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2: Vektoren im Weltraum


Lernziele

  • Beschreiben Sie den dreidimensionalen Raum mathematisch.
  • Lokalisieren Sie Punkte im Raum mithilfe von Koordinaten.
  • Schreiben Sie die Abstandsformel in drei Dimensionen.
  • Schreiben Sie die Gleichungen für einfache Ebenen und Kugeln.
  • Führe Vektoroperationen in (mathbb{R}^{3}) durch.

Vektoren sind nützliche Werkzeuge zur Lösung zweidimensionaler Probleme. Um die Verwendung von Vektoren auf realistischere Anwendungen auszudehnen, ist es notwendig, einen Rahmen zur Beschreibung des dreidimensionalen Raums zu schaffen. Obwohl beispielsweise eine zweidimensionale Karte ein nützliches Werkzeug für die Navigation von einem Ort zum anderen ist, ist in einigen Fällen die Topographie des Landes wichtig. Führt Ihre geplante Route durch die Berge? Müssen Sie einen Fluss überqueren? Um die Auswirkungen dieser geografischen Merkmale vollständig zu erfassen, müssen Sie drei Dimensionen verwenden. Dieser Abschnitt präsentiert eine natürliche Erweiterung der zweidimensionalen kartesischen Koordinatenebene in drei Dimensionen.

Dreidimensionale Koordinatensysteme

Wie wir gelernt haben, enthält das zweidimensionale rechtwinklige Koordinatensystem zwei senkrechte Achsen: die horizontale (x)-Achse und die vertikale (y)-Achse. Wir können eine dritte Dimension hinzufügen, die (z)-Achse, die senkrecht sowohl zur (x)-Achse als auch zur (y)-Achse steht. Wir nennen dieses System das dreidimensionale rechtwinklige Koordinatensystem. Es repräsentiert die drei Dimensionen, denen wir im wirklichen Leben begegnen.

Definition: Dreidimensionales rechteckiges Koordinatensystem

Das dreidimensionale rechtwinklige Koordinatensystem besteht aus drei senkrechten Achsen: der (x)-Achse, der (y)-Achse und der (z)-Achse. Da jede Achse ein Zahlenstrahl ist, der alle reellen Zahlen in (ℝ) repräsentiert, wird das dreidimensionale System oft mit (ℝ^3) bezeichnet.

In Abbildung (PageIndex{1a}) ist die positive (z)-Achse über der Ebene dargestellt, die die (x)- und (y)-Achse enthält. Links erscheint die positive (x)-Achse und rechts die positive (y)-Achse. Eine natürliche Frage ist: Wie wurde diese Anordnung festgelegt? Das angezeigte System folgt dem Rechte-Hand-Regel. Wenn wir unsere rechte Hand nehmen und die Finger mit der positiven (x)-Achse ausrichten, dann die Finger so krümmen, dass sie in Richtung der positiven (y)-Achse zeigen, zeigt unser Daumen in Richtung der positive (z)-Achse (Abbildung (PageIndex{1b})). In diesem Text arbeiten wir immer mit Koordinatensystemen, die nach der Rechte-Hand-Regel aufgebaut sind. Einige Systeme folgen einer Links-Hand-Regel, aber die Rechts-Hand-Regel gilt als die Standarddarstellung.

In zwei Dimensionen beschreiben wir einen Punkt in der Ebene mit den Koordinaten ((x,y)). Jede Koordinate beschreibt, wie der Punkt mit der entsprechenden Achse ausgerichtet ist. In drei Dimensionen eine neue Koordinate (z), wird angehängt, um die Ausrichtung mit der (z)-Achse anzuzeigen: ((x,y,z)). Ein Punkt im Raum wird durch alle drei Koordinaten identifiziert (Abbildung (PageIndex{2})). Um den Punkt ((x,y,z) zu zeichnen, gehen Sie (x) Einheiten entlang der (x)-Achse, dann (y) Einheiten in Richtung der (y) -Achse, dann (z)-Einheiten in Richtung der (z)-Achse.

Beispiel (PageIndex{1}): Auffinden von Punkten im Raum

Skizzieren Sie den Punkt ((1,−2,3)) im dreidimensionalen Raum.

Lösung

Um einen Punkt zu skizzieren, skizzieren Sie zunächst drei Seiten eines rechteckigen Prismas entlang der Koordinatenachsen: eine Einheit in positiver (x)-Richtung, (2)-Einheiten in negativer (y)-Richtung und ( 3) Einheiten in positiver (z)-Richtung. Vervollständigen Sie das Prisma, um den Punkt zu zeichnen (Abbildung).

Übung (PageIndex{1})

Skizzieren Sie den Punkt ((−2,3,−1)) im dreidimensionalen Raum.

Hinweis

Skizzieren Sie zunächst die Koordinatenachsen. B. Abbildung (PageIndex{3}). Skizzieren Sie dann ein rechteckiges Prisma, um den Punkt im Raum zu finden.

Antworten

Im zweidimensionalen Raum wird die Koordinatenebene durch ein Paar senkrechter Achsen definiert. Diese Achsen ermöglichen es uns, jeden Ort innerhalb der Ebene zu benennen. In drei Dimensionen definieren wir Koordinatenebenen durch die Koordinatenachsen, genau wie in zwei Dimensionen. Es gibt jetzt drei Achsen, also drei sich schneidende Achsenpaare. Jedes Achsenpaar bildet eine Koordinatenebene: die (xy)-Ebene, die (xz)-Ebene und die (yz)-Ebene (Abbildung (PageIndex{3})). Wir definieren die (xy)-Ebene formal als die folgende Menge: ({(x,y,0):x,y∈ℝ}.) Ebenso die (xz)-Ebene und die (yz)-Ebene sind definiert als ({(x,0,z):x,z∈ℝ}) und ({(0,y,z):y,z∈ℝ },) beziehungsweise.

Stellen Sie sich vor, Sie bauen ein Haus und stehen in einem Raum, in dem nur zwei der vier Wände fertig sind. (Angenommen, die beiden fertigen Wände grenzen aneinander.) Wenn Sie mit dem Rücken zur Ecke stehen, an der sich die beiden fertigen Wände treffen und in den Raum zeigen, ist der Boden die (xy)-Ebene, die Wand zu Ihre rechte ist die (xz)-Ebene, und die Wand zu Ihrer Linken ist die (yz)-Ebene.

In zwei Dimensionen teilen die Koordinatenachsen die Ebene in vier Quadranten. In ähnlicher Weise teilen die Koordinatenebenen den Raum zwischen ihnen in acht Regionen um den Ursprung, genannt Oktanten. Die Oktanten füllen (ℝ^3) genauso wie Quadranten (ℝ^2), wie in Abbildung (PageIndex{4}) gezeigt.

Die meisten Arbeiten im dreidimensionalen Raum sind eine komfortable Erweiterung der entsprechenden Konzepte in zwei Dimensionen. In diesem Abschnitt verwenden wir unser Wissen über Kreise, um Kugeln zu beschreiben, und erweitern dann unser Verständnis von Vektoren auf drei Dimensionen. Um diese Ziele zu erreichen, passen wir zunächst die Distanzformel an den dreidimensionalen Raum an.

Liegen zwei Punkte in derselben Koordinatenebene, lässt sich der Abstand zwischen ihnen einfach berechnen. Wir, dass der Abstand (d) zwischen zwei Punkten ((x_1,y_1)) und ((x_2,y_2)) im x(y)-Koordinatenebene ist gegeben durch die Formel

[d=sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2}.]

Die Formel für den Abstand zweier Punkte im Raum ist eine natürliche Erweiterung dieser Formel.

Der Abstand zwischen zwei Punkten im Raum

Der Abstand (d) zwischen den Punkten ((x_1,y_1,z_1)) und ((x_2,y_2,z_2)) ergibt sich aus der Formel

[d=sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2+(z_2−z_1)^2}. label{distanceForm}]

Der Beweis dieses Satzes bleibt als Übungsaufgabe. (Hinweis: Finden Sie zuerst den Abstand (d_1) zwischen den Punkten ((x_1,y_1,z_1)) und ((x_2,y_2,z_1)) wie in Abbildung (PageIndex{5} ).)

Beispiel (PageIndex{2}): Abstand im Raum

Finden Sie den Abstand zwischen den Punkten (P_1=(3,−1,5)) und (P_2=(2,1,−1).)

Lösung

Werte direkt in die Distanzformel einsetzen (Gleichung ef{distanceForm}):

[egin{align*} d(P_1,P_2) &=sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2+(z_2−z_1)^2} [4pt] &= sqrt{(2−3)^2+(1−(−1))^2+(−1−5)^2} [4pt] &=sqrt{(-1)^2+2^ 2+(−6)^2} [4pt] &=sqrt{41}. end{ausrichten*}]

Übung (PageIndex{2})

Finden Sie den Abstand zwischen den Punkten (P_1=(1,−5,4)) und (P_2=(4,−1,−1)).

Hinweis

(d=sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2+(z_2−z_1)^2})

Antworten

(5sqrt{2})

Bevor wir zum nächsten Abschnitt übergehen, lassen Sie uns ein Gefühl dafür bekommen, wie sich (ℝ^3) von (ℝ^2) unterscheidet. In (ℝ^2) müssen sich beispielsweise nicht parallele Geraden immer schneiden. Dies ist in (ℝ^3) nicht der Fall. Betrachten Sie zum Beispiel die Zeile in Abbildung (PageIndex{7}). Diese beiden Linien sind weder parallel, noch schneiden sie sich.

Abbildung (PageIndex{7}): Diese beiden Linien sind nicht parallel, schneiden sich aber trotzdem nicht.

Sie können auch Kreise haben, die miteinander verbunden sind, aber keine gemeinsamen Punkte haben, wie in Abbildung (PageIndex{8}).

Abbildung (PageIndex{8}): Diese Kreise sind miteinander verbunden, haben aber keine gemeinsamen Punkte.

Wir sind viel flexibler, wenn wir in drei Dimensionen arbeiten, als wenn wir nur bei zwei Dimensionen bleiben.

Gleichungen in (ℝ^3) schreiben

Da wir nun Punkte im Raum darstellen und den Abstand zwischen ihnen ermitteln können, können wir lernen, Gleichungen von geometrischen Objekten wie Linien, Ebenen und gekrümmten Flächen in (ℝ^3) zu schreiben. Zuerst beginnen wir mit einer einfachen Gleichung. Vergleichen Sie die Graphen der Gleichung (x=0) in (ℝ), (ℝ^2) und (ℝ^3) (Abbildung (PageIndex{9})). Aus diesen Graphen können wir sehen, dass dieselbe Gleichung einen Punkt, eine Linie oder eine Ebene beschreiben kann.

Im Raum beschreibt die Gleichung (x=0) alle Punkte ((0,y,z)). Diese Gleichung definiert die (yz)-Ebene. Ebenso enthält die (xy)-Ebene alle Punkte der Form ((x,y,0)). Die Gleichung (z=0) definiert die (xy)-Ebene und die Gleichung (y=0) beschreibt die (xz)-Ebene (Abbildung (PageIndex{10})).

Wenn wir die Gleichungen der Koordinatenebenen verstehen, können wir eine Gleichung für jede Ebene schreiben, die parallel zu einer der Koordinatenebenen ist. Wenn eine Ebene parallel zur (xy)-Ebene ist, z. B. die (z)-Die Koordinate jedes Punktes in der Ebene hat den gleichen konstanten Wert. Nur die (x)- und (y)-Koordinaten von Punkten in dieser Ebene variieren von Punkt zu Punkt.

Gleichungen von Ebenen parallel zu Koordinatenebenen

  1. Die zur (xy)-Ebene parallele Raumebene mit dem Punkt ((a,b,c)) kann durch die Gleichung (z=c) dargestellt werden.
  2. Die zur (xz)-Ebene parallele Raumebene mit dem Punkt ((a,b,c)) kann durch die Gleichung (y=b) dargestellt werden.
  3. Die zur (yz)-Ebene parallele Raumebene mit dem Punkt ((a,b,c)) kann durch die Gleichung (x=a) dargestellt werden.

Beispiel (PageIndex{3}): Gleichungen von Ebenen parallel zu Koordinatenebenen schreiben Plan

  1. Schreiben Sie eine Gleichung der Ebene, die durch den Punkt ((3,11,7)) verläuft, der parallel zur (yz)-Ebene ist.
  2. Finden Sie eine Gleichung der Ebene durch die Punkte ((6,−2,9), (0,−2,4),) und ((1,−2,−3).)

Lösung

  1. Wenn eine Ebene parallel zur (yz)-Ebene ist, ist nur die (y)- und (z)-Koordinaten können variieren. Die (x)-Koordinate hat für alle Punkte dieser Ebene den gleichen konstanten Wert, so dass diese Ebene durch die Gleichung (x=3) dargestellt werden kann.
  2. Jeder der Punkte ((6,−2,9), (0,−2,4),) und ((1,−2,−3)) hat das gleiche (y)-Koordinate. Diese Ebene kann durch die Gleichung (y=−2) dargestellt werden.

Übung (PageIndex{3})

Schreiben Sie eine Gleichung der Ebene, die durch den Punkt ((1,−6,−4)) parallel zur (xy)-Ebene verläuft.

Hinweis

Ist eine Ebene parallel zur (xy)-Ebene, so ist die z-Koordinaten der Punkte in dieser Ebene ändern sich nicht.

Antworten

(z=−4)

Wie wir gesehen haben, beschreibt in (ℝ^2) die Gleichung (x=5) die vertikale Linie, die durch den Punkt ((5,0)) geht. Diese Linie verläuft parallel zur (y)-Achse. In einer natürlichen Erweiterung beschreibt die Gleichung (x=5) in (ℝ^3) die Ebene, die durch den Punkt ((5,0,0)) verläuft, der parallel zu (yz) -Flugzeug. Eine weitere natürliche Erweiterung einer bekannten Gleichung findet sich in der Kugelgleichung.

