Artikel

7.9.E: Probleme bei Lebesgue-Stieltjes-Maßnahmen


Übung (PageIndex{1})

Erledige die Aufgaben 7 und 8 in §4 und Aufgabe 3' in §5, falls noch nicht geschehen.

Übung (PageIndex{2})

Beweisen Sie im Detail die Sätze 1 bis 3 in §8 für LS-Maßnahmen und äußere Maßeinheiten.

Übung (PageIndex{3})

Erledige Aufgabe 2 in §8 für LS-äußere Maße in (E^{1}).

Übung (PageIndex{4})

Beweisen Sie, dass (f : E^{1} ightarrow(S, ho)) rechts (links) stetig bei (p) ist, wenn
[lim_{n ightarrowinfty} fleft(x_{n} ight)=f(p) ext { as } x_{n} searrow pleft(x_{n} earrow p Rechts).]
[Hinweis: Modifizieren Sie den Beweis von Satz 1 in Kapitel 4, §2.]

Übung (PageIndex{5})

Tragen Sie alle Beweisdetails in Satz 2 ein.
[Hinweis: Verwenden Sie Problem 4.]

Übung (PageIndex{6})

Beschreiben Sie in Aufgabe 8(iv) von §4 (m_{alpha}^{*}) und (M_{alpha}^{*}).

Übung (PageIndex{7})

Zeigen Sie, dass wenn (alpha=c) konstant auf einem offenen Intervall (I subseteq E^{1}) ist, dann
[(forall Asubseteq I)quad m_{alpha}^{*}(A)=0.]
Widerlegen Sie es für nichtoffene Intervalle (I) (geben Sie ein Gegenbeispiel an).

Übung (PageIndex{8})

Sei (m^{prime}:mathcal{M} ightarrow E^{*}) ein topologisches, translationsinvariantes Maß in (E^{1}), mit (m^{ prime}(0,1]=c(i) (m^{prime}=cm) auf dem Borelschen Feld (mathcal{B}.) (Hier (m: mathcal{M}^{*} ightarrow E^{* }) ist das Lebesgue-Maß in (E^{1}).)
*(ii) Falls auch (m^{prime}) vollständig ist, dann gilt (m^{prime}=c m) auf (mathcal{M}^{*}).
(iii) Falls (0*(iv) Wenn (mathcal{M}^{prime}=mathcal{B},), dann ist (cm) die Vervollständigung von (m^{prime}) (Aufgabe 15 in §6).
[Übersicht: (i) Durch Additivität und Translationsinvarianz,
[m^{prime}(0, r]=c m(0, r]]
für rational
[r=frac{n}{k}, quad n, k in N]
(Zuerst (r=n,), dann (r=frac{1}{k},) dann (r=frac{n}{k})).
Beweisen Sie dies nach Rechtsstetigkeit (Satz 2 in §4) für reelle (r>0) (nehmen Sie rationale Zahlen (r_{i} searrow r)).
Durch Translation gilt (m^{prime}=c m) auf halboffenen Intervallen. Verfahren Sie wie in Aufgabe 13 von §8.
(iii) Siehe Aufgaben 4 bis 6 in §8. Beachten Sie, dass nach Satz 2 (m^{prime}=m_{alpha}) (ein translationsinvariantes (L S)-Maß) angenommen werden kann. Da (m_{alpha}=cm) auf halboffenen Intervallen ist, liefert Lemma 2 in §2 (m_{alpha}=cm) auf (mathcal{G}) (offene Mengen). Beweisen Sie mit (mathcal{G})-Regularität (m_{alpha}^{*}=cm^{*}) und (mathcal{M}_{alpha}^{*} =mathcal{M}^{*}).]

Übung (PageIndex{9*})

