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10: Multivariables Integral - Mathematik


10: Multivariables Integral - Mathematik

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Vorlesungsnotizen - Zusammenfassung Woche 13 (PDF)

Der folgende Inhalt wird unter einer Creative Commons-Lizenz bereitgestellt. Ihre Unterstützung wird MIT OpenCourseWare helfen, weiterhin hochwertige Bildungsressourcen kostenlos anzubieten. Um zu spenden oder zusätzliche Materialien aus Hunderten von MIT-Kursen anzuzeigen, besuchen Sie MIT OpenCourseWare unter ocw.mit.edu. Die andere Sache ist die letzte Vorlesung vor der Pause, die etwas abrupt endete, weil ich keine Zeit mehr hatte, also um zusammenzufassen, was die Hauptsache war, ich meine, das hast du wahrscheinlich herausgefunden, wenn du dir die Notizen angeschaut hast. Es ist nicht so wichtig, aber trotzdem. Ich wollte Sie nur daran erinnern, nur um zu verdeutlichen, was am Ende passiert ist, wir haben die Diffusionsgleichung aus zwei Informationen erhalten. Ich meine, die Unbekannte in dieser partiellen Differentialgleichung ist eine Funktion, die wir u nennen und die der Konzentration einer Substanz entspricht. Und wir haben ein Vektorfeld verwendet, das den Fluss der Substanz darstellt, deren Diffusion wir untersuchen. Und so erhielten wir zwei Informationen, eine aus der Physik, die besagte, dass der Fluss von hoher Konzentration zu geringerer Konzentration geht. Und das sagte uns, dass der Fluss proportional zu einem negativen Konzentrationsgradienten ist. Und die zweite Information, die wir erhielten, stammte aus dem Divergenztheorem, und ich verbrachte viel Zeit damit, sie zu erklären. Und dieser sagte uns, dass die Divergenz von F tatsächlich negativ partiell u über partiell t ist. Wenn Sie diese beiden Beziehungen miteinander kombinieren, erhalten Sie die Diffusionsgleichung. Entschuldigung, ich sollte sagen, dass dies nicht die Aussage eines Divergenzsatzes ist. Dies ist etwas, das sich daraus mit einigen Schritten ableiten würde. Und so haben wir eine Diffusionsgleichung herausbekommen, weil wir am Ende erhalten, dass partielles u über partielles t minus div F ist, was also positiv k mal Divergenz von grad u ist, was wir mit del quadrat u bezeichnet haben, the Laplace. So haben wir die Diffusionsgleichung erhalten. Wie auch immer, ich lasse Sie einen Blick auf die ausgegebenen Notizen werfen, falls Sie wirklich mehr sehen möchten. Ich wollte nur den fehlenden Teil der letzten Vorlesung halten. Lassen Sie mich einfach komplett umschalten und zum heutigen Thema übergehen, nämlich Linienintegrale und Arbeiten in 3D. Das wird dem, was wir im Flugzeug gemacht haben, sehr ähnlich sehen, außer dass es natürlich eine Z-Koordinate gibt. Sie werden sehen, es ändert sich nicht viel, wenn es um die Berechnung eines Linienintegrals geht. Es ändert sich jedoch einiges, wenn es darum geht, zu testen, ob ein Feld ein Gradientenfeld ist. Deshalb müssen wir vorsichtiger sein. Beginnen wir gleich mit Linienintegralen im Raum. Nehmen wir an, wir haben ein Vektorfeld F mit den Komponenten P, Q und R. Wir sollten es uns vielleicht als eine Kraft vorstellen. Und sagen wir, wir haben eine Kurve C im Raum. Dann ist die vom Feld geleistete Arbeit das Linienintegral entlang C von F Punkt dr. Das ist eine bekannte Formel. Und was wir mit dieser Formel machen, ist auch bekannt, außer dass wir jetzt natürlich eine z-Koordinate haben. Wir stellen uns den Vektor dr als Raumvektor mit den Komponenten dx, dy und dz vor. Wenn wir das Punktprodukt von F mit dr machen, sagt uns das, dass wir Pdx Qdy Rdz integrieren müssen. Aber es ist immer noch ein Linienintegral, so dass es sich immer noch in ein einzelnes Integral verwandeln wird, wenn Sie die richtigen Werte einsetzen. Die Methode ist also genau die gleiche wie in der Ebene, nämlich wir werden einen Weg finden, unsere Kurve x plus x, y z in Bezug auf eine einzelne Variable zu parametrisieren und dann in Bezug auf diese Variable zu integrieren. Wir werten aus, indem wir C parametrisieren und x, y, z, dx, dy, dz als Parameter ausdrücken. Lassen Sie uns ein Beispiel machen, nur um Sie davon zu überzeugen, dass Sie tatsächlich wissen, wie das geht, oder zumindest wissen sollten, wie es geht. Nehmen wir an, ich gebe Ihnen das Vektorfeld mit den Komponenten yz, xz und xy. Und nehmen wir an, dass wir eine Kurve haben, die durch x gleich t^3, y gleich t^2, z gleich t für t von Null auf Eins gegeben ist. Die Art und Weise, wie wir das Linienintegral für die geleistete Arbeit aufstellen werden, wird sein: Nun, sorry. Bevor wir das Linienintegral tatsächlich aufstellen, müssen wir wissen, wie wir alles in t und dt ausdrücken. x, y und z, bezogen auf t, sind hier angegeben. Wir müssen nur noch dx, dy und dz machen. Durch Differenzieren erhält man dx gleich 3t^2 dt. Das ist die Ableitung von t^3, dy ist 2t dt und dz ist nur dt. Und wir werden das Linienintegral für die Arbeit auswerten. Das ist das Integral von yz dx xz dy xy dz, das wird -- yz ist t^3 mal dx ist 3t^2 dt plus xz ist t^4 mal dy ist 2t dt plus xy ist t^5 dt. Das wird einfach das Integral von, nun ja, ich schätze, es geht tatsächlich von null auf eins. Und wir integrieren drei plus zwei plus eins. Das sind 6t^5 dt, die, wie Sie sicher wissen, in t^6 integriert werden, also bekommen wir nur eine. Es ist die gleiche Methode wie üblich. Und wenn Sie eine geometrische Beschreibung einer Kurve erhalten, müssen Sie natürlich selbst entscheiden, welcher Parameter der beste ist. Es könnte ein Zeitparameter t wie hier sein. Es könnte eine der Koordinaten sein. Hier hätten wir z als unseren Parameter verwenden können, da diese Kurve tatsächlich x gleich x3 und y gleich z2 ist. Und wir hätten vielleicht auch einen Winkel gebrauchen können. Nun, nicht hier, aber wenn wir uns im Kreis bewegt