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1.3: Vektoren in drei Dimensionen - Mathematik


Lernziele

  • Beschreiben Sie den dreidimensionalen Raum mathematisch.
  • Lokalisieren Sie Punkte im Raum mithilfe von Koordinaten.
  • Schreiben Sie die Abstandsformel in drei Dimensionen.
  • Schreiben Sie die Gleichungen für einfache Ebenen und Kugeln.
  • Führe Vektoroperationen in (mathbb{R}^{3}) durch.

Vektoren sind nützliche Werkzeuge zur Lösung zweidimensionaler Probleme. Das Leben findet jedoch in drei Dimensionen statt. Um die Verwendung von Vektoren auf realistischere Anwendungen auszudehnen, ist es notwendig, einen Rahmen zur Beschreibung des dreidimensionalen Raums zu schaffen. Obwohl beispielsweise eine zweidimensionale Karte ein nützliches Werkzeug für die Navigation von einem Ort zum anderen ist, ist in einigen Fällen die Topographie des Landes wichtig. Führt Ihre geplante Route durch die Berge? Müssen Sie einen Fluss überqueren? Um die Auswirkungen dieser geografischen Merkmale vollständig zu erfassen, müssen Sie drei Dimensionen verwenden. Dieser Abschnitt präsentiert eine natürliche Erweiterung der zweidimensionalen kartesischen Koordinatenebene in drei Dimensionen.

Dreidimensionale Koordinatensysteme

Wie wir gelernt haben, enthält das zweidimensionale rechtwinklige Koordinatensystem zwei senkrechte Achsen: die horizontale (x)-Achse und die vertikale (y)-Achse. Wir können eine dritte Dimension hinzufügen, die (z)-Achse, die senkrecht sowohl zur (x)-Achse als auch zur (y)-Achse steht. Wir nennen dieses System das dreidimensionale rechtwinklige Koordinatensystem. Es repräsentiert die drei Dimensionen, denen wir im wirklichen Leben begegnen.

Definition: Dreidimensionales rechteckiges Koordinatensystem

Das dreidimensionale rechtwinklige Koordinatensystem besteht aus drei senkrechten Achsen: der (x)-Achse, der (y)-Achse und der (z)-Achse. Da jede Achse ein Zahlenstrahl ist, der alle reellen Zahlen in (ℝ) repräsentiert, wird das dreidimensionale System oft mit (ℝ^3) bezeichnet.

In Abbildung (PageIndex{1a}) ist die positive (z)-Achse über der Ebene dargestellt, die die (x)- und (y)-Achse enthält. Links erscheint die positive (x)-Achse und rechts die positive (y)-Achse. Eine natürliche Frage ist: Wie wurde diese Anordnung festgelegt? Das angezeigte System folgt dem Rechte-Hand-Regel. Wenn wir unsere rechte Hand nehmen und die Finger mit der positiven (x)-Achse ausrichten, dann die Finger so krümmen, dass sie in Richtung der positiven (y)-Achse zeigen, zeigt unser Daumen in Richtung der positive (z)-Achse (Abbildung (PageIndex{1b})). In diesem Text arbeiten wir immer mit Koordinatensystemen, die nach der Rechte-Hand-Regel aufgebaut sind. Einige Systeme folgen einer Links-Hand-Regel, aber die Rechts-Hand-Regel gilt als die Standarddarstellung.

In zwei Dimensionen beschreiben wir einen Punkt in der Ebene mit den Koordinaten ((x,y)). Jede Koordinate beschreibt, wie der Punkt mit der entsprechenden Achse ausgerichtet ist. In drei Dimensionen eine neue Koordinate (z), wird angehängt, um die Ausrichtung mit der (z)-Achse anzuzeigen: ((x,y,z)). Ein Punkt im Raum wird durch alle drei Koordinaten identifiziert (Abbildung (PageIndex{2})). Um den Punkt ((x,y,z) zu zeichnen, gehen Sie (x) Einheiten entlang der (x)-Achse, dann (y) Einheiten in Richtung der (y) -Achse, dann (z)-Einheiten in Richtung der (z)-Achse.

Beispiel (PageIndex{1}): Auffinden von Punkten im Raum

Skizzieren Sie den Punkt ((1,−2,3)) im dreidimensionalen Raum.

Lösung

Um einen Punkt zu skizzieren, skizzieren Sie zunächst drei Seiten eines rechteckigen Prismas entlang der Koordinatenachsen: eine Einheit in positiver (x)-Richtung, (2)-Einheiten in negativer (y)-Richtung und ( 3) Einheiten in positiver (z)-Richtung. Vervollständigen Sie das Prisma, um den Punkt zu zeichnen (Abbildung).

Übung (PageIndex{1})

Skizzieren Sie den Punkt ((−2,3,−1)) im dreidimensionalen Raum.

Hinweis

Skizzieren Sie zunächst die Koordinatenachsen. B. Abbildung (PageIndex{3}). Skizzieren Sie dann ein rechteckiges Prisma, um den Punkt im Raum zu finden.

Antworten

Im zweidimensionalen Raum wird die Koordinatenebene durch ein Paar senkrechter Achsen definiert. Diese Achsen ermöglichen es uns, jeden Ort innerhalb der Ebene zu benennen. In drei Dimensionen definieren wir Koordinatenebenen durch die Koordinatenachsen, genau wie in zwei Dimensionen. Es gibt jetzt drei Achsen, also drei sich schneidende Achsenpaare. Jedes Achsenpaar bildet eine Koordinatenebene: die (xy)-Ebene, die (xz)-Ebene und die (yz)-Ebene (Abbildung (PageIndex{3})). Wir definieren die (xy)-Ebene formal als folgende Menge: ({(x,y,0):x,y∈ℝ}.) Ebenso die (xz)-Ebene und die ( yz)-Ebene sind definiert als ({(x,0,z):x,z∈ℝ}) bzw. ({(0,y,z):y,z∈ℝ},).

Stellen Sie sich vor, Sie bauen ein Haus und stehen in einem Raum, in dem nur zwei der vier Wände fertig sind. (Angenommen, die beiden fertigen Wände grenzen aneinander.) Wenn Sie mit dem Rücken zur Ecke stehen, an der sich die beiden fertigen Wände treffen und in den Raum zeigen, ist der Boden die (xy)-Ebene, die Wand zu Ihre rechte ist die (xz)-Ebene, und die Wand zu Ihrer Linken ist die (yz)-Ebene.

In zwei Dimensionen teilen die Koordinatenachsen die Ebene in vier Quadranten. In ähnlicher Weise teilen die Koordinatenebenen den Raum zwischen ihnen in acht Regionen um den Ursprung, genannt Oktanten. Die Oktanten füllen (ℝ^3) genauso wie Quadranten (ℝ^2), wie in Abbildung (PageIndex{4}) gezeigt.

Die meisten Arbeiten im dreidimensionalen Raum sind eine komfortable Erweiterung der entsprechenden Konzepte in zwei Dimensionen. In diesem Abschnitt verwenden wir unser Wissen über Kreise, um Kugeln zu beschreiben, und erweitern dann unser Verständnis von Vektoren auf drei Dimensionen. Um diese Ziele zu erreichen, passen wir zunächst die Distanzformel an den dreidimensionalen Raum an.

Liegen zwei Punkte in derselben Koordinatenebene, lässt sich der Abstand zwischen ihnen einfach berechnen. Wir, dass der Abstand (d) zwischen zwei Punkten ((x_1,y_1)) und ((x_2,y_2)) im x(y)-Koordinatenebene ist gegeben durch die Formel

[d=sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2}.]

Die Formel für den Abstand zweier Punkte im Raum ist eine natürliche Erweiterung dieser Formel.

Der Abstand zwischen zwei Punkten im Raum

Der Abstand (d) zwischen den Punkten ((x_1,y_1,z_1)) und ((x_2,y_2,z_2)) ergibt sich aus der Formel

[d=sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2+(z_2−z_1)^2}. label{distanceForm}]

Der Beweis dieses Satzes bleibt als Übungsaufgabe. (Hinweis: Finden Sie zuerst den Abstand (d_1) zwischen den Punkten ((x_1,y_1,z_1)) und ((x_2,y_2,z_1)) wie in Abbildung (PageIndex{5} ).)

Beispiel (PageIndex{2}): Abstand im Raum

Finden Sie den Abstand zwischen den Punkten (P_1=(3,−1,5)) und (P_2=(2,1,−1).)

Lösung

Werte direkt in die Distanzformel einsetzen (Gleichung ef{distanceForm}):

[egin{align*} d(P_1,P_2) &=sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2+(z_2−z_1)^2} [4pt] &= sqrt{(2−3)^2+(1−(−1))^2+(−1−5)^2} [4pt] &=sqrt{1^2+2^2+( −6)^2} [4pt] &=sqrt{41}. end{ausrichten*}]

Übung (PageIndex{2})

Finden Sie den Abstand zwischen den Punkten (P_1=(1,−5,4)) und (P_2=(4,−1,−1)).

Hinweis

(d=sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2+(z_2−z_1)^2})

Antworten

(5sqrt{2})

Bevor wir zum nächsten Abschnitt übergehen, lassen Sie uns ein Gefühl dafür bekommen, wie sich (ℝ^3) von (ℝ^2) unterscheidet. In (ℝ^2) müssen sich beispielsweise nicht parallele Geraden immer schneiden. Dies ist in (ℝ^3) nicht der Fall. Betrachten Sie zum Beispiel die Zeile in Abbildung (PageIndex{7}). Diese beiden Linien sind weder parallel, noch schneiden sie sich.

Abbildung (PageIndex{7}): Diese beiden Linien sind nicht parallel, schneiden sich aber trotzdem nicht.

Sie können auch Kreise haben, die miteinander verbunden sind, aber keine gemeinsamen Punkte haben, wie in Abbildung (PageIndex{8}).

Abbildung (PageIndex{8}): Diese Kreise sind miteinander verbunden, haben aber keine gemeinsamen Punkte.

Wir sind viel flexibler, wenn wir in drei Dimensionen arbeiten, als wenn wir nur bei zwei Dimensionen bleiben.

Gleichungen in (ℝ^3) schreiben

Da wir nun Punkte im Raum darstellen und den Abstand zwischen ihnen ermitteln können, können wir lernen, Gleichungen von geometrischen Objekten wie Linien, Ebenen und gekrümmten Flächen in (ℝ^3) zu schreiben. Zuerst beginnen wir mit einer einfachen Gleichung. Vergleichen Sie die Graphen der Gleichung (x=0) in (ℝ), (ℝ^2) und (ℝ^3) (Abbildung (PageIndex{9})). Aus diesen Graphen können wir sehen, dass dieselbe Gleichung einen Punkt, eine Linie oder eine Ebene beschreiben kann.

Im Raum beschreibt die Gleichung (x=0) alle Punkte ((0,y,z)). Diese Gleichung definiert die (yz)-Ebene. Ebenso enthält die (xy)-Ebene alle Punkte der Form ((x,y,0)). Die Gleichung (z=0) definiert die (xy)-Ebene und die Gleichung (y=0) beschreibt die (xz)-Ebene (Abbildung (PageIndex{10})).

Wenn wir die Gleichungen der Koordinatenebenen verstehen, können wir eine Gleichung für jede Ebene schreiben, die parallel zu einer der Koordinatenebenen ist. Wenn eine Ebene parallel zur (xy)-Ebene ist, z. B. die (z)-Die Koordinate jedes Punktes in der Ebene hat den gleichen konstanten Wert. Nur die (x)- und (y)-Koordinaten von Punkten in dieser Ebene variieren von Punkt zu Punkt.

Gleichungen von Ebenen parallel zu Koordinatenebenen

  1. Die zur (xy)-Ebene parallele Raumebene mit dem Punkt ((a,b,c)) kann durch die Gleichung (z=c) dargestellt werden.
  2. Die zur (xz)-Ebene parallele Raumebene mit dem Punkt ((a,b,c)) kann durch die Gleichung (y=b) dargestellt werden.
  3. Die zur (yz)-Ebene parallele Raumebene mit dem Punkt ((a,b,c)) kann durch die Gleichung (x=a) dargestellt werden.