(LS misst in (E^{n}.)) Sei
[mathcal{C}^{*}=left{ ext {alf-offene Intervalle in } E^{n} ight}.]
Für jede (operatorname{map} G : E^{n} ightarrow E^{1}) und jede ((overline{a}, overline{b}] in mathcal{C}^ {*},) einstellen
[egin{ausgerichtet} Delta_{k} G(overline{a}, overline{b}] &=Gleft(x_{1}, ldots, x_{k-1}, b_{k }, x_{k+1}, ldots, x_{n} ight) &-Gleft(x_{1}, ldots, x_{k-1}, a_{k}, x_{k +1}, ldots, x_{n} ight), quad 1 leq k leq n. end{aligned}]
Gegeben (alpha : E^{n} ightarrow E^{1},) Menge
[s_{alpha}(overline{a}, overline{b}]=Delta_{1}left(Delta_{2}left(cdotsleft(Delta_{n} alpha( overline{a}, overline{b}] ight) cdots ight) ight).]
Zum Beispiel in (E^{2}),
[s_{alpha}(a, b]=alphaleft(b_{1}, b_{2} ight)-alphaleft(b_{1}, a_{2} ight)- left[alphaleft(a_{1}, b_{2} ight)-alphaleft(a_{1}, a_{2} ight) ight].]
Zeigen Sie, dass (s_{alpha}) auf (mathcal{C}^{*}) additiv ist. Prüfen Sie, ob die Reihenfolge, in der die (Delta_{k}) angewendet werden, unerheblich ist. Erstelle eine Formel für (s_{alpha}) in (E^{3}).
[Hinweis: Nehmen Sie zuerst zwei disjunkte Intervalle
[(overline{a}, overline{q}] cup(overline{p}, overline{b}]=(overline{a}, overline{b}],]
wie in Abbildung 2 in Kapitel 3, §7. Dann verwenden Sie Induktion, wie in Aufgabe 9 von Kapitel 3, §7.]

Übung (PageIndex{10*})

Wenn (s_{alpha}) in Aufgabe 9 nichtnegativ ist und (alpha) in jeder Variablen (x_{k}) separat rechtsstetig ist, nennen wir (alpha) eine Verteilungsfunktion , und (s_{alpha}) heißt das (alpha)-induzierte (LS)-Vormaß in (E^{n};) das (LS)-Außenmaß (m_ {alpha}^{*}) und messen
[m_{alpha} : mathcal{M}_{alpha}^{*} ightarrow E^{*}]
in (E^{n}) (erhalten aus (s_{alpha}) wie in } §§5 und 6) gezeigt, werden induziert durch (alpha.)
Für so definierte (s_{alpha}, m_{alpha}^{*},) und (m_{alpha}) wiederholen Sie die obigen Aufgaben 1-3.


Stieltjes

Nicolae Dinculeanu, in Handbook of Measure Theory, 2002,

6.4. Das Stieltjes-Integral

Lassen g: ℝ → EL(F, G) sei eine Funktion und lass mg: R → E sei das endlich additive Maß für g.

Wir definieren zuerst das Stieltjes-Integral ∫ f dg im Falle g ist rechtskontinuierlich und hat endliche Variationsfunktion |g|. In diesem Fall ist nach Satz 23 das Maß mg kann zu einer σ-zusätzlichen Maßnahme . erweitert werden m: D → E mit endlicher Variation |m|. Wir werden bezeichnen m immer noch von mg wir haben

Wir können den Raum L F 1 ( m g ) = L F 1 ( | m g | ) im Sinne von Stufe 3 der Entwicklung des Integrals betrachten.

Wir bezeichnen L F 1 ( m g ) mit L F 1 ( g ) Für jedes f ∈ L F 1 ( g ) definieren wir die Lebesgue-Stieltjes-Integral ∫ f dg durch die Gleichheit

Wenn f ∈ L F 1 ( m g ) dann | f | ∈ L 1 ( m | g | ) und wir haben

Wir betrachten nun den Fall, wo g verfügt über endliche Semivariationsfunktion ( g ˜ ) ℝ . E und es gibt ein Leerzeichen Zg * Normierung für g ** (zum Beispiel Z = G * ), so dass für jeden zZ, die Funktion gz: ℝ → F * ist richtig durchgehend. Dann gilt nach Satz 24 mg kann zu einem additiven Maß m g erweitert werden: D → L (F, Z *) mit endlicher Semivariation (m g ˜) F. Z * so dass für jedes zZ, die Maßnahme (mg)z ist σ-Additiv. Wir können dann den Raum ℱ F betrachten. Z * ( m g ) definiert in Abschnitt 5 . Wir bezeichnen F F . Z * (mg) von F F . Z * ( g ) und für jede Funktion f ∈ F F . Z * ( g ) wir definieren die Lebesgue-Stieltjes-Integral ∫fdg nach der Gleichheit

Wenn zusätzlich c o ⊄ G ist, dann

Übernehmen g ist rechtsstetig und hat endliche Variationsfunktion |g|. Dann g hat auch endliche Semivariationsfunktion g ˜ F . G relativ zu einer beliebigen Einbettung EL(F, G). Die Maßnahme mg hat endliche Variation |mg| = m|g| und endliche Semivariation (m g) F. G . Wir haben

Für f ∈ L F 1 ( m g ) ist das Stieltjes-Integral ∫ f dg ist das gleiche, ob wir bedenken F in L F 1 (mg) oder in F F. G (mg).