hätten oder so. Noch Fragen? Nein. Okay. Nun, weil wir ein bisschen mehr üben können, machen wir einen anderen, bei dem wir das gleiche Vektorfeld F erstellen, aber unsere Kurve C wird vom Ursprung zum Punkt (1,0, 0) entlang der x-Achse verlaufen. Nennen wir das C1. Dann zu (1,1, 0). Nennen wir das C2, indem wir uns parallel zur y-Achse bewegen. Und dann bis zu (1,1, 1) parallel zur z-Achse, nennen wir das C3. Ich bin mir sicher, dass zumindest einige von euch ahnen, was ich damit meine, aber lass es uns nicht verderben für diejenigen, die es noch nicht sehen. OK. Wenn wir das Linienintegral entlang dieses Typs berechnen wollen, müssen wir es in eine Summe von drei Termen aufteilen. Nun, vielleicht sollte ich das C' nennen, nicht C, denn das ist nicht mehr dasselbe C. Ich möchte die Summe der Linienintegrale entlang C1, C2 und C3 berechnen. Und, nun, wenn ich C1 und C2 betrachte, finden sie innerhalb der x, y-Ebene statt. Tatsächlich wissen Sie, dass z null ist und dz bei beiden ebenfalls null ist. Und wenn Sie sich nur die Formel für das Linienintegral in der Rolle von yz dx plus xz dy plus xy dz ansehen, sieht es so aus, als ob Sie nur Null erhalten, wenn Sie z gleich Null und dz gleich Null einsetzen. Diese sind tatsächlich sehr schnell. Lass es mich schreiben. Das wird Null sein, das wird Null sein, das wird Null, und wir werden Null bekommen. Nun, wenn wir C3 machen, müssen wir vielleicht etwas berechnen, aber es wird nicht so schlimm sein. C3, na ja, x und y sind beide gleich eins. Und weil sie konstant sind, bedeutet das natürlich, dass dx null und dy null ist. Andererseits variiert z von null bis eins. Wenn ich mir das Linienintegral auf C3 anschaue -- Die ersten beiden Terme yz, dx und xz dy verschwinden, weil dx und dy null sind, also bleibt mir nur xy dz. Aber weil x und y eins sind, ist es nur das Integral von dz von null bis eins, und das wird am Ende einfach eins sein. Wenn man diese Zahlen zusammenzählt, null plus null plus eins, erhalte ich wieder eins. Und das ist natürlich kein Zufall, denn dieses Vektorfeld ist ein Gradientenfeld. Ich bin sicher, einige von euch haben bereits herausgefunden, was es mit dem Gradienten auf sich hat. Ansonsten finden wir es gemeinsam heraus. Deshalb erhalten wir für diese beiden Pfade, die beide vom Ursprung nach (1,1, 1) führen, die gleiche Antwort. Vielleicht sollte ich darauf hinweisen, dass man (0,0, 0) erhält, wenn man t gleich Null einsetzt. Wenn Sie t gleich eins setzen, erhalten Sie (1,1, 1). Tatsächlich ist das F, das wir hier haben, konservativ. Und wenn Sie die beiden Kurven zusammensetzen - Nun, ich bin mir nicht wirklich sicher, ob ich das richtig darstellen kann. Es ist nicht genau so, wie es aussieht. Was auch immer. Die erste Kurve C verläuft vom Ursprung bis zu diesem Punkt, ebenso wie C ', nur auf einem etwas umständlicheren Weg. Beide gehen vom Ursprung nach (1,1, 1). Es ist keine Überraschung, dass Sie für beide Linienintegrale die gleiche Antwort erhalten. Und wie sehen wir das? Nun, eigentlich ist es hier nicht sehr schwer, eine Funktion zu finden, deren Gradient dieses Vektorfeld ist. Der Gradient von x, y, z sieht nämlich so aus, als ob er genau das sein sollte, was wir wollen. Wenn Sie dies bezüglich x teilweise übernehmen, erhalten Sie yz, dann bezüglich y xz und bezüglich z xy. Tatsächlich war der einfachere Weg, diese Linienintegrale zu berechnen, die Verwendung des fundamentalen Theorems der Infinitesimalrechnung. Sobald wir diese Bemerkung haben, brauchen wir diese Linienintegrale nicht mehr zu berechnen. Wir können einfach den Fundamentalsatz verwenden. Wenn wir diesen fundamentalen Satz kennen -- -- für Linienintegrale, sagt uns das, dass das Linienintegral eines Gradientenfeldes gleich dem Wert des Potentials am Endpunkt minus dem Wert des Potentials am Anfangspunkt ist. Und das gilt natürlich nur, wenn Sie Potenzial haben. Also insbesondere nur, wenn Sie ein konservatives Feld haben, ein Gradientenfeld. Hier in unserem Beispiel müssen wir uns das Potential xyz ansehen, nennen wir kleines f von x, y, z, dann nehmen wir f(1,1, 1) - f(0,0, 0). Und das ist tatsächlich eins minus null, was eins ist. Alles ist konsistent. All dieses Zeug funktioniert bisher genau wie im Flugzeug. Irgendwelche Fragen? Nein. Okay. Versuchen wir zu sehen, wo die Dinge ein bisschen anders werden. Und der erste solcher Ort ist, wenn wir versuchen zu testen, ob ein Vektorfeld ein Gradientenfeld ist. Denken Sie daran, als wir ein Vektorfeld in der Ebene hatten, um zu wissen, ob es ein Gradient einer Funktion von zwei Variablen war, mussten wir nur eine Bedingung überprüfen, N sub x gleich M sub y. Jetzt haben wir eigentlich drei verschiedene Bedingungen zu prüfen, und das bedeutet natürlich mehr Arbeit. OK. Was ist also unser Test für Gradientenfelder? Wir wollen wissen, ob ein gegebenes Vektorfeld mit den Komponenten P, Q und R für dieselbe Funktion F als f sub x, f sub y und f sub z geschrieben werden kann. Und dafür brauchen wir sicherlich einige Beziehungen zwischen P, Q und R. Und dies kommt nach wie vor davon, dass die gemischten zweiten Ableitungen gleich sind, egal in welcher Reihenfolge man sie nimmt. Wenn dies der Fall ist, kann ich f sub xy berechnen, das auf zwei verschiedene Arten mit f sub yx identisch ist. F sub xy sollte P sub y sein. F sub yx, nun, da f sub y Q ist, sollte das Q sub x sein. Das ist ein Teil eines Kriteriums, das wir bereits hatten, als wir nur zwei Variablen hatten. Aber jetzt müssen wir natürlich dasselbe tun, wenn wir x und z oder y und z betrachten. Das gibt uns zwei weitere Bedingungen. P sub z ist f sub xz, was gleich f sub zx ist, also sollte es gleich R sub x sein. Schließlich ist Q sub z, das f sub yz ist, gleich f sub zy gleich R sub y. Wir haben drei Bedingungen, also unser Kriterium -- Vektorfeld F ist gleich

