Artikel

4.1: Auftakt zur Anwendung von Derivaten


Zusammenfassung: Ein Raketenstart beinhaltet zwei zusammenhängende Größen, die sich im Laufe der Zeit ändern. Darüber hinaus untersuchen wir, wie Ableitungen verwendet werden, um komplizierte Grenzwerte auszuwerten, um Wurzeln von f

Eine Rakete wird vom Boden abgeschossen und Kameras zeichnen das Ereignis auf. Eine Videokamera befindet sich am Boden in einer gewissen Entfernung von der Startrampe. Wie schnell sollte sich der Neigungswinkel (der Winkel, den die Kamera mit dem Boden bildet) ändern, damit die Kamera den Flug der Rakete nach oben aufzeichnen kann? (Siehe [Link].)

Abbildung (PageIndex{1}): Wie schnell sollte sich beim Start einer Rakete der Winkel einer Videokamera ändern, um die Rakete weiterhin zu sehen? (Kredit: Änderung der Arbeit von Steve Jurvetson, Wikimedia Commons)

Ein Raketenstart beinhaltet zwei zusammenhängende Größen, die sich im Laufe der Zeit ändern. Darüber hinaus untersuchen wir, wie Ableitungen verwendet werden, um komplizierte Grenzen zu berechnen, Wurzeln von Funktionen anzunähern und genaue Funktionsgraphen bereitzustellen.

Mitwirkende

  • Gilbert Strang (MIT) und Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) mit vielen beitragenden Autoren. Dieser Inhalt von OpenStax wird mit einer CC-BY-SA-NC 4.0-Lizenz lizenziert. Kostenlos herunterladen unter http://cnx.org.


4.1: Auftakt zur Anwendung von Derivaten

Im letzten Abschnitt dieses Kapitels werfen wir einen Blick auf einige Anwendungen von Derivaten in der Geschäftswelt. Meistens sind dies wirklich Anwendungen, die wir uns bereits angesehen haben, aber jetzt werden sie mit Blick auf die Geschäftswelt angegangen.

Beginnen wir mit ein paar Optimierungsproblemen. Wir haben uns in den vorherigen Abschnitten bereits mehr als einige davon angesehen, daher gibt es hier wirklich nichts wirklich Neues, außer der Tatsache, dass sie aus der Geschäftswelt kommen.

Wie viele Wohnungen sollten sie mieten, um ihren Gewinn zu maximieren?

Alles, was wir hier wirklich tun müssen, ist, den Gewinn unter der Bedingung zu maximieren, dass (x) im Bereich (0 le x le 250) liegen muss.

Zuerst benötigen wir die Ableitung und den (die) kritischen Punkt(en), die in den Bereich (0 le x le 250) fallen.

[P'left( x ight) = - 16x + 3200hspace <0.5in>Rightarrow hspace <0.25in>3200 - 16x = 0hspace<0.25in>, Rightarrow hspace <0.25in> x = frac<<3200>><<16>> = 200]

Da die Gewinnfunktion stetig ist und wir ein Intervall mit endlichen Grenzen haben, können wir den Maximalwert finden, indem wir einfach den einzigen kritischen Punkt, den wir haben (der schön genug im Bereich der akzeptablen Antworten liegt) und die Endpunkte des Bereichs einsetzen.

[Pleft( 0 ight) = - 80.000hspace<0.5in>Pleft( <200> ight) = 240.000hspace<0.5in>Pleft( <250> ight) = 220.000 ]

Es sieht also so aus, als würden sie den größten Gewinn erzielen, wenn sie nur 200 statt aller 250 Wohnungen vermieten.

Beachten Sie, dass Sie bei diesen Problemen nicht einfach davon ausgehen sollten, dass die Vermietung aller Wohnungen den größten Gewinn bringt. Vergessen Sie nicht, dass alle Arten von Unterhaltskosten anfallen und dass die Unterhaltskosten umso höher sind, je mehr Mieter Wohnungen mieten. Mit dieser Analyse können wir sehen, dass zumindest für diesen Komplex wahrscheinlich etwas getan werden muss, um den maximalen Gewinn mehr in Richtung Vollauslastung zu erzielen. Diese Art von Analyse kann ihnen dabei helfen, genau zu bestimmen, was sie tun müssen, um dieses Ziel zu erreichen, sei es die Miete zu erhöhen oder einen Weg zu finden, die Wartungskosten zu senken.

Beachten Sie auch, dass es möglich ist, dass der maximale Gewinn tatsächlich etwas unter die Vollauslastung fällt, um dies zu berücksichtigen, da die meisten Apartmentkomplexe nach dem Auszug eines Mieters oder ähnlichem mindestens einige Einheiten leer haben. Auch hier ein weiterer Grund, nicht einfach davon auszugehen, dass der maximale Gewinn immer an der oberen Grenze der Spanne liegt.

