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1.2: Funktionsüberblick - Mathematik


In diesem Abschnitt geben wir eine formale Definition einer Funktion und untersuchen verschiedene Arten der Darstellung von Funktionen – nämlich durch Tabellen, Formeln und Graphen. Der größte Teil dieses Materials ist eine Überprüfung für Sie, aber es dient als praktische Referenz, um Sie an einige der algebraischen Techniken zu erinnern, die für die Arbeit mit Funktionen nützlich sind.

Funktionen

Gegeben zwei Mengen (A) und (B) eine Menge mit Elementen, die geordnete Paare ((x,y)) sind, wobei (x) ein Element von (A) und (y ) ist ein Element von (B,) ist eine Relation von (A) zu (B). Eine Beziehung von (A) zu (B) definiert eine Beziehung zwischen diesen beiden Mengen. Eine Funktion ist eine spezielle Art von Relation, bei der jedes Element der ersten Menge auf genau ein Element der zweiten Menge bezogen ist. Das Element der ersten Menge heißt Eingang; das Element der zweiten Menge heißt Ausgang. Funktionen werden in der Mathematik ständig verwendet, um Beziehungen zwischen zwei Mengen zu beschreiben. Für jede Funktion ist die Ausgabe bestimmt, wenn wir die Eingabe kennen, also sagen wir, dass die Ausgabe eine Funktion der Eingabe ist. Zum Beispiel wird die Fläche eines Quadrats durch seine Seitenlänge bestimmt, also sagen wir, dass die Fläche (der Ausgang) eine Funktion seiner Seitenlänge (der Eingang) ist. Die Geschwindigkeit eines in die Luft geworfenen Balls kann als Funktion der Zeit beschrieben werden, in der sich der Ball in der Luft befindet. Die Kosten für den Versand eines Pakets hängen vom Gewicht des Pakets ab. Da Funktionen so vielseitig verwendet werden können, ist es wichtig, genaue Definitionen und Terminologie zu haben, um sie zu studieren.

Abbildung (PageIndex{1}): Eine Funktion kann als Ein-/Ausgabegerät visualisiert werden

Definition: Funktionen

EIN Funktion (f) besteht aus einer Menge von Eingaben, einer Menge von Ausgaben und einer Regel, um jede Eingabe genau einer Ausgabe zuzuordnen. Die Menge der Eingaben heißt Domain der Funktion. Die Menge der Ausgaben heißt Angebot des Funktion.

Abbildung (PageIndex{2}): Eine Funktion ordnet jedes Element in der Domäne genau einem Element im Bereich zu. Obwohl jeder Eingang nur an einen Ausgang gesendet werden kann, können zwei verschiedene Eingänge an denselben Ausgang gesendet werden.

Betrachten Sie zum Beispiel die Funktion (f), wobei die Domäne die Menge aller reellen Zahlen ist und die Regel darin besteht, die Eingabe zu quadrieren. Dann wird der Eingang (x=3) dem Ausgang (3^2=9) zugewiesen.

Da jede nichtnegative reelle Zahl eine reellwertige Quadratwurzel hat, ist jede nichtnegative Zahl ein Element des Bereichs dieser Funktion. Da es keine reelle Zahl mit einem negativen Quadrat gibt, sind die negativen reellen Zahlen keine Elemente des Bereichs. Wir schließen daraus, dass der Bereich die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen ist.

Für eine allgemeine Funktion (f) mit der Domäne (D) verwenden wir oft (x) zur Bezeichnung der Eingabe und (y) zur Bezeichnung der mit (x) verbundenen Ausgabe. Dabei bezeichnen wir (x) als unabhängige Variable und (y als abhängige Variable, weil es von (x) abhängt. Unter Verwendung der Funktionsnotation schreiben wir (y=f(x)) und lesen diese Gleichung als „(y) ist gleich (f) von (x.“) Für die oben beschriebene Quadrierungsfunktion wir schreiben (f(x)=x^2).

Das Konzept einer Funktion kann mit den Abbildungen (PageIndex{1}) - (PageIndex{3}) visualisiert werden.

Abbildung (PageIndex{3}): In diesem Fall hat ein Graph einer Funktion f einen Definitionsbereich von ({1,2,3}) und einen Bereich von ({1,2}). Die unabhängige Variable ist (x) und die abhängige Variable ist (y).

Wir können eine Funktion auch visualisieren, indem wir Punkte ((x,y)) in der Koordinatenebene mit (y=f(x)) einzeichnen. Der Graph einer Funktion ist die Menge all dieser Punkte. Betrachten Sie zum Beispiel die Funktion (f), wobei die Domäne die Menge (D={1,2,3}) ist und die Regel (f(x)=3−x). In Abbildung (PageIndex{4}) zeichnen wir einen Graphen dieser Funktion.

Abbildung (PageIndex{4}): Hier sehen wir einen Graphen der Funktion (f) mit Definitionsbereich ({1,2,3}) und Regel (f(x)=3−x). Der Graph besteht aus den Punkten ((x,f(x))) für alle (x) im Bereich.

Jede Funktion hat eine Domäne. Manchmal wird eine Funktion jedoch durch eine Gleichung beschrieben, wie in (f(x)=x^2), ohne dass ein bestimmter Bereich angegeben ist. In diesem Fall wird der Definitionsbereich als die Menge aller reellen Zahlen (x) angenommen, für die (f(x)) eine reelle Zahl ist. Da beispielsweise jede reelle Zahl quadriert werden kann, betrachten wir den Definitionsbereich von (f(x)=x^2) als die Menge aller reellen Zahlen, wenn kein anderer Bereich angegeben ist. Andererseits liefert die Quadratwurzelfunktion (f(x)=sqrt{x}) nur dann eine reelle Ausgabe, wenn (x) nicht negativ ist. Daher ist der Bereich der Funktion (f(x)=sqrt{x}) die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen, manchmal auch natürlicher Bereich genannt.

Set-Builder-Notation und Intervall-Notation

Für die Funktionen (f(x)=x^2) und (f(x)=sqrt{x}) sind die Gebiete Mengen mit unendlich vielen Elementen. Natürlich können wir nicht alle diese Elemente auflisten. Bei der Beschreibung einer Menge mit unendlich vielen Elementen ist es oft hilfreich, die Set-Builder- oder Intervallnotation zu verwenden. Wenn wir die Set-Builder-Notation verwenden, um eine Teilmenge aller reellen Zahlen zu beschreiben, die als (R) bezeichnet wird, schreiben wir

[{x| extit{x hat eine Eigenschaft}}.]

Wir lesen dies als die Menge der reellen Zahlen (x), sodass (x) eine Eigenschaft hat. Wenn wir zum Beispiel an der Menge der reellen Zahlen interessiert wären, die größer als eins, aber kleiner als fünf sind, könnten wir diese Menge mit der Set-Builder-Notation bezeichnen, indem wir schreiben

[{x|1

Eine solche Menge, die alle reellen Zahlen größer als enthält (ein) und kleiner als b, kann auch mit bezeichnet werden Intervall-Notation ((a,b)). Deswegen,

[(1,5)={x|1

Die Zahlen (1) und (5) werden Endpunkte dieser Menge genannt. Wenn wir die Menge betrachten möchten, die die Endpunkte enthält, würden wir diese Menge mit schreiben . bezeichnen

[[1,5]={x|1leq x leq 5}.]

Wir können eine ähnliche Notation verwenden, wenn wir einen der Endpunkte einschließen möchten, den anderen jedoch nicht. Um die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen zu bezeichnen, verwenden wir die Set-Builder-Notation

[{x|xgeq 0}.]

Die kleinste Zahl in dieser Menge ist Null, aber diese Menge hat keine größte Zahl. In Intervallnotation würden wir das Symbol (∞,) verwenden, das sich auf positiv unendlich bezieht, und wir würden die Menge schreiben als

[[0,∞)={x|xgeq 0}.]

Es ist wichtig zu beachten, dass (∞) keine reelle Zahl ist. Es wird hier symbolisch verwendet, um anzuzeigen, dass diese Menge alle reellen Zahlen größer oder gleich Null umfasst. Wenn wir die Menge aller nichtpositiven Zahlen beschreiben wollten, könnten wir auf ähnliche Weise schreiben:

[(−∞,0]={x|x≤0}.]

Hier die Notation (−∞) bezieht sich auf negative Unendlichkeit und zeigt an, dass wir alle Zahlen kleiner oder gleich Null einschließen, egal wie klein sie sind. Der Satz

[(−∞,∞)={ extit{x} | extit{x ist eine beliebige reelle Zahl}}]

bezeichnet die Menge aller reellen Zahlen.

Stückweise Funktionen

Einige Funktionen werden unter Verwendung verschiedener Gleichungen für verschiedene Teile ihres Bereichs definiert. Diese Arten von Funktionen werden als stückweise definierte Funktionen bezeichnet. Angenommen, wir wollen eine Funktion (f) mit einem Definitionsbereich definieren, der die Menge aller reellen Zahlen ist, so dass (f(x)=3x+1) für (x≥2) und (f(x)=x^2) für(x<2). Wir bezeichnen diese Funktion durch Schreiben

[f(x)=egin{cases} 3x+1& x≥2 x^2& x<2 end{cases}]

Bei der Auswertung dieser Funktion für eine Eingabe (x) hängt die zu verwendende Gleichung davon ab, ob (x≥2) oder (x<2) ist. Da beispielsweise (5>2) gilt, verwenden wir (f(x)=3x+1) für (x≥2) und sehen, dass (f(5)=3(5 )+1=16). Andererseits verwenden wir für (x=−1) die Tatsache, dass (f(x)=x^2) für (x<2) gilt und sehen, dass (f(−1) =1).

Beispiel (PageIndex{1}): Auswerten von Funktionen

Bewerte für die Funktion (f(x)=3x^2+2x−1):

  1. (f(−2))
  2. (f(sqrt{2}))
  3. (f(a+h))

Lösung

Ersetzen Sie den angegebenen Wert für x in der Formel für (f(x)).

  1. (f(−2)=3(−2^)2+2(−2)−1=12−4−1=7)
  2. (f(sqrt{2})=3(sqrt{2})^2+2sqrt{x}−1=6+2sqrt{2}−1=5+2sqrt{2} )
  3. (f(a+h)=3(a+h)^2+2(a+h)−1=3(a^2+2ah+h^2)+2a+2h−1)(= 3a^2+6ah+3h^2+2a+2h−1)

Übung (PageIndex{1})

Berechnen Sie für (f(x)=x^2−3x+5) (f(1)) und (f(a+h)).

Hinweis

Ersetzen Sie (1) und (a+h) für (x) in der Formel für (f(x)).

Antworten

(f(1)=3) und (f(a+h)=a^2+2ah+h^2−3a−3h+5)

Beispiel (PageIndex{2}): Finden von Domain und Bereich

Bestimmen Sie für jede der folgenden Funktionen die i. Domäne und ii. Angebot.

  1. (f(x)=(x−4)^2+5)
  2. (f(x)=sqrt{3x+2}−1)
  3. (f(x)=3x−2)

Lösung

1. Betrachten Sie (f(x)=(x−4)^2+5.)

1.Da (f(x)=(x−4)^2+5) eine reelle Zahl für jede reelle Zahl (x) ist, ist der Definitionsbereich von f das Intervall ((−∞,∞) ).

2. Wegen ((x−4)^2≥0) wissen wir (f(x)=(x−4)^2+5≥5). Daher muss der Bereich eine Teilmenge von {(y|y≥5)} sein. Um zu zeigen, dass jedes Element in dieser Menge im Bereich liegt, müssen wir zeigen, dass es für ein gegebenes y in dieser Menge eine reelle Zahl x gibt mit (f(x)=(x−4)^2+5 =y). Wenn wir diese Gleichung nach x auflösen, sehen wir, dass wir x so brauchen, dass

((x−4)^2=y−5.)

Diese Gleichung ist erfüllt, solange es eine reelle Zahl x gibt mit

(x−4=±sqrt{y−5})

Wegen (y≥5) ist die Quadratwurzel wohldefiniert. Wir schließen daraus, dass für (x=4±sqrt{y−5}),(f(x)=y) der Bereich {(y|y≥5)} ist.

2. Betrachten Sie (f(x)=sqrt{3x+2}−1).

1.Um den Definitionsbereich von f zu finden, benötigen wir den Ausdruck (3x+2≥0). Wenn wir diese Ungleichung lösen, schließen wir, dass der Definitionsbereich {(x|x≥−2/3 )} ist.

