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15.2: Linienintegrale


Lernziele

  • Berechnen Sie ein skalares Linienintegral entlang einer Kurve.
  • Berechnen Sie ein Vektorlinienintegral entlang einer orientierten Kurve im Raum.
  • Verwenden Sie ein Linienintegral, um die Arbeit zu berechnen, die beim Bewegen eines Objekts entlang einer Kurve in einem Vektorfeld geleistet wird.
  • Beschreiben Sie den Fluss und die Zirkulation eines Vektorfeldes.

Wir kennen einvariable Integrale der Form (displaystyle int_{a}^{b}f(x),dx), wobei der Integrationsbereich ein Intervall ([a,b] ). Ein solches Intervall kann man sich als Kurve in der (xy)-Ebene vorstellen, da das Intervall ein Liniensegment mit Endpunkten ((a,0)) und ((b,0)) definiert – in mit anderen Worten, ein Liniensegment, das sich auf der (x)-Achse befindet. Angenommen, wir möchten über integrieren irgendein Krümmung in der Ebene, nicht nur über ein Liniensegment auf der (x)-Achse. Eine solche Aufgabe erfordert eine neue Art von Integral, genannt a Linienintegral.

Linienintegrale haben viele Anwendungen in der Technik und Physik. Und sie sind eng mit den Eigenschaften von Vektorfeldern verbunden, wie wir sehen werden.

Skalare Linienintegrale

Ein Linienintegral gibt uns die Möglichkeit, multivariable Funktionen und Vektorfelder über beliebige Kurven in einer Ebene oder im Raum zu integrieren. Es gibt zwei Arten von Linienintegralen: skalare Linienintegrale und Vektorlinienintegrale. Skalare Linienintegrale sind Integrale einer Skalarfunktion über einer Kurve in einer Ebene oder im Raum. Vektorlinienintegrale sind Integrale eines Vektorfeldes über einer Kurve in einer Ebene oder im Raum. Betrachten wir zunächst skalare Linienintegrale.

Ein skalares Linienintegral ist genauso definiert wie ein Integral mit einer Variablen, außer dass bei einem skalaren Linienintegral der Integrand eine Funktion von mehr als einer Variablen ist und der Integrationsbereich eine Kurve in einer Ebene oder im Raum ist, da im Gegensatz zu einer Kurve auf der (x)-Achse.

Für ein skalares Linienintegral sei (C) eine glatte Kurve in einer Ebene oder im Raum und sei ff eine Funktion mit einem Definitionsbereich, der (C) enthält. Wir hacken die Kurve in kleine Stücke. Für jedes Stück wählen wir den Punkt (P) in diesem Stück und berechnen (f) bei (P). (Wir können dies tun, weil alle Punkte der Kurve im Bereich von (f) liegen.) Wir multiplizieren (f(P)) mit der Bogenlänge des Stücks (Delta s), addieren das Produkt (f(P)Delta s) über alle Stücke, und lassen Sie dann die Bogenlänge der Stücke auf Null schrumpfen, indem Sie einen Grenzwert nehmen. Das Ergebnis ist das skalare Linienintegral der Funktion über die Kurve.

Für eine formale Beschreibung eines skalaren Linienintegrals sei (C) eine glatte Kurve im Raum, gegeben durch die Parametrisierung (vecs r(t)=⟨x(t),y(t),z(t) ), (a≤t≤b). Sei (f(x,y,z)) eine Funktion mit einem Definitionsbereich, der die Kurve (C) enthält. Um das Linienintegral der Funktion (f) über (C) zu definieren, beginnen wir wie die meisten Definitionen eines Integrals beginnen: Wir zerhacken die Kurve in kleine Stücke. Zerlege das Parameterintervall ([a,b]) in (n) Teilintervalle ([t_{i−l},t_i]) gleicher Breite für (1≤i≤n), wobei (t_0=a) und (t_n=b) (Abbildung (PageIndex{1})). Sei (t_{i}^*) ein Wert im (i^{th})-Intervall ([t_{i−l},t_i]). Bezeichne die Endpunkte von (vecs r(t_0)), (vecs r(t_1)),…, (vecs r(t_n)) mit (P_0),…, (P_n ). Punkte Pich Kurve (C) in (n) Teile (C_1), (C_2),…, (C_n), mit Längen (Delta s_1), (Delta s_2) teilen ),…, (Delta s_n) bzw. Sei (P_{i}^*) der Endpunkt von (vecs r(t_{i}^*)) für (1≤i≤n). Nun werten wir die Funktion (f) am Punkt (P_{i}^*) für (1≤i≤n) aus. Beachten Sie, dass (P_{i}^*) im Stück (C_1) liegt und daher (P_{i}^*) im Bereich von (f) liegt. Multiplizieren Sie (f(P_{i}^*)) mit der Länge (Delta s_1) von (C_1), was die Fläche des „Blatts“ mit Basis (C_1) und Höhe . ergibt (f(P_{i}^{*})). Dies ist analog zur Verwendung von Rechtecken, um die Fläche in einem Integral mit einer einzigen Variablen anzunähern. Wir bilden nun die Summe (displaystyle sum_{i=1}^{n} f(P_{i}^{*}),Delta s_i).

Beachten Sie die Ähnlichkeit dieser Summe mit einer Riemann-Summe; Tatsächlich ist diese Definition eine Verallgemeinerung einer Riemann-Summe auf beliebige Kurven im Raum. Wie bei Riemannschen Summen und Integralen der Form (displaystyle int_{a}^{b}g(x),dx), definieren wir ein Integral, indem wir die Breite der Kurvenstücke um . auf Null schrumpfen lassen eine Grenze nehmen. Das Ergebnis ist das skalare Linienintegral von (f) entlang (C).

Sie haben vielleicht einen Unterschied zwischen dieser Definition eines skalaren Linienintegrals und eines Integrals mit einer Variablen bemerkt. In dieser Definition sind die Bogenlängen (Delta s_1), (Delta s_2),…, (Delta s_n) nicht unbedingt gleich; bei der Definition eines einvariablen Integrals wird die Kurve in der (x)-Achse in gleich lange Stücke zerlegt. Dieser Unterschied hat im Limit keine Auswirkung. Wenn wir die Bogenlängen auf Null verkleinern, werden ihre Werte nahe genug, dass jede kleine Differenz irrelevant wird.

DEFINITION: Skalarlinienintegral

Sei (f) eine Funktion mit einem Definitionsbereich, der die glatte Kurve (C) enthält, die parametrisiert ist durch (vecs r(t)=⟨x(t),y(t),z(t) ), (a≤t≤b). Das Skalarlinienintegral von (f) entlang (C) ist

[int_C f(x,y,z) ,ds=lim_{n oinfty}sum_{i=1}^{n}f(P_{i}^{*}), Delta s_i label{eq12a}]

falls diese Grenze existiert, werden (t_{i}^{*}) und (Delta s_i) wie in den vorherigen Absätzen definiert). Wenn (C) eine ebene Kurve ist, dann kann (C) durch die parametrischen Gleichungen (x=x(t)), (y=y(t)) und (a t≤b). Wenn (C) glatt und (f(x,y)) eine Funktion zweier Variablen ist, dann ist das Skalarlinienintegral von (f) entlang (C) ähnlich definiert wie

[int_C f(x,y) ,ds=lim_{n oinfty}sum_{i=1}^{n} f(P_{i}^{*}),Updelta s_i , label{eq13}]

wenn diese Grenze existiert.