Definition: Kugel

Eine Kugel ist die Menge aller Punkte im Raum, die von einem Fixpunkt, dem Mittelpunkt der Kugel, gleich weit entfernt sind (Abbildung (PageIndex{11})), ebenso wie die Menge aller Punkte in einer Ebene, die vom Mittelpunkt gleich weit entfernt sind stellt einen Kreis dar. In einer Kugel wird wie in einem Kreis der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Punkt auf der Kugel als bezeichnet Radius.

Die Kreisgleichung wird mit der Abstandsformel in zwei Dimensionen abgeleitet. Ebenso basiert die Kugelgleichung auf der dreidimensionalen Distanzformel.

Standardgleichung einer Kugel

Die Kugel mit Mittelpunkt ((a,b,c)) und Radius (r) kann durch die Gleichung

[(x−a)^2+(y−b)^2+(z−c)^2=r^2.]

Diese Gleichung ist als bekannt Standardgleichung einer Kugel.

Beispiel (PageIndex{4}): Finden einer Kugelgleichung

Finden Sie die Standardgleichung der Kugel mit Mittelpunkt ((10,7,4)) und Punkt ((−1,3,−2)), wie in Abbildung (PageIndex{12}) gezeigt.

Abbildung (PageIndex{12}): Die Kugel mit dem Mittelpunkt ((10,7,4)) enthält den Punkt ((−1,3,−2).)

Lösung

Verwenden Sie die Abstandsformel, um den Radius (r) der Kugel zu ermitteln:

[egin{ausrichten*} r &=sqrt{(−1−10)^2+(3−7)^2+(−2−4)^2} [4pt] &=sqrt{ (−11)^2+(−4)^2+(−6)^2} [4pt] &=sqrt{173} end{align*} ]

Die Standardgleichung der Kugel ist

[(x−10)^2+(y−7)^2+(z−4)^2=173. keine Nummer]

Übung (PageIndex{4})

Finden Sie die Standardgleichung der Kugel mit Mittelpunkt ((−2,4,−5)), die den Punkt ((4,4,−1) enthält.)

Hinweis

Verwenden Sie zuerst die Abstandsformel, um den Radius der Kugel zu bestimmen.

Antworten

[(x+2)^2+(y−4)^2+(z+5)^2=52 onumber]

Beispiel (PageIndex{5}): Bestimmung der Kugelgleichung

Sei (P=(−5,2,3)) und (Q=(3,4,−1)) und nehmen an, dass das Liniensegment (overline{PQ}) den Durchmesser einer Kugel bildet (Abbildung (PageIndex{13})). Finden Sie die Kugelgleichung.

Lösung:

Da (overline{PQ}) ein Kugeldurchmesser ist, wissen wir, dass der Mittelpunkt der Kugel der Mittelpunkt von (overline{PQ}) ist. Dann gilt:

[C=left(dfrac{−5+3}{2},dfrac{2+4}{2},dfrac{3+(−1)}{2} ight)=(−1 ,3,1). keine Nummer]

Außerdem wissen wir, dass der Radius der Kugel die halbe Länge des Durchmessers beträgt. Das gibt

[egin{align*} r &=dfrac{1}{2}sqrt{(−5−3)^2+(2−4)^2+(3−(−1))^2} [4pt] &=dfrac{1}{2}sqrt{64+4+16} [4pt] &=sqrt{21} end{align*}]

Dann lautet die Kugelgleichung ((x+1)^2+(y−3)^2+(z−1)^2=21.)

Übung (PageIndex{5})

Finden Sie die Kugelgleichung mit dem Durchmesser (overline{PQ}), wobei (P=(2,−1,−3)) und (Q=(−2,5,−1). )

Hinweis

Suchen Sie zuerst den Mittelpunkt des Durchmessers.

Antworten

[x^2+(y−2)^2+(z+2)^2=14 onumber]

Beispiel (PageIndex{6}): Andere Gleichungen in drei Dimensionen grafisch darstellen

Beschreiben Sie die Menge von Punkten, die ((x−4)(z−2)=0,) erfüllt, und zeichnen Sie die Menge.

Lösung

Wir müssen entweder (x−4=0) oder (z−2=0) haben, also bildet die Punktmenge die beiden Ebenen (x=4) und (z=2) (Abbildung (PageIndex{14})).

Übung (PageIndex{6})

Beschreiben Sie die Menge von Punkten, die ((y+2)(z−3)=0,) erfüllt, und zeichnen Sie die Menge.

Hinweis

Einer der Faktoren muss Null sein.

Antworten

Die Punktmenge bildet die beiden Ebenen (y=−2) und (z=3).

Beispiel (PageIndex{7}): Andere Gleichungen in drei Dimensionen grafisch darstellen

Beschreiben Sie die Menge von Punkten im dreidimensionalen Raum, die ((x−2)^2+(y−1)^2=4,) erfüllt, und zeichnen Sie die Menge.

Lösung

Die (x)- und (y)-Koordinaten bilden einen Kreis in der (xy)-Ebene mit Radius (2), zentriert bei ((2,1)). Da es keine Einschränkung für die (z)-Koordinate gibt, ist das dreidimensionale Ergebnis ein Kreiszylinder mit Radius (2) zentriert auf der Geraden mit (x=2) und (y=1 ). Der Zylinder erstreckt sich unbegrenzt in (z)-Richtung (Abbildung (PageIndex{15})).

Übung (PageIndex{7})

Beschreiben Sie die Menge von Punkten im dreidimensionalen Raum, die (x^2+(z−2)^2=16) erfüllt, und zeichnen Sie die Oberfläche.

Hinweis

Überlegen Sie, was passiert, wenn Sie diese Gleichung in zwei Dimensionen in der (xz)-Ebene darstellen.

Antworten

Ein Zylinder mit Radius 4 zentriert auf der Geraden mit (x=0) und (z=2).

Arbeiten mit Vektoren in (ℝ^3)

Ebenso wie zweidimensionale Vektoren sind dreidimensionale Vektoren Größen mit Betrag und Richtung und werden durch gerichtete Liniensegmente (Pfeile) dargestellt. Bei einem dreidimensionalen Vektor verwenden wir einen dreidimensionalen Pfeil.

Dreidimensionale Vektoren können auch in Komponentenform dargestellt werden. Die Notation (vecs{v}=⟨x,y,z⟩) ist eine natürliche Erweiterung des zweidimensionalen Falls, die einen Vektor mit dem Anfangspunkt im Ursprung darstellt, ((0,0,0) ) und Endpunkt ((x,y,z)). Der Nullvektor ist (vecs{0}=⟨0,0,0⟩). So wird zum Beispiel der dreidimensionale Vektor (vecs{v}=⟨2,4,1) durch ein gerichtetes Liniensegment vom Punkt ((0,0,0)) zum Punkt ( (2,4,1)) (Abbildung (PageIndex{16})).

Vektoraddition und Skalarmultiplikation werden analog zum zweidimensionalen Fall definiert. Wenn (vecs{v}=⟨x_1,y_1,z_1⟩) und (vecs{w}=⟨x_2,y_2,z_2⟩) Vektoren sind und (k) ein Skalar ist, dann

[vecs{v}+vecs{w}=⟨x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2⟩]

und

[kvecs{v}=⟨kx_1,ky_1,kz_1⟩.]

Wenn (k=−1,) dann wird (kvecs{v}=(−1)vecs{v}) geschrieben als (−vecs{v}), und die Vektorsubtraktion ist definiert durch (vecs{v}−vecs{w}=vecs{v}+(−vecs{w})=vecs{v}+(−1)vecs{w}).

Auch die Standard-Einheitsvektoren erstrecken sich leicht in drei Dimensionen, (hat{mathbf i}=⟨1,0,0⟩), (hat{mathbf j}=⟨0,1,0⟩ ) und (hat{mathbf k}=⟨0,0,1⟩), und wir verwenden sie auf die gleiche Weise wie die Standard-Einheitsvektoren in zwei Dimensionen. Somit können wir einen Vektor in (ℝ^3) wie folgt darstellen:

[vecs{v}=⟨x,y,z⟩=xhat{mathbf i}+yhat{mathbf j}+zhat{mathbf k}].

Beispiel (PageIndex{8}): Vektordarstellungen

Sei (vecd{PQ}) der Vektor mit Anfangspunkt (P=(3,12,6)) und Endpunkt (Q=(−4,−3,2)) wie in gezeigt Abbildung (PageIndex{17}). Drücken Sie (vecd{PQ}) sowohl in Komponentenform als auch unter Verwendung von Standardeinheitsvektoren aus.

Lösung

In Komponentenform,

[egin{align*} vecd{PQ} =⟨x_2−x_1,y_2−y_1,z_2−z_1⟩ [4pt] =⟨−4−3,−3−12,2−6⟩ [4pt] =⟨−7,−15,−4⟩. end{ausrichten*}]

In Standardeinheitsform,

[vecd{PQ}=−7hat{mathbf i}−15hat{mathbf j}−4hat{mathbf k}. keine Nummer]

Übung (PageIndex{8})

Sei (S=(3,8,2)) und (T=(2,−1,3)). Drücken Sie (vec{ST}) in Komponentenform und in Standardeinheitenform aus.

Hinweis

Schreiben Sie zuerst (vecd{ST}) in Komponentenform. (T) ist der Endpunkt von (vecd{ST}).

Antworten

(vecd{ST}=⟨−1,−9,1⟩=−hat{mathbf i}−9hat{mathbf j}+hat{mathbf k})

Wie zuvor beschrieben, verhalten sich Vektoren in drei Dimensionen genauso wie Vektoren in einer Ebene. Die geometrische Interpretation der Vektoraddition ist beispielsweise im zwei- und im dreidimensionalen Raum gleich (Abbildung (PageIndex{18})).

Wir haben bereits gesehen, wie einige der algebraischen Eigenschaften von Vektoren, wie Vektoraddition und Skalarmultiplikation, auf drei Dimensionen erweitert werden können. Andere Eigenschaften können auf ähnliche Weise erweitert werden. Sie sind hier als Referenz zusammengefasst.

Eigenschaften von Vektoren im Raum

Seien (vecs{v}=⟨x_1,y_1,z_1⟩) und (vecs{w}=⟨x_2,y_2,z_2⟩) Vektoren und (k) ein Skalar.

  • Skalarmultiplikation: [kvecs{v}=⟨kx_1,ky_1,kz_1⟩]
  • Vektoraddition: [vecs{v}+vecs{w}=⟨x_1,y_1,z_1⟩+⟨x_2,y_2,z_2⟩=⟨x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2⟩]
  • Vektorsubtraktion: [vecs{v}−vecs{w}=⟨x_1,y_1,z_1⟩−⟨x_2,y_2,z_2⟩=⟨x_1−x_2,y_1−y_2,z_1−z_2⟩]
  • Vektorgröße: [|vecs{v}|=sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}]
  • Einheitsvektor in Richtung (vecs{v}): [dfrac{1}{|vecs{v}|}vecs{v}=dfrac{1}{|vecs{v}|} ⟨x_1,y_1,z_1⟩=⟨dfrac{x_1}{|vecs{v}|},dfrac{y_1}{|vecs{v}|},dfrac{z_1}{ |vecs{v}|}⟩, quad ext{if}, vecs{v}≠vecs{0}]

Wir haben gesehen, dass die Vektoraddition in zwei Dimensionen die kommutativen, assoziativen und additiven inversen Eigenschaften erfüllt. Diese Eigenschaften von Vektoroperationen gelten auch für dreidimensionale Vektoren. Die skalare Multiplikation von Vektoren erfüllt die Verteilungseigenschaft, und der Nullvektor wirkt als additive Identität. Die Beweise zum Nachweis dieser Eigenschaften in drei Dimensionen sind einfache Erweiterungen der Beweise in zwei Dimensionen.

Beispiel (PageIndex{9}): Vektoroperationen in drei Dimensionen

Seien (vecs{v}=⟨−2,9,5⟩) und (vecs{w}=⟨1,−1,0⟩) (Abbildung (PageIndex{19})) . Finden Sie die folgenden Vektoren.

  1. (3vecs{v}−2vecs{w})
  2. (5|vecs{w}|)
  3. (|5 vecs{w}|)
  4. Ein Einheitsvektor in Richtung (vecs{v})

Lösung

A. Verwenden Sie zuerst die Skalarmultiplikation jedes Vektors und subtrahieren Sie dann:

[egin{align*} 3vecs{v}−2vecs{w} =3⟨−2,9,5⟩−2⟨1,−1,0⟩ [4pt] =⟨−6 ,27,15⟩−⟨2,−2,0⟩ [4pt] =⟨−6−2,27−(−2),15−0⟩ [4pt] =⟨−8,29,15 . end{ausrichten*}]

B. Schreiben Sie die Gleichung für den Betrag des Vektors und verwenden Sie dann die Skalarmultiplikation:

[5|vecs{w}|=5sqrt{1^2+(−1)^2+0^2}=5sqrt{2}. keine Nummer]

C. Verwenden Sie zuerst eine Skalarmultiplikation und finden Sie dann den Betrag des neuen Vektors. Beachten Sie, dass das Ergebnis das gleiche ist wie für Teil b.:

[|5 vecs{w}|=∥⟨5,−5,0⟩∥=sqrt{5^2+(−5)^2+0^2}=sqrt{50}=5 sqrt{2} onumber]

D. Denken Sie daran, dass wir einen Vektor durch seine Größe dividieren, um einen Einheitsvektor in zwei Dimensionen zu finden. Die Vorgehensweise ist in drei Dimensionen gleich:

[egin{align*} dfrac{vecs{v}}{|vecs{v}|} =dfrac{1}{|vecs{v}|}⟨−2,9 ,5⟩ [4pt] =dfrac{1}{sqrt{(−2)^2+9^2+5^2}}⟨−2,9,5⟩ [4pt] =dfrac {1}{sqrt{110}}⟨−2,9,5⟩ [4pt] =⟨dfrac{−2}{sqrt{110}},dfrac{9}{sqrt{110} },dfrac{5}{sqrt{110}}⟩ . end{ausrichten*}]

Übung (PageIndex{9}):

Seien (vecs{v}=⟨−1,−1,1⟩) und (vecs{w}=⟨2,0,1⟩). Finden Sie einen Einheitsvektor in Richtung von (5vecs{v}+3vecs{w}.)