2.Um den Bereich von f zu bestimmen, beachten wir, dass wegen (sqrt{3x+2}≥0),(f(x)=sqrt{3x+2}−1≥−1) gilt. Daher muss der Bereich von f eine Teilmenge der Menge {(y|y≥−1)} sein. Um zu zeigen, dass jedes Element in dieser Menge im Bereich von (f) liegt, müssen wir zeigen, dass für alle (y) in dieser Menge eine reelle Zahl x im Definitionsbereich existiert, so dass (f( x)=y) . Sei (y≥−1). Dann gilt (f(x)=y) genau dann, wenn

(sqrt{3x+2}−1=y.)

Wenn wir diese Gleichung nach x auflösen, sehen wir, dass x die Gleichung lösen muss

(sqrt{3x+2}=y+1.)

Wegen (y≥−1) könnte ein solches (x) existieren. Wenn wir beide Seiten dieser Gleichung quadrieren, haben wir (3x+2=(y+1)^2.)

Daher brauchen wir

(3x=(y+1)^2−2,)

was impliziert

(x=frac{1}{3}(y+1)^2−frac{2}{3}.)

Wir müssen nur verifizieren, dass x im Bereich von (f) liegt. Da der Definitionsbereich von (f) aus allen reellen Zahlen größer oder gleich frac{−2}{3} besteht) und

(frac{1}{3}(y+1)^2-frac{2}{3}≥−frac{2}{3},)

es existiert ein x im Bereich von (f). Wir schließen daraus, dass der Bereich von (f) {(y|y≥−1)} ist.

3. Betrachten Sie (f(x)=3/(x−2).)

1.Da (3/(x−2)) definiert ist, wenn der Nenner nicht Null ist, ist der Definitionsbereich {(x|x≠2)}.

2. Um den Bereich von (f) zu finden, müssen wir die Werte von (y) finden, so dass es im Definitionsbereich eine reelle Zahl (x) mit der Eigenschaft gibt, dass

(frac{3}{x}−2=y.)

Wenn wir diese Gleichung nach x auflösen, finden wir, dass

(x=frac{3}{y}+2.)

Daher existiert, solange (y),0) eine reelle Zahl (x) im Definitionsbereich mit (f(x)=y). Der Bereich ist also {(y|y≠0)}.

Übung (PageIndex{2})

Finden Sie den Bereich und den Bereich für (f(x)=sqrt{4−2x}+5.)

Hinweis

Verwenden Sie (4−2x≥0).

Antworten

Bereich = {(x∣x≤2)} und Bereich = {(y∣y≥5)}

Stellvertretende Funktionen

Normalerweise wird eine Funktion mit einem oder mehreren der folgenden Tools dargestellt:

  • Ein Tisch
  • Ein Graph
  • Eine Formel

Wir können in jedem Formular eine Funktion identifizieren, aber wir können sie auch zusammen verwenden. Beispielsweise können wir die Werte aus einer Tabelle in einem Diagramm darstellen oder eine Tabelle aus einer Formel erstellen.

Tabellen

Funktionen beschrieben mit a described Wertetabelle treten häufig in realen Anwendungen auf. Betrachten Sie das folgende einfache Beispiel. Wir können die Temperatur an einem bestimmten Tag als Funktion der Tageszeit beschreiben. Angenommen, wir zeichnen die Temperatur stündlich über einen Zeitraum von 24 Stunden ab Mitternacht auf. Wir lassen unsere Eingabevariable (x) die Zeit nach Mitternacht, gemessen in Stunden, und die Ausgabevariable (y) die Temperatur (x) Stunden nach Mitternacht, gemessen in Grad Fahrenheit. Wir erfassen unsere Daten in Tabelle (PageIndex{1}) .

Tabelle (PageIndex{1}): Temperatur als Funktion der Tageszeit
Stunde nach MitternachtTemperatur (°F)Stunde nach MitternachtTemperatur (°F)
0581284
1541385
2531485
3521583
4521682
5551780
6601877
7641974
8722069
9752165
10782260
11802358

Aus der Tabelle können wir sehen, dass die Temperatur eine Funktion der Zeit ist und die Temperatur sinkt, dann steigt und dann wieder sinkt. Wir können uns jedoch kein klares Bild vom Verhalten der Funktion machen, ohne sie grafisch darzustellen.

Grafiken

Gegeben eine durch eine Tabelle beschriebene Funktion (f) können wir ein visuelles Bild der Funktion in Form eines Graphen liefern. Die grafische Darstellung der in Tabelle (PageIndex{1}) aufgeführten Temperaturen kann uns eine bessere Vorstellung von ihren Schwankungen im Tagesverlauf geben. Abbildung zeigt das Diagramm der Temperaturfunktion.

Abbildung (PageIndex{5}): Das Diagramm der Daten aus Tabelle zeigt die Temperatur als Funktion der Zeit.

Aus den auf dem Graphen in Abbildung (PageIndex{5}) eingezeichneten Punkten können wir die allgemeine Form des Graphen visualisieren. Es ist oft sinnvoll, die Punkte im Diagramm zu verbinden, die die Daten aus der Tabelle darstellen. Obwohl wir in diesem Beispiel keine definitive Aussage darüber treffen können, wie hoch die Temperatur zu einem Zeitpunkt war, für den die Temperatur nicht aufgezeichnet wurde, ist es angesichts der Anzahl der gesammelten Datenpunkte und des Musters in diesen Punkten vernünftig zu vermuten, dass die Temperaturen bei andere Male folgten einem ähnlichen Muster, wie wir in Abbildung (PageIndex{6}) sehen können.

Abbildung (PageIndex{6}): Das Verbinden der Punkte in Abbildung zeigt das allgemeine Muster der Daten.

Algebraische Formeln

Manchmal erhalten wir die Werte einer Funktion nicht in Tabellenform, sondern in einer expliziten Formel. Formeln kommen in vielen Anwendungen vor. Zum Beispiel wird die Fläche eines Kreises mit Radius (r) durch die Formel (A(r)=πr^2) angegeben. Wenn ein Objekt mit einer Anfangsgeschwindigkeit (v_{0}) ft/s vom Boden nach oben geschleudert wird, wird seine Höhe über dem Boden vom Zeitpunkt des Werfens bis zum Auftreffen auf den Boden durch die Formel (s( t)=−16t^2+v_{0}t). Wenn (P) Dollar auf einem Konto mit einem jährlichen Zinssatz r angelegt werden, der kontinuierlich aufgezinst wird, ergibt sich der Geldbetrag nach (t) Jahren durch die Formel (A(t)=Pe^{rt} ). Algebraische Formeln sind wichtige Werkzeuge zur Berechnung von Funktionswerten. Oft stellen wir diese Funktionen auch visuell in Graphenform dar.

Gegeben eine algebraische Formel für eine Funktion (f) ist der Graph von (f) die Menge der Punkte ((x,f(x))), wobei (x) im Bereich von liegt (f) und (f(x)) liegt im Bereich. Um eine durch eine Formel gegebene Funktion grafisch darzustellen, ist es hilfreich, zunächst mit der Formel eine Tabelle mit Ein- und Ausgängen zu erstellen. Wenn die Domäne von (f) aus unendlich vielen Werten besteht, können wir nicht alle auflisten, aber da das Auflisten einiger Ein- und Ausgaben sehr nützlich sein kann, ist es oft ein guter Anfang.

Beim Erstellen einer Tabelle mit Eingaben und Ausgaben prüfen wir normalerweise, ob Null eine Ausgabe ist. Die Werte von (x) mit (f(x)=0) werden Nullstellen einer Funktion genannt. Zum Beispiel sind die Nullstellen von (f(x)=x^2−4) (x=±2). Die Nullstellen bestimmen, wo der Graph von (f) die (x)-Achse schneidet, was uns mehr Informationen über die Form des Graphen der Funktion gibt. Der Graph einer Funktion kann die (x)-Achse niemals oder mehrfach (oder sogar unendlich oft) schneiden.

Ein weiterer interessanter Punkt ist der (y)-Schnittpunkt, falls er existiert. Der (y)-Achsenabschnitt ist gegeben durch ((0,f(0))).

Da eine Funktion für jede Eingabe genau einen Ausgang hat, kann der Graph einer Funktion höchstens einen (y)-Achsenabschnitt haben. Liegt (x)=0 im Bereich einer Funktion (f), dann hat (f) genau einen (y)-Achsenabschnitt. Wenn (x=0) nicht im Bereich von (f,) liegt, dann hat (f) keinen (y)-Achsenabschnitt. In ähnlicher Weise gibt es für jede reelle Zahl (c) genau eine Ausgabe (f(c)), wenn (c) im Bereich von (f) liegt, und die Gerade (x= c) schneidet den Graphen von (f) genau einmal. Wenn dagegen (c) nicht im Bereich von (f) liegt, ist (f(c)) nicht definiert und die Gerade (x=c) schneidet den Graphen von . nicht (F). Diese Eigenschaft wird im Vertikallinientest zusammengefasst.

Vertikaler Linientest

Bei einer gegebenen Funktion (f) schneidet jede vertikale Linie, die gezogen werden kann, den Graphen von (f) nur einmal. Wenn eine vertikale Linie eine Punktmenge mehr als einmal schneidet, stellt die Punktmenge keine Funktion dar.

Wir können diesen Test verwenden, um zu bestimmen, ob eine Menge von aufgetragenen Punkten den Graphen einer Funktion darstellt (Abbildung (PageIndex{7})).

Abbildung (PageIndex{7}): (a) Die Menge der gezeichneten Punkte stellt den Graphen einer Funktion dar, da jede vertikale Linie die Menge der Punkte höchstens einmal schneidet. (b) Die Menge der gezeichneten Punkte stellt nicht den Graphen einer Funktion dar, da einige vertikale Linien die Menge der Punkte mehr als einmal schneiden.

Beispiel (PageIndex{3}): Nullstellen und (y)-Achsenabschnitte einer Funktion finden

Betrachten Sie die Funktion (f(x)=−4x+2.)

  1. Finde alle Nullstellen von (f).
  2. Finden Sie den (y)-Achsenabschnitt (falls vorhanden).
  3. Skizzieren Sie einen Graphen von (f).

Lösung

1. Um die Nullstellen zu finden, löse (f(x)=−4x+2=0). Wir entdecken, dass f eine Nullstelle bei (x=1/2) hat.

2. Der y-Achsenabschnitt ist gegeben durch ((0,f(0))=(0,2).)

3. Gegeben sei f eine lineare Funktion der Form (f(x)=mx+b), die durch die Punkte ((1/2,0)) und ((0,2)) geht , können wir den Graphen von (f) skizzieren (Abbildung (PageIndex{8})).

Abbildung (PageIndex{8}): Die Funktion (f(x)=−4x+2) ist eine Gerade mit (x)-Achsenabschnitt ((1/2,0)) und (y)-Achsenabschnitt ((0, 2)).

Beispiel (PageIndex{4}): Verwenden von Nullen und y-Achsenabschnitten zum Skizzieren eines Graphen

Betrachten Sie die Funktion (f(x)=sqrt{x+3}+1).

  1. Finde alle Nullstellen von (f).
  2. Finden Sie den (y)-Achsenabschnitt (falls vorhanden).
  3. Skizzieren Sie einen Graphen von (f).

Lösung

1. Um die Nullstellen zu finden, löse (sqrt{x+3}+1=0). Diese Gleichung impliziert (sqrt{x+3}=−1). Da (sqrt{x+3}≥0) für alle (x) gilt, hat diese Gleichung keine Lösungen, und daher hat f keine Nullstellen.

2.Der (y)-Achsenabschnitt ist gegeben durch ((0,f(0))=(0,sqrt{3}+1)).

3. Um diese Funktion grafisch darzustellen, erstellen wir eine Wertetabelle. Da wir (x+3≥0) benötigen, müssen wir Werte von (x≥−3) wählen. Wir wählen Werte, die eine einfache Auswertung der Quadratwurzelfunktion ermöglichen.

(x)-3-21
(f(x))123

Unter Verwendung der Tabelle und in dem Wissen, dass der Graph von (f) dem Graphen von (y=sqrt{x}) ähnlich sein sollte, da die Funktion eine Quadratwurzel ist, skizzieren wir den Graphen (Abbildung (PageIndex{9})).

Abbildung (PageIndex{9}): Der Graph von (f(x)=sqrt{x+3}+1) hat einen (y)-Achsenabschnitt, aber keine (x)-Achsenabschnitte.

Übung (PageIndex{4})

Finde die Nullstellen von (f(x)=x^3−5x^2+6x.)

Hinweis

Faktorisieren Sie das Polynom.

