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7.6: Die Methode von Frobenius II


In diesem Abschnitt diskutieren wir eine Methode zum Finden zweier linear unabhängiger Frobenius-Lösungen einer homogenen linearen Gleichung zweiter Ordnung in der Nähe eines regulären singulären Punktes für den Fall, dass die indizierte Gleichung eine wiederholte reelle Wurzel hat. Wie im vorherigen Abschnitt betrachten wir Gleichungen, die geschrieben werden können als

[label{eq:7.6.1} x^2(alpha_0+alpha_1x+alpha_2x^2)y''+x(eta_0+eta_1x+eta_2x^2)y' +(gamma_0+gamma_1x+gamma_2x^ 2)y=0]

wobei (alpha_0 e0). Wir nehmen an, dass die Indiziengleichung (p_0(r)=0) eine wiederholte reelle Wurzel (r_1) hat. In diesem Fall impliziert Satz 7.5.3, dass Gleichung ef{eq:7.6.1} eine Lösung der Form

liefert aber keine zweite Lösung (y_2), so dass ({y_1,y_2}) eine fundamentale Menge von Lösungen ist. Die folgende Erweiterung von Satz 7.5.2 bietet eine Möglichkeit, eine zweite Lösung zu finden.

Satz (PageIndex{1})

Lassen

[label{eq:7.6.2} Ly= x^2(alpha_0+alpha_1x+alpha_2x^2)y''+x(eta_0+eta_1x+eta_2x^2)y' +(gamma_0+gamma_1x+ gamma_2x^2)y,]

wobei (alpha_0 e0) und definiere

[egin{align*} p_0(r)&= alpha_0r(r-1)+eta_0r+gamma_0,[4pt] p_1(r)&=alpha_1r(r-1)+eta_1r+gamma_1 ,[4pt] p_2(r)&=alpha_2r(r-1)+eta_2r+gamma_2. end{align*} onumber ]

Angenommen (r) ist eine reelle Zahl, so dass (p_0(n+r)) für alle positiven ganzen Zahlen (n) von Null verschieden ist, und definieren Sie

[egin{align*} a_0(r) &= 1, a_1(r) &= -{p_1(r)over p_0(r+1)},[10pt] a_n(r) & = -{p_1(n+r-1)a_{n-1}(r)+p_2(n+r-2)a_{n-2}(r)over p_0(n+r)},quad nge2. end{align*} onumber ]

Dann die Frobenius-Reihe

[label{eq:7.6.3} y(x,r)=x^rsum_{n=0}^infty a_n(r)x^n]

erfüllt

[label{eq:7.6.4} Ly(x,r)=p_0(r)x^r.]

Darüber hinaus(,)

[label{eq:7.6.5} {partial yoverpartial r}(x,r)=y(x,r)ln x+x^rsum_{n=1}^infty a_n'(r) x^n,]

und

[label{eq:7.6.6} Lleft({partial yover partial r}(x,r) ight)=p'_0(r)x^r+x^rp_0(r) ln x.]

Nachweisen

Satz 7.5.2 impliziert Gleichung ef{eq:7.6.4}. Formales Ableiten nach (r) in Gleichung ef{eq:7.6.3} ergibt

[egin{ausgerichtet} {partial yoverpartial r}(x,r)&={{partialoverpartial r}(x^r)sum_{n=0}^infty a_n (r)x^n +x^rsum_{n=1}^infty a_n'(r)x^n}[10pt] &={x^rln xsum_{n=0} ^infty a_n(r)x^n +x^rsum_{n=1}^infty a_n'(r)x^n}[10pt] &=y(x,r) ln x + x^rsum_{n=1}^infty a_n'(r)x^n,end{ausgerichtet} onumber]

was Gleichung ef{eq:7.6.5} beweist.

Um zu beweisen, dass (partial y(x,r)/partial r) Gleichung ef{eq:7.6.6} erfüllt, betrachten wir (y) in Gleichung ef{eq:7.6.2} als eine Funktion (y=y(x,r)) zweier Variablen, wobei die Primzahl eine partielle Differenzierung nach (x) anzeigt; daher,

[y'=y'(x,r)={partial yoverpartial x}(x,r)quad ext{und} quad y''=y''(x,r)= {partial^2 yoverpartial x^2}(x,r). onumber]

Mit dieser Notation können wir Gleichung ef{eq:7.6.2} verwenden, um Gleichung ef{eq:7.6.4} umzuschreiben als

[label{eq:7.6.7} x^2q_0(x){partial^2 yover partial x^2}(x,r)+xq_1(x){partial yover partial x }(x,r)+q_2(x)y(x,r)=p_0(r)x^r,]

wo

[egin{ausgerichtet} q_0(x) &= alpha_0+alpha_1x+alpha_2x^2,[4pt] q_1(x) &= eta_0+eta_1x+eta_2x^2,[4pt] q_2(x ) &= gamma_0+gamma_1x+gamma_2x^2.[4pt]end{ausgerichtet}]

Differenzieren beider Seiten von Gleichung ef{eq:7.6.7} nach (r) ergibt yield

[x^2q_0(x){partial^3yüber partial rpartial x^2}(x,r)+ xq_1(x){partial^2yüber partial rpartial x}(x ,r)+q_2(x){partial yoverpartial r}(x,r)=p'_0(r)x^r+p_0(r) x^r ln x. keine Nummer]

Indem wir die Differenzierungsreihenfolge in den ersten beiden Termen links ändern, können wir dies umschreiben als

[x^2q_0(x){partial^3 yover partial x^2partial r}(x,r) +xq_1(x){partial^2 yover partial xpartial r} (x,r)+q_2(x){partial yoverpartial r}(x,r)=p'_0(r)x^r+p_0(r) x^r ln x, onumber ]

oder

[x^2q_0(x){partial^2over partial x^2} left({partial yoverpartial r}(x,r) ight) +xq_1(x){partial overpartial r}left({partial yoverpartial x}(x,r) ight) +q_2(x){partial yoverpartial r}(x,r)= p' _0(r)x^r+p_0(r) x^r ln x, onumber]

was äquivalent zu Gleichung ef{eq:7.6.6} ist.

Satz (PageIndex{2})

Sei (L) wie in Satz (PageIndex{1}) und nehme an, dass die Indexgleichung (p_0(r)=0) eine wiederholte reelle Wurzel (r_1.) hat Dann

[y_1(x)=y(x,r_1)=x^{r_1}sum_{n=0}^infty a_n(r_1)x^n onumber]

und

[label{eq:7.6.8} y_2(x)={partial yoverpartial r}(x,r_1)=y_1(x)ln x+x^{r_1}sum_{n= 1}^infty a_n'(r_1)x^n]

bilden eine Fundamentalmenge von Lösungen von (Ly=0.)

Nachweisen

Da (r_1) eine wiederholte Wurzel von (p_0(r)=0) ist, kann das Indizialpolynom faktorisiert werden als

[p_0(r)=alpha_0(r-r_1)^2,keineZahl]

so

[p_0(n+r_1)=alpha_0n^2,keineZahl]

was ungleich Null ist, wenn (n>0). Daher gelten die Annahmen von Satz (PageIndex{1}) mit (r=r_1), und Gleichung ef{eq:7.6.4} impliziert, dass (Ly_1=p_0(r_1)x^{r_1} =0). Seit

[p_0'(r)=2alpha(r-r_1) onumber]

daraus folgt (p_0'(r_1)=0), also impliziert Gleichung ef{eq:7.6.6}, dass

[Ly_2=p_0'(r_1)x^{r_1}+x^{r_1}p_0(r_1)ln x=0. onumber]

Dies beweist, dass (y_1) und (y_2) beide Lösungen von (Ly=0) sind. Den Beweis, dass ({y_1,y_2}) eine Fundamentalmenge ist, überlassen wir als an Übung 7.6.53.

Beispiel (PageIndex{1})

Finden Sie eine grundlegende Menge von Lösungen von

[label{eq:7.6.9} x^2(1-2x+x^2)y''-x(3+x)y'+(4+x)y=0.]

Berechnen Sie nur die Terme mit (x^{n+r_1}), wobei (0le nle4) und (r_1) die Wurzel der Indiziengleichung ist.

Lösung

Für die gegebene Gleichung sind die in Satz (PageIndex{1}) definierten Polynome

[egin{align*} p_0(r) &= r(r-1)-3r+4 [4pt] &= (r-2)^2,[4pt] p_1(r) &= -2r(r-1)-r+1 [4pt] &= -(r-1)(2r+1),[4pt] p_2(r) &= r(r-1). end{align*} onumber ]

Da (r_1=2) eine wiederholte Wurzel des Indizes-Polynoms (p_0) ist, folgt aus Satz (PageIndex{2})

[label{eq:7.6.10} y_1=x^2sum_{n=0}^infty a_n(2)x^nquadmbox{ und }quad y_2=y_1ln x+x ^2sum_{n=1}^infty a_n'(2)x^n]

bilden eine fundamentale Menge von Frobenius-Lösungen der Gleichung ef{eq:7.6.9}. Um die Koeffizienten in diesen Reihen zu finden, verwenden wir die Rekursionsformeln aus Satz (PageIndex{1}) :

[label{eq:7.6.11} egin{array}{lll} a_0(r) &= 1, a_1(r) &= -{p_1(r)over p_0(r+1)} =-{(r-1)(2r+1)over(r-1)^2} ={2r+1over r-1}, a_n(r) &= -{p_1(n+r -1)a_{n-1}(r)+p_2(n+r-2)a_{n-2}(r)über p_0(n+r)} &= {(n+r-2 )left[(2n+2r-1)a_{n-1}(r) -(n+r-3)a_{n-2}(r) ight]over(n+r-2)^ 2} &= {{(2n+2r-1)over(n+r-2)}a_{n-1}(r)- {(n+r-3)over(n+r- 2)}a_{n-2}(r)},nge2. end{array}]

Differenzierung von Erträgen

[label{eq:7.6.12} egin{array}{lll} a'_1(r) &= -{3over (r-1)^2}, a'_n(r) & = {{2n+2r-1über n+r-2}a'_{n-1}(r)-{n+r-3über n+r-2}a'_{n-2} (r)} &{-{3over(n+r-2)^2}a_{n-1}(r)-{1over(n+r-2)^2}a_{n -2}(r)},quad nge2. end{array}]

Setzen von (r=2) in Gleichung ef{eq:7.6.11} und Gleichung ef{eq:7.6.12} ergibt yield

[label{eq:7.6.13} egin{array}{lll} a_0(2) &= 1, a_1(2) &= 5,[10pt] a_n(2) &= {{ (2n+3)über n} a_{n-1}(2)-{(n-1)über n}a_{n-2}(2)},quad nge2 end{array} ]

und

[label{eq:7.6.14} egin{array}{lll} a_1'(2) &= -3,[10pt] a'_n(2) &= {{2n+3over n }a'_{n-1}(2)-{n-1über n}a'_{n-2}(2) -{3über n^2}a_{n-1}(2) -{1over n^2}a_{n-2}(2)},quad nge2. end{array}]

Rekursives Rechnen mit Gleichung ef{eq:7.6.13} und Gleichung ef{eq:7.6.14} ergibt

[a_0(2)=1,,a_1(2)=5,,a_2(2)=17,,a_3(2)={143over3},,a_4(2)={355 over3}, onumber]

und

[a_1'(2)=-3,,a_2'(2)=-{29over2},,a_3'(2)=-{859over18}, ,a_4'(2)=- {4693over36}. onumber]

Einsetzen dieser Koeffizienten in Gleichung ef{eq:7.6.10} ergibt

[y_1=x^2left(1+5x+17x^2+{143over3}x^3 +{355over3}x^4+cdots ight) onumber]

und

[y_2=y_1 ln x -x^3left(3+{29over2}x+{859over18}x^2+{4693over36}x^3 +cdots ight). keine Nummer ]

Da die Rekursionsformel Gleichung ef{eq:7.6.11} drei Terme beinhaltet, ist es nicht möglich, eine einfache explizite Formel für die Koeffizienten in den Frobenius-Lösungen von Gleichung ef{eq:7.6.9} zu erhalten. Wie wir jedoch in den vorherigen Abschnitten gesehen haben, umfasst die Rekursionsformel für ({a_n(r)}) nur zwei Terme, wenn entweder (alpha_1=eta_1=gamma_1=0) oder ( alpha_2=eta_2=gamma_2=0) in Gleichung ef{eq:7.6.1}. In diesem Fall ist es oft möglich, explizite Formeln für die Koeffizienten zu finden. Die nächsten beiden Beispiele verdeutlichen dies.

Beispiel (PageIndex{2})

Finden Sie einen grundlegenden Satz von Frobenius-Lösungen von

[label{eq:7.6.15} 2x^2(2+x)y''+5x^2y'+(1+x)y=0.]

Geben Sie explizite Formeln für die Koeffizienten in den Lösungen an.

Lösung

Für die gegebene Gleichung sind die in Satz (PageIndex{1}) definierten Polynome

[egin{array}{ccccc} p_0(r) &= 4r(r-1)+1 &= (2r-1)^2,[4pt] p_1(r) &= 2r(r-1 )+5r+1 &= (r+1)(2r+1),[4pt] p_2(r) &= 0. end{array} onumber ]

Da (r_1=1/2) eine wiederholte Nullstelle des Indizialpolynoms (p_0) ist, folgt aus Satz (PageIndex{2})

[label{eq:7.6.16} y_1=x^{1/2}sum_{n=0}^infty a_n(1/2)x^n]

und

[label{eq:7.6.17} y_2=y_1ln x+x^{1/2}sum_{n=1}^infty a_n'(1/2)x^n]

bilden eine fundamentale Menge von Frobenius-Lösungen der Gleichung ef{eq:7.6.15}. Wegen (p_2equiv0) reduzieren sich die Rekursionsformeln im Satz (PageIndex{1}) auf

[egin{align*} a_0(r) &= 1, a_n(r) &= -{p_1(n+r-1)over p_0(n+r)}a_{n-1}( r),[10pt] &= -{(n+r)(2n+2r-1)over(2n+2r-1)^2}a_{n-1}(r),[10pt ] &= -{n+rover2n+2r-1}a_{n-1}(r),quad nge0. end{align*} onumber ]

Wir überlassen es Ihnen, das zu zeigen

[label{eq:7.6.18} a_n(r)=(-1)^nprod_{j=1}^n{j+rover2j+2r-1},quad nge0. ]

Setzen von (r=1/2) ergibt

[label{eq:7.6.19} egin{array}{ccl} a_n(1/2) &= (-1)^nprod_{j=1}^n{j+1/2over2j }= (-1)^nprod_{j=1}^n{2j+1over4j},[10pt] &= {(-1)^nprod_{j=1}^n(2j +1)over4^nn!},quad nge0. end{array}]

Setzt man dies in Gleichung ef{eq:7.6.16} ein, erhält man

[y_1=x^{1/2}sum_{n=0}^infty{(-1)^nprod_{j=1}^n(2j+1)over4^nn!}x^ n.keineZahl]

Um (y_2) in Gleichung ef{eq:7.6.17} zu erhalten, müssen wir (a_n'(1/2)) für (n=1), (2),… berechnen. Wir tun dies durch logarithmische Differenzierung. Aus Gleichung ef{eq:7.6.18},

[|a_n(r)|=prod_{j=1}^n{|j+r|over|2j+2r-1|},quad nge1. onumber]

Deswegen

[ln |a_n(r)|=sum^n_{j=1} left(ln |j+r|-ln|2j+2r-1| ight). keine Nummer]

Differenzieren nach (r) ergibt

[{a'_n(r)over a_n(r)}=sum^n_{j=1} left({1over j+r}-{2over2j+2r-1} ight) . keine Nummer]

Deswegen

[a'_n(r)=a_n(r) sum^n_{j=1} left({1over j+r}-{2over2j+2r-1} ight). keine Nummer]

Setzt man (r=1/2) hier und erinnert sich an Gleichung ef{eq:7.6.19}, erhält man

[label{eq:7.6.20} a'_n(1/2)={(-1)^nprod_{j=1}^n(2j+1)over4^nn!}left( sum_{j=1}^n{1über j+1/2}-sum_{j=1}^n{1über j} echts).]

Seit

[{1über j+1/2}-{1über j}={jj-1/2über j(j+1/2)}=-{1über j(2j+1)} , keine Nummer]

Gleichung ef{eq:7.6.20} kann umgeschrieben werden als

[a'_n(1/2)=-{(-1)^nprod_{j=1}^n(2j+1)over4^nn!} sum_{j=1}^n{1 overj(2j+1)}. keine Nummer]

Daher gilt aus Gleichung ef{eq:7.6.17},

[y_2=y_1ln xx^{1/2}sum_{n=1}^infty{(-1)^nprod_{j=1}^n(2j+1)over4^nn! } left(sum_{j=1}^n{1over j(2j+1)} ight)x^n. keine Nummer]

Beispiel (PageIndex{3})

Finden Sie einen grundlegenden Satz von Frobenius-Lösungen von

[label{eq:7.6.21} x^2(2-x^2)y''-2x(1+2x^2)y'+(2-2x^2)y=0.]

Geben Sie explizite Formeln für die Koeffizienten in den Lösungen an.

