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6.1: Gleichungen in einer Variablen


6.1: Gleichungen in einer Variablen

Im obigen Beispiel können die Gesamtkosten für die Anmietung eines viersitzigen Autos von Mumbai nach Pune ermittelt werden, indem eine algebraische Gleichung in einer Variablen gebildet wird, wie unten gezeigt.

Die Entfernung zwischen Mumbai und Pune beträgt x km.
Dann können die verfügbaren Informationen in Gleichungsform dargestellt werden als:

(Total Charges=Booking Charges: +: left [ Ride Charge Per Kilometer imes Distance Zurückgelegte ight ])

Daher ist die Gleichung eine Aussage, die besagt, dass die beiden algebraischen Ausdrücke gleich sind.
Nehmen wir an, die Gesamtladungen seien ₹ 2000, dann

(daher Rs.2000=Rs.200+links [ Rs.10mal x: kms ight ])
2000=200+10x

Die oben gezeigte Gleichungsform ist als bekannt lineare Gleichung in einer Variablen seit es hat nur eine Variable, d.h. x, und sein höchste Macht oder Grad ist eins.

  1. Der Wert der Variablen, der die gegebene Gleichung erfüllt, heißt Lösung der Gleichung.
  2. Eine Gleichung zu lösen bedeutet, die Lösung der Gleichung zu finden.
  3. Eine Gleichung bleibt unverändert, wenn:
    (i) Auf jeder Seite der Gleichung wird dieselbe Zahl hinzugefügt.
    z.B. x − 6 = 8
    ⇒ x − 6 + 6 = 8 + 6 [Hinzufügen von 6 auf beiden Seiten]
    x = 14
    (ii) Von jeder Seite der Gleichung wird dieselbe Zahl abgezogen.
    z.B. x − 6 = 8
    ⇒ x − 6 − 6 = 8 − 6 [Abzug von 6 auf beiden Seiten]
    x = 2
    (iii) Auf jeder Seite der Gleichung wird dieselbe Zahl multipliziert.
    z.B. x = 3
    ⇒ (frac<2> imes 2=3 imes 2) [Multiplikation von 2 auf beiden Seiten]
    x = 6
    (iv) Auf jeder Seite der Gleichung wird dieselbe Zahl ungleich Null geteilt.
    z.B. 5x = 15
    ⇒ (frac<5x><5>=frac<15><5>) [Beide Seiten durch 5] teilen
    x = 3

6.1 Lineare Gleichungssysteme (2 Variablen)

Wir stellen zwei Ansätze zur Lösung von linearen Gleichungssystemen zweier Variablen vor. Die erste ist die Substitution. Hier lösen wir in einer Gleichung nach einer Variablen auf, sagen wir y, und setzen dann den Ausdruck äquivalent zu y in die andere Gleichung ein. Dies hinterlässt eine Gleichung, die nur x-es enthält, die mit den Techniken, die wir in Kapitel 1 gelernt haben, gelöst werden kann. Sobald wir wissen, was x ist, können wir die erste Gleichung verwenden, um nach dem passenden y zu lösen.

Hier ist ein Arbeitsblatt mit Gleichungssystemen, die Sie mit der Substitutionsmethode erstellen können.

Die zweite Methode heißt Elimination. Hier multiplizieren wir eine oder mehrere der Gleichungen mit Zahlen, sodass beim Addieren eine der Variablen verschwindet. Dadurch verbleibt eine Gleichung mit nur einer Variablen, wie bei der vorherigen Methode.

Hier ist ein Arbeitsblatt, um das Lösen von Gleichungssystemen mit zwei Variablen durch Eliminierung zu üben.


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ML Aggarwal Klasse 10 Lösungen für ICSE Maths Kapitel 6 Quadratische Gleichungen in einer Variablen Kapitel Test

Diese Lösungen sind Teil von ML Aggarwal Class 10 Solutions for ICSE Maths. Hier haben wir ML Aggarwal Klasse 10 Lösungen für ICSE Maths Kapitel 6 Quadratische Gleichungen in einem Variablen Kapitel Test gegeben

Lösen Sie die folgenden Gleichungen (1 bis 4) durch Faktorisieren:

Frage 1.
(i) x² + 6x – 16 = 0
(ii) 3x² + 11x + 10 = 0
Lösung:
x² + 6x – 16 = 0
=> x² + 8x – 2x – 16 = 0
x (x + 8) – 2 (x + 8) = 0

Frage 2.
(i) 2x² + ax – a² = 0
(ii) √3x² + 10x + 7√3 = 0
Lösung:
(i) 2x² + ax – a² = 0
=> 2x² + 2ax – Axt – a² = 0

Frage 3.
(i) x(x + 1) + (x + 2) (x + 3) = 42
(ii) (frac < 6 > < x >-frac < 2 > < x-1 >=frac < 1 > < x-2 >)
Lösung:
(i) x(x + 1) + (x + 2) (x + 3) = 42
2x² + 6x + 6 – 42 = 0

Frage 4.
(i)(sqrt < x+15 >=x+3 )
(ii)(sqrt < < 3x >^< 2 >-2x-1 > =2x-2)
Lösung:
(i)(sqrt < x+15 >=x+3 )
Quadrieren auf beiden Seiten
x + 15 = (x + 3)²


Lösen Sie die folgenden Gleichungen (5 bis 8) mit der Formel:

Frage 5.
(i) 2x² – 3x – 1 = 0
(ii) (xleft( 3x+frac < 1 > < 2 > ight) =6)
Lösung:
(i) 2x² – 3x – 1 = 0
Hier a = 2, b = – 3, c = – 1

Frage 6.
(i) (frac < 2x+5 > < 3x+4 >=frac < x+1 > < x+3 >)
(ii) (frac < 2 > < x+2 >-frac < 1 > < x+1 >=frac < 4 > < x+4 >-frac < 3 > < x+3 >)
Lösung:
(i) (frac < 2x+5 > < 3x+4 >=frac < x+1 > < x+3 >)
(2x + 5)(x + 3) = (x + 1)(3x + 4)


Frage 7.
(i) (frac < 3x-4 > < 7 >+frac < 7 > < 3x-4 >=frac < 5 > < 2 >,x eq frac < 4 > < 3 >)
(ii) (frac < 4 > < x >-3=frac < 5 > < 2x+3 >,x eq 0,-frac < 3 > < 2 >)
Lösung:
(i) (frac < 3x-4 > < 7 >+frac < 7 > < 3x-4 >=frac < 5 > < 2 >,x eq frac < 4 > < 3 >)
sei (frac < 3x-4 > < 7 >) = y,dann


Frage 8.
(i)x² + (4 – 3a)x – 12a = 0
(ii)10ax² – 6x + 15ax – 9 = 0,a≠0
Lösung:
(i)x² + (4 – 3a)x – 12a = 0
Hier a = 1,b = 4 – 3a,c = – 12a


Frage 9.
Löse nach x mit der quadratischen Formel auf. Schreiben Sie Ihre Antwort in zwei signifikante Zahlen richtig: (x – 1)² – 3x + 4 = 0. (2014)
Lösung:
(x – 1)² – 3x + 4 = 0
x² + 1 – 2x – 3x + 4 = 0

Frage 10.
Diskutieren Sie die Natur der Wurzeln der folgenden Gleichungen:
(i) 3x² – 7x + 8 = 0
(ii) x² – ( frac < 1 > < 2 >x) – 4 = 0
(iii) 5x² – 6√5x + 9 = 0
(iv) √3x² – 2x – √3 = 0
Lösung:
(i) 3x² – 7x + 8 = 0
Hier a = 3, b = – 7,c = 8

Frage 11.
Finden Sie die Werte von k so, dass die quadratische Gleichung (4 – k) x² + 2 (k + 2) x + (8k + 1) = 0 gleiche Wurzeln hat.
Lösung:
(4 – k) x² + 2 (k + 2) x + (8k + 1) = 0
Hier a = (4 – k), b = 2 (k + 2), c = 8k + 1

oder k – 3 = 0, dann k= 3
k = 0, 3 Ans.

Frage 12.
Finden Sie die Werte von m so, dass die quadratische Gleichung 3x² – 5x – 2m = 0 zwei verschiedene reelle Wurzeln hat.
Lösung:
3x² – 5x – 2m = 0
Hier a = 3, b = – 5, c = – 2m

Frage 13.
Finden Sie den/die Wert(e) von k, für die jede der folgenden quadratischen Gleichungen gleiche Wurzeln hat:
(i)3kx² = 4(kx – 1)
(ii)(k + 4)x² + (k + 1)x + 1 =0
Finden Sie auch die Wurzeln für diesen Wert (s) von k in jedem Fall.
Lösung:
(i)3kx² = 4(kx – 1)
=> 3kx² = 4kx – 4
=> 3kx² – 4kx + 4 = 0

Frage 14.
Finden Sie zwei natürliche Zahlen, die sich um 3 unterscheiden und deren Quadrate die Summe 117 haben.
Lösung:
Sei erste natürliche Zahl = x
dann zweite natürliche Zahl = x + 3
Je nach Zustand:
x² + (x + 3)² = 117

Frage 15.
Teile 16 so in zwei Teile, dass das Doppelte des Quadrats des größeren Teils das Quadrat des kleineren Teils um 164 übersteigt.
Lösung:
Sei größerer Teil = x
dann kleinerer Teil = 16 – x
(∵ Summe = 16)
Je nach Bedingung

Frage 16.
Zwei natürliche Zahlen stehen im Verhältnis 3 : 4. Finden Sie die Zahlen, wenn die Differenz zwischen ihren Quadraten 175 beträgt.
Lösung:
Verhältnis in zwei natürlichen Zahlen = 3 : 4
Seien die Zahlen 3x und 4x
Je nach Zustand,

Frage 17.
Zwei Quadrate haben die Seiten A cm und (x + 4) cm. Die Summe ihrer Flächen beträgt 656 cm². Drücken Sie dies als algebraische Gleichung aus und lösen Sie sie, um die Seiten der Quadrate zu finden.
Lösung:
Seite des ersten Quadrats = x cm .
und Seite des zweiten Quadrats = (x + 4) cm
Nun je nach Bedingung,

oder x – 16 = 0 dann x = 16
Seite des ersten Quadrats = 16 cm
und Seite des zweiten Quadrats = 16 + 4 – 4
= 20 cm Ans.