Antworten

(x=0,2,3)

Beispiel (PageIndex{5}): Ermitteln der Höhe eines frei fallenden Objekts

Wenn ein Ball aus einer Höhe von 100 Fuß fallen gelassen wird, ist seine Höhe s zum Zeitpunkt (t) durch die Funktion (s(t)=−16t^2+100) gegeben, wobei s in Fuß und . gemessen wird t wird in Sekunden gemessen. Der Bereich ist auf das Intervall ([0,c]) beschränkt, wobei (t=0) die Zeit ist, in der der Ball fallen gelassen wird und (t=c) die Zeit ist, in der der Ball den Boden berührt .

  1. Erstellen Sie eine Tabelle mit der Höhe s(t) bei (t=0,0,0,5,1,1,5,2) und (2,5). Bestimmen Sie anhand der Daten aus der Tabelle die Domäne für diese Funktion. Das heißt, finden Sie den Zeitpunkt c, an dem der Ball den Boden berührt.
  2. Skizzieren Sie einen Graphen von (s).

Lösung

(T)00.511.522.5
(NS))100968464360

Da der Ball bei (t=2.5) auf den Boden trifft, ist der Definitionsbereich dieser Funktion das Intervall ([0,2.5]).

2.

Beachten Sie, dass für diese Funktion und die in Abbildung (PageIndex{8}) dargestellte Funktion (f(x)=−4x+2) die Werte von (f(x)) kleiner werden als (x) wird größer. Eine Funktion mit dieser Eigenschaft heißt fallend. Andererseits sind für die Funktion (f(x)=sqrt{x+3}+1) in Abbildung (PageIndex{9}) die Werte von (f(x)) werden größer, wenn die Werte von (x) größer werden. Eine Funktion mit dieser Eigenschaft heißt steigend. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass eine Funktion in einem oder mehreren Intervallen ansteigen und über ein anderes Intervall oder andere Intervalle abnehmen kann. Wenn wir beispielsweise unsere oben aufgetragene Temperaturfunktion verwenden, können wir sehen, dass die Funktion im Intervall ((0,4) abnimmt, im Intervall ((4,14) zunimmt und dann im . abnimmt Intervall ((14,23)). In der nächsten Definition präzisieren wir die Vorstellung einer über ein bestimmtes Intervall ansteigenden oder fallenden Funktion.

Definition: Zunehmen und Abnehmen in einem Intervall

Wir sagen, dass eine Funktion (f) ist im Intervall I . ansteigend wenn für alle (x_{1},x_{2}∈I,)

(f(x_{1})≤f(x_{2})) wenn (x_{1}

Wir sagen, dass (f) auf dem Intervall (I) streng wächst, wenn für alle (x_{1},x_{2}∈I,)

(f(x_{1})

Wir sagen, dass eine Funktion (f) ist abnehmend im Intervall I wenn für alle (x_{1},x_{2}∈I,)

(f(x_{1})≥f(x_{2})) wenn (x_{1}

Wir sagen, dass eine Funktion (f) auf dem Intervall (I) streng abnehmend ist, wenn für alle (x_{1},x_{2}∈I)

(f(x_{1})>f(x_{2})) wenn (x_{1}

Zum Beispiel wächst die Funktion (f(x)=3x) im Intervall ((−∞,∞)), weil (3x_{1}<3x_{2}) immer dann, wenn (x_{1 }−x^3_ {2}) wann immer (x_{1}

Abbildung (PageIndex{10}): (a) Die Funktion (f(x)=3x) wächst auf dem Intervall ((−∞,∞)). (b) Die Funktion (f(x)=−x^3) nimmt im Intervall ((−∞,∞)) ab.

Kombinieren von Funktionen

Nachdem wir uns nun die grundlegenden Eigenschaften von Funktionen angesehen haben, können wir sehen, was mit diesen Eigenschaften passiert, wenn wir Funktionen auf unterschiedliche Weise kombinieren und grundlegende mathematische Operationen verwenden, um neue Funktionen zu erstellen. Wenn beispielsweise die Kosten für die Herstellung von (x) Artikeln für ein Unternehmen durch die Funktion (C(x)) und der durch den Verkauf von (x) Artikeln erzielte Umsatz durch die Funktion (R(x)), dann ist der Gewinn aus der Herstellung und dem Verkauf von x Gegenständen definiert als (P(x)=R(x)−C(x)). Mit dem Unterschied zwischen zwei Funktionen haben wir eine neue Funktion erstellt.

Alternativ können wir eine neue Funktion erstellen, indem wir zwei Funktionen zusammensetzen. Gegeben beispielsweise die Funktionen (f(x)=x^2) und (g(x)=3x+1), ist die zusammengesetzte Funktion (f∘g) so definiert, dass

[(f∘g)(x)=f(g(x))=(g(x))^2=(3x+1)^2.]

Die zusammengesetzte Funktion g∘f ist so definiert, dass

[(g∘f)(x)=g(f(x))=3f(x)+1=3x^2+1.]

Beachten Sie, dass sich diese beiden neuen Funktionen voneinander unterscheiden.

Kombinieren von Funktionen mit mathematischen Operatoren

Um Funktionen mit mathematischen Operatoren zu kombinieren, schreiben wir die Funktionen einfach mit dem Operator und vereinfachen. Bei zwei Funktionen (f) und (g) können wir vier neue Funktionen definieren:

((f+g)(x)=f(x)+g(x))Summe
((f−g)(x)=f(x)−g(x))Unterschied
((f·g)(x)=f(x)g(x))Produkt
((frac{f}{g})(x)=frac{f(x)}{g(x)}) für(g(x)≠0)Quotient

Beispiel (PageIndex{6}): Kombinieren von Funktionen mit mathematischen Operationen

Gegeben die Funktionen (f(x)=2x−3) und (g(x)=x^2−1) finden Sie jede der folgenden Funktionen und geben Sie ihren Definitionsbereich an.

  1. ((f+g)(x))
  2. ((f−g)(x))
  3. ((f·g)(x))
  4. ((frac{f}{g})(x))

Lösung

1. ((f+g)(x)=(2x−3)+(x^2−1)=x^2+2x−4.)

Der Definitionsbereich dieser Funktion ist das Intervall ((−∞,∞)).

2.((f−g)(x)=(2x−3)−(x^2−1)=−x^2+2x−2.)

Der Definitionsbereich dieser Funktion ist das Intervall ((−∞,∞)).

3. ((f·g)(x)=(2x−3)(x^2−1)=2x^3−3x^2−2x+3.)

Der Definitionsbereich dieser Funktion ist das Intervall ((−∞,∞)).

4. ((frac{f}{g})(x)=frac{2x−3}{x^2−1}).

Der Definitionsbereich dieser Funktion ist {(x∣∣x≠±1)}.

Übung (PageIndex{6})

Finden Sie für (f(x)=x^2+3) und (g(x)=2x−5) ((f/g)(x)) und geben Sie seinen Definitionsbereich an.

Hinweis

Die neue Funktion ((f/g)(x)(f/g)(x)) ist ein Quotient aus zwei Funktionen. Für welche Werte von (x) ist der Nenner null?

Antworten

((frac{f}{g})(x)=frac{x^2+3}{2x−5}). Das Gebiet ist {(x|x≠frac{5}{2})}.

Funktionszusammensetzung

Wenn wir Funktionen zusammensetzen, nehmen wir eine Funktion einer Funktion. Angenommen, die Temperatur (T) an einem bestimmten Tag wird als Funktion der Zeit (t) (gemessen in Stunden nach Mitternacht) wie in Tabelle beschrieben beschrieben. Angenommen, die Kosten (C), um ein Gebäude 1 Stunde lang zu heizen oder zu kühlen, können als Funktion der Temperatur (T) beschrieben werden. Durch die Kombination dieser beiden Funktionen können wir die Kosten für das Heizen oder Kühlen eines Gebäudes als Funktion der Zeit beschreiben, indem wir (C(T(t))) auswerten. Wir haben eine neue Funktion mit der Bezeichnung (C∘T) definiert, die so definiert ist, dass ((C∘T)(t)=C(T(t))) für alle (t) im Domäne von (T). Diese neue Funktion wird als zusammengesetzte Funktion bezeichnet. Wir bemerken, dass es sinnvoll ist, diese neue Funktion ((CT)(t)) zu definieren, da die Kosten eine Funktion der Temperatur und die Temperatur eine Funktion der Zeit ist. Es macht keinen Sinn, ((T∘C)(t)) zu betrachten, da die Temperatur keine Funktion der Kosten ist.

Definition: Zusammengesetzte Funktionen

Betrachten Sie die Funktion (f) mit Bereich (A) und Bereich (B) und die Funktion (g) mit Bereich (D) und Bereich (E). Wenn (B) eine Teilmenge von (D) ist, dann ist die zusammengesetzte Funktion ((g∘f)(x)) die Funktion mit der Domäne (A) mit

[(g∘f)(x)=g(f(x))]

Eine zusammengesetzte Funktion (g∘f) kann in zwei Schritten betrachtet werden. Zuerst bildet die Funktion (f) jede Eingabe (x) im Bereich von f auf ihre Ausgabe (f(x)) im Bereich von (f) ab. Zweitens, da der Bereich von (f) eine Teilmenge des Definitionsbereichs von (g) ist, ist die Ausgabe (f(x)) ein Element im Definitionsbereich von (g), und daher ist es wird auf eine Ausgabe (g(f(x))) im Bereich von (g) abgebildet. In Abbildung (PageIndex{11}) sehen wir ein visuelles Bild einer zusammengesetzten Funktion.

Abbildung (PageIndex{11}): Für die zusammengesetzte Funktion (g∘f) gilt ((g∘f)(1)=4),((g∘f)(2)=5) und ((g∘ f)(3)=4).

Beispiel (PageIndex{7}): Zusammensetzungen von durch Formeln definierten Funktionen

Betrachten Sie die Funktionen (f(x)=x^2+1) und (g(x)=1/x).

  1. Finden Sie ((g∘f)(x)) und geben Sie seine Domäne und Reichweite an.
  2. Bewerte ((g∘f)(4)),((g∘f)(−1/2)).
  3. Finden Sie ((f∘g)(x)) und geben Sie seine Domäne und Reichweite an.
  4. Bewerte ((f∘g)(4)) , ((f∘g)(−1/2)).

Lösung

1. Wir können die Formel für ((g∘f)(x)) auf zwei verschiedene Arten finden. Wir könnten schreiben

((g∘f)(x)=g(f(x))=g(x^2+1)=frac{1}{x^2+1}).

Alternativ könnten wir schreiben

((g∘f)(x)=g(f(x))=frac{1}{f(x)}=frac{1}{x^2+1}.)

Da (x^2+1≠0) für alle reellen Zahlen x gilt, ist der Definitionsbereich von ((g∘f)(x)) die Menge aller reellen Zahlen. Da (0<1/(x2+1)≤1) ist der Bereich höchstens das Intervall ((0,1]). Um zu zeigen, dass der Bereich dieses gesamte Intervall ist, sei y= 1/(x2+1) und löse diese Gleichung nach x, um zu zeigen, dass für alle (y) im Intervall ((0,1]) eine reelle Zahl x existiert, so dass (y=1/ (x^2+1)) Wenn wir diese Gleichung nach (x) auflösen, sehen wir (x^2+1=1/y), was impliziert, dass

(x=±sqrt{frac{1}{y}−1})

Wenn (y) im Intervall ((0,1]) liegt, ist der Ausdruck unter dem Rest nichtnegativ, und daher existiert eine reelle Zahl (x) mit (1/(x^2 +1)=y) Wir schließen, dass der Bereich von g∘f das Intervall ((0,1].)

2. ((g∘f)(4)=g(f(4))=g(4^2+1)=g(17)=frac{1}{17})

((g∘f)(−frac{1}{2})=g(f(−frac{1}{2}))=g((−frac{1}{2})^2 +1)=g(frac{5}{4})=frac{4}{5})

3. Wir können eine Formel für ((f∘g)(x)) auf zwei Arten finden. Zuerst könnten wir schreiben

((f∘g)(x)=f(g(x))=f(frac{1}{x})=(frac{1}{x})^2+1.)

Alternativ könnten wir schreiben

((f∘g)(x)=f(g(x))=(g(x))^2+1=(frac{1}{x})^2+1.)

Der Definitionsbereich von (f∘g) ist die Menge aller reellen Zahlen (x) mit (x≠0). Um den Bereich von (f) zu finden, müssen wir alle Werte (y) finden, für die es eine reelle Zahl (x≠0) mit gibt

((frac{1}{x})^2+1=y.)