Beispiel (PageIndex{3}): Gleichungen von Ebenen parallel zu Koordinatenebenen schreiben Plan

  1. Schreiben Sie eine Gleichung der Ebene, die durch den Punkt ((3,11,7)) verläuft, der parallel zur (yz)-Ebene ist.
  2. Finden Sie eine Gleichung der Ebene durch die Punkte ((6,−2,9), (0,−2,4),) und ((1,−2,−3).)

Lösung

  1. Wenn eine Ebene parallel zur (yz)-Ebene ist, ist nur die (y)- und (z)-Koordinaten können variieren. Die (x)-Koordinate hat für alle Punkte dieser Ebene den gleichen konstanten Wert, so dass diese Ebene durch die Gleichung (x=3) dargestellt werden kann.
  2. Jeder der Punkte ((6,−2,9), (0,−2,4),) und ((1,−2,−3)) hat das gleiche (y)-Koordinate. Diese Ebene kann durch die Gleichung (y=−2) dargestellt werden.

Übung (PageIndex{3})

Schreiben Sie eine Gleichung der Ebene, die durch den Punkt ((1,−6,−4)) parallel zur (xy)-Ebene verläuft.

Hinweis

Ist eine Ebene parallel zur (xy)-Ebene, so ist die z-Koordinaten der Punkte in dieser Ebene ändern sich nicht.

Antworten

(z=−4)

Wie wir gesehen haben, beschreibt in (ℝ^2) die Gleichung (x=5) die vertikale Linie, die durch den Punkt ((5,0)) geht. Diese Linie verläuft parallel zur (y)-Achse. In einer natürlichen Erweiterung beschreibt die Gleichung (x=5) in (ℝ^3) die Ebene, die durch den Punkt ((5,0,0)) verläuft, der parallel zu (yz) -Flugzeug. Eine weitere natürliche Erweiterung einer bekannten Gleichung findet sich in der Kugelgleichung.

Definition: Kugel

Eine Kugel ist die Menge aller Punkte im Raum, die von einem Fixpunkt, dem Mittelpunkt der Kugel, gleich weit entfernt sind (Abbildung (PageIndex{11})), ebenso wie die Menge aller Punkte in einer Ebene, die vom Mittelpunkt gleich weit entfernt sind stellt einen Kreis dar. In einer Kugel wird wie in einem Kreis der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Punkt auf der Kugel als bezeichnet Radius.

Die Kreisgleichung wird mit der Abstandsformel in zwei Dimensionen abgeleitet. Ebenso basiert die Kugelgleichung auf der dreidimensionalen Distanzformel.

Standardgleichung einer Kugel

Die Kugel mit Mittelpunkt ((a,b,c)) und Radius (r) kann durch die Gleichung

[(x−a)^2+(y−b)^2+(z−c)^2=r^2.]

Diese Gleichung ist als bekannt Standardgleichung einer Kugel.

Beispiel (PageIndex{4}): Finden einer Kugelgleichung

Finden Sie die Standardgleichung der Kugel mit Mittelpunkt ((10,7,4)) und Punkt ((−1,3,−2)), wie in Abbildung (PageIndex{12}) gezeigt.

Abbildung (PageIndex{12}): Die Kugel mit dem Mittelpunkt ((10,7,4)) enthält den Punkt ((−1,3,−2).)

Lösung

Verwenden Sie die Abstandsformel, um den Radius (r) der Kugel zu ermitteln:

[egin{align*} r =sqrt{(−1−10)^2+(3−7)^2+(−2−4)^2} [4pt] =sqrt{(− 11)^2+(−4)^2+(−6)^2} [4pt] =sqrt{173} end{align*} ]

Die Standardgleichung der Kugel ist

[(x−10)^2+(y−7)^2+(z−4)^2=173. keine Nummer]

Übung (PageIndex{4})

Finden Sie die Standardgleichung der Kugel mit Mittelpunkt ((−2,4,−5)), die den Punkt ((4,4,−1) enthält.)

Hinweis

Verwenden Sie zuerst die Abstandsformel, um den Radius der Kugel zu bestimmen.

Antworten

[(x+2)^2+(y−4)^2+(z+5)^2=52 onumber]

Beispiel (PageIndex{5}): Bestimmung der Kugelgleichung

Sei (P=(−5,2,3)) und (Q=(3,4,−1)) und nehmen an, dass das Liniensegment (overline{PQ}) den Durchmesser einer Kugel bildet (Abbildung (PageIndex{13})). Finden Sie die Kugelgleichung.

Lösung:

Da (overline{PQ}) ein Kugeldurchmesser ist, wissen wir, dass der Mittelpunkt der Kugel der Mittelpunkt von (overline{PQ}) ist. Dann gilt:

[C=left(dfrac{−5+3}{2},dfrac{2+4}{2},dfrac{3+(−1)}{2} ight)=(−1 ,3,1). keine Nummer]

Außerdem wissen wir, dass der Radius der Kugel die halbe Länge des Durchmessers beträgt. Das gibt

[egin{align*} r =dfrac{1}{2}sqrt{(−5−3)^2+(2−4)^2+(3−(−1))^2} [4pt] =dfrac{1}{2}sqrt{64+4+16} [4pt] =sqrt{21} end{align*}]

Dann lautet die Kugelgleichung ((x+1)^2+(y−3)^2+(z−1)^2=21.)

Übung (PageIndex{5})

Finden Sie die Kugelgleichung mit dem Durchmesser (overline{PQ}), wobei (P=(2,−1,−3)) und (Q=(−2,5,−1). )

Hinweis

Suchen Sie zuerst den Mittelpunkt des Durchmessers.

Antworten

[x^2+(y−2)^2+(z+2)^2=14 onumber]

Beispiel (PageIndex{6}): Andere Gleichungen in drei Dimensionen grafisch darstellen

Beschreiben Sie die Menge von Punkten, die ((x−4)(z−2)=0,) erfüllt, und zeichnen Sie die Menge.

Lösung

Wir müssen entweder (x−4=0) oder (z−2=0) haben, also bildet die Punktmenge die beiden Ebenen (x=4) und (z=2) (Abbildung (PageIndex{14})).

Übung (PageIndex{6})

Beschreiben Sie die Menge von Punkten, die ((y+2)(z−3)=0,) erfüllt, und zeichnen Sie die Menge.

Hinweis

Einer der Faktoren muss Null sein.

Antworten

Die Punktmenge bildet die beiden Ebenen (y=−2) und (z=3).

Beispiel (PageIndex{7}): Andere Gleichungen in drei Dimensionen grafisch darstellen

Beschreiben Sie die Menge von Punkten im dreidimensionalen Raum, die ((x−2)^2+(y−1)^2=4,) erfüllt, und zeichnen Sie die Menge.

Lösung

Die (x)- und (y)-Koordinaten bilden einen Kreis in der (xy)-Ebene mit Radius (2), zentriert bei ((2,1)). Da es keine Einschränkung für die (z)-Koordinate gibt, ist das dreidimensionale Ergebnis ein Kreiszylinder mit Radius (2) zentriert auf der Geraden mit (x=2) und (y=1 ). Der Zylinder erstreckt sich unbegrenzt in (z)-Richtung (Abbildung (PageIndex{15})).

Übung (PageIndex{7})

Beschreiben Sie die Menge von Punkten im dreidimensionalen Raum, die (x^2+(z−2)^2=16) erfüllt, und zeichnen Sie die Oberfläche.

Hinweis

Überlegen Sie, was passiert, wenn Sie diese Gleichung in zwei Dimensionen in der (xz)-Ebene darstellen.

Antworten

Ein Zylinder mit Radius 4 zentriert auf der Geraden mit (x=0) und (z=2).

Arbeiten mit Vektoren in (ℝ^3)

Ebenso wie zweidimensionale Vektoren sind dreidimensionale Vektoren Größen mit Betrag und Richtung und werden durch gerichtete Liniensegmente (Pfeile) dargestellt. Bei einem dreidimensionalen Vektor verwenden wir einen dreidimensionalen Pfeil.

Dreidimensionale Vektoren können auch in Komponentenform dargestellt werden. Die Notation (vecs{v}=⟨x,y,z⟩) ist eine natürliche Erweiterung des zweidimensionalen Falls, die einen Vektor mit dem Anfangspunkt im Ursprung darstellt, ((0,0,0) ) und Endpunkt ((x,y,z)). Der Nullvektor ist (vecs{0}=⟨0,0,0⟩). So wird zum Beispiel der dreidimensionale Vektor (vecs{v}=⟨2,4,1) durch ein gerichtetes Liniensegment vom Punkt ((0,0,0)) zum Punkt ( (2,4,1)) (Abbildung (PageIndex{16})).

Vektoraddition und Skalarmultiplikation werden analog zum zweidimensionalen Fall definiert. Wenn (vecs{v}=⟨x_1,y_1,z_1⟩) und (vecs{w}=⟨x_2,y_2,z_2⟩) Vektoren sind und (k) ein Skalar ist, dann

[vecs{v}+vecs{w}=⟨x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2⟩]

und

[kvecs{v}=⟨kx_1,ky_1,kz_1⟩.]

Wenn (k=−1,) dann wird (kvecs{v}=(−1)vecs{v}) geschrieben als (−vecs{v}), und die Vektorsubtraktion ist definiert durch (vecs{v}−vecs{w}=vecs{v}+(−vecs{w})=vecs{v}+(−1)vecs{w}).

Auch die Standard-Einheitsvektoren erstrecken sich leicht in drei Dimensionen, (hat{mathbf i}=⟨1,0,0⟩), (hat{mathbf j}=⟨0,1,0⟩ ) und (hat{mathbf k}=⟨0,0,1⟩), und wir verwenden sie auf die gleiche Weise wie die Standard-Einheitsvektoren in zwei Dimensionen. Somit können wir einen Vektor in (ℝ^3) wie folgt darstellen:

[vecs{v}=⟨x,y,z⟩=xhat{mathbf i}+yhat{mathbf j}+zhat{mathbf k}].

Beispiel (PageIndex{8}): Vektordarstellungen

Sei (vecd{PQ}) der Vektor mit Anfangspunkt (P=(3,12,6)) und Endpunkt (Q=(−4,−3,2)) wie in gezeigt Abbildung (PageIndex{17}). Drücken Sie (vecd{PQ}) sowohl in Komponentenform als auch unter Verwendung von Standardeinheitsvektoren aus.

Lösung

In Komponentenform,

[egin{align*} vecd{PQ} =⟨x_2−x_1,y_2−y_1,z_2−z_1⟩ [4pt] =⟨−4−3,−3−12,2−6⟩ [4pt] =⟨−7,−15,−4⟩. end{ausrichten*}]

In Standardeinheitsform,

[vecd{PQ}=−7hat{mathbf i}−15hat{mathbf j}−4hat{mathbf k}. keine Nummer]

Übung (PageIndex{8})

Sei (S=(3,8,2)) und (T=(2,−1,3)). Drücken Sie (vec{ST}) in Komponentenform und in Standardeinheitenform aus.

Hinweis

Schreiben Sie zuerst (vecd{ST}) in Komponentenform. (T) ist der Endpunkt von (vecd{ST}).

Antworten

(vecd{ST}=⟨−1,−9,1⟩=−hat{mathbf i}−9hat{mathbf j}+hat{mathbf k})

Wie zuvor beschrieben, verhalten sich Vektoren in drei Dimensionen genauso wie Vektoren in einer Ebene. Die geometrische Interpretation der Vektoraddition ist beispielsweise im zwei- und im dreidimensionalen Raum gleich (Abbildung (PageIndex{18})).

Wir haben bereits gesehen, wie einige der algebraischen Eigenschaften von Vektoren, wie Vektoraddition und Skalarmultiplikation, auf drei Dimensionen erweitert werden können. Andere Eigenschaften können auf ähnliche Weise erweitert werden. Sie sind hier als Referenz zusammengefasst.

Eigenschaften von Vektoren im Raum

Seien (vecs{v}=⟨x_1,y_1,z_1⟩) und (vecs{w}=⟨x_2,y_2,z_2⟩) Vektoren und (k) ein Skalar.