Hinweis

Schreiben Sie zunächst (5vecs{v}+3vecs{w}) in Komponentenform.

Antworten

(⟨dfrac{1}{3sqrt{10}},−dfrac{5}{3sqrt{10}},dfrac{8}{3sqrt{10}}⟩)

Beispiel (PageIndex{10}): Einen Vorwärtspass werfen

Ein Quarterback steht auf dem Fußballfeld und bereitet sich darauf vor, einen Pass zu werfen. Sein Receiver steht 20 Meter unterhalb des Feldes und 15 Meter links vom Quarterback. Der Quarterback wirft den Ball mit einer Geschwindigkeit von 60 mph in einem Aufwärtswinkel von (30°) auf den Empfänger zu (siehe folgende Abbildung). Schreiben Sie den Anfangsgeschwindigkeitsvektor der Kugel (vecs{v}) in Komponentenform.

Lösung

Als erstes wollen wir einen Vektor in der gleichen Richtung wie der Geschwindigkeitsvektor des Balls finden. Dann skalieren wir den Vektor entsprechend, damit er die richtige Größe hat. Betrachten Sie den Vektor (vecs{w}), der sich vom Arm des Quarterbacks zu einem Punkt direkt über dem Kopf des Empfängers in einem Winkel von (30°) erstreckt (siehe folgende Abbildung). Dieser Vektor hätte die gleiche Richtung wie (vecs{v}), aber möglicherweise nicht die richtige Größe.

Der Receiver befindet sich 20 Meter im Feld und 15 Meter links vom Quarterback. Daher ist die Luftlinie vom Quarterback zum Empfänger

Distanz von QB zum Empfänger(=sqrt{15^2+20^2}=sqrt{225+400}=sqrt{625}=25) yd.

Es gilt (dfrac{25}{|vecs{w}|}=cos 30°.) Dann ist der Betrag von (vecs{w}) gegeben durch

(|vecs{w}|=dfrac{25}{cos 30°}=dfrac{25⋅2}{sqrt{3}}=dfrac{50}{sqrt{3} }) yd

und der vertikale Abstand vom Empfänger zum Endpunkt von (vecs{w}) ist

Vert dist vom Empfänger zum Endpunkt des (vecs{w}=|vecs{w}|sin 30°=dfrac{50}{sqrt{3}}⋅dfrac{1}{2}=dfrac{25}{ sqrt{3}}) yd.

Dann ist (vecs{w}=⟨20,15,dfrac{25}{sqrt{3}}⟩), und hat die gleiche Richtung wie (vecs{v}).

Denken Sie jedoch daran, dass wir den Betrag von (vecs{w}) zu (|vecs{w}|=dfrac{50}{sqrt{3}}) berechnet haben und (vecs{v}) hat die Größe (60) mph. Wir müssen also den Vektor (vecs{w}) mit einer geeigneten Konstanten (k) multiplizieren. Wir wollen einen Wert von (k) finden, so dass (∥kvecs{w}∥=60) mph. Wir haben

(|k vecs{w}|=k|vecs{w}|=kdfrac{50}{sqrt{3}}) mph,

also wollen wir

(kdfrac{50}{sqrt{3}}=60)

(k=dfrac{60sqrt{3}}{50})

(k=dfrac{6sqrt{3}}{5}).

Dann

(vecs{v}=kvecs{w}=k⟨20,15,dfrac{25}{sqrt{3}}⟩=dfrac{6sqrt{3}}{5}⟨20 ,15,dfrac{25}{sqrt{3}}⟩=⟨24sqrt{3},18sqrt{3},30⟩).

Überprüfen wir noch einmal, dass (|vecs{v}|=60.) Wir haben

(|vecs{v}|=sqrt{(24sqrt{3})^2+(18sqrt{3})^2+(30)^2}=sqrt{1728+972 +900}=sqrt{3600}=60) Meilen pro Stunde.

Damit haben wir die richtigen Komponenten für (vecs{v}) gefunden.

Übung (PageIndex{10})

Angenommen, der Quarterback und der Empfänger befinden sich an derselben Stelle wie im vorherigen Beispiel. Diesmal wirft der Quarterback den Ball jedoch mit einer Geschwindigkeit von (40) mph und einem Winkel von (45°). Schreiben Sie den Anfangsgeschwindigkeitsvektor der Kugel (vecs{v}) in Komponentenform.

Hinweis

Befolgen Sie den im vorherigen Beispiel verwendeten Prozess.

Antworten

(v=⟨16sqrt{2},12sqrt{2},20sqrt{2}⟩)

Schlüssel Konzepte

  • Das dreidimensionale Koordinatensystem ist um einen Satz von drei Achsen herum aufgebaut, die sich im rechten Winkel in einem einzigen Punkt, dem Ursprung, schneiden. Geordnete Tripel ((x,y,z)) werden verwendet, um die Lage eines Punktes im Raum zu beschreiben.
  • Der Abstand (d) zwischen den Punkten ((x_1,y_1,z_1)) und ((x_2,y_2,z_2)) wird durch die Formel [d=sqrt{(x_2−x_1)^ 2+(y_2−y_1)^2+(z_2−z_1)^2}. onumber]
  • In drei Dimensionen beschreiben die Gleichungen (x=a,y=b,) und (z=c) zu den Koordinatenebenen parallele Ebenen.
  • Die Standardgleichung einer Kugel mit Mittelpunkt ((a,b,c)) und Radius (r) lautet [(x−a)^2+(y−b)^2+(z−c) ^2=r^2. keine Nummer ]
  • In drei Dimensionen werden Vektoren wie in zwei Dimensionen üblicherweise in der Komponentenform (v=⟨x,y,z⟩) oder in Form der Standardeinheitsvektoren (xi+yj+zk.) ausgedrückt.
  • Eigenschaften von Vektoren im Raum sind eine natürliche Erweiterung der Eigenschaften von Vektoren in einer Ebene. Seien (v=⟨x_1,y_1,z_1⟩) und (w=⟨x_2,y_2,z_2⟩) Vektoren und (k) ein Skalar.

Skalarmultiplikation:

[(kvecs{v}=⟨kx_1,ky_1,kz_1⟩ onumber]

Vektoraddition:

[vecs{v}+vecs{w}=⟨x_1,y_1,z_1⟩+⟨x_2,y_2,z_2⟩=⟨x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2⟩ onumber]

Vektorsubtraktion:

[vecs{v}−vecs{w}=⟨x_1,y_1,z_1⟩−⟨x_2,y_2,z_2⟩=⟨x_1−x_2,y_1−y_2,z_1−z_2⟩ onumber]

Vektorgröße:

[‖vecs{v}‖=sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} onumber]

Einheitsvektor in Richtung (vecs{v}):

[dfrac{vecs{v}}{‖vecs{v}‖}=dfrac{1}{‖vecs{v}‖}⟨x_1,y_1,z_1⟩=⟨dfrac{x_1}{ ‖vecs{v}‖},dfrac{y_1}{‖vecs{v}‖},dfrac{z_1}{‖vecs{v}‖}⟩, vecs{v}≠vecs{0 } keine Nummer]

Schlüsselgleichungen

Abstand zwischen zwei Punkten im Raum:

[d=sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2+(z_2−z_1)^2}]

Kugel mit Mittelpunkt ((a,b,c)) und Radius (r):

[(x−a)^2+(y−b)^2+(z−c)^2=r^2]

Glossar

Koordinatenebene
eine Ebene, die zwei der drei Koordinatenachsen im dreidimensionalen Koordinatensystem enthält, benannt nach den darin enthaltenen Achsen: die (xy)-Ebene, (xz)-Ebene oder die (yz)-Ebene
Rechte-Hand-Regel
eine gemeinsame Methode zum Definieren der Orientierung des dreidimensionalen Koordinatensystems; wenn die rechte Hand so um die (z)-Achse gekrümmt ist, dass sich die Finger von der positiven (x)-Achse zur positiven (y)-Achse krümmen, zeigt der Daumen in Richtung der positiven (z)-Achse
Oktanten
die acht Raumregionen, die durch die Koordinatenebenen erzeugt werden
Kugel
die Menge aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt gleich weit entfernt sind, bekannt als Center
Standardgleichung einer Kugel
((x−a)^2+(y−b)^2+(z−c)^2=r^2) beschreibt eine Kugel mit Mittelpunkt ((a,b,c)) und Radius (R)
dreidimensionales rechtwinkliges Koordinatensystem
ein Koordinatensystem, das durch drei Linien definiert ist, die sich im rechten Winkel schneiden; jeder Punkt im Raum wird durch ein geordnetes Tripel ((x,y,z)) beschrieben, das seine Lage relativ zu den definierenden Achsen aufträgt

Winkel zwischen zwei Vektoren Rechner

Mit diesem Winkel zwischen zwei Vektoren-Rechner lernen Sie schnell, wie Sie den Winkel zwischen zwei Vektoren finden. Es spielt keine Rolle, ob Ihre Vektoren in sind 2D oder 3D, noch wenn ihre Darstellungen sind Koordinaten oder Anfangs- und Endpunkte - unser Tool ist in jedem Fall eine sichere Sache. Spielen Sie mit dem Taschenrechner und überprüfen Sie die Definitionen und Erklärungen unten. Wenn Sie nach dem Winkel zwischen zwei Vektorformeln suchen, werden Sie sie dort definitiv finden.

Da Sie hier nach Lösungen für Ihre Vektorprobleme suchen, können wir davon ausgehen, dass Sie auch an Vektoroperationen interessiert sind? Wenn Sie mit den Grundlagen beginnen möchten, werfen Sie einen Blick auf unseren Einheitenvektorrechner. Für diejenigen, die noch mehr in die Vektoralgebra eintauchen möchten, empfehlen wir das Vektorprojektionstool und den Kreuzproduktrechner.


Rotationsmatrix berechnen, um zwei Vektoren im 3D-Raum auszurichten?

Ich habe zwei separate Vektoren von 3D-Datenpunkten, die Kurven darstellen, und zeichne diese als Streudaten in einem 3D-Plot mit Matplotlib.

Beide Vektoren beginnen im Ursprung und haben beide eine Einheitslänge. Die Kurven sind einander ähnlich, jedoch gibt es normalerweise eine Rotation zwischen den beiden Kurven (für Testzwecke habe ich tatsächlich eine Kurve verwendet und eine Rotationsmatrix darauf angewendet, um die zweite Kurve zu erstellen).

Ich möchte die beiden Kurven so ausrichten, dass sie in 3D z.B. drehen Sie Kurve b, so dass ihre Start- und Endpunkte mit Kurve a übereinstimmen. Ich habe versucht, dies zu tun, indem ich den Endpunkt vom ersten subtrahiere, um einen Richtungsvektor zu erhalten, der die gerade Linie vom Anfang bis zum Ende jeder Kurve darstellt, diese in Einheitsvektoren umwandele und dann die Kreuz- und Punktprodukte berechne und Verwenden Sie die in dieser Antwort beschriebene Methodik (https://math.stackexchange.com/a/476311/357495), um eine Rotationsmatrix zu berechnen.

Wenn ich dies tue, ist die berechnete Rotationsmatrix jedoch falsch und ich bin mir nicht sicher, warum?

Mein Code ist unten (ich verwende Python 2.7):

In meinem Testfall ist Kurve 2 einfach Kurve 1 mit der folgenden angewendeten Rotationsmatrix:

(nur eine 60-Grad-Drehung um die x-Achse).

Die von meinem Code berechnete Rotationsmatrix zum erneuten Ausrichten der beiden Vektoren lautet:

Der Plot der Richtungsvektoren für die beiden Originalkurven (a und b in blau bzw. grün) und das Ergebnis von b transformiert mit der berechneten Rotationsmatrix (rot) ist unten. Ich versuche, die Rotationsmatrix zu berechnen, um den grünen Vektor am blauen auszurichten.


2: Vektoren im Weltraum

Um das Konzept hinter Machine Learning sowie Deep Learning zu verstehen, Lineare Algebra Prinzipien, sind entscheidend. Lineare Algebra ist ein Zweig der Mathematik, der es ermöglicht, Operationen an höherdimensionalen Koordinaten und Ebeneninteraktionen auf präzise Weise zu definieren und durchzuführen. Der Schwerpunkt liegt auf linearen Gleichungssystemen.

  • Idee hinter Basisvektor?
  • Definition des Basisvektors
  • Eigenschaften des Basisvektors
  • Basisvektoren für einen gegebenen Raum
  • Es ist aus datenwissenschaftlicher Sicht wichtig

Was ist die Idee hinter Basisvektoren?
Die Idee hier ist also die folgende,

Nehmen wir einen R-Quadrat-Raum, was im Grunde bedeutet, dass wir Vektoren in 2 Dimensionen betrachten. Dies bedeutet, dass jeder dieser Vektoren 2 Komponenten enthält, wie wir im obigen Bild aufgenommen haben. Wir können viele viele Vektoren nehmen. Es wird also eine unendliche Anzahl von Vektoren geben, die in 2 Dimensionen vorliegen. Der Punkt ist also, können wir alle diese Vektoren mit einigen Grundelementen und dann einer Kombination dieser Grundelemente darstellen.

Betrachten wir nun zum Beispiel 2 Vektoren:

Wenn Sie nun einen beliebigen Vektor nehmen, der im R-Quadrat-Raum gegeben ist, sagen wir nehmen
Wir können diesen Vektor als eine Linearkombination aus diesem Vektor plus diesem Vektor wie folgt schreiben.

Ebenso, wenn Sie nehmen

Wir können diesen Vektor auch als eine Linearkombination aus diesem Vektor plus diesem Vektor wie folgt schreiben.

Ähnlich,

Und das gilt für jeden Vektor, den Sie in diesem Raum haben.

In gewisser Weise sagen wir also, dass diese 2 Vektoren (v1 und v2) den Raum charakterisieren oder sie bilden eine Basis für den Raum und jeder Vektor in diesem Raum, lässt sich einfach als Linearkombination dieser 2 Vektoren schreiben. Jetzt können Sie feststellen, dass die Linearkombinationen eigentlich die Zahlen selbst sind. Also zum Beispiel, wenn ich will Vektor(2, 1) als Linearkombination der . geschrieben werden Vektor(1, 0) und Vektor(0, 1), die skalaren Vielfachen sind 2 und 1 was ähnlich ist für Vektor(4, 4) usw.