Werfen wir einen kurzen Blick auf ein anderes Problem in dieser Richtung.

Wie viele Widgets pro Tag sollten sie produzieren, um die Produktionskosten zu minimieren?

Hier müssen wir die Kosten unter der Bedingung minimieren, dass (x) im Bereich (0 le x le 60.000) liegen muss. Beachten Sie, dass die Kostenfunktion in diesem Fall am linken Endpunkt nicht stetig ist und wir daher nicht einfach kritische Punkte und Endpunkte in die Kostenfunktion einfügen können, um den Mindestwert zu finden.

Erhalten wir die ersten Ableitungen der Kostenfunktion.

Die kritischen Punkte der Kostenfunktion sind

Nun macht der negative Wert in dieser Einstellung eindeutig keinen Sinn und so haben wir einen einzigen kritischen Punkt im Bereich der möglichen Lösungen: 50.000.

Solange nun (x > 0) die zweite Ableitung positiv ist, ist die Funktion im Bereich der möglichen Lösungen immer nach oben konkav, sodass die Herstellung von 50.000 Widgets die absolut minimalen Produktionskosten ergibt.

Erinnern Sie sich an den Optimierungsabschnitt, in dem wir diskutiert haben, wie wir die zweite Ableitung verwenden können, um die absoluten Extrema zu identifizieren, obwohl wir wirklich nur relative Extrema daraus erhalten.

Nun, wir sollten die beiden vorherigen Beispiele nicht mit der Idee verlassen, dass die einzigen Anwendungen für Unternehmen nur Anwendungen sind, die wir uns bereits angesehen haben, aber mit einem geschäftlichen „Twist“.

Es gibt einige sehr reale Anwendungen der Infinitesimalrechnung, die in der Geschäftswelt zu finden sind, und auf einer bestimmten Ebene ist dies der Punkt dieses Abschnitts. Beachten Sie, dass Sie einen oder zwei oder drei Business-Kurse belegen müssen, um diese Anwendungen und all ihre Feinheiten wirklich zu lernen. In diesem Abschnitt kratzen wir nur an der Oberfläche und bekommen ein Gefühl für einige der tatsächlichen Anwendungen der Infinitesimalrechnung aus der Geschäftswelt und einige der wichtigsten „Buzz“-Wörter in den Anwendungen.

Beginnen wir mit dem folgenden Beispiel.

Beantworten Sie jede der folgenden Fragen.

  1. Wie hoch sind die Kosten für die Herstellung des 301. Widgets?
  2. Wie hoch ist die Änderungsrate der Kosten bei (x = 300)?

Wir können nicht einfach (Cleft( <301> ight)) berechnen, da dies die Kosten für die Produktion von 301 Widgets sind, während wir nach den tatsächlichen Kosten für die Produktion des 301. Widgets suchen. Mit anderen Worten, wonach wir hier suchen, ist,

[Cleft( <301> ight) - Cleft( <300> ight) = 97.695,91 - 97.400,00 = 295,91]

Die Kosten für die Herstellung des 301. Widgets betragen also 295,91 USD.

In diesem Teil müssen wir nur die Ableitung ermitteln und dann (C'left(<300> ight)) berechnen.

[C'left( x ight) = 350 - 0.18xhspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>C'left( <300> ight) = 296.00]

Okay, was haben wir in diesem Beispiel gelernt? Die Kosten für die Herstellung eines zusätzlichen Artikels werden als bezeichnet Grenzkosten und wie wir im obigen Beispiel gesehen haben, werden die Grenzkosten durch die Änderungsrate der Kostenfunktion, (Clinks(x echts)). Also definieren wir die Grenzkostenfunktion die Ableitung der Kostenfunktion oder (C'left( x ight)). Lassen Sie uns ein kurzes Beispiel dafür arbeiten.

Wie hoch sind die Grenzkosten bei (x = 200), (x = 300) und (x = 400)?

Wir brauchen also die Ableitung und dann müssen wir einige Werte der Ableitung berechnen.

[StartC'links(x echts) & = - 10 - 0,02x + 0,0006 C'left( <200> ight) & = 10hspace<0.5in>C'left( <300> ight) = 38hspace<0.5in>C'left( <400> rechts) = 78end]

Um das 201. Widget zu produzieren, wird es also ungefähr 10 US-Dollar kosten. Die Herstellung des 301. Widgets kostet etwa 38 US-Dollar. Schließlich kostet die Herstellung des 401. Widgets ungefähr 78 US-Dollar.

Beachten Sie, dass (C'left( n ight)) die ungefähren Kosten für die Herstellung von ( echts)^<>>>) Artikel und NICHT der n-te Artikel, wie es den Anschein haben mag!