  • Skalarmultiplikation: [kvecs{v}=⟨kx_1,ky_1,kz_1⟩]
  • Vektoraddition: [vecs{v}+vecs{w}=⟨x_1,y_1,z_1⟩+⟨x_2,y_2,z_2⟩=⟨x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2⟩]
  • Vektorsubtraktion: [vecs{v}−vecs{w}=⟨x_1,y_1,z_1⟩−⟨x_2,y_2,z_2⟩=⟨x_1−x_2,y_1−y_2,z_1−z_2⟩]
  • Vektorgröße: [|vecs{v}|=sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}]
  • Einheitsvektor in Richtung (vecs{v}): [dfrac{1}{|vecs{v}|}vecs{v}=dfrac{1}{|vecs{v}|} ⟨x_1,y_1,z_1⟩=⟨dfrac{x_1}{|vecs{v}|},dfrac{y_1}{|vecs{v}|},dfrac{z_1}{ |vecs{v}|}⟩, quad ext{if}, vecs{v}≠vecs{0}]

Wir haben gesehen, dass die Vektoraddition in zwei Dimensionen die kommutativen, assoziativen und additiven inversen Eigenschaften erfüllt. Diese Eigenschaften von Vektoroperationen gelten auch für dreidimensionale Vektoren. Die skalare Multiplikation von Vektoren erfüllt die Verteilungseigenschaft, und der Nullvektor wirkt als additive Identität. Die Beweise zum Nachweis dieser Eigenschaften in drei Dimensionen sind einfache Erweiterungen der Beweise in zwei Dimensionen.

Beispiel (PageIndex{9}): Vektoroperationen in drei Dimensionen

Seien (vecs{v}=⟨−2,9,5⟩) und (vecs{w}=⟨1,−1,0⟩) (Abbildung (PageIndex{19})) . Finden Sie die folgenden Vektoren.

  1. (3vecs{v}−2vecs{w})
  2. (5|vecs{w}|)
  3. (|5 vecs{w}|)
  4. Ein Einheitsvektor in Richtung (vecs{v})

Lösung

A. Verwenden Sie zuerst die Skalarmultiplikation jedes Vektors und subtrahieren Sie dann:

[egin{align*} 3vecs{v}−2vecs{w} =3⟨−2,9,5⟩−2⟨1,−1,0⟩ [4pt] =⟨−6 ,27,15⟩−⟨2,−2,0⟩ [4pt] =⟨−6−2,27−(−2),15−0⟩ [4pt] =⟨−8,29,15 . end{ausrichten*}]

B. Schreiben Sie die Gleichung für den Betrag des Vektors und verwenden Sie dann die Skalarmultiplikation:

[5|vecs{w}|=5sqrt{1^2+(−1)^2+0^2}=5sqrt{2}. keine Nummer]

C. Verwenden Sie zuerst eine Skalarmultiplikation und finden Sie dann den Betrag des neuen Vektors. Beachten Sie, dass das Ergebnis das gleiche ist wie für Teil b.:

[|5 vecs{w}|=∥⟨5,−5,0⟩∥=sqrt{5^2+(−5)^2+0^2}=sqrt{50}=5 sqrt{2} onumber]

D. Denken Sie daran, dass wir einen Vektor durch seine Größe dividieren, um einen Einheitsvektor in zwei Dimensionen zu finden. Die Vorgehensweise ist in drei Dimensionen gleich:

[egin{align*} dfrac{vecs{v}}{|vecs{v}|} =dfrac{1}{|vecs{v}|}⟨−2,9 ,5⟩ [4pt] =dfrac{1}{sqrt{(−2)^2+9^2+5^2}}⟨−2,9,5⟩ [4pt] =dfrac {1}{sqrt{110}}⟨−2,9,5⟩ [4pt] =⟨dfrac{−2}{sqrt{110}},dfrac{9}{sqrt{110} },dfrac{5}{sqrt{110}}⟩ . end{ausrichten*}]

Übung (PageIndex{9}):

Seien (vecs{v}=⟨−1,−1,1⟩) und (vecs{w}=⟨2,0,1⟩). Finden Sie einen Einheitsvektor in Richtung von (5vecs{v}+3vecs{w}.)

Hinweis

Schreiben Sie zunächst (5vecs{v}+3vecs{w}) in Komponentenform.

Antworten

(⟨dfrac{1}{3sqrt{10}},−dfrac{5}{3sqrt{10}},dfrac{8}{3sqrt{10}}⟩)

Beispiel (PageIndex{10}): Einen Vorwärtspass werfen

Ein Quarterback steht auf dem Fußballfeld und bereitet sich darauf vor, einen Pass zu werfen. Sein Receiver steht 20 Meter unterhalb des Feldes und 15 Meter links vom Quarterback. Der Quarterback wirft den Ball mit einer Geschwindigkeit von 60 mph in einem Aufwärtswinkel von (30°) auf den Empfänger zu (siehe folgende Abbildung). Schreiben Sie den Anfangsgeschwindigkeitsvektor der Kugel (vecs{v}) in Komponentenform.

Lösung

Als erstes wollen wir einen Vektor in der gleichen Richtung wie der Geschwindigkeitsvektor des Balls finden. Dann skalieren wir den Vektor entsprechend, damit er die richtige Größe hat. Betrachten Sie den Vektor (vecs{w}), der sich vom Arm des Quarterbacks zu einem Punkt direkt über dem Kopf des Empfängers in einem Winkel von (30°) erstreckt (siehe folgende Abbildung). Dieser Vektor hätte die gleiche Richtung wie (vecs{v}), aber möglicherweise nicht die richtige Größe.

Der Receiver befindet sich 20 Meter im Feld und 15 Meter links vom Quarterback. Daher ist die Luftlinie vom Quarterback zum Empfänger

Distanz von QB zum Empfänger(=sqrt{15^2+20^2}=sqrt{225+400}=sqrt{625}=25) yd.

Es gilt (dfrac{25}{|vecs{w}|}=cos 30°.) Dann ist der Betrag von (vecs{w}) gegeben durch

(|vecs{w}|=dfrac{25}{cos 30°}=dfrac{25⋅2}{sqrt{3}}=dfrac{50}{sqrt{3} }) yd

und der vertikale Abstand vom Empfänger zum Endpunkt von (vecs{w}) ist

Vert dist vom Empfänger zum Endpunkt des (vecs{w}=|vecs{w}|sin 30°=dfrac{50}{sqrt{3}}⋅dfrac{1}{2}=dfrac{25}{ sqrt{3}}) yd.

Dann ist (vecs{w}=⟨20,15,dfrac{25}{sqrt{3}}⟩), und hat die gleiche Richtung wie (vecs{v}).

Denken Sie jedoch daran, dass wir den Betrag von (vecs{w}) zu (|vecs{w}|=dfrac{50}{sqrt{3}}) berechnet haben und (vecs{v}) hat die Größe (60) mph. Wir müssen also den Vektor (vecs{w}) mit einer geeigneten Konstanten (k) multiplizieren. Wir wollen einen Wert von (k) finden, so dass (∥kvecs{w}∥=60) mph. Wir haben

(|k vecs{w}|=k|vecs{w}|=kdfrac{50}{sqrt{3}}) mph,

also wollen wir

(kdfrac{50}{sqrt{3}}=60)

(k=dfrac{60sqrt{3}}{50})

(k=dfrac{6sqrt{3}}{5}).

Dann

(vecs{v}=kvecs{w}=k⟨20,15,dfrac{25}{sqrt{3}}⟩=dfrac{6sqrt{3}}{5}⟨20 ,15,dfrac{25}{sqrt{3}}⟩=⟨24sqrt{3},18sqrt{3},30⟩).

Überprüfen wir noch einmal, dass (|vecs{v}|=60.) Wir haben

(|vecs{v}|=sqrt{(24sqrt{3})^2+(18sqrt{3})^2+(30)^2}=sqrt{1728+972 +900}=sqrt{3600}=60) Meilen pro Stunde.

Damit haben wir die richtigen Komponenten für (vecs{v}) gefunden.

Übung (PageIndex{10})

Angenommen, der Quarterback und der Empfänger befinden sich an derselben Stelle wie im vorherigen Beispiel. Diesmal wirft der Quarterback den Ball jedoch mit einer Geschwindigkeit von (40) mph und einem Winkel von (45°). Schreiben Sie den Anfangsgeschwindigkeitsvektor der Kugel (vecs{v}) in Komponentenform.

Hinweis

Befolgen Sie den im vorherigen Beispiel verwendeten Prozess.

Antworten

(v=⟨16sqrt{2},12sqrt{2},20sqrt{2}⟩)

Schlüssel Konzepte

  • Das dreidimensionale Koordinatensystem ist um einen Satz von drei Achsen herum aufgebaut, die sich im rechten Winkel in einem einzigen Punkt, dem Ursprung, schneiden. Geordnete Tripel ((x,y,z)) werden verwendet, um die Lage eines Punktes im Raum zu beschreiben.
  • Der Abstand (d) zwischen den Punkten ((x_1,y_1,z_1)) und ((x_2,y_2,z_2)) wird durch die Formel [d=sqrt{(x_2−x_1)^ 2+(y_2−y_1)^2+(z_2−z_1)^2}. onumber]
  • In drei Dimensionen beschreiben die Gleichungen (x=a,y=b,) und (z=c) zu den Koordinatenebenen parallele Ebenen.
  • Die Standardgleichung einer Kugel mit Mittelpunkt ((a,b,c)) und Radius (r) lautet [(x−a)^2+(y−b)^2+(z−c) ^2=r^2. keine Nummer ]
  • In drei Dimensionen werden Vektoren wie in zwei Dimensionen üblicherweise in der Komponentenform (v=⟨x,y,z⟩) oder in Form der Standardeinheitsvektoren (xi+yj+zk.) ausgedrückt.
  • Eigenschaften von Vektoren im Raum sind eine natürliche Erweiterung der Eigenschaften von Vektoren in einer Ebene. Seien (v=⟨x_1,y_1,z_1⟩) und (w=⟨x_2,y_2,z_2⟩) Vektoren und (k) ein Skalar.

Skalarmultiplikation:

[(kvecs{v}=⟨kx_1,ky_1,kz_1⟩ onumber]

Vektoraddition:

[vecs{v}+vecs{w}=⟨x_1,y_1,z_1⟩+⟨x_2,y_2,z_2⟩=⟨x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2⟩ onumber]

Vektorsubtraktion:

[vecs{v}−vecs{w}=⟨x_1,y_1,z_1⟩−⟨x_2,y_2,z_2⟩=⟨x_1−x_2,y_1−y_2,z_1−z_2⟩ onumber]

Vektorgröße:

[‖vecs{v}‖=sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} onumber]

Einheitsvektor in Richtung (vecs{v}):

[dfrac{vecs{v}}{‖vecs{v}‖}=dfrac{1}{‖vecs{v}‖}⟨x_1,y_1,z_1⟩=⟨dfrac{x_1}{ ‖vecs{v}‖},dfrac{y_1}{‖vecs{v}‖},dfrac{z_1}{‖vecs{v}‖}⟩, vecs{v}≠vecs{0 } keine Nummer]

Schlüsselgleichungen

Abstand zwischen zwei Punkten im Raum:

[d=sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2+(z_2−z_1)^2}]

Kugel mit Mittelpunkt ((a,b,c)) und Radius (r):

[(x−a)^2+(y−b)^2+(z−c)^2=r^2]

Glossar

Koordinatenebene
eine Ebene, die zwei der drei Koordinatenachsen im dreidimensionalen Koordinatensystem enthält, benannt nach den darin enthaltenen Achsen: die (xy)-Ebene, (xz)-Ebene oder die (yz)-Ebene
Rechte-Hand-Regel
eine gemeinsame Methode zum Definieren der Orientierung des dreidimensionalen Koordinatensystems; wenn die rechte Hand so um die (z)-Achse gekrümmt ist, dass sich die Finger von der positiven (x)-Achse zur positiven (y)-Achse krümmen, zeigt der Daumen in Richtung der positiven (z)-Achse
Oktanten
die acht Raumregionen, die durch die Koordinatenebenen erzeugt werden
Kugel
die Menge aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt gleich weit entfernt sind, bekannt als Center
Standardgleichung einer Kugel
((x−a)^2+(y−b)^2+(z−c)^2=r^2) beschreibt eine Kugel mit Mittelpunkt ((a,b,c)) und Radius (R)
dreidimensionales rechtwinkliges Koordinatensystem
ein Koordinatensystem, das durch drei Linien definiert ist, die sich im rechten Winkel schneiden; jeder Punkt im Raum wird durch ein geordnetes Tripel ((x,y,z)) beschrieben, das seine Lage relativ zu den definierenden Achsen aufträgt

Mitwirkende

  • Gilbert Strang (MIT) und Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) mit vielen beitragenden Autoren. Dieser Inhalt von OpenStax wird mit einer CC-BY-SA-NC 4.0-Lizenz lizenziert. Kostenlos herunterladen unter http://cnx.org.