Lösung

Für Gleichung ef{eq:7.6.21} sind die in Satz (PageIndex{1}) definierten Polynome

[egin{align*} p_0(r) &= 2r(r-1)-2r+2 &= 2(r-1)^2,[4pt] p_1(r) &= 0, [4pt] p_2(r) &= -r(r-1)-4r-2 &= -(r+1)(r+2). end{align*} onumber ]

Wie in Abschnitt 7.5 implizieren die Rekursionsformeln des Satzes (PageIndex{1}) wegen (p_1equiv0) (a_n(r)=0), falls (n) ungerade ist, und

[egin{align*} a_0(r) &= 1, a_{2m}(r) &= -{p_2(2m+r-2)over p_0(2m+r)}a_{2m- 2}(r)[10pt] &= {(2m+r-1)(2m+r)over2(2m+r-1)^2}a_{2m-2}(r)[10pt ] &= {2m+rover2(2m+r-1)}a_{2m-2}(r),quad mge1. end{align*} onumber ]

Da (r_1=1) eine wiederholte Wurzel des Indizes-Polynoms (p_0) ist, folgt aus Satz (PageIndex{2})

[label{eq:7.6.22} y_1=xsum_{m=0}^infty a_{2m}(1)x^{2m}]

und

[label{eq:7.6.23} y_2=y_1ln x+xsum_{m=1}^infty a'_{2m}(1)x^{2m}]

bilden eine fundamentale Menge von Frobenius-Lösungen der Gleichung ef{eq:7.6.21}. Wir überlassen es Ihnen, das zu zeigen

[label{eq:7.6.24} a_{2m}(r)={1over2^m}prod_{j=1}^m{2j+rover2j+r-1}.]

Setzen von (r=1) ergibt

[label{eq:7.6.25} a_{2m}(1)={1over2^m}prod_{j=1}^m{2j+1over2j} ={prod_{j=1 }^m(2j+1)over4^mm!},]

und Einsetzen in Gleichung ef{eq:7.6.22} ergibt yield

[y_1=xsum_{m=0}^infty{prod_{j=1}^m(2j+1)over4^mm!}x^{2m}. keine Nummer]

Um (y_2) in Gleichung ef{eq:7.6.23} zu erhalten, müssen wir (a_{2m}'(1)) für (m=1), (2), … berechnen. . Wieder verwenden wir logarithmische Differentiation. Aus Gleichung ef{eq:7.6.24},

[|a_{2m}(r)|={1over2^m}prod_{j=1}^m{|2j+r|over|2j+r-1|}. onumber]

Logarithmieren ergibt

[ln |a_{2m}(r)|=-mln2+ sum^m_{j=1} left(ln |2j+r|-ln|2j+r-1| ight) .keine Nummer]

Differenzieren nach (r) ergibt

[{a'_{2m}(r)over a_{2m}(r)}=sum^m_{j=1} left({1over 2j+r}-{1over2j+r -1} ight). onumber]

Deswegen

[a'_{2m}(r)=a_{2m}(r) sum^m_{j=1} left({1über 2j+r}-{1über2j+r-1} rechts). onumber]

Setzen von (r=1) und Aufrufen von Gleichung ef{eq:7.6.25} ergibt

[label{eq:7.6.26} a'_{2m}(1)={{prod_{j=1}^m(2j+1)over4^mm!} sum_{j=1} ^mleft({1over2j+1}-{1over2j} ight)}.]

Seit

[{1over2j+1}-{1over2j}=-{1over2j(2j+1)}, onumber]

Gleichung ef{eq:7.6.26} kann umgeschrieben werden als

[a_{2m}'(1)=-frac{prod_{j=1}^{m}(2j+1)}{2cdot 4^{m}m!}sum_{j=1 }^{m}frac{1}{j(2j+1)} onumber]

Setzt man dies in Gleichung ef{eq:7.6.23} ein, erhält man

[y_2=y_1ln x-{xover2}sum_{m=1}^infty{prod_{j=1}^m(2j+1)over4^mm!} left(sum_ {j=1}^m{1over j(2j+1)} ight)x^{2m}. onumber]

Wenn die Lösung (y_1=y(x,r_1)) von (Ly=0) auf eine endliche Summe reduziert wird, dann ist es schwierig, logarithmische Differentiation zu verwenden, um die Koeffizienten ({a_n'(r_1) }) in der zweiten Lösung. Das nächste Beispiel veranschaulicht diese Schwierigkeit und zeigt, wie man sie überwindet.

Beispiel (PageIndex{4})

Finden Sie einen grundlegenden Satz von Frobenius-Lösungen von

[label{eq:7.6.27} x^2y''-x(5-x)y'+(9-4x)y=0.]

Geben Sie explizite Formeln für die Koeffizienten in den Lösungen an.

Lösung

Für Gleichung ef{eq:7.6.27} sind die in Satz (PageIndex{1}) definierten Polynome

[egin{align*} p_0(r) &= r(r-1)-5r+9 &= (r-3)^2,[4pt] p_1(r) &= r-4, [4pt] p_2(r) &= 0. end{align*} onumber ]

Da (r_1=3) eine wiederholte Nullstelle des Indizespolynoms (p_0) ist, folgt aus Satz (PageIndex{2})

[label{eq:7.6.28} y_1=x^3sum_{n=0}^infty a_n(3)x^n]

und

[label{eq:7.6.29} y_2=y_1ln x+x^3sum_{n=1}^infty a_n'(3)x^n]

sind linear unabhängige Frobenius-Lösungen der Gleichung ef{eq:7.6.27}.Um die Koeffizienten in Gleichung ef{eq:7.6.28} zu finden, verwenden wir die Rekursionsformeln

[egin{align*} a_0(r) &= 1, a_n(r) &= -{p_1(n+r-1)over p_0(n+r)}a_{n-1}( r)[10pt] &= -{n+r-5over(n+r-3)^2}a_{n-1}(r),quad nge1. end{align*} onumber ]

Wir überlassen es Ihnen, das zu zeigen

[label{eq:7.6.30} a_n(r)=(-1)^nprod_{j=1}^n{j+r-5over(j+r-3)^2}. ]

Setzen von (r=3) hier ergibt

[a_n(3)=(-1)^nprod_{j=1}^n{j-2über j^2}, onumber]

also (a_1(3)=1) und (a_n(3)=0) falls (nge2). Einsetzen dieser Koeffizienten in Gleichung ef{eq:7.6.28} ergibt

[y_1=x^3(1+x). onumber ]

Um (y_2) in Gleichung ef{eq:7.6.29} zu erhalten, müssen wir (a_n'(3)) für (n=1), (2), … berechnen. Versuchen wir zunächst die logarithmische Differenzierung. Aus Gleichung ef{eq:7.6.30},

[|a_n(r)|=prod_{j=1}^n{|j+r-5|over|j+r-3|^2},quad nge1, onumber]

so

[ln |a_n(r)|=sum^n_{j=1} left(ln |j+r-5|-2ln|j+r-3| ight). onumber ]

Differenzieren nach (r) ergibt

[{a'_n(r)over a_n(r)}=sum^n_{j=1} left({1over j+r-5}-{2over j+r-3} ight). onumber]

Deswegen

[label{eq:7.6.31} a'_n(r)=a_n(r) sum^n_{j=1} left({1über j+r-5}-{2über j +r-3} echts).]

Allerdings können wir hier nicht einfach (r=3) setzen, wenn (nge2), da der Klammerausdruck in der Summe, die (j=2) entspricht, den Term (1/(r -3)). Da (a_n(3)=0) für (nge2) ist, ist die Formel Gleichung ef{eq:7.6.31} für (a_n'(r)) tatsächlich eine unbestimmte Form bei (r=3).

Diese Schwierigkeit überwinden wir wie folgt. Aus Gleichung ef{eq:7.6.30} mit (n=1),

[a_1(r)=-{r-4over (r-2)^2}. onumber]

Deswegen

[a_1'(r)={r-6over(r-2)^3}, onumber]

so

[label{eq:7.6.32} a_1'(3)=-3.]

Aus Gleichung ef{eq:7.6.30} mit (nge2)

[a_n(r)=(-1)^n (r-4)(r-3),{prod_{j=3}^n(j+r-5)overprod_{j=1 }^n(j+r-3)^2} =(r-3)c_n(r),keineZahl]

wo

[c_n(r)=(-1)^n(r-4), {prod_{j=3}^n(j+r-5)overprod_{j=1}^n(j +r-3)^2},quad nge2. onumber]

Deswegen

[a_n'(r)=c_n(r)+(r-3)c_n'(r),quad nge2, onumber]

was impliziert, dass (a_n'(3)=c_n(3)) falls (nge3) gilt. Wir überlassen es Ihnen, dies zu überprüfen

[a_n'(3)=c_n(3)={(-1)^{n+1}over n(n-1)n!},quad nge2. onumber]

Einsetzen dieser und Gleichung ef{eq:7.6.32} in Gleichung ef{eq:7.6.29} ergibt

[y_2=x^3(1+x)ln x-3x^4-x^3{sum_{n=2}^infty {(-1)^nover n(n-1)n !}x^n}. onumber]


40 CFR § 112.7 - Allgemeine Anforderungen an Pläne zur Verhütung, Kontrolle und Bekämpfung von Verschüttungen.

Wenn Sie Eigentümer oder Betreiber einer Anlage sind, die diesem Teil unterliegt, müssen Sie einen Plan in Übereinstimmung mit den guten technischen Praktiken erstellen. Der Plan muss die volle Zustimmung des Managements auf einer befugten Ebene haben, um die erforderlichen Ressourcen bereitzustellen, um den Plan vollständig umzusetzen. Sie müssen den Plan schriftlich erstellen. Wenn Sie die in diesem Abschnitt für den Plan angegebene Reihenfolge nicht einhalten, müssen Sie einen gleichwertigen Plan erstellen, der vom Regionaladministrator akzeptiert wird und alle in diesem Teil aufgeführten anwendbaren Anforderungen erfüllt, und Sie müssen ihn durch einen Abschnitt mit Querverweisen auf die Ort der in diesem Teil aufgeführten Anforderungen und die entsprechenden Anforderungen im anderen Präventionsplan. Wenn der Plan zusätzliche Einrichtungen oder Verfahren, Methoden oder Ausrüstungen erfordert, die noch nicht voll funktionsfähig sind, müssen Sie diese Punkte in separaten Absätzen besprechen und die Einzelheiten der Installation und Inbetriebnahme separat erläutern. Wie an anderer Stelle in diesem Abschnitt beschrieben, müssen Sie außerdem:

(1) Fügen Sie eine Erörterung der Konformität Ihrer Einrichtung mit den in diesem Teil aufgeführten Anforderungen bei.

(2) Erfüllen Sie alle anwendbaren Anforderungen, die in diesem Teil aufgeführt sind. Außer wie in § 112.6 vorgesehen, kann Ihr Plan von den Anforderungen in den Absätzen (g), (h) (2) und (3) und (i) dieses Abschnitts und den Anforderungen in den Unterabschnitten B und C dieses Teils abweichen. mit Ausnahme der sekundären Eindämmungsanforderungen in den Absätzen (c) und (h)(1) dieses Abschnitts und §§ 112.8(c)(2), 112.8(c)(11), 112.9(c)(2), 112.9( d)(3), 112.10(c), 112.12(c)(2) und 112.12(c)(11), sofern für eine bestimmte Einrichtung zutreffend, wenn Sie einen gleichwertigen Umweltschutz durch andere Maßnahmen zur Verhütung und Kontrolle von Verschüttungen gewährleisten , oder Gegenmaßnahme. Wenn Ihr Plan nicht den geltenden Anforderungen in den Absätzen (g), (h) (2) und (3) und (i) dieses Abschnitts oder den Anforderungen der Unterabschnitte B und C dieses Teils entspricht, mit Ausnahme der sekundären Eindämmungsanforderungen in Absatz (c) und (h)(1) dieses Abschnitts und §§ 112.8(c)(2), 112.8(c)(11), 112.9(c)(2), 112.10(c), 112.12(c)(2) und 112.12(c)(11) müssen Sie die Gründe für die Nichtübereinstimmung in Ihrem Plan angeben und detailliert alternative Methoden beschreiben und beschreiben, wie Sie einen gleichwertigen Umweltschutz erreichen. Wenn der Regionaladministrator feststellt, dass die in Ihrem Plan beschriebenen Maßnahmen keinen gleichwertigen Umweltschutz bieten, kann er verlangen, dass Sie Ihren Plan gemäß den Verfahren in § 112.4(d) und (e) ändern.

(3) Beschreiben Sie in Ihrem Plan die physische Anordnung der Anlage und fügen Sie einen Anlagenplan bei, der den Standort und den Inhalt jedes festen Öllagerbehälters und den Lagerbereich, in dem sich mobile oder tragbare Behälter befinden, kennzeichnen muss. Der Anlagenplan muss den Standort von unterirdischen Tanks, die ansonsten von den Anforderungen dieses Teils gemäß § 112.1(d)(4) ausgenommen sind, identifizieren und als „ausgenommen“ kennzeichnen. Der Anlagenplan muss auch alle Übergabestationen und Verbindungsrohre enthalten, einschließlich innerbetrieblicher Sammelleitungen, die ansonsten von den Anforderungen dieses Teils gemäß § 112.1(d)(11) ausgenommen sind. Sie müssen in Ihrem Plan auch ansprechen:

(i) Die Art des Öls in jedem festen Behälter und seine Lagerkapazität. Geben Sie bei mobilen oder tragbaren Containern entweder die Art des Öls und die Lagerkapazität für jeden Container an oder geben Sie eine Schätzung der potenziellen Anzahl von mobilen oder tragbaren Containern, der Ölsorten und der voraussichtlichen Lagerkapazitäten an

(ii) Maßnahmen zur Vermeidung von Entladungen, einschließlich Verfahren für den routinemäßigen Umgang mit Produkten (Beladen, Entladen und Anlagentransfer usw.)

(iii) Abfluss- oder Abflusskontrollen wie sekundäre Eindämmung um Behälter und andere Strukturen, Ausrüstung und Verfahren zur Kontrolle eines Abflusses

(iv) Gegenmaßnahmen zur Entdeckung, Reaktion und Säuberung von Entladungen (sowohl die Fähigkeit der Einrichtung als auch die, die von einem Auftragnehmer verlangt werden könnten)

(v) Entsorgungsmethoden für zurückgewonnenes Material gemäß den geltenden gesetzlichen Bestimmungen und

(vi) Kontaktliste und Telefonnummern des Einrichtungskoordinators, des National Response Center, der Reinigungsfirmen, mit denen Sie eine Vereinbarung über die Reaktion getroffen haben, und aller zuständigen Bundes-, Landes- und lokalen Behörden, die im Falle einer Entlassung wie beschrieben kontaktiert werden müssen in § 112.1(b).

(4) Sofern Sie keinen Reaktionsplan gemäß § 112.20 vorgelegt haben, geben Sie in Ihrem Plan Informationen und Verfahren an, damit eine Person, die eine Entlassung gemäß § 112.1(b) meldet, Informationen über die genaue Adresse oder den genauen Standort und die Telefonnummer des Anlage Datum und Uhrzeit der Einleitung, Art des eingeleiteten Materials Schätzungen der gesamten abgegebenen Menge Schätzungen der eingeleiteten Menge gemäß § 112.1(b) Quelle der Einleitung Beschreibung aller betroffenen Medien Ursache der Einleitung Schäden oder Verletzungen, die durch die Entlassungsmaßnahmen verursacht wurden, um die Auswirkungen der Entlassung zu stoppen, zu beseitigen und zu mildern, ob eine Evakuierung erforderlich sein könnte, und die Namen von Personen und/oder Organisationen, die ebenfalls kontaktiert wurden.

(5) Sofern Sie keinen Notfallplan gemäß § 112.20 vorgelegt haben, organisieren Sie Teile des Plans, in denen die Vorgehensweisen bei einer Entlassung beschrieben werden, so, dass sie im Notfall leicht anwendbar sind, und fügen Sie geeignetes Begleitmaterial als Anlagen bei.

(b) Wenn erfahrungsgemäß ein vernünftiges Risiko für einen Geräteausfall (wie Be- oder Entladegeräte, Tanküberlauf, Bruch oder Leckage oder andere Geräte, von denen bekannt ist, dass sie eine Entladungsquelle darstellen), in Ihrem Plan eine Vorhersage der Richtung, Durchflussmenge und Gesamtölmenge, die als Folge jedes größeren Geräteausfalls aus der Anlage abgelassen werden könnte.

(c) Bereitstellung geeigneter Eindämmungs- und/oder Umleitungsstrukturen oder -ausrüstung, um eine Entladung zu verhindern, wie in § 112.1(b) beschrieben, außer wie in Absatz (k) dieses Abschnitts für qualifizierte ölgefüllte Betriebsausrüstung und außer wie in provided § 112.9(d)(3) für Flowlines und anlageninterne Sammelleitungen in einer Ölförderanlage. Das gesamte Rückhaltesystem, einschließlich Wände und Boden, muss in der Lage sein, Öl zurückzuhalten, und muss so konstruiert sein, dass jegliches Austreten aus einem primären Rückhaltesystem, wie z. B. einem Tank, nicht aus dem Rückhaltesystem entweicht, bevor die Reinigung erfolgt. Bei der Bestimmung der Methode, des Designs und der Kapazität für die sekundäre Eindämmung müssen Sie nur den typischen Fehlermodus und die wahrscheinlichste Ölmenge berücksichtigen, die ausgestoßen wird. Die sekundäre Eindämmung kann entweder aktiv oder passiv ausgelegt sein. Sie müssen mindestens eines der folgenden Präventionssysteme oder ein gleichwertiges verwenden:

(i) Deiche, Bermen oder Stützmauern, die ausreichend undurchdringlich sind, um Öl aufzunehmen

(iii) Auffangwannen und Sammelsysteme

(iv) Düker, Dachrinnen oder andere Entwässerungssysteme

(v) Wehre, Ausleger oder andere Barrieren

(2) Für Offshore-Anlagen:

(i) Auffang- oder Auffangwannen oder

(ii) Auffangwannen und Sammelsysteme.

