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4.4: Rationale Ungleichungen lösen


Lernziele

  • Proportionen lösen
  • Lösen Sie ähnliche Figurenanwendungen
  • Lösen Sie Anwendungen mit gleichmäßiger Bewegung
  • Arbeitsanwendungen lösen
  • Direkte Variationsprobleme lösen
  • Inverse Variationsprobleme lösen

Sei vorbereitet

Bevor Sie beginnen, nehmen Sie an diesem Bereitschaftsquiz teil.

    Beispiel 2.2.13.Beispiel 2.5.13.Beispiel 2.2.9.

Proportionen lösen

Wenn zwei rationale Ausdrücke gleich sind, heißt die sie verbindende Gleichung a Anteil.

Anteil

Ein Anteil ist eine Gleichung der Form (dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d}), wobei (b eq 0, d eq 0).

Das Verhältnis lautet „(a) ist zu (b) wie (c) zu (d).“

Die Gleichung (dfrac{1}{2}=dfrac{4}{8}) ist eine Proportion, weil die beiden Brüche gleich sind. Das Verhältnis (dfrac{1}{2}=dfrac{4}{8}) lautet „1 ist zu 2 wie 4 zu 8“.

Da eine Proportion eine Gleichung mit rationalen Ausdrücken ist, werden wir Proportionen genauso lösen wie rationale Gleichungen. Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit dem LCD, um die Brüche zu löschen, und lösen dann die resultierende Gleichung.

Beispiel (PageIndex{1})

Löse: (dfrac{n}{n+14}=dfrac{5}{7}).

Lösung

[dfrac{n}{n+14}=dfrac{5}{7}, quad n eq-14 onumber]

Multiplizieren Sie beide Seiten mit LCD.

[7(n+14)left(dfrac{n}{n+14} ight)=7(n+14)left(dfrac{5}{7} ight) onumber]

Entfernen Sie gemeinsame Faktoren auf jeder Seite.

[7 n=5(n+14) keineZahl ]

Vereinfachen.

[7 n=5 n+70 keineZahl ]

Löse nach (n) auf.

[egin{ausgerichtet} 2n&=70 n&=35 end{ausgerichtet} onumber ]

Prüfen.

[dfrac{n}{n+14}=dfrac{5}{7} onumber]

Ersatz (n=35)

[dfrac{35}{35+14} overset{?}{=} dfrac{5}{7} onumber]

Vereinfachen.

[dfrac{35}{49} overset{?}{=} dfrac{5}{7} onumber]

Zeigen Sie gemeinsame Faktoren auf.

[dfrac{5 cdot 7}{7 cdot 7} overset{?}{=} dfrac{5}{7} onumber]

Vereinfachen.

[dfrac{5}{7}=dfrac{5}{7}; surd onumber]

Übung (PageIndex{1})

Lösen Sie das Verhältnis auf: (dfrac{y}{y+55}=dfrac{3}{8}).

Antworten

(y=33)

Übung (PageIndex{2})

Lösen Sie das Verhältnis auf: (dfrac{z}{z-84}=-dfrac{1}{5}).

Antworten

(z=14)

Beachten Sie im letzten Beispiel, dass das Ergebnis beim Löschen der Brüche durch Multiplikation mit dem LCD das gleiche ist, als ob wir kreuzmultipliziert hätten.

[egin{ausgerichtet} dfrac{n}{n+14}=dfrac{5}{7} quad quad quad dfrac{n}{n+14}=dfrac{5}{7 } 7(n+14)left(dfrac{n}{n+14} ight)=7(n+14)left(dfrac{5}{7} ight) quad quad quad dfrac{n}{n+14}=dfrac{5}{7} 7n=5(n+14) quad quad quad 7n=5(n+14) end{ausgerichtet} keine Nummer ]

Für jede Proportion, (dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d}), erhalten wir das gleiche Ergebnis, wenn wir die Brüche durch Multiplizieren mit der LCD löschen, wie bei einer Kreuzmultiplikation.

[egin{ausgerichtet} dfrac{a}{b} =dfrac{c}{d} quad quad quad dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d} bd left(dfrac{a}{b}=frac{c}{d} ight) bd quad quad quad frac{a}{b} = frac{c}{d} ad =bc quad quad quad ad=bc end{ausgerichtet} onumber]

Um Anwendungen mit Proportionen zu lösen, folgen wir unserer üblichen Strategie zum Lösen von Anwendungen. Aber wenn wir die Proportionen aufstellen, müssen wir darauf achten, dass die Einheiten richtig sind – die Einheiten in den Zählern müssen zueinander passen und die Einheiten in den Nennern müssen auch zueinander passen.

Wenn Kinderärzte Kindern Paracetamol verschreiben, verschreiben sie 5 Milliliter (ml) Paracetamol pro 25 Pfund des Gewichtes des Kindes. Wenn Zoe 80 Pfund wiegt, wie viele Milliliter Paracetamol wird ihr Arzt verschreiben?

Lösung

Identifizieren Sie, was wir finden sollen, und wählen Sie eine Variable aus, um es darzustellen.

Wie viele ml Paracetamol wird der Arzt verschreiben?

Sei (a=ml) von Paracetamol.

Schreiben Sie einen Satz, der die Informationen enthält, um sie zu finden.

Wenn 5 ml pro 25 Pfund verschrieben werden, wie viel wird dann für 80 Pfund verschrieben?

Übersetzen Sie in eine Proportion – achten Sie auf die Einheiten.

Schritt 1. Schreiben Sie die Ungleichung als einen Quotienten links und Null rechts. Unsere Ungleichung liegt in dieser Form vor.

[dfrac{x-1}{x+3} geq 0 onumber]

Schritt 2. Bestimmen Sie die kritischen Punkte – die Punkte, an denen der rationale Ausdruck null oder undefiniert ist.

Der rationale Ausdruck ist null, wenn der Zähler null ist. Da (x-1=0) für (x=1) gilt, ist 1 ein kritischer Punkt. Der rationale Ausdruck ist undefiniert, wenn der Nenner null ist. Da (x+3=0) für (x=-3) gilt, ist -3 ein kritischer Punkt.