Linearkombinationen dreidimensionaler Vektoren

Es gibt einen dreidimensionalen Vektor $v$. Zeigen Sie, dass $v$ als Linearkombination von $v_1$, $v_2$ und $v_3$ ausgedrückt werden kann, wobei $v_1 = egin 1 1 1 ende$, $quad v_2 = egin -1 1 1 ende$, $quad v_3 = egin 11 1 -14 ende$.

Ich weiß, dass ich Eigenwerte ($Mv = kv$) und Linearkombinationen von Vektoren verwenden soll, wie hier: http://www.vitutor.com/geometry/vectors/linear_combination.html, aber ich bin mir nicht sicher wie man diese Begriffe verwendet, um dieses Problem zu lösen oder sogar damit anzufangen.


1.3: Vektoren in drei Dimensionen - Mathematik

Hier sind eine Reihe von Zuordnungsproblemen für das Kapitel 3-dimensionaler Raum der Anmerkungen zu Infinitesimalrechnung III. Bitte beachten Sie, dass für diese Probleme keine Lösungen verfügbar sind. Diese sind hauptsächlich für Ausbilder gedacht, die möglicherweise eine Reihe von Problemen zum Einreichen zuweisen möchten. Lösungen zur Verfügung zu haben (oder auch nur endgültige Antworten), würde den Zweck der Probleme zunichte machen.

Wenn Sie nach Übungsproblemen suchen (mit verfügbaren Lösungen), sehen Sie sich bitte die Übungsprobleme an. Dort finden Sie eine Reihe von Aufgaben, die Ihnen einiges an Übung geben sollten.

Hier ist eine Liste aller Abschnitte, für die Aufgabenaufgaben geschrieben wurden, sowie eine kurze Beschreibung des Materials, das in den Anmerkungen zu diesem Abschnitt behandelt wird.

Das 3D-Koordinatensystem – In diesem Abschnitt werden wir das standardmäßige dreidimensionale Koordinatensystem sowie einige allgemeine Notationen und Konzepte vorstellen, die für die Arbeit in drei Dimensionen erforderlich sind.

Liniengleichungen – In diesem Abschnitt werden wir die Vektorform und die parametrische Form für die Liniengleichung im dreidimensionalen Raum herleiten. Wir werden auch die symmetrischen Gleichungen von Linien im dreidimensionalen Raum angeben. Beachten Sie auch, dass diese Formen auch für Linien im zweidimensionalen Raum nützlich sein können.

Gleichungen von Ebenen – In diesem Abschnitt werden wir die Vektor- und Skalargleichung einer Ebene herleiten. Wir zeigen auch, wie man die Gleichung einer Ebene aus drei Punkten schreibt, die in der Ebene liegen.

Quadrische Flächen – In diesem Abschnitt werden wir uns einige Beispiele für quadrische Flächen ansehen. Einige Beispiele für quadratische Flächen sind Kegel, Zylinder, Ellipsoide und elliptische Paraboloide.

Funktionen mehrerer Variablen – In diesem Abschnitt geben wir einen kurzen Überblick über einige wichtige Themen zu Funktionen mehrerer Variablen. Insbesondere werden wir das Auffinden des Definitionsbereichs einer Funktion mehrerer Variablen sowie von Niveaukurven, Niveauflächen und Spuren diskutieren.

Vektorfunktionen – In diesem Abschnitt stellen wir das Konzept der Vektorfunktionen vor, die sich hauptsächlich auf Kurven im dreidimensionalen Raum konzentrieren. Wir werden aber auch kurz auf Oberflächen eingehen. Wir werden zeigen, wie man den Definitionsbereich einer Vektorfunktion findet und wie man eine Vektorfunktion graphisch darstellt. Wir werden auch eine einfache Beziehung zwischen Vektorfunktionen und parametrischen Gleichungen zeigen, die manchmal sehr nützlich sein wird.

Infinitesimalrechnung mit Vektorfunktionen – In diesem Abschnitt hier diskutieren wir, wie man mit Vektorfunktionen grundlegende Berechnungen, d. h. Grenzwerte, Ableitungen und Integrale, durchführt.

Tangential-, Normal- und Binormalvektoren – In diesem Abschnitt werden wir die Tangential-, Normal- und Binormalvektoren definieren.

Bogenlänge mit Vektorfunktionen – In diesem Abschnitt werden wir die Bogenlängenformel, die wir zu Beginn des Materials verwendet haben, erweitern, um die Bogenlänge einer Vektorfunktion zu ermitteln. Wie wir sehen werden, ist die neue Formel wirklich nur eine fast natürliche Erweiterung einer, die wir bereits gesehen haben.

Krümmung – In diesem Abschnitt geben wir zwei Formeln zur Berechnung der Krümmung (d.h. wie schnell sich die Funktion an einem bestimmten Punkt ändert) einer Vektorfunktion.

Geschwindigkeit und Beschleunigung – In diesem Abschnitt werden wir eine Standardanwendung von Ableitungen wiederholen, die Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Objekts, dessen Positionsfunktion durch eine Vektorfunktion gegeben ist. Für die Beschleunigung geben wir Formeln sowohl für die Normalbeschleunigung als auch für die Tangentialbeschleunigung an.

Zylinderkoordinaten – In diesem Abschnitt definieren wir das Zylinderkoordinatensystem, ein alternatives Koordinatensystem für das dreidimensionale Koordinatensystem. Wie wir sehen werden, sind Zylinderkoordinaten eigentlich nichts anderes als eine sehr natürliche Erweiterung der Polarkoordinaten in eine dreidimensionale Umgebung.

Kugelkoordinaten – In diesem Abschnitt werden wir das Kugelkoordinatensystem definieren, ein weiteres alternatives Koordinatensystem für das dreidimensionale Koordinatensystem. Dieses Koordinatensystem ist sehr nützlich für den Umgang mit kugelförmigen Objekten. Wir werden Formeln ableiten, um zwischen Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten sowie zwischen kartesischen und Kugelkoordinaten (die nützlichere von beiden) umzurechnen.


Vektoren in 2 oder 3 Dimensionen bietet eine Einführung in die Grundlagen von Vektoren. Der Autor hat sich dem Thema von einem geometrischen Standpunkt aus genähert und obwohl Anwendungen auf die Mechanik aufgezeigt und Techniken der linearen Algebra verwendet werden, ist es die geometrische Sicht, die durchweg betont wird.

Zunächst werden die Eigenschaften von Vektoren eingeführt, bevor mit der Vektoralgebra und der Transformationsgeometrie übergegangen wird. Die Vektorrechnung als Mittel zum Studium von Kurven und Flächen in 3 Dimensionen und das Konzept der Isometrie werden später eingeführt und bieten ein Sprungbrett zu fortgeschritteneren Theorien.


Hinzufügen von Vektoren

  • &lambda(a + b) = &lambdaein + &lambdaB (Verteilungsgesetz, für Vektoren)
  • (&lambda + &beta)ein = &lambdaein + &betaB (Verteilungsgesetz für Skalare)
  • ein = ein
  • (&minus1)·ein = &minusein
  • ein = 0.

Allgemein bekannte Beispiele für Vektoren (Geschwindigkeit und Kraft) in Physik und Technik verallgemeinernd, führten Mathematiker ein abstraktes Objekt namens Vektoren ein. Vektoren sind also Objekte, die mit Skalaren addiert/subtrahiert und multipliziert werden können. Es wird angenommen, dass diese beiden Operationen (interne Addition und externe Skalarmultiplikation) die oben beschriebenen natürlichen Bedingungen erfüllen. Eine Menge von Vektoren soll a . bilden Vektorraum (auch als linearer Raum bezeichnet), falls Vektoren daraus addiert/subtrahiert und mit Skalaren multipliziert werden können, vorbehaltlich der regulären Eigenschaften der Addition und Multiplikation. Wind hat zum Beispiel sowohl eine Geschwindigkeit als auch eine Richtung und wird daher bequem als Vektor ausgedrückt. Das gleiche kann man von bewegten Objekten, Impulsen, Kräften, elektromagnetischen Feldern und Gewicht sagen. (Gewicht ist die Kraft, die durch die auf eine Masse wirkende Erdbeschleunigung erzeugt wird.)

Das erste, was wir wissen müssen, ist, wie man einen Vektor definiert, damit er für jeden klar ist. Informationstechnologien sind heute mehr denn je ein fester Bestandteil unseres Alltags. Deshalb brauchen wir ein Werkzeug, um Vektoren auf Computern zu modellieren. Eine übliche Methode hierfür ist die Einführung eines kartesischen oder eines anderen Koordinatensystems. Im Maschinenbau verwenden wir traditionell das kartesische Koordinatensystem, das jeden Punkt mit einer Ziffernfolge angibt. Jede Koordinate misst einen Abstand von einem Punkt zu seinen senkrechten Projektionen auf die zueinander senkrechten Hyperebenen.

Beginnen wir mit unserem vertrauten dreidimensionalen Raum, in dem das kartesische Koordinatensystem aus einem geordneten Triplett von Linien (den Achsen) besteht, die durch einen gemeinsamen Punkt (den Ursprung) gehen und paarweise senkrecht stehen Achse und eine einzige Längeneinheit für alle drei Achsen. Jedem Punkt werden Entfernungen zu drei zueinander senkrechten Ebenen, sogenannten Koordinatenebenen, zugewiesen (so dass das Paar x und ja Achsen definieren die z-Flugzeug, x und z Achsen definieren die ja-Flugzeug usw.). Die umgekehrte Konstruktion bestimmt den Punkt mit seinen drei Koordinaten. Jedes Achsenpaar definiert eine Koordinatenebene. Diese Ebenen teilen den Raum in acht Trieder, die Oktanten genannt werden. Die Koordinaten werden normalerweise als drei Zahlen (oder algebraische Formeln) geschrieben, die von Klammern umgeben und durch Kommas getrennt sind, wie in (-2.1,0.5,7). Somit hat der Ursprung Koordinaten (0,0,0) und die Einheitspunkte auf den drei Achsen sind (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1).

Für die Koordinaten in den drei Achsen gibt es keine universellen Namen. Die horizontale Achse heißt jedoch traditionell Abszisse entlehnt aus dem Neuen Latein (kurz für lineare Abszisse, wörtlich "Abschnittslinie") und normalerweise mit . bezeichnet x. Die nächste Achse heißt Ordinate, das aus dem Neulateinischen (linea) stammt, wörtlich, Linie, die auf geordnete Weise aufgetragen wird, wir werden sie normalerweise mit bezeichnen ja. Die letzte Achse heißt bewerben und normalerweise bezeichnet mit den z. Entsprechend werden die Einheitsvektoren mit bezeichnet ich (Abszisse), J (Ordinate) und k (anwenden), die Basis genannt. Sobald rechteckige Koordinaten eingerichtet sind, kann jeder Vektor durch diese Einheitsvektoren erweitert werden. Im dreidimensionalen Fall kann jeder Vektor entwickelt werden als ( <f v>= v_1 <f i>+ v_2 <f j>+ v_3 <f k>,) wobei ( v_1, v_2 , v_3 ) heißen die Koordinaten des Vektors v. Koordinaten werden immer relativ zu einer geordneten Basis angegeben. Wenn eine Basis gewählt wurde, kann ein Vektor in Bezug auf die Basisvektoren entwickelt und mit einem geordneten identifiziert werden n-Tupel von n reelle (oder komplexe) Zahlen oder Koordinaten. Die Menge aller reellen (oder komplexen) geordneten Zahlen wird mit &reals n (oder &Copf n ) bezeichnet. Im Allgemeinen wird ein Vektor im unendlichen dimensionalen Raum durch eine unendliche Zahlenfolge identifiziert. Endlichdimensionale Koordinatenvektoren können entweder durch einen Spaltenvektor (was normalerweise der Fall ist) oder einen Zeilenvektor dargestellt werden. Wir bezeichnen Spaltenvektoren durch Kleinbuchstaben in Fettschrift und Zeilenvektoren durch Kleinbuchstaben mit einem überlagerten Pfeil. Aufgrund der Art und Weise, wie die Wolfram Language Listen verwendet, um Vektoren darzustellen, Mathematik unterscheidet Spaltenvektoren nicht von Zeilenvektoren, es sei denn, der Benutzer gibt an, welcher definiert ist. Man kann Vektoren definieren mit Mathematik Befehle: Aufführen, Tisch, Array, oder geschweifte Klammern.