. Und hier muss ich ganz ehrlich sagen, definiert in einer einfach zusammenhängenden Region. Andernfalls könnten die gleichen seltsamen Dinge passieren wie zuvor. Machen wir uns keine allzu großen Sorgen. Aus Gründen der Genauigkeit müssen wir unser Vektorfeld in einer einfach zusammenhängenden Region definieren. Und Beispiel ist nur, wenn es überall definiert ist. Wenn Sie keine bösen Eliminatoren haben, können Sie einfach weitermachen und es gibt kein Problem. Es ist ein Gradientenfeld. Wir brauchen drei Bedingungen. Machen wir es der Reihe nach. P sub y ist gleich Q sub x. Und wir haben P sub z gleich R sub x und Q sub z gleich R sub y. Wie erinnern Sie sich an diese drei Bedingungen? Nun, es ist ziemlich einfach. Sie wählen zwei beliebige Komponenten, sagen wir die x- und die z-Komponente, und Sie nehmen den Teil der x-Komponente in Bezug auf z, den Teil der z-Komponente in Bezug auf x und müssen sie gleich machen. Und das gleiche mit jedem Variablenpaar. Wenn Sie eine Funktion mit viel mehr Variablen hätten, würde das Kriterium tatsächlich immer noch genau so aussehen. Für jedes Komponentenpaar müssen die gemischten Teiltöne gleich sein. Aber wir werden nicht über drei Variablen hinausgehen, also müssen Sie das nicht wissen. Das musst du wissen, also lass es mich einpacken. Das ist ziemlich einfach. Lassen Sie uns ein Beispiel machen, nur um zu sehen, wie es geht. Übrigens können wir es uns auch in Bezug auf Differentiale vorstellen. Bevor ich das Beispiel mache, lassen Sie mich es einfach in einer anderen Sprache sagen. Wenn uns ein Differential der Form Pdx Qdy gegeben wird, ist Rdz ein exaktes Differential, dh es ist für eine Funktion F exakt und mit den gleichen Bedingungen gleich df. Das ist dasselbe. Nur in der Sprache der Differentiale. Das versprochene Beispiel. Natürlich könnte ich dort drüben noch einmal das gleiche machen und prüfen, ob es der Bedingung genügt, aber dann würde es nicht viel Spaß machen. Also machen wir einen besseren. Machen wir es eigentlich so, dass es wie ein Prüfungsproblem aussieht. Sagen wir, wofür a und b ein xy dx plus ist – Oh, das wird hier nicht passen. Aber hier wird es passen. a xy dx ( x^2 z^3) dy (byz^2 - 4z^3) dz, ein exaktes Differential. Oder, wenn Sie keine exakten Differentiale mögen, für die a und b das entsprechende Vektorfeld mit i, j und k sind, stattdessen ein Gradientenfeld. Wenden wir einfach das Kriterium an. Und natürlich können Sie sich vorstellen, dass es im Folgenden darum geht, herauszufinden, wie Sie das Potenzial finden, wenn es eines gibt. Machen wir es nacheinander. Wir wollen P sub y mit Q sub x vergleichen, wir wollen P sub z mit R sub x vergleichen und wir wollen Q sub z mit R sub y vergleichen, wobei wir P, Q und R diese Typen nennen. Mal sehen. Was ist P sub y? Das scheint eine Axt zu sein. Was ist Q sub x? 2x. Q ist dieser. Lassen Sie mich sie aufschreiben. Denn sonst verwirre ich mich selbst. Dieser Typ hier, das ist P, dieser Typ hier, das ist Q und dieser Typ hier, das ist R. Dieser sagt uns, dass a gleich zwei des ersten Produkts sein sollte, das Sie halten. OK. Betrachten wir P sub z. Das ist einfach null. R unter x? Nun, R hat auch kein x, also ist das Null. Dieser ist kein Problem. Q unter z? Das scheint 3z2 zu sein. R sub y scheint bz2 zu sein, also sollte b gleich drei sein. Wir müssen a gleich zwei haben und dies ist a und, nicht oder b gleich drei, damit dies genau ist. Für diese Werte von a und b können wir mit der Methode, die wir jetzt sehen werden, nach einem Potenzial suchen. Für alle anderen Werte von a und b ist dies nicht möglich. Wenn wir ein Linienintegral berechnen müssen, müssen wir einen Parameter finden und alles einrichten. Haben Sie an dieser Stelle noch Fragen? Jawohl? Aha. Nun, wenn ich die gleiche Antwort bekomme, oh, hast du dann bz^2 oder 3bz^2 gesagt? Nun, 3bz^2 zum Beispiel müsste b null sein, weil 3bz2 das einzige Mal, dass 3bz2 gleich bz2 ist, nicht nur an einem Punkt, sondern überall, die gleiche Funktion von x, y, z haben muss. Nun, wenn ein Koeffizient von z2 gleich ist, wäre b gleich 3b, dann würde mir b gleich Null ergeben. Wenn Sie bz2 auf beiden Seiten haben, bedeutet dies, dass es für jeden Wert von b funktioniert, und Sie müssen sich keine Gedanken über den Wert von b machen. Weitere Fragen? Nein. Okay. Wie finden wir nun das Potenzial? Nun, es gibt zwei Methoden wie zuvor. Einer von ihnen, ich erinnere mich nicht, ob es das erste oder das zweite letzte Mal war, aber es spielt wirklich