lösung ist also richtig.

Übung (PageIndex{1})

Fünf weniger als das Doppelte einer bestimmten Zahl ist -7. Finden Sie die unbekannte Nummer.

Antworten

−1

Übungen

1. Ist −11 eine Lösung von 2x +3= −19?

2. Ist −8 eine Lösung von 2x +7= −9?

3. Ist 6 eine Lösung von 3x + 1 = 19?

4. Ist −6 eine Lösung von 2x +7= −5?

5. Ist 12 eine Lösung von 4x +5= −8?

6. Ist −8 eine Lösung von −3x + 8 = 18?

7. Ist 15 eine Lösung von 2x +6= −9?

8. Ist 3 eine Lösung von −4x +1= −20?

9. Ist −15 eine Lösung von −3x +6= −17?

10. Ist −18 eine Lösung von −3x +9= −9?

11. Ist −6 eine Lösung von −2x + 3 = 15?

12. Ist 7 eine Lösung von −3x +5= −16?


Lösen Sie in den Aufgaben 13-28 die gegebene Gleichung nach x.

13. x − 13 = 11

14. x − 6 = 12

15. x − 3=6

16. x − 3 = −19

17. x + 10 = 17

18. x +3=9

19. x − 6=1

20. x − 10 = 12

21. x − 15 = −12

22. x − 2 = 13

23. x + 11 = -19

24. x + 3 = 17

25. x +2=1

26. x +2= -20

27. x +5= -5

28. x + 14 = −15


Lösen Sie in den Aufgaben 29-44 die gegebene Gleichung nach x.

29. −x = −20

30. 5x = −35

31. (frac{x}{−7}) = 10

32. (frac{x}{−6}) = −20

33. (frac{x}{−10}) = 12

34. (frac{x}{2}) = 11

35. (frac{x}{9}) = −16

36. (frac{x}{−3}) = −7

37. −10x = 20

38. −17x = −85

39. 14x = 84

40. −10x = −40

41. −2x = 28

42. −14x = 42

43. (frac{x}{−10}) = 15

44. (frac{x}{−8}) = −1


Lösen Sie in den Aufgaben 45-68 die gegebene Gleichung nach x.

45. −4x − 4 = 16

46. ​​−6x − 14 = 4

47. 4x − 4 = 76

48. −5x − 15 = 45

49. 5x − 14 = −79

50. 15x − 2 = 43

51. −10x − 16 = 24

52. 2x − 7 = −11

53. 9x +5= −85

54. 8x +8= −16

55. 7x + 15 = −55

56. 2x +2= −38

57. −x + 8 = 13

58. −5x + 20 = −50

59. 12x − 15 = −3

60. −19x − 17 = −36

61. 4x − 12 = −56

62. 7x − 16 = 40

63. 19x + 18 = 113

64. −6x + 20 = −64

65. −14x + 12 = −2

66. −9x + 5 = 104

67. 14x + 16 = 44

68. −14x + 10 = −60


69. Zweimal weniger als das Achtfache einer unbekannten Zahl ist −74. Finden Sie die unbekannte Nummer.

70. Sechs weniger als dreimal eine unbekannte Zahl ist 21. Finden Sie die unbekannte Zahl.

71. Acht mehr als zweimal eine unbekannte Zahl ist 0. Finde die unbekannte Zahl.

72. Fünfmal mehr als das Achtfache einer unbekannten Zahl ist −35. Finden Sie die unbekannte Nummer.

73. Die Zahl -6 ist 2 mehr als eine unbekannte Zahl. Finden Sie die unbekannte Nummer.

74. Die Zahl -4 ist 7 mehr als eine unbekannte Zahl. Finden Sie die unbekannte Nummer.

75. Dreimal mehr als das Achtfache einer unbekannten Zahl ist −29. Finden Sie die unbekannte Nummer.

76. Viermal mehr als neunmal ist eine unbekannte Zahl 85. Finde die unbekannte Zahl.

77. Alans Ergebnisse bei seinen ersten drei Prüfungen sind 79, 61 und 54. Was muss Alan bei seiner nächsten Prüfung erreichen, um für alle vier Prüfungen einen Durchschnitt von 71 zu erzielen?

78. Bennys Ergebnisse bei seinen ersten drei Prüfungen sind 54, 68 und 54. Was muss Benny bei seiner nächsten Prüfung erreichen, um durchschnittlich 61 für alle vier Prüfungen zu erzielen?

79. Der Quotient aus zwei ganzen Zahlen ist 5. Eine der ganzen Zahlen ist −2. Finden Sie die andere ganze Zahl.

80. Der Quotient aus zwei ganzen Zahlen ist 3. Eine der ganzen Zahlen ist −7. Finden Sie die andere ganze Zahl.

81. Der Quotient aus zwei ganzen Zahlen ist 9. Eine der ganzen Zahlen ist −8. Finden Sie die andere ganze Zahl.

82. Finden Sie die andere ganze Zahl.

83. Die Zahl -5 ist 8 mehr als eine unbekannte Zahl. Finden Sie die unbekannte Nummer.

84. Die Zahl -6 ist 8 mehr als eine unbekannte Zahl. Finden Sie die unbekannte Nummer.

85. Das Bankkonto eines Studenten ist überzogen. Nach einer Einzahlung von 260 US-Dollar stellt er fest, dass sein Konto immer noch um einen Betrag von 70 US-Dollar überzogen ist. Wie hoch war sein Guthaben vor der Einzahlung?

86. Nachdem er eine Einzahlung von 300 $ getätigt hat, stellt er fest, dass sein Konto immer noch um einen Betrag von 70 $ überzogen ist. Wie hoch war sein Guthaben vor der Einzahlung?

87. Nachdem er eine Einzahlung von 360 $ getätigt hat, stellt er fest, dass sein Konto immer noch um einen Betrag von 90 $ überzogen ist. Wie hoch war sein Guthaben vor der Einzahlung?

88. Nachdem er eine Einzahlung von $260 getätigt hat, stellt er fest, dass sein Konto immer noch um einen Betrag von $50 überzogen ist. Wie hoch war sein Guthaben vor der Einzahlung?

89. Die Zahl -10 ist -5 mal größer als eine unbekannte Zahl. Finden Sie die unbekannte Nummer.

90. Die Zahl –3 ist –3 mal größer als eine unbekannte Zahl. Finden Sie die unbekannte Nummer. 91. Die Zahl −15 ist −5 mal größer als eine unbekannte Zahl. Finden Sie die unbekannte Nummer.

92. Die Zahl -16 ist 4-mal größer als eine unbekannte Zahl. Finden Sie die unbekannte Nummer.

93. Zwei weniger als neunmal eine unbekannte Zahl ist 7. Finden Sie die unbekannte Zahl.

94. Vier weniger als zweimal eine unbekannte Zahl ist 8. Finden Sie die unbekannte Zahl.

95. Marks Punktzahlen bei seinen ersten drei Prüfungen sind 79, 84 und 71. Was muss Mark bei seiner nächsten Prüfung erreichen, um durchschnittlich 74 für alle vier Prüfungen zu erzielen?

96. Alans Ergebnisse bei seinen ersten drei Prüfungen sind 85, 90 und 61. Was muss Alan bei seiner nächsten Prüfung erreichen, um durchschnittlich 77 für alle vier Prüfungen zu erzielen?


Antworten

1. Ja

3. Ja

5. Nein

7. Nein

9. Nein

11. Ja

13. 24

15. 9

17. 7

19. 7

21. 3

23. −30

25. −1

27. −10

29. 20

31. −70

33. −120

35. −144

37. −2

39. 6

41. −14

43. −150

45. −5

47. 20

49. −13

51. −4

53. −10

55. −10

57. −5

59. 1

61. −11

63. 5

65. 1

67. 2

69. −9

71. −4

73. −8

75. −4

77. 90

79. −10

81. −72

83. −13

85. −$330

87. −$450

89. 2

91. 3

93. 1

95. 62


7.6 Radikale Gleichungen lösen - PowerPoint PPT-Präsentation

PowerShow.com ist eine führende Website zum Teilen von Präsentationen/Diashows. Egal, ob Ihre Anwendung geschäftlich, praktisch, Bildung, Medizin, Schule, Kirche, Vertrieb, Marketing, Online-Schulung oder einfach nur zum Spaß ist, PowerShow.com ist eine großartige Ressource. Und das Beste ist, dass die meisten seiner coolen Funktionen kostenlos und einfach zu verwenden sind.

Sie können PowerShow.com verwenden, um online PowerPoint-PPT-Beispielpräsentationen zu fast jedem erdenklichen Thema zu finden und herunterzuladen, damit Sie lernen können, wie Sie Ihre eigenen Folien und Präsentationen kostenlos verbessern können. Oder verwenden Sie es, um hochwertige PowerPoint-PPT-Präsentationen mit illustrierten oder animierten Folien zu finden und herunterzuladen, die Ihnen zeigen, wie Sie etwas Neues tun können, auch kostenlos. Oder verwenden Sie es, um Ihre eigenen PowerPoint-Folien hochzuladen, damit Sie sie mit Ihren Lehrern, Klassen, Schülern, Chefs, Mitarbeitern, Kunden, potenziellen Investoren oder der ganzen Welt teilen können. Oder verwenden Sie es, um wirklich coole Foto-Diashows zu erstellen – mit 2D- und 3D-Übergängen, Animationen und Ihrer Musikauswahl –, die Sie mit Ihren Facebook-Freunden oder Google+-Kreisen teilen können. Das ist auch alles kostenlos!

Gegen eine geringe Gebühr können Sie den besten Online-Datenschutz der Branche nutzen oder Ihre Präsentationen und Diashows mit Top-Platzierungen öffentlich bewerben. Aber abgesehen davon ist es kostenlos. Wir konvertieren sogar Ihre Präsentationen und Diashows in das universelle Flash-Format mit all ihrer ursprünglichen Multimedia-Pracht, einschließlich Animation, 2D- und 3D-Übergangseffekten, eingebetteter Musik oder anderem Audio oder sogar in Folien eingebettetem Video. Alles kostenlos. Die meisten Präsentationen und Diashows auf PowerShow.com können kostenlos angesehen werden, viele können sogar kostenlos heruntergeladen werden. (Sie können wählen, ob Sie Ihren ursprünglichen PowerPoint-Präsentationen und Foto-Diashows gegen eine Gebühr oder kostenlos oder gar nicht herunterladen können.) Besuchen Sie PowerShow.com noch heute - KOSTENLOS. Es ist wirklich für jeden etwas dabei!

Präsentationen kostenlos. Oder verwenden Sie es, um hochwertige PowerPoint-PPT-Präsentationen mit illustrierten oder animierten Folien zu finden und herunterzuladen, die Ihnen zeigen, wie Sie etwas Neues tun können, auch kostenlos. Oder verwenden Sie es, um Ihre eigenen PowerPoint-Folien hochzuladen, damit Sie sie mit Ihren Lehrern, Klassen, Schülern, Chefs, Mitarbeitern, Kunden, potenziellen Investoren oder der ganzen Welt teilen können. Oder verwenden Sie es, um wirklich coole Foto-Diashows zu erstellen – mit 2D- und 3D-Übergängen, Animationen und Ihrer Musikauswahl –, die Sie mit Ihren Facebook-Freunden oder Google+-Kreisen teilen können. Das ist auch alles kostenlos!