Wenn wir diese Gleichung nach x auflösen, sehen wir, dass wir x brauchen, um zu erfüllen

((frac{1}{x})^2=y−1,)

was vereinfacht zu

(frac{1}{x}=±sqrt{y−1})

Schließlich erhalten wir

(x=±frac{1}{sqrt{y−1}}).

Da (1/sqrt{y−1}) genau dann eine reelle Zahl ist, wenn (y>1), ist der Bereich von (f) die Menge {(y∣∣y≥1 )}.

4.((f∘g)(4)=f(g(4))=f(frac{1}{4})=(frac{1}{4})^2+1=frac {17}{16})

((f∘g)(−frac{1}{2})=f(g(−frac{1}{2}))=f(−2)=(−2)^2+1= 5)

Im Beispiel können wir sehen, dass ((f∘g)(x)≠(g∘f)(x)). Dies sagt uns im Allgemeinen, dass die Reihenfolge, in der wir Funktionen komponieren, von Bedeutung ist.

Übung (PageIndex{7})

Sei (f(x)=2−5x). Sei (g(x)=sqrt{x}). Finden Sie ((f∘g)(x)).

Lösung

((f∘g)(x)=2−5sqrt{x}).

Beispiel (PageIndex{8}): Zusammensetzung von durch Tabellen definierten Funktionen

Betrachten Sie die Funktionen (f) und (g) beschrieben durch

x-3-2-101234
f(x)0424-20-24
x-4-2024
g(x)10305
  1. Bewerte ((g∘f)(3)),((g∘f)(0)).
  2. Geben Sie den Bereich und den Bereich von ((g∘f)(x)) an.
  3. Bewerte ((f∘f)(3)),((f∘f)(1)).
  4. Geben Sie den Bereich und den Bereich von ((f∘f)(x)) an.

Lösung:

1. ((g∘f)(3)=g(f(3))=g(−2)=0)

((g∘f)(0)=g(4)=5)

2.Der Definitionsbereich von (g∘f) ist die Menge {(−3,−2,−1,0,1,2,3,4)}. Da der Bereich von (f) die Menge {(−2,0,2,4)} ist, ist der Bereich von (g∘f) die Menge {(0,3,5) }.

3. ((f∘f)(3)=f(f(3))=f(−2)=4)

((f∘f)(1)=f(f(1))=f(−2)=4)

4.Der Definitionsbereich von (f∘f) ist die Menge {(−3,−2,−1,0,1,2,3,4)}. Da der Bereich von (f) die Menge {(−2,0,2,4)} ist, ist der Bereich von (f∘f) die Menge {(0,4)}.

Beispiel (PageIndex{9}): Anwendung mit zusammengesetzter Funktion

Ein Geschäft wirbt für einen Verkauf von 20% auf alle Waren. Caroline hat einen Coupon, der ihr zusätzliche 15 % Rabatt auf alle Artikel gewährt, einschließlich Sale-Artikeln. Wenn Caroline beschließt, einen Artikel mit einem Originalpreis von (x) Dollar zu kaufen, wie viel wird sie dann zahlen, wenn sie ihren Coupon auf den Verkaufspreis anwendet? Lösen Sie dieses Problem, indem Sie eine zusammengesetzte Funktion verwenden.

Lösung

Da der Verkaufspreis 20% des ursprünglichen Preises beträgt und ein Artikel (x) Dollar kostet, wird sein Verkaufspreis durch (f(x)=0.80x) angegeben. Da der Coupon eine Person zu 15% Rabatt auf den Preis jedes Artikels berechtigt, wenn ein Artikel (y) Dollar ist, wird der Preis nach Anwendung des Coupons mit g(y) = 0,85y angegeben. Wenn der Preis ursprünglich (x) Dollar beträgt, ist sein Verkaufspreis (f(x)=0.80x) und sein Endpreis nach dem Coupon ist (g(f(x))= 0,85(0,80x)=0,68x).

Übung (PageIndex{9})

Wenn Artikel mit einem Rabatt von 10 % auf den ursprünglichen Preis im Angebot sind und ein Kunde einen Gutschein mit einem zusätzlichen Rabatt von 30 % erhält, wie hoch ist der Endpreis für einen Artikel, der ursprünglich x Dollar beträgt, nachdem der Gutschein auf den Verkaufspreis angewendet wurde?

Hinweis

Der Verkaufspreis eines Artikels mit einem Originalpreis von (x) Dollar beträgt (f(x)=0,90x). Der Gutscheinpreis für einen Artikel im Wert von (y) Dollar beträgt (g(y)=0.70y).

Lösung

((g∘f)(x)=0.63x)

Symmetrie der Funktionen

Die Graphen bestimmter Funktionen haben Symmetrieeigenschaften, die uns helfen, die Funktion und die Form ihres Graphen zu verstehen. Betrachten Sie zum Beispiel die Funktion (f(x)=x^4−2x^2−3) in Abbildung (PageIndex{12a}). Wenn wir den rechts von der (y)-Achse liegenden Teil der Kurve über die (y)-Achse drehen, liegt er genau auf der Kurve links von der ( y)-Achse. In diesem Fall sagen wir, die Funktion hat Symmetrie um die y-Achse. Betrachten Sie andererseits die Funktion (f(x)=x^3−4x) aus Abbildung (PageIndex{12b}). Wenn wir den Graphen nehmen und ihn um (180°) um den Ursprung drehen, sieht der neue Graph genau gleich aus. In diesem Fall sagen wir, die Funktion hat Symmetrie um den Ursprung.

Abbildung (PageIndex{12}): (a) Ein Graph, der symmetrisch zur (y)-Achse ist. (b) Ein um den Ursprung symmetrischer Graph.

Wenn uns der Graph einer Funktion gegeben ist, ist leicht zu erkennen, ob der Graph eine dieser Symmetrieeigenschaften besitzt. Aber wie können wir ohne Graphen algebraisch bestimmen, ob eine Funktion (f) Symmetrie hat? Wenn wir uns noch einmal Abbildung ansehen, sehen wir, dass, da (f) symmetrisch um die (y)-Achse ist, wenn der Punkt ((x,y)) auf dem Graphen liegt, der Punkt ((−x ,y)) befindet sich im Diagramm. Mit anderen Worten, (f(−x)=f(x)). Wenn eine Funktion (f) diese Eigenschaft hat, sagen wir (f) ist eine gerade Funktion, die Symmetrie um die (y)-Achse hat. Zum Beispiel ist (f(x)=x^2) gerade, weil

(f(−x)=(−x)^2=x^2=f(x).)

Im Gegensatz dazu, wenn wir uns noch einmal Abbildung ansehen, wenn eine Funktion (f) symmetrisch um den Ursprung ist, dann ist der Punkt ((−x,−y )) befindet sich ebenfalls im Diagramm. Mit anderen Worten, (f(−x)=−f(x)). Wenn f diese Eigenschaft hat, sagen wir, dass (f) eine ungerade Funktion ist, die Symmetrie zum Ursprung hat. Zum Beispiel ist (f(x)=x^3) ungerade, weil

(f(−x)=(−x)^3=−x^3=−f(x).)

Definition: Gerade und ungerade Funktionen

  • Ist (f(x)=f(−x)) für alle (x) im Bereich von (f), dann ist (f) ein auch Funktion. Eine gerade Funktion ist symmetrisch zur (y)-Achse.
  • Ist (f(−x)=−f(x)) für alle (x) im Bereich von (f), dann ist (f) ein seltsam Funktion. Eine ungerade Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.

Algebraischer Symmetrietest: Ist die Funktion gerade, ungerade oder keines?

Bewerte (f(−x)) und vergleiche es mit (f(x)) und (−f(x)).

  • Ist (f(x)=f(−x)) für alle (x) im Bereich von (f), dann ist (f) ein auch Funktion.
  • Ist (f(−x)=−f(x)) für alle (x) im Bereich von (f), dann ist (f) ein seltsam Funktion.
  • Wenn (f(−x)) nicht gleich (f(x)) und nicht gleich (−f(x)) ist, dann ist (f) weder gerade noch ungerade.

Beispiel (PageIndex{10}): Gerade und ungerade Funktionen

Bestimmen Sie, ob jede der folgenden Funktionen gerade, ungerade oder keine von beiden ist.

  1. (f(x)=−5x^4+7x^2−2)
  2. (f(x)=2x^5−4x+5)
  3. (f(x)=frac{3x}{x^2+1})

Lösung

Um festzustellen, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist, berechnen wir (f(−x)) und vergleichen sie mit (f(x)) und (−f(x)).

1. (f(−x)=−5(−x)^4+7(−x)^2−2=−5x^4+7x^2−2=f(x)). Daher ist (f) gerade.

2.(f(−x)=2(−x)^5−4(−x)+5=−2x^5+4x+5). Nun gilt (f(−x)≠f(x)). Außerdem sehen wir, dass (−f(x)=−2x^5+4x−5) (f(−x)≠−f(x)). Daher ist (f) weder gerade noch ungerade.

3.(f(−x)=3(−x)/((−x)2+1))(=−3x/(x^2+1)=)(−[3x/( x^2+1)]=−f(x)). Daher ist (f) ungerade.

Übung (PageIndex{10})

Bestimmen Sie, ob f(x)=4x^3−5x gerade, ungerade oder keines von beiden ist.

Hinweis

Vergleiche (f(−x)) mit (f(x)) und (−f(x)).

Antworten

f(x) ist ungerade.

Eine häufig auftretende symmetrische Funktion ist die Absolutwertfunktion, geschrieben als (|x|). Die Absolutwertfunktion ist definiert als

[f(x)=egin{cases} -x& x<0 x& x≥0 end{cases}]

Einige Schüler beschreiben diese Funktion mit der Aussage, dass sie „alles positiv macht“. Durch die Definition der Betragsfunktion sehen wir, dass wenn (x<0), dann (|x|=−x>0), und wenn (x>0), dann (|x |=x>0). Für (x=0),(|x|=0). Daher ist es genauer zu sagen, dass für alle Eingaben ungleich Null die Ausgabe positiv ist, aber wenn (x=0), die Ausgabe (|x|=0) ist. Wir schließen daraus, dass der Bereich der Betragsfunktion {(y|y≥0)} ist. In Abbildung (PageIndex{13}) sehen wir, dass die Betragsfunktion symmetrisch zur (y)-Achse ist und somit eine gerade Funktion ist.

Abbildung (PageIndex{13}): Der Graph von (f(x)=|x|) ist symmetrisch zur (y)-Achse.

Beispiel (PageIndex{11}): Arbeiten mit der Absolutwertfunktion

Bestimmen Sie den Definitionsbereich und den Bereich der Funktion (f(x)=2|x−3|+4).

Lösung

Da die Betragsfunktion für alle reellen Zahlen definiert ist, ist der Definitionsbereich dieser Funktion ((−∞,∞)). Da (|x−3|≥0) für alle (x) gilt, ist die Funktion (f(x)=2|x−3|+4≥4). Daher ist der Bereich höchstens die Menge {(y|y≥4)}. Um zu sehen, dass der Bereich tatsächlich diese ganze Menge ist, müssen wir zeigen, dass es für (y≥4) eine reelle Zahl (x) gibt mit

(2|x−3|+4=y)

Eine reelle Zahl (x) erfüllt diese Gleichung, solange

(|x−3|=frac{1}{2}(y−4))

Da (y≥4) wir (y−4≥0) kennen und somit die rechte Seite der Gleichung nicht negativ ist, ist es möglich, dass es eine Lösung gibt. Weiter,

(|x−3|=egin{cases} −(x−3)& ext{if } x<3x−3& ext{if } x≥3end{cases}).

Daher sehen wir, dass es zwei Lösungen gibt:

(x=±frac{1}{2}(y−4)+3).

Der Bereich dieser Funktion ist ({y|y≥4}).

Aufgabe (PageIndex{11}): Domäne und Reichweite

Finden Sie für die Funktion (f(x)=|x+2|−4) den Bereich und den Bereich.

Hinweis

(|x+2|≥0) für alle reellen Zahlen (x).

Antworten

Bereich = ((−∞,∞)), Bereich = {(y|y≥−4)}.

Schlüssel Konzepte

  • Eine Funktion ist eine Abbildung von einer Menge von Eingaben auf eine Menge von Ausgaben mit genau einer Ausgabe für jede Eingabe.
  • Wenn für eine Funktion (y=f(x)) keine Domäne angegeben ist,
  • der Definitionsbereich gilt als die Menge aller reellen Zahlen (x)
  • für die die Funktion definiert ist.
  • Beim Skizzieren des Graphen einer Funktion (f)
  • jede vertikale Linie darf den Graphen höchstens einmal schneiden.
  • Eine Funktion kann beliebig viele Nullen haben, aber höchstens einen y-Achsenabschnitt.
  • Um die Zusammensetzung (g∘f) zu definieren, muss der Bereich von (f) im Definitionsbereich von (g) enthalten sein.
  • Gerade Funktionen sind symmetrisch zur (y)-Achse, während ungerade Funktionen symmetrisch zum Ursprung sind.