keine Rolle. Eine davon war nur zu sagen, dass der Wert von F an dem Punkt, ich nenne x1, y1, z1, gleich dem Linienintegral meines Körpers entlang einer gut gewählten Kurve plus natürlich einer Konstanten ist, die wird die Integrationskonstante sein. Und die Art von Kurve, die ich für diese Berechnung verwenden werde, ist einfach meine Lieblingskurve, die vom Ursprung zum Punkt x1, y1, z1 führt. Daher wäre es normalerweise die häufigste Wahl, zuerst entlang der x-Achse, dann parallel zur y-Achse und dann parallel zur z-Achse bis zu meinem Punkt x1, y1, z1 zu gehen. Ich würde nur drei einfache Linienintegrale berechnen. Addiere sie zusammen und das würde mir den Wert meiner Funktion geben. Diese Methode funktioniert genauso wie bei zwei Variablen. Nun, ich scheine mich zu erinnern, dass ihr meistens die andere Methode bevorzugt habt. Ich werde Ihnen auch von der anderen Methode erzählen, aber ich möchte nur darauf hinweisen, dass diese tatsächlich nicht komplizierter wird. Der andere hat eigentlich mehr Schritte. Ich meine, hier gibt es natürlich auch etwas mehr Schritte, weil du drei statt zwei Teile auf deinem Weg hast. Sie müssen drei Linienintegrale anstelle von zwei berechnen, aber konzeptionell bleibt es genau dieselbe Idee. Ich sollte sagen, es funktioniert genauso wie in 2D. Nicht viel ändert. Schauen wir uns die andere Methode an, die Stammfunktionen verwendet. Denken Sie daran, dass wir eine Funktion kleines f finden wollen, deren Teilbereiche genau die Dinge sind, die wir erhalten haben. Wir wollen lösen, nun, lassen Sie mich die Werte von a und b einsetzen, die funktionieren. Wir sagten, a sollte zwei sein, also sollte f sub x 2xy sein, f sub y sollte x2 plus z3 sein und f sub z sollte 3yz^2 minus 4z^3 sein. Wir werden sie uns nacheinander ansehen und teilweise Informationen über die Funktion erhalten. Und dann vergleichen wir mit den anderen, um mehr Informationen zu erhalten, bis wir vollständig fertig sind. Als erstes wissen wir, dass f sub x 2xy ist. Das sollte uns etwas über f sagen. Nun, integrieren wir das einfach in Bezug auf x. Lassen Sie mich daneben ganzzahlige dx schreiben. Das sagt uns, dass f sein sollte, nun, wenn wir das in Bezug auf x integrieren, integriert sich 2x zu x^2, also sollten wir x2y erhalten. Plus natürlich eine Integrationskonstante. Was verstehen wir nun unter Integrationskonstante? Das bedeutet, dass wir für gegebene Werte von y und z einen Term erhalten, der nicht von x abhängt. Es hängt immer noch von y und z ab. Tatsächlich erhalten wir eine Funktion von y und z. Sehen Sie, wenn Sie die Ableitung davon in Bezug auf x genommen haben, erhalten Sie 2xy und dieser Typ wird verschwinden, weil es kein x enthält. Das ist der erste Schritt. Jetzt müssen wir einige Informationen zu g erhalten. Wie machen wir das? Nun, wir schauen uns die anderen Partials an. F sub y, das soll x^2 z^3 sein. Aber wir haben einen anderen Weg, ihn zu finden, der davon ausgeht und sich unterscheidet. Lassen Sie mich versuchen, dafür Farbe zu verwenden. Wenn ich nun den Teil davon in Bezug auf y nehme, erhalte ich eine andere Formel für f sub y. Das ist x^2 plus g sub y. Nun, wenn ich diese beiden Ausdrücke vergleiche, sagt mir das, dass g sub y z3 sein sollte. Nun, wenn ich das habe, kann ich in Bezug auf y integrieren. Das wird mir sagen, dass g tatsächlich yz^3 plus eine Integrationskonstante ist. Diese Konstante hängt wiederum nicht von y ab, aber sie kann immer noch von z abhängen, weil wir bezüglich z noch nichts über partiell gesagt haben. Tatsächlich schreibe ich diese Konstante als Funktion h von z. Wenn ich diese Funktion von z habe und ihre partielle in Bezug auf y nehme, erhalte ich immer noch z^3, egal was h war. Wie finde ich nun h? Nun, natürlich muss ich mir f sub z anschauen. F unter z. Aus dem gegebenen Vektorfeld wissen wir, dass es 3yz^2 minus 4z^3 sein soll. Falls Sie sich fragen, woher das kam, das war R. Aber das erhält man auch, indem man nach z differenziert, was wir bisher hatten. Verzeihung. Was hatten wir bisher? Nun, wir hatten f gleich x^2y plus g. Und wir sagten, g sei eigentlich yz^3 plus h von z. Das haben wir bisher. Wenn wir die Ableitung davon nach z nehmen, erhalten wir null plus 3yz^2 plus h Prim von z oder dh dz, wie Sie wollen. Wenn wir nun diese beiden vergleichen, erhalten wir die Ableitung von h. Es wird uns sagen, dass h prime negativ für z3 ist. Das bedeutet, dass h negativ z^4 plus eine Konstante ist. Und das ist es endlich eine wirkliche Konstante. Weil