Wir könnten den Halbring P ′ der Intervalle der Form [a, b[und den von P ′ erzeugten Ring R und definieren das Maß m ′ g : R ′ → E durch.

Dann ist m ′ g σ-additiv und hat endliche Variation (bzw. endliche Semivariation) wenn g ist links durchgehend und hat endliche Variation (bzw. endliche Semivariation). Hat m ′ g endliche Variation, dann kann m ′ g zu einem σ-additiven Maß . erweitert werden m ' mit endlicher Variation auf dem δ-Ring D. Ob m hat endliche Semivariation und falls für jedes z ∈ Z die Funktion gz stetig gelassen, dann kann m ′ g zu einem additiven Maß erweitert werden m mit endlicher Semivariation on D, so dass für jeden zZ, das Maß m ′ z . ist σ-Additiv.

Wenn wir von einer Funktion ausgehen g: ℝ → E mit endlicher Variation, aber nicht unbedingt links- oder rechtsstetig, ist es angemessener, das Maß zu definieren m: R → E von

und das Maß m ′ : R → E durch

Dann sind beide Maße σ-additiv und können auf das gleiche σ-additive Maß erweitert werden D. Tatsächlich ist die Funktion g+(t) = g(t+) ist rechtsstetig und die Funktion g−(t) = g(t−) wird stetig gelassen und wir haben

Ähnliche Überlegungen können im Fall angestellt werden g hat endliche Semivariation. Aber in diesem Fall, g hat nicht unbedingt seitliche Begrenzungen in g. Es gibt jedoch Elemente G(t+) und g(t−) In G ** so dass für jeden xF und z ∈G * haben wir.


Variabilitätsmaße

Eine Reihe kostenloser Online-Videolektionen mit Beispielen und Lösungen, die Schülern der 7. Klasse dabei helfen, informell den Grad der visuellen Überlappung zweier numerischer Datenverteilungen mit ähnlichen Variabilitäten zu bewerten und die Differenz zwischen den Zentren zu messen, indem sie als Vielfaches von a . ausgedrückt werden Maß für die Variabilität.


Zum Beispiel ist die durchschnittliche Körpergröße der Spieler in der Basketballmannschaft 10 cm größer als die durchschnittliche Körpergröße der Spieler in der Fußballmannschaft, etwa doppelt so groß wie die Variabilität (mittlere absolute Abweichung) beider Mannschaften in einem Punktdiagramm, der Abstand zwischen den beiden Verteilungen der Höhe ist spürbar.

Vorgeschlagene Lernziele

  • Ich kann den Mittelwert, den Bereich und die mittlere absolute Abweichung (MAD) berechnen, um zwei Datensätze zu vergleichen (Hinweis: MAD ist der durchschnittliche Abstand zwischen jedem Wert und dem Mittelwert.)
  • Ich kann die Überlappung und Unterschiede zweier Datensätze mit ähnlicher Variabilität beobachten.
  • Ich kann zwei Datensätze mit dem Bereich oder MAD vergleichen.

Variabilität und Abweichungen vom Mittelwert
Abweichungen vom Mittelwert zusammenfassen.
&bull-Variabilität beschreibt, wie verteilt die Daten sind.
&bull Für jeden gegebenen Wert in einem Datensatz ist die Abweichung vom Mittelwert der Wert minus dem Mittelwert.
&bull Je größer die Variabilität (Spreizung) der Verteilung, desto größer die Abweichungen vom Mittelwert (ohne Berücksichtigung der Vorzeichen der Abweichung).

Mittlere absolute Abweichung
In diesem Video wird erläutert, wie die mittlere absolute Abweichung für einen Datensatz ermittelt wird.
Eine Möglichkeit, um herauszufinden, wie konsistent ein Datensatz ist, besteht darin, die mittlere absolute Abweichung zu ermitteln. Die mittlere absolute Abweichung beschreibt den durchschnittlichen Abstand vom Mittelwert für die Zahlen im Datensatz.
Schritt 1: Ermitteln Sie den Mittelwert der Daten.
Schritt 2: Subtrahieren Sie den Mittelwert von jedem Datenpunkt. (Machen Sie alle Werte positiv)
Schritt 3: Ermitteln Sie den Mittelwert der Werte, die Sie bei der Subtraktion in Schritt 2 erhalten haben.