Der entscheidende Punkt ist also, dass wir hier zwar eine unendliche Anzahl von Vektoren haben, sie aber alle als Linearkombination von nur 2 Vektoren erzeugt werden können und wir hier gesehen haben, dass diese 2 Vektoren sind Vektor(1, 0) und Vektor(0, 1). Nun heißen diese 2 Vektoren die Basis für den ganzen Raum.

Definition des Basisvektors: Wenn Sie jeden Vektor in einem gegebenen Raum als Linearkombination einiger Vektoren schreiben können und diese Vektoren voneinander unabhängig sind, dann nennen wir sie Basisvektoren für diesen gegebenen Raum.

  1. Basisvektoren müssen linear unabhängig voneinander sein:
    Wenn ich v1 mit einem Skalar multipliziere, kann ich den Vektor v2 nie erhalten. Und das beweist, dass v1 und v2 linear unabhängig voneinander sind. Wir wollen, dass Basisvektoren linear unabhängig voneinander sind, weil wir wollen, dass jeder Vektor, das heißt auf Basis, eindeutige Informationen erzeugt. Wenn sie voneinander abhängig werden, bringt dieser Vektor nichts Einzigartiges.
  2. Basisvektoren müssen den gesamten Raum überspannen:
    Das Wort Spanne bedeutet im Grunde, dass ich jeden Vektor in diesem Raum als Linearkombination der Basisvektoren schreiben kann, wie wir in unserem vorherigen Beispiel sehen.
  3. Basisvektoren sind nicht eindeutig: Man kann viele viele Sätze von Basisvektoren finden. Einzige Bedingung ist, dass sie linear unabhängig sein müssen und den gesamten Raum überspannen sollen. Lassen Sie uns diese Eigenschaft im Detail verstehen, indem wir dasselbe Beispiel wie zuvor genommen haben.

Betrachten wir 2 weitere Vektoren, die voneinander linear unabhängig sind.

Zuerst müssen wir prüfen, ob diese beiden Vektoren den Eigenschaften des Basisvektors gehorchen?
Sie können sehen, dass diese beiden Vektoren linear unabhängig voneinander sind, wenn Sie v1 mit einem beliebigen Skalar multiplizieren, um den Vektor v2 nie zu erhalten. Wenn ich zum Beispiel v1 mit -1 multipliziere, erhalte ich Vektor(-1, -1), aber nicht die Vektor(1, -1).

Um die zweite Eigenschaft zu überprüfen, nehmen wir die Vektor(2, 1). Sehen wir uns nun an, ob wir das darstellen können Vektor(2, 1) als Linearkombination der Vektor(1, 1) und Vektor(1, -1).

Wenn Sie sich das also ansehen, haben wir dies erfolgreich dargestellt Vektor(2, 1) als Linearkombination der Vektor(1, 1) und Vektor(1, -1). Sie können dies im vorherigen Fall feststellen, wenn wir die Vektor(1, 0) und Vektor(0, 1), wir sagten, dies kann als 2 mal von geschrieben werden Vektor(1, 0) und 1 mal Vektor(0, 1) jedoch haben sich die Zahlen jetzt geändert. Trotzdem kann ich dies als Linearkombination dieser 2 Basisvektoren schreiben.

Ebenso, wenn Sie den Vektor(1,3) nehmen

Ebenso, wenn Sie den Vektor(4,4) nehmen
Dies ist also eine weitere Linearkombination derselben Basisvektoren. Der entscheidende Punkt, den ich hier ansprechen möchte, ist, dass die Basisvektoren nicht eindeutig sind. Es gibt viele Möglichkeiten, wie Sie die Basisvektoren definieren können, jedoch haben sie alle die gleiche Eigenschaft, dass, wenn ich eine Menge von Vektoren habe, die ich als Basisvektor bezeichne, diese Vektoren unabhängig voneinander sein müssen und sich erstrecken sollten den ganzen Raum.

Merken Sie sich:
Interessant ist hier, dass wir nicht 2 Basissätze haben können, die eine unterschiedliche Anzahl von Vektoren haben. Was ich hier meine, ist im vorherigen Beispiel, obwohl die Basisvektoren v1(1, 0) und v2(0, 1) Es gab nur 2 Vektoren. In ähnlicher Weise sind in diesem Fall die Basisvektoren v1(1, 1) und v2(1, -1). Es gibt jedoch immer noch nur 2 Vektoren. Sie könnten also viele Sätze von Basisvektoren haben, die alle gleich der Anzahl der Vektoren in jedem Satz sind, aber sie können sich nicht unterscheiden. Sie sollten also bedenken, dass Sie für den gleichen Raum nicht 2 Basissätze haben können, einen mit n Vektoren und einen mit m Vektoren, was nicht möglich ist. Wenn es sich also um eine Basismenge für denselben Raum handelt, sollte die Anzahl der Vektoren in jeder Menge gleich sein.

Basisvektoren finden:

  • Schritt 1: Um Basisvektoren der gegebenen Menge von Vektoren zu finden, ordnen Sie die Vektoren wie unten gezeigt in Matrixform an.
  • Schritt 2: Finden Sie den Rang dieser Matrix.
    Wenn Sie den Rang dieser Matrix identifizieren, erhalten Sie die Anzahl der linear unabhängige Spalten. Der Rang der Matrix wird uns sagen, wie viele für die Erklärung all dieser Spalten grundlegend sind und wie viele Spalten wir benötigen. Damit wir die restlichen Spalten als Linearkombination dieser Spalten generieren können.

Erläuterung:
Wenn der Rang der Matrix 1 ist, haben wir nur 1 Basisvektor, ist der Rang 2, dann gibt es 2 Basisvektoren, wenn 3, dann gibt es 3 Basisvektoren und so weiter. Da sich in diesem Fall der Rang der Matrix als 2 herausstellt, gibt es nur 2 Spaltenvektoren, die ich brauche, um jede Spalte in dieser Matrix darzustellen. Der Basissatz hat also die Größe 2. Wir können hier also 2 beliebige linear unabhängige Spalten auswählen und das könnten dann die Basisvektoren sein.

So könnten wir zum Beispiel wählen v1(6, 5, 8, 11) und v2(1, 2, 3, 4) und sagen wir, dies ist der Basisvektor für all diese Spalten oder wir könnten wählen v1(3, -1, -1, -1) und v2(7, 7, 11, 15) usw. Wir können 2 beliebige Spalten wählen, solange sie linear unabhängig voneinander sind, und wir wissen von oben, dass die Basisvektoren nicht eindeutig sein müssen. Also wähle ich 2 beliebige linear unabhängige Spalten aus, die diese Daten darstellen.

Wichtig aus datenwissenschaftlicher Sicht
Lassen Sie mich Ihnen nun erklären, warum dieses Konzept der Basisvektoren aus datenwissenschaftlicher Sicht sehr wichtig ist. Schauen Sie sich einfach das vorherige Beispiel an. Wir haben 10 Samples und möchten diese 10 Samples speichern, da jedes Sample 4 Zahlen hat, würden wir 4 x 10 = 40 Zahlen speichern.
Nehmen wir nun an, wir machen die gleiche Übung für diese 10 Stichproben und dann finden wir, dass wir nur 2 Basisvektoren haben, die 2 Vektoren aus dieser Menge sein werden. Was wir tun könnten, ist, diese 2 Basisvektoren zu speichern, die 2 x 4 = 8 Zahlen wären, und für die verbleibenden 8 Samples, anstatt alle Samples und alle Zahlen in jedem dieser Samples zu speichern, was wir tun könnten ist, dass wir für jede Stichprobe nur 2 Zahlen speichern könnten, die die Linearkombinationen sind, die wir verwenden werden, um dies zu konstruieren. Anstatt diese 4 Zahlen zu speichern, könnten wir einfach diese 2 Konstanten speichern und da wir die Basisvektoren bereits gespeichert haben, können wir, wann immer wir dies rekonstruieren möchten, einfach die erste Konstante nehmen und sie mit v1 plus der zweiten Konstanten multiplizieren es von v2 und wir werden diese Nummer bekommen.

Wir speichern 2 Basisvektoren, die mir ergeben: 4 x 2 = 8 Zahlen
Und dann speichern wir für die restlichen 8 Samples einfach 2 Konstanten z.B.: 8 x 2 = 16 Zahlen
Das würde uns also ergeben: 8 + 16 = 24 Zahlen
Anstatt also 4 x 10 = 40 Zahlen zu speichern, können wir nur 24 Zahlen speichern, was der ungefähren Hälfte der Zahl entspricht. Und wir werden in der Lage sein, den gesamten Datensatz zu rekonstruieren, indem wir nur 24 Zahlen speichern.

Wenn Sie beispielsweise einen 30-dimensionalen Vektor haben und die Basisvektoren nur 3 sind, können Sie die Art der Reduzierung sehen, die Sie in Bezug auf die Datenspeicherung erhalten. Dies ist also ein Gesichtspunkt der Datenwissenschaft.

  • Sie können diese Basis identifizieren, um ein Modell zwischen diesen Daten zu identifizieren.
  • Sie können eine Grundlage für die Rauschreduzierung in den Daten identifizieren.

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In Naturwissenschaften, Mathematik und Ingenieurwissenschaften unterscheiden wir zwei wichtige Größen: Skalare und Vektoren. Ein Skalar ist einfach eine reelle Zahl oder eine Größe mit Größe. Länge, Temperatur und Blutdruck werden beispielsweise durch Zahlen wie 80 m, 20°C bzw. das systolische/diastolische Verhältnis 120/80 dargestellt. Ein Vektor hingegen wird normalerweise als eine Größe beschrieben, die beides hat Größe und Richtung.

Geometrische Vektoren

Geometrisch kann ein Vektor durch ein gerichtetes Liniensegment – ​​also durch einen Pfeil – dargestellt werden und wird entweder durch ein fettgedrucktes Symbol oder durch ein Symbol mit einem Pfeil über gekennzeichnet.

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LINEAR UNABHÄNGIGE SÄTZE VON VEKTOREN

Das heißt, eine unendliche Anzahl von Lösungen kann anhand von nur zwei Vektoren konstruiert werden, und die Analyse der Lösungen kann unter Berücksichtigung nur dieser beiden Vektoren durchgeführt werden. Um ähnliche Analysemethoden in Vektorräumen zu verwenden, benötigen wir die Konzepte der Spanne und der linearen Unabhängigkeit von Vektorenmengen. Beide Konzepte beinhalten Linearkombinationen von Vektoren.

wobei die Zahlen als Koeffizient der Linearkombination bezeichnet werden.

Lösung Fünf Möglichkeiten sind

Beachten Sie, dass die erste und letzte Linearkombination denselben Vektor (0,0) ergeben, obwohl die Koeffizienten nicht dieselben sind. Die letzten vier Linearkombinationen werden als nichttrivial bezeichnet, da in jeder mindestens ein Koeffizient von Null verschieden ist.

Lösung Wir wollen das finden

Lösung Wir prüfen, ob die Gleichung

hat eine Lösung. Dies entspricht

und es gibt keine Lösung. Kann daher nicht als Linearkombination der gegebenen Vektoren geschrieben werden.

Die Spanne einer Menge von Vektoren von ist eigentlich ein Unterraum von .

die auch in span sind. Daher ist span ein Unterraum von . Es heißt der Unterraum von aufgespannt von .

für alle komplexen und . Anders ausgedrückt: Alle Lösungen bilden die Unterraumspanne.

In einigen Fällen kann span alle sein.

wobei und können beliebige reelle Zahlen sein.

Lösung Wir müssen zeigen, dass jeder Vektor in als Linearkombination der drei gegebenen Vektoren geschrieben werden kann. Das heißt, wir müssen zeigen, dass es Konstanten gibt, so dass

unabhängig davon, welche realen Werte , und nehmen. Die letzte Gleichung ist äquivalent zu

Daher, und die Spannweite ist alles.

Lösung Sei ein beliebiger Vektor in . Wir wollen wissen, ob es möglich ist zu schreiben

Die letzte Gleichung ist äquivalent zu

Daher existiert eine Lösung nur dann, wenn dies jedoch eine Einschränkung auferlegt, und so kann die allererste Gleichung nicht nach einem beliebigen Vektor gelöst werden. Daher ist die Spanne der gegebenen Vektoren nicht alle.

Die Frage in Beispiel 10 hätte auch etwas anders gestellt werden können.

Lösung Angenommen ist in span . Dann ist die Gleichung

muss lösbar sein. Wenn wir wie in Beispiel 10 arbeiten, schließen wir, dass . Also Spannweite. Das heißt, die Spanne von ist alle Vektoren, deren dritte Komponente die Summe der ersten beiden Komponenten ist. Also zum Beispiel und .

Der Vektorraum wird von aufgespannt. Es wird auch von einer größeren Menge überspannt. Wie wir später sehen werden, und Funktionen auf können unter Verwendung aufspannender Mengen analysiert werden, wollen wir daher aus Gründen der Wirtschaftlichkeit die kleinstmöglichen aufspannenden Mengen für Vektorräume finden. Dazu ist die Idee der linearen Unabhängigkeit erforderlich.

ist . Ist die Menge nicht linear unabhängig, heißt sie linear abhängig.

Um zu bestimmen, ob eine Menge linear unabhängig oder linear abhängig ist, müssen wir die Lösung von

Wenn wir feststellen (durch tatsächliches Lösen des resultierenden Systems oder durch eine andere Technik), dass nur die triviale Lösung existiert, dann ist sie linear unabhängig. Wenn jedoch eines oder mehrere der 's nicht null sind, ist die Menge linear abhängig.

Diese Gleichung ist äquivalent zu

das hat nur als lösung. Daher ist linear unabhängig.

Dieses System hat eine Lösung, wenn , dann haben wir eine nichttriviale Lösung und ist daher nicht linear unabhängig – es ist linear abhängig.