Schritt 3. Verwenden Sie die kritischen Punkte, um den Zahlenstrahl in Intervalle zu unterteilen.

Schritt 4. Über dem Zahlenstrahl wird das Vorzeichen jedes Faktors des rationalen Ausdrucks in jedem Intervall angezeigt. Unterhalb des Zahlenstrahls wird das Vorzeichen des Quotienten angezeigt.

Verwenden Sie Werte in jedem Intervall, um den Wert jedes Faktors im Intervall zu bestimmen. Im Intervall (-3,1) ist Null ein guter Wert zum Testen. Zum Beispiel, wenn (x=0) dann (x-1=-1) und (x+3=3) Der Faktor (x-1) wird negativ markiert und (x+3 ) positiv markiert. Da ein negatives geteilt durch ein positives negativ ist, wird der Quotient in diesem Intervall als negativ gekennzeichnet.

Schritt 5. Bestimmen Sie die Intervalle, in denen die Ungleichung richtig ist. Schreiben Sie die Lösung in Intervallnotation.

Der Quotient soll größer oder gleich Null sein, also sind die Zahlen in den Intervallen ((-infty,-3)) und ((1, infty)) Lösungen. Da 3 ausgeschlossen werden muss, da es den rationalen Ausdruck 0 macht, können wir es nicht in die Lösung einbeziehen. Wir können 1 in unsere Lösung aufnehmen.

[(-infty,-3) cup[1, infty) onumber]

Multiplizieren Sie beide Seiten mit dem LCD, 400. Entfernen Sie gemeinsame Faktoren auf jeder Seite. Vereinfachen, aber nicht auf der linken Seite multiplizieren. Beachten Sie, was der nächste Schritt sein wird.

[16 cdot 5=5 a onumber]

Löse nach (a) auf.

[egin{aligned} dfrac{16 cdot 5}{5}&=dfrac{5 a}{5} 16&=a end{aligned} onumber ]

Prüfen. Ist die Antwort vernünftig? Schreiben Sie einen vollständigen Satz.

Der Kinderarzt würde Zoe 16 ml Paracetamol verschreiben.

Übung (PageIndex{3})

Kinderärzte verschreiben 5 Milliliter (ml) Paracetamol pro 25 Pfund Gewicht eines Kindes. Wie viele Milliliter Paracetamol wird der Arzt Emilia verschreiben, die 60 Pfund wiegt?

Antworten

Der Kinderarzt wird Emilia 12 ml Paracetamol verschreiben.

Übung (PageIndex{4})

Pro 1 Kilogramm (kg) des Gewichtes eines Kindes verschreiben Kinderärzte 15 Milligramm (mg) eines Fiebersenkers. Wenn Isabella 12 kg wiegt, wie viele Milligramm des Fiebersenkers wird der Kinderarzt verschreiben?

Antworten

Der Kinderarzt wird Isabella 180 mg Fiebersenker verschreiben.

Lösen Sie ähnliche Figurenanwendungen

Wenn Sie ein Foto auf einem Telefon oder Tablet verkleinern oder vergrößern, eine Entfernung auf einer Karte ermitteln oder ein Muster verwenden, um ein Bücherregal zu bauen oder ein Kleid zu nähen, arbeiten Sie mit ähnlichen Figuren. Wenn zwei Figuren genau die gleiche Form, aber unterschiedliche Größen haben, werden sie als ähnlich bezeichnet. Das eine ist ein maßstabsgetreues Modell des anderen. Alle ihre entsprechenden Winkel haben die gleichen Maße und ihre entsprechenden Seiten haben das gleiche Verhältnis.

Ähnliche Figuren

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn die Maße ihrer entsprechenden Winkel gleich sind und ihre entsprechenden Seiten das gleiche Verhältnis haben.

Die beiden Dreiecke in Abbildung unten sind beispielsweise ähnlich. Jede Seite von (Delta ABC) ist viermal so lang wie die entsprechende Seite von (Delta XYZ).

Dies wird in der Eigenschaft ähnlicher Dreiecke zusammengefasst.

Eigenschaft ähnlicher Dreiecke

Wenn (Delta ABC) (Delta XYZ) ähnlich ist, dann sind ihre entsprechenden Winkelmaße gleich und ihre entsprechenden Seiten haben das gleiche Verhältnis.

Um Anwendungen mit ähnlichen Zahlen zu lösen, folgen wir der zuvor verwendeten Problemlösungsstrategie für Geometrieanwendungen.

Beispiel (PageIndex{3})

Auf einer Karte bilden San Francisco, Las Vegas und Los Angeles ein Dreieck. Die Entfernung zwischen den Städten wird in Zoll gemessen. Die Abbildung links unten stellt das Dreieck dar, das von den Städten auf der Karte gebildet wird. Wenn die tatsächliche Entfernung von Los Angeles nach Las Vegas 270 Meilen beträgt, finden Sie die Entfernung von Los Angeles nach San Francisco.

Lösung

Da die Dreiecke ähnlich sind, sind die entsprechenden Seiten proportional.

Lesen das Problem. Zeichne die Figuren und beschrifte sie mit den gegebenen Informationen. Die Zahlen sind oben abgebildet.

Identifizieren wonach wir suchen: die tatsächliche Entfernung von Los Angeles nach San Francisco

Name die Variablen: Sei (x) = Entfernung von Los Angeles nach San Francisco.

Übersetzen in eine Gleichung. Da die Dreiecke ähnlich sind, sind die entsprechenden Seiten proportional. Wir machen die Zähler zu „Meilen“ und die Nenner zu „Zoll“.

[$dfrac{x ext { Meilen }}{1.3 ext { Zoll }}=dfrac{270 ext { Meilen }}{1 ext { Zoll }}$ onumber]

Lösen Die gleichung.

[egin{aligned} 1.3left(dfrac{x}{1.3} ight)&=1.3left(dfrac{270}{1} ight) x&=351 end{aligned} keine Nummer ]

Prüfen. Auf der Karte ist die Entfernung von Los Angeles nach San Francisco größer als die Entfernung von Los Angeles nach Las Vegas. Da 351 mehr als 270 ist, ist die Antwort sinnvoll.