(d) Vorausgesetzt, Ihr Plan ist von einem lizenzierten professionellen Ingenieur gemäß § 112.3(d) zertifiziert, oder im Falle einer qualifizierten Einrichtung, die die Kriterien in § 112.3(g) erfüllt, sind die relevanten Abschnitte Ihres Plans von a . zertifiziert lizenzierter professioneller Ingenieur gemäß § 112.6(d), wenn Sie feststellen, dass die Installation einer der in den Absätzen (c) und (h)(1) dieses Abschnitts und §§ 112.8(c)( 2), 112.8(c)(11), 112.9(c)(2), 112.10(c), 112.12(c)(2) und 112.12(c)(11), um eine Entlassung wie in § 112.1( beschrieben) zu verhindern. b) von einer Onshore- oder Offshore-Anlage aus nicht praktikabel ist, müssen Sie in Ihrem Plan deutlich erklären, warum solche Maßnahmen bei Schüttgutbehältern nicht praktikabel sind, sowohl regelmäßige Integritätsprüfungen der Container als auch regelmäßige Integritäts- und Dichtheitsprüfungen der Ventile und Rohrleitungen durchführen und , es sei denn, Sie haben einen Reaktionsplan gemäß § 112.20 vorgelegt, geben Sie in Ihrem Plan Folgendes an:

(1) Ein Notfallplan für Ölunfälle gemäß den Bestimmungen von Teil 109 dieses Kapitels.

(2) Eine schriftliche Verpflichtung von Arbeitskräften, Ausrüstung und Materialien, die erforderlich sind, um jede Menge an ausgestoßenem Öl, die schädlich sein könnte, zügig zu kontrollieren und zu entfernen.

(e) Inspektionen, Tests und Aufzeichnungen. Führen Sie die in diesem Teil erforderlichen Inspektionen und Tests gemäß den schriftlichen Verfahren durch, die Sie oder der zertifizierende Ingenieur für die Einrichtung entwickeln. Sie müssen diese schriftlichen Verfahren und eine Aufzeichnung der Inspektionen und Tests, unterzeichnet von dem entsprechenden Vorgesetzten oder Inspektor, zusammen mit dem SPCC-Plan für einen Zeitraum von drei Jahren aufbewahren. Für die Zwecke dieses Absatzes genügen Aufzeichnungen über Inspektionen und Prüfungen, die nach üblichen und üblichen Geschäftspraktiken geführt werden.

(f) Personal, Schulung und Verfahren zur Verhinderung von Entlassungen.

(1) Schulen Sie Ihr Ölförderpersonal mindestens im Betrieb und in der Wartung von Ausrüstungen, um Einleitungen zu verhindern Protokolle für Einleitungsverfahren, anwendbare Gesetze, Regeln und Vorschriften zur Bekämpfung der Umweltverschmutzung, den allgemeinen Anlagenbetrieb und den Inhalt des SPCC-Plans der Anlage.

(2) Benennen Sie in jeder betreffenden Einrichtung eine Person, die für die Vermeidung von Einleitungen verantwortlich ist und der Einrichtungsleitung Bericht erstattet.

(3) Planen und führen Sie mindestens einmal im Jahr Briefings zur Vermeidung von Einleitungen für Ihr Ölförderpersonal durch, um ein angemessenes Verständnis des SPCC-Plans für diese Einrichtung sicherzustellen. Solche Briefings müssen bekannte Entladungen, wie in § 112.1(b) beschrieben, oder Ausfälle, fehlerhafte Komponenten und alle kürzlich entwickelten Vorsichtsmaßnahmen hervorheben und beschreiben.

(g) Sicherheit (ohne Ölförderanlagen). Beschreiben Sie in Ihrem Plan, wie Sie den Zugang zu den Ölförder-, Verarbeitungs- und Lagerbereichen sichern und kontrollieren Hauptstrom- und Ablassventile sichern unbefugten Zugriff auf Startersteuerungen an Ölpumpen verhindern Außerbetriebnahme und Be-/Entladeanschlüsse von Ölleitungen und Adresse sichern die Angemessenheit der Sicherheitsbeleuchtung, um sowohl Vandalismus zu verhindern als auch bei der Entdeckung von Ölaustritten zu helfen.

(h) Tankwagen- und Tankwagen-Lade-/Entladegestell (ausgenommen Offshore-Anlagen).

(1) Wenn die Entwässerung von Be-/Entladegestellen nicht in ein Auffangbecken oder eine Behandlungsanlage zur Handhabung von Einleitungen mündet, verwenden Sie eine Schnellentleerung für die Be-/Entladegestelle von Kesselwagen oder Tankwagen. Sie müssen jedes Rückhaltesystem so auslegen, dass es mindestens die maximale Kapazität eines einzelnen Abteils eines Tankwagens oder Tankwagens enthält, der in der Anlage beladen oder entladen wird.

(2) Stellen Sie im Bereich neben einem Be-/Entladegestell eine verriegelte Warnleuchte oder ein physisches Barrierensystem, Warnschilder, Unterlegkeile oder ein Fahrzeugbremsverriegelungssystem bereit, um zu verhindern, dass Fahrzeuge abfahren, bevor die flexiblen oder festen Öltransferleitungen vollständig getrennt sind.

(3) Vor dem Befüllen und Abfahren eines Tankwagens oder Tankwagens sind der unterste Abfluss und alle Auslässe solcher Fahrzeuge genau auf Abflüsse zu untersuchen und, falls erforderlich, sicherzustellen, dass sie festgezogen, eingestellt oder ersetzt werden, um ein Austreten von Flüssigkeit während des Tankens zu verhindern Transit.

(i) Wenn ein im Feld gebauter oberirdischer Container einer Reparatur, Änderung, Rekonstruktion oder einer Änderung im Betrieb unterzogen wird, die das Risiko einer Entladung oder eines Ausfalls aufgrund von Sprödbruch oder einer anderen Katastrophe beeinträchtigen könnte, oder wenn Öl ausgestoßen wurde oder aufgrund von Sprödigkeit ausgefallen ist Bruchversagen oder einer anderen Katastrophe den Behälter auf das Risiko einer Entladung oder eines Versagens aufgrund von Sprödbruch oder einer anderen Katastrophe untersuchen und, falls erforderlich, geeignete Maßnahmen ergreifen.

(j) Nehmen Sie zusätzlich zu den in diesem Abschnitt aufgeführten Mindestverhütungsstandards in Ihren Plan eine vollständige Erörterung der Konformität mit den geltenden Anforderungen und anderen wirksamen Verfahren zur Verhinderung und Eindämmung von Entladungen, die in diesem Teil aufgeführt sind, oder allen anwendbaren strengeren staatlichen Vorschriften, Vorschriften, und Richtlinien.

(k) Qualifizierte ölgefüllte Betriebsausrüstung. Der Eigentümer oder Betreiber einer Anlage mit ölgefüllter Betriebsausrüstung, die die Qualifikationskriterien in Absatz (k)(1) dieses Unterabschnitts erfüllt, kann sich dafür entscheiden, für diese qualifizierte ölgefüllte Betriebsausrüstung die in Absatz . beschriebenen alternativen Anforderungen umzusetzen (k) (2) dieses Unterabschnitts anstelle der allgemeinen sekundären Eindämmung, die in Absatz (c) dieses Abschnitts erforderlich ist.

(1) Qualifikationskriterien – Meldepflichtige Entladungshistorie: Der Eigentümer oder Betreiber einer Anlage, bei der keine einzelne Entladung gemäß § 112.1(b) aus einer ölgefüllten Betriebsausrüstung von mehr als 1.000 US-Gallonen oder keine zwei Entladungen gemäß § 112.1(b) von ölgefüllten Betriebsmitteln, die jeweils 42 US-Gallonen überschreiten, innerhalb eines Zeitraums von zwölf Monaten in den drei Jahren vor dem Zertifizierungsdatum des SPCC-Plans oder seit dem Unterliegen dieses Teils, wenn die Anlage weniger als in Betrieb war drei Jahre (außer Öleinleitungen wie in § 112.1(b) beschrieben, die das Ergebnis von Naturkatastrophen, Kriegshandlungen oder Terrorismus sind) und

(2) Alternative Anforderungen zur allgemeinen sekundären Eindämmung. Wenn für qualifizierte ölgefüllte Betriebsmittel keine sekundäre Eindämmung gemäß Absatz (c) dieses Abschnitts vorgesehen ist, muss der Eigentümer oder Betreiber einer Anlage mit qualifizierter ölgefüllter Betriebsmittel:

(i) die Einrichtungsverfahren für Inspektionen oder ein Überwachungsprogramm festlegen und dokumentieren, um einen Geräteausfall und/oder eine Entladung zu erkennen und

(ii) Sofern Sie keinen Reaktionsplan gemäß § 112.20 eingereicht haben, geben Sie in Ihrem Plan Folgendes an:

(A) Ein Notfallplan für Ölunfälle gemäß den Bestimmungen von Teil 109 dieses Kapitels.

(B) Eine schriftliche Verpflichtung von Arbeitskräften, Ausrüstung und Materialien, die erforderlich sind, um jede Menge an ausgestoßenem Öl, die schädlich sein könnte, zügig zu kontrollieren und zu entfernen.


Inhalt

Lassen positiv und nicht negativ beschreiben Matrizen mit ausschließlich positiven reellen Zahlen als Elemente und Matrizen mit ausschließlich nicht negativen reellen Zahlen als Elemente. Die Eigenwerte einer reellen quadratischen Matrix EIN sind komplexe Zahlen, die das Spektrum der Matrix bilden. Die exponentielle Wachstumsrate der Matrixpotenzen EIN k wie k → ∞ wird kontrolliert durch den Eigenwert von controlled EIN mit dem größten Absolutwert (Modul). Der Satz von Perron-Frobenius beschreibt die Eigenschaften des führenden Eigenwerts und der zugehörigen Eigenvektoren, wenn EIN ist eine nicht-negative reelle quadratische Matrix. Frühe Ergebnisse stammen von Oskar Perron (1907) und betrafen positive Matrizen. Später fand Georg Frobenius (1912) ihre Erweiterung auf bestimmte Klassen nicht-negativer Matrizen.

Positive Matrizen Bearbeiten

  1. Es gibt eine positive reelle Zahl R, genannt die Perronwurzel oder der Perron-Frobenius-Eigenwert (auch genannt die führender Eigenwert oder dominanter Eigenwert), so dass R ist ein Eigenwert von EIN und jeder andere Eigenwert λ (möglicherweise komplex) im Absolutwert ist streng kleiner als R , |λ| < R. Somit ist der Spektralradius A ( A ) gleich R. Wenn die Matrixkoeffizienten algebraisch sind, bedeutet dies, dass der Eigenwert eine Perron-Zahl ist.
  2. Der Perron-Frobenius-Eigenwert ist einfach: R ist eine einfache Wurzel des charakteristischen Polynoms von EIN. Folglich ist der zu associated R ist eindimensional. (Dasselbe gilt für den linken Eigenraum, d. h. den Eigenraum für BEI , die Transponierung von EIN.)
  3. Es existiert ein Eigenvektor v = (v1. vn) T von EIN mit Eigenwert R so dass alle Komponenten von v sind positiv: Ein V = r v, vich > 0 für 1 ≤ ichn. (Es existiert ein positiver linker Eigenvektor w : w T A = r w T , wich > 0.) Es ist in der Literatur in vielen Variationen als . bekannt Perron-Vektor, Perron-Eigenvektor, Perron-Frobenius-Eigenvektor, führender Eigenvektor, oder dominanter Eigenvektor.
  4. Es gibt keine anderen positiven (auch nicht negativen) Eigenvektoren außer positiven Vielfachen von v (bzw. linke Eigenvektoren außer w), d.h. alle anderen Eigenvektoren müssen mindestens eine negative oder nichtreelle Komponente haben.
  5. lim k → ∞ A k / r k = v w T A^/r^=vw^> , wobei die linken und rechten Eigenvektoren fürv EIN sind so normalisiert, dass w T v = 1. Außerdem ist die Matrix v w T ist die Projektion auf den Eigenraum entsprechend R. Diese Projektion wird als bezeichnet Perron-Projektion.
  6. Collatz-Wielandt-Formel: für alle nicht-negativen Nicht-Null-Vektoren x, Lassen F(x) sei der Mindestwert von [Axt]ich / xich all die übernommen ich so dass xich ≠ 0. Dann F ist eine reellwertige Funktion, deren Maximum über alle nicht-negativen Nicht-Null-Vektoren x ist der Perron-Frobenius-Eigenwert.
  7. Eine "Min-Max"-Collatz-Wielandt-Formel hat eine ähnliche Form wie die obige: für alle streng positiven Vektoren x, Lassen g(x) sei der Maximalwert von [Axt]ich / xich übernommen ich. Dann g ist eine reellwertige Funktion, deren Minimum über alle streng positiven Vektoren x ist der Perron-Frobenius-Eigenwert.
  8. Birkhoff-Varga-Formel: Lassen x und ja streng positive Vektoren sein. Dann ist r = sup x > 0 inf y > 0 y ⊤ A xy ⊤ x = inf x > 0 sup y > 0 y ⊤ A xy ⊤ x = inf x > 0 sup y > 0 ∑ i , j = 1 nxi A ijyj / i = 1 nyixi . inf_Axt>x>>=inf_sup_Axt>x>>=inf_sup_Summe _^x_EIN_j_/Summe _^j_x_.>[8]
  9. Donsker-Varadhan-Friedland-Formel: Lassen P sei ein Wahrscheinlichkeitsvektor und x ein streng positiver Vektor. Dann ist r = sup p inf x > 0 i = 1 n p i [A x ] i / x i . inf_Summe _^P_[Axt]_/x_.>[9][10]
  10. Fiedler-Formel: r = sup z > 0 inf x > 0 , y > 0 , x ∘ y = zy ⊤ A xy ⊤ x = sup z > 0 inf x > 0 , y > 0 , x ∘ y = z ∑ i , j = 1 nxi A ijyj / ∑ i = 1 nyixi . inf_Axt>x>>=sup _ inf_Summe _^x_EIN_j_/Summe _^j_x_.>[11]
  11. Der Perron-Frobenius-Eigenwert erfüllt die Ungleichungen

Alle diese Eigenschaften erstrecken sich über streng positive Matrizen hinaus auf primitive Matrizen (siehe unten). Die Fakten 1-7 finden sich in Meyer [12] Kapitel 8 Ansprüche 8.2.11–15 Seite 667 und Übungen 8.2.5,7,9 Seiten 668–669.

Der linke und der rechte Eigenvektor w und v werden manchmal so normalisiert, dass die Summe ihrer Komponenten in diesem Fall gleich 1 ist, sie werden manchmal genannt stochastische Eigenvektoren. Oft werden sie so normiert, dass der richtige Eigenvektor v summiert sich zu eins, während w T v = 1 v=1> .

Nicht negative Matrizen Bearbeiten

Frobenius fand jedoch eine spezielle Unterklasse nicht-negativer Matrizen – irreduzibel Matrizen — für die eine nicht-triviale Verallgemeinerung möglich ist. Obwohl die Eigenwerte, die den maximalen Absolutwert erreichen, für eine solche Matrix möglicherweise nicht eindeutig sind, ist ihre Struktur unter Kontrolle: Sie haben die Form ω r , wobei R ist ein reeller streng positiver Eigenwert, und ω reicht über den Komplex hte Wurzeln von 1 für eine positive ganze Zahl h die Periode der Matrix genannt. Der Eigenvektor zu R hat streng positive Komponenten (im Gegensatz zum allgemeinen Fall von nicht-negativen Matrizen, wo Komponenten nur nicht-negativ sind). Auch alle diese Eigenwerte sind einfache Wurzeln des charakteristischen Polynoms. Weitere Eigenschaften werden im Folgenden beschrieben.

Klassifizierung von Matrizen Bearbeiten

Lassen EIN eine quadratische Matrix sein (nicht unbedingt positiv oder sogar reell). Die Matrix EIN ist irreduzibel wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften zutrifft.

Definition 2: EIN kann nicht durch eine Permutationsmatrix in die obere Dreiecksform des Blocks konjugiert werden P:

wo E und g sind nicht-triviale (d. h. mit einer Größe größer als Null) quadratische Matrizen.

Ob EIN nicht negativ ist, gilt eine andere Definition:

Definition 3: Man kann mit einer Matrix assoziieren EIN ein bestimmter gerichteter Graph gEIN. Es hat genau n Ecken, wo n ist größe von EIN, und es gibt eine Kante vom Scheitelpunkt ich vertexen J genau wann EINij > 0. Dann ist die Matrix EIN ist genau dann irreduzibel, wenn der zugehörige Graph gEIN ist stark verbunden.

Eine Matrix ist reduzierbar wenn es nicht irreduzibel ist.

Eine Matrix EIN ist Primitive wenn es nicht negativ ist und sein mPotenz ist positiv für eine natürliche Zahl m (d.h. alle Einträge von Bin sind positiv).

Lassen EIN nicht negativ sein. Einen Index reparieren ich und definiere die Indexperiode ich der größte gemeinsame Teiler aller natürlichen Zahlen sein m so dass (EIN m )ii > 0. Wann EIN irreduzibel ist, ist die Periode jedes Index gleich und wird als bezeichnet Zeit der EIN. Tatsächlich, wenn EIN irreduzibel ist, kann die Periode als größter gemeinsamer Teiler der Längen der geschlossenen gerichteten Pfade in defined definiert werden gEIN (siehe Küchen [15] Seite 16). Die Periode wird auch als Imprimitivitätsindex (Meyer [12] S. 674) oder als Zyklizitätsordnung bezeichnet. Wenn der Zeitraum 1 ist EIN ist aperiodisch. Es kann bewiesen werden, dass primitive Matrizen mit irreduziblen aperiodischen nicht-negativen Matrizen identisch sind.