Probieren Sie den kostenlosen Mathway-Rechner und den folgenden Problemlöser aus, um verschiedene mathematische Themen zu üben. Probieren Sie die angegebenen Beispiele aus oder geben Sie Ihr eigenes Problem ein und überprüfen Sie Ihre Antwort mit den Schritt-für-Schritt-Erklärungen.

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Intuition

Das Lebesgue-Integral funktioniert, indem es den Wert eines Integrals basierend auf y y y -Werten anstelle von x x x -Werten berechnet.

Lassen

f ( x ) = < 1 4 wenn 0 ≤ x ≤ 3 4 1 2 wenn 3 4 < x ≤ 1. f(x)=egin frac<1> <4> ext < if >0leq xleq frac<3><4> frac<1><2> ext < if >frac<3>< 4><xleq 1. end f ( x ) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ​ 4 1 ​ wenn 0 ≤ x ≤ 4 3 ​ 2 1 ​ wenn 4 3 ​ < x ≤ 1 .​

Was ist der Wert von ∫ 0 1 f ( x ) d x int_0^1 f(x), dx ∫ 0 1 ​ f ( x ) d x ?

Dieser Graph besteht aus zwei Liniensegmenten, so dass man sich die Fläche darunter als zwei Rechtecke vorstellen kann, also hat das Integral den Wert 3 4 ⋅ 1 4 + 1 4 ⋅ 1 2 = 5 16 . frac<3><4>cdot frac<1><4>+frac<1><4>cdot frac<1><2>=frac<5><16>. 4 3 ​ 4 1 ​ + 4 1 ​ ⋅ 2 1 ​ = 1 6 5 ​ . Wenn wir das Riemann-Integral verwenden, denken wir tatsächlich etwas anders darüber nach: Wir zeichnen viele kleinere Rechtecke und verwenden sie, um die großen Rechtecke zu "nähern", obwohl in diesem Fall die Näherung genau ist.

Das Lebesgue-Integral betrachtet dieses Problem anders: Die Funktion f f f nimmt nur die Werte 1 4 frac14 4 1 ​ und 1 2 frac12 2 1 ​ an, also betrachten wir die Größe der Mengen, auf denen f f f diese Werte annimmt. Sie sind 3 4 frac34 4 3 ​ und 1 4 frac14 4 1 ​, also muss die Gesamtfläche 1 4 ⋅ 3 4 + 1 2 ⋅ 1 4 = 5 16 sein. □ frac<1><4>cdot frac<3><4>+frac<1><2>cdot frac<1><4>=frac<5><16>. _ square 4 1 ​ 4 3 ​ + 2 1 ​ 4 1 ​ = 1 6 5 ​ . □

In diesem Fall ist die Unterscheidung zwischen den beiden Denkweisen über das Gebiet bedeutungslos, aber wie das folgende Beispiel zeigt, ist dies nicht immer der Fall.

Im Wesentlichen untersucht das Lebesgue-Integral, wie oft eine Funktion einen bestimmten Wert erreicht und nicht den Wert einer Funktion an einem bestimmten Punkt. Laut Reinhard Siegmund-Schultze [1] erläuterte Lebesgue selbst diese Idee in einem Brief an Paul Montel und schrieb

"Ich muss einen bestimmten Betrag bezahlen, den ich in meiner Tasche gesammelt habe. Ich ziehe die Scheine und Münzen aus der Tasche und gebe sie dem Gläubiger in der Reihenfolge, in der ich sie vorfinde, bis ich die Gesamtsumme erreicht habe. Dies ist das Riemann-Integral. Aber ich kann anders vorgehen. Nachdem ich alles Geld aus der Tasche gezogen habe, bestelle ich die Scheine und Münzen nach identischen Werten und bezahle dann die mehreren Haufen nacheinander an den Gläubiger. Das ist mein Integral."

Wenn die obige Gleichung für teilerfremde positive ganze Zahlen a a a und b b b wahr ist, finde a + b a+b a + b .


3 Hauptergebnisse

Die Lösungen üblicher Differentialprobleme sind zumindest kontinuierlich, aber wenn wir uns beispielsweise einen großen Teil der Klasse der Hybridsysteme ansehen, ist dieser nicht verfügbar. In unseren Problemen kann nicht erwartet werden, dass durch die Berücksichtigung von Einschlüssen, die durch allgemeine Borel-Maßnahmen angetrieben werden, kontinuierliche Lösungen erhalten. Aus diesem Grund wird in der folgenden Definition der linke Grenzwert verwendet:

ist entscheidend. In der Tat, wie in einem Beispiel in [37] gezeigt wurde, nimmt man das Integral auf einer geschlossenen bzw. offenes Intervall (das der Integration des linken Grenzwertes der Funktion auf ein geschlossenes Intervall entspricht) führt zu völlig anderen Lösungen.