Überprüfen Sie (x=351) im ursprünglichen Verhältnis. Verwenden Sie einen Taschenrechner.

[egin {ausgerichtet} dfrac{x ext { Meilen}}{1.3 ext { Zoll}}&=dfrac{270 ext { Meilen}}{1 ext { Zoll}} dfrac{ 351 ext { Meilen }}{1.3 ext { Zoll }} &overset{?}{=} dfrac{270 ext { Meilen}}{1 ext { Zoll}} dfrac{270 ext { Meilen }}{1 ext { Zoll }}&=dfrac{270 ext { Meilen}}{1 ext { Zoll}} surd end{aligned} onumber ]

Antworten die Frage: Die Entfernung von Los Angeles nach San Francisco beträgt 351 Meilen.

Auf der Karte bilden Seattle, Portland und Boise ein Dreieck. Die tatsächliche Entfernung von Seattle nach Boise beträgt 400 Meilen.

Übung (PageIndex{5})

Finden Sie die tatsächliche Entfernung von Seattle nach Portland.

Antworten

Die Entfernung beträgt 150 Meilen.

Übung (PageIndex{6})

Finden Sie die tatsächliche Entfernung von Portland nach Boise.

Antworten

Die Entfernung beträgt 350 Meilen.

Wir können ähnliche Zahlen verwenden, um Höhen zu finden, die wir nicht direkt messen können.

Beispiel (PageIndex{4})

Tyler ist 6 Fuß groß. An einem späten Nachmittag war sein Schatten 2,40 Meter lang. Gleichzeitig war der Schatten eines Baumes 24 Fuß lang. Finden Sie die Höhe des Baumes.

Lösung

Lies die Aufgabe und zeichne eine Figur. Wir suchen nach (h), der Höhe des Baumes.

Wir werden ähnliche Dreiecke verwenden, um eine Gleichung zu schreiben. Das kleine Dreieck ähnelt dem großen Dreieck.

[dfrac{h}{24}=dfrac{6}{8} onumber]

Lösen Sie den Anteil auf.

[egin {aligned} 24left(dfrac{6}{8} ight)&=24left(dfrac{h}{24} ight) 18&=h end{aligned} keine Nummer ]

Vereinfachen. Prüfen.

Tylers Höhe ist geringer als die Länge seines Schattens, daher ist es sinnvoll, dass die Höhe des Baumes geringer ist als die Länge seines Schattens. Überprüfe (h=18) im ursprünglichen Verhältnis.

[egin{ausgerichtet} &dfrac{6}{8}=dfrac{h}{24} &dfrac{6}{8} overset{?}{=} dfrac{18}{ 24} &dfrac{3}{4}=dfrac{3}{4} surd end{ausgerichtet} onumber]

Übung (PageIndex{7})

Ein Telefonmast wirft einen 15 Meter langen Schatten. In der Nähe wirft ein 2,40 m hohes Verkehrsschild einen 3 m langen Schatten. Wie hoch ist der Telefonmast?

Antworten

Der Telefonmast ist 40 Meter hoch.

Übung (PageIndex{8})

Eine Kiefer wirft einen Schatten von 80 Fuß neben einem 30 Fuß hohen Gebäude, das einen Schatten von 40 Fuß wirft. Wie hoch ist die Kiefer?

Antworten

Die Kiefer ist 60 Meter hoch.

Lösen von Anwendungen mit gleichmäßiger Bewegung

Wir haben in den vorherigen Kapiteln gleichförmige Bewegungsprobleme mit der Formel (D=r t) gelöst. Wir haben eine Tabelle wie die folgende verwendet, um die Informationen zu organisieren und uns zur Gleichung zu führen.

Rate (cdot) Zeit = Entfernung

Die Formel (D=r t) setzt voraus, dass wir (r) und (t) kennen und verwenden, um (D) zu finden. Wenn wir (D) und (r) kennen und (t) finden müssen, würden wir die Gleichung nach (t) lösen und erhalten die Formel (t=dfrac{D}{r }).

Wir haben auch erklärt, wie sich das Fliegen mit oder gegen den Wind auf die Geschwindigkeit eines Flugzeugs auswirkt. Wir werden diese Idee im nächsten Beispiel wiederholen.

Beispiel (PageIndex{5})

Ein Flugzeug kann in der gleichen Zeit, die es braucht, um 300 Meilen mit einem Rückenwind von 50 km/h zu fliegen, 200 Meilen in einen Gegenwind von 50 km/h fliegen. Welche Geschwindigkeit hat das Flugzeug?

Lösung

Dies ist eine gleichförmige Bewegungssituation. Ein Diagramm hilft uns, die Situation zu visualisieren.

Wir füllen das Diagramm aus, um die Informationen zu organisieren.

Wir suchen nach der Geschwindigkeit des Flugzeugs. Sei (r) = die Geschwindigkeit des Flugzeugs.

Wenn das Flugzeug mit dem Wind fliegt, erhöht der Wind seine Geschwindigkeit und die Geschwindigkeit beträgt (r + 30).

Wenn das Flugzeug gegen den Wind fliegt, verringert der Wind seine Geschwindigkeit und die Geschwindigkeit beträgt (r − 30).

Schreiben Sie die Preise ein. Schreiben Sie die Entfernungen ein. Wegen (D=r cdot t) lösen wir nach (t) auf und erhalten (t=dfrac{D}{r}). Wir teilen die Entfernung durch die Geschwindigkeit in jeder Zeile und platzieren den Ausdruck in der Zeitspalte.

Rate (cdot) Zeit = Entfernung
Gegenwind(r-30)(dfrac{200}{r-30})200
Rückenwind(r+30)(dfrac{300}{r+30})300

Wir wissen, dass die Zeiten gleich sind und schreiben unsere Gleichung.

[dfrac{200}{r-30}=dfrac{300}{r+30} onumber]

Wir multiplizieren beide Seiten mit dem LCD.

[(r+30)(r-30)left(frac{200}{r-30} ight)=(r+30)(r-30)left(frac{300}{r+ 30} ight) onumber]

Vereinfachen und lösen.

[egin{ausgerichtet} (r+30)(200)&=(r-30) 300 200 r+6000&=300 r-9000 15000&=100 r end{ausgerichtet} onumber]

Prüfen.