LÖSEN VON GLEICHUNGEN

Gleichungen können wahr oder falsch sein, genauso wie Wortsätze wahr oder falsch sein können. Die gleichung:

wird false, wenn die Variable durch eine beliebige Zahl außer 4 ersetzt wird. Der Wert der Variablen, für die die Gleichung wahr ist (in diesem Beispiel 4), wird als Lösung der Gleichung bezeichnet. Wir können feststellen, ob eine gegebene Zahl eine Lösung einer gegebenen Gleichung ist oder nicht, indem wir die Zahl anstelle der Variablen einsetzen und die Wahrheit oder Falschheit des Ergebnisses bestimmen.

Beispiel 1 Bestimmen Sie, ob der Wert 3 eine Lösung der Gleichung ist

Lösung Wir setzen x in der Gleichung durch den Wert 3 ein und sehen, ob das linke Element gleich dem rechten Element ist.

Die Gleichungen ersten Grades, die wir in diesem Kapitel betrachten, haben höchstens eine Lösung. Die Lösungen vieler solcher Gleichungen können durch Inspektion bestimmt werden.

Beispiel 2 Finden Sie die Lösung jeder Gleichung durch Inspektion.

Lösungen u. 7 ist die Lösung, da 7 + 5 = 12.
B. -5 ist die Lösung, da 4(-5) = -20.


Schlüssel zu Algebra-Arbeitsbüchern

Key to Algebra bietet eine einzigartige, bewährte Möglichkeit, Ihren Schülern Algebra vorzustellen. Neue Konzepte werden in einfacher Sprache erklärt und Beispiele sind leicht verständlich. Wortaufgaben beziehen Algebra auf vertraute Situationen und helfen den Schülern, abstrakte Konzepte zu verstehen. Die Studierenden entwickeln Verständnis, indem sie Gleichungen und Ungleichungen intuitiv lösen, bevor formale Lösungen eingeführt werden. Die Schüler beginnen ihr Studium der Algebra in den Büchern 1-4, indem sie nur ganze Zahlen verwenden. Die Bücher 5-7 führen rationale Zahlen und Ausdrücke ein. Die Bücher 8-10 erweitern die Abdeckung auf das reelle Zahlensystem.


Selina Concise Mathematics Class 10 ICSE-Lösungen zum Lösen einfacher Probleme (basierend auf quadratischen Gleichungen)

Selina Publishers Concise Mathematics Class 10 ICSE-Lösungen Kapitel 6 Lösen einfacher Probleme (basierend auf quadratischen Gleichungen)

Lösen einfacher Probleme (basierend auf quadratischen Gleichungen) Übung 6A – Selina Concise Mathematics Class 10 ICSE Solutions

Frage 1.
Das Produkt zweier aufeinanderfolgender Ganzzahlen ist 56. Finden Sie die Ganzzahlen.
Lösung:
Die beiden aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen seien x und x + 1.
Aus den gegebenen Informationen,
x(x+1) = 56
x 2 + x – 56 = 0
(x + 8) (x – 7) = 0
x = -8 oder 7
Daher sind die erforderlichen ganzen Zahlen – 8 und -7 7 und 8.

Frage 2.
Die Summe der Quadrate zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist 41. Finde die Zahlen.
Lösung:
Seien die Zahlen x und x + 1.
Aus den gegebenen Informationen,
x 2 + (x + 1) 2 = 41
2x 2 + 2x + 1 – 41 = 0
x 2 + x – 20 = 0
(x + 5) (x – 4) = 0
x = -5, 4
Aber -5 ist keine natürliche Zahl. Also x = 4.
Somit sind die Zahlen 4 und 5.

Frage 3.
Finden Sie die beiden natürlichen Zahlen, die sich um 5 unterscheiden und deren Quadratsumme 97 ist.
Lösung:
Die beiden Zahlen seien x und x + 5.
Aus den gegebenen Informationen,
x 2 + (x + 5) 2 = 97
2x 2 + 10x + 25 – 97 = 0
2x 2 + 10x – 72 = 0
x 2 + 5x – 36 = 0
(x + 9) (x – 4) = 0
x = -9 oder 4
Denn -9 ist keine natürliche Zahl. Also x = 4.
Somit sind die Zahlen 4 und 9.

Frage 4.
Die Summe einer Zahl und ihres Kehrwertes ist 4,25. Finden Sie die Nummer.
Lösung:

Frage 5.
Zwei natürliche Zahlen unterscheiden sich um 3. Finden Sie die Zahlen, wenn die Summe ihrer Kehrwerte (frac < 7 >< 10 >) ist.
Lösung:

Frage 6.
Teile 15 in zwei Teile, sodass die Summe ihrer Kehrwerte (frac < 3 >< 10 >) ist.
Lösung:

Frage 7.
Die Summe der Quadrate von zwei positiven ganzen Zahlen ist 208. Wenn das Quadrat der größeren Zahl das 18-fache der kleineren Zahl ist, finde die Zahlen.
Lösung:
Die beiden Zahlen seien x und y, wobei y die größere Zahl sei. Aus den gegebenen Informationen,
x 2 + y 2 = 208 ….. (i)
y 2 = 18x ….. (ii)
Aus (i) erhalten wir y 2 =208 – x 2 . Setzen wir dies in (ii) ein, erhalten wir
208 – x 2 = 18x
x 2 + 18x – 208 = 0
⇒ x 2 + 26X – 8X – 208 = 0
⇒ x(x + 26) – 8(x + 26) = 0
⇒ (x – 8)(x + 26) = 0
⇒ x kann keine negative Zahl sein, daher x = 8
⇒ Setzen wir x = 8 in (ii) ein, erhalten wir y 2 = 18 x 8=144
⇒ y = 12, da y eine positive ganze Zahl ist
Daher sind die beiden Zahlen 8 und 12.

Frage 8.
Die Summe der Quadrate zweier aufeinanderfolgender positiver gerader Zahlen ist 52. Finden Sie die Zahlen.
Lösung:
Die aufeinanderfolgenden positiven geraden Zahlen seien x und x + 2.
Aus den gegebenen Informationen,
x 2 + (x + 2) 2 = 52
2x 2 + 4x + 4 = 52
2x 2 + 4x – 48 = 0
x 2 + 2x – 24 = 0
(x + 6) (x – 4) = 0
x = -6, 4
Da die Zahlen positiv sind, ist x = 4.
Somit sind die Zahlen 4 und 6.

Frage 9.
Finden Sie zwei aufeinanderfolgende positive ungerade Zahlen, deren Quadratsumme 74 ist.
Lösung:
Die aufeinanderfolgenden positiven ungeraden Zahlen seien x und x + 2.
Aus den gegebenen Informationen,
x 2 + (x + 2) 2 = 74
2x 2 + 4x + 4 = 74
2x 2 + 4x – 70 = 0
x 2 + 2x – 35 = 0
(x + 7)(x – 5) = 0
x = -7, 5
Da die Zahlen positiv sind, ist x = 5.
Somit sind die Zahlen 5 und 7.

Frage 10.
Der Nenner eines Bruches ist eins mehr als das Doppelte des Zählers. Wenn die Summe des Bruchs und seines Kehrwertes 2,9 beträgt, finden Sie den Bruch.
Lösung:

Frage 11.
Drei positive Zahlen stehen im Verhältnis 1/2 : 1/3 : 1/4. Finden Sie die Zahlen, wenn die Summe ihrer Quadrate 244 beträgt.
Lösung:
Gegeben sind drei positive Zahlen im Verhältnis 1/2 : 1/3 : 1/4 = 6 : 4 : 3
Lassen Sie die Zahlen 6x, 4x und 3x sein.
Aus den gegebenen Informationen,
(6x) 2 + (4x) 2 + (3x) 2 = 244
36x 2 + 16x 2 + 9x 2 = 244
61x 2 = 244
x 2 = 4
x = ± 2
Da die Zahlen positiv sind, ist x = 2.
Somit sind die Zahlen 12, 8 und 6.

Frage 12.
Teilen Sie 20 in zwei Teile, sodass das Dreifache des Quadrats eines Teils den anderen Teil um 10 übersteigt.
Lösung:
Lassen Sie die beiden Teile x und y sein.
Aus den gegebenen Informationen,
x + y = 20 ⇒ y = 20 – x
3x 2 = (20 – x) + 10
3x 2 = 30 –x
3x 2 + x – 30 = 0
3x 2 – 9x + 10x – 30 = 0
3x(x – 3) + 10(x – 3) = 0
(x – 3) (3x + 10) = 0
x = 3, -10/3
Da x nicht gleich -10/3 sein kann, ist x = 3.
Somit ist ein Teil 3 und der andere Teil 20 – 3 = 17.

Frage 13.
Drei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen sind so, dass das Quadrat der mittleren Zahl die Differenz der Quadrate der anderen beiden um 60 übersteigt.
Angenommen, die mittlere Zahl sei x und bilde eine quadratische Gleichung, die die obige Aussage erfüllt. Finden Sie daher die drei Zahlen.
Lösung:
Seien die Zahlen x – 1, x und x + 1.
Aus den gegebenen Informationen,
x 2 = (x + 1) 2 – (x – 1) 2 + 60
x 2 = x 2 + 1 + 2x – x 2 – 1 + 2x + 60
x 2 = 4x + 60
x 2 – 4x – 60 = 0
(x – 10) (x + 6) = 0
x = 10, -6
Da x eine natürliche Zahl ist, ist x = 10.
Somit sind die drei Zahlen 9, 10 und 11.

Frage 14.
Von drei aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen ist die mittlere Zahl p. Wenn das Dreifache des Quadrats der größten um 67 größer ist als die Summe der Quadrate der anderen beiden Zahlen, berechne den Wert von p.
Lösung:
Die Zahlen seien p – 1, p und p + 1.
Aus den gegebenen Informationen,
3(p + 1) 2 = (p – 1) 2 + p 2 + 67
3p 2 + 6p + 3 = p 2 + 1 – 2p + p 2 + 67
p 2 + 8 p – 65 = 0
(p + 13)(p – 5) = 0
p = -13, 5
Da die Zahlen positiv sind, kann p nicht gleich -13 sein.
Somit ist p = 5.

Frage 15.
A kann eine Arbeit in ‘x’ Tagen erledigen und B kann dieselbe Arbeit in (x + 16) Tagen erledigen. Wenn beide zusammenarbeiten, es in 15 Tagen schaffen, berechnen Sie ‘x’.
Lösung:

Frage 16.
Ein Rohr kann eine Zisterne in 3 Stunden weniger füllen als das andere. Die beiden Rohre zusammen können die Zisterne in 6 Stunden 40 Minuten füllen. Finden Sie die Zeit heraus, die jedes Rohr benötigt, um den Spülkasten zu füllen.
Lösung:
Lassen Sie ein Rohr den Spülkasten in x Stunden füllen und das andere in (x – 3) Stunden.
Angesichts der Tatsache, dass die beiden Rohre zusammen die Zisterne in 6 Stunden 40 Minuten füllen können, d.


Also x = 15.
Somit füllt ein Rohr den Spülkasten in 15 Stunden und das andere füllt (x – 3) = 15 – 3 = 12 Stunden.