Wenn (f) eine stetige Funktion auf einer glatten Kurve (C) ist, dann existiert immer (displaystyle int_C f,ds). Da (displaystyle int_C f ,ds) als Grenzwert von Riemannschen Summen definiert ist, reicht die Stetigkeit von (f) aus, um die Existenz des Grenzwertes zu garantieren, ebenso wie das Integral (displaystyle int_ {a}^{b}g(x),dx) existiert, wenn (g) über ([a,b]) stetig ist.

Bevor wir uns ansehen, wie ein Linienintegral berechnet wird, müssen wir die von diesen Integralen erfasste Geometrie untersuchen. Angenommen, (f(x,y)≥0) für alle Punkte ((x,y)) auf einer glatten ebenen Kurve (C). Stellen Sie sich vor, Sie nehmen die Kurve (C) und projizieren sie „nach oben“ auf die durch (f(x,y) definierte Fläche, wodurch eine neue Kurve (C′) erzeugt wird, die im Graphen von (f .) liegt (x,y)) (Abbildung (PageIndex{2})). Nun lassen wir ein „Blatt“ von (C′) auf die (xy)-Ebene fallen. Die Fläche dieses Blattes ist (displaystyle int_C f(x,y)ds). Wenn (f(x,y)≤0) für einige Punkte in (C) gilt, dann ist der Wert von (displaystyle int_C f(x,y),ds) die Fläche über dem (xy)-Ebene abzüglich der Fläche unterhalb der (xy)-Ebene. (Man beachte die Ähnlichkeit mit Integralen der Form (displaystyle int_{a}^{b}g(x),dx).)

Aus dieser Geometrie können wir sehen, dass das Linienintegral (displaystyle int_C f(x,y),ds) nicht von der Parametrisierung (vecs r(t)) von (C) abhängt. Solange die Kurve von der Parametrierung genau einmal durchfahren wird, ist die Fläche des von der Funktion und der Kurve gebildeten Blattes gleich. Dieselbe Art von geometrischem Argument kann erweitert werden, um zu zeigen, dass das Linienintegral einer Funktion mit drei Variablen über einer Kurve im Raum nicht von der Parametrisierung der Kurve abhängt.

Beispiel (PageIndex{1}): ​​​​​​Wert eines Linienintegrals ermitteln

Finden Sie den Wert des Integrals (displaystyle int_C 2,ds), wobei (C) die obere Hälfte des Einheitskreises ist.

Lösung

Der Integrand ist (f(x,y)=2). Abbildung (PageIndex{3}) zeigt den Graphen von (f(x,y)=2), Kurve C, und das von ihnen gebildete Blatt. Beachten Sie, dass dieses Blatt die gleiche Fläche wie ein Rechteck mit der Breite (pi) und der Länge (2) hat. Daher (displaystyle int_C 2 ,ds=2pi, ext{units}^2).

Um zu sehen, dass (displaystyle int_C 2 ,ds=2pi) mit der Definition des Linienintegrals (vecs r(t)) sei, sei (vecs r(t)) eine Parametrisierung von (C). Dann gilt (f(vecs r(t_i))=2) für eine beliebige Zahl (t_i) im Bereich von (vecs r). Deswegen,

[egin{align*} int_C f ,ds &=lim_{n oinfty}sum_{i=1}^{n} f(vecs r(t_{i}^{*} )),Delta s_i [4pt] &=lim_{n oinfty}sum_{i=1}^{n}2,Delta s_i [4pt] &=2lim_ {n oinfty}sum_{i=1}^{n},Delta s_i [4pt] &=2( ext{Länge}space ext{of}space C) [4pt] &=2pi, ext{Einheiten}^2. end{ausrichten*}]

Übung (PageIndex{1})

Finden Sie den Wert von (displaystyle int_C(x+y),ds), wobei (C) die durch (x=t), (y=t), ( 0≤t≤1).

Hinweis

Finden Sie die von (C) gebildete Form und den Funktionsgraphen (f(x,y)=x+y).

Antworten

(sqrt{2})

Beachten Sie, dass bei einem skalaren Linienintegral die Integration in Bezug auf die Bogenlänge (s) erfolgt, was die Berechnung eines skalaren Linienintegrals erschweren kann. Um die Berechnungen zu vereinfachen, können wir (displaystyle int_C f,ds) in ein Integral mit einer Integrationsvariablen (t) übersetzen.

Sei (vecs r(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩) für (a≤t≤b) eine Parametrisierung von (C). Da (C) glatt ist, ist (vecs r′(t)=⟨x′(t),y′(t),z′(t)⟩) stetig für alle ( t) in ([a,b]). Insbesondere existieren (x′(t)), (y′(t)) und (z′(t)) für alle (t) in ([a,b] ). Nach der Bogenlängenformel gilt

[ ext{Länge}(C_i)=Delta s_i=int_{t_{i−1}}^{t_i} ‖vecs r′(t)‖,dt.]

Ist die Breite (Delta t_i=t_i−t_{i−1}) klein, dann ist die Funktion (displaystyle int_{t_{i−1}}^{t_i} ‖vecs r′(t)‖ ,dt,≈,‖vecs r′(t_i^*)‖,Delta t_i), (‖vecs r′(t)‖) ist über das Intervall ([t_ {i−1},t_i]). Daher gilt

[int_{t_{i−1}}^{t_i} ‖vecs r′(t)‖,dt,≈,‖vecs r′(t_{i}^{*})‖ ,Updelta t_i,label{approxLineIntEq1}]

und wir haben

[sum_{i=1}^{n} f(vecs r(t_i^*)),Updelta s_iapproxsum_{i=1}^{n} f(vecs r(t_{ i}^{*})) ‖vecs r′(t_{i}^{*})‖,Delta t_i.]

Siehe Abbildung (PageIndex{4}).

Beachten Sie, dass

[lim_{n oinfty}sum_{i=1}^{n} f(vecs r(t_i^*))‖vecs r′(t_{i}^{*})‖ ,Delta t_i=int_a^bf(vecs r(t))‖vecs r′(t)‖,dt.]

Mit anderen Worten, da die Breiten der Intervalle ([t_{i−1},t_i]) auf Null schrumpfen, wird die Summe (displaystyle sum_{i=1}^{n} f(vecs r( t_i^{*}))‖vecs r′(t_{i}^{*})‖,Delta t_i) konvergiert gegen das Integral (displaystyle int_{a}^{b}f( vecs r(t))‖vecs r′(t)‖,dt). Daher haben wir den folgenden Satz.

Satz: BEWERTUNG EINES SKALARLINIEN-INTEGRAL

Sei (f) eine stetige Funktion mit einem Definitionsbereich, der die glatte Kurve (C) mit der Parametrisierung (vecs r(t)), (a≤t≤b) enthält. Dann

[int_C f,ds=int_{a}^{b} f(vecs r(t))‖vecs r′(t)‖,dt.label{scalerLineInt1}]

Obwohl wir Gleichung ef{approxLineIntEq1} als Gleichung bezeichnet haben, wird sie genauer als Approximation betrachtet, da wir zeigen können, dass sich die linke Seite von Gleichung ef{approxLineIntEq1} der rechten Seite nähert als (n o infty). Mit anderen Worten, wenn man die Breiten der Stücke auf Null schrumpfen lässt, wird die rechte Summe willkürlich nahe an die linke Summe. Seit

[‖vecs r′(t)‖=sqrt{{(x′(t))}^2+{(y′(t))}^2+{(z′(t))}^2 },]

erhalten wir den folgenden Satz, mit dem wir skalare Linienintegrale berechnen.