Ist (150mathrm{mph}) eine angemessene Geschwindigkeit für ein Flugzeug? Jawohl. Wenn das Flugzeug (150mathrm{mph}) fliegt und der Wind (30mathrm{mph}) ist,

[ ext { Rückenwind} quad 150+30=180 mathrm{mph} quad dfrac{300}{180}=dfrac{5}{3} ext { Stunden } onumber]

[ ext { Gegenwind} 150-30=120 mathrm{mph} dfrac{200}{120}=dfrac{5}{3} ext { Stunden } onumber]

Die Zeiten sind gleich, also überprüft es. Das Flugzeug flog (150 mathrm{mph}).

Übung (PageIndex{9})

Link kann mit seinem Fahrrad 20 Meilen bei 5 km/h Gegenwind in der gleichen Zeit fahren, in der er 30 Meilen bei 5 km/h Rückenwind fahren kann. Wie hoch ist die Fahrradgeschwindigkeit von Link?

Antworten

Die Fahrradgeschwindigkeit von Link beträgt 15 Meilen pro Stunde.

Übung (PageIndex{10})

Danica kann ihr Boot 8 Meilen bei 7 Meilen pro Stunde Gegenwind segeln in der gleichen Zeit, in der sie 19 Meilen bei 7 Meilen pro Stunde Rückenwind segeln kann. Wie schnell ist Danicas Boot ohne Wind?

Antworten

Die Geschwindigkeit von Danicas Boot beträgt 17 Meilen pro Stunde.

Im nächsten Beispiel kennen wir die Gesamtzeit, die sich aus dem Zurücklegen verschiedener Entfernungen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ergibt.

Beispiel (PageIndex{6})

Jazmine hat am Samstag 3 Stunden trainiert. Sie lief 8 Meilen und fuhr dann 24 Meilen mit dem Fahrrad. Ihre Fahrradgeschwindigkeit ist 4 mph schneller als ihre Laufgeschwindigkeit. Wie hoch ist ihre Laufgeschwindigkeit?

Lösung

Dies ist eine gleichförmige Bewegungssituation. Ein Diagramm hilft uns, die Situation zu visualisieren.

Wir füllen das Diagramm aus, um die Informationen zu organisieren. Wir suchen nach Jazmines Laufgeschwindigkeit. Sei (r) = Jazmines Laufgeschwindigkeit.

Ihre Fahrradgeschwindigkeit ist 4 Meilen schneller als ihre Laufgeschwindigkeit. (r + 4) = ihre Fahrradgeschwindigkeit

Die Entfernungen sind angegeben, tragen Sie sie in die Tabelle ein. Wegen (D=r cdot t) lösen wir nach (t) auf und erhalten (t=dfrac{D}{r}).Wir teilen die Entfernung durch die Geschwindigkeit in jeder Zeile und platzieren den Ausdruck in der Zeitspalte.

Rate (cdot) Zeit = Entfernung
Laufen(R)(dfrac{8}{r})8
Fahrrad(r+4)(dfrac{24}{r+4})24
3

Schreiben Sie einen Wortsatz: Ihre Zeit plus die Zeit für das Radfahren beträgt 3 Stunden.

Übersetzen Sie den Satz, um die Gleichung zu erhalten.

[dfrac{8}{r}+dfrac{24}{r+4}=3 onumber]

Lösen.

[egin{ausgerichtet}
r(r+4)links(dfrac{8}{r}+dfrac{24}{r+4} echts) &=3 cdot r(r+4)
8(r+4)+24r &=3r(r+4)
8 r+32+24 r &=3 r^{2}+12 r
32+32 r &=3 r^{2}+12 r
0 &=3 r^{2}-20 r-32
0 &=(3r+4)(r-8)
end{ausgerichtet} onumber ]

[egin{array}{lc} {(3 r+4)=0} & {(r-8)=0} cancel{r=dfrac{4}{3}} quad & { r=8} end{array} onumber ]

Prüfen.

Eine negative Geschwindigkeit macht in diesem Problem keinen Sinn, daher ist (r=8) die Lösung.

Ist 8 km/h eine angemessene Laufgeschwindigkeit? Jawohl.

Wenn Jazmines Laufrate 4 beträgt, dann ist ihre Fahrradrate (r+4), die (8+4=12) beträgt.

[ ext { Lauf} 8 mathrm{mph} quad dfrac{8 mathrm{Meilen}}{8 mathrm{mph}}=1 ext { Stunde} onumber]

[ ext { Fahrrad} 12 ext { mph } quad dfrac{24 ext { Meilen }}{12 mathrm{mph}}=2 ext { Stunden } onumber ]

Jazmines Laufgeschwindigkeit beträgt 8 mph.

Übung (PageIndex{11})

Dennis war am Samstag 6 Stunden lang Langlaufen. Er fuhr 20 Meilen bergauf und dann 20 Meilen bergab und kehrte zu seinem Ausgangspunkt zurück. Seine Bergauf-Geschwindigkeit war 5 mph langsamer als seine Bergab-Geschwindigkeit. Wie hoch war Dennis Geschwindigkeit bergauf und seine Geschwindigkeit bergab?

Antworten

Dennis' Bergauf-Geschwindigkeit betrug 10 mph und seine Bergab-Geschwindigkeit betrug 8 mph.

Übung (PageIndex{12})

Joon fuhr 4 Stunden zu seinem Haus, fuhr 208 Meilen auf der Interstate und 64 Meilen auf Landstraßen. Wenn er auf der Interstate 24 km/h schneller fuhr als auf den Landstraßen, wie hoch war dann sein Tempo auf den Landstraßen?

Antworten

Joons Geschwindigkeit auf den Landstraßen beträgt 50 Meilen pro Stunde.

Wir verwenden wieder die nach der Variable (t) gelöste Einheitsbewegungsformel.