Wenden wir uns nun der Durchschnittskosten Funktion. Wenn (Cleft(x ight)) die Kostenfunktion für einen Artikel ist, dann ist die Durchschnittskostenfunktion

Hier ist die Skizze der Durchschnittskostenfunktion aus Beispiel 4 oben.

Daraus können wir erkennen, dass die Durchschnittskostenfunktion ein absolutes Minimum hat. Wir können auch sehen, dass dieses absolute Minimum an einem kritischen Punkt auftritt, wenn (overline C'left( x ight) = 0), da es dort eindeutig eine horizontale Tangente hat.

Nun könnten wir die Durchschnittskostenfunktion erhalten, diese differenzieren und dann den kritischen Punkt finden. Diese Durchschnittskostenfunktion ist jedoch ziemlich typisch für Durchschnittskostenfunktionen, also lassen Sie uns stattdessen die allgemeine Formel oben mithilfe der Quotientenregel differenzieren und sehen, was wir haben.

Nun, wie wir oben angemerkt haben, tritt das absolute Minimum auf, wenn (overline C'left( x ight) = 0) und dies wiederum tritt auf, wenn

[x,C'left( x ight) - Cleft( x ight) = 0hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>C'left( x ight) = frac<> = overline Cleft( x ight)]

Wir können also sehen, dass es für eine typische Durchschnittskostenfunktion so aussieht, dass wir die minimalen Durchschnittskosten erhalten, wenn die Grenzkosten gleich den Durchschnittskosten sind.

Wir sollten jedoch beachten, dass nicht alle Durchschnittskostenfunktionen so aussehen werden, und Sie sollten daher nicht davon ausgehen, dass dies immer der Fall sein wird.

Kommen wir nun zu den Umsatz- und Gewinnfunktionen. Nehmen wir zunächst an, dass der Preis, zu dem ein Artikel verkauft werden kann, wenn eine Nachfrage nach (x) Einheiten besteht, durch (pleft(x ight)) gegeben ist. Diese Funktion wird typischerweise entweder als die Nachfragefunktion oder der Preisfunktion.

Das Umsatzfunktion ist dann, wie viel Geld durch den Verkauf von (x) Gegenständen verdient wird und ist,

[Rlinks(x echts) = x,plinks(x echts)]

Das Gewinnfunktion ist dann,

[Pleft( x ight) = Rleft( x ight) - Cleft( x ight) = x,pleft( x ight) - Cleft( x ight) ]

Achten Sie darauf, die Nachfragefunktion (pleft( x ight)) - Kleinbuchstaben (p) und die Gewinnfunktion (Pleft( x ight)) - Großbuchstaben nicht zu verwechseln (P). Schlechte Notation vielleicht, aber da ist sie.

Endlich, das Grenzerlösfunktion ist (R'left( x ight)) und die Grenzgewinnfunktion ist (P'left(x ight)) und diese repräsentieren den Umsatz bzw. den Gewinn, wenn eine weitere Einheit verkauft wird.

Werfen wir einen kurzen Blick auf ein Beispiel für die Verwendung dieser.

und die Nachfragefunktion für die Widgets ist gegeben durch,

[pleft(x ight) = 200 - 0.005xhspace<0.5in>0 le x le 10000]

Bestimmen Sie die Grenzkosten, den Grenzerlös und den Grenzgewinn, wenn 2500 Widgets verkauft werden und wenn 7500 Widgets verkauft werden. Gehen Sie davon aus, dass das Unternehmen genau das verkauft, was es produziert.

Okay, das erste, was wir tun müssen, ist, alle verschiedenen Funktionen zu erhalten, die wir benötigen. Hier sind die Umsatz- und Gewinnfunktionen.

Nun sind alle Randfunktionen

[StartC'links(x echts) & = 100 - 0,06x + 0,00012 R'left( x ight) & = 200 - 0,01x P'left( x ight) & = 100 + 0,05x - 0.000012Ende]

Die Randfunktionen beim Verkauf von 2500 Widgets sind:

[C'left( <2500> ight) = 25hspace<0.5in>R'left( <2500> ight) = 175hspace<0.5in>P'left( <2500> ight ) = 150]

Die Randfunktionen beim Verkauf von 7500 sind:

[C'left( <7500> ight) = 325hspace<0.5in>R'left( <7500> ight) = 125hspace<0.5in>P'left( <7500> ight ) = - 200]

Nach der Herstellung und dem Verkauf des 2501. Widgets kostet das Unternehmen ungefähr 25 US-Dollar, um das Widget zu produzieren, und sie werden einen zusätzlichen Umsatz von 175 US-Dollar und einen Gewinn von 150 US-Dollar erzielen.