In Mathematik und Anwendungen ist es üblich, Spaltenvektoren zu unterscheiden

Das Konzept von a Vektorraum (auch eine linearer Raum) wurde in der Mathematik abstrakt definiert. Historisch lassen sich die ersten Ideen, die zu Vektorräumen führten, bis ins 17. Jahrhundert zurückverfolgen, die Idee kristallisierte sich jedoch mit der Arbeit des deutschen Mathematikers Hermann Günther Grassmann (1809-1877), der 1862 eine Arbeit veröffentlichte. Ein Vektor Raum ist eine Sammlung von Objekten, die Vektoren genannt werden, die zusammenaddiert und mit Zahlen, sogenannten Skalaren, multipliziert ("skaliert") werden können, wobei das Ergebnis mehr Vektoren in dieser Sammlung erzeugt. Skalare werden oft als reelle Zahlen angesehen, aber es gibt auch Vektorräume mit Skalarmultiplikation mit komplexen Zahlen, rationalen Zahlen oder allgemein Skalaren in jedem Körper. Die Operationen der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation müssen bestimmte Anforderungen erfüllen, die als Axiome bezeichnet werden (sie sind auf der Webseite zu finden).


Vektoren in Mathematik werden ähnlich wie Matrizen aufgebaut, manipuliert und darauf zugegriffen (siehe nächster Abschnitt). Als einfache Listen („eindimensional“, nicht „zweidimensional“ wie z. B. tabellarischere Matrizen) sind sie jedoch einfacher zu erstellen und zu bearbeiten. Sie werden in Klammern ( [,] ) eingeschlossen, was es uns erlaubt, einen Vektor von einer Matrix mit nur einer Zeile zu unterscheiden, wenn wir genau hinschauen. Die Anzahl der „Slots“ in einem Vektor wird nicht in angegeben Mathematik als Zeilen oder Spalten, sondern nach „Größe“.

In Mathematik, Definieren von Vektoren und Matrizen erfolgt durch Eingabe jeder Zeile in geschweifte Klammern:

Ein Spaltenvektor kann aus den hier gezeigten geschweiften Klammern konstruiert werden < >. Ein Komma grenzt jede Zeile ab. Die Ausgabe sieht jedoch möglicherweise nicht wie ein Spaltenvektor aus. Um dies zu beheben, müssen Sie //MatrixForm für Ihre Variablendarstellung eines Zeilenvektors aufrufen.

Das Konstruieren eines Zeilenvektors ist dem Konstruieren eines Spaltenvektors sehr ähnlich, außer dass zwei Sätze von geschweiften Klammern verwendet werden. Auch hier sieht die Ausgabe wie ein Zeilenvektor aus und daher muss //MatrixForm aufgerufen werden, um den Zeilenvektor in das Format zu bringen, mit dem Sie besser vertraut sind:


Struktur¶

Struktur Vektor ¶ Mitglieder
Suffix Typ Bekommen Satz
x Skalar Jawohl Jawohl
Ja Skalar Jawohl Jawohl
Z Skalar Jawohl Jawohl
MAG Skalar Jawohl Jawohl
NORMALISIERT Vektor Jawohl Nein
SQRMAGNITUDE Skalar Jawohl Nein
RICHTUNG Richtung Jawohl Jawohl
VEC Vektor Jawohl Nein

Dieser Typ ist serialisierbar.

Die (x)-Komponente des Vektors.

Vektor: Y ¶

Typ: Skalar
Zugang:Abrufen/Einstellen

Die (y)-Komponente des Vektors.

Vektor: Z ¶

Typ: Skalar
Zugang:Abrufen/Einstellen

Die (z)-Komponente des Vektors.

Vektor: MAG ¶

Typ: Skalar
Zugang:Abrufen/Einstellen

Die Größe des Vektors als Skalarzahl nach dem Satz des Pythagoras.

Vektor: NORMALISIERT ¶

Typ: Vektor
Zugang:Nur erhalten

Dies erzeugt einen Einheitsvektor, der in die gleiche Richtung wie dieser Vektor zeigt. Dies ist der gleiche Effekt wie die Multiplikation des Vektors mit dem Skalar 1 / vec:MAG .

Vektor: SQRMAGNITUDE ¶

Typ: Skalar
Zugang:Nur erhalten

Die Größe des Vektors, quadriert. Verwenden Sie anstelle von vec:MAG^2, wenn Sie die Größe quadrieren müssen, da dies den Schritt in der pythagoräischen Formel überspringt, in dem Sie zuerst die Quadratwurzel ziehen. Das Ziehen der Quadratwurzel und das anschließende Quadrieren würde unnötig Gleitkommafehler einführen.

Vektor: RICHTUNG ¶

Typ: Richtung
Zugang:Abrufen/Einstellen
GET: Der in eine Direction gerenderte Vektor (siehe Hinweis in der Directions-Dokumentation zum Informationsverlust dabei). SET: Weist den Vektor an, seine Größe beizubehalten, aber in eine neue Richtung zu zeigen, und passt seine ((x,y,z))-Zahlen entsprechend an. Vektor: VEC ¶
Typ: Vektor
Zugang:Nur erhalten

Dies ist ein Suffix, das a . erstellt KOPIEREN dieses Vektors. Nützlich, wenn Sie einen Vektor kopieren und dann die Kopie ändern möchten. Normalerweise, wenn Sie v2 TO v1 SETZEN, dann sind v1 und v2 zwei Namen für denselben Vektor und eine Änderung des einen würde den anderen ändern.


Inhalt

Der curl-Operator bildet kontinuierlich differenzierbare Funktionen ab F : R 3 → R 3 bis stetige Funktionen g : R 3 → R 3 , und insbesondere kartiert es C k Funktionen in R 3 to C k−1 Funktionen in R 3 .

Implizit wird curl an einem Punkt definiert P als [6] [7]

wobei das Linienintegral entlang der Grenze berechnet wird C Der Fläche EIN in Frage, | EIN | die Größe des Gebietes sein. Diese Gleichung definiert die Projektion der Locke von F auf n ^ > > . Die infinitesimalen Flächen begrenzt durch C habe n ^ > > wie gewohnt. C orientiert sich an der Rechts-Hand-Regel.

Die obige Formel bedeutet, dass die Kräuselung eines Vektorfeldes definiert ist als die infinitesimale Flächendichte des Verkehr dieses Feldes. Zu dieser Definition passen natürlich

  • das Kelvin-Stokes-Theorem, als globale Formel entsprechend der Definition, und
  • die folgende "leicht zu merkende" Definition der Locke in krummlinigen orthogonalen Koordinaten, z.B. in kartesischen Koordinaten, Kugel-, Zylinder- oder auch elliptischen oder parabolischen Koordinaten: ( curl ⁡ F ) 1 = 1 h 2 h 3 ( ∂ ( h 3 F 3 ) ∂ u 2 − ∂ ( h 2 F 2 ) ∂ u 3 ) , ( curl ⁡ F ) 2 = 1 h 3 h 1 ( ∂ ( h 1 F 1 ) ∂ u 3 − ∂ ( h 3 F 3 ) ∂ u 1 ) , ( curl ⁡ F ) 3 = 1 h 1 h 2 ( (h 2 F 2 ) u 1 − ∂ (h 1 F 1 ) u 2 ). &(operatorname mathbf )_<1>=h_<3>>>left(F_<3>)>>>-F_<2 >)>>> ight),[5pt]&(operatorname mathbf )_<2>=h_<1>>>left(F_<1>)>>>-F_<3 >)>>> ight),[5pt]&(operatorname mathbf )_<3>=h_<2>>>left(F_<2>)>>>-F_<1 >)>>> ight).end>>

Die Gleichung für jede Komponente (curl F)k kann erhalten werden, indem jedes Vorkommen eines Index 1, 2, 3 in zyklischer Permutation ausgetauscht wird: 1 → 2, 2 → 3 und 3 → 1 (wobei die Indexe die relevanten Indizes darstellen).

Ob (x1, x2, x3) sind die kartesischen Koordinaten und (du1, du2, du3) sind die orthogonalen Koordinaten, dann

ist die Länge des Koordinatenvektors entsprechend duich . Die verbleibenden zwei Komponenten von curl resultieren aus zyklischer Permutation der Indizes: 3,1,2 → 1,2,3 → 2,3,1.

Intuitive Interpretation Bearbeiten

Angenommen, das Vektorfeld beschreibt das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeitsströmung (z. B. eines großen Flüssigkeits- oder Gastanks) und eine kleine Kugel befindet sich innerhalb der Flüssigkeit oder des Gases (der Mittelpunkt der Kugel ist an einem bestimmten Punkt fixiert). Wenn die Kugel eine raue Oberfläche hat, wird sie durch die vorbeiströmende Flüssigkeit rotiert. Die Rotationsachse (ausgerichtet nach der Rechts-Hand-Regel) zeigt in Richtung der Curl des Feldes in der Ballmitte, und die Winkelgeschwindigkeit der Rotation ist an dieser Stelle halb so groß wie die Curl. [8]

Die Krümmung des Vektors an einem beliebigen Punkt ist durch die Drehung einer infinitesimalen Fläche im xy-Flugzeug (für z-Achsenkomponente der Locke), zx-Flugzeug (für ja-Achsenkomponente der Locke) und yz-Flugzeug (für x-Achsenkomponente des Curl-Vektors). Dies ist in den folgenden Beispielen deutlich zu sehen.

In der Praxis wird die obige Definition selten verwendet, da der Curl-Operator in praktisch allen Fällen unter Verwendung eines Satzes von krummlinigen Koordinaten angewendet werden kann, für die einfachere Darstellungen abgeleitet wurden.

Die Schreibweise ∇ × F hat seinen Ursprung in den Ähnlichkeiten mit dem dreidimensionalen Kreuzprodukt und ist als Gedächtnisstütze in kartesischen Koordinaten nützlich, wenn ∇ als Vektor-Differentialoperator del verwendet wird. Eine solche Notation mit Operatoren ist in der Physik und Algebra üblich.

Erweitert in 3-dimensionale kartesische Koordinaten (siehe Del in Zylinder- und Kugelkoordinaten für Kugel- und Zylinderkoordinatendarstellungen), ∇ × F ist für F zusammengesetzt aus [Fx, Fja, Fz] (wobei die Indizes die Komponenten des Vektors angeben, keine partiellen Ableitungen):

wo ich , J , und k sind die Einheitsvektoren für die x -, ja -, und z -Achsen bzw. Dies erweitert sich wie folgt: [9] : 43

Obwohl in Form von Koordinaten ausgedrückt, ist das Ergebnis bei korrekten Drehungen der Koordinatenachsen invariant, aber das Ergebnis invertiert unter Reflexion.

In einem allgemeinen Koordinatensystem ist die Locke gegeben durch [1]

wobei ε den Levi-Civita-Tensor bezeichnet, ∇ die kovariante Ableitung, g >> ist der Jacobi-Wert und die Einstein-Summenkonvention impliziert, dass wiederholte Indizes summiert werden. Aufgrund der Symmetrie der an der kovarianten Ableitung beteiligten Christoffel-Symbole reduziert sich dieser Ausdruck auf die partielle Ableitung:

wo Rk sind die lokalen Basisvektoren. Äquivalent kann die Locke unter Verwendung der äußeren Ableitung ausgedrückt werden als:

Hier sind ♭ und ♯ die musikalischen Isomorphismen, und ist der Hodge-Sternoperator. Diese Formel zeigt, wie man die Locke von berechnet F in jedem Koordinatensystem, und wie man die Kräuselung auf jede orientierte dreidimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit erweitert. Da dies von der Wahl der Orientierung abhängt, ist curl eine chirale Operation. Mit anderen Worten, wenn die Orientierung umgekehrt wird, dann wird auch die Richtung der Kräuselung umgekehrt.