es nicht von z abhängt und es von nichts anderem abhängt. Jetzt fügen wir dies in das ein, was wir zuvor hatten, und das ergibt unsere Funktion f. Wir erhalten f=x^2y yz^3 - z^4 plus Konstante. Wenn Sie nur ein Potenzial finden wollten, können Sie die Konstante einfach vergessen. Dieser Typ war ein Potenzial. Wenn Sie alle Potenziale haben wollen, unterscheiden sie sich durch diese Konstante. OK. Nur um die Methode zusammenzufassen, was haben wir gemacht? Wir haben angefangen mit -- Und natürlich können Sie es in beliebiger Reihenfolge tun, aber Sie müssen immer noch der systematischen Methode folgen. Sie beginnen mit f sub x und integrieren das in Bezug auf x. Das gibt Ihnen f nur bis zu einer Funktion von y und z. Jetzt vergleichst du f sub y, wie es dir durch das Vektorfeld gegeben wird, mit der Formel, die du aus diesem Ausdruck für f erhältst. Und natürlich geht es dabei um g sub y. Daraus erhalten Sie den Wert von g sub y. Wenn Sie g sub y haben, erhalten Sie g nur bis zu einer Funktion von z. Und so haben Sie jetzt f nur bis zu einer Funktion von z. Und was Sie tun werden, ist die Ableitung nach z zu betrachten, die Sie wollen, die aus dem Vektorfeld kommt, und die, die Sie aus dieser Formel für f haben, vergleichen sie und das wird Ihnen h Primzahl sagen. Sie erhalten h und dann erhalten Sie f. Irgendwelche Fragen? Wer bevorzugt diese Methode noch? Okay, immer noch die meisten von euch. Wer denkt, dass die andere Methode vielleicht doch gar nicht so schlecht war? OK. Das ist immer noch eine Minderheit. Sie können wählen, welche Sie bevorzugen. Ich möchte Sie ermutigen, etwas zu üben, indem Sie beide an mindestens ein paar Beispielen ausprobieren, nur um sicherzustellen, dass Sie wissen, wie man beide macht, und dann bei dem bleiben, was Sie bevorzugen. Haben Sie Fragen dazu? Nein. Ich glaube, ich habe schon gefragt. Noch keine Fragen? OK. Die nächste logische Sache wird Locken sein. Und der Satz, der den Satz von Green für die Arbeit in dieser Umgebung ersetzen wird, wird Stokes' Satz genannt. Lassen Sie mich zunächst von Curl in 3D erzählen. Hier ist die Aussage. Die Locke misst nur, wie sehr Ihr Vektorfeld nicht konservativ ist. Und wenn Sie es in Bezug auf Bewegungen betrachten möchten, wird auch der Rotationsanteil der Bewegung gemessen. Nun, lassen Sie mich zunächst eine Definition geben. Nehmen wir an, mein Vektorfeld hat die Komponenten P, Q und R. Dann definieren wir die Locke von F als R sub y minus Q sub z mal i plus P sub z minus R sub x mal j plus Q sub x minus P sub y mal k. Und natürlich kann sich niemand an diese Formel erinnern, also wie ist diese Formel aufgebaut? Nun, sehen Sie, jeder dieser Jungs ist eines der Dinge, die Null sein müssen, damit unser Feld konservativ ist. Wenn F in einem einfach zusammenhängenden Bereich definiert ist, dann ist F konservativ und genau dann äquivalent, wenn curl F null ist. Ein wichtiger Unterschied zwischen Curl hier und Curl in der Ebene besteht darin, dass nun die Curl eines Vektorfeldes wieder ein Vektorfeld ist. Diese Ausdrücke sind Funktionen von x, y, z und zusammen bilden Sie einen Vektor daraus. Die Krümmung eines Vektorfeldes im Raum ist eigentlich ein Vektorfeld, keine Skalarfunktion. Ich habe das Unvermeidliche hinausgezögert. Ich muss dir wirklich sagen, wie du dich an diese böse Formel erinnern kannst. Das Geheimnis ist, dass Sie sich dies tatsächlich als del cross f vorstellen können. Vielleicht haben Sie das in der Physik gesehen. Hier wird diese del-Notation wirklich sehr nützlich, da dies im Grunde die einzige Möglichkeit ist, sich die Formel für curl zu merken. Denken Sie daran, dass wir den Dell-Operator eingeführt haben. Das war dieser symbolische Vektoroperator, bei dem die Komponenten die partiellen Ableitungsoperatoren sind. Wir haben gesehen, dass, wenn Sie dies auf eine Skalarfunktion anwenden, Sie den Gradienten erhalten. Und wir haben gesehen, dass wenn Sie das Skalarprodukt zwischen Dell und einem Vektorfeld machen, vielleicht sollte ich ihm die Komponenten P, Q und R geben, Sie erhalten partielles P über partielles x plus partielles Q über partielles y plus partielles R über partielles z , das ist die Divergenz. Und was ist jetzt neu, wenn ich versuche, Dell Cross F zu machen, was ist dann Dell Cross F? Ich muss ein Kreuzprodukt zwischen diesem seltsamen Ding aufbauen, das nicht wirklich ein Vektor ist. Ich meine, ich kann mir partielles über partielles x nicht wirklich als Zahl vorstellen. Und mein Vektorfeld