Auf der anderen Seite, wenn sie das 7501. Widget produzieren und verkaufen, kostet es zusätzliche 325 US-Dollar und sie erhalten zusätzliche 125 US-Dollar an Einnahmen, verlieren jedoch 200 US-Dollar an Gewinn.

Wir schließen diesen Abschnitt mit einer kurzen Diskussion über die Maximierung des Gewinns ab. Wenn wir annehmen, dass der maximale Gewinn an einem kritischen Punkt auftritt, so dass (P'left( x ight) = 0), dann können wir Folgendes sagen:

[P'left( x ight) = R'left( x ight) - C'left( x ight) = 0hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>R' links(x echts) = C'links(x echts)]

Wir wissen dann, dass dies ein Maximum sein wird, wir sollten auch wissen, dass der Gewinn immer nach unten konkav war oder,

[P''left( x ight) = R''left( x ight) - C''left( x ight) < 0hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in> R''left( x ight) < C''left( x ight)]

Wenn wir also wissen, dass (R''left( x ight) < C''left( x ight)) dann maximieren wir den Gewinn, wenn (R'left( x ight) = C'left( x ight)) oder wenn die Grenzkosten gleich dem Grenzerlös sind.

In diesem Abschnitt haben wir einen kurzen Blick auf einige der Ideen in der Geschäftswelt geworfen, die Kalkül beinhalten. Auch hier muss betont werden, dass hier noch viel mehr passiert und um wirklich zu sehen, wie diese Anwendungen gemacht werden, sollten Sie wirklich einige Business-Kurse belegen. Der Sinn dieses Abschnitts war es, nur ein paar Ideen zu geben, wie die Infinitesimalrechnung in einem anderen Gebiet als den Wissenschaften verwendet wird.


2.1: Auftakt zur Anwendung von Derivaten

Eine Rakete wird vom Boden abgeschossen und Kameras zeichnen das Ereignis auf. Eine Videokamera befindet sich am Boden in einer gewissen Entfernung von der Startrampe. Wie schnell sollte sich der Neigungswinkel (der Winkel, den die Kamera mit dem Boden bildet) ändern, damit die Kamera den Flug der Rakete nach oben aufzeichnen kann?

Abbildung (PageIndex<1>): Wie schnell sollte sich der Winkel einer Videokamera beim Start einer Rakete ändern, um die Rakete weiterhin zu sehen? (Kredit: Änderung der Arbeit von Steve Jurvetson, Wikimedia Commons)

Ein Raketenstart beinhaltet zwei zusammenhängende Größen, die sich im Laufe der Zeit ändern. Die Lösung dieser Art von Problemen ist nur eine Anwendung von Ableitungen, die in diesem Kapitel vorgestellt werden. Wir sehen uns auch an, wie Ableitungen verwendet werden, um maximale und minimale Werte von Funktionen zu finden. Als Ergebnis werden wir in der Lage sein, angewandte Optimierungsprobleme zu lösen, wie zum Beispiel die Maximierung des Umsatzes und die Minimierung der Fläche. Darüber hinaus untersuchen wir, wie Ableitungen verwendet werden, um komplizierte Grenzen zu berechnen, Wurzeln von Funktionen anzunähern und genaue Funktionsgraphen bereitzustellen.


2.1: Auftakt zur Anwendung von Derivaten

Eine Rakete wird vom Boden abgeschossen und Kameras zeichnen das Ereignis auf. Eine Videokamera befindet sich am Boden in einer gewissen Entfernung von der Startrampe. Wie schnell sollte sich der Neigungswinkel (der Winkel, den die Kamera mit dem Boden bildet) ändern, damit die Kamera den Flug der Rakete nach oben aufzeichnen kann?

Abbildung (PageIndex<1>): Wie schnell sollte sich der Winkel einer Videokamera beim Start einer Rakete ändern, um die Rakete weiterhin zu sehen? (Kredit: Änderung der Arbeit von Steve Jurvetson, Wikimedia Commons)

Ein Raketenstart beinhaltet zwei zusammenhängende Größen, die sich im Laufe der Zeit ändern. Die Lösung dieser Art von Problemen ist nur eine Anwendung von Ableitungen, die in diesem Kapitel vorgestellt werden. Wir sehen uns auch an, wie Ableitungen verwendet werden, um maximale und minimale Werte von Funktionen zu finden. Als Ergebnis werden wir in der Lage sein, angewandte Optimierungsprobleme zu lösen, wie zum Beispiel die Maximierung des Umsatzes und die Minimierung der Fläche. Darüber hinaus untersuchen wir, wie Ableitungen verwendet werden, um komplizierte Grenzen zu berechnen, Wurzeln von Funktionen anzunähern und genaue Funktionsgraphen bereitzustellen.