Schlüsselgleichungen

  • Zusammensetzung aus zwei Funktionen

(g∘f)(x)=g(f(x)))

  • Absolutwertfunktion

(f(x)=egin{Fälle}−x&x<0x&x≥0end{Fälle})

Glossar

Absolutwertfunktion
(f(x)=egin{Fälle}−x&x<0x&x≥0end{Fälle})
zusammengesetzte Funktion
gegebenen zwei Funktionen (f) und (g), eine neue Funktion, bezeichnet mit (g∘f), so dass ((g∘f)(x)=g(f(x)))
abnehmend im Intervall II
eine Funktion, die im Intervall (I) abnimmt, wenn für alle (x_1,x_2∈I,f(x_1)≥f(x_2)) wenn (x_1
abhängige Variable
die Ausgangsvariable für eine Funktion
Domain
die Menge der Eingänge für eine Funktion
gleiche Funktion
eine Funktion ist gerade, wenn (f(−x)=f(x)) für alle (x) im Bereich von (f)
Funktion
eine Menge von Eingaben, eine Menge von Ausgaben und eine Regel zum Zuordnen jeder Eingabe zu genau einer Ausgabe
Graph einer Funktion
die Menge der Punkte ((x,y)), so dass (x) im Bereich von (f) und (y=f(x)) liegt
zunehmend im Intervall II
eine Funktion, die auf dem Intervall (I) wächst, wenn für al(l x1,x2∈I,f(x1)≤f(x2)) wenn (x1
unabhängige Variable
die Eingangsvariable für eine Funktion
komische Funktion
eine Funktion ist ungerade, wenn (f(−x)=−f(x)) für alle (x) im Bereich von (f)
Angebot
die Menge der Ausgänge für eine Funktion
Symmetrie um den Ursprung
der Graph einer Funktion (f) ist symmetrisch um den Ursprung, wenn ((−x,−y)) auf dem Graphen von (f) liegt, wenn ((x,y)) auf dem . liegt Graph
Symmetrie über die ja-Achse
der Graph einer Funktion (f) ist symmetrisch um die (y)-Achse, wenn ((−x,y)) auf dem Graphen von (f) liegt, wenn ((x,y) ) ist auf dem Graphen
Wertetabelle
eine Tabelle mit einer Liste von Eingaben und ihren entsprechenden Ausgaben
Vertikallinientest
gegebenen Graphen einer Funktion schneidet jede vertikale Linie den Graphen höchstens einmal
Nullstellen einer Funktion
wenn eine reelle Zahl x eine Nullstelle einer Funktion ist (f,f(x)=0)

Mitwirkende

  • Gilbert Strang (MIT) und Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) mit vielen beitragenden Autoren. Dieser Inhalt von OpenStax wird mit einer CC-BY-SA-NC 4.0-Lizenz lizenziert. Kostenlos herunterladen unter http://cnx.org.


1.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen

Die grundlegenden Eigenschaften von Exponenten und Logarithmen und die Tatsache, dass die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion invers sind, führen zu vielen interessanten Problemen.

Die grundlegenden exponentiellen Eigenschaften:

Für alle positiven reellen Zahlen x und ja, und alle reellen Zahlen ein und B:

Die grundlegenden logarithmischen Eigenschaften:

Für alle positiven reellen Zahlen a, b, p, und Q, und alle reellen Zahlen x, wo ein />1 und B />1:

Die grundlegende Eigenschaft, die die exponentiellen und logarithmischen Funktionen in Beziehung setzt, ist:

Für alle reellen Zahlen x, und alle positiven reellen Zahlen B und N, ProtokollB n = x ist äquivalent zu b x = n. Wenn die Basis die Zahl ist e, ln, der natürliche Logarithmus, wird anstelle von log . verwendete.

Konventionell ist die Base 10, wenn keine Base angegeben ist.

TRINKGELD

ProtokollBn ist nur für positiv definiert N.

2. Vereinfachen .

Um Exponenten mit den obigen Eigenschaften zu kombinieren, muss die Basis jedes Faktors gleich sein.

3. Wenn log 23 = z, was ist log 2300 gleich?

log 2300 = log(23 · 100) = log 23 + log 100 = z + log 10 2 = z + 2

Notiz: Die Beispiele 3 und 4 lassen sich leicht mit einem Taschenrechner auswerten.

4. Wenn ln 2 = x und ln 3 = ja, finde den Wert von ln 18 in Bezug auf x und ja.

ln 18 = ln(32 · 2) = ln 2 + 2ln 3 = x + 2ja

Daher log(x + 5) = log(5x), was nur gilt, wenn:

6. Bewerten .

Die letzte Gleichheit impliziert, dass

Daher 3x = 1 und x = .

Daher, .

Sie können auch die Basisänderungsformel und Ihren Taschenrechner verwenden.

Deswegen, .

Die Graphen aller Exponentialfunktionen y = b x haben ungefähr die gleiche Form und gehen durch Punkt (0,1). Ob B > 1 steigt der Graph mit x erhöht und nähert sich dem x-einxist so asymptotisch wie x sinkt. Der Krümmungsbetrag wird größer, wenn der Wert von B wird größer gemacht. Wenn 0 1, steigt der Graph mit x erhöht und nähert sich dem ja-einxist so asymptotisch wie x geht gegen Null. Der Krümmungsbetrag wird größer, wenn der Wert von B wird größer gemacht. Wenn 0 a · (x a +1 ) ein · (x a ) 1–ein = x k , dann k =

&emsp&emsp(A)

3.&emspIf log10 m = , dann logge dich ein10 10m 2 =

&emsp&emsp(B)

&emsp&emsp(E) Der Wert von x kann aus den gemachten Angaben nicht ermittelt werden.

5.&emspIf f(x) = log2 x, dann

&emsp&emsp(A)

&emsp&emsp(C)

&emsp&emsp(D)

7.&emsplog2 m = und log7 n = , mn =

9.&emsp=

10.&emspWenn 300 $ zu 3% investiert werden, kontinuierlich aufgezinst, wie lange (auf das nächste Jahr) dauert es, bis sich das Geld verdoppelt? (Ob P ist der investierte Betrag, die Formel für den Betrag, EIN, das ist verfügbar nach T Jahre ist EIN = Sport 0.03T .)

Antworten und Erklärungen

Exponentielle und logarithmische Funktionen

1.&emsp(C)

2.&emsp(EIN)

3.&emsp(EIN) log(10m 2 ) = log 10 + 2 log m = 1 + 2 · = 2.

4.&emsp(B) b a = 5, b c = 2.5 = 5 x , unter Verwendung der Beziehungen zwischen Logs und Exponenten: (b a ) x = b ax = 5 x = b c . Deswegen, ax = c und .

5.&emsp(B)

6.&emsp(B) Da ln für log . stehte, und e > 1, xy 0.03T um 600 = 300 . zu erhaltene 0.03T . Vereinfachen Sie, um 2 = . zu erhalten e 0.03T . Dann nimm ln von beiden Seiten, um ln 2 = 0,03 . zu erhaltenT und T = . Verwenden Sie Ihren Taschenrechner, um das zu finden T ist ungefähr 23.

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Beziehungen, Funktionen und Grafiken.

Ein Paar besteht aus zwei Elementen. Einige Beispiele für Paare sind (3,4) (a,b) (d,c). usw. Ein geordnetes Paar (a, b) ist ein Paar von Objekten. Die Reihenfolge, in der die Objekte im Paar erscheinen, ist signifikant: Das geordnete Paar (a, b) unterscheidet sich vom geordneten Paar (b, a), es sei denn, a = b. (Im Gegensatz dazu ist das ungeordnete Paar entspricht dem ungeordneten Paar .) Geordnete Paare werden auch 2-Tupel oder Sequenzen genannt

Einige Beispiele für gleiche und ungleiche Paare

A. (1, 3) und (3, 1) sind ungleich, d. h. (1, 3) &ne (3, 1).

B. (a, b) und (a, b) sind gleich, d. h. (a, b) = (a, b).

C. (1, a) und (1, x) sind ungleich, d. h. (1, a) &ne (1, x).

D. (x, x) und (y, y) sind ungleich, d. h. (x, x) &ne (y, y).

B. Kartesisches Produkt

Das kartesische Produkt zweier nichtleerer Mengen A und B wird mit A × B bezeichnet und als die Sammlung aller geordneten Paare (a, b) definiert, so dass a & isinA und b & isinB .

Wenn A = <1, 2, 3>und B = finde A x A, B x B und B x A

Eine Relation ist eine beliebige Menge von geordneten Paaren (x, y), so dass der Wert der zweiten Koordinate 'y' vom Wert der ersten Koordinate 'x' abhängt, dann y die abhängige Variable und x die unabhängige Variable ist.

Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen einer Menge von Eingaben und einer Menge möglicher Ausgaben mit der Eigenschaft, dass sich jede Eingabe auf genau eine Ausgabe bezieht. Ein Beispiel ist die Funktion, die jede reelle Zahl x mit ihrem Quadrat x 2 in Beziehung setzt.

Zusammengesetzte Funktion

Seien f : A &rarr B und g: B &rarr C die beiden Funktionen .die Funktion gof : A&rarr C heißt zusammengesetzte Funktion von A bis C

Wenn f = < (1,2) ,(2,3) (3,4) >anf g = < (2,a)(4,c) ,(3,b)>, dann zeigen Sie, dass die zusammengesetzte Funktion gf im Pfeil

Diagramm und finden Sie es in geordneter Paarform.

Funktionsarten

Auf Funktion

Eine Funktion f von einer Menge X zu einer Menge Y ist auf, wenn jedes Element in Y ein entsprechendes Element in X hat, so dass f(x) = y.

In Funktion

Eine Funktion f von einer Menge X zu einer Menge Y ist in, wenn Element in Y echte Teilmenge von X . ist

Eins zu eins, um zu funktionieren

Eine Funktion f von einer Menge X zu einer Menge Y ist eins zu eins auf Funktion, wenn jedes Element in Y eindeutig einem Element von X zugeordnet ist.

Eins zu eins in die Funktion

Eine Funktion f von einer Menge X zu einer Menge Y ist Eins zu Eins in Funktion, wenn Element in Y nicht unbedingt Element von X zugeordnet ist.

Viele zu eins, um zu funktionieren

Eine Funktion f von einer Menge X zu einer Menge Y ist Viele zu Eins auf Funktion, wenn einem Element in Y mehr als ein Element in x zugeordnet ist.

Viele zu eins in Funktion

Eine Funktion f von einer Menge X zu einer Menge Y ist Viele zu eins in Funktion, wenn Element in Y mindestens ein Element hat, das nicht auf das Element von X abgebildet ist.

Einige einfache algebraische Funktionen und ihre Graphen:

1. Lineare Funktionen:

Dies sind Funktionen der Form: y = m x + b,

Wo m und b Konstanten sind

Eine typische Anwendung für lineare Funktionen ist die Umrechnung von einer Menge oder einem Satz von Einheiten in eine andere. Graphen dieser Funktionen sind gerade Linien. m ist die Steigung und b ist der y-Achsenabschnitt. Wenn m positiv ist, steigt die Linie nach rechts und wenn m negativ ist, fällt die Linie nach rechts.

2. Quadratische Funktionen:

Dies sind Funktionen der Form: y = a x 2 + b x + c,

Wo a, b und c Konstanten sind

Ihre Graphen werden Parabeln genannt. Dies ist der einfachste Funktionstyp nach der linearen Funktion. Fallende Objekte bewegen sich entlang parabolischer Bahnen. Wenn a eine positive Zahl ist, öffnet sich die Parabel nach oben und wenn a eine negative Zahl ist, öffnet sich die Parabel nach unten.

3. Leistungsfunktionen:

Dies sind Funktionen des Formulars:

Wobei a und b Konstanten sind.

Die Potenz b ist eine positive ganze Zahl:

Bei x = 0 sind diese Funktionen alle null. Wenn x groß und positiv ist, sind sie alle groß und positiv. Wenn x groß und negativ ist, sind diejenigen mit geraden Potenzen groß und positiv, während diejenigen mit ungeraden Potenzen groß und negativ sind.