Frage 18.
Die Länge eines rechteckigen Gartens beträgt 12 m mehr als seine Breite. Der Zahlenwert seiner Fläche entspricht dem 4-fachen des Zahlenwerts seines Umfangs. Finden Sie die Maße des Gartens.
Lösung:
Sei Breite = x m
dann Länge = (x + 12) m
Fläche = l × b = x (x + 12) m²
und Umfang = 2 (l + b)
= 2(x + 12 + x) = 2 (2x + 12) m
Je nach Zustand.

Frage 19.
Ein Bauer möchte einen rechteckigen Gemüsegarten von 100 m² anlegen. Da er nur 30 m Stacheldraht bei sich hat, umzäunt er drei Seiten des rechteckigen Gartens und lässt die Verbundmauer seines Hauses als vierten Seitenzaun fungieren. Finden Sie die Abmessungen seines Gartens heraus.
Lösung:
Fläche des rechteckigen Gartens = 100 cm²
Länge Stacheldraht = 30 m
Sei die Länge der Seite gegenüber der Wand = x

Frage 20.
Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 1 m kleiner als das Doppelte der kürzesten Seite. Wenn die dritte Seite 1 m mehr als die kürzeste ist, finden Sie die Seiten des Dreiecks.
Lösung:
Sei die Länge der kürzesten Seite = x m
Länge der Hypotenuse = 2x – 1
und dritte Seite = x + 1
Nun je nach Bedingung,

Frage 21.
Ein 112 cm langer Draht wird zu einem rechtwinkligen Dreieck gebogen. Wenn die Hypotenuse 50 cm lang ist, bestimmen Sie die Fläche des Dreiecks.
Lösung:
Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks = 112 cm
Hypotenuse = 50 cm
∴ Summe der anderen beiden Seiten = 112 – 50 = 62 cm
Sei die Länge der ersten Seite = x
und Länge der anderen Seite = 62 – x

Frage 22.
Auto A fährt x km pro Liter Benzin, während Auto B (x + 5) km pro Liter Benzin fährt.
(i) Notieren Sie die Anzahl der Liter Benzin, die Auto A und Auto B bei einer Entfernung von 400 km verbraucht haben.
(ii) Wenn Auto A beim Zurücklegen von 400 km 4 Liter mehr Benzin verbraucht als Auto B. Schreiben Sie eine Gleichung in A auf und lösen Sie sie, um die Menge an Litern Benzin zu bestimmen, die Auto B für die Fahrt verbraucht.
Lösung:
Fahrstrecke Pkw A in einem Liter = x km
und zurückgelegte Strecke von Auto B in einem Liter = (x + 5) km
(i) Verbrauch von Auto A bei 400 km

Frage 23.
Die Geschwindigkeit eines Bootes in stillem Wasser beträgt 11 km/h. Es kann 12 km flussaufwärts gehen und in 2 Stunden 45 Minuten flussabwärts zum Ausgangspunkt zurückkehren. Finde die Geschwindigkeit des Streams
Lösung:
Geschwindigkeit des Bootes in stillem Wasser =11 km/h
Sei die Geschwindigkeit des Stroms = x km/h.
Zurückgelegte Strecke = 12 km.
Zeitaufwand = 2 Stunden 45 Minuten.

Frage 24.
Durch den Verkauf eines Artikels für Rs. 21, ein Händler verliert so viel Prozent wie der Einstandspreis des Artikels. Finden Sie den Selbstkostenpreis.
Lösung:
S.R eines Artikels = Rs. 21
Lassen Sie Kostenpreis = Rs. x
Dann Verlust = x%

Frage 25.
Ein Mann gab Rs aus. 2800 beim Kauf einer Reihe von Pflanzen zum Preis von Rs x pro Stück. Aufgrund der Anzahl reduzierte der Lieferant den Preis jeder Pflanze um 1 Rupie. Der Mann zahlte schließlich Rs. 2730 und erhielt 10 weitere Pflanzen. x finden.
Lösung:
Ausgegebener Betrag = Rs. 2800
Preis jeder Pflanze = Rs. x
Reduzierter Preis = Rs. (x – 1)

Frage 26.
In vierzig Jahren wird das Alter von Herrn Pratap das Quadrat von dem sein, was es vor 32 Jahren war. Finden Sie sein jetziges Alter heraus.
Lösung:
Sei Partaps gegenwärtiges Alter = x Jahre
40 Jahre daher sein Alter = x + 40
und vor 32 Jahren sein Alter = x – 32
Je nach Bedingung

Hoffnung gegeben ML Aggarwal Klasse 10 Lösungen für ICSE Mathe Kapitel 6 Quadratische Gleichungen in einer Variablen Kapitel Test sind hilfreich, um Ihre Mathe-Hausaufgaben zu vervollständigen.

Wenn Sie Zweifel haben, kommentieren Sie bitte unten. APlusTopper versucht, Ihnen Online-Mathe-Nachhilfe anzubieten.


WEITERE LÖSUNGEN VON GLEICHUNGEN

Jetzt kennen wir alle Techniken, die zum Lösen der meisten Gleichungen ersten Grades erforderlich sind. Es gibt keine bestimmte Reihenfolge, in der die Eigenschaften angewendet werden sollen. Einer oder mehrere der folgenden Schritte, die auf Seite 102 aufgeführt sind, können geeignet sein.

  1. Kombiniere gleiche Terme in jedem Glied einer Gleichung.
  2. Schreiben Sie die Gleichung mit der Additions- oder Subtraktionseigenschaft mit allen Termen, die das Unbekannte in einem Element enthalten und allen Termen, die das Unbekannte in dem anderen nicht enthalten.
  3. Kombinieren Sie ähnliche Begriffe in jedem Mitglied.
  4. Verwenden Sie die Multiplikationseigenschaft, um Brüche zu entfernen.
  5. Verwenden Sie die Divisionseigenschaft, um einen Koeffizienten von 1 für die Variable zu erhalten.

Beispiel 1 Lösen Sie 5x - 7 = 2x - 4x + 14.

Lösung Zuerst kombinieren wir gleiche Terme, 2x - 4x, um

Als nächstes fügen wir jedem Mitglied +2x und +7 hinzu und kombinieren ähnliche Begriffe, um zu erhalten

5x - 7 + 2x + 7 = -2x + 14 + 2x + 1

Schließlich dividieren wir jedes Mitglied durch 7, um zu erhalten

Im nächsten Beispiel vereinfachen wir oberhalb des Bruchstrichs, bevor wir die untersuchten Eigenschaften anwenden.

Beispiel 2 Lösen

Lösung Zuerst kombinieren wir gleiche Terme, 4x - 2x, um zu erhalten

Dann addieren wir -3 zu jedem Mitglied und vereinfachen

Als nächstes multiplizieren wir jedes Mitglied mit 3, um zu erhalten

Schließlich teilen wir jedes Mitglied durch 2, um zu erhalten


NCERT-Lösungen für Mathematik der Klasse 6 Kapitel 9 - Lineare Gleichung in einer Variablen

NCERT-Lösungen für Klasse 6 Mathematik Kapitel 9 Lineare Gleichung in einer Variablen werden hier mit einfachen Schritt-für-Schritt-Erklärungen bereitgestellt. Diese Lösungen für Lineare Gleichung in einer Variablen sind bei Schülern der Klasse 6 sehr beliebt für Mathematik Lineare Gleichung in einer Variablen Lösungen sind praktisch, um Ihre Hausaufgaben schnell zu erledigen und sich auf Prüfungen vorzubereiten. Alle Fragen und Antworten aus dem NCERT Book of Class 6 Math Chapter 9 werden hier kostenlos für Sie bereitgestellt. Sie werden auch die werbefreie Erfahrung der NCERT-Lösungen von Meritnation lieben. Alle NCERT-Lösungen für die Klasse Klasse 6 Math werden von Experten erstellt und sind zu 100% genau.

Seite Nr. 139:

Frage 1:

Schreiben Sie jede der folgenden Aussagen als Gleichung:
(i) 5 mal eine Zahl entspricht 40.
(ii) Eine um 8 erhöhte Zahl entspricht 15.
(iii) 25 überschreitet eine Zahl um 7.
(iv) Eine Zahl überschreitet 5 mal 3.
(v) 5 subtrahiert von dreimal einer Zahl ist 16.
(vi) Wenn 12 von einer Zahl subtrahiert wird, ist das Ergebnis 24.
(vii) Eine zweimal von 19 abgezogene Zahl ist 11.
(viii) Eine durch 8 geteilte Zahl ergibt 7.
(ix) 3 weniger als 4 mal eine Zahl ist 17.
(x) 6-mal eine Zahl ist 5 mehr als die Zahl.