Frage 17.
Eine positive Zahl wird in zwei Teile geteilt, so dass die Summe der Quadrate der beiden Teile 20 ist. Das Quadrat des größeren Teils ist das 8-fache des kleineren Teils. Nimm x als den kleineren Teil der beiden Teile und finde die Zahl.
Lösung:

Lösen einfacher Probleme (basierend auf quadratischen Gleichungen) Übung 6B – Selina Concise Mathematics Class 10 ICSE Solutions

Frage 1.
Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, das den rechten Winkel enthält, betragen 4x cm und (2x – 1) cm. Wenn die Fläche des Dreiecks 30 cm² beträgt, berechnen Sie die Längen seiner Seiten.
Lösung:

Frage 2.
Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 26 cm und die Summe der anderen beiden Seiten beträgt 34 ​​cm. Finden Sie die Längen seiner Seiten.
Lösung:
Hypotenuse = 26 cm
Die Summe der anderen beiden Seiten beträgt 34 ​​cm.
Die anderen beiden Seiten seien also x cm und (34 – x) cm.
Mit dem Satz des Pythagoras,
(26) 2 = x 2 + (34 – x) 2
676 = x 2 + x 2 + 1156 – 68x
2x 2 – 68x + 480 = 0
x 2 – 34x + 240 = 0
x 2 – 10x – 24x + 240 = 0
x(x – 10) – 24(x – 10) = 0
(x – 10) (x – 24) = 0
x = 10, 24
Wenn x = 10, (34 – x) = 24
Wenn x = 24, (34 – x) = 10
Somit betragen die Längen der drei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks 10 cm, 24 cm und 26 cm.

Frage 3.
Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind (x – 1) cm, 3x cm und (3x + 1) cm. Finden:
(i) der Wert von x,
(ii) die Längen seiner Seiten,
(iii) seine Fläche.
Lösung:
Längere Seite = Hypotenuse = (3x + 1) cm
Die Längen der anderen beiden Seiten sind (x – 1) cm und 3x cm.
Mit dem Satz des Pythagoras,
(3x + 1) 2 = (x – 1) 2 + (3x) 2
9x 2 + 1 + 6x = x 2 + 1 – 2x + 9x 2
x 2 – 8x = 0
x(x – 8) = 0
x = 0, 8
Aber wenn x = 0, dann ist eine Seite = 3x = 0, was nicht möglich ist.
Also x = 8
Somit sind die Seitenlängen des Dreiecks (x –) cm = 7 cm, 3x cm = 24 cm und (3x + 1) cm = 25 cm.
Fläche des Dreiecks = ½ × 7 cm × 24 cm = 84 cm²

Frage 4.
Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks überschreitet eine Seite um 1 cm und die andere Seite um 18 cm. Finden Sie die Längen der Seiten des Dreiecks.
Lösung:
Eine Hypotenuse des Dreiecks sei x cm.
Aus den gegebenen Informationen,
Länge einer Seite = (x – 1) cm
Länge der anderen Seite = (x – 18) cm
Mit dem Satz des Pythagoras,
x 2 = (x – 1) 2 + (x – 18) 2
x 2 = x 2 + 1 – 2x + x 2 + 324 – 36x
x 2 – 38x + 325 = 0
x 2 – 13x – 25x + 325 = 0
x(x – 13) – 25(x – 13) = 0
(x – 13) (x – 25) = 0
x = 13, 25
Wenn x = 13, x – 18 = 13 – 18 = -5, was negativ ist, ist nicht möglich.
Also x = 25
Somit sind die Seitenlängen des Dreiecks x = 25 cm, (x – 1) = 24 cm und (x – 18) = 7 cm.

Frage 5.
Die Diagonale eines Rechtecks ​​ist 60 m mehr als seine kürzere Seite und die größere Seite ist 30 m mehr als die kürzere Seite. Finden Sie die Seiten des Rechtecks.
Lösung:

Die kürzere Seite sei x m.
Länge der anderen Seite = (x + 30) m
Länge der Hypotenuse = (x + 60) m
Mit dem Satz des Pythagoras,
(x + 60) 2 = x 2 + (x + 30) 2
x 2 + 3600 + 120x = x 2 + x 2 + 900 + 60x
x 2 – 60x – 2700 = 0
x 2 – 90x + 30x – 2700 = 0
x(x – 90) + 30(x – 90) = 0
(x – 90) (x + 30) = 0
x = 90, -30
Aber x kann nicht negativ sein. Also x = 90.
Somit sind die Seiten des Rechtecks ​​90 m und (90 + 30) m = 120 m.

Frage 6.
Der Umfang eines Rechtecks ​​beträgt 104 m und seine Fläche 640 m². Finden Sie seine Länge und Breite.
Lösung:
Länge und Breite des Rechtecks ​​seien x m und y m.
Umfang = 2(x + y) m
∴ 104 = 2(x + y)
x + y = 52
y = 52 –x
Fläche = 640 m 2
xy = 640
x(52 –x) = 640
x 2 – 52x + 640 = 0
x 2 – 32x – 20x + 640 = 0
x(x – 32) – 20 (x – 32) = 0
(x – 32) (x – 20) = 0
x = 32, 20
Wenn x = 32, y = 52 – 32 = 20
Wenn x = 20, y = 52 – 20 = 32
Somit betragen die Länge und Breite des Rechtecks ​​32 cm und 20 cm.

Frage 7.
Auf einem rechteckigen Feld von 32 m Länge und 24 m Breite verläuft ein einheitlich breiter Fußweg. Wenn der Weg 208 m² einnimmt, ermitteln Sie die Breite des Fußweges.
Lösung:
Sei w die Breite des Fußweges.

Fläche des Pfades = Fläche des äußeren Rechtecks ​​– Fläche des inneren Rechtecks
∴ 208 = (32)(24) – (32 – 2w)(24 – 2w)
208 = 768 – 768 + 64w + 48w – 4w 2
4w 2 – 112w + 208 = 0
w 2 – 28w + 52 = 0
w 2 – 26w – 2w + 52 = 0
w(w – 26) – 2(w – 26) = 0
(w – 26) (w – 2) = 0
w = 26, 2
Wenn w = 26, dann Breite des inneren Rechtecks ​​= (24 – 52) m = -28 m, was nicht möglich ist.
Somit beträgt die Breite des Fußweges 2 m.

Frage 8.
Zwei Quadrate haben Seiten x cm und (x + 4) cm. Die Summe ihrer Fläche beträgt 656 qcm. Drücken Sie dies als algebraische Gleichung in x aus und lösen Sie die Gleichung, um die Seiten der Quadrate zu finden.
Lösung:
Aus diesem Grund haben zwei Quadrate Seiten x cm und (x + 4) cm.
Summe ihrer Fläche = 656 cm 2
x 2 + (x + 4) 2 = 656
x 2 + x 2 + 16 + 8x = 656
2x 2 + 8x – 640 = 0
x 2 + 4x – 320 = 0
x 2 + 20x – 16x – 320 = 0
x(x + 20) – 16(x + 20) = 0
(x + 20) (x – 16) = 0
x = -20, 16
Aber da x seitlich ist, kann es nicht negativ sein.
Also x = 16
Somit betragen die Seiten der beiden Quadrate 16 cm und 20 cm.

Frage 9.
Die Abmessungen eines rechteckigen Feldes betragen 50 m und 40 m. Auf diesem Feld wird ein Blumenbeet vorbereitet, das einen Kiesweg von gleichmäßiger Breite um das Blumenbeet herum hinterlässt. Die Gesamtkosten für das Verlegen des Blumenbeets und das Kiesen des Weges betragen 30 Rs bzw. 20 Rs pro Quadratmeter und betragen 52.000 Rs. Finden Sie die Breite des Kiesweges.
Lösung:
Die Breite des Kiesweges sei w m.
Länge des rechteckigen Feldes = 50 m
Breite des rechteckigen Feldes = 40 m
Länge und Breite des Blumenbeets seien x m bzw. y m.
Daher haben wir:
x + 2w = 50 … (1)
y + 2w = 40 … (2)
Auch rechteckige Feldfläche = 50 m 40 m = 2000 m 2
Fläche des Blumenbeets = xy m 2
Fläche Kiesweg = Fläche rechteckiges Feld – Fläche Blumenbeet = (2000 – xy) m 2
Kosten für das Verlegen von Blumenbeeten + Kiesweg = Fläche x Kosten für das Verlegen pro m²
52000 = 30 xy + 20 (2000 – xy)
52000 = 10xy + 40000
xy = 1200
Mit (1) und (2) haben wir:
(50 – 2w) (40 – 2w) = 1200
2000 – 180w + 4w 2 = 1200
4w 2 – 180w + 800 = 0
w 2 – 45w + 200 = 0
w 2 – 5w – 40w + 200 = 0
w(w – 5) – 40(w – 5) = 0
(w – 5) (w – 40) = 0
w = 5, 40
Wenn w = 40, dann x = 50 – 2w = -30, was nicht möglich ist.
Somit beträgt die Breite des Schotterweges 5 m.

Frage 10.
Eine Fläche wird mit quadratischen Fliesen einer bestimmten Größe gepflastert und die erforderliche Anzahl beträgt 128. Wären die Fliesen pro Richtung 2 cm kleiner gewesen, wären 200 Fliesen erforderlich gewesen, um dieselbe Fläche zu pflastern. Finden Sie die Größe der größeren Kacheln.
Lösung:
Die Größe der größeren Fliesen sei x cm.
Fläche größerer Fliesen = x 2 cm 2
Die Anzahl der größeren Fliesen, die zum Pflastern einer Fläche erforderlich sind, beträgt 128.
Also, die zu pflasternde Fläche = 128 x 2 cm 2 …. (1)
Größe kleinerer Fliesen = (x – 2)cm
Fläche kleinerer Fliesen = (x – 2) 2 cm 2
Die Anzahl der größeren Fliesen, die zum Pflastern einer Fläche erforderlich sind, beträgt 200.
Also, die Fläche muss gepflastert werden = 200 (x – 2) 2 cm 2 …. (2)
Daher haben wir aus (1) und (2):
128 x 2 = 200 (x – 2) 2
128 x 2 = 200 x 2 + 800 – 800x
72x 2 – 800x + 800 = 0
9x 2 – 100x + 100 = 0
9x 2 – 90x – 10x + 100 = 0
9x(x – 10) – 10(x – 10) = 0
(x – 10)(9x – 10) = 0

Daher beträgt die Größe der größeren Fliesen 10 cm.

Frage 11.
Ein Bauer hat 70 m Zäune, mit denen er drei Seiten eines rechteckigen Schafstalls umschließt, wobei die vierte Seite eine Mauer ist. Wenn die Fläche des Geheges 600 m² beträgt, ermitteln Sie die Länge der kürzeren Seite.
Lösung:
Länge und Breite des rechteckigen Schafstalls seien x bzw. y.
Aus den gegebenen Informationen,
x + y + x = 70
2x + y = 70 … (1)
Auch Fläche = xy = 600
Mit (1) haben wir:
x (70 – 2x) = 600
70x – 2x 2 = 600
2x 2 – 70x + 600 = 0
x 2 – 35x + 300 = 0
x 2 – 15x – 20x + 300 = 0
x(x – 15) – 20(x – 15) = 0
(x – 15)(x – 20) = 0
x = 15, 20
Wenn x = 15, dann y = 70 – 2x = 70 – 30 = 40
Wenn x = 20, dann y = 70 – 2x = 70 – 40 = 30
Somit beträgt die Länge der kürzeren Seite 15 m, während die längere Seite 40 m beträgt. Die Länge der kürzeren Seite beträgt 20 m, während die längere Seite 30 m beträgt.