Satz: Skalarlinienintegralberechnung

Sei (f) eine stetige Funktion mit einem Definitionsbereich, der die glatte Kurve (C) mit der Parametrisierung (vecs r(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩ enthält ), (a≤t≤b). Dann

[int_C f(x,y,z) ,ds=int_{a}^{b} f(vecs r(t))sqrt{({x′(t))}^2+{ (y′(t))}^2+{(z′(t))}^2} ,dt.]

Ähnlich,

[int_C f(x,y) ,ds=int_{a}^{b}f(vecs r(t))sqrt{{(x′(t))}^2+{(y .) ′(t))}^2} ,dt]

wenn (C) eine ebene Kurve ist und (f) eine Funktion zweier Variablen ist.

Beachten Sie, dass eine Konsequenz dieses Satzes die Gleichung (ds=‖vecs r′(t)‖ ,dt) ist. Mit anderen Worten, die Änderung der Bogenlänge kann als Änderung im (t)-Bereich betrachtet werden, skaliert durch die Größe des Vektors (vecs r′(t)).

Beispiel (PageIndex{2}): Auswertung eines Linienintegrals

Finden Sie den Wert des Integrals (displaystyle int_C(x^2+y^2+z) ,ds), wobei (C) ein Teil der Helix ist, die durch (vecs r(t)= ⟨cos t,sin t,t⟩), (0≤t≤2pi).

Lösung

Um ein skalares Linienintegral zu berechnen, beginnen wir damit, die Integrationsvariable von der Bogenlänge (s) in (t) umzuwandeln. Dann können wir Gleichung ef{eq12a} verwenden, um das Integral bezüglich (t) zu berechnen. Beachten Sie, dass

[f(vecs r(t))={cos}^2 t+{sin}^2 t+t=1+t onumber]

und

[sqrt{{(x′(t))}^2+{(y′(t))}^2+{(z′(t))}^2} =sqrt{{(−sin .) (t))}^2+{cos}^2(t)+1} =sqrt{2}. onumber]

Deswegen,

[int_C(x^2+y^2+z) ,ds=int_{0}^{2pi} (1+t)sqrt{2} ,dt. keine Nummer]

Beachten Sie, dass Gleichung ef{eq12a} das ursprüngliche schwierige Linienintegral in ein handhabbares Integral mit einer Variablen übersetzte. Seit

[egin{align*} int_{0}^{2pi} (1+t)sqrt{2}, dt &={left[sqrt{2}t+dfrac{sqrt{ 2}t^2}{2} ight]}_{0}^{2pi} [4pt]
&=2sqrt{2}pi+2sqrt{2}{pi}^2, end{align*}]

wir haben

[int_C(x^2+y^2+z) ,ds=2sqrt{2}pi+2sqrt{2}{pi}^2. keine Nummer]

Übung (PageIndex{2})

Bewerte (displaystyle int_C(x^2+y^2+z)ds), wobei C ist die Kurve mit der Parametrisierung (vecs r(t)=⟨sin(3t),cos(3t)⟩), (0≤t≤dfrac{pi}{4}).

Hinweis

Verwenden Sie die Zwei-Variablen-Version der Skalarlinienintegraldefinition (Gleichung ef{eq13}).

Antworten

[dfrac{1}{3}+dfrac{sqrt{2}}{6}+dfrac{3pi}{4}]

Beispiel (PageIndex{3}): Unabhängigkeit der Parametrierung

Finden Sie den Wert des Integrals (displaystyle int_C(x^2+y^2+z) ,ds), wobei (C) ein Teil der Helix ist, die durch (vecs r(t)= . parametrisiert ist ⟨cos(2t),sin(2t),2t⟩), (0≤t≤π). Beachten Sie, dass diese Funktion und Kurve dieselben sind wie im vorherigen Beispiel; der einzige Unterschied besteht darin, dass die Kurve so umparametriert wurde, dass die Zeit doppelt so schnell läuft.

Lösung

Wie im vorherigen Beispiel verwenden wir Gleichung ef{eq12a}, um das Integral bezüglich (t) zu berechnen. Beachten Sie, dass (f(vecs r(t))={cos}^2(2t)+{sin}^2(2t)+2t=2t+1) und

[egin{align*} sqrt{{(x′(t))}^2+{(y′(t))}^2+{(z′(t))}^2} &= sqrt{(−sin t+cos t+4)} [4pt] &=22
end{ausrichten*}]

also haben wir

[egin{align*} int_C(x^2+y^2+z)ds &=2sqrt{2}int_{0}^{pi}(1+2t)dt[4pt ] &=2sqrt{2}Big[t+t^2Big]_0^{pi} [4pt] &=2sqrt{2}(pi+{pi}^2). end{ausrichten*}]

Beachten Sie, dass dies mit der Antwort im vorherigen Beispiel übereinstimmt. Eine Änderung der Parametrierung hat den Wert des Linienintegrals nicht verändert. Skalarlinienintegrale sind unabhängig von der Parametrierung, solange die Kurve von der Parametrierung genau einmal durchlaufen wird.

Übung (PageIndex{3})

Berechne das Linienintegral (displaystyle int_C(x^2+yz) ,ds), wobei (C) die Gerade mit der Parametrisierung (vecs r(t)=⟨2t,5t,−t⟩ ist ), (0≤t≤10). Umparametrieren C mit Parametrierung (s(t)=⟨4t,10t,−2t⟩), (0≤t≤5), Linienintegral neu berechnen (displaystyle int_C(x^2+yz) ,ds ) und beachten Sie, dass die Änderung der Parametrierung keinen Einfluss auf den Wert des Integrals hatte.

Hinweis

Verwenden Sie Gleichung ef{eq12a}.

Antworten

Beide Linienintegrale sind gleich (−dfrac{1000sqrt{30}}{3}).

Da wir nun Linienintegrale auswerten können, können wir sie verwenden, um die Bogenlänge zu berechnen. Wenn (f(x,y,z)=1), dann

[egin{align*} int_C f(x,y,z) ,ds &=lim_{n oinfty} sum_{i=1}^{n} f(t_{i}^ {*}) ,Delta s_i [4pt] &=lim_{n oinfty} sum_{i=1}^{n} ,Delta s_i [4pt] &=lim_ {n oinfty} ext{Länge} (C)[4pt] &= ext{Länge} (C). end{ausrichten*}]

Daher ist (displaystyle int_C 1 ,ds) die Bogenlänge von (C).

Beispiel (PageIndex{4}): Berechnung der Bogenlänge

Ein Draht hat eine Form, die mit der Parametrisierung (vecs r(t)=⟨cos t,sin t,t⟩), (0≤t≤4pi) modelliert werden kann. Finden Sie die Länge des Drahtes.

Lösung

Die Länge des Drahtes ist gegeben durch (displaystyle int_C 1 ,ds), wobei (C) die Kurve mit der Parametrierung (vecs r) ist. Deswegen,

[egin{align*} ext{Die Länge des Drahtes} &=int_C 1 ,ds [4pt] &=int_{0}^{4pi} ||vecs r′( t)||,dt [4pt] &=int_{0}^{4pi} sqrt{(−sin t)^2+cos^2 t+t}dt [4pt ] &=int_{0}^{4pi} sqrt{1+t} dt [4pt] &=left.dfrac{2{(1+t)}^{frac{3} {2}}}{3} ight|_{0}^{4pi} [4pt] &=frac{2}{3}left((1+4pi)^{3/ 2}−1 echts). end{ausrichten*}]

Übung (PageIndex{4})

Bestimme die Länge eines Drahtes mit der Parametrierung (vecs r(t)=⟨3t+1,4−2t,5+2t⟩), (0≤t≤4).