Alle Aussagen des Perron-Frobenius-Satzes für positive Matrizen bleiben für primitive Matrizen wahr. Die gleichen Aussagen gelten auch für eine nicht-negative irreduzible Matrix, außer dass sie mehrere Eigenwerte besitzen kann, deren Absolutwert gleich ihrem Spektralradius ist, sodass die Aussagen entsprechend modifiziert werden müssen. Tatsächlich ist die Anzahl solcher Eigenwerte gleich der Periode.

Ergebnisse für nicht-negative Matrizen wurden erstmals 1912 von Frobenius erhalten.

Satz von Perron-Frobenius für irreduzible nicht-negative Matrizen Bearbeiten

Lassen EIN ein irreduzibles nicht-negativ sein n × n Matrix mit Periode h und Spektralradius ρ(EIN) = R. Dann gelten die folgenden Aussagen.

  1. Die Nummer R ist eine positive reelle Zahl und ein Eigenwert der Matrix EIN, genannt die Perron-Frobenius-Eigenwert.
  2. Der Perron-Frobenius-Eigenwert R Ist einfach. Sowohl der rechte als auch der linke Eigenraum, der mit assoziiert ist R sind eindimensional.
  3. EIN hat einen rechten Eigenvektor v mit Eigenwert R deren Komponenten alle positiv sind.
  4. Gleichfalls, EIN hat einen linken Eigenvektor w mit Eigenwert R deren Komponenten alle positiv sind.
  5. Die einzigen Eigenvektoren, deren Komponenten alle positiv sind, sind die mit dem Eigenwert eigen R.
  6. Die Matrix EIN hat genau h (wo h ist der Zeitraum) komplexe Eigenwerte mit Betrag R. Jeder von ihnen ist eine einfache Wurzel des charakteristischen Polynoms und ist das Produkt von R mit einem hth Wurzel der Einheit.
  7. Lassen ω = 2π/h. Dann ist die Matrix EIN ist ähnlich wie eichEIN, folglich das Spektrum von EIN ist invariant unter Multiplikation mit eich (entspricht der Drehung der komplexen Ebene um den Winkel ω).
  8. Ob h > 1 dann existiert eine Permutationsmatrix P so dass

Weitere Eigenschaften Bearbeiten

Lassen EIN eine irreduzible nicht-negative Matrix ist, dann gilt:

  1. (ich+EIN) n−1 ist eine positive Matrix. (Meyer [12] Anspruch 8.3.5 S. 672).
  2. Satz von Wielandt. [Klärung nötig] Wenn |B|<EIN, dann ρ(B)≤ρ(EIN). Wenn Gleichheit gilt (d. h. wenn μ=ρ(A)e iφ ist Eigenwert für B), dann B = eichVATI −1 für eine diagonale unitäre Matrix D (d. h. diagonale Elemente von D ist gleich eichl , Nichtdiagonalen sind Null). [16]
  3. Wenn etwas Macht Ein q reduzierbar ist, dann ist sie vollständig reduzierbar, d. h. für eine Permutationsmatrix P, gilt: P A q P − 1 = ( A 1 0 0 … 0 0 A 2 0 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 … A d ) P^<-1>=<eginA_<1>&0&0&dots &0&A_<2>&0&dots &0vdots &vdots &vdots &&vdots &0&0&dots &A_Ende>> , wo EINich sind irreduzible Matrizen mit dem gleichen maximalen Eigenwert. Die Anzahl dieser Matrizen D ist der größte gemeinsame Teiler von Q und h, wo h ist Zeitraum von EIN. [17]
  4. Ob C(x) = x n + ck1 x n-k1 + ck2 x n-k2 + . + ckS x n-kS ist das charakteristische Polynom von EIN in dem nur die Terme ungleich Null aufgeführt sind, dann der Zeitraum von EIN gleich dem größten gemeinsamen Teiler von k1, k2, . , kS. [18]Mittelwerte: lim k → ∞ 1 / k ∑ i = 0 , . . . , k A i / r i = ( v w T ) , 1/ksum _A^/r^=(vw^),> wobei die linken und rechten Eigenvektoren fürv EIN sind so normalisiert, dass wTv = 1. Außerdem ist die Matrix v w T ist die spektrale Projektion entsprechend R, die Perron-Projektion. [19]
  5. Lassen R sei der Perron-Frobenius-Eigenwert, dann ist die adjungierte Matrix für (R-EIN) ist positiv. [20]
  6. Ob EIN mindestens ein Diagonalelement ungleich Null hat, dann EIN ist primitiv. [21]
  7. Wenn 0 ≤ EIN < B, dann REINRB. Außerdem, wenn B irreduzibel ist, dann ist die Ungleichung streng: REIN < rB.

Eine Matrix EIN ist primitiv, vorausgesetzt, es ist nicht negativ und Bin ist für manche positiv m, und daher Ein k ist für alle positiv k ≥ m. Um die Primitivität zu überprüfen, braucht man eine Schranke, wie groß das minimale solche m kann sein, je nach größe von EIN: [22]

  • Ob EIN ist eine nicht-negative primitive Matrix der Größe n, dann EINn 2 − 2n + 2 ist positiv. Außerdem ist dies das bestmögliche Ergebnis, da für die Matrix m unten, die Macht M k ist nicht für alle positiv k < n 2 − 2n + 2, da (mn 2 − 2n+1 )11 = 0.

Zahlreiche Bücher wurden zum Thema nichtnegative Matrizen geschrieben, und die Perron-Frobenius-Theorie ist immer ein zentrales Merkmal. Die folgenden Beispiele unten kratzen nur an der Oberfläche seines riesigen Anwendungsbereichs.

Nicht negative Matrizen Bearbeiten

Der Satz von Perron-Frobenius gilt nicht direkt für nicht-negative Matrizen. Trotzdem ist jede reduzierbare quadratische Matrix EIN kann in Form eines oberen Dreiecks geschrieben werden (bekannt als Normalform einer reduzierbaren Matrix) [23]

wo P ist eine Permutationsmatrix und jede Bich ist eine quadratische Matrix, die entweder irreduzibel oder null ist. Jetzt wenn EIN ist nicht negativ, dann ist es auch jeder Block von BREI −1 , außerdem das Spektrum von EIN ist nur die Vereinigung der Spektren der Bich.

Die Invertibilität von EIN kann auch studiert werden. Die Umkehrung von BREI −1 (falls vorhanden) muss diagonale Blöcke der Form . haben Bich −1 also falls vorhanden Bich ist nicht invertierbar, dann auch nicht BREI −1 oder EIN. Umgekehrt lass D sei die Blockdiagonalmatrix entsprechend BREI −1 , mit anderen Worten BREI −1 mit auf Null gesetzten Sternchen. Wenn jeder Bich ist invertierbar, dann ist es auch D und D −1 (BREI −1 ) ist gleich der Identität plus einer nilpotenten Matrix. Aber eine solche Matrix ist immer invertierbar (wenn N k = 0 die Umkehrung von 1 − n ist 1 + n + n 2 + . + n k−1 ) also BREI −1 und EIN sind beide invertierbar.

Daher sind viele der spektralen Eigenschaften von EIN kann durch Anwendung des Satzes auf die irreduziblen abgeleitet werden Bich. Zum Beispiel ist die Perronwurzel das Maximum von ρ(Bich). Es wird zwar immer noch Eigenvektoren mit nicht-negativen Komponenten geben, aber es ist durchaus möglich, dass keiner davon positiv ist.

Stochastische Matrizen Bearbeiten

Eine stochastische Zeilenmatrix (Spalte) ist eine quadratische Matrix, deren Zeilen (Spalten) aus nichtnegativen reellen Zahlen bestehen, deren Summe Eins ist. Der Satz kann nicht direkt auf solche Matrizen angewendet werden, da sie nicht irreduzibel sein müssen.

Ob EIN zeilenstochastisch ist, dann ist der Spaltenvektor mit jedem Eintrag 1 ein Eigenvektor entsprechend dem Eigenwert 1, der auch ρ(EIN) durch die obige Bemerkung. Es ist möglicherweise nicht der einzige Eigenwert auf dem Einheitskreis: und der zugehörige Eigenraum kann mehrdimensional sein. Ob EIN zeilenstochastisch und irreduzibel ist, dann ist die Perron-Projektion auch zeilenstochastisch und alle ihre Zeilen sind gleich.

Algebraische Graphentheorie Bearbeiten

Der Satz wird insbesondere in der algebraischen Graphentheorie verwendet. Der "unterliegende Graph" eines nichtnegativen n-Quadratmatrix ist der Graph mit den Knoten, die mit 1 nummeriert sind. n und Bogen ij dann und nur dann, wenn EINij ≠ 0. Ist der zugrunde liegende Graph einer solchen Matrix stark zusammenhängend, dann ist die Matrix irreduzibel, und somit gilt der Satz. Insbesondere ist die Adjazenzmatrix eines stark zusammenhängenden Graphen irreduzibel. [24] [25]

Endliche Markov-Ketten Bearbeiten

Das Theorem hat eine natürliche Interpretation in der Theorie der endlichen Markov-Ketten (wo es das matrixtheoretische Äquivalent der Konvergenz einer irreduziblen endlichen Markov-Kette zu ihrer stationären Verteilung ist, formuliert in Bezug auf die Übergangsmatrix der Kette siehe zum Beispiel , der Artikel über die Teilverschiebung endlichen Typs).

Kompaktoperatoren Bearbeiten

Allgemeiner kann es auf den Fall nicht-negativer kompakter Operatoren erweitert werden, die in vielerlei Hinsicht endlichdimensionalen Matrizen ähneln. Diese werden häufig in der Physik, unter dem Namen Transferoperatoren oder manchmal Ruelle–Perron–Frobenius-Operatoren (nach David Ruelle). Dabei entspricht der führende Eigenwert dem thermodynamischen Gleichgewicht eines dynamischen Systems und die kleineren Eigenwerte den Zerfallsmoden eines nicht im Gleichgewicht befindlichen Systems. Somit bietet die Theorie eine Möglichkeit, den Zeitpfeil in ansonsten reversiblen, deterministischen dynamischen Prozessen zu entdecken, wenn man sie unter dem Gesichtspunkt der Punktmengentopologie betrachtet. [26]

Ein roter Faden in vielen Beweisen ist der Fixpunktsatz von Brouwer. Eine andere beliebte Methode ist die von Wielandt (1950). Er benutzte die oben beschriebene Collatz-Wielandt-Formel, um das Werk von Frobenius zu erweitern und zu verdeutlichen. [27] Ein weiterer Beweis basiert auf der Spektraltheorie [28], der ein Teil der Argumente entlehnt ist.

Die Perronwurzel ist der streng maximale Eigenwert für positive (und primitive) Matrizen Edit

Ob EIN eine positive (oder allgemein primitivere) Matrix ist, dann existiert ein reeller positiver Eigenwert R (Perron-Frobenius-Eigenwert oder Perron-Wurzel), der absolut größer ist als alle anderen Eigenwerte, daher R ist der Spektralradius von EIN.

Diese Aussage gilt nicht für allgemeine nicht-negative irreduzible Matrizen, die h Eigenwerte mit dem gleichen absoluten Eigenwert wie R, wo h ist der Zeitraum von EIN.

Beweis für positive Matrizen Bearbeiten

Lassen EIN sei eine positive Matrix, sei ihr Spektralradius ρ(EIN) = 1 (sonst berücksichtige A/ρ(A)). Daher existiert ein Eigenwert λ auf dem Einheitskreis, und alle anderen Eigenwerte sind im Absolutwert kleiner oder gleich 1. Angenommen, ein anderer Eigenwert λ ≠ 1 fällt auch auf den Einheitskreis. Dann existiert eine positive ganze Zahl m so dass Bin ist eine positive Matrix und der Realteil von λ m ist negativ. Sei ε die Hälfte des kleinsten diagonalen Eintrags von Bin und setze T = BinIch das ist eine weitere positive Matrix. Außerdem, wenn Axt = x dann A m x = m x daher λ mε ist ein Eigenwert von T. Wegen der Wahl von m dieser Punkt liegt folglich außerhalb der Einheitsscheibe ρ(T) > 1. Andererseits sind alle Einträge in T sind positiv und kleiner oder gleich denen in Bin also nach Gelfands Formel ρ(T) ≤ ρ(Bin ) ≤ ρ(EIN) m = 1. Dieser Widerspruch bedeutet, dass λ=1 ist und es keine anderen Eigenwerte auf dem Einheitskreis geben kann.

Absolut die gleichen Argumente können auf den Fall primitiver Matrizen angewendet werden, wir müssen nur das folgende einfache Lemma erwähnen, das die Eigenschaften primitiver Matrizen klärt.

Lemma bearbeiten

Gegeben ein nicht-negativ EIN, nehme an, es existiert m, so dass Bin ist positiv, dann EIN m+1 , EIN m+2 , EIN m+3 . sind alle positiv.

EIN m+1 = AA m , also kann es nur null Element haben, wenn eine Reihe von EIN ist ganz null, aber in diesem Fall die gleiche Reihe von Bin wird null sein.

Beweisen Sie die Hauptaussage, indem Sie dieselben Argumente wie oben für primitive Matrizen anwenden.

Potenzmethode und das positive Eigenpaar Bearbeiten

Für eine positive (oder allgemeiner irreduzible nicht-negative) Matrix EIN der dominante Eigenvektor ist reell und streng positiv (für nicht-negative EIN bzw. nicht negativ.)

Dies kann mit der Potenzmethode festgestellt werden, die besagt, dass für eine hinreichend generische (im folgenden Sinne) Matrix EIN die Folge von Vektoren Bk+1 = Abk / | Abk | konvergiert gegen den Eigenvektor mit dem maximalen Eigenwert. (Der Anfangsvektor B0 kann willkürlich gewählt werden, mit Ausnahme einiger Taktnullsätze). Beginnend mit einem nicht-negativen Vektor B0 erzeugt die Folge von nicht-negativen Vektoren Bk. Daher ist auch der Grenzvektor nicht negativ. Nach der Potenzmethode ist dieser Grenzvektor der dominante Eigenvektor für EIN, die Behauptung beweisen. Der entsprechende Eigenwert ist nicht negativ.

Der Beweis erfordert zwei zusätzliche Argumente. Erstens konvergiert die Potenzmethode für Matrizen, die nicht mehrere Eigenwerte mit demselben Absolutwert wie der maximale haben. Das Argument des vorherigen Abschnitts garantiert dies.

Zweitens, um eine strikte Positivität aller Komponenten des Eigenvektors für den Fall irreduzibler Matrizen sicherzustellen. Dies folgt aus folgendem Umstand, der von eigenständigem Interesse ist:

Lemma: gegeben eine positive (oder allgemeiner irreduzible nicht-negative) Matrix EIN und v als beliebiger nicht negativer Eigenvektor für EIN, dann ist er notwendigerweise streng positiv und der zugehörige Eigenwert ist ebenfalls streng positiv.

Nachweisen. Eine der Definitionen der Irreduzibilität für nicht negative Matrizen ist die für alle Indizes ich, j es existiert m, so dass (EIN m )ij ist strikt positiv. Gegeben ein nicht negativer Eigenvektorv v, und dass mindestens eine seiner Komponenten sagt J-th ist streng positiv, der zugehörige Eigenwert ist streng positiv, tatsächlich gegeben n so dass (EIN n )ii >0, daher: R n vich = EIN n vich ≥ (EIN n )iivich >0. Somit R ist strikt positiv. Der Eigenvektor ist die strikte Positivität. Dann gegeben m, so dass (EIN m )ij >0, daher: R m vJ = (EIN m v)J ≥ (EIN m )ijvich >0, daher vJ ist streng positiv, d. h. der Eigenvektor ist streng positiv.

Vielfalt eins Bearbeiten

Dieser Abschnitt beweist, dass der Perron-Frobenius-Eigenwert eine einfache Wurzel des charakteristischen Polynoms der Matrix ist. Daher der zum Perron-Frobenius-Eigenwert gehörende Eigenraum R ist eindimensional. Die Argumente hier sind denen von Meyer nahe. [12]

Gegeben einen streng positiven Eigenvektorv v korrespondierend zu R und ein weiterer Eigenvektor w mit gleichem Eigenwert. (Die Vektoren v und w kann als echt gewählt werden, weil EIN und R sind beide reell, also der Nullraum von A-r hat eine Basis aus reellen Vektoren.) Unter der Annahme, dass mindestens eine der Komponenten von w positiv ist (sonst multiplizieren w um −1). Gegeben maximal möglich α so dass u=v-α w nicht negativ ist, dann ist eine der Komponenten von du ist null, sonst α ist nicht maximal. Vektor du ist ein Eigenvektor. Er ist nichtnegativ, daher impliziert die Nicht-Negativität nach dem im vorherigen Abschnitt beschriebenen Lemma strikte Positivität für jeden Eigenvektor. Andererseits, wie oben, mindestens eine Komponente von du ist null. Der Widerspruch impliziert, dass w ist nicht vorhanden.

Fall: Es gibt keine Jordan-Zellen, die dem Perron-Frobenius-Eigenwert entsprechen R und alle anderen Eigenwerte, die den gleichen Absolutwert haben.