Definition 4 Eine Lösung des Problems (1) ist eine Funktion x : [ 0 , 1 ] → R d für die es a μ-integrierbare Funktion g : [ 0 , 1 ] → R d so dass

Beachten wir, dass es bei unstetigen Lösungen immer ein Problem gibt, wie man eine Lösung in den Unstetigkeitspunkten definiert. Eine sehr interessante Übersicht zum Thema findet sich in [16]. Wir müssen anmerken, dass unterschiedliche Definitionen von Lösungen zu unterschiedlichen Lösungen führen können [38]! Die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen betrachteter Probleme hängen von den Bedingungen für μ und g. Aufgrund der Existenz von Atomen für das Maß μ es stellt sich die Frage nach der Eindeutigkeit von Lösungen für eine (möglicherweise) unstetige Funktion g. Das explizite Schema Δ x ( t ) = x ( t ) − x ( t − ) = g ( x ( t − ) ) ist eine natürliche Wahl für physikalische Systeme und wir werden dieser Idee folgen. Damit können wir die Lücke in dieser Theorie schließen. Wenn wir unser Ergebnis mit einigen früheren vergleichen, müssen wir uns daran erinnern, dass für rein atomare Maße μ obige Integrierbarkeitsbedingung bedeutet, dass die Reihe ∑ k g ( t k ) μ < t ​​k > endlich ist (wobei t k eine Menge von Atomen für μ) - vgl. [8, 16] zum Beispiel.

Lassen Sie uns ein Hilfsergebnis präsentieren:

Lemma 5 Lassen Γ : R d → P c c ( R d ) sei eine usc-multifunktion und ( x n ) n sei eine Folge, die gegen konvergiert x R d . Angenommen, es gibt eine Konstante M > 0 so dass d ( 0 , Γ ( x n ) ) M für jeden n N . Dann

Nachweisen Aus der oberen Halbstetigkeit von Γ folgt, dass d ( 0 , Γ ( ⋅ ) ) untere Halbstetig ist (siehe [[39], Lemma 9.3.1]). Deswegen

Wir sind bereit, unser erstes Ergebnis für maßgesteuerte differentielle Einschlüsse (1) für eine allgemeine Klasse endlicher Borelmaße vorzustellen. Beachten wir, dass der vorgestellte Satz die früheren vereinheitlichen und erweitern soll. Wir formulieren nicht nur ein Existenzergebnis, sondern fügen auch eine Methode hinzu, wie man diese Lösung als Grenzwert einiger Näherungen findet. Wir verweisen den Leser auf [16] für die Diskussion, einige Motivationen und Beispiele für maßnahmengetriebene Probleme.

Satz 6 Lassen μ sei ein endliches Borel-Maß auf [ 0 , 1 ] und lass G : [ 0 , 1 ] × R d → P c c ( R d ) die folgenden Hypothesen erfüllen:

G ( , ⋅ ) ist Produkt Borel messbar,

G ( t , ⋅ ) ist usc für alle t [ 0 , 1 ] ,

es gibt a μ-integrierbare Funktion M : [ 0 , 1 ] → R + so dass

Dann gibt es mindestens eine Lösung für das Maß-getriebenes Differentialproblem (1).

Nachweisen Unser Beweis basiert auf einem Iterationsverfahren. Genauer gesagt konstruieren wir eine Folge von Näherungslösungen (die regulierte Funktionen sind), von denen gezeigt wird, dass sie aufgrund einiger Kompaktheitseigenschaften eine konvergente Teilfolge haben.

Sei also x 0 ( t ) = x 0 für t ∈ [ 0 , 1 ] . Angenommen, wir haben bereits eine regulierte (BV)-Funktion x n auf [ 0 , 1 ] konstruiert und wählen x n + 1 nach einem Schema, das in der Folge beschrieben wird.