Rechnen lehren

Einheit 4 behandelt Änderungsraten bei Bewegungsproblemen und anderen Kontexten, verwandte Geschwindigkeitsprobleme, lineare Approximation und die L’Hospital’-Regel. (CED – 2019 S. 82 – 90). Diese Themen machen etwa 10 – 15 % der Fragen der AB-Prüfung und 6 – 9 % der BC-Fragen aus.

Vielleicht möchten Sie in Erwägung ziehen, Einheit 5 (Analytische Differenzierungsanwendungen) vor Einheit 4 zu unterrichten. Hinweise zu Einheit 5 werden am nächsten Dienstag, 29. September 2020, veröffentlicht

Themen 4.1 – 4.6

Thema 4.1 Die Bedeutung der Ableitung im Kontext interpretieren Die Studierenden lernen die Bedeutung der Ableitung in Situationen mit Änderungsraten kennen.

Thema 4.2 Lineare Bewegung Die Zusammenhänge zwischen Position, Geschwindigkeit, Geschwindigkeit und Beschleunigung. Dieses Thema könnte nach den Grafikproblemen in Einheit 5 besser funktionieren, da viele der Ideen gleich sind. Siehe Bewegungsprobleme: Gleiche Sache, anderer Kontext

Thema 4.3 Änderungsraten in anderen Kontexten als Bewegung Andere Anwendungen

Thema 4.4 Einführung in verwandte Tarife Verwenden der Kettenregel

Thema 4.5 Lösen verwandter Ratenprobleme

Thema 4.6 Näherungswerte einer Funktion mit lokaler Linearität und Linearisierung Die Tangentenlinien-Approximation

Thema 4.7 Verwenden der L’Hospital’-Regel zur Bestimmung der Grenzen unbestimmter Formen. Unbestimmte Formen vom Typ und . (Andere Formulare können enthalten sein, aber nur diese beiden werden bei den AP-Prüfungen getestet.)

Themen 4.1 und 4.3 sind in den anderen Themen enthalten, Thema 4.2 kann einige Tage dauern, Themen 4.4 – 4.5 sind für viele Schüler eine Herausforderung und können 4 – 5 Unterrichtsstunden, 4.6 und 4.7 jeweils zwei Unterrichtsstunden dauern. Die empfohlene Zeit beträgt 10 -11 Klassen für AB und 6 -7 für BC. von 40 – 50-Minuten-Unterrichtsstunden, dies beinhaltet Zeit für Tests usw.

Dies ist ein Re-Post und Update des dritten in einer Reihe von Posts aus dem letzten Jahr. Es enthält Links zu Beiträgen in diesem Blog über die Unterscheidung von zusammengesetzten, impliziten und inversen Funktionen als Referenz bei der Planung. Weitere aktualisierte Beiträge zum CED 2019 werden das ganze Jahr über folgen, hoffentlich ein paar Wochen, bevor Sie zum Thema kommen.


Übungen 4.1

Begriffe und Konzepte

T/F: Implizite Differentiation wird häufig verwendet, wenn Probleme vom Typ „related rate“ gelöst werden.

T/F: Eine Untersuchung der entsprechenden Tarife gehört zur Standardausbildung von Polizeibeamten.

Probleme

Die Fläche eines Quadrats nimmt mit einer Geschwindigkeit von 42 ft 2 /min zu. Wie schnell nimmt die Seitenlänge zu, wenn die Länge 7 ft beträgt?

Betrachten Sie die in Beispiel 4.1.3 eingeführte Verkehrssituation. Wie schnell fährt das „andere Auto“, wenn der Beamte und das andere Auto jeweils 1/2 Meile von der Kreuzung entfernt sind, das andere Auto genau nach Westen fährt, der Beamte mit 80 Meilen pro Stunde nach Norden fährt und die Radaranzeige - 80 Meilen pro Stunde beträgt? ?

Ein F-22-Flugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit von 500 Meilen pro Stunde und einer Höhe von 10.000 Fuß auf einem geraden Weg, der es direkt über eine Flugabwehrkanone führt.


Bewegung entlang einer Linie

Eine andere Verwendung für die Ableitung besteht darin, die Bewegung entlang einer Linie zu analysieren. Wir haben die Geschwindigkeit als die Geschwindigkeit der Positionsänderung beschrieben. Wenn wir die Ableitung der Geschwindigkeit nehmen, können wir die Beschleunigung, oder die Geschwindigkeitsänderung. Es ist auch wichtig, die Idee der Geschwindigkeit, das ist die Größe der Geschwindigkeit. Somit können wir die folgenden mathematischen Definitionen angeben.

Definition

Lassen eine Funktion sein, die die Position eines Objekts zur Zeit angibt giving .

Die Geschwindigkeit des Objekts zur Zeit wird gegeben von .

Das Geschwindigkeit des Objekts zur Zeit wird gegeben von .

Das Beschleunigung des Objekts bei wird gegeben von .