Wenn es eine Jordanzelle gibt, dann ist die Unendlichkeitsnorm (A/r) k tendiert gegen unendlich für k → ∞ , aber das widerspricht der Existenz des positiven Eigenvektors.

Gegeben R = 1, oder A/R. Vermietung v sei ein streng positiver Perron-Frobenius-Eigenvektor, also Av=v, dann:

|A^|_leq |v|/min _(v_)> Also Ein k ist für alle beschränkt k. Dies ist ein weiterer Beweis dafür, dass es keine Eigenwerte gibt, die einen größeren Absolutwert haben als der von Perron-Frobenius. Es widerspricht auch der Existenz der Jordan-Zelle für jeden Eigenwert, der einen Absolutwert gleich 1 hat (insbesondere für die Perron-Frobenius-Zelle), weil die Existenz der Jordan-Zelle impliziert, dass Ein k ist unbegrenzt. Für eine Zwei-mal-Zwei-Matrix:

somit J k = |k + λ| (für |λ| = 1), also tendiert es gegen unendlich, wenn k tut dies. Seit J k = C −1 EIN k C, dann EIN kJ k / (C −1 C ), also tendiert es auch ins Unendliche. Der resultierende Widerspruch impliziert, dass es keine Jordan-Zellen für die entsprechenden Eigenwerte gibt.

Die Kombination der beiden obigen Behauptungen zeigt, dass der Perron-Frobenius-Eigenwert R ist die einfache Wurzel des charakteristischen Polynoms. Bei nichtprimitiven Matrizen gibt es andere Eigenwerte mit dem gleichen Betrag wie R. Der gleiche Anspruch gilt für sie, erfordert jedoch mehr Arbeit.

Keine anderen nicht-negativen Eigenvektoren Bearbeiten

Gegeben positive (oder allgemeiner irreduzible nicht-negative Matrix) EIN, ist der Perron-Frobenius-Eigenvektor der einzige (bis zur Multiplikation mit Konstante) nicht negative Eigenvektor fürv EIN.

Andere Eigenvektoren müssen negative oder komplexe Komponenten enthalten, da Eigenvektoren für verschiedene Eigenwerte in gewisser Weise orthogonal sind, aber zwei positive Eigenvektoren können nicht orthogonal sein, also müssen sie demselben Eigenwert entsprechen, aber der Eigenraum für Perron-Frobenius ist eindimensional.

Angenommen es existiert ein Eigenpaar (λ, ja) Pro EIN, so dass Vektor ja ist positiv und gegeben (R, x), wo x – ist der linke Perron-Frobenius-Eigenvektor für EIN (d. h. Eigenvektor für BEI ), dann rx T ja = (x T EIN) ja = x T (Ja) = x T ja, Auch x T ja > 0, also hat man: R = λ. Da der Eigenraum zum Perron-Frobenius-Eigenwert R ist eindimensionaler, nicht negativer Eigenvektor ja ist ein Vielfaches von Perron-Frobenius. [29]

Collatz-Wielandt-Formel Bearbeiten

Gegeben eine positive (oder allgemeiner irreduzible nicht-negative Matrix) EIN, definiert man die Funktion F auf der Menge aller nicht-negativen Nicht-Null-Vektoren x so dass f(x) ist der Mindestwert von [Axt]ich / xich all die übernommen ich so dass xich ≠ 0. Dann F ist eine reellwertige Funktion, deren Maximum der Perron-Frobenius-Eigenwert R.

Für den Beweis bezeichnen wir das Maximum von F nach dem Wert R. Der Beweis muss zeigen R = r. Einfügen des Perron-Frobenius-Eigenvektors v hinein F, wir erhalten f(v) = r und schließen r ≤ R. Für die entgegengesetzte Ungleichung betrachten wir einen beliebigen nichtnegativen Vektor x und lass =f(x). Die Definition von F gibt 0 ≤ ξx ≤ Ax (komponentenweise). Nun verwenden wir den positiven rechten Eigenvektor w Pro EIN für den Perron-Frobenius-Eigenwert R, dann ξ w T x = w T ξx ≤ w T (Ax) = (w T A)x = r w T x . Somit f(x) = ξ ≤ r, was impliziert R ≤ r. [30]

Perronprojektion als Grenzwert: EIN k /R k Bearbeiten

Lassen EIN sei eine positive (oder allgemeiner primitive) Matrix, und sei R sei sein Perron-Frobenius-Eigenwert.

  1. Es gibt eine Grenze A k /r k Pro k → ∞, bezeichne es mit P.
  2. P ist ein Projektionsoperator: P 2 = P, die mit pendelt EIN: AP = PA.
  3. Das Bild von P ist eindimensional und wird vom Perron-Frobenius-Eigenvektor aufgespannt v (bzw. für P T —nach dem Perron-Frobenius-Eigenvektor w Pro BEI ).
  4. P = vwT , wo v, w sind so normalisiert, dass wTv = 1.
  5. Somit P ist ein positiver Operator.

Somit P ist eine spektrale Projektion für den Perron-Frobenius-Eigenwert R, und wird als Perron-Projektion bezeichnet. Die obige Behauptung gilt nicht für allgemeine nicht-negative irreduzible Matrizen.

Tatsächlich gelten die obigen Behauptungen (außer Anspruch 5) für jede Matrix m so dass es einen Eigenwert gibt R die absolut größer ist als die anderen Eigenwerte in absoluten Werten und die einfache Wurzel des charakteristischen Polynoms ist. (Diese Anforderungen gelten für primitive Matrizen wie oben).

Angesichts dessen m ist diagonalisierbar, m ist konjugiert zu einer Diagonalmatrix mit Eigenwerten R1, . , Rn auf der Diagonale (bezeichne R1 = R). Die Matrix m k /R k wird konjugiert (1, (R2/R) k , . , (Rn/R) k ), die zu (1,0,0. 0) tendiert, für k → ∞, also ist die Grenze vorhanden. Die gleiche Methode funktioniert für allgemeines m (ohne das anzunehmen m ist diagonalisierbar).

Die Projektions- und Kommutativitätseigenschaften sind elementare Folgerungen der Definition: MM k /R k = m k /R k m P 2 = lim m 2k /R 2k = P. Auch die dritte Tatsache ist elementar: m(Pu) = m lim m k /R k du = lim rM k+1 /R k+1 du, also die Grenzerträge nehmen M(Pu) = R(Pu), also Bild von P liegt in der R-Eigenraum für m, die durch die Annahmen eindimensional ist.

Kennzeichnen mit v, R-eigenvektor für m (von w Pro M T ). Spalten von P sind Vielfache von v, weil das Bild von P wird davon überspannt. Jeweils Reihen von w. So P nimmt eine Form an (a v w T ), für einige ein. Daher ist seine Spur gleich (a w T v). Die Spur des Projektors entspricht der Dimension seines Bildes. Es wurde bereits bewiesen, dass es nicht mehr als eindimensional ist. An der Definition sieht man das P wirkt identisch auf die R-eigenvektor für m. Es ist also eindimensional. Also wählen (w T v) = 1, impliziert P = vw T .

Ungleichungen für Perron-Frobenius-Eigenwert Edit

Für jede nicht negative Matrix EIN sein Perron-Frobenius-Eigenwert R erfüllt die Ungleichung:

Diese Tatsache ist spezifisch für nicht-negative Matrizen für allgemeine Matrizen gibt es nichts Ähnliches. Angesichts dessen EIN positiv ist (nicht nur nicht negativ), dann existiert ein positiver Eigenvektor w so dass Aw = rw und die kleinste Komponente von w (sagen wich) ist 1. Dann R = (Aw)ich ≥ die Summe der Zahlen in Reihe ich von EIN. Somit ergibt die minimale Zeilensumme eine untere Schranke für R und diese Beobachtung kann durch Stetigkeit auf alle nicht-negativen Matrizen ausgedehnt werden.

Eine andere Möglichkeit, dies zu argumentieren, ist die Collatz-Wielandt-Formel. Man nimmt den Vektor x = (1, 1, . 1) und erhält sofort die Ungleichung.

Weitere Beweise Bearbeiten

Perron-Projektion Bearbeiten

Der Beweis geht nun mit spektraler Zerlegung weiter. Der Trick besteht darin, die Perron-Wurzel von den anderen Eigenwerten zu trennen. Die mit der Perron-Wurzel verbundene spektrale Projektion wird als Perron-Projektion bezeichnet und besitzt die folgende Eigenschaft:

Die Perron-Projektion einer irreduziblen nicht-negativen quadratischen Matrix ist eine positive Matrix.

Perrons Befunde und auch (1)–(5) des Theorems sind Folgerungen dieses Ergebnisses. Der entscheidende Punkt ist, dass eine positive Projektion immer Rang eins hat. Dies bedeutet, dass wenn EIN eine irreduzible nicht-negative quadratische Matrix ist, dann sind die algebraische und die geometrische Multiplizität ihrer Perron-Wurzel beide eins. Auch wenn P ist dann seine Perron-Projektion AP = PA = ρ(EIN)P also jede Spalte von P ist ein positiver rechter Eigenvektor von EIN und jede Zeile ist ein positiver linker Eigenvektor. Außerdem, wenn Axt =x dann PAx =Px = ρ(EIN)Px was bedeutet Px = 0 wenn λ ≠ ρ(EIN). Somit sind die einzigen positiven Eigenvektoren diejenigen, die mit ρ(EIN). Ob EIN ist eine primitive Matrix mit ρ(EIN) = 1 dann kann es zerlegt werden als P ⊕ (1 − P)EIN damit Ein = P + (1 − P)EIN n . Wie n erhöht den zweiten dieser Terme zerfällt auf Null und verlässt P als Grenze von Ein wie n → ∞.

Die Potenzmethode ist eine bequeme Methode, um die Perron-Projektion einer primitiven Matrix zu berechnen. Ob v und w sind die positiven Zeilen- und Spaltenvektoren, die es erzeugt, dann ist die Perron-Projektion nur wv/vw. Die spektralen Projektionen sind nicht wie in der Jordan-Form sauber blockiert. Hier werden sie überlagert und weisen im Allgemeinen komplexe Einträge auf, die sich bis zu allen vier Ecken der quadratischen Matrix erstrecken. Trotzdem behalten sie ihre gegenseitige Orthogonalität, was die Zerlegung erleichtert.

Periphere Projektion Bearbeiten

Die Analyse, wenn EIN irreduzibel ist und nicht negativ ist im Großen und Ganzen ähnlich. Die Perron-Projektion ist immer noch positiv, aber es können jetzt andere Eigenwerte des Moduls ρ(EIN), die die Anwendung der Potenzmethode negieren und die Potenzen von (1 − P)EIN zerfallend wie im primitiven Fall, wenn ρ(EIN) = 1. Wir betrachten also die periphere Projektion, das ist die spektrale Projektion von EIN entsprechend allen Eigenwerten mit Modul ρ(EIN). Es kann dann gezeigt werden, dass die periphere Projektion einer irreduziblen nicht-negativen quadratischen Matrix eine nicht-negative Matrix mit einer positiven Diagonale ist.

Zyklizität Bearbeiten

Nehmen Sie außerdem an, dass ρ(EIN) = 1 und EIN verfügt über h Eigenwerte auf dem Einheitskreis. Ob P ist die periphere Projektion dann die Matrix R = AP = PA nicht negativ und irreduzibel ist, NS = P, und die zyklische Gruppe P, R, R 2 , . R h−1 steht für die Harmonischen von EIN. Die spektrale Projektion von EIN beim Eigenwert λ auf dem Einheitskreis ergibt sich aus der Formel h − 1 ∑ 1 h λ − k R k sum _<1>^lambda^<-k>R^> . Alle diese Projektionen (einschließlich der Perron-Projektion) haben die gleiche positive Diagonale, außerdem ergibt die Auswahl einer von ihnen und dann das Nehmen des Moduls jedes Eintrags ausnahmslos die Perron-Projektion. Es bedarf noch einiger Eselarbeit, um die zyklischen Eigenschaften (6)–(8) zu ermitteln, aber im Wesentlichen geht es nur darum, den Griff zu drehen. Die spektrale Zerlegung von EIN wird gegeben von EIN = R ⊕ (1 − P)EIN also der unterschied zwischen Ein und R n ist EinR n = (1 − P)EIN n die Transienten von . darstellend Ein die schließlich auf null zerfallen. P kann als Grenzwert von . berechnet werden Ein nh wie n → ∞.

Ein Problem, das Verwirrung stiftet, ist die fehlende Standardisierung der Definitionen. Einige Autoren verwenden beispielsweise die Begriffe strikt positiv und positiv > 0 bzw. ≥ 0 bedeuten. In diesem Artikel positiv bedeutet > 0 und nicht negativ bedeutet ≥ 0. Ein weiterer ärgerlicher Bereich betrifft Zersetzbarkeit und Reduzierbarkeit: irreduzibel ist ein überladener Begriff. Zur Vermeidung von Zweifeln eine nicht-negative quadratische Matrix EIN so dass 1 + EIN ist primitiv wird manchmal gesagt in Verbindung gebracht. Dann sind irreduzible nicht-negative quadratische Matrizen und zusammenhängende Matrizen synonym. [31]

Der nichtnegative Eigenvektor wird oft so normiert, dass die Summe seiner Komponenten in diesem Fall gleich Eins ist, der Eigenvektor ist der Vektor einer Wahrscheinlichkeitsverteilung und wird manchmal als a . bezeichnet stochastischer Eigenvektor.

Perron-Frobenius-Eigenwert und dominanter Eigenwert sind alternative Namen für die Perron-Wurzel. Spektralprojektionen werden auch als . bezeichnet Spektralprojektoren und spektrale Idempotente. Der Zeitraum wird manchmal als der . bezeichnet Index der Imprimitivität oder der Reihenfolge der Zyklizität.


Fortgeschrittene Lineare Algebra: Grundlagen zu Grenzen

Man kann sich die Frobenius-Norm so vorstellen, dass man die Spalten der Matrix nimmt, sie übereinander stapelt, um einen Vektor der Größe (m imes n ext<,>) zu erzeugen und dann den Vektor 2-Norm von das Ergebnis.

Hausaufgaben 1.3.3.1 .

Partition (m imes n ) Matrix (A ) durch Spalten:

Hausaufgaben 1.3.3.2 .

Beweisen Sie, dass die Frobenius-Norm eine Norm ist.

Die Feststellung, dass diese Funktion positiv definit und homogen ist, ist einfach. Um zu zeigen, dass die Dreiecksungleichung gilt, hilft es zu erkennen, dass wenn (A = left( egin a_0 amp a_1 amp cdots amp a_ Ende Also gut

Mit anderen Worten, es entspricht dem Vektor 2-Norm des Vektors, der durch Übereinanderstapeln der Spalten von (A) erzeugt wird. Man kann dann ausnutzen, dass der Vektor 2-Norm der Dreiecksungleichung gehorcht.

Hausaufgaben 1.3.3.3 .

Partition (m imes n) Matrix (A) durch Zeilen:

Betrachten wir die Definition der Transponierten einer Matrix (die wir bereits bei der Definition des Skalarprodukts zweier reellwertiger Vektoren und bei der Identifizierung einer Zeile in einer Matrix verwendet haben):

Definition 1.3.3.2. Transponieren.

Bei komplexwertigen Matrizen ist es wichtig, auch die einer Matrix zu definieren:

Definition 1.3.3.3. Hermitesche Transponierung.

wobei (overline A) die bezeichnet, in der jedes Element der Matrix konjugiert ist.

(overline A^T = overline < A^T > ext<.>)

Wenn (A in mathbb R^ ext<,>) dann (A^H = A^T ext<.>)

Wenn (x in Cm ext<,>) dann (x^H ) in Übereinstimmung mit unserer bisherigen Verwendung definiert ist.

Wenn (alphainmathbb C ext<,>) dann (alpha^H = overline alpha ext<.>)

(Wenn Sie den Skalar als Matrix betrachten und ihn dann hermitesch transponieren, erhalten Sie die Matrix mit als einzigem Element (overline alpha ext<.>))

Keine Panik!. Während die Arbeit mit komplexwertigen Skalaren, Vektoren und Matrizen zunächst etwas beängstigend erscheinen mag, werden Sie schnell feststellen, dass es nicht viel komplizierter ist, als mit ihren reellwertigen Gegenstücken zu arbeiten.

Hausaufgaben 1.3.3.4 .

Sei (Ain C^ ) und (B in C^ ext<.>) Begründen Sie mit dem, was Sie einmal über Matrixtransposition und Matrix-Matrix-Multiplikation gelernt haben, dass ((A B)^H = B^H A^H ext<.>)

lt X^H = overline gt overline < (A B)^T >

lt mbox < Sie können separat prüfen, ob >overline < XY>= overline X overline Y gt overline

lt overline = overline X^T gt B^H A^H end Ende

Definition 1.3.3.4 . Hermiteisch.

Eine Matrix (Ainmathbb C^ ) ist genau dann, wenn (A = A^H ext<.>)

Offensichtlich gilt, wenn (A in mathbb R^ ext<,>) dann ist (A) genau dann eine hermitesche Matrix, wenn (A) eine symmetrische Matrix ist.