Frage 12.
Ein viereckiger Rasen wird an drei Seiten von einem 4 m breiten Weg begrenzt. Wenn die Fläche des Weges (frac < 7 >< 8 >) der des Rasens entspricht, ermitteln Sie die Abmessungen des Rasens.
Lösung:
Die Seitenlänge des quadratischen Rasens sei x m.
Fläche des quadratischen Rasens = x 2 m 2
Der quadratische Rasen wird an drei Seiten von einem 4 m breiten Weg begrenzt.

Fläche des äußeren Rechtecks ​​= (x + 4) (x + 8) = x 2 + 12x + 32
Pfadbereich = x 2 + 12x + 32 – x 2 = 12x + 32
Aus den gegebenen Informationen haben wir:

Da kann x nicht negativ sein. Also x = 16m.
Somit ist jede Seite des quadratischen Rasens 16 m lang.

Frage 13.
Die Fläche eines großen rechteckigen Raumes beträgt 300 m². Wenn die Länge um 5 m verringert und die Breite um 5 m vergrößert würde, bliebe die Fläche unverändert. Finden Sie die Länge des Raumes.
Lösung:
Die ursprüngliche Länge und Breite des rechteckigen Raums seien x m bzw. y m.
Fläche des rechteckigen Raumes = xy = 300
⇒ y = (frac < 300 >< x >) …..(1)
Neue Länge = (x – 5) m
Neue Breite = (y + 5) m
Neuer Bereich = (x – 5) (y + 5) = 300 (gegeben)
Mit (1) haben wir:

Aber x kann nicht negativ sein. Also x = 20.
Somit beträgt die Länge des Raumes 20 m.

Lösen einfacher Probleme (basierend auf quadratischen Gleichungen) Übung 6C – Selina Concise Mathematics Class 10 ICSE Solutions

Frage 1.
Die Geschwindigkeit eines normalen Zuges beträgt x km/h und die eines Schnellzuges (x + 25) km/h.
(i) Ermitteln Sie die Zeit, die jeder Zug benötigt, um 300 km zurückzulegen.
(ii) Wenn der normale Zug 2 Stunden länger braucht als der Schnellzug, berechnen Sie die Geschwindigkeit des Schnellzugs.
Lösung:
(i) Geschwindigkeit des normalen Zuges = x km/h
Geschwindigkeit des Schnellzuges = (x + 25) km/h
Entfernung = 300 km

(ii) Vorausgesetzt, der normale Zug braucht 2 Stunden länger als der Schnellzug, um die Strecke zurückzulegen.
Deswegen,

Aber Geschwindigkeit kann nicht negativ sein. Also x = 50.
∴ Geschwindigkeit des Schnellzuges = (x + 25) km/h = 75 km/h

Frage 2.
Wenn die Geschwindigkeit eines Autos um 10 km/h erhöht wird, dauert es 18 Minuten weniger, um eine Strecke von 36 km zurückzulegen. Finden Sie die Geschwindigkeit des Autos.
Lösung:
Die Geschwindigkeit des Autos sei x km/h.
Entfernung = 36 km

Aus den gegebenen Informationen haben wir:

Aber Geschwindigkeit kann nicht negativ sein. Also x = 30.
Daher beträgt die ursprüngliche Geschwindigkeit des Autos 30 km/h.

Frage 3.
Wenn die Geschwindigkeit eines Flugzeugs um 40 km/h reduziert wird, dauert es 20 Minuten länger, um 1200 km zurückzulegen. Finden Sie die Geschwindigkeit des Flugzeugs.
Lösung:
Die ursprüngliche Geschwindigkeit des Flugzeugs sei x km/h.

Aber Geschwindigkeit kann nicht negativ sein. Also x = 400.
Somit beträgt die ursprüngliche Geschwindigkeit des Flugzeugs 400 km/h.

Frage 4.
Ein Auto legt mit einer bestimmten Geschwindigkeit eine Strecke von 400 km zurück. Bei einer um 12 km/h höheren Geschwindigkeit wäre die Fahrtzeit um 1 Stunde 40 Minuten geringer gewesen. Finden Sie die ursprüngliche Geschwindigkeit des Autos.
Lösung:
Sei x km/h die ursprüngliche Geschwindigkeit des Autos.
Wir wissen das,

Angegeben ist, dass das Auto eine Strecke von 400 km mit einer Geschwindigkeit von x km/h zurücklegt.
Somit beträgt die Zeit, die das Auto für 400 km benötigt,
t = (frac < 400 >< x >)
Jetzt wird die Geschwindigkeit um 12 km erhöht.
∴ Erhöhte Geschwindigkeit = (x + 12) km/h.
Auch wenn die Geschwindigkeit des Autos erhöht wird, verkürzt sich die Zeit um 1 Stunde 40 Minuten.

Frage 5.
Ein Mädchen geht zum Haus ihrer Freundin, das 12 km entfernt liegt. Sie legt die Hälfte der Strecke mit einer Geschwindigkeit von x km/h zurück und die restliche Strecke mit einer Geschwindigkeit von (x + 2) km/h. Wenn sie 2 Stunden und 30 Minuten braucht, um die gesamte Strecke zurückzulegen, suchen Sie nach ‘x’.
Lösung:

Frage 6.
Ein Auto legte in ‘x’ Stunden 390 km zurück. Wäre die Geschwindigkeit 4 km/h höher gewesen, hätte die Fahrt 2 Stunden weniger gedauert. Suchen Sie nach ‘x’.
Lösung:

Frage 7.
Um 18 Uhr verlässt ein Güterzug einen Bahnhof, gefolgt von einem Schnellzug, der um 20 Uhr abfährt. und fährt 20 km/h schneller als der Güterzug. Der Schnellzug erreicht einen 1040 km entfernten Bahnhof, 36 Minuten vor dem Güterzug. Unter der Annahme, dass die Geschwindigkeiten beider Züge zwischen den beiden Stationen konstant bleiben, berechnen Sie ihre Geschwindigkeiten.
Lösung:
Die Geschwindigkeit des Güterzuges sei x km/h. Die Geschwindigkeit des Schnellzugs beträgt also (x + 20) km/h.
Entfernung = 1040 km

Angegeben ist, dass der Schnellzug 36 Minuten vor dem Güterzug an einem Bahnhof ankommt. Auch der Schnellzug verlässt den Bahnhof 2 Stunden nach dem Güterzug. Das bedeutet, dass der Schnellzug am Bahnhof ankommt

vor dem Güterzug.

Da kann die Geschwindigkeit nicht negativ sein. Also x = 80.
So beträgt die Geschwindigkeit des Güterzugs 80 km/h und die Geschwindigkeit des Schnellzuges 100 km/h.

Frage 8.
Ein Mann kaufte einen Artikel für x Rs und verkaufte ihn für 16 Rs. Wenn sein Verlust x Prozent betrug, ermitteln Sie den Einstandspreis des Artikels.
Lösung:
C. P. des Artikels = Rs x
S.P. des Artikels = Rs 16
Verlust = Rs (x – 16)
Wir wissen:

Somit beträgt der Selbstkostenpreis des Artikels Rs 20 oder Rs 80.

Frage 9.
Ein Händler kaufte einen Artikel für x Rs und verkaufte ihn für 52 Rs, wodurch er einen Gewinn von (x – 10) Prozent seiner Ausgaben erzielte. Berechnen Sie den Selbstkostenpreis.
Lösung:
C. P. des Artikels = Rs x
S.P. des Artikels = Rs 52
Gewinn = Rs (52 – x)
Wir wissen:

Da C. P. kann nicht negativ sein. Also x = 40.
Somit beträgt der Selbstkostenpreis des Artikels Rs 40.

Frage 10.
Durch den Verkauf eines Stuhls für 75 Rupien gewann Mohan so viel Prozent wie seine Kosten. Berechnen Sie die Kosten für den Stuhl.
Lösung:
Lassen Sie die C.P. des Stuhls sei Rs x be
S.P. des Stuhls = Rs 75
Gewinn = Rs (75 – x)
Wir wissen:

Aber C. P. kann nicht negativ sein. Also x = 50.
Daher betragen die Kosten für den Stuhl 50 Rupien.

Lösen einfacher Probleme (basierend auf quadratischen Gleichungen) Übung 6D – Selina Concise Mathematics Class 10 ICSE Solutions

Frage 1.
Die Summe S von n aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen ab 3 ergibt sich aus der Beziehung n(n + 2). Bestimme n, wenn die Summe 168 ist.
Lösung:
Aus den gegebenen Informationen haben wir:
n(n + 2) = 168
n² + 2n – 168 = 0
n² + 14n – 12n – 168 = 0
n(n + 14) – 12(n + 14) = 0
(n + 14) (n – 12) = 0
n = -14, 12
Aber n kann nicht negativ sein.
Daher ist n = 12.

Frage 2.
Ein Stein wird senkrecht nach unten geworfen und die Formel d = 16t² + 4t gibt die Entfernung in d Metern an, die er in t Sekunden fällt. Wie lange dauert es, um 420 Meter zu fallen?
Lösung:
Aus den gegebenen Informationen,
16t 2 + 4t = 420
4t 2 + t – 105 = 0
4t 2 – 20t + 21t – 105 = 0
4t(t – 5) + 21(t – 5) = 0
(4t + 21)(t – 5) = 0
t = -21/4, 5
Aber Zeit kann nicht negativ sein.
Somit beträgt die erforderliche Zeit 5 Sekunden.

Frage 3.
Das Produkt der Ziffern einer zweistelligen Zahl ist 24. Wenn die Einheitsziffer das Doppelte ihrer Zehnerziffer um 2 überschreitet, suchen Sie die Zahl.
Lösung:
Die Zehner- und Einerstelle der erforderlichen Zahl seien x bzw. y.
Aus den gegebenen Informationen,

Frage 4.
Das Produkt der Ziffern einer zweistelligen Zahl ist 24. Wenn die Einheitsziffer das Doppelte ihrer Zehnerziffer um 2 überschreitet, suchen Sie die Zahl.
Lösung:
Die beiden Schwestern sind 11 Jahre und 14 Jahre alt.
In x Jahren sei das Produkt ihres Alters 304.

Die Anzahl der Jahre kann jedoch nicht negativ sein. Also x = 5.
Daher beträgt die erforderliche Anzahl von Jahren 5 Jahre.