Durch Sammeln von Termen auf der linken Seite kann diese Gleichung umgeschrieben werden

Aus der Algebra wissen wir, dass ein Polynom nur dann identisch Null ist, wenn alle Koeffizienten Null sind. Also haben wir

die nur die triviale Lösung hat. Daher ist linear unabhängig.

Lineare Abhängigkeit einer Menge von zwei oder mehr Vektoren bedeutet, dass mindestens einer der Vektoren in der Menge als Linearkombination der anderen geschrieben werden kann. Rufen Sie Beispiel 13 und den Satz auf. In Abb. 3.4.1 haben wir geometrisch die Abhängigkeit der Vektoren in gezeigt. Eine allgemeine Aussage zu dieser Situation lautet wie folgt:

Angenommen, die Linearkombination enthält einen Koeffizienten ungleich Null. Dann

Daher ist eine Linearkombination der anderen Vektoren in .

Annehmen . Dann addieren wir zu beiden Seiten:

Da der Koeffizient von nicht null ist, ist die Menge linear abhängig

ist linear abhängig in . Schreiben Sie einen der Vektoren als Linearkombination der anderen.

Diese Gleichung ist äquivalent zu

Daher ist eine Lösung, wo willkürlich ist. Somit ist die Menge linear abhängig. Auswahl, wir haben

Natürlich könnten wir auch schreiben

Einige Geometrie von Spanning Sets in und Die Spanne eines einzelnen Vektors ungleich Null ist eine Linie, die den Ursprung enthält. Span ist alle Vielfachen von v , das sind alle Positionsvektoren in der gleichen Richtung wie v (siehe Abb. 3.4.2). Die Endpunkte dieser Vektoren bilden die Gerade mit der Vektorgleichung

Die Spanne zweier unabhängiger Vektoren ist eine Ebene, die den Ursprung enthält. Um dies in zu sehen, seien v und w durch bzw. gegeben. Die Ebene mit v und w hat Normalenvektor und Vektorgleichung

Wenn wir die Vektorgleichung berechnen und schreiben, finden wir

wo ist ein Vektor in der Ebene. Wenn es jedoch eine Linearkombination von v und w sein soll, müssen wir

die genau dann eine Lösung hat, wenn

was genau dann gilt, wenn die Vektorgleichung gilt. Die Spanne zweier unabhängiger Vektoren ist also die Ebene, die die Vektoren enthält. Siehe Abb. 3.4.3.

Die Spanne von drei von Null verschiedenen Vektoren in kann eine Linie, eine Ebene oder alle sein, abhängig vom Grad der Abhängigkeit der drei Vektoren. Wenn alle drei Vielfache voneinander sind, haben wir nur eine Gerade. Wenn zwei der Vektoren und unabhängig sind, aber die gesamte Menge linear abhängig ist, dann liegt eine Linearkombination von und und liegt in der durch und definierten Ebene. Das heißt, die Vektoren sind koplanar. Legen Sie drei Bleistifte mit Radiergummis auf eine Tischplatte, um ein grafisches Beispiel für koplanare Vektoren zu erhalten. Wenn linear unabhängig ist, ist die Spanne all . Dies kann im Einzelfall direkt überprüft werden, um zu zeigen, dass es generell Methoden des nächsten Abschnitts erfordert.

Linearkombinationen in komplexen Vektorräumen haben wichtige Anwendungen, wie die nächsten Beispiele veranschaulichen.

Zeigen Sie, dass in linear unabhängig ist. Besprechen Sie die Bedeutung der Unabhängigkeit.


2 2 -Hilbert-Räume

2-Vektorräume wurden zu einem großen Teil durch die (2-dimensionale) Quantenfeldtheorie motiviert und angewendet. Dabei ist in der Regel nicht der Begriff eines einfachen Vektorraums zu kategorisieren, sondern der eines Hilbertraums.

2-Hilbert-Räume als Hilb-Hilb-angereicherte Kategorien mit einigen zusätzlichen Eigenschaften wurden beschrieben in

In Anwendungen nimmt man oft an, dass diese 2-Hilbert-Räume halbeinfach sind, in diesem Fall ist ein solcher 2-Hilbert-Raum ein Kapranov-Voevodsky 2 2 -Vektorraum, der mit einer zusätzlichen Struktur ausgestattet ist.

Eine Übersicht über diese Ideen von 2-Hilbert-Räumen sowie Anwendungen von 2-Hilbert-Räumen auf die Theorie der endlichen Gruppendarstellung sind in

  • Bruce Bartlett, Über unitäre 2-Darstellungen endlicher Gruppen und topologische Quantenfeldtheorie (arXiv)

Inhalt

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ein und B ist nur im dreidimensionalen Raum definiert und wird mit bezeichnet ein × B . [1] In der Physik und der angewandten Mathematik ist die Keilnotation einB wird oft verwendet (in Verbindung mit dem Namen Vektorprodukt), [5] [6] [7] obwohl in der reinen Mathematik eine solche Notation meist nur für das äußere Produkt reserviert ist, eine Abstraktion des Vektorprodukts zu n Maße.

Das Kreuzprodukt ein × B ist als Vektor definiert C das ist senkrecht (orthogonal) zu beiden ein und B, mit einer durch die Rechte-Hand-Regel [2] gegebenen Richtung und einem Betrag gleich der Fläche des Parallelogramms, das die Vektoren aufspannen. [3]

Das Kreuzprodukt ist definiert durch die Formel [8] [9]

  • θ ist der Winkel zwischen ein und B in der sie enthaltenden Ebene (also zwischen 0° und 180°)
  • ein‖ und ‖B‖ sind die Beträge von Vektoren ein und B
  • und n ist ein Einheitsvektorsenkrecht zur Ebene mit ein und B, in die durch die Rechte-Hand-Regel vorgegebene Richtung (dargestellt). [3]

Wenn die Vektoren ein und B parallel sind (d. h. der Winkel θ zwischen ihnen ist entweder 0° oder 180°), nach der obigen Formel das Kreuzprodukt von ein und B ist der Nullvektor 0.

Richtung Bearbeiten

Konventionell ist die Richtung des Vektors n ist durch die Rechte-Hand-Regel gegeben, bei der man einfach mit dem Zeigefinger der rechten Hand in Richtung zeigt ein und den Mittelfinger in Richtung B. Dann ist der Vektor n kommt aus dem Daumen (siehe nebenstehendes Bild). Die Anwendung dieser Regel impliziert, dass das Kreuzprodukt antikommutativ ist, d. B × ein = −(ein × B) . Indem du mit dem Zeigefinger auf zeigst B zuerst und dann mit dem Mittelfinger auf ein, wird der Daumen in die entgegengesetzte Richtung gedrückt, wodurch das Vorzeichen des Produktvektors umgekehrt wird.

Da der Kreuzproduktoperator von der Orientierung des Raumes abhängt (wie in der obigen Definition explizit), ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren kein "echter" Vektor, sondern a Pseudovektor. Siehe § Händigkeit für weitere Details.

Im Jahr 1881 führten Josiah Willard Gibbs und unabhängig davon Oliver Heaviside sowohl das Punktprodukt als auch das Kreuzprodukt mit einem Punkt ( ein . B ) und ein "x" ( ein x B ) bzw. um sie zu kennzeichnen. [10]

Um die Tatsache hervorzuheben, dass das Ergebnis eines Punktprodukts ein Skalar ist, während das Ergebnis eines Kreuzprodukts ein Vektor ist, prägte William Kingdon Clifford 1877 die alternativen Namen Skalarprodukt und Vektorprodukt für die beiden Operationen. [10] Diese alternativen Namen werden in der Literatur immer noch häufig verwendet.

Sowohl die Kreuznotation ( ein × B ) und der Name Kreuzprodukt wurden möglicherweise von der Tatsache inspiriert, dass jede skalare Komponente von ein × B wird berechnet, indem nicht korrespondierende Komponenten von . multipliziert werden ein und B. Umgekehrt ein Punktprodukt einB beinhaltet Multiplikationen zwischen entsprechenden Komponenten von ein und B. Wie unten erklärt, kann das Kreuzprodukt in Form einer Determinante einer speziellen 3 × 3-Matrix ausgedrückt werden. Nach der Sarrus-Regel handelt es sich dabei um Multiplikationen zwischen Matrixelementen, die durch gekreuzte Diagonalen identifiziert werden.

Koordinatennotation Bearbeiten

Die Standard-Basisvektoren ich, J, und k die folgenden Gleichungen in einem rechten Koordinatensystem erfüllen: [2]

was aufgrund der Antikommutativität des Kreuzprodukts impliziert, dass

Die Antikommutativität des Kreuzprodukts (und der offensichtliche Mangel an linearer Unabhängigkeit) impliziert auch, dass

Diese Gleichungen zusammen mit der Distributivität und Linearität des Kreuzprodukts (aber keines ergibt sich leicht aus der obigen Definition) reichen aus, um das Kreuzprodukt zweier beliebiger Vektoren zu bestimmen determine ein und B. Jeder Vektor kann als Summe von drei orthogonalen Komponenten parallel zu den Standardbasisvektoren definiert werden:

Ihr Kreuzprodukt ein × B durch Distributivität erweiterbar:

Dies kann als Zerlegung von . interpretiert werden ein × B in die Summe von neun einfacheren Kreuzprodukten mit Vektoren, die mit ausgerichtet sind ich, J, oder k. Jedes dieser neun Kreuzprodukte arbeitet mit zwei Vektoren, die einfach zu handhaben sind, da sie entweder parallel oder orthogonal zueinander sind. Aus dieser Zerlegung erhalten wir, indem wir die oben genannten Gleichungen verwenden und ähnliche Terme sammeln:

was bedeutet, dass die drei skalaren Komponenten des resultierenden Vektors S = S1ich + S2J + S3k = ein × B sind

Mit Spaltenvektoren können wir das gleiche Ergebnis wie folgt darstellen:

Matrix-Notation Bearbeiten

Das Kreuzprodukt kann auch als formale Determinante ausgedrückt werden: [Anm. 1] [2]

Diese Determinante kann mit der Sarrus-Regel oder der Kofaktor-Expansion berechnet werden. Unter Verwendung der Sarrus-Regel erweitert es sich zu

Wenn stattdessen die Cofaktor-Erweiterung entlang der ersten Reihe verwendet wird, wird sie auf [11] erweitert.

was die Komponenten des resultierenden Vektors direkt angibt.

Verwenden von Levi-Civita-Tensoren Bearbeiten

  • In jeder Basis ist das Kreuzprodukt a × b durch die Tensorformel E i j k a i b j ein^b^> wobei E i j k > ist der kovariante Levi-Civita-Tensor (wir beachten die Position der Indizes). Das entspricht der hier angegebenen inneren Formel.
  • Auf orthonormaler Basis mit der gleichen Orientierung wie der Raum, a × b ist gegeben durch die Pseudo-Tensorformel ε i j k a i b j ein^b^> wobei ε i j k > ist das Levi-Civita-Symbol (ein Pseudotensor). Das ist die Formel, die für die alltägliche Physik verwendet wird, aber sie funktioniert nur in diesem speziellen Fall der Basis.
  • In jeder Orthonormalbasis ist a × b durch die Pseudo-Tensorformel ( − 1 ) B ε i j k a i b j varepsilon_ein^b^> wobei ( − 1 ) B = ± 1 =pm 1> ob die Basis dieselbe Orientierung wie der Raum hat oder nicht.

Die neueste Formel vermeidet, die Orientierung des Raums zu ändern, wenn wir eine Orthonormalbasis invertieren.

Geometrische Bedeutung Bearbeiten

Der Betrag des Kreuzprodukts kann als positive Fläche des Parallelogramms interpretiert werden mit ein und B als Seiten (siehe Abbildung 1): [2]

Tatsächlich kann man auch das Volumen berechnen V eines Parallelepipeds mit ein, B und C als Kanten unter Verwendung einer Kombination aus einem Kreuzprodukt und einem Punktprodukt, genannt Skalartripelprodukt (siehe Abbildung 2):

Da das Ergebnis des Skalartripelprodukts negativ sein kann, wird das Volumen des Parallelepipeds durch seinen Absolutwert angegeben. Zum Beispiel,

Da der Betrag des Kreuzprodukts dem Sinus des Winkels zwischen seinen Argumenten entspricht, kann man sich das Kreuzprodukt als Maß für . vorstellen Rechtwinkligkeit genauso wie das Skalarprodukt ein Maß für ist Parallelität. Bei zwei Einheitsvektoren hat ihr Kreuzprodukt den Betrag 1, wenn die beiden senkrecht sind, und den Betrag Null, wenn die beiden parallel sind. Das Skalarprodukt zweier Einheitsvektoren verhält sich genau umgekehrt: Es ist Null, wenn die Einheitsvektoren senkrecht stehen und 1, wenn die Einheitsvektoren parallel sind.

Einheitsvektoren ermöglichen zwei bequeme Identitäten: Das Skalarprodukt zweier Einheitsvektoren ergibt den Kosinus (der positiv oder negativ sein kann) des Winkels zwischen den beiden Einheitsvektoren. Der Betrag des Kreuzprodukts der beiden Einheitsvektoren ergibt den Sinus (der immer positiv ist).

Algebraische Eigenschaften Bearbeiten

Wenn das Kreuzprodukt zweier Vektoren der Nullvektor ist (d.h. ein × B = 0 ), dann ist entweder einer der Eingänge oder beide der Nullvektor, ( ein = 0 oder B = 0 ) oder sie sind parallel oder antiparallel ( einB ), so dass der Sinus des Winkels zwischen ihnen Null ist ( θ = 0° oder θ = 180° und sin θ = 0 ).