Antworten:

(i) Die erforderliche Zahl sei x.
Das Fünffache der Zahl ist also 5x.
&dort4 5x = 40

(ii) Die erforderliche Zahl sei x.
Wenn es also um 8 erhöht wird, erhalten wir x + 8.
&dort4 x + 8 = 15

(iii) Die erforderliche Zahl sei x.
Wenn also 25 die Zahl überschreitet, erhalten wir 25 - x.
&dort4 25 - x = 7

(iv) Die erforderliche Zahl sei x.
Wenn die Zahl 5 überschreitet, erhalten wir x - 5.
&dort4 x - 5 = 3

(v) Die erforderliche Zahl sei x.
Also dreimal wird die Zahl 3x sein.
&dort4 3x - 5 = 16

(vi) Die erforderliche Zahl sei x.
Also, 12 von der Zahl subtrahiert ist x - 12.
&dort4 x - 12 = 24

(vii) Die erforderliche Zahl sei x.
Die doppelte Zahl ist also 2x.
&dort4 19 - 2x = 11

(viii) Die erforderliche Zahl sei x.
Die Zahl, wenn sie durch 8 geteilt wird, ist also x 8 .
&dort4 x 8 = 7

(ix) Die erforderliche Zahl sei x.
Das Vierfache der Zahl wird also 4x sein.
&dort4 4x - 3 = 17

(x) Die gesuchte Zahl sei x.
Das 6-fache der Zahl ist also 6x.
&dort4 6x = x + 5

Seite Nr. 140:

Frage 2:

Schreiben Sie eine Aussage für jede der unten angegebenen Gleichungen:
(ich) x &minus 7 = 14
(ii) 2ja = 18
(iii) 11 + 3x = 17
(iv) 2x &minus 3 = 13
(v) 12ja &minus 30 = 6
(vi) 2 z 3 = 8

Antworten:

(i) 7 weniger als die Zahl x gleich 14.
(ii) Zweimal ist die Zahl y gleich 18.
(iii) 11 mehr als dreimal die Zahl x gleich 17.
(iv) 3 weniger als das Doppelte der Zahl x gleich 13.
(v) 30 weniger als das 12-fache der Zahl y gleich 6.
(vi) Wenn das Doppelte der Zahl z durch 3 geteilt wird, ist sie gleich 8.

Seite Nr. 140:

Frage 3:

Überprüfen Sie durch Substitution, dass
(i) die Wurzel von 3x &minus 5 = 7 ist x = 4
(ii) die Wurzel von 3 + 2x = 9 ist x = 3
(iii) die Wurzel von 5x &minus 8 = 2x &minus 2 ist x = 2
(iv) die Wurzel von 8 &minus 7ja = 1 ist ja = 1
(v) die Wurzel von z 7 = 8 ist z = 56

Antworten:

3 x   -   5   =   7 Ersetzen von   x   =   4     in   das   gegeben   Gleichung: L. H . S .   :   3 × 4   - 5 o r ,   12   -   5   =   7   =   R . H . S . L . H . S .   =   R . H . S .   Daher ist     x   =   4       die   Wurzel   von   die   gegeben &# 160 Gleichung .  

3   +   2 x =   9 S u b s t i t u t i n g   x   =   3   i n   t h   g i v e n   e q u a t i o n : L . H . S .   :   3   +   2 × 3 oder ,     3   +   6   =   9   = & # 160 R . H . S .   L . H . S .   =   R . H . S .   Daher ist     x   =   3       die   Wurzel   von   die   gegeben &# 160 Gleichung .  

8   -   7 y   =   1   Ersetzen   y   =   1     in   das   gegeben   Gleichung: L. H . S .   :   8  -7 × 1 oder   8   -   7   =   1   =   R . H . S .   L . H . S .   =   R . H . S .   H e n z ,   y   = 1     i s   d e   r o t   d   d e   g i v e n   e q u a t i o n .  

z 7   =   8   S u b s t i t u t i n g   z   =   56   i n   d e   g i v e n   e q u a t i o n : L . H . S .   :   56 7   =   8   = R . H . S . L . H . S .   =   R . H . S .   H e n z ,   z   = 56     i s   d e   r o t   d   d e   g i v e n   e q u a t i o n .

Seite Nr. 140:

Frage 4:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen nach der Trial-and-Error-Methode:
(ich) ja + 9 = 13
(ii) x &minus 7 = 10
(iii) 4x = 28
(iv) 3ja = 36
(v) 11 + x = 19
(vi) x 3 = 4
(vii) 2x &minus 3 = 9
(viii) 1 2 x   +   7   =   11
(ix) 2ja + 4 = 3ja
(x) z &minus 3 = 2z &minus 5

Antworten:

(i) y + 9 = 13
Wir probieren mehrere Werte von y aus, bis wir die L.H.S. gleich dem R.H.S.

(ii) x &minus 7= 10
Wir probieren mehrere Werte von x aus, bis wir die L.H.S. gleich dem R.H.S.

x L.H.S. R.H.S. Ist L.H.S. = R.H.S.?
10 10 & minus 7 = 3 10 Nein
11 11 & minus 7 = 4 10 Nein
12 12 & minus 7 = 5 10 Nein
13 13 & minus 7 = 6 10 Nein
14 14 & minus 7 = 7 10 Nein
15 15 & minus 7 = 8 10 Nein
16 16 & minus 7 = 9 10 Nein
17 17 & minus 7 = 10 10 Jawohl

(iii) 4x = 28
Wir probieren mehrere Werte von x aus, bis wir die L.H.S. gleich dem R.H.S.

x L.H.S. R.H.S. Ist L.H.S. = R.H.S.?
1 4 × 1 = 4 28 Nein
2 4 × 2 = 8 28 Nein
3 4 × 3 = 12 28 Nein
4 4 × 4 = 16 28 Nein
5 4 × 5 = 20 28 Nein
6 4 × 6 = 24 28 Nein
7 4 × 7 = 28 28 Jawohl

(iv) 3ja = 36
Wir probieren mehrere Werte von x aus, bis wir die L.H.S. gleich dem R.H.S.

ja L.H.S. R.H.S. Ist L.H.S. = R.H.S.?
6 3 × 6 = 18 36 Nein
7 3 × 7 = 21 36 Nein
8 3 × 8 = 24 36 Nein
9 3 × 9 = 27 36 Nein
10 3 × 10 = 30 36 Nein
11 3 × 11 = 33 36 Nein
12 3 × 12 = 36 36 Jawohl

(v) 11 + x = 19
Wir probieren mehrere Werte von x aus, bis wir die L.H.S. gleich dem R.H.S.

x L.H.S. R.H.S. Ist L.H.S. = R.H.S.?
1 11 + 1 = 12 19 Nein
2 11 + 2 = 13 19 Nein
3 11 + 3 = 14 19 Nein
4 11 + 4 = 15 19 Nein
5 11 + 5 = 16 19 Nein
6 11 + 6 = 17 19 Nein
7 11 + 7 = 18 19 Nein
8 11 + 8 = 19 19 Jawohl

(vi) x 3   =   4
Da R.H.S. ist eine natürliche Zahl, also L.H.S. muss auch eine natürliche Zahl sein. Also muss x ein Vielfaches von 3 sein.

Wir probieren mehrere Werte von x aus, bis wir die L.H.S. gleich dem R.H.S.

x L.H.S. R.H.S. Ist L.H.S. = R.H.S.?
1 2 × 1 &minus 3 = &minus1 9 Nein
2 2 × 2 &minus 3 = 1 9 Nein
3 2 × 3 &minus 3 = 3 9 Nein
4 2 × 4 &minus 3 = 5 9 Nein
5 2 × 5 &minus 3 = 7 9 Nein
6 2 × 6 &minus 3 = 9 9 Jawohl

(viii) 1 2 x   +   7   =   11
Da R.H.S. ist eine natürliche Zahl, also L.H.S. muss eine natürliche Zahl sein. Daher versuchen wir Werte, wenn x ein Vielfaches von 'x' ist

(ix) 2ja + 4 = 3ja
Wir probieren mehrere Werte von y aus, bis wir die L.H.S. gleich dem R.H.S.

ja L.H.S. R.H.S. Ist L.H.S. = R.H.S.?
1 2 × 1 + 4 = 6 3 × 1 = 3 Nein
2 2 × 2 + 4 = 8 3 × 2 = 6 Nein
3 2 × 3 + 4 = 10 3 × 3 = 9 Nein
4 2 × 4 + 4 = 12 3 × 4 = 12 Jawohl

(x) z &minus 3 = 2z &minus 5
Wir probieren mehrere Werte von z aus, bis wir die L.H.S. gleich dem R.H.S.

Seite Nr. 143:

Frage 1:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
x
+ 5 = 12

Antworten:

Subtrahieren von 5 von beiden Seiten:
&rArr x + 5 &minus 5 = 12 &minus 5
&rArrx = 7
Überprüfung:
Ersetzen von x = 7 in der L.H.S.:
&rArr 7 + 5 = 12 = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
Daher verifiziert.

Seite Nr. 143:

Frage 2:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
x
+ 3 = &minus2

Antworten:

Subtrahieren von 3 von beiden Seiten:
&rArr x + 3 &minus 3 = &minus2 &minus 3
&rArr x = &minus5

Überprüfung:
Ersetzen von x = &minus5 in der L.H.S.:
&rArr &minus5 + 3 = &minus2 = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
Daher verifiziert.

Seite Nr. 143:

Frage 3:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
x
&minus 7 = 6

Antworten:

x &minus 7 = 6
Hinzufügen von 7 auf beiden Seiten:
&rArr x &minus 7 + 7 = 6 + 7
&rArrx = 13

Überprüfung:
Ersetzen von x = 13 in der L.H.S.:
&rArr 13 &minus 7 = 6 = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
Daher verifiziert.

Seite Nr. 143:

Frage 4:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
x
&minus 2 = &minus 5

Antworten:

2 auf beiden Seiten hinzufügen:
&rArr x &minus 2 + 2 = &minus5 + 2
&rArr x = &minus3
Überprüfung:
Ersetzen von x = &minus3 in der L.H.S.:
&rArr &minus3 &minus 2 = &minus5 = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
Daher verifiziert.