. Sehen Sie, das ist wirklich eine völlig perverse Verwendung einer Determinanten-Notation. Anfangs sollten Determinanten nur sein, dass Sie eine drei mal drei Zahlentabelle haben und eine Zahl daraus berechnet haben. Diese Typen sind Funktionen, also zählen sie als Zahlen, aber das sind Vektoren und das sind partielle Ableitungen. Es macht nicht wirklich viel Sinn, außer dieser Notation. Wenn Sie versuchen, dies in einen Taschenrechner oder Computer einzugeben, wird es Sie nur anschreien und sagen, dass Sie verrückt sind. [LACHEN] Wir benutzen das nur als Notation, um uns daran zu erinnern, was da drin ist. Versuchen wir zu sehen, wie das funktioniert. Die Komponente von i in diesem Kreuzprodukt ist diese kleinere Determinante, diese kleinere Determinante ist partiell über partiellem y von R minus partiell über partiellem z von Q, dem Koeffizienten von i. Und das scheint es zu sein, was ich da drüben hatte. Wenn nicht, habe ich einen Fehler gemacht. Minus der nächsten Determinante mal z. Denken Sie daran, dass vor einer j-Komponente immer ein Minuszeichen steht, wenn Sie ein Kreuzprodukt erstellen. Der andere ist partiell über partiellem x R minus partiell über partiellem z von P plus der Komponente von z, die partiell über partiellem x Q minus partiell über partiellem y P sein wird. Und das wird tatsächlich die Locke von F sein. Wenn Sie in der Praxis die Kräuselung eines Vektorfeldes berechnen müssen, versuchen Sie nicht, sich diese Formel zu merken. Richten Sie dieses Kreuzprodukt einfach mit den Formeln ein, die Sie für die Komponenten eines Felds haben, und berechnen Sie es dann. Versuchen Sie nicht, sich an die allgemeine Formel zu erinnern, denken Sie einfach daran. Was ist die geometrische Interpretation von Locken, nur zum Abschluss? In gewisser Weise würde ich sagen, dass curl die Rotationskomponente in einem Geschwindigkeitsfeld misst. Eine Übung, die Sie durchführen können, die eigentlich ziemlich einfach zu überprüfen ist, ist, dass wir eine Flüssigkeit haben, die sich nur gleichmäßig um die x-Achse dreht. Ihre Flüssigkeit dreht sich nur so um die z-Achse. Wenn ich eine Drehung um die z-Achse mache. Das ist durch ein Geschwindigkeitsfeld mit Komponenten der Winkelgeschwindigkeit omega gegeben. Das ist negatives Omega mal y, dann Omega x und Null. Und die Locke davon können Sie berechnen, und Sie finden zwei Omega-mal k. Konkret gibt Ihnen diese Locke die Winkelgeschwindigkeit der Rotation, nun, mit einem Faktor zwei, aber das spielt keine Rolle, und die Rotationsachse, die Richtung der Rotationsachse. Es sagt Ihnen, dass es sich um eine vertikale Achse dreht. Und im Allgemeinen, wenn Sie eine komplizierte Bewegung haben, kann es sein, dass es eine Übersetzung gibt. Und dann gibt es innerhalb dieser Übersetzung vielleicht Expansion und Rotation und Teilen und alles. Und die Locke berechnet, wie viel Rotation stattfindet. Es wird Ihnen sagen, sagen Sie, dass Sie einen sehr kleinen Körper haben, ich weiß nicht, wie ein Ping-Pong-Ball in Ihrem Fluss, und er geht einfach mit dem Fluss, er sagt Ihnen, wie er sich zu drehen beginnt. Das misst curl. Am Donnerstag werden wir den Satz von Stokes sehen, der die letzte Zutat vor der nächsten Prüfung sein wird. Und dann am Freitag werden wir die Dinge überprüfen.