Vergleich von Momentangeschwindigkeit und Durchschnittsgeschwindigkeit

Ein Ball wird aus einer Höhe von 64 Fuß fallen gelassen. Seine Höhe über dem Boden (in Fuß) Sekunden später ist gegeben durch .

  1. Wie groß ist die momentane Geschwindigkeit des Balls, wenn er den Boden berührt?
  2. Wie groß ist die durchschnittliche Geschwindigkeit beim Fallen?

Lösung

Als erstes müssen Sie feststellen, wie lange es dauert, bis der Ball den Boden erreicht. Stellen Sie dazu . Lösen , wir bekommen , es dauert also 2 Sekunden, bis der Ball den Boden erreicht.

  1. Die Momentangeschwindigkeit des Balls beim Auftreffen auf den Boden ist . Seit m wir erhalten ft/s.
  2. Die durchschnittliche Geschwindigkeit des Balls beim Fallen beträgt

ft/s.

Interpretieren der Beziehung zwischen und

Ein Partikel bewegt sich entlang einer Koordinatenachse in positiver Richtung nach rechts. Seine Position zur Zeit wird gegeben von . Finden und und verwenden Sie diese Werte, um die folgenden Fragen zu beantworten.

  1. Bewegt sich das Teilchen zur Zeit /> von links nach rechts oder von rechts nach links?
  2. Beschleunigt oder verlangsamt sich das Partikel zur Zeit />?

Lösung

Beginnen Sie mit der Suche und .

und .

Bewertung dieser Funktionen bei , wir erhalten und .

  1. weil , bewegt sich das Teilchen von rechts nach links.
  2. weil und , Geschwindigkeit und Beschleunigung wirken gegenläufig. Mit anderen Worten, das Teilchen wird entgegen seiner Bewegungsrichtung beschleunigt, wodurch verringern. Das Teilchen wird langsamer.

Position und Geschwindigkeit

Die Position eines Teilchens, das sich entlang einer Koordinatenachse bewegt, ist gegeben durch .

  1. Finden .
  2. Zu welcher Zeit(en) ruht das Teilchen?
  3. In welchen Zeitintervallen bewegt sich das Teilchen von links nach rechts? Von rechts nach links?
  4. Verwenden Sie die erhaltenen Informationen, um den Weg des Partikels entlang einer Koordinatenachse zu skizzieren.

Lösung

.

Der Weg des Partikels kann durch Analyse bestimmt werden .

Ein Partikel bewegt sich entlang einer Koordinatenachse. Seine Position zur Zeit wird gegeben von . Bewegt sich das Partikel gleichzeitig von rechts nach links oder von links nach rechts? ?

Lösung

Finden und schau dir das Schild an.


4.1: Auftakt zur Anwendung von Derivaten

Der Zweck dieses Abschnitts ist es, uns an eine der wichtigsten Anwendungen von Derivaten zu erinnern. Das ist die Tatsache, dass (f'left( x ight)) die Änderungsrate von (fleft( x ight)) darstellt. Dies ist eine Anwendung, die wir im vorherigen Kapitel wiederholt gesehen haben. Fast jeder Abschnitt des vorherigen Kapitels enthielt mindestens ein Problem, das sich mit dieser Anwendung von Ableitungen befasste. Während diese Anwendung in diesem Kapitel gelegentlich vorkommt, werden wir uns in diesem Kapitel mehr auf andere Anwendungen konzentrieren.

Damit wir diese Anwendung nicht vergessen, hier eine kurze Reihe von Beispielen, die sich auf die Änderungsrate von Derivaten konzentrieren. Beachten Sie, dass der Sinn dieser Beispiele darin besteht, Sie an das im vorherigen Kapitel behandelte Material zu erinnern und Ihnen nicht beizubringen, wie man diese Art von Problemen löst. Wenn Sie sich nicht mehr erinnern, wie Sie diese Art von Beispielen durchführen, müssen Sie zurückgehen und das vorherige Kapitel durchlesen.

Zuerst müssen wir die Ableitung der Funktion nehmen.

[g'left( x ight) = - 6 + 20sin left( <2x> ight)]

Nun ändert sich die Funktion nicht, wenn die Änderungsrate null ist. Um diese Frage zu beantworten, müssen wir also bestimmen, wo die Ableitung null ist. Also setzen wir dies gleich Null und lösen.

[ - 6 + 20sin left( <2x> ight) = 0hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>sin left( <2x> ight) = frac<6> <<20>> = 0,3]

Die Lösung hierfür ist dann

[Start<4>2x = & 0.3047 + 2pi n & & hspace<0.5in>,,,,>hspace<0.5in>,,,, & 2x = & 2.8369 + 2pi n & & hspace<0.25in>n = 0, pm 1, pm 2, ldots x = & 0.1524 + pi n & & hspace<0.5in>,,,,>hspace<0.5in>,,, & x = & 1,4185 + pi n & & hspace<0.25in>n = 0, pm 1, pm 2, ldots end]

Wenn Sie sich nicht erinnern, wie man trigonometrische Gleichungen löst, lesen Sie die Abschnitte Lösen von trigonometrischen Gleichungen im Review-Kapitel.