Beispiel (PageIndex{7})

Hamilton fuhr mit seinem Fahrrad 12 Meilen bergab auf dem Flussweg von seinem Haus zum Meer und fuhr dann bergauf, um nach Hause zurückzukehren. Seine Geschwindigkeit bergauf war 8 Meilen pro Stunde langsamer als seine Geschwindigkeit bergab. Er brauchte 2 Stunden länger, um nach Hause zu kommen, als er zum Meer brauchte. Finden Sie Hamiltons Abfahrtsgeschwindigkeit.

Lösung

Dies ist eine gleichförmige Bewegungssituation. Ein Diagramm hilft uns, die Situation zu visualisieren.

Wir füllen das Diagramm aus, um die Informationen zu organisieren.

Wir suchen nach Hamiltons Abfahrtsgeschwindigkeit. Sei (h)= Hamiltons Abfahrtsgeschwindigkeit.

Seine Bergauf-Geschwindigkeit ist 8 Meilen pro Stunde langsamer. (h-8)= Hamiltons Bergauf-Geschwindigkeit.

Tragen Sie die Kurse in das Diagramm ein.

Die Entfernung ist in beide Richtungen gleich: 12 Meilen.

Wegen (D=r cdot t) lösen wir nach (t) auf und erhalten (t=dfrac{D}{r}). Wir teilen die Entfernung durch die Geschwindigkeit in jeder Zeile und platzieren den Ausdruck in der Zeitspalte.

Rate (cdot) Zeit = Entfernung
Bergab(h)(dfrac{12}{h})12
Bergauf(h-8)(dfrac{12}{h-8})12

Schreibe einen Wortsatz über die Strecke: Er brauchte 2 Stunden länger bergauf als bergab. Die Bergauf-Zeit beträgt 2 mehr als die Bergab-Zeit.

Übersetzen Sie den Satz, um die Gleichung zu erhalten.

[dfrac{12}{h-8}=dfrac{12}{h}+2 onumber]

Lösen.

[egin{ausgerichtet}
h(h-8)left(dfrac{12}{h-8} ight) &=h(h-8)left(dfrac{12}{h}+2 ight)
12 h &=12(h-8)+2 h(h-8)
12 h &=12 h-96+2 h^{2}-16 h
0 &=2 h^{2}-16 h-96
0 &=2links(h^{2}-8 h-48 echts)
0 &=2(h-12)(h+4)
end{ausgerichtet} onumber ]

[egin{array}{lc} h-12=0 & h+4=0 h=12 & cancel {h=4} end{array} onumber]

Prüfen. Ist (12mathrm{mph}) eine vernünftige Geschwindigkeit, um bergab zu fahren? Jawohl.

[ ext { Downhill} 12 mathrm{mph} quad dfrac{12 ext { miles }}{12 mathrm{mph}}=1 ext { hour } onumber]

[ ext { Bergauf} 12-8=4 mathrm{mph} quad dfrac{12 ext { Meilen}}{4 mathrm{mph}}=3 ext { Stunden} onumber]

Die Aufstiegszeit beträgt 2 Stunden mehr als die Abfahrtszeit.

Hamiltons Abfahrtsgeschwindigkeit ist (12mathrm{mph}).

Übung (PageIndex{13})

Kayla fuhr an einem Wochenende mit dem Fahrrad 75 Meilen vom College nach Hause und fuhr dann mit dem Bus zurück zum College. Sie brauchte 2 Stunden weniger, um mit dem Bus zurück zum College zu fahren, als sie mit dem Fahrrad nach Hause zu fahren, und die durchschnittliche Geschwindigkeit des Busses war 16 km/h schneller als Kaylas Fahrradgeschwindigkeit. Finden Sie Kaylas Fahrradgeschwindigkeit.

Antworten

Kaylas Radgeschwindigkeit betrug 24 km/h.

Übung (PageIndex{14})

Victoria joggt 12 Meilen auf einem flachen Weg zum Park und kehrt dann auf einem 20 Meilen langen hügeligen Weg zurück. Auf dem hügeligen Trail joggt sie 1 Meile pro Stunde langsamer als auf dem flachen Trail, und ihr Rückweg dauert zwei Stunden länger. Finden Sie ihre Joggingrate auf dem flachen Weg.

Antworten

Victoria joggte 10 km/h auf dem flachen Weg.

Arbeitsanwendungen lösen

Das wöchentliche Klatschmagazin hat eine große Geschichte über das Baby der Prinzessin und der Herausgeber möchte, dass das Magazin so schnell wie möglich gedruckt wird. Sie hat die Druckerei gebeten, eine zusätzliche Druckmaschine zu betreiben, um den Druck schneller zu erledigen. Drücken Sie Nr. 1 benötigt 6 Stunden, um die Arbeit zu erledigen, und Drücken Sie Nr. 2 dauert 12 Stunden, um die Arbeit zu erledigen. Wie lange dauert es, bis die Druckerei das Magazin gedruckt hat, wenn beide Druckmaschinen gleichzeitig laufen?

Dies ist eine typische „Arbeits“-Anwendung. Hier sind drei Mengen involviert – die Zeit, die jede der beiden Druckmaschinen für die alleinige Arbeit benötigen würde, und die Zeit, die sie für die gemeinsame Arbeit benötigen würden.

Wenn die Druckmaschine Nr. 1 den Job in 6 Stunden abschließen kann, würde sie in einer Stunde (dfrac{1}{6}) des Jobs abschließen.

Wenn Press #2 den Job in 12 Stunden abschließen kann, würde es in einer Stunde (dfrac{1}{12}) des Jobs abschließen.

Wir lassen (t) die Anzahl der Stunden sein, die die Druckmaschinen benötigen würden, um die Zeitschriften zu drucken, wenn beide Druckmaschinen gleichzeitig laufen. In 1 Stunde Zusammenarbeit haben sie also (dfrac{1}{t}) der Aufgabe erledigt.

Wir können dies mit dem Wort Gleichung modellieren und dann in eine rationale Gleichung übersetzen. Um die Zeit zu ermitteln, die die Druckmaschinen benötigen würden, um den Job abzuschließen, wenn sie zusammenarbeiten, lösen wir nach (t) auf.

Befolgen Sie die Schritte, um die Informationen zu organisieren. Wir suchen, wie viele Stunden es dauern würde, um den Job abzuschließen, wenn beide Druckmaschinen gleichzeitig laufen.