Hinweis

Finden Sie das Linienintegral von Eins über der entsprechenden Kurve.

Antworten

(4sqrt{17})


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Ergebnis

So funktioniert der Integralrechner

Für diejenigen mit technischem Hintergrund erklärt der folgende Abschnitt die Funktionsweise des Integralrechners.

Zunächst analysiert ein Parser die mathematische Funktion. Es transformiert es in eine für einen Computer besser verständliche Form, nämlich einen Baum (siehe Abbildung unten). Dabei muss der Integralrechner die Reihenfolge der Operationen einhalten. Eine Besonderheit bei mathematischen Ausdrücken ist, dass das Multiplikationszeichen manchmal weggelassen werden kann, zum Beispiel schreiben wir "5x" statt "5*x". Der Integralrechner muss diese Fälle erkennen und das Multiplikationszeichen einfügen.

Der Parser ist in JavaScript implementiert, basiert auf dem Shunting-Yard-Algorithmus und kann direkt im Browser ausgeführt werden. Dies ermöglicht ein schnelles Feedback während der Eingabe, indem der Baum in LaTeX-Code umgewandelt wird. MathJax kümmert sich um die Anzeige im Browser.

Wenn das "Los!" Wird die Schaltfläche angeklickt, sendet der Integralrechner die mathematische Funktion und die Einstellungen (Integrationsvariable und Integrationsgrenzen) an den Server, wo sie erneut analysiert werden. Diesmal wird die Funktion in eine für das Computeralgebrasystem Maxima verständliche Form transformiert.

Maxima kümmert sich um die tatsächliche Berechnung des Integrals der mathematischen Funktion. Die Ausgabe von Maxima wird wieder in LaTeX umgewandelt und dann dem Benutzer präsentiert. Die Stammfunktion wird mit dem Risch-Algorithmus berechnet, der für den Menschen schwer zu verstehen ist. Deshalb ist es für Integrale sehr schwierig, die Berechnungsschritte zu zeigen.

Um die Schritte anzuzeigen, wendet der Rechner die gleichen Integrationstechniken an, die ein Mensch anwenden würde. Das Programm, das dies tut, wurde über mehrere Jahre entwickelt und ist in Maximas eigener Programmiersprache geschrieben. Es besteht aus mehr als 17000 Zeilen Code. Wenn der Integrand einer bekannten Form entspricht, wendet er feste Regeln an, um das Integral zu lösen (z. B. Partialbruchzerlegung für rationale Funktionen, trigonometrische Substitution für Integranden mit den Quadratwurzeln eines quadratischen Polynoms oder Integration durch Teile für Produkte bestimmter Funktionen). Andernfalls versucht es verschiedene Substitutionen und Transformationen, bis entweder das Integral gelöst ist, die Zeit abläuft oder es nichts mehr zu versuchen gibt. Dem Rechner fehlt die mathematische Intuition, die sehr nützlich ist, um eine Stammfunktion zu finden, aber andererseits kann er in kurzer Zeit eine Vielzahl von Möglichkeiten ausprobieren. Die schrittweisen Stammfunktionen sind oft viel kürzer und eleganter als die von Maxima gefundenen.

Die Funktion "Antwort prüfen" muss die schwierige Aufgabe lösen, festzustellen, ob zwei mathematische Ausdrücke äquivalent sind. Ihre Differenz wird mit Maxima berechnet und soweit wie möglich vereinfacht. Dazu gehört zum Beispiel das Schreiben trigonometrischer/hyperbolischer Funktionen in ihren Exponentialformen. Kann gezeigt werden, dass sich die Differenz zu Null vereinfacht, ist die Aufgabe gelöst. Andernfalls wird ein probabilistischer Algorithmus angewendet, der beide Funktionen an zufällig ausgewählten Stellen auswertet und vergleicht. Bei Stammfunktionen wird der gesamte Vorgang mit der Ableitung jeder Funktion wiederholt, da Stammfunktionen sich um eine Konstante unterscheiden dürfen.

Die interaktiven Funktionsgraphen werden im Browser berechnet und in einem Canvas-Element (HTML5) angezeigt. Für jede darzustellende Funktion erstellt der Rechner eine JavaScript-Funktion, die dann in kleinen Schritten ausgewertet wird, um den Graphen zu zeichnen. Beim Graphen werden Singularitäten (z. B. Pole) erkannt und speziell behandelt. Die Gestensteuerung wird mit Hammer.js implementiert.

Wenn Sie Fragen oder Verbesserungsvorschläge zum Integralrechner haben, schreiben Sie mir gerne eine E-Mail.


Inhalt

Qualitativ kann man sich ein Linienintegral in der Vektorrechnung als Maß für die Gesamtwirkung eines gegebenen Tensorfeldes entlang einer gegebenen Kurve vorstellen. Zum Beispiel kann das Linienintegral über einem skalaren Feld (Tensor Rang 0) als die Fläche unter dem Feld interpretiert werden, die durch eine bestimmte Kurve herausgeschnitten wird. Dies kann als die Oberfläche visualisiert werden, die durch z = F(x,ja) und eine Kurve C in dem xy Flugzeug. Das Linienintegral von F wäre der Bereich des "Vorhangs", der erzeugt wird – wenn die Punkte der Oberfläche, die direkt darüber liegen, C herausgeschnitzt sind.

Linienintegral eines Skalarfeldes Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Geometrisch ist das Skalarfeld f über einer Ebene definiert (n = 2) , ihr Graph ist eine Fläche z = F(x, ja) im Raum, und das Linienintegral gibt die (vorzeichenbehaftete) Querschnittsfläche an, die von der Kurve C >> und der Graph von f . Sehen Sie sich die Animation rechts an.

Ableitung Bearbeiten

Für ein Linienintegral über einem skalaren Körper kann das Integral aus einer Riemann-Summe unter Verwendung der obigen Definitionen von f , C und einer Parametrisierung konstruiert werden R von C. Dies kann durch Partitionieren des Intervalls [ein, B] in n Teilintervalle [Tich−1, Tich] der Länge ΔT = (Bein)/n , dann R(Tich) bezeichnet einen Punkt, nennen Sie ihn einen Abtastpunkt, auf der Kurve C . Wir können die Menge der Abtastpunkte <R(Tich): 1 ≤ ichn> die Kurve C durch einen polygonalen Pfad anzunähern, indem ein gerades Linienstück zwischen jedem der Abtastpunkte eingefügt wird R(Tich−1) und R(Tich) . Wir bezeichnen dann den Abstand zwischen jedem der Abtastpunkte auf der Kurve als ΔSich . Das Produkt von F(R(Tich)) und ΔSich kann dem vorzeichenbehafteten Bereich eines Rechtecks ​​mit einer Höhe und Breite von zugeordnet werden F(R(Tich)) und ΔSich , beziehungsweise. Wenn wir den Grenzwert der Summe der Terme nehmen, wenn die Länge der Partitionen gegen Null geht, erhalten wir

Nach dem Mittelwertsatz ist der Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Punkten auf der Kurve

Setzt man dies in die obige Riemann-Summe ein, erhält man

das ist die Riemann-Summe für das Integral

Linienintegral eines Vektorfeldes Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Für ein Vektorfeld F: UR nR n , das Linienintegral entlang einer stückweise glatten Kurve CU, in der Richtung von R, ist definiert als [2]

wobei · das Skalarprodukt ist und R: [ein, B] → C ist eine bijektive Parametrisierung der Kurve C so dass R(ein) und R(B) geben Sie die Endpunkte von an C.

Ein Linienintegral eines Skalarfeldes ist also ein Linienintegral eines Vektorfeldes, wobei die Vektoren immer tangential zur Linie stehen.