Sei R ein kommutativer Ring mit Primcharakteristik p (ein Integralgebiet mit positiver Charakteristik hat zB immer Primcharakteristik). Der Frobenius-Endomorphismus F ist definiert durch

für alle R In R. Es respektiert die Multiplikation von R:

und F(1) ist eindeutig auch 1. Interessant ist jedoch, dass auch die Addition von R berücksichtigt wird. Der Ausdruck (R + S) P kann mit dem Binomialsatz erweitert werden. Da p eine Primzahl ist, teilt es P! aber keine Q! Pro Q < P es wird daher den Zähler, aber nicht den Nenner der expliziten Formel der Binomialkoeffizienten dividieren

wenn 1 kP − 1 . Daher sind die Koeffizienten aller Terme außer R P und S P sind durch p , das Merkmal, teilbar und verschwinden daher. [1] Also

Dies zeigt, dass F ist ein Ringhomomorphismus.

Ob φ : RS ein Homomorphismus von Ringen der Charakteristik p ist, dann

Ob FR und FS die Frobenius-Endomorphismen von R und S sind, dann kann dies umgeschrieben werden als:

Dies bedeutet, dass der Frobenius-Endomorphismus eine natürliche Transformation vom Identitätsfunktor auf die Kategorie der charakteristischen P-Ringe zu sich selbst ist.

Wenn der Ring R ein Ring ohne nilpotente Elemente ist, dann ist der Frobenius-Endomorphismus injektiv: F(R) = 0 bedeutet R P = 0, was per Definition bedeutet, dass r höchstens nilpotent ist. Tatsächlich ist dies notwendig und ausreichend, denn wenn r irgendein nilpotent ist, dann wird eine seiner Kräfte höchstens p nilpotent sein. Insbesondere wenn R ein Körper ist, ist der Frobenius-Endomorphismus injektiv.

Der Frobenius-Morphismus ist nicht unbedingt surjektiv, auch wenn R ein Körper ist. Lassen Sie zum Beispiel K = FP(T) sei der endliche Körper von p Elementen zusammen mit einem einzigen transzendenten Element äquivalent, K ist der Körper der rationalen Funktionen mit Koeffizienten in FP . Dann enthält das Bild von F kein t . Wenn ja, dann gäbe es eine rationale Funktion Q(T)/R(T) deren p-te Potenz Q(T) P /R(T) P wäre gleich t. Aber der Grad dieser p-ten Potenz ist P Grad (Q) − P Grad (R), was ein Vielfaches von p ist. Insbesondere kann es nicht 1 sein, was der Grad von t ist. Dies ist ein Widerspruch, daher ist t nicht im Bild von F.

Ein Körper K heißt perfekt wenn sie entweder die Charakteristik Null oder eine positive Charakteristik hat und ihr Frobenius-Endomorphismus ein Automorphismus ist. Zum Beispiel sind alle endlichen Körper perfekt.

Betrachten Sie den endlichen Körper FP . Nach dem kleinen Satz von Fermat ist jedes Element x von FP erfüllt x P = x . Äquivalent ist es eine Wurzel des Polynoms x Px . Die Elemente von FP Bestimmen Sie daher p Wurzeln dieser Gleichung, und weil diese Gleichung den Grad p hat, hat sie nicht mehr als p Wurzeln über jede Erweiterung. Insbesondere wenn K eine algebraische Erweiterung von ist FP (wie der algebraische Abschluss oder ein anderer endlicher Körper), dann FP ist der feste Körper des Frobenius-Automorphismus von K .

Sei R ein Ring mit Charakteristik P >0 . Wenn R ein ganzzahliges Gebiet ist, dann sind nach der gleichen Überlegung die Fixpunkte von Frobenius die Elemente des Primkörpers. Wenn R jedoch kein Gebiet ist, dann x Px kann zum Beispiel mehr als p Wurzeln haben, dies passiert, wenn R = FP × FP .

Die Iteration der Frobenius-Abbildung ergibt eine Folge von Elementen in R:

Diese Folge von Iterationen wird verwendet, um den Frobenius-Abschluss und den engen Abschluss eines Ideals zu definieren.

Die Galois-Gruppe einer Erweiterung endlicher Körper wird durch eine Iteration des Frobenius-Automorphismus erzeugt. Betrachten Sie zunächst den Fall, dass das Grundfeld das Primfeld ist FP . Lassen FQ sei der endliche Körper von q Elementen, wobei Q = P n . Der Frobenius-Automorphismus F von FQ fixiert das Primfeld FP , ist also ein Element der Galois-Gruppe Gal(FQ/FP) . Da F q × _^< imes >> ist zyklisch mit Q − 1 Elemente, wissen wir, dass die Galois-Gruppe zyklisch ist und F ein Generator ist. Die Ordnung von F ist n, weil F n wirkt auf ein Element x, indem es an . gesendet wird x Q , und dies ist die Identität von Elementen von FQ . Jeder Automorphismus von FQ ist eine Potenz von F , und die Generatoren sind die Potenzen F ich mit i coprime zu n .

Betrachten wir nun den endlichen Körper FQ F als Erweiterung von FQ , wo Q = P n wie oben. Ob n > 1 , dann der Frobenius-Automorphismus F von FQ F fixiert das Bodenfeld nicht FQ , aber es ist die n-te Iteration F n tut. Die Galois-Gruppe Gal(FQ F /FQ) ist zyklisch der Ordnung f und wird erzeugt durch F n . Es ist die Untergruppe von Gal(FQ F /FP) erzeugt von F n . Die Generatoren von Gal (FQ F /FQ) sind die Kräfte F ni wobei i zu f teilerfremd ist.

Der Frobenius-Automorphismus ist kein Generator der absoluten Galois-Gruppe

weil diese Galois-Gruppe isomorph zu den profiniten ganzen Zahlen ist

die nicht zyklisch sind. Da jedoch der Frobenius-Automorphismus ein Generator der Galois-Gruppe jeder endlichen Erweiterung von ist FQ , es ist ein Generator jedes endlichen Quotienten der absoluten Galois-Gruppe. Folglich ist es ein topologischer Generator in der üblichen Krull-Topologie auf der absoluten Galois-Gruppe.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Frobenius-Morphismus für ein Schema zu definieren. Der grundlegendste ist der absolute Frobenius-Morphismus. Der absolute Frobenius-Morphismus verhält sich jedoch in der relativen Situation schlecht, da er dem Basisschema keine Beachtung schenkt. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Frobenius-Morphismus an die relative Situation anzupassen, von denen jede in bestimmten Situationen nützlich ist.

Der absolute Frobenius-Morphismus Bearbeiten

Angenommen, X ist ein Merkmalsschema P >0 . Wählen Sie eine offene affine Teilmenge U = Spez EIN von X. Der Ring A ist ein FP -Algebra, lässt also einen Frobenius-Endomorphismus zu. Wenn V eine offene affine Teilmenge von U ist, dann ist nach der Natürlichkeit von Frobenius der Frobenius-Morphismus auf U, wenn er auf V beschränkt ist, der Frobenius-Morphismus auf V. Folglich klebt der Frobenius-Morphismus zu einem Endomorphismus von X. Dieser Endomorphismus heißt absoluter Frobenius-Morphismus von X , bezeichnet Fx . Per Definition ist es ein Homöomorphismus von X mit sich selbst. Der absolute Frobenius-Morphismus ist eine natürliche Transformation vom Identitätsfunktor auf die Kategorie von FP -Schemata für sich.

Der absolute Frobenius-Morphismus ist ein rein untrennbarer Morphismus vom Grad p. Seine Differenz ist null. Es bewahrt Produkte, was bedeutet, dass für zwei beliebige Schemata X und Y, Fx×Ja = Fx × FJa .

Einschränkung und Erweiterung von Skalaren von Frobenius Edit

Nehme an, dass φ : xS ist der Strukturmorphismus für ein S-Schema X . Das Basisschema S hat einen Frobenius-Morphismus FS. Komponieren φ mit FS ergibt ein S-Schema xF genannt die Einschränkung der Skalare durch Frobenius. Die Einschränkung von Skalaren ist eigentlich ein Funktor, denn ein S -Morphismus xJa induziert einen S -Morphismus xFJaF .

Betrachten Sie zum Beispiel einen Ring EIN von charakteristisch P > 0 und eine endlich präsentierte Algebra überge EIN:

Die Aktion von EIN an R wird gegeben von:

wobei α ein Multiindex ist. Lassen x = Spez R . Dann xF ist das affine Schema Spec R , aber sein Strukturmorphismus Spec R → Spez. EIN , und damit die Wirkung von EIN an R, ist anders:

Da die Einschränkung von Skalaren durch Frobenius einfach eine Komposition ist, werden viele Eigenschaften von X geerbt durch xF unter geeigneten Hypothesen zum Frobenius-Morphismus. Wenn beispielsweise X und SF sind beide endlicher Typ, dann ist es auch xF.

Das Erweiterung der Skalare von Frobenius ist definiert als:

Die Projektion auf den S-Faktor ergibt x (P) ein S-Schema. Wenn S aus dem Kontext nicht klar ist, dann x (P) wird mit bezeichnet x (P/S) . Wie die Einschränkung von Skalaren ist die Erweiterung von Skalaren ein Funktor: Ein S -Morphismus xJa bestimmt einen S -Morphismus x (P) → Ja (P) .

Betrachten Sie wie zuvor einen Ring EIN und eine endlich präsentierte Algebra R Über EIN, und wieder lass x = Spez R . Dann:

Ein globaler Abschnitt von x (P) hat die Form:

wo α ist ein Multiindex und jeder ein und Bich ist ein Element von EIN. Die Wirkung eines Elements C von EIN in diesem Abschnitt ist:

Folglich, x (P) isomorph zu:

Eine ähnliche Beschreibung gilt für beliebige EIN-Algebren R.

Da die Erweiterung von Skalaren eine Basisänderung ist, bleiben Grenzen und Nebenprodukte erhalten. Dies impliziert insbesondere, dass wenn X eine durch endliche Grenzen definierte algebraische Struktur hat (z. B. ein Gruppenschema ist), dann auch x (P) . Darüber hinaus bedeutet eine Basisänderung, dass die Erweiterung von Skalaren Eigenschaften wie endlichen Typs, endliche Präsentation, getrennt, affin usw. beibehält.

Die Erweiterung von Skalaren verhält sich gut in Bezug auf die Basisänderung: Gegeben ein Morphismus S′ → S , gibt es einen natürlichen Isomorphismus:

Verwandter Frobenius Bearbeiten

Lassen x Bohne S -Schema mit Strukturmorphismus φ . Das relativer Frobenius-Morphismus von x ist der Morphismus:

definiert durch die universelle Eigenschaft des Pullbacks x (P) (siehe Diagramm oben):

Da der absolute Frobenius-Morphismus natürlich ist, ist der relative Frobenius-Morphismus ein Morphismus von S-Schemata.

Betrachten Sie zum Beispiel die EIN-Algebra:

Der relative Frobenius-Morphismus ist der Homomorphismus R (P) → R definiert von:

Relativer Frobenius ist mit Basenwechsel in dem Sinne vereinbar, dass unter dem natürlichen Isomorphismus von x (P/S) ×S S' und (x ×S S′) (P/S') , wir haben:

Relativer Frobenius ist ein universeller Homöomorphismus. Ob xS ein offenes Eintauchen ist, dann ist es die Identität. Ob xS ist eine geschlossene Immersion, bestimmt durch eine ideale Garbe ich von ÖS , dann x (P) wird durch die ideale Garbe bestimmt ich P und relativ Frobenius ist die Augmentationskarte ÖS/ich PÖS/ich .

x ist über S genau dann unverzweigt, wenn Fx/S ist unverzweigt und nur dann, wenn Fx/S ist ein Monomorphismus. x ist étale über S genau dann, wenn Fx/S ist étale und wenn und nur wenn Fx/S ist ein Isomorphismus.

Arithmetik Frobenius Bearbeiten

Das arithmetischer Frobenius-Morphismus eines S -Schemas X ist ein Morphismus:

Das heißt, es ist die Basisänderung von FS um 1x.

dann ist die Arithmetik Frobenius der Homomorphismus:

Wenn wir umschreiben R (P) wie:

dann ist dieser Homomorphismus:

Geometrisch Frobenius Bearbeiten

dann Erweiterung der Skalare um F S − 1 ^<-1>> gibt:

und dann gibt es einen Isomorphismus:

Das geometrischer Frobenius-Morphismus eines S -Schemas X ist ein Morphismus:

Fortsetzung unseres Beispiels von EIN und R oben ist geometrischer Frobenius definiert als:

Arithmetische und geometrische Frobenius als Galois-Aktionen Bearbeiten

Angenommen, der Frobenius-Morphismus von S sei ein Isomorphismus. Dann erzeugt es eine Untergruppe der Automorphismusgruppe von S . Ob S = Spez k das Spektrum eines endlichen Körpers ist, dann ist seine Automorphismusgruppe die Galoisgruppe des Körpers über dem Primkörper, und der Frobenius-Morphismus und seine Inverse sind beide Generatoren der Automorphismusgruppe. In Ergänzung, x (P) und x (1/P) kann mit X identifiziert werden. Die arithmetischen und geometrischen Frobenius-Morphismen sind dann Endomorphismen von X und führen somit zu einer Wirkung der Galois-Gruppe von k an x.

Betrachten Sie die Menge von K-Punkte x(K) . Dieses Set enthält eine Galois-Aktion: Jeder dieser Punkte x entspricht einem Homomorphismus ÖxK von der Strukturgarbe zu K, welche Faktoren über k(x), das Residuenfeld at x, und die Aktion von Frobenius auf x ist die Anwendung des Frobenius-Morphismus auf das Residuenfeld. Diese Galois-Aktion stimmt mit der Aktion des arithmetischen Frobenius überein: Der zusammengesetzte Morphismus

ist das gleiche wie der zusammengesetzte Morphismus:

nach der Definition der Arithmetik Frobenius. Folglich zeigt die Arithmetik Frobenius die Wirkung der Galois-Gruppe auf Punkte explizit als Endomorphismus von x.

Gegeben eine unverzweigte endliche Erweiterung L/K von lokalen Feldern gibt es ein Konzept von Frobenius-Endomorphismus was den Frobenius-Endomorphismus in der entsprechenden Erweiterung von Restfeldern induziert. [2]

Annehmen L/K ist eine unverzweigte Erweiterung lokaler Körper, mit Ring von ganzen Zahlen ÖK von K, so dass der Restkörper, die ganzen Zahlen von K modulo ihr einzigartiges maximales Ideal φ , ein endlicher Körper der Ordnung q ist, wobei q eine Potenz einer Primzahl ist. Wenn Φ eine über φ liegende Primzahl von L ist, dann L/K unverzweigt bedeutet per Definition, dass die ganzen Zahlen von L modulo Φ , dem Restkörper von L , ein endlicher Körper der Ordnung Q F Erweiterung des Restkörpers von K wobei f der Grad von ist L/K . Wir können die Frobenius-Abbildung für Elemente des Rings der ganzen Zahlen definieren ÖL von L als Automorphismus SΦ von L so dass

In der algebraischen Zahlentheorie gilt Frobenius-Elemente sind für Erweiterungen definiert L/K von globalen Körpern, die endliche Galois-Erweiterungen für Primideale Φ von L sind, die in unverzweigt sind L/K . Da die Erweiterung unverzweigt ist, ist die Zerlegungsgruppe von Φ die Galois-Gruppe der Erweiterung von Restkörpern. Das Frobenius-Element kann dann für Elemente des Rings der ganzen Zahlen von L wie im lokalen Fall definiert werden durch

wobei q die Ordnung des Residuenfeldes ist ÖK/(Φ ∩ ÖK) .

Aufzüge des Frobenius stehen in Übereinstimmung mit p-Ableitungen.

und damit bei der Primzahl 3 unverzweigt ist, ist es auch irreduzibel mod 3. Daher grenzt eine Wurzel ρ davon an den Körper der 3 -adischen Zahlen Q3 gibt eine unverzweigte Verlängerung Q3(ρ) von Q3 . Wir können das Bild von ρ unter der Frobenius-Karte finden, indem wir die Wurzel lokalisieren, die am nächsten ist ρ 3 , was wir nach Newtons Methode tun können. Wir erhalten ein Element des Rings der ganzen Zahlen Z3[ρ] auf diese Weise ist dies ein Polynom vom Grad vier in ρ mit Koeffizienten in den 3-adischen ganzen Zahlen Z3 . Modulo 3 8 dieses Polynom ist

Das ist algebraisch vorbei Q und ist das richtige globale Frobenius-Image in Bezug auf die Einbettung von Q hinein Q3 außerdem sind die Koeffizienten algebraisch und das Ergebnis kann algebraisch ausgedrückt werden. Sie sind jedoch vom Grad 120, der Ordnung der Galois-Gruppe, was die Tatsache veranschaulicht, dass explizite Berechnungen viel einfacher durchgeführt werden können, wenn p-adische Ergebnisse ausreichen.

Ob L/K eine abelsche Erweiterung globaler Körper ist, erhalten wir eine viel stärkere Kongruenz, da sie nur von der Primzahl φ im Basiskörper K abhängt. Betrachten Sie als Beispiel die Erweiterung Q(β) von Q erhalten durch Angrenzen einer Wurzel β befriedigend

zu Q . Diese Erweiterung ist zyklisch der Ordnung fünf, mit Wurzeln

für ganze Zahl n . Es hat Wurzeln, die Tschebyscheff-Polynome von β sind:

β 2 − 2, β 3 − 3β, β 5 − 5β 3 + 5β

Geben Sie das Ergebnis der Frobenius-Abbildung für die Primzahlen 2, 3 und 5 usw. für größere Primzahlen ungleich 11 oder der Form 22n + 1 (die sich teilen). Es ist sofort ersichtlich, wie die Frobenius-Abbildung ein Ergebnis liefert, das gleich mod p der p-ten Potenz der Wurzel β ist.