Seite Nr. 143:

Frage 5:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
3x &minus 5 = 13

Antworten:

3x &minus 5 = 13
&rArr 3x &minus 5 + 5 = 13 + 5 [Hinzufügen von 5 auf beiden Seiten]
&rArr 3x = 18
&rArr 3 x 3   =   18 3 [Beide Seiten durch 3] teilen
&rArr x = 6
Überprüfung:
Ersetzen von x = 6 in der L.H.S.:
&rArr 3 × 6 &minus 5 = 18 &minus 5 = 13 = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
Daher verifiziert.

Seite Nr. 143:

Frage 6:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
4x + 7 = 15

Antworten:

4x + 7 = 15
&rArr 4x + 7 &minus 7 = 15 &minus 7 [Subtraktion von 7 von beiden Seiten]
&rArr 4x = 8
&rArr 4 x 4   =   8 4 [Beide Seiten durch 4]
&rArr x = 2
Überprüfung:
Ersetzen von x = 2 in der L.H.S.:
&rArr 4 × 2 + 7 = 8 + 7 = 15 = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
Daher verifiziert.

Seite Nr. 143:

Frage 7:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
x 5 = 12

Antworten:

x 5   =   12
&rArr x 5 × 5     =   12 × 5 [Multiplizieren beider Seiten mit 5]
&rArr x = 60
Überprüfung:
Ersetzen von x = 60 in der L.H.S.:
&rArr 60 5 = 12 = R.H.S.
&rArr L.H.S. = R.H.S.
Daher verifiziert.

Seite Nr. 143:

Frage 8:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
3 x 5 = 15

Antworten:

3 x 5   =   15
&rArr 3 x 5 ×   5     =   15   ×   5 [Beide Seiten mit 5] multiplizieren
&rArr 3x = 75
&rArr 3 x 3   =   75 3
&rArrx = 25
Überprüfung:
Ersetzen von x = 25 in der L.H.S.:
&rArr 3   ×   25 5 = 15 = R.H.S.
&rArr L.H.S. = R.H.S.
Daher verifiziert.

Seite Nr. 143:

Frage 9:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
5x &minus 3 = x + 17

Antworten:

5x &minus 3 = x + 17
&rArr 5x &minus x = 17 + 3 [Transponieren von x in die L.H.S. und 3 zum R.H.S.]
&rArr 4x = 20
&rArr 4 x 4   =   20 4 [Beide Seiten durch 4]
&rArrx = 5
Überprüfung:
Ersetzen von x = 5 auf beiden Seiten:
L.H.S.: 5(5) & minus 3
&rArr 25 &minus 3
&rArr 22

R.H.S.: 5 + 17 = 22
&rArr L.H.S. = R.H.S.
Daher verifiziert.

Seite Nr. 143:

Frage 10:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
2 x - 1 2 = 3

Antworten:

2 x - 1 2   =   3
&rArr 2x - 1 2 + 1 2 = 3 + 1 2 [Hinzufügen von 1 2 auf beiden Seiten]
&rArr 2x = 6   +   1 2
&rArr 2x = 7 2
&rArr 2 x 2   =   7 2   ×   2 [Beide Seiten durch 3] teilen
&rArr x = 7 4
Überprüfung:
Ersetzen von x = 7 4 in der L.H.S.:
2 7 4   -   1 2 =   7 2   -   1 2   =   6 2   =   3   = &# 160 R . H . S .
L.H.S. = R.H.S.
Daher verifiziert.

Seite Nr. 143:

Frage 11:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
3(x + 6) = 24

Antworten:

3(x + 6) = 24
&rArr 3 × x   +   3 × 6   =   24 [Beim Erweitern der Klammern]
&rArr 3x + 18 = 24
&rArr 3x + 18 - 18 = 24 - 18 [Abziehen von 18 von beiden Seiten]
&rArr 3x = 6
&rArr 3 x 3   =   6 3 [Beide Seiten durch 3]
&rArr x = 2
Überprüfung:
Ersetzen von x = 2 in der L.H.S.:
3(2 + 6) = 3 × 8 = 24 = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
Daher verifiziert.

Seite Nr. 143:

Frage 12:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
6x + 5 = 2x + 17

Antworten:

6x + 5 = 2x + 17
⇒ 6x - 2x = 17 - 5 [Transponieren 2x in die L.H.S. und 5 zum R.H.S.]
⇒ 4x = 12
⇒ 4 x 4 =   12 4 [Beide Seiten durch 4 teilen]
⇒ x = 3
Überprüfung:
Ersetzen von x = 3 auf beiden Seiten:
L.H.S.: 6(3) + 5
=18 + 5
=23
RH: 2(3) + 17
= 6 + 17
= 23
L.H.S. = R.H.S.
Daher verifiziert.

Seite Nr. 143:

Frage 13:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
x 4 - 8 = 1

Antworten:

x 4 -   8   =   1
⇒ x 4 -   8   +   8   =   1   +   8 [Hinzufügen von 8 auf beiden Seiten]
⇒ x 4   =   9
⇒ x 4   ×   4   =   9   ×   4 [Multiplizieren beider Seiten mit 4]
oder x = 36
Überprüfung:
Ersetzen von x = 36 in der L.H.S.:
oder 36 4   -   8 = 9 &minus 8 = 1 = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
Daher verifiziert.

Seite Nr. 143:

Frage 14:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
x 2 = x 3 + 1

Antworten:

x 2   =   x 3   +   1
⇒ x 2   -   x 3   =   1 [Transponieren x 3 nach links]
⇒ 3 x   -   2 x 6   =   1
⇒ x 6   =   1
⇒ x 6   ×   6   =   1   ×   6 [Multiplizieren beider Seiten mit 6]
oder x = 6
Überprüfung:
Ersetzen von x = 6 auf beiden Seiten:
L.H.S.: 6 2   = 3
R.H.S.: 6 3   +   1 = 2 + 1 = 3
L.H.S. = R.H.S.
Daher verifiziert.

Seite Nr. 143:

Frage 15:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
3(x + 2) & minus 2 (x &minus 1) = 7

Antworten:

3(x + 2) & minus 2 (x &minus 1) = 7
⇒ 3 × x   +   3 × 2   -   2 × x   - 2 × ( - 1 )   = &# 160 7 [Beim Erweitern der Klammern]
oder 3x + 6 - 2x + 2 = 7
oder x + 8 = 7
oder x + 8 - 8 = 7 - 8 [Subtraktion von 8 von beiden Seiten]
oder x = - 1
Überprüfung:
Ersetzen von x = - 1 in der L.H.S.:
3 ( - 1 + 2 )   - 2 ( - 1 - 1 ) oder ,   3 ( 1 )   - 2 ( - 2 ) oder ,   3   +   4   =   7   =   R . H . S .
L.H.S. = R.H.S.
Daher verifiziert.

Seite Nr. 143:

Frage 16:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:

Antworten:

5(x-1) +2(x+3) + 6 = 0
⇒ 5x -5 +2x +6 +6 = 0 (Erweiterung innerhalb der Klammern)
⇒ 7x +7 = 0
⇒ x +1 = 0 (durch 7) teilen
⇒ x = -1

Überprüfung:
Setzen von x = -1 in die L.H.S.:
Linksh.: 5(-1 -1) + 2(-1 + 3) + 6
= 5(-2) + 2(2) + 6
= -10 + 4 + 6 = 0 = R.H.S.

Seite Nr. 143:

Frage 17:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
6(1 &minus 4x) + 7(2 + 5x) = 53

Antworten:

6(1 &minus 4x) + 7(2 + 5x) = 53
oder, 6   ×   1   -   6   ×   4 x   +   7   ×   2   +   7   ×   5 x   =   53 [Beim Erweitern der Klammern]
oder, 6 - 24x + 14 + 35x = 53
oder, 11x + 20 = 53
oder, 11x + 20 - 20 = 53 - 20 [Abziehen von 20 von beiden Seiten]
oder, 11x = 33
oder, 11 x 11 =   33 11 [Beide Seiten durch 11 teilen]
oder x = 3
Überprüfung:
Ersetzen von x = 3 in der L.H.S.:
6 ( 1   -   4   ×   3 )   +   7 ( 2   +   5   ×   3 ) ⇒ 6 ( 1   -   12 )   +   7 ( 2   +   15 ) ⇒ 6 ( - 11 )   +   7 ( 17 ) ⇒ - 66   +   119     =   53   =   R . H . S .

Seite Nr. 143:

Frage 18:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
16(3x &minus 5) &minus 10(4x &minus 8) = 40

Antworten:

16(3x &minus 5) &minus 10(4x &minus 8) = 40
oder, 16   ×   3 x   -   16   ×   5   - 10   ×   4 x &# 160 -   10   ×   ( - 8 )   =   40 [Beim Erweitern der Klammern]
oder 48x - 80 - 40x + 80 = 40
oder, 8x = 40
oder, 8 x 8 = 40 8 [Beide Seiten durch 8] teilen
oder x = 5
Überprüfung:
Ersetzen von x = 5 in der L.H.S.:

Seite Nr. 143:

Frage 19:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
3(x + 6) + 2(x + 3) = 64

Antworten:

3(x + 6) + 2(x + 3) = 64
⇒ 3 &mal x + 3 &mal 6 + 2 &mal x + 2 &mal 3 = 64 [Beim Erweitern der Klammern]
⇒ 3x + 18 + 2x + 6 = 64
&rArr5x + 24 = 64
&rArr5x + 24 - 24 = 64 - 24 [24 von beiden Seiten subtrahieren]
&rArr5x = 40
&rArr 5 x 5   =   40 5 [Beide Seiten durch 5] teilen
&rArrx = 8
Überprüfung:
Ersetzen von x = 8 in der L.H.S.:
3 ( 8   +   6 )   +   2 ( 8   +   3 ) 3 ( 14 )   +   2 ( 11 ) 42   +   22   =   64   =   R . H . S .