Linienintegrale von Vektorfeldern sind unabhängig von der Parametrisierung R in absoluten Werten, aber sie hängen von ihrer Ausrichtung ab. Konkret ändert eine Umkehr der Orientierung der Parametrisierung das Vorzeichen des Linienintegrals. [3]

Aus der Sicht der Differentialgeometrie ist das Linienintegral eines Vektorfeldes entlang einer Kurve das Integral der entsprechenden 1-Form unter dem musikalischen Isomorphismus (der das Vektorfeld in das entsprechende Kovektorfeld bringt), über die als eingetauchte Kurve betrachtete Kurve 1-Verteiler.

Ableitung Bearbeiten

Das Linienintegral eines Vektorfeldes kann auf ähnliche Weise wie bei einem Skalarfeld abgeleitet werden, diesmal jedoch unter Einbeziehung eines Skalarprodukts. Wieder mit den obigen Definitionen von F , C und seine Parametrisierung R(T) konstruieren wir das Integral aus einer Riemann-Summe. Wir partitionieren das Intervall [ein, B] (das ist der Bereich der Werte des Parameters t ) in n Intervalle der Länge ΔT = (Bein)/n . Vermietung Tich sei der i-te Punkt auf [ein, B] , dann R(Tich) gibt uns die Position des i-ten Punktes auf der Kurve. Anstatt jedoch die Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Punkten zu berechnen, müssen wir deren Verschiebungsvektoren berechnen, .Rich . Nach wie vor bewerten F an allen Punkten der Kurve und das Punktprodukt mit jedem Verschiebungsvektor ergibt den infinitesimalen Beitrag jeder Partition von F auf C. Wenn wir die Größe der Partitionen auf Null gehen lassen, erhalten wir eine Summe

Nach dem Mittelwertsatz sehen wir, dass der Verschiebungsvektor zwischen benachbarten Punkten auf der Kurve

Setzt man dies in die obige Riemann-Summe ein, erhält man

das ist die Riemann-Summe für das oben definierte Integral.

Pfadunabhängigkeit Bearbeiten

Wenn ein Vektorfeld F ist der Gradient eines Skalarfeldes g (d.h. wenn F ist konservativ), d.h.

dann nach der multivariablen Kettenregel die Ableitung der Zusammensetzung von g und R(T) ist

was zufällig der Integrand für das Linienintegral von . ist F an R(T). Es folgt, ein Pfad gegeben C , das

Mit anderen Worten, das Integral von F Über C hängt allein von den Werten von ab g an den punkten R(B) und R(ein) und ist somit unabhängig vom Weg zwischen ihnen. Aus diesem Grund heißt ein Linienintegral eines konservativen Vektorfeldes pfadunabhängig.

Anwendungen Bearbeiten

Das Linienintegral hat viele Anwendungen in der Physik. Zum Beispiel die Arbeit, die an einem Teilchen geleistet wird, das sich auf einer Kurve bewegt C innerhalb eines Kraftfeldes, dargestellt als Vektorfeld F ist das Linienintegral von F an C. [4]

Die Strömung wird orientiert berechnet: Die Kurve C hat eine vorgegebene Vorwärtsrichtung von R(ein) zu R(B) und der Durchfluss wird als positiv gezählt, wenn F(R(T)) liegt im Uhrzeigersinn des Vorwärtsgeschwindigkeitsvektors R'(T) .

kann durch Unterteilung des Intervalls definiert werden [ein, B] hinein ein = T0 < T1 <. < Tn = B und unter Berücksichtigung des Ausdrucks

Das Integral ist dann der Grenzwert dieser Riemann-Summe, wenn die Längen der Unterteilungsintervalle gegen Null gehen.

Ist die Parametrisierung γ stetig differenzierbar, kann das Linienintegral als Integral einer Funktion einer reellen Variablen ausgewertet werden: [2]

Wenn L eine geschlossene Kurve ist (Anfangs- und Endpunkt fallen zusammen), wird das Linienintegral oft als ∮ L f ( z ) d z , < extstyle oint _f(z),dz,> in der Technik manchmal als a . bezeichnet zyklisches Integral.

Das Geradenintegral bezüglich des konjugierten komplexen Differentials d z ¯ >> ist definiert [5] als

Die Linienintegrale komplexer Funktionen können mit einer Reihe von Techniken ausgewertet werden. Am direktesten ist die Aufteilung in Real- und Imaginärteil, wodurch das Problem auf die Auswertung von zwei reellwertigen Linienintegralen reduziert wird. Der Cauchy-Integralsatz kann verwendet werden, um das Linienintegral einer analytischen Funktion mit demselben Integral über eine bequemere Kurve gleichzusetzen. Es impliziert auch, dass über einer geschlossenen Kurve, die einen Bereich umschließt, in dem F(z) ist analytisch ohne Singularitäten, der Wert des Integrals ist einfach Null, oder falls die Region Singularitäten enthält, berechnet der Residuensatz das Integral in Bezug auf die Singularitäten.

Beispiel Bearbeiten

Betrachten Sie die Funktion F(z) = 1/z, und lassen Sie die Kontur L sei der Einheitskreis gegen den Uhrzeigersinn um 0, parametrisiert durch z(T) = e es mit T in [0, 2π] unter Verwendung der komplexen Exponentialfunktion. Als Ersatz finden wir:

Beziehung von komplexem Linienintegral und Linienintegral des Vektorfeldes Bearbeiten

Die Wegintegralformulierung der Quantenmechanik bezieht sich eigentlich nicht auf Wegintegrale in diesem Sinne, sondern auf funktionale Integrale, also Integrale über einen Wegraum, einer Funktion von ein möglicher Weg. Pfadintegrale im Sinne dieses Artikels sind jedoch in der Quantenmechanik wichtig, zum Beispiel wird komplexe Konturintegration häufig bei der Bewertung von Wahrscheinlichkeitsamplituden in der Quantenstreutheorie verwendet.


6.2 Linienintegrale

Linienintegrale haben viele Anwendungen in der Technik und Physik. Sie erlauben uns auch, mehrere nützliche Verallgemeinerungen des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung vorzunehmen. Und sie sind eng mit den Eigenschaften von Vektorfeldern verbunden, wie wir sehen werden.

Skalare Linienintegrale

Ein Linienintegral gibt uns die Möglichkeit, multivariable Funktionen und Vektorfelder über beliebige Kurven in einer Ebene oder im Raum zu integrieren. Es gibt zwei Arten von Linienintegralen: skalare Linienintegrale und Vektorlinienintegrale. Skalare Linienintegrale sind Integrale einer Skalarfunktion über einer Kurve in einer Ebene oder im Raum. Vektorlinienintegrale sind Integrale eines Vektorfeldes über einer Kurve in einer Ebene oder im Raum. Betrachten wir zunächst skalare Linienintegrale.

Ein skalares Linienintegral ist genauso definiert wie ein Integral mit einer Variablen, außer dass bei einem skalaren Linienintegral der Integrand eine Funktion von mehr als einer Variablen ist und der Integrationsbereich eine Kurve in einer Ebene oder im Raum ist, da im Gegensatz zu einer Kurve auf dem x-Achse.

Definition

Beispiel 6.14

Den Wert eines Linienintegrals ermitteln

Lösung

Note that in a scalar line integral, the integration is done with respect to arc length S, which can make a scalar line integral difficult to calculate. To make the calculations easier, we can translate ∫ C f d s ∫ C f d s to an integral with a variable of integration that is T.