Die Potenz b ist eine negative ganze Zahl:

Bei x = 0 erleiden diese Funktionen eine Division durch Null und sind daher alle unendlich. Wenn x groß und positiv ist, sind sie klein und positiv. Wenn x groß und negativ ist, sind diejenigen mit geraden Potenzen klein und positiv, während diejenigen mit ungeraden Potenzen klein und negativ sind.

Die Potenz b ist ein Bruch zwischen 0 und 1:

Bei x = 0 sind diese Funktionen alle null. Die Kurven sind im Ursprung vertikal und mit zunehmendem x nehmen sie zu, krümmen sich jedoch zur x-Achse.

Polynomfunktionen:

Dies sind Funktionen des Formulars:

Wo einn, einn &minus1, &hellip , a2, ein1, ein0 sind Konstanten. Es sind nur ganzzahlige Potenzen von x erlaubt. Die höchste auftretende Potenz von x wird als Grad des Polynoms bezeichnet. Die Grafik zeigt Beispiele für Polynome vom Grad 4 und vom Grad 5. Der Grad gibt die maximale Anzahl von „Ups und Downs&rdquo an, die das Polynom haben kann und auch die maximale Anzahl von Kreuzungen der x-Achse, die es haben kann.

Rationale Funktionen:

Diese Funktionen sind das Verhältnis zweier Polynome. Ein Studiengebiet, in dem sie wichtig sind, ist die Stabilitätsanalyse von mechanischen und elektrischen Systemen (die Laplace-Transformationen verwendet).

Wenn das Polynom im Nenner null ist, wird die rationale Funktion unendlich, wie durch eine vertikale gestrichelte Linie (Asymptote genannt) in ihrem Graphen angezeigt. Für das Beispiel rechts passiert dies, wenn x = &minus2 und wenn x = 7.

Wenn x sehr groß wird, kann die Kurve abflachen. Die Kurve nach rechts flacht bei y = 5 ab.

Der Graph rechts zeigt ein weiteres Beispiel für eine rationale Funktion.Dieser hat eine Division durch Null bei x = 0. Er pendelt sich nicht ein, nähert sich jedoch der geraden Linie y = x, wenn x groß ist, wie durch die gestrichelte Linie (eine weitere Asymptote) angezeigt.

Exponentialfunktionen:

Dies sind Funktionen des Formulars:

Wobei x in einem Exponenten steht (nicht in der Basis, wie es bei der Potenzfunktion der Fall war) und a und b Konstanten sind. (Beachten Sie, dass nur b mit x potenziert wird, nicht a.) Wenn die Basis b größer als 1 ist, ist das Ergebnis exponentielles Wachstum. Viele physikalische Größen wachsen exponentiell (z.B. Tierbestände und Bargeld auf einem verzinslichen Konto).

Wenn die Basis b kleiner als 1 ist, ist das Ergebnis ein exponentieller Zerfall. Viele Größen zerfallen exponentiell (z. B. das Sonnenlicht erreicht eine bestimmte Tiefe des Ozeans und die Geschwindigkeit eines Objekts verlangsamt sich aufgrund von Reibung).

Logarithmische Funktionen:

Es gibt viele gleichwertige Möglichkeiten, logarithmische Funktionen zu definieren. Wir werden sie so definieren, dass sie die Form haben:

Wobei x im natürlichen Logarithmus steht und a und b Konstanten sind. Sie sind nur für positives x definiert. Für kleine x sind sie negativ und für große x sind sie positiv, bleiben aber klein. Logarithmische Funktionen beschreiben genau die Reaktion des menschlichen Ohrs auf Geräusche unterschiedlicher Lautstärke und die Reaktion des menschlichen Auges auf Licht unterschiedlicher Helligkeit.

Sinusförmige Funktionen:

Dies sind Funktionen des Formulars:

Wobei a, b und c Konstanten sind. Sinusförmige Funktionen sind nützlich, um alles zu beschreiben, was eine Wellenform in Bezug auf Position oder Zeit hat. Beispiele sind Wellen auf dem Wasser, die Höhe der Gezeiten im Tagesverlauf und Wechselstrom im Strom. Parameter a (Amplitude genannt) beeinflusst die Höhe der Welle, b (die Winkelgeschwindigkeit) beeinflusst die Breite der Welle und c (der Phasenwinkel) verschiebt die Welle nach links oder rechts.


Ermitteln der Ableitung einer Umkehrfunktion

Die Berechnung der Ableitung einer Umkehrfunktion ist nicht viel schwieriger als die Berechnung von Ableitungen im Allgemeinen.

Hier zunächst ein kurzer Überblick über die grundlegenden Ableitungsregeln: Calculus Review: Derivative Rules.

Der Hauptsatz für Inverse

Nehme an, dass F ist eine Funktion mit einer wohldefinierten Inversen F -1 , und nehmen Sie an, dass (ein, B) ist ein Punkt im Graphen von ja = F(x). Dann

Möglicherweise wird jedoch eine andere Version dieser Regel angezeigt. Eine andere Möglichkeit, das zu sagen (ein, B) ist ein Punkt im Graphen von ja = F(x) ist das zu sagen B = F(ein). Außerdem können wir nach Eigenschaften der Inversen sagen, dass ein = F -1 (B).

Endlich ersetzen B von x, entdecken wir die zweite Version des Hauptsatzes:

Die beiden Versionen sind in unterschiedlichen Kontexten nützlich, was wir in den Beispielen sehen werden.

Es ist auch gut zu wissen, dass die Bedingung “ mit einem wohldefinierten Inversen” erfüllt ist, wenn die Funktion ist eins zu eins.

Beispiel 1

Nehme an, dass g(x) ist die Umkehrfunktion für F(x) = 3x 5 + 6x 3 + 4. Finden Sie den Wert von g '(13).

Lösung

Es wird uns nichts nützen, die Umkehrfunktion algebraisch aufzulösen. Dafür ist dieses Polynom einfach zu kompliziert. Stattdessen müssen wir uns auf den Hauptsatz verlassen.

Bestimmen Sie zunächst die Ableitung der ursprünglichen Funktion.

Das andere Teil des Puzzles ist der Wert, den es zu stecken gilt. Identifizieren B = 13 aus der Problemstellung. Aber stecken Sie 13 nicht in irgendetwas ein! Stattdessen erfordert die Formel einen Wert ein so dass F(ein) = B das ist, F(ein) = 13.

Es sieht also so aus, als müssten wir Folgendes lösen:

Allerdings ist dieses Polynom immer noch viel zu schwer algebraisch zu lösen. Glücklicherweise dauert es nicht lange, einen Wert zu erraten und zu überprüfen x das würde diese Gleichung wahr machen.

Schauen Sie sich nur die Koeffizienten an: sie addieren sich zu 13… Also, wenn wir nur eingesteckt haben x = 1, dann erhalten wir das richtige Ergebnis.

3(1) 5 + 6(1) 3 + 4 = 3 + 6 + 4 = 13

Dies bedeutet, dass wir verwenden sollten ein = 1 in der Formel für die Ableitung.

Zum Schluss setzen Sie alles mit der Formel aus dem Hauptsatz zusammen:


1.2: Funktionsüberblick - Mathematik

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Editor für mathematische Ausdrücke

In diesem Abschnitt werden die Grundlagen von Exponentialfunktionen und die Berechnung numerischer Exponentialfunktionen erläutert.

Was sind Exponentialfunktionen?

Typischerweise lernt man Exponentialfunktionen als rein mechanische Aktion. Im Wesentlichen kann man sich Exponentialfunktionen als „wiederholte Multiplikation“ vorstellen, ähnlich wie Multiplikation „wiederholte Addition“. Dies verbirgt jedoch einige der intuitiveren und wichtigeren Kenntnisse über Exponentialfunktionen. Nichtsdestotrotz hilft es, die Mechanik (zumindest für Zahlen) zu lernen, bevor man sich mit den Modellierungsaspekten der Funktion befasst.

Numerische Berechnung von Exponentialfunktionen eine kurze Übersicht.

Exponentiale werden in der Form angegeben. Es ist vielleicht am einfachsten, die Notation zu verstehen, wenn man die bereits erwähnte Parallele von Multiplikation und Addition explizit berücksichtigt.

Vergleich von Exponenten mit Multiplikation und Multiplikation mit Addition

Als Sie (sehr) jung waren und Addition lernten, hatten Sie wahrscheinlich Momente, in denen Sie immer wieder dieselbe Zahl zu sich selbst addieren. Tatsächlich macht das Zählen genau das mit der Zahl . Zählen heißt also wirklich nur 5 mal zu sich selbst addieren und jeden Teilschritt laut aussprechen. Wenn Sie (etwas) älter wurden, wurde es wahrscheinlich mühsam, immer wieder dieselbe Zahl zu sich selbst zu addieren, und dies ist oft der Fall, wenn die Multiplikation eingeführt wird.
Wir können uns also Multiplikation vorstellen (und sie wird tatsächlich so definiert), indem wir einfach immer wieder etwas addieren. Anstatt zu berechnen, können wir sagen, wir haben „Vier“ und berechnen es als . Hier geht es wahrscheinlich nur darum, Sie hier in eine Betäubung zu langweilen, also kommen wir zu den Exponenten.
Exponentiale sind die gleiche Idee. Anstatt zu multiplizieren, können wir sagen, dass wir „Vier“ haben, die multipliziert werden. Offensichtlich können wir nicht dasselbe Symbol verwenden, um dies darzustellen, denn wenn wir schreiben würden, würden wir dies als nicht interpretieren. Um den Unterschied zu erkennen, setzen wir das an einer anderen Stelle, nämlich schreiben wir .
Dies mag offensichtlich und Zeitverschwendung erscheinen, aber zu erkennen, dass alles ein Exponent ist, ist eine Art wiederholte Multiplikation zu schreiben, wir können tatsächlich extrahieren fast alles die wichtigen Eigenschaften von Exponenten, indem Sie sich nur an dieses kleine Detail erinnern. Das werden wir als nächstes tun.


Lektion 8

Das Ziel dieser Aufwärmphase ist es, die Bedeutung einer grafisch dargestellten Funktion zu überprüfen. Während die Schüler hier keine Funktionsnotation verwenden müssen, bereitet sie die Interpretation des Graphen im Kontext auf ihre Arbeit mit Funktionen im Rest der Einheit vor.

Start

Bitten Sie die Schüler, ihre Bücher oder Geräte zu schließen. Zeigen Sie die Grafik für alle an. Bitten Sie die Schüler, die Grafik zu beobachten und bereit zu sein, etwas mitzuteilen, was ihnen auffällt und was sie sich fragen. Wählen Sie die Schüler aus, um kurz etwas mitzuteilen, was ihnen aufgefallen ist oder sich gefragt hat, um sicherzustellen, dass alle Schüler die in der Grafik vermittelten Informationen verstehen. Bitten Sie die Schüler, ihre Bücher oder Geräte zu öffnen und die Fragen zur Grafik zu beantworten. Folgen Sie mit einer Diskussion in der ganzen Klasse.

Hier ist eine Grafik des akkumulierten Niederschlags in Las Vegas, Nevada, in den ersten 60 Tagen des Jahres 2017.

Bild erweitern

Beschreibung: <p>Liniendiagramm mit dem Titel Accumulated Rainfall, Las Vegas, Nevada. Horizontale Achse, Tag des Jahres 2017, von 0 bis 60, um 10er. (Zwischen jeder beschrifteten Zahl befinden sich 4 gleichmäßig verteilte Striche/Häkchen.) Vertikale Achse, Niederschlag in Zoll, von 0 bis 1 Punkt 6 mal 0 Punkt 2.</p> <p>Der Graph beginnt bei 0 Komma 0 und bewegt sich horizontal nach rechts bis er 11 Komma 0 erreicht. Dann neigt er sich nach oben und nach rechts, bis er 13 Komma 0 Punkt 1 erreicht. Der Graph bewegt sich dann horizontal und nach rechts, bis er 19 Komma 0 Punkt 1 erreicht. Dann neigt er sich nach oben und nach rechts bis Er erreicht 20 Komma 0 Punkt 4. Der Graph bewegt sich horizontal und nach rechts, bis er 21 Komma 0 Punkt 4 erreicht. Dann neigt er sich nach oben und nach rechts, bis er 22 Komma 0 Punkt 9 erreicht. Er neigt sich nach oben und wieder nach rechts, bis er erreicht 23 Komma 0 Punkt 95. Der Graph bewegt sich dann horizontal und nach rechts, bis er 41 Komma 0 Punkt 95 erreicht. Er neigt sich nach oben und nach rechts bis 43 Komma 1. Er bewegt sich horizontal und nach rechts bis 47 Komma 1. Es neigt sich nach oben und rechts bis 48 Komma 1 Punkt 02, und schräg nach oben und wieder nach rechts bis 49 Komma 1 Punkt 45. Der Graph bewegt sich horizontal und nach rechts bis 60 Komma 1 Punkt 45.</p> <p><br> <br> </p>

Verwenden Sie die Grafik, um Ihre Antworten auf die folgenden Fragen zu unterstützen.