Das Selbstkreuzprodukt eines Vektors ist der Nullvektor:

und kompatibel mit Skalarmultiplikation, so dass

Es ist nicht assoziativ, sondern erfüllt die Jacobi-Identität:

Distributivität, Linearität und Jacobi-Identität zeigen, dass die R 3 Vektorraum bildet zusammen mit der Vektoraddition und dem Kreuzprodukt eine Lie-Algebra, die Lie-Algebra der reellen orthogonalen Gruppe in 3 Dimensionen, SO(3). Das Kreuzprodukt gehorcht nicht dem Widerrufsrecht, d.h. ein × B = ein × C mit ein0 bedeutet nicht B = C , aber nur das:

Dies kann der Fall sein, wenn B und C abbrechen, aber zusätzlich wo ein und BC sind parallel, d. h. sie sind durch einen Skalierungsfaktor miteinander verbunden T, führt zu:

Wenn zusätzlich zu ein × B = ein × C und ein0 wie oben ist es so, dass einB = einC dann

Wie BC kann nicht gleichzeitig parallel sein (damit das Kreuzprodukt 0) und senkrecht (für das Skalarprodukt 0) zu ein, so muss es sein B und C Abbrechen: B = C .

Aus der geometrischen Definition ist das Kreuzprodukt invariant unter Eigenrotationen um die durch defined definierte Achse ein × B . In Formeln:

Allgemeiner gehorcht das Kreuzprodukt bei Matrixtransformationen der folgenden Identität:

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren liegt im Nullraum der 2 × 3-Matrix mit den Vektoren als Zeilen:

Für die Summe zweier Kreuzprodukte gilt folgende Identität:

Unterscheidung Bearbeiten

Die Produktregel der Differentialrechnung gilt für jede bilineare Operation und damit auch für das Kreuzprodukt:

wo ein und B sind Vektoren, die von der reellen Variablen abhängen T.

Dreifache Produkterweiterung Bearbeiten

Das Kreuzprodukt wird in beiden Formen des Tripelprodukts verwendet. Das Skalartripelprodukt von drei Vektoren ist definiert als

Es ist das vorzeichenbehaftete Volumen des Quaders mit Kanten ein, B und C und als solche können die Vektoren in jeder beliebigen Reihenfolge verwendet werden, die eine gerade Permutation der obigen Reihenfolge ist. Demnach sind gleich:

Das Vektortripelprodukt ist das Kreuzprodukt eines Vektors mit dem Ergebnis eines anderen Kreuzprodukts und steht in Beziehung zum Skalarprodukt durch die folgende Formel

Die Mnemonik "BAC minus CAB" wird verwendet, um sich die Reihenfolge der Vektoren im rechten Element zu merken. Diese Formel wird in der Physik verwendet, um Vektorberechnungen zu vereinfachen. Ein Sonderfall bezüglich Gradienten und nützlich in der Vektorrechnung ist

wobei ∇ 2 der Vektor-Laplace-Operator ist.

Andere Identitäten beziehen das Kreuzprodukt auf das Skalartripelprodukt:

wo ich ist die Identitätsmatrix.

Alternative Formulierung Bearbeiten

Das Kreuzprodukt und das Punktprodukt stehen in Beziehung zu:

Die rechte Seite ist die Gram-Determinante von ein und B, das Quadrat der durch die Vektoren definierten Fläche des Parallelogramms. Diese Bedingung bestimmt die Größe des Kreuzprodukts. Da nämlich das Skalarprodukt in Bezug auf den Winkel . definiert ist θ zwischen den beiden Vektoren, als:

die obige Beziehung kann wie folgt umgeschrieben werden:

das ist die Größe des Kreuzprodukts, ausgedrückt in θ, gleich der Fläche des Parallelogramms definiert durch ein und B (siehe Definition oben).

Die Kombination dieser Anforderung und der Eigenschaft, dass das Kreuzprodukt orthogonal zu seinen Bestandteilen ist ein und B bietet eine alternative Definition des Kreuzprodukts. [13]

Lagranges Identität Bearbeiten

kann mit einer anderen Relation verglichen werden, die die rechte Seite betrifft, nämlich Lagranges Identität, ausgedrückt als: [14]

wo ein und B vielleicht n-dimensionale Vektoren. Dies zeigt auch, dass die Riemannsche Volumenform für Flächen genau das Flächenelement aus der Vektorrechnung ist. In dem Fall, wo n = 3 , ergibt die Kombination dieser beiden Gleichungen den Ausdruck für den Betrag des Kreuzprodukts in Bezug auf seine Komponenten: [15]

Das gleiche Ergebnis wird direkt unter Verwendung der Komponenten des Kreuzprodukts gefunden aus:

In R 3 ist die Lagrange-Gleichung ein Spezialfall der Multiplikativität | vw | = | v || w | der Norm in der Quaternionalgebra.

Es ist ein Sonderfall einer anderen Formel, die manchmal auch als Lagrange-Identität bezeichnet wird, die der dreidimensionale Fall der Binet-Cauchy-Identität ist: [16] [17]

Ob ein = C und B = D dies vereinfacht die obige Formel.

Infinitesimal-Generatoren von Rotationen Bearbeiten

Das Kreuzprodukt beschreibt praktischerweise die infinitesimalen Generatoren von Rotationen in R 3 . Insbesondere, wenn n ist ein Einheitsvektor in R 3 und R(φ, n) bezeichnet eine Drehung um die Achse durch den durch . angegebenen Ursprung n, mit Winkel φ (gemessen im Bogenmaß, gegen den Uhrzeigersinn von der Spitze von aus gesehen n), dann

für jeden Vektor x In R 3 . Das Kreuzprodukt mit n beschreibt daher den infinitesimalen Generator der Drehungen um n. Diese infinitesimalen Generatoren bilden die Lie-Algebra so(3) der Rotationsgruppe SO(3), und wir erhalten das Ergebnis, dass die Lie-Algebra R 3 mit Kreuzprodukt isomorph zur Lie-Algebra so(3).

Umwandlung in Matrixmultiplikation Bearbeiten

Das Vektorkreuzprodukt kann auch als Produkt einer schiefsymmetrischen Matrix und eines Vektors ausgedrückt werden: [16]

wobei hochgestelltes T sich auf die Transponierungsoperation bezieht und [ein]× ist definiert durch:

Die Säulen [ein]×,i der schiefsymmetrischen Matrix für einen Vektor ein kann auch durch Berechnung des Kreuzprodukts mit Einheitsvektoren erhalten werden, d.h.:

Auch wenn ein wird selbst als Kreuzprodukt ausgedrückt:

Daher ist die linke Seite gleich

Nun für die rechte Seite,

Auswertung der rechten Seite ergibt

Der Vergleich zeigt, dass die linke Seite der rechten Seite entspricht.

Dieses Ergebnis kann mit geometrischer Algebra auf höhere Dimensionen verallgemeinert werden. Insbesondere können Bivektoren in jeder Dimension mit schiefsymmetrischen Matrizen identifiziert werden, so dass das Produkt zwischen einer schiefsymmetrischen Matrix und einem Vektor dem Grad-1-Teil des Produkts aus einem Bivektor und einem Vektor entspricht. [18] In drei Dimensionen sind Bivektoren dual zu Vektoren, so dass das Produkt dem Kreuzprodukt entspricht, wobei der Bivektor anstelle seines Vektors dual ist. In höheren Dimensionen kann das Produkt noch berechnet werden, aber Bivektoren haben mehr Freiheitsgrade und sind nicht äquivalent zu Vektoren. [18]

Diese Notation ist auch oft viel einfacher zu handhaben, zum Beispiel in der epipolaren Geometrie.

Aus den allgemeinen Eigenschaften des Kreuzprodukts folgt sofort, dass

und aus der Tatsache, dass [ein]× ist schiefsymmetrisch, daraus folgt

Mit dieser Notation lässt sich die oben erwähnte dreifache Produktentwicklung (Bac-Cab-Regel) leicht nachweisen.

Wie oben erwähnt, ist die Lie-Algebra R 3 mit Kreuzprodukt isomorph zur Lie-Algebra also(3), deren Elemente mit den 3×3 schiefsymmetrischen Matrizen identifiziert werden können. Die Karte ein → [ein]× liefert einen Isomorphismus zwischen R 3 und also(3). Unter dieser Abbildung entspricht das Kreuzprodukt von 3-Vektoren dem Kommutator von 3x3 schiefsymmetrischen Matrizen.

Diese Matrizen teilen die folgenden Eigenschaften:

Weitere Eigenschaften orthogonaler Projektionsmatrizen finden Sie unter Projektion (lineare Algebra).

Indexnotation für Tensoren Bearbeiten

Das Kreuzprodukt kann alternativ über das Levi-Civita-Symbol definiert werden εijk und ein Punktprodukt η mi (= mi für eine Orthonormalbasis), die bei der Konvertierung der Vektornotation für Tensoranwendungen nützlich sind:

wobei wiederholte Indizes über die Werte 1 bis 3 summiert werden. Diese Darstellung ist eine andere Form der schiefsymmetrischen Darstellung des Kreuzprodukts:

In der klassischen Mechanik: Die Darstellung des Kreuzprodukts durch das Levi-Civita-Symbol kann dazu führen, dass mechanische Symmetrien offensichtlich werden, wenn physikalische Systeme isotrop sind. (Ein Beispiel: Betrachten Sie ein Teilchen in einem Hookeschen Gesetz-Potential im Dreiraum, das frei in drei Dimensionen schwingen kann klargestellt durch die oben genannte Levi-Civita-Vertretung). [ Zitat benötigt ]

Gedächtnisstütze Bearbeiten

Das Wort "xyzzy" kann verwendet werden, um sich an die Definition des Kreuzprodukts zu erinnern.

Die zweite und dritte Gleichung erhält man aus der ersten durch einfaches vertikales Drehen der Indizes, xjazx . Das Problem besteht natürlich darin, sich die erste Gleichung zu merken, und dafür stehen zwei Möglichkeiten zur Verfügung: Entweder man erinnert sich an die beiden relevanten Diagonalen des Sarrus-Schemas (diejenigen, die ich) oder um sich die xyzzy-Sequenz zu merken.

Da die erste Diagonale im Sarrus-Schema nur die Hauptdiagonale der oben erwähnten 3×3-Matrix ist, kann man sich die ersten drei Buchstaben des Wortes xyzzy sehr gut merken.

Cross-Visualisierung Bearbeiten

Ähnlich wie beim obigen mnemonischen Gerät kann ein "Kreuz" oder X zwischen den beiden Vektoren in der Gleichung visualisiert werden. Dies kann hilfreich sein, um sich die richtige Kreuzproduktformel zu merken.

Das Cross-Produkt hat Anwendungen in verschiedenen Kontexten: z.B. es wird in der computergestützten Geometrie, Physik und Ingenieurwesen verwendet. Es folgt eine nicht erschöpfende Liste von Beispielen.

Computergeometrie Bearbeiten

Das Kreuzprodukt erscheint bei der Berechnung des Abstands zweier Schräglinien (Linien nicht in derselben Ebene) voneinander im dreidimensionalen Raum.

Das Kreuzprodukt kann verwendet werden, um die Normale für ein Dreieck oder Polygon zu berechnen, eine Operation, die häufig in der Computergrafik durchgeführt wird. Zum Beispiel kann die Windung eines Polygons (im oder gegen den Uhrzeigersinn) um einen Punkt innerhalb des Polygons berechnet werden, indem man das Polygon trianguliert (wie ein Rad einspeichen) und die Winkel (zwischen den Speichen) mit dem Kreuzprodukt summiert, um den Vorzeichen jedes Winkels.

das ist die vorzeichenbehaftete Länge des Kreuzprodukts der beiden Vektoren.

Das Kreuzprodukt wird bei der Berechnung des Volumens eines Polyeders wie eines Tetraeders oder Parallelepipeds verwendet.

Drehimpuls und Drehmoment Bearbeiten

Der Drehimpuls L eines Teilchens um einen bestimmten Ursprung ist definiert als:

wo R ist der Ortsvektor des Teilchens relativ zum Ursprung, P ist der lineare Impuls des Teilchens.

Ebenso der Moment m einer Kraft FB angewendet an Punkt B um Punkt A herum ist gegeben als:

In der Mechanik Moment einer Kraft wird auch genannt Drehmoment und geschrieben als τ >

Seit Position R , linear Momentum P und Kraft F sind alle Stimmt Vektoren, sowohl der Drehimpuls L und das Moment einer Kraft m sind Pseudovektoren oder axiale Vektoren.

Starrer Körper Bearbeiten

Das Kreuzprodukt taucht häufig in der Beschreibung starrer Bewegungen auf. Zwei Punkte P und Q auf einem starren Körper kann bezogen werden durch:

Lorentzkraft Bearbeiten

Das Kreuzprodukt wird verwendet, um die Lorentzkraft zu beschreiben, die von einer bewegten elektrischen Ladung erfahren wird Qe :

Da Geschwindigkeit v , Gewalt F und elektrisches Feld E sind alle Stimmt Vektoren, das Magnetfeld B ist ein Pseudovektor.

Andere Bearbeiten

In der Vektorrechnung wird das Kreuzprodukt verwendet, um die Formel für den Vektoroperator curl zu definieren.

Der Trick, ein Kreuzprodukt in Form einer Matrixmultiplikation umzuschreiben, tritt häufig in der Epipolar- und Multi-View-Geometrie auf, insbesondere wenn Matching-Constraints abgeleitet werden.

Das Kreuzprodukt kann in Bezug auf das äußere Produkt definiert werden. Es kann auf ein externes Produkt in anderen als drei Dimensionen verallgemeinert werden. [19] Diese Ansicht [ welche? ] ermöglicht eine natürliche geometrische Interpretation des Kreuzprodukts. In der äußeren Algebra ist das äußere Produkt zweier Vektoren ein Bivektor. Ein Bivektor ist ein orientiertes Flächenelement, ähnlich wie ein Vektor ein orientiertes Linienelement ist. Gegeben zwei Vektoren ein und B, man kann den Bivektor sehen einB als orientiertes Parallelogramm aufgespannt von ein und B. Das Kreuzprodukt erhält man dann, indem man den Hodge-Stern des Bivektors nimmt einB , Abbildung von 2-Vektoren auf Vektoren:

Dies kann man sich als das orientierte mehrdimensionale Element "senkrecht" zum Bivektor vorstellen. Nur in drei Dimensionen ist das Ergebnis ein orientiertes eindimensionales Element – ​​ein Vektor – während beispielsweise in vier Dimensionen das Hodge-Dual eines Bivektors zweidimensional ist – ein Bivektor. Nur in drei Dimensionen kann ein Vektorkreuzprodukt von ein und B definiert als der Vektor dual zum Bivektor einB : er steht senkrecht zum Bivektor, wobei die Orientierung von der Händigkeit des Koordinatensystems abhängt, und hat den gleichen Betrag relativ zum Einheitsnormalenvektor wie einB hat relativ zum Einheitsbivektor genau die oben beschriebenen Eigenschaften.