Beispiel 1 Bearbeiten

Bei Sichtprüfung kann das Feld als "rotierend" bezeichnet werden. Wenn die Vektoren des Feldes eine lineare Kraft darstellen würden, die auf die an diesem Punkt vorhandenen Objekte einwirkt, und ein Objekt innerhalb des Felds platziert würde, würde das Objekt beginnen, sich im Uhrzeigersinn um sich selbst zu drehen. Dies gilt unabhängig davon, wo das Objekt platziert ist.

Das resultierende Vektorfeld, das die Locke beschreibt, würde an allen Punkten ins Negative zeigen z Richtung. Die Ergebnisse dieser Gleichung stimmen mit dem überein, was mit der Rechts-Hand-Regel mit einem rechtshändigen Koordinatensystem hätte vorhergesagt werden können. Da es sich um ein einheitliches Vektorfeld handelt, hätte das zuvor beschriebene Objekt unabhängig von seiner Platzierung die gleiche Rotationsintensität.

Beispiel 2 Bearbeiten

die Kräuselung ist aus dem Diagramm nicht so offensichtlich. Nehmen Sie jedoch das Objekt im vorherigen Beispiel und platzieren Sie es an einer beliebigen Stelle auf der Linie x = 3 , wäre die auf der rechten Seite ausgeübte Kraft etwas größer als die auf der linken Seite ausgeübte Kraft, wodurch sie sich im Uhrzeigersinn drehen würde. Mit der Rechte-Hand-Regel kann vorhergesagt werden, dass die resultierende Locke im Negativen gerade sein würde z Richtung. Umgekehrt, wenn auf x = −3 , das Objekt würde sich gegen den Uhrzeigersinn drehen und die Rechte-Hand-Regel würde ein positives ergeben z Richtung.

Die Locke zeigt im Minus z Richtung, wenn x positiv ist und umgekehrt. In diesem Feld wäre die Rotationsintensität größer, wenn sich das Objekt von der Ebene entfernt x = 0 .

Beschreibende Beispiele Bearbeiten

  • In einem Vektorfeld, das die Lineargeschwindigkeiten jedes Teils einer rotierenden Scheibe beschreibt, hat die Krümmung an allen Punkten den gleichen Wert.
  • Von den vier Maxwell-Gleichungen können zwei – das Faradaysche Gesetz und das Ampèresche Gesetz – kompakt mit curl ausgedrückt werden. Das Faradaysche Gesetz besagt, dass die Windung eines elektrischen Feldes gleich dem Gegenteil der zeitlichen Änderungsrate des Magnetfelds ist, während das Ampère-Gesetz die Windung des Magnetfelds mit dem Strom und der Änderungsrate des elektrischen Feldes in Beziehung setzt.

In allgemeinen krummlinigen Koordinaten (nicht nur in kartesischen Koordinaten) ist die Krümmung eines Kreuzprodukts von Vektorfeldern v und F kann gezeigt werden

Vertauschen des Vektorfeldes v und ∇-Operator erhalten wir das Kreuzprodukt eines Vektorfeldes mit der Kräuselung eines Vektorfeldes:

woF ist die tiefgestellte Feynman-Notation, die nur die Variation aufgrund des Vektorfeldes berücksichtigt F (d.h. in diesem Fall v wird als im Raum konstant behandelt).

Ein weiteres Beispiel ist die Kräuselung einer Kräuselung eines Vektorfeldes. Es kann gezeigt werden, dass in allgemeinen Koordinaten

und diese Identität definiert den Vektor-Laplace-Operator von F , symbolisiert als ∇ 2 F .

Die Locke des Farbverlaufs von irgendein Skalarfeld φ ist immer das Nullvektorfeld

die sich aus der Antisymmetrie in der Definition der Locke und der Symmetrie der zweiten Ableitungen ergibt.

Wenn φ eine skalare Funktion ist und F ein Vektorfeld ist, dann

Die Vektorrechnungsoperationen von grad, curl und div lassen sich am einfachsten im Kontext von Differentialformen verallgemeinern, die eine Reihe von Schritten umfassen. Kurz gesagt entsprechen sie den Ableitungen der 0-Formen, 1-Formen bzw. 2-Formen.Die geometrische Interpretation von Curl als Rotation entspricht der Identifizierung von Bivektoren (2-Vektoren) in 3 Dimensionen mit der speziellen orthogonalen Lie-Algebra s o >> (3) von infinitesimalen Drehungen (in Koordinaten, schiefsymmetrische 3 × 3-Matrizen), während die Darstellung von Drehungen durch Vektoren der Identifizierung von 1-Vektoren (entsprechend 2-Vektoren) und s o >> (3) , all dies sind dreidimensionale Räume.

Differentialformen Bearbeiten

In 3 Dimensionen ist eine differentielle 0-Form einfach eine Funktion F(x, ja, z) ist eine differentielle 1-Form der folgende Ausdruck:

eine Differential-2-Form ist die formale Summe:

und eine Differential-3-Form wird durch einen einzigen Term definiert:

(Hier sind die a -Koeffizienten reelle Funktionen die "Keilprodukte", z.B. dxdy , kann als eine Art orientierte Flächenelemente interpretiert werden, dxdy = −dydx , etc.)

Die äußere Ableitung von a k -form in R 3 ist definiert als (k + 1) -Form von oben – und in R n wenn z.B.

dann die äußere Ableitung D führt zu

Die äußere Ableitung einer 1-Form ist daher eine 2-Form, und die einer 2-Form ist eine 3-Form. Andererseits ist wegen der Austauschbarkeit von gemischten Derivaten, z.B. durch

die zweifache Anwendung der äußeren Ableitung führt auf 0.

Damit bezeichnet man den Raum von k -Formen von Ω k (R 3) und die äußere Ableitung nach D man bekommt eine Sequenz:

Hier k (R n ) ist der Raum der Abschnitte der äußeren Algebra Λ k (R n ) Vektorbündel über R n , deren Dimension der Binomialkoeffizient ist ( n
k ) beachte, dass Ω k (R 3 ) = 0 für k > 3 oder k < 0 . Wenn man nur Dimensionen schreibt, erhält man eine Reihe von Pascalschen Dreiecken:

die 1-dimensionalen Fasern entsprechen Skalarfeldern und die 3-dimensionalen Fasern Vektorfeldern, wie unten beschrieben. Modulo-geeignete Identifikationen, die drei nichttrivialen Vorkommen der äußeren Ableitung entsprechen grad, curl und div.

Differentialformen und das Differential können auf jedem euklidischen Raum oder sogar auf jeder Mannigfaltigkeit ohne den Begriff einer Riemannschen Metrik definiert werden. Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, oder allgemeiner Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit, k -Formen können identifiziert werden mit k -Vektorfelder ( k -Formen sind k -Kovektorfelder, und eine pseudo-Riemannsche Metrik ergibt einen Isomorphismus zwischen Vektoren und Kovektoren) und auf an orientiert Vektorraum mit nicht entarteter Form (ein Isomorphismus zwischen Vektoren und Kovektoren), gibt es einen Isomorphismus zwischen k -Vektoren und (nk) -Vektoren insbesondere auf (dem Tangentialraum) einer orientierten pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit. Auf einer orientierten pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit kann man also vertauschen k -Formen, k -Vektorfelder, (nk) -Formen und (nk) -Vektorfelder dies ist als Hodge-Dualität bekannt. Konkret, auf R 3 Dies ist gegeben durch:

  • 1-Formen und 1-Vektor-Felder: die 1-Form einx dx + einja dy + einz dz entspricht dem Vektorfeld (einx, einja, einz) .
  • 1-Formen und 2-Formen: eine ersetzt dx durch die doppelte Menge dydz (d.h. weglassen dx ) und ebenso für die Orientierung sorgen: dy entspricht dzdx = −dxdz , und dz entspricht dxdy . Also die Form einx dx + einja dy + einz dz entspricht der "Doppelform" einz dxdy + einja dzdx + einx dydz .

So identifizieren 0-Formen und 3-Formen mit Skalarfeldern und 1-Formen und 2-Formen mit Vektorfeldern:

  • grad macht aus einem Skalarfeld (0-Form) ein Vektorfeld (1-Form)
  • curl macht aus einem Vektorfeld (1-Form) ein Pseudovektorfeld (2-Form)
  • div nimmt ein Pseudovektorfeld (2-Form) in ein pseudoskalares Feld (3-Form)

Auf der anderen Seite die Tatsache, dass D 2 = 0 entspricht den Identitäten

für jedes Skalarfeld f , und

für jedes Vektorfeld vector v .

Grad und div verallgemeinern auf alle orientierten pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten, mit der gleichen geometrischen Interpretation, weil die Räume der 0-Formen und n -Formen an jedem Punkt sind immer 1-dimensional und können mit Skalarfeldern identifiziert werden, während die Räume von 1-Formen und (n − 1) -Formen sind immer faserweise n -dimensional und kann mit Vektorfeldern identifiziert werden.

Curl verallgemeinert auf diese Weise nicht auf 4 oder mehr Dimensionen (oder auf 2 oder weniger Dimensionen) in 4 Dimensionen sind die Dimensionen

also ist die Krümmung eines 1-Vektor-Feldes (faserweise 4-dimensional) a 2-Vektor-Feld, die an jedem Punkt zum 6-dimensionalen Vektorraum gehört, und so hat man

was eine Summe von sechs unabhängigen Termen ergibt und nicht mit einem 1-Vektor-Feld identifiziert werden kann. Man kann auch nicht sinnvoll von einem 1-Vektor-Körper zu einem 2-Vektor-Körper zu einem 3-Vektor-Körper (4 → 6 → 4) übergehen, da die zweimalige Differenzierung null ergibt ( D 2 = 0). Es entsteht somit keine Curl-Funktion von Vektorfeldern zu Vektorfeldern in anderen Dimensionen.

Man kann jedoch eine Kräuselung eines Vektorfeldes definieren als a 2-Vektor-Feld im Allgemeinen wie unten beschrieben.

Geometrisch locken Bearbeiten

Die Kräuselung eines 3-dimensionalen Vektorfeldes, die nur von 2 Koordinaten abhängt (sagen wir x und ja ) ist einfach ein vertikales Vektorfeld (im z Richtung), deren Größe die Krümmung des 2-dimensionalen Vektorfeldes ist, wie in den Beispielen auf dieser Seite.

Die Betrachtung von Curl als ein 2-Vektor-Feld (ein antisymmetrischer 2-Tensor) wurde verwendet, um die Vektorrechnung und die zugehörige Physik auf höhere Dimensionen zu verallgemeinern. [10]

Für den Fall, dass die Divergenz eines Vektorfeldes V Null ist, ein Vektorfeld W existiert so, dass V = locken(W) . [ Zitat benötigt ] Aus diesem Grund kann das Magnetfeld, das durch eine Divergenz von Null gekennzeichnet ist, als Windung eines magnetischen Vektorpotentials ausgedrückt werden.

Ob W ist ein Vektorfeld mit curl(W) = V , dann Hinzufügen eines beliebigen Gradientenvektorfeldes grad( F ) zu W ergibt ein anderes Vektorfeld W + grad( F ) so dass curl(W + grad( F )) = V sowie. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die inverse Krümmung eines dreidimensionalen Vektorfeldes mit dem Biot-Savart-Gesetz bis zu einem unbekannten Irotationsfeld erhalten werden kann.


Inhalt

Koordinatensysteme Bearbeiten

In der Mathematik beschreibt die analytische Geometrie (auch kartesische Geometrie genannt) jeden Punkt im dreidimensionalen Raum mittels dreier Koordinaten. Es sind drei Koordinatenachsen angegeben, jede senkrecht zu den anderen beiden im Ursprung, dem Punkt, an dem sie sich kreuzen. Sie sind normalerweise beschriftet x, ja , und z . Relativ zu diesen Achsen wird die Position jedes Punktes im dreidimensionalen Raum durch ein geordnetes Tripel reeller Zahlen angegeben, wobei jede Zahl den Abstand dieses Punktes vom Ursprung angibt, gemessen entlang der gegebenen Achse, der gleich dem Abstand dieser ist Punkt von der durch die anderen beiden Achsen bestimmten Ebene. [4]

Andere gängige Methoden zur Beschreibung der Lage eines Punktes im dreidimensionalen Raum umfassen Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten, obwohl es eine unendliche Anzahl möglicher Methoden gibt. Weitere Informationen finden Sie unter Euklidischer Raum.