Evaluating a Scalar Line Integral

Although we have labeled Equation 6.6 as an equation, it is more accurately considered an approximation because we can show that the left-hand side of Equation 6.6 approaches the right-hand side as n → ∞ . n → ∞ . In other words, letting the widths of the pieces shrink to zero makes the right-hand sum arbitrarily close to the left-hand sum. Seit

we obtain the following theorem, which we use to compute scalar line integrals.

Scalar Line Integral Calculation

Example 6.15

Evaluating a Line Integral

Lösung

To compute a scalar line integral, we start by converting the variable of integration from arc length S zu T. Then, we can use Equation 6.8 to compute the integral with respect to T. Note that f ( r ( t ) ) = cos 2 t + sin 2 t + t = 1 + t f ( r ( t ) ) = cos 2 t + sin 2 t + t = 1 + t and

Notice that Equation 6.8 translated the original difficult line integral into a manageable single-variable integral. Seit

Example 6.16

Independence of Parameterization

Lösung

As with the previous example, we use Equation 6.8 to compute the integral with respect to T. Note that f ( r ( t ) ) = cos 2 ( 2 t ) + sin 2 ( 2 t ) + 2 t = 2 t + 1 f ( r ( t ) ) = cos 2 ( 2 t ) + sin 2 ( 2 t ) + 2 t = 2 t + 1 and

Notice that this agrees with the answer in the previous example. Changing the parameterization did not change the value of the line integral. Scalar line integrals are independent of parameterization, as long as the curve is traversed exactly once by the parameterization.

Now that we can evaluate line integrals, we can use them to calculate arc length. If f ( x , y , z ) = 1 , f ( x , y , z ) = 1 , then

Example 6.17

Calculating Arc Length

A wire has a shape that can be modeled with the parameterization r ( t ) = ⟨ cos t , sin t , t 2 2 ⟩ , 0 ≤ t ≤ 4 π . r ( t ) = ⟨ cos t , sin t , t 2 2 ⟩ , 0 ≤ t ≤ 4 π . Find the length of the wire.

Lösung

Find the length of a wire with parameterization r ( t ) = 〈 3 t + 1 , 4 − 2 t , 5 + 2 t 〉 , 0 ≤ t ≤ 4 . r ( t ) = 〈 3 t + 1 , 4 − 2 t , 5 + 2 t 〉 , 0 ≤ t ≤ 4 .

Vector Line Integrals

The second type of line integrals are vector line integrals, in which we integrate along a curve through a vector field. For example, let

To answer this question, first note that a particle could travel in two directions along a curve: a forward direction and a backward direction. The work done by the vector field depends on the direction in which the particle is moving. Therefore, we must specify a direction along curve C such a specified direction is called an orientation of a curve . The specified direction is the positiv direction along C the opposite direction is the Negativ direction along C. Wann C has been given an orientation, C is called an oriented curve (Figure 6.16). The work done on the particle depends on the direction along the curve in which the particle is moving.

which gives us the concept of a vector line integral.

Definition

The vector line integral of vector field F along oriented smooth curve C ist

With scalar line integrals, neither the orientation nor the parameterization of the curve matters. As long as the curve is traversed exactly once by the parameterization, the value of the line integral is unchanged. With vector line integrals, the orientation of the curve does matter. If we think of the line integral as computing work, then this makes sense: if you hike up a mountain, then the gravitational force of Earth does negative work on you. If you walk down the mountain by the exact same path, then Earth’s gravitational force does positive work on you. In other words, reversing the path changes the work value from negative to positive in this case. Beachten Sie, dass wenn C is an oriented curve, then we let −C represent the same curve but with opposite orientation.

Thus, we have the following formula for computing vector line integrals:

Example 6.18

Evaluating a Vector Line Integral

Lösung

We can use Equation 6.9 to convert the variable of integration from S zu T. We then have

Example 6.19

Reversing Orientation

Lösung

Notice that this is the same problem as Example 6.18, except the orientation of the curve has been traversed. In this example, the parameterization starts at r ( 0 ) = 〈 –1 , 0 〉 r ( 0 ) = 〈 –1 , 0 〉 and ends at r ( π ) = 〈 1 , 0 〉 . r ( π ) = 〈 1 , 0 〉 . By Equation 6.9,

Notice that this is the negative of the answer in Example 6.18. It makes sense that this answer is negative because the orientation of the curve goes against the “flow” of the vector field.

Lassen C be an oriented curve and let −C denote the same curve but with the orientation reversed. Then, the previous two examples illustrate the following fact:

That is, reversing the orientation of a curve changes the sign of a line integral.

Example 6.20

Finding the Value of an Integral of the Form ∫ C P d x + Q d y + R d z ∫ C P d x + Q d y + R d z

Lösung

As with our previous examples, to compute this line integral we should perform a change of variables to write everything in terms of T. In this case, Equation 6.10 allows us to make this change:

We have learned how to integrate smooth oriented curves. Now, suppose that C is an oriented curve that is not smooth, but can be written as the union of finitely many smooth curves. In this case, we say that C is a piecewise smooth curve . To be precise, curve C is piecewise smooth if C can be written as a union of n smooth curves C 1 , C 2 ,… , C n C 1 , C 2 ,… , C n such that the endpoint of C i C i is the starting point of C i + 1 C i + 1 (Figure 6.19). When curves C i C i satisfy the condition that the endpoint of C i C i is the starting point of C i + 1 , C i + 1 , we write their union as C 1 + C 2 + ⋯ + C n . C 1 + C 2 + ⋯ + C n .

The next theorem summarizes several key properties of vector line integrals.

Properties of Vector Line Integrals

Lassen F und g be continuous vector fields with domains that include the oriented smooth curve C. Dann

Notice the similarities between these items and the properties of single-variable integrals. Properties i. und ii. say that line integrals are linear, which is true of single-variable integrals as well. Property iii. says that reversing the orientation of a curve changes the sign of the integral. If we think of the integral as computing the work done on a particle traveling along C, then this makes sense. If the particle moves backward rather than forward, then the value of the work done has the opposite sign. This is analogous to the equation ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x . ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x . Finally, if [ a 1 , a 2 ] , [ a 2 , a 3 ] ,… , [ a n − 1 , a n ] [ a 1 , a 2 ] , [ a 2 , a 3 ] ,… , [ a n − 1 , a n ] are intervals, then

which is analogous to property iv.

Example 6.21

Using Properties to Compute a Vector Line Integral

Lösung

We want to compute each of the four integrals on the right-hand side using Equation 6.8. Before doing this, we need a parameterization of each side of the rectangle. Here are four parameterizations (note that they traverse C counterclockwise):

Notice that the value of this integral is positive, which should not be surprising. As we move along curve C1 from left to right, our movement flows in the general direction of the vector field itself. At any point along C1, the tangent vector to the curve and the corresponding vector in the field form an angle that is less than 90°. Therefore, the tangent vector and the force vector have a positive dot product all along C1, and the line integral will have positive value.

The calculations for the three other line integrals are done similarly:

Thus, we have ∫ C F · d r = 2 . ∫ C F · d r = 2 .

Applications of Line Integrals

Scalar line integrals have many applications. They can be used to calculate the length or mass of a wire, the surface area of a sheet of a given height, or the electric potential of a charged wire given a linear charge density. Vector line integrals are extremely useful in physics. They can be used to calculate the work done on a particle as it moves through a force field, or the flow rate of a fluid across a curve. Here, we calculate the mass of a wire using a scalar line integral and the work done by a force using a vector line integral.