Konsistenz Bearbeiten

Wenn physikalische Gesetze als Gleichungen geschrieben werden, ist es möglich, das Koordinatensystem, einschließlich der Händigkeit, willkürlich zu wählen. Man sollte darauf achten, niemals eine Gleichung aufzuschreiben, bei der sich die beiden Seiten nicht bei allen zu berücksichtigenden Transformationen gleich verhalten. Wenn beispielsweise eine Seite der Gleichung ein Kreuzprodukt zweier polarer Vektoren ist, muss berücksichtigt werden, dass das Ergebnis ein axialer Vektor ist. Aus Konsistenzgründen muss die andere Seite daher ebenfalls ein axialer Vektor sein. [ Zitat benötigt ] Allgemeiner ausgedrückt kann das Ergebnis eines Kreuzprodukts entweder ein Polarvektor oder ein Axialvektor sein, abhängig von der Art seiner Operanden (Polarvektoren oder Axialvektoren). Polarvektoren und axiale Vektoren sind nämlich unter Anwendung des Kreuzprodukts auf folgende Weise miteinander verbunden:

  • Polarvektor × Polarvektor = Axialvektor
  • axialer Vektor × axialer Vektor = axialer Vektor
  • Polarvektor × Axialvektor = Polarvektor
  • Axialvektor × Polarvektor = Polarvektor
  • polar × polar = axial
  • axial × axial = axial
  • polar × axial = polar
  • axial × polar = polar

Da das Kreuzprodukt auch ein Polarvektor sein kann, darf es bei einer Spiegelbildtransformation die Richtung nicht ändern. Dies geschieht gemäß den obigen Beziehungen, wenn einer der Operanden ein polarer Vektor und der andere ein axialer Vektor ist (z. B. das Kreuzprodukt zweier polarer Vektoren). Zum Beispiel ist ein Vektortripelprodukt mit drei polaren Vektoren ein polarer Vektor.

Ein händigkeitsfreier Ansatz ist mit Hilfe der äußeren Algebra möglich.

Das Paradox der Orthonormalbasis Edit

Lassen (ich, J,k) eine Orthonormalbasis sein. Die Vektoren ich, J und k hängen nicht von der Ausrichtung des Raumes ab. Sie können sogar ohne Orientierung definiert werden. Sie können daher keine axialen Vektoren sein. Aber falls ich und J sind dann polare Vektoren k ist ein axialer Vektor für ich × J = k oder J × ich = k. Dies ist ein Paradox.

"Axial" und "Polar" sind körperlich Qualifikationen für körperlich Vektoren, d. h. Vektoren, die darstellen körperlich Größen wie die Geschwindigkeit oder das Magnetfeld. Die Vektoren ich, J und k sind mathematische Vektoren, weder axial noch polar. In der Mathematik ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren ein Vektor. Es gibt keinen Widerspruch.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, das Kreuzprodukt auf die höheren Dimensionen zu verallgemeinern.

Lügenalgebra Bearbeiten

Das Kreuzprodukt kann als eines der einfachsten Lie-Produkte angesehen werden und wird daher durch Lie-Algebren verallgemeinert, die als Binärprodukte axiomatisiert sind, die die Axiome der Multilinearität, der Skew-Symmetrie und der Jacobi-Identität erfüllen. Es gibt viele Lie-Algebren, und ihr Studium ist ein wichtiges Gebiet der Mathematik, das als Lie-Theorie bezeichnet wird.

Quaternionen Bearbeiten

Das Kreuzprodukt kann auch in Form von Quaternionen beschrieben werden. Im Allgemeinen gilt, wenn ein Vektor [ein1, ein2, ein3] wird als Quaternion dargestellt ein1ich + ein2J + ein3k , das Kreuzprodukt zweier Vektoren erhält man, indem man ihr Produkt als Quaternionen nimmt und den Realteil des Ergebnisses löscht. Der Realteil ist das Negative des Skalarprodukts der beiden Vektoren.

Oktonionen Bearbeiten

Ein Kreuzprodukt für 7-dimensionale Vektoren kann auf die gleiche Weise erhalten werden, indem die Oktonionen anstelle der Quaternionen verwendet werden. Die Nichtexistenz von nichttrivialen vektorwertigen Kreuzprodukten zweier Vektoren in anderen Dimensionen hängt mit dem Ergebnis des Satzes von Hurwitz zusammen, dass die einzigen normierten Divisionsalgebren die mit den Dimensionen 1, 2, 4 und 8 sind.

Außenprodukt Bearbeiten

In der allgemeinen Dimension gibt es kein direktes Analogon des binären Kreuzprodukts, das speziell einen Vektor ergibt. Es gibt jedoch das äußere Produkt, das ähnliche Eigenschaften hat, außer dass das äußere Produkt zweier Vektoren jetzt ein 2-Vektor anstelle eines gewöhnlichen Vektors ist. Wie oben erwähnt, kann das Kreuzprodukt als äußeres Produkt in drei Dimensionen interpretiert werden, indem der Hodge-Sternoperator verwendet wird, um 2-Vektoren auf Vektoren abzubilden. Das Hodge-Dual des äußeren Produkts liefert ein (n − 2) -Vektor, der eine natürliche Verallgemeinerung des Kreuzprodukts in beliebig vielen Dimensionen ist.

Das äußere Produkt und das Punktprodukt können (durch Summation) kombiniert werden, um das geometrische Produkt in der geometrischen Algebra zu bilden.

Externes Produkt Bearbeiten

Wie oben erwähnt, kann das Kreuzprodukt in drei Dimensionen als Hodge-Dual des Exterieurprodukts interpretiert werden. In jeder endlichen n Abmessungen, der Hodge Dual des Außenprodukts von n − 1 Vektoren ist ein Vektor. Anstelle einer binären Operation wird das Kreuzprodukt in beliebigen endlichen Dimensionen als Hodge-Dual des äußeren Produkts einer gegebenen verallgemeinert n − 1 Vektoren. Diese Verallgemeinerung heißt externes Produkt. [20]

Kommutatorprodukt Bearbeiten

Das Kommutatorprodukt könnte auf beliebige Multivektoren in drei Dimensionen verallgemeinert werden, was zu einem Multivektor führt, der nur aus Elementen der Grade 1 (1-Vektoren/echte Vektoren) und 2 (2-Vektoren/Pseudovektoren) besteht. Während das Kommutatorprodukt zweier 1-Vektoren tatsächlich das gleiche wie das äußere Produkt ist und einen 2-Vektor liefert, liefert der Kommutator eines 1-Vektors und eines 2-Vektors einen echten Vektor, der stattdessen der linken und rechten Kontraktion in entspricht geometrische Algebra. Dem Kommutatorprodukt zweier 2-Vektoren gibt es kein entsprechendes Äquivalenzprodukt, weshalb das Kommutatorprodukt zunächst für 2-Vektoren definiert ist. Darüber hinaus ist das Kommutatortripelprodukt von drei 2-Vektoren das gleiche wie das Vektortripelprodukt der gleichen drei Pseudovektoren in der Vektoralgebra. Das Kommutatortripelprodukt von drei 1-Vektoren in der geometrischen Algebra ist jedoch stattdessen das Negative des Vektortripelprodukts der gleichen drei wahren Vektoren in der Vektoralgebra.

Verallgemeinerungen auf höhere Dimensionen werden durch das gleiche Kommutatorprodukt von 2-Vektoren in höherdimensionalen geometrischen Algebren bereitgestellt, aber die 2-Vektoren sind keine Pseudovektoren mehr. So wie das Kommutatorprodukt/Kreuzprodukt von 2-Vektoren in drei Dimensionen der einfachsten Lie-Algebra entspricht, entsprechen auch die mit dem Kommutatorprodukt ausgestatteten 2-Vektor-Subalgebren der höherdimensionalen geometrischen Algebra den Lie-Algebren. [22] Ebenso wie in drei Dimensionen könnte das Kommutatorprodukt weiter auf beliebige Multivektoren verallgemeinert werden.

Multilineare Algebra Bearbeiten

Im Kontext der multilinearen Algebra kann das Kreuzprodukt als (1,2)-Tensor (ein gemischter Tensor, insbesondere eine bilineare Abbildung) betrachtet werden, der aus der dreidimensionalen Volumenform [Anmerkung 2] a (0,3 )-Tensor, indem ein Index erhöht wird.

Auf die gleiche Weise kann man in höheren Dimensionen verallgemeinerte Kreuzprodukte definieren, indem man die Indizes der n-dimensionale Volumenform, die ein ( 0 , n ) -Tensor ist. Die direktesten Verallgemeinerungen des Kreuzprodukts bestehen darin, entweder zu definieren:

  • a ( 1 , n − 1 ) -Tensor, der als Eingabe n − 1 Vektoren nimmt und als Ausgabe 1 Vektor liefert – an ( n − 1 ) -äres vektorwertiges Produkt, oder
  • a ( n − 2 , 2 ) -Tensor, der als Eingabe 2 Vektoren nimmt und als Ausgabe einen schiefsymmetrischen Tensor vom Rang . liefert n − 2 – ein binäres Produkt mit Rang n − 2 Tensorwerte. Man kann auch ( k , n − k ) -Tensoren für andere definieren define k.

Diese Produkte sind alle multilinear und skew-symmetrisch und können durch Determinante und Parität definiert werden.

Diese Formel ist im Aufbau identisch mit der Determinantenformel für das normale Kreuzprodukt in R 3, außer dass die Reihe der Basisvektoren die letzte Reihe in der Determinante ist und nicht die erste. Der Grund dafür ist sicherzustellen, dass die geordneten Vektoren (v1, . vn−1, n–1
i=0 vich) haben eine positive Orientierung in Bezug auf (e1, . en). Ob n ungerade ist, lässt diese Modifikation den Wert unverändert, sodass diese Konvention mit der normalen Definition des Binärprodukts übereinstimmt. Für den Fall, dass n ist sogar, die Unterscheidung muss jedoch beibehalten werden. Diese ( n − 1 ) -äre Form besitzt viele der gleichen Eigenschaften wie das Vektor-Kreuzprodukt: sie ist in ihren Argumenten alternierend und linear, sie steht senkrecht zu jedem Argument und ihre Größe ergibt das Hypervolumen der durch die Argumente begrenzten Region. Und genau wie das Vektorkreuzprodukt kann es koordinatenunabhängig als Hodge-Dual des Keilprodukts der Argumente definiert werden.

1773 führte Joseph-Louis Lagrange die Komponentenform sowohl des Punkt- als auch des Kreuzprodukts ein, um das Tetraeder in drei Dimensionen zu untersuchen. [23] 1843 führte William Rowan Hamilton das Quaternionprodukt ein und damit die Begriffe „Vektor“ und „Skalar“. Gegeben zwei Quaternionen [0, du] und [0, v] , wo du und v sind Vektoren in R 3 , ihr Quaternionenprodukt kann zusammengefasst werden als [−duv, du × v] . James Clerk Maxwell verwendete Hamiltons Quaternion-Werkzeuge, um seine berühmten Elektromagnetismus-Gleichungen zu entwickeln, und aus diesem und anderen Gründen waren Quaternionen eine Zeitlang ein wesentlicher Bestandteil des Physikunterrichts.

Im Jahr 1878 veröffentlichte William Kingdon Clifford seine Elemente der Dynamik, die für seine Zeit ein fortgeschrittener Text waren. Er definierte das Produkt zweier Vektoren [24] mit einer Größe gleich der Fläche des Parallelogramms, dessen zwei Seiten sie sind, und einer Richtung senkrecht zu ihrer Ebene.

Oliver Heaviside und Josiah Willard Gibbs waren auch der Meinung, dass Quaternion-Methoden zu umständlich waren, da sie oft die Extraktion des Skalar- oder Vektorteils eines Ergebnisses erforderten. So wurden etwa vierzig Jahre nach dem Quaternionprodukt das Punktprodukt und das Kreuzprodukt eingeführt – auf heftigen Widerstand. Ausschlaggebend für die (eventuelle) Akzeptanz war die Effizienz des neuen Ansatzes, der es Heaviside ermöglichte, die Gleichungen des Elektromagnetismus von Maxwells ursprünglichen 20 auf die vier heute üblichen Gleichungen zu reduzieren. [25]

Weitgehend unabhängig von dieser Entwicklung und damals weitgehend unbeachtet schuf Hermann Grassmann eine geometrische Algebra, die nicht an die Dimension zwei oder drei gebunden ist, wobei das äußere Produkt eine zentrale Rolle spielt. Augustin-Louis Cauchy, ein Zeitgenosse von Grassmann, veröffentlichte 1853 eine Arbeit über algebraische Schlüssel, die zur Lösung von Gleichungen verwendet wurden und die gleichen Multiplikationseigenschaften wie das Kreuzprodukt hatten. [26] [27] Clifford kombinierte die Algebren von Hamilton und Grassmann, um die Clifford-Algebra zu erzeugen, bei der bei dreidimensionalen Vektoren der aus zwei Vektoren erzeugte Bivektor zu einem Vektor dualisiert und so das Kreuzprodukt reproduziert wird.

Die Kreuznotation und der Name "Kreuzprodukt" begannen mit Gibbs. Ursprünglich erschienen sie 1881 in privat veröffentlichten Notizen für seine Schüler als Elemente der Vektoranalyse. Der Nutzen für Mechaniker wurde von Aleksandr Kotelnikov festgestellt. Gibbs' Notation und der Name "Cross-Product" erreichten später ein breites Publikum durch Vector Analysis, ein Lehrbuch von Edwin Bidwell Wilson, einem ehemaligen Studenten. Wilson arrangierte Material aus Gibbs' Vorlesungen zusammen mit Material aus Veröffentlichungen von Heaviside, Föpps und Hamilton. Er unterteilte die Vektoranalyse in drei Teile:

Erstens, was die Addition und die Skalar- und Vektorprodukte von Vektoren betrifft. Zweitens, was die Differential- und Integralrechnung in ihren Beziehungen zu Skalar- und Vektorfunktionen betrifft. Drittens, was die Theorie der linearen Vektorfunktion enthält.