Nach unseren Hypothesen über g Wir sorgen dafür, dass die Funktion g ist superpositionell Borel messbar [40]. Da x n geregelt ist (BV), existiert an jedem Punkt x n ( t − ) T. Sie kann erhalten werden als xn ( t − ) = lim m → ∞ xn ( t − τ m ) , wobei ( τ m ) m eine Folge positiver Zahlen ist, die gegen 0 konvergieren (so dass t − τ m ∈ [ 0 , 1 ] ). Daher ist die Funktion t ↦ x n ( t − ) als punktweiser Grenzwert einer Folge messbarer Funktionen messbar und dann ist auch die Multifunktion t ↦ G ( t , x n ( t − ) ) Borel-messbar.

Nach Satz 12.1 in [41] (vgl. auch Kapitel III in [42]) folgt, dass t ↦ d ( 0 , G ( t , x n ( t − ) ) ) Borel-messbar ist. Darüber hinaus ist sie nach Hypothese (3) und Lemma 5 durch M ( t ) beschränkt. Da die Werte von g abgeschlossen und konvex sind, finden wir eine Borelsche meßbare Auswahl g n ( ) von G ( ⋅ , x n ( ⋅ − ) ) mit

(in unserem endlich-dimensionalen Fall ist es einzigartig). Jetzt definieren

Wie im einleitenden Teil der Arbeit (Theorem 1) vorgestellt wurde, ist das Maß μ ist tatsächlich ein Lebesgue-Stieltjes-Maß bezüglich einer BV, rechtsstetigen Funktion F. Somit ist das vorige Integral im Sinne von ∫ 0 t g n ( s ) d μ F ( s ) zu verstehen d.h. als Lebesgue-Stieltjes-Integral. Dieses Integral ist wohldefiniert, da die Auswahl g n Borel-messbar ist, F ist von beschränkter Variation und, wie bereits erwähnt, durch M ( t ) beschränkt. Außerdem ist x n + 1 nach Satz 3 eine regulierte Funktion.

Die Funktion F ist von beschränkter Variation und rechtsstetig, hat also höchstens abzählbare Punkte mit linker Unstetigkeit. Sei A = < t k : k ∈ N > die Menge ihrer Unstetigkeitspunkte.

Da die Folge ( g n ) n punktweise beschränkt ist, können wir durch ein Diagonalverfahren eine Teilfolge (nicht umbenannt) extrahieren, für die

Als punktweiser Grenzwert messbarer Funktionen ist g ˜ messbar auf EIN. Nach (3) erhalten wir mit dem Lebesgue-dominierten Konvergenzergebnis Satz 5.3.3 in [43] für jedes t ∈ [ 0 , 1 ]

Gleichzeitig ist die Folge ( g n χ [0, 1 ] ∖ A ) n gleichmäßig in L 1 integrierbar ( [0, 1 ] A , μ F ) und beschränkt. Daher ist es im Raum L 1 ( [ 0 , 1 ] ∖ A , μ F ) (vgl. [44]). Daraus folgt, dass wir eine Teilfolge (der Einfachheit halber gleich bezeichnet) extrahieren können, die in der schwachen Topologie von L 1 ( [ 0 , 1 ] ∖ A , μ F ) gegen eine Funktion h ∈ L 1 ( [ 0 , 1 ] A , μ F ) . Speziell,


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9 Möglichkeiten, mit schwierigen Mitarbeitern umzugehen

Fast jeder Manager, den ich jemals konsultiert oder gecoacht habe, hat mir erzählt, dass ich mindestens einen Mitarbeiter habe, der nicht so toll ist. Ich habe es als einen fast unvermeidlichen Teil der beruflichen Landschaft von Managern gesehen: Es gibt in der Regel diesen einen (oder mehrere) Mitarbeiter, der keine guten Leistungen erbringt, mit dem er schwer umzugehen ist oder mit dem es schwerfällt, sich zurechtzufinden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . andere, oder meint es gut, tut aber nicht immer das, was erwartet wird, oder….

Und das Unglückliche ist, dass die meisten Manager als Geiseln dieser Leute gehalten werden und unverhältnismäßig viel Zeit, Gedanken und emotionale Energie auf sie verwenden. Oft schwebt sie jahrelang kurz davor, sie loszulassen, aber nie ganz in der Lage zu sein (aus verschiedenen Gründen), den Abzug zu betätigen.