Example 6.22

Calculating the Mass of a Wire

Calculate the mass of a spring in the shape of a curve parameterized by 〈 t , 2 cos t , 2 sin t 〉 , 〈 t , 2 cos t , 2 sin t 〉 , 0 ≤ t ≤ π 2 , 0 ≤ t ≤ π 2 , with a density function given by ρ ( x , y , z ) = e x + y z ρ ( x , y , z ) = e x + y z kg/m (Figure 6.21).

Lösung

To calculate the mass of the spring, we must find the value of the scalar line integral ∫ C ( e x + y z ) d s , ∫ C ( e x + y z ) d s , where C is the given helix. To calculate this integral, we write it in terms of T using Equation 6.8:

Therefore, the mass is 5 ( e π / 2 + 1 ) 5 ( e π / 2 + 1 ) kg.

Calculate the mass of a spring in the shape of a helix parameterized by r ( t ) = 〈 cos t , sin t , t 〉 , 0 ≤ t ≤ 6 π , r ( t ) = 〈 cos t , sin t , t 〉 , 0 ≤ t ≤ 6 π , with a density function given by ρ ( x , y , z ) = x + y + z ρ ( x , y , z ) = x + y + z kg/m.

When we first defined vector line integrals, we used the concept of work to motivate the definition. Therefore, it is not surprising that calculating the work done by a vector field representing a force is a standard use of vector line integrals. Recall that if an object moves along curve C in force field F, then the work required to move the object is given by ∫ C F · d r . ∫ C F · d r .

Example 6.23

Calculating Work

How much work is required to move an object in vector force field F = 〈 y z , x y , x z 〉 F = 〈 y z , x y , x z 〉 along path r ( t ) = 〈 t 2 , t , t 4 〉 , r ( t ) = 〈 t 2 , t , t 4 〉 , 0 ≤ t ≤ 1 ? 0 ≤ t ≤ 1 ? See Figure 6.22.

Lösung

Lassen C denote the given path. We need to find the value of ∫ C F · d r . ∫ C F · d r . To do this, we use Equation 6.9:

Flux and Circulation

We close this section by discussing two key concepts related to line integrals: flux across a plane curve and circulation along a plane curve. Flux is used in applications to calculate fluid flow across a curve, and the concept of circulation is important for characterizing conservative gradient fields in terms of line integrals. Both these concepts are used heavily throughout the rest of this chapter. The idea of flux is especially important for Green’s theorem, and in higher dimensions for Stokes’ theorem and the divergence theorem.

Lassen C be a plane curve and let F be a vector field in the plane. Sich vorstellen C is a membrane across which fluid flows, but C does not impede the flow of the fluid. Mit anderen Worten, C is an idealized membrane invisible to the fluid. Annehmen F represents the velocity field of the fluid. How could we quantify the rate at which the fluid is crossing C?

Ob F is a velocity field of a fluid and C is a curve that represents a membrane, then the flux of F über C is the quantity of fluid flowing across C per unit time, or the rate of flow.

Definition

The flux of F über C is line integral ∫ C F · n ( t ) ‖ n ( t ) ‖ d s . ∫ C F · n ( t ) ‖ n ( t ) ‖ d s .

We now give a formula for calculating the flux across a curve. This formula is analogous to the formula used to calculate a vector line integral (see Equation 6.9).

Calculating Flux across a Curve

Lassen F be a vector field and let C be a smooth curve with parameterization r ( t ) = 〈 x ( t ) , y ( t ) 〉 , a ≤ t ≤ b . r ( t ) = 〈 x ( t ) , y ( t ) 〉 , a ≤ t ≤ b . Let n ( t ) = 〈 y ′ ( t ) , − x ′ ( t ) 〉 . n ( t ) = 〈 y ′ ( t ) , − x ′ ( t ) 〉 . The flux of F über C ist

Nachweisen

The proof of Equation 6.11 is similar to the proof of Equation 6.8. Before deriving the formula, note that ‖ n ( t ) ‖ = ‖ 〈 y ′ ( t ) , − x ′ ( t ) 〉 ‖ = ( y ′ ( t ) ) 2 + ( x ′ ( t ) ) 2 = ‖ r ′ ( t ) ‖ . ‖ n ( t ) ‖ = ‖ 〈 y ′ ( t ) , − x ′ ( t ) 〉 ‖ = ( y ′ ( t ) ) 2 + ( x ′ ( t ) ) 2 = ‖ r ′ ( t ) ‖ . Deswegen,


Use a Double Integral to find the area between two circles

I am having a difficult time solving this problem. I have tried this several different ways, and I get a different result, none of which is correct, every time. I've derived an answer geometrically and cannot replicate it with a double integral.

Here's the problem: Use a double integral to find the area between two circles $x^2+y^2=4$ and $(x−1)^2+y^2=4.$

Here is how I have tried to go about this problem:

First, I graphed it to get a good idea visually of what I was doing. Here's the graph I scribbled on. The region I'm interested is where these two circles overlap. This region can easily be divided into two separate areas. There are clearly a number of ways to go about solving this. but the one I opted for is to find the shaded region. The bounds for $x$ in this case are between $D$ and $C$. D can be found by setting $C_1=C_2$, and $x$ turns out to be $frac<1><2>$. On the right, $x$ is where $C_1(y)=0$, $x=pm2$, so $x=2$ at point $C$. $y$ is greater than $B_y$ and less than $A_y$, which are also found where $C_1=C_2$, and $y$ turns out to be $pmsqrt<4>>$. So far so good. Now I know my limits of integration. But here's what I don't understand. What am I actually integrating? $x$ has constant bounds, and $y$ does not, and looking at other double integral problems, that would lead me to believe that I should integrate $y$ first as a function of $x$, evaluate it at its bounds, and then integrate $x$ and evaluate it at its bounds giving me half the area I am looking for. However, when I try to do this, I get utter nonsense for an answer, or I get lost trying to set up the problem.

I could really use the help, I've spent entirely too much time trying to puzzle through this. Thank you in advance!


Inhalt

In complex analysis a contour is a type of curve in the complex plane. In contour integration, contours provide a precise definition of the curves on which an integral may be suitably defined. EIN Kurve in the complex plane is defined as a continuous function from a closed interval of the real line to the complex plane: z : [ein, B] → C .

This definition of a curve coincides with the intuitive notion of a curve, but includes a parametrization by a continuous function from a closed interval. This more precise definition allows us to consider what properties a curve must have for it to be useful for integration. In the following subsections we narrow down the set of curves that we can integrate to include only those that can be built up out of a finite number of continuous curves that can be given a direction. Moreover, we will restrict the "pieces" from crossing over themselves, and we require that each piece have a finite (non-vanishing) continuous derivative. These requirements correspond to requiring that we consider only curves that can be traced, such as by a pen, in a sequence of even, steady strokes, which stop only to start a new piece of the curve, all without picking up the pen. [6]

Directed smooth curves Edit

Contours are often defined in terms of directed smooth curves. [6] These provide a precise definition of a "piece" of a smooth curve, of which a contour is made.

EIN glatte Kurve is a curve z : [ein, B] → C with a non-vanishing, continuous derivative such that each point is traversed only once ( z is one-to-one), with the possible exception of a curve such that the endpoints match ( z(ein) = z(B) ). In the case where the endpoints match the curve is called closed, and the function is required to be one-to-one everywhere else and the derivative must be continuous at the identified point ( z′(ein) = z′(B) ). A smooth curve that is not closed is often referred to as a smooth arc. [6]

The parametrization of a curve provides a natural ordering of points on the curve: z(x) comes before z(ja) Wenn x < ja . This leads to the notion of a directed smooth curve. It is most useful to consider curves independent of the specific parametrization. This can be done by considering equivalence classes of smooth curves with the same direction. EIN directed smooth curve can then be defined as an ordered set of points in the complex plane that is the image of some smooth curve in their natural order (according to the parametrization). Note that not all orderings of the points are the natural ordering of a smooth curve. In fact, a given smooth curve has only two such orderings. Also, a single closed curve can have any point as its endpoint, while a smooth arc has only two choices for its endpoints.