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Kugeln und Kugeln

  • Definitionen und erste Eigenschaften
  • Lesen Sie Kapitel 0 der Online-Notizen
  • Spielen Sie mit den SAGE-Applets im Abschnitt 0.3 der Online-Notizen oder direkt bei SageMathCell.
    Sie können eine 2-Variablen-Funktion definieren mit:
    def f(x,y):
    zurück (x^2)/9 -(y^2)/4
    Dann können Sie seinen Graphen zeichnen mit:
    plot3d(f,(-5,5),(-5,5), frame=True, axis=False, adaptiv=True, color=rainbow(60, 'rgbtuple'))
    Oder seine Level-Sets mit:
    contour_plot(f, (-5,5), (-5,5), fill=False, contours=20, labels=True, label_inline=True)
  • Bearbeiten Sie die Fragen im Unterricht zum Inneren/Schließen/Grenzen eines Sets.
  • Bearbeiten Sie die Fragen aus dem Abschnitt 0.P.

Merkmale

  • Geschrieben von einem preisgekrönten Mathematikprofessor mit 30 Jahren Unterrichtserfahrung
  • Bodenständige Ausstellung
  • Vollständig rigorose Definitionen, Aussagen von Theoremen und anschauliche Beweise
  • Externe Verweise auf eher technische Nachweise
  • Die Abschnitte sind unterteilt in Basics, More Depth und gegebenenfalls +Linear Algebra
  • Randbemerkungen und historische Hinweise
  • Inhaltsverzeichnis, Index und Querverweise mit Hyperlinks
  • Es werden Hyperlinks zu Wikipedia-Inhalten zur linearen Algebra bereitgestellt
  • Eingebettete Videolinks zu Vorträgen in voller Länge
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10: Multivariables Integral - Mathematik

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In der multivariablen Berechnung (auch bekannt als multivariate Berechnung) studieren wir Funktionen von zwei oder mehr unabhängigen Variablen, zum Beispiel f(x, y) = yx oder f(x, y, z) = xyz + yz, während Sie die Berechnung mit einer Variablen studieren Funktionen einer einzelnen unabhängigen Variablen. Zum Beispiel f(x) = 3x.

Die Infinitesimalrechnung hat viele Unterteilungen, die Infinitesimalrechnung befasst sich mit Funktionen einer Variablen. Zum Beispiel hat f(x) = 3x eine Variable x, sodass die Berechnung mit einer einzelnen Variablen in dieser Art von Variablen enthalten ist, während die Berechnung mit mehreren Variablen Funktionen mehrerer reeller Variablen untersucht. Zum Beispiel f(x, y) = xyz oder f(x, y, z) = xy + yz.
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• Der Satz von Green ist ein wichtiger Satz in der Multivariablenrechnung, der eine Verallgemeinerung des ersten fundamentalen Satzes der Analysis auf zwei Dimensionen ist.
Lehrbücher über mehrere Variablen der Infinitesimalrechnung eignen sich am besten für Studenten im Aufbau- und Fortgeschrittenenbereich.

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Bruchkov Yu.A., Glaeske H.-J., Prudnikov A.P., Vu K.T.,Mehrdimensionale Integraltransformationen, Geest & Portig K.G., Leipzig, und D. Reidel Publ., Amsterdam, (erscheint).

Exton H.,Handbuch der hypergeometrischen Integrale, Theorie, Anwendungen, Tabellen, Computerprogramme, Halsted Press (Ellis Horwood), John Wiley and Sons, Chichester-New York-Brisbane-Toronto, 1978.

Lauricella G.,Sulle funzioni ipergeometriche a più variabili, Rend. Zirk. Matte. Palermo7 (1893), 111–158.


Bedingungen

Bitte beachten Sie, dass sich die folgenden Informationen ändern können.

  • Wöchentliche Konzept-Check-Ins: 5%, basierend auf Fertigstellung
  • Unit Self-Assessments (Beste 10 von 12 in jeder Hälfte): 7%
  • Beherrschungstests (je 3 x 1%): 3%
  • Live-Sitzungen (jeweils 6 x 1%) (Beste 5 von 6): 5%
  • In-Term-Tests (Beste 2 von 3 in jeder Hälfte): 20 %
  • Beaufsichtigte Zwischenprüfung: 30%
  • Beaufsichtigte Abschlussprüfung: 30%
  • Wenn die Prüfungsnote in einem Semester höher ist als jede andere geschrieben term test, the test mark will be replaced with the exam mark (applies to all tests with grades lower than the exam grade, not just the lowest).
  • If a student misses a test without a valid reason, the mark for the test will remain a zero, regardless of exam performance. See Course Policy below.

Course Policy

  • All tests are mandatory, and can only be missed through pre-arrangement, or due to illness/family emergency. Notification by email is required within 7 days of the missed test in the case of illness/family emergency.
  • Missed tests (with appropriate notification) will not be re-taken the 5% for the test will be added to the exam for the current term. Missed tests without a reason/notification will be given a grade of zero.
  • In the tests and exam, no resources can be used, except those provided explicitly in the test.
    • First violation on a test: zero on two tests, record with the Faculty.
    • Second violation on a test or violation in the exam: zero for the course, communication with the Faculty.

    Final and Midterm Examination

    Midterm exam: The date and time will be scheduled during the Fall term final examination period. You will write your midterm exam at the same exam centre location as the final proctored exam.

    The final exam will be held during the Winter term final examination period. The exam schedule will be determined approximately eight weeks before the start of the exam period.

    Students must write their exam on the day and time scheduled by the University. The start time may vary slightly depending on the off-campus exam centre. Do not schedule vacations, appointments, etc., during the exam period.


    Mathe-Einblick

    Changing variables in triple integrals is nearly identical to changing variables in double integrals. You can view this story as a second chance to understand the basics underlying a change of variables. You can also read a more traditional introduction to changing variables in triple integrals.

    Imagine that you are an engineer designing a new electrode tip that will be used to monitor brain activity in people with epilepsy. The end product will be an array of electrodes that will be implanted in the area of a patient's brain where doctors believe the epileptic seizures begin. Once the array of electrodes is implanted in the brain, doctors will be able to monitor the brain's activity before and during a seizure to pinpoint exactly where the seizure begins.

    Currently, for severe cases of epilepsy that don't respond to other treatment, the recommended treatment is removing the small part of brain tissue that starts the seizure. Since doctors want to remove as little of the brain as possible, implanting electrode arrays is necessary to find exactly what part of the brain is causing the trouble.

    You, however, are working with a team of scientists looking for methods to stop the seizure that don't involve removing parts of the brain. The idea is the following. The electrode arrays can detect patterns of brain activity that signal the seizure is about to begin. What if one can use the electrodes to disrupt that pattern of activity so it doesn't develop into a full blown epileptic seizure? If one passes small pulses of current through the electrodes with the right timing, the hope is that a seizure can be avoided.