Schritt 1: Sei (t) = die Anzahl der Stunden, die benötigt werden, um den Job gemeinsam abzuschließen.

Schritt 2: Geben Sie die Stunden pro Auftrag für Drücken Sie 1, Drücken Sie #2 ein und wann sie zusammenarbeiten.

Wenn ein Auftrag auf Druckmaschine Nr. 1 6 Stunden dauert, ist der Auftrag in 1 Stunde (dfrac{1}{6}) abgeschlossen.

Suchen Sie in ähnlicher Weise den Teil des Jobs, der abgeschlossen ist / Stunden für Press #2 und wann beides zusammen ist.

Anzahl der Stunden, um den Job abzuschließen.Teil der Arbeit erledigt/Stunde
Drücken Sie #16(dfrac{1}{6})
Drücken Sie #212(dfrac{1}{12})
Zusammen(T)(dfrac{1}{t})

Schreiben Sie einen Wortsatz. Der durch Drücken von Nr. 1 abgeschlossene Teil plus der durch Drücken von Nr. 2 abgeschlossene Teil ergeben zusammen den Gesamtbetrag.

Schritt 3: In eine Gleichung übersetzen.

[ ext {Arbeit abgeschlossen von} underbrace{ ext {Drücken } #1 + ext {Drücken } #2 = ext {Gemeinsam}} dfrac{1}{6} qquad+ qquaddfrac{1}{12}qquad =qquad dfrac{1}{t} onumber]

Schritt 4: Lösen. Vereinfachen.

[dfrac{1}{6}+dfrac{1}{12}=dfrac{1}{t} onumber]

Mit dem LCD multiplizieren, (12t) und vereinfachen.

[egin{ausgerichtet}
12 tleft(dfrac{1}{6}+dfrac{1}{12} ight) &=12 tleft(dfrac{1}{t} ight)
2 t+t &=12
3 t &=12
t &=4
end{ausgerichtet} onumber ]

Wenn beide Druckmaschinen laufen, dauert es 4 Stunden, um die Arbeit zu erledigen.

Denken Sie daran, dass zwei Druckmaschinen weniger Zeit in Anspruch nehmen sollten, um einen Auftrag zusammen zu erledigen, als wenn eine Druckmaschine dies alleine erledigt.

Beispiel (PageIndex{8})

Angenommen, Pete kann in 10 Stunden einen Raum streichen. Wenn er in einem konstanten Tempo arbeitet, würde er in 1 Stunde (dfrac{1}{10}) des Raumes malen. Wenn Alicia 8 Stunden brauchen würde, um denselben Raum zu streichen, dann würde sie in 1 Stunde (dfrac{1}{8}) des Raums streichen. Wie lange würden Pete und Alicia brauchen, um den Raum zu streichen, wenn sie zusammenarbeiten würden (und sich nicht gegenseitig in ihrer Entwicklung stören würden)?

Lösung

Dies ist eine "Arbeitsanwendung". Die folgenden Schritte helfen uns, die Informationen zu organisieren. Wir suchen die Stunden, die sie brauchen, um den Raum gemeinsam zu streichen.

In einer Stunde erledigte Pete (dfrac{1}{10}) der Arbeit. Alicia hat (dfrac{1}{8}) der Aufgabe erledigt. Und gemeinsam erledigten sie (dfrac{1}{t}) der Arbeit.

Schritt 1: Sei (t) die Anzahl der Stunden, die benötigt werden, um den Raum gemeinsam zu streichen.

Schritt 2: Geben Sie die Stunden pro Job für Pete, Alicia ein und wann sie zusammenarbeiten. In 1 Stunde gemeinsamer Arbeit haben sie (dfrac{1}{t}) des Jobs abgeschlossen. Suchen Sie auf ähnliche Weise den Teil der Arbeit, der von Pete und dann von Alicia abgeschlossen wurde.

Anzahl der Stunden, um den Job abzuschließen.Teil der Arbeit erledigt/Stunde
Pete10(dfrac{1}{10})
Alicia8(dfrac{1}{8})
Zusammen(T)(dfrac{1}{t})

Schreiben Sie einen Wortsatz. Die von Pete abgeschlossene Arbeit plus die von Alicia abgeschlossene Arbeit entspricht der Gesamtarbeit.

Schritt 3: In eine Gleichung übersetzen.

[ ext {Arbeit abgeschlossen von} underbrace{ ext {Pete} + ext {Alicia} = ext {Zusammen}} dfrac{1}{10} qquad+qquaddfrac{1 }{8}qquad =qquad dfrac{1}{t} onumber]

Schritt 4: Vereinfachen. Lösen.

Mit dem LCD multiplizieren, (40t).

[40 tleft(dfrac{1}{10}+dfrac{1}{8} ight)=40 tleft(dfrac{1}{t} ight) onumber]

Verteilen.

[40 t cdot dfrac{1}{10}+40 t cdot dfrac{1}{8}=40 tleft(dfrac{1}{t} ight) onumber]

Vereinfachen und lösen.

[egin{array}{r}
{4 t+5 t=40}
{9 t=40}
{t=dfrac{40}{9}}
end{array} onumber ]

Wir schreiben als gemischte Zahl, damit wir sie in Stunden und Minuten umwandeln können.

[t=4 dfrac{4}{9} ext { Stunden } onumber ]

Denken Sie daran, 1 Stunde = 60 Minuten.

[t=4 ext { Stunden }+dfrac{4}{9}(60 ext { Minuten}) onumber]

Multiplizieren und dann auf die nächste Minute runden.

[t=4 ext { Stunden }+27 ext { Minuten } onumber ]

Pete und Alica würden ungefähr 4 Stunden und 27 Minuten brauchen, um den Raum zu streichen.

Übung (PageIndex{15})

Ein Gärtner kann einen Golfplatz in 4 Stunden mähen, während ein anderer Gärtner denselben Golfplatz in 6 Stunden mähen kann. Wie lange würde es dauern, wenn die beiden Gärtner gemeinsam den Golfplatz mähen würden?

Antworten

Wenn die beiden Gärtner zusammen arbeiten, dauert es 2 Stunden und 24 Minuten.