Seite Nr. 143:

Frage 20:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
3(2 &minus 5x) &minus 2(1 &minus 6x) = 1

Antworten:

3(2 &minus 5x) &minus 2(1 &minus 6x) = 1
oder, 3 &mal 2 + 3 &mal (&minus5x) &minus 2 &mal 1 &minus 2 &mal (&minus6x) = 1 [Beim Erweitern der Klammern]
oder 6 &minus 15x &minus 2 + 12x = 1
oder, 4 - 3x = 1
oder 3 = 3x
oder x = 1

Überprüfung:
Ersetzen von x = 1 in der L.H.S.:
3 ( 2   -   5   ×   1 )   -   2 ( 1   -   6   ×   1 ) ⇒ 3 ( 2   -   5 )   -   2 ( 1 -   6 ) ⇒ 3 ( - 3 )   - 2 ( - 5 ) & #8658 - 9   +   10   =   1   =   R . H . S .
L.H.S. = R.H.S.
Daher verifiziert.

Seite Nr. 143:

Frage 21:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
n 4 - 5 = n 6 + 1 2

Antworten:

n 4 - 5   =   n 6   +   1 2
oder, n 4   -   n 6   =   1 2   +   5       [Transponieren von n/6 in die L.H.S. und 5 zum R.H.S.]
oder 3 n - 2 n 12   =   1 + 10 2
oder, n 12   =   11 2
oder, n 12 × 12   =   11 2 × 12 [Beide Seiten durch 12 teilen]
oder, n = 66
Überprüfung:
Einsetzen von n = 66 auf beiden Seiten:

L.H.S.:
66 4 - 5   = 33 2   -   5     = 33   -   10 2   = 23 2   =   23 2   R . H . S . :   66 6 + 1 2 =   11   +   1 2   =   22 + 1 2 =   23 2  
L.H.S. = R.H.S.
Daher verifiziert.

Seite Nr. 143:

Frage 22:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
2 m 3 +   8 = m 2 - 1

Antworten:

2 m 3   +   8   =   m 2 -   1
oder 2 m 3   -   m 2   =   - 1   - 8 und 8 zum R.H.S.]
oder ,   4 m - 3 m 6   =   - 9 oder ,   m 6   =   - 9
oder m 6 × 6   =   - 9 × 6 [Multiplizieren beider Seiten mit 6]
oder m = - 54
Überprüfung:
Ersetzen von x = &minus54 auf beiden Seiten:

L . H . S . :   2 ( - 54 ) 3   +     8   =   - 54 2 - 1 =   - 108 3   +   8 &# 160 =   - 36 +   8   =   - 28     R . H . S . : - 54 2 - 1   =   - 27   -   1 =   - 28
L.H.S. = R.H.S.
Daher verifiziert.

Seite Nr. 143:

Frage 23:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
2 x 5 - 3 2 = x 2 + 1

Antworten:

2 x 5   - 3 2   =   x 2   +   1
oder 2 x 5 -   x 2   =   1 +   3 2 [Transponieren von x/2 in die L.H.S. und 3/2 zu R.H.S.]
o r ,   4 x - 5 x 10 =   2 + 3 2 o r ,   - x 10   =   5 2
o r ,   - x 10 ( - 10 )   = 5 2   × ( - 10 ) [Multiplizieren beider Seiten mit &minus10]
oder x = &minus25
Überprüfung:
Ersetzen von x = &minus25 auf beiden Seiten:
L . H . S . :   2 ( - 25 ) 5   -   3 2   =   - 50 5   -   3 2     =   - 10   -   3 2   =   - 23 2 R . H . S . :   - 25 2 +   1 =   - 25   +   2 2   =   - 23 2
L.H.S. = R.H.S.
Daher verifiziert.

Seite Nr. 143:

Frage 24:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
x - 3 5 - 2 = 2 x 5

Antworten:

x - 3 5   -   2   =   2 x 5  
oder, x 5 -   3 5   - 2   =   2 x 5
oder, -   3 5 -   2   =   2 x 5 - x 5 [Transponieren von x/5 in die rechte Seite]
oder, - 3 -   10 5   =   x 5
oder, - 13 5   =   x 5
oder, - 13 5 ( 5 )   = x 5   × ( 5 ) [Beide Seiten mit 5] multiplizieren
oder x = &minus13
Überprüfung:
Ersetzen von x = &minus13 auf beiden Seiten:
L . H . S . :   - 13   -   3 5   -   2   = - 16 5   -   2 =   - 16   - &# 160 10 5   =   - 26 5 R . H . S . :   2 × ( - 13 ) 5     =   - 26 5    

Seite Nr. 143:

Frage 25:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
3 x 10 - 4 = 14

Antworten:

3 x 10   -   4   =   14  
oder 3 x 10 -   4     +   4 =   14   +   4 [4 auf beiden Seiten addieren]
oder 3 x 10   =   18
oder 3 x 10 × 10   =   18 × 10 [Beide Seiten mit 10 multiplizieren]
oder, 3 x   =   180
oder 3 x 3   =   180 3 [Beide Seiten durch 3] teilen
oder x = 60
Überprüfung:
Ersetzen von x = 60 auf beiden Seiten:
3 × 60 10   -   4   = 180 10   -   4   =   18   -   4   = &# 160 14   =   R . H . S .

Seite Nr. 143:

Frage 26:

Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen und überprüfen Sie die Antwort in jedem Fall:
3 4   ( x   -   1 )   =   x   -   3

Antworten:

3 4 x - 1   =   x   -   3
⇒ 3 4 × x     -   3 4   ×   1 =   x   -   3   [Beim Erweitern die Klammern]
⇒ 3 x 4 -   3 4     =   x   -   3
⇒ 3 x 4 -   x   =   - 3   +   3 4 [Transponieren von x in die L.H.S. und - 3 4 zum R.H.S.]
⇒ 3 x - 4 x 4 =     - 12 + 3 4
⇒ - x 4   =     - 9 4
⇒ - x 4 × - 4   =     - 9 4 × - 4 [Multiplizieren beider Seiten mit -4]
oder x = 9

Überprüfung:
Ersetzen von x = 9 auf beiden Seiten:
L . H . S .  :   3 4 9 - 1   =   3 4 (8)   =   6     R. H . S . :   9   -   3   =   6

Seite Nr. 144:

Frage 1:

Wenn 9 zu einer bestimmten Zahl addiert wird, ist das Ergebnis 36. Finden Sie die Zahl.

Antworten:

Die erforderliche Zahl sei x.
Nach der Frage:
9 + x = 36
oder x + 9 - 9 = 36 - 9 [Subtraktion von 9 von beiden Seiten]
oder x = 27
Somit ist die erforderliche Zahl 27.

Seite Nr. 144:

Frage 2:

Wenn 11 von 4 mal einer Zahl subtrahiert wird, ist das Ergebnis 89. Finde die Zahl.

Antworten:

Die erforderliche Zahl sei x.
Nach der Frage:
4x - 11 = 89
oder, 4x - 11 +11 = 89 + 11 [Hinzufügen von 11 auf beiden Seiten]
oder 4x = 100
oder, 4 x 4   =   100 4 [Beide Seiten durch 4] teilen
oder x = 25
Somit ist die erforderliche Zahl 25.

Seite Nr. 144:

Frage 3:

Finden Sie eine Zahl, die bei Multiplikation mit 5 um 80 erhöht wird.

Antworten:

Die erforderliche Zahl sei x.
Nach der Frage:
oder, 5x = x + 80
oder, 5x - x = 80 [Transponieren von x in die linke Seite]
oder, 4x = 80
oder, 4 x 4   =   80 4 [Beide Seiten durch 4] teilen
oder x = 20
Somit ist die erforderliche Zahl 20.

Seite Nr. 144:

Frage 4:

Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist 114. Finden Sie die Zahlen.

Antworten:

Die drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen seien x, (x+1), (x+2).
Nach der Frage:
x + (x + 1) + (x + 2) = 114
oder x + x + 1 + x + 2 = 114
oder 3x + 3 = 114
oder 3x + 3 - 3 = 114 - 3 [Subtraktion von 3 von beiden Seiten]
oder, 3x = 111
oder 3 x 3   =   111 3 [Beide Seiten durch 3] teilen
oder x = 37
Erforderliche Nummern sind:
x = 37
oder x + 1 = 37 + 1 = 38
oder ,x + 2 = 37 + 2 = 39
Daher sind die erforderlichen Nummern 37, 38 und 39.

Seite Nr. 144:

Frage 5:

Wenn Raju eine bestimmte Zahl mit 17 multipliziert und 4 zum Produkt addiert, erhält er 225. Finden Sie diese Zahl.

Antworten:

Die erforderliche Zahl sei x.
Wenn Raju es mit 17 multipliziert, wird die Zahl 17x.
Nach der Frage:
17x + 4 = 225
oder, 17x + 4 - 4 = 225 - 4 [Subtraktion von 4 von beiden Seiten]
oder 17x = 221
oder, 17 x 17   =   221 17 [Beide Seiten durch 17 teilen]
oder x = 13
Somit ist die erforderliche Zahl 13.

Seite Nr. 144:

Frage 6:

Wenn eine Zahl verdreifacht und das Ergebnis um 5 erhöht wird, erhalten wir 50. Finden Sie die Zahl.

Antworten:

Die erforderliche Zahl sei x.
Laut Frage wird die Zahl verdreifacht und 5 dazu addiert
&dort4 3x + 5
oder 3x + 5 = 50
oder, 3x + 5 - 5 = 50 - 5 [Subtraktion von 5 von beiden Seiten]
oder, 3x = 45
oder, 3 x 3   = 45 3 [Beide Seiten durch 3] teilen
oder x = 15
Die erforderliche Zahl ist also 15.

Seite Nr. 144:

Frage 7:

Finden Sie zwei Zahlen, von denen eine die andere um 18 überschreitet und ihre Summe 92 ist.