  1. Ist die akkumulierte Niederschlagsmenge eine Funktion der Zeit?
  2. Ist die Zeit eine Funktion des angesammelten Niederschlags?

Schülerantwort

Wenden Sie sich für den Zugriff an einen unserer IM-zertifizierten Partner.

Vorweggenommene Missverständnisse

Wenn es den Schülern schwerfällt, anhand des Diagramms zu erkennen, wie der angesammelte Niederschlag eine Funktion der Zeit ist, die Zeit jedoch keine Funktion des angesammelten Niederschlags ist, sollten Sie die Daten in einer Tabelle anzeigen. Hier werden die Daten für die ersten 20 Tage des Jahres 2017 gezeigt. Helfen Sie den Schülern zu erkennen, dass es für jeden Wert von (t) , der Zeit in Tagen, einen Wert von (r) gibt, dem akkumulierten Niederschlag in Zoll, aber umgekehrt ist dies nicht der Fall.

(t) (Tage) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
(r) (Zoll) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.03 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.11 0.38

Aktivitätssynthese

Stellen Sie sicher, dass die Schüler verstehen, warum der angesammelte Regen eine Funktion der Zeit ist, aber nicht umgekehrt.

Rufen Sie dann die Notation zum Schreiben in Erinnerung, indem Sie die Funktionsnotation verwenden, akkumulierter Regen als Funktion der Zeit. Wenn (r) die Niederschlagsmenge in Zoll und (t) die Zeit in Tagen darstellt, dann ist (r(t)) die Regenmenge, die in den ersten (t) Tagen gefallen ist von 2017. Zum Beispiel sagt uns (r(2) = 0), dass der akkumulierte Niederschlag in den ersten beiden Tagen des Jahres 0 Zoll betrug. (r(48)=1) bedeutet, dass sich in den ersten 48 Tagen des Jahres 1 Zoll Regen angesammelt hat. Bitten Sie die Schüler, die Bedeutung einiger anderer Aussagen in Funktionsnotation aufzuschreiben und zu erklären.


MCR3UG - Klasse 11 Funktionen, Universitätsmathematik (Ontario, Kanada - Curriculum) Kursressourcen 2008 - 2009

Einheit 1 - Algebraische Werkzeuge zum Arbeiten mit Funktionen
1.1 Exponentengesetze überprüfen
1.2 Rationale Exponenten
1.3 Lösen von Exponentialgleichungen
1.4 Wiederholen Sie das Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren von Polynomen
1.5 Vereinfachung rationaler Ausdrücke
1.6 Multiplizieren und Dividieren von rationalen Ausdrücken
1.7 Rationale Ausdrücke addieren und subtrahieren I
1.8 Rationale Ausdrücke addieren und subtrahieren II

LÖSUNGSBEISPIELE
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Einheit 2: Quadratische Funktionen und Gleichungen
2.1 Das komplexe Zahlensystem
2.2 Maximum oder Minimum einer quadratischen Funktion durch Vervollständigung des Quadrats
2.3 Quadratische Gleichungen lösen
- Factoring & Quad-Formel
- Wurzeln einer quadratischen Gleichung
- Lösen von Problemen mit linearen und quadratischen Beziehungen. (grafisch & algebraisch)
- Anwendungsprobleme
2.4 Werkzeuge zum Arbeiten mit komplexen Zahlen
2.5 Operationen mit komplexen Zahlen in Rechteckform

LÖSUNGSBEISPIELE
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Einheit 3: Transformationen von Funktionen
3.1 Funktionen
3.2 Untersuchung: Eigenschaften reziproker Funktionen und Quadratwurzelfunktionen
3.3 Horizontale und vertikale Übersetzung
3.4 Reflexionen von Funktionen
3.5 Inverse Funktionen
3.6 Funktionsumfang
3.7 Kombinationen von Transformationen

Exponentialfunktionen
Transformationen von Exponentialfunktionen

Einheit 4: Trigonometrie
Einführung in trigonometrische Verhältnisse und reziproke trigonometrische Verhältnisse
SOH CAH TOA
4.1 Überprüfung der Trigonometrie rechter Dreiecke
4.2 Der Sinus und der Kosinus von Winkeln größer als 900
4.3 Die Sinus- und Kosinusgesetze
4.4 Das Sinusgesetz: Der zweideutige Fall

Einheit 5: Trigonometrische Funktionen
5.2 Trigonometrische Verhältnisse beliebiger Winkel
5.4 Untersuchung: Skizzieren der Graphen von:
f(x) = sin x
f(x) = cos x
f(x) = tan x
5.5 Abschnitte periodischer Funktionen
5.6 Übersetzungen und Kombinationen von Transformationen
5.7 Trigonometrische Identitäten

Einheit 6: Sequenzen und Serien
6.1 Sequenzen
6.2 Arithmetische Folgen
6.3 Geometrische Folgen
6.4 Rekursionsformel (Fibonacci-Folge)
Pascals Dreieck und Erweiterung der Binomialzahlen
6.5 Arithmetische Reihe
6.6 Geometrische Serien

Einheit 7: Zinseszins und Renten An
7.1 Einfaches Interesse
7.2 Zinseszins
7.3 Vergleich von einfachen und Zinseszinsen
7.4 Barwert
7.5 Höhe einer ordentlichen Rente
7.6 Barwert einer ordentlichen Rente
7.7 Technologie: Amortisationstabellen und Kalkulationstabellen


1.2: Funktionsüberblick - Mathematik

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Coronavirus-Kalender HIER überarbeitet 20.04.2020

Handout für den 1. Tag: Eltern-/Schülerbrief

1 Einführung: Voraussetzungen für die Vorkalkulation (Anmerkungen)

1.2 Faktorisieren mit Ausdrücken und Gleichungen (Notes/E01a-i/E02-04h/, WS /SCHLÜSSEL )

2 Einführung: Spaß und Funktionen (Anmerkungen)

2.3 Weitere Eigenschaften von Funktionen (Hinweise/E04-05/E06a-b/E06c-i/E07/E07b-07e/, WS /SCHLÜSSEL )

PSAT, Abschnitt 4, 2015 (Aufgabe für Freitag, 10.06.2017, Taschenrechner erlaubt, fällig am Ende der Vorlesung)

2.4 Elternfunktionen und Transformationen (Anmerkungen/E01/E04a-c/E04d-05c/E05d/E06c-09/, WS /SCHLÜSSEL )

2.5 Gebäudefunktionen aus anderen Funktionen (Notes/E01-02/E06-08/, WS /SCHLÜSSEL )

3 Einführung: Polynomiale und rationale Funktionen (Anmerkungen)

3.1 Polynomfunktionen und Ungleichungen (Notes/E01/E02-03/E04/E05-06/E08-10/, WS /SCHLÜSSEL )

3.1B Binomialsatz & Pascal-Dreieck (Anmerkungen, WS)

3.2 Reelle Nullstellen von Polynomfunktionen (Anmerkungen/E02-03/E04-06/E07-09a/E09-15/, WS /SCHLÜSSEL )

3.3 Der Zwischenwertsatz (Anmerkungen, WS /SCHLÜSSEL )

3.4 Komplexe Nullstellen von Polynomfunktionen (Anmerkungen/, WS /SCHLÜSSEL )

3.5 Rationale Funktionen (Anmerkungen/, WS /SCHLÜSSEL )

3.6 Radikalfunktionen und Leistungsfunktionen (Anmerkungen, WS /SCHLÜSSEL )

4 Einführung: Exponentielle und logarithmische Funktionen (Anmerkungen)

4.1 Exponentielle und logistische Funktionen (Hinweise/E01-04/E05-07/, WS /SCHLÜSSEL )

4.2 Exponentielle und logistische Modellierung (Anmerkungen/, WS /SCHLÜSSEL )

4.3 Logarithmische Funktionen (Anmerkungen/, WS /SCHLÜSSEL )

4.4 Eigenschaften von Protokollen (Notes/E04-07/E08-10/, WS /WSvideo /SCHLÜSSEL )

4.5 Exponential- und Log-Gleichungen (Anmerkungen/E01-03a/, WS /SCHLÜSSEL )

5 Einführung: Trigonometrische Funktionen (Anmerkungen)

5.2 Winkelanwendungen (Hinweise/E01-04/, WS /SCHLÜSSEL)

5.3 Kreistriggerfunktionen (Hinweise/E03/E04-05/E10-11/, WS /SCHLÜSSEL )

5.3 ENTWICKLUNG DES UNIT CIRCLE VIDEOS

5.3B Verwenden der Einheitskreisübung (WS/KEY)

5.3D Two Clues Quiz zum Mitnehmen, KEY

5.4B Wie man eine Sinuskurve skizziert (Notizen) MUSS LESEN

TEST 5.1-5.4 Testdiskussionsvideo

5.5 Anwendungen von Sinusoiden (Anmerkungen/E01a-e/E01e-02/E03/E04/, WS /SCHLÜSSEL )

5.5B Xtra-Praxis ( WS )

5.6 Die anderen Triggerfunktionen (Hinweise/E01-02/E03-04/E05-06/E07/, WS /SCHLÜSSEL )

5.6B Xtra-Übung mit Trig-Funktionen (WS/KEY)

TESTDISKUSSION 5.1-5.6 2018 (VIDEO)

5.7B Inverser Sinus & Kosinus (WS /SCHLÜSSEL )

5.8 Problemlösung mit Trigonometrie (Hinweise, WS /SCHLÜSSEL )

6 Einführung: Analytische Trigonometrie (Anmerkungen)

6.2B Trig Proofs Xtra Practice (WS)

6.3 Zusammengesetzte Identitäten (Notes/KEY/E01-05/E06-09/, WS /SCHLÜSSEL )

6.4 Andere Identitäten (Notizen/KEY/E01-04/E05-06/, WS /SCHLÜSSEL ) Xtra-Praxis WS /SCHLÜSSEL

6.5 Das Sinusgesetz (Noten/TASTE/, WS /SCHLÜSSEL )

6.6 Das Kosinusgesetz und die Fläche (Notes/KEY/, WS /SCHLÜSSEL )

7 Einführung: Polare, parametrische und Vektoren (Anmerkungen)

7.1 Polarkoordinaten (Notizen, WS )

7.2 Graphen von Polargleichungen (Anmerkungen, WS )

7.3 Ebenenkurven und parametrische Gleichungen (Anmerkungen, WS )

8 Einführung: Einführung in die Infinitesimalrechnung (Anmerkungen)

8.2 Das Integral (Notes/, WS) Cooler Link HIER!

8.3 Sequenzen und Serien (Notes, WS)

9 Intro: Querschnitte eines doppelt aufgerauhten Kegels (Anmerkungen)

9.2 Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln (Notizen, WS)

Mathematik ist kein vorsichtiger Marsch auf einer gut geräumten Autobahn, sondern eine Reise in eine fremde Wildnis, in der sich die Entdecker oft verirren. Strenge sollte dem Historiker ein Signal sein, dass die Karten erstellt wurden und die wahren Entdecker woanders hingegangen sind.-- W.S. Anglin

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So wenden Sie die Differenzierungsregeln an

Sobald Sie verstehen, dass Differenzierung der Prozess ist, die Funktion der Steigung zu finden, ist die tatsächliche Anwendung der Regeln einfach.

Zuerst eine allgemeine Strategie. Die Regeln gelten für jeden Begriff innerhalb einer Funktion separat. Dann werden die Ergebnisse aus der Differenzierung jedes Begriffs addiert, wobei darauf geachtet wird, die Zeichen zu erhalten. [Zum Beispiel ist die Summe von 3x und minus 2x 2 3x minus 2x 2. ].

Vergessen Sie nicht, dass ein Term wie "x" einen positiven Koeffizienten hat. Koeffizienten und Vorzeichen müssen durch alle Operationen, insbesondere bei der Differenzierung, korrekt getragen werden.

Die Differenzierungsregeln sind kumulativ in dem Sinne, dass je mehr Teile eine Funktion hat, desto mehr Regeln müssen angewendet werden. Beginnen wir hier mit einigen konkreten Beispielen, und dann werden die allgemeinen Regeln in Tabellenform dargestellt.