Hier sind also neun Dinge, die exzellente Manager tun, wenn sie mit einem schwierigen Mitarbeiter konfrontiert werden – Dinge, die sie davor bewahren, in einen endlosen Strudel von Ineffektivität und Frustration hineingezogen zu werden:

    Hör mal zu. Wenn ein Mitarbeiter schwierig ist, hören wir oft auf, darauf zu achten, was tatsächlich vor sich geht. Wir sind irritiert, es scheint hoffnungslos und wir haben uns schon entschieden, was wir über den Mitarbeiter denken – also richten wir unsere Aufmerksamkeit einfach auf andere Dinge, aus einer Kombination aus Vermeidung und Selbstschutz. Aber die besten Manager werden sehr aufmerksam, wenn es jemandem nicht gut geht. Sie kennen ihre besten Chancen auf Verbesserung die Situation besteht darin, die größtmögliche Klarheit zu haben Verstehen der Situation – auch die Sichtweise des harten Mitarbeiters zu kennen. Ein zusätzlicher Bonus: In manchen Fällen kann einfaches Zuhören den Tag retten. Möglicherweise hören Sie von einem echten Problem, das nicht die Schuld des Mitarbeiters ist und das Sie lösen können. Der zähe Mitarbeiter kann beginnen, sich ganz anders zu verhalten, sobald er sich gehört fühlt. Sie entdecken möglicherweise legitime Probleme, die angegangen werden müssen.

Wenn Sie lernen, diese „guten Manager“-Ansätze anzuwenden, wenn Sie einen schwierigen Mitarbeiter haben, werden Sie unabhängig davon, wie sich die Dinge entwickeln, am Ende wissen, dass Sie in einer schwierigen Situation Ihr Bestes gegeben haben. Und das kann der beste Stressabbau von allen sein.

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Konstruktion von Maßnahmen

Die Maßnahmenkonstruktion in diesem Kapitel folgt dem Ansatz von C. Carathéodory, der auf dem Konzept des äußeren Maßes basiert und den Vorteil hat, messbare Mengen ausschließlich im Sinne von äußeren Maßen einzuführen. Dies ist eine natürliche Art der Maßnahmenkonstruktion und bietet praktikable Wege nach geeigneten Maßräumen zu suchen, wenn es um eine geeignete Wahl des Maßraums für die Untersuchung eines gegebenen Problems geht. In der Regel ist bei diesem Vorhaben eine gewisse Regelmäßigkeit der äußeren Maße wünschenswert, der Carathéodory-Ansatz erweist sich in dieser Hinsicht als am praktischsten. Das Lebesgue-Stieltjes-Maß, konstruiert aus einer gegebenen steigenden Funktion, verdeutlicht dies deutlich. Das Lebesgue-Maß auf dem euklidischen n-Raum wird in diesem Kapitel separat für n = 1 und n > 1 eingeführt, gefolgt von einigen Übungen, die dem Leser zeigen sollen, welche Potenz durch die Verwendung von Integralen basierend auf dem Lebesgue-Maß gewonnen wird.

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Beziehungsproblem: Vertrauen

Vertrauen ist ein wesentlicher Bestandteil einer Beziehung. Sehen Sie bestimmte Dinge, die dazu führen, dass Sie Ihrem Partner nicht vertrauen? Oder haben Sie ungelöste Probleme, die Sie daran hindern, anderen zu vertrauen?

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Sie und Ihr Partner können Vertrauen zueinander aufbauen, indem Sie diese Tipps befolgen, sagt Fay.

  • Seien Sie konsequent.
  • Pünktlich sein.
  • Tu, was du sagst, was du tun wirst.
  • Lüge nicht – nicht einmal kleine Notlügen gegenüber deinem Partner oder anderen.
  • Seien Sie fair, auch in einem Streit.
  • Seien Sie sensibel für die Gefühle des anderen. Sie können immer noch anderer Meinung sein, aber vergessen Sie nicht, wie sich Ihr Partner fühlt.
  • Rufen Sie an, wenn Sie es sagen.
  • Rufen Sie an, um zu sagen, dass Sie spät nach Hause kommen.
  • Tragen Sie Ihren gerechten Anteil an der Arbeitsbelastung.
  • Reagiere nicht über, wenn etwas schief geht.
  • Sagen Sie niemals Dinge, die Sie nicht zurücknehmen können.
  • Grabe keine alten Wunden aus.
  • Respektiere die Grenzen deines Partners.
  • Seien Sie nicht eifersüchtig.
  • Sei ein guter Zuhörer.

Auch wenn es in einer Beziehung immer Probleme geben wird, sagt Sherman, dass Sie beide Dinge tun können, um Eheprobleme zu minimieren, wenn nicht sogar ganz zu vermeiden.