Antworten:

Eine der Zahlen sei x.
&ther4 Die andere Zahl = (x + 18)
Nach der Frage:
x + (x + 18) = 92
oder 2x + 18 - 18 = 92 - 18 [Abziehen von 18 von beiden Seiten]
oder 2x =74
oder 2 x 2   =   74 2 [Beide Seiten durch 2] teilen
oder x = 37
Erforderliche Nummern sind:
x = 37
oder x + 18 = 37 + 18 = 55

Seite Nr. 144:

Frage 8:

Eine von zwei Zahlen ist dreimal die andere. Wenn ihre Summe 124 ist, finden Sie die Zahlen.

Antworten:

Lassen Sie eine der Zahlen 'x' . sein
&dort4 Zweite Zahl = 3x
Nach der Frage:
x + 3x = 124
oder 4x = 124
oder 4 x 4   =   124 4 [Beide Seiten durch 4] teilen
oder x = 31
Somit ist die erforderliche Zahl x = 31 und 3x = 3 × 31 = 93.

Seite Nr. 144:

Frage 9:

Finden Sie zwei Zahlen, von denen eine fünfmal so groß ist wie die andere und ihre Differenz beträgt 132.

Antworten:

Eine der Zahlen sei x.
&dort4 Zweite Zahl = 5x
Nach der Frage:
5x - x = 132
oder 4x = 132
oder, 4 x 4   =   132 4 [Beide Seiten durch 4] teilen
oder x = 33
Somit sind die benötigten Zahlen x = 33 und 5x = 5 × 33 = 165.

Seite Nr. 144:

Frage 10:

Die Summe zweier aufeinanderfolgender gerader Zahlen ist 74. Finde die Zahlen.

Antworten:

Eine der geraden Zahlen sei x.
Dann ist die andere fortlaufende gerade Zahl (x + 2).
Nach der Frage:
x + (x + 2) = 74
oder 2x + 2 = 74
oder 2x + 2 - 2 = 74 - 2 [Subtraktion von 2 von beiden Seiten]
oder 2x = 72
oder 2 x 2   =   72 2 [Beide Seiten durch 2] teilen
oder x = 36
Somit sind die benötigten Zahlen x = 36 und x+2 = 38.

Seite Nr. 144:

Frage 11:

Die Summe von drei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen ist 21. Finden Sie die Zahlen.

Antworten:

Sei die erste ungerade Zahl x.
Dann sind die nächsten aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (x + 2) und (x + 4).
Nach der Frage:
x + (x + 2) + (x + 4) = 21
oder 3x + 6 = 21
oder, 3x + 6 - 6 = 21 - 6 [Subtraktion von 6 von beiden Seiten]
oder, 3x = 15
oder, 3 x 3   =   15 3 [Beide Seiten durch 3] teilen
oder x = 5
&ther4 Erforderliche Nummern sind:
x = 5
x + 2 = 5 + 2 = 7
x + 4 = 5 + 4 = 9

Seite Nr. 144:

Frage 12:

Reena ist 6 Jahre älter als ihr Bruder Ajay. Wenn die Summe ihres Alters 28 Jahre beträgt, wie alt sind sie dann?

Antworten:

Das gegenwärtige Alter von Ajay sei x Jahre.
Da Reena 6 Jahre älter ist als Ajay, beträgt das aktuelle Alter von Reena (x+ 6) Jahre.
Nach der Frage:
x + (x + 6) = 28
oder 2x + 6 = 28
oder 2x + 6 - 6 = 28 - 6 [Subtraktion von 6 von beiden Seiten]
oder 2x = 22
oder 2 x 2   =   22 2 [Beide Seiten durch 2] teilen
oder x = 11
&there4 Aktuelles Alter von Ajay = 11 Jahre
Gegenwärtiges Alter von Reena = x +6 = 11 + 6
= 17 Jahre

Seite Nr. 144:

Frage 13:

Deepak ist doppelt so alt wie sein Bruder Vikas. Wenn der Altersunterschied 11 Jahre beträgt, finden Sie ihr aktuelles Alter.

Antworten:

Das gegenwärtige Alter von Vikas sei x Jahre.
Da Deepak doppelt so alt ist wie Vikas, beträgt das aktuelle Alter von Deepak 2x Jahre.
Nach der Frage:
2x - x = 11
x = 11
&ther4 Gegenwärtiges Alter von Vikas = 11 Jahre
Gegenwärtiges Alter von Deepak = 2x = 2 × 11
= 22 Jahre

Seite Nr. 144:

Frage 14:

Frau Goel ist 27 Jahre älter als ihre Tochter Rekha. Nach 8 Jahren wird sie doppelt so alt wie Rekha sein. Finden Sie ihr gegenwärtiges Alter.

Antworten:

Das gegenwärtige Alter von Rekha sei x Jahre.
Da Frau Goel 27 Jahre älter als Rekha ist, beträgt das aktuelle Alter von Frau Goel (x + 27) Jahre.
Nach 8 Jahren:
Rekhas Alter = (x + 8) Jahre
Alter von Frau Goel = (x + 27 + 8)
= (x + 35) Jahre

Nach der Frage:
(x + 35) = 2 (x + 8)
oder x + 35 = 2 × x + 2 × 8 [Beim Erweitern der Klammern]
oder x + 35 = 2x + 16
oder 35 - 16 = 2x - x [Transponieren von 16 in die L.H.S. und x zum R.H.S.]
oder x = 19
&ther4 Gegenwärtiges Alter von Rekha = 19 Jahre
Gegenwärtiges Alter von Frau Goel = x + 27
= 19 + 27
= 46 Jahre

Seite Nr. 145:

Frage 15:

Ein Mann ist viermal so alt wie sein Sohn. Nach 16 Jahren wird er nur noch doppelt so alt sein wie sein Sohn. Finden Sie ihr gegenwärtiges Alter.

Antworten:

Das gegenwärtige Alter des Sohnes sei x Jahre.
Da der Mann viermal so alt ist wie sein Sohn, beträgt das aktuelle Alter des Mannes (4x) Jahre.
Nach 16 Jahren:
Alter des Sohnes = (x + 16) Jahre
Alter des Mannes = (4x + 16) Jahre

Nach der Frage:
(4x + 16) = 2(x + 16)
oder 4x + 16 = 2 × x + 2 × 16 [Beim Erweitern der Klammern]
oder 4x + 16 = 2x + 32
oder 4x - 2x = 32 - 16 [Transponieren von 16 in die R.H.S. und 2x zum L.H.S.]
oder 2x = 16
oder 2 x 2   =   16 2 [Beide Seiten durch 2] teilen
oder x = 8
&ther4 Aktuelles Alter des Sohnes = 8 Jahre
Gegenwärtiges Alter des Mannes = 4x = 4 × 8
= 32 Jahre

Seite Nr. 145:

Frage 16:

Ein Mann ist dreimal so alt wie sein Sohn. Vor fünf Jahren war der Mann viermal so alt wie sein Sohn. Finden Sie ihr gegenwärtiges Alter.

Antworten:

Das gegenwärtige Alter des Sohnes sei x Jahre.
Da der Mann dreimal so alt ist wie sein Sohn, beträgt das aktuelle Alter des Mannes (3x) Jahre.

vor 5 Jahren:
Alter des Sohnes = (x - 5) Jahre
Alter des Mannes = (3x - 5) Jahre

Nach der Frage:
(3x - 5) = 4(x - 5)
oder 3x - 5 = 4 × x - 4 × 5 [Beim Erweitern der Klammern]
oder 3x - 5 = 4x - 20
oder, 20 - 5 = 4x - 3x [Transponieren 3x in die R.H.S. und 20 zum L.H.S.]
oder x = 15
&ther4 Aktuelles Alter des Sohnes = 15 Jahre
Gegenwärtiges Alter des Mannes = 3x = 3 × 15
= 45 Jahre

Seite Nr. 145:

Frage 17:

Fatima wird nach 16 Jahren dreimal so alt sein wie jetzt. Finden Sie ihr gegenwärtiges Alter.

Antworten:

Das gegenwärtige Alter von Fatima sei x Jahre.

Nach 16 Jahren:
Fatimas Alter = (x + 16) Jahre

Nach der Frage:
x + 16 = 3(x)
oder, 16 = 3x - x [Transponieren von x in das R.H.S.]
oder 16 = 2x
oder 2 x 2   =   16 2 [Beide Seiten durch 2] teilen
oder x = 8
&dort4 Aktuelles Alter von Fatima = 8 Jahre

Seite Nr. 145:

Frage 18:

Rahim wird nach 32 Jahren 5 mal so alt sein wie vor 8 Jahren. Wie alt ist Rahim heute?

Antworten:

Das gegenwärtige Alter von Rahim sei x Jahre.
Nach 32 Jahren:
Rahims Alter = (x + 32) Jahre
Vor 8 Jahren:
Rahims Alter = (x - 8) Jahre
Nach der Frage:
x + 32 = 5 (x - 8)
oder x + 32 = 5x - 5 × 8
oder x + 32 = 5x - 40
oder 40 + 32 = 5x - x [Transponieren von 'x' in die R.H.S. und 40 zum L.H.S.]
oder 72 = 4x
oder, 4 x 4   =   72 4 [Beide Seiten durch 4] teilen
oder x = 18
Somit beträgt das gegenwärtige Alter von Rahim 18 Jahre.

Seite Nr. 145:

Frage 19:

Eine Tüte enthält 25-Paisa- und 50-Paisa-Münzen mit einem Gesamtwert von 30 Rupien. Wenn die Anzahl der 25-Paisa-Münzen das Vierfache der 50-Paisa-Münzen beträgt, ermitteln Sie die Anzahl der einzelnen Münzsorten.