Frage 5.
Vor einem Jahr war ein Mann achtmal so alt wie sein Sohn. Jetzt entspricht sein Alter dem Quadrat des Alters seines Sohnes. Finden Sie ihr gegenwärtiges Alter.
Lösung:
Das gegenwärtige Alter des Sohnes sei x Jahre.
∴ Gegenwärtiges Alter des Menschen = x 2 Jahre
Vor einem Jahr,
Alter des Sohnes = (x – 1) Jahre
Alter des Mannes = (x 2 – 1) Jahre
Angeblich war ein Mann vor einem Jahr achtmal so alt wie sein Sohn.
∴ (x 2 – 1) = 8(x – 1)
x 2 – 8x – 1 + 8 = 0
x 2 – 8x + 7 = 0
(x – 7) (x – 1) = 0
x = 7, 1
Wenn x = 1, dann x 2 = 1, was nicht möglich ist, da das Alter des Vaters nicht gleich dem Alter des Sohnes sein kann.
Also x = 7.
Gegenwärtiges Alter des Sohnes = x Jahre = 7 Jahre
Gegenwärtiges Alter des Menschen = x 2 Jahre = 49 Jahre

Frage 6.
Das Alter des Vaters ist doppelt so groß wie das Alter seines Sohnes. In acht Jahren wird der Vater dann mit 4 Jahren mehr als dreimal so alt wie der Sohn sein. Finden Sie ihr gegenwärtiges Alter.
Lösung:
Das gegenwärtige Alter des Sohnes sei x Jahre.
Gegenwärtiges Alter des Vaters = 2x 2 Jahre
Acht Jahre später,
Alter des Sohnes = (x + 8) Jahre
Alter des Vaters = (2x 2 + 8) Jahre
Es wird davon ausgegangen, dass in acht Jahren das Alter des Vaters 4 Jahre mehr als das Dreifache des Alters des Sohnes beträgt.
2x 2 + 8 = 3(x + 8) +4
2x 2 + 8 = 3x + 24 +4
2x 2 – 3x – 20 = 0
2x 2 – 8x + 5x – 20 = 0
2x(x – 4) + 5(x – 4) = 0
(x – 4) (2x + 5) = 0
x = 4, -5/2
Das Alter kann jedoch nicht negativ sein, also x = 4.
Gegenwärtiges Alter des Sohnes = 4 Jahre
Gegenwärtiges Alter des Vaters = 2(4) 2 Jahre = 32 Jahre

Frage 7.
Die Geschwindigkeit eines Bootes in stillem Wasser beträgt 15 km/h. Es kann 30 km flussaufwärts und flussabwärts in 4 Stunden 30 Minuten zum Ausgangspunkt zurückkehren. Finden Sie die Geschwindigkeit des Streams.
Lösung:
Die Geschwindigkeit des Stroms sei x km/h.
∴ Geschwindigkeit des Bootes stromabwärts = (15 + x) km/h
Geschwindigkeit des Bootes stromaufwärts = (15 – x) km/h

Aber x kann nicht negativ sein, also x = 5.
Somit beträgt die Geschwindigkeit des Stroms 5 km/h.

Frage 8.
Mr. Mehra schickt seinen Diener zum Markt, um Orangen im Wert von 15 Rupien zu kaufen. Der Diener hat unterwegs drei Orangen gegessen. Herr Mehra zahlt Rs 25 Paise pro Orange mehr als den Marktpreis.
Nehmen Sie x als die Anzahl der Orangen, die Herr Mehra erhält, und bilden Sie eine quadratische Gleichung in x. Bestimmen Sie daher den Wert von x.
Lösung:

Frage 9.
250 Rs werden zu gleichen Teilen auf eine bestimmte Anzahl von Kindern aufgeteilt. Gäbe es 25 Kinder mehr, hätte jedes 50 Paise weniger bekommen. Finden Sie die Anzahl der Kinder heraus.
Lösung:
Die Anzahl der Kinder sei x.
Es wird angegeben, dass Rs 250 auf x Studenten aufgeteilt wird.

Da die Schülerzahl nicht negativ sein kann, ist x = 100.
Die Schülerzahl beträgt somit 100.

Frage 10.
Ein Arbeitgeber stellt fest, dass er, wenn er den Wochenlohn jedes Arbeiters um 5 Rupien erhöht und fünf Arbeiter weniger beschäftigt, seine wöchentliche Lohnrechnung von 3.150 Rupien auf 3.250 Rupien erhöht. Wenn man den ursprünglichen Wochenlohn jedes Arbeiters als Rs x nimmt, erhält man eine Gleichung in x und löst sie dann, um den Wochenlohn jedes Arbeiters zu ermitteln.
Lösung:
Ursprünglicher Wochenlohn jedes Arbeiters = Rs x
Ursprüngliche wöchentliche Lohnabrechnung des Arbeitgebers = Rs 3150

Da der Lohn nicht negativ sein kann, ist x = 45.
Somit beträgt der ursprüngliche Wochenlohn jedes Arbeiters 45 Rupien.

Frage 11.
Ein Händler kaufte eine Reihe von Artikeln für 1.200 Rupien. Zehn wurden beschädigt und er verkaufte jeden der verbleibenden Artikel für 2 Rupien mehr, als er dafür bezahlt hatte, wodurch er einen Gewinn von 60 Rupien für die gesamte Transaktion erzielte.
Nimm die Anzahl der gekauften Artikel als x, bilde eine Gleichung in x und löse sie.
Lösung:
Anzahl der vom Händler gekauften Artikel = x
Es wird vorausgesetzt, dass der Händler die Artikel für 1200 Rupien gekauft hat.

Anzahl der Artikel darf nicht negativ sein. Also x = 100.

Frage 12.
Der Gesamteinstandspreis einer bestimmten Anzahl identischer Artikel beträgt 4800 Rupien. Durch den Verkauf der Artikel zu je 100 Rupien wird ein Gewinn in Höhe des Einstandspreises von 15 Artikeln erzielt. Ermitteln Sie die Anzahl der gekauften Artikel.
Lösung:
Die Anzahl der gekauften Artikel sei x.
Gesamteinstandspreis von x Artikeln = Rs 4800
Einstandspreis eines Artikels = Rs (frac < 4800 >< x >)
Verkaufspreis jedes Artikels = Rs 100
Verkaufspreis von x Artikeln = Rs 100x
Gegeben, Gewinn = C.P. von 15 Artikeln
∴ 100x – 4800 = 15 × (frac < 4800 >< x >)
100x 2 – 4800x = 15 4800
x 2 – 48x – 720 = 0
x 2 – 60x + 12x – 720 = 0
x(x – 60) + 12(x – 60) = 0
(x – 60) (x + 12) = 0
x = 60, -12
Da kann die Anzahl der Artikel nicht negativ sein. Also x = 60.
Somit beträgt die Anzahl der gekauften Artikel 60.

Lösen einfacher Probleme (basierend auf quadratischen Gleichungen) Übung 6E – Selina Concise Mathematics Class 10 ICSE Solutions

Frage 1.
Die Entfernung zwischen den beiden Städten A und B beträgt auf der Straße 216 km und auf der Schiene 208 km. Ein Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von x km/h und der Zug fährt mit einer Geschwindigkeit, die 16 km/h schneller ist als das Auto. Berechnung:
(i) die Zeit, die das Auto benötigt, um Stadt B von A aus zu erreichen, ausgedrückt in x
(ii) die Zeit, die der Zug benötigt, um die Stadt B von A aus zu erreichen, ausgedrückt in x.
(iii) Wenn der Zug 2 Stunden weniger braucht als das Auto, um Stadt B zu erreichen, stellen Sie eine Gleichung in x auf und lösen Sie sie.
(iv) Bestimmen Sie daher die Geschwindigkeit des Zuges.
Lösung:

Frage 2.
Ein Händler kauft x Artikel zu einem Gesamtpreis von 600 Rs.
(i) Schreiben Sie die Kosten eines Artikels in x auf.
Wenn die Kosten pro Artikel 5 Rupien höher wären, wäre die Anzahl der Artikel, die für 600 Rupien gekauft werden können, vier weniger.
(ii) Schreiben Sie die Gleichung in x für die obige Situation auf und lösen Sie sie nach x auf.
Lösung:

Frage 3.
Eine Hotelrechnung für eine Anzahl von Personen für die Übernachtung beträgt Rs 4800. Wenn es 4 Personen mehr gäbe, hätte sich die Rechnung, die jede Person bezahlen musste, um Rs 200 reduziert. Ermitteln Sie die Anzahl der Personen, die über Nacht bleiben.
Lösung:

Frage 4.
Ein Aero-Flugzeug legte mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von x km/h eine Strecke von 400 km zurück. Auf der Rückfahrt wurde die Geschwindigkeit um 40 km/h erhöht. Schreiben Sie einen Ausdruck für die Zeit auf für:
(i) die Weiterreise
(ii) die Rückreise.
Wenn die Rückfahrt 30 Minuten weniger dauert als die Weiterfahrt, schreiben Sie eine Gleichung in x auf und ermitteln Sie ihren Wert.
Lösung:

Frage 5.
6500 Rupien wurden zu gleichen Teilen auf eine bestimmte Anzahl von Personen aufgeteilt. Wären 15 Personen mehr gewesen, hätte jeder Rs 30 weniger bekommen. Finden Sie die ursprüngliche Personenzahl heraus.
Lösung:

Frage 6.
Ein Flugzeug startete 30 Minuten später als die planmäßige Zeit und um sein 1500 km entferntes Ziel rechtzeitig zu erreichen, muss es seine Geschwindigkeit um 250 km/h von seiner üblichen Geschwindigkeit erhöhen. Finden Sie seine übliche Geschwindigkeit.
Lösung:

Frage 7.
Zwei Züge verlassen gleichzeitig einen Bahnhof. Der erste Zug fährt nach Westen und der zweite Zug nach Norden. Der erste Zug fährt 5 km/h schneller als der zweite Zug. Wenn sie nach 2 Stunden 50 km voneinander entfernt sind, ermitteln Sie die Geschwindigkeit jedes Zuges.
Lösung:

Frage 8.
Die Summe S der ersten n geraden natürlichen Zahlen ergibt sich aus der Beziehung S = n(n + 1). Finde n, wenn die Summe 420 ist.
Lösung:
S = n(n + 1)
Gegeben, S = 420
n(n+1) = 420
n 2 + n – 420 = 0
n 2 + 21n – 20n – 420 = 0
n(n + 21) – 20(n + 21) = 0
(n + 21) (n – 20) = 0
n = -21, 20
Denn n kann nicht negativ sein.
Daher ist n = 20.