Übung (PageIndex{16})

Daria kann den Garten in 7 Stunden jäten, während ihre Mutter das in 3 Stunden schafft. Wie lange werden die beiden brauchen, um zusammen zu arbeiten?

Antworten

Wenn Daria und ihre Mutter zusammenarbeiten, dauert es 2 Stunden und 6 Minuten.

Beispiel (PageIndex{9})

Ra’shon kann das Haus in 7 Stunden reinigen. Als seine Schwester ihm hilft, dauert es 3 Stunden. Wie lange braucht seine Schwester, wenn sie alleine das Haus putzt?

Lösung

Dies ist ein Arbeitsproblem. Wir suchen, wie viele Stunden Ra’shons Schwester brauchen würde, um den Job alleine zu erledigen.

Schritt 1: Sei (s) die Anzahl der Stunden, die Ra’shons Schwester braucht, um das Haus allein zu putzen.

Schritt 2: Geben Sie die Stunden pro Job für Ra’shon, seine Schwester, ein und wann sie zusammenarbeiten. Wenn Ra’shon 7 Stunden dauert, ist der Job in 1 Stunde (dfrac{1}{s}) abgeschlossen. Wenn Ra’shons Schwester (s) Stunden braucht, dann ist der Job in 1 Stunde (dfrac{1}{s}) abgeschlossen.

Anzahl der Stunden, um den Job abzuschließen.Teil der Arbeit erledigt/Stunde
Ra’shon7(dfrac{1}{7})
Seine Schwester(S)(dfrac{1}{s})
Zusammen3(dfrac{1}{3})

Schreiben Sie einen Wortsatz. Der von Ra’shon abgeschlossene Teil plus der von seiner Schwester abgeschlossene Teil entspricht der zusammen abgeschlossenen Summe.

Schritt 3: In eine Gleichung übersetzen.

[ ext {Arbeit abgeschlossen von} underbrace{ ext {Ra'shon} + ext {Seine Schwester} = ext {Gemeinsam}} dfrac{1}{7} qquad+qquad dfrac{1}{s}qquad =qquad dfrac{1}{3} onumber]

Schritt 4: Vereinfachen. Lösen.

[dfrac{1}{7}+dfrac{1}{5}=dfrac{1}{3} onumber]

Multiplizieren mit dem LCD, 21s.

[egin{ausgerichtet}
21 sleft(dfrac{1}{7}+dfrac{1}{s} ight) &=left(dfrac{1}{3} ight) 21 s
3 s+21 &=7 s
end{ausgerichtet} onumber ]

Vereinfachen.

[egin{ausgerichtet}
-4 s &=-21
s &=frac{-21}{-4}=frac{21}{4}
end{ausgerichtet} onumber ]

Schreiben Sie als gemischte Zahl, um sie in Stunden und Minuten umzuwandeln.

[s=5 dfrac{1}{4} ext { Stunden } onumber ]

1 Stunde hat 60 Minuten.

[s=5 ext { Stunden }+dfrac{1}{4}(60 ext { Minuten}) s=5 ext { Stunden }+15 ext { Minuten } onumber]

Es würde Ra’shons Schwester 5 Stunden und 15 Minuten dauern, das Haus alleine zu putzen.

Übung (PageIndex{17})

Alice kann in 6 Stunden einen Raum streichen. Wenn Kristina ihr hilft, brauchen sie 4 Stunden, um den Raum zu streichen. Wie lange würde Kristina brauchen, um das Zimmer alleine zu streichen?

Antworten

Kristina kann den Raum in 12 Stunden streichen.

Übung (PageIndex{18})

Tracy kann eine Betonplatte in 3 Stunden verlegen, mit Jordans Hilfe schaffen sie es in 2 Stunden. Wenn Jordan alleine arbeitet, wie lange wird es dauern?

Antworten

Jordan braucht dafür 6 Stunden.

Direkte Variationsprobleme lösen

Wenn zwei Größen proportional zueinander stehen, sagen wir, dass sie zueinander proportional sind. Eine andere Möglichkeit, diese Beziehung auszudrücken, besteht darin, über die Variation der beiden Größen zu sprechen. In diesem Abschnitt werden wir die direkte Variation und die inverse Variation diskutieren.

Lindsay bekommt bei ihrem Job 15 Dollar pro Stunde bezahlt. Wenn wir (s) ihr Gehalt und h die Anzahl der Stunden, die sie gearbeitet hat, lassen, könnten wir diese Situation mit der Gleichung modellieren

[s=15 h onumber]

Lindsays Gehalt ist das Produkt einer Konstanten von 15 und der Anzahl der Stunden, die sie arbeitet. Wir sagen, dass Lindsays Gehalt direkt mit der Anzahl der Stunden variiert, die sie arbeitet. Zwei Variablen variieren direkt, wenn eine das Produkt einer Konstanten und der anderen ist.

Direkte Variation

Für zwei beliebige Variablen (x) und (y) variiert (y) direkt mit (x), falls

(y=kx), wobei (k eq 0)

Die Konstante (k) heißt Variationskonstante.

Bei Anwendungen mit direkter Variation kennen wir im Allgemeinen die Werte eines Variablenpaars und werden gebeten, die Gleichung zu finden, die (x) und (y) zusammenhängt. Dann können wir diese Gleichung verwenden, um Werte von (y) für andere Werte von (x) zu finden.

Wir listen die Schritte hier auf.

So lösen Sie Probleme mit direkten Variationen

Schritt 1. Schreiben Sie die Formel für die direkte Variation.

Schritt 2. Ersetzen Sie die angegebenen Werte für die Variablen.

Schritt 3. Nach der Variationskonstante auflösen.

Schritt 4. Schreiben Sie die Gleichung, die (x) und (y) in Beziehung setzt, indem Sie die Variationskonstante verwenden.

Jetzt lösen wir eine Anwendung der direkten Variation.

Beispiel (PageIndex{10})

Wenn Raoul auf dem Laufband im Fitnessstudio läuft, variiert die Anzahl der Kalorien, (c), die er verbrennt, direkt mit der Anzahl der Minuten (m), er benutzt das Laufband. Er verbrannte 315 Kalorien, als er das Laufband 18 Minuten lang benutzte.