Antworten:

Die Anzahl der 50 Paisa-Münzen sei x.
Dann ist die Anzahl von 25 Paisa-Münzen 4x.
Nach der Frage:
0,50(x) + 0,25(4x) = 30
oder 0,5x + x = 30
oder 1,5x = 30
oder, 1. 5x1. 5   =   30 1 . 5 [Beide Seiten durch 1,5 teilen]
oder x = 20
Somit beträgt die Anzahl von 50 Paisa-Münzen 20.
Anzahl von 25 Paisa-Münzen = 4x = 4 × 20 = 80

Seite Nr. 145:

Frage 20:

Der fünffache Preis eines Stiftes beträgt 17 Rs mehr als das Dreifache seines Preises. Finden Sie den Preis des Stiftes.

Antworten:

Der Preis für einen Stift sei Rs x.
Nach der Frage:
5x = 3x + 17
oder, 5x - 3x = 17 [Transponieren 3x in die L.H.S.]
oder 2x = 17
oder 2 x 2   =   17 2 [Beide Seiten durch 2] teilen
oder x = 8,50
&there4 Preis für einen Stift = Rs 8,50

Seite Nr. 145:

Frage 21:

Die Zahl der Jungen in einer Schule ist um 334 höher als die der Mädchen. Wenn die Gesamtstärke der Schule 572 beträgt, ermitteln Sie die Anzahl der Mädchen in der Schule.

Antworten:

Die Zahl der Mädchen in der Schule sei x.
Dann beträgt die Anzahl der Jungen in der Schule (x + 334).
Gesamtstärke der Schule = 572

&dort4 x + (x + 334) = 572
oder 2x + 334 = 572
oder 2x + 334 - 334 = 572 - 334
oder 2x = 238
oder 2 x 2   =   238 2 [Beide Seiten durch 2] teilen
oder x = 119
&ther4 Anzahl der Mädchen in der Schule = 119

Seite Nr. 145:

Frage 22:

Die Länge eines rechteckigen Parks ist dreimal so breit. Wenn der Umfang des Parks 168 Meter beträgt, finanzieren Sie seine Dimensionen.

Antworten:

Die Breite des Parks sei x Meter.
Dann beträgt die Länge des Parks 3x Meter.
Umfang des Parks = 2 (Länge + Breite) = 2 ( 3x + x ) m
Gegebener Umfang = 168 m

&dort4 2(3x + x) = 168
oder, 2 (4x) = 168
oder, 8x = 168 [Beim Erweitern der Klammern]
oder, 8 x 8   =   168 8 [Beide Seiten durch 8] teilen
oder x = 21 m
&ther4 Breite des Parks = x = 21 m
Länge des Parks = 3x = 3 × 21 = 63 m

Seite Nr. 145:

Frage 23:

Die Länge einer rechteckigen Halle beträgt 5 Meter mehr als ihre Breite. Wenn der Umfang der Halle 74 Meter beträgt, ermitteln Sie ihre Länge und Breite.

Antworten:

Die Breite der Halle soll x Meter betragen.
Dann beträgt die Länge der Halle (x + 5) Meter.
Umfang der Halle = 2(Länge + Breite) = 2( x + 5 + x) Meter
Gegebener Umfang der rechteckigen Halle = 74 Meter

&dort4 2( x + 5 + x) = 74
oder, 2 ( 2x + 5 ) = 74
oder, 2 &mal2x + 2 ×5 = 74 [Beim Erweitern der Klammern]
oder, 4x + 10 = 74
oder, 4x + 10 - 10 = 74 - 10 [Abziehen von 10 von beiden Seiten]
oder, 4x = 64
oder, 4 x 4   =   64 4 [Beide Seiten durch 4] teilen
oder x = 16 Meter
&ther4 Breite des Parks = x
= 16 Meter
Länge des Parks = x + 5 = 16 + 5
= 21 Meter

Seite Nr. 145:

Frage 24:

Ein 86 cm langer Draht wird zu einem Rechteck gebogen, so dass seine Länge 7 cm mehr als seine Breite beträgt. Bestimmen Sie die Länge und die Breite des so gebildeten Rechtecks.

Antworten:

Die Breite des Rechtecks ​​sei x cm.
Dann beträgt die Länge des Rechtecks ​​(x + 7) cm.
Umfang des Rechtecks ​​= 2(Länge + Breite) = 2(x + 7 + x) cm
Gegebener Umfang des Rechtecks ​​= Länge des Drahtes = 86 cm

&dort4 2( x + 7 + x) = 86
oder 2 ( 2x + 7 ) = 86
oder 2 ×2x + 2 × 7 = 86 [Beim Erweitern der Klammern]
oder, 4x + 14 = 86
oder, 4x + 14 - 14 = 86 - 14 [Abziehen von 14 von beiden Seiten]
oder 4x = 72
oder 4 x 4   =   72 4 [Auf beiden Seiten durch 4 teilen]
oder x = 18 Meter
Breite der Halle = x
= 18 Meter
Länge der Halle = x + 7
= 18 + 7
= 25 Meter

Seite Nr. 146:

Frage 1:

Ein Mann verdient 25 Rupien pro Stunde. Wie viel verdient er an x Std?

Antworten:

Verdienst des Mannes pro Stunde = Rs 25

Verdienst des Mannes in x Stunden = Rs (25 × x)
= Rs 25x

Seite Nr. 146:

Frage 2:

Die Kosten für 1 Stift betragen 16 Rupien und die Kosten für 1 Bleistift 5 Rupien. Wie hoch sind die Gesamtkosten von x Stifte und ja Bleistifte.

Antworten:

Kosten für 1 Stift = Rs 16
&ther4 Kosten von 'x' Stifte = Rs 16 × x
= Rs 16x
Ebenso Kosten für 1 Bleistift = Rs 5
&ther4 Kosten von 'y' Bleistifte = Rs 5 × ja
= Rs 5ja
&dort4 Gesamtkosten von x Stifte und ja Bleistifte = Rs (16x + 5ja)

Seite Nr. 146:

Frage 3:

Lalit verdient Rs x pro Tag und gibt Rs . aus ja pro Tag. Wie viel spart er in 30 Tagen?

Antworten:

Lalit verdient pro Tag = Rs x
&there4 Lalit verdient in 30 Tagen = 30 Rs × x
= Rs 30x

Ebenso sind die Ausgaben von Lalit pro Tag = Rs y
&there4 Lalits Ausgaben in 30 Tagen = Rs 30 × y
= Rs 30y
&ther4 In 30 Tagen spart Lalit = (Gesamteinnahmen - Gesamtausgaben)
= Rs (30x - 30y)
= Rs 30 (x - y)

Seite Nr. 146:

Frage 4:

Eine dreimal zu 8 addierte Zahl ergibt 20. Finden Sie die Zahl.

Antworten:

Die erforderliche Zahl sei x.
Dreimal diese Zahl ist 3x.
Beim Addieren von 8 wird die Zahl 3x + 8.
3x + 8 = 20
oder, 3x + 8 - 8 = 20 - 8 [Subtraktion von 8 von beiden Seiten]
oder, 3x = 12
oder 3 x 3   =   12 3 [Beide Seiten durch 3] teilen
oder x = 4
&dort4 Erforderliche Zahl = 4

Seite Nr. 146:

Frage 5:

Ob x = 1, ja = 2 und z = 3, finde den Wert von x 2 + ja 2 + 2xyz.

Antworten:

Ersetzend x = 1, ja = 2 und z = 3 in der gegebenen Gleichung (x 2 + ja 2 + 2xyz):

Seite Nr. 146:

Frage 6:

Antworten:

4x + 9 = 17
oder, 4x + 9 - 9 = 17 - 9 [Subtraktion von 9 von beiden Seiten]
oder 4x = 8
oder, 4 x 4   =   8 4 [Aufteilen beider Seiten durch 4]
oder x = 2

Seite Nr. 146:

Frage 7:

Antworten:

3(x + 2) & minus 2 (x &minus 1) = 7.
oder, 3   ×   x   +   3   ×   2   -   2   ×   x & #160 -   2   ×   ( - 1 )   =   7 [Beim Erweitern der Klammern]
oder 3x + 6 &minus 2x + 2 = 7
oder x + 8 = 7
oder x + 8 &minus 8 = 7 &minus 8 [Subtraktion von 8 von beiden Seiten]
oder x = &minus1

Seite Nr. 146:

Frage 8:

Antworten:

2 x 5   - x 2   =   5 2
oder, 4 x   -   5 x 10   =   5 2 [Die Einnahme des L.C.M. als 10]
oder, - x 10   =   5 2
oder, - x 10 × - 10   =   5 2 × - 10 [Beide Seiten multiplizieren mit (&minus10)]
oder x = &minus25

Seite Nr. 146:

Frage 9:

Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist 51. Finde die Zahlen.

Antworten:

Die drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen seien x, (x + 1) und (x + 2).

&dort4 x + (x + 1) + (x + 2) = 51
3x + 3 = 51
3x + 3 - 3 = 51 - 3 [Subtraktion von 3 von beiden Seiten]
3x = 48
3 x 3   =   48 3 [Beide Seiten durch 3] teilen
x = 16
Somit sind die drei natürlichen Zahlen x = 16, x+1 = 17 und x+2 = 18.

Seite Nr. 146:

Frage 10:

Nach 16 Jahren wird Seema dreimal so alt sein wie jetzt. Finden Sie ihr gegenwärtiges Alter.

Antworten:

Das gegenwärtige Alter von Seema sei x Jahre.
Nach 16 Jahren:
Seemas Alter = x + 16


Dirichlet-Randbedingungen

Betrachten Sie das Problem egin & u_t= ku_&& 0< x< l, t>0,label[3pt] & u|_=u|_=0.label[3pt] & u|_=g(x). Etikett Ende Betrachten wir a einfache Lösung $u(x,t)=X(x)T(t)$ dann trennen wir die Variablen und kommen zu $frac=kfrac$ was impliziert $X''+lambda X=0$ und egin T'=-klambda T label Ende (erklären wie). Wir erhalten auch Randbedingungen $X(0)=X(l)=0$ (erklären Sie, wie).