Frage 9.
Die Summe des Alters von Vater und Sohn beträgt 45 Jahre. Vor fünf Jahren war das Produkt ihres Alters (in Jahren) 124. Bestimmen Sie ihr gegenwärtiges Alter.
Lösung:
Das gegenwärtige Alter von Vater und Sohn sei x Jahre bzw. (45 – x) Jahre.
Vor fünf Jahren,
Alter des Vaters = (x – 5) Jahre
Alter des Sohnes = (45 – x – 5) Jahre = (40 – x) Jahre
Aus den gegebenen Informationen haben wir:
(x – 5) (40 – x) = 124
40x – x 2 – 200 + 5x = 124
x 2 – 45x +324 = 0
x 2 – 36x – 9x +324 = 0
x(x – 36) – 9(x – 36) = 0
(x – 36) (x – 9) = 0
x = 36, 9
Wenn x = 9,
Alter des Vaters = 9 Jahre, Alter des Sohnes = (45 – x) = 36 Jahre
Das ist nicht möglich.
Daher ist x = 36
Alter des Vaters = 36 Jahre
Sohn ’s Alter = (45 – 36) Jahre = 9 Jahre

Frage 10.
In einem Auditorium waren die Sitze in Reihen und Spalten angeordnet. Die Anzahl der Reihen entsprach der Anzahl der Sitze in jeder Reihe. Wenn die Anzahl der Reihen verdoppelt und die Anzahl der Sitze in jeder Reihe um 10 verringert wurde, erhöhte sich die Gesamtzahl der Sitze um 300.
(i) die Anzahl der Reihen in der ursprünglichen Anordnung.
(ii) die Anzahl der Sitzplätze im Auditorium nach der Neuordnung.
Lösung:
Die Anzahl der Zeilen in der ursprünglichen Anordnung sei x.
Dann ist die Anzahl der Sitze in jeder Reihe in der ursprünglichen Anordnung = x
Gesamtzahl der Sitzplätze = x × x = x²
Aus den gegebenen Informationen,
2x(x – 10) = x 2 + 300
2x 2 – 20x = x 2 + 300
x 2 – 20x – 300 = 0
(x – 30) (x + 10) = 0
x = 30, -10
Da kann die Anzahl der Reihen oder Sitze nicht negativ sein. Also x = 30.
(i) Die Anzahl der Reihen in der ursprünglichen Anordnung = x = 30
(ii) Die Anzahl der Sitze nach der Neuordnung = x 2 + 300 = 900 + 300 = 1200

Frage 11.
Mohan braucht für eine Arbeit 16 Tage weniger als Manoj. Wenn beide zusammenarbeiten, es in 15 Tagen schaffen, in wie vielen Tagen wird Mohan allein die Arbeit fertigstellen?
Lösung:

Frage 12.
Vor zwei Jahren war das Alter eines Mannes dreimal so groß wie das Alter seines Sohnes. In drei Jahren wird er viermal so alt wie sein Sohn. Finden Sie ihr gegenwärtiges Alter.
Lösung:
Das Alter des Sohnes vor 2 Jahren sei x Jahre.
Dann, Alter des Vaters vor 2 Jahren = 3x 2 Jahre
Gegenwärtiges Alter des Sohnes = (x + 2) Jahre
Gegenwärtiges Alter des Vaters = (3x 2 + 2) Jahre
Seit 3 ​​Jahren:
Alter des Sohnes = (x + 2 + 3) Jahre = (x + 5) Jahre
Alter des Vaters = (3x 2 + 2 + 3) Jahre = (3x 2 + 5) Jahre
Aus den gegebenen Informationen,
3x 2 + 5 = 4 (x + 5)
3x 2 – 4x – 15 = 0
3x 2 – 9x + 5x – 15 = 0
3x(x – 3) + 5(x – 3) = 0
(x – 3) (3x + 5) = 0
x = 3,
Da kann das Alter nicht negativ sein. Also x = 3.
Gegenwärtiges Alter des Sohnes = (x + 2) Jahre = 5 Jahre
Gegenwärtiges Alter des Vaters = (3x 2 + 2) Jahre = 29 Jahre

Frage 13.
Bei einem bestimmten positiven Bruch ist der Nenner um 3 größer als der Zähler. Wird 1 vom Zähler und vom Nenner abgezogen, verringert sich der Bruch um. Finde den Bruch.
Lösung:

Frage 14.
Bei einer zweistelligen Zahl ist die Zehnerstelle größer. Das Produkt der Ziffern ist 27 und die Differenz zwischen zwei Ziffern ist 6. Finden Sie die Zahl.
Lösung:
Angenommen, die Differenz zwischen zwei Ziffern ist 6 und die Zehnerstelle ist größer als die Einerstelle.
Lassen Sie also die Einheitsziffer x und die Zehnerziffer (x + 6) sein.
Aus der gegebenen Bedingung haben wir:
x(x + 6) = 27
x² + 6x – 27 = 0
x² + 9x – 3x – 27 = 0
x(x + 9) – 3(x + 9) = 0
(x + 9) (x – 3) = 0
x = -9, 3
Denn die Ziffern einer Zahl können nicht negativ sein. Also x = 3.
Ziffer der Einheit #8217 = 3
Zehnerstelle = 9
Somit ist die Zahl 93.

Frage 15.
Einige Schulkinder machten einen Ausflug mit dem Bus zu einem 300 km entfernten Picknickplatz. Bei der Rückfahrt regnete es und der Bus musste seine Geschwindigkeit um 5 km/h reduzieren und die Rückfahrt dauerte zwei Stunden länger. Finden Sie die Zeit für die Rückkehr.
Lösung:

Frage 16.
480 Rupien werden zu gleichen Teilen unter ‘x’ Kindern aufgeteilt. Wenn die Zahl der Kinder 20 höher wäre, hätte jedes Rs.12 weniger bekommen. Suchen Sie nach ‘x’.
Lösung:

Frage 17.
Ein Bus legt mit gleichmäßiger Geschwindigkeit eine Strecke von 240 km zurück. Aufgrund des starken Regens wird seine Geschwindigkeit um 10 km/h reduziert und es dauert somit zwei Stunden länger, um die Gesamtstrecke zurückzulegen. Angenommen, die gleichmäßige Geschwindigkeit sei ‘x’ km/h, bilde eine Gleichung und löse sie, um ‘x’ zu berechnen.

Lösung:

Frage 18.
Die Summe des Alters von Vivek und seinem jüngeren Bruder Amit beträgt 47 Jahre. Das Produkt ihres Alters in Jahren ist 550. Finden Sie ihr Alter.
Lösung:
Angesichts dessen, dass die Summe des Alters von Vivek und seinem jüngeren Bruder Amit 47 Jahre beträgt.
Sei das Alter von Vivek = x
⇒ das Alter von Amit = 47 – x
Das Produkt ihres Alters in Jahren ist 550 …. gegeben
x(47 – x) = 550
⇒ 47x – x 2 = 550
⇒ x 2 – 47x + 550 = 0
⇒ x 2 – 25x – 22x + 550 = 0
⇒ x(x – 25) – 22(x – 25) = 0
⇒ (x – 25) (x – 22) = 0
⇒ x = 25 oder x = 22
Da Vivek ein älterer Bruder ist.
∴ x = 25 Jahre = Alter von Vivek und
Alter von Amit = 47 – 25 = 22 Jahre

Weitere Ressourcen für Selina Concise Class 10 ICSE-Lösungen


7.6 Ausdrücke, Gleichungen und Ungleichungen

In dieser Einheit lösen die Schüler Gleichungen der Formen (px + q = r) und (p(x + q) = r) wobei (p) , (q) und (r ) sind rationale Zahlen. Sie zeichnen, interpretieren und schreiben Gleichungen in eine Variable für ausgewogene „Hängerdiagramme“ und schreiben Ausdrücke für Befehlsfolgen, z. B. „Zahlenrätsel“. Sie verwenden Banddiagramme zusammen mit Gleichungen, um Situationen mit einer unbekannten Größe darzustellen. Sie erlernen algebraische Methoden zum Lösen von Gleichungen. Die Schüler lösen lineare Ungleichungen in einer Variablen und stellen ihre Lösungen auf dem Zahlenstrahl dar. Sie verstehen und verwenden die Begriffe „kleiner oder gleich“ und „größer oder gleich“ und die entsprechenden Symbole. Sie generieren Ausdrücke, die einem gegebenen numerischen oder linearen Ausdruck äquivalent sind. Die Studierenden formulieren und lösen lineare Gleichungen und Ungleichungen, die reale Situationen darstellen.

Unterricht

Darstellung von Situationen der Form $px+q=r$ und $p(x+q)=r$

Lösen von Gleichungen der Form $px+q=r$ und $p(x+q)=r$ und Probleme, die zu diesen Gleichungen führen

Ungleichungen

Äquivalente Ausdrücke schreiben

Lass es uns an die Arbeit machen

IM 6–8 Math wurde ursprünglich von Open Up Resources entwickelt und von Illustrative Mathematics® verfasst und unterliegt dem Copyright 2017-2019 von Open Up Resources. Es ist unter der Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0) lizenziert. Das Mathe-Curriculum 6–8 von OUR ist unter https://openupresources.org/math-curriculum/ verfügbar.

Anpassungen und Aktualisierungen von IM 6–8 Math unterliegen dem Copyright 2019 von Illustrative Mathematics und sind unter der Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0) lizenziert.

Anpassungen zum Hinzufügen zusätzlicher Englischlernhilfen unterliegen dem Copyright 2019 von Open Up Resources und sind unter der Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0) lizenziert.

Der zweite Satz englischer Bewertungen (gekennzeichnet als Satz „B“) unterliegt dem Copyright 2019 von Open Up Resources und ist unter der Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0) lizenziert.

Spanische Übersetzungen der „B“-Bewertungen unterliegen dem Copyright 2020 von Illustrative Mathematics und sind unter der Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0) lizenziert.

Der Name und das Logo von Illustrative Mathematics unterliegen nicht der Creative Commons-Lizenz und dürfen nicht ohne die vorherige und ausdrückliche schriftliche Zustimmung von Illustrative Mathematics verwendet werden.

Diese Website enthält gemeinfreie Bilder oder offen lizenzierte Bilder, die von ihren jeweiligen Eigentümern urheberrechtlich geschützt sind. Offen lizenzierte Bilder bleiben unter den Bedingungen ihrer jeweiligen Lizenzen. Weitere Informationen finden Sie im Abschnitt zur Bildzuordnung.


Wörtliche Gleichungen und Gleichungen mit algebraischen Brüchen

Einige Gleichungen, die als Literalgleichungen bezeichnet werden, beinhalten mehr als eine Literalzahl. Wir können nach einem der Literale, die Variable genannt wird, in Bezug auf die anderen Literale auflösen, also durch Zuweisen von Werten für diese Literale. wir erhalten entsprechende Werte für die Variable.

Um die Lösungsmenge einer wörtlichen Gleichung zu finden, bilden Sie eine äquivalente Gleichung mit allen Termen, die die Variable als Faktor auf der einen Seite der Gleichung haben und den Termen, die die Variable nicht als Faktor auf der anderen Seite haben. Faktorisieren Sie die Variable aus den Termen, die die Variable als Faktor haben, und dividieren Sie dann beide Seiten der Gleichung durch den Koeffizienten der Variablen.

Vereinfachen Sie die Antwort und überprüfen Sie, indem Sie den erhaltenen Wert für die Variable in der ursprünglichen Gleichung einsetzen.

BEISPIEL Lösen Sie die folgende Gleichung für x : 2y-3x=8 .

Daher ist die Lösungsmenge <(2y-8)/3>.

Der Scheck bleibt als Übung.

BEISPIEL Lösen Sie die folgende Gleichung nach x auf:

Wenn a+2 &ne 0 , also a &ne -2 , können wir beide Seiten der Gleichung durch (a+2) dividieren, um zu erhalten

Daher ist die Lösungsmenge

Hinweis Wenn a=-2 ist, haben wir eine falsche Aussage,

BEISPIEL Löse die folgende Gleichung nach x : 3ax+4 = 2x+6a .

Wenn (3a-2) &ne 0 , also ein &ne 2/3 , können wir beide Seiten der Gleichung durch (3a-2) teilen, um zu erhalten

Daher ist die Lösungsmenge

Hinweis Für jeden Wert für a &ne 2/3 ist der Wert von x 2 . Wenn a = 2/3 , wird die Gleichung zu einer Identität, dh zu einer Aussage, die für alle Werte von x gilt.

Lassen Sie uns sehen, wie unser Schritt-für-Schritt-Mathematiklöser dieses und ähnliche Probleme löst. Klicken Sie auf die Schaltfläche "Ähnliche lösen", um weitere Beispiele anzuzeigen.