Contours Edit

Contours are the class of curves on which we define contour integration. EIN contour is a directed curve which is made up of a finite sequence of directed smooth curves whose endpoints are matched to give a single direction. This requires that the sequence of curves γ1, …, γn be such that the terminal point of γich coincides with the initial point of γich+1 , ∀ ich, 1 ≤ ich < n . This includes all directed smooth curves. Also, a single point in the complex plane is considered a contour. The symbol + is often used to denote the piecing of curves together to form a new curve. Thus we could write a contour Γ that is made up of n curves as

Das contour integral of a complex function F : CC is a generalization of the integral for real-valued functions. For continuous functions in the complex plane, the contour integral can be defined in analogy to the line integral by first defining the integral along a directed smooth curve in terms of an integral over a real valued parameter. A more general definition can be given in terms of partitions of the contour in analogy with the partition of an interval and the Riemann integral. In both cases the integral over a contour is defined as the sum of the integrals over the directed smooth curves that make up the contour.

For continuous functions Edit

To define the contour integral in this way one must first consider the integral, over a real variable, of a complex-valued function. Lassen F : RC be a complex-valued function of a real variable, t . The real and imaginary parts of f are often denoted as du(T) und v(T) , respectively, so that

Lassen F : CC be a continuous function on the directed smooth curve γ . Lassen z : RC be any parametrization of γ that is consistent with its order (direction). Then the integral along γ is denoted

This definition is well defined. That is, the result is independent of the parametrization chosen. [6] In the case where the real integral on the right side does not exist the integral along γ is said not to exist.

As a generalization of the Riemann integral Edit

The generalization of the Riemann integral to functions of a complex variable is done in complete analogy to its definition for functions from the real numbers. The partition of a directed smooth curve γ is defined as a finite, ordered set of points on γ . The integral over the curve is the limit of finite sums of function values, taken at the points on the partition, in the limit that the maximum distance between any two successive points on the partition (in the two-dimensional complex plane), also known as the mesh, goes to zero.

Direct methods involve the calculation of the integral by means of methods similar to those in calculating line integrals in multivariate calculus. This means that we use the following method:

  • parametrizing the contour The contour is parametrized by a differentiable complex-valued function of real variables, or the contour is broken up into pieces and parametrized separately.
  • substitution of the parametrization into the integrand Substituting the parametrization into the integrand transforms the integral into an integral of one real variable.
  • direct evaluation The integral is evaluated in a method akin to a real-variable integral.

Beispiel Bearbeiten

A fundamental result in complex analysis is that the contour integral of 1 / z is 2πich , where the path of the contour is taken to be the unit circle traversed counterclockwise (or any positively oriented Jordan curve about 0). In the case of the unit circle there is a direct method to evaluate the integral

which is the value of the integral.

Applications of integral theorems are also often used to evaluate the contour integral along a contour, which means that the real-valued integral is calculated simultaneously along with calculating the contour integral.

Integral theorems such as the Cauchy integral formula or residue theorem are generally used in the following method:

  • a specific contour is chosen: The contour is chosen so that the contour follows the part of the complex plane that describes the real-valued integral, and also encloses singularities of the integrand so application of the Cauchy integral formula or residue theorem is possible
  • application of Cauchy's integral theorem The integral is reduced to only an integration around a small circle about each pole.
  • application of the Cauchy integral formula or residue theorem Application of these integral formulae gives us a value for the integral around the whole of the contour.
  • division of the contour into a contour along the real part and imaginary part The whole of the contour can be divided into the contour that follows the part of the complex plane that describes the real-valued integral as chosen before (call it R ), and the integral that crosses the complex plane (call it I ). The integral over the whole of the contour is the sum of the integral over each of these contours.
  • demonstration that the integral that crosses the complex plane plays no part in the sum If the integral I can be shown to be zero, or if the real-valued integral that is sought is improper, then if we demonstrate that the integral I as described above tends to 0, the integral along R will tend to the integral around the contour R + ich .
  • conclusion If we can show the above step, then we can directly calculate R , the real-valued integral.

Example 1 Edit

To evaluate this integral, we look at the complex-valued function

which has singularities at i and −ich . We choose a contour that will enclose the real-valued integral, here a semicircle with boundary diameter on the real line (going from, say, −ein to a ) will be convenient. Call this contour C .

There are two ways of proceeding, using the Cauchy integral formula or by the method of residues:


Inhalt

Der Begriff rational in reference to the set Q refers to the fact that a rational number represents a Verhältnis of two integers. In mathematics, "rational" is often used as a noun abbreviating "rational number". The adjective rational sometimes means that the coefficients are rational numbers. For example, a rational point is a point with rational coordinates (i.e., a point whose coordinates are rational numbers) a rational matrix is a matrix of rational numbers a rational polynomial may be a polynomial with rational coefficients, although the term "polynomial over the rationals" is generally preferred, to avoid confusion between "rational expression" and "rational function" (a polynomial is a rational expression and defines a rational function, even if its coefficients are not rational numbers). However, a rational curve ist nicht a curve defined over the rationals, but a curve which can be parameterized by rational functions.

Etymology Edit

Although nowadays rational numbers are defined in terms of Verhältnisse, the term rational is not a derivation of Verhältnis. On the opposite, it is Verhältnis that is derived from rational: the first use of Verhältnis with its modern meaning was attested in English about 1660, [9] while the use of rational for qualifying numbers appeared almost a century earlier, in 1570. [10] This meaning of rational came from the mathematical meaning of irrational, which was first used in 1551, and it was used in "translations of Euclid (following his peculiar use of ἄλογος )". [11] [12]

This unusual history originated in the fact that ancient Greeks "avoided heresy by forbidding themselves from thinking of those [irrational] lengths as numbers". [13] So such lengths were irrational, in the sense of illogical, that is "not to be spoken about" ( ἄλογος in Greek). [14]

This etymology is similar to that of imaginär numbers and Real Zahlen.


Concession -Gestion et exploitation du Bassin de Radoub.

I.1) NOM ET ADRESSES
GRAND PORT MARITIME DE LA MARTINIQUE, FORT-DE-FRANCE, F, Courriel : [email protected] , Code NUTS : FRY20
Adresse(s) internet :
Adresse principale : https://www.martinique.port.fr
Adresse du profil acheteur : https://www.martinique.port.fr

II.1) ÉTENDUE DU MARCHÉ
II.1.1) Intitulé : Concession - Gestion et exploitation du Bassin de Radoub
Numéro de référence : 2021GPMLM004
II.1.2) Code CPV principal :
Descripteur principal : 63721200
Descripteur supplémentaire :
II.1.3) Type de marché
Dienstleistungen
II.1.4) Description succincte : Confier à un opérateur la gestion et l'exploitation du Bassin de Radoub, des bâtiments, terrains et terre-pleins attenants au bassin desservis par des quais et accessibles aux navires pour des opérations de carénage et d'aménagement.


Section VI : Renseignements complémentaires

VI.5) DATE D'ENVOI DU PRÉSENT AVIS
22 juin 2021
VI.6) RÉFÉRENCE DE L'AVIS ORIGINAL
Numéro de l'avis au JO série S : 2021/S 119-316530 du 22/06/2021

Section VII : Modifications

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