Nachfolgend finden Sie Bilder der oben genannten Systeme.

Linien und Ebenen Bearbeiten

Zwei unterschiedliche Punkte bestimmen immer eine (gerade) Linie. Drei verschiedene Punkte sind entweder kollinear oder bestimmen eine eindeutige Ebene. Andererseits können vier verschiedene Punkte entweder kollinear oder koplanar sein oder den gesamten Raum bestimmen.

Zwei unterschiedliche Linien können sich entweder schneiden, parallel oder schräg sein. Zwei parallele Linien oder zwei sich schneidende Linien liegen in einer einzigen Ebene, also sind Schräglinien Linien, die sich nicht treffen und nicht in einer gemeinsamen Ebene liegen.

Zwei verschiedene Ebenen können sich entweder in einer gemeinsamen Linie treffen oder sind parallel (d. h. treffen sich nicht). Drei verschiedene Ebenen, von denen kein Paar parallel ist, können sich entweder in einer gemeinsamen Linie treffen, sich in einem einzigen gemeinsamen Punkt treffen oder keinen gemeinsamen Punkt haben. Im letzten Fall sind die drei Schnittlinien jedes Ebenenpaares zueinander parallel.

Eine Linie kann in einer bestimmten Ebene liegen, diese Ebene in einem einzigen Punkt schneiden oder parallel zur Ebene verlaufen. Im letzten Fall gibt es Linien in der Ebene, die parallel zur gegebenen Linie sind.

Eine Hyperebene ist ein Unterraum von einer Dimension weniger als die Dimension des vollen Raums. Die Hyperebenen eines dreidimensionalen Raums sind die zweidimensionalen Unterräume, also die Ebenen. In kartesischen Koordinaten erfüllen die Punkte einer Hyperebene eine einzige lineare Gleichung, also werden Ebenen in diesem 3-Raum durch lineare Gleichungen beschrieben. Eine Linie kann durch ein Paar unabhängiger linearer Gleichungen beschrieben werden, von denen jede eine Ebene mit dieser Linie als gemeinsamen Schnittpunkt darstellt.

Der Satz von Varignon besagt, dass die Mittelpunkte jedes Vierecks in ℝ 3 ein Parallelogramm bilden und daher koplanar sind.

Kugeln und Kugeln Bearbeiten

Eine Kugel im 3-Raum (auch a . genannt 2-Kugel weil es sich um ein 2-dimensionales Objekt handelt) besteht aus der Menge aller Punkte im 3-Raum mit festem Abstand R von einem zentralen Punkt P . Der von der Kugel eingeschlossene Festkörper heißt a Ball (oder genauer a 3-Ball). Das Volumen der Kugel ist gegeben durch

Eine andere Art von Kugel entsteht aus einer 4-Kugel, deren dreidimensionale Oberfläche die 3-Kugel: Punkte gleich weit vom Ursprung des euklidischen Raums ℝ 4 . Wenn ein Punkt Koordinaten hat, P(x, ja, z, w) , dann x 2 + ja 2 + z 2 + w 2 = 1 kennzeichnet die Punkte auf der Einheit 3-Kugel, die im Ursprung zentriert sind.

Polytope Bearbeiten

In drei Dimensionen gibt es neun regelmäßige Polytope: die fünf konvexen platonischen Körper und die vier nichtkonvexen Kepler-Poinsot-Polyeder.

Regelmäßige Polytope in drei Dimensionen
Klasse Platonische Körper Kepler-Poinsot-Polyeder
Symmetrie TD Öh ichh
Coxeter-Gruppe EIN3, [3,3] B3, [4,3] h3, [5,3]
Befehl 24 48 120
Regulär
Polyeder






<5/2,5>

<5,5/2>

<5/2,3>

<3,5/2>

Oberflächen der Rotation Bearbeiten

Eine Fläche, die durch Drehen einer ebenen Kurve um eine feste Linie in ihrer Ebene als Achse erzeugt wird, wird als Rotationsfläche bezeichnet. Die ebene Kurve heißt Generatrix der Oberfläche. Ein Abschnitt der Fläche, der durch Schnitt der Fläche mit einer Ebene senkrecht (orthogonal) zur Achse entsteht, ist ein Kreis.

Einfache Beispiele treten auf, wenn die Erzeugende eine Linie ist. Wenn die Mantellinie die Achslinie schneidet, ist die Rotationsfläche ein rechter Kreiskegel mit Scheitelpunkt (Apex) als Schnittpunkt. Sind Erzeugende und Achse jedoch parallel, dann ist die Rotationsfläche ein Kreiszylinder.

Quadrische Flächen Bearbeiten

In Analogie zu den Kegelschnitten ist die Menge der Punkte, deren kartesische Koordinaten die allgemeine Gleichung zweiten Grades erfüllen, nämlich

A x 2 + B y 2 + C z 2 + F xy + G yz + H xz + J x + K y + L z + M = 0 , +By^<2>+Cz ^<2>+Fxy+Gyz+Hxz+Jx+Ky+Lz+M=0,>

wo EIN, B, C, F, g, h, J, K, L und m sind reelle Zahlen und nicht alle EIN, B, C, F, g und h Null sind, heißt a quadratische Fläche. [5]

Es gibt sechs Arten von nicht entarteten quadratischen Flächen:

Die entarteten quadratischen Flächen sind die leere Menge, ein einzelner Punkt, eine einzelne Gerade, eine einzelne Ebene, ein Ebenenpaar oder ein quadratischer Zylinder (eine Fläche bestehend aus einem nicht entarteten Kegelschnitt in einer Ebene π und allen Geraden von ℝ 3 durch diesen Kegelschnitt, die normal zu π sind). [5] Elliptische Kegel werden manchmal auch als entartete quadratische Flächen angesehen.

Sowohl das Hyperboloid eines Blattes als auch das hyperbolische Paraboloid sind Regelflächen, können also aus einer Schar von Geraden bestehen. Tatsächlich hat jede Familie zwei Familien erzeugender Linien, die Mitglieder jeder Familie sind disjunkt und jedes Mitglied einer Familie schneidet mit nur einer Ausnahme jedes Mitglied der anderen Familie. [6] Jede Familie wird Regulus genannt.

Eine andere Möglichkeit, den dreidimensionalen Raum zu betrachten, findet sich in der linearen Algebra, wo die Idee der Unabhängigkeit entscheidend ist. Der Raum hat drei Dimensionen, da die Länge einer Box unabhängig von ihrer Breite oder Breite ist. In der Fachsprache der Linearen Algebra ist der Raum dreidimensional, weil jeder Punkt im Raum durch eine Linearkombination dreier unabhängiger Vektoren beschrieben werden kann.

Punktprodukt, Winkel und Länge Bearbeiten

Ein Vektor kann man sich als Pfeil vorstellen. Die Größe des Vektors ist seine Länge und seine Richtung ist die Richtung, in die der Pfeil zeigt. Ein Vektor in ℝ 3 kann durch ein geordnetes Tripel reeller Zahlen dargestellt werden. Diese Zahlen heißen die Komponenten des Vektors.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren EIN = [EIN1, EIN2, EIN3] und B = [B1, B2, B3] ist definiert als: [7]

Die Größe eines Vektors EIN wird mit || . bezeichnetEIN|| . Das Skalarprodukt eines Vektors EIN = [EIN1, EIN2, EIN3] mit sich selbst ist

die Formel für die euklidische Länge des Vektors.

Ohne Bezug auf die Komponenten der Vektoren ist das Skalarprodukt zweier von Null verschiedener euklidischer Vektoren EIN und B ist gegeben durch [8]

wo θ ist der Winkel zwischen EIN und B .

Produktübergreifend Bearbeiten

Das Kreuzprodukt oder Vektorprodukt ist eine binäre Operation an zwei Vektoren im dreidimensionalen Raum und wird durch das Symbol × bezeichnet. Das Kreuzprodukt ein × B der Vektoren ein und B ist ein Vektor, der senkrecht zu beiden steht und daher senkrecht zu der sie enthaltenden Ebene steht. Es hat viele Anwendungen in Mathematik, Physik und Ingenieurwesen.

Raum und Produkt bilden eine Algebra über einem Körper, die weder kommutativ noch assoziativ ist, sondern eine Lie-Algebra ist, wobei das Kreuzprodukt die Lie-Klammer ist.

Man kann in n Abmessungen nehmen das Produkt von n − 1 Vektoren, um einen zu allen senkrechten Vektor zu erzeugen. Aber wenn das Produkt auf nicht-triviale Binärprodukte mit Vektorergebnissen beschränkt ist, existiert es nur in drei und sieben Dimensionen. [9]

Farbverlauf, Divergenz und Curl Bearbeiten

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem ist die Steigung gegeben durch

Die Divergenz eines stetig differenzierbaren Vektorfeldes F = U ich + V J + W k ist gleich der skalarwertigen Funktion:

Erweitert in kartesischen Koordinaten (siehe Del in Zylinder- und Kugelkoordinaten für Kugel- und Zylinderkoordinatendarstellungen), wird die Curl ∇ ​​× F ist für F zusammengesetzt aus [Fx, Fja, Fz]:

wo ich, J, und k sind die Einheitsvektoren für die x-, ja-, und z-Achsen bzw. Dies erweitert sich wie folgt: [10]

Linienintegrale, Flächenintegrale und Volumenintegrale Bearbeiten

Für ein skalares Feld F : UR nR, das Linienintegral entlang einer stückweise glatten Kurve CU ist definiert als

wo R: [a, b] → C ist eine beliebige bijektive Parametrisierung der Kurve C so dass R(ein) und R(B) geben Sie die Endpunkte von an C und a < b .

Für ein Vektorfeld F : UR nR n , das Linienintegral entlang einer stückweise glatten Kurve CU, in der Richtung von R, ist definiert als

wobei · das Punktprodukt ist und R: [a, b] → C ist eine bijektive Parametrisierung der Kurve C so dass R(ein) und R(B) geben Sie die Endpunkte von an C.

Ein Flächenintegral ist eine Verallgemeinerung mehrerer Integrale auf die Integration über Flächen. Es kann als das Doppelintegral-Analogon des Linienintegrals betrachtet werden. Um eine explizite Formel für das Oberflächenintegral zu finden, müssen wir die interessierende Oberfläche parametrisieren, S, unter Berücksichtigung eines krummlinigen Koordinatensystems auf S, wie der Breiten- und Längengrad auf einer Kugel. Sei eine solche Parametrisierung x(S, T), wo (S, T) variiert in einigen Regionen T im Flugzeug. Dann ist das Oberflächenintegral gegeben durch

wobei der Ausdruck zwischen den Balken auf der rechten Seite der Betrag des Kreuzprodukts der partiellen Ableitungen von ist x(S, T) und wird als Oberflächenelement bezeichnet. Gegeben ein Vektorfeld v an S, das ist eine Funktion, die jedem zuweist x In S ein Vektor v(x) kann das Flächenintegral komponentenweise definiert werden entsprechend der Definition des Flächenintegrals eines Skalarfeldes ergibt sich ein Vektor.

Es kann auch ein Dreifachintegral innerhalb einer Region bedeuten D In R 3 einer Funktion f ( x , y , z ) , und wird normalerweise geschrieben als:

Fundamentalsatz der Linienintegrale Bearbeiten

Der fundamentale Satz der Linienintegrale besagt, dass ein Linienintegral durch ein Gradientenfeld ausgewertet werden kann, indem das ursprüngliche skalare Feld an den Endpunkten der Kurve ausgewertet wird.