BEISPIEL Löse die folgende Gleichung nach x und überprüfe:

Wenn (a-4) &ne 0 , also a &ne 4 , können wir beide Seiten der Gleichung durch (a-4) teilen, um zu erhalten

Um dies zu überprüfen, ersetzen Sie x in der ursprünglichen Gleichung durch a+2.

Formeln sind Regeln, die in Symbolen oder buchstäblichen Zahlen ausgedrückt werden. Sie sind in vielen Studienrichtungen weit verbreitet. Formeln können als spezielle Arten von wörtlichen Gleichungen angesehen werden. Viele Probleme erfordern die Lösung einer Formel für einen der beteiligten Buchstaben.

&emsp&emsp&emsp&emsp

&emsp&emsp&emsp&emsp

7.7 Gleichungen mit algebraischen Brüchen

Wenn eine Gleichung Brüche beinhaltet, kann sie in eine einfachere Form gebracht werden, wenn beide Seiten der Gleichung mit der LCD aller Brüche in der Gleichung multipliziert werden.

Wenn eine Gleichung mit dem LCD (das ein Polynom in der Variablen ist) multipliziert wird. die resultierende Gleichung entspricht möglicherweise nicht der ursprünglichen Gleichung. Die &lsquomulling-Gleichung kann einen Lösungssatz mit Elementen aufweisen, die die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllen. In all diesen Fällen müssen die Elemente der Lösungsmenge in der Originalgleichung überprüft werden.

Die Werte der Variablen, die die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllen, werden als Fremdwurzeln bezeichnet.

BEISPIEL Löse die Gleichung 3/(4x)-1/(3x^2) = 5/(6x)

Lösung Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 12x^2 .

BEISPIEL Löse die Gleichung (2x)/(3x-4)-2 = 0

Lösung Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit (3x-4) .

Der Scheck bleibt als Übung übrig

BEISPIEL Lösen Sie die folgende Gleichung und überprüfen Sie:

Lösung (x-3)/(x-4) - x/(2x+3) = x^2/(2x^2-5x-12)

Wenn wir beide Seiten der Gleichung mit (x-4)(2x+3) multiplizieren, erhalten wir

Um dies zu überprüfen, ersetzen Sie x in der ursprünglichen Gleichung durch 9.

Lassen Sie uns sehen, wie unser Schritt-für-Schritt-Mathematiklöser dieses und ähnliche Probleme löst. Klicken Sie auf die Schaltfläche "Ähnliche lösen", um weitere Beispiele anzuzeigen.

BEISPIEL Löse die folgende Gleichung

Lösung (3x)/(6x^2-7x-3)-(x-2)/(2x^2-5x+3) = 3/(3x^2-2x-1)

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit (2x-3)(3x+1)(x-1) , erhalten wir

Der Scheck bleibt als Übung.

Lassen Sie uns sehen, wie unser Mathe-Löser dieses und ähnliche Probleme löst. Klicken Sie auf die Schaltfläche "Ähnliche lösen", um weitere Beispiele anzuzeigen.

BEISPIEL Lösen Sie die folgende Gleichung und überprüfen Sie:

Lösung (x-3)/(3x-4)-(2x-5)/(6x-1) = (x-13)/(18x^2-27x+4)

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit (6x-1)(3x-4) , erhalten wir

Wenn wir x in der ursprünglichen Gleichung durch 4/3 ersetzen, finden wir, dass der Nenner des ersten Bruchs Null wird. Da die Division durch Null nicht definiert ist, ist die Lösungsmenge der Gleichung &Phi


Methoden zum algebraischen Lösen von Gleichungssystemen

Es gibt im Wesentlichen drei verschiedene Methoden, um Gleichungssysteme algebraisch zu lösen. Sie werden im Folgenden aufgelistet und kurz beschrieben.

Die grafische Methode: Wenn in beiden Gleichungen eine Variable gelöst ist, ist es einfach, einen Grafikrechner zu verwenden. In diesem Fall kann der Rechner verwendet werden, um beide Gleichungen grafisch darzustellen. Der Schnittpunkt der beiden Geraden stellt die Lösung des Gleichungssystems dar.

Die Substitutionsmethode: Es gibt zwei verschiedene Arten von Gleichungssystemen, bei denen die Substitution die einfachste Methode ist.

Typ 1: Eine Variable ist allein oder in einer der Gleichungen isoliert. Das System wird gelöst, indem die Gleichung mit dem isolierten Term in die andere Gleichung eingesetzt wird:

Typ 2: Eine Variable kann leicht isoliert werden. Die Systeme werden gelöst, indem in einer der Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst und dann diese Gleichung in die zweite Gleichung eingesetzt wird. Lösen für ein in der zweiten Gleichung, dann setze die zweite Gleichung in die erste ein.

Die Eliminationsmethode: Beide Gleichungen sind in Standardform: Ax + Bja = C. Das Gleichungssystem wird durch Eliminieren einer Variablen und Auflösen nach der verbleibenden Variablen gelöst. Addieren Sie die beiden Gleichungen zusammen, um die eliminate zu eliminieren y, dann auflösen nach x.

Jede der anderen Methoden kann verwendet werden, um Ihre Antwort zu überprüfen, oder Sie können die x- und y-Werte einsetzen, um sicherzustellen, dass beide Gleichungen wahre Aussagen liefern.


Gleichungen lösen

Die folgenden Diskussionen und Aktivitäten sollen den Schülern helfen, die Konzepte und Methoden zum Lösen von Gleichungen zu verstehen. Diese Lektion wird am besten mit Schülern durchgeführt, die in Gruppen von 2-4 arbeiten.

Ziele

  • verstehen, dass es mehrere Möglichkeiten gibt, eine Gleichung zu lösen und das gleiche Ergebnis zu erhalten
  • schätzen die verschiedenen Möglichkeiten, lineare Gleichungen mit einer Variablen zu lösen
  • Prozesse in additive und multiplikative Inverse klassifizieren können

Angesprochene Normen:

  • Funktionen und Beziehungen
    • Der Student demonstriert konzeptionelles Verständnis von Funktionen, Mustern oder Sequenzen, einschließlich derer, die in realen Situationen dargestellt werden.
    • Der Schüler demonstriert algebraisches Denken.
    • Funktionen und Beziehungen
      • Der Student demonstriert konzeptionelles Verständnis von Funktionen, Mustern oder Sequenzen, einschließlich derer, die in realen Situationen dargestellt werden.
      • Der Schüler demonstriert algebraisches Denken.
      • Algebra und Funktionen
        • 1.0 Die Schüler schreiben verbale Ausdrücke und Sätze als algebraische Ausdrücke und Gleichungen sie bewerten algebraische Ausdrücke, lösen einfache lineare Gleichungen und stellen ihre Ergebnisse graphisch dar und interpretieren sie
        • 1.0 Die Schüler treffen Entscheidungen darüber, wie sie Probleme angehen
        • 2.0 Studierende verwenden Strategien, Fähigkeiten und Konzepte, um Lösungen zu finden
        • Algebra und Funktionen
          • 1.0 Die Schüler drücken quantitative Beziehungen aus, indem sie algebraische Terminologie, Ausdrücke, Gleichungen, Ungleichungen und Graphen verwenden
          • 4.0 Die Studierenden lösen einfache lineare Gleichungen und Ungleichungen über den rationalen Zahlen
          • 1.0 Die Schüler treffen Entscheidungen darüber, wie sie Probleme angehen
          • 2.0 Studierende verwenden Strategien, Fähigkeiten und Konzepte, um Lösungen zu finden
          • Algebra I
            • 2.0 Die Schüler verstehen und verwenden solche Operationen wie das Gegenteil nehmen, das Reziproke finden, eine Wurzel schlagen und in eine gebrochene Potenz erheben. Sie verstehen und verwenden die Regeln von Exponenten.
            • 4.0 Die Schüler vereinfachen Ausdrücke, bevor sie lineare Gleichungen und Ungleichungen in einer Variablen lösen, z. B. 3(2x-5) + 4(x-2) = 12.
            • 5.0 Die Schüler lösen mehrstufige Probleme, einschließlich Wortaufgaben, die lineare Gleichungen und lineare Ungleichungen in einer Variablen enthalten, und begründen jeden Schritt.
            • Arithmetik mit Polynomen und rationalen Ausdrücken
              • Führe arithmetische Operationen an Polynomen durch
              • Verwenden Sie polynomiale Identitäten, um Probleme zu lösen
              • Verstehen Sie das Lösen von Gleichungen als Argumentationsprozess und erklären Sie die Argumentation
              • Gleichungen und Ungleichungen in einer Variablen lösen
              • Ausdrücke und Gleichungen
                • Verwenden Sie Eigenschaften von Operationen, um äquivalente Ausdrücke zu generieren.
                • Lösen Sie reale und mathematische Probleme mit numerischen und algebraischen Ausdrücken und Gleichungen.
                • Ausdrücke und Gleichungen
                  • Anwenden und Erweitern des bisherigen Verständnisses der Arithmetik auf algebraische Ausdrücke.
                  • Überlege und löse Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen.
                  • Algebra
                    • Muster, Beziehungen und Funktionen verstehen
                    • Verstehen Sie die Bedeutungen von Operationen und wie sie sich aufeinander beziehen
                    • Algebra
                      • Muster, Beziehungen und Funktionen verstehen
                      • Verstehen Sie die Bedeutungen von Operationen und wie sie sich aufeinander beziehen
                      • Algebra
                        • Kompetenzziel 4: Der Lernende verwendet Beziehungen und Funktionen, um Probleme zu lösen.
                        • Zahl und Operationen, Messung, Geometrie, Datenanalyse und Wahrscheinlichkeit, Algebra
                          • KOMPETENZZIEL 5: Der Lernende wird ein Verständnis für lineare Beziehungen und grundlegende algebraische Konzepte demonstrieren.
                          • Zahl und Operationen, Messung, Geometrie, Datenanalyse und Wahrscheinlichkeit, Algebra
                            • KOMPETENZZIEL 5: Der Lernende soll lineare Beziehungen und Funktionen verstehen und anwenden.
                            • Algebra
                              • KOMPETENZZIEL 4: Der Lernende soll lineare Beziehungen und Funktionen verstehen und anwenden.
                              • Algebra
                                • Der Student demonstriert durch die mathematischen Verfahren ein Verständnis für proportionale Beziehungen.
                                • Algebra
                                  • Der Student demonstriert durch die mathematischen Verfahren ein Verständnis von Gleichungen, Ungleichungen und linearen Funktionen.
                                  • Elementare Algebra
                                    • Standard EA-4: Der Student demonstriert durch die mathematischen Verfahren ein Verständnis der Verfahren zum Schreiben und Lösen von linearen Gleichungen und Ungleichungen.
                                    • Algebra
                                      • Der Student wird Muster verstehen und verallgemeinern, wenn sie quantitative Beziehungen und Veränderungen in einer Vielzahl von Kontexten und Problemen darstellen und analysieren, indem sie Grafiken, Tabellen und Gleichungen verwenden.
                                      • Der Student entwickelt Zahlen- und Bedienungssinn, der benötigt wird, um Zahlen und Zahlenbeziehungen verbal, symbolisch und grafisch darzustellen und fließend zu rechnen und vernünftige Schätzungen bei der Problemlösung vorzunehmen.
                                      • Algebra
                                        • Die Studierenden beschreiben, erweitern, analysieren und erstellen eine Vielzahl von Mustern und Funktionen unter Verwendung geeigneter Materialien und Darstellungen bei der Problemlösung in der realen Welt.
                                        • Die Studierenden werden reelle Zahlen und Operationen verbal, physisch, symbolisch und grafisch erkennen, darstellen, modellieren und anwenden.
                                        • Fundament für Funktionen
                                          • 4. Der Student versteht die Bedeutung der Fähigkeiten, die erforderlich sind, um Symbole zu manipulieren, um Probleme zu lösen, und wendet die erforderlichen algebraischen Fähigkeiten an, die erforderlich sind, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und Gleichungen und Ungleichungen in Problemsituationen zu lösen.
                                          • 7. Der Student formuliert Gleichungen und Ungleichungen basierend auf linearen Funktionen, wendet verschiedene Methoden zu deren Lösung an und analysiert die Lösungen situationsbezogen.
                                          • Muster, Funktionen und Algebra
                                            • 6.23b Der Schüler löst einstufige lineare Gleichungen in einer Variablen, die ganzzahlige Koeffizienten und positive rationale Lösungen beinhalten involving
                                            • Zahlen und Zahlensinn
                                              • 7.3 Der Student identifiziert und wendet die folgenden Eigenschaften von Operationen mit reellen Zahlen an: die kommutativen und assoziativen Eigenschaften für Addition und Multiplikation die distributive Eigenschaft die additive und multiplikative Identitätseigenschaften die additiven und multiplikativen inversen Eigenschaften und die multiplikative Eigenschaft von Null.
                                              • 7.22a Der Student löst einstufige lineare Gleichungen und Ungleichungen in einer Variablen mit Strategien, die inverse Operationen und ganze Zahlen beinhalten, unter Verwendung konkreter Materialien, bildlicher Darstellungen und Papier und Bleistift
                                              • Muster, Funktionen und Algebra
                                                • 8.15 Der Student löst zweistufige Gleichungen und Ungleichungen in einer Variablen mit konkreten Materialien, bildlichen Darstellungen sowie Papier und Bleistift.
                                                • Algebra I
                                                  • A.01 Der Student wird mehrstufige lineare Gleichungen und Ungleichungen in einer Variablen lösen, wörtliche Gleichungen (Formeln) für eine gegebene Variable lösen und diese Fähigkeiten anwenden, um praktische Probleme zu lösen. Graphische Taschenrechner werden verwendet, um algebraische Lösungen zu bestätigen.
                                                  • A.03 Der Student wird Schritte begründen, die zum Vereinfachen von Ausdrücken und zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwendet werden. Zu den Begründungen gehören die Verwendung konkreter bildlicher Darstellungen von Objekten und die Eigenschaften reeller Zahlen, Gleichheit und Ungleichheit.