Nehmen Sie die einfache Funktion: y = C, und sei C eine Konstante wie 15. Die Ableitung jedes konstanten Termes ist nach unserer ersten Regel 0. Dies ist sinnvoll, da die Steigung als die Änderung der y-Variablen bei einer gegebenen Änderung der x-Variablen definiert ist. Angenommen, x geht von 10 auf 11 y ist in dieser Funktion immer noch gleich 15 und ändert sich nicht, daher ist die Steigung 0. Beachten Sie, dass diese Funktion Grafiken als waagerechte Linie.

Fügen Sie nun einen weiteren Term hinzu, um die lineare Funktion y = 2x + 15 zu bilden. Die nächste Regel besagt, dass, wenn x hoch eins ist, die Steigung der Koeffizient auf diesem x ist. Dies ist weiterhin sinnvoll, da eine Änderung von x mit 2 multipliziert wird, um die resultierende Änderung von y zu bestimmen. Wir addieren dies zur Ableitung der Konstanten, die nach unserer vorherigen Regel 0 ist, und die Steigung der Gesamtfunktion ist 2.

Nehmen wir nun an, dass die Variable auf eine höhere Potenz gebracht wird. Wir können dann eine typische nichtlineare Funktion wie y = 5x 3 + 10 bilden. Die mit der Koeffizientenregel kombinierte Potenzregel wird wie folgt verwendet: Ziehen Sie den Koeffizienten heraus, multiplizieren Sie ihn mit der Potenz von x, multiplizieren Sie dann diesen Term mit x, potenziert mit n - 1. Daher ist die Ableitung von 5x 3 gleich (5)(3)(x) (3 - 1) Vereinfachen Sie, um 15x 2 zu erhalten. Addiere zur Ableitung der Konstanten, die 0 ist, und die gesamte Ableitung ist 15x 2 .

Beachten Sie, dass wir die Steigung noch nicht kennen, sondern die Formel für die Steigung. Für ein gegebenes x wie x = 1 können wir die Steigung als 15 berechnen. Einfacher ausgedrückt, wenn x gleich 1 ist, hat die Funktion ( y = 5x 3 + 10) eine Steigung von 15.

Diese Regeln decken alle Polynome ab, und jetzt fügen wir einige Regeln hinzu, um mit anderen Typen nichtlinearer Funktionen umzugehen. Es ist nicht so offensichtlich, warum die Anwendung der restlichen Regeln immer noch dazu führt, eine Funktion für die Steigung zu finden, und in einer regulären Analysis-Klasse würden Sie sich dies wiederholt beweisen. Hier wollen wir uns auf die wirtschaftliche Anwendung der Infinitesimalrechnung konzentrieren, also nehmen wir Newtons Wort dafür, dass die Regeln funktionieren, merken Sie sich ein paar und machen Sie mit der Ökonomie weiter! Der wichtigste Schritt für den Rest der Regeln besteht darin, das Formular oder die Kombination der Begriffe richtig zu identifizieren, und dann ist die Anwendung der Regel unkompliziert.

Für Funktionen, die Summen oder Differenzen von Termen sind, können wir die obige Strategie wie folgt formalisieren:

Wenn y = f(x) + g(x), dann dy/dx = f'(x) + g'(x). Hier haben Sie die Möglichkeit, das Lesen der Symbole zu üben. Lesen Sie diese Regel als: Wenn y gleich der Summe zweier Terme oder Funktionen ist, die beide von x abhängen, dann ist die Funktion der Steigung gleich der Summe der Ableitungen der beiden Terme. Wenn die Gesamtfunktion f minus g ist, dann ist die Ableitung die Ableitung des f-Terms minus der Ableitung des g-Terms.

Die Produktregel wird auf Funktionen angewendet, die das Produkt zweier Terme sind, die beide von x abhängen, zum Beispiel y = (x - 3)(2x 2 - 1). Der einfachste Ansatz wäre, die beiden Terme zu multiplizieren und dann die Ableitung des resultierenden Polynoms gemäß den obigen Regeln zu bilden. Oder Sie haben die Möglichkeit, die folgende Regel anzuwenden.

Gegeben y = f(x) g(x) dy/dx = f'g + g'f. Lesen Sie dies wie folgt: Die Ableitung von y nach x ist die Ableitung des f-Terms multipliziert mit dem g-Term plus die Ableitung des g-Terms multipliziert mit dem f-Term. Um es auf das obige Problem anzuwenden, beachte, dass f(x) = (x - 3) und g(x) = (2x 2 - 1) f'(x) = 1 und g'(x) = 4x sind. Dann ist dy/dx = (1)(2x 2 - 1) + (4x)(x - 3). Vereinfachen Sie und dy/dx = 2x 2 - 1 + 4x 2 - 12x oder 6x 2 - 12x - 1.

Die Quotientenregel wird in ähnlicher Weise auf Funktionen angewendet, bei denen die f- und g-Terme ein Quotient sind. Angenommen, Sie haben die Funktion y = (x + 3)/ (- x 2 ). Dann folge dieser Regel:

Gegeben y = f(x)/g(x), dy/dx = (f'g - g'f)/g 2 . Identifiziere wieder f= (x + 3) und g = -x 2 f'(x) = 1 und g'(x) = -2 und g 2 = x 4 . Setzen Sie dann ein: dy/dx = [(1)(- x 2 ) - (- 2)(x + 3)] / x 4 . Vereinfachen Sie zu dy/dx = (-x 2 + 2x + 6)/ x 4 .

Kombinieren wir nun Regeln nach Typ von Funktion und ihre entsprechenden Grafiken.


Mathematik: Funktionen Übungsfragen

1. A: Die Funktion f weist jedem Element der Domäne genau ein Element des Bereichs zu. Wenn x also im Bereich x ≥ 3 liegt, liegt der Wert von f im Bereich f(x) ≥ 0. Daher ist die richtige Antwort Wahl A. Andererseits ist Wahl B falsch, weil f für einige positive Werte von x nicht definiert ist, wie x = 1. Wahl C ist falsch, weil der Bereich von f ist f(x) ≥ 0, nicht f(3). Schließlich ist die Wahl D falsch, weil der Wert von f(3) definiert ist, da x = 3 im Bereich von f liegt.

2. C: Um g(2) auszuwerten, ersetzen Sie jedes Vorkommen von x in der Gleichung g(x) = 3x + x + 5 durch 2. Dann vereinfachen Sie das Ergebnis mit der Reihenfolge der Operationen:
g(2) = 3(2) + (2) + 5
= 6 + 2 + 5
= 13

3. D: Die Oberfläche wird durch den Ausdruck S(4) angegeben. Um diesen Wert zu berechnen, ersetzen Sie r durch 4 in der Gleichung S(r)=4 2r 2 . Vereinfachen Sie dann das Ergebnis mit der Reihenfolge der Operationen:
S(4)=4π(4) 2
= 4π – 16
= 64 π Daher beträgt die Oberfläche der Kugel 64 .

Gebäudefunktionen

4. B: Da das Theater 500 Tickets verkauft, wenn es 10 $ pro Ticket verlangt, wissen wir, dass t(10) = 500. Außerdem muss t aufgrund der Art und Weise, wie sich der Ticketpreis auf den Ticketverkauf auswirkt, eine lineare Funktion sein, die jedes Mal um 50 abnimmt, wenn d ansteigt durch 1. Daher ist der d-Term der Funktion 50d, also hat die Funktion die Form t(d) = 50d + c. Um den Wert von c zu finden, ersetzen Sie d durch 10 und t(10) durch 500 und lösen Sie nach c auf.
t(10) = 50(10) + c
500 = 500 + c
1000 = c
Somit ist die Funktion t(d) = 50d + 1000.

5. D: Die Kosten der Taxifahrt sind die Summe zweier Funktionen, einer konstanten Funktion für die erste Meile und einer linearen Funktion für den Rest der Fahrt. Die konstante Funktion ist c1 (d) = 4,25, da die Kosten für die erste Meile 4,25 USD betragen. Ziehen Sie für den linearen Teil 1 von d ab, um die erste Meile auszuschließen, und multiplizieren Sie das Ergebnis dann mit 0,70, da es 0,70 pro Meile kostet. Das Ergebnis ist c2 (d) = 0,70 (d-1). Schreiben Sie schließlich die Funktion für die Gesamtkosten der Taxifahrt, indem Sie die beiden Funktionen addieren.
c(d)=c1 (d)+c2 (D)
= 4,25 + 0,70 (d – 1)

Lineare, quadratische und exponentielle Modelle

6. B: Die Länge eines Intervalls ist die Differenz zwischen seinen Endpunkten. Zum Beispiel ist die Länge des Intervalls [2, 4] 2. Um zu bestimmen, wie die gegebene Funktion über ein Intervall der Länge 3 wächst, bestimmen Sie den Wert von f an jedem Endpunkt dieses Intervalls. Da Exponentialfunktionen über gleiche Intervalle mit gleichen Faktoren wachsen, können Sie jedes Intervall der Länge 3 verwenden, und Ihre Antwort gilt für alle diese Intervalle. Sie können beispielsweise das Intervall [0,3] verwenden:

Schon seit F(0) = 3 und F(3) = 24, die Funktion wächst um den Faktor 24 /3=8 über dieses Intervall.

7. C: Lineare Funktionen wachsen durch gleiche Differenzen (anstatt gleiche Faktoren) über gleiche Intervalle. Mit anderen Worten, wenn die lineare Funktion c(f) eine Temperatur f von Fahrenheit in Celsius umwandelt, dann führen Intervalle gleicher Länge (in f) zu gleichen Erhöhungen des Wertes der Funktion c(f). Aus dem Problem wissen wir, dass c(32) = 0 und c(68) = 20. Daraus können wir schließen, dass Intervalle der Länge 36 (wie das Intervall [32,68]) zu einer Zunahme von 20 seit 20 0 = 20. Da außerdem die Länge von [68,104] 36 beträgt, nimmt die Funktion c(f) über dieses Intervall ebenfalls um 20 zu. Verwenden Sie diese Informationen, um c(104) zu berechnen.
c(104) = c(68) + 20 = 20 + 20 = 40
Daraus können wir schließen, dass 104 F 40 ° C entspricht.

Trigonometrische Funktionen

8. B: Ein Bogen ist ein Stück eines Kreises. In der Abbildung ist AB das Stück des Kreises, das bei Punkt A beginnt und bei B endet. Im Allgemeinen ist eine Bogenlänge s durch s = θR gegeben, wobei R der Radius des Kreises ist, der den Bogen enthält und ? ist der Winkel, der von den zu den Endpunkten des Bogens gezeichneten Radien begrenzt wird. In einem Einheitskreis ist die Länge eines Bogens einfach das Maß für den Winkel (im Bogenmaß), den der Winkel einschließt. Daher ist die Bogenlänge von AB gleich dem Maß von ∠ AOB, also ist seine Länge π / 3.

9. A: In einem Einheitskreis können trigonometrische Funktionen dargestellt werden, indem Winkel berücksichtigt werden, die von der positiven Seite der x-Achse ausgehen und gegen den Uhrzeigersinn um den Kreis herum gemessen werden. Bei solchen Winkeln ist der Sinus des Winkels die y-Koordinate des Punktes, an dem die Seite des Winkels auf den Einheitskreis trifft. Da eine Seite des Winkels bei ( 0.6, 0.8) auf den Einheitskreis trifft, beträgt der Wert von sin θ 0.8.

10. B: Der Winkel π / 6 ist im Bogenmaß. Um es in Grad umzuwandeln, multiplizieren Sie es mit 180 /π.
/ 6– 180 / π=30 Uhr
Daher tan π / 6=tan 30 o . Um diesen Wert zu berechnen, zeichnen Sie ein 30-60-90-Dreieck, ein spezielles Dreieck, dessen Proportionen Sie sich vielleicht merken können. Die Hypotenuse um eine Einheit lang zu machen, vereinfacht die Dinge, obwohl dies nicht notwendig ist, solange die Proportionen gleich sind.

Durch SOH-CAH-TOA ist die Tangensfunktion definiert als entgegengesetzt /benachbart in einem rechtwinkligen Dreieck. Daher ist der Wert von tan 30 o 1/2 /√3/2. Vereinfachen Sie diesen Bruch:
braun /6= 1/2 /√3/2
= 1 /√3
= √3 /3

Denken Sie alternativ daran, dass tan θ = (sin θ) / (cos θ) ist. Möglicherweise haben Sie den Sinus und Cosinus von 30° als 1/2 bzw. √3/2 gespeichert. Dies ist die gleiche Division wie oben und liefert die gleiche Antwort.


Schau das Video: Lineare Funktionen, Übersicht mit fast allem;, Geraden. Mathe by Daniel Jung (September 2021).