Wie beim ersten Problem müssen wir zunächst die Ableitung der Funktion bilden.

[A'left(t ight) = 135 - 180 - 390 = 15left( <9- 12t - 26> echts)]

Als nächstes müssen wir feststellen, wo sich die Funktion nicht ändert. Dies ist bei,

Die Funktion ändert sich also bei drei Werten von (t) nicht. Um schließlich zu bestimmen, wo die Funktion zu- oder abnimmt, müssen wir bestimmen, wo die Ableitung positiv oder negativ ist. Denken Sie daran, dass wenn die Ableitung positiv ist, die Funktion steigen muss und wenn die Ableitung negativ ist, muss die Funktion fallen. Der folgende Zahlenstrahl gibt diese Information.

Aus diesem Zahlenstrahl können wir also sehen, dass wir die folgenden zunehmenden und abnehmenden Informationen haben.

Wenn Sie nicht wissen, wie man polynomielle und rationale Ungleichungen löst, sollten Sie sich die entsprechenden Abschnitte im Review-Kapitel ansehen.

Schließlich können wir die Probleme mit den verwandten Tarifen nicht vergessen.

Das erste, was Sie hier tun müssen, ist, eine Figur zu skizzieren, die die Situation zeigt.

In dieser Abbildung repräsentiert (y) die von Auto B gefahrene Entfernung und (x) repräsentiert die Entfernung zwischen Auto A und der Anfangsposition von Auto B und (z) repräsentiert die Entfernung zwischen den beiden Autos. Nach 3 Stunden Fahrzeit haben Sie die folgenden Werte von (x) und (y).

[x = 500 - 35left( 3 ight) = 395hspace<0.5in>hspace<0.25in>y = 50left( 3 ight) = 150]

Wir können den Satz des Pythagoras verwenden, um (z) zu diesem Zeitpunkt wie folgt zu finden:

Um diese Frage zu beantworten, müssen wir (z') bestimmen, vorausgesetzt, (x' = - 35) und (y' = 50). Stimmen Sie den Schildern der beiden angegebenen Preise zu? Denken Sie daran, dass eine Rate negativ ist, wenn die Menge sinkt, und positiv, wenn die Menge steigt.

Wir können hier wieder den Satz des Pythagoras verwenden. Schreiben Sie es zuerst auf und denken Sie daran, dass sich (x), (y) und (z) alle mit der Zeit ändern, und differenzieren Sie die Gleichung daher mit der impliziten Differenzierung.

Schließlich müssen wir nur noch eine Zwei von allem streichen, die bekannten Größen einsetzen und nach (z') auflösen.

[z'left( <422.5222> ight) = left( <395> ight)left( < - 35> ight) + left( <150> ight)left( <50> rechts)hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.5in>z' = frac<< - 6325>><<422.5222>> = - 14.9696]

Nach drei Stunden verringert sich der Abstand zwischen ihnen mit einer Geschwindigkeit von 14.9696 Meilen pro Stunde.

In diesem Abschnitt haben wir also drei „Standard“-Probleme behandelt, wobei die Idee verwendet wurde, dass die Ableitung einer Funktion die Änderungsrate der Funktion angibt. Wie bereits erwähnt, konzentriert sich dieses Kapitel mehr auf andere Anwendungen als auf die Idee der Änderungsrate. Wir dürfen diese Anwendung jedoch nicht vergessen, da sie sehr wichtig ist.


Anwendungen von Derivaten Klasse 12 Mathematik

Alle auf dieser Website verfügbaren Videos, Notizen und Aufgaben sind urheberrechtlich geschütztes Material von Ashish Kumar. Im Rahmen der Mitgliedschaft sind Sie berechtigt, diese nur bis zum Ablauf Ihrer Mitgliedschaft für Ihren persönlichen Gebrauch zu verwenden. Für weitere Informationen lesen Sie unsere Allgemeinen Geschäftsbedingungen.

Neue Plattform gestartet

Die Videos von Agam Sir sind jetzt auf der neuen Plattform unter der Webadresse MathYug.com verfügbar.
Auf der neuen Plattform können Sie jedes Kapitel separat erwerben.

Haftungsausschluss

Alle Logos und Namen von Drittanbietern sind ausschließlich Eigentum ihrer jeweiligen Eigentümer.
Es wurden alle Anstrengungen unternommen, um perfekte Bildungsinhalte auf der Website bereitzustellen, aber manchmal können Sie aufgrund unvermeidbarer Umstände/Situationen Fehler in den auf der Website bereitgestellten Inhalten finden. Es wird empfohlen, bei der Nutzung der Website Vorsicht walten zu lassen.