Satz von Stokes Bearbeiten

Der Satz von Stokes setzt das Flächenintegral der Windung eines Vektorfeldes F über eine Fläche Σ im euklidischen Dreiraum in Beziehung zum Linienintegral des Vektorfeldes über dessen Rand ∂Σ:

Divergenzsatz Bearbeiten

Angenommen, V ist eine Teilmenge von R n ^> (im Fall von n = 3, V stellt ein Volumen im 3D-Raum dar), das kompakt ist und einen stückweise glatten Rand S hat (auch mit ∂ bezeichnetV = S ). Ob F ein stetig differenzierbares Vektorfeld ist, das auf einer Umgebung von V definiert ist, dann sagt der Divergenzsatz: [11]

Die linke Seite ist ein Volumenintegral über das Volumen V , die rechte Seite ist das Flächenintegral über den Rand des Volumens V . Die geschlossene Mannigfaltigkeit ∂V ganz allgemein der durch nach außen gerichtete Normalen orientierte Rand von V, und n ist das nach außen zeigende Einheitsnormalfeld des Randes ∂V . ( DS kann als Abkürzung für verwendet werden ndS .)

Der dreidimensionale Raum hat eine Reihe topologischer Eigenschaften, die ihn von Räumen anderer Dimensionszahlen unterscheiden. Zum Beispiel sind mindestens drei Dimensionen erforderlich, um einen Knoten in einem Stück Schnur zu binden. [12]

In der Differentialgeometrie sind die generischen dreidimensionalen Räume 3-Mannigfaltigkeiten, die lokal R 3 >^<3>> .

Viele Dimensionsideen können mit endlicher Geometrie getestet werden.Die einfachste Instanz ist PG(3,2), das Fano-Ebenen als seine 2-dimensionalen Unterräume hat. Es ist ein Beispiel der Galois-Geometrie, einer Studie der projektiven Geometrie mit endlichen Körpern. Somit gilt für jedes Galois-Feld GF(Q), gibt es einen projektiven Raum PG(3,Q) von drei Dimensionen. Zum Beispiel drei beliebige Schräglinien in PG(3,Q) sind in genau einem Regulus enthalten. [13]


Ausgearbeitetes Beispiel 15: Ergebnis unter Verwendung von Komponenten

Bestimmen Sie durch Auflösen in Komponenten die Resultierende der folgenden vier an einem Punkt wirkenden Kräfte:

  • (vec_1)=( ext<3,5>) ( ext) bei ( ext<45>)( ext<°>) zur positiven (x)-Achse.
  • (vec_2)=( ext<2,7>) ( ext) bei ( ext<63>)( ext<°>) zur positiven (x)-Achse.
  • (vec_3)=( ext<1,3>) ( ext) bei ( ext<127>)( ext<°>) zur positiven (x)-Achse.
  • (vec_4)=( ext<2,5>) ( ext) bei ( ext<245>)( ext<°>) zur positiven (x)-Achse.

Skizziere das Problem

Zeichnen Sie alle Vektoren auf der kartesischen Ebene. Dies muss nicht genau sein, da wir algebraisch lösen, aber Vektoren müssen im richtigen Quadranten und mit der richtigen relativen Positionierung zueinander gezeichnet werden.

Wir werden die verschiedenen Komponenten in einer Tabelle aufzeichnen, damit wir den Überblick behalten können. Für jeden Vektor müssen wir die Komponenten in (x)- und (y)-Richtung bestimmen.

Bestimmen Sie die Komponenten von (vec_1)

Zweitens finden wir den Betrag der horizontalen Komponente, (_>):

Bestimmen Sie die Komponenten von (vec_2)

Zweitens finden wir den Betrag der horizontalen Komponente, (_>):

Bestimmen Sie die Komponenten von (vec_3)

Zweitens finden wir den Betrag der horizontalen Komponente, (_>):

Bestimmen Sie die Komponenten von (vec_4)

Zweitens finden wir den Betrag der horizontalen Komponente, (_>):

Bestimmen Sie die Komponenten der resultierenden

Summieren Sie die verschiedenen Komponentenspalten, um die Komponenten des Ergebnisses zu bestimmen. Denken Sie daran, dass bei einer negativen Komponente das negative Vorzeichen in der Summation nicht weggelassen wird.

Da wir nun die Komponenten der Resultierenden haben, können wir den Satz des Pythagoras verwenden, um den Betrag der Resultierenden R zu bestimmen.

Wir können den Winkel auch mit der positiven (x)-Achse bestimmen.

Zitiere die letzte Antwort

Die Resultierende hat eine Größe von ( ext<4,10>) ( ext) in einem Winkel von ( ext<27,00>)( ext<°>) zur positiven (x)-Richtung.

Ein Experiment zur informellen Bewertung der Verwendung von Krafttafeln zur Bestimmung der Resultierenden von Vektoren ist enthalten. In diesem Experiment verwenden die Lernenden eine Krafttafel, um die Resultierende von drei nichtlinearen Vektoren zu bestimmen. Sie benötigen Blankopapier, Kraftbrett, 4 Federwaagen, eine Auswahl an Gewichten, Darm oder Schnur und vier Rollen pro Gruppe. Dieses Experiment bietet den Lernenden die Möglichkeit, eine abstrakte mathematische Idee in Aktion zu sehen. Die Lernenden können grafische Techniken wie die Tail-to-Head-Methode verwenden, um das Ergebnis von drei der vier gemessenen Kräfte zu ermitteln. Die Fragen am Ende des Experiments helfen den Lernenden, über die erzielten Ergebnisse nachzudenken.


1.3: Vektoren in drei Dimensionen - Mathematik

Vektoren sind nützliche Werkzeuge zur Lösung zweidimensionaler Probleme. Das Leben findet jedoch in drei Dimensionen statt. Um die Verwendung von Vektoren auf realistischere Anwendungen auszudehnen, ist es notwendig, einen Rahmen zur Beschreibung des dreidimensionalen Raums zu schaffen. Obwohl beispielsweise eine zweidimensionale Karte ein nützliches Werkzeug für die Navigation von einem Ort zum anderen ist, ist in einigen Fällen die Topographie des Landes wichtig. Führt Ihre geplante Route durch die Berge? Müssen Sie einen Fluss überqueren? Um die Auswirkungen dieser geografischen Merkmale vollständig einschätzen zu können, müssen Sie drei Dimensionen verwenden. Dieser Abschnitt präsentiert eine natürliche Erweiterung der zweidimensionalen kartesischen Koordinatenebene in drei Dimensionen.

Dreidimensionale Koordinatensysteme

Wie wir gelernt haben, enthält das zweidimensionale rechtwinklige Koordinatensystem zwei senkrechte Achsen: die Horizontale x-Achse und die Vertikale ja-Achse. Wir können eine dritte Dimension hinzufügen, die z-Achse, die senkrecht zu den beiden x-Achse und die ja-Achse. Wir nennen dieses System das dreidimensionale rechtwinklige Koordinatensystem. Es repräsentiert die drei Dimensionen, denen wir im wirklichen Leben begegnen.

Das dreidimensionale rechtwinklige Koordinatensystem besteht aus drei senkrechten Achsen: dem x-Achse, die ja-Achse und die z-Achse. Da jede Achse ein Zahlenstrahl ist, der alle reellen Zahlen in ℝ , ℝ darstellt, wird das dreidimensionale System oft mit ℝ 3 bezeichnet. ℝ 3.

In [link](a) das Positive z-Achse wird über der Ebene angezeigt, die die enthält x- und ja-Achsen. Das Positive x-Achse erscheint nach links und positiv ja-Achse ist nach rechts. Eine natürliche Frage ist: Wie wurde die Anordnung festgelegt? Das angezeigte System folgt der Rechts-Hand-Regel . Wenn wir unsere rechte Hand nehmen und die Finger mit dem Positiv ausrichten x-Achse, dann kräuseln Sie die Finger so, dass sie in Richtung des Positivs zeigen ja-Achse, unser Daumen zeigt in Richtung des Positiven z-Achse. In diesem Text arbeiten wir immer mit Koordinatensystemen, die nach der Rechte-Hand-Regel aufgebaut sind. Einige Systeme folgen einer Links-Hand-Regel, aber die Rechts-Hand-Regel gilt als die Standarddarstellung.

(a) Wir können das zweidimensionale rechtwinklige Koordinatensystem erweitern, indem wir eine dritte Achse hinzufügen, die z-Achse, die senkrecht zu beiden x-Achse und die ja-Achse. (b) Die Rechte-Hand-Regel wird verwendet, um die Platzierung der Koordinatenachsen in der kartesischen Standardebene zu bestimmen.

Um den Punkt ( x , y , z ) ( x , y , z ) zu zeichnen, gehen Sie x x Einheiten entlang der x-Achse, dann y y Einheiten in Richtung der ja-Achse, dann z z Einheiten in Richtung der z-Achse.

Um einen Punkt zu skizzieren, skizzieren Sie zunächst drei Seiten eines rechteckigen Prismas entlang der Koordinatenachsen: eine Einheit in positiver x x-Richtung, 2 2 Einheiten in negativer y y-Richtung und 3 3 Einheiten in positiver z z-Richtung. Vervollständigen Sie das Prisma, um den Punkt zu zeichnen ([link]).

Skizzieren des Punkts ( 1 , 𕒶 , 3 ) . ( 1 , 𕒶 , 3 ) .

Skizzieren Sie zunächst die Koordinatenachsen. Skizzieren Sie dann ein rechteckiges Prisma, um den Punkt im Raum zu finden.

Im zweidimensionalen Raum wird die Koordinatenebene durch ein Paar senkrechter Achsen definiert. Diese Achsen ermöglichen es uns, jeden Ort innerhalb der Ebene zu benennen. In drei Dimensionen definieren wir Koordinatenebenen durch die Koordinatenachsen, genau wie in zwei Dimensionen. Es gibt jetzt drei Achsen, also drei sich schneidende Achsenpaare. Jedes Achsenpaar bildet eine Koordinatenebene: die xy-Flugzeug, das xz-Flugzeug und die yz-Flugzeug ([Link]). Wir definieren die xy-plane formal als die folgende Menge: < ( x , y , 0 ) : x , y ∈ ℝ >. < ( x , y , 0 ) : x , y ∈ ℝ >. Ebenso die xz-Flugzeug und die yz-plane sind definiert als < ( x , 0 , z ) : x , z ∈ ℝ > < ( x , 0 , z ) : x , z ∈ ℝ >und < ( 0 , y , z ): y , z ∈ ℝ >, < ( 0 , y , z ) : y , z ∈ ℝ >.

Um dies zu visualisieren, stellen Sie sich vor, Sie bauen ein Haus und stehen in einem Raum, in dem nur zwei der vier Wände fertig sind. (Angenommen, die beiden fertigen Wände grenzen aneinander.) Wenn Sie mit dem Rücken zur Ecke stehen, an der sich die beiden fertigen Wände treffen und in den Raum zeigen, ist der Boden der floor xy-Flugzeug, die Wand zu deiner Rechten ist die xz-Flugzeug, und die Wand zu Ihrer Linken ist die yz-Flugzeug.

Das Flugzeug, das die enthält x- und ja-Achsen heißt die xy-Flugzeug. Das Flugzeug, das die enthält x- und z-Achsen heißt die xz-Flugzeug und die ja- und z-Achsen definieren die yz-Flugzeug.

In zwei Dimensionen teilen die Koordinatenachsen die Ebene in vier Quadranten. In ähnlicher Weise teilen die Koordinatenebenen den Raum zwischen ihnen in acht Regionen um den Ursprung, die Oktanten genannt werden. Die Oktanten füllen ℝ 3 ℝ 3 auf die gleiche Weise wie die Quadranten ℝ 2 , ℝ 2 , wie in [link] gezeigt.

Punkte, die in Oktanten liegen, haben drei positive Koordinaten.

Die meisten Arbeiten im dreidimensionalen Raum sind eine komfortable Erweiterung der entsprechenden Konzepte in zwei Dimensionen. In diesem Abschnitt verwenden wir unser Wissen über Kreise, um Kugeln zu beschreiben, und erweitern dann unser Verständnis von Vektoren auf drei Dimensionen. Um diese Ziele zu erreichen, passen wir zunächst die Distanzformel an den dreidimensionalen Raum an.

Liegen zwei Punkte in derselben Koordinatenebene, lässt sich der Abstand zwischen ihnen einfach berechnen. Der Abstand d d zwischen zwei Punkten ( x 1 , y 1 ) ( x 1 , y 1 ) und ( x 2 , y 2 ) ( x 2 , y 2 ) im xy-Koordinatenebene ist durch die Formel gegeben

Die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum ist eine natürliche Erweiterung dieser Formel.