Wir haben also Eigenwerte $lambda_n=(frac)^2$ und Eigenfunktionen $X_n=sin (frac)$ ($n=1,2,ldots$) und Gleichung ( ef) für $T$, was zu egin . führt T_n=A_ne^ <-klambda_n t>label Ende und daher ist eine einfache Lösung egin u_n=A_ne^<-klambda_n t>sin (frac) Etikett Ende und wir suchen eine allgemeine Lösung in der Form egin u=sum_^infty A_ne^<-klambda_n t>sin (frac). Etikett Ende Unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung ( ef) sehen wir, dass egin Summe_^infty A_nsin (frac)=g(x). Etikett Ende und daher egin A_n=frac<2>int_0^l g(x)sin (frac),dx. Etikett Ende

Folgerungen

  1. Formel ( ef) zeigt, dass das Problem für $t<0$ wirklich schlecht gestellt ist.
  2. Formel ( ef) zeigt, dass als $t o +infty$ egin u=O(e^<-klambda_1 t>) label Ende
  3. Außerdem gilt als $t o +infty$ egin u=A_1 e^<-klambda_1t>X_1(x)e^<-klambda_1 t>+ O(e^<-klambda_2 t>). Etikett Ende

Betrachten wir nun ein inhomogenes Problem mit dem rechten Ausdruck und Randbedingungen unabhängig von $t$: egin & u_t= ku_+f(x),&& t>0, 0< x< l,label[3pt] & u|_=phi,qquad u|_=psi,label[3pt] & u|_=g(x).label Ende Wir verwerfen die Anfangsbedingung und finden a stationäre Lösung $u=v(x)$: egin & v''=-frac<1>f(x),&& 0< x < l,label[3pt] & v(0)=phi,qquad v(l)=psi.label Ende Dann ( ef) impliziert egin v(x)=-frac<1>int_0^xint_0^ f(x''),dx''dx'+A+Bx= int_0^x (x-x')f(x'),dx'+A+Bx end wobei wir die Formel des $n$-ten Integrals verwendet haben (Sie müssen es aus Kalkül I kennen) egin I_n(x)=frac<1><(n-1)!>int_a^x (x-x')^f(x'),dx'qquad n=1,2,ldots end für $I_n:=int_a^x I_(x'),dx'$, $I_0(x):=f(x)$.

Dann befriedigend b.c. $A=phi$ und $B=frac<1>(psi-phi+frac<1>int_0^l (l-x') f(x'),dx')$ und egin v(x) =int_0^x G(x,x') f(x'),dx'+phi (1-frac)+psifrac Etikett Ende mit Grüne Funktion Start G(x,x') =frac<1>left < egin& x'(1-frac)&& 0< x'< x,[3pt] & x(1-frac) && x< x'< l. EndeRechts. Etikett Ende Zurück zum ursprünglichen Problem stellen wir fest, dass $u-v$ ( ef)--( ef) mit $g(x)$ ersetzt durch $g(x)-v(x)$ und somit $u-v=O(e^<-klambda_1t>)$. Also egin u=v+O(e^<-klambda_1t>). Etikett Ende Mit anderen Worten, die Lösung stabilisiert sich gegenüber der stationären Lösung. Für eine detailliertere Analyse von BVP für ODEs siehe Abschnitt 6.A.

Andere Randbedingungen

Ein ähnlicher Ansatz funktioniert in den Fällen von Randbedingungen, die wir zuvor betrachtet haben:

A. Dirichlet an einem Ende und Neumann am anderen Ende $u|_=u_x|_=0$b. Neumann an beiden Enden $u_x|_=u_x|_=0$ c. Periodisch $u|_=u|_$, $u_x|_=u_x|_$ d. Dirichlet an einem Ende und Robin am anderen Ende $u|_=(u_x+etau)|_=0$ z. Robin an beiden Enden $(u_x-alpha u)|_=(u_x+etau)|_=0$

aber in (4), (5) können wir Eigenwerte nicht explizit finden.

Folgerungen

Alle Folgerungen bleiben gültig, solange $lambda_1>0$ in den Fällen (a), (d) mit $etage 0$, (e) mit $alpha ge 0,etage 0$ außer $ alpha=eta=0$.


Variable Gleichungen

Ich hoffe, Sie haben eine gute Erfahrung mit dieser Seite und empfehlen Sie sie auch Ihren Freunden.

Eine Gleichung ist ein mathematischer Satz, der besagt, dass zwei Dinge einander gleich sind.

Eines der wichtigsten mathematischen Konzepte ist das Lösen von Gleichungen wie x + 3 = 5.

Dies wird als Variablengleichung bezeichnet.

In dieser Gleichung ist x eine Variable.

Das Ziel beim Lösen von Gleichungen besteht darin, herauszufinden, was die Variable gleich ist.

Mit anderen Worten, welche Zahl können Sie anstelle der Variablen einsetzen, die die Aussage wahr macht?

Führen Sie dazu auf jeder Seite die entgegengesetzte Operation aus.

Das heißt, wenn eine Zahl addiert wird, müssen Sie subtrahieren (und umgekehrt). Wenn eine Zahl multipliziert wird, müssen Sie dividieren (und umgekehrt).

Sehen wir uns einige Beispiele an, um zu sehen, wie das geht.

Diese Gleichung besagt, dass 9 plus etwas (n) gleich 10 ist.

Um das herauszufinden, müssen wir n selbst erhalten.

Was ist auf der gleichen Seite wie das n?

Da es hinzugefügt wird, müssen wir das Gegenteil tun - Subtraktion.

Wir müssen 9 von beiden Seiten der Gleichung abziehen.

n = 1 [Links erhalten wir nur n, da 9 - 9 = 0. Rechts 10 - 9 = 1]

Wir wissen, dass dies richtig ist, weil es die Gleichung wahr macht. 9 + 1 = 10.

Diese Gleichung besagt, dass 4 mal etwas (n) gleich 32 ist.

Da 4 multipliziert wird, müssen wir beide Seiten durch 4 teilen.

1 x n = 8 [Links 4 ÷ 4 = 1 und 1 x n = n. Rechts 32 ÷ 4 = 8.]

Wir wissen, dass dies richtig ist, denn 4 x 8 = 32.

Diese Gleichung hat zwei Dinge, die verschoben werden müssen - die 2 und die 4.

Sie müssen immer zuerst die Zahl verschieben, die hinzugefügt oder abgezogen wird.

2x + 4 - 4 = 10 - 4 [Links 4 - 4 = 0 und 2x ist noch da. Rechts 10 - 4 = 6]

Wir können unsere Antwort überprüfen, indem wir 3 anstelle von x in die ursprüngliche Gleichung zurücksetzen.

Dies ist wahr, daher wissen wir, dass wir richtig liegen.

In der letzten Aufgabe haben wir gelernt, dass Sie die Zahl, die addiert oder subtrahiert wird, vor die Zahl, die multipliziert oder dividiert wird, verschieben muss.

Aber dieses Problem ist eine Ausnahme von dieser Regel, weil etwas anders ist.

Siehst du, was es ist?

Es liegt an der Klammer.

Klammern sind Gruppierungssymbole, die uns darauf hinweisen, dass das, was sich darin befindet, gruppiert wird.

Normalerweise würde dies bedeuten, dass wir zuerst x + 6 hinzufügen sollten, aber da wir nicht wissen, was x ist, können wir das nicht tun. Stattdessen versuchen wir, x selbst zu erhalten.

Und da x + 6 eine Gruppe ist, müssen wir zuerst die 2 verschieben.

Da die 2 multipliziert wird

Denken Sie daran: Eine Zahl direkt neben Klammern ohne dazwischen bedeutet Multiplikation.

Wir müssen beide Seiten durch 2 teilen.

2(x + 6) = 20 [ Auf der linken Seite 2 ÷ 2 = 1 und nur x + 6 bleibt übrig ]

Die Klammern werden nicht mehr benötigt, da x + 6 das Einzige auf dieser Seite der Gleichung ist.

Jetzt können wir 6 verschieben, indem wir 6 von beiden Seiten subtrahieren.

Wir können überprüfen, ob dies wahr ist, indem wir 4 wieder für x einsetzen.

Denken Sie daran, zuerst zu tun, was in Klammern steht.

Joe hat letzte Woche jeden Tag gleich viel Klavier geübt. Er übte insgesamt 70 Minuten. Wie viel hat er täglich geübt?

Um dies zu lösen, können wir zunächst eine Gleichung schreiben. Wir wissen nicht, wie lange er jeden Tag trainiert hat, also muss das eine Variable sein.

Lass uns verwenden 't' für die Zeit.

Wir wissen, dass er 7 Tage lang praktiziert hat (weil die Woche 7 Tage hat.)

Also 7 mal T (die Menge, die er jeden Tag übte) muss 70 Minuten betragen.

Diese Gleichung können wir nun lösen.

7 mal welche Zahl entspricht 70?

Also übte Joe jeden Tag 10 Minuten.

Alexandra hat diese Woche 3 Süßigkeiten mehr gekauft als letzte Woche. Diese Woche hat sie 8 Stück gekauft. Wie viele hat sie letzte Woche gekauft?

Um eine Gleichung zu schreiben, müssen wir herausfinden, wonach wir suchen. Wir wollen herausfinden wie

viele Stücke hat sie letzte Woche gekauft. Wir wissen das nicht, also wird es unsere Variable sein.

Lass uns verwenden 'c' für Süßigkeiten.

Alexandra hat diese Woche 3 Bonbons mehr gekauft als letzte Woche. Die Summe von 'c' und 3 muss also 8 sein.


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