    With this goal and many other technical requirements in mind, you have developed a prototype electrode tip whose shape is given by the solid $dlv$ diagrammed below. You have optimized the electrical properties of the electrode tip both through developing the shape $dlv$ and through incorporating different metal alloys along different parts of the electrode.

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    A three dimensional domain of an electode trip. The solid $dlv$ represents a tip of an electrode.

    You are quite excited about your new design. You show it to the chief scientist on the project. She likes your design, but has one concern. She wants you to calculate the total charge that may build up on the electrode to make sure it doesn't reach unsafe levels.

    From the metal composition of your electrode tip and the information the chief scientist gives you about the current, you quickly calculate $g(x,y,z)$, the charge density at each point $(x,y,z)$ within the electrode tip. To find the total charge, all you need to do is calculate the triple integral egin ext = iiint_dlv g(x,y,z) , dV, end where $dlv$ is the solid representing the electrode tip.

    You struggle with calculating the integral, but, especially given the complicated shape of the electrode, you find that the integral is too difficult to solve directly. Then, you remember something you learned in your multivariable calculus course: changing variables in triple integrals.

    Step 1: Integrate over new region $dlv^*$

    Instead of trying to directly integrate $g(x,y,z)$ over $dlv$, you realize you could solve your problem by finding a change of variables egin (x,y,z) = cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv) end that maps a simpler solid $dlv^*$ onto the complicated solid $dlv$. Then, rather than integrating over $dlv$, you could integrate over $dlv^*$.

    After a long night's worth of calculations, you come up with a function $cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ that looks promising. The effect of the function $cvarf$ is demonstrated below. The function $cvarf$ maps a simple solid $dlv^*$ (shown in the first panel, below) in $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$-space to the electrode tip $dlv$ (shown in the second panel, below) in $(x,y,z)$-space. We often say that $cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ parametrizes $dlv$ for $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ in $dlv^*$.

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    A change of variables for an electrode tip domain. A change of variables $cvarf$ maps a rectangular solid $dlv^*$ (first panel) onto the electrode tip $dlv$ (second panel). You can explore the mapping by moving with the mouse the red point in $dlv^*$, which represents the point $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$, or the point blue point in $dlv$, which represents the point $(x,y,z)$. When you move one point, the other point moves to reflect the mapping so that $(x,y,z)= cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv)$.

    Step 2: Compose function $g$ with change of variables function $cvarf$.

    Since it is so late after you finished finding $cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ and you are tired, you almost start to integrate $g$ directly over the solid $dlv^*$. Fortunately, you realize that such a procedure doesn't make sense because $g$ is a function of $(x,y,z)$ and hence is defined over the electrode tip $dlv$. Since it is not a function of $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$, you can't integrate $g$ over the solid $dlv^*$ in $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$-space. At this point, you are too tired to figure out what you were supposed to do, so you go to bed without finishing your calculation of what the total charge on the electrode would be. You sleep fitfully, dreaming of electrodes that were charged to dangerous levels attacking you.

    The next morning, you wake up still groggy, but immediately realize the solution to your problem. Although $g(x,y,z)$ is defined only on your electrode $dlv$, you can simply compose $g(x,y,z)$ with $cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ to obtain the function $g(cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv))$ that is defined in terms of $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$. For a given point $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ (shown by the red point, above), the composition $g(cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv))$ gives the density at the point $(x,y,z)=cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ (shown by the blue point, above) on the electrode $dlv$. By integrating $g(cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv))$ over the solid $dlv^*$ in $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$-space, you will integrate $g(x,y,z)$ over the solid $dlv$ and compute the total charge. You feel pretty smug that you had this realization even before breakfast and coffee.

    Step 3: Include a factor to account for change in volume

    Unfortunately, you are still too groggy after your fitful sleep to remember everything you learned in multivariable calculus. You completely forget that $(x,y,z)=cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ will change volume in $dlv^*$ compared to volume in $dlv$. Without compensating for this effect of the map $cvarf$, your calculations assume that volume in $dlv$ is the same as volume in $dlv^*$.

    Glancing at the above diagram is enough to guess what the result of this error might be. The volume of $dlv^*$ is larger than the volume of $dlv$. Remember that total charge equals charge density times volume. If one uses the correct charge density $g$ of the electrode but multiplies by volume in $dlv^*$ rather than volume in $dlv$, the calculation for the total charge should be larger than the correct answer. If, for example, $dlv^*$ was uniformly twice as large as $dlv$, then this incorrect calculation for total charge would give an answer that was twice the actual value.

    Not realizing this mistake, you proceed with your incorrect calculation and integrate $g(cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv))$ over $dlv^*$ without compensating for change in volume. Your result makes you so upset that you kick the table in anger, hurting your foot and spilling your coffee all over your calculations. But at that point, you don't care. You rip up your coffee-soaked notes and limp back to bed to cry. Your design is useless. The total charge on your electrode is much too large. Your hard work is more likely to fry people's brains than help them overcome epilepsy. Or so you think.

    Once you stop crying, you discover that your throbbing foot has helped lift your grogginess and your mind is actually becoming clear. Finally, you remember the strict admonition of your calculus professor to never forget to compensate for change in volume when changing variables. You realize that maybe your electrode won't cook people's brains and you might be able to salvage your design.

    You grab a fresh piece of paper, race back to your table, and find a dry spot on your table to work. You first sketch the following diagram to show how dividing $dlv^*$ into little boxes divides $dlv$ into small pieces. The diagram helps you visualize how changing variables changes volume. You see that, especially around the critical tip of the electrode, the volume in $dlv$ is much smaller than the volume in $dlv^*$. This gives you hope that less charge may build up on the electrode than you originally calculated.


    Schau das Video: 10. Triple Integrals. Problem#2. Multiple Integrals (September 2021).