Inhalt

Der einfachste Primzahltest ist Probeabteilung: gegebene Eingabenummer, n, prüfen Sie, ob sie durch eine beliebige Primzahl zwischen 2 und n gerade teilbar ist (d. h. dass die Division keinen Rest hinterlässt). Wenn ja, dann n ist zusammengesetzt. Ansonsten ist es prim. [1]

Betrachten Sie zum Beispiel die Zahl 100, die durch diese Zahlen gleichmäßig teilbar ist:

Beachten Sie, dass der größte Faktor, 50, die Hälfte von 100 ist. Dies gilt für alle n: alle Teiler sind kleiner oder gleich n/2.

Eigentlich, wenn wir alle möglichen Teiler bis zu testen n/2, wir werden einige Faktoren entdecken zweimal. Um dies zu beobachten, schreiben Sie die Liste der Teiler in eine Liste von Produkten um, die jeweils 100 entsprechen:

2 × 50, 4 × 25, 5 × 20, 10 × 10, 20 × 5, 25 × 4, 50 × 2

Beachten Sie, dass Produkte in der Vergangenheit 10 x 10 lediglich Zahlen wiederholen, die in früheren Produkten auftauchten. Beispielsweise, 5 x 20 und 20 x 5 bestehen aus den gleichen Zahlen. Das gilt für alle n: alle eindeutigen Teiler von n sind Zahlen kleiner oder gleich √ n , also brauchen wir nicht darüber hinaus zu suchen. [1] (In diesem Beispiel ist √ n = √ 100 = 10.)

Alle geraden Zahlen größer als 2 können auch eliminiert werden, da, wenn eine gerade Zahl teilen kann n, also kann 2.

Wir können diese Methode weiter verbessern. Beachten Sie, dass alle Primzahlen größer als 3 die Form 6 . habenk ± 1 , wobei k ist eine ganze Zahl größer als 0. Dies liegt daran, dass alle ganzen Zahlen als (6k + ich) , wo ich = −1, 0, 1, 2, 3 oder 4. Beachten Sie, dass 2 dividiert (6k + 0), (6k + 2) und (6k + 4) und 3 teilt (6k +3) . Eine effizientere Methode besteht also darin, zu testen, ob n durch 2 oder 3 teilbar ist, dann durch alle Zahlen der Form 6 k ± 1 ≤ n >> . Dies ist dreimal schneller als das Testen aller Zahlen bis zu √ nein .

Weiter verallgemeinernd, alle Primzahlen größer als C# (c primorial) sind von der Form C# · k + i, Pro ich < C#, wo C und k sind ganze Zahlen und ich stellt die Zahlen dar, die zu c# teilerfremd sind. Lassen Sie zum Beispiel C = 6. Dann C# = 2 · 3 · 5 = 30 . Alle ganzen Zahlen haben die Form 30k + ich Pro ich = 0, 1, 2. 29 und k eine ganze Zahl. 2 teilt jedoch 0, 2, 4. 28 3 teilt 0, 3, 6. 27 und 5 teilt 0, 5, 10. 25. Alle Primzahlen größer als 30 haben also die Form 30k + ich Pro ich = 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 (d. h. für ich < 30 so dass gcd(ich,30) = 1 ). Beachten Sie, dass wenn ich und 30 waren nicht coprime, dann 30k + ich durch einen Primteiler von 30 teilbar wäre, nämlich 2, 3 oder 5, und wäre daher keine Primzahl. (Hinweis: Nicht alle Zahlen, die die obigen Bedingungen erfüllen, sind Primzahlen. Zum Beispiel: 437 hat die Form c#k+i für c#(7)=210,k=2,i=17. 437 ist jedoch eine zusammengesetzte Zahl gleich 19*23).

Wie C → ∞ , die Anzahl der Werte, die C#k + ich einen gewissen Bereich übernehmen kann, verringert sich die Zeit zum Testen n sinkt. Für diese Methode ist es auch notwendig, die Teilbarkeit durch alle Primzahlen zu prüfen, die kleiner als sind C. Beobachtungen analog zu den vorhergehenden können rekursiv angewendet werden, was das Sieb des Eratosthenes ergibt.

Eine gute Möglichkeit, diese Methoden (und alle anderen unten genannten) zu beschleunigen, besteht darin, eine Liste aller Primzahlen bis zu einer bestimmten Schranke vorab zu berechnen und zu speichern, sagen wir, alle Primzahlen bis 200. (Eine solche Liste kann mit dem Sieb von Eratosthenes oder durch einen Algorithmus, der jedes Inkrement testet m gegen alle bekannten Primzahlen < √ m ). Dann vor dem Testen n für Ursprünglichkeit mit einer ernsthaften Methode, n kann zunächst auf Teilbarkeit durch eine beliebige Primzahl aus der Liste geprüft werden. Wenn es durch eine dieser Zahlen teilbar ist, ist es zusammengesetzt und alle weiteren Tests können übersprungen werden.

Ein einfacher, aber sehr ineffizienter Primzahltest verwendet den Satz von Wilson, der besagt, dass P ist genau dann prim, wenn:

Obwohl diese Methode ca P modulare Multiplikationen, die es unpraktisch machen, Sätze über Primzahlen und modulare Reste bilden die Grundlage vieler weiterer praktischer Methoden.

Python-Code Bearbeiten

Das Folgende ist ein einfacher Primalitätstest in Python mit dem einfachen 6k ± 1 Optimierung bereits erwähnt. Anspruchsvollere Methoden, die unten beschrieben werden, sind viel schneller für große n.

C#-Code Bearbeiten

Das Folgende ist ein Primalitätstest in C#, der dieselbe Optimierung wie oben verwendet.


Metalle

Mit Ausnahme von Wasserstoff werden alle Elemente, die bei chemischen Reaktionen durch Elektronenverlust positive Ionen bilden, als Metalle bezeichnet. Somit sind Metalle elektropositive Elemente mit relativ niedrigen Ionisierungsenergien. Sie zeichnen sich durch Hochglanz, Härte, Resonanzfähigkeit aus und sind hervorragende Wärme- und Stromleiter. Metalle sind unter normalen Bedingungen Feststoffe, mit Ausnahme von Quecksilber.

Physikalische Eigenschaften von Metallen

Metalle sind glänzend, formbar, duktil, gute Wärme- und Stromleiter. Weitere Eigenschaften sind:

  • Zustand: Metalle sind bei Raumtemperatur Feststoffe mit Ausnahme von Quecksilber, das bei Raumtemperatur flüssig ist (Gallium ist an heißen Tagen flüssig).
  • Lüster: Metalle haben die Eigenschaft, Licht von ihrer Oberfläche zu reflektieren und können poliert werden, z. B. Gold, Silber und Kupfer.
  • Formbarkeit: Metalle haben die Fähigkeit, Hämmern zu widerstehen und können zu dünnen Blechen, sogenannten Folien, verarbeitet werden. Zum Beispiel kann ein Stück Gold in der Größe eines Zuckerwürfels zu einem dünnen Blatt geschlagen werden, das ein Fußballfeld bedeckt.
  • Duktilität: Metalle können zu Drähten gezogen werden. So lassen sich beispielsweise 100 g Silber in einen etwa 200 Meter langen dünnen Draht einziehen.
  • Härte: Alle Metalle sind hart, außer Natrium und Kalium, die weich sind und mit einem Messer geschnitten werden können.
  • Wertigkeit: Metalle haben typischerweise 1 bis 3 Elektronen in der äußersten Schale ihrer Atome.
  • Leitung: Metalle sind gute Leiter, weil sie freie Elektronen haben. Silber und Kupfer sind die beiden besten Leiter von Wärme und Strom. Blei ist der schlechteste Wärmeleiter. Wismut, Quecksilber und Eisen sind ebenfalls schlechte Leiter
  • Dichte: Metalle haben eine hohe Dichte und sind sehr schwer. Iridium und Osmium haben die höchsten Dichten, während Lithium die niedrigste Dichte hat.
  • Schmelz- und Siedepunkte: Metalle haben hohe Schmelz- und Siedepunkte. Wolfram hat den höchsten Schmelz- und Siedepunkt, während Quecksilber den niedrigsten hat. Natrium und Kalium haben ebenfalls niedrige Schmelzpunkte.

Chemische Eigenschaften von Metallen

Metalle sind elektropositive Elemente, die sich im Allgemeinen bilden Basic oder amphoter Oxide mit Sauerstoff. Andere chemische Eigenschaften sind:

  • Elektropositiver Charakter: Metalle neigen dazu, niedrige Ionisierungsenergien zu haben, und verlieren typischerweise Elektronen (d.h. sind oxidiert) wenn sie chemischenReaktionen Normalerweise nehmen sie keine Elektronen auf. Beispielsweise:
    • Alkalimetalle sind immer 1 + (verlieren das Elektron in S Unterschale)
    • Erdalkalimetalle sind immer 2 + (verlieren beide Elektronen in S Unterschale)
    • Übergangsmetallionen folgen keinem offensichtlichen Muster, 2 + ist üblich (verlieren beide Elektronen in S Unterschale) und 1 + und 3 + werden ebenfalls beobachtet

    Verbindungen von Metallen mit Nichtmetallen neigen dazu, ionisch in der Natur. Die meisten Metalloxide sind basische Oxide und lösen sich in Wasser unter Bildung auf Metallhydroxide:

    Metalloxide zeigen ihre Basic chemische Natur durch Reaktion mit Säuren Metall formen Salze und Wasser:

    Wie lautet die chemische Formel von Aluminiumoxid?

    Al hat eine 3+ Ladung, das Oxidion ist (O^<2->), also (Al_2O_3).

    Würden Sie erwarten, dass es bei Raumtemperatur fest, flüssig oder gasförmig ist?

    Metalloxide sind bei Raumtemperatur charakteristisch fest

    Schreiben Sie die ausgewogene chemische Gleichung für die Reaktion von Aluminiumoxid mit Salpetersäure:

    Metalloxid + Säure -> Salz + Wasser


    Inhalt

    Lösen einer Gleichung mit einer Variablen Bearbeiten

    Bei der Sekantenmethode ersetzen wir die erste Ableitung F' bei xn mit der Finite-Differenzen-Approximation:

    wo n ist der Iterationsindex.

    Lösen eines Systems nichtlinearer Gleichungen Bearbeiten

    Betrachten Sie ein System von k nichtlineare Gleichungen

    wo F ist eine vektorwertige Funktion von vector x :

    Für solche Probleme gibt Broyden eine Verallgemeinerung des eindimensionalen Newton-Verfahrens an, indem er die Ableitung durch die Jacobische replacing ersetzt J . Die Jacobi-Matrix wird iterativ bestimmt, basierend auf dem Sekantengleichung in der Finite-Differenzen-Näherung:

    wo n ist der Iterationsindex. Zur Verdeutlichung definieren wir:

    also kann das obige umgeschrieben werden als

    Die obige Gleichung ist unterbestimmt, wenn k ist größer als eins. Broyden schlägt vor, die aktuelle Schätzung der Jacobi-Matrix zu verwenden Jn−1 und es zu verbessern, indem man die Lösung der Sekantengleichung nimmt, die eine minimale Modifikation von ist Jn−1 :

    Dies minimiert die folgende Frobenius-Norm:

    Wir können dann in Newton-Richtung fortfahren:

    Broyden schlug auch vor, die Sherman-Morrison-Formel zu verwenden, um die Inverse der Jacobi-Matrix direkt zu aktualisieren:

    Diese erste Methode ist allgemein als die "gute Broyden-Methode" bekannt.

    Eine ähnliche Technik kann abgeleitet werden, indem eine etwas andere Modifikation von . verwendet wird Jn−1 . Daraus ergibt sich eine zweite Methode, die sogenannte "Bad Broyden-Methode" (siehe aber [3] ):

    Dies minimiert eine andere Frobenius-Norm:

    Viele andere Quasi-Newton-Schemata wurden bei der Optimierung vorgeschlagen, bei denen man ein Maximum oder Minimum sucht, indem man die Wurzel der ersten Ableitung (Gradient in mehreren Dimensionen) findet. Der Jacobi-Wert des Gradienten wird als Hessisch bezeichnet und ist symmetrisch, was seiner Aktualisierung weitere Einschränkungen hinzufügt.

    Broyden hat nicht nur zwei Methoden definiert, sondern eine ganze Klasse von Methoden. Andere Mitglieder dieser Klasse wurden von anderen Autoren hinzugefügt.


    Inhalt

    In diesem Artikel werden die folgenden Notationskonventionen verwendet: Matrizen werden durch fett gedruckte Großbuchstaben dargestellt, z. EIN Vektoren in Kleinbuchstaben fett, z.B. ein und Einträge von Vektoren und Matrizen sind kursiv (da es sich um Zahlen aus einem Feld handelt), z.B. EIN und ein . Die Indexnotation ist oft der klarste Weg, um Definitionen auszudrücken und wird in der Literatur als Standard verwendet. Das ich, j Eingabe der Matrix EIN wird angezeigt durch (EIN)ij , EINij oder einij , wohingegen ein numerisches Label (keine Matrixeinträge) auf einer Sammlung von Matrizen nur tiefgestellt wird, z.B. EIN1, EIN2 , etc.

    Ob EIN ist ein m × n Matrix und B ist ein n × P Matrix,

    das Matrixprodukt C = AB (ohne Multiplikationszeichen oder Punkte bezeichnet) ist definiert als der m × P Matrix [6] [7] [8] [9]

    Pro ich = 1, . m und J = 1, . P .

    Deswegen, AB kann auch geschrieben werden als

    Also das Produkt AB ist genau dann definiert, wenn die Anzahl der Spalten in EIN entspricht der Anzahl der Zeilen in B , [2] in diesem Fall n .

    In den meisten Szenarien handelt es sich bei den Einträgen um Zahlen, aber es kann sich auch um jede Art von mathematischen Objekten handeln, für die eine Addition und eine Multiplikation definiert sind, die assoziativ sind und so dass die Addition kommutativ und die Multiplikation bezüglich der Addition distributiv ist . Insbesondere können die Einträge selbst Matrizen sein (siehe Blockmatrix).

    Abbildung Bearbeiten

    Die Abbildung rechts zeigt schematisch das Produkt zweier Matrizen EIN und B , zeigt, wie jeder Schnittpunkt in der Produktmatrix einer Reihe von entspricht EIN und eine Spalte von B .

    Die Werte an den mit Kreisen markierten Schnittpunkten sind:

    Historisch wurde die Matrixmultiplikation eingeführt, um Berechnungen in der linearen Algebra zu erleichtern und zu verdeutlichen. Diese starke Beziehung zwischen Matrixmultiplikation und linearer Algebra bleibt in der gesamten Mathematik sowie in der Physik, den Ingenieurwissenschaften und der Informatik von grundlegender Bedeutung.

    Lineare Karten Bearbeiten

    Wenn ein Vektorraum eine endliche Basis hat, werden seine Vektoren jeweils eindeutig durch eine endliche Folge von Skalaren, einen sogenannten Koordinatenvektor, repräsentiert, deren Elemente die Koordinaten des Vektors auf der Basis sind. Diese Koordinatenvektoren bilden einen weiteren Vektorraum, der zum ursprünglichen Vektorraum isomorph ist. Ein Koordinatenvektor wird üblicherweise als Spaltenmatrix organisiert (auch genannt Spaltenvektor), die eine Matrix mit nur einer Spalte ist. Ein Spaltenvektor repräsentiert also sowohl einen Koordinatenvektor als auch einen Vektor des ursprünglichen Vektorraums.

    Eine lineare Abbildung A von einem Vektorraum der Dimension n in einen Vektorraum der Dimension m bildet einen Spaltenvektor

    Die lineare Abbildung A ist somit definiert durch die Matrix

    Lineares Gleichungssystem Bearbeiten

    Die allgemeine Form eines linearen Gleichungssystems ist

    Mit der gleichen Notation wie oben ist ein solches System äquivalent mit der Einzelmatrixgleichung

    Punktprodukt, Bilinearform und inneres Produkt Bearbeiten

    Das Skalarprodukt zweier Spaltenvektoren ist das Matrixprodukt

    Allgemeiner ausgedrückt kann jede bilineare Form über einem Vektorraum endlicher Dimension als Matrixprodukt ausgedrückt werden

    und jedes innere Produkt kann ausgedrückt werden als

    Die Matrixmultiplikation teilt einige Eigenschaften mit der üblichen Multiplikation. Die Matrixmultiplikation ist jedoch nicht definiert, wenn die Spaltenzahl des ersten Faktors von der Zeilenzahl des zweiten Faktors abweicht, und sie ist nicht kommutativ, [10] auch wenn das Produkt nach Änderung der Reihenfolge der Faktoren definitiv bleibt . [11] [12]

    Nicht-Kommutativität Bearbeiten

    Ein Sonderfall, in dem Kommutativität auftritt, ist, wenn D und E sind zwei (quadratische) Diagonalmatrizen (gleicher Größe) dann DE = ED . [10] Auch wenn die Matrizen über einem allgemeinen Ring und nicht über einem Feld liegen, müssen die entsprechenden Einträge in jeder auch miteinander kommutieren, damit dies gilt.

    Verteilung Bearbeiten

    Das Matrixprodukt ist bezüglich der Matrixaddition distributiv. Das heißt, wenn EIN, B, C, D sind Matrizen der jeweiligen Größe m × n , n × P , n × P , und P × Q , man hat (linke Verteilung)

    Dies ergibt sich aus der Distributivität für Koeffizienten um

    Produkt mit einem Skalar Bearbeiten

    Wenn die Skalare die Kommutativeigenschaft haben, sind alle vier Matrizen gleich. Allgemeiner gesagt sind alle vier gleich, wenn C gehört zum Zentrum eines Rings, der die Einträge der Matrizen enthält, denn in diesem Fall Cx = xC für alle Matrizen x .