  1. Schreiben Sie die Gleichung, die (c) und (m) zusammenhängt.
  2. Wie viele Kalorien würde er verbrennen, wenn er 25 Minuten auf dem Laufband laufen würde?

Lösung

    Die Kalorienzahl (c) variiert direkt mit der Anzahl der Minuten (m) auf dem Laufband und (c=315) bei (m=18).

    Schreiben Sie die Formel für die direkte Variation.

    [y=kx onumber]

    Wir verwenden (c) anstelle von (y) und (m) anstelle von (x).

    [c=k m onumber]

    Ersetzen Sie die angegebenen Werte für die Variablen.

    [315=k cdot 18 onumber]

    Nach der Variationskonstante auflösen.

    [egin{ausgerichtet}
    &dfrac{315}{18}=dfrac{k cdot 18}{18}
    &17,5=k
    end{ausgerichtet} onumber ]

    Schreiben Sie die Gleichung, die (c) und (m) zusammenhängt.

    [c=k m onumber]

    Ersetzen Sie die Variationskonstante.

    [c=17,5 m onumber]

      Schreiben Sie die Gleichung, die (c) und (m) zusammenhängt.

      [c=17,5 m onumber]

      Ersetzen Sie (m) durch den angegebenen Wert.

      [c=17.5(25) onumber]

      Vereinfachen.

      [c=437,5 onumber]

      Raoul würde 437,5 Kalorien verbrennen, wenn er das Laufband 25 Minuten lang benutzen würde.

      Übung (PageIndex{19})

      Die Anzahl der verbrannten Kalorien (c) hängt direkt von der Zeit (t) ab, die mit Sport verbracht wird. Arnold verbrannte 312 Kalorien in 65 Minuten Training.

      1. Schreiben Sie die Gleichung, die (c) und (t) zusammenhängt.
      2. Wie viele Kalorien würde er verbrennen, wenn er 90 Minuten lang trainiert?
      Antworten
      1. (c=4,8 t)
      2. Er würde 432 Kalorien verbrennen.

      Übung (PageIndex{20})

      Die Strecke, die ein bewegter Körper zurücklegt, (d), ändert sich direkt mit der Zeit, (t), er bewegt sich. Ein Zug fährt in 2 Stunden 100 Meilen.

      1. Schreiben Sie die Gleichung, die (d) und (t) zusammenhängt.
      2. Wie viele Kilometer würde es in 5 Stunden zurücklegen?
      Antworten
      1. (d=50t)
      2. Es würde 250 Meilen fahren.

      Inverse Variationsprobleme lösen

      Viele Anwendungen beinhalten zwei Variablen, die umgekehrt variieren. Wenn eine Variable zunimmt, nimmt die andere ab. Die Gleichung, die sie verbindet, ist (y=dfrac{k}{x})

      Inverse Variation

      Für zwei beliebige Variablen (x) und (y) variiert (y) umgekehrt zu (x), falls

      (y=dfrac{k}{x}), wobei (k eq 0)

      Die Konstante (k) heißt Variationskonstante.

      Das Wort "invers" in inverser Variation bezieht sich auf das multiplikative Inverse. Die multiplikative Inverse von (x) ist (dfrac{1}{x}).

      Wir lösen inverse Variationsprobleme auf die gleiche Weise wie direkte Variationsprobleme. Nur die allgemeine Form der Gleichung hat sich geändert. Wir kopieren die Prozedurbox hier und ändern einfach „direct“ in „inverse“.

      wie man inverse Variationsprobleme löst

      Schritt 1. Schreiben Sie die Formel für die inverse Variation.

      Schritt 2. Schreiben Sie die Gleichung, die (x) und (y) in Beziehung setzt, indem Sie die Variationskonstante verwenden.

      Beispiel (PageIndex{11})

      Die Frequenz einer Gitarrensaite ändert sich umgekehrt mit ihrer Länge. Eine 26 Zoll lange Saite hat eine Frequenz von 440 Schwingungen pro Sekunde.

      1. Schreiben Sie die Variationsgleichung.
      2. Wie viele Schwingungen pro Sekunde gibt es, wenn die Länge der Saite auf 20 Zoll reduziert wird, indem man einen Finger auf einen Bund legt?

      Lösung

        Die Frequenz variiert umgekehrt mit der Länge.

        Benennen Sie die Variablen. Sei (f) = Frequenz. (L) = Länge

        Schreiben Sie die Formel für die inverse Variation.

        [y=dfrac{k}{x} onumber]

        We will use (f) in place of (y) and (L) in place of (x).

        [f=dfrac{k}{L} onumber ]

        [f=440 ext { when } L=26 onumber ]

        Substitute the given values for the variables.

        [440=dfrac{k}{26} onumber ]

        Solve for the constant of variation.

        [egin{aligned}
        &26(440)=26left(dfrac{k}{26} ight)
        &11,440=k
        end{aligned} onumber ]

        Write the equation that relates (f) and (L).

        [f=dfrac{k}{L} onumber ]

        Substitute the constant of variation.

        [f=dfrac{11,440}{L} onumber ]

          Find (f) when (L=20).

          Write the equation that relates (f) and (L).

          [f=dfrac{11,440}{L} onumber ]

          Substitute the given value forL.

          [f=dfrac{11,440}{20} onumber ]

          Simplify.

          [f=572 onumber ]

          A 20''-guitar string has frequency 572 vibrations per second.

          Exercise (PageIndex{21})

          The number of hours it takes for ice to melt varies inversely with the air temperature. Suppose a block of ice melts in 2 hours when the temperature is 65 degrees Celsius.

          1. Write the equation of variation.
          2. How many hours would it take for the same block of ice to melt if the temperature was 78 degrees?
          Antworten
          1. (h=dfrac{130}{t})
          2. (1 dfrac{2}{3}) hours

          Exercise (PageIndex{22})

          Xander’s new business found that the daily demand for its product was inversely proportional to the price, (p). When the price is $5, the demand is 700 units.

          1. Write the equation of variation.
          2. What is the demand if the price is raised to $7?
          Antworten
          1. (x=dfrac{3500}{p})
          2. 500 units

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