Anwendungen von Derivaten

Anwendungen von Ableitungen: Änderungsrate von Körpern, steigende/absteigende Funktionen, Tangenten und Normale, Verwendung von Ableitungen in Approximation, Maxima und Minima (erster Ableitungstest geometrisch motiviert und zweiter Ableitungstest wird als beweisbares Werkzeug angegeben)

Um praktische Probleme wie die technische Optimierung zu lösen, besteht die größte Herausforderung oft darin, das Wortproblem in ein mathematisches Optimierungsproblem umzuwandeln – indem man die zu maximierende oder zu minimierende Funktion aufstellt. In ähnlicher Weise können wir auch die Änderungsrate eines Körpers durch Differenzierung bestimmen.

Denken Sie daran, dass dy/dx positiv ist, wenn y mit zunehmendem x zunimmt, und negativ ist, wenn y mit zunehmendem x abnimmt.Außerdem kann die Steigung der Tangente einer Kurve f(x) durch Ableiten der Funktion der Kurve am gegebener Punkt. Da die Normalenlinie an einem bestimmten Punkt senkrecht zur Kurve f(x) steht, beträgt die Steigung der Normalen -1/f’(x).

Beispiel: Ein Schiff erreicht seine Höchstgeschwindigkeit in 5 Minuten. Während dieser Zeit kann seine Entfernung zum Start mit der Formel berechnet werden D = T + 50T 2 wo T ist die Zeit in Sekunden und D wird in Metern gemessen. Wie schnell beschleunigt es?

Geschwindigkeit, v m/s, ist die Geschwindigkeit der Entfernungsänderung in Bezug auf die Zeit.

Beschleunigung, ein m/s 2 , ist die Änderungsgeschwindigkeit von Geschwindigkeit nach der Zeit oder der zweiten Ableitung der Entfernung nach der Zeit.

Betrachten Sie nun die folgende Grafik:

Die Vorzeichen geben an, wo die Steigung der Kurve =, – oder 0 ist. In jedem Fall:

Eine Funktion wächst streng in einem Bereich, in dem F´(x) > 0. Eine Funktion wächst streng in einem Bereich, in dem F´(x) < 0. Eine Funktion ist stationär mit F´(x) = 0

Identifizieren Sie, wo die Funktion (i) zunimmt (ii) abnimmt (iii) Briefpapier

Lösung: f’(x) = 6x 2 – 6x – 12

Eine Skizze der Ableitung zeigt uns, dass

Wenn eine Funktion auf einem geschlossenen Intervall definiert ist, einxB, dann muss es in diesem Intervall einen maximalen und einen minimalen Wert haben.

Diese Werte finden Sie entweder unter

• ein stationärer Punkt [wo F´(x) = 0]

• ein Endpunkt des geschlossenen Intervalls. [F(ein) und F(B)]

Alles, was Sie tun müssen, ist diese Werte zu finden und den größten und den kleinsten Wert herauszusuchen.

Beispiel: Ein Hersteller stellt eine Dose für 250 ml Saft her. Die Kosten der Dose hängen von ihrem Radius ab. x cm.Aus praktischen Gründen muss der Radius zwischen 2,5 cm und 4,5 cm liegen.Die Kosten können aus der Formel berechnet werden

Berechnen Sie die maximalen und minimalen Werte der Kostenfunktion.

die an stationären Punkten gleich Null ist.

  • (3x– 1)(x – 3) = 0
  • x = 1 /3 oder x = 3
  • Arbeiten bis 1 d.p.
  • F( 1 /3) = 15.5
  • F(3) = 6
  • F(2.5) = 6.9
  • F(4·5) = 18.4
  • Durch Inspektion Fmax = 18,4 (wenn x = 4,5) und FMindest = 6 (wenn x = 3).

Sei f : D → R, D ⊂R, eine gegebene Funktion und sei y = f (x). Sei ∆x ein kleines Inkrement in x. Denken Sie daran, dass die Zunahme von y der Zunahme von x entspricht, die mit ∆y bezeichnet wird und durch ∆y = f (x + ∆x) – f (x) gegeben ist. Wir definieren folgendes:

  • Das Differential von x, bezeichnet mit dx, ist definiert durch dx = ∆x.
  • Das Differential von y, bezeichnet mit dy, ist definiert durch dy = f′( x) dx

Im Fall dx = ∆x ist im Vergleich zu x relativ klein und für y bezeichnen wir dy ≈ ∆y.


Schau das Video: Vánoční koncert Komorní filharmonie Pardubice (Oktober 2021).