    Diese Eigenschaften resultieren aus der Bilinearität des Produkts von Skalaren:

    Transponieren Bearbeiten

    Wenn die Skalare die Kommutativeigenschaft haben, ist die Transponierte eines Matrizenprodukts das Produkt in umgekehrter Reihenfolge der Transponierten der Faktoren. Das ist

    wobei T die Transponierte bezeichnet, also das Vertauschen von Zeilen und Spalten.

    Diese Identität gilt nicht für nichtkommutative Einträge, da die Reihenfolge zwischen den Einträgen von EIN und B umgekehrt, wenn man die Definition des Matrixprodukts erweitert.

    Komplex konjugiert Bearbeiten

    Ob EIN und B komplexe Einträge haben, dann

    wobei * die eingabeweise komplex Konjugierte einer Matrix bezeichnet.

    Dies ergibt sich aus der Anwendung auf die Definition des Matrixprodukts, dass die Konjugierte einer Summe die Summe der Konjugierten der Summanden und die Konjugierte eines Produkts das Produkt der Konjugierten der Faktoren ist.

    Die Transposition wirkt auf die Indizes der Einträge, während die Konjugation unabhängig auf die Einträge selbst wirkt. Daraus ergibt sich, dass, wenn EIN und B komplexe Einträge haben, hat man

    wobei † die konjugierte Transponierte bezeichnet (Konjugat der Transponierten oder äquivalent Transponierte der Konjugate).

    Assoziativität Bearbeiten

    Gegeben drei Matrizen EIN, B und C , die Produkte (AB)C und EIN(BC) werden genau dann definiert, wenn die Anzahl der Spalten von EIN gleich der Anzahl der Reihen von B , und die Anzahl der Spalten von B gleich der Anzahl der Reihen von C (insbesondere wenn eines der Produkte definiert ist, dann wird auch das andere definiert). In diesem Fall hat man die Assoziativeigenschaft

    Wie bei jeder assoziativen Operation ermöglicht dies das Weglassen von Klammern und das Schreiben der obigen Produkte als A B C . .>

    Dies erstreckt sich natürlich auf das Produkt beliebig vieler Matrizen, sofern die Abmessungen übereinstimmen. Das heißt, wenn EIN1, EIN2, . EINn sind Matrizen, so dass die Anzahl der Spalten von EINich gleich der Anzahl der Reihen von EINich + 1 Pro ich = 1, . n – 1 , dann das Produkt

    ist definiert und hängt nicht von der Reihenfolge der Multiplikationen ab, wenn die Reihenfolge der Matrizen fest gehalten wird.

    Diese Eigenschaften können durch einfache, aber komplizierte Summenmanipulationen nachgewiesen werden. Dieses Ergebnis folgt auch aus der Tatsache, dass Matrizen lineare Abbildungen darstellen. Daher ist die assoziative Eigenschaft von Matrizen einfach ein Sonderfall der assoziativen Eigenschaft der Funktionszusammensetzung.

    Komplexität ist nicht assoziativ Bearbeiten

    Obwohl das Ergebnis einer Folge von Matrixprodukten nicht von der Reihenfolge der Operation abhängt (vorausgesetzt, dass die Reihenfolge der Matrizen nicht geändert wird), kann die Rechenkomplexität dramatisch von dieser Reihenfolge abhängen.

    Zum Beispiel, wenn EIN, B und C sind Matrizen der jeweiligen Größe 10×30, 30×5, 5×60 , Berechnung (AB)C benötigt 10×30×5 + 10×5×60 = 4.500 Multiplikationen beim Rechnen EIN(BC) benötigt 30×5×60 + 10×30×60 = 27.000 Multiplikationen.

    Algorithmen wurden entwickelt, um die beste Produktreihenfolge auszuwählen, siehe Matrixkettenmultiplikation. Wenn die Anzahl n von Matrizen zunimmt, hat sich gezeigt, dass die Wahl der besten Ordnung eine Komplexität von O ( n log ⁡ n ) hat.

    Antrag auf Ähnlichkeit Bearbeiten

    Ähnlichkeitstransformationen ordnen Produkt zu Produkten zu, d. h.

    Ob n > 1 , viele Matrizen haben keine multiplikative Inverse. Zum Beispiel hat eine Matrix, bei der alle Einträge einer Zeile (oder einer Spalte) 0 sind, keine Umkehrung. Wenn sie existiert, ist die Inverse einer Matrix EIN wird bezeichnet EIN −1 , und verifiziert somit

    Eine Matrix mit einer Inversen ist eine invertierbare Matrix. Ansonsten ist es eine singuläre Matrix.

    Ein Produkt von Matrizen ist genau dann invertierbar, wenn jeder Faktor invertierbar ist. In diesem Fall hat man

    Wenn R kommutativ ist und insbesondere ein Körper ist, ist die Determinante eines Produkts das Produkt der Determinanten. Da Determinanten Skalare sind und Skalare kommutieren, gilt somit

    Die anderen Matrixinvarianten verhalten sich bei Produkten nicht so gut. Wenn R jedoch kommutativ ist, AB und BA haben dieselbe Spur, dasselbe charakteristische Polynom und dieselben Eigenwerte mit denselben Multiplizitäten. Die Eigenvektoren sind jedoch im Allgemeinen verschieden, wenn ABBA .

    Potenzen einer Matrix Bearbeiten

    Man kann eine quadratische Matrix zu jeder nichtnegativen ganzen Zahl potenzieren, indem man sie wiederholt mit sich selbst multipliziert, wie bei gewöhnlichen Zahlen. Das ist,

    Die Berechnung der k-ten Potenz einer Matrix benötigt k – 1-fache Zeit einer einzelnen Matrixmultiplikation, wenn sie mit dem trivialen Algorithmus (wiederholte Multiplikation) durchgeführt wird. Da dies sehr zeitaufwändig sein kann, bevorzugt man im Allgemeinen die Exponentiation durch Quadrieren, was weniger als 2 log . erfordert2 k Matrixmultiplikationen und ist daher viel effizienter.

    Ein einfacher Fall für die Exponentiation ist der einer Diagonalmatrix. Da das Produkt von Diagonalmatrizen einfach darin besteht, entsprechende Diagonalelemente miteinander zu multiplizieren, erhält man die k-te Potenz einer Diagonalmatrix, indem man die Einträge mit k potenziert:

    Die Definition des Matrixprodukts erfordert, dass die Einträge zu einem Halbring gehören, und erfordert keine Multiplikation von Elementen des Halbrings, um kommutativ zu sein. In vielen Anwendungen gehören die Matrixelemente zu einem Feld, obwohl der tropische Halbring auch eine gängige Wahl für Graph-Kürzeste-Wege-Probleme ist. [13] Auch bei Matrizen über Körpern ist das Produkt im Allgemeinen nicht kommutativ, obwohl es assoziativ und über Matrixaddition distributiv ist. Die Identitätsmatrizen (das sind die quadratischen Matrizen, deren Einträge außerhalb der Hauptdiagonale null und auf der Hauptdiagonalen 1 sind) sind Identitätselemente des Matrixprodukts. Daraus folgt, dass die n × n Matrizen über einem Ring bilden einen Ring, der nicht kommutativ ist, außer wenn n = 1 und der Erdungsring ist kommutativ.

    Eine quadratische Matrix kann eine multiplikative Inverse haben, die als inverse Matrix bezeichnet wird. Im allgemeinen Fall, in dem die Einträge zu einem kommutativen Ring r gehören, hat eine Matrix genau dann eine Inverse, wenn ihre Determinante eine multiplikative Inverse in r hat. Die Determinante eines Produkts quadratischer Matrizen ist das Produkt der Determinanten der Faktoren. Das n × n Matrizen, die eine Inverse haben, bilden bei der Matrixmultiplikation eine Gruppe, deren Untergruppen Matrixgruppen genannt werden. Viele klassische Gruppen (einschließlich aller endlichen Gruppen) sind zu Matrixgruppen isomorph. Dies ist der Ausgangspunkt der Theorie der Gruppendarstellungen.

    Überraschenderweise ist diese Komplexität nicht optimal, wie 1969 von Volker Strassen gezeigt wurde, der einen Algorithmus, der heute Strassen-Algorithmus genannt wird, mit einer Komplexität von O ( n log 2 ⁡ 7 ) O ( n 2,8074 ) bereitstellte. 7>)approx O(n^<2.8074>).> [14] Stand Dezember 2020 [Update] ist der beste Matrixmultiplikationsalgorithmus von Josh Alman und Virginia Vassilevska Williams und hat Komplexität Ö(n 2.3728596 ) . [15] Es ist nicht bekannt, ob die Matrixmultiplikation in Ö(n 2 + o(1) ) Zeit. Dies wäre optimal, da man die n 2 > Elemente einer Matrix lesen muss, um sie mit einer anderen Matrix zu multiplizieren.

    Da die Matrixmultiplikation die Grundlage vieler Algorithmen bildet und viele Operationen auf Matrizen sogar die gleiche Komplexität wie die Matrixmultiplikation haben (bis auf eine multiplikative Konstante), tritt die Rechenkomplexität der Matrixmultiplikation in der gesamten numerischen linearen Algebra und der theoretischen Informatik auf.


    Angeleri Hügel, L., Mendoza Hernández, O.: Homologische Dimensionen in Kotorsionspaaren. Illinois J.Math. 53(1), 251–263 (2009)

    Auslander, M., Buchweitz, R.-O.: Die homologische Theorie maximaler Cohen-Macaulay-Approximationen. Mem. Soz. Mathematik. Frankreich (N. S.), (38): 5–37 (1989). Colloque en l’honneur de Pierre Samuel (Orsay, 1987)

    Auslander, M., Reiten, I.: Anwendungen kontravariant endlicher Unterkategorien. Erw. Mathematik. 86(1), 111–152 (1991)

    Auslander, M., Smalø, S.O.: Präprojektive Module über Artin-Algebren. J. Algebra 66, 61–122 (1980)

    Bass, H.: Zur Allgegenwart der Gorensteinringe. Mathematik. Z. 82, 8–28 (1963)

    Beligiannis, A.: Die homologische Theorie kontravariant endlicher Unterkategorien: Auslander-Buchweitz-Kontexte, Gorenstein-Kategorien und (Ko-)Stabilisierung. Komm. Algebra 28(10), 4547–4596 (2000)

    Beligiannis, A., Reiten, I.: Homologische und homotopische Aspekte von Torsionstheorien. Mem. Bin. Mathematik. Soz. 188(883), viii+207 (2007)

    Bennis, D.: Ringe, über die die Klasse der Gorenstein-Flachmodule unter Erweiterungen geschlossen wird. Komm. Algebra 37(3), 855–868 (2009)

    Bican, L., El Bashir, R., Enochs, E.E.: Alle Module haben flache Abdeckungen. Stier. Lange. Mathematik. Soz. 33(4), 385–390 (2001)

    Bravo, D., Gillespie, J., Hovey, M.: Die stabile Modulkategorie eines allgemeinen Rings. Vordruck. arXiv:1405.5768 (2014)

    Bühler, T.: Genaue Kategorien. Messe. Mathematik. 28(1), 1–69 (2010)

    Eilenberg, S., Moore, J.C.: Grundlagen der relativen homologischen Algebra. Mem. Bin. Mathematik. Soz. Nein. 55, 39 (1965)

    Eklof, P.C., Trlifaj, J.: Wie man Ext verschwinden lässt. Stier. Lange. Mathematik. Soz. 33(1), 41–51 (2001)

    Enochs, E. E., Jenda, O. M. G.: Relative homological algebra. Band 30 der De Gruyter Expositionen in Mathematik. Walter de Gruyter und Co., Berlin (2000)

    Estrada, S., Iacob, A., Pérez, M.A.: Modellstrukturen und relative Gorenstein-Flachmodule. Vordruck. arXiv:1709.00658 (2017)

    Fieldhouse, D.J.: Charaktermodule, Dimension und Reinheit. Glasg. Mathematik. J. 13, 144–146 (1972)

    Foxby, H.-B.: Isomorphismen zwischen Komplexen mit Anwendungen auf die homologische Modultheorie. Mathematik. Scan. 40(1), 5–19 (1977)

    Gillespie, J.: Modellstrukturen auf Modulen über Ding-Chen-Ringen. Homologie Homotopie Appl. 12(1), 61–73 (2010)

    Gillespie, J.: Modellstrukturen nach exakten Kategorien. J. Pure Appl. Algebra 215(12), 2892–2902 (2011)

    Gillespie, J.: Wie man aus zwei Kotorsionspaaren ein Hovey-Tripel konstruiert. Fonds. Mathematik. 230(3), 281–289 (2015)

    Gillespie, J.: Dualitätspaare und stabile Modulkategorien. Vordruck. arXiv:1710.09906 (2017)

    Gillespie, J.: Die flache stabile Modulkategorie eines zusammenhängenden Rings. J. Pure Appl. Algebra 221(8), 2025–2031 (2017)

    Gillespie, J., Hovey, M.: Gorenstein-Modellstrukturen und verallgemeinerte abgeleitete Kategorien. Proz. Edinb. Mathematik. Soz., II. Ser. 53(3), 675–696 (2010)

    Göbel, R., Trlifaj, J.: Approximationen und Endomorphismusalgebren von Modulen. Band 41 der De Gruyter Expositionen in Mathematik. Walter de Gruyter GmbH und Co. KG, Berlin (2006)

    Happel, D.: Triangulierte Kategorien in der Darstellungstheorie endlichdimensionaler Algebren. Band 119 der Lecture Note Series der London Mathematical Society. Cambridge University Press, Cambridge (1988)

    Hashimoto, M.: Auslander-Buchweitz-Approximationen von äquivarianten Modulen. Band 282 der Lecture Note Series der London Mathematical Society. Cambridge University Press, Cambridge (2000)

    Holm, H.: Gorenstein-homologische Dimensionen. J. Pure Appl. Algebra 189(1–3), 167–193 (2004)

    Holm, H.: Die Struktur balancierter großer Cohen-Macaulay-Module über Cohen-Macaulay-Ringen. Glasg. Mathematik. J., In: Presse (2016)

    Holm, H., Jørgensen, P.: Covers, Precovers und Reinheit. Illinois J.Math. 52(2), 691–703 (2008)

    Holm, H., Jørgensen, P.: Durch Dualitätspaare induzierte Kotorsionspaare. J. Pendeln. Algebra 1(4), 621–633 (2009)

    Hovey, M.: Modellkategorien, Band 63 der Mathematischen Übersichten und Monographien. Amerikanische Mathematische Gesellschaft, Providence, RI (1999)

    Hovey, M.: Kotorsionspaare, Modellkategoriestrukturen und Darstellungstheorie. Mathematik. Z. 241(3), 553–592 (2002)

    Krause, H.: Krull-Schmidt-Kategorien und projektive Hüllen. Messe. Mathematik. 33(4), 535–549 (2015)

    Krause, H., Solberg, Ø.: Anwendungen von Cotorsionspaaren. J. London. Mathematik. Soz. (2) 68(3), 631–650 (2003)

    Marcos, E.N., Mendoza, O., Sáenz, C., Santiago, V.: Breite Unterkategorien endlich erzeugter () -Module. J. Algebra Appl. https://doi.org/10.1142/S0219498818500822 (2018)

    Matsumura, H.: Kommutative Ringtheorie. Band 8 von Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, zweite Auflage (1989). Übersetzt aus dem Japanischen von M. Reid

    Mendoza, O., Sáenz, C.: Kippkategorien mit Anwendung auf Schichtsysteme. J. Algebra 302(1), 419–449 (2006)

    Murfet, D., Salarian, S.: Totally acyclic complexes over noetherian Schemes. Erw. Mathematik. 226(2), 1096–1133 (2011)

    Quillen, D.G.: Homotopische Algebra. Vorlesungsskript in Mathematik, Nr. 43. Springer, Berlin-New York (1967)

    Quillen, D.G.: Höhere Algebraische (K)-Theorie. I. S. 85–147. Vorlesungsnotizen in Math., vol. 341 (1973)

    Reiten, I.: Kipptheorie und homologisch endliche Unterkategorien mit Anwendungen auf quasihereditäre Algebren. In: Handbook of Tilting Theory, Band 332 von London Math. Soz. Vorlesungsnotiz Ser., S. 179–214. Cambridge-Uni. Presse, Cambridge (2007)

    Salce, L.: Kotorsionstheorien für abelsche Gruppen. In Symposia Mathematica, Bd. XXIII (Conf. Abelian Groups and their Relationship to the Theory of Modules, INDAM, Rom, 1977), S. 11–32. Akademische Presse, London-New York (1979)

    Sather-Wagstaff, S., Sharif, T., White, D.: Stabilität der Gorenstein-Kategorien. J. London. Mathematik. Soz., II. Ser. 77(2), 481–502 (2008)

    Sieg, D.: Ein homologischer Ansatz zur Aufspaltungstheorie von PLS-Räumen. Dissertation, Universität Trier, Universitätsring 15, 54296 Trier (2010)

    Stenström, B.: Kohärente Ringe und (F, P) -injektive Module. J. London. Mathematik. Soz. 2(2), 323–329 (1970)

    Verdier, J.-L.: Des Catégories Dérivées des Catégories Abéliennes. Paris: Société Mathématique de France (1996)

    Zhang, P.: Eine kurze Einführung in die projektiven Module von Gorenstein. www.math.uni-bielefeld.de/sek/sem/abs/zhangpu4.pdf