Seien Sie zunächst realistisch. Zu denken, dass Ihr Partner alle Ihre Bedürfnisse erfüllen wird – und sie ohne Ihr Nachfragen herausfinden kann – ist eine Hollywood-Fantasie. „Fragen Sie direkt nach dem, was Sie brauchen“, sagt sie.

Als nächstes verwenden Sie Humor – lernen Sie, Dinge loszulassen und mehr aneinander zu genießen.

Seien Sie schließlich bereit, an Ihrer Beziehung zu arbeiten und wirklich zu prüfen, was getan werden muss. Denke nicht, dass es mit jemand anderem besser wäre. Wenn Sie sich nicht mit Problemen befassen, wird der gleiche Mangel an Fähigkeiten, der jetzt im Weg steht, immer noch da sein und immer noch Probleme verursachen, egal in welcher Beziehung Sie sich befinden.

Quellen

Mary Jo Fay, RN, MSN, Autorin, Wenn Ihr "perfekter Partner" schief geht, Out of the Boxx, 2004 und Bitte Liebes, nicht heute Nacht, Aus der Boxx, 2006.

Karen Sherman, PhD, Autorin, Ehe-Magie! Finden Sie es, behalten Sie es und machen Sie es haltbar. Dr. Karen Sherman, 2008.

Allison Cohen, MFT, Psychotherapeutin, Kalifornien.

Mitch Temple, Autor von Die Wende in der Ehe, Moody Verlag, 2009.

Paulette Kouffman Sherman, PhD, Autorin, Dating from the Inside Out: Wie man das Gesetz der Anziehung in Angelegenheiten des Herzens anwendet, Atria Books/Beyond Words, 2008.

Gail Cunningham, Sprecherin der National Foundation for Credit Counseling.

Elaine Fantle Shimberg, Autorin, Familien verschmelzen. Familienzusammenführung, 1999.


7.9.E: Probleme bei Lebesgue-Stieltjes-Maßnahmen

Dieses Buch stellt die Maß- und Integrationstheorie in sich abgeschlossen und Schritt für Schritt vor. Nach einer informellen Einführung in das Thema wird in Kapitel 1 der allgemeine Erweiterungssatz von Caratheodory vorgestellt. Es folgt die Konstruktion von LebesgueStieltjes-Maßnahmen auf der reellen Geraden und euklidischen Räumen sowie von Maßen auf endlichen und abzählbaren Räumen. Die Präsentation gibt eine allgemeine Perspektive auf das Thema, um es den Studierenden zu ermöglichen, über das spezielle, wenn auch wichtige Beispiel der Lebesgue-Maßnahme auf der realen Linie hinaus zu denken. Die Integrationstheorie wird in Kapitel 2 entwickelt, wo die drei grundlegenden Konvergenzsätze und ihre Erweiterungen vorgestellt werden. Grundlegende Aspekte der Theorie der Lp-, Banach- und Hilberträume werden in Kapitel 3 vorgestellt. Der Lebesgue-Radon-Nikodym-Satz, vorzeichenbehaftete Maße und der Fundamentalsatz der Lebesgue-Integralrechnung werden in Kapitel 4 aufgegriffen. Produktmaße und ihre Anwendungen auf Faltungen werden diskutiert in Kapitel 5. Ebenfalls in Kapitel 5 enthalten sind Abschnitte über Fourier-Reihen und Fourier-Transformationen. Das letzte Kapitel widmet sich grundlegenden Aspekten der Wahrscheinlichkeitstheorie einschließlich des Kolmogorov-Konsistenzsatzes zur Konstruktion stochastischer Prozesse. Der Anhang befasst sich mit der grundlegenden Mengenlehre und der fortgeschrittenen Analysis.

Neben einer zeitgemäßen Darstellung des Themas enthält dieses Buch eine Vielzahl von Übungen, die sowohl für den Dozenten als auch für die Studierenden von großem Nutzen sein dürften. Dieses Buch sollte für M.Sc. und Ph.D. Studenten in Mathematik, Statistik und verwandten Bereichen in Indien.

1. Maßnahmen und Integration: Eine informelle Einführung
2. Maßnahmen
3. Integration
4. L p Leerzeichen
5. Differenzierung
6. Produktmaße, Faltungen und Transformationen
7. Wahrscheinlichkeitsräume
A.1 Elementare Mengenlehre
A.2 Reelle Zahlen, Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration
A.3 Komplexe Zahlen, Exponential- und Trigonometrische Funktionen
A.4 Metrische Räume
A.5 Probleme
Liste der Symbole und Abkürzungen
Verweise
Subject Index


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