Es wurden zwei Hauptarten von Vektormultiplikationen definiert, die wie folgt genannt wurden:

  • Das Direkte, Skalar, oder Punkt Produkt zweier Vektoren
  • Das verzerren, Vektor, oder kreuzen Produkt zweier Vektoren

Mehrere Arten von Tripelprodukten und Produkten von mehr als drei Vektoren wurden ebenfalls untersucht. Die oben erwähnte dreifache Produkterweiterung wurde ebenfalls berücksichtigt.


Das einfachste Beispiel für einen Vektorraum ist das triviale: <0>, das nur den Nullvektor enthält (siehe das dritte Axiom im Artikel Vektorraum). Sowohl die Vektoraddition als auch die Skalarmultiplikation sind trivial. Eine Basis für diesen Vektorraum ist die leere Menge, sodass <0> der 0-dimensionale Vektorraum über . ist F. Jeder Vektorraum über F enthält einen zu diesem isomorphen Unterraum.

Der Nullvektorraum unterscheidet sich konzeptionell vom Nullraum eines linearen Operators L, das ist der Kern von L. (Der Nullraum von L ist genau dann ein Nullraum, wenn L ist injektiv.)

Das nächste einfachste Beispiel ist das Feld F selbst. Vektoraddition ist nur Feldaddition und Skalarmultiplikation ist nur Feldmultiplikation. Diese Eigenschaft kann verwendet werden, um zu beweisen, dass ein Körper ein Vektorraum ist. Jedes Element ungleich Null von F dient als Grundlage so F ist ein 1-dimensionaler Vektorraum über sich selbst.

Der Körper ist ein ziemlich spezieller Vektorraum, tatsächlich ist es das einfachste Beispiel für a kommutative Algebra Über F. Ebenfalls, F hat nur zwei Unterräume: <0>und F selbst.

Das ursprüngliche Beispiel für einen Vektorraum ist das folgende. Für jede positive ganze Zahl n, die Menge aller n-Tupel von Elementen von F bildet ein n-dimensionaler Vektorraum über F manchmal genannt Koordinatenraum und bezeichnet F n . Ein Element von F n ist geschrieben

wo jeder xich ist ein Element von F. Die Operationen auf F n sind definiert durch

Häufig, F ist der Körper der reellen Zahlen, dann erhalten wir den reellen Koordinatenraum R n . Der Körper der komplexen Zahlen ergibt den komplexen Koordinatenraum C n . Das a + bi Form einer komplexen Zahl zeigt, dass C selbst ist ein zweidimensionaler reeller Vektorraum mit Koordinaten (ein,B). Ebenso sind die Quaternionen und die Oktonionen vier- bzw. achtdimensionale reelle Vektorräume, und C n ist ein 2n-dimensionaler realer Vektorraum.

Der Vektorraum F n hat eine Standardbasis:

wobei 1 die multiplikative Identität in . bezeichnet F.

Lassen F ∞ bezeichnet den Raum unendlicher Folgen von Elementen aus F so dass nur endlich viele Elemente sind ungleich null. Das heißt, wenn wir ein Element von schreiben F ∞ wie

dann nur eine endliche Anzahl von xich ungleich Null sind (d. h. die Koordinaten werden nach einem bestimmten Punkt alle Null). Addition und Skalarmultiplikation sind wie im endlichen Koordinatenraum gegeben. Die Dimensionalität von F ∞ ist abzählbar unendlich. Eine Standardbasis besteht aus den Vektoren eich die eine 1 im . enthalten ich-ten Slot und Nullen an anderer Stelle. Dieser Vektorraum ist das Koprodukt (oder direkte Summe) von abzählbar vielen Kopien des Vektorraums F.

Beachten Sie hier die Rolle der Endlichkeitsbedingung. Man könnte beliebige Folgen von Elementen in betrachten F, die ebenfalls einen Vektorraum mit den gleichen Operationen darstellen, oft mit bezeichnet F n - siehe unten. F n ist der Produkt von zählbar vielen Exemplaren von F.

Nach Zorns Lemma F n hat eine Basis (es gibt keine offensichtliche Basis). Es gibt unzählig unendlich viele Elemente in der Basis. Da die Abmessungen unterschiedlich sind, F n ist nicht isomorph zu F . Es ist erwähnenswert, dass F n ist (isomorph zu) dem Dualraum von F ∞ , weil eine lineare Abbildung T aus F ∞ zu F wird eindeutig durch seine Werte bestimmt T(eich) auf den Basiselementen von F ∞ , und diese Werte können beliebig sein. Man sieht also, dass ein Vektorraum nicht isomorph zu seinem Doppeldual sein muss, wenn er unendlichdimensional ist, im Gegensatz zum endlichdimensionalen Fall.

Ab n Vektorräume, oder eine abzählbar unendliche Sammlung von ihnen mit jeweils demselben Feld, können wir den Produktraum wie oben definieren.

Lassen F m×n bezeichne die Menge von m×n Matrizen mit Einträgen in F. Dann F m×n ist ein Vektorraum über F. Die Vektoraddition ist nur eine Matrixaddition und die Skalarmultiplikation wird auf offensichtliche Weise definiert (durch Multiplizieren jedes Eintrags mit demselben Skalar). Der Nullvektor ist nur die Nullmatrix. Die Dimension von F m×n ist mn. Eine mögliche Basisauswahl sind die Matrizen mit einem einzelnen Eintrag gleich 1 und allen anderen Einträgen 0.

Wann m = n die Matrix ist quadratisch und die Matrixmultiplikation zweier solcher Matrizen erzeugt eine dritte. Dieser Vektorraum der Dimension n 2 bildet eine Algebra über einem Feld.

Eine Variable Bearbeiten

Die Menge der Polynome mit Koeffizienten in F ist ein Vektorraum über F, bezeichnet F[x]. Vektoraddition und Skalarmultiplikation werden auf offensichtliche Weise definiert. Ist der Grad der Polynome unbeschränkt, dann ist die Dimension von F[x] ist abzählbar unendlich. Beschränkt man sich stattdessen auf Polynome mit Grad kleiner oder gleich n, dann haben wir einen Vektorraum mit Dimension n + 1.

Eine mögliche Grundlage für F[x] ist eine monomiale Basis: die Koordinaten eines Polynoms in Bezug auf diese Basis sind seine Koeffizienten, und die Abbildung, die ein Polynom an die Folge seiner Koeffizienten sendet, ist ein linearer Isomorphismus von F[x] zum unendlichen Koordinatenraum F ∞ .

Der Vektorraum von Polynomen mit reellen Koeffizienten und Grad kleiner oder gleich n wird oft bezeichnet mit Pn.

Mehrere Variablen Bearbeiten

Die Menge der Polynome in mehreren Variablen mit Koeffizienten in F ist der Vektorraum über F bezeichnet F[x1, x2, …, xR]. Hier R ist die Anzahl der Variablen.

Lassen x sei eine nicht-leere beliebige Menge und V ein beliebiger Vektorraum über F. Der Raum aller Funktionen von x zu V ist ein Vektorraum über F unter punktweiser Addition und Multiplikation. Das heißt, lass F : xV und g : xV bezeichne zwei Funktionen und sei α In F. Wir definieren

wobei die Operationen auf der rechten Seite die in . sind V. Der Nullvektor wird durch die konstante Funktion gegeben, die alles an den Nullvektor sendet in V. Der Raum aller Funktionen von x zu V wird allgemein bezeichnet V x .

Ob x ist endlich und V ist dann endlich-dimensional V x hat Dimension |x|(dim V), ansonsten ist der Raum unendlichdimensional (unzählig also, wenn x ist unendlich).

Viele der in der Mathematik vorkommenden Vektorräume sind Unterräume eines Funktionsraums. Wir geben noch einige weitere Beispiele.

Generalisierter Koordinatenraum Bearbeiten

Lassen x eine willkürliche Menge sein. Betrachten Sie den Raum aller Funktionen aus x zu F die an allen außer einer endlichen Anzahl von Punkten in verschwinden x. Dieser Raum ist ein Vektorunterraum von F x , der Raum aller möglichen Funktionen aus x zu F. Beachten Sie, dass die Vereinigung zweier endlicher Mengen endlich ist, sodass die Summe zweier Funktionen in diesem Raum immer noch außerhalb einer endlichen Menge verschwindet.

Der oben beschriebene Raum wird allgemein als (F x )0 und heißt verallgemeinerter Koordinatenraum aus folgendem Grund. Ob x ist die Menge der Zahlen zwischen 1 und n dann ist dieser Raum leicht äquivalent zum Koordinatenraum F n . Ebenso, wenn x ist die Menge der natürlichen Zahlen, n, dann ist dieser Raum einfach F ∞ .

Eine kanonische Grundlage für (F x )0 ist die Menge der Funktionen <>x | xx> definiert durch

Die Dimension von (F x )0 ist also gleich der Kardinalität von x. Auf diese Weise können wir einen Vektorraum beliebiger Dimension über jedem Körper konstruieren. Weiter, jeder Vektorraum ist isomorph zu einer dieser Form. Jede Wahl der Basis bestimmt einen Isomorphismus, indem sie die Basis auf die kanonische für (F x )0.

Der verallgemeinerte Koordinatenraum kann auch als direkte Summe von |x| Kopien von F (d.h. eine für jeden Punkt in x):

Die Endlichkeitsbedingung ist in die Definition der direkten Summe eingebaut. Vergleichen Sie dies mit dem direkten Produkt von |x| Kopien von F was den vollen Funktionsraum ergeben würde F x .

Lineare Karten Bearbeiten

Ein wichtiges Beispiel im Zusammenhang mit der linearen Algebra selbst ist der Vektorraum linearer Abbildungen. Lassen L(V,W) bezeichne die Menge aller linearen Abbildungen aus V zu W (beide sind Vektorräume über F). Dann L(V,W) ist ein Unterraum von W V da es unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Beachten Sie, dass L(F n ,F m ) kann mit dem Raum der Matrizen identifiziert werden F m×n auf natürliche Weise. Tatsächlich kann L(V,W) durch Wahl geeigneter Basen für endlichdimensionale Räume V und W auch identifiziert werden mit F m×n . Diese Identifizierung hängt normalerweise von der Wahl der Basis ab.

Kontinuierliche Funktionen Bearbeiten

Ob x ein topologischer Raum wie das Einheitsintervall [0,1] ist, können wir den Raum aller stetigen Funktionen aus x zu R. Dies ist ein Vektorunterraum von R x da die Summe zweier stetiger Funktionen stetig ist und die Skalarmultiplikation stetig ist.

Differentialgleichungen Bearbeiten

Die Teilmenge des Raumes aller Funktionen aus R zu R bestehend aus (hinreichend differenzierbaren) Funktionen, die eine bestimmte Differentialgleichung erfüllen, ist ein Unterraum von R R wenn die Gleichung linear ist. Dies liegt daran, dass die Differentiation eine lineare Operation ist, d. h. (ein F + B g)′ = ein F ′ + B g′, wobei ′ der Differenzierungsoperator ist.

Annehmen K ist ein Unterfeld von F (vgl. Felderweiterung). Dann F kann als Vektorraum über betrachtet werden K durch Beschränkung der Skalarmultiplikation auf Elemente in K (Vektoraddition ist als normal definiert). Die Dimension dieses Vektorraums, falls vorhanden, [a] heißt Grad der Verlängerung. Zum Beispiel die komplexen Zahlen C bilden einen zweidimensionalen Vektorraum über den reellen Zahlen R. Ebenso die reellen Zahlen R Bilde einen Vektorraum über den rationalen Zahlen Q die (unzählig) unendliche Dimension hat, wenn eine Hamel-Basis existiert. [B]

Ob V ist ein Vektorraum über F er kann auch als Vektorraum über betrachtet werden K. Die Abmessungen sind durch die Formel verbunden

trübeKV = (dimFV)(dimKF)

Beispielsweise C n , betrachtet als Vektorraum über den reellen Zahlen, hat die Dimension 2n.

Abgesehen vom trivialen Fall eines nulldimensionalen Raums über einem beliebigen Körper ist ein Vektorraum über einem Körper F hat genau dann eine endliche Anzahl von Elementen, wenn F ist ein endlicher Körper und der Vektorraum hat eine endliche Dimension. Somit haben wir FQ, der eindeutige endliche Körper (bis auf Isomorphie) mit Q Elemente. Hier Q muss eine Potenz einer Primzahl sein (Q = P m mit P Primzahl). Dann irgendwelche n-dimensionaler Vektorraum V Über FQ werde haben Q n Elemente. Beachten Sie, dass die Anzahl der Elemente in V ist auch die Potenz einer Primzahl (weil eine Potenz einer Primzahl wieder eine Primzahl ist). Das wichtigste Beispiel für einen solchen Raum ist der Koordinatenraum (FQ) n .

Diese Vektorräume sind von entscheidender Bedeutung in der Darstellungstheorie endlicher Gruppen, der Zahlentheorie und der Kryptographie.


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Da $Y$ ein $6$ dimensionaler linearer Raum über $mathbb F$ ist, genügt es zu beweisen, dass $$ ist linear unabhängig. Angenommen, $a_u,a_v,b_u,b_v,c_u,c_v in mathbb F$ seien so, dass

$a_u u +a_v v + b_u T(u)+ b_v T(v) +c_u T^2(u) + c_v T^2(v)=0.$

Wendet man $T^2$ auf beide Seiten dieser Gleichheit an, erhält man gemäß der Hypothese $a_u=a_v=0$. Wenden Sie dann $T$ auf die verbleibenden Terme an, $b_u=b_v=0$ . Und erneut $T$ anwenden, $c_u=c_v=0$ .


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