                                                  Lehrbücher ausgerichtet:

                                                  Voraussetzungen für Studierende

                                                  • Arithmetik: Die Studierenden müssen in der Lage sein:
                                                    • addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren
                                                    • das Konzept der Variablen verstehen
                                                    • Variablen und Konstanten separat manipulieren

                                                    Lehrervorbereitung

                                                    Schlüsselbegriffe

                                                    ZusatzDie Operation oder der Prozess der Berechnung der Summe zweier Zahlen oder Mengen
                                                    additiv inversDie Zahl, die, wenn sie zur ursprünglichen Zahl addiert wird, eine Summe von Null ergibt
                                                    AlgorithmusSchritt-für-Schritt-Verfahren, mit dem eine Operation durchgeführt werden kann
                                                    KonstantenIn der Mathematik werden Dinge, die sich nicht ändern, als Konstanten bezeichnet. Die Dinge, die sich ändern, werden Variablen genannt.
                                                    MultiplikationDie Operation, mit der das Produkt zweier Mengen berechnet wird. Eine Zahl b mit c zu multiplizieren bedeutet, b c mal zu sich selbst zu addieren
                                                    multiplikativ inversDie Zahl, die, wenn sie mit der ursprünglichen Zahl multipliziert wird, ein Produkt von eins ergibt
                                                    VariablenIn der Mathematik werden Dinge, die sich ändern können, Variablen genannt. Die Dinge, die sich nicht ändern, werden Konstanten genannt.

                                                    Lektionsübersicht

                                                    Erinnern Sie die Schüler daran, was in früheren Lektionen gelernt wurde, die für diese Lektion relevant sind, und/oder lassen Sie sie über die Wörter und Ideen dieser Lektion nachdenken:

                                                    • Weiß jemand was ein additiv invers ist?
                                                      • Was ist das Wurzelwort in "Additiv"?
                                                      • Wenn wir also etwas hinzufügen, was könnte es bedeuten, das "Umgekehrte" zu nehmen?
                                                      • Basierend darauf, was denkst du und additiv invers ist?
                                                      • Was ist das Wurzelwort in "multiplikativ"?
                                                      • Da wir bereits wissen, was eine Inverse ist, kann jemand erraten, was a multiplikativ invers könnte sein?
                                                      • Heute werden wir verschiedene Möglichkeiten finden, Gleichungen mit einer einzigen Variablen zu lösen. Wir werden für einen Teil dieser Lektion an Computern arbeiten, aber bitte schalten Sie Ihre Computer nicht ein, bis ich Sie dazu auffordere.
                                                      • Wie viel Geld hat Bernard, wenn er 5 Dollar mehr hat als Andrew und Andrew 10 Dollar hat?
                                                      • Wie viel Geld hat Cole, wenn er doppelt so viel hat wie Bernard?
                                                      • Wie viel Geld haben Dave, Ellen und Fitzgerald, wenn Sie die folgenden Dinge wissen:
                                                        • Dave hat 2 Dollar mehr als doppelt so viel wie Ellen
                                                        • Ellen hat 8 Dollar weniger als halb so viel wie Fitzgerald
                                                        • Fitzgerald hat 20 Dollar weniger als Cole
                                                        • Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen?
                                                        • Wie sollte eine vereinfachte Gleichung aussehen? Wo sind die Variablen und wo sind die Konstanten?
                                                        • Wie können wir Variablen oder Konstanten von einer Seite der Gleichung auf die andere verschieben?
                                                        • Was können wir tun, wenn wir so etwas wie "2x" oder "10x" haben und nur "x" wollen?

                                                        Navigieren Sie zu Gleichungslöser und wählen Sie eine zu lösende Gleichung aus. Um die besten Ergebnisse zu erzielen, wählen Sie eine relativ schwierige Gleichung, um sicherzustellen, dass es zahlreiche Möglichkeiten gibt, sie zu lösen.

                                                        • Bitten Sie die Schüler, Sie Schritt für Schritt zu führen, um die Gleichung zu lösen.
                                                          • Stellen Sie sicher, dass die Schüler verstehen, wie sie ihre Schritte als additiv invers oder multiplikativ invers bezeichnen.
                                                          • Weisen Sie auf die Tatsache hin, dass der Gleichungslöser auf beiden Seiten der Gleichung immer das Gleiche macht. Dies ist für die Schüler wichtig, sich daran zu erinnern, wenn sie Gleichungen ohne Computerhilfe lösen.
                                                          • Hinweis: Auch wenn die Schüler Algorithmen vorschlagen, die manchmal nicht funktionieren, können sie sie dennoch ausprobieren, um zu sehen, warum und wie ihre Algorithmen nicht funktionieren.
                                                          • Lassen Sie die Schüler dabei das Arbeitsblatt ausfüllen und notieren Sie die Anzahl der Schritte, die sie benötigen, um jede Gleichung zu lösen, im Vergleich zur empfohlenen Mindestanzahl von Schritten.
                                                          • Je nach Größe und Anzahl der Gruppen lassen Sie entweder jede Gruppe einige Gleichungen mit jedem Algorithmus lösen oder jede Gruppe Gleichungen mit nur einem Algorithmus lösen und dann zwischen den Gruppen vergleichen.
                                                          • Welcher Algorithmus hat die Gleichungen in den wenigsten Schritten für Level-1-Probleme gelöst? Level 2? Stufe 3? Gesamt?
                                                          • Haben Ihnen alle Algorithmen geholfen, die richtige Lösung zu finden, oder haben einige die Gleichung nicht gelöst?
                                                          • War einer der Algorithmen besonders einfach zu verwenden und zu merken?
                                                          • Häufige Missverständnisse darüber, ob es wichtig ist, Variablen auf die linke vs. rechte Seite der Gleichung zu setzen
                                                          • Zuerst multiplizieren oder addieren
                                                          • Wie man einen Bruch durch die Verwendung von Kehrwerten multipliziert

                                                          Alternative Gliederung

                                                          • Schüler mit weniger Erfahrung beim Lösen von Gleichungen können von einem von Lehrern präsentierten Algorithmus zum Lösen von Gleichungen als Grundlage für ihre eigenen Algorithmen profitieren
                                                          • Um diese Lektion mit Statistiken zu kombinieren, lassen Sie jede Gruppe die Anzahl der Schritte, die sie zurückgelegt hat, mit der optimalen Anzahl von Schritten vergleichen, um die Wirksamkeit verschiedener Algorithmen numerisch zu vergleichen

                                                          Vorgeschlagenes Follow-up

                                                          Um das Lösen von Gleichungen zu vertiefen und zu üben, lassen Sie die Schüler in Algebra Quiz oder Algebra Four antreten.


                                                          Eine erste Lektion in Algebra: Gleichungen lösen

                                                          Eine der ersten Lektionen in Algebra ist das Lösen von Gleichungen. Dies ist die Grundlage der Algebra und viele andere Lektionen, die in Algebra gelehrt werden, basieren auf dem Wissen dieser Fertigkeit. Ihr erster Absatz.

                                                          Was ist also eine Gleichung?

                                                          Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage, die zeigt, dass zwei Mengen sind gleich.

                                                          Beispielsweise, 6 + 3 = 9. Dies ist eine Gleichung, die zeigt, dass der Ausdruck 6+3 gleich der Menge 9 ist.

                                                          In der Algebra ist jedoch einer der Begriffe normalerweise unbekannt und eine Variable (Buchstabe) wird an seiner Stelle verwendet. Beispielsweise, x + 3 = 9 ist eine Algebragleichung. Wir müssen diese Gleichung lösen, um den Wert von x zu bestimmen.

                                                          Ich werde Ihnen beibringen, wie man viele Arten von Gleichungen löst. Wir beginnen mit der grundlegenden algebraischen Gleichung, deren Lösung nur einen Schritt umfasst. Von dort aus gehen wir zu zweistufigen Gleichungen über. Ich werde dir sogar beibringen, wie man Gleichungen löst, die Brüche enthalten. Sie sehen gruselig aus, sind aber wirklich nicht schlecht.

                                                          Dann gehen wir zu Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten über und schreiben Gleichungen basierend auf Wortaufgaben. Wir werden alles abdecken - also setzen Sie Ihre Denkmütze auf und machen Sie sich bereit, Gleichungen zu lösen.

                                                          Klicken Sie auf die jeweilige Lektion, bei der Sie möglicherweise Hilfe benötigen, oder folgen Sie den Anweisungen, um die gesamte Einheit abzuschließen. Viel Glück!


                                                          Schau das Video: Ligninger - løs en gåde - Matematik